Opsta Metodika Nastave Matematike

SADRZAJ :

1. MATEMATIKA, NASTAVA MATEMATIKE I METODIKA NASTAVEMATEMATIKE ... . . . . . . . . .

1.1 . O in te l igenc i j idoveka . . . . . . . . B

1 .2 . Matemat ika kao nauka. . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . B

1.3. Istor i jskirazvoj matematidkih ideja, metoda imode|a.. . . . . . . . . . . . . .11

1.4. Nastava matematike, njen znadaj i razvoj . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Metodika nastave matematike . . . . . . . . . . . . . 15

2. PSIHOLOSI<O-PTONGOSKE I LOCIEKE OSNOVE NASTAVE

M A T E M A T | K E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

2 . 7 . P o l a z n e o s n o v e . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

2.2. PsiholoSko-pedagodke osnove . . . . . . . . . . . 2)

2.3. Logidke osnove - misaoni postupci . . . . . 24

2.4. Kibernet idke osnove . . . . . . . .3 7

2.5. Didakt idki pr incipiu nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6. Jezik u matematiikom obrazovanju .... 40

3. NASTAVNE METODE U NASTAVIMATEMATIKE

3.1. Pojam iklasifikacija nastavnih metoda u nastavi matematike.. 43

3.2. Tradicionalne nastavne metode . . . . . . . . . 44

3.3. Savremene nastavne metode.. . . . . . . . . . . . . 56

4. MESTO I ULOGA ZADATAKA U MATEMATICKOMOBRAZOVANJU I METODIKA NJIHOVOC RESAVANJA............ . 69

43

4.1 . Mesto i u loga zadataka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.Osnovne faze reBavanja zadataka .........774.3. Postupci reiavanja zadataka . . . . . . . . . . . . .73

5. NASTAVNI CAS. TIPOU ENSN O NASTAVI MATEMATIKE............. B1

5 . 1 . N a s t a v n i d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 15.2. Tipovi i struktura nastavnih tasova ..... 83

6. OBLICI RADA U NASTAVIMATEMATIKE... . . . . . . . , . . . . . . . . . 87

6 .1 .Fron ta ln i (ko lek t i vn i )ob l i k rada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 .2 . Grupn iob l i k rada . . . . . . . . . . . . . . BB6.3 . Ind iv idua ln i ob l i k rada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7. PRACENJE IOCENJIVANJE RADA IREZULTATA

RADA UEENIKA U NASTAVI MATEMATIKE............

7.1. Karakter ist ike ocena . . . . . . . . 967.2. Obl ic i i metode ocenj ivanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 987 . 3 . K r i t e r i j u m i i n o r m e o c e n j i v a n j a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1

B. MOTIVTSANJE IPODSTICANJE ZA OEENJE MATEMATIKE

VANNASTAVNE I VANSKOLSKE AKTIVNOSTI.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 03

B. 1 . Razvijanje interesovanja za udenje matematike . . ... . 1 038.2. Nastavnik i nadareni udenik . . . . . . . . . . . . . . . .1058.3. Diferencijacija iindividualizacija nastave matematike ..............1078.4. Vannastavne aktivnosti u matematici

8 .5 . Domai i rad uden ika iz matemat ike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 11

9 .1 . (

9.2 . r9 .3 .19.4. I

10. NASUN,

10 .1 .10.2.10.3.

11 . MOMI

11 .1 .11.2,11 .3

LITER

1139. PLANIRANJE U NASTAVIMATEMATIKE

, . . 69. . . 71. . . 73

. . . 81

. . . B1

. . . 83

. . . 87

. . . BB

. . . BB

. . . 90

. . 95

. . 96

. . 98

. . 101

. , 103

.103

.105

.107

.109

.111

. r13

9.1. GodiSnji , globalni plan i operativno-tematski p|an.... . . . . . . . . . . . . . . .1149.2.Dnevnoplani ran je-pr ipremanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1159.3. Anal iza odrZanog dasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1169.4. Primeri priprema za dasove ... . . . . . . . . . . . . . . 118

10. NASTAVNA ITEHNIEKA SREDSTVAu NASTAVI MATE1VIAT|KE.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.1. UdZbenici. radni listovi i zbirke zadataka1 0.2. Odigledna sredstva

10.3. Prenosioci informacija - nastavna pomagala .........139

1 1 . MOGUCNOSTI INFOR/VIATIZACIJE

NASTAVE MATEMATIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

11.1. Koncepci je i strategi je u nastavi iudenju matematike.. . . . . . . . . . . . .143

1 1.2. Softver u matematidkom obrazovanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

11.3. Informacione tehnologije i matematidko obrazovanje ............. 153

LTTEMTURA . . . . . . . . . . . . . .156

r35137

"N41p/odotuornlie zada tke ma tentatic[ postau!1'a praksa "

D. A. Crejv (D. A. Crave)

1. TI/{TEIhI{TII(4, IYASTAVA M/\TEM1{TIKE I IIETODII(ANASTAVE III/{TEI5I{TIKF

1.1. O inteligenciji ioveka

Neki oblici inteligencije se mogu zapaziti i kod nekih Zivotinja, ali jedovek u tom pogledu izuzetak. Njegova inteligencija raspolaZe sledeiimosnovnim karakteristikama:

1. eovek se sporazumeva sa ostalim ljudima sluZeii se odredenimjezikom. On ume da saopitava svoja zapaLanja ida shvata ono 5to mu sesaopStava.

2. eovek je u stanju da jednom stedena znanja saduva i prenese nanove generacije.

3. eovek shvata uzrodno - posledidne veze i u stanju je da na osnovustedenih znanja objasni i predvidi odredene dogadaje.

4. eovek ima svest o sebi, o prirodi i druitvu u kojem Zivi.

5. Radom dovek stvara sebi pomoina sredstva koja ga zatim zamenjujukako u fizidkim, tako i u intelektualnim poslovima.

6. Znanja stedena u toku vekova dovek je sistematizovao i klasifikovaou obliku nauka za koje su se pojedinci specijalizovali i svoje znanje stavljajujedni drugima na raspolaganje.

1.2. Itlatematika kao nauka

Nauke se najdeiie dele na:

+

+

- druilsociologija itd.)

Neke naukrlogika, psiholog

Matematikzne bavi nijednohovanim od me

Ranije shvirealnog sveta imnoge matemepredmet. Medulda nadu svoje;jer je proiao skr

Matematikanaukama potrelu materijalnomzaldjudci o nuZrmogu logidkiizrshvaieni odnodonoienje nizaje jedna od kare

Mnogi naunaveSiemo nelshvatiti):

- "Matematdeduktivno istrinumeridkih odr

- "Matematdemu govorimcArthur William l

.- - "MatemalClnter Crassmi

- "MatemalVerulam Bacor

Matematikputem matemi

- prirodne, koje segeografija itd.),

bave prirodom (fizika, hemija, biologija,

8

+

- druitvene, koje izudavaju druitvene pojave (ezik, istorija, pravo,sociologija itd.).

Neke nauke se bave miSljenjem kao posebnim fenomenom (filozofija,logika, psihologija itd.).

Matematika zauzima posebno mesto u sistemu nauka po tome 5to sene bavi nijednom konkretnom materijom vei odnosima po sebi. apstra-hovanim od materijalne podloge - da bi se ovoj vratila u fazi primene.

Ranije shvatanje da je matematika nauka o prostornim oblicimarealnog sveta i njihovim koliiinskim odnosima nepotpuno je , jer postojemnoge matematidke discipline koje apstrakcijom prevazilaze tako definisanpredmet. Medutim, i najapstraktnije matematidke teorije vremenom moguda nadu svoje primene u praksi (sluiaj Bulove algebre to verno ilustruje.jer je proiao skoro ceo vek dok nije na5la primenu u elektronici).

Matematika je nauka dija primena u drugim naukama daie rrvimnaukama potrebnu sigurnost. One karakteristike odnosa medu pojavanrau materijalnom svetu koje ne zavise od konkretne prirode pojava i onizakljucci o nuZnim posledicama koji se, pri takvom gledanju na odnose,mogu logidki izvuii, dine u osnovi predmet izuiavanja u matematici.

-f,rl<o

shvaieni odnosi, zapisani posebnom simbolikom cine podlogtr zadono5enje niza zakljudaka putem dedukcije i operacija sa simbolima. itoje jedna od karakteristika same matematike.

Mnogi naudnici su poku5ali da definiiu matematiku kao nauku:naveicemo neke od t ih def inic i ia, odnosno odrednica (val ia ih kr i t i tk ishvatiti):

- "Matematika - u strogom smislu redi - jeste apstraktna nauka kojadeduktivno istraZuje zakljudke dobijene iz osnovnih pojmova prostornih inumeridkih odnosa" (Mjuraj - H. A. Murray).

- "Matematika se moZe defisati kao nauka u kojoj nikad ne znalno odemu govorimo, niti da lije to 5to govorimo tadno" (Bertran Rasel - BertrandArthur William Russel).

. . - "Matematika je nauka o vezi izmedu vel i i ina" (Grasman - HermannGInter Crassmann).

- "Matematika predstavlja kapiju i kljud nauka" (Bekon - Francis lordVerulam Bacon).

Matematika je nastala pr ireiavanju konkretnih problema realnog svetaputem matematidkog modelovanja. Medutim, ovi konkretni sadr2aii nisr.r

zadovoljili doveka. Cilj je fio da se matematika izloZi ito preciznije iegzaktnije, sa minimumom intuicije. Tako je do5lo do matematiSkih teoiiia"

Matematidku teoriju dine:

- osnovni pojmovi teorije,

- izvedeni pojmovi teorije,

- osnovni stavoviteorije - aksiomi i

- izvedeni stavovi teorije - teoreme.

Od osnovnih do izvedenih pojmova dolazi se postupkom definisanja,a do izvedenih stavov€ dolazimo postupkom dokazivanja. Ako

"je

raspoznavanje pojmova (termina) u nekoj teorijimogudno samo oslanjan-iem ng njihov sadriaj (semantika), teorija je sadrZajna. Ako postoji sisiemformalnih pravila za raspoznavanje pojmova (termina) i stavova (sintaksa),teorija je formalna.

Nekim formalnim teorijama (formalno-interpretativne) moguce jepridruZiti razlidite sadrzaje - razne interpretacije, za razliku od disto formil-nih, koje nemaju nikakvu interpretaciju.

U zasnivanju neke matematidke teorije moZemo razlikovati dva stadi-juma:

- stadijum otkrivanja raznih matematidkih modela - matematizacijastvarnosti i

- stadijum sredivanja i struktuiranja nagomilanog materijala.

Problem zasnivanja matematike u celinije izuzetno sloZen, pre svegazbog pitanja egzistencije idealizovanih matematidkih obje kata.

Postoje razni pravci u zasnivanju matematike kao nauke:

- skupovno zasnivanje,

- logidko zasnivanje,

- konstruktivistidko zasnivanje itd.

Sdmo modeliranje je zanemareno u savremenoj matematici, a unutarmnogih oblasti ljudske delatnosti ovaj proces se ne razvija na zado-voljavajuii nadin. Savremena matematika desto - disto formalistidki dolazido novih matematidkih teorija, ali ne nalazi odgovarajuiu vezu sastvarnoSiu. Tako su druitvene potrebe dovele do pojavejedne nove nauke,do razvoja kibernetike.

Kibernetoslanja se nai modele, i tc

- formitmatematidkil

- konstrt

Danas :problema je:za proucavanaukama. AmiSljenja.

Kibernelkatastrofa it<sa ostalim toblastima ljt

1.3- Is1

Podev oTiora. EufraMitematidksaduvanih ttje velikibrojDaplrusa - Ibabirus Rhikoji su bili imatematlK(1000. godimatematikrnevne Prakdama re3at

Razvojstarom velcentar raz\vrednost ksisteme je(U izradunatosti geol

1 0

Kibernetika kao nauka o upravljanju sloZenim dinamidkim sistemimaoslanja se na matematidke modele, alije razradila isvoje sopstvene metodeimodele, i to u dva pravca:

- formiranje logidkih, simbolidkih, grafidkih, konaino i novihmatematidkih modela i

- konstruisanje realno funkcioni5uiih materijalnih agregata (radunara).

Danas se stvaraju matematidki modeli podesni za prouiavanjeproblema jezika - matematidka lingvistika i univerzalna gramatika, zatimza proudavanje problema u psihologiji, sociologiji i drugim druitvenimnaukama. Aktuelna je i algoritmizacija stvaraladkih procesa i procesamiSljenja.

Kibernetika sa informatikom, teoyijom igara, heuristikom, teorijomkatastrofa itd. doprineli su joi veiem povezivanju matematike kao naukesa ostalim naukama, kao i njenoj intenzivnijoj primeni u skoro svimoblastima ljudske delatnosti.

l.3.Istoriiski razvoj matematitkih ideja, metoda i modela

Podev od petog milenijuma pre naie ere, na obalama Nila, Hoanghoa.Tigra, Eufrata, Inda iGanga, pojavila su se prva saznanja iz mnogih oblasti.Matematidka znanja ovih civilizacija moguie je upoznati iz brojnihsaduvanih tekstova. Iz starog Vavilona (oko 2000. godine pre n. e.) saduvanje veliki broj glinenih tablica matematidkog sadrZaja, a iz starog Egipta dvapapirusa - Moskovski papirus (oko.lB50. godine pre n. e.) ineito mladipapirus Rhind (oko 1650. godine pre n. e.). Kineski matematidki tekstovi,koji su bili dak i neito stariji, propali su, ali kasnije sintez_e klasidne kineskematematike, npr. "Matematidka pravila u devet knjiga " Cang-Tsanga (oko1000. godine pre n.e.), omoguiuju nam upoznavanje i najstarije kineskematematike. Tako su ostala zabeleZena reSenja niza problema iz svakod-nevne prakse, neka saznanja o razlomcima, o tadnim i pribliZnim meto-dama reiavanja geometrijskih i drugih problema.

Razvoj trgovine je omoguiio i odredenu cirkulaciju informaciia ristarom veku. Vavilon je bio raskriie tih puteva, zato je postao i znacajnicentar razvoja prirodnih nauka i matematike. Vavilonci poznaju pozicionuvrednost kod pisanja brojeva, proporcije, linearne i kvadratne jednacine.sisteme jednadina, nulu, arapske cifre, pominje se i lenjir, Sestar iuglomer.U izraiunavanjima povriina izapremina tela primenjuju se mnoge zakoni-tosti geometrije. Ove tvorevine nisu bile pojmovno shvaiene, niti

1 1

eksplicitno izudavane. Svi su ti pojmovi bili samo implicite sadrZani umehanidkim primenama na praktidne probleme.

Od niza dinjenica koje su preuzeli, pre svega od Egipiana iVavilonaca,antidki Crci stvorili su matematiku kao nauku. Do tog kvalitetnog skokaTale"q, Euklid, Pitagorejci, Arhimed i drugi doili su traZenjem rAzloga imeduzavisnosti u nagomilanim dinjenicama.

Pored teorijskih razmatranja u matematici, postojao je i obidan radunkojim su se koristil iu praksiion se nazivao logistikom. lako je logistika bilaizvan podrudja interesovanja grdkih naudnika, Arhimed (oko 287-212.godine pre n. e.), uprkos toj distinkciji, primenjivao ju je u fizici. Time jedao znadajan doprinos matematizaciji fizike i drugih nauka.

Rimska imperija, nakon desetog veka pre n.e., donela je stagnacijumnogim naukama, pa i matematici. Rimljani su inade veoma cenilimatematiku, ali iskljudivo zbog njene praktidne vrednosti.

Nakon raspada rimske imperije (5. vek n.e.), matematika u Evropijejo5 viSe stagnirala. Slabo razvijeni feudalni druitveno-ekonomski odnosinisu zahtevali posebne metode itehnike, tako da je igrdka matematika bilasuviSna.

U Indiji, Kini, zatim kod Arapa, pod uticajem Grka, matematika se idalje razvijala. Al-Kvarismi (9. vek n.e.) dao je poseban pedat razvojuaritmetike i algebre. Kasnije, uticaj arapske matematike na Evropu jedolazio uglavnom preko Spanije.

Formiranjem pMh fakulteta (Bolonja Xl vek, Pariz XIII vek itd.) ipojavom bogatih trgovadkih centara (Venecija, Denova, Dubrovnik itd.) iindustrije, poraslo je interesovanje za prirodne i druge nauke pa i matema-tiku.

Pronalazak itampanja knjiga doneo je nove, do tada nesluienemoguinosti Sirenja svim naukama.

U oblasti algebre F. Viet (Francois Viete, 1540-1603) , pored ostalogizradio je osnovnu simboliku, R. Dekart (Ren6 Descartes, 1596-1650)dajeosnove savremene matematike, da bi E. Galoa (Evariste Galois, 1811-1832) fundirao teoriju apstraktnih algebarskih struktura. Razvoj savremenealgebre danas se kreie u pravcu teorije automata, univerzalne algebre iteorija modela.

Veliki sli kari XV veka daju svoj doprinos u obl asti za konitosti perspektivei geometrijskih transformacija, B. Kavalieri (1598-1647) fundira integralniradun, Dekart objavljuje osnove analitidke geometrije, a L. Ojler (LeonhardEuler, 1 746-1818) daje znadajan doprinos primeni geometrije u tehnidkim

oblastimhard RieHilbert,razuijaju

InfinNemadkrV. Lajbnruskih, erstva. Mec1789-1BIK. Vajer:Dedekinc

Kaoskupova,

Matelmenu miMorgan,jednu odpraktidnin

Javljaverovatnolizudavanja(Luca Paclzatim B. F1654-170!

Poredjom p.rogreclnect novpunom raz

1.4 . I

Matemte sadrZaji Isa odgovar,na osnovusadriajima,termini u ni

i 2

oblastima. Pojavili su se i neeuklidske geometrije, radovi B. Rimana (Bern-hard RiemannlB25-1866) u oblasti topologije, zatim D. Hilberta (DavidHilbert, 1862-1943) o aksiomatskoj izgradnji geometrije itd. Posebno serazuijaju oblasti topologije i teorije g rafova.

Infinitezimalni radun se pojavio skoro istovremeno i u Engleskoj i uNemadkoj. Njegovi osnivaci su bili l. Njutn (lsaac NeMon, 1643-1727) i G.V. Lajbnic (G. W Leibnitz, 1646-1716). Crupa francuskih, nemadkih.ruskih, engleskih idrugih matematidara razvili su ovu disciplinu do savrien-stva. Medu njima su se posebno istakli: A. L. Koii (Augustin Luis Cauchy,1789-i857), P. G. L. Dir iSle (Peter Custav Lejeune Dir ichlet, 1805-1850),K. Vajeritras (Karl Weierstrass, 1Bl5-i897), R. Dedekind (RichardDedek ind , 1831-1916) iG. Kantor (Georg Cantor , 1845-1918) .

Kao rezultat apstrakcija na viSem nivou u XIX vel<u se javlja teorijaskupova, najpre kod Dedekinda, zatim kod Kantora.

Matematidkoj logici je K. G. Bul (K. G. Boole, 1815-1864) dao savle-menu matematidku interpretaciju, da bi A. De Morgan (Augustus DeMorgan, 1806-1871) i drugi usavr5ili ovu oblast, koja danas predstavljajednu od osnovnih matematidkih disciplina sa 5irokim teorijskim ipraktidnim dimenzijama.

Javljale su se i druge znadajne oblasti matematike, kao 5to su racunverovatnoie i matematidke statistike , i to iz praktidnih razloga, kao modeliizudavanja stohastidkih procesa. Tvorci raduna verovatnoie su: L. Paioli(Luca Paciol i , 1445-1514), D. Kardano (Geronimo Cardano,150l- 1576),zatim B. Paskal (Blaise Pascal, 1623-1662), J. Bernuli (Jacob Bernoulli,1654-1705), A. N. Kolmogorov (1902).

Pored tzv. tistih matematidkih disciplina, javlja se kibernetika sa teori-jom programiranja, sistema, informacija, sa operacionim istraZivanjima itd.dineii nove matematidke, odnosno interdisciplinarne grane, koje su upunom razvoju.

1.4. Nastava matematike, njen znataj i razvoj

Matematika, pre svega u osnovnoj 5koli, jeste opiteobrazovni predmet.te sadrZaji nastave matematike na tom nivou obrazovanja se ne poklapajusa odgovarajuiim sadrZajima matematike kao nauke. Nastava matematikena osnovu odredenih druStvenih ciljeva i zadataka dini poseban sistem posadrZajima, pristupu, metodama, kao i po terminologiji (obidno pojmovi iterminiu nastavisu uZinego u nauci) . Time se nemincvno javl ja odredeni

!

jaz izmedu matematike kao nauke i matematike kao nastavnoq predmeta."Bez obzira na ovo, nastava matematike ne moZe da sadrZi*nista 5to blkasnije trebalo negirati, niti moZe sadrZati samo "jednostavne stvari".Suptilnije sadrZaje matematike nastava treba da udini razumljivim, pri-hvatljMm i primenljivim.

Krajem VII i potetkom VI veka pre n.e. podela je znadajna epoha uZivotu dovedanstva, epoha javnih 5kola. Osnivadi prvih privatnih Skola subili Tales iz Mileta (640-548 p.n.e.), Pitagora (569-500 p.n.e.) i dr. Matema-tika, geografija iastronomija imale su posebno mesto u programima tih5kola.

Rimljani su matematiku istisnuli iz svojih, ve6 driavnih 5kola, dajuiiprimat literaturi, retorici, pravu i sl.

U ranom srednjem veku u Evropi suitinu vaspitanja i obrazovanja jedinila hriSianska religija. Aritmetika i astronomija bile su samo utolikopotrebne ukoliko su sluZili za izradunavanje datuma crkvenih praznika, ageometrija je bila krajnje degradirana.

Podetak Xlll veka je epoha Preporoda, Medutim, pod uticajem Aris-totelovih dela i pritiskom crkve, matematika je bila nepoZeljna nauka usrednjem veku, alije radunanje bilo prisutno u svakoj 5koli.

Ekspanzija prirodnih i tehnidkilr nauka i nagli razvoj matematike unovom veku uticali su i na snaZan razvoj nastave matematike.

U intenziviranje nastave matematike se krenulo tek krajem XVlll,odnosno podetkom XIX veka. Onapredivanju te nastave dao je posebandoprinos Pestaloci (1746-1827 ), osnivad narodne Skole ipionir sistematskenastave matematike. Naglaiavao je njezinu formu i vaspitnu funkciju, aline negirajuditime ni njene praktidne aspekte.

Sredinom XIX veka Distereg postavlja temelje savremene nastavematematike, zasnivajuii je na skladu izmedu vaspitne. obrazovne ipraktidne dimenzije nastave.

Krajem XIX veka ponovo u prvi plan izbija spekulativni pristup nastavimatematike. To podrazumeva dominaciju formalnih ciljeva i zadatakanastave, jasnodu, logidnost i sl.

Podetkom XX vel<a, kao reakcija na spekulativnu nastavu, javlja selaboratorijska nastava, odnosno politehnidka nastava, sa prakcitistidkimnaglaskom nastave matematike.

U ccizmu.formaliz

Kraklasidni'Osnovn,

- skr

- P o

- nal

- uvi

- pot

_ rav

N u pmatematobrazova

U a kdominiraizostali sise delimirpomoiu

Zna(.obrazovn

Izuzerada ipo:alnih spcpredmete

r .5.

Metoobrazoval

-izbociljevimanovnoj, st

1 4

'leta.

lo biuari".

Pri-

rha urla su.ema-ra tih

dajuii

rnja jertolikorika, a

n Aris-ruka u

atike u

r XVlll,:seban:natskeciju, ali

lastaverovne i

nastavildataka

avlja seistiikim

U drugoj polovini XX veka vlada dijametralno suprotan pravac prakti-cizmu. To je takozvana "moderna matematika", koja u prvi plan stavljaformalizam, apstraktnost i logidnost.

Krajem XX veka u programe podetne nastave matematike vraiaju se iklasidni pristupi, a istovremeno dine se napori ka njenoj informatizacijiOsnovne karakteristike aktuelne podetne nastave matematike su:

- skupovno - aritmetidki pristup nastavi,

- postupno uvodenje spiralno rasporedenih sadrZaja,

- naglaiena vaspitna dimenzija nastave matematike,

- uvaZavanje savremenog politehnidkog principa u nastavi,

- postupno uvodenje matematidko - logidkog jezika i simbola,

- ravnoteZa izmedu matematizacije i tehnike racunanja.

Na pragu informatidkog dru5tva, odekuje se i informatizac4a nastavematematike, jer svaka civilizacijska epoha determiniSe osnovna obeleZjaobrazovanja mladih generacija.

U aktuelnim programima nastave matematike u opitem obrazovanjrrdominiraju klasidni sadrZaji, bez pojmova i modela stohastidkih dogada;a.izostalisu iinformatidki sadrZaji, a kibernetidki, odnosno modelski pristupse delimiino uvaZava, vrieii izvesno operatorno struktuiranje realnog svetapomoiu matematidkih modela.

Znadaj nastave matematike u svakom drudtvu definisan je rr.;enrmobrazovnim i vaspitnim ciljevima i zadacima.

Izuzetno Siroka primena matematike u mnogim oblastima ljudskograda i posebna uloga nastave matematike u razvijanju pre svega intelektur-alnih sposobnosti udenika, dine je jednim od najznadajnijih nastavnihpredmeta u opitem obrazovanju ivaspitanju.

1.5. Metodika nastave matematike

Metodika nastave matematike, odnosno didaktika matematidkoqobrazovanja (pedagogija nastave matematike) bavi se:

- izborom matematidkih sadrZaja za odredeni uzrast udenika, i to premaciljevima i zadacima nastave matematike u odredenoj vrsti Skola. (os-novnoj, srednjoj strudnoj ikoli, gimnaziji itd.),

i 5

- odreduje pristup odabranim sadrZajima,

- psiholoSko-pedagoSkim i logidkim osnovama nastave matematike,

- razraduje metode, oblike i sredstva nastavnog rada,

- konkretizuje tipove dasova, njihovu organizaciju i strukturu u nastavimatematike, razraduje modele upravljanja nastavom,

- definiSe optimalni modelplaniranja nastave i daje konkretna uputstvaza realizaciju odabranih sadrZaja,

- vrii klasifikaciju nivoa znanja, vedtina i navika, odreduje metode ioblike proveravanja ivrednovanja rada i rezultata rada udenika,

- bavi se i problemima slabijih, a takode i darovitih udenika u oblastimatematike,

- takode vodi raduna o odnosima izmedu matematike i nastavematematike, kao io naudnim i istorijskim korenima nastave matematike.

Red metodika potide od grdke re(i methodica iznadi nauka o nacinu.Metodika nastave matematike je teorija nastave matematike sa praktidnimimplikacijama za realizaciju odredenih nastavnih sadrZaja ivaspitnih efekatau skladu s ciljevima i zadacima nastave u konkretnoj situaciji.

Predmet izudavanja metodike nastave matematike je nastava matema-tike uopite i posebno na odgovarajuiim nivoima obrazovanja (podetnoobrazovanje, osnovno, srednje obrazovanje itd.) i vrstama obrazovanja(specijalno, redovno obrazovanje, obrazovanje odraslih itd).

Cilj i zadaci metodike nastave matematike jesu izudavanje zakonitostisvesnog prenosa matematidke kulture na udenike, odnosno polaznike. Naosnovu njih metodika definiSe odredene principe, pravila, metode, oblike isredstva za nastavnu praksu, da bi ona bila 5to efikasnija i naudno ute-meljena.

Metodika nastave matematike, kao interdisciplinarna oblast, nalazi seu preseku matematidkih i pedagoSkih nauka, alipored ovih nauka povezanaje i sa psihologijom, filozofijom, logikom imnogim drugim naukama.

Metode metodike nastave matematike kao nauke predstavljaju kom-binacije metoda pedago5kih i matematidkih nauka:

- sistematsko posmatranje,

- eksperiment,

- proudavanje Skolske i pedagoike dokumentacije,

- rai

_ m (

- an,

- inc

- ap:

_ m e

Skotproblemisistema <

Mnornisu nipcte nastavlnastave rjima, tak<

Daklrpredmetc

Meto

- opitpitanja ne

- PoSrformacijo

- didkonkretnitudenika).

Ovaj r

1 6

natike,

r nastavi

Jputstva

netode i

u oblasti

nastavesmatike.

> nacinu.'aktidnim

h efekata

'natema-(pocetnoazovanja

konitosti:nike. Nar, oblike iino ute-

nalazi serovezanarma.

rju kom-

- razgovor r rnrervju,

- modelovanje,

- analiza - sinteza,

- indukcija - dedukcija,

- apstrakcija i konkretizacija,

- metoda izudavanja istorijsko - teorijsl<ih radova iid.

Skolska praksa pokazuje da u vezisa nastavom matematike ima dostaprobfema, podev od izbora sadrZaja, preko metoda i oblika rada, pa sve dosistema ocenjivanja.

Mnogi problemi nastave matematike nisu adekvatno reieni, a nekijoinisu ni postavljeni. S obzirom na izuzetne vaspitne i obrazovne moguinostite nastave, s jedne inedovoljne njene efikasnosti, s druge strane, metodicinastave matematike zaista treba posvetiti duZnu paLnju, kako u istraZivan-jima, tako i u edukaciji iusavriavanju nastavnika.

Dakle metodika nastave matematike je nauka sa jasno odredenimpredmetom, zadacima i metodama istraZivanja.

Metodiku nastave matematike delimo na:

- opitu metodiku nastave matematike (izudava teorijske osnove i opitapitanja nastave matematike),

- posebne metodike nastave matematike (bave se metodidkom trans-formacijom matematike na odredenom nivou i profilu obrazovanja) i

- didaktidko-metodidka uputstva za nastavu matematike (bave sekonkretnim uputstvima za realizaciju pojedinih tema na odredenom uzrastuudenika).

Ovaj udZbenik je posveien opitoj metodici nastave matematike.

"Vl d41ete uienlku grotouu nauku. Ja bih ntu

ndye dao stedstua kojma se nauka stL,a/a"

Z. Z. Ruso ( J . J . Rousseau)

2. PSIHOLOSKO - PEDAGOSKE I LOGICKE OSNOVENITSTAVE II'I1ITEIUII{TT KE

2.1. Polazne osnove

Aksiomi i postulati metodike nastave matematike

Metodika nastave matematike, kao, nauka polazi od nekih osnovnihstavova, aksioma, postulata izasniva se na nekim osnovnim koncepcijama

Prema Stanku Prvanovi6u, naiem istaknutom pedagogu nastavematematike, aksiomi metodike nastave matematike su:

1.Inteligencija se ne donosi rodenjem. Uroden je njen razvojni put.

2. Ne postoji dar za rad u nastavi matematike. Postoje samo jaie ilislabije obrazovne matematidke dispozicije.

3. U svakom malom detetu (izuzev mentalno teiko pogodenog) pos-toji:

- spontana i vrlo jaka teZnja za razumevanjem svega 5to ga okruZuje.

- spontana ivrlo jaka teZnja za stvaranjem, za stvaraladkim radom.

Postulati metodike nastave matematike su:

1. Voditi udenika kroz kontinuiran niz adekvatnih aktivnosti. ti. onihaktivnosti koje ne skreiu udenika sa razvojnog puta njegove inteligencije.

2. Dopustiti udeniku (slobodu) da sam izgraduje pojmove, da samotkriva tinjenice i pravila, da uopite sam reiava svaki problem. dakle dastvaraladki radi.

1 9

3. Matematidko obrazovanje je duZno da ubrzava, da intenziviraudenikov mentalni razvoj, da maksimalno skraiuje i proiiruje spontanirazvojni put njegove inteligencije.

Osnovne koncepcije nastave matematike

Prema D. Polji (G. Polya), velikom metodidaru, udenje i nastavamatematike zasnivaju se na sledeiim osnovnim koncepcijama:

- aktivnog udenja,

- motivacije i

- uzastopnih faza.

Svako efikasno udenje podrazumeva aktiviranje misaonih operacijaudenika. Nastavnik pre svega treba da upravlja, da vodi nastavni proces.Aktivnost udenika se ne podrazumeva, vei je neophodna odgovarajucamotivacija . Najbolji motiv je interesantno gradivo, intenzivna misaonaaktivnost, zanimljiva prezentacija gradiva i adekvatna nagrada za uloZenitrud.

Zanimljiva i poudna je Poljina paralela izmedu nastave matematike itrgovine. Nastavnik "prodaje nauku" . ucenik je manje iliviSe zainteresovani"kupac" . Ako je prodavac u sukobu sa kupcima, ipotencijalni kupci n-loguodustati od trgovine. Medu najznadajnijim zadacima prodavca je da zain-teresuje kupce za svoju robu. Dobri prodavci postoje zbog svojih kupaca,uvaZavaju ih i po njima, kupac je uvek u pravu.

MoZda nai udenik nije ni glup, ni lenj, samo ga matematika jed-nostavno ne zanima, ne zna 5ta ie mu. Zainteresujmo ga naiinom obradegradiva, primenljivosti sadrZaja, njegovim udeiiem u svim fazama nasrave,ceneii njegovu lidnost, postavljajuii ga u centar nastavnog procesa.

Saznanja u pocetnoj nastavi matematike obidno zapodinju ZivimopaZanjem, da bi preko procesa apstrahovanja doilo da apstraktih po-jmova, do teorija i konadno do prakse.

Dakle, podetna nastava matematike treba da primeni sledeii tok:- manipulacije stvarima,

- Zivo opaZanje,

- APS

- forr

- forr

- prin

Odigl

1. Ot

2. Fo

3. Asije osnova

2.2. t

RazvoPjaZeu (Jedeteta:

1 . N ivosnow m,prvih, nerintuitivne ii logidkih rpovezuje i

2. Nirproblemslpa dete nltraZi uzrok

3. NivZivota). Radeteta. Napsiholoikiizgubljenoprobije okaktivnosti

20

jela :

r intenzivira-rje spontani

i nastava

nih operacijatavni proces.rdgovarajucavna misaonada za ulo2eni

matematike iainteresovaniikupci moguca je da zain-vojih kupaca,

lematika jed-!inom obrade,ama nastave,)rocesa.

rocinju Zivimrpstraktih po-

:dei i tok:

- apstraktno miSljenje,

- formiranje pojmova, matematidkih modela,

- formalne operacije i

- primena matematike.

Odigledno se izdvajaju faze:

1 . Otkrivanja (heuristika),

2. Formaliza cije (apstrakcija, pojmovi, formaln e opera cije),

3. Asimilacije (ugradnja novih saznanja u postojeii sistern znanja, kojaje osnova za primenu i sticanje novih znanja).

2.2. PsiholoSko - pedagoike osnove

Razvoj miSljenja deteta je postepen i prolazi kroz razne faze. Prema Z.PjaZeu (Jean Piaget) postoje tri osnovna nivoa u intelektualnom razvojudeteta:

1. Nivo oseta, (kinestetidki nivo), preoperatorna faza,kada dete udi naosnow manipulacija stvarima (do 6. godine Zivota). To je period formiranjapMh, nedovoljno samostalnih predstava i pojmova. Dete u ovoj faziintuitivne inteligencije nije u stanju da vrSi grupisanje mentalnih operacijai logidkih relacija. Svoje zakljudke slaZe jedan pored drugog, umesto da ihpovezuje i sjedinjuje u jednu logicku celinu.

2. Nivo konkretnih operacija (od 7. do i 1. godine Zivota). Pojmovi iproblemsko miSljenje su jo5 uvekvezaniza konkretne aktivnosti ipredmete,pa dete nije u stanju da vrii misaone operacije sa apstrakcijama, ali veitraZi uzroke, postavlja mnoga pitanja itime sebe motiviSe za dalji razvoj.

3. Nivo formalnih operacija (intenzivno se razvija od 1i. do 74. godineZivota). Razvoj mi5ljenja u ovom periodu teZi ka ravnoteZi u psihidkom stanjudeteta. Na razne uticaje (posebno nepovoljne) spoljnjeg sveta, koji remetepsiholoSki mir deteta, aktivira se razum, da bi pronaiao kompenzaciju zaizgubljeno i vratio psiholoiku ravnoteZu deteta. MiSljenje je u stanju daprobije okvire prostora ivremena, postaje nezavisno od objekta i konkretnihaktivnosti deteta i u moguinostije da prelazi granice realnosti. Od ovog

21

perioda dete je sposobno da operiSe apstrakcijama, pojmovima i sim-bolima.

Kako se to manifestuje u podetnoj nastavi matematike?

Poredamo npr. viSe oraha i kestenova u dva reda, tako da je naspramsvakog kestena orah i naspram svakog oraha kesten. Na naSe pitanje. dali ima oraha koliko i kestenova i dete od 5-6 godina i dete od B-9 godina,kao i dete od 12-13 godina odgovaraie potvrdno.

Ako zgusnemo orahe, dete na prvom nivou intelektualnog razvojatvrdiie da sad ima viSe kestenova. Deca na drugom i tre6em nivou razvoja6e odgovoriti da i sada ima isto toliko kestenova koliko i oraha.

Prema tome, kada je fizidka povezanost odnosno obostrana je-dnoznadna korespondencija poreme6ena, za decu na prvom nivou intelek-tualnog razvoja je bijekcija prestala, misaono nije ni postojala. Dok u trecojfazi razvitka bijekcija se moZe definisati i bez polazne oiiglednosti.

Mnogi drugi savremeni psiholozi (V. V. Davidov, D. B. Elkonjin, Z.Semadeni, I. S. Bruner, F. L6nard) smatraju da se sposobnost apstra-hovanja i operacije sa apstrakcijama javlja kod deteta iranije, u 7-8. godiniiivota. Dete, na primer, moZe da veZe kamen o uZe i da ga nazove psom,slidno, nacrtane tadke mogu mu predstavljati lutke itd.

Psiholoiki aspekti sticanja znanja su klasidni problemi psihologije.medutim problemi primene znanja su znatno suptilniji i manje istraZeni.

L. D. Kudrjavdev, osnovne psiholoike probleme u nastavi, na relacijiapstraktno-konkretno, vidi u slededem:

- prilikom usvajanja znanja u svestiudenika stvaraju se zatvoreni sistemiasocijacija,

- udenici se suviSe vezuju za primenjena uska odigledna sredstva,

- udenici ne razlikuju bitne i nebitne karakteristike pojmova i zbog togau praksi ne znaju apstrahovati nebitne karakteristike pojava, da bi prin-re-njivali odgovarajuie matematidke modele.

Dakle teorijska znanja udenika se nedovoljno aktualiziraju u svestiudenika, pre svega, zbog niskog nivoa misaonih operacija u procesusticanja znanja, ali i zbog uske odiglednosti, pa i neadekvatnog Zivotnogiskustva itd. Uodavanje teorijskih relacija u konkretnim situacijama ideputevima saznanja date teorije. Ti putevi treba da budu dvosmerni iprohodniza udenike. Ako to nisu, znanja ie ostati na nivou konkretnog, il i6e "lebdeti" na nivou apstraktnog.

PnnareIstrdir

unsp(rijsaplprilodr

akt

serkor

znerepmi:akt

sarre5

uctnafak

prcjstv

prvtzut

Ove poteikode na granicama apstraktnog i konl.:retnog javljaju seprirodno, jer dok se uvodenje novih pojmova, principa, zakonitosti zasnivana "apstrakcijama prvog reda", isticanje vei savladanih apstrakcila u korik-retnim problemima. u okviru riastave. zahteva specificnu apslrakcijrr. ap-strakciju drugog reda". Sto je zadatak konkretniji, javlja se sa viie sporednihdimenzija, teLi je za apstrahovanje.

Veiina udenika, usled loiih navika i niskog nivoa analitidnosti u radu,umesto da traZi poznate principe, zakonitosti i sl., donosi odltrke na osnovuspoljnih, "Skolskih" formi - samcak'rualizacija, rnehanidka aktualizacija teo,rijskih znanja. Ponekad se udenici orijentiiu prema stvarinra, koje bi tiebaloapstrahovati. Ne povezuju teorijsko znanje i praksu, vec biigledr-rostprilikom sticanja znanja sa ociglerlnosti praktidnog problema Time seodnos teorije i prakse javlja sarno na nivou konkretnog.

Cilj je da se u problemirna pral<se c;tkriju teorijske relacije i da seaktualizacijom ovih znanja reiavaju praktidni problerni.

Prelaz sa konkretnog na ap;trai<tno i obrnuto, znatno olakiavajr,r razne5eme, koje dine izvesne nlcsic;ve izmedu njih. Sema je u c<inosu nakonkretnu situaciju apstraktna, a u odnosu na teorijska saznanja konkretna.

Po stepenu uoiavat-ija releriantnih faktora i nivoa aktualizacije teorijsi<if rsaznanja. razl ikuju se sledeci nivoi shvatanja problema:

- Nultl niuo - delimidno shvatanje problema na osnovu reprrodul<tivnihznanja. Udenik ne uzima u obzir konkretne uslove zadatka, vec iednostar,rpcrreprodukuje znanja na nivou oiigledrrosti udzbenika ili nastave. Akrivnemisaone operacije se ostvaruju na niskom rrivoLr, a teorijska znanla se neaktualiziraju i realizuju tol<om reSavar,ja problema.

- Prui ntuo - konkre'Lno, operativno shvatanje prcblema. U odsustvL,samostalnog miSljenja, umesto inteiektLralne orijentacije, problem se,reiava u oblasti praktidnih operacija.

- Drugi ni tn - del imicno teoretsko shvalanje probierna Na ovom rr i ' . , t , r rudenik delimidno aktualizira odredena teoretska znanja i problem fesa\.ina nivou apstrakcije, ali ne vodi dovoljno racuna o svirn relevantnillfaktorima problema i o njihovom nredudejstvu.

- Treil niuo - potpuno shvatanje problerna. Ucenik na osnovu arraliz.eproblema uzima u obzir sve relevantne faktore i njihova dejstva i rr,edudejstva ito na nivou teorijskih saznanja.

Ispitivanja pokaz-uju da je u podetrroj nastavi, najceice prisutarr rrulti iprvi nivo shvatanja problema, kasni je, al i dosta retko drrrgi , a sarno r iizuzetnim sludajevima i treii nivo.

23

2.3. Logiike osnove - misaoni postupci

Za razumevanje i reiavanje problema u matematici neophodno je dauienik, osim udenja sadrZaja matematike, ovlada osnovnim logidkimzakonima i formama miSljenja. Sa navedenim uslovima moZe se odgovoritina pitanja: da li se neito moZe i kako 6e se primeniti?

Medutim, ostaju otvorena suitinska pitanja, 5ta ikako odabratii kojimredom primenjivati da bi se doilo do reienja problema. NaZalost, ne postojeprecizni odgovori na ova pitanja, odnosno ne postoje obrasci ili preciznauputstva, dijom bismo primenom jednostavno isigurno postigliuspeh. Toznadi da moramo vrSiti odredena istraZivanja i proveravanja da bismopronaSli pravi put ka reienju. U takvoj situaciji se sluZimo, pre svega,misaonim postupcima i metodama koje nas usmeravaju ir istraZivanju iomoguiuju da brZe pronademo put do reSenja.

Precizno matematidko definisanje i klasifikacija misaonih postupakanisu mogu6i, te iemo se ovde sa njima upoznati tako 5to iemo najpreukratko opisati njihove osnovne karakteristike, a zatim ih podrobnije opisatii ilustrovati primerima.

- Analiza - raidlanjavanje objekta istraZivanja na sastavne odredbe.

- Sinteza - objedinjavanje relevantnih odredaba u novu celinu.

- Apstrakcija - izdvajanje bitnih karakteristika konkretnih pojava istvaranje novog idealizovanog sistema.

- Konkretizacija - primena idealizovanog sistema na konkretne pojave.

- Uporedivanje ili komparacija - otkrivanje slidnosti i razlike izmedupojava.

- Analogija - slidnost sadrZaja i metoda koje omoguiavaju transfersaznanja.

- Ceneralizacija ili uopitavanje - misaona operacija kojom se izvesneodredbe pripisuju svim objektima nekog skupa.

- Specijalizacija - primena zajednidkih odredbi elemenata skupa nanjegov pravi podskup.

- Intuicija - saznanje do koga se nije doSlo putem iskustva, ili razmi5ljan-jem, vei nasluiivanjem.

Anak

Analolutvrdivanjrr&auan1iz tjstva nadvijstva totalnrazlikuju nuspe5nu pranalogija si

U pro<pokuiati dtuspeh u prije da znamvrednosti,znadaj. U ranalitidka gprimenomfaktor. Ipal.analogijon

Primerbikvadratn

Prime,

Postu;i njegovonizdvajamo

*2+

Za ovi

1 )Ob

2) opu*4 -

PoslenegativnaistraZivanj

J

z+

ie daIkimvoriti

Analogija

Analogija je misaoni postupak zasnovan na komparaciji, odnosnoutvrdivanju slidnosti ili razlika pojmova, dokazivanja nekih stavova ilireiavanja matematidkih zadataka. Sva utvrdena zajednidka ili slicna svo-jstva nazivamo poznatom pozitivnom analogijom, ukupna zajednidka svo-jstva totalnom pozitivnom analogijom, a skup onih svojstava u kojima serazlikuju nazivamo totalnom negativnom analogijom. Odigledno, zauspeSnu primenu analogije neophodno je da i totalna i poznata pozitivnaanalogija sadrZe najbitnija svojstva.

U procesu reiavanja matematidkih problema vrlo desto iemo prvopoku5atida se setimo ranije re5enih slidnih problema. Ali, da bismo postigliuspeh u primenianalogije, pored veZbanja isolidne memorije, neophodnoje da znamo izdvajati bitno od nebitnog. I pored relativno male pedagoikevrednosti, pre svega za razvoj kreativnosti udenika, analogija ima velikiznadaj. U matematici se ditave oblasti i'J,davaju po analogiji, na primer,analitidka geometrija u ravni i prostoru. Sabloni koji se postiZu pravilnomprimenom analogije, Stede nam vreme i snagu, 5to je bez sumnje vaZanfaktor. lpak, moramo bitioprezniisvesniobaveze da sve rezultate dobijeneanalogijom proverimo sigurnim i korektnim zakljudivanjem.

Primenu analogije ilustrovaiemo opisom postupaka za redavanjebikvadratne jednadine.

Primer. Rei i t i jednacinu, a, t '4 +bt 'Z * c:0

Postupak reiavanja. Posmatranjem polinoma na levoj stranijednacinei njegovom komparacijom sa poznatim oblicima jednacina, kao analoganizdvajamo opiti oblik kvadratne jednadine:

u * 2 + b x * c : 0 .

Zaova dva oblika uodavamo najbitnija slidna ili zajednidka svojstva:

1) Oba izrazana levoj stranijednadine su trinomi.

2) Opadanje stepena u oba trinoma je slidno:

ur4 + bxz + c:a(x2\2 + bx.2 + . .

Posle uodavanja svojstva 2) razlika u stepenima trinoma, tj. totalnanegativna analogija postaje nebitna. Posle ovako sprovedenog malogistraZivanja, uvodenjem smene:

)

iojim'stojeciznah. Toismovega,lnju i

rpakarajpre,pisati

)e.

java i

ojave.

medu

ansfer

lveSne

LPa na

rii l jan-

25

svodimo reiavanje jednadine detvrtog stepena:

u * 4 + b x 2 + c : o

na reiavanje sistema kvadratnih jenadina:

a g z + b g * c : O i g : * 2 .

Apstrakcija i generalizacija

Apstrakcija je misaoni postupak kojim se iz jednog ili viSe srodnihelemenata, primera izdvajaju odredena svojstva a sva ostala odbacuju. Nataj nadin se omogu6uje formiranje apstraktnog pojma kojiie, sem posma-tranih, obuhvatiti i sve ostale primere sa zadrZanim svojstvima.

Misaoni postupak, kojim se uodena svojstva primera, odnosno ele-menata nekog uZeg skupa, uzimaju za kriterijum pro5iraivanja na najSiriskup elemenata sa tim svojstvima, naziva se generalizacija. MoZe se reii dasu dak i osnovni pojmovi i stavovi u aksiomatskim teorijama rezultat 5irokeapstrakcije i generalizacije pojmova i zakonitosti realnog sveta. Na taj nacin"shvatamo" pojam tadke, prave, ravni, broja iskaza itd. A u daljoj izgradnjimatematidkih teorija takode se sluZimo apstrakcijom igeneralizacijom, itoiemo ilustrovati sledeiim primerom:

U izgranosimetridnpodudarnadelova, sim,simetrija u <svojstva porgeometrijsknosimetridnosnosimetri,

Kako umatematidku nastavnorgeometrijskigeometrijski

Konkrr

0 samopostupcima,postupak kostava ili zadeelemenata nskupa. Na prsludaju jedntna konkretakonkretizacij

Treba irspecijalizacijkonkretno, ralno. Zbog tcu odnosu niodnosu na zi specijalizacpojam funkcje istovremeprimerom re

Primer.

i

/-D\^l | \.lll

II '

)

F

26

U izgradnji pojma osnosimetridne figure, posmatramo primere os-nosimetridnih figura, pa prvo uodavamo da se figure mogu podeliti na dvapodudarna dela a zatim da su sve tadke figura, po parovima iz podudarnihdelova, simetridne u odnosu na bar jednu pravu. lztoga zakljudujemo dasimetrija u odnosu na tu pravu preslikava figuru u sarrlu sebe. Sva ostalasvojstva posmatranih figura se apstrahuju i generalizacijom na skup svihgeometrijskih figura sa zadrLanim svojstvom stvara se pojam os-nosimetridne figure. Precizna matematidka definicija, koja odreduje pojamosnosimetridne figure, dolazi kao posledica apstrakcije i generaliiacije.

Kako u izgradnji pojmova, tako i u shvatanju stavova i reSavanjamatematidkih zadataka, apstrakciju i generalizaciju koristimo, uglavnonr.u nastavnom procesu. Na taj nadin dolazimo do raznih op5tih formula,geometrijskih konstrukcija, pravila za izratunavanje odredenih elemenatageometrijskih figura itd.

cdnihu. Na)sma-

c ele-najiirieii dasirokenacinradnjin, Sto

Konkretizacija i specijali zacija

U samostalnom reiavanju zadatka udenici se viSe koriste misar-rrrii lpostupcima, suprotnim apstrakciji i generalizaciji. Konkretizacija je nrisaor-.ipostupak kgjim s9 identifikuje primer sa svojstvima nekog op5t-eg pojnr.r.stava ili zadatka. Specijalizacija je misaoni postupak prenoienja ivojitavaelemenata nekog generalnog skupa na elemente njegovog pravog po(i-skupa. Na primer, primenjujuii neku teoremu koja vaZiza sve trouglove, usludaju jednakokrakih trouglova vriimo specijalizaciju, a ako je primenimona konkretan trougao, odreden zadatim elementima, onda imo ucinilikonkretizaciju.

Treba imati u vidu da su apstrakcija, generalizacija, konkretizacija ispecijalizacija samo relativno odredene. Naime, ono 5to je u jednom sluia;ukonkretno, u drugom sludaju je apstraktno a isto tako specijalno i gener-alno.Zbogtoqa ih moramo posmatrati samo uz precizno odredena svo1st',,au odnosu na koja ih Zelimo primeniti. Na primer, skup svih polinoma uodnosu na zajednidka svojstva je generalizacija binoma, alije istovremenoi specijalizacija za skup racionalnih izraza. Isto tako, u odnosu rra opsripojam funkcije realne promenljive, funkcijag: sin.t' je konkretizacrla, alije istovremeno i apstraktan pojam. Ilustrovaiemo navedeno i ieininrprimerom reiava nja zadataka kon kretiza cijo m.

Primer. Transformisati u proizvod izraz: sin5.l'- sin3;..

27

Postupak reiavanja: Zadati izraz identifikujemo kao primer izraza nalevoj strani trigonometrijske formule:

s inc- s inp = r "o, (419)

r ,n (o:F)

na dijoj desnoj straniimamo bai proizvod.

Konkretizacijom (o : 5x, F: 3"t) navedene formule, dobijamo:

s i n 5 r - s i n 3 x = 2 c o s $ x + 3 x ) , , n ( s t

- l t ) = l c o s 4 ; ' s i n r '

Analiza i sinteza

Slobodno se moZe reii da su analiza i sinteza najznadajnije metode unaudnom istraZivanju. Najdeiie se primenjuju kombinovano, kaoanalitidko-sintetidka metoda i tada najbolje osvetljavaju put ka reienjuproblema. Obidno se pod analizom podrazumeva reidlanjivanje celine nasastavne delove, a pod sintezom, obrnuto, objedinjavanje delova u celinu.Takvo shvatanje je preiiroko i ne odreduje ih kao misaone postupke ilimetode naudnog istraZivanja. Analiza je, pre svega, proces otkrivanjanadina i sredstava za postizanje Zeljenih rezultata. Ako je u pitanju primenaanalitidke metode u zadacima dokazivanja, onda se u istraZivanju nadinaza izvodenje dokaznog postupka polazi od stava koji treba dokazati, pa seide ka stavovima dija je istinitost poznata. Taj proces ne predstavlja dokazsve dok ne omoguii reverzibilan postupak, tj. sintezu. Na neki nadin.analizom smo tvrdnju zaista raidlanili na takozvane dovoljne razloge. iz kojihje ponovo dobijamo sintezom.

Primer. Dokazati da za nenegativne realne brojeve aritmetidkasredina nije manja od geometrijske, tj. da za x ) 0, g > 0 vaZi neje-dnakost:

X + U

;> , lxs .

Postu

Radi Ijeno, po k

ANAL

korac

1)L

a) (.,

retizacijor

2)x

3)x

SINT

korat

1) (",

'L€.negativar

28

ztaza na

no:

' sin ..r

netode u'io, kaor reSenju:eline nau cel inu.;tupke ilitkrivanjaprimena: nai inatti, pa seja dokaz<i nadin.:, iz kojih

,metiikaaii neje-

Y - I I l

1 ) " ' r l > " l x u, 2

v r

obrazloZenja:

1) (.i; - ̂ [n)' ,o polazni istinit stav (kvadrat realnog broja je

Postupak dokazivanja.

Radi preglednosti postupak iemo prvo izvesti za svaku metodu odvo-jeno, po koracima sa obrazloZenjima.

ANALITIEKA METODA:

koract obrazloie4Tb:

polazna tvrdnja

2) x+g=z\ [xg mnoZenje relacije 1) sa 2

3) x-2, [xg+g>0 oduzimanje z{xg ure lac i j i 2)

/ T - - \ l4) ll ' l x - ,lg ) > 0 primena formule za kvadrat binoma. kor.rk-

retizacijom

SINTETICKA METODA:

koract:

fienegativan)

29

2) x -2"1*g + g > 0 primena formule za kvadrat binoma

3) x+g=2. , [xg dodavanje 2.[A u relaciji2)

q ry>,[*s deljenje relacije 3) sa 2

U simbolidnom zapisu dokaz analitidko-sintetidkom metodom imajednostavan oblik:

=I>., [--rs e x+ g =2.,[A e x-z.[xs + s>oo ( i ; - iu) ' .o

Tvrdnja je tadna na osnovu tranzitivnosti ekvivalencije jer je ona pfvliskaz u lancu u kome je poslednji iskaz tadan.

Analizu koristimo i u reiavanju takozvanih zadataka odredivarrja, ukojima se neito zahteva ili odreduje. Tada analitidkom metodomodredujemo put od traZenog ka datom, od nepoznatog ka poznatom.Naravno, pri tom nije dovoljno samo stiii do datog ili poznatog, ako pritom nije omoguien i reverzibilan postupak, sinteza. Drugim redima, uistraZivanju se moramo ponaiati poput lvice iz poznate bajke, imajuii stalnou vidu povratni put ka polaziStu.

Primer. Proizvodad raspolaZe jabukama I i ll kategorije koje prodajepo ceni od 3, odnosno 7 dinara po kilogramu. Koliko treba kilogramajabuka I i Il kategorije da pome5a kupac ako Zeli da kupi 100 kg jabuka po6 dinara kilogram?

Medu tvrdenjima treba odabrati ona koja omoguiuju postavljanjejednadina.

- To je zbir cena jabuka I i ll kategorije i cene meiavine.

- Treba izraziti pojedinadne cene koitanja jabuka I i ll kategorije, kao icenu koStanja meSavine:

- Ako je broj kilograma I kategorije jabuka ,r', onda je druge I00 - -umeiavina iznosi 100 kg.

odrNal

3x

oda

Daljabuka.

Int

S omoZe stsopstveza izvo<ishoda,iskustvcinteligera dovekmistericda mubez na1misaonzakljuditu svak<intuicijedokazivproblenipak, orpotrebr

Pr4,- 0 .

Po:

Uznam jeovde n,celini. IistraZujr

30

r lma

I > n

a pryl

- i ^ . .

ud ' u:ldomltom.ko prina, U;talno

kao i

0- .u

odaje[amaka po

Odgovarajui i iznosi su: 3xi 7 ' (100 -x), odnosno 6' 100 : 600.

Nakon ove analize, sintezom se dolazi do sledeie iednadine:

3 x * 7 ' ( 1 0 0 - r ) : 6 0 0 ,

odat le se dobi ja x:25.

Dakle, od jeftinije vrste treba uzeti 25 kg, a od skuplje vrste 75 kgjabuka.

Intuicija

S obzirom na ono 5to je dosad navedeno o misaonim postupcimamoze se konstatovati da je za njihovu primenu, ipak neophodno koristiti isopstvenu intuicij-u. Pod intuicijom podrazu mevamo subjektivn i poten cUalza izvodenje zakljudaka, nalaZenje reienja ili nasluiivanje odredenogishoda, os_lanjajuii se na dulne imisaone sposobnosti, kao ina sopstvenoiskrrstvo. Posedovanjem intuicije dovek se najviSe razlikuje od takozvanihinteligentnih maiina. Maiina upotrebom i radom slabi svoje sposobnosti,a dovek, posebno u mladosti, pravilnim radom ih jada. To vaZi cak i za takvumisterioznu sposobnost doveka da mu odredena ideja iznenada "sine", ada mu ni samom nije jasno kako. Ipak, teiko da ce se ta "sijalica upaliti 'bez napona. i energije, tj. nema intuitivnog reienja bez-pretlrcicinogmisaonog, desto i mukotrpnog istraZivanja problenra. Dakle, moZenrozakljuditi da se dak iosnovnipokretad svih otkriia, intuicija, nalazi ali i razvrlau svakom pojedincu. Naravno, rezultat zakljudivanja samo na osnovLlintuicije, ma kako ona bila jaka, uvek mora biti podvrgnut proveravanju idokalivanju. u neophodnost udeiia intuicije pri reiavanju matematitkihproblema mogli smo se donekle uveriti i iz nekih od prethodnih primera,ipak, ovaj odeljak iemo zavriitijoi jednim primerom, za dije reiavanje jepotrebna relativno jaka intuicija.

Primer. Ako je *2 + ** 1 :0, dokazat i da je , t '1000 + r . 1000 l- 0 .

Postupak reiavanja.

Uzoznake: p . *2 + x l 7 : o iq - r '1000+ J . -1000 -F 1 : 0 fo rmalnonam je zadatak da dokaZemo stav: p - q VaZno je odmah shvatiti da seovde ne ispituje istiniiost nijedne jednakosti posebno, vei implikacije ucelini. Imajuii to u vidu, analitidkom metodom treba da ravnopravnoistraZujemo pretpostavkupiposledicu q. Na prvi pogled se vidi da su obt:

,ljanje

3r

jednakosti na levoj strani izrazi po x. Time se nameie zakljudak da im jeosnovni "deo" promenljiva x, 5to upuiuje na ideju da se ona reEiizp i uvrstiu 4 dime bi se formirao lanac ekvivalencija, odnosno izveo kompletandokaz. Medutim, to je za udenike praktidno neizvodljivo jer reienja kvad-ratne jednadinep pripadaju polju kompleksnih brojeva, a zatim ih joi trebastepenovati sa 1000. Zbog toga analizom treba traZiti druge, pogodnije"delove", odnosno lakSi i elegantniji dokaz, u demu dolazi do izraLalaintuicija.

1) Prva ideja dolazi konkretizacijom formula za razliku kubova:

P : x z + x * l = 0 + ( x - l X x t + x + 1 ) = 0 = + x 3 - L = 0 = p , : . x ' i = l

2) Sada postaje jasno da je "pravi" osnovni deo x 3, pa u skladu sa timnastavljamo:

P , : x t : 1 + ( t t ) " t = I + q , : x l o o o = x

3) Sa 2) je analiza praktidno zavriena a transformaciju q lancemekvivalencija je nepotrebno posebno objainjavati, te je samo navodimo usimbolidnom zapisu uz uslov x + 0, sadrZan u pretpostavci:

De:

U csadrZinuosnovnili ravan),

Razl

- reapojma i

- n omina.

Post,

- K aproximut

- Ger

0 dergreike, rprotivredrpreuska,

Osn<pojmovaupoznaju

PRIN

t .5 tKvad

tranidni pgram jerodnosnogao diji sr

2 . Cr

- Rottoga je o'

- Parparalelne

q,x 'u*+ x- '* +l = 0 <+ .r ' * *++ I = 0 <+x'u*

( r ' o * ) t + , t " ' om + l- O e

,- 10001

x ) + x + lX

4) Vraiajuiise na podetnistav, evidentno utvrdujemo njegovu tadnost,to jest dokazano je:

p: x2 + x - l l = 0 = q:xrooo + x-rooo * I : 0

32

- 0

jestianAu -

)atjerja

Definisanje matematiikih pojmova

U osnovi svake. matematidke teorije je. matematidki pojam, dijusadriinu i obim treba odrediti, Jednisa'ti 'onle""'rf"iiiuri

od nekihosnovnih pojmova, kojjse ry defrypg (na prrmer u geomerriji: tadka, pravai ravan), a svi ostalipojmovi se definiiu.-

Razlikujemo:

^^,*l:ulnu (sadrzajnu, suitinsku) definiciju, koja odreduje sadrzaj, suitinupojma I

_,nu. no-tnalnu definiciju, koja objainjava znadenje samog naziva, ter_

Postoje dve vrste sadrZajnih definicija:- Karakteristidne - u njima se jasno istide.-viii rodni pojam (gcnu.s.proximum) i specifidna razlika (drfferentn specrtci)- Cenetidko-opisne, njima se opisuje nastajanje nekog pojma.

-"^"$ôtl::."T T3l"1alc[rr qojmova,u nastavijavljaju se i neke tipicnegresKe' npr.: navodi se pogreSno nadredenr polam, u definicili ima'protivrednosti, iti suviinih ererienata, definiciji j.;;;;br;a]presiroka, iripreuska, javlja se circulus uttiosusitd.

^^,j::".":i^l:ll:lp u metodici formiranja i definisanja matematidkihpoJmova Je samostalnost.udenika, njihovo podsticanje'Ju' lumi otkriju,upoznaju, opisuju, formuliiu.

PRIMERI :

t. Sta je kvadrat?

Kvadrat je romb koji .ima. jedan prav ugao-. Iri, kvadrat je jednakos-traniini pravougaonik. s tim di se pre toga"definise ,;t-ii l;" pararero_gram jednakih susednih stranica, ili i;;;[;;t;";;; ,d",uornuguo,

odnosno pravougaonik, kao pararerogrim sa pravim ugrom, iri cetvorou-gao diji su svi uglovi pravi).

2. Greike u definicijama.- Romb je kosi kvadrat (navodi se pogreian nadredeni pojam, poredtoga je ova definicija i protivredna).

*-__; lu'glglogram je cetvorougao.kome su dve idve suprotne straniceparalelne i jednake ( ima suvi ini6 odrednical .

P E t i l c l i r , xflprpo;1no- ,.

|rxynre- itrrrrrrn- I

33

. - Kruznica je skup tadaka koje su podjednako udaljene od date tadke

(nepotpuna defi nicija).

- Prav ugao je onaj ugao diji su kraci normalni (circulus uitiosus).

.- Pravoqgaonik je detvorougao sa dva para paralelnih stranica(preiiroka defi nicija).

- Paralelogram je jednakostranidni detvorougao (preuska defi nicija).

Zakljuiivanje i dokazivanie u nastavi matematike

Matematidke teorije se izgraduju na bazi nekog sistema aksioma.izuesnog broja logidkih pravila saglasno s kojima se iz aksioma izvodeteoreme. Na osnovu prvih teorema izvode se nove teoreme, pa se takodobije deduktivni lanac teorema koje ulaze u neku datu mitematiikuteoriju.

Aksiomi su polazni stavoviza koje se pretpostavlja da su istiniti.

Teoreme su stavovi koje prihvatamo tek po5to ih dokaZemo pomoiuaksioma i ved dokazanih teorema, na osnovu logidkih zakona. i{ada seistinitost stava obrazlaie na osnovu prihvaienih pretpostavki, koje nisuposebno dokazane, niti su aksiomi, onda se takav dokaz zove izvodenie izhipoteze.

Prema misaonom putu kojim se dolazi do istinitosti tvrdenia neketeoreme, dokaz moZe biti :

- induktivan i

- deduktivan.

Induktivnom metodom naziva se svaki oblik zakljutivanja od pojedi-nadnog ka opStem, odnosno kada se istraZivanjem specifidnih slucajevadolazi do uopitavanja. Medutim, koriSienje indukcije u zakljudivanju nespada u pouzdane oblike zakljudivanja, osim ako je moguie ispitati svepojedinadne sludajeve, odnosno ako se radi o tzv. potpunoj indukciji.

Matematidka indukcija takode spada u potpune indukcije, odnosnosigurno i korektno zakljudivanje. Ona se obraduje u matematici kao pose-bna tema, pa je ovde neiemo razmatrati.

PRIMI

1 . l z2nivou nep

2. Na

1 +3=

1 +31

1 +31

moZe

1 +3r

3. Do3 .

S obznjegovog Ijem svih s

Zadnj,

Zadnj;

4. Tvtprgdstavljt41- ni je pr

Dedulali je ona pna osnovu

- USVC

-usvoj

-ranije

Teorep, qiepot

Pie pl

qietrr

: tacke

s)

lranica

ctja)

sioma.izvodee takoraticku

rmoiuada seie nisutenje iz

l neke

pojedi-rcajevanju neati sveUi.

Inosno) pose,

PRIMERI :

1 . l z 2 ' 3 : 3 ' 2 , 5 ' 6 : 6 ' 5 , 6 . 7 : 7 . 6 i t d . m o Z e s e z a k l j u d i t i n anivou nepotpune indukci je da je a' b:b' a, zasve pr irodne brojeve a i b.

2. Na osnovu sledeiih primera:

1 * 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

1 * 3 * 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

1 * 3 * 5 * 7 : . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

moZe se izvesti verovatno tadan opiti zakljudak:

1 + 3 + 5 + 7 + + 2 n - 1 : n 2

3. Dokazati da se nijedan kvadrat prirodnog broja ne zavriava cifrom3.

S obzirom na to da samo zadnja cifra broja odreduje zadnju cifrunjegovog kvadrata, dokaz se moZe izvesti potpunom indukcijom (navoden-jem svih sludajeva):

Zadnjacifrabrojan: 0 1 2 3 4 5 6 7 B 9

Z a d n j a c i f r a b r o j a n 2 : 0 1 4 9 6 5 6 g 4 1

4. Tvrdenje da za svaki prirodan broj n, izraz P(n) : n2 - n '' 4lprgdstavlja prost broj, opovrgava se kontraprimerom za n:47, jer P(41) :41'ni je prost broj .

Dedukcija se obidno shvata kao zakljudivanje od opiteg ka posebnom.ali je ona pre svega zakljudivanje o istinitosti novih iskaza, odnosno teoremana osnovu:

- usvojenih pojmova iaksioma, il ipostulata,

-usvojenih definicija, novih pojmova,

-ranije izvedenih ili dokazanih iskaza, odnosno stavova.

Teoreme se uglavnom javljaju u obliku implikacije: ako je p, c7 sledi izp, g je potreban uslov za p i sl.

pje pretpostavka (P),

qje tvrdenje (T).

35

Ako se pretpostavka i tvrdenje jedne teoreme uzajamno zamene,dobiiemo obrnutu teoremu, a ako se pretpostavka i tvrdenje zamenesvojim negacijama, dobija se suprotna teorema.

Dokaz teoreme moZe biti:

- direktan, neposredan i

- indirektan, posredan (reductio ad absurdum).

Direktno zakljudivanje je forma u kojoj se istinitost iskazne formuleutvrduje u izvornom obliku, tj. onako kako je zadat. Polazeii od nekepretpostavke, kao tadne, sledi se lanac silogizama, implikacija sve doZeljene posledice.

Indirektno zakljudivanje se zasniva na kontradikciji negacije tvrdenja,pa iz toga sledi samo tvrdenje.

Prema vrsti misaone operacije koja se preteZno koristi u postupku,dokaz moZe biti:

- sintetidki - polazi se od stavova dija je istinitost prihvaiena i njihovimmisaonim spajanjem izvodi se stav kojije trebalo dokazati,

- analitiiki - polazi se od stava kojeg treba dokazati, vrSi se njegovaanaliza i dati stav se svodi na vei dokazane podstavove.

Poznat je i priznat nadin "obaranja" teorema pomoiu kontraprimera.potivprimerom.

Strogidokaziu podetnoj nastavi matematike se ne mogu primerrjivati,pre svega zbog nivoa razvoja deteta. U viiim razredima osnovne ikole i usrednjoj Skoli mogu6nosti za operacije sa apstrakcijama su znatno vece.

U podetnoj nastavi matematike kroz logidko obrazloienje, proveravnjei modelsko eksperimentisanje vrii se psiholo5ka i logidka priprema zakasnije egzaktno dokazivanje teorema.

PRIMERI:

1. Iz tadke A van ravni moZe se povuii samo jedna normala na ravanc[.

P . : A e o , . A e n . n l . c r

Dokaz: Indirektan.

Pretposcx, (pravu n (tadke A iAAArAz imarmogu post(moZe se po

2. Teori sa3 .

Obrnuldeljiv sa 6 (

3. Akoteorema n€a 6 to nije).

ObrnutOva teoren

2 . 4 . 1

Premamatematidnadin:

PodetmatematitodraZavan

Formosnovne i

- Psih

36

Ttene,tmene

"muleneke

/e do

Ienja.

:pku,

ovim

gova

1era.

ivati,e r uce.

Pretpostavimo da kroz tadku A proraze dve razridite prave n a i nt _La (pravu n odreduiu tadke A iAr-proaoinormare n kroz iu*n o, odnosnotacke A i Az-prodor normale nr kroz iavan cr)..M"grti-, o"aa u trougluMrAz imglo.d.va pra.y-a ugla, stol" n"-"grce. Dakle kroz tacku A nemogu postojati dve razridite normare na ravan 0, prema tome kroz tae ku AmoZe se povuii samo jedna normala na o.

i ,u 32. Teorema: Ako je prirodan broj n deljiv sa 6, onda je on deljiv i sa 2

Obrnuta teorema: Ako je prirodan broj deljiv i sa 2 i sa 3, onda je ondeljiv sa 6 (odigredno vaZi ii"or"-ul ouinrtu teorema - proveritir).3. Ako je 3 delitelj nekog broj? n, onda je i 6 rtlirelj brola n. (Ovateorema ne vaZi! Mozemo je o-boriti tontrapiiil;r";,Jj;;eiiier; nroiu r s,a 6 to nije).

obrnuta teorema:1Ako je 6 deriterj broja.n onda je i3 deriterj tog broja.Ova reorerrra je odigtedno tltnu, jei 31" Ilnilu. ul.;L-0.

2.4. Kibernetiike osnove

Prema R. Skempu osnovni procesi kod stvaranja i primenematematidkih pojmova, modera, iematskr se mogu prikazati na sredeiinacrn:

vnjea z a

Podetna nastava matematike neqira svako1lfTltigkih pojmova, vec se zatale i modelski,oorazavanJa relevantnih osobina stvarnosti.

aksiomatsko uvodenieza kibernet icki pr istup

Formiranje mnogih matematiikih modera zapoiinje u niZim razredimaosnovne 5kole, gde se moZe govoriti samo o:- psiholoikoj i gnoseoloikoj pripremi matematidkih pojmova

SPOUNISVET

NOVA SAZNANJAO SPOUNOM SVETU

SVET MATEA1ATIKE

I+MATEMATICKO

RrSrxlr

37

- matematizaciji, modeliranju stvarnosti,

- bitnim karakteristikama pojmova, a ne o njihovim definicijama (odoZivaljavanju pojedinih osobina objekata),

- apstrahovanju nekih osobina stvarnosti, a ne o operacijama saapstrakcijama (predstave o objektima u celini).

Analizirajuii originale spoljnjeg sveta, ili odgovarajudi didaktidki ma-terijal, dolazi se do raznih informacija o predmetu istraiivanja. Zatim se vrieodredena apstrahovanja, izdvajaju se bitne karakteristike konkretnih stvarii stvaraju se novi idealizovani sistemi. Tako se dolazi do matematidkihpojmova, relacija, operacija, do matematidkih modela - do apstrakcijaprvog stepena. Kad je matematidki objekat odreden, u sledeioj fazi sepristupa njegovom izudavanju. Najdeiie se primenjuje matematidka, dakleformalna analiza matematidkog modela, ali dolazi u obzir i simulacija,odnosno modelski eksperiment sa koriSienjem radunara ili bez toga.

Dobijenim reSenjima, rezultatima matematidkih modela treba dati iod govarajuie interpretacije u oblasti origi nala.

Kada i kako ie se definisati odredeni matematidki pojmovi, i kako iese onireiavati, zavisiie pre svega od uzrasnih osobina udenika. lzgradivanjematematidkih pojmova, modela i njihova primena, dakle, vriise spiralno,ali obezbeduju6i kontinuitet i neprotivrednost izmedu niZih i viSih nivoaapstrakcija. Ovaj proces se na raznim nivoima obrazovanja ponavlja. Origi-nali nisu uvek iz objektivne stvarnosti, vei mogu biti i apstrakcije niZegnivoa.

Kibernetski pristup podetnoj nastavi matematike predstavlja savre-menu osnovu nastave matematike u opitem obrazovanju, kako zbogtendencija razvoja informatidkog druStva, tako i iz metodidkih prednosti.

2.5. Didaktiiki principi u nastavi matematike

Polazedi od psiholoiko-pedagoikih, gnoseoloikih i matematidkih os-nova nastave matematike. moZemo definisati nadela. stavove. osnovneprincipe te nastave:

1. Princtp uaspitane usmerenosti, kqi proizilazi iz druStveno i civilizaci-jski postavljenih ciljeva i zadataka nastave matematike, podrazumeva:

- razuijanje psihidkih i intelektualnih sposobnosti (sposobnosti logidkogi racionalnog rasudivanja, razvijenost primene misaonih operacija itd.),

- razv\isistematidnrmotivisanosird.),

- razvtlsimetridnos

- razvijaodludnost, <

2. Prinnauino tumoguinostinaukama. Stako i na sar

3. Printbna Iidnost,alni prilaz srsvojim mogsposobnost

4. Prin<tupnost i sisprostog ka:bez kojih naizlaganje groblika rada

5. Prinrmatematikepreko dulnianalizirajuiiOvaj pristuJstvarnosti i

6. Pringama nastisredstava, Imotivisanodoprineti zrbroj slabijif

7. Prinprogresivn<

3B

jama (o

ama sa

itki ma-n se vrsetih stvarimatickihstrakcija. : r ^ - i ^ ^,J rozr 5c

<a, daklenulaci ja,)ga.

ba dati i

kako ieadivanjespiralno,;ih nivoa1a. Origi-i i p n i i cn

A SAVTC.ko zboq:dnosti.

i ikih os-lsnovne

:ivil izaci-eva:

ogiikogr \\d.),

- razvijanje radnih sposobnosti (zalaganje i angaZovanje u nastavi,sistematidnost i tempo rada, odgovornost, tadnost, preciznost, istrajnost.motivisanost, brzina napredovanja u radu, samostalnost, saradnja r,r grupii td.) ,

- razuijanje estetskih osobina (urednost, smisao za lepo. zasimetridnost, pravilnost i sl.)

- razuijanje moralnih osobina (kriticnost, samokritidnost, odmrerer-rosi,odludnost, demokratidnost, principijelnost, samoinicijativnost itd.).

2. Princtp nauinostl i saurcntenosti - podrazumeva savremenonaudno tumadenje matematidkih pojmova u granicama razvojnil 'tmoguinostiudenika, koje su nauino utvrdene u psihoiogiji i u pedagoikin.rnaukama. Savremenost i naudnost se odnosi kako na nastavne sadrZale,tako i na sam nastavni proces.

3. Princtp lndtuidualizacge i sues'ne aktiunosli. Svaki udenik je pose-bna lidnost, sa posebnostima iinteresovanjima. To podrazumeva iindividu-alni or i laz svim udenicima isvesnu akt ivnost udenika. Svi udenici . Dremasvojih mogudnostima, treba sami da aktiviraju svoje umne potencijale.sposobnosti, da dolaze do odredenih znanja, veitina i navika.

4. Princtp postupnosti i sistenatiinosti. U nastavi matematike pos-tupnost i sistematidnost su medusobno uslovljeni. Od lak5eq ka te2ern. oclprostog ka sloZenom od poznatog ka nepoznatom, to su didaktiika pravil;,rbez kojih nastava rnatematike ne moZe biti efikasna. Sistematsko i loqiinoizlaganje gradiva, kao i nadovezanost odgovarajuiih sadrZaja, metoda ioblika rada posebno su vaZni zahtevi u podetnoj nastavi matemat.ike.

5 Priyctp oitEr/ednosh' lyCirtstua teorye i piakse. U pocetnoj nastavimatematike apstraktne matematidke pojmove udenici treba da izr;radrrjr.rpreko iulnih saznanja, manipuli5uii sa realnim predmetima. odnosnoanalizirajuii neke originale da bi doili do njihovih matematickih modelaovaj pristup nastavi matematike bazira se na odiglednosti, na upoznavanjrlstvarnosti i implicira i politehnidki princip

6. Princip mot[utsanostt. Motivi su medu najjadim pokretaikinr sna-gama nastave matematike. lzborom gradiva, metoda, obl ika, naslavnihsredstava, lidnim stavom nastavnika, i na drugi nadin mo2e se doprineiimotivisanosti udenika za ovaj predmet. ocenjivanje takode moze znacajrrodoprineti zainteresovanosti, a jo5 viSe nezainteresovanosti uienika. Velikbroj slabijih ocena destimuli5e i demorali5e udenike za dalji rad.

1 . Pyinctp mc'lona/nost1. Matematidko obrazovanje po svojoj sustir-ri jerprogresivno i impl ic ira racionalan, ekonomidan i logi ian pr istr rp

39

problemima. Dominacija bitnih aspekata realnog sveta, povezanostsadrZaja koja podrazumeva i trajnost usvojenih znanja, dine nastavumatematike posebnom i izuzetnom.

B. Princtp funkciona/ne zauisnosti. Matematidko miSljenje treba dabude funkcionalno. Ono izvire iz pojma relacije, a zasniva se na obostranoji jednoznadnoj korespondenciji, predstavljaju6i osnovnu polugu matema-tike i njene primene.

U nastavimatematike neophodno je pojave, objekte, njihove kvantita-tivne i prostorne modele posmatrati u funkcionalnoj, stohastidkoj, odnosnokbernetidkoj meduzavisnosti.

Nastavni principi se odnose na vaspitno - obrazovni rad u celini, otudamora da postoji korelacija medu njima. Uspeina primena jednog nas-tavnog principa zavisi od uspeinosti primene ostalih principa. To ujednoznadi da u nastavimatematike moraju bitizastupljeni svi navedeniprincipi.

2.6. Jezik u matematitkom obrazovanju

U matematidkom obrazovanju razlikujemo:

- prirodnijezik i

- matematidkijezik.

Prirodni, govornijezik u nastavi matematike mora biti korektan, preci-zan, jednostavan i razumljiv. lpak obidan govorni jezik nije dovoljan zaizudavanje matematidkih sadrZaja. Nedovoljna preciznost, ponekad i dvos-mislenost govornog jezika, s jedne strane smetaju samoj prirodi matema-tike, a s druge strane komplikovano i nepregledno izraZavanje udinili bimatematiku veoma sloZenom i nepraktidnom. Zbog toga se koristi i jedanposeban, matematidki jezik. To je jezik matematidkih termina kojimaiskazujemo matematidke pojmove, ijezik matematidkih simbola kojima tepojmove oznadavamo.

Zapise redenica matematidkom simbolikom nazivamo formulama.SloZene redenice formiramo od polaznih redenica pomoiu logidkih oper-acija: konjunkcija (n), negacija (-), implikacija (+), ekvivalencija (<+), itd.Red svaki, ma koji, bilo koji izraZavamo univerzalnim kvantifikatorom (V ),a red postoji, makar jedan, batjedan, neki isl. izraZavamo egzistencijalnimkvantifikatorom ( I ).

a)

Re

b)

ReC takar

c)

Maodgovarivaju s

PR1 il . l

Re

2.

l

tkoji st

pravol

40

'ezanost

nastavu

reba darstranoj)atema-

vantita-dnosno

i, otudalg nas-ujednorr incipi .

Matematidki pojmovi se formiraju postupno, a od podetka koristimocldgovarajuie termine i simbole, koji u podetnoj nastavi matematike pok-rivaju samo deo datog pojma.

PRIMERI:

1. Proditati sledeie formule:

a ) ( Y a , b e N ) ( a + b e N )

Re5enje: Za svaki prirodan broj a i b, njihov zbir je prirodan broj.

b) (VA)(VB)(: ICXC: '4w B)

ReSenje: Ako su A i B dva proizvoljna skupa, onda postojijedan skupC takav da je C uniia skupova A i B.

c) (3x)(10 < x' < 20)

Reienje: Postoji x koji je veii, i l i jednak od 10 i manji i l i jednak od 20.

2. Simbolima zapisati:

a) Bar jedan od brojeva xi {/ je razlidit od nule.

Reienje: -(x = 0) v -(Y = S;

b) Unija dva skupa A i B je skup diji su elementi oni i samo oni elementikoji su elementi bar jednog od skupova A i B.

Re5en je : AuB : { x lxe A.zxe B}

c) Ako je prava p paralelna sa pravom q, a prava q je paralelna sapravom r, onda su iprave p i r paralelne.

ReSenje: (p ll q) n (q ll r) =+ (p ll r)

d) Zapisati da je xza tri veii od y.

ReSenje: v:g*3.

l , Precl-lljan zaI i dvos-ratema-i in i l i b ii jedankojima

lj ima te

lu lama.h oper-q \ i t . l

m (v) ,: i jalnim

4 1

"Aienikle tq kojl treba da mls/i l nda lJc:1c

a/ogra nastaunlka se lnoia sDesil' /E ttlogu babicr:"

Socrates

3. NASTAVNE FIETODE U NASTAVI R'TI4'TEN&{TIKE

3.1. Pojam i klasifikacija nastavnih rnetoda u nastavimatematike

Pod nastavnim metodama podrazumevaju se naudno verifikovaninadini i postupci rada nastavnika i udenika u nastavnom procesu radiostvarivanja cilja i zadataka nastave. Na izbor nastavnih metoda utide visefaktora: obrazovno-vaspitni zadaci i struktura dasa, specificnost gradiva,sastav odeljenja u pogledu predznanja i nivoa matematidkog mi5ljenjaudenika, nivo osposobljenristi udenika za sarnostalni rad, uporedne karal<-teristike dobrih i slabih strana nastavnih metoda, sposobnosti i karakteris-tike stila rada samog nastavnika.

U nastavi matematike naroditiznadaj imaju one nastavne metode kojedaju znadajan doprinos razvijanju interesovanja udenika za izucavanjematematike i svesno utidu na usva.janje pojmova i dinjenica, podstiiuintelektualnu aktivnost udenika i razvoj njihovog matematidl<og miSl.ierrga.doprinose izgradivanju navika za samostalan rad i samostalno sticanjeznanja, kao i za racionalne postupke u reSavanju zadataka.

Klasifikacija metoda vrii se na osnovu razliditih kriterijuma: didaktitkogrcilja, spoljne forme, saznajnog procesa, uloge nastavnika i udenika, kao ina osnovu izvora iz kojih ucenik stide znanja. U vreme prvih n-retodiikihreformi tragalo se za jednom univerzalnom metodom. Tako, na primer,Komenski razraduje "Prirodnu metodu", a Pestaloci se izjainjava za univer-zalnu metodu pogodnu za "izobrazbu iovedjeg uma". Danas preovladavamiSljenje da se ni za jednu odredenu metodu ne moZe tvrditi da je najbolia,vei da je u konkretnoj situacif najcelishodnije upotrebiti jednu ili visemetoda. Mi cemo se opredeliti za klasifikaciju u kojoj se metode, uslovnoredeno, dele na tradicionalne i savremene. Tradicionalne metode se klasi-

45

fikuju na tri osnovne metode koje sadrZe metodske oblike i metodskepojedinosti, a savremene metode se dele u dva osnovna sistema. Preciznaklasifikacija, po navedenim kriterijumima, prikazana je sledeiom Semom:

TRADICIOI]ALNE

l.0smeno iraganje

2.Razgovor

3.Rad sa udzbenicima i

priruanicima

4.Pismeni radovi

5.Reiavanje zadataka

Pntanje

Objainjavanje

\rtNaran;e

Programirananastava

Domaai zadaci

Kontrolni zadaci

Matematiaki dildat

Skolski pismeni zadaci

Nastavnikov rad

Polusamostalan rad

Samostalan rad

Takmiaenje

Rad sa sl ikama

Rad sa crtezima

Rad sa tabl icama

Rad sa graf ikonima

Rad sa model ima

Rad sa predmetima

Rad sa pokretnlm i

nepokretnim lilmom

skim oupotrel

Menosti. IdiscipliprerasLna nlvc:\rsK\sputemi nastastraneverbalr

Nato ucerStoga :drugih.tavnikadrugimpojedirmoZe Ipreobri

je onamentoseiar

(II

Urtode atekstuna izlziinjenkoriSiprimeskom

1iziskuj

z:)FagDF

z.J

muU

I Sistem probleruke nastave

1 Stvar ala(ka (\\e\$s$\S\\\SS

2.Otenje putem r6.rvanja problema

3.Uaenje u nastavi otkivanjem -

otkrivaluce vodenle u nastaumatemabke

ll Sistem METODA KIBERNETIKEl Analitiakcsintetiaka metoda

2. Metoda kvantovanla

3. Metoda apstJahovanja iidealizacije

4. Metoda sistematizacrie

5. Metoda analogi je

6. Metoda transformaci.ie

7. Metoda modela

B. Metoda 'crne kut i je '

9- Metoda pokuSala i pogreike

.!t.

a <e Zn utr:< nO En @< x

Sema 1 .

3.2" Tradicionalne nastavne metode

V e r b a l n o - t e k s t u a l n a m e t o d a

S obzirom da je govor komunikativno sredstvo medu ljudima, toverbalna metoda, bilo kao dominantna, bilo u vezi sa drugim metodama,mora naii svoje mesto u nastavi matematike-Sa svojim nastavnin metod-

Nastame Metodsk oblici Metodske Pojedinosu

Ltjboratorijski radovi Rad sa raiunskim masinama

2.Rad na ekperimentu Rad sa specijalnim uredajima

44

i metodskena. Preciznalm Semom:

___lI' 1

,blema

r Probiema

njem -

lstavi

INETIKEletoda

f$ke

l judima, tonetodama,nin metod-

skim oblicima ipoiedinostima ova metoda se u nastavimatematike najiireupotrebljava.

Matematika razmatra kolidinske i prostorne odnose u realnoj stvar-nosti. Iz razrade tih odnosa su nikle algebra, analiza, geometrija, i drugediscipline u matematici. U savremenoj nastavi matematike cilj je 5to brZeprerasti fazu neposrednog utvrdivanja kolicinskih i prostornih odnosa idoiina nivo apstraktnog, tako da objekti nastave postajr: relacije, operacije,strukture. Nastavnik moZe udenikovu paZnju inapor v-ezaliza ove objekteputem redi, govora. Covor je onaj faktor koji prvenstveno vezuje udenikovoi nastavnikovo nastojanje u jedinstveni radni proces sticanja znanja odstrane udenika pod rukovodstvom nastavnika. Otuda u rrastavi matematikeverbalno-tekstualna metoda ima centralno mesto.

Nastavni proces se ostvaruje kroz rad, a rad jednog doveka, bilo da jeto udenik il i nastavnik, nije nikad izolovan, vei se vezuje za rad drugih lica.Stoga se licni rad mora uskladiti, organizovati u zavisnosti od delovanjadrugih. Razredni kolektiv stvara takvu uzajamnu zavisnost izmedu nas-tavnika i udenika, utenika i udenika, koja nameie potrebu saopitavanjadrugima onoga 5to se misli, a to znadi da se subjektivna sadriina svestipojedinca mora preneti na druge dlanove sredine na natin da ta sadrZinamoie biti prihvaiena od svakoga. Sledi: subjektivna sadrZina se morapreobraziti u objektivnu formu.

Funkcija i znacaj verbalno-tekstualne metode proizllazi iz cinjenice daje ona zasnovana na sticanju znanja posredstvom jezika, a jezik je instru-ment objel<tivnog druitvenog izraLavania naiih subjektivnih misli,oseianja, Zelja itd.

(Ismeno izlaganje

Usmeno izlaganje je najstariji metodski oblik verbalno-tekstualne me-tode a u naSoj 5kolskoj praksije neopravdano najraSireniji, iako je verbalno-tekstualna metoda u toku razvoja Skolstva evoluirala i nije se zadrZala samona izlaganju vei se obogatila i drugim metodskim oblicima. Medutim,dinjenica je da mnogi predavadi sa posebnim simpatijama pribegavajukoriSienju ovog nastavnog oblika i onda kad se u datoj situaciji moguprimeniti adelrvatniji oblici. Naklonost mnogih nastavnika prema metod-skom obfiku usmenog izlaganja nastaje iz dva razloga:

1. Pripremanje dasova na kojima se eksploatiSe usmeno izlaganjeiziskuje kra6u metodsku pripremu nego kad se koriste drugi metodski

A A

oblici. Na bazi poznavanja gradiva nastavnik moZe da osigura tok dasa,naravno, bez onih kvaliteta koje bi imao kad bi se strudna priprema dasapovezala sa metodidkom pripremom.

2. Lakie je organizovati transponovanje znanja na udenike putemizlaganja gradiva nego organizovati proces sticanja znanja kroz zajednidkirad nastavnika i udenika.

Metodidka zastranjivanja koja se ogledaju u zloupotrebi usmenogizlaganja, ne znade da usmeno izlaganje a priori treba negirati, eliminisatiiz Skolske prakse i pore6i njegow opravdanost u odredenim situacijama.KoriSienje usmenog izlaganja je opravdano i nuZno u svim onim situaci-jama u kojima udenici treba da steknu takva nova znanja koja im nisupristupadna putem zajednidke obrade sa nastavnikom, znanja za dijeshvatanje ne postoje elementi u dotadainjem iskustvu udenika, odnosnou svim onim prilikama u kojima ne postoje nikakve druge moguinostidase udenik informiie, sem usmenog izlaganja nastavnika. Zatim se moZekoristiti usmeno izlaganje prilikom svih ilustracija i demonstracija, dijerazumevanje iziskuje posebno tumadenje.

lzlaganje se moZe javiti kao pritanje, objainjavanje ili predavanje.Pridanje u podetnoj nastavi matematike se javlja kao okvir za neki problemili kao tekst u koji se ukljucuje numeridki zadatak. Medutim, usled sve jaieurbanizacije i kontakta udenika sa masovnim sredstvima komunikacije,mnoge koriSiene pridice izgledaju za udenika naivne, neinvetivne, StaviSetekstualni zadaci sa veitadki nakalemljenim pridama mogu prikritimatematidku sadrZinu zadatka.

Uz ogranidavanje pride, u nastavi matematike kao najfrekventnijametodska pojedinost nastavnikovog izlaganja javlja se objainjenje. Razlikaizmedu objainjenja i predavanja je u vremenskom trajanju. Objainjenje 1ekraie, odnosi se na uZe pitanje, dok je predavanje kontinuirano izlaqanjenastavnika o nekoj Siroj temi, a takvih skoro da nema u podetnoj nastavimatematike.

Opite norme pravilnog izlaganja su poznate iz didaktike (logitnost,povezanost, sistematidnost, prikladan reinik, jasan stil, interesantnost,problemski karakter sadrZine, nadovezivanje na poznato itd.).

Prilikom izlaganja gradiva istovremeno se odvijaju dva psihidkaprocesa: jedan je proces pruZanja znanja od strane nastavnika, a drugijeproces primanja znanja od strane udenika. Ako pM proces implicira drugi,onda se metodski das odvija uspeino i obratno. Osnovni problem ovoometodskog oblika je u tome 5to nast-avnik nema sigurne indikatore o tojimplikaciji. Problem je u kontrolisanju drugog procesa: proces usvajanjaznanja od strane udenika. Naime, kod ovog metodskog oblika je najveca

verovibi sepruZarpreda'

Pisaglecudeniltike ntsvodepredsl

eranjaaktivnobjairposebmater( a n e tnasta\u kasSkolsksmatr,izraza,odno:pravoj

Vstrudrprimenasta'niku.

I

teikcpraitnastzzadalodrer

46

k iasa,ra dasa

putemedni ik i

;menogninisaticijama.si tuaci-m nisuta i i ie

dnosnorosti dae mozelja, cije

lavanje.roblenr;ve jacerikacrle,itaviiepr ikr i t i

'entnijaRazlikaienje 1e:aga nienastavt

icnost,rtnost,

;ihickarugi jedrugi,r ovoql o t o j'ajanjaajveca

verovatnoia da se udenikova aktivnost polarizuje izmedu dve krajnosti. Dabi se potpomoglo odrZavanje bolje korespnodencije izmedu procesapruZanja znanja i procesa primanja, nastavnik sastavlja kraie teze svogpredavanja, njih zapisuje na tabli a udenici ih beleZe.

Pisanje osnovnih teza je sastavni deo izlaganja. Orre pomaZusagledavanju najbitnuih ideja, pojmova odgovarajuie teme i usnreravajuudenikovu paZnju na najglavnije elemenle. Naravno, one u nastavi matema-tike nenraju onu formu kakvu irnaju u narativnim predmetima, vec se vi5esvode na notiranje novih pojnrova koji ie se obraditi, i l i mogu pone[<adpredstavljati i plan reSavarrja nekog zadatka, problerna"

Cak i pravif na upotreba iziagarija moZe da podbaci zbag brzog zantaranja udenikove paZnje, pogotovli kod mladih uienika, tija se nrisaoir.raktivnost izrazitije naslanja na fizidkr-r al<tivnost. No i pored izlo2enih rezervi.objainjenje, narodito kraieg karal<tera, ima svolu obrazovnu vrednost.posebno u sludaju formiranja specifiinog jezika matematike. Jezik nastavematematike je ident idan na svakom ntvou u svoj im osnovnirn pr inr: ip inra(a ne u obimu svoje leksike). Znati od prvih dasova matematicke nast(rvenastavnik koristiiste strurdne izraze (plus, minus itd.) koje ie ucenir:i srestiu kasnijoj nastavi i koji su svojstveni matemaiici, a nisu produkt rrekeSkolske matematike, odnosno Skolske terminologije. Medutirn, ne trebasmatrati Skolskom terminologijom sinonime pojedinih matematiil<ihizraza, niti izraze koji su u toku razvoja zamenjeni pogodnijim izrazirnii.odnosno odgovaraju odredenoj interpretaciji (na primer: "laika le2i napravoj" ustupa mesto tekstu "tadka pripada pravoj")

Van domena metodidkog rada je zauzimanje stava u sluiajevima l<.rdstrudna terminologija nije ujednadena medu samim matenraticarima (ntrprimer: jednakostranidan trougao ili ravnostrani trougao). U takvoj siluracijinastavnik uglavnom reprodukuje struine izraze koje je zatekao u Lrd2l-;e-niku.

Razgovor

Uporedujuii metodidku vrednost usmenog izlaganja i razgovora. ni;eteiko zakljuditi da razgovor iziskuje mnogo ve6u aktivnost kod uienika nesopraienje nastavnikovog izlaganja. Udenici znaju da zakljudke nece dalinastavnik, vei ih oni moraju sami stvoriti, i to ih motiviSe da tadno izradezadatke ida pokuiaju otkrlti neke pravilnosti. Otkrivanje ili bar naslucivanjeodredenih pravilnostije prvi korak ka uvidanju matematickih apstrakcija

47

U matematici apstrahovanje - formiranje pojmova - nailazi na izvesnute5koiu. Prilikom formiranja iskustava udenika proces apstrahovanja sespontano odvija. Posmatrajuii skup predmeta, udenik izdvaja njihovezajednidke odlike. Kod matematidkog apstrahovanja ne raspolaZemo ni-zom objekata i analiza se svodi na nekoliko objekata. Spontano us-meravanje paZnje mora se zameniti akcijom nastavnika da pobudiinteresovanje udenika i time osigura njihovu aktivnost. Realizacija dasaputem razgovora dovodi udenika u situaciju da se u, odnosu na pitanjanastavnika, nade pred novim zadacima pred kojima se ne moZe odnositipasivno, vei mora da uloZi izvestan intelektualni napor, da ispituje, dazakljuduje, da raduna, da stvara hipoteze, da daje predloge. Nastavnikovaje funkcija da suzi obim hipoteza, predloga, u cilju pobliZeg odredivanjatoka rada. Razgovor treba da je tako komponovan da se pitanja nastavnikadirektno nadovezuju na isticanje cilja, te udenici u radu ne tapkaju u mrakuod etape do etape, vei njihova teinja da otkriju, predstavlja radni proces.Ovo osiguravanje osmiSljenog radnog procesa od strane nastavnika pred-stavlja elemenat sprovodenja pravilnog razgovora. Njega nema ako sepitanja ne postavljaju na pogodan nadin, u pogodno vreme, u pogodnojformi i sa pogodnom sadriinom. Nadin postavljanja pitanja predstavljaosnovni problem metodskog oblika razgovora"

U metodidkoj literaturi (pogotovo u didaktidkoj) razgovor se tretira kaometoda, oblik nastave, nastavni metodski oblik pod raznim imenima:katehizijska metoda, heuristidka, dijaloika, sokratovska, erotematska. raz-vojna metoda, metoda ponovnog otkrivanja (methode de redecouverte),metoda pitanja-odgovora itd.

Rekli smo da se nastavnikovo izlaganje primenjuje u sludajevima kaclse nastavnik ne moZe osloniti na vei stedena iskustva udenika. Ova semisao, kad je red o nastavi matematike, u izvesnoj meri neito modifikuje,te pod iskustvima treba podrazumevati ona znanja iz kojih logidkimrasudivanjem udenik, usmeravan pogodnim pitanjima nastavnika, izvodinove stavove, proiiruje svoja znanja.

Osnovne odlike razgovora su:

- na osnovu jasno naznadenog cilja i istaknutog problema razredsvesno udestvuje u razradi gradiva,

- u toku pravilne primene razgovora dijalozi se ne razvijaju izmedujednog udenika i hastavnika, vei razred kao kolektiv udestvuje u razgovoru,

- u toku razgavara kolektivan rad se spaja sa pojedinadnim, jer urazgovoru udestvuje ceo razred, a na pitanja odgovara pojedinac, onaj kogapo metodidkoj situaciji odredi nastavnik, a ne onaj yko hoie da odgovarair,ko diZe ruke ilipo nekom drugom tradicionalnom izboru,

- r ine sankoji uti.na raclnastavltavnidl.pravlje:

Ri

Rana dorelemetda sarospos(nastavdita terazredi

Krgradiv,

tProcelPogo(kori56elemeje bitrvrem(precizpaZnjtobrazosPo:brZe s

tgradi'raSdl:udZbrpitanodabusm(

48

zl na IZVesnuahovanja sevaja njihoveola iemo ni -)ontano us-da pobudi

lizacija dasar na pitanjarZe odnositiispituje, daastavnikovaodredivanjal nastavnikaaju u mrakurdni proces.ivnika pred-ema ako seu pogodnojpredstavlja

e tretira kaor imen in ra :natska. raz-lecouverte) .

t jevirna l<aciika. Ova semodifif<uje.h logi ik imnika. izvodi

:ma razred

aju izmedurazgovoru,

1nim, ;er u, onal kogardgovarai .

- razgovor omoguiuje izmenu miSljenja, diskusiju i postavljanje pitanjane samo od strane nastavnika vei i od strane udenika. SuStinski elementkojiutide na metodidki kvalitet razgovora, na nadin kako se on organizuje,na racionalno koriSienje vremena u toku razgovora, dine ona pitanja kojanastavnik postavlja razredu. lzvesne analize metodidkog karaktera nas-tavnidkih pitanja pokazuju da vrlo malo ima takvih koja se odnose napravljenje plana reiavanja zadataka.

Rad sa udZbenikom

Rad sa udZbenikom za usvajanje novih pojmova na dasu je, u odnosuna dosadainju nastavnu praksu, metodski oblik kojim se unose novielementi u nastavu; to je metodski oblik kojim se udenik stavlja u situacijuda sam radi, da sam formira svoju matematidku kulturu, a ujedno seosposobljava da se sluZi udZbenikom, strudnom knjigom. U podetnojnastavi rad sa udZbenikom je uslovljen osposobljenoSiu udenika da tednodita tekst, 5to pomera koriSienje ovog metodskog oblika tek od treiegrazreda ( eventualno detvrtog) osnovne 5kole.

KoriSienje udZbenika u nastaviima dvojaku namenu: da udenici nauiegradivo ida pri koriSienju knjige uodavaju ono Sto je vaZno u tekstu.

Da bi se u nastavi na dasu mogao ostvariti rad sa udZbenikom. trebaproceniti da lije konstrukcija udZbenika u celini il i u pojedinim odeljcimapogodna za ovakav rad. Udenik koji pristupa obradi gradiva putemkoriS6enja udZbenika, ne poznaju6i problem u celini, ne zna koji su onielementi na kojima se zasniva nastavak rada i ne uodava odmah ono 5toje bitno u problemu. Da ne bi bio izloZen lutanju i neefikasnom troienjuvremena, za ovaj oblik rada nastavnik daje odredena uputstva u kojima seprecizira ono 5to je vaZno i na 5ta treba udenik prvenstveno da skrenepaZnju. Ovo ukazivanje na vaZne elemente, izdvajanje bitnoga, nema samoobrazovni znadaj, ve6 odraZava i vaspitnu funkciju nastavnika: to jeosposobljavanje udenika da se sluZi tekstom i da u tom tekstu 5to lakse ibrZe sagleda ono 5to je bitno.

Davanje uputstva se ostvaruje na sledeii nacin: nastavnik odmerigradivo koje treba na jednom dasu obraditi i raidlani ga na etape. Toraidlanjavanje na etape pribliZno treba da odgovara artikulaciji gradiva uudZbeniku. Zatim proudi tok izlaganja u udZbeniku i pristupa sastavljanjupitanja na koja udenik treba da pronade odgovor iz knjige. Pitanja su takoodabrana da kao celina daju osnovne teze proudavane teme. Pitanjima seusmerava rad udenika isasvim odredeno im se ukazuje na to kojim redom

treba da proudavaju gradivo i u kom obliku ie se od njih traZiti prikazmaterijala. Nalaze6i se pred konkretnim radnim zadatkom, uienik morasve napore da uloZida biga za odredeno vreme reiio.

Sastavljena pitanja nastavnik ispisuje na tabli ili ih prethodno umnoZi isvakom udeniku da listu pitanja, naznacuje stranice udZbenika na kojimase ona obraduju.

Rad sa udZbenikom nije izolovan nastavni metodski oblik, vei senuZno kombinuje sa razgovorom koji treba da usledi po5to ucenici. svakiza sebe ili po grupama, prouie materijal iz knjige. Razgovor se odvija oonim pitanjima koja je nastavnik zapisao na tabli. Udenici reagr.rju napogreSno shvaiene pojmove od strane pojedinaca i u toku diskusijeispravljaju greike. Nastavnik usmerava ovaj razgovor i stara se da se nakraju rezimiraju stedena znanja. Za obradu novog materijala planira sevreme najduZe do 25 minuta, dok se ostatak vremena utroSi na razgovoro pitanjima.

Rad sa udZbenikom rede se primenjuje nego razgovor, jer je on vezanza didaktidki kvalitet udZbenika. Domet njegove primene ograniiava i tadinjenica 5to se oblik izlaganja u udibeniku ne moZe adaptirati trenutnojsituaciji, dok se konstrukcija razgovora uvek moie saobraziti predznaniuudenika. KoriSdenju rada sa udZbenikom nastavnik mora obazrivo prici.odmeriti da li za obradu odabranog gradiva udenici raspolaZu dovoljninrpredznanjem.

Pravilno organizovan rad sa udZbenikom zahteva:

1. da u udZbeniku odgovarajuia tema bude pogodno obradena.

2. da nastavnik studiozno odabere meterijal namenjen obradi saudZbenikom;

3. da pravilno odmeri nivo prethodnih znanja uienika i da u slrrc;r;upotrebe niveli5e taj nivo shodno sadrZini onoga 5to ie obraditi;

4. da adekvatno razradi pitanja kojima se ukazuje na vaZne pojedinoslri da naznadi gde treba u udZbeniku traZiti odgovor;

5. da nastavnik pri metodidkom planiranju dasa predvidi i vremenskctrajanje razgovora koji se nadovezuje na obradu ida u svom planu razr i:ditok ovog razgovora.

I na kraju dodajmo da svaka improvizacija u pot.punosti rnoZe dakompromituje ovaj metodskioblik i da nanese viSe Stete nego da r-rd2benikuopite ne koristimo.

U r apM Pogluzme u (za koje jelemenaobzir i nprogralTodnosn<bogatuinformisza samoiz oblastsamo unastavi.

Prolkojem svremenine otkrpedago:metodiitavnih 1znanja iprocesiostvarNtj. otkritsadrZinceline.algorittmodelidovoljrteorijslPostavodredtoPera(dokaztu smimaterprogr(modeusvaje

PPra6e

50

prikazmola

rnozi Iro1inra

/CC SE

. svakiJvija o.lJu na;kusijese na

r t o 5 c

zgovor

I Vezar)rva I tarnutnojlznan jLrr pr ic i .,roljninr

U rad sa udZbenikom moZemo svrstati i programiranu nastauu. Naprvi pogled ne uodava se opravdanost takve klasifikacije' Medutim, ako seilzmb foUrir da se programirana nastava izvodipomoiu maiina za uienjeza koje je potrebno sastaviti Program, onda je odmah jasno da je bitanelemenat programirane nastave program a ne ma5ina, a uz to uzimajuci uobzir i naSe uslove, ona se obidno izvodi bez maiine, tj. samo pomoiuprograma (pisanog materijala). Programi sumarno dine jednu knjiiicu,odnosno posebnu vrstu udibenika. Danas programirana nastava imabogatu bibliografiju koja je nastavniku pristupadna i iz koje se moZeinformisati o nadelnim pitanjima te nastave i time se teoretski osposobitiza samostalno konstruisanje programa. Osim toga programiranih sekvenciiz oblasti matematike danas je sve vi5e. Stoga iemo ovde za orijentacijusamo u najkraiim crtama izloZiti osnovne informacije o programiranojnastavi.

Programirana nastava je nastala iz potrebe da se nade izlaziz stanja ukojem se nalazi nastava usled sta\nog porasta gladiva i ogtan\tenoqvremena kojim se raspolaZe za njegovu obradu. lzrazprogramirana nastarrane otkriva niSta od sadrZine, vei naiin njegove upotrebe ranije upedagoikoj praksi, a i u matematici, navodi na pogreina tumadenja. Umetodidkom smislu programirana nastava ne oznadava sastavljanie nas-tavnih programa, vec ona oznadava programiranje procesa usvajanjaznanja i nastavnikovog delovanja, polazeii od pretpostavke da se psihickiprocesi, postupci, kao i njihov razvoj mogu usmeravati. Prema tomeostvarivanje programirane nastave sadrii otkrivanje zakona usmetavanja,tj. otkrivanje elemenata procesa usvajanja znania, \ogitkih veza u nastavnoisadriinii najce\ishodnijegnatina razb\jania g\adi\ano e\emento\ne \ogi(\itce\ine. Te \og\Lke ce\\ne mogu bit\ pojmorr\, misaone operaerie. mode\i,algoritmi. Programirana nastava iz kibernetike preuzima takozvani metodmodeliranja. To se sastoji u tome da se jedan dokazni proces raiilanr nadovoljno elementarnih operacija i razradi se njihova struktura. Na osnovuteorijskih rasudivanja, posmatranja - u sludaju potrebe i eksperimenata -postavlja se hipoteza o odgovarajuiem dokaznom procesu, a to znaiiodreduje se koje operacije kojim redom se izvode. PronalaZenje ovihoperacija i njihove strukture - to je ustvari izgradivanje modela jednogdokaznog procesa. Pri ovome izraz operacija odnosi se na misaone pfoceseu smislu elemenata koji korespondiraju sa pojedinim delovima nekematematidke operacije kad se ona raidlani. Prema tome sastavljanjeprograma zahteva dobro poznavanje nastavne prakse, kako bi odgovarajucrmodel bio sadinjen od takvih operacija koje najvi5e odgovaraju procesLrusvajanja znanja od strane udenika.

Programiranom nastavom nastavna metoda se ne mehanizujePraienje psihidkog procesa kod udenika je sastavni deo nastavnikove

ia:

rradi s;r

s lLtca;r I

edino: i r

net : ;kcr razr ac l i

roZe <1ad2beni l i

5 t

aktivnosti i dini deo proveravanja hipoteza. Ono je omoguieno ako"povratno sprezanje" dobro funkcioniSe.

Sultina programirane nastave je u tome lto se nastavna grada raidlanina male celine. Celine sadrze nekoliko objainjenja iz kojih rezultira pitanjena koje udenik treba da odgovori. Ako odgovor nije ispravan, ucenik ievraia na ponovno izudavanje iste il iprethodne celine. ove kratke celine serasporeduju u takozvane "kadrove". Materijal na kadrovima je izloZen postrogo logidkom redosledu, a broj kadrova kojisadinjavaju temu je relativnoveliki.

Razlikujemo dve vrste programa:

Prvi, takozvani linearnisistem se pripisuje ameridkom psihologu Scin-neru. Po ovom sistemu sval<i kadar se deli na dva dela - levi i desni. S levestrane se nalaze tumadenja, a sa desne strane su odgovori koje uienikupoznaje tek poito je odgovorio na pitanje da bi kontrolisao pravilnost svogodgovora. PrilaZemo jedan kadar linearnog programa o skupovima:

1. Sa skupovima moZemo vriiti operacije. Jedna takva operacrla jeunija dva skupa. Znakza uniju je u. To je onaj skup koji sadrZi sve elementedat ih skupova. Na pr imer : da t i su skupov iA : {a ,b } ;3 : {c ,d } . Tada je

C : A U B : { a , b , c , d }

A r - - , B :

Na i i C :AuBako jeA : { 1 ,2 i , 3 : { 2 ,3 } C : [ ' t , 2 . 3 ]Na i iC :AwA C :A

Na i i C : AuA C : A

3. Presekom dva skupa naziva se skup koji sacinjavaju elementi kojipripadaju ijednom i drugom skupu. Znak za presek je n. Na prinrer':

A : { a ,b } , B : { a ,e } . Tada je

c :AnB={a }

4. Dati su skupovi: A : { 1,2,3,4,6,8,12,211

B : { 1 ,2 ,3 ,4 ,6 .9 .12 ,18 \ l

N a i i C : A n B

Drugi sistem je Crauderov; to je takozvanipotpuniji i udeniku daje podrobnije informacije

2 . N a d i u n i j u s k u p o v a : A : { 1 , 2 } , 3 : f 3 , 4 }{ 1 , 2 , 3 , 4 }

razmlsizloZerili-CetipredslUdenilkoju tpravilr

IsvojeProgrfmenobi trelkolektmater

Riomogradneuglavrsveskt

J rnapuiradnirudZbemateltekstzakljuprimesteknonimida dctreba

C : I l , 2 , 3 ,4 .6 .121

sistem, koji jega pokrece na

aI

Il

\racvastii viie

52

eno ako

I raiclania pitanjecenik seceline seloien porelativno

'gu Scin-ri. S levee ucenikrost svogna:

:racija je:lemente. Tada je

\ t , , B :

, 3 ]

renti kojit e f :

4 , 6 . 1 2 i

, koji jerece na

razmiSljanje. Ovde kadrovi izgledaju ovako: na jednom kadru pitanje jeizloZeno sa 20-50 redova. Na zavrietku kadra daje se viie odgovora (obidnotri-detiri), od kojih je jedan tadan, a ostali su pogreini. Pogreina pitanjapredstavljaju one gre5ke koje bi udenici, sa najviSe verovatnoie, udinili.Udenik bira jedan odgovor. Pored svakog odgovora daje se broj stranicekoju udenik treba da pogleda i na kojoj je dato objainjenje greike a ipravilnog odgovora.

Moderna nastava matematike zahteva da progranrirana nastava nadesvoje mesto u 5koli. U naSim uslovima to ie se ostvariti ne u vidu uvodenjaprogramirane nastave kao iskljudivog nadina rada, vei njenom povre-menom upotrebom u vidu programiranih sekvenci. Te sekvence po pravilubi trebalo da izraduju posebne ekipe (instituti), no danas u ambicioznimkolektivima vei same strudne grupe izraduju odredene programiranematerijale.

Radne liste i radne sveske su nastale iz nastojanja da se uienikuomoguii samostalno formiranje sopstvene matematidke kulture. lzmeduradne liste i radne sveske nema strukturalne razlike. Poiedinadni listovi. koieuglavnom sastavlja nastavnik pa ih umnoZi, mogu se povezati u jednusvesku.

Jedno obeleZje kvalitetnog usavriavanja udZbenika ogleda se unapuitanju takozvanih informativnih udZbenika i u njihovom zamenjivanjuradnim udZbenikom. Krajnji domet radnog udZbenika je programiraniudZbenik. Suitina radnog udZbenika je u tome ito vodi do otkrivanjamatematidkih sadrZaja (pojmova, definicija, formula itd.). Uienik iitajucitekst postavlja pitanja, il i posmatrajuii odredene crteZe izvodi izvesnezakljudke. Te knjige sadr2e i zadatke na koje, prilikom reiavanja, ucenikprimenjuje svoja znanja. Medutim matematicka saznanja ucenik nroZe dastekne i reiavanjem takvih problema u kojima na datim slikama, grafik-onima treba da dopuni elemente, da dopuni sam crte il i slicnim akcijanrada dode do izvesnog zakljudka. Na primer, daje se zadatak u kojem uceniktreba da dovrii crteZ i da pronade zakon pridruZivanja elemenata:

B

O r o

O . 1

53

Da bi se omogu6io rad i na ovakvim zadacima, a pritome da se izbegneprecrtavanje iz knjige, udeniku se daje gotov radni list ili radna sveska.

Medu radnim listama i testovima ipak ima bitne razlike. Radne listesluZe da uienik njihovom upotrebom stekne nova znartja ili utvrdi pos-tojeia, dok na testovima on treba da potvrdi svoje znanje (ako je rec otestovima znanja), tj. test je merni instrumenat sa pretenzijama objektivnogkaraktera kojim se utvrduje dostignuie u matematidkom obrazovanjuudenika.

Pismeni radovi

Matematika kao nastavni predmet odlikuje se jednom karakteristikonrpo kojoj se u mnogome razlikuje od ostalih predmeta. Ta karakteristika seogleda u okolnosti da se veii deo aktivnosti u nastavi ovog prednreta odvijau pismenom obliku. Odnos dela nastave koji se odvija u nepisanom ipisanom obliku, u prvoj fazi podetne nastave ide u korist usmenog oblika,no postupno pismeni oblici rada zauzimaju sve viSe mesta. Tradicionalnametodika je razradila opdte principe organizovanja odredenih metodsl<ihpojedinosti pismenih radova. Stoga se ovde neie govoriti o funkcrjrdomaiih zadataka, kontrolnih zadataka i klasidnih pismenih zadataka.

Na ovom mestu od pismenih radova izloZiie se pitanje takozvanogmatematidkog diktata, koji kao elemenat savremene nastavne matemalil<ezasluZuje odredenu painju posebno u kasnijoj fazi podetne naslavermatematike.

Matemetidki diktat je opravdan sledeiim faktorima: matematika imasvoj specifidan stil i jezik - pa ako ga ima, onda se na ovaj jezik nloZeprevoditi kao 5to se i sa njega moie prevoditi. Ovo prevodenje govornoqjezika na matematidkijezik il i obratno, realizuje se putem matematiikocldiktata. Neosporno je da je u matematici bilo i do sada ovakvih prevodenja.kao 5to je postavljanje jednadina pri reiavanju tekstualnih zadalaka(problema), no ono nije bilo u sistematskom obliku, nitije bilo posebnouveZbavano.

Posebna matematidka simbolika, a pogotovu njeno bogatstvo u mod-ernoj matematici, te impliciranje elemenata matematitke loqike, daiuposebnu aktuelnost matematidkom diktatu. Diktat se ostvaruje r-t cjvaPravca:

1. Nastavnik diktira tekst koji utenici zapisuju u obliku formula,jednadina, simbola.

2 . N izapisuju t

U sklDiktattreu grupu l

Sho<Zbir brojrrazlike brpodeli sapromenlodgovarisvako x I

Naslumestopodeliti .pravom:tih reierie uradinapisanPrednostome 5t,reagovakontinumatemipoito rmetodi,

lltt

Kzmatena i k a spostetmenastava i

Dza obkonstl

t r A

ie izbegne/esKa.

adne listeivrdi pos-r je rec orjektivnograzovanju

erist ikonr. . i ^ l ; 1 , ^ ^ - .r r ) L l n d 5 c

eta odvija, isanom irg obl ika.ic ionalnaretodsl i ihr f unkc i l rr ta ka.

(ozvano. ltemat i l r inaslav(l

ttika ini,rlk moze_go\o{i\(lq)matichogevodenja.zadata kaposebno

'o u mod ,ike, da juqe Lr clva

formula.

2. Nastavnik dita izraze, operacije, jednacine, simbole a uienici tozapisuju u vidu teksta u svesku.

U sklopu jednog diktata treba da budu zastupljene obe varijante rada.Diktattreba da traje 10 -15 minuta, te u izvesnom smislu moZe da se uklopiu grupu kontrolnih zadataka.

Shodno ovome nekijezidki tekst bi, na primer, mogao da glasi ovako:Zbir brojeva a i b je c.Za dva uveiati razliku brojeva a i b. Koliinik zbira irazlike brojeva a i b je c. Kvadrat trostrukog zbira bi'ojeva a i b. Ako se apodeli sa b, kolidnik je c, a ostatak d. Zbn se ne menja ako se red sabiral<apromeni itd. Dalje, u vezi sa ovladavanjem pojmovinra iz teorije sl<upova iodgovarajuiom simbolikom, moZe se konkretizovati ovakav diktat: 'Za

svako x koje pripada skupu A" il i neito slidno.

Nastavnik moZe ostvariti i jednu drugu varijantu ovog rada. Nairne.umesto da diktira tekst, on ga moie napisati, umnoZiti i svakom ucenil<Lrpodeliti jedan list koji ie biti podeljen na dva dela jednom vertikalnonrpravom: sa leve strane ie biti redenice napisane govornim jezikom. Prevodtih redenica, tj. ispisivanje matematidkom simbolikonr (jezikoml ucenik6e uraditi na desnoj strani. Zatim ie u nastavku sa leve strane biti tekslnapisan matematidkim jezikom, a udenik ie pisati prevod sa desne stran€)Prednost diktiranja nad dodeljivanjem unapred napisanog teksta jeste utome 5to nastavnik podeiavanjem brzine diktiranja moZe da utiie i na br2,c-:reagovanje udenika, no ukoliko pak prebrzo diktira, udenik ce iz5tubitikontinuitet pisanja i demoralisaie se u radu. Sastavljanle tr:listamatematid.kog drktata nije laka stvar, vei iziskuje ozbi)jne pripreme l'1opoSto maksimalno angaZuje udenika, matematitki diktat ima odreclerrLrmetodidku vrednost te zasluZuje ozbiljnu paZnju.

Ilustrativno - demonstrativna metoda

Kao metodsku pojedinost zbog posebne aktuelnosti u podetnol nastavimatematike, prvo iemo pomenuti upotrebu slika. UdZbeniciza prvi razrecl.a i kasnije obiluju slikama. U podetnoj nastavi matematike rad sa slikanrapostepeno zamenjujemo koriicenjem crteZa, grafikona i tablica Sirir pri-mena ove metode omogucena je pojavom savremenih nastavnih srecjstava i raiunara.

Demonstrativni radovi u podetnoj nastavi matematike su bitni ne :;i)rrr()za obradu pojmova iz geometrije, vec izvedeni pogodnim materij,rlinrakonstruisanim specijalno za obradu odredenih pojmova, inraju zrra(ajnu

55

funkciju i u nastavi aritmetike i algebre. Tako, na primer, kao didaktidkimaterijal koristimo logidke blokove, Stapiie, radunska pomagala, udila zamerenje figura itd.

Laboratorijsko - eksperimentalna metoda

Apstraktnost matematidkih pojmova iskljuduje eksperimente i manipu-laciju njima u fizidkom smislu, a dolaZenje do matematidkih pojmovadominantno je zasnovano na prirodnim modelima realnog sveta . Zbogtoga se laboratorijsko-eksperimentalna metoda relativno malo primenjujeu nastavi matematike. To, naravno, ne znaii da se didaktidki materiiali isavremena nastavna sredstva malo koriste, vei da je njihova Siiokaprimena ostvarena uglavnom putem drugih metoda . U podetnoj nastavimatematike, upotreba didaktidkog materijala kao 5to su logidki blokovi,5tapi6i, radunska pomagala, udila za merenje figura itd., sadrZi elementeeksperimentalnog, odnosno, laboratorijskog rada. Takode koriSienjeradunara i obrazovnog softvera u nastavi matematike izuzetno moZe imatikarakter eksperimenta.

3.3. Savremene nastavne metode

Sistem problemske nastave

Zalaganja za problemski pristup u nastavi matematike poticu od prvihreformi tradicionalne nastave. S. Prvanovii naglaiava vodecu ulogustuara/aike metode problema, koja omogucuje udeniku da samostalnoizgraduje matematidke strukture. Pri tom on smatra da se matematiakasaznanja ostvaruju kroz vodenje matematidkog obrazova nja pos red stvo n-rmatematidkih sadrZaja. 0 pristupu vodenja matematidkog obrazovanja ovametoda respektuje kibernetidko gledanje na nastavu kao upravljiv proces.Pri tom problem je tako odmeren i komponovan da izaziva ideje i noveprobleme, 5to je znak da se udenici dobro vode.

S druge strane, ako se za svaki novi problem traZi uzor u ranije re(enimproblemima, onda se i ne radi o problentskoj na.stauivec o asocijativnomudenju. Prethodno stedena znanja imaju znadajnu ulogu u novoj problem-skoj situaciji tek ako su usvojena odgovarajuiom procedurom i upotre-bljena ne samo da se potvrduju vei i proiiruju.

:IiI

I

r

t

;

pfl

51

iz1ttZ'

p

pI

r

56

didaktidkia, utila za

iman ipu-pojmova

zta . ZbogrrimenjujenaterUali irva Sirokaroj nastavi<i blokovi,elementekoriSienjeroZe imati

r od prvihcu ulogurmostalnotematrcka;redstvon'trvanja ovaiv proces":je i nove

e re(eninr:ijativnomproblem-i irpotre-

Metoda otknia i/i heuristiika metoda je u tesnoj vezi sa uieryentputeln reiaua4l"a problenza, koja se zasniva na razvijanju sposobnostistvaraladkog miSljenja. Udenje reiavanjem problema, sem prednosti uboljim efektima udenja, razvija iopite sposobnosti udenika za obrazovanjei udenje. Pored navedenog, otkrivanje ostvaruje sintezu intelektualnih,motivacionih i didaktidkih komponenti udenja. U sistemu problemskenastave centralno mesto zauzima problemska situacija.

Problemska situacg'a. Polazeii sa stanovi5ta didal<tike i psihologije.razlike izmedu problema i problemske situacije postoje, a na njih ukazujeR. Nidkovii: "Problemska situacija predstavlja podetnu kariku u reiavanjushvaienog i prihvaienog problema i kao takva ona je doiivljaj neizvesnosti,odekivanja, zbunjenosti, radoznalosti, tenzije".

Smisao problemske situacije jeste da motiviSe ucenike za reiavanjeproblema. Razlog nastajanja problemske situacije jeste izvesna protivu-rednost koja je sadrZana u problemu. Kod udenika se pobuduje intere-sovanje i Zelja da se dode do ukidanja protivurecnosti. O prirodi problemai problemske situacije S. Prvanovii istide: " Staviti udenika pred problemznadi dati izvesne podatke i postaviti odredeni cilj koji on treba, koristeiite podatke , da postigne. Staviti i l i dovesti udenika u problemsku situaciju.znadi omoguciti mu da 'vidi' neke relacije, a prepustiti njemu samom dapostavlja ciljeve, tj. odredene probleme"-

Problemska situacija se stvara pogodnom pricom, interesantnimvizuelnim efektima, nedim 5to ie zainteresovati udenike za reiavanieproblema koji iz te situacije nastaje. Problemske situacije su neophodne zaudenike mladih uzrasta, a treba da budu realne i zanimljive, ali njihovomatematidko modelovanje ne sme zaseniti problem. MoZe se smatrati dare5avanje problema predstavlja niz sloZenih intelektualnih operacija J.Dordevii te operacije raSdlanjuje na etape:

1. Uoiauarye problema. U ovoj fazi udenik postaje svestan postojanjaproblema kao teikoie koju treba reiiti.

2. Ra4biry'auaryie prol:/ema. U ovoj fazi udenici se priseiaju drugihdinjenica, relevantnih za reSavanje problema i vrie selekciju onih koje suim u toj situaciji neophodne. Problem se sada detaljno razlaLe, a moglr seformulisati i odgovarajuia dopunska pitanja. Ako je potrebno, traZe sedetaljnije i Sire informacije, kao i pomoina sredstva.

3. Postau/furye htpoteza i prccerytuarye 411/touih tntp/iA'ac42z. Prireiavanju problema uienici postavljaju hipoteze. Posredstvom hipoteza,relevantnih dinjenica i iskustva kojima raspolaZu , udenici, rasudivanjem,nastoje da dodu do rezultata koji proizilaze iz postavljenih hipoteza. U ovojetapise sagledava relacijskiodnos: POCETAK - KRAJ.

,:'7

4. Venfikouarye htpoteze. U fazi preispitivanja, neke hipoteze se od-bacuju kao neadekvatne, druge se prihvataju i obrazlaZu. U stvari, sada seprocenjuje adekvatnost nadenog reienja, a ono podiva na kritidkompreg.ledu postavljenih hipotezaiu ovoj faziposeban znidal ima proveravan;erezuftata mi5ljenja u praksi. zbog toga udenike treba osposobliavati darezultate svog miSljenja stalno proveravaju.

. u fazi reiavanja problema udenici su usmereni na trazenje puteva kojivode do reienja problema. Reiavajuii problem udenici ss susreiu s"anekom teSkoiom, sa spornom situacijom, kao i sa prazninama llmisaonom toku. Tu prazninu treba uz pomoi novih podataka popuniti rrei i t iproblem.

Za pripremu i obradu nastavne jedinice primenom problemske nas-tave, pored.opite strucnih i metodiikih zahteva, neophodno je utvrditiodgovaraju(u oryranuactonu strukturu. Mi smo se opredelili zb sledeietazei

/. Stuararye problenzske sttuacg'e / formulisarye prcb/enta

2. Posta ulia rye htpoteze

3. Dekompozlcyb I reiauarye problerna

4. Anal2a rezultata, tzuode4le zakg"uiaka t generaltzactya

5. Pnmena sleient/t znary'a.

Posebno se mora voditi raiuna o zahtevima koji se postavljaju precludenike i o moguinostima da oni odgovore na te zahteve. Pocjmogudnostima udenika podrazumevamo stepen njihovog razvoja, pre-thodno steiena znanja i iskustvo u vezi sa oblaiiu koia se obradtrjc.sklonost ka reSavanju problema itd. Najbolji rezultati u problemskoj nastavrse- postiZu ako su zahtevi malo iznad ucenikovih moguinosti, jer taclaudenici ne primenjuju direktno od ranije poznate 5eme, vei tra2e noveputeve dolaska do reSenja.

Tok dasa (uprimeniprob/entske nastaue) treba da se odvija po napreclnavedenim fazama, ali to ne treba shvatiti suviSe kruto. Takode u oroarri,zaciji dasa mogu se uspeino koristiti i drugi nastaunl slstenzz. uobicajenapodela nastavnog dasa matematike na preparativnu, operativnu, veriiika-tivnu ifazu domaiegzadatka, moZe se lako poitovatiiu ovako predloZenojstrukturi.

VaZan uslov za uspeinu primenu problemske nastave je i pravilnoodabiranje_.nj9nog nivoa, tj. stepena aktivnosti udenika u re5avanjr_rproblema. Veiina autora istide detiri razlidita niuoa problernske nas'/au€-.

lproblje na.oslan

2ukazrAko:slutapoku

:nastzuden

da saprobl

IPrverprim,"Zdrz

(shva'Paro'meslprimsabirviSeiosobsloZezadarazvl.

viSinoblil.

stvaljednPutaimasvojr

5B

ieze se od-lri, sada se

krititkomoveravanlerbljavati da

puteva kojiJSTCCL] SA:ninarna lr

popLrni t i i

:mske n.rs-r 1e utvrditiza sledece

ta

vr,jaju predteve. Porizvoja. pre-obradr rjc

koj nastavr. i , jer tadatraZe nove

po napreci: u organi-Iobiiajena-r, verifil.la-redlo2enoj

i pravi lnoreiavanjr.tna.5/al/)(:

7. Problemski mono/og. Realizuje se primenom informacionih iproblemskih pitanja na koja u osnovi odgovara sam nastavnik. Ovaj nivoje najniZi, te se koristi samo ako su nastavni sadrZaji potpuno novi i neoslanjaju se ni na kakvo prethodno znanje i iskustvo udenika.

2. Prob/enzski dy'alog. Nastavnik pred udenike postavlja problenr,ukazuje na pravce njegovog reiavanja, a kroz dijalog se dolazi do reienia.Ako se to ne desi, vei nastavnik sarrr saopiti rezultate, nastava i u ovakvimsluiajevima zadrLava atribut problemske nastave. jer su ucenici Llpokuiajima da dodu do reienja bili aktivni udesnici.

3. Samosta/no reiauarye problema. Na ovom nivou problemskenastave nastavnik formuli5e problem i stvara problemsku situaciiu. audenici samostalno dolaze do resenja.

4. Samostalno formu/isarye i reiauaryeproblenza. Ad uienika se tra2ida sami formuliSu i reiavaju problem, a nastavnik ima zadatak da pripremiproblem i stvori uslove za realizaciju.

lzbor oblika i sredstava u primeni problemske nastave mora bitiprvenstveno u funkciji aktivnog udeiia udenika. Za ilustraciju navodimoprimenu strukture problemskog dasa u obradi nastavne jedirrice" Zdruil ua 41ie sa b I ra ka" (a so cij ativn ost sa bi ra nj a ).

Osnovni obrazovni zadalak iasa je da udenici zdruZivanje sabirakashvate kao osobinu sabiranja koja dopuita slobodu zdruZivanja ureclenihparova sabiraka u trodlanom (viSedlanom) zbiru, respektujuci rasiroredmesta sabiraka. U to se udenici uveravaju indukcijom na ocJgovar,rjrrcinrprimerima u klasicnoj nastavi. Ova osobina, zajedno sa zamenom nresrasabiraka (komutaliunosf -sabirary'a), omoguiuje grupisanje sabiral<i,r LrviSedlanim zbirovima, kasnije iu polinomima, a presudno utite, zajedno saosobinama drugih operacija, na pravilno shvatanje uloge zagrade Ltsf oZenim izrazima. Pored navedenog, prisutni su i drugi obrazovni i vaspitnizadaci kao 5to su: uveibavanje sabiranja, matematidkog modelovanja,razvijanje kreativnog miSljenja udenika itd.

Strukturom dasa po opisanom modelu uspeino se realizuje cill naviSim nivoima problemske nastave. Tok casa opisujemo u skradenorrrobliku, navodeii samo njegove osnovne elemente:

1. Heurist idkom besedom uz not iranje bi tnih podataka. nastavnikstvara problemsku situaciju, a zatim dijalogom formuli5e problenr: "Ujednoj Skoli postoje tri ietvrta razreda koja su u toku ikolske godine dvaputa iSla na izlet, u kompletnom sastavu. Odeljenje IVr ima 30 udenika. IV:,ima 29 udenika, a lV: ima 32 udenika. Sve ove brojke uienici r-rpisu;u rrsvoje sveske. Na prvi izlet udenici su doili tako Sto je najpre stigao autobus

59

sa udenicima iz IVt i IV2 , a malo zatim i drugiautobus sa ucenicima iz IV:. U ovom momentu nastavnik zahteva od udenika da formiraju zapis:(30+29)+32, kojim se izradunava broj udenika na izletu.

Na drugi izlet udenici su stigli tako ito je prvo stigao autobus saudenicima lVl , a odmah zatim iautobus sa udenicima IVz i lV: . Od uienikase takode zahteva da formiraju izraz: 30 + (29 +32), kojim se izradunava brojprispelih udenika.

Dijalogom se dolazi do odgovora na pitanja, kao Sto su: Kakvi sumedusobno dobijenizapisi? Po demu se zapisi razlikuju? Kakve su vrednostidobijenih zapisa, odnosno zbirova?"

2. Formiranje hipoteza se prepliie sa formulacijom problema, a re-alizuje se odEovorima udenika na navedena i slidna pitanja.

3. Udenici se uveravaju u tadnost hipoteza, odnosno reiavaju formuli-sani problem izradunavanjem zbirova, a poito dobiju istu vrednost 91 . pisujednakost:

(30 + 29) + 32 : 3O + (29 + 32)

Osim navedenog neophodno je da udeniciurade jedan do dva primeraiz udZbenika bez obaveze matematidkog modelovanja.

4. Na osnovu navedenih primera u prethodnim fazama, ucenici irtrlr,rttc1/om samostalno generalizuju pravilno zdruZivanje sabiraka:( a * b ) * c : a + ( b + c ) .

Nadalje zakljuduju da je mogui zapis zbira u kome se izostavljajuzagrade: a+b* c: (a *b) f c:a* (b + c)

5. Udenici samostalno primenjuju pravilo zdruZivanja sabiraka nazadacima u kojima se neposredno vidi njegova svrsishodnost. Npr. Nanajbr i i i naj lakSinadin izradunaj zbir : 37+91+9.

Poito su udenici prethodno upoznati i sa zamenom mesta sabiraka

Togu se zadavatiizadaciu koiima se pogodnim grupisaniem izra{unavarbt nekog antrneti(kag nfza prxodn\h blojela. f\a kaju i.asa za domar\rad treba zadati kombinovane zadatke iz udZbenika.

Sistem metoda kibernetike

Kibernetidke metode (prema C. Mejeru), zasnivaju se na opitinr me-todama miiljenja inastavu matematike posmatraju kao kibernetidki sistem.

Primeruspostmetod,

Al

Q:

analizzjedinst

Arelemeusposdinih I

Mproucokolnirada i

Auoci ripo plzmanif

znacabno crasdle

I(

p0it(

z

I

nicima iz IV3niraju zapis:

autobus saOd uienikarcunava broj

u: Kakvi susu vrednosti

,lenra, a re-

aju formuli-rst91 . pi5r-r

lva primer ar

:nici tnr/i.,,tr -

sabiraka:

izostavljaju

rbiraka nat. Npr. Na

a sabirakaizraiunavaza domaii

>Stim me-:ki sistem.

Primenom ovih metoda upravljanje nastavom matematike se vrii pomoiuuspostavljenog sistema povratnih sprega - otuda je i naziv kibernetidkemetode.

Analitiiko-sintetiika metoda

sam naziv ove metode. govori da su u njoj primarni misaoni procesanaliza isinteza. Analiza prethodisintezi, one se dopunjuju itinL a,JateLtiekojedinstvo.

Analizom se otklanja sve ito je nebitno a otkriva se struktura, grada ielementi, kao i funkcija i nadin delovanja posmatranog objekta. Sinteza seqlqgsjavlja. osmi5ljenirn poveziva njem

-ele m enata i ko"m bin ova nj em p oje -

dinih funkcija i kompleksa.

Metoda proudavanja.svakog sistema je ista: Rastavljanje na delove,proucavaanje svakog dela, proudavanje veza medu delovlma i veza sokolnim svetom, i konacno, na osnovu svega toga, razumevanje njeqovograda iupravljanje njime u granicama ljudsk-e mJgucnosti.

Analizu udenik kori.sti kad god je potrebno da neki pojam prouti, dar-roii.razne njegove manifestac'rje iosobine. Analizu svakako ireba'sprovoditipo planu. Prilikom sintetizovanja udenik pronalazibitne elemente, osobine,manifestacije pojrrra i tako ga izgraduje.'

Medu metodidarima vlada.miiljenje da su analiza i sinteza od velikoqznadaja u nastavi matematike. Medutim, za ove misaone procese je potreibno,da.uienici imaju vei neka predznanja kako bl mogii iamostalno darasclanjuju celinu.

Koristeii se ovom metodom kao dominantnom u radu, uienik sepostepeno, osposobljava da kritidki posmatra okolinu, da razlikuje bitno odT?nje. bitnog i nebitnog, Sto je veoma vazno za usvajanje ,nunll iz drugihoblasti.

Algoritam analitidko-sintetiike metode:

1. Posmatraj najpre celinu, postigni potpun pregled celine!

2. Rastavi je u delove, elemente! prodist i i steknit ime uvid u strukturul

3.lzrazi funkciju elemenata kao pojedinadnih objekata iu celini!

4. Pokloni paZnju najznadajnijim delovimal

5'l

5. lstraZi obostrane odnose i medudelovanje bitnih delova!

6. lzgradi ponovo celinu!

7. Uporedisa sl idnim predmetima i nadizajednidkipojam!

B. Primeni u praksi nove informacije! potraZiinvarijante!

. ova metoda je vrlo primenljiva u podetnoj nastavi matematike. uceniketreba osposobljavati da 5to viSe sami anarizirbju i sintetizuju, a nastavnik jeprisutan kao organizator.

Metoda kvantovanja

Kod prenosa.signala kibernetika, primenjuje i postupak kvantovanja.01 se-sastoji u tome da se neki slozeni sistem zbog-jednostavnijeg iefikasnijeg ispitivanja razloLi na podsisteme. Razlaganle rioze bitis obziromna vreme i na sadrZaj, ili s obzirom na oba faktora. 0 nastavi matematikese kvantovanje desto primenjuje s obzirom na sadrZaj i implicira progran-ll-rano uienje.

L. Landa smatra da je suitina savremene nasrave unastavi. Ova nastava u savremenim uslovima treba dauslova:

programiranojzadovolli detiri

Met

Kadiizdvajanjrposebno,

Ovaaktivnostgeneraliz,

Procniza razli<nekog pc

Ovametoda r

Met,

Zakisvesnimvreme uskorak polovanju izPri tom Iuvek u nrazvija i u

easodnosnocelog sisl

Neki

Dakhi za utvrd

_ 1. Realizuje s9 pomoiu automatskih i poluautomatskih uredaja zaudenje (pre svega kompjutera).

. 2. Predvida podelu nastavnog gradiva na porcije, a nastavnog procesana ko-rake ipostavljanje udeniku pitanla, nakoh suakog koraka koji'zahtevaodreden odgovor: na osnovu odgovora se sudi aut6matski o karakteruusvajanja gradiva.

3.. Pretpostavlja qe postojanje povratne sprege a uredaj za ucenjesposoban je da izmeni tok nastave zavisno od rezul-tata usvalan;a gradivi.

4. ostvaruje adaptacuu nastave., prema karakteru i dinamici usvajanja?n?-njq, veitina, navika od strane. svakog udenika, a takode prema njegbvimindividualnim osobinama (individualizacija nastave).

Uieniketavnik je

rtovanja.rvnijeg iobzirom:ematikeogrami-

rmiranojrlj i cetiri

:daja za

Procesazahtevalrakteru

udenjeryadiva.

Metoda aplrtrahovanja ili idealizacije

Kada se govori o apstrahovanju, tada se misli na misaoni pfocesizdvajanja opiteg i odbacivanje posebnog ili na misaoni proces izdvajanjaposebnog, a odbacivanje opiteg.

Ova metoda se u nastavi desto koristi, a narodito u obliku misaoneaktivnosti izdvajanja opiteg i odbacivanja posebnog, 5to se svodi nageneralizaciju.

Procesu apstrahovanja prethodi proces analize kojim r-rcenik dolazi dcrniza razliditih karakteristidnih svojstava nekog pojma. Prilikom deliniserrrjanekog pojnra uienik odbacuje nebitno.

Ova metoda moZe se koristiti kao samostalna, ali i kao dopunskametoda nekoj drugoj metodi.

Metoda sistematizacije

Za kibernetiku je karakteristidno da postavlja zadatke koje treba reiil isvesnim miSljenjem. Ona planira upravljanje i regulaciju da bi kroz nekr>vreme usmeravala odredenu radnju. Takvi se zadaci reiavaju tako da sekorak po korak pribliZava postavljenom cilju, te se u postojanom medude'lovanju izmedu zadataka i reSenja pronalazi najpovoljniji put do toq cilja.Pri tom posmatrani objekat dovodimo do uvek nove veze i gledanro qauvek u novim odnosima. Time se predmet, odnosno sistem postupnclrazija i usavriava dok se ne postigne postavljeni cilj.

Cas matematike se ne moZe ni zamisliti bez faze sistematizacije.odnosno prelaZenja sa uodavanja pojedinadnih elemenata na posmatranjecelog sistema.

Neki dasovi matematike se mogu organizovati samo ovom metodom.

Dakle, ova metoda je pogodna za obradu svake nastavne jedir-rice . kacri za utvrdivanje nakon svake tematske celine.

;va;anjaegovim

63

Metoda analogije

_ Metoda. analogije svojom suitinom predstavlja misaoni procestraienja, otkrivanja, uspostavljanja slidnosti i razlike-medu erementima,objektima, pojavama i sistemima. MiSljenje u analogijama je prelaZenje sajednog sistema na drugi.

ova metoda je vrlo laka i zato je udenici vrlo desto koriste. pririkomnailaska na problem udenik traZi neki slidan vei reien zadatak i alqoritamkoji mu je pomogao da ga reSi.

. M.eloqom analogij_e Togu seispitivatiosobine samo onih objekata kojipripadaju istom rodu. Prilikom njihovog uporedivanja i nalazenja

-analog nih

elemenata sluzi se analizom. Medutim,-ne treba-uzimati u-obzir s5moslidnosti izmedu tih objekata nego i razlike. uodene slidne elemente trebarangirati prema vaZnosti za reiavanje datog problema. udenicima trebaskrenuti paZnju da- budu obazrivi prema metodi-a na logije. Za kljuda k izvedenanafogijom. nije dovolj.no matematidki pouzdan. zito je desto potrebnonavesti i primer pogreSne analogije.

Algoritam metode analogije:

1. PrikaZi novo pomoiu analogija s ranijim! \

2. PrikaLijednakosti slidnosti, ali i razlike!

3. Dovedi do novog saznanja ono 5to je inace vei izgradeno i proverenou praksi!

Metoda transformacije

ova metoda se primenjuje kada se prelazi sa jednog nadina prikazi-yanja na drugi. ona olakiava udeniku da pamti samo centralnu formulu,dijom ie transformacijom dobijati druge formule.

Na primer, dovoljno je da udenik zapamti centralnu formuru za povriinupravougaonikaP:a. b iz koje moZe dobrtia ako je poznato p i b, il i b akoj e p o z n a t o P i a .

ova metoda moZe da se koristi kao centralna metoda, a i kao podrikanekoj drugoj kibernetidkoj metodi.

Mel

SuitponaSaponaian

Sto jidentidarda posm

Z a nmoZe jas

u kitoriginala.

Metomatematmatemat

AIgo

1 . O

2. At

3 . O

4 . l z ,

5 . D

6. ls

7 . P t

B . V

9 . M

Svalsimbolik

Matrnastavi r

64

^>---

proces3nt ima,:enje sa

'ril ikom

;oritam

ata kojirlognih' samoe trebal trebazvedentrebno

/ereno

rikazi-mulu,

yriinub ako

drSka

Metoda modela

suitina metode modela je u tome da se iz modera zakljuduje kako seponaia original, zato model mora imati vazne elemenfe struktrure iponaianja originala, i to preglednije ijasnije od originala.

519i. model savr5eniji, to nas viSe priblizava originarrr. on ne moze bitiidentiian originalu j zatg.ostaje samo njegova kopila. zadatak modela jeda posmatratu istakne bitna svojstva, a-da zanemaii sporedna.

Za model se moze reii da je neka vrsta apstrakcije. Fomoiu njega semoZe jasno i pregledno predoditi zavisnost izmedu stvari i pojava.

u kibernetici se insistira na analogiji (slidnosti) u ponaianju modela ioriginala.

Metoda modela kao nastavna metoda, najcei6e koristi simbolickimatematidki model. .. Pona5anje originala se opisuje pomoiu skupamatematidkih i logidkih relacija.

Algoritam metode modela:

1. Odredivanje originala

2. Analiza originala

3. Odluka o uvodenju modela

4. lzgradnja informacione baze modelovania

5. Definisanje modela

6. lspitivanje na modelu

7. Prenos informacija sa modela na original

B. Verifikacija dobijenih informacija na originalu

9. Modifikacija modela

svaki zadatak se svodi na matematidkijezik. izralavase maten-ratickomsimbolikom i reiava se primenom matematidkih operacija.

Matematidko modelovanje se koristi i prilikom primene radunara rinastavi matematike.

65

Mel

Ovase ispitastihijskose u starali ne oshipotezapozitivnt

Mocreienja.ne zadotje reSenj

Upsamo jerPrimenadinamidlacija m,

Metoda modela je od izuzetne vaZnosli za raziianje odgovarajucihintelektualnih sposobnosti udenika, jer se ostvaruje preko analize i sinteze,apstrakcije i konkretizacije, indukcije i dedukcije, uporedivanja i analogije.

Irletoda "Crne kutije"

Metoda "crne kutije" je vaZna u kibernetidkom radnom procesu.

Ovom metodom se ponaianje sistema posmatra samo preko ulaznihiizlazihvelidina. Ponaianje sistema metodom "crne kutije"moZe biti aktivnoipasivno.

Aktivan nadin je kada se deluje preko ulaza sistema poznatim ulaznimvelidinama i prate promene izlaznih velidina. lzlazne informacije daju po-datke o unuira5nloj strukturi sistema tako da se stvara pretpostavki ounutrainjosti sistema ("crne kutije") . Na osnovu pretpostavke se stvara imodel njene unutraSnjosti.

Pasivan nadin je kada se vrSi posmatranje ponaianja sistema prekoulaznih i izlaznih velidina.

U nastavnom procesu za nastavnika je udenik "crna kutija" . NastavnikteZi da sazna kojim se misaonim procesima udenik sluZi u procesurazmiSljanja. Do takvih podataka se dolazi aktivnim nadinom. Ulaznevelidine u ovom sludaju su nastavnikova pitanja. Udenikovi odgovori suizlazne velidine i na osnovu njih nastavnik zakljuduje o stanju sistema(udenika).

66

VlIRANJE

-t, I

J

ACIJA.COMR

'arajuiihsinteze.

ralogije

'u .

, uiaznihaktivno

ulaznimlaju po-tavka ostvara i

a preko

rstavnikrrocesuUlaznevori su;istema

luletoda "Pokuiaja i pogreiaka"

Ova metoda se sastoji u tome da se nadine sludajni pokuiaji kako bise.i.spitao neki predme!, poja-va ili sistem. Treba istaii da nije u pitanjustihijsko dola_zenje do reSenja. Put do reienja je usmeren i nelogidna ieienjase u startu odbaciju. Naravno isvaki sledeii pogre5an pokuiajie odbacuj-e.ali ne ostaje zaboravljen. Pogreike se analiziraju i na osnovu loga se stvarahipoteza {oja se stalno proverava. Negativne rezultate odbacujemo. apozitivne dalje razradujemo.

Modifikacija ove metode se sastojiu tome da se udenicima ponudir,r{ereSenja. Kada dobije reSenje. udenik ga uporeduje sa ponudenim. Ako onone zadovolj-ava odekivanja, vraia se na ponovno reiavbnje tog zadatka. Akoje reienje dobro, reiava sledeii zadatak.

U.praksi skoro i nema dasova matematike na kojima se primenjujelamo jedna. nastavna metoda. Mnoge metode se kombinovano primenjuju.Primena viSe nastavnih metoda na istom dasu, pa i istovremeno, eini gadinamidnijim i efikasnijim. Svakako treba da postoji odgovarajuca koi6-lacija medu primenjivanim nastavnim metodama.

67

"Oni koji i-sk[uiiuo c-ene pnksu bez teoiy.;h'h

osnaLa s/lini.su ntore4tloucu kcyi ulazi u brod

bez ttntrc [ busole, ne znaiui[ kuda se piou|."

L. da V ind i (L da V inc i )

4- MESTO I ULOGA A,DATAKA U MI{TEMATIEKOMOBRAZOVANJU I METODII{A NJIHOVOG RESAVANJA

4"1. Mesto i uloga zadataka

ReSavanje problema i raznih zadatka predstavlja vrl rr.rrrAr..matematidkog obrazovanja i matematidke kulture udenika.

Prema Kruteckom matematidke sposobnosti ucenika marrifesli riir seu slede6em:

- sposobnosti formulacije malematiikog mat.erijala, odvainnie for.ineo d sadri-aja, apstra hovanje kon kretni h od nosa,

- sposobnost odvajanja bitnog od sporednog,

- sposobnost operisanja brojevima, znacima, simbolinra,

- sposobnost logidkog miSljenja.

- sposobnost rasudivanja, miSljenja po odredenim st.rurkturarna

- sposobnost obrtanja misaonog procesa.

- gipkost miSljenja, sposobnost lakog napuitanja jedne oper.)(.U{-. iprelaz na drugu, oslobadanje od Sablona,

- sposobnost pamienja matematidkih iinjer-rica i relacija.

- snalaZenje u prostoru i sposobnostprostornog predstavljanja.

Samo reSavanjem zadataka ne moZe se steii matematiiko olrrazovarrj<,ri matematidka kultura, posebno ako se radi pleteZno o formainirn il i"prepariranim" Skolskim zadacima. u kojima ne postoji pot.reba i.lmisaonim aktivnostima, vec se reSavaju neposrednom primenclr)) rJ[)fdr.rrirsavladanih teorijskih sadrZaja, po ugledr-r na izloZene primere.

69

Da bi nastava matematike dala pun doprinos razvijanju matematidkihsposobnosti udenika, i reiavanje zadataka treba da se zasniva na otkrivanjuteorijskih relacija u praktidnim problemima. Nije prihvarljiva, inade cJostaraiirena praksa po kojoj se primena znanja savladuje odvojeno od teorijskihosnova.

Zna(.aj i uloga reiavanja zadataka u matematidkom obrazor,'anju suizuzetni iogledaju se u:

- ovladavanju matematidkim metodama, tehnikama i postupcima,

- umeinostima u matematitko-kibernetidkom modelovanju i

- vaspitnim efektima nastave matematike.

Ovim se daje znadajan doprinos razuijanju:

- misaonih operacija i intelektualnih funkcija,

- sposobnosti apstraktnog miSljenja ioperacija sa apstrakcijama.

- kreativnosti (originalnosti, kombinatornoj fantaziji i sl.)

- racionalnog rasudivanja, objektivnog argumentovanja i obrazlaganja,

- sistematskog, planskog i samostalnog rada,

- urednosti i estetskog ukusa,

- interesovanja i radoznalosti,

- pozitivnih osobina lidnosti: sigurnost, odmerenost, preciznost, istra-jnost, upornost itd.

Zadaci u nastavi matematike su veoma raznovrsni i mogu se posma-trati iz razliditih aspekata:

Sa matematidkog stanoviSta zadatke moiemo deliti na:

- odredbene, u kojima treba odrediti, izradunati, naii vrednost rrekogizraza, neke nepoznate velidine, transformisati neki izraz, konstruisati nekugeometrijsku figuru itd.

- dokazne, u kojima treba neSto pokazati, dokazati, izvesti i sl.

Sa didaktidkog stanoviSta zadatke moZemo deliti na:

- nzanpu/atlune - manipulisanje stvarima, didaktickim materijalom.konstrukcije lenjirom iiestarom, rad sa tablicama, radunarima itd.,

dokazinjega.

nove c

- t

odnev.

testovi

4

u

u pro(

Urazunkao iinforraktivr

tpitanja rezobavr

(oznar

Ini nakoralne direiat

70

ikihanjuOSTA

iskih

lu su

ra.

ganJa

; ^ l - ^

, r 5 t - t d -

osma-

nekogi neku

- lehniike - sluZe za uveZbavanje, za sticanje tehnike radunanja.dokazivanja, reiavanja raznih matematiikih modela, sa radunarom ili beznjega.

- problernske - zahtevaju intuiciju, ma5tu, suptilnije misaone operacije.nove originalne kombinacije znanja itd.

- prime4jene - aktualizaciia matematike u raz,nim oblastima i u svak-odnevnom Zivotu (matematifko modelovanje),

- kotttrolne - za proveravanje nivoa znanja (kontrolni i pismeni zadaci.testovi i sl.).

4.2. Osnovne faze re5avania zadataka

U nastavi matematike dominantno se koristi Poliina iema sa i:etrri f;tzeu procesu re5avanja zadalaka:

- shvatanje ili razumevarrie.

- stvaranje plana,

- realizacija plana i

- provera tadnosti, diskusiia i interpretacija reienla.

Uvodna faza u procesu reiavanja zadatka nu2no 1ygb7l d3 ,rlrr,rrrazumevanje sadrZine pojmova, termina i simbola koji se nalar:re Li ..rrlaiikao i njihove medusobne povezanosti. PaZljivim iitanjenr priltrrpll r :r1informacije, cime se samo ulazi u anrbijent zadatka. a tr:l.. r'r.r'-;-i,)raktivnoiiu se i nterp reti raju releva ntn e i r-r form a cije-.

U zadacima odredivanja . ova f aza podrazurneva traierrje oclqovc r , ,,pitanja kao 5to su:5ta se traZi? 5ta je dato? sta nije eksplicitno nir\/e(iriioa realno se podrazumeva? i sl. Odgovori na takva pitanja irnirlir:iraijuobaveznu identifikaciju i obeleZavanie zadatih i traZenih veliiina

U zadacima dokazivanja. raz-unrevanje zaclatka znaii identifil.:acr1u ioznadavanje pretpostavke i tvrdnje.

Razumevanje zadatka ne ukljuduje obavezno sagledavanje restnia. pani nadina dolaZenja do njega. Kod jednostavnijih zadataka reienje ir: i;.trnrrkorak iza razumevanja i tada, naravno, naredne faze u reiavarrrju zadatkzrne cine se mnogo bitnim. Medrrtim. u sloZenijinr z.adacima stvaranle planareSavanjaie centralna faza, i tek posle r-rspeha r,r nioj nroieruto konsttrior.,,rti

71

alom.

da smo sagledali reSenje. PoSto zadatke reSavamo, uglavnom, korak pokorak, moguie je, a desto je ipoZeljno, formiranje odgovarajuieg algoritmaza reSavanje odredene klase zadataka. Algtoritrnizacija reienja zadataka jei imperativ informatidkog druitva.

U zadacima odredivanja, stvaranje plana podrazumeva pronalaZenjeonih veza izmedu zadatih i traZenih elemenata na osnovu kojih se utvrdujematematidki mehanizam za odredivanje traZenog. Problem postaje teZikada neki elementi iveze nisu eksplicitno navedeni u zadatku.

U zadacima dokazivanja , pod stvaranjem plana podrazumevamomisaone aktivnosti koje prethode formalnom izvodenju dokaznog pos-tupka.

Za fazu izvrSenja plana moZemo konstatovati da dirri operativni ilitehnidki deo procesa reiavanja zadatka. U ovoj fazi viSe dolaze do izralajastedena matematidka znanja, umenja i veStine, a manje misaoni postupcii kreativnost.

U zadacima odredivanja obidno se vrSe razna izra(.unavanja, reiavajujednaiine, il i nejednadine, konkretizuju formule, transformiSu izrazi, re-alizuju algoritmi, konstruiSu gemetrijske figure i sl.

U zadacima dokazivanja ova faza podrazumeva i primenu logidkihzakona i formi mi5ljenja, jer i oni dine znanja i umenja bitna za formalnoizvodenje dokaza.

Na kraju ove faze, moZemo reii da smo reiili zadatak samo ako suispunjeni sledeii zahtevi:

a) reSenje je tadno, tj. zadovoljavazadate uslove zadatka,

b) postupak reSavanja je tadan, 5to podrazumeva da ne sadrZi materi-jalne i logidke greike,

c) reienje je potpuno, 5to znati da ne postoje ta[na reSenja razlidita oddobijenih.

Pored navedenih, poZeljno je da nadin reSavanja ispunjava i zahtevekao 5to su: elegantnost, racionalnost, jednostavnost, konciznost itd.

Posle zavrienog procesa reSavanja treba izvriiti i njegovu proveru ilikontrolu, upravo po navedenim zahtevima u zadatku. Sem toga, trebaanalizirati eventualne uslove koji se ili pojave u procesu reiavanja, ili se uopitem obliku nalaze u zadatku, 5to nazivamo diskusijom.{l zavisnosti odpiirode problema, na kraju reiavanja zadatka potrebno je dati iodgovarajuiu interpretaciju dobijenih reienja, dakle odgovor napostavljeno pitanje u skladu sa sadrZinom problema.

Navecilj da uracionalnbiti nestrAko nisrreEavanjr-plana. Saznacaveprestaje j

4 .3 .

Izbornatemanije Prolza das jejanja no'za odreraznovrs

Prolre5avan'od sledr

1 .zadatka

2 . 1bitnih z

3 .odgoviu mogPutevai l i jednPogre:

UodnosuoPStt(mreZtzadatl

72

lavnom, korak porraluceg algoritma:sen;a zadataka je

reva..pronalaZenjer KoJth se utvrdujeorem postaje teZiratku.

podrazumevamor dokaznog pos_

iini operativni il ilolaze do izraiajaisaoni postuf).:i

,anja, resavaJu

riSu izrazi, re-

nenu logidkiha za formalno

samo ako su

I ,

sadrZi materi-

-rja razliiita od

iava i zahtevenost itd.

'vu Proveru ilin toga, trebarvanja, ili se uzavisnosti odto je dati iodgovor na

Navedena siruktura proce.rsa reia'anja zadataka, pravens*eno ima zacilj da ukaZe nu^ptuvil# ,;;r:;""ris-aonih at<tivntsii i rime ih uiiniracionarnijim i efikasnijim. r" 'nuti ;;;-ili;r;".:i,,'ll-d'lruuu ne smemobiti nestrpljivi i povrini, p"."nn" ,-fazi, shvatanja i razumevan3a zadatka.nKo nrsmo potDuno razumeli ,udur*^:1?r;-*;.i;"i, u nl"gouo.reiavanju su hinimat::, i"i"".i;;;!" zapodnemo reiJvanle bez ikakvocplana' S druge sirane' ne treba o1*:."^ iscrgrrjuiemo u identifikaciji

-ioznacavanju faza, pogotovo 5to selesto moie precizno odrediti kadaprestaje jedna a po8inle naredna.

4.3. Fostupci re5avanja zadataka

Izl>or zadatal:a -se vrEi na ostlor4t cilja i oste.rattt-tr;l) za.latal{.r r};r=l.'\/e: r > . 2 / o r r r a t i l < e / z l - a t z a d a t a A a , , t t a q r a r T t ' t a 1 e ' t ' a i ; t ' - ' 1 " ' t a ' r r : , ' l t t t ' ' ' r ' t e / i A ' r '

, i j e p r a l r l e n r e l e . t d s l a w e - B o g a L d n d s t a v n i i k d I i L e I a L u r d I 5 o l l ( - r l ) d P , r P l e r r l d

za tis jesu osnovni preduslovi kvalitetne nastave matematike. Kod usva-janja novih znanja, naravno, zadaci ie bitijednostavniji, ali karakteris[icniza odredenu oblast. U fazi veZbanja treba nastojati da zadaci buduraznovrsniji i da pokriju osnovne tipove zadataka date teme.

Problemski i primenjeni zadaci su, po pravilu, sloZeniji i njihovore5avanje zahteva primenu sloZenijih metodsl<ih postupaka, koji se sastojeod sledeiih koraka:

1. lzvrii se analiza problema- Zanemarivanjem nebitnih aspekatazadatka, problem se reformuliSe na osnovu relevantnih osobina.

2. Aktualiziraju se odredene informacije i matematidka znanja iz oblastibitnih za reiavanje datog zadatka.

3. Od starta do cilja postupka za re5avanje zadataka, formiraju seodgovarajuii "putevi" povezivanja odredenih informacija u sistem, liojijeu moguinosti da reii dati problem. Obidno postoji veii boroj razliditihp. uteva koji vode do re5enja, ali medu njima neki su elegantniji. racionalniji,i l i jednostavniji od ostalih. Neki su putevi direktni, drugi indirektni, a im; ipogreinih, koji ne vode do traienog reienja.

U ovoj fazi reSavanja zadatka, u fazi stvaranja postupka, algoritma,odnosno modela reSavanja, desto se sluZimo i grafidkim metodama iuopi-te metoda ma i tehnikama matematidko-kibernetid kog mode lovanja(mreZnim d.Uagramima, Semama itd.) MreZni dijagram reiavanja nekogzadatka moZe imati sledeiu strukturu (vidi sliku).

73

i ^

,i, - io --r._

. _.,a-

l?,

SrARr: ,,-!,-----------'F--] i,0 -- i1,: crLJ\ \

\ \15 ---=---_-_16

od toginost s(rad uretko s

PcreSavazajednradi zazadatksvaki tpravilrudenilrad sasludajrs e t o tkoji otavniktable.

SnavikreiavmoZeU SVOsati,zadalparcipraterazredelinsvojczadazahtrtira tn a oradai t oPripn a t

ude

4. Nakon definisanja matematidkog modela, odnosno algoritnra zareSavanje zadatka, pristupa se njegovom reiavanju. Ova faza nastave seoslanja na tehnidkim i manipulativnim postupcima reiavanja matematickihzadataka. Pored aritmetidkih igeometrijskih operacija itransformacija, sveviSe treba ratunatiina modelski eksperiment, na simulaciju i na druge, presvega numeriike metode reiavanja matematidkih modela ito koriScenjemkompjutera.

5. Proveravanje rezultata i diskusija reienja se vrii pomoir-rmatematidko-logidkih operacija i ugradnjom reSenja u postojeii sistemznanja, odnosno u oblasiiprimene matematidkog modela" Ako reienje neispunjava odekivanja, dakle model nije pouzdan, onda se vrii modifikacijadatog modela.

Reiavanje zadataka, kao metodski nastavni oblik, ra5dlanjuje se nasledeie metodske pojedinosti:

1. Nastavnikov rad,

2. Polusamostalan rad,

3. Samostalan rad udenika,

4. Takmidenje.

Nastavnikov rad je takav nadin formiranja nastavne metodske poje-dinosti koja ukljuduje maksimalnu angaZovanost nastavnika, dok r,rtenikima receptivnu funkciju. Pribegava se ovakvom radu na prvim etapamauveZbavanja gradiva. 0 stvaranju plana reSavanja zadalaka nastavnik imaglavnu ulogu, pa ionda ako se pristvaranju plana koristi nekim predlozimaudenika. Nastavnik radi i na tabli, a u kojoj ie ga meriudenici slediti. zavisi

1 A

l\

II

i r , : C ILJ IIIII

rlgoritnta za) nastave seratematidkihrmacija, svea druge, pre<oriSienjem

ii pomoiurjeii sistemr reSenje nenodifikacija

njuje se na

iske pojeroK ucentkr etapamaavnik imaredlozimarditi, zavisi

od.\ogakako\\\euspeora\n\reso',tatr1ap\ob\em.Olame\ods\apoled\-nost se koristi sa ciliem da se uienicirna itustruie pleg\edan i taciona\anrad u vezi sa nekom temom. U ikolskojpraksi ova metodska pojedinos\retko se koristi.

Polusamostalan rad je najraiirenijioblik rada u tradicionalnoj praksi prireiavanju zadalaka. Sastoji se u tome 5to se plan reiavanja zadataka stvarazajedniEkim naporima udenika i nastavnika. Posle stvorenog plana udenikradi zadatak na tabli uz primedbe, korekcije razrednog kolektiva. U izradizadatka, ako je duZi, udestvuje viSe udenika. Svakako treba omogLriit.i dasvaki udenik koji izlazi na tablu, zavrii neku manju logidku celinu. Metodickipravilna realizacija polusamostalnog rada obezbeduje saradnju svihudenika ali sadriii moguinost da udenik u svojoj svesci samo reprodukujerad sa table, a ne daje svoj doprinos. U nastavnoj praksi mnogobrojni susludajevi potpunog kompromitovanja ove metodske pojedinosti. De5avase to onda kad se prozove jedan udenik, pa se onda njemu zadaje zadatakkoji on jedini reiava bez prethodno sadinjenog plana. Intervencije nas-tavnika su deste, razred nije motivisan z.a rad, a udenici prepisuju rad satable.

Samostalan rad udenika se uprainjava na stupnju sticanja umenja inavika i iziskuje maksimalno udeiie udenika u radu. Stvaranje planareiavanja zadatka se i ovde sprovodi u zajednidkom razgovoru. Taj procesmoZe da se skrati i svodi se samo na isticanje najbitnijih kontura. Nastavniku svojoj pripremi oznadava momente u kojima treba konkretno interveni-sati, postavlja potpitanja da bi uienici prebrodili teSkoie, ra5dlanjavazadatak na etape iprosuduje kada je aktuelno od pojedinih udenika zatraiitiparcijalne rezultate. (Ne stupa u tihi dijalog sa pojedinim udenicima. veiprateii rad na osnovu svoje pripreme, pogodnim pitanjima, usmerava radrazreda.) Na tabli ne radi niko, sem 5to nastavnik moZe da zabeleZi nekidelimidni rezultat, neki karakteristidan elemenat rada koji je unapred usvojoj pripremi predvideo poSto je prethodno metodiiki razradio ceozadatak. Nastavnik prati ritam rada; posle izvesnog proteklog vremenazahteva odredene rezultate; kod kritidnih rnesta otvara diskusiju, konfron-tira rezultate; kod pogreinih rezultata pogodnim pitanjima navodi udenikanaotkrivanje udinjene greike, na iznalazerrje izvora greiaka. lako ovaj oblikrada zahteva maksimalnu aktivnost udenika, u nastavi se vrlo retko lioristi.i to mahom iz razloga 5to i od nastavnika zahteva metodidki podrobnopripremljen das. 5to su stvorene navike da na dasu matematike uvek morana tabli da radi neko od udenika.

.. Organizovanje takmidenja doprinosi oZivljavanju nastave, vezivanjuudenika za predmet i doiivljavanju spostvene

- afirmacije ucenik"a.

75

Takmidenjem treba da se postigne odredeni cilj, koji postavlja nastavnik.Cilj moie biti:

1. da se za dato vreme tadno reii 5to veii broj zadataka,

2. da se odredeni zadatak reSi za 5to kra6e vreme,

3. da se pri reiavanju zadataka postigne 5to veii broj bodova.

Prilikom individualnog takmidenja unutar jednog razreda, svaki uienikteZi da ostvari postavljeni cilj. Takmidenje se ne sme pretvoriti u konkuren-c'rju koja obuhvata ne samo postizanje cilja vei i onemoguiavanjekonkurenta u postizanju cilja. Grupno takmidenje razvija duh saradnje(takmidenje pojedinih grupa unutar jednog razreda). Crupe po sastar,umoraju pribliZno bitijednake jadine, jer motiv pri takmidenju stimuliSe naaktivnost samo ako su takmidari svesnijednakih moguinosti u postizanjuuspeha.

Treba istaii da savremena nastava matematike ravnopravno tretiraformiranje matematidkih modela i tehniku radunanja, vode6i posebnoraduna o vaspitnim efektima nastave. Naravno u podetnoj nastavi matema-tike veii znadaj se daje vaspitnim dimenzijama i radunshm operacijama.ne zanemarujuii ni formiranje jednostavnijih matematidkih modela (nedo-voljno apstraktnih ipouzdanih). Medutim, u viSim razredima osnovne Skolei u srednjoj ikoliprimat se daje matematidkim idejama i modeliranju, s timda se tehnika re5avanja matematidkih modela sve vi5e prepuStaracunarima.

Tokom reiavanja zadataka udenici prave i odredene greike,. Me-todiika istraZivanja ukazuju na to da se najdeiie greii u:

- razumevanju zadatka,

- sadinjavanju algoritma, odnosno matematickog modela problema,

- pr imeni pravi la i formula,

- operacijama sa brojevima i izrazima i

- izvodenju zakljudaka.

Udenje matematike u osnovnoj i srednjoj 5koli najdeiie se svodi nareiavanje matematidkih zadataka. Tehnike i pravila raiunskih operacija.dokazivanja, pa i reiavanja problema usvajaju se izradom tipidnih zadalaka.da bi se uodena pravila primenjivala analogijom i kod drugih slidnih

saznanja Prinmetoda. Zbolsu temeljnekoncentracije

PRIMERI

1. Zbir kti znos i 117. C

Reienje:poznavanje zierno identifiza aritmetidkzbir prvih n t

Prema P

Ako sm,nlegovog re:niza, jer ona5 se odred

Primen,

a posle

PovrSrreiiv, jer jtuzimajuiitkuini brojparan), izlne znacl I

lz uslc

n > 5zadataka. Medutim, putevi reiavanja problema treba da idu stazama

nastavnik.

rva.

vakiudenikkonkuren-

lguiavanjeh saradnjero sastavulimuliSe napostizanju

rvno tretira:i posebnod matema-,eracUama,lela (nedo-ovne Skole'anju. s tim

prepuita

eike,. Me-

rroblema.

: svodi naoperacija.zadataka.

[h slidnihI Slazama

saznanja primenjivanih teorija , a uz svesnu primenu matematidkih ideja imetoda. Zbog toga za uspeino reSava nje nratematidkih zadataka naivaZnijesu temeljne teorijske osnove, razvijene misaone aktivnosti, visok nivokoncentracije, intuicija itd.

PRIMERI:

1 .'Zbir kuinih brujeva sa jedne strane ulice, radunajuiiod uola do ugla.iznosi 117. Odrediti kuini broj pete kuie.

ReSenje: Razumevanje zadatka podrazumeva, pre svega, pre-poznavanje aritmetidkog niza brojeva u ambijentu zatJatka, ito znadi daierno identifikaciju i oznadavanje izvriiti u skladrt sa uobifajenim oznal<amaza aritmetidki niz, at je prvi dlan, an je n-ti dlan, d je razlika niza, a Srr jezbir prvih n dlanova niza.

Prema podacima: d : 2 i S n : 1 1 7

Ako smo pravilno razumeli zadatak, nameie nam se plan postupkanjegovog reiavanja. Prvenstveno je bitan obrazac za zbir prvih n dlanovaniza, jer on povezuje najviSe identifikovanih elemenata. "fraZeni elemenata5 se odred uje obrascem za opiti dlan niza (an).

Primenom obrasca: Sn:n

i (2a r * (n - l ) d ) . dob i j amo :

1 l - ( 2 a l + 2 ( n - l ) ) , ( l )

a posle skraiivanja:

n ( a t * n - 1 ) : I I 7 . ( 2 )

PovrSna analiza vodila bi do zakljudka da zadatak nije jednoznacnoreiiv, jer je dobijena samo jedna iednadina sa dve nepoznate. Medutim.uzimajuii u obzirrealne uslove zadatka, da su na zadatoj strani ulice neparnikuini brojevi, jer im je zbir neparan (da su parni brojevi i z-bir bi im bioparan), izdvajamozakl judak: al > l ineparanbroj (ne rnorabit i 1, jerugaone znadi i podetak ulice).

Iz uslova zadatka dobijam dalje:

n > 5 , i a 1 * n - 1 > n

/7

2

77

Iz dinjenice da su dinioci neparnog broja takode neparni, iz (2\ zak-ljutujemo:

n je neparan broj ;

an' f-n-1 je neparan broj .

Na osnclvu ove analize zaciatka, postupak za iznala2enje rezultata sesvodi na rastavljanie broja 1 17 na neparne cinioce. koji ispunjavaju rrslovezadatka, a to su brojevi I i 13.

Da l je zak l judu je rno : n :9 . a t :5 i a5 :13 .

Dakle odgovor na postavljeno pitanje glasi:

kucni broj pete kuie je 13.

Provera zadatka se moZe izvriiti i neposrednorn kontrolom u izvorrrorr.tambijentu zadalka, sabirajuii 9 uzastopnih kucnih brojeva i idenrifil i '.rjucibroj pete kuie.

2. Neki radnik star 20 godina zavriio bi utovar 15 tona robe za 12 satiPoito je radio 3 sata, pomogne mu drugi radnik star 25 godina. koj i biraiposao zavr5o za 15 sati. Za koliko sati ie utovariti ovu robu zajedno naopisani nadin?

Za reiavanje ovog zadatka neophodno je formirati odqovarajr-rcimatematiiki model. Analizom moZemo doii do zakljr-rdka da godine Zivotai priroda posla nisu relevantni uslovi zadatka,pa ih nroiemo z-anemariti.

Relevantni podaci ivaine relaciie su:

I radnik bi posao zavriio za l2 sati;

l l radnik isti posao bi zavriio za l5 sati;

I radnik je radio 3 sata viSe nego l l radnik.

Iradnik je za jedan sat zavrsio 1r12 posla, a I I radnik 1l l5 pasla Zatri sata prvi radnik je zavr5io 3/i2 posla (114), a preostali deo posla su zavriil i'za x dana, radeii zajedno.

Prema tome: x( l112 + 1 15) :3 4

Reiavanjem ove jednadine dobijamo da je x:5.

Odgovor na postavljeno pitanje:

Radnici radeii zajedno pod datim uslovima dati posao ce z-avrSiti za B

Provtza5 sati Iceo Posa

3. Pr

satl.

78

iz i,?_t zak

ezuitata :reralu rrsiove

tz\,10r no f ltniif i i i ir jrrci

za )2 saiikoji bi raj

i jedno na

lova ral Li.-]rne Zivotitrnaiit i

rosla Zau za,;r i i l i

Provera reSenia; Fn,i radnir< za E sati ce uraditi g,/ t2 posra. a drurli radnil<za 5 sat i5/15 posk. Prema ioryre za I sat i bi ie uratJer i l l ] , -213: i . dal i leceo posac].

3. Frirneri zadataka za c{okazivarile su dati u prretlrodnim F]o(ltravliirna

srti za B

79

'Matentatlkale uuek b|1a 'Ah|/oua peta"

suake.iko/e".

S. Prvanovic

5. NASTAVNI EAS. TIPOU TTSOVN U T{ASTAVIII,TI{TEIh/ITIKE

5.1. Nastavni ias

Nastavni das je glavni segment organizacije nastavnoq rada. Cas jeosnovna vremenska, sadriajna i metodidka celina.

Osobenosti dasa matematike uslovljene su, pre svega, osobenostimamatematike kao nastavnog predmeta. Posebno, program razredne nastavematematike sadinen je tako, da se istovremeno sa izudavanjem aritmetidkihsadrZaja izudavaju elementialgebre igeometrije. Stoga se na jednom isiomdasu vrlo desto istovrerneno razmatraju aritmetidki, algebarski i geometrij-ski sadriaji. lzudavanje sadrLaja raznih delova programa, svakako, utide nastrukturu dasa i metodiku njegovog izvodenja.

Druga osobenost progranta razredne nastave je razmatranje unredusobnoj vezi teorijskih i praktidnih pitanja. Zato se na svakom iasumatematike usvajanje znanja odvija istovremeno sa formiranjem umenja inavika.

Na svakom tiisr-r se realizuje, po pravilu, nekoliko metodidkih ciljeva:u odnosu na jedan sadrZaj obavlja se blagovremeno pripremni rad; uodnosu na drugi sadrZaj - upoznavanje sa novim pojmovima i njihovopodetno utvrdivanje; u odnosu na treii ranije izudavani sadrZaj - obavlja seutvrdivanje radi uopitavnja i sistematizacije znanja, odnosno formiranjaumenja i navika, Istovremeno se na svakom dasu ostvaruje i proveravanieznanja, umenja i navika udenil<a. Medu svim ovim ciljevima poneki zauzi-maju dominantno, tj. istaknuto mesto na odredenom (pojedinom) iasu. Urealizaciji metodidkih ciljeva dasa posebno je vaZno pridrZavati se postup-nosti u radu, od iasa do dasa. To je moguie samo u sludaju kada nastavnikdobro zna kojim znanjima, umenjima i navikama ucenicitreba da ovladajuna kra"iu proudavanja nastavne teme. odnosno ako nastavnik ima preciznu

8 1

sliku celog sistema dasova za odredenu temu. Svaki das u tom sistemu imaspecifidan cilj i specifidnu ulogu u izudavanju teme. Dakle, svaka nastavnatema obraduje se sistemom dasova.

Specifidnost dasova matematike uslovljena je takode osobenostimausvajanja matematidkih sadriaja od strane udenika: apstraktni karaktersadrZaja zahteva briZljiv izbor nastavnih sredstava i raznovrsnih metoda ioblika aktivnosti udenika u toku dasa.

Na dasovima matematike, u toku usvajanja sadrZaja, treba stalnoproveravati znanja udenika, da bi nastavnik mogao uspeinije upravljatinjihovim aktivnostima i ostvarivati diferenciranu nastavu. Kada se dajenekoliko varijanti zadalaka, onda, po pravilu, treba proveravati reSenjesloZenijih varijanti da bi svi udenici shvatili kako treba reiavati te zadatke. ida bi provera doprinela poboljianju znanla ucenika celog odeljenja.

Na dasovima matematike se, u globalu, ostvaruju obrazovni, razvojrti ivaspitni zadaci.

Odrediti obrazovne zadatke dasa, znadi odrediti 5ta ude udenici: ( l)koja znanja treba cia usvoje, (2) koje nadine i postupke treba da formiraiLr.

Razvojni zadaci dasa su usmereni na razvoj miiljenja. jezika (govora).posmatranja, merenja idrugih procesa i funkcija kod udenika.

Posebna paZnja na dasovima se pridaje razvitku interesovanja kodudenika za matematiku i vaspitavanju navika samostalnog rada. lntere-sovanje za matematiku i intelektuaina samostalnost tesno su povezaniKada je uienicima interesantno na dasu, oni tada ispoljavaju znatno vecuaktivnost i samostalnost u radu. To znadi da aktivnost i samost.alnost, koieispoljavaju udenici u sticanju znanja, pobuduju kod njih interesovanje :amatematiku.

Veliki znadaj za vaspitanje intelektualne samostalnosti i razvitka int.eresovanja za matematiku kod udenika ima pravilan izbor nastavnih metoda.

Samostalan rad udenika je jedan od efikasnih nastavnih metoda. Nadasovima matematke taj se rad ostavaruje: u toku pripreme za izucavanjenovih sadrZaja; pri upoznavanju s jednostavnijim novim sadrZajima: kodutvrdivanja znanja, umenja i navika, a takode i prilikom proveravanjausvojenosti ranije izudavanih sadriaaja.

Na dasu matematike se ostvaruju raznovrsni vaspitni zadaci: fornrirase inicijativa, odgovornost i savesnost u radu; izgraduje se tacnost iurednost u radunanju, merenju, crtanju, formulisanju i zapisivanju; vaspi-tavaju se navike sistematskog rada i savladivanja teikoia.

5.2. Ti

U zavisrsu podred enastavi mat,

- komb

- das ol

- ias ut

- cas pt

Kombi'ciljeva, ondnajvi5e raspodgovara Itakode i osr

Struktt-i provera rutvrdivanjegrad iva ;2)gradiva; 3)tavnih tem

Na daupoznatoggradiva in'upoznatoggradivo. Piunrenja i rizudavanjetoku dasa

Casoposebnihgradiva. Iiasu. Po:gradiva. (takode prgradiva sru sistem,sticanje t

82

nu tma\s\a\\,a

lostimaiarakteretoda i

stalno'pnil1atrse dajereSenje

adatke, ia .

'azvojni i

:n ic i : ( | )rrmirajU.

Eovora).

nja kodl - + ^ - ^

. l l t t c t c -

ovezani.no vecurst, koie,ranje za

r intere-netoda.

rda. Nacavaniena; kod:ravanja

forrnirarenost ir; vaspi-

5.2. Tipovi i struktura nastavnih dasova

U zavisnostiod osnovnog, dominantnog metodidkog cilja dasa, komesu podred eni svi drugi ciljevi, izdvajaju se sledeii tipovi dasova u razrednoinastavi matematike:

- kombinovani das:

- tas obrade novog gradiva;

- ias utwdivanja i ponavljanja gradiva

- das proveravanja znania, umenja i navika.

Kombinouani iasoui. Ako das ima nekoliko ravnoDravnih ntetodidkihciljeva, onda se takav das naziva kombinovani. Komtiinovani tip casa jenajviSe rasprostranjen u osnovnoikolskoj nastavi, jer ovaj tip dasa najviSeodgovara uzrasnim osobenostima uienika mladeg Skolskog uzrasia, atakode i osobenostima koncepcije programa nastave matematike.

Struktura dasova kombinovanerg tipa moie biti razlidita: 1) utvrdivanjei provera ranije upoznatog gradiva; 2) upoznavanje novog gradiva; 3)utvrdivanje novog gradiva; 4) domaii zadaci, ili: 1) upoznavanje novoggradiva ; 2) utvrdivanje upoznatog gradiva na datom dasu i ranije prerlenoggradiva; 3) domaii zadaci; 4) pripremni rad na izuiavanju sledeiih na-stavnih tema.

Na dasu kombinovanog tipa, za ponavljanje i proveravanie rani.;eupoznatog gradiva, troii se pribliZno isto vreme kao i za upoznavanje novoggradiva i njegovo utvrdivanje. Pri tome, istovremeno sa utvrdivanjem ranrleupoznatog gradiva, nastavnik desto proverava kako su uienici usvofiligradivo. Paralelno s upoznavanjem novog gradiva vrii se utvrdivanje zrranja.umenja i navika iz novog gradiva; utvrdivanje se povezuje s pripremonr zaizudavanje sledeiih tema, itd. Ovim se obezbeduje aktivan rad udenil<a Lrtoku tasa.

Casouiobmde nouogrgrmdiua. - U razrednoj nastavi matematike nemaposebnih dasova matematike koji su sasvim posveieni obradi novoggradiva. Novo gradivo se razmatra u malim segmentima, skoro na sval<omiasu. Postoje dasovi diji je osnovni metodidk cilj upoznavanje novoggradiva. Ovom radu pripada veii deo dasa, pri demu se drugi delovi casatakode podredeni izudavanju novog gradiva. Da bi uspostavili veze novoggradiva sa ranije upoznatim gradivom, odnosno da bi nova znanja ukljuciliu sistem, ponavljaju se oni sadrlaji i pitanja koji pripremaju ucenike zasticanje novih znanja i pomaZu im da samostalno izvode odredene zak-

B3

ljudke. Pored upoznavanja s novim gradivom, na ovom dasu vrSi se podetnoutvrdivanje novou svojenih zna nja.

Struktura ovog tipa dasa moZe biti sledeia: 1) ponavljanje gradiva kojeje neophodno za svesno usvajanje novih matematidkih znanja; 2)upoznavanje novog gradiva; 3) podetno utvrdivanje gradiva koje se izudava;4) domadi zadaci.

Naizmenidnost strukturnih elemenata dasa moZe biti i drugadija, ali usvakom sludaju se glavni deo dasa ovog tipa posveiuje obradi novoggradiva.

Casoul uturdiuaryta f pornu!'ar11a gtndiua. - Clavno mesto nadasovima ovog tipa zauzima reiavanje raznovrsnih zadalaka sa ciljem dase uveiba i obnovi ranije predeno gradivo.

Izvode se veZbanja u odredenom sistemu a posebna pai.nja se pridajesamostalnom radu udenika. Struktura ovih dasova je, po pravilu, sledeca:1) obnavljanje znanja, umenja inavika, koja su potrebna za reSavanjezadataka; 2) samostalno obavljanje razliditih veZbanja; 3) proveravanjere5enja zadataka iizvodenje zakljudka (rezimea); 4) domaii zadaci.

Radi produbljivanja znanja i usavriavanja umenja i navika na ovimdasovima ponekad se unose i elementi novog gradiva. Osim toga, istovre-meno ili pomoiu specijalnih veZbi izvodi se pripremni rad za izudavanjetema koje dalje sleduju po programu. Ali ovi metodidk ciljevi podreduju seosnovnom cilju dasa - utvrdivanju gradiva koje se izudava. Na podetkuSkolske godine, na podetku drugog polugodiSta, il i izuiavanja pojedinihnastavnih tema, realizuju se dasovi utvrdivanja izudavanog gradiva sa ciljemponavljanja, uopitavanja i sistematizacije onih znanja koja su potrebna zaizudavanje novih nastavnih tema. Na kraju izudavanja teme, na kraju prvogpolugodi5ta, ili na kraju nastavne godine, na dasovima utvrdivan.ja seukljuduju veZbanja uopitenog i sistematizovanog karaktera.

uaryia zna41a, umerya i nauika. -Glavno mesto se na ovimiasovima dodeljuje usmenom i pismenom proveravnju ranije usvojenoggradiva. Proveravanje se, po pravilu, povezuje sa utvrdivanjem znan;a.umenja inavika. Samostalni pismeni radovi zauzimaju 15 do 20 minuta.ostalo vreme se dodeljuje utvrdivanju ranije izudavanog gradiva. Na krajudasa, ako se'proveravbnje izvodi u usmenoj formi, naitavnik, po pravilu.daje kratku karakteristiku znanja, umenja i navika udenika (ukazuje nadostignuia, nedostatke i puteve njihovog prevladavanja). Ako se pro-veravanje vrSi iskljudivo u pismenoj formi, onda se sledeii das posvecLrjeanalizi rezultata kontrolne veZbe, ispravljanju tipidnih greiaka, ponavljanjui utvrdivanju onih sadrZaja koji su slabije usvojeni. Proveravanjematematidkih znanja, po pravilu, treba realizovati na svakom iasu u

razrednposvetil

Natike trel

l . l

2 . r

3 . '

4 .

Privei se

84

etno

koje'

/ l

:ava;

ali u)vog

) n an d a

razrednoj nastavi matematil<e. Sem toga, proveravanju je neophodnoposvetiti i posebne dasove.

Na kraju se moZe zakljuditi da bez obzira na tip, nastavni das matema-tike treba da ima sledeiu globalnu strukturu:

i. preparativna (pripremna) faza,

2. operativna ili centralnafaza ostvarivanja ciljeva i zadataka dasa,

3. verifikativna ili kontrolna faza.

4. faza domaieg zadatka.

Pri tom treba imati r-r vidu da faze nisu strogo, disjunktno razdvojene,vei se medusobno proiimaju i dopunjuju.

idajeleia:ianjeranje

lvlm)vre-ranjeJU se:etkul inihrljem\a zarvoga s e

)um)nogrnja.ruta.lrajuvilu.r n apro-cujeanjuanjeU U

. '

B5

"74/na dosadftaryb lei[ u tortte

ito ioue/c hoie sue da kaie"

\o\\er

6. OBLICI RAI)A O NIISTAVI II'T1{TEII'I/{TIKE

Intencije savremene nastave matemaike su, pored ostalog, da seomoguii veii uticaj matematike na razvoj mentalnih sposobnosti uienika.U matematidkom obrazovanju, podev od razredne nastave, istide se pri-oritet formalne komponente nad materijalnom. Matematika kao nastavnipredmet za udenike, mora postati humanija na taj nadin 5to ie uvaZavati irazvijati sposobnosti svakog udenika. Udenik na dasovima matematiketreba da se nalazi u situaciji da sam otkriva i pronalazi matematickezakonitosti, da "izgraduje svoju matematiku ".

Ovakvi zahtevi nastave matematike ostvaruju se u razredno-dasovnomsistemu raznovrsnim oblicima rada. Nastavni rad na dasu moZe da budeorganizovan tako da se odredeni sadrZaji programa realizuju sa celimodeljenjem, ili sa posebnom grupom udenika, il i samo sa pojedinimudenikom, i zbog toga u nastavnoj praksi razlikujemo tri oblika vaspitno-obrazovnog rada: frontalni (kolektivni), grupni i individualni. Ova klasifi-kacija oblika rada izvriena je prema stepenu aktivnosti nastavnika i udenikau nastavnom procesu.

Izbor oblika rada (kao i nastavnih metoda)vrii se zavisno od vaspitno-obrazovnih zadataka i sadrZaja koje treba realizovati na dasu. Pri tome se,u najvecoj meri, moraju imati u vidu i konkretne ol<olnosti u kojima senastava izvodi. U izboru oblika rada nastavnik je uglavnom slobodan, tj. onse sam opredeljuje za primenu jednog ili viSe oblika na odredenom iasu.Svakiod navedenih oblika - frontalni, grupni i individualni - ima svoje bitnekarakteristike (prednosti i nedostatke), na osnovu kojih nastavnik biranajefikasniji oblik i prelazi s jednog oblika rada na drugi odnosno koristionaj kojije najviSe adekvatan u konkretnoj situaciji.

U ovom odeljku razmotriiemo oblike rada na iasu, kao i nekeprobleme u vezi sa programiranom nastavom u razrednoj nastavi matema-tike.

87

6.1" Frontalni (kotektivni) oblik rada

Frontalni oblik rada karakteriSe simultani i zajednidki rad svih udenikajednog odeljenja na istom gradivu. Rad organizuje i njime neposrednorukovodi nastavnik. U stvari, nastavnik odreduje cilj i sadraZaj rada, plan imetode rada, sredstva za rad i pri tom sam izvodi rad. Frontalni oblik radau razrednoj nastavi matematike svakako je dominantan - najdeiie seprimenjuje u praksi - kako na dasovima obrade novog gradiva, tako i naostalirn dasovima.

Prednosti frontalnog oblika rada su: (1) s obzirom na vreme i utroiakenergije veoma je ekonomidan, jer su instrukcije upuiene svim udenicima;(2) moguie je odabrati najlakii i najuspeiniji put kojim ie udenici sticatiznanja; (3) neposredno usmeravanje nastavnika spredava lutanja i suviinepostupke koji bi znadili gubitak vremena i izazvali umor udenika; (4)ostvaruje se proces socijalizacije udenika i razvija kolektivniduh u radu; (5)svi udenici se podstidu na aktivnost, posebno oni koji nisu dovoljnomotivisani za rad.

Nedostaci frontalnog oblika rada su: (1) neminovno prisustvo di-daktickog proseka, tj. ne uvaZavaju se individualne razlike uienika; (2)didaktidka difuzija u kontaktu i komunikaciji izmedu nastavnika i udenika,jer se rad odvija odredenim temponl i stilom koji ne moZe da odgovarasvakom udeniku. tako da slabijiudenicipostepeno gube samopouzdanje ijoi viSe zaostaju u savladivanju gradiva, dok bolji udenici nisu adekvatnooptereieni, te se zavaravaju da sve mogu uraditi relativno brzo i lako; (3) utoku rada, posebno na dasovima veZbanja, mncgi uienici prate rad nas-tavnika ili udenika na tabli, dime se umanjuje njihova aktivnost i sputavainicijativa i samostalnost u radu.

Praksa pokazuje da se nedostaci frontalnog oblika rada mogu prilidnoublaZiti njegovom uspeinom kombinacijom sa individualnim i grupnimoblikom rada.

6.2. Grupni oblik rada

To je oblik rada u kojenr je odeljenje, za izvesno vreme, podeljeno namanje ili veie grupe ( od 3 do 15 udenika, najbolje je 3 do 5 udenika). Uoptimalnim psiholoikim i socioloikim uslovima, ove grupe samostalnorade na usvajanju, utvrdivanju, reiavanju i primenjivanju raznih vaspitno-obrazovnih sadraZaja. Tako dlanovi grupe razvijaju i usavriavaju svoie

sposobnostipraktidna zroblik radautvrdivanja 1

D a b i sraduna o fotu grupi. Grusedenja, po

Ako sunivoa znanjdajemo slo)sloZenosti, tsludaju sval

Ako suda bude ujtjedan od brsvaka grupisve zadatketakmide u t

Za svadoprinosi i

Prednrudenika u,grupe i raznego Pn Ir(integracijor

Nedosgrupe; (2):za primentmnogo mi

Rad uproblemujednosmetkarakter (tRazredno-nastava nstolovima,parovimaSC MOZE U

BB

;vih udenikaneposrednorada, plan ir iobl ik radanajdei(e sera, tako i na

ne i utro5akr uienicima;cenici sticatinja i suviineudenika; (4)h u radu; (5)su dovoljno

rrisustvo di-udenika; (2)<a i uienika,Ca odgovararpouzdanje iu adekvatnor i lako; (3) u'ate rad nas-rst i sputava

rogu prilitnon i grupnim

>odeljeno na' utenika). Usamostalno

rih vaspitno-Savaju svoje

sposobnosti za samostalan rad, forme socijalnog ponaianja i stidupraktidna znanja, umenja i navike. U razrednoj nastavi matematike gruprrioblik rada narodito je pogodan za primenu na iasovima veZbanja iutvrdivanja predenog gradiva.

Da bi se grupni oblik rada uspeino primenio. posebno treba voditiraduna o formiranju isastavu grupe, izboru nastavnih sadriaja i nadinu radau grupi. Grupe se mogu formirati na razne nadine: po uspehu, po rasporedusedenja, po slobodnom opredeljivanju udenika i sl.

Ako su formirane po uspehu (u jednoj grupi su uienici pribliZno istognivoa znanja), onda je to diferencirarri grupni rad: grupi boljih uienikadajemo sloZenije zadatke, grupi prosednih udenika dajemo zadatke srednjesloZenosti, a grupislabijih udenika zadajemo jednostavnije zadatke. U ovomsludaju svaki udenik u grupi reiava deo zadatka.

Ako su grupe formirane po drugim kriterijumima (svaka grupa trebada bude ujednadena u pogledu sastava udenika, tj. u svakoj treba da budejedan od boljih udenika), onda je to nediferencirani (istovrsni) grupni rad:svaka grupa reiava iste zadatke. U ovom sludaju svaki udenik treba da re5isve zadatke (pri demu moZe da se savetuje s ostalin-ra u grupi), a grupe setakmide u reiavanju zadataka.

Za svaki das treba ponovo sastavljati grupe, jer takav nadin radadoprinosi Siroj socijalizaciji udenika.

Prednosti grupnog oblika rada su: (1) pojaiana samostalna aktivnostudenika u odnosu na frontalni rad; (2) prihvatanje odgovornosti za uspehgrupe i razuijanje takmidarskog duha; (3) dublje i Sire usvajanje sadr2aja,nego pri frontalnom radu; (4) negovanje prirodne teZnje za saradnjom, zaintegracijom.

Nedostacigrupnog oblika rada su: (1) nejednaka aktivnost svih dlanovagrupe; (2) s obzirom na potrebno vreme za njegovu primenu, nije pogodanza primenu na svim tipovima dasova i u okviru svih sadrZaja programa; (3)mnogo manje je ekonomidan, nego frontalni rad.

Rad u parouima. - Pri ovom obliku rada dva ucenika rade na istomproblemu realizujuii tako ciljeve dasa. Rad u parovima moZe da imajednosmeran karakter ( bolji udenik pomaZe slabijem), il i dvosmerankarakter (uzajamna pomoi, medusobna kontrola, uzajamno ocenjivanje).Razredno-dasovni sistem nastave i uslovi u kojima se izvodi razrednanastava matematike u mnogim naiim Skolama (name5taj s radnimstolovima, odnosno klupama za par udenika), omoguiavaju da se rad uparovima moZe primenjivaticei6e nego grupni oblik rada. Rad u parovimase moZe uspeSno kombinovati sa frontalnim i individualnim oblikom rada

B9

na svim iasovima podev od I razreda. Ovaj oblik rada predstavlja prelaznimodalitet - individualnog ka sloZenim oblicima grupnog rada i odgovaraprirodnoj teZnji ljudskog rada za udruZivanjem.

Prednosti rada u parovima su:(i) medu raznim parovima se javljajuprirodne i lako kontrolisane takmitaraske ambicije, uporedivanje parovapodstide na rad; (2) saradnja u tandemu pribliZava udaljene pojedince iusmerava ih zdravoj solidarnosti u radu; (3) motivacija u radr-r postajesadrZajnija, kontrolisanje i vrednovanje sopstvenih rezultata je iire i naviSem stepenu realnosti i objektivnosti.

Nedostaciovog oblika rada slidnisu nedostacima grupnog oblika rada.

U naiim uslovima primena rada u parovima moZe se najlakie ostvaritikoriS6enjem nastavnih listiia i poluprogramiranog materijala iz postojecihudZbenika i radnih listova. Priovom obliku rada, kao i prigrupnom obliku,treba voditi raduna o formiranju i sastavu parova, izboru sadrZaja i sred-stava, nadinu rada i dr.

6.3. Individualni oblik rada

Ovo je najstarijioblik rada u kome svi udeniciistovremeno i samostalnosavladavaju isto nastavno gradivo. Individualni oblik rada najviSe jeprilagoden prirodi, karakteru i zakonitostima udenja. U njegovoj primenidominantno mesto, na relaciji nastavnik-udenik, pripada udeniku. Onsamostalno u okviru svojih znanja i sposobnosti, analizira date podatke,izvodi zakljudke, reSava zadatke i proverava tadnost svog rada. Zato jevaspitna vrednost ovog oblika rada veoma znadajna: udenik stide poverenjeu vlastite snage, osposobljava se za samokritidnost i samokontrolu, navi-kava se na disciplinu, tadnost i istrajnost u radu.

Uvodenje udenika u individualan rad treba da bude sistematsko,postepeno i permanentno. Razlikujemo tri etape ovog oblika rada. i to:

a) individualni rad podinje frontalnim oblikom rada (svim ucenicimapostavljaju se istizadaci i daju se uputstva za reiavane zadataka);

b) udenici samostalno reiavaju zadatke (nastavnik ih obilazi, ispravlja,daje dodatna uputstva po potrebi, a udenike koji prvi reie zadatak. upuiujeda prate i pomaZu ostalim uednicima pri reSavanju zadataka);

c) po potrebi vrii se frontalna analiza rezultata rada

lni asu . '

a)

b)rada c

c )

(frontt

PPosta'noj nividovisvojinnastaoblikr

tokupri izri prisludasasta

stalnindivalnihnost:osol

uder

l ja prelaznii odgovara

se javljajunje Parova>ojedince iiu postaje: Sire i na

bl ika rada.

5e ostvaritipostojecihrm obl iku,aja i sred-

mostalnorajviSe jel pr imeniniku. Onpodatke,. Zato je'OVerenjellu, navi-

matsko,, i t o :

enicima

;pravlja,rpuiuje

Individualni rad ucenika predstavlja osnovu bilo kojeg oblika rada nadasu. Treba razlikovati sledeie vidove individualnog rada:

a) samostalan rad udenika koji usmerava (vodi) nastavnik;

b) samoaktivnost utenika u nastavnom procesu kada ciljeve i nacinerada odabiraju sami udenici (slobodan individualan rad);

c) individualan rad udenika u procesu organizovanja drugih oblika rada(frontalnog, grupnog, rada u parovima).

Podrazumeva se da je samostalan rad utenika prema jasnopostavljenim zadacima nastavnika, osnovni vid individualnog rada u razred-noj nastavi matematike. Postupno se u nastavni proces ukljuduju razliiitividovi frontalnog i grupnog rada, u kojima udenik treba da saraduje sasvojim drugovima pri reiavanju zajednidkih zadataka koje je postavionastavnik. Medutim, cilj kojem treba teZitijeste - samoaktivnost uienika uobliku samoudenja i samoobrazovanja u nastavnom procesu.

Samostalan i samoaktivan rad ucenika dolazi do izraLaja uglavnom utoku reiavanja domaiih zadataka. Na dasovima ovaj oblik rada koristi sepri izvodenju kontrolnih radova, Skolskih pismenih zadataka, testova. kaoi pri koriSdenju rcznog programiranog materijala. tl svim ostalimsludajevima individualni rad udenika javlja se kao elemenat, odnosnosastavni deo frontalnog ili grupnog rada.

/ndiutduallzouant md je oblik rada u kome svaki udenik radi samo-stalno na posebnom zadatku. U stvarl, individualizovani rad je diferenciraniindividualni rad. Osnovna karakteristika takvog rada je uvaZavanje individu-alnih razlika svakog udenika, koje se ogledaju u psihofizidkim sposob-nostima, tempu rada, iskustvu, nadinu reagovanja i karakternimosobinama.

Individualizacija se moZe ostvariti ako se upoznaju individualne razlikeudenika, i to postupkom identifikacije i dijagnoze.

Postupak identifikacije ima tri etape.

U prvoj etapi utvrduje se:

a) fizidka, psiholoika i socijalna zrelost;

b) razuijenost sluha ivida;

c) opsta mentalna razvijenost;

d) uslovi Zivota udenika u porodici.

9 1

U drugoj etapi utvrduje se da liudenikvlada onim znanjima, umenjimainavikama koje dine neophodnu op5tu osnovu za uspeino usvajanje novihznanja, tj:

a) osnovna matematicka pismenost;

b) osposobljenost za sluZenje udZbenikom.

Treia etapa obuhvata utvrdivanje uzroka iprirode individualnih razlika.

Metode itehnike u identifikaciji i dijagnozi:

a) nastavnikova opservacija ;

b) uobidajeno tekuie usmeno i pismeno proveravanje;

c) razgovor nastavnika sa udenikom i roditeljima;

d) primena objektivnih tehnika;

e) testovi inteligencije.

Najpoznatiji nadini, postupci i tehnike individualizovanog rada:

a) rad sa nastavnim listii ima;

b) rad sa zadacima razliditog nivoa teZine;

c) individualna nastavnikova instrukcija;

d) rad sa programiranim materijalima;

e) dopunski rad;

f) dodatni rad.

Rad sa nastavnim listi6ima:

1. Struktura nastavnog lista

Svaki nastavni listi6 ima tri dela:

a) uvod u zadatak (podseia udenike na neko ranije obradeno gradi-vo) :

b)rc ) r

2 . \

a ) l

b ) l

c,l ise usvc

PreangaZore5avaru radu;nostii ti na svt

Nepripren

Ui indivirresavazadalagruParnivoimstalnopodac

Usadairnastalradu.samo(viduali osarmaterfrontaNijedtuslovioblicit

92

)a, umenjimavajanje novih

,ralnih razlika

rada:

b) glavni deo lista (sadrZi uputstva za proudavanje problema);

c) reiavanje zadataka.

2. Vrste nastavnih listiia:

a) listiii za dopunjavanje znanja;

b) listi6i za brli razvoj udenika;

c) listiii za samostalno udenje (sadrZaji u vidu zadataka koji treba dase usvoje).

Prednosti individualizovanog oblika rada su: (i) maksimalnaangaZovanost individualnih sposobnosti i znanja svakog udenika (putemreSavanja razliditih zadataka po teZini); (2) potpuna samostalnost udenikau radu; (3) moguinost da nastavnik stekne potpuni uvid u znanje, sposob-nosti i osobine udenika; (4) primenjivost na mnogim sadrZajima programai na svakom tipu dasa.

Nedostatak ovog oblika rada je u tome 5to zahteva dosta vremena zapripremu iprimenu.

U razrednoj nastavi matematike primenjuje se kako individualni, takoi individualizovani rad, pa i kombinacija, kada nekoliko udenika samostalnoreiava jedan zadatak, druga grupa udenika samostalno reiava drugizadatak itd., pri demu su zadaci prilagodeni sposobnostima utenika pogrupama. 0 stvarito je oblikindividualizacije pomoiu zadataka na razliditimnivoima sloienosti. Interesantan oblik individualizovanog rada je i samo-stalno sastavljanje zadataka od strane udenika, kojima se unapred dajupodaciili Sema prema kojoj treba da sastave zadatak.

U veoma vaZne zadatke unapredivanja nastave matematike usadainjim uslovima spada razvijanje maksimalne aktivnosti ucenika unastavnom procesu i njihovo osposobljavanje za potpunu samostalnost uradu. Posebno je znadajan problem samostalnog rada, samoudenja isamoobrazovanja. Zato individualni i individualizovani rad, odnosno indi-vidualizacija i diferencijacija nastave, koji udenike u najveioj meriaktivirajui osamostaljuju u radu, jesu oblici koji doprinose unapredivanju nastavematematike. Medutim, u sadainjim uslovima razredno-dasovnog sistema,frontalni rad joi uvek ostaje dominantan, pa ga valja i dalje usavrSavati.Nijedan oblik rada ne sme se proglasitiiskljudivim, jer svaki, pod odredenimuslovima, moZe bitiuspeian, tj. moZe imati neka preimuistva nad drugimoblicima.

rdeno gradi-

93

Programirana nastava

Programirana nastava se moZe smatrati i oblikom nastavnog rada ukome se nastavno gradivo na poseban nadin logidki strukturira i dajeudenicima u manjim, ranije pripremljenim delovima koje udenici usvajajusamostalno, postupno, iduii korak po korak sopstvenim ritmom i pro-veravaju6i usvojenost tih sadrZaja pomoiu stalne i tekuie povratne infor-macije.

Karakteristike programiranog oblika nastave su:

1. Udenik usvaja samostalno sadrZaje, tzv. "dlanak", "sekvencu", temu,tadno programiranu i logidki strukturiranu.

2. Udenik napreduje korak po korak sopstvenim ritmom, bez uieiianastavnika.

3. Usvajanje nastavnih sadrLaja izloZenih u "porcijama" ("dozama")sistematski se proverava pomoiu povratnih informacija (postupnost, mo-tivacija).

4. Udenik prelazi na naredni korak samo ako je usvojio prethodneetape.

5. Suitina programirane nastave je u tome Sto su unapred, detaljno Iprecizno, odredeni ne samo sadrZajivei i sam Proces usvajanja.

Pojmove u programiranoj nastavi dine:

Teme: grupa sekvenci koje se odnose na deo nastavnog proglama.

Sekvenca: sastoji se od viSe dlanaka, a odreduje deo tematidke celine.

Clanak ("porcija", "doza"): destica znanja koju udenik usvaja re5avaji-rcineki problem, zadatak, pitanje.

Struktura dlanka:

a)informacija;

b) zadatak;

c) re5enje;

d) instrukcija (ako je neophodna za dalji rad).

FnastakasnrpostivaLarznand a bindiv

:

izvo,min

pravu rattivn<

odnnosskr<

94

rad

lavnog rada urkturira i dajelenici usvajajuritmom i pro-'ovratne infor-

vencu , temu.

n, bez uieiia

a" ("dozama")jrupnost, mo-

i io prethodne

ed, detaljno rnja.

programa.

i t icke cel ine.

ja reSavajtrci

'Uzrcke neuspeha suo1|h uientka naslauntl-

beba da traii pre suegra u sanzont sebi"

S. Prvanovi6

7. PRAEENJE I OCENJIVAI\JE RAI}A I REZOLTATA

RADA UCNXME O NASTAVI IhATEM/\TTKE

Praienje rada udenika i njegovog celovitog razvoja je stalni zadataknastavnika, da bi na osnovu povratnih informacija u nastavi mogao efi-kasno da upravlja nastavnim procesom. Kriterijumi upravljanja supostavljani ciljevi i zadaci u nastavi matematike. To je izuzetno odgovoran,vaian, ali iveoma delikatan zadatak svakog nastavnika. Vrednovanje rada,znanja, veStina, navika, razvoja celokupne lidnostiudenika, pre svega trebada bude individualizovano i kontinuirano jer je svaki udenik posebnaindividualnost i nalazi se u stalnom razvoiu.

Sta se vrednuje u nastavi matematike?

-Znanja - udenik treba da usvoji odredenu kolidinu dinjenica podataka,pravila i sl. VaZan je iobim i nivo znanja, 5to podrazumeva i njihovu primenuu raznim oblastima. Nastavniprogrami matematike jasno odreduju opera-tivne zadatke za svaki razred.

- Umenja (veitine) - udenik treba da relativno brzo, tadno i spretnoizvodi razne operacije, da se sluZi simbolima, matematizacijom, algorit-mima, odredenim priborom itd.

- Navike - udenik treba da stide i odredene pozitivne navike,kao Sto su:odnos prema radu ( sistematidnost, odgovornost, preciznost, samostal-nost, urednost i sl.), teorijski pristup problemima u praksi, racionalnost,skromnost, kritidnost itd.

Sposobnosti - posmatranja, logidkog miSljenja, apstrahovanja,snalaZenja u prostoru, funkcionalnog miSljenja itd.

- Stavovi - socioetidki Stavovi kao 5to su: naudni pogled na svet,radoznalost, intelektualno poitenje, stav prema radu itd.

95

Cemu vrednovanje u nastavi matematike?

Ocena, kao povratna informacija o kvalitetu nastavnog procesa imasledeie funkcije:

- informacionu - da blagovremeno obavesti ucenike, roditelje i ikolu ouspely pojedinih udenika, a nastanika o rezultatima njihovog rada, s ciljemSto efikasnijeg upravljanja nastavom.

- motivacionu - da podstide udenike na veie angaZovanje i motiviSe zasistematsko udenje,

- orijentacionu - predstavlja osnovu za utvrdivanje uzroka teikoia unapredovanju udenika i za peduzimanje odgovarajuiih mera radi postizanjaboljeg uspeha i harmonidnijeg razvoja udenika. Na kraju Skolovanja uodredenoj Skoli uspeh udenika svakako ce biti jedan od usmeravajuiihfaktora za izbor poziva.

7.1. Karakteristike ocena

Ocena iz matematike treba da izrazi stvarni uspeh pojedinog uienikau nastavi, dakle treba da bude:

- valjana - da pokazuje stepen usvojenosti programa nastave matema-tike, u skladu sa operativnim zadacima te nastave.

- objektivna - da zavisi samo od pokazanih rezultata, a ne od subjek-tivnih utisaka nastavnika, il i prirode instrumenata kojima se vr5i pro-veravanje i ocenjivanje.

- pouzdana - da se za isti stepen usvojenosti programskih sadr2aja uponovljenim ocenjivanjima (od drugog nastavnika ili nekom objektivnommetodom) dobija ista ocena.

Nastavnik prilikom "vrednovanja udenika" treba da ima u vidu liirrostudenika u celini, uslove pod kojima Zivi i radi, njegove moguinosti, zala-ganje, i sl. Naravno, taj faktor ne moZe biti odludujuii, niti bitno uticati nasniZavanje kriterijuma ocenjivanja.

Vrednovanje rada i rezultata rada udenika tokom Skolske godine se vrii:

- brojdanom ocenom i

- c

olefektir( a n a kkoje stbeleZirS e n a l

\J

kvalite

I

vera\alter

obra

C

1obuhtnosta

zsredni navi

proEodgo

obrzd a t

bitnjedrFflOt

-

lesa ima

i Skolu o, s ciljem

rtiviie za

rikoia urstizanjalvanja uavajuiih

ucenika

'ratema-

subjek-rii pro-

driaja udivnom

r lidnost;ti, zala-Licati na

- oprsnom ocenom.

Obrazovni efekti nastave se izraZavaju preteZno brojdanim, a vaspitniefekti najdeiie opisnim ocenama. Ocene u dnevniku su po pravilu brojdane(a na kraju Skolske godine iskljudivo brojdane), alioni moraju uvaZiti i ocenekoje su date u opisnoj formi. Opisne, a i neke brojdane ocene, nastavnikbeleZi u svojoj svesci. Ocene se u dnevnik rada unose periodidno iformirajuse na osnovu svih relevantnih aspekata nastave matematike.

Glavna komponenta ocene iz matematike je znanje, njegov obim ikvalitet.

Obim znanja se moZe definisati u koncentridnim kruqovima:

1. Znanja koja su neophodna za svakog udenika. Programskiminimumobuhvata sve vaZnije pojmove, pravila, formule i nihovu primenu u najjed-nostavnijim sludajevima .

2. Znanja koja su potrebna za odeljenje, ( ali ne i za svakog udenika) -srednji, krug znanja, koji obuhvata sva osnovna znanja, neophodne veitinei navike.

3. Optimalni nivo znanja (stidu ga pojedini ucenici), koji pored sadrLajaprograma obidno podrazumeva i proiirenje znanja iz datih oblasti, sodgovarajudim veitinama i navikama.

Kvalitet znanja se javlja na razliditim nivoima:

1. Prepoznavanje - pojmova, definicija, pravila, formula itd. Pro-veravanje ovog najniZeg nivoa znanja se vrii usmeno ili pisano, putemalternativnih pitanja, viSestrukim izborom, sparivanjem grupe podataka i sl.

2. Reprodukcija - udenik moZe da reprodukuje odredene sadrZaje, bezobrazloZenja ili suitinskog razumevanja.

3. Razumevanje - stvarno shvatanje i razumevanje sadriaja, sa logidkimobrazloZenjem. Qdenik je u moguinosti i da vrii misaonu preradu znanja,da povezuje dinjenice i da izvodi odredene zakljudke.

4. Nivo primqne - funkcionalnost znanja i umenja. Odenik zna da izdvojibitno od nebitnog, da apstrahuje, da formira matematidke modele nekihjednostanijih pojava, odnosno da aktualizuje izudavane matematidkemodele.

) se vrst:

9l

5. Nivo kreativnosti ili stvaraladkog rada - udenik, saglasno svomuzrastu, uspeSno koristi stedeno znanje u reiavanju veoma Sirokog spektraproblema, traZi najelegantnija reienja, kritidki analizira i procenjuje iznetetvrdnje, samostalno formuliSe odredene probleme, matematidke modele irutinski ih reiava.

ViSi nivoi znanja uvek podrazumevaju i sve niZe nivoe, a pre svega iadekvatni obim znanja. Kvalitet znanja se procenjuje indirektno, na osnovupostupaka rada, udinjenih greiaka u radu, kako u obraditeorijskih sadrZaja,tako i prilikom formiranja I primene matematidkih modela.

Konadna ocena iz matematike na kraju polugodi5ta ili Skolske godinetreba da izraLava stepen ostvarenosti propisanog programa kako po kvan-titetu, tako i po kvalitetu, stepen formiranih umenja, navika, stavova itd.Trud izalaganje udenika, njegove mogudnosti i sposobnosti i drugi faktoritakode mogu biti korektivi kod formiranja konadne ocene."Famozna"aritmetidka sredina svih ocena tokom Skolske godine ne bi trebala da budei jedini argument za konadnu ocenu iz matematike. Neke ocene mogu bitipopravljene (opet ne po principu srednje ocene), ako je udenik savladaoone sadrZaje programa iz kojih je bio slabije ocenjen, ili se radi o ocenamarazlidite teZine (pismeni, kontrolni, odgovaranje, iz vaZnije ili manje vaZneoblasti itd.).

Ocene treba da budu javne i obrazloZene, da hrabre udenike, da ihmotiviSu . Vredanje, ili omalovaZavanje udenika je neprihvatljivo.

7.2. Obtici i metode ocenjivanja

Pracenje rada i razvoja udenika, proveravanje njegovog znanja i oce-njivanje, sve to treba da bude:

- dobro planirano, s jedne strane kontinuirano, a s drpge stranesistematsko, posle tematskih celina, sveobuhvatno i koordinirano,

- individualizovano i diferencirano, da bi svaki udenik mogao postiiisvoj lidni maksimum,

- nepristrasno, da se zasniva na priznatim i naudno proverenim meto-dama, postupcima i objektivnim elementima.

-PnZM i rad

Priktreba vr:koriste t

- ra:

- 5 k

- pi!

- pri

- v a

- priradu, dr

U n rpraienjinaJcesc,ispitivat

Pritciplinu I

- Ui udenimisaonodgovasamoktpredstz

Ustako i tznanjab i n i t r

- tkao 5tposle tprover

9B

;vomektralnetelele i

3ga INOVU'Laja,

rd inet/an -

r itd.rktori)zna"rude.r bitiadaoamaaZne

la ih

Prikupljanje podataka koji su bitniza ocenjivanje udenika iz matematiketreba rrriiti u svim fazama nastave tokom ditave Skolske godine.Pri tome sekoriste raznovrsne tehnike, od kojih su najvaZnije:

- razne forme usmenog proveravanja,

- ikolski pismeni zadaci,

- pismene kontrolne veibe, kontrolni nastavni listii i, testovi,

- praienje rada i ponaianja udenika na dasu i van dasa,

- vannastavni ivanikolski rad udenika (posebno domaii zadaci),

- praienje urednosti udenikovih svezaka i radnih listova, odnosa prenraradu, drugovima idrugaricama, odraslima i drugih vaspitih momenata.

- prikupljanje podataka o interesovanjima udenika, uslovima u kojimaZ i v i i r a d i i d r u g o .

U nastavnoj praksije neophodno kombinovanje raznih metoda ioblikapraienja, proveravanja i ocenjivanja ucenika. Usmeno proveravanje senajdeS6e kombinuje sa reiavanjem zadataka, alije poZeljno povrern€lr-roispitivati i teoriju, posebno u srednjoj 5koli.

Primena tzv."pedagoikih ocena" je nedopustiva (za disciplinu, il i nedis,cipl inu i s l . ) .

- Usmena proveravanja - realizuju se, najdeSie, kroz dijalog nastavnikai udenika. Pitanja treba tako postavljati da podstaknu 5to intenzivrrijumisaonu aktivnost svih udenika - dakle za celo odeljenje. Prilikomodgovaranja udenika, treba uticati na kulturu komuniciranja, kriti inost isamokritidnost, preciznost itd. Pored odgovarajuiih znanja, svi ovi elenrenl.ipredstavljaju indikatore za proveravanje i ocenjivanje udenika.

Usmeno proveravanje se primenjuje kako pri obradi novog qradiva.tako i na dasovima uveibavanja, utvrdivanja, ponavaljanja i sisterrratizacijt:znanja. Retki su dasovi proveravanja. a posebnih casova za ocerrjivarrje nebi ni trebalo da bude

- Pismena proveravanja - obavljaju se putem raznih pismenih radova.kao Sto su: Skolski pismeni zadaci, kontrolni zadaci i testovi. Po pravilLr,posle realizacije svake programske teme (tri-detiri puta u toku polLrgorJiit;r)proveravaju se znanja putem kontrolnih zadataka, standardizov;:rrilr

Sttcr

3to-

testova, ilizadacima objektivnog tipa , koje sastavlja sam nastavnik. Skolsklpismeni zadaci se pi5u, prema programu. dva puta u polugodiStu.

Pismeni zadaci su kompleksnijiod kontrolnih zadataka ilitestova, pa idobivene ocene treba adekvatno tretirati. C)cena sa pismenog zadatkadirektno ulaziu dnevnik rada, a ocene sa kontrolnih zadataka itestova boljeje da se evidentiraju u svesci nastavnika i da u dnevnik rada ulazeobogaiene ocenama ostalih aspekata nastave, koji se takode evidentirajuu svesci nastavnika. Uvodenje ovih ocena u dnevnik rada treba da budepropraieno prigodnim dobronamernim komentarima nastavnika i uzsaglasnost udenika - neprihvaiena ocena je veoma Stetna.

Ocenjivanje pisanih radova je posebno pitanje. Ocenjuje se i kvantiteti kvalitet izrade, a na ocenu utide i urednost u radu. Zadaci se mogu datina raznim nivoima, naravno otuda slede i razne skale ocena. PoZeljno jevriiti bodovanje pojedinih faza izrade zadataka i o tome unapred upoznatiudenike. Jednostavniji zadaci ie bitibodovani sa manjim brojem bodova,a sloZeniji sa viSe bodova. Nadin reiavanja zadataka takode moZe donetidodatne bodove,kao i urednost i elegantnost u radu.

ocena: nedovolojan

ocena: dovoljan,

ocena: dobar,

ocena: vrlo dobar,

ocena: odlidan.

7.3.

Kritenastave tda se nasavete kr

Da lrazvitka ropSte nc

-O(reprodulnostavniUmenjamoi i ie

-oosnovn(osposotlogidki, rdovoljntmodela

- Cprogrand a i h iodgovau okvirl

-osve elerprimen,Poseduesovanrodgova

Betavnikuudenikivrstu idalje ptu nasti

Obidno se preporuduje ova skala ocenjivanja:

- do 40 % osvojenih bodova

- od 41-55% osvojenih bodova

- od 56-70% osvojenih bodov

- od71-85% osvojenih bodova


S obzirom na znadaj ocena s pismenih proveravanja, nastavnikje duZanda obezbedi odgovarajuie uslove za samostalni rad svakog udenika.

Analizu (ispravak) pismenih radova nastavnik treba da iskoristi zaotklanjanje tipidnih greiaka u radu, da koriguje svoju nastavu i da usmeravasvoje udenike u daljem radu.

PoniStavanje pismenog ili kontrolnog zadatka je nepoZeljno; u normal-nim uslovima do toga i ne moZe da dode.

Domadi zadaci su takode pisani zadaci udenika, a po pravilu se neocenjuju (pitanje samostalnosti, uveZbanosti itd.).

100

-

)va, Pa izadatkava boljea ulazelentirajula budek a i u z

Skolski

vantrtetrgu datieljno jepoznatirodova,doneti

duian

isti zalerava

rrmal-

se ne

7.3. Kriteriiumi i norme ocenjivanja

Kriterijum ocenjivanja je verovatno medu najznatajnijim problemimanastave matematike. BliZih i konkretnijih uputstava o tome ni nema, takoda se nastavnik moZe osloniti samo na svoje iskustvo (ako ga ima), ili nasavete kolega.

Da bi smo obezbedili 5to ujednadenije ijedinstvenije praienje rada irazvitka udenika i objektivnije ocenjivanje, izneiemo osnovne kriterijume iopite norme ocenjivanja u nastavi matematike.

- Ocenu dovoljan moie dobiti udenik koji na nivou prepoznavanja ireprodukcije zna osnovne programske sadrZaje i moZe da reiava jed-nostavnije zadatke, a nije dovoljno samostalan u primeni stecenih znanja.Omenja i navike su mu na niskom nivou, ali se trudi i sistematski radi, amoii ie da prati sledeie novo gradivo.

- Ocenu dobar moZe dobiti udenik kojije sa razumevanjem usvojioosnovno programsko gradivo, ume da se sluii stedenim znanjem iosposobljen je za njegovu primenu u poznatim situacijama. Gradivo izlaZelogidki, sa obrazloZenjem. Navike i umenja nisu mu na Zeljenom nivou, nijedovoljno samostalan kod zakljudivanja i formiranja matematidkihmodela. lma solidne osnove za dalje praienje nastave.

- Ocenu vrlo dobar moZe dobiti udenik koji je usvojio i savladaoprogram, shvata i razume suStinu programskih sadrZaja i moZe samostalnoda ih izlale, ume da povezuje ranija sa novim znanjima, posedujeodgovarajuia umenja i navike, osposobljen je za primenu stedenih znanjau okviru programa. Odgovoran je iuredan, temeljan, korektan iracionalan.

_ - Ocenu odlidan moZe dobiti udenik kojije sa razumevanjem savladaosve efemente programa , zna da se sluZi stedenim znanjem, kreativan je kodprimene znanja, samostalan je kako u sticanju, tako i u primeni znanja.Poseduje razuijene potrebne navike i umenja, pokazuje visoki stepen inter-esovanja za predmet. Vredan je i uredan, radi sistematski. Ume da se sluZiodgovarajudom literaturom u cilju samoobrazovanja.

Bez obzira na ova nadelna uputstva kod ocenjivanja udenika, nas-tavniku je ipak ostala velika sloboda u procenjivanju usmenih odgovoraudenika, kod izbora zadataka za pismene i kontrolne zadatke, u odnosu navrstu i nivo zadataka koji su radeni na dasu. Dok u mnogim oblastima idalje preovladuju zahtevi koji se odnose na zapamiivanje i reprodukovanje,u nastavi matematike vei odavno preovladavaju zahtevi za produktivnim

1 0 1

".lzgrleda da srno m[ natocYfto oset!1'ui na duh )tuosti

i ble.sak inte/igencye, do/c ntarye cenimo sttp/iluos|

1 oduainost Lr naDo/u. l4edullnt oue dLte osobttrc

don[ni'41u tt stnkoj /cart1erl"

E. Pikar (E. Pikard)

8. II,IOTIVISANJE T PODSTICA$JE ZA OCENJE MI{TEMr{.TTKE. VANNASTAVHE I VANSKOLSKE AKTIVNOSTT

8.1. Razvijanie interesovanja za utenie maternatike

Zaito neki ucenici vole matematiku, a drugi ne vole; zaito su nekipaZljivi na dasu, a drugi nisu? Kad bi nast.avnik znao odgovore na ova i slidnapitanja, mogao bi i da utide na ponaianje udenika, da predvidi, da spredi,ili izazove odredeno ponaianje. Medutim, teiko je objasniti ponaSanlesvakog udenika, jer to zavisi od raznih motiva i drugih faktora.

Podsticanje i motivisanost udenika idu medu najznadajnije faktore l<ojiutidu na njihov odnos prema nastavi matematike.

Posebno su uticajni motivi:

- aktivnosti,

- radoznalosti,

- afirmacije.

Uticaj razvojno-odbranbenih mehanizama je takode znadajan. Njihovuticaj moZe biti i pozitivan i negativan. Radi se o:

- identifikaciji,

- maitanju,

- kompenzaciji i natkompenzaciji,

- racionalizaciji itd.

Aktivnost i radoznalost je u prirodi deteta, samo ih treba pozitivnousmeravati. Takode, svaki udenik Zeli da se potvrduje u razredu. Svaka

! a " ,

! , , , ,

! ' . . . .

r03

nastavnikova pohvala moze doprineti podsticanju motiva afirmcije, ito seodraZava i na odnos prema nastavi matematike. Identifikaciia ucenika sapozitivnim lidnostima, njihovo.ma5tanie o. buduiem pozivu, iamena cilja,samopotvrdivanje i dokazivanje, ponekad i "inat", mogu da posluZe k"aopozitivni motivi za udenje matematike.

Interesovanje za udenjem matematike se budi:

- pravom motivacijom,

- osmiSljenim vaspitnim uticajem,

- primenom matematike u raznim oblastima,

- raznovrsnim i interesantnim sadrZajima,

- aktivnim metodama rada,

- upotrebom nastavnh itehnidkih sredstava,

- stavom i kvalitetom nastavnika.

Nastavnik, l.jegov stil rada i pre svega njegove ljudske osobine sigurnosu medu najvaZnijim faktorima koji uticu na uspeh utenika u nastavimatematike. Mozda ne. bismo mnogo pogreiil i ako bismo tvrdili da jenastavnik najuticajnijifaktor u nastavi matematike. Navedimo karakteristikedobrog nastavnika:

- voli svoj poziv i ima razvijeno interesovanje za matematiku,

- dobro poznaje matematiku kao nastavni predmet i metodiku nastavematematike,

, - zna da pronade najbolje metode za obradu pojedinih nastavnih

sadrZaja,

- shvata teSkoce udenika iove ume da motiviie za udenje matematike,

- nastoji da udenike zainteresuje i kod njih razvije stvaraladkomatematicko miSljenje, ne zadovoljavajuii se golim informacijama,

- kod udenika pobuduje i razvija dosetljivost,

- nastoji da udenike nauii i navikne da dokazuju tvrdnje.

- na osnovu reiavanja konkretnog zadatka pronalazi i otkriva opitimetod.

- dotkriju itajnu re

- P (namec€

- v o

- m

- p n

- d oi jednak,

- pri

Dobrnalemaalnu aktotkrivanudenikaprvenst\induktivformalnidinjenirgradiva.

a.2

Fizinastavajedne ";pedagonegativomogutipidnorudeniciBeogra

- n

- n

104

iva afirmcije, ito setifikacija udenika saozivu, zamena cilia.gu da posluZe k"ao

- dovoljno je strpljiv, kako bi omoguiio ucenicima da samos\a\nootkriju 5to vi5e dinjenica, odnosno da dopustr utenicima da sami otkrijutajnu reiavan\a zada\ka pre nego ito on izloZi reienje,

- ponekad koristi sugestivna pitanja ili uputstva, s tim da napadno nenameie svoje miSljenje.

- vodi raduna o distribuciji svoje paZnje u svakom nromentu iasa,

- misli uvek iskazuje korektno i u tonr srnislu vaspitava i udenika,

- pravilno koristi tablu, pi5e i crta pregledno i uredno,

- dobro poznaje udenike, ima korektan stav prema njima,objektivan 1eijednako strog u zahtevima prema svakom udeniku,

- prati i proudava struino-metodidku literaturu.

Dobar nastavnik treba da uzima u obzir prirodnu o5troumnost imatematiiko predznanje udenika, da izaziva i podstite njihovu intelektu-alnu a'Kivnost, motiviSe, stvara situacije, koje doprinose samostalnomotkrivanju matematidkih relacija i razvijanju matenratickog mi5ljenjaudenika. U nastavnom radu sa udenicima mladeg uzrasta gradivo izlai-eprvenstveno induktivnim putem, sa udenicima srednjeg uzrasta. preteZnoinduktivnim putem, za udenike starijeg uzrasta akcenat pomera premilformalno-logidkom putu, uspostavljajuii veze medu proudenim svof stvi nr aidinjenicama, te od tih svojstava ivezaiz,graduje deduktivni sistem izlaqan;agradiva.

8.2. Nastavnik i nadareni udenik

Fizidke i mentalne razlike medu udenicima ukazuiu na to da savrentef)dnastava ne bi smela da bude svojevrsna "pedagoSkakonfekcija" koja je zajedne "pretesna" a za druge "preSiroka" . Takode se pokazalo da je tzvpedagoSkiprosek (prosecan ucenik) pedagoSka iluzija, koja godinanrb ,la1enegativne rezultate u nastavi matematike - siab uspeh, s iedne i rieomogucava l idni maksimum s druge slrane. Utvrdeno je npr di st .uktrrratipidnog odeljenja V razreda, s obzirom na individualne razlike merJLrudenicima, u matematici izgleda ovako (Prosvetno-pedagoiki zav od gr adaBeograda, 1980. god. ) :

ke osobine sigurnoucentka U nastavitismo tvrdili da ie!imo karakteristi(e

matiku,

retodiku nastave

dinih nastavnih

ie matematike,

e stvaraladkocijama,

na nivou lll razreda je 17% uienika,

na nivou lV razreda l9% udenika.

rtkriva op5ti

r 05

- na nivou V razreda 28% udenika,

- na nivou VI razreda 17% udenika,

- na nivou Vll razreda 11% udenika,

- na nivou VIll razreda B% udenika.

Ovo dobro pokazuje, da na odeljenje odredenog razreda treba gledatikao na skup udenika nejednakih moguinosti i znanja.

Koje su individualne osobine nadarenih udenika u oblasti matematikei kako ih otkriti?

Prema jednoj kategorizaciji, karal<teristike darovitih udeni ka pripadajusledeiim podrudjima:

- karakteristike udenja,

- karakteristike stvaralaitva,

- motivacijske karakteristike i

- socijalne karakteristi ke.

Za nastavu matematike je od znaiaja: brzo uodavanje dinjenica. brzoshvatanje opitih principa, nezavisno mi5ljenje, lako primenjivanje znanja,kritidko zapaLanje iotkrivanje relacija. Sporno je da lipojadana sposobnostprostornog predstavljanja i izvodenja radunskih operacija nuZno pripadasposobnosti za matematiku.

lmaginacija, originalnost, radoznalost, bogatstvo ideja, otvorenost,nekonvencinalnost, konciznost, jasnost, kritidnost, istrajnost, teZnjasavrienstvu, ambicioznost kao i odgovornost, suprotstavljanje autoritetu,takode su atributi matematidke sposobnosti.

Sposobnosti i sklonosti za matematiku podinju da se ispoljavajuuglavnom u starijim razredima osnovne 5kole. Da liie se iu kojoj meridaljerazviti, zavisi od uslova Zivota i od kvaliteta nastave matematike. U ni2imrazredima osnovne Skole ne bi se jo5 moglo govoriti o talentima. vec samoo viSe ili manje izraZenim posebnim sposobnostima i sklonostima.

ldentifikacija darovitih udenika za matematiku vrSi se:

- procenjivanjem osobina ucenika ( nastavnik, roditelj, voditeljiklubova, savetodavalac, samoocenjivanje i sl.)

- Prcradovi, psekcijarr

Naspronalazstrpljenjikoncentapstrahtzadatkezadatke

Upuditelji,50% sluNajdeiipredmepovoljntCesto srnjih do:protesttudenicit

U rkoji jeintereszosPosonastavrsposob

Mruniforrmedueksternapre(iscrpljrse din

8 .

106

ba gledati

atematike

pripadaju

rica. brzoe znanja,csobnostr pripada

rorenost,- te)nia

rtoiltetu,

roljavajureridaljeu ntzlm:i samo

- procenjivanjem duhovnih i materijalnih proizvoda udenika (origirralniradovi, praktidni radovi, nagrade na takmitenjirna, dlanstvo u naudnimsekcijama isl).

Nastavnik pre svega primeiuje da udenik pri reiavanju z-adatakapronalazi originalne postupke, ume da reii neobidne zadatke, pokazuiestrpljenja i istrajnosti u reiavanju sloZenijih zadataka i isproljav;r punukoncentraciju i misaonu aktivnost pri tome. Sposoban je da klasifikuje,apstrahuje, da vrSi analizu i sintezu, otkriva funkcionalne veze, veito reSavazadatke logidko-kombinatorne prirode, samostalno reSava domarcezadatke itd.

U preko 90% sludajeva u identifikacionim postupcima su ukljuceni iuditelji, odnosno nastavnici. Medutim istraZivanja pokazuju da su u pref<o50% sludajeva nastavnici (ne samo u matematici), dali pogreirre dijaqnoze.Najdeiie se proglaiava nadarenim udenikom onaj koji ima iz svih nastavnihpredmeta odlidan uspeh (kojije taj uspeh postigao izvanrednim radonr. upovoljnom socioekonomskom okruZenju itd.), a realno je prosecan ucenik,Cesto se ne prepoznaju daroviti ucerrici, jer se oni ne istidu u rutinsl<inr i z-.1njih dosadnim Skolskim situacijama, stalno pitaju neSto, upadaju u ret,protestuju, a ponekad pr:stoji i odbojnost nastavnika prema darovitinrucenicima.

U radu sa nadarenim udenicima imaie uspeha sarno onai nastavrr i i<koj i je snaZna, ernocionalno l<onzistentna l icnost. Sirol<ih intblektr-rurrrr i 'interesa, inventivna, fleksibilna, komunikaivna i putem specitiinih znarrjirosposobljena za odgovarajucu edukativnu delatnost. PoZeljno bi bilo dii inastavnici koji posebno rade sa darovitom decom, budu natprosecniirsposobnosti,obrazovani na specijalistidkim studijama.

8.3. Diferencijacija i individualizacija nastave matema-tike

Medu najkrupni j im slabost ima na5e skole )g . bez sunrrr ie. rr ierr , . runi formnost. To znat i da svi udenici , nezavisno od individualnih razl i l<amedu njima, "treba" da ovladaju istim programom. da ursvo.je porllclrln,rl<ekstenzitet i intenzitet znanja, da se bave zadacima podjednake tez-ine. rlanapreduju pribliZno istim tempom. U takvim uslovima nastava se krajrrlr:iscrpljuje u radu sa slabijim udenicima, posebno nastava maternatilic

'l-ir

se dini da bi se ostvarila te2nja ka oZivotvorenju "Skole bez porrar,,ljar.i"voditelji

101

Istovremeno su zapostavljeni napredni i daroviti udenici. Danas, u vremetreie naudno-tehnoloSke revolucije, dobro je poznato da su upravo talenti,daroviti pojedinci najsuptilniji resursi progresa druitva.

Tradicionalizam, jednolidnost, rutinerstvo i sl. moie se ublaZiti, i l i pakprevaziiiuvodenjem diferencijacije iindividualizacije nastave. To nije Sansasamo za darovite udenike nego, takode, i za udenike prosednih i ispot-prosednih sposobnosti,.

Diferencijacija nastave se uzima kao organizaciona mera koja ukljudujegrupisanje udenika u povremeno ilitrajno profilisane grupe, manje iliviSehomogene, a koje se formiraju prema kriterijumu interesovanja, sposob-nosti za udenje, tempu napredovanja i sl.

Naravno, ovo podrazumeva postojanje odgovarajuiih diferenciranihprograma, viSesmerno planiranje, diferencirane zadatke, izborne kurseve,pa i mentorski rad. Moguie organizacione forme su:

- grupisanje udenika prema sposobnostima,

- diferenciranizadaci u heterogenoj grupi,

- dodatni rad i

- izborna nastava.

Crupisanje udenika sa superiornim mentalnim sposobnostima u spe-cijalne Skole ili specijalna odeljenja, pokuSano je u mnogim Skolskimsistemima. OpSte je miSljenje da ta praksa ima mnoge prednosti, aliinekenedostatke. Kad je dete smeiteno u grupu pribliZno jednako sposobnedece, ono biva podstaknuto da koristi svoje intelektualne moiiu veioj meri,jer su standardi dostignuia vi5i. Ovaj plan nije primenljiv u manjim sredi-nama, a moZe imati negativne psiholoike i socijalne efekte.

Cak i u sludaju viSesmernih programa razliditih kurseva i sa veiimbrojem homogenih grupa, a u heterogenim grupama pogotovo, postojeznatne razlike medu udenicima unutar odeljenja. KoriSienje diferenciranihzadataka za udenike koji imaju razlidite sposobnosti i rade razliditim brzi-nama, takode je jedna organizaciona forma prilagodavanja interesima imoguinostima udenika.

Razlikujemo razlidite tipove diferenciranih zadataka :

- ugovorni tip zadataka - definiSu se zahtevi za prolaznu ocenu, ali izahtevi za sve ostale nivoe znanja,

razn(spos

Ina diu 5kr

ucerenciZAOS

ucet

POPzao!

inte

koji

5ko

aktipsilopt

doluiemeaktna:doldol

108

)anas, u vremel upravo talenti,

: ublaiiti, i l i pake. lo ni je Sansarsednih i ispot-

a koja ukljuduje:, manje ili vi5evanja, sposob-

diferenciranihborne kurseve,

rstima u spe-yim ikolskim:sti, ali i nekeko sposobneu veioj meri,ranjim sredi-

r i sa vecirhcvo, postojeiferenciranihzliditim brzi-interesima i

- viSestepeni tip zadataka - ne pruZa detaljne specifikacije zahteva zarazne ocene., ve6 predvida razlidite zadatke koji po priiodi iteZiniodgovarajusposobnostima pojedinih udenika (dva ilitri stepena sposobnosti).

,Kori5ienje "obogaiujuieg" gradiva za bolje udenike moze se primenitina dasu, ili da ti udenici umesto da rade u udionici , svoje zadatke'reiavajuu Skolskoj biblioteci, u kompjuterskoj udionici i sl.

8.4. Vannastavne aktivnosti u matematici

_ Matematika je-medu onim nastavnim predmetima koje znatan brojudenika teze savladuje i gde je zaostajanje udenika relativno veliko. Difer-enciranim, individualizovanim pristupom treba nastojati da se spredava tozaostajanje, ali ako se ipak javi, nastavnik treba da pomogne onimudenicima kojito zaostajanje ne mogu sami nadoknaditi.

Dopunska nastaua se org6nizuje prema potrebi i traje dok se nepopune praznine u znanju uienika, uz nastojanje da se otklone i uzrocizaostajanja. Tri su moguinosti za dopunski rad:

- po utvrdenom rasporedu, za one udenike s kojima je neophodnointenzivno raditi duZe vreme,

- tokom ili posle obrade i utvrdivanja pojedinih tema, za one uienikekoji nisu shvatili odgovarajuie bitne sadrZaje tih tema,

- u vidu povremenih instrukcija, za one udenike koji su do5ii iz drugeSkole ili su bili bolesnii sl.

Odredivanje udenika za dopunski rad iz matematike vrii nastavnik, uzaktivno udeiie razrednog stareSine, razrednog veia, roditelja i pedagoiko-psiholoike sluZbe u 5koli. Pri tome se mora voditi raduna i o ukupnojoptereienosti udenika.

Vrlo je znadajno da se na vreme identifikuju udenici kojima je potrebnadopunska pomoi i kakva. Pored pregleda sadrZaja koje udenik ili grupaudenika treba da usvoji u dopunskom radu, treba planirati iodgovarajuiemetode i nastavna sre{gtva kojima se udenik moZe najvi5e misaonoaktivirati, kao i nadin praienja rezultata. Nikako ne bi valjalo dopunskunastavu svesti na " Saputanje udenicima" za naredni nastavni das, niti da sedopunska nastava drii neposredno pre pismenog ili kontrolnog zadatka. Udopunskom radu mora bitinaglaiena ivaspitana komponenta, kao 5to su:

ocenu. al i i

109

izgradivanje radnih navika, razvijanje osecanja odgovornosti u radu, moti-vacija za rad itd.

Dodatni mdiz matematike predviden je samo za one uienike IV-VIIIrazreda osnovne Skole i nekih srednjih Skola koji pokazuju izrazite sposob-nosti i posebna interesovanja za matematiku. On treba da produbljuje iproSiruje matematidka znanja, ali istovremeno da omoguii kompleksnijipristup usvajanju matematidkih sadrZaja, da doprinosi formiranju i i irenjunaudnog pogleda na svet, motiviSe i podstide udenike na samostalni rad,na stvaraladko miSljenje, da osposobljava udenike za samoobrazovanje,uopite da darovitim udenicima omoguii ispoljavanje i razvijanje njihovihmatematidkih sposobnosti.

Veoma su znadajne organizaciono-tehnidke i strucno-pedagoSl<epripreme za dodatni rad iz matematike. Posebno je vaZno da se izvr5ipravilan izbor udenika, identifikacija udenika sa izraZenom sposobno5iu iinteresovanjem za matematiku. To dine nastavnici matematike r"r saradniisa Skolskim psihologom ipedagogom. Pritome je prethodniuspeh udenikau redovnoj nastavivaZan indikator, ali ne jedini i najvaZniji.

S obzirom na to da svega oko 10% uccnika ima posebne matematiil<esposobnosti, broj ucenika u dodatnoj nastavi neie biti veliki. Ako tr nekojSkoli nema vi5e od tri udenika istog razreda za dodatni rad. onda se u tornrazredu dodatna nastava moZe organizovati i u vidu povremenih konsr-tl-tacija il i individualizovanim pristupom u redovnoj nastavi, ali postoiimoguinost i formiranja kombinovanih grupa.

Takode postoji moguinost organizovanja dodatne nastave za r-rienikeiz viSe 5kola, time se dobija u kvalitetu i ekonimiinosti rada (5koie mladihmatematidara).

Dodatni rad iz matematike izvodi se po propisanom ori jentaciononrprogramu.

Slobodne rnatemallike aktiunosl|se organizuiu sa ciljenr populari-zacije matematike. U radu sekcije il i kluba uiestvuju svi r,rdenici koji to 2ele.bez obzira na uspeh i sposobnosti.

U sekciji, odnosno klubu sami uienici odreduju oblike, metode isadrZaje rada (u okviru date programske orijentacije), pri demu nastavnikdaje strudnu pomoc i sugestije za rad.

Pored redovnih sastanaka sa odgovarajuiom tematikom (zanirnljivapredavanja, razgovori, reiavanje zadataka, matamatidke zanirnijivosti, igre,p rak t i tn i radov i id r . ) . mogu se organ izovat i i razne Inasovne p13p i [n5 l ,1e i i r

(matmat(

naslmatzovanen

sluzalieIr€caakSA

SA

d(diSttf l

S\

u

1 1 0

adu, moti-

nike IV-VIIle sposob-cdubljuje i,mpleksnij iju i Sirenjulstalni rad,rrazovanje,je njihovih

ledagoSkea se izvr5i;obnoiiu iu saradnji:h udenika

rtematiike<o u nekojl s e u t o mih konsul-ali postoji

ra u ieniker le mladih

l tac lonom

popular i -oji to 2ele,

metode inastavnik

zanimljivarosti. igre,rifestacile

(matematidki kvizovi, izloZbe, matematidke ekskurzije isl.), izdavanje zidnihmatematidkih novina, matematidkog lista i sl.

8.5. Domadi rad utenika iz matematike

Domaii rad udenika se javlja kao posebna vrsta permanentnog van-nastavnog, odnosno vanikolskog rada udenika, koji povezuje iasovematematike, dakle ispunjava neku" didaktidku prazninu" u vaspitno-obra-zovanom procesu. Posebno je pitanje o kakvoj praznini se radi, da li je onaneminovna i kako se "ispunjava".

Domaiizadatak udenika moZe da bude:

- pripremanje za naredni das - savladavanje gradiva sa nastave,

- veZbanje zadataka - sticanje veStina i navika,

- primena usvojenih znanja u raznim oblastima,

- proiirivanje i sticanje novih znanja,

-izrada nekog modela tela, zidne novine, razna merenja itd.

Pretpostavlja se da je domaii rad udenika samostalan, iako to nije uveksludaj. Onaj udenik koji je savladao gradivo na dasu, uradiie i domaiizadatak, koji se najdeiie svodi na izradu Sablonskih zadataka, a oni drugi6e ih prepisati i l i ie potraZiti pomoi sa strane. Dakle nijedni, ni drugi. nitreii nemaju mnogo koristi od tog "obaveznog" rada. Ako je nastava nadasu dobro organizovana, individualizovana i diferencirana i obezbedujeaktivnost svih udenika onda postoje optimalni uslovi za to da udenicisavladaju sadrZaje, veitine i navike prema svojim sposobrrostima rrasamom dasu, pod strudnim rukovodstvom rrastavnika i potrebe zadomaiim radom bi6e znatno manje, odnosno nastavnik ie ih zadavatidiferencirano, i to samo prema potrebi. Ovaj "vekovni san" je postaostvarnost u osnovnim ikolama mnogih razvijenijih sredina, i mi takodetreba da teZimo ka njemu.

To ne znadida udenik kod kuie ne treba niSta da radi, vei da ne morasvaSta da radi, udiie dodatno samo to 5to ga interesuje ili 5to nije savladaou 5koli.

i 1 1

Domaii rad udenika ne treba ocenjivati, vei podsticati, strucno us-meravati i moralno podrZavati. Taj rad ni u kom sludaju se ne sme svestina izradu datih zadataka, vei treba da obuhvati i izborne zadatke, ali iproudavanje teorije iz sveske, udZbenika i iz drugih izvora.

Praienje domaieg rada udenika je u svakom sludaju obavezno.

t ike.vaspnasti

gralture

zadeholc

udobnem

t(+ .L'

Fri

\ 12

reno Lrs-ne svestitke, ali i

'lo.

'A ko1e rnsta un iku suol p redm e t dosada n,

s 4/m ie se dosadiuatt ceo nzrcd"

G. P5lya

9. PIAN|RANJE U NASTAVI I5/TTEU1{TIKE

Bitna pretpostavka za kvalitetnu realizaciju programa nastave matema-tike je temeljno planiranje. Nastavnik je organizator i nosilac obrazovno-vaspitnog rada, otu_da .njemu pripada primarna funkcija u planiranjunastave i vannastavnih aktivnosti.

- Cilj planiranja je da se nastava organizuje u skladu sa ciljevima izadacima nastave matematike, primenjujuii najsavremenija saznanja psi-holoikih i pedagoikih nauka i same matematike

Posredno planiranje obuhvata proudavaanje nastavnog plana i pro-grama,-raznih dasopisa strudno-metodidke i pedagoiko-psiholoske litera-ture, udZbenika, starih planova rada, il i planova iskusnijih kolega itd.

Neposredno planiranje vaspitno-obrazovnog rada podrazumeva:

- makro-planiranje (globalno, tematsko planiranje) i- mikro-planiranje (pripremanje za das).

,.._Pre.izrade plana rada nastavnik treba da uporedi program i sadr2aje uudZbeniku, ukljudujuii i redosled tema. Ako oceni da-su udzbeniriomobuhvaieni sviprogramski sadriaji, koji dine odredeni logidki sistem, porednastavnog programa i didaktidkog uputstva, udZbenik ie biti osnovnimaterijal za izradu plana nastavnika.

U program-u je godiSnji fond dasova za svaki razred razdeljen potemama._Broj dasova predviden za pojedine teme valja shvatiti-orijen-taciono. Time se nastavniku (iautoru udibenika) ukazuje-na obim i du6inupojedinih tema. strukturu dasova p.o tipovima nastave rasporeduje samnastavnik,.po pravilu oko 40% za obradu novih sadrZaja, a najmanje 60%za ostalo. Medutim skoro nijedan das nije monotipan.

. u okviru Sireg pripremanja za realizaciju svake teme pravi se operativniplan njene realizacije: programske sacrzaje svake teme-nastavnik deli na

1 1 3

nastavne jedinice. Priovom planiranju treba polazitiod opitih ioperativnihzadataka koji su navedeni u programu i, r,rz dobro sagledavanje sadrZajacele teme, formulisati obrazovno-vaspitne zadatke za svaku nastavnu temu,kao vaZnu orijentaciju za njenu realizaciju.

Najznadajniji deo pripremanja nastavnika za nastavu je njegova nepos'redna priprema za nastavni das. C)na obuhvata:

- strudnu pripremu (izbor gradiva, zadataka i sl.),

- didaktidko-metodidku pripremu (cilj izadacidasa. tip dasa, naslavnemetode. oblike rada. nastavna sredstva i sl.).

Uz

-s l

- o

- d

- organizaciono-tehnidkehnidkih sredstava. organizacijus l . l .

Bez obzira na svoje iskustvo, nijedan nastavnik ne treba da potcenjr-ijeplaniranje ineposredno pr ipremanje za tas, i l ida ga shvat i kao fornralrrost.Pr ipreme za das treba da budu pregledne ioperat ivne (upotrebl j ive rrasamom dasu) i trajne (sa analizama realizacije dasova, sa dopunamn rizmenama - dakle da reflektuju i pedagoiko iskustvo nastavnika).

Pod pr ipremom se ne podrazumeva smo pisana pr iptema. vrc iodgovarajuii materijali (nastavni listii i, grafofolije, razne aplikacije itd.).

Nezahvalno je davati neke krute modele planiranja nastave maiema-tike, medutim joi uvek je to korektnije nego ostavljati stotine nedor,oljtrcriskusnih nastavnika da se sami snalaze.

Na osnovu dugogodiSnjeg praienja nastavne prakse doSli snto dcrzakljudka da su u nastavi matematike najprihvatljiviji sledeci modeli plani-ranja i pripremanja.

9.1" GodiSnji, globalni plan i operativno-tematski plan

Model godiSnjeg plana daiemo u obliku tabele sa sledeiirn rubrikama

I / i l POLUCODISTE

RED.BR-

NASTAVNATEMA

BROJ NASTAVNIH CASOVA

OBRADA VEZBANJE PROVERA PONAVUANJE . ; . . \

pripreme (obezbedivanje nastavnih i te-pripremljenosti udenika za nastavni ias i

Terubrike

Orzvanidt

9.

K]ranje rnacijepriprer

S]pripresadrLzcelog

1 1 4

ih,ni

rativnih:adrLajau temu,

nePos-

astavne

i te-ias i

tcerlLrjena lnos t .lljive rrarnama r

tatenra -lovollrcr

;nro dc: l i p l an i -

p lan

rikanq.r

Uz globalni plan treba navesti:

- spisak literature za udenike,

- odeljenja u kojima se primenjuje ovaj plan,

- druge napomene od interesa za 3kolu.

Tematski plan se obidno naslanja na godiSnji plan i sadrii sledeierubrike:

Ovi planovi se najdeiie izgraduju za jedno polugodiSte i predstavljajuzvanidni dokument 5kole.

9.2. Dnevno planiranje - pripremanje

Klasidni modeli dnevnih priprema ne omoguiavaju paralelno plani-ranje etapa, sadriaja i odgovarajuie metodidke artikulacije dasa. Kornbi-nacije metoda, oblika rada iprimenjenih nastavnih sredstava nisu predmetpripremanja nastave, vei su prepuiteni sludaju.

Sledeii model pripreme za das prevazilazi niz nedostataka klasicnepripreme. SuStina je u tome da se vrii istovremena kombinacija nastavnihsadrZaja, metoda ioblika rada, kao i nastavnih sredstava, kojivariraju tokomcelog nastavnog dasa.

l . ve( i I

i rd . ) .

MESECNASTAVNA

TEMA(Vasp. obr. zad.)

NASTAVNAJEDINICA TIP CASA

NASTAVNASREDSryA

1 1 5

MODEL PRIPREME ZA CAS

NASTAVNA.IFDINICA RATPFI-)

CIU IZADACI CASA: . . . . . . . . .

IIP CASA:

TOK CASA /vreme/NAST-MET.

NA)T.

oH, lcNAST,SREI)

SADRZAJ I '5 I Met. l obt . Sred. I

SADRZA.J 2 11O'I M e t . 2

SADRZ,{J 3 i15'

Met. 3 o b l . 2 Sred 2

M e t . 2 obl l

SADRZ,TJ 4 112'/ Sred.

DOMACI ZADACI 13' Met. I obl r Srecl 4

PRIMEDBE O CASU:

Cilj, zadaci i tip dasa karakteriSu nastavni das unastavne metode, nastavni oblici i nastavna sredstva supojedine faze dasa, zato ih treba tako i planirati.

celini, medutimkarakteristidni za

- S crnaterijalodnos t(encijacUi

- P rnjihova tkoristiol<oriSier

- S tzaclia rcdinamik

I :- L - l l

dinamic

- R iradu, jerad udereiavajt

- D rizrade, I

- F rvaspitnt

. C

rada, p

. K

postoj€

- (realiza(

- (uredn(

- (struan

- L

NASIAV

eventL

9.3. Anatiza odrianog iasa

Nakon odrZanoq dasa nastavnik treba da analizira das i da zabele2iosnovne primedbe 5d interesa za unapredivanje svoje nastave. koje ce.naravno, koristiti u buduiem radu.

Casoue studenata, ispitne casove, il i dasove na kojima su prisustvovalidirektor il i pedagog 5kole, Skolski nadzornik i sl., obicno prate detaljnijeanalize koje obuhvataju sledeie:

- Kako su ostvareni cilj i zadaci dasa - kako su definisani, da li jenastavnik iskoristio sve moguinosti za njihovo postizanje, s posebnirnosvrtom na vaspitne dimenzije nastave

l l 6

ini, medutimakteristidni za

W R E D : . . .

NAST.SRED

Sred. I

S r e d . 2

Sred. -l

Sred. 4

i da zabeleZilave, koje ce.

r Prisustvovalirate detaljnije

isani, da li jes Posebnim

- SadrZaj dasa - da li je izbor sadrlaja bio pravilan, da li je bilomaterijalnih gre5aka, kako su uvazavani didaktidki principi, kakav je bioodnos teorije i prakse, kako je tekla matematizacija, kako je vriena difer-encijacija i individualizacija itd.

- Primenjene nastavne metode - kombinacija nastavnih metoda injihova uloga u aktiviranju udenika, kako su metode primenjivane kako jekoristio tablu, kakva je bila motivacija udenika, kako je pratio rad utenika.koriSienje udZbenika itd.

- Struktura i organizacija dasa - izbor tipa iasa, struktura dasa, organizacija rada na dasu, tehnidka pripremljenost dasa, koriiienje vremena,dinamika dasa itd.

- Lidnost nastavnika - pedagoikitakt, ponaianje i atmosfera na iasu,dinamicnost, jasnost, urednost, stabilnost itd.

- Rad udenika - aktivnost udenika, paLnja, disciplina, samostalnost uradu, jezik udenika, ucenidke sveske, sa posebnim osvrtom na urednost,rad udenika kod table, kako vrSe logidke i matematidke operacije, kakoreiavaju zadake itd.

- Domaii zadaci - nadin zadavanja ikontrola domacih zadalaka, kvalitetizrade, pripremljenost udenika za das i sl.

- Praienje rada iocenjivane udenika - kvantitet i kvalitet ocena, pracenjevaspitnih efekata nastave itd.

- Clobalna ocena o uspeSnosti dasa, primedbe o radu i rezr.tltatimarada, preporuke za dalji rad.

- Kvalitet pripreme za das, odnos dasa i pripleme.

- Opremljenost Skole nastavnim i tehnidkim sredstvima, iskoriScenostpostojeiih sredstava, neophodna nova sredstva.

- O radu vannastavnih aktivnosti - planovi i programi rada i njihovarealizacija, uspesi na takmicenjima i sl.

- GodiSnji itematksi plan svih matematidkih aktivnosti u 5koli, l<valitet,urednost, sklad izmedu plana i realizacije.

- O strudnom usavriavanju nastavnika (individualno i institucionalt-ro'tstrudna literatura, casopisi, strudni rad nastavnika.

- O problemima nastave ivannastavnih aktivnosti u 5koli. opterecenostnastavnika, angaiovanost nastavnika u Skoli ivan nje, u druStvenoj sredini.eventualno doSkolavanje nastavnika itd.

1 1 7

9.4. Primeri priprema za iasove:

PRIPREMA ZA CAS 1.

MnoZenje-deljenje do 1000 III razred

(tema)

Zavisnost proizvoda od iinilaca (2)

(nastavna jedinica)

Obrada novog gradiva

CILJ CASA: usvojiti znanje o tome kako se menja proizuod u odnosu na promenu irnilai;r.

konkretno kada se jedan od cinilaca umanji za odredeni broj puta.

ZADACI CASA:

OBRAZOVIII: osposobiti udenike da uvide kako se menja proizvod u odnosu na pronrenu

tinilaca, konkretno kada sejedan od iinilaca umanji za odredeni broj puta.

VASPITNI: razvijati kod uienika taanost i preciznost u radu, negovati logiiko mi5ljenje i

zaldjutivanje.

SPECIJALIV: primena kibernetiikih metoda

1 1 8

niSljenje

TOK CASA Nastawemelooe

Nastavnl

obl ik rada

i lastamasredst,,a

Prcparatlvna faza: 12'

- Analiza domaieg zadatka

Nakon analize domaieg zadatka ukratko ponavljamo

sta smo nauiili na Proslom iasu, naime, Sta se deiava

sa proizvodom ako se jedan od einilaca poveca

odredeni broj puta .

(Odgovor: Ako se jedan od iinilaca poveca odredeni

broj puta, toliko puta se poveca i Proizvod.)

Zahtevam od udenika da svoj zaldjuiak ilustruju sa dva

orimera:

1 ) 8 7 = 5 6 2 ) 1 4 5 = 1 o| ' I t l n

I z l z 14 t -1 6 7 = t r 2 1 4 2 0 = 2 8 O

1. Kada prvi tinilac povedamo dva puta, tada se i

proiz'uod poveca dva puta.

2.Kada drug tinilac poveiamo ietiri puta, tada se i

proizvod poveia ietiri puta.

Operativna faza:

Craf oskop om sa grafofolije projektujem zadatak.

l. Oienici jedne Skole zasadili su sadnice topole najednoj parceli. Zasadili su 8l red sadnica sa po 9

sadnica u svakom redu.

Koliko su sadnica zasadili?

Odgovor: 81 '9 = 729

- Koliko bi sadnica zasadili da su broi

a) redova smanjili 9 puta

b) sadnica u redu smanjili 3 puta

2. Na osnovu niza prethodnih primera pokuiaj da

reiima zapi5eS pravilo.

\q-

N\n\Jt \N\{.\n-N\

N

t\lNt'\

R̂V

t vfr

:irl>..]\ \IYa'Lq.v

L '

i :

\s. i l5NS\<A\ r \A YN\tv\I

N

\

!V:inN/\

\

Nastavnametoda

Nastawi

obl ik rada

Nastama

Sredstva

KADA JEDAN OD CINIT.ACA UI|IANJIMOODREDEIjI BROJ PUTA, I PROIZVOD

CE SE OiIAT{JITI ISTI BROJ POTA

Nakon logitki iaredenog zakljuika grafoskopom

projektujem pM zadatak koji uienici reiavaju

individualno.

l. Sta ie se desiti sa proizvodom ako prvi tinilac

smanjimo 5 puta.

Proveri na primeru: 25 8

(Odgovor: 25 B=2OO: 5 I l : 5

5 B = 4 0

Ako pM iinilac smanjimo pet puta, i proizvod ce se

smanjiti pet puta.)Kada su svi utenici reiili zadatak, zajednitki gaproveravamo. Zatim re5avamo drugi zadatak.

2. Na dva naaina smanji proizvod.

a) proizvod 27 30 smanji 3 puta

Odgovor:27 30 = 810(27 :3) 30 = 9 '3O = 27O

27 '(3o 3) = 27 'rO = 27o

b) proizvod 32 20 smanji 4 puta

Odgovor:32 20 = 640( 3 2 : 4 ) 2 0 = 8 2 0 : 1 6 0

3 2 ( 2 0 : 4 = 3 2 5 = 1 6 0

c) proizvod 25 30 smanji 5 puta

Odgovor:

25 30 =75O

( 2 5 : 5 ) 3 0 = 5 3 0 = 1 5 0

2 5 ( 3 o : 5 ) = 2 5 6 = 1 5 0

Taina re5enja do kojih su uienici do5li projektujem

pomocu grafoskopa. Nakon toga zadajem i treai zadatak:

\

\sn- -\

NA\ \

\NcA\\

\\sN

RpN\

\\NlYA|Y!-

\( \

n

N\rc\v^\\\ \

S,\r\

:X\\'\

\

s-'il

I J

N

r\XNr\'/t'\N<.

\\sXsA\

R

\\NNIY

ri5N

N\v)c\N\ri\

Nastawemetode

Nastawioblik rada

Nastama

sredstva

3. Na osnow niza predhodnih primera poku5aj da

simbolima zapiseS pravilo.

Odgovor:

P r o i a r o d : a b = c

( a : z ) b = c : z

a ' ( b : z \ = c : z

Ako kod ovog zadatka utenici naidu na te5koce u

reiavanju, nastojaeu da im ukaZem na prethodno

uradene pdmere i ponovnom analizom ih usmeriti na

put do reSenja zadatka. Proveru zadatka vr6imo

projekcijom sa grafofolUe.

Verlftkatlvna fazz: 10'

U cilju provere savladanosti ove nastavne jedinice,

posluiieu se unapred priprendjenim nastavnim listiiima"

Nakon objainjenja zadataka utenici potinju

individualno reivanje zadataka.

I T A S T A V F I I L I S T I C

l. Izraiunaj proizvod 84 8, zatim pM pa drugi dinilac

smanji 4 puta, pa izraiunaj proizvod.

2. Sta p potrebno uraditj sa iiniocima da bi se proizvod

umanjio odreden broj puta.

\'\

xsNAf'- 5

\Ntn\tti

\\sNat \ -^\.J

N

A\\J

\rafrrY\\{r

}\( \

I(sNx\

N\

s'xx\

xN\Jt'\Ns,

\\V\XN.-\

R

rf;x\a^\\

Rr \\01\'a

lis

Pr

ir

Ul

lir

Kada se pM iinilac smanjio 9 puta, i proinod sesmanjio _ puta.

Kada se drugi iinilac smanjio tri puta, i prroinod se

____- puta

4 lzra iunaj : 95 6 =

a) pM iinilac smanji ietiri puta i izraCunaj

b) drugi dinilac smanji tri puta i izrair.rnaj proizvod

$ n

\

:laf'

f-

"f\

!v

n\

"J

\<-

\N\l\n'\.1:lN)\r\

Y.\

, l^ / \

i Jr J t

Nt v\I " .

N

122

r nsta vn a

sfeist \ a

' \

\( nrl!a\\..:tt \ .\ttr

Nastavnametoda

Nastanioblik rada

\ astarn a

sreoslva

Kada su svi uaenici zavr5ilii rad na nastavnim

listiiima, organizujem proveru tako 5to te uienici koji

sede zajedno zameniti nastavne listiie. Prilikom Provere

zadataka, nakon taanog odgovora uienika, reSenje

projektujem pomoiu grafoskopa i grafofolije. I sam-a

iu pregledati reiene zadatke kako bih imao-la uvid u

uspesnost nastavnog rada. Odenici ie svoje nastavne

listi(e zalepiti u svoje sveske

Faza domadeg zadatka:

Preporuiiiu uienicima da jo5 jednom pregledaju i

urade zadatke koje smo uradili u Skoli, a zatim da

pristupe re5avanju zadataka u udibeniku.

Ako ostane joi wemena do kaja tasa, popriiaoJa bih

sa uienicima kako im se dopada ovakav pristup novom

gradivu.

\c

KY(\Nt\Y\\a

A:Nf'-N

n!

\rn\\\

\Y\

\ , \n \ r\x\ )>xac(\r v l .\>.C V)r$ \#

bt

\\:(N

vN\

\-\

Rf^\.\l

S

Anzliza dtianog dasa:

PRIPREMA ZA CAS 2

RMLOMCI (zapism \ v razred_ J

11

(tema)

Mnoienje razlomqka

(nastavna jedinica)


(tip iasa)

{ILJ CA,SA: sticanje znanja o mnoZenju razlomaka i r-roiavanje mogucnosti primene.

zArlAcI cnsn;

OBRAZOVFII: usvajanje i logidko motivisanje definicije mnoZenja ra;Comaka.

VA.$PITNI: razuijanje logiikog i matematiikog miSljenja, sistematiinosti i upornostj u radu.

PRILOG: grafofol i je 1,2 i3 inastavni l is tovi I i2 .

TOK CASA Nastavnametoda

Nastawioblik rada

l lastavna

sredstva

Pteparatlvaa faza:

Posle provere domaieg zadatka sledi postepeno

prikazivanje grafofolije br. 1. Ponavljamo mnoZenje

prirodnih brojeva i mnoienje razlomka prirodnirn

broiem.

Qperativna faza: 20'

Zadavanjem nastavnog lista br" I i postepenim

prikazivanjem grafofolije br. 2 stvara se problemska

situacija i formuliSe problem, postavljaju hipoteze, wii

dekompozicija i reSava problem.

Analiza rezultata, izvodenje zakljuiaka i generalizacija

w6i se prikazivanjem grafofolije br. 3.

Nx\J. \

RrV, \\ir

\f \ *F{r\JN.

N

\st\aa\v|S\

t \\ lx$.^\ l

r\

\'\q.r \t'\

\'

L .

\\NrY\IY

$:\\ )

sst\ial](r

irj:\(î\<t ld*Npx\\\t<-N\CAxvl

\

5\

RNF\v

Nastavna

metoda

Nastavr l l

obl ik rada

Nastavna

sreostva

Verlftkativna faza: r2'

Uienici rade zadatke sa nastavnog lista br. 2, a rezultati

se proveravaju projeldovanjem sa odgovarajuie

grafofolije,

Faza domaieg zadatka: 3',

Nastavni list br. 2 se eventualno dovrSava kod kuce i

zadaju odgovarajuii zadaci iz udibenika i zbirke

zadataka.

R-

I(Nr{t

\Y, \

\-\

N.\\r'tAt !

sl

Fi

N<t

\\SNNt\

R

t \:s\>\aN --tN J \

A\<

R9"a

\\N

RnV

l,-.\

N{

>NSxa\ lL- \ -;s $,N-J Jr-.'l \)

SNSt \

Anallza odti-anog tasa :

l .

a b =lb-

) 4 = 4 '

5 4 = 5 '

2. Majka i

126

tavna

lstva

'-x\t^\\

\rNhv

t

N\rR

n-\V\)

St\\

N

CRAFOFOLUA I.

l .

a . b = r b + b + b + . . . . + b ra sabiraka

5 ' 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4

5 . 4 = 5 + 5 + 5 + 5

b a = + a + a + . . . . + ab sabiraka

12. Majka ima 5 tegli, a u svakoj od njih : kg meda. Koliko je ukupno meda u svim teglanra?

3 3 3 + l + 3 + 3 + 3 5 3+ - +

4 4

1 5

45 : = -

+ ' + -4 4 4 4

1 2 7

NASTA\,NI LIST BR. I

Kolika je povriina figure AEFC?

Fgura je deo kvadrata ABCD.

A B = l

A D : 1 , 23

1

[ r = -

4a = - -

5

4

)

4

5

Problem reSi postepeno reiavaju{i zadatke.

i ) Kakva je Srafirana figura AEFG?

2) Kako se izraaunava povr5ina te figure: P :

3) Zameni poznate vrednosti za a i b u formulu

za izraiunavanje povriine: P :

4) Koji deo kvadrata predstavlja figura AEFC,

kako dolazi5 do broiioca. a kako do imenioca

tog dela? P =

5) Izjednaii izraze koje si dobio za povriinu

re5avanjem zadatka pod br. 3) i 4).

1 ) P M

7 \ P -

3 \ p -

4 ) P =

r28

CRAFOFOLIJA 2

c

G

2$ = -

J

1

5

',b = i .

-t

4? = ; ,

:!

A E = l Ittl .,- ;

1) PRAVOoCAONIK

) \ P = a h

4 1

] J

I 4 . )4 t v :.

1 5 5 l

4 1 4 . )

) J ) J

r

' , , ' l t '

129

CR-CFOFOLUA 3

l . Popt

2. Por

strani(____i

4 7 4 7 2 8

3 5 1 5 1 5

Zakl jutaku ' ' : g 9b d b c l

b * 0 , d * 0

r 30

NASTAVNI LIST BR. 2

1. Popuni tabelu:

2. Ponudene razJomke: 1,1,1

,O'r, u prazne kruZ.i6e tako da proizvod ra;,lomaka rr;r :r, .i:'rl

stranici trougla bude jednak.

I ?3

/ \

T/ \(-av/ \

3^

5;I

I

7

2

5

I

I 3 1

'Matematiiku i matematiiku teoryu uopite lazume,

uistinu, santo on41 ko1|je ponouo otkrye".

l l Medunarodni kongres za nastavu matematike

10. NITSTAVNA I TEHNIEKA SREDSTVA U NI\STAVIIh1{TEM1{TIKE

Za ostvarivanje programa nastave matematike, pored pridrZavanjaodredenog sistema didaktidkih principa i adekvatnog izbora nastavnihmetoda i oblika rada, potrebna su i nastavna sredstva. Termin "nastavnosredstvo" je u5ao u upotrebu relativno skoro. Pre njega upotrebljavao setermin "odigledno sredstvo", kojije obuhvatao uZi pojam (kako u pogleduobima tako i u metodoloikom smislu) u odnosu na danainji termin"nastavno sredstvo".

Razne prirodne i vedtacke materijale koji sluZe kao posrednik izmeduljudskog saznanja i objektivne stvarnosti, nazivamo nastavnim sred stvima.odnosno didaktidkim materUalom. Komenski je prvi uveo odiglednost unastavu pomoiu nastavnih sredstava, a Pestalocije taj princip primenio ina matematiku.

.. Pored prirodnog materijala (zgrada, nameStaja, raznih predmeta, i sveSto nas okruZuje) u nastavi matematike koristimo nastavna i tehnitkasredstva (realni predmeti, modeli, slike, 5eme, dijagrami, tablice, pribori.uredaji, maiine, sprave, instrumenti, alati, udZbenici i druqi tekstualni,pisani i potrodni materijali ) koja u procesu vaspitno-obralovnog radadoprinose razumevanju i usvajanju znanja, sticanju potrebnih umenja inavika.

U vaspitno-obrazovnom radu nastavna sredstva moqu da sluZe kaor.z1roli z-a neposredno sticanje znanja, tj. ona mogu biti noJioci informacija.Medutim, nastavna sredstva mogu da sluZe i za posredno sticanje znanja.tj. mogu biti samo prenosioci informacija (u tom sludaju se nazivalunastavna pomagala).. Posebno u poietnoj nastavi matematike, koriscenjenastavnih sredstava diniefikasnijim proces sticanja znanja, umenja i naviki.

I J J

Adekvatna, pravilna i raznovrsna primerra nastavnih sredstava raz-viia kodudenika interesovanje za matematiku. pndstide razvol misaonih sposob-nosti, ubrzava i olakSava izgradniu matematidkih pojrnov;l. fofrlrii i l l l j{ ' lsudova, izvodenje zakljudaka i reiavanje z,adataka.

s obzirom na vel ik i broj i raznovisnost nastavnih sredsf;rra. i . i r r . . - j i ,su razlii ite klasifikacije od koji smo iz-abrali sledecLr:

S /4 r t t I trl t trl / la.s lit /'/ ItI 5 i e(Isl 1',-1.'

a) UdT.benic i i drugi tekstualno-d idakt idk i mater i ja l i za ucenike izb i r i t r . 'zadalaka, radni l istovi, radne sveske. kontrolni zadaci. ieslovi. tt; ' t ' .1,-r '" 'rri

l is t i i i , dasopis i i l is tov i za u ienikr : , l<ac i dr t lg i Stampani matet i ia l i ) :

t r ) Stampani metodidk i mater i ja l i 7 ,a nastat 'n !ke ( r . t . , : r i t pr i r r ' r : i . i

strudno-metodidkog karaktera, zbii l<e zadataka, specijalna l i lerattir ' ;. l tr pr-:

jed in im pi tanj ima iproblemima matemat icke nastave, ma: ten-raI i i 'kc r : r " r r . i i r

iopedije, leksikoni i rednici, strudno irretoditki casopisi i dr').

Oclqlcdr ;a / Iaslau| Ia \/cds/ L)d.'

- jednostavna vizuelna sredstva (realni predmeti, mocleli: qeomelrtl:; i i ih

tela, mernih jedinica i dri-rgi, sl ike, aplikacije, plakati. crte2i. serne" tabii i r:.

d i jagrami, komplet i ie tona, bro jerrn iStapi i i , log jdk ib lokovi . oboieni s tapi r ' t .

radunaljke, aritmetidka kuti ja - kolekcija simbola: znaci brojevd. ope rrr, rici i

relacija i dr").

Tc,/t r t iCka nAs la t ! / lA s t t,dS / r,a..

a) v izuelna: d i jaskop, episkop, c l rafoskop i s l . ; akust i i l< i l . grct r r t " r ' r1- ;

magnetofon, radio i sl.;

b) audiovizurelna: zvucni f i lm, televizii.r. video: :tred:itvzr i irt ja . iLlf ir ' , ir

izuju nastavni proces: trenaieii masine za uienie, l<ornpiutelri i dr :

Ma r t tJ t u la I lu / n / l.f 5' /.1 u,' t. t \, ('( I ", I / t

a) didaktidki materijali;

b) osnovni geometr i jsk i pr ibor za cr tanje na tabl i i u sveskarna ( l rn; i r .

ugaonik, trougaonik, Sestar i dr.);

c) pr ibor za merenje ( raz-r re posude, var je, iasovnic i . model l 1 l - le l r i l . tjed in ica, l ibe la, v isak i s l " ) .

Folazeii od navedene l<lasifikacije, razmotri ienro osobenosl.i rr.: i ' l i t

najvaZnij ih nastavnih sredstava, kao i nji l 'rovu uiogt i t l r lsr, ' .r i;:t i l t I

matematidkih pojnrova i dinjenica.

10.

udLtike, jerudenicirnikom icelog si

Preobavezt

Udodredeprogral

CltudZber

Teu nastiudZber

U(nosnoudZbetprimelstrukttnasta\tavnihsposodeice

Kporeiprva tu kojraciot

(udZbsistelinter'didaljasnrnenz

134

/a razviia kodonih sposolr-a, fornrirranje

ava, ntoqutr:

:en ike (z l r i r l<eovi , r ras tar i r r ir i ja l i ) :

n i pr i tuc 'n ic . ieratlrfil o pcl,rati ike crrr-i l";.

yeometrrl:;kiheme, tabi ic :e.rojeni ritapici.a. operacti.I i

r : g ran l . ) l ( ) t " )

Ia AUt ! ) r t r ; t ti d r ;

kama ( lenj i r .

tde l i nrerr r ih

:rrosti rreii ihr r-rsvajan ju

10.1. Odibenici, radni listovi i zbirke zadataka

Udibenil< je osnovno nastavno sredstvo u razrednoj nastavi matema-tike, jer upravo on odreduje ne samo sadrZaj nego i ceo sistem rada saudenicima. Sva druga nastavna sredstva pripremaju se u skladu s udZbe-nikom i koriste u uzajamnoj vezi sa njim, dakle - udZbenik je jezgro i bazacelog sistema nastavnih sredstava.

Prema zvanidno usvojenom planu, u razrednoj nastavi matematikeobavezno se koriste dve Skolske knjige - udZbenik i radni listovi.

UdZbenik, kao osnovna knjiga iz koje se usvajaju matematicka znanjaodredenog nivoa, mora biti napisan striktno na osnovu nastavnog plana iprograma.

Globalnu strukturu udZbenika matematike dine: tematske celine.udZbenidke jedinice i zadaci za ponavljanje gradiva.

Tematske celine u udibeniku treba da odgovaraju tematizaciji gradrvau nastavnom programu. Tematske celine se sastoje od odredenog brojaudZbenidkih jedinica.

UdZbenidke jedinice odreduju gradivo jedne programske teme, od-nosno jedinice. Osnovna karakteristika didaktidkog oblikovanjaudZbenidkih jedinica u udZbenicima za mlade razrede osnovne skole jesteprimena tzv. kraiih didaktidkih koraka. To znadi da se u ovim udibenicimastrukturne komponente (uvodenje u obradu novog gradiva, obrada novihnastavnih sadrZaja, uveZbavanje i ponavljanje gradiva. obrada novih nas-tavnih sadrZaja, uveZbavanje i ponavljanje gradiva, proveravanje znarrja isposobnosti) neie primenjivati sukcesivno, vei simultano integrisati i l ideiie menjati.

Kraii didaktidki koraci u izlaganju nastavnih sadrZaja zahtevaju ras-poredivanje raznih aktivnosi na celu udZbenicku jedinicu. Zbog toga je uprva tri razreda najprihvatljivije opredeljenje za udZbenik sa radninr listovimau kojima udenik pismenim putem reiava zadatke za veibanje. To jeracionalnije nego prepisivanje zadataka u svesku.

ildZbenik matematike za detvrti razredje po didaktidkom oblikovanjuudibenitkih jedinica drukdiji. Ovaj udZbenik se oblikuje celovitinr isistematidnim izlaganjem nastavnog gradiva, i to bez udenidke pisaneintervencije u njemu, a glavni nosilac informacija je matematidki tekst. Udidaktidkom oblikovanju udZbenidkih jedinica, u udZbeniku za ietvrti razrerljasno se izdvajaju strukturni elementi kojiodgovaraju strr-rkturnim kompo'nenatama vaspitno-obrazovnog procesa. Na taj nadin, oni uvode lrienika

1 3 5

u ob'radu novog gradiva, obradr: novih nastavnih sadr2aja. ve2banja ak,tivnosti, ponavljanja nastavnih sadrZaja. proveravanja znanja i sposobnosti.Medutim, ne tra2i se da se obr-rhvate sve navedene kornponente i l i primerrinavedeni redosled, vei se stvaralatki vri i kombinacija ovih komponerratai faza rada, u zavisnosti od prirode gradiva i uzrasta ucenika.

Zadaci u r,rdi.beniku treba da su raznovrsni ipo sadriaju ipo forrnul;ici j ii l okviru svake teme zadaci se grupisu po srodtrosti i rasporedLrjLr po te7.ini.Pored uobicajenih rrraternati ikih zaclataka" treba da br:dr,r z-astr.rplierrr izadaci za usmeno re iavanje, kao i problemsi i i zadaci l (o t isr to je davat izadatl<e u kojima se koriste i grafi ika reSenja. kako bi uienici rloqlisagledat i odnose izmedu vel id ina u zadatku.

'Zadaci za ponavljanje gradiva se daju na krajr-r ud7-benil<': ivelani :Lr za

ldjucne delove gradiva i njihovo povezivanje.

Radni l is tov i su sastavrr i deo udZbenika nratemat i l<e za I , I i . I l l i lV razredCilj zadataka u radnim listovima je da odredeno gradir,ro u ol<virtt jedneudZbeniike jeri inice uienik 5to detaljnije upozna i Llvezba. Najr,reci dt:osadraTja ovih l istova nanrenjett je doradi znaiajnrjeq i sio2enijeg grarJi," 'a. Pcrsvojim sadrZa.iima radni l istovi ne predstavljaju izbor norrih zirania u orlrosuna udZbenik, vec s luZe uglavnom za samosta lan rad t l ien ika na iasu i kodkude i problemskom kor-rstrukcijom zadataka motiviiu ucetri i ia z.rrazmiSl ian. ie .

i . lz udlbenik i radr 'e l is tc lve u raz-redr io j nastarr i malernat i l<e, ' L t l . , r ' f r iblja.,,aju se jo6 i zbirke zadatal<a. radne sveslte. nastavni l isti ' : : i i r lniqiStampani rnate l i ja l i (kao neobavezna l i terat r - t ra)

Za li l<ovna reienja udT.benil<a matenrati l<e u raz.redno; nastavi itrristi:se dve v rs te i l us l rac i j a :

- i lust rac i je kao osnovr t i t tos icc i in forma, : i ja i

- i lustracije kao sastavni deiovi tekstr.ralnih inl 'ot tr-racija.

I lust rac i je u ud2benic i rna t reba da ornoguie uspeSno otkt ivanlekol i i insk ih odnosa i prostorr r ih for t 'n i . Kao osnovni nosioc i in formaci la .i lustracije su najbrojnije u udZbeniku I razreda. ito u orrim poglavlj ima l<o1ase obraduju dok udenici ne savladajt-r pocetno i itanje i pisanje

Osim u potetnoj fazi stvaranja matematiikih pojmova. u r-td2benirinr.rrnatemat ike t reba da se postepeno oslobadar lo pr ikaz- ivaniamatematickih pojmova, zakona i operacija pomocu ilustracija. l<ako bt se:r - i ien ic is to pre pr iv ikaval i na matemat i ik i nai in miSl jenja. Craf icka i l ikovnare5enja t reba da pomaZu otkr ivaniu i razumevat t ju matemat idk ih sadrzaja

1 0

DanePosrzapis nstracija

"Oudenikodiglecu drugranije tupoznitrouql<postavtrougltpovezz

PrsamarazulnZa uctmaterpocettaktivnnostmiSljeobradprede

tU prisvakcprstigrafiimodrPrerrvidueslidni

Isamlkorissred

l 3 b

en lo t d

: l j l .

i n i .

^ t .d h -

sti.

I l

t a t l

rgli

7a

za

fe

t g j

, + ^) l c

tarlaSEtad -

1O"2. Oiigledna sredstva

Danas se " odiglednost" u nastavi shvata znatno 5ire nego moguinostneposredne vizuelne percepcije. Tako se smatra da, u odredenom sludaju,zapis na tabli, i l i izlaganje nastavnika, mogu biti odigledniji nego demon-stracija neke pojave u njenom prirodnom vidu.

"Odiglednost" u nastavi se temelji na odgovarajuiim posmatranjimaudenika, te je zato ne treba shvatiti samo kao nastavu sa koriSienjemodiglednih sredstava. U jednom sludaju su potrebna odigledrra sredstva, au drugom se moZe bez odiglednih sredstava, alije zato potrebno aktivitatiranije udenikovo iskustvo, koje je sada sadrZano u predstavama. Na primer.upoznajuii udenike sa trouglom, nastavnik se koristi rnodelima razliditihtrouglova, istituiibitna svojstva figura ovakvog oblika. LIporedo, nastavnikpostavlja pitanja udenicima i traZi da se prisete koji predmeti imaju obliktrougla. Na ovaj nadin se u nastavi matematike koriste u medusobnojpovezanosti, opaZanja i p,redstave udenika.

Primena raznih odiglednih sredstava u nastavi matematike ne sme bitisama sebi cilj. Ukoliko pojedina odigledna sredstva ne doprinoserazumevanju gradiva i razvijanju apstraktnog mi5ljenja, ne treba ih koristiti.Za udenje matematke, posmatranje i izvodenje operacija na konkretnommaterijalu, odnosno na specijalnim nastavnim sredstvima, vaina jepodetna etapa u procesu udenja, ali je daleko vaZnija sama misaonaaktivnost, tj. apstrahovanje, generalizovanje i rezonovanje uopite. Odigled-nost se posmatra kao privremeni oslonac za razvljanje apstraktnogmiSljenja. Upotrebu nastavnih sredstava treba planirati i osmisliti kako priobradi novog gradiva, tako i kod raznih vidova veZbanja i ponavljanjapredenog gradiva.

U nastavi matematike koristimo prirodna iveitadka odigledna sedstva.U prirodna odigledna sredstva ubrajaju se predmeti kojima se ucenicisvakodnevno sluZe: knjige, sveske, olovke, kutije, slidice, palidrvca, plodovi,prsti na ruci itd. Veitadka odigledna sredstva mogu biti predmetna igrafidka. Od predmetnih sredstava najdeiie se koriste : razne radunaljke,modeli geometrijskih figura, modeli mernih jedinica, drvca, Zetoni. itd.Prema nadjnu upotrebe odigledna sredstva delimo na odeljenjska i indi-vidualna. Cesto su odeljenjska i individualna odigledna sredstva ista (il islidna) po sadrZaju, a razlikuju se po velidini.

Prema izradi razlikujemo fabridka odigledna sredstva i sredstva koja susamostalno napravili nastavnik i udenici. Preporudljivo je i viiestrukokorisno da se angaZovanjem samih udenika izraduju pojedina odiglednasredstva. Poznavanje raznih vrsta odiglednih sredstava daje moguinost

. l

neeoPoI S U

od

lJela ,)Ja

nastavniku da ih pravilno odabira i efikasno koristi u nastavi, a takode i daih sam, ili zajedno sa udenicima, izraduje za odgovarajuie potrebe urkonkretnim situacijama.

S/ike v ode direktnom sticanju znanja, is kustva i p redstavljaju sred stvokoje omoguiuje ne samo istraiivanje vec i saopitavanje misli i idejadrugima, koje je ponekad teiko izrazitiverbalnim putem. Pojedini elementislike moraju biti ukomponovani tako da motiv u celini izaLava osncrvnezadatke koje sadrZi tema.

Ap/lkacgeza obradu programskih tema u podetnoj nastavi matematikesu: slike predmeta i Zivih biia, simboli, jedinice dekadnog sistema, elenrentiza tablicu mnoZenja, apoeni novca, matematidke oznake i cifre. lzradenesu od razliditih materijala, najdeiie od hamera, 5perplode, panelploie.stiropora, plastike i papira^ Na pozadini aplikacije lepi se Smirgl papir il i. akosu aplikacije od plastike, stavlja se magnet da bi se aplikacija mogla zakaditina flanelograf.

GmBp/11'a je providna plastidna folija, sa koje se uz pomoc projek-cionog aparata (grafoskopa) slika moZe preneti na ekran.

-fekst il i slika se

na foliju nanosi specijalnim priborom (flomasterom), odnosno laserskin.rStampadem (na termofoliju). Koriiienje grafofolija nad Skolskonr tablonr,slikom i dr. ima sledeie prednost: folija se mo2e postepeno otkrivati,postoje mogu6nosti "zidanja" slika pomoiu uzastopnih slojeva folija kojese slaZu tokom dasa, dopisivanja i "brisanja" (skrivanja) slika itd.

Dgagmmisu uproiienicrteZi, geometrijske slike, a cesto samo obiinaskica, izvedeni tako da pokaZu medusobne odnose, strukturu ili kontrirunekog objekta ili pojave, njihov popredni il i uzduZni presek. Dijagrarnprvenstveno ima svrhu da objainjava, a ne da prikazuje. Nastavnicimatematike nailibise u veoma teikom poloZaju kada bigeometriju rnoralida tumade bez dijagrama. Svaki dobar dijagram ima minimum detalja izbog toga su takvi dijagrami ponekad apstraktni. U mnogim sluiajevirnanastavno gradivo se ne moZe obraditi samo pomoiu jednog unapredpripremljenog dijagrama, vei je bolje da se izradi osnovna kontura dija-grama ( na tabli i l i tabaku hartije), a da se detalji dopunjuju na iasu uprisustvu udenika. Na taj nadin i udenici saraduju Lr izgradnji dijagrama.

Slml:oll mogu biti: simboli operacije, brojeva, relacija i slidno. Vec upodetnoj nastavi matematike udenici naude da kruZicima i drugim znacimasimbolidki prikazuju konkretne predmete i njihove odnose. Svako r-rienjeje uslovljeno upotrebom raznih simbola pod kojima se podrazumevajuznaci razliditi od prvobitne stvarnosti.

Modell se koriste onda kada se o realnim predmetima i pojavama nemoZe dobiti dovoljno jasna slika. Mnogi predmeti u prirodi su preveliki il i

SUVISEie boltike nrinica.prednalnoopaLanastojmode

LposeLdijafilti uopzahte'Prem,ispun

Stvo,dodarVIem,osnoupozlgde rucen

I

serijtdijafiodre,ucenman

prerponpon

138

:ode i dartrebe r-r

sredstvoi i ideja:lementicsnovne

:ematike: lementilzradenerelploie,i r i l i . akorzakaiiti

projek-slika se

rserskinltablom,rtkrivati,'lija koje

l obicnakonturutijagrarnrstavnici: moraliCetalja iajevimarnapredrra dija-iasu uama.

r. Vei unacimauienjemevaju

ama neveliki il i

suviSe mali, sloZeni, komplikovani i skriveni. U takvim sludajevima modeli6e bolje posluZiti u nastavne svrhe nego realni predmeti. U nastavi matema-tike najdeSie se upotrebljavaju modeli geometrijskih figura i mernih jed-inica. Pomoiu njih se postiZe veliki stepen odiglednosti i konkretnosti opredmetima i pojavama koji su prostorno i vremenski udaljeni, funkcion-alno ili fizidki teZe shvatljivi, apstraktni i nepristupacni neposrednomopaZanju i posmatranju. Kada se model koristi u nastavi, potrebno jenastojati da udenici ne steknu pogre5nu predstavu o velidini predmeta l<ojimodel predstavlja.

Dybpozitiui predstavljaju materijal u obliku plodica, gde je svaka slikaposebno uokvirena i time pokazuje odite prednosti pred vei klasiinimdijafilmom. Pomoiu serije dijapozitiva pove6ava se moguinost analitickogi uopitenog izudavanja pojedinih nastavnih predmeta. Njihova primenazahteva paZljiv odnos nastavnika prema izboru materijala za prikazivanje iprema pravilnom koriSdenju preimuistva serija, kako bi njihova prirnenaispunif a postavljeni zadatak.

Nastauni fi/m je dinamidno vizuelno ili audiovizuelno nastavno sred-stvo, koje obezbeduje specifidne uslove za nastavni rad, a udenicimadodarava stvarnost Zivota i rada u raznovrsnim manifestacijama i razliditimvremenskim razdobljima. On moZe omoguiiti posmatranje i pruZiti solidnr-rosnovu za sticanje neophodnih iskustava tamo gde se udenik ne moieupoznatisa prirodnim objektima i pojavama, odnosno u onim sludajevimagde niobjainjenje nastavnika, nidruga nastavna sredstva ne mogu pruiitiudenicima jasne predstave.

Dg'art/moui se ubrajaju u kategoriju vizuelnog materijala, koji sadri-iseriju viie medusobno sadrZajno povezanih slika. Karakteristika nastavnoqdijafilma je njegova znadajna poudna sadrZina. jasno usmerena naodredenu nastavnu jedinicu ili nastavnu temu, nastavni predmet, na uztastudenika i stepen 5kole. Za mladi Skolski uzrast pogodniji su dijafilnrovi samanjim brojem slika (15 - 20).

1O.3. Prenosioci informacija - nastavna pomagala

Nastavna pomagala su objekti i uredaji kojima se nastavne inforrrracrleprenose na udenike. Za nastavu matematike znadajne su detiri qrupepomagala: pomagala za ekspoziciju, vizuelni projektori. manipulativnapomagala i elektronska nastavna pomagala.

1 3 9

POMAGAIA TAEKSPOZICIJU dine: Skolska tabla, flaneloqraf iprojek-ciono platno

Skolska tab/a se najviSe koristi kao nastavno pomagalo u nastavimatematike. Nema dasa na kojem se ona ne koristi, jer se preko zapisa nanjoj, crteZa i ilustracija najjednostavnije mobiliSe paZnja udenika. Skolskatabla mora uvek da bude dista i uredna, a ispisana tako da pruZa utisakreda i sistematidnosti u kojima ie se svaki udenik snaii.

Flanelogrmrfje ploda obloZena flanelom ili nekim drugim platnom nakoje se prianjaju papirne aplikacije. On treba da je postavljen u istoj ravnisa odima udenika i da je dobro osvetljen. Flanelograf se koristi zapostavljanje aplikacija pri obradi raznih tematskih celina (pri pocetnomradunanju, obradi brojeva dekadnog sistema, predstavljanju niza brojeva,sastavljanju i rastavljanju skupova, pri obradi geometrijskih skupova i dr.).Pored flanelografa postoji magnetograf ili magnetna tabla koja se koristi zamagnetne aplikacije.

Prqekclane p/oie koristimo kao zidne ekrane, ekranske zastore iekrane za dnevnu projekciju. Na ekranima se projektuju slike, crteZi iilustracije preko filmskih projektora, dijaprojektora, grafoskopa i drugihprojekcionih aparata. Za izradu projekcionog platna najdeiie se upotfe-bljavaju bela impegnisana platna, metalizirane ili perlicaste povriine, kojeodbijaju zrake projekcije.

VIZUELNE PROJEKTORE dine: filmski projektori, dijaprojektori i gra-foskopi.

Fi/mskiprqektori (nemi itonski) sluZe za projekciju Skolskih nastavnihfilniova, a u nastavi matematike se rede koriste.

Dgbprqlektori mogu biti raznih vrsta i raznih kornbinacija, a sluZe zaprojektovanje diiafilmova i dijapozitiva. Pri projektovanju slike se mogumenjati pomoiu poluautomatskog menjada ugradenog na aparatu ilipomoiu daljinskih komandi.

Gmfoskop je uredaj koji sluZi za projektovanje transparentnih slika nagrafofoliji. Pisanje na grafofoliji ima niz prednosti od pisanja na tabli. CrteZesa foliia moZemo saduvati i kasnije ih reprodukovati. Za vreme pisanja icrtanja na radnoj povriini grafoskopa, nastavnik je okrenut licem pemaudenicima, 5to mu omoguiuje da sa njima odr/.ava kontakt. Dok radi nagrafoskopu, nastavnik se nalazi u normalnim uslovima, jer moZe stajati,sedeti i pisati. Oitrina crteZa ili tekstova projektovanih na grafoskopumnogo je bolja nego dijaprojekcija ili crteZ na Skolskoj tabli.

pri

geStI

vr(za

- r

tr(pl,oLdcgrNE

ljenieri to(ol

A ,

niDje

z(I l /

uoCp

1,40

projek-

nastavipisa naikolskar utisak

lom narj ravniristi za:etnomrrojeva,a i d r . ) .:risti za

rstore icrte2i idrugihJpotre-re, koje

r i ig ra -

stavnih

luZe zamogu

ratu ili

l ika naCrteZesanja iPema'adi na

stajati,rskopu

MANIPULACIONA POMAGALA dine: pribor za crtanje i konstrukciju ipribor za merenje.

Pnbor za crta4/e i konstrukcgu koristimo za crtanje i konstruisanjegeometrijskih figura. Tu spadaju lenjiri, Sestari, trouglovi za crtanje i kon-strukciju na Skolskoj tabli i u sveskama.

Prfbor za mere4le upotrebljava se za merenje duii, mase, tednosti,vremena, zapremine i povrSine, a podrazumeva razne merne instrumenteza merenje: metre, vage, razne posude, dasovnike i sl.

ELEKTRONSKA NASTAVNA POMAGALA dine: televizija i kompjuteri- radunari.

Obmzouna teleutzg'a se ne drii striktno predmetne sistematike i netretira pojedine nastavne jedinice, vei obrazovnu materiju zahvata kom-pleksno. Ona je pogodna za uvodenje udenika u pojedine nastavne teme ioblasti, a tako je i za ponavljanje iveZbanje. Obrazovna televizija deluje kaodoprinos i pomoi dopunskoj nastavi za one udenike koji nisu savladaligradivo, ali i kao dobar podsticaj talentovanim udenicima da i dalje radena samoobrazovanju.

Skolska te/euizgb projektuje i prezentira svoje programe u vidu snim-ljenih, viSe-manje uspeino ilustrovanih Skolskih dasovg, Skolskih lekcija,nastavnih jedinica, pojedinadno za svaki uzrast udenika. Skolske televizijskeemisije znatno oboga6uju rad nastavnika u 5koli, medutim one zahtevajui briZljiviju pripremu nego obidan nastavni das. One ne treba da traju duZeod 15-20 minuta, da bi ostali deo dasa bio iskoriSien za utvrdivanie iliorganizovanje nekih drugih aktivnosti.

Kompluten-miunari su elektronske maiine za primanje, obradu idavanje informacija. Razlika izmedu radunara i ostalih maiina za udenjenije samo u konstrukciji itehnidkim osobinama vei iu didaktidkoj nameni.Dok maSine za udenje udestvuju samo u pojedinim etapama nastave. dotleje radunar ukljuden u ceo tok nastave.

Radunari u nastavi imaju znadaj po tome 5to doprinose individuali-zovanju procesa udenja; udenici ispoljavaju pozitivniji stav nego premauobidajenoj nastavi; nastava pomocu radunara jade motiviSe i anga2ujeudenika. Radunari imaju moguinost da testiraju udenike, pamte njihoveodgovore, sreduje ih iodmah obave5tavaju o rezultatima pojedinca i grupe.Oni mogu posluZiti nastavniku kao pomo6 za upravljanje nastavnin-rProcesom.

Prilikom koriSienja radunara nastavnik ima viSestruku funkciju. On viSenije samo predavad, vei organizator i upravljai procesa nastave i dobrim

741

delom programer. Zbog toga moradidaktidkih svojstava racunara'

biti dobar Poznavalac tehnidkih i

11 .

11

uticalomatemvelikimknjiga.odrZaobazazamaterrskuporskuporskupa.

Nterne nd a s e to demgovoriima stdovoljlogidk

LI

dva arSAD,spoljr

t 4 z

kih i'Na uka ne pokuia ua ob1'ai 41a ua t/,

jedua pokuia ua n terpretira tt. na tt/ca

ug/a u non2 pos ta ulfu n t ode le "

J . Neumann

1 1. MOG(IENOSN NFORMATIZACIJE NASTAVEItll{TEltutTlKF

11.1. Koncepcije i strategije u nastavi i utenju matema-tike

U Staroj Crdkoj matematika je bila nauka o vremenu i prostoru. i to jeuticalo na matematidko obrazovanje. Ne tako davno u Engleskojmatematidko obrazovanje za niLe razrede bilo je "treniranje" ratunanja savelikim i komplikovanim brojevima, a za viSe razrede ditanje Eul<lidovilrknjiga. Taj objektivan pogled na sadrZaj programa nastave maternatikeodrZao se do podetka ovog veka, kada je rad Bula, Rasela i drugih postacrbazaza razlidite vrste matematike. Od tada je nastao koncept karakterizacijematematidkih termina i struktura, skupova i elemenata. gde su relacijeskupoviuredenih parova, funkcije su vrste relacija, algebarske strukture suskupovi sa zakonima kompozicije, a topologija je neka vrsta identifikovanoqskupa.

Nova matematika je predvidala da objedini elemente klasidne i mod-erne matematike. To se dinilo stranim onima koji su se sloZili sa Raselomda se matematika moZe definisatikao predmet u kome mi nikad ne znamoo demu govorimo, ni da li govorimo istinu. Sada se moie shvatiti zaito segovori da je matematika teSka za udenje. To pretpostavlja da svaki covekima svoj mentalni milje i kapacitet da predstavi svoje znanje o svetu nadovoljno visokom nivou apstrakcije, kao i da poseduje sposobnost zalogidko deduktivni nadin miSljenja.

Za razmalranja problematike udenja sadriaja matematike koristice sedva aspekta: asocijativni i kognitivni. Asocijativni pristup je dominantan uSAD, a kljudna stvar u njemu je da se udenje odvija kroz asocijacije naspoljne uticaje sa specifidnim uglom posmatranja udenika koji uci, sa

143

uspostavljanjem mentalnih. veza.prema asocijacijama. Brojna istraZivanjakoja su zapodeta dvadesetih godina ovog_vek-a, r-azmatrala!u mogucnostrazvoja uslova za asocijacrje.koje bi dare o?govaiaiui;;;rrrt"t.. I;F[k".iJ"te teorije na nastavu i udenje matematike iu znadajne

.Asocijativno udenje nastupa kada se udruze painjai rerevantni usrovi.Pod identifi[acijop relevantnih usrova se poaiuiu'm"ul. ;;;';;"ga, objekatuienjg. Predmet ie se lakie shvatiti ako je brganizovanje iaJrzala ostvarenotako.da se udenje ostvaruje po principu oaiaxsel #;";;; da se veZbasvaki deo sadriaja koji se udi.

Tokom pedesetih godina takvo shvatanjedrilai ve)biizgubilo je mnogona popularnosti. Jedna grupa.naudli[g j: pokuiara au i"uiturirr;e asocija-tivno udenje. i. njegov znadaj, tumadeii ia'su komp[kr;i preameti t om_ponovani od jednostavnijih koje je nemoguce pojedinacn6 identifikovati.ro njrma' deo kumurativnog yfenja. je. koncipiran hrjerarhijski to jesty:11i:,::gl?l: i:j.:d"eitini. Nauiniii koji su'zastupuiit.o,.iiu asocijacijermarr su snazan uticaj na nastavu matematike. jer'se njihovo sr,vatanjeucenja moglo- lako realizovati u nastavi. Takvo ih*tuniL niie mogto iaobuhvati razliditost ponaianja udenika u procesu udenja.'

"'J

"^^_O,9.3:::!llyT teorije.rldenja. raztikuje se kognitivna teorija uienja.nognrtrvni pravac potice od ceitalt-psihologa, koji su se bavili ' internJm

srruKturom. uni se razlikuju od pristalica asocijativne teoriie po tonre stoinsistiraju,na-tezi da ljudsl<i-mozak interpretira ,ut eutni nJiuz!1" i iskustvaprema odredenim^principima. prema tome i uienje je mnogo vise negosamo primanje informacija. Mada se Geitalt-psih<itogrja us#erila no p"rtna kome su preovladali problerni strukture, njeni prJdstavnici nisu niitarekli o. procesu prepoznavanja koji omoguilva'ulaz, niti--kako se ta:?.g::i.:l T:ll l1-tu,uremenom Taj.probtem je obradio Z. viaze. koji jepoKusao da cror(aze da se odredene bazicne strukture misljenja. ko;e ie:":i.1"^Tisati

lo_oitki i matematiki, razvijaju purem normii*'int"ruro.il"sa okruzenjem. on se opredelio za razvoj logidkih sistema klasifikacije riaL?::.S.p^,'Ti.!1ojevq, geometrije, prortoiu i vremena, kretanja i brzine.uKrarKo, o pJazeovoJ strukturi se moze razmisljati kao da je ona-kompono_vana od elemenata u relaciji, a dine je rrrentalnl i fizidke

"rl.ir" r" strukture

su baze PjaZeove teorije, pi'ema kojoj se udenidko ,"r-isriJnj" razvija u triIaze.

.P.rva. faza, predoperaciona, u kojoj dominira percepcija - prihvatanjepodaka iz okruienja;

Druga faza, konkretno operaciona, u kojoj se vrii mentalna transfor-macija naudenog fonda znanja;

njeddpt -l t

oi

pS]

al

n

+ .

n

L

Uppl l

S

tC

rrttl.If

144

raiivanjarguinostrplikacije

r iuslovi ., objekatstvarenose veZba

l mnogoasocija-

eti kom-ifikovati., to jest;ocijacijehvatanjeroglo da

ucenja.nternomome 5toiskustvaiSe negoe na putisu niSta,o se tae, koji jekoje se

terakcije<acije nai brzine.rmpono-;truktureMja u tri

hvatanje

lransfor-

Treia faza, formalno operaciona koja omoguiava hipotetidko rezono-vanje i logidko razmiSljanje.

Problem sa PjaZeovom teorijom je u tome 5to je predvidala nadinmiSljenja po gradacijama, odnosno uzrasnom periodu razvoja deteta. Madaje praksa pokazala da dete moZe pokazivatijednu fazu miiljenja u jedrrorndomenu, a drugu fazu miSljenja u drugom domenu. To je ukazivalo na toda je ova struktura izgrad ena i primenjivana na razliiite domene znanja.pre nego 5to je operaciono razmiSljanje u tom dornenu postalo moquie.lzraLena razliditost osvetljava jedan od najveiih problema PjaZeovog rada:on se zasniva na delimidnim podacima i sjedinjavanju kognitivnih strukturai razliditog nivoa funkcionisanja.

Psiholog Kejs (Case) u jednoj raspravi je rekao da su problemi inter-pretacije asocijacije povezani sa PjaZeovom teorijom i da je ona viSestrukturalna nego funkcionalna. Ona se koncentriSe na intelektualne oper-acije koje deca mogu da rade u razliditim etapama svog razvoja, ali ignoriiekognitivni proces koji te operacije uzrokuje. Informatidarima je potrebanmodel procesa podrZan Pjaieovom strukturom, koja rnoZe da objasnirazlidite epizode procesa udenja.

Svi ti faktori zajedno proizvode bogat spektar pona5anja. Kako se mo2etestirati model kojizastupa Kejs?

Rad u kognitivnirn naukama podrazumeva konstrukciju infornraticl<ihmodela u formiu kojqjkompjuterskiprogram moZe da obezbedi, pomocusimulacije, pregled raz:nih moguinosti.

U izgradnji informatidkih modela kognitivni naudnici koriste informa-cionu tehnologiju razvijenu za poseban domen znanja, da biopisali proceseu koje su ukljudene informacije o datom problemu i organizacija novog ipostojeieg znanja da brise reiio postavljeni problem.VaZno je istadi da takavpristup reiavanju prob'lema nije u suitini samo kompjuterska simulacija otome kako dovek reSa'va probleme korak po korak, vei je to sistem skupastruktura i procesa. Inra smisla proudavati kako strukture i procesi mogubiti koriSieni za reiavanje odredemih problema. Naravno, rei je o informa-cionom modelu niZeg nivoa, u kome se koriste operacije racunanja.merenja, kalkulacija, organizovarrja i uporedivanja. U procesu istraZivanjamodela tipa simulaacije potrebno je izdvojiti elemente koji mogu razvijatiprethodno stedeno znanje, ekspert mora da ima strategijsko znanje kakoproblem treba postaviti i kako ga reiiti. Konadni korak je provera izlaza zakoji se koriste procesi kao 5to su: komparacija, aproksimacija i testiranje.Kognitivnim naudnicinra se moZe uputitizamerka da nisu napravilidovoljnoprogresa u modeliranju indukcije.

745

SaZeti inventarisanje kompleksnosti problema udenja matematikeimalo je za cilj da bolje rasvetli pitgnja pred kojim se nalaze projektantiobrazovnog radunarskog softvera. Cinjenice, procesi , veitine, konceptu-alne strukture, strategije reiavanja problema dine matematidku kolekcijuudenidkog znanja. Kakav doprinos matematidkom obrazovanju ima nas-tava matematike, pitanje je koje se mora paZljivo prouciti.

Za uspeSnu primenu kompjutera u nastavi matematike neophodno jeprouditi kako se predaje matematika u Skolama. U razrednoj nastavi uiiteljje odgovoran da uredi niz uslova i aktivnosti u udionici putem kojih ieudenik prihvatiti matematiku.

U nastavi matematike treba skladno povezati iinjenic:e, veitine. konceptualne strukture, metode i generalne sirategije u reiavanjuu problema.lstaknuto je vei da je sistem drila iveZbi neadekvatan u udenju matematil<e.Njega su preporudivali naudnici koji su zastupali asocijativnu teoriju uienja.Njegova neadekvatnost se ogleda u cinjenici da taj model udenja ne vodiraduna o razliditom ponaianju udenika u udenju aritmetike (Brownell,Jones). Mada to ne znadi da taj aspekt udenja nije efektan metod uienjauopSte.

Globalna istraZivanja pokazuju da tamo gde dril nije efektan kao nacinudenja aritmetike, on je veoma plodotvoran tamo gde je potrebnopoznavanje velikog broja cinjenica. Zbog toga je tehnika drila i veZbiukljucena u skup nastavnih metoda u predavanju matematike.

Cotovo da se svaka nastavna metoda moZe primeniti u individuairr<tnrrrradu, ali su pojedini udenici razliditi po tome kojorn brzinom uie Nekiimoraju da jasno savladaju svaki korak udenja, dok drugi mogu da pleskoceneke korake. Implikacija je takva da ih nastavnik mora diskrel.no korrstiti,izbegavajuii rigidnu podelu rada i prilagodavajuci se svakom ucenikuprema njegovim sposobnostima.

PjaZeove ideje imaju znadajnu implikacaiju, mada se on rrije rnnogointeresovao za obrazovanje dece. Naime, teikoie uienja matenratil<e sLrtakve da podrazumevaju rad na visokom nivou apstrakcije. koji prernaPjaZeu odgovara formalnom operativnom nivou. Postoje dokazi da rnnoqr,rkulture nisu cenile i razvijale operativno miSljenje.

Pitanje je na koji nacin treba predavati matematiku da bi se razvio trrjnadin razmiSljanja. To pitanje zahteva istraZivanje. Jedno od obj;rSnjeniadedijeg razmiSljanja je u tome da deca zamenjuju intuitivne nrodele szrkonkretnim. Na primer, svoje predstave o prostoru prilagodavaju fiz-ii:konrsvetu. Sa druge strane, ako Zele da razvijaju znanje geometrue. ond;r svoj.rrazmiSljanja moraju da lociraju na apstraktnijem nivou od realnoq lstraZivad Grir (Greer) ukazu je da mnogi problemi potiiu iz matematir:l<ih

u lolplplSIr€diV(

d,Orle

Prbrktp ldr- t

Lll

jek(prb,>a

S

S

I(

pnkptt(r

t46

e+ :L I

t-Ut-

' l i,'):e

udionica, zbog razlika u razmiSljanjima ucenika koja se odvijaju u riq-oroznim situacijama, to jest, u simbolidkom razmiiljanju. Razlicitostponaianja posebno dolazi doizraLaja u nastavialgebre. lsti sluiaj se nroi,elpojaviti u predikolskom ili ranoikolskom udenju aritmetike. Moqucastrategija nastave je ta da se prevazide simbolizam, da se prede u "realistidku matematiku". Drugi nadin je da se nastavniku omoguii da udijalogu sa udenikom, provocirajuii ga pogreinim koncepcijama i odgo-vorima, stvori uslove da udenik menja nadin razmiSljanja. NaSe izlaganje sedo sada koncentrisalo samo na pitanje udenja po PjaZeu, alije to mo2daod drugorazrednog znataja u odnosu na uslove zarazumevanje. Po Pjai-eu,razumeti znadi raditi kroz mentalne i fizidke aktivnosti, a to se prvenstvenopreporuduje udenicima. Mada ie to, kako sam nauinik vidi, dove.sti dobrojnih greiaka, ali greike su neizbeZan deo izgradnje i osmi3ljavanjakoncepata. Konstruktivno udenje podrazumeva predlaganje ideja, njihovoproveravanje radi utvrdivanja koja je ideja uspeina, a koja nije. To po-drazumeva takvu nastavu u kojoj ie ucenici imati informacionu povratnr.lspregu u odnosu na svaku svoju akciju.

U nekom smislu, PjaZe ne predlaZe niSta novo, vei je preformulisacrudenje kroz rad koje su predlagali Dewey i Montessori. Na tim osnovamaje razvijen pojam istraZivaikog udenja, aktivnog umesto pasivnog. r.rkome se samo primaju gotove informacije. No udenje-otkrivanjem ycponekad manje efikasno od udenja koje odmah vodi do saznanja. ali jebolje i lakie se prenosi na nove situacije. Dokazi pokazuju da rrisesaznavanje usmerenog istraZivaikog ucenja:

- osigurava udenje sa razumevanjem, po5to se svako predznanje nrorakoristiti kao deo istraZivadke aktivnosti;

- omoguiava udenje u jednostavnijim uslovima od onih gde i:r: sestedeno znanje primenjivati;

- pored koncepta strukture, unapreduje udenje generelnih strategijcr;

- ukoliko je uspeino, ono visoko motiviSe.

ldeje o primeni softverskih alata u kreiranju obrazovnog racunarskogsoftvera za potrebe nastave i udenja matematike sve su prisutnije. Usavremenoj nastavi matematike sve je prisutnija i nova informacionatehnologija, koja doprinosi vi5im efektima matematidkog obrazovanja. Napitanje kako informatidka reienja mogu da doprinesu povecanju znanjamatematike, odgovor je , pre svega, da se u nastavi i udenju matematikekoristiobrazovni radunarski softver koji, opet, na optimalan nadin ispunlavapostavljene ciljeve matematidkog obrazovanja. Polaznu osnovu za projek-tovanie i razvoi obrazovnog radunarskog softvera tine softverski alati(toolkits). Jedan od pravaca istraZivanja i razvoja obrazovnog raiunarskoq

e.a .diil,:^p

t nrobi

T)(i i- c

ri' t I

lo;U

laI P

aJiaia-n

t -

a .

laS.

ih

147

softvera zavisan je od stepena razvoja softverskih alata, kojise mogu koristitiza projektovanje i razvoj obrazovnog radunarskog softvera za matematiku.

11.2. $oftver u matematiikom obrazovanju

Analiziranje nekih poznatih softverskih alata posluZiie za razvoj ideja oreSenjima za softver u matematidkom obrazovanju.

Spred5its - $preadsheets

Programski paketi, kao 5to su VISICALS, L-OTUS l-2-3 iliMULTIPLAN, pokazali su izuzetan uspeh u reiavanju problema brznisa, trgovine i zafinansijske analize. Na njihovim konceptualnim osnovama grade se softver-ska reienja za nastavu i udenje matematike. Veliki deo matematiikestrukture se moZe svesti na format dvodimenzionalne matridne ielije. pritemu vrednost svake pojedine ielije moZe da bude zavisna od neke drurqeielije il i skupa ielija. Primer za to je mnoZenle matrica. Omesto pisanjerniza instrukcija za mnoienje elemenata vrsta, u prvoj matrici, sa elemerr-tima kolona druge matrice, Sprediit jednostavno definiSe proizvod matrir;ar.postavljaju6i svaku 6eliju pomocu formule koja predstavlja prigodnu konr'binaciju vrsta i kolona.

Spred5it programi, u nastavi i u ienju matematike, moglr da se kor istel<ao modeli "crne kutije". U niZim razredima osnovne Skole uditelj bi unapredpripremio formulu, a udenici bi unosili podatke i dobijeni rezultat. To jemodel aplikativnog tipa obrazovnog radunarskog softvera. U visirnrazredima ucenicibisamisastavl jal i formule i unosi l i podatke, i na taj nat inre5avali zadatke. SpredSit programi imaju velike mogucnosti za kreiranjeobrazovnog radunarskog softvera u matematidkom obrazovanju.

Grafiiki softver

Klasifikacija tipova obrazovnog radunaraskog softvera obuhvata isoftvere tipa elektronska tabla. Za elektronsku tablu je znacajna podr5kagrafidki softver. Ve6 je bilo redi da mnogi r-rdenici imaju problema urazumevanju razliditih slika. "Centar za tehnologiju' Harvardskog uni

l 4 8

itiu.

verziteta razvija serUu dinamidki povezanih slika za velike brojeve. U te svrherazuijena su detiritipa grafidke prezentacije:

1. likovna - kvadratni prozor sa pravougaonim kutijama u kojima surazlidite slike;

2. brojevna (tabelarna) - prozor sadrZi kolone povezanih brojeva;

3. koordinantna grafidka prezentacija;

4. sabirad brojeva - omoguiuje udenicima manipulacije sa brojevima

Na ekranu se, u svakom trenutku, moZe prikazati drvo odludivanja sakompletnom strukturom , kao odgovor na udenikov postupak reiavanjazadatka.

IstraZivaiki program

Primer istraZivadkog programa je ALGEBRALAND SYSTEM, razvijen uXerox Palo Alto Research Center-u. Osnovna ideja kod tog programa je dase postupak re5avanja jednadina moZe prikazati na ekranu ili oditampati,ili dak ponoviti, omoguiujuii na taj nadin animaciju puta za re5avanje. Tajpostupak se prikazuje grafidki - pomoiu drveta odludivanja, pokazujuii kojiput redavanja su izabrali udenici, kao i usputne gre5ke i ponovne pokuSaje.Bez dubljeg ulaZenja u to kako se taj alat uklapa u matematiku, njegovosnovni doprinos je u dinjenici da udenik moZe da razume eksperimenti-sanje u reiavanju zadataka. To eksperimentisanje se sastoji u formiranju itestiranju hipoteza, a uzima u obzir efekte koje prouzrokuju sprovedeneoperacije. Taj program ima tri komponente:

1. program, pisan u LOGO jeziku;

2. mikrosvet grafike za slikovnu prezentaciju objekata i operacija;

3. algebarsku radnu plodu koja moZe biti izvriilac (izvriava po redualgebarske relacije), ili se ponaia kao tutor, dajuii savete i kritike.

Stvaralaiki jezici

Programski jezik SIvIALLTALK su stvorili strudnjaci Xerox Palo AltoReserch Center-a za posebne svrhe. Naime, to je "objektivno orijentisani"jezik, pomoiu koga korisnik opisuje 5ta Zeli da sastavi kao kolekciju

\NZA

lr-kerri1et -

|Jan -

n -

te:diet -

i 1'1

ie

149

objekata kojiie medusobno kornuniciratitako 5to ie slatii primatiporuke.Svaki objekat predstavlja il i objekat koncepta klase, il i sadrzi opise'porukaiakcija, odnosno crta po ekranu, Stampa tekst itd.

_. _ Na primer, da bi se programirala simulacija aviona na jeziku SXTALL-TALK, treba definisati klase objekta - "instrument" i primere posebnihinstrumenata iscrtati na ekranu. Svaki instrument bi imao svoju poziciju naekranu, oznaku i vrednost. Drugi primer je primena jezika SMALLTAIK zaizgradnju laboratorijefzgmod_elovanje geometrijskih objekata. U laboratorijipod nazivom THINGLAB (Borning), objekat se modeluje opisivanjemrelacija izmedu njegovih delova, koje moraju da postoje. THINGLABobezbeduje da se promenom jednog parametra objekta automatskipromene idrugi koji su sa njim u relaciji. Na primer, kod crtanja paralelo-grama- romba, moZe se menjati relacija: ugao izrnedu dve stranice, il i semoZe menjati podetna tadka, odnosno njene koordinate i sl.

Korisnici SMALLTALK jezika istidu da je prednost objekatski orijenti-sanog-programiranja nad proceduralnim u tome 5to se jasno razlikujuprocedure za manipulaciju podacima od ulaznih podatka kojima se pozi-vaju procedure. Slidno je miSljenje i kad je u pitanju logika.

Suitina je u tome da se tvrdenja u deklarativnoi logici mogu u jezikuSMALLTALK interpretirati u vidu proceduralnih instrukcija. To je posluiilokao podloga za stvaranje programskog jezika PROLOG, kojije posebnopogodan za izgradnju baza podataka sa dinjenicama i pravilima koje udenikmoZe ispitivati. Prihvaieno je miSljenje da je stvarna vrednost logike kaoprogramskog jezika u njegovoj primenljivosti za udenje logidkograzmiSljanja, i to u svim podrudjuma nastavnog programa. Evropskaekonomska zajednica je (1984.9.) finansirala projekt primene MICRO-PROLOC jezika u Skolama Belgije, Francuske, Crdke i ltalije, a dobijenirezultati ukazuju na pozitivne efekte primene tog programskog jezika narazvoj logidkodeduktivnog miSljenja. U p rojektovanju obrazovnog rac u na r-skog softvera na jeziku PROLOG, javljaju se razliditi stavovi kad je u pitanjumodel udenja - da li dati preradeno gradivo (definicije, primere zakljudke),ili udenike usmeriti da ude putem pokuiaja i pogreike.

Tutorski programi bazirani na znanju

Tokom poslednje decenije veitadka inteligencija je napravila znadajankorak u razvoju ekspertnih sistema, koji se odlikuju po tome 5to sadrZeznanja eksperta i pravila za reiavanje problema. Inteligentni tutori znademnogo viSe od ekspertnog sistema. Kao 5to je poznato, kod ekspertnog

sistema seI razvijenijudenidkihnerazumevpodu od ttudenja bi nsistema naveitinamaekspertnogvati veii sktnego 5to srsistema mctako da u ktaciju novihosnow un(

Intelige5to analiziriOvde iemc

Prona

DetekcPM prilaz jrza reSavanjrTakav eksppokuiaja. Ipekata iz olbaze nedos

Taj mcpostojanjajednom skrudenikovihveStine ie INa tom prilwon". ZadiduZ polja dosvaja nagnacijom trijedan od ar

1 5 0

poruke.rporuka

SMALL-osebnihziciju naIALK zaroratoriji;ivanjemINCLABomatskiraralelo-ce, il i se

orijenti-razlikujuse pozi-

u jezikurosluiilorcsebnoe ucenikgike kaologickog:vropskaMICROdobijeniezika naracunar-,-i pitanjukljudke),

:naiajanr sadrZerri znaceipertnog

sistema se smatra da su korisnikovo prethodno znanje i veStine ogranideni.I razvijenijim modelima ekspertnih sistema nedostaje dijagnostikaudenidkih greiaka, koje mogu biti posledica nepaZnje, neznanja ilinerazumevanja. Te dinjenice obavezuju projektante ekspertnih sistema dapodu od teorije kako udenici ude u odredenoj oblasti. Takva strategijaudenja bimogla biti preuzeta uz rasporedenitransfer znanja sa ekspertnogsistema na uienika, ukljudujuiii dijagnostiku rupa u udenikovom znanju iveitinama koje su rezultat prekida u procesu transfera. Ako projektantekspertnog sistema prihvatiteoriju o konstruktivnom udenju, on ie oceki-vativeii skup greiaka. Dakle, detekcija greike se pokazala kao te2i zadataknego 5to se u prvom momentu dinilo. Kod razvijenijih modela ekspertnihsistema mogu se datioznake koje ie obeleiiti u bazi znanje koje je poznato,tako da u kasnijim sludajevima ekspertni sistem treba da promeni prezen-taciju novih znanja, u skladu sa onim 5to se veruje da udenik vec zna - naosnovu unetih oznaka. Tako se lakSe objainjavaju greike koje se cine.

Inteligentni tutorski obrazovni raiunarski softveri odlikuju se po tome5to analiziraju udenidke odgovore i pronalaze greike u njihovom znanju.Ovde iemo prikazati tri prilaza analiziranju greiaka u odgovorima uienika.

Pronalaienie rupa u znanju

Detekcija rupa u znanju udenika se moZe vriiti po raznim osnovama.Prvi prilaz je pogodan za predmetne oblasti u kojima ne postoji strategijaza reSavanje problema, igde nema nadina da se od uienika dobiju podaci.Takav ekspertni sistem detekciju greSaka vr5i samo na osnovu udeniikihpokuiaja. Drugi prilaz je strategija zasnovana na identifikaciji vainih as-pekata iz oblasti i ve5tina koje mogu da se ude, a odluduje se na osnovubaze nedostajuiih udenikovih poteza.

Taj model daje viSe od prethodnog. Clavni problem je u identifikacijipostojanja veitina koje uienik moLda poseduje, a koje se ne koriste ni ujednom skupu problema. Redenje je u posedovanju ekspertnog prikazaudenikovih akcija iidentifikovanje podve5tina koje ima. Bilo koji nedostatakveitine ie biti relevantan smo ako ga je ekspert ukljucio u date okolnosti.Na tom prilazu su radili Barton i Braun na primeru igre "How the West waswon" . Zadatak udenika je da postigne cilj sa minimalnim brojem pokretaduZ polja dugog 70 kvadrata. Zavisno od mesta na koje je stigao, ucenikosvaja nagradne ili kaznene pokrete. Osnovni pokret je definisan kombi-nacijom tri mala cela broja u aritmetikom izrazu, pri demu se koristi najvi5ejedan od aritmetidkih simbola za operacije (+, -. x, :).

r 51

Tutor pod imenom WEST konstruiSe model udenika, uporedivanjemudenikovih pokreta s najboljim pokretima. Kod njega se koristi model zaidentifikovanje veitina koje su slabo razvijene ili ih udenik ne poseduje. Toukljudu.je aritmetidke veitine (da li udenik ume da sastavi broj od tri malabroja), veitine koje zavise od igre (kada i kako doii do nagradnih polja) iigranje strategije (posmatranje suparnidkog igrada). Za svaku veitinu pos-tojiidentifikator kojije prepoznaje iocenjuje. Zajednidkioniiz-graduju modeluderrika koji sadrZi podatke o koriSienim veitinarna i njihovoj relativnojrrroguinosti. U tom modelu je ugradena baza za intervenciju koja dajetaktidke savete udeniku.

Pronalaienje gre6ke

Osnovna ideja za ovaj modelje da se identifikuju udenikove greike -konceptualne i proceduralne, direktno iz udenikovih odqovora, bez bilokakvog podatka o medukoracima koji su pravljeni prilikom reSavanjaproblema. Model je pogodan za oblasti kod kojih postoji samo jednastrategija koja tadno reiava problem.

Slinran (Sleeman) projektuje tutorski program THE LEEDS MODEL-LING SYSTEM "LMS", koji se bavi istraZivanjem zakljudaka udenidkihmodela u aritmetici i algebri. Greike su napravljene kao upoznavanjenetadnih verzija nekih pravila. Modeli se koriste za definisanje nivoa do kogsu udenici kompetentni. Sa svakim modelom povezan je skup problemaodgovarajuie teZine. U zavisnostiod datih odgovora, sistem generiSe tipovemodela udenika, dodajuii rrova pravila postojeiem modelu. lnterpretatoristandardnih pravila izvodenja izvriavaju modele, s tim 5to se oni koji seslaZu sa odqovorima udenika obelaZavaju posebno.

Pronalaienie pogreino shvadenog

Treii prilaz je pogodan za oblasti u kojima nema samo jednog algo-ritma za re5avanje svih problema, odnosno pogodan je za oblasti u kojimamoguinost izvodenja potkoraka u reienju problema obezbeduje baza zazakljuiivanje o strategiji i l i planu koji udenik prati tokom reiavanjaproblema.

ADVISER SYSTEM (sistem savetnik Generseth) najbolji je primer kojipomaZe korisnicima algebarskog sistema MACSYMA COMPUTER. Tipidnr

k05rd,>rdiM

olp(big l

pr(l inpoi p ral tsistutskr

I IUI:da

miobto

t ) z

korisnik MACSYMA programa obidno nema ekspertno znanje o sistemu.Odenik moZe otkriti da je dao pogreian odgovor. Jasno, poZeleie da sazna5ta nije bilo u redu. U tom sludaju on moZe da pozove ADVISOR sistem,dajuii mu zadatak da otkrije lokaciju u prirodu greike. Poznavanje ADVI,SOR programa ukljuduje i objainjenje 5ta je tadno cilj kojije udenik pokuSaoda postigne. ADVISOR vei ima zapis udenikovih prethodnih redenica izMACSYMA COMMANDS zajedno sa modelom podetnika MACSYMA USER"MUSER" U MUSER vaZeii planovi su predstavljeni grafovima kojiobjainjavaju kako akcije postiZu ciljeve. Svaki cilj je u relaciji sa svojimpotciljevima. Svaki metod zadovoljava odredeni cilj i uz preduslov da morabitiispunjen podacima. Postoji, takode, ibiblioteka delova planova idelovagreiaka.

Za prepoznavanje greike ADVISOR koristi meSavinu povratnih rezonai rezonovanje unapred. Prvo, program gradi tadan plan zakljudivanjemunazad, od cilja udenika, a zatim koristizakljudivanje unapred, sa nameromda promeni delove udenikovih akcija u planove, i to na taj nacin Stoprepoznaje plan i gre5ke iz svoje biblioteke, podeiavajuii ih prema mode-lima MUSER programa. Creika je pronadena na mestu gde data akcija nepogoduje modelu. Sistem ima standardno objainjenje za svaku komanduiprezentira je korisniku. Takode moZe da sugeriSe iupotrebu neke pogodnealternativne komande. Od 1986. godine tehnike planiranja za tutorskesisteme dobijaju u prioritetu za programiranje, a istraZivanje inteligentnihtutorskih p,rograma dobija prioritet u projektovanju obrazovnog racunar-skoo softvera.

11.3,. Informacione tehnologije i matematiiko obrazo-vanje

Za :;avremeno matematidko obrazovanje, odnosno nastavu i uienjematema,tike na svim nivoima u sistemu obrazovanja, potrebno je da seobezbecli koriSienje novih informacionih tehnologija. Relevantni uslovi zato se mogu grupisati u dve znadajne grupe:

- terhnologija i nastava matematike;

- tr:hnologija i obrazovanje nastavnika matematike;

Zbog toga iemo ukratko opisati znaiaj irrformacionih tehnologija zanastav u i obrazovanje nastavnika matematike.

153

Tehnologija i nastava maternatike

Savremena nastava matematike podrazumeva i ukljuiivanje nove in-formacione tehnoloogije u njenu realizaciju. Zato je potrebno da se sveinstitucije u sistemu obrazovanja (pred5kolsko, osnovno i srednjoikolskoobrazovanje i univerzitet) opreme hardverski i softverski, a da nastavnicidobiju potrebno usavriavanje za efikasnu primenu nove inforrnacionetehnologije u matematidkom obrazovanju. To posebno znadi:

- opremljenost nastavnika matematike posebnim kompjuterskim alat-kama za realizaciju nastave matematike i da im se omoguii konstantnoinoviranje nastave;

- usavriavanje nastavnika matematike iz oblasti modela ucenja i me-todologije uvodenia inovacija u matematidko obrazovanje;

- izmenu pozicija u nastavi matematike, tako da centralno mestoumesto nstavnika treba da zauzme uienik. Zato se uienik moraobuditi za primenu kompjutera u upotrebi savremenih matematiikihsoftverskih alata i obrazovnog radunarskog softvera;

- za ostvarivanje bolje komunikacije na relacijinastavnik -udenik, trebada se koriste programski proizvodi koji ie interpretirati proceduralne istrateike greike i omoguiiti gradnju modela.

Tehnologija i obrazovanje nastavnika

U procesu obrazovanja nastavnika, bilo da je rei.o uiiteljima ili oprofesorima srednjih 5kola, treba obavezno da se savlada osnovna infor-maticka i kompjuterska pismenost, kao i primenjena obrazovna informatikasa metodikom u nastavi matematike. 0savriavanje nastavnika koji nisu utoku svog obrazovanja savladali program informatidkog obrazovanja, tre-balo bi da obuhvati sledeie:

- svaki nastavnik bi trebalo da prode makar kroz minimalnu obuku okoriS6enju kompjutera za nastavu i udenje rnatematike;

- uvodni i korisniiki kursevi treba da obuhvate sledece:

1. SVESNOST sa naglaskom na aplikacije koje omogucuju nas,tavnicima da razumeju tehnoloike potencijale za primdnu u nastavi i uc-'c:njumatematike;

na:

usizo\

nozo\

154

tve ln-JE SVC(olsko.avnicircione

n alat-.antno

r i m e -

mesto. moraaritkih

, trebaralne i

ra il i or infor-matikanisu u

l d , u e -

ruku o

Lr nas-ucenju

2. APLIKACIJE - naglasak je na izboru programskih alatki za ucenje inastavu matematike.

3. STVARANJE MODELA sa naglaskom na koncepcijama:

- matematidki sadrZaji i teme za obe vrste kurseva treba da buduusaglaieni sa zahtevima nastavnog programa odgovarajuieg nivoa obra-zovanja;

- nastavnici moraju upoznati nove oblike organizacije rada u udionici inove nastavne metode u radu sa kompjuterima u matematidkom obra-zovanju.

1 ^ q

LITERATORA

1. Batler, H. C., Linvud Vren, F: Nastaua ntale,ttatike u -yednlbrikoll Progmn l metodi, Vuk KaradZii, Beograd, 1967.

2. Devide, V.: y'latemattA:a kroz kufture t epo/rc, Skolska knjiga,Zagreb. 19'79.

3. Krklju5, S.: (liergre u nasiaul otkrluary-ern,RU "Radivoj Cirpanov",Novi Sad, 1977.

4. Kudrjavcev, L" D.: .Sauremennqta ma terna t|/ta i ee pr epodotta nie.l4oskva, l980.

5. Nastavniprogram za osnovnu Skolu u RepubliciSrbiji. Arhimedes,Beograd, 1991.

6. Nastavni program za srednje Skole u SR Srbiji, Arhimedes, Beo-grad, 1987.

7. Penavin, V. i dr.: Metocltiki priruintk za neka ptfary'a pocet/rcnastaue rnalematfke. Novi Sad, 1974.

B. Petrovii, N. : Metodiikt ;trt ruin t k za p t"tp rent a ryc 7: r4ent r t og i-sp il.t1z matematike za upts na faktrltete, PMF, Novi Sad, 1992.

9. Petrovii, S., Martii, J., Petkovic, M.: Drdaktri/ro-tnetodii/iipriruinfk,:a nastauu mate-ntatike V-V/// nzreda osnoune ikole, Zavod zaudZbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1967.

10. Polja, D.'. MatenLatika t pr:udopodobnge nsrdcien4a, Nauka.Moskva,

- l975.

1i. Polja; D.: Kako dt rciitt ntatentatickt'zadaLtA, Skolska knjiga,Lagreb,1966.

12. Prvanovic, S: Teorya l praksa saulellte/tog rnatentaltiko.q obn-zotrar!/a na usnte/enont uaspfttto-obrazourtom stepenz:, "Veselin Masleia' ,Sarajevo, 198l.

I 3. P rva novic, S. : Me toc/|ka sa u / e / n e n og m a ter n a l t i Aog o/: r a zo ua r y'au osnoultoJ iA'oli, Beo-grad, 197O.

14. Ricard, R. Skemp: A ntaternattka ta/)u/;sp,r/ho/ogrtya, Budapest,1975.

15 Rybnikov, K. A.: Professy'a-r, ta/ertn/ iA,Moskva, l989

1 5 6r

'P )t crP.Jn;nl

:olska knjiga,

. : .'oJ Llrpanov",

,epodouanie,

i, Arhimedes,

medes, Beo-

trya poietrrc

emnog tsptta

ko-metodiikiole, Zavod za

:nga, Nauka,

:olska knjiga,

ztiikog obta-elin Masleia",

'obrazouatya

7b, Budapest,

i9.

i _

l

F-t , , " , " '

CIP - Katalogiacija u publikacij iBiblioteka Matice srpske, Novi Sad

371.3 :5a

OPSTA METODIM MSTAVE MATEMATIKE / JANOS PiNtCT,Velimir Sotirovi6, Nenad Petrovid, DuSan Lipovac.Sombor, Uiiteljski fakuitet, 1996 (Apatin: Grafika).1 55 str.: Grafiiki pfikazii 22 cm

TiraZ 1000.DrDlogra t t la : S t r . l )5

L Pinter, Janoia) Matematika - Metodika Nastave

UNIVERZITET U NOVOM SADUUtiteliski fakultet Sombor

Janoi Pinter

Velimir Sotirovii

Nenad Petrovii

DuSan Lipovac

OPSTA METODII(AN/\STAVE fulfi1Et561l I(E

SOFa"f tOR, t9 96. .

si _ z ' - t

perioda dete je sposobno da operiSe apstrakcijama, pojmovima i sim-bolima.

Kako se to manifestuje u podetnoj nastavi matematike?

Poredamo npr. viSe oraha i kestenova u dva reda, tako da je naspramsvakog kestena orah i naspram svakog oraha kesten. Na naSe pitanje. dali ima oraha koliko i kestenova i dete od 5-6 godina i dete od B-9 godina,kao i dete od 12-13 godina odgovaraie potvrdno.

Ako zgusnemo orahe, dete na prvom nivou intelektualnog razvojatvrdiie da sad ima viSe kestenova. Deca na drugom i tre6em nivou razvoja6e odgovoriti da i sada ima isto toliko kestenova koliko i oraha.

Prema tome, kada je fizidka povezanost odnosno obostrana je-dnoznadna korespondencija poreme6ena, za decu na prvom nivou intelek-tualnog razvoja je bijekcija prestala, misaono nije ni postojala. Dok u trecojfazi razvitka bijekcija se moZe definisati i bez polazne oiiglednosti.

Mnogi drugi savremeni psiholozi (V. V. Davidov, D. B. Elkonjin, Z.Semadeni, I. S. Bruner, F. L6nard) smatraju da se sposobnost apstra-hovanja i operacije sa apstrakcijama javlja kod deteta iranije, u 7-8. godiniiivota. Dete, na primer, moZe da veZe kamen o uZe i da ga nazove psom,slidno, nacrtane tadke mogu mu predstavljati lutke itd.

Psiholoiki aspekti sticanja znanja su klasidni problemi psihologije.medutim problemi primene znanja su znatno suptilniji i manje istraZeni.

L. D. Kudrjavdev, osnovne psiholoike probleme u nastavi, na relacijiapstraktno-konkretno, vidi u slededem:

- prilikom usvajanja znanja u svestiudenika stvaraju se zatvoreni sistemiasocijacija,

- udenici se suviSe vezuju za primenjena uska odigledna sredstva,

- udenici ne razlikuju bitne i nebitne karakteristike pojmova i zbog togau praksi ne znaju apstrahovati nebitne karakteristike pojava, da bi prin-re-njivali odgovarajuie matematidke modele.

Dakle teorijska znanja udenika se nedovoljno aktualiziraju u svestiudenika, pre svega, zbog niskog nivoa misaonih operacija u procesusticanja znanja, ali i zbog uske odiglednosti, pa i neadekvatnog Zivotnogiskustva itd. Uodavanje teorijskih relacija u konkretnim situacijama ideputevima saznanja date teorije. Ti putevi treba da budu dvosmerni iprohodniza udenike. Ako to nisu, znanja ie ostati na nivou konkretnog, il i6e "lebdeti" na nivou apstraktnog.

PnnareIstrdir

unsp(rijsaplprilodr

akt

serkor

znerepmi:akt

sarre5

uctnafak

prcjstv

prvtzut

Ove poteikode na granicama apstraktnog i konl.:retnog javljaju seprirodno, jer dok se uvodenje novih pojmova, principa, zakonitosti zasnivana "apstrakcijama prvog reda", isticanje vei savladanih apstrakcila u korik-retnim problemima. u okviru riastave. zahteva specificnu apslrakcijrr. ap-strakciju drugog reda". Sto je zadatak konkretniji, javlja se sa viie sporednihdimenzija, teLi je za apstrahovanje.

Veiina udenika, usled loiih navika i niskog nivoa analitidnosti u radu,umesto da traZi poznate principe, zakonitosti i sl., donosi odltrke na osnovuspoljnih, "Skolskih" formi - samcak'rualizacija, rnehanidka aktualizacija teo,rijskih znanja. Ponekad se udenici orijentiiu prema stvarinra, koje bi tiebaloapstrahovati. Ne povezuju teorijsko znanje i praksu, vec biigledr-rostprilikom sticanja znanja sa ociglerlnosti praktidnog problema Time seodnos teorije i prakse javlja sarno na nivou konkretnog.

Cilj je da se u problemirna pral<se c;tkriju teorijske relacije i da seaktualizacijom ovih znanja reiavaju praktidni problerni.

Prelaz sa konkretnog na ap;trai<tno i obrnuto, znatno olakiavajr,r razne5eme, koje dine izvesne nlcsic;ve izmedu njih. Sema je u c<inosu nakonkretnu situaciju apstraktna, a u odnosu na teorijska saznanja konkretna.

Po stepenu uoiavat-ija releriantnih faktora i nivoa aktualizacije teorijsi<if rsaznanja. razl ikuju se sledeci nivoi shvatanja problema:

- Nultl niuo - delimidno shvatanje problema na osnovu reprrodul<tivnihznanja. Udenik ne uzima u obzir konkretne uslove zadatka, vec iednostar,rpcrreprodukuje znanja na nivou oiigledrrosti udzbenika ili nastave. Akrivnemisaone operacije se ostvaruju na niskom rrivoLr, a teorijska znanla se neaktualiziraju i realizuju tol<om reSavar,ja problema.

- Prui ntuo - konkre'Lno, operativno shvatanje prcblema. U odsustvL,samostalnog miSljenja, umesto inteiektLralne orijentacije, problem se,reiava u oblasti praktidnih operacija.

- Drugi ni tn - del imicno teoretsko shvalanje probierna Na ovom rr i ' . , t , r rudenik delimidno aktualizira odredena teoretska znanja i problem fesa\.ina nivou apstrakcije, ali ne vodi dovoljno racuna o svirn relevantnillfaktorima problema i o njihovom nredudejstvu.

- Treil niuo - potpuno shvatanje problerna. Ucenik na osnovu arraliz.eproblema uzima u obzir sve relevantne faktore i njihova dejstva i rr,edudejstva ito na nivou teorijskih saznanja.

Ispitivanja pokaz-uju da je u podetrroj nastavi, najceice prisutarr rrulti iprvi nivo shvatanja problema, kasni je, al i dosta retko drrrgi , a sarno r iizuzetnim sludajevima i treii nivo.

23

2.3. Logiike osnove - misaoni postupci

Za razumevanje i reiavanje problema u matematici neophodno je dauienik, osim udenja sadrZaja matematike, ovlada osnovnim logidkimzakonima i formama miSljenja. Sa navedenim uslovima moZe se odgovoritina pitanja: da li se neito moZe i kako 6e se primeniti?

Medutim, ostaju otvorena suitinska pitanja, 5ta ikako odabratii kojimredom primenjivati da bi se doilo do reienja problema. NaZalost, ne postojeprecizni odgovori na ova pitanja, odnosno ne postoje obrasci ili preciznauputstva, dijom bismo primenom jednostavno isigurno postigliuspeh. Toznadi da moramo vrSiti odredena istraZivanja i proveravanja da bismopronaSli pravi put ka reienju. U takvoj situaciji se sluZimo, pre svega,misaonim postupcima i metodama koje nas usmeravaju ir istraZivanju iomoguiuju da brZe pronademo put do reSenja.

Precizno matematidko definisanje i klasifikacija misaonih postupakanisu mogu6i, te iemo se ovde sa njima upoznati tako 5to iemo najpreukratko opisati njihove osnovne karakteristike, a zatim ih podrobnije opisatii ilustrovati primerima.

- Analiza - raidlanjavanje objekta istraZivanja na sastavne odredbe.

- Sinteza - objedinjavanje relevantnih odredaba u novu celinu.

- Apstrakcija - izdvajanje bitnih karakteristika konkretnih pojava istvaranje novog idealizovanog sistema.

- Konkretizacija - primena idealizovanog sistema na konkretne pojave.

- Uporedivanje ili komparacija - otkrivanje slidnosti i razlike izmedupojava.

- Analogija - slidnost sadrZaja i metoda koje omoguiavaju transfersaznanja.

- Ceneralizacija ili uopitavanje - misaona operacija kojom se izvesneodredbe pripisuju svim objektima nekog skupa.

- Specijalizacija - primena zajednidkih odredbi elemenata skupa nanjegov pravi podskup.

- Intuicija - saznanje do koga se nije doSlo putem iskustva, ili razmi5ljan-jem, vei nasluiivanjem.

Anak

Analolutvrdivanjrr&auan1iz tjstva nadvijstva totalnrazlikuju nuspe5nu pranalogija si

U pro<pokuiati dtuspeh u prije da znamvrednosti,znadaj. U ranalitidka gprimenomfaktor. Ipal.analogijon

Primerbikvadratn

Prime,

Postu;i njegovonizdvajamo

*2+

Za ovi

1 )Ob

2) opu*4 -

PoslenegativnaistraZivanj

J

z+

ie daIkimvoriti

Analogija

Analogija je misaoni postupak zasnovan na komparaciji, odnosnoutvrdivanju slidnosti ili razlika pojmova, dokazivanja nekih stavova ilireiavanja matematidkih zadataka. Sva utvrdena zajednidka ili slicna svo-jstva nazivamo poznatom pozitivnom analogijom, ukupna zajednidka svo-jstva totalnom pozitivnom analogijom, a skup onih svojstava u kojima serazlikuju nazivamo totalnom negativnom analogijom. Odigledno, zauspeSnu primenu analogije neophodno je da i totalna i poznata pozitivnaanalogija sadrZe najbitnija svojstva.

U procesu reiavanja matematidkih problema vrlo desto iemo prvopoku5atida se setimo ranije re5enih slidnih problema. Ali, da bismo postigliuspeh u primenianalogije, pored veZbanja isolidne memorije, neophodnoje da znamo izdvajati bitno od nebitnog. I pored relativno male pedagoikevrednosti, pre svega za razvoj kreativnosti udenika, analogija ima velikiznadaj. U matematici se ditave oblasti i'J,davaju po analogiji, na primer,analitidka geometrija u ravni i prostoru. Sabloni koji se postiZu pravilnomprimenom analogije, Stede nam vreme i snagu, 5to je bez sumnje vaZanfaktor. lpak, moramo bitioprezniisvesniobaveze da sve rezultate dobijeneanalogijom proverimo sigurnim i korektnim zakljudivanjem.

Primenu analogije ilustrovaiemo opisom postupaka za redavanjebikvadratne jednadine.

Primer. Rei i t i jednacinu, a, t '4 +bt 'Z * c:0

Postupak reiavanja. Posmatranjem polinoma na levoj stranijednacinei njegovom komparacijom sa poznatim oblicima jednacina, kao analoganizdvajamo opiti oblik kvadratne jednadine:

u * 2 + b x * c : 0 .

Zaova dva oblika uodavamo najbitnija slidna ili zajednidka svojstva:

1) Oba izrazana levoj stranijednadine su trinomi.

2) Opadanje stepena u oba trinoma je slidno:

ur4 + bxz + c:a(x2\2 + bx.2 + . .

Posle uodavanja svojstva 2) razlika u stepenima trinoma, tj. totalnanegativna analogija postaje nebitna. Posle ovako sprovedenog malogistraZivanja, uvodenjem smene:

)

iojim'stojeciznah. Toismovega,lnju i

rpakarajpre,pisati

)e.

java i

ojave.

medu

ansfer

lveSne

LPa na

rii l jan-

25

svodimo reiavanje jednadine detvrtog stepena:

u * 4 + b x 2 + c : o

na reiavanje sistema kvadratnih jenadina:

a g z + b g * c : O i g : * 2 .

Apstrakcija i generalizacija

Apstrakcija je misaoni postupak kojim se iz jednog ili viSe srodnihelemenata, primera izdvajaju odredena svojstva a sva ostala odbacuju. Nataj nadin se omogu6uje formiranje apstraktnog pojma kojiie, sem posma-tranih, obuhvatiti i sve ostale primere sa zadrZanim svojstvima.

Misaoni postupak, kojim se uodena svojstva primera, odnosno ele-menata nekog uZeg skupa, uzimaju za kriterijum pro5iraivanja na najSiriskup elemenata sa tim svojstvima, naziva se generalizacija. MoZe se reii dasu dak i osnovni pojmovi i stavovi u aksiomatskim teorijama rezultat 5irokeapstrakcije i generalizacije pojmova i zakonitosti realnog sveta. Na taj nacin"shvatamo" pojam tadke, prave, ravni, broja iskaza itd. A u daljoj izgradnjimatematidkih teorija takode se sluZimo apstrakcijom igeneralizacijom, itoiemo ilustrovati sledeiim primerom:

U izgranosimetridnpodudarnadelova, sim,simetrija u <svojstva porgeometrijsknosimetridnosnosimetri,

Kako umatematidku nastavnorgeometrijskigeometrijski

Konkrr

0 samopostupcima,postupak kostava ili zadeelemenata nskupa. Na prsludaju jedntna konkretakonkretizacij

Treba irspecijalizacijkonkretno, ralno. Zbog tcu odnosu niodnosu na zi specijalizacpojam funkcje istovremeprimerom re

Primer.

i

/-D\^l | \.lll

II '

)

F

26

U izgradnji pojma osnosimetridne figure, posmatramo primere os-nosimetridnih figura, pa prvo uodavamo da se figure mogu podeliti na dvapodudarna dela a zatim da su sve tadke figura, po parovima iz podudarnihdelova, simetridne u odnosu na bar jednu pravu. lztoga zakljudujemo dasimetrija u odnosu na tu pravu preslikava figuru u sarrlu sebe. Sva ostalasvojstva posmatranih figura se apstrahuju i generalizacijom na skup svihgeometrijskih figura sa zadrLanim svojstvom stvara se pojam os-nosimetridne figure. Precizna matematidka definicija, koja odreduje pojamosnosimetridne figure, dolazi kao posledica apstrakcije i generaliiacije.

Kako u izgradnji pojmova, tako i u shvatanju stavova i reSavanjamatematidkih zadataka, apstrakciju i generalizaciju koristimo, uglavnonr.u nastavnom procesu. Na taj nadin dolazimo do raznih op5tih formula,geometrijskih konstrukcija, pravila za izratunavanje odredenih elemenatageometrijskih figura itd.

cdnihu. Na)sma-

c ele-najiirieii dasirokenacinradnjin, Sto

Konkretizacija i specijali zacija

U samostalnom reiavanju zadatka udenici se viSe koriste misar-rrrii lpostupcima, suprotnim apstrakciji i generalizaciji. Konkretizacija je nrisaor-.ipostupak kgjim s9 identifikuje primer sa svojstvima nekog op5t-eg pojnr.r.stava ili zadatka. Specijalizacija je misaoni postupak prenoienja ivojitavaelemenata nekog generalnog skupa na elemente njegovog pravog po(i-skupa. Na primer, primenjujuii neku teoremu koja vaZiza sve trouglove, usludaju jednakokrakih trouglova vriimo specijalizaciju, a ako je primenimona konkretan trougao, odreden zadatim elementima, onda imo ucinilikonkretizaciju.

Treba imati u vidu da su apstrakcija, generalizacija, konkretizacija ispecijalizacija samo relativno odredene. Naime, ono 5to je u jednom sluia;ukonkretno, u drugom sludaju je apstraktno a isto tako specijalno i gener-alno.Zbogtoqa ih moramo posmatrati samo uz precizno odredena svo1st',,au odnosu na koja ih Zelimo primeniti. Na primer, skup svih polinoma uodnosu na zajednidka svojstva je generalizacija binoma, alije istovremenoi specijalizacija za skup racionalnih izraza. Isto tako, u odnosu rra opsripojam funkcije realne promenljive, funkcijag: sin.t' je konkretizacrla, alije istovremeno i apstraktan pojam. Ilustrovaiemo navedeno i ieininrprimerom reiava nja zadataka kon kretiza cijo m.

Primer. Transformisati u proizvod izraz: sin5.l'- sin3;..

27

Postupak reiavanja: Zadati izraz identifikujemo kao primer izraza nalevoj strani trigonometrijske formule:

s inc- s inp = r "o, (419)

r ,n (o:F)

na dijoj desnoj straniimamo bai proizvod.

Konkretizacijom (o : 5x, F: 3"t) navedene formule, dobijamo:

s i n 5 r - s i n 3 x = 2 c o s $ x + 3 x ) , , n ( s t

- l t ) = l c o s 4 ; ' s i n r '

Analiza i sinteza

Slobodno se moZe reii da su analiza i sinteza najznadajnije metode unaudnom istraZivanju. Najdeiie se primenjuju kombinovano, kaoanalitidko-sintetidka metoda i tada najbolje osvetljavaju put ka reienjuproblema. Obidno se pod analizom podrazumeva reidlanjivanje celine nasastavne delove, a pod sintezom, obrnuto, objedinjavanje delova u celinu.Takvo shvatanje je preiiroko i ne odreduje ih kao misaone postupke ilimetode naudnog istraZivanja. Analiza je, pre svega, proces otkrivanjanadina i sredstava za postizanje Zeljenih rezultata. Ako je u pitanju primenaanalitidke metode u zadacima dokazivanja, onda se u istraZivanju nadinaza izvodenje dokaznog postupka polazi od stava koji treba dokazati, pa seide ka stavovima dija je istinitost poznata. Taj proces ne predstavlja dokazsve dok ne omoguii reverzibilan postupak, tj. sintezu. Na neki nadin.analizom smo tvrdnju zaista raidlanili na takozvane dovoljne razloge. iz kojihje ponovo dobijamo sintezom.

Primer. Dokazati da za nenegativne realne brojeve aritmetidkasredina nije manja od geometrijske, tj. da za x ) 0, g > 0 vaZi neje-dnakost:

X + U

;> , lxs .

Postu

Radi Ijeno, po k

ANAL

korac

1)L

a) (.,

retizacijor

2)x

3)x

SINT

korat

1) (",

'L€.negativar

28

ztaza na

no:

' sin ..r

netode u'io, kaor reSenju:eline nau cel inu.;tupke ilitkrivanjaprimena: nai inatti, pa seja dokaz<i nadin.:, iz kojih

,metiikaaii neje-

Y - I I l

1 ) " ' r l > " l x u, 2

v r

obrazloZenja:

1) (.i; - ̂ [n)' ,o polazni istinit stav (kvadrat realnog broja je

Postupak dokazivanja.

Radi preglednosti postupak iemo prvo izvesti za svaku metodu odvo-jeno, po koracima sa obrazloZenjima.

ANALITIEKA METODA:

koract obrazloie4Tb:

polazna tvrdnja

2) x+g=z\ [xg mnoZenje relacije 1) sa 2

3) x-2, [xg+g>0 oduzimanje z{xg ure lac i j i 2)

/ T - - \ l4) ll ' l x - ,lg ) > 0 primena formule za kvadrat binoma. kor.rk-

retizacijom

SINTETICKA METODA:

koract:

fienegativan)

29

2) x -2"1*g + g > 0 primena formule za kvadrat binoma

3) x+g=2. , [xg dodavanje 2.[A u relaciji2)

q ry>,[*s deljenje relacije 3) sa 2

U simbolidnom zapisu dokaz analitidko-sintetidkom metodom imajednostavan oblik:

=I>., [--rs e x+ g =2.,[A e x-z.[xs + s>oo ( i ; - iu) ' .o

Tvrdnja je tadna na osnovu tranzitivnosti ekvivalencije jer je ona pfvliskaz u lancu u kome je poslednji iskaz tadan.

Analizu koristimo i u reiavanju takozvanih zadataka odredivarrja, ukojima se neito zahteva ili odreduje. Tada analitidkom metodomodredujemo put od traZenog ka datom, od nepoznatog ka poznatom.Naravno, pri tom nije dovoljno samo stiii do datog ili poznatog, ako pritom nije omoguien i reverzibilan postupak, sinteza. Drugim redima, uistraZivanju se moramo ponaiati poput lvice iz poznate bajke, imajuii stalnou vidu povratni put ka polaziStu.

Primer. Proizvodad raspolaZe jabukama I i ll kategorije koje prodajepo ceni od 3, odnosno 7 dinara po kilogramu. Koliko treba kilogramajabuka I i Il kategorije da pome5a kupac ako Zeli da kupi 100 kg jabuka po6 dinara kilogram?

Medu tvrdenjima treba odabrati ona koja omoguiuju postavljanjejednadina.

- To je zbir cena jabuka I i ll kategorije i cene meiavine.

- Treba izraziti pojedinadne cene koitanja jabuka I i ll kategorije, kao icenu koStanja meSavine:

- Ako je broj kilograma I kategorije jabuka ,r', onda je druge I00 - -umeiavina iznosi 100 kg.

odrNal

3x

oda

Daljabuka.

Int

S omoZe stsopstveza izvo<ishoda,iskustvcinteligera dovekmistericda mubez na1misaonzakljuditu svak<intuicijedokazivproblenipak, orpotrebr

Pr4,- 0 .

Po:

Uznam jeovde n,celini. IistraZujr

30

r lma

I > n

a pryl

- i ^ . .

ud ' u:ldomltom.ko prina, U;talno

kao i

0- .u

odaje[amaka po

Odgovarajui i iznosi su: 3xi 7 ' (100 -x), odnosno 6' 100 : 600.

Nakon ove analize, sintezom se dolazi do sledeie iednadine:

3 x * 7 ' ( 1 0 0 - r ) : 6 0 0 ,

odat le se dobi ja x:25.

Dakle, od jeftinije vrste treba uzeti 25 kg, a od skuplje vrste 75 kgjabuka.

Intuicija

S obzirom na ono 5to je dosad navedeno o misaonim postupcimamoze se konstatovati da je za njihovu primenu, ipak neophodno koristiti isopstvenu intuicij-u. Pod intuicijom podrazu mevamo subjektivn i poten cUalza izvodenje zakljudaka, nalaZenje reienja ili nasluiivanje odredenogishoda, os_lanjajuii se na dulne imisaone sposobnosti, kao ina sopstvenoiskrrstvo. Posedovanjem intuicije dovek se najviSe razlikuje od takozvanihinteligentnih maiina. Maiina upotrebom i radom slabi svoje sposobnosti,a dovek, posebno u mladosti, pravilnim radom ih jada. To vaZi cak i za takvumisterioznu sposobnost doveka da mu odredena ideja iznenada "sine", ada mu ni samom nije jasno kako. Ipak, teiko da ce se ta "sijalica upaliti 'bez napona. i energije, tj. nema intuitivnog reienja bez-pretlrcicinogmisaonog, desto i mukotrpnog istraZivanja problenra. Dakle, moZenrozakljuditi da se dak iosnovnipokretad svih otkriia, intuicija, nalazi ali i razvrlau svakom pojedincu. Naravno, rezultat zakljudivanja samo na osnovLlintuicije, ma kako ona bila jaka, uvek mora biti podvrgnut proveravanju idokalivanju. u neophodnost udeiia intuicije pri reiavanju matematitkihproblema mogli smo se donekle uveriti i iz nekih od prethodnih primera,ipak, ovaj odeljak iemo zavriitijoi jednim primerom, za dije reiavanje jepotrebna relativno jaka intuicija.

Primer. Ako je *2 + ** 1 :0, dokazat i da je , t '1000 + r . 1000 l- 0 .

Postupak reiavanja.

Uzoznake: p . *2 + x l 7 : o iq - r '1000+ J . -1000 -F 1 : 0 fo rmalnonam je zadatak da dokaZemo stav: p - q VaZno je odmah shvatiti da seovde ne ispituje istiniiost nijedne jednakosti posebno, vei implikacije ucelini. Imajuii to u vidu, analitidkom metodom treba da ravnopravnoistraZujemo pretpostavkupiposledicu q. Na prvi pogled se vidi da su obt:

,ljanje

3r

jednakosti na levoj strani izrazi po x. Time se nameie zakljudak da im jeosnovni "deo" promenljiva x, 5to upuiuje na ideju da se ona reEiizp i uvrstiu 4 dime bi se formirao lanac ekvivalencija, odnosno izveo kompletandokaz. Medutim, to je za udenike praktidno neizvodljivo jer reienja kvad-ratne jednadinep pripadaju polju kompleksnih brojeva, a zatim ih joi trebastepenovati sa 1000. Zbog toga analizom treba traZiti druge, pogodnije"delove", odnosno lakSi i elegantniji dokaz, u demu dolazi do izraLalaintuicija.

1) Prva ideja dolazi konkretizacijom formula za razliku kubova:

P : x z + x * l = 0 + ( x - l X x t + x + 1 ) = 0 = + x 3 - L = 0 = p , : . x ' i = l

2) Sada postaje jasno da je "pravi" osnovni deo x 3, pa u skladu sa timnastavljamo:

P , : x t : 1 + ( t t ) " t = I + q , : x l o o o = x

3) Sa 2) je analiza praktidno zavriena a transformaciju q lancemekvivalencija je nepotrebno posebno objainjavati, te je samo navodimo usimbolidnom zapisu uz uslov x + 0, sadrZan u pretpostavci:

De:

U csadrZinuosnovnili ravan),

Razl

- reapojma i

- n omina.

Post,

- K aproximut

- Ger

0 dergreike, rprotivredrpreuska,

Osn<pojmovaupoznaju

PRIN

t .5 tKvad

tranidni pgram jerodnosnogao diji sr

2 . Cr

- Rottoga je o'

- Parparalelne

q,x 'u*+ x- '* +l = 0 <+ .r ' * *++ I = 0 <+x'u*

( r ' o * ) t + , t " ' om + l- O e

,- 10001

x ) + x + lX

4) Vraiajuiise na podetnistav, evidentno utvrdujemo njegovu tadnost,to jest dokazano je:

p: x2 + x - l l = 0 = q:xrooo + x-rooo * I : 0

32

- 0

jestianAu -

)atjerja

Definisanje matematiikih pojmova

U osnovi svake. matematidke teorije je. matematidki pojam, dijusadriinu i obim treba odrediti, Jednisa'ti 'onle""'rf"iiiuri

od nekihosnovnih pojmova, kojjse ry defrypg (na prrmer u geomerriji: tadka, pravai ravan), a svi ostalipojmovi se definiiu.-

Razlikujemo:

^^,*l:ulnu (sadrzajnu, suitinsku) definiciju, koja odreduje sadrzaj, suitinupojma I

_,nu. no-tnalnu definiciju, koja objainjava znadenje samog naziva, ter_

Postoje dve vrste sadrZajnih definicija:- Karakteristidne - u njima se jasno istide.-viii rodni pojam (gcnu.s.proximum) i specifidna razlika (drfferentn specrtci)- Cenetidko-opisne, njima se opisuje nastajanje nekog pojma.

-"^"$ôtl::."T T3l"1alc[rr qojmova,u nastavijavljaju se i neke tipicnegresKe' npr.: navodi se pogreSno nadredenr polam, u definicili ima'protivrednosti, iti suviinih ererienata, definiciji j.;;;;br;a]presiroka, iripreuska, javlja se circulus uttiosusitd.

^^,j::".":i^l:ll:lp u metodici formiranja i definisanja matematidkihpoJmova Je samostalnost.udenika, njihovo podsticanje'Ju' lumi otkriju,upoznaju, opisuju, formuliiu.

PRIMERI :

t. Sta je kvadrat?

Kvadrat je romb koji .ima. jedan prav ugao-. Iri, kvadrat je jednakos-traniini pravougaonik. s tim di se pre toga"definise ,;t-ii l;" pararero_gram jednakih susednih stranica, ili i;;;[;;t;";;; ,d",uornuguo,

odnosno pravougaonik, kao pararerogrim sa pravim ugrom, iri cetvorou-gao diji su svi uglovi pravi).

2. Greike u definicijama.- Romb je kosi kvadrat (navodi se pogreian nadredeni pojam, poredtoga je ova definicija i protivredna).

*-__; lu'glglogram je cetvorougao.kome su dve idve suprotne straniceparalelne i jednake ( ima suvi ini6 odrednical .

P E t i l c l i r , xflprpo;1no- ,.

|rxynre- itrrrrrrn- I

33

. - Kruznica je skup tadaka koje su podjednako udaljene od date tadke

(nepotpuna defi nicija).

- Prav ugao je onaj ugao diji su kraci normalni (circulus uitiosus).

.- Pravoqgaonik je detvorougao sa dva para paralelnih stranica(preiiroka defi nicija).

- Paralelogram je jednakostranidni detvorougao (preuska defi nicija).

Zakljuiivanje i dokazivanie u nastavi matematike

Matematidke teorije se izgraduju na bazi nekog sistema aksioma.izuesnog broja logidkih pravila saglasno s kojima se iz aksioma izvodeteoreme. Na osnovu prvih teorema izvode se nove teoreme, pa se takodobije deduktivni lanac teorema koje ulaze u neku datu mitematiikuteoriju.

Aksiomi su polazni stavoviza koje se pretpostavlja da su istiniti.

Teoreme su stavovi koje prihvatamo tek po5to ih dokaZemo pomoiuaksioma i ved dokazanih teorema, na osnovu logidkih zakona. i{ada seistinitost stava obrazlaie na osnovu prihvaienih pretpostavki, koje nisuposebno dokazane, niti su aksiomi, onda se takav dokaz zove izvodenie izhipoteze.

Prema misaonom putu kojim se dolazi do istinitosti tvrdenia neketeoreme, dokaz moZe biti :

- induktivan i

- deduktivan.

Induktivnom metodom naziva se svaki oblik zakljutivanja od pojedi-nadnog ka opStem, odnosno kada se istraZivanjem specifidnih slucajevadolazi do uopitavanja. Medutim, koriSienje indukcije u zakljudivanju nespada u pouzdane oblike zakljudivanja, osim ako je moguie ispitati svepojedinadne sludajeve, odnosno ako se radi o tzv. potpunoj indukciji.

Matematidka indukcija takode spada u potpune indukcije, odnosnosigurno i korektno zakljudivanje. Ona se obraduje u matematici kao pose-bna tema, pa je ovde neiemo razmatrati.

PRIMI

1 . l z2nivou nep

2. Na

1 +3=

1 +31

1 +31

moZe

1 +3r

3. Do3 .

S obznjegovog Ijem svih s

Zadnj,

Zadnj;

4. Tvtprgdstavljt41- ni je pr

Dedulali je ona pna osnovu

- USVC

-usvoj

-ranije

Teorep, qiepot

Pie pl

qietrr

: tacke

s)

lranica

ctja)

sioma.izvodee takoraticku

rmoiuada seie nisutenje iz

l neke

pojedi-rcajevanju neati sveUi.

Inosno) pose,

PRIMERI :

1 . l z 2 ' 3 : 3 ' 2 , 5 ' 6 : 6 ' 5 , 6 . 7 : 7 . 6 i t d . m o Z e s e z a k l j u d i t i n anivou nepotpune indukci je da je a' b:b' a, zasve pr irodne brojeve a i b.

2. Na osnovu sledeiih primera:

1 * 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

1 * 3 * 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

1 * 3 * 5 * 7 : . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

moZe se izvesti verovatno tadan opiti zakljudak:

1 + 3 + 5 + 7 + + 2 n - 1 : n 2

3. Dokazati da se nijedan kvadrat prirodnog broja ne zavriava cifrom3.

S obzirom na to da samo zadnja cifra broja odreduje zadnju cifrunjegovog kvadrata, dokaz se moZe izvesti potpunom indukcijom (navoden-jem svih sludajeva):

Zadnjacifrabrojan: 0 1 2 3 4 5 6 7 B 9

Z a d n j a c i f r a b r o j a n 2 : 0 1 4 9 6 5 6 g 4 1

4. Tvrdenje da za svaki prirodan broj n, izraz P(n) : n2 - n '' 4lprgdstavlja prost broj, opovrgava se kontraprimerom za n:47, jer P(41) :41'ni je prost broj .

Dedukcija se obidno shvata kao zakljudivanje od opiteg ka posebnom.ali je ona pre svega zakljudivanje o istinitosti novih iskaza, odnosno teoremana osnovu:

- usvojenih pojmova iaksioma, il ipostulata,

-usvojenih definicija, novih pojmova,

-ranije izvedenih ili dokazanih iskaza, odnosno stavova.

Teoreme se uglavnom javljaju u obliku implikacije: ako je p, c7 sledi izp, g je potreban uslov za p i sl.

pje pretpostavka (P),

qje tvrdenje (T).

35

Ako se pretpostavka i tvrdenje jedne teoreme uzajamno zamene,dobiiemo obrnutu teoremu, a ako se pretpostavka i tvrdenje zamenesvojim negacijama, dobija se suprotna teorema.

Dokaz teoreme moZe biti:

- direktan, neposredan i

- indirektan, posredan (reductio ad absurdum).

Direktno zakljudivanje je forma u kojoj se istinitost iskazne formuleutvrduje u izvornom obliku, tj. onako kako je zadat. Polazeii od nekepretpostavke, kao tadne, sledi se lanac silogizama, implikacija sve doZeljene posledice.

Indirektno zakljudivanje se zasniva na kontradikciji negacije tvrdenja,pa iz toga sledi samo tvrdenje.

Prema vrsti misaone operacije koja se preteZno koristi u postupku,dokaz moZe biti:

- sintetidki - polazi se od stavova dija je istinitost prihvaiena i njihovimmisaonim spajanjem izvodi se stav kojije trebalo dokazati,

- analitiiki - polazi se od stava kojeg treba dokazati, vrSi se njegovaanaliza i dati stav se svodi na vei dokazane podstavove.

Poznat je i priznat nadin "obaranja" teorema pomoiu kontraprimera.potivprimerom.

Strogidokaziu podetnoj nastavi matematike se ne mogu primerrjivati,pre svega zbog nivoa razvoja deteta. U viiim razredima osnovne ikole i usrednjoj Skoli mogu6nosti za operacije sa apstrakcijama su znatno vece.

U podetnoj nastavi matematike kroz logidko obrazloienje, proveravnjei modelsko eksperimentisanje vrii se psiholo5ka i logidka priprema zakasnije egzaktno dokazivanje teorema.

PRIMERI:

1. Iz tadke A van ravni moZe se povuii samo jedna normala na ravanc[.

P . : A e o , . A e n . n l . c r

Dokaz: Indirektan.

Pretposcx, (pravu n (tadke A iAAArAz imarmogu post(moZe se po

2. Teori sa3 .

Obrnuldeljiv sa 6 (

3. Akoteorema n€a 6 to nije).

ObrnutOva teoren

2 . 4 . 1

Premamatematidnadin:

PodetmatematitodraZavan

Formosnovne i

- Psih

36

Ttene,tmene

"muleneke

/e do

Ienja.

:pku,

ovim

gova

1era.

ivati,e r uce.

Pretpostavimo da kroz tadku A proraze dve razridite prave n a i nt _La (pravu n odreduiu tadke A iAr-proaoinormare n kroz iu*n o, odnosnotacke A i Az-prodor normale nr kroz iavan cr)..M"grti-, o"aa u trougluMrAz imglo.d.va pra.y-a ugla, stol" n"-"grce. Dakle kroz tacku A nemogu postojati dve razridite normare na ravan 0, prema tome kroz tae ku AmoZe se povuii samo jedna normala na o.

i ,u 32. Teorema: Ako je prirodan broj n deljiv sa 6, onda je on deljiv i sa 2

Obrnuta teorema: Ako je prirodan broj deljiv i sa 2 i sa 3, onda je ondeljiv sa 6 (odigredno vaZi ii"or"-ul ouinrtu teorema - proveritir).3. Ako je 3 delitelj nekog broj? n, onda je i 6 rtlirelj brola n. (Ovateorema ne vaZi! Mozemo je o-boriti tontrapiiil;r";,Jj;;eiiier; nroiu r s,a 6 to nije).

obrnuta teorema:1Ako je 6 deriterj broja.n onda je i3 deriterj tog broja.Ova reorerrra je odigtedno tltnu, jei 31" Ilnilu. ul.;L-0.

2.4. Kibernetiike osnove

Prema R. Skempu osnovni procesi kod stvaranja i primenematematidkih pojmova, modera, iematskr se mogu prikazati na sredeiinacrn:

vnjea z a

Podetna nastava matematike neqira svako1lfTltigkih pojmova, vec se zatale i modelski,oorazavanJa relevantnih osobina stvarnosti.

aksiomatsko uvodenieza kibernet icki pr istup

Formiranje mnogih matematiikih modera zapoiinje u niZim razredimaosnovne 5kole, gde se moZe govoriti samo o:- psiholoikoj i gnoseoloikoj pripremi matematidkih pojmova

SPOUNISVET

NOVA SAZNANJAO SPOUNOM SVETU

SVET MATEA1ATIKE

I+MATEMATICKO

RrSrxlr

37

- matematizaciji, modeliranju stvarnosti,

- bitnim karakteristikama pojmova, a ne o njihovim definicijama (odoZivaljavanju pojedinih osobina objekata),

- apstrahovanju nekih osobina stvarnosti, a ne o operacijama saapstrakcijama (predstave o objektima u celini).

Analizirajuii originale spoljnjeg sveta, ili odgovarajudi didaktidki ma-terijal, dolazi se do raznih informacija o predmetu istraiivanja. Zatim se vrieodredena apstrahovanja, izdvajaju se bitne karakteristike konkretnih stvarii stvaraju se novi idealizovani sistemi. Tako se dolazi do matematidkihpojmova, relacija, operacija, do matematidkih modela - do apstrakcijaprvog stepena. Kad je matematidki objekat odreden, u sledeioj fazi sepristupa njegovom izudavanju. Najdeiie se primenjuje matematidka, dakleformalna analiza matematidkog modela, ali dolazi u obzir i simulacija,odnosno modelski eksperiment sa koriSienjem radunara ili bez toga.

Dobijenim reSenjima, rezultatima matematidkih modela treba dati iod govarajuie interpretacije u oblasti origi nala.

Kada i kako ie se definisati odredeni matematidki pojmovi, i kako iese onireiavati, zavisiie pre svega od uzrasnih osobina udenika. lzgradivanjematematidkih pojmova, modela i njihova primena, dakle, vriise spiralno,ali obezbeduju6i kontinuitet i neprotivrednost izmedu niZih i viSih nivoaapstrakcija. Ovaj proces se na raznim nivoima obrazovanja ponavlja. Origi-nali nisu uvek iz objektivne stvarnosti, vei mogu biti i apstrakcije niZegnivoa.

Kibernetski pristup podetnoj nastavi matematike predstavlja savre-menu osnovu nastave matematike u opitem obrazovanju, kako zbogtendencija razvoja informatidkog druStva, tako i iz metodidkih prednosti.

2.5. Didaktiiki principi u nastavi matematike

Polazedi od psiholoiko-pedagoikih, gnoseoloikih i matematidkih os-nova nastave matematike. moZemo definisati nadela. stavove. osnovneprincipe te nastave:

1. Princtp uaspitane usmerenosti, kqi proizilazi iz druStveno i civilizaci-jski postavljenih ciljeva i zadataka nastave matematike, podrazumeva:

- razuijanje psihidkih i intelektualnih sposobnosti (sposobnosti logidkogi racionalnog rasudivanja, razvijenost primene misaonih operacija itd.),

- razv\isistematidnrmotivisanosird.),

- razvtlsimetridnos

- razvijaodludnost, <

2. Prinnauino tumoguinostinaukama. Stako i na sar

3. Printbna Iidnost,alni prilaz srsvojim mogsposobnost

4. Prin<tupnost i sisprostog ka:bez kojih naizlaganje groblika rada

5. Prinrmatematikepreko dulnianalizirajuiiOvaj pristuJstvarnosti i

6. Pringama nastisredstava, Imotivisanodoprineti zrbroj slabijif

7. Prinprogresivn<

3B

jama (o

ama sa

itki ma-n se vrsetih stvarimatickihstrakcija. : r ^ - i ^ ^,J rozr 5c

<a, daklenulaci ja,)ga.

ba dati i

kako ieadivanjespiralno,;ih nivoa1a. Origi-i i p n i i cn

A SAVTC.ko zboq:dnosti.

i ikih os-lsnovne

:ivil izaci-eva:

ogiikogr \\d.),

- razvijanje radnih sposobnosti (zalaganje i angaZovanje u nastavi,sistematidnost i tempo rada, odgovornost, tadnost, preciznost, istrajnost.motivisanost, brzina napredovanja u radu, samostalnost, saradnja r,r grupii td.) ,

- razuijanje estetskih osobina (urednost, smisao za lepo. zasimetridnost, pravilnost i sl.)

- razuijanje moralnih osobina (kriticnost, samokritidnost, odmrerer-rosi,odludnost, demokratidnost, principijelnost, samoinicijativnost itd.).

2. Princtp nauinostl i saurcntenosti - podrazumeva savremenonaudno tumadenje matematidkih pojmova u granicama razvojnil 'tmoguinostiudenika, koje su nauino utvrdene u psihoiogiji i u pedagoikin.rnaukama. Savremenost i naudnost se odnosi kako na nastavne sadrZale,tako i na sam nastavni proces.

3. Princtp lndtuidualizacge i sues'ne aktiunosli. Svaki udenik je pose-bna lidnost, sa posebnostima iinteresovanjima. To podrazumeva iindividu-alni or i laz svim udenicima isvesnu akt ivnost udenika. Svi udenici . Dremasvojih mogudnostima, treba sami da aktiviraju svoje umne potencijale.sposobnosti, da dolaze do odredenih znanja, veitina i navika.

4. Princtp postupnosti i sistenatiinosti. U nastavi matematike pos-tupnost i sistematidnost su medusobno uslovljeni. Od lak5eq ka te2ern. oclprostog ka sloZenom od poznatog ka nepoznatom, to su didaktiika pravil;,rbez kojih nastava rnatematike ne moZe biti efikasna. Sistematsko i loqiinoizlaganje gradiva, kao i nadovezanost odgovarajuiih sadrZaja, metoda ioblika rada posebno su vaZni zahtevi u podetnoj nastavi matemat.ike.

5 Priyctp oitEr/ednosh' lyCirtstua teorye i piakse. U pocetnoj nastavimatematike apstraktne matematidke pojmove udenici treba da izr;radrrjr.rpreko iulnih saznanja, manipuli5uii sa realnim predmetima. odnosnoanalizirajuii neke originale da bi doili do njihovih matematickih modelaovaj pristup nastavi matematike bazira se na odiglednosti, na upoznavanjrlstvarnosti i implicira i politehnidki princip

6. Princip mot[utsanostt. Motivi su medu najjadim pokretaikinr sna-gama nastave matematike. lzborom gradiva, metoda, obl ika, naslavnihsredstava, lidnim stavom nastavnika, i na drugi nadin mo2e se doprineiimotivisanosti udenika za ovaj predmet. ocenjivanje takode moze znacajrrodoprineti zainteresovanosti, a jo5 viSe nezainteresovanosti uienika. Velikbroj slabijih ocena destimuli5e i demorali5e udenike za dalji rad.

1 . Pyinctp mc'lona/nost1. Matematidko obrazovanje po svojoj sustir-ri jerprogresivno i impl ic ira racionalan, ekonomidan i logi ian pr istr rp

39

problemima. Dominacija bitnih aspekata realnog sveta, povezanostsadrZaja koja podrazumeva i trajnost usvojenih znanja, dine nastavumatematike posebnom i izuzetnom.

B. Princtp funkciona/ne zauisnosti. Matematidko miSljenje treba dabude funkcionalno. Ono izvire iz pojma relacije, a zasniva se na obostranoji jednoznadnoj korespondenciji, predstavljaju6i osnovnu polugu matema-tike i njene primene.

U nastavimatematike neophodno je pojave, objekte, njihove kvantita-tivne i prostorne modele posmatrati u funkcionalnoj, stohastidkoj, odnosnokbernetidkoj meduzavisnosti.

Nastavni principi se odnose na vaspitno - obrazovni rad u celini, otudamora da postoji korelacija medu njima. Uspeina primena jednog nas-tavnog principa zavisi od uspeinosti primene ostalih principa. To ujednoznadi da u nastavimatematike moraju bitizastupljeni svi navedeniprincipi.

2.6. Jezik u matematitkom obrazovanju

U matematidkom obrazovanju razlikujemo:

- prirodnijezik i

- matematidkijezik.

Prirodni, govornijezik u nastavi matematike mora biti korektan, preci-zan, jednostavan i razumljiv. lpak obidan govorni jezik nije dovoljan zaizudavanje matematidkih sadrZaja. Nedovoljna preciznost, ponekad i dvos-mislenost govornog jezika, s jedne strane smetaju samoj prirodi matema-tike, a s druge strane komplikovano i nepregledno izraZavanje udinili bimatematiku veoma sloZenom i nepraktidnom. Zbog toga se koristi i jedanposeban, matematidki jezik. To je jezik matematidkih termina kojimaiskazujemo matematidke pojmove, ijezik matematidkih simbola kojima tepojmove oznadavamo.

Zapise redenica matematidkom simbolikom nazivamo formulama.SloZene redenice formiramo od polaznih redenica pomoiu logidkih oper-acija: konjunkcija (n), negacija (-), implikacija (+), ekvivalencija (<+), itd.Red svaki, ma koji, bilo koji izraZavamo univerzalnim kvantifikatorom (V ),a red postoji, makar jedan, batjedan, neki isl. izraZavamo egzistencijalnimkvantifikatorom ( I ).

a)

Re

b)

ReC takar

c)

Maodgovarivaju s

PR1 il . l

Re

2.

l

tkoji st

pravol

40

'ezanost

nastavu

reba darstranoj)atema-

vantita-dnosno

i, otudalg nas-ujednorr incipi .

Matematidki pojmovi se formiraju postupno, a od podetka koristimocldgovarajuie termine i simbole, koji u podetnoj nastavi matematike pok-rivaju samo deo datog pojma.

PRIMERI:

1. Proditati sledeie formule:

a ) ( Y a , b e N ) ( a + b e N )

Re5enje: Za svaki prirodan broj a i b, njihov zbir je prirodan broj.

b) (VA)(VB)(: ICXC: '4w B)

ReSenje: Ako su A i B dva proizvoljna skupa, onda postojijedan skupC takav da je C uniia skupova A i B.

c) (3x)(10 < x' < 20)

Reienje: Postoji x koji je veii, i l i jednak od 10 i manji i l i jednak od 20.

2. Simbolima zapisati:

a) Bar jedan od brojeva xi {/ je razlidit od nule.

Reienje: -(x = 0) v -(Y = S;

b) Unija dva skupa A i B je skup diji su elementi oni i samo oni elementikoji su elementi bar jednog od skupova A i B.

Re5en je : AuB : { x lxe A.zxe B}

c) Ako je prava p paralelna sa pravom q, a prava q je paralelna sapravom r, onda su iprave p i r paralelne.

ReSenje: (p ll q) n (q ll r) =+ (p ll r)

d) Zapisati da je xza tri veii od y.

ReSenje: v:g*3.

l , Precl-lljan zaI i dvos-ratema-i in i l i b ii jedankojima

lj ima te

lu lama.h oper-q \ i t . l

m (v) ,: i jalnim

4 1

"Aienikle tq kojl treba da mls/i l nda lJc:1c

a/ogra nastaunlka se lnoia sDesil' /E ttlogu babicr:"

Socrates

3. NASTAVNE FIETODE U NASTAVI R'TI4'TEN&{TIKE

3.1. Pojam i klasifikacija nastavnih rnetoda u nastavimatematike

Pod nastavnim metodama podrazumevaju se naudno verifikovaninadini i postupci rada nastavnika i udenika u nastavnom procesu radiostvarivanja cilja i zadataka nastave. Na izbor nastavnih metoda utide visefaktora: obrazovno-vaspitni zadaci i struktura dasa, specificnost gradiva,sastav odeljenja u pogledu predznanja i nivoa matematidkog mi5ljenjaudenika, nivo osposobljenristi udenika za sarnostalni rad, uporedne karal<-teristike dobrih i slabih strana nastavnih metoda, sposobnosti i karakteris-tike stila rada samog nastavnika.

U nastavi matematike naroditiznadaj imaju one nastavne metode kojedaju znadajan doprinos razvijanju interesovanja udenika za izucavanjematematike i svesno utidu na usva.janje pojmova i dinjenica, podstiiuintelektualnu aktivnost udenika i razvoj njihovog matematidl<og miSl.ierrga.doprinose izgradivanju navika za samostalan rad i samostalno sticanjeznanja, kao i za racionalne postupke u reSavanju zadataka.

Klasifikacija metoda vrii se na osnovu razliditih kriterijuma: didaktitkogrcilja, spoljne forme, saznajnog procesa, uloge nastavnika i udenika, kao ina osnovu izvora iz kojih ucenik stide znanja. U vreme prvih n-retodiikihreformi tragalo se za jednom univerzalnom metodom. Tako, na primer,Komenski razraduje "Prirodnu metodu", a Pestaloci se izjainjava za univer-zalnu metodu pogodnu za "izobrazbu iovedjeg uma". Danas preovladavamiSljenje da se ni za jednu odredenu metodu ne moZe tvrditi da je najbolia,vei da je u konkretnoj situacif najcelishodnije upotrebiti jednu ili visemetoda. Mi cemo se opredeliti za klasifikaciju u kojoj se metode, uslovnoredeno, dele na tradicionalne i savremene. Tradicionalne metode se klasi-

45

fikuju na tri osnovne metode koje sadrZe metodske oblike i metodskepojedinosti, a savremene metode se dele u dva osnovna sistema. Preciznaklasifikacija, po navedenim kriterijumima, prikazana je sledeiom Semom:

TRADICIOI]ALNE

l.0smeno iraganje

2.Razgovor

3.Rad sa udzbenicima i

priruanicima

4.Pismeni radovi

5.Reiavanje zadataka

Pntanje

Objainjavanje

\rtNaran;e

Programirananastava

Domaai zadaci

Kontrolni zadaci

Matematiaki dildat

Skolski pismeni zadaci

Nastavnikov rad

Polusamostalan rad

Samostalan rad

Takmiaenje

Rad sa sl ikama

Rad sa crtezima

Rad sa tabl icama

Rad sa graf ikonima

Rad sa model ima

Rad sa predmetima

Rad sa pokretnlm i

nepokretnim lilmom

skim oupotrel

Menosti. IdiscipliprerasLna nlvc:\rsK\sputemi nastastraneverbalr

Nato ucerStoga :drugih.tavnikadrugimpojedirmoZe Ipreobri

je onamentoseiar

(II

Urtode atekstuna izlziinjenkoriSiprimeskom

1iziskuj

z:)FagDF

z.J

muU

I Sistem probleruke nastave

1 Stvar ala(ka (\\e\$s$\S\\\SS

2.Otenje putem r6.rvanja problema

3.Uaenje u nastavi otkivanjem -

otkrivaluce vodenle u nastaumatemabke

ll Sistem METODA KIBERNETIKEl Analitiakcsintetiaka metoda

2. Metoda kvantovanla

3. Metoda apstJahovanja iidealizacije

4. Metoda sistematizacrie

5. Metoda analogi je

6. Metoda transformaci.ie

7. Metoda modela

B. Metoda 'crne kut i je '

9- Metoda pokuSala i pogreike

.!t.

a <e Zn utr:< nO En @< x

Sema 1 .

3.2" Tradicionalne nastavne metode

V e r b a l n o - t e k s t u a l n a m e t o d a

S obzirom da je govor komunikativno sredstvo medu ljudima, toverbalna metoda, bilo kao dominantna, bilo u vezi sa drugim metodama,mora naii svoje mesto u nastavi matematike-Sa svojim nastavnin metod-

Nastame Metodsk oblici Metodske Pojedinosu

Ltjboratorijski radovi Rad sa raiunskim masinama

2.Rad na ekperimentu Rad sa specijalnim uredajima

44

i metodskena. Preciznalm Semom:

___lI' 1

,blema

r Probiema

njem -

lstavi

INETIKEletoda

f$ke

l judima, tonetodama,nin metod-

skim oblicima ipoiedinostima ova metoda se u nastavimatematike najiireupotrebljava.

Matematika razmatra kolidinske i prostorne odnose u realnoj stvar-nosti. Iz razrade tih odnosa su nikle algebra, analiza, geometrija, i drugediscipline u matematici. U savremenoj nastavi matematike cilj je 5to brZeprerasti fazu neposrednog utvrdivanja kolicinskih i prostornih odnosa idoiina nivo apstraktnog, tako da objekti nastave postajr: relacije, operacije,strukture. Nastavnik moZe udenikovu paZnju inapor v-ezaliza ove objekteputem redi, govora. Covor je onaj faktor koji prvenstveno vezuje udenikovoi nastavnikovo nastojanje u jedinstveni radni proces sticanja znanja odstrane udenika pod rukovodstvom nastavnika. Otuda u rrastavi matematikeverbalno-tekstualna metoda ima centralno mesto.

Nastavni proces se ostvaruje kroz rad, a rad jednog doveka, bilo da jeto udenik il i nastavnik, nije nikad izolovan, vei se vezuje za rad drugih lica.Stoga se licni rad mora uskladiti, organizovati u zavisnosti od delovanjadrugih. Razredni kolektiv stvara takvu uzajamnu zavisnost izmedu nas-tavnika i udenika, utenika i udenika, koja nameie potrebu saopitavanjadrugima onoga 5to se misli, a to znadi da se subjektivna sadriina svestipojedinca mora preneti na druge dlanove sredine na natin da ta sadrZinamoie biti prihvaiena od svakoga. Sledi: subjektivna sadrZina se morapreobraziti u objektivnu formu.

Funkcija i znacaj verbalno-tekstualne metode proizllazi iz cinjenice daje ona zasnovana na sticanju znanja posredstvom jezika, a jezik je instru-ment objel<tivnog druitvenog izraLavania naiih subjektivnih misli,oseianja, Zelja itd.

(Ismeno izlaganje

Usmeno izlaganje je najstariji metodski oblik verbalno-tekstualne me-tode a u naSoj 5kolskoj praksije neopravdano najraSireniji, iako je verbalno-tekstualna metoda u toku razvoja Skolstva evoluirala i nije se zadrZala samona izlaganju vei se obogatila i drugim metodskim oblicima. Medutim,dinjenica je da mnogi predavadi sa posebnim simpatijama pribegavajukoriSienju ovog nastavnog oblika i onda kad se u datoj situaciji moguprimeniti adelrvatniji oblici. Naklonost mnogih nastavnika prema metod-skom obfiku usmenog izlaganja nastaje iz dva razloga:

1. Pripremanje dasova na kojima se eksploatiSe usmeno izlaganjeiziskuje kra6u metodsku pripremu nego kad se koriste drugi metodski

A A

oblici. Na bazi poznavanja gradiva nastavnik moZe da osigura tok dasa,naravno, bez onih kvaliteta koje bi imao kad bi se strudna priprema dasapovezala sa metodidkom pripremom.

2. Lakie je organizovati transponovanje znanja na udenike putemizlaganja gradiva nego organizovati proces sticanja znanja kroz zajednidkirad nastavnika i udenika.

Metodidka zastranjivanja koja se ogledaju u zloupotrebi usmenogizlaganja, ne znade da usmeno izlaganje a priori treba negirati, eliminisatiiz Skolske prakse i pore6i njegow opravdanost u odredenim situacijama.KoriSienje usmenog izlaganja je opravdano i nuZno u svim onim situaci-jama u kojima udenici treba da steknu takva nova znanja koja im nisupristupadna putem zajednidke obrade sa nastavnikom, znanja za dijeshvatanje ne postoje elementi u dotadainjem iskustvu udenika, odnosnou svim onim prilikama u kojima ne postoje nikakve druge moguinostidase udenik informiie, sem usmenog izlaganja nastavnika. Zatim se moZekoristiti usmeno izlaganje prilikom svih ilustracija i demonstracija, dijerazumevanje iziskuje posebno tumadenje.

lzlaganje se moZe javiti kao pritanje, objainjavanje ili predavanje.Pridanje u podetnoj nastavi matematike se javlja kao okvir za neki problemili kao tekst u koji se ukljucuje numeridki zadatak. Medutim, usled sve jaieurbanizacije i kontakta udenika sa masovnim sredstvima komunikacije,mnoge koriSiene pridice izgledaju za udenika naivne, neinvetivne, StaviSetekstualni zadaci sa veitadki nakalemljenim pridama mogu prikritimatematidku sadrZinu zadatka.

Uz ogranidavanje pride, u nastavi matematike kao najfrekventnijametodska pojedinost nastavnikovog izlaganja javlja se objainjenje. Razlikaizmedu objainjenja i predavanja je u vremenskom trajanju. Objainjenje 1ekraie, odnosi se na uZe pitanje, dok je predavanje kontinuirano izlaqanjenastavnika o nekoj Siroj temi, a takvih skoro da nema u podetnoj nastavimatematike.

Opite norme pravilnog izlaganja su poznate iz didaktike (logitnost,povezanost, sistematidnost, prikladan reinik, jasan stil, interesantnost,problemski karakter sadrZine, nadovezivanje na poznato itd.).

Prilikom izlaganja gradiva istovremeno se odvijaju dva psihidkaprocesa: jedan je proces pruZanja znanja od strane nastavnika, a drugijeproces primanja znanja od strane udenika. Ako pM proces implicira drugi,onda se metodski das odvija uspeino i obratno. Osnovni problem ovoometodskog oblika je u tome 5to nast-avnik nema sigurne indikatore o tojimplikaciji. Problem je u kontrolisanju drugog procesa: proces usvajanjaznanja od strane udenika. Naime, kod ovog metodskog oblika je najveca

verovibi sepruZarpreda'

Pisaglecudeniltike ntsvodepredsl

eranjaaktivnobjairposebmater( a n e tnasta\u kasSkolsksmatr,izraza,odno:pravoj

Vstrudrprimenasta'niku.

I

teikcpraitnastzzadalodrer

46

k iasa,ra dasa

putemedni ik i

;menogninisaticijama.si tuaci-m nisuta i i ie

dnosnorosti dae mozelja, cije

lavanje.roblenr;ve jacerikacrle,itaviiepr ikr i t i

'entnijaRazlikaienje 1e:aga nienastavt

icnost,rtnost,

;ihickarugi jedrugi,r ovoql o t o j'ajanjaajveca

verovatnoia da se udenikova aktivnost polarizuje izmedu dve krajnosti. Dabi se potpomoglo odrZavanje bolje korespnodencije izmedu procesapruZanja znanja i procesa primanja, nastavnik sastavlja kraie teze svogpredavanja, njih zapisuje na tabli a udenici ih beleZe.

Pisanje osnovnih teza je sastavni deo izlaganja. Orre pomaZusagledavanju najbitnuih ideja, pojmova odgovarajuie teme i usnreravajuudenikovu paZnju na najglavnije elemenle. Naravno, one u nastavi matema-tike nenraju onu formu kakvu irnaju u narativnim predmetima, vec se vi5esvode na notiranje novih pojnrova koji ie se obraditi, i l i mogu pone[<adpredstavljati i plan reSavarrja nekog zadatka, problerna"

Cak i pravif na upotreba iziagarija moZe da podbaci zbag brzog zantaranja udenikove paZnje, pogotovli kod mladih uienika, tija se nrisaoir.raktivnost izrazitije naslanja na fizidkr-r al<tivnost. No i pored izlo2enih rezervi.objainjenje, narodito kraieg karal<tera, ima svolu obrazovnu vrednost.posebno u sludaju formiranja specifiinog jezika matematike. Jezik nastavematematike je ident idan na svakom ntvou u svoj im osnovnirn pr inr: ip inra(a ne u obimu svoje leksike). Znati od prvih dasova matematicke nast(rvenastavnik koristiiste strurdne izraze (plus, minus itd.) koje ie ucenir:i srestiu kasnijoj nastavi i koji su svojstveni matemaiici, a nisu produkt rrekeSkolske matematike, odnosno Skolske terminologije. Medutirn, ne trebasmatrati Skolskom terminologijom sinonime pojedinih matematiil<ihizraza, niti izraze koji su u toku razvoja zamenjeni pogodnijim izrazirnii.odnosno odgovaraju odredenoj interpretaciji (na primer: "laika le2i napravoj" ustupa mesto tekstu "tadka pripada pravoj")

Van domena metodidkog rada je zauzimanje stava u sluiajevima l<.rdstrudna terminologija nije ujednadena medu samim matenraticarima (ntrprimer: jednakostranidan trougao ili ravnostrani trougao). U takvoj siluracijinastavnik uglavnom reprodukuje struine izraze koje je zatekao u Lrd2l-;e-niku.

Razgovor

Uporedujuii metodidku vrednost usmenog izlaganja i razgovora. ni;eteiko zakljuditi da razgovor iziskuje mnogo ve6u aktivnost kod uienika nesopraienje nastavnikovog izlaganja. Udenici znaju da zakljudke nece dalinastavnik, vei ih oni moraju sami stvoriti, i to ih motiviSe da tadno izradezadatke ida pokuiaju otkrlti neke pravilnosti. Otkrivanje ili bar naslucivanjeodredenih pravilnostije prvi korak ka uvidanju matematickih apstrakcija

47

U matematici apstrahovanje - formiranje pojmova - nailazi na izvesnute5koiu. Prilikom formiranja iskustava udenika proces apstrahovanja sespontano odvija. Posmatrajuii skup predmeta, udenik izdvaja njihovezajednidke odlike. Kod matematidkog apstrahovanja ne raspolaZemo ni-zom objekata i analiza se svodi na nekoliko objekata. Spontano us-meravanje paZnje mora se zameniti akcijom nastavnika da pobudiinteresovanje udenika i time osigura njihovu aktivnost. Realizacija dasaputem razgovora dovodi udenika u situaciju da se u, odnosu na pitanjanastavnika, nade pred novim zadacima pred kojima se ne moZe odnositipasivno, vei mora da uloZi izvestan intelektualni napor, da ispituje, dazakljuduje, da raduna, da stvara hipoteze, da daje predloge. Nastavnikovaje funkcija da suzi obim hipoteza, predloga, u cilju pobliZeg odredivanjatoka rada. Razgovor treba da je tako komponovan da se pitanja nastavnikadirektno nadovezuju na isticanje cilja, te udenici u radu ne tapkaju u mrakuod etape do etape, vei njihova teinja da otkriju, predstavlja radni proces.Ovo osiguravanje osmiSljenog radnog procesa od strane nastavnika pred-stavlja elemenat sprovodenja pravilnog razgovora. Njega nema ako sepitanja ne postavljaju na pogodan nadin, u pogodno vreme, u pogodnojformi i sa pogodnom sadriinom. Nadin postavljanja pitanja predstavljaosnovni problem metodskog oblika razgovora"

U metodidkoj literaturi (pogotovo u didaktidkoj) razgovor se tretira kaometoda, oblik nastave, nastavni metodski oblik pod raznim imenima:katehizijska metoda, heuristidka, dijaloika, sokratovska, erotematska. raz-vojna metoda, metoda ponovnog otkrivanja (methode de redecouverte),metoda pitanja-odgovora itd.

Rekli smo da se nastavnikovo izlaganje primenjuje u sludajevima kaclse nastavnik ne moZe osloniti na vei stedena iskustva udenika. Ova semisao, kad je red o nastavi matematike, u izvesnoj meri neito modifikuje,te pod iskustvima treba podrazumevati ona znanja iz kojih logidkimrasudivanjem udenik, usmeravan pogodnim pitanjima nastavnika, izvodinove stavove, proiiruje svoja znanja.

Osnovne odlike razgovora su:

- na osnovu jasno naznadenog cilja i istaknutog problema razredsvesno udestvuje u razradi gradiva,

- u toku pravilne primene razgovora dijalozi se ne razvijaju izmedujednog udenika i hastavnika, vei razred kao kolektiv udestvuje u razgovoru,

- u toku razgavara kolektivan rad se spaja sa pojedinadnim, jer urazgovoru udestvuje ceo razred, a na pitanja odgovara pojedinac, onaj kogapo metodidkoj situaciji odredi nastavnik, a ne onaj yko hoie da odgovarair,ko diZe ruke ilipo nekom drugom tradicionalnom izboru,

- r ine sankoji uti.na raclnastavltavnidl.pravlje:

Ri

Rana dorelemetda sarospos(nastavdita terazredi

Krgradiv,

tProcelPogo(kori56elemeje bitrvrem(precizpaZnjtobrazosPo:brZe s

tgradi'raSdl:udZbrpitanodabusm(

48

zl na IZVesnuahovanja sevaja njihoveola iemo ni -)ontano us-da pobudi

lizacija dasar na pitanjarZe odnositiispituje, daastavnikovaodredivanjal nastavnikaaju u mrakurdni proces.ivnika pred-ema ako seu pogodnojpredstavlja

e tretira kaor imen in ra :natska. raz-lecouverte) .

t jevirna l<aciika. Ova semodifif<uje.h logi ik imnika. izvodi

:ma razred

aju izmedurazgovoru,

1nim, ;er u, onal kogardgovarai .

- razgovor omoguiuje izmenu miSljenja, diskusiju i postavljanje pitanjane samo od strane nastavnika vei i od strane udenika. SuStinski elementkojiutide na metodidki kvalitet razgovora, na nadin kako se on organizuje,na racionalno koriSienje vremena u toku razgovora, dine ona pitanja kojanastavnik postavlja razredu. lzvesne analize metodidkog karaktera nas-tavnidkih pitanja pokazuju da vrlo malo ima takvih koja se odnose napravljenje plana reiavanja zadataka.

Rad sa udZbenikom

Rad sa udZbenikom za usvajanje novih pojmova na dasu je, u odnosuna dosadainju nastavnu praksu, metodski oblik kojim se unose novielementi u nastavu; to je metodski oblik kojim se udenik stavlja u situacijuda sam radi, da sam formira svoju matematidku kulturu, a ujedno seosposobljava da se sluZi udZbenikom, strudnom knjigom. U podetnojnastavi rad sa udZbenikom je uslovljen osposobljenoSiu udenika da tednodita tekst, 5to pomera koriSienje ovog metodskog oblika tek od treiegrazreda ( eventualno detvrtog) osnovne 5kole.

KoriSienje udZbenika u nastaviima dvojaku namenu: da udenici nauiegradivo ida pri koriSienju knjige uodavaju ono Sto je vaZno u tekstu.

Da bi se u nastavi na dasu mogao ostvariti rad sa udZbenikom. trebaproceniti da lije konstrukcija udZbenika u celini il i u pojedinim odeljcimapogodna za ovakav rad. Udenik koji pristupa obradi gradiva putemkoriS6enja udZbenika, ne poznaju6i problem u celini, ne zna koji su onielementi na kojima se zasniva nastavak rada i ne uodava odmah ono 5toje bitno u problemu. Da ne bi bio izloZen lutanju i neefikasnom troienjuvremena, za ovaj oblik rada nastavnik daje odredena uputstva u kojima seprecizira ono 5to je vaZno i na 5ta treba udenik prvenstveno da skrenepaZnju. Ovo ukazivanje na vaZne elemente, izdvajanje bitnoga, nema samoobrazovni znadaj, ve6 odraZava i vaspitnu funkciju nastavnika: to jeosposobljavanje udenika da se sluZi tekstom i da u tom tekstu 5to lakse ibrZe sagleda ono 5to je bitno.

Davanje uputstva se ostvaruje na sledeii nacin: nastavnik odmerigradivo koje treba na jednom dasu obraditi i raidlani ga na etape. Toraidlanjavanje na etape pribliZno treba da odgovara artikulaciji gradiva uudZbeniku. Zatim proudi tok izlaganja u udZbeniku i pristupa sastavljanjupitanja na koja udenik treba da pronade odgovor iz knjige. Pitanja su takoodabrana da kao celina daju osnovne teze proudavane teme. Pitanjima seusmerava rad udenika isasvim odredeno im se ukazuje na to kojim redom

treba da proudavaju gradivo i u kom obliku ie se od njih traZiti prikazmaterijala. Nalaze6i se pred konkretnim radnim zadatkom, uienik morasve napore da uloZida biga za odredeno vreme reiio.

Sastavljena pitanja nastavnik ispisuje na tabli ili ih prethodno umnoZi isvakom udeniku da listu pitanja, naznacuje stranice udZbenika na kojimase ona obraduju.

Rad sa udZbenikom nije izolovan nastavni metodski oblik, vei senuZno kombinuje sa razgovorom koji treba da usledi po5to ucenici. svakiza sebe ili po grupama, prouie materijal iz knjige. Razgovor se odvija oonim pitanjima koja je nastavnik zapisao na tabli. Udenici reagr.rju napogreSno shvaiene pojmove od strane pojedinaca i u toku diskusijeispravljaju greike. Nastavnik usmerava ovaj razgovor i stara se da se nakraju rezimiraju stedena znanja. Za obradu novog materijala planira sevreme najduZe do 25 minuta, dok se ostatak vremena utroSi na razgovoro pitanjima.

Rad sa udZbenikom rede se primenjuje nego razgovor, jer je on vezanza didaktidki kvalitet udZbenika. Domet njegove primene ograniiava i tadinjenica 5to se oblik izlaganja u udibeniku ne moZe adaptirati trenutnojsituaciji, dok se konstrukcija razgovora uvek moie saobraziti predznaniuudenika. KoriSdenju rada sa udZbenikom nastavnik mora obazrivo prici.odmeriti da li za obradu odabranog gradiva udenici raspolaZu dovoljninrpredznanjem.

Pravilno organizovan rad sa udZbenikom zahteva:

1. da u udZbeniku odgovarajuia tema bude pogodno obradena.

2. da nastavnik studiozno odabere meterijal namenjen obradi saudZbenikom;

3. da pravilno odmeri nivo prethodnih znanja uienika i da u slrrc;r;upotrebe niveli5e taj nivo shodno sadrZini onoga 5to ie obraditi;

4. da adekvatno razradi pitanja kojima se ukazuje na vaZne pojedinoslri da naznadi gde treba u udZbeniku traZiti odgovor;

5. da nastavnik pri metodidkom planiranju dasa predvidi i vremenskctrajanje razgovora koji se nadovezuje na obradu ida u svom planu razr i:ditok ovog razgovora.

I na kraju dodajmo da svaka improvizacija u pot.punosti rnoZe dakompromituje ovaj metodskioblik i da nanese viSe Stete nego da r-rd2benikuopite ne koristimo.

U r apM Pogluzme u (za koje jelemenaobzir i nprogralTodnosn<bogatuinformisza samoiz oblastsamo unastavi.

Prolkojem svremenine otkrpedago:metodiitavnih 1znanja iprocesiostvarNtj. otkritsadrZinceline.algorittmodelidovoljrteorijslPostavodredtoPera(dokaztu smimaterprogr(modeusvaje

PPra6e

50

prikazmola

rnozi Iro1inra

/CC SE

. svakiJvija o.lJu na;kusijese na

r t o 5 c

zgovor

I Vezar)rva I tarnutnojlznan jLrr pr ic i .,roljninr

U rad sa udZbenikom moZemo svrstati i programiranu nastauu. Naprvi pogled ne uodava se opravdanost takve klasifikacije' Medutim, ako seilzmb foUrir da se programirana nastava izvodipomoiu maiina za uienjeza koje je potrebno sastaviti Program, onda je odmah jasno da je bitanelemenat programirane nastave program a ne ma5ina, a uz to uzimajuci uobzir i naSe uslove, ona se obidno izvodi bez maiine, tj. samo pomoiuprograma (pisanog materijala). Programi sumarno dine jednu knjiiicu,odnosno posebnu vrstu udibenika. Danas programirana nastava imabogatu bibliografiju koja je nastavniku pristupadna i iz koje se moZeinformisati o nadelnim pitanjima te nastave i time se teoretski osposobitiza samostalno konstruisanje programa. Osim toga programiranih sekvenciiz oblasti matematike danas je sve vi5e. Stoga iemo ovde za orijentacijusamo u najkraiim crtama izloZiti osnovne informacije o programiranojnastavi.

Programirana nastava je nastala iz potrebe da se nade izlaziz stanja ukojem se nalazi nastava usled sta\nog porasta gladiva i ogtan\tenoqvremena kojim se raspolaZe za njegovu obradu. lzrazprogramirana nastarrane otkriva niSta od sadrZine, vei naiin njegove upotrebe ranije upedagoikoj praksi, a i u matematici, navodi na pogreina tumadenja. Umetodidkom smislu programirana nastava ne oznadava sastavljanie nas-tavnih programa, vec ona oznadava programiranje procesa usvajanjaznanja i nastavnikovog delovanja, polazeii od pretpostavke da se psihickiprocesi, postupci, kao i njihov razvoj mogu usmeravati. Prema tomeostvarivanje programirane nastave sadrii otkrivanje zakona usmetavanja,tj. otkrivanje elemenata procesa usvajanja znania, \ogitkih veza u nastavnoisadriinii najce\ishodnijegnatina razb\jania g\adi\ano e\emento\ne \ogi(\itce\ine. Te \og\Lke ce\\ne mogu bit\ pojmorr\, misaone operaerie. mode\i,algoritmi. Programirana nastava iz kibernetike preuzima takozvani metodmodeliranja. To se sastoji u tome da se jedan dokazni proces raiilanr nadovoljno elementarnih operacija i razradi se njihova struktura. Na osnovuteorijskih rasudivanja, posmatranja - u sludaju potrebe i eksperimenata -postavlja se hipoteza o odgovarajuiem dokaznom procesu, a to znaiiodreduje se koje operacije kojim redom se izvode. PronalaZenje ovihoperacija i njihove strukture - to je ustvari izgradivanje modela jednogdokaznog procesa. Pri ovome izraz operacija odnosi se na misaone pfoceseu smislu elemenata koji korespondiraju sa pojedinim delovima nekematematidke operacije kad se ona raidlani. Prema tome sastavljanjeprograma zahteva dobro poznavanje nastavne prakse, kako bi odgovarajucrmodel bio sadinjen od takvih operacija koje najvi5e odgovaraju procesLrusvajanja znanja od strane udenika.

Programiranom nastavom nastavna metoda se ne mehanizujePraienje psihidkog procesa kod udenika je sastavni deo nastavnikove

ia:

rradi s;r

s lLtca;r I

edino: i r

net : ;kcr razr ac l i

roZe <1ad2beni l i

5 t

aktivnosti i dini deo proveravanja hipoteza. Ono je omoguieno ako"povratno sprezanje" dobro funkcioniSe.

Sultina programirane nastave je u tome lto se nastavna grada raidlanina male celine. Celine sadrze nekoliko objainjenja iz kojih rezultira pitanjena koje udenik treba da odgovori. Ako odgovor nije ispravan, ucenik ievraia na ponovno izudavanje iste il iprethodne celine. ove kratke celine serasporeduju u takozvane "kadrove". Materijal na kadrovima je izloZen postrogo logidkom redosledu, a broj kadrova kojisadinjavaju temu je relativnoveliki.

Razlikujemo dve vrste programa:

Prvi, takozvani linearnisistem se pripisuje ameridkom psihologu Scin-neru. Po ovom sistemu sval<i kadar se deli na dva dela - levi i desni. S levestrane se nalaze tumadenja, a sa desne strane su odgovori koje uienikupoznaje tek poito je odgovorio na pitanje da bi kontrolisao pravilnost svogodgovora. PrilaZemo jedan kadar linearnog programa o skupovima:

1. Sa skupovima moZemo vriiti operacije. Jedna takva operacrla jeunija dva skupa. Znakza uniju je u. To je onaj skup koji sadrZi sve elementedat ih skupova. Na pr imer : da t i su skupov iA : {a ,b } ;3 : {c ,d } . Tada je

C : A U B : { a , b , c , d }

A r - - , B :

Na i i C :AuBako jeA : { 1 ,2 i , 3 : { 2 ,3 } C : [ ' t , 2 . 3 ]Na i iC :AwA C :A

Na i i C : AuA C : A

3. Presekom dva skupa naziva se skup koji sacinjavaju elementi kojipripadaju ijednom i drugom skupu. Znak za presek je n. Na prinrer':

A : { a ,b } , B : { a ,e } . Tada je

c :AnB={a }

4. Dati su skupovi: A : { 1,2,3,4,6,8,12,211

B : { 1 ,2 ,3 ,4 ,6 .9 .12 ,18 \ l

N a i i C : A n B

Drugi sistem je Crauderov; to je takozvanipotpuniji i udeniku daje podrobnije informacije

2 . N a d i u n i j u s k u p o v a : A : { 1 , 2 } , 3 : f 3 , 4 }{ 1 , 2 , 3 , 4 }

razmlsizloZerili-CetipredslUdenilkoju tpravilr

IsvojeProgrfmenobi trelkolektmater

Riomogradneuglavrsveskt

J rnapuiradnirudZbemateltekstzakljuprimesteknonimida dctreba

C : I l , 2 , 3 ,4 .6 .121

sistem, koji jega pokrece na

aI

Il

\racvastii viie

52

eno ako

I raiclania pitanjecenik seceline seloien porelativno

'gu Scin-ri. S levee ucenikrost svogna:

:racija je:lemente. Tada je

\ t , , B :

, 3 ]

renti kojit e f :

4 , 6 . 1 2 i

, koji jerece na

razmiSljanje. Ovde kadrovi izgledaju ovako: na jednom kadru pitanje jeizloZeno sa 20-50 redova. Na zavrietku kadra daje se viie odgovora (obidnotri-detiri), od kojih je jedan tadan, a ostali su pogreini. Pogreina pitanjapredstavljaju one gre5ke koje bi udenici, sa najviSe verovatnoie, udinili.Udenik bira jedan odgovor. Pored svakog odgovora daje se broj stranicekoju udenik treba da pogleda i na kojoj je dato objainjenje greike a ipravilnog odgovora.

Moderna nastava matematike zahteva da progranrirana nastava nadesvoje mesto u 5koli. U naSim uslovima to ie se ostvariti ne u vidu uvodenjaprogramirane nastave kao iskljudivog nadina rada, vei njenom povre-menom upotrebom u vidu programiranih sekvenci. Te sekvence po pravilubi trebalo da izraduju posebne ekipe (instituti), no danas u ambicioznimkolektivima vei same strudne grupe izraduju odredene programiranematerijale.

Radne liste i radne sveske su nastale iz nastojanja da se uienikuomoguii samostalno formiranje sopstvene matematidke kulture. lzmeduradne liste i radne sveske nema strukturalne razlike. Poiedinadni listovi. koieuglavnom sastavlja nastavnik pa ih umnoZi, mogu se povezati u jednusvesku.

Jedno obeleZje kvalitetnog usavriavanja udZbenika ogleda se unapuitanju takozvanih informativnih udZbenika i u njihovom zamenjivanjuradnim udZbenikom. Krajnji domet radnog udZbenika je programiraniudZbenik. Suitina radnog udZbenika je u tome ito vodi do otkrivanjamatematidkih sadrZaja (pojmova, definicija, formula itd.). Uienik iitajucitekst postavlja pitanja, il i posmatrajuii odredene crteZe izvodi izvesnezakljudke. Te knjige sadr2e i zadatke na koje, prilikom reiavanja, ucenikprimenjuje svoja znanja. Medutim matematicka saznanja ucenik nroZe dastekne i reiavanjem takvih problema u kojima na datim slikama, grafik-onima treba da dopuni elemente, da dopuni sam crte il i slicnim akcijanrada dode do izvesnog zakljudka. Na primer, daje se zadatak u kojem uceniktreba da dovrii crteZ i da pronade zakon pridruZivanja elemenata:

B

O r o

O . 1

53

Da bi se omogu6io rad i na ovakvim zadacima, a pritome da se izbegneprecrtavanje iz knjige, udeniku se daje gotov radni list ili radna sveska.

Medu radnim listama i testovima ipak ima bitne razlike. Radne listesluZe da uienik njihovom upotrebom stekne nova znartja ili utvrdi pos-tojeia, dok na testovima on treba da potvrdi svoje znanje (ako je rec otestovima znanja), tj. test je merni instrumenat sa pretenzijama objektivnogkaraktera kojim se utvrduje dostignuie u matematidkom obrazovanjuudenika.

Pismeni radovi

Matematika kao nastavni predmet odlikuje se jednom karakteristikonrpo kojoj se u mnogome razlikuje od ostalih predmeta. Ta karakteristika seogleda u okolnosti da se veii deo aktivnosti u nastavi ovog prednreta odvijau pismenom obliku. Odnos dela nastave koji se odvija u nepisanom ipisanom obliku, u prvoj fazi podetne nastave ide u korist usmenog oblika,no postupno pismeni oblici rada zauzimaju sve viSe mesta. Tradicionalnametodika je razradila opdte principe organizovanja odredenih metodsl<ihpojedinosti pismenih radova. Stoga se ovde neie govoriti o funkcrjrdomaiih zadataka, kontrolnih zadataka i klasidnih pismenih zadataka.

Na ovom mestu od pismenih radova izloZiie se pitanje takozvanogmatematidkog diktata, koji kao elemenat savremene nastavne matemalil<ezasluZuje odredenu painju posebno u kasnijoj fazi podetne naslavermatematike.

Matemetidki diktat je opravdan sledeiim faktorima: matematika imasvoj specifidan stil i jezik - pa ako ga ima, onda se na ovaj jezik nloZeprevoditi kao 5to se i sa njega moie prevoditi. Ovo prevodenje govornoqjezika na matematidkijezik il i obratno, realizuje se putem matematiikocldiktata. Neosporno je da je u matematici bilo i do sada ovakvih prevodenja.kao 5to je postavljanje jednadina pri reiavanju tekstualnih zadalaka(problema), no ono nije bilo u sistematskom obliku, nitije bilo posebnouveZbavano.

Posebna matematidka simbolika, a pogotovu njeno bogatstvo u mod-ernoj matematici, te impliciranje elemenata matematitke loqike, daiuposebnu aktuelnost matematidkom diktatu. Diktat se ostvaruje r-t cjvaPravca:

1. Nastavnik diktira tekst koji utenici zapisuju u obliku formula,jednadina, simbola.

2 . N izapisuju t

U sklDiktattreu grupu l

Sho<Zbir brojrrazlike brpodeli sapromenlodgovarisvako x I

Naslumestopodeliti .pravom:tih reierie uradinapisanPrednostome 5t,reagovakontinumatemipoito rmetodi,

lltt

Kzmatena i k a spostetmenastava i

Dza obkonstl

t r A

ie izbegne/esKa.

adne listeivrdi pos-r je rec orjektivnograzovanju

erist ikonr. . i ^ l ; 1 , ^ ^ - .r r ) L l n d 5 c

eta odvija, isanom irg obl ika.ic ionalnaretodsl i ihr f unkc i l rr ta ka.

(ozvano. ltemat i l r inaslav(l

ttika ini,rlk moze_go\o{i\(lq)matichogevodenja.zadata kaposebno

'o u mod ,ike, da juqe Lr clva

formula.

2. Nastavnik dita izraze, operacije, jednacine, simbole a uienici tozapisuju u vidu teksta u svesku.

U sklopu jednog diktata treba da budu zastupljene obe varijante rada.Diktattreba da traje 10 -15 minuta, te u izvesnom smislu moZe da se uklopiu grupu kontrolnih zadataka.

Shodno ovome nekijezidki tekst bi, na primer, mogao da glasi ovako:Zbir brojeva a i b je c.Za dva uveiati razliku brojeva a i b. Koliinik zbira irazlike brojeva a i b je c. Kvadrat trostrukog zbira bi'ojeva a i b. Ako se apodeli sa b, kolidnik je c, a ostatak d. Zbn se ne menja ako se red sabiral<apromeni itd. Dalje, u vezi sa ovladavanjem pojmovinra iz teorije sl<upova iodgovarajuiom simbolikom, moZe se konkretizovati ovakav diktat: 'Za

svako x koje pripada skupu A" il i neito slidno.

Nastavnik moZe ostvariti i jednu drugu varijantu ovog rada. Nairne.umesto da diktira tekst, on ga moie napisati, umnoZiti i svakom ucenil<Lrpodeliti jedan list koji ie biti podeljen na dva dela jednom vertikalnonrpravom: sa leve strane ie biti redenice napisane govornim jezikom. Prevodtih redenica, tj. ispisivanje matematidkom simbolikonr (jezikoml ucenik6e uraditi na desnoj strani. Zatim ie u nastavku sa leve strane biti tekslnapisan matematidkim jezikom, a udenik ie pisati prevod sa desne stran€)Prednost diktiranja nad dodeljivanjem unapred napisanog teksta jeste utome 5to nastavnik podeiavanjem brzine diktiranja moZe da utiie i na br2,c-:reagovanje udenika, no ukoliko pak prebrzo diktira, udenik ce iz5tubitikontinuitet pisanja i demoralisaie se u radu. Sastavljanle tr:listamatematid.kog drktata nije laka stvar, vei iziskuje ozbi)jne pripreme l'1opoSto maksimalno angaZuje udenika, matematitki diktat ima odreclerrLrmetodidku vrednost te zasluZuje ozbiljnu paZnju.

Ilustrativno - demonstrativna metoda

Kao metodsku pojedinost zbog posebne aktuelnosti u podetnol nastavimatematike, prvo iemo pomenuti upotrebu slika. UdZbeniciza prvi razrecl.a i kasnije obiluju slikama. U podetnoj nastavi matematike rad sa slikanrapostepeno zamenjujemo koriicenjem crteZa, grafikona i tablica Sirir pri-mena ove metode omogucena je pojavom savremenih nastavnih srecjstava i raiunara.

Demonstrativni radovi u podetnoj nastavi matematike su bitni ne :;i)rrr()za obradu pojmova iz geometrije, vec izvedeni pogodnim materij,rlinrakonstruisanim specijalno za obradu odredenih pojmova, inraju zrra(ajnu

55

funkciju i u nastavi aritmetike i algebre. Tako, na primer, kao didaktidkimaterijal koristimo logidke blokove, Stapiie, radunska pomagala, udila zamerenje figura itd.

Laboratorijsko - eksperimentalna metoda

Apstraktnost matematidkih pojmova iskljuduje eksperimente i manipu-laciju njima u fizidkom smislu, a dolaZenje do matematidkih pojmovadominantno je zasnovano na prirodnim modelima realnog sveta . Zbogtoga se laboratorijsko-eksperimentalna metoda relativno malo primenjujeu nastavi matematike. To, naravno, ne znaii da se didaktidki materiiali isavremena nastavna sredstva malo koriste, vei da je njihova Siiokaprimena ostvarena uglavnom putem drugih metoda . U podetnoj nastavimatematike, upotreba didaktidkog materijala kao 5to su logidki blokovi,5tapi6i, radunska pomagala, udila za merenje figura itd., sadrZi elementeeksperimentalnog, odnosno, laboratorijskog rada. Takode koriSienjeradunara i obrazovnog softvera u nastavi matematike izuzetno moZe imatikarakter eksperimenta.

3.3. Savremene nastavne metode

Sistem problemske nastave

Zalaganja za problemski pristup u nastavi matematike poticu od prvihreformi tradicionalne nastave. S. Prvanovii naglaiava vodecu ulogustuara/aike metode problema, koja omogucuje udeniku da samostalnoizgraduje matematidke strukture. Pri tom on smatra da se matematiakasaznanja ostvaruju kroz vodenje matematidkog obrazova nja pos red stvo n-rmatematidkih sadrZaja. 0 pristupu vodenja matematidkog obrazovanja ovametoda respektuje kibernetidko gledanje na nastavu kao upravljiv proces.Pri tom problem je tako odmeren i komponovan da izaziva ideje i noveprobleme, 5to je znak da se udenici dobro vode.

S druge strane, ako se za svaki novi problem traZi uzor u ranije re(enimproblemima, onda se i ne radi o problentskoj na.stauivec o asocijativnomudenju. Prethodno stedena znanja imaju znadajnu ulogu u novoj problem-skoj situaciji tek ako su usvojena odgovarajuiom procedurom i upotre-bljena ne samo da se potvrduju vei i proiiruju.

:IiI

I

r

t

;

pfl

51

iz1ttZ'

p

pI

r

56

didaktidkia, utila za

iman ipu-pojmova

zta . ZbogrrimenjujenaterUali irva Sirokaroj nastavi<i blokovi,elementekoriSienjeroZe imati

r od prvihcu ulogurmostalnotematrcka;redstvon'trvanja ovaiv proces":je i nove

e re(eninr:ijativnomproblem-i irpotre-

Metoda otknia i/i heuristiika metoda je u tesnoj vezi sa uieryentputeln reiaua4l"a problenza, koja se zasniva na razvijanju sposobnostistvaraladkog miSljenja. Udenje reiavanjem problema, sem prednosti uboljim efektima udenja, razvija iopite sposobnosti udenika za obrazovanjei udenje. Pored navedenog, otkrivanje ostvaruje sintezu intelektualnih,motivacionih i didaktidkih komponenti udenja. U sistemu problemskenastave centralno mesto zauzima problemska situacija.

Problemska situacg'a. Polazeii sa stanovi5ta didal<tike i psihologije.razlike izmedu problema i problemske situacije postoje, a na njih ukazujeR. Nidkovii: "Problemska situacija predstavlja podetnu kariku u reiavanjushvaienog i prihvaienog problema i kao takva ona je doiivljaj neizvesnosti,odekivanja, zbunjenosti, radoznalosti, tenzije".

Smisao problemske situacije jeste da motiviSe ucenike za reiavanjeproblema. Razlog nastajanja problemske situacije jeste izvesna protivu-rednost koja je sadrZana u problemu. Kod udenika se pobuduje intere-sovanje i Zelja da se dode do ukidanja protivurecnosti. O prirodi problemai problemske situacije S. Prvanovii istide: " Staviti udenika pred problemznadi dati izvesne podatke i postaviti odredeni cilj koji on treba, koristeiite podatke , da postigne. Staviti i l i dovesti udenika u problemsku situaciju.znadi omoguciti mu da 'vidi' neke relacije, a prepustiti njemu samom dapostavlja ciljeve, tj. odredene probleme"-

Problemska situacija se stvara pogodnom pricom, interesantnimvizuelnim efektima, nedim 5to ie zainteresovati udenike za reiavanieproblema koji iz te situacije nastaje. Problemske situacije su neophodne zaudenike mladih uzrasta, a treba da budu realne i zanimljive, ali njihovomatematidko modelovanje ne sme zaseniti problem. MoZe se smatrati dare5avanje problema predstavlja niz sloZenih intelektualnih operacija J.Dordevii te operacije raSdlanjuje na etape:

1. Uoiauarye problema. U ovoj fazi udenik postaje svestan postojanjaproblema kao teikoie koju treba reiiti.

2. Ra4biry'auaryie prol:/ema. U ovoj fazi udenici se priseiaju drugihdinjenica, relevantnih za reSavanje problema i vrie selekciju onih koje suim u toj situaciji neophodne. Problem se sada detaljno razlaLe, a moglr seformulisati i odgovarajuia dopunska pitanja. Ako je potrebno, traZe sedetaljnije i Sire informacije, kao i pomoina sredstva.

3. Postau/furye htpoteza i prccerytuarye 411/touih tntp/iA'ac42z. Prireiavanju problema uienici postavljaju hipoteze. Posredstvom hipoteza,relevantnih dinjenica i iskustva kojima raspolaZu , udenici, rasudivanjem,nastoje da dodu do rezultata koji proizilaze iz postavljenih hipoteza. U ovojetapise sagledava relacijskiodnos: POCETAK - KRAJ.

,:'7

4. Venfikouarye htpoteze. U fazi preispitivanja, neke hipoteze se od-bacuju kao neadekvatne, druge se prihvataju i obrazlaZu. U stvari, sada seprocenjuje adekvatnost nadenog reienja, a ono podiva na kritidkompreg.ledu postavljenih hipotezaiu ovoj faziposeban znidal ima proveravan;erezuftata mi5ljenja u praksi. zbog toga udenike treba osposobliavati darezultate svog miSljenja stalno proveravaju.

. u fazi reiavanja problema udenici su usmereni na trazenje puteva kojivode do reienja problema. Reiavajuii problem udenici ss susreiu s"anekom teSkoiom, sa spornom situacijom, kao i sa prazninama llmisaonom toku. Tu prazninu treba uz pomoi novih podataka popuniti rrei i t iproblem.

Za pripremu i obradu nastavne jedinice primenom problemske nas-tave, pored.opite strucnih i metodiikih zahteva, neophodno je utvrditiodgovaraju(u oryranuactonu strukturu. Mi smo se opredelili zb sledeietazei

/. Stuararye problenzske sttuacg'e / formulisarye prcb/enta

2. Posta ulia rye htpoteze

3. Dekompozlcyb I reiauarye problerna

4. Anal2a rezultata, tzuode4le zakg"uiaka t generaltzactya

5. Pnmena sleient/t znary'a.

Posebno se mora voditi raiuna o zahtevima koji se postavljaju precludenike i o moguinostima da oni odgovore na te zahteve. Pocjmogudnostima udenika podrazumevamo stepen njihovog razvoja, pre-thodno steiena znanja i iskustvo u vezi sa oblaiiu koia se obradtrjc.sklonost ka reSavanju problema itd. Najbolji rezultati u problemskoj nastavrse- postiZu ako su zahtevi malo iznad ucenikovih moguinosti, jer taclaudenici ne primenjuju direktno od ranije poznate 5eme, vei tra2e noveputeve dolaska do reSenja.

Tok dasa (uprimeniprob/entske nastaue) treba da se odvija po napreclnavedenim fazama, ali to ne treba shvatiti suviSe kruto. Takode u oroarri,zaciji dasa mogu se uspeino koristiti i drugi nastaunl slstenzz. uobicajenapodela nastavnog dasa matematike na preparativnu, operativnu, veriiika-tivnu ifazu domaiegzadatka, moZe se lako poitovatiiu ovako predloZenojstrukturi.

VaZan uslov za uspeinu primenu problemske nastave je i pravilnoodabiranje_.nj9nog nivoa, tj. stepena aktivnosti udenika u re5avanjr_rproblema. Veiina autora istide detiri razlidita niuoa problernske nas'/au€-.

lproblje na.oslan

2ukazrAko:slutapoku

:nastzuden

da saprobl

IPrverprim,"Zdrz

(shva'Paro'meslprimsabirviSeiosobsloZezadarazvl.

viSinoblil.

stvaljednPutaimasvojr

5B

ieze se od-lri, sada se

krititkomoveravanlerbljavati da

puteva kojiJSTCCL] SA:ninarna lr

popLrni t i i

:mske n.rs-r 1e utvrditiza sledece

ta

vr,jaju predteve. Porizvoja. pre-obradr rjc

koj nastavr. i , jer tadatraZe nove

po napreci: u organi-Iobiiajena-r, verifil.la-redlo2enoj

i pravi lnoreiavanjr.tna.5/al/)(:

7. Problemski mono/og. Realizuje se primenom informacionih iproblemskih pitanja na koja u osnovi odgovara sam nastavnik. Ovaj nivoje najniZi, te se koristi samo ako su nastavni sadrZaji potpuno novi i neoslanjaju se ni na kakvo prethodno znanje i iskustvo udenika.

2. Prob/enzski dy'alog. Nastavnik pred udenike postavlja problenr,ukazuje na pravce njegovog reiavanja, a kroz dijalog se dolazi do reienia.Ako se to ne desi, vei nastavnik sarrr saopiti rezultate, nastava i u ovakvimsluiajevima zadrLava atribut problemske nastave. jer su ucenici Llpokuiajima da dodu do reienja bili aktivni udesnici.

3. Samosta/no reiauarye problema. Na ovom nivou problemskenastave nastavnik formuli5e problem i stvara problemsku situaciiu. audenici samostalno dolaze do resenja.

4. Samostalno formu/isarye i reiauaryeproblenza. Ad uienika se tra2ida sami formuliSu i reiavaju problem, a nastavnik ima zadatak da pripremiproblem i stvori uslove za realizaciju.

lzbor oblika i sredstava u primeni problemske nastave mora bitiprvenstveno u funkciji aktivnog udeiia udenika. Za ilustraciju navodimoprimenu strukture problemskog dasa u obradi nastavne jedirrice" Zdruil ua 41ie sa b I ra ka" (a so cij ativn ost sa bi ra nj a ).

Osnovni obrazovni zadalak iasa je da udenici zdruZivanje sabirakashvate kao osobinu sabiranja koja dopuita slobodu zdruZivanja ureclenihparova sabiraka u trodlanom (viSedlanom) zbiru, respektujuci rasiroredmesta sabiraka. U to se udenici uveravaju indukcijom na ocJgovar,rjrrcinrprimerima u klasicnoj nastavi. Ova osobina, zajedno sa zamenom nresrasabiraka (komutaliunosf -sabirary'a), omoguiuje grupisanje sabiral<i,r LrviSedlanim zbirovima, kasnije iu polinomima, a presudno utite, zajedno saosobinama drugih operacija, na pravilno shvatanje uloge zagrade Ltsf oZenim izrazima. Pored navedenog, prisutni su i drugi obrazovni i vaspitnizadaci kao 5to su: uveibavanje sabiranja, matematidkog modelovanja,razvijanje kreativnog miSljenja udenika itd.

Strukturom dasa po opisanom modelu uspeino se realizuje cill naviSim nivoima problemske nastave. Tok casa opisujemo u skradenorrrobliku, navodeii samo njegove osnovne elemente:

1. Heurist idkom besedom uz not iranje bi tnih podataka. nastavnikstvara problemsku situaciju, a zatim dijalogom formuli5e problenr: "Ujednoj Skoli postoje tri ietvrta razreda koja su u toku ikolske godine dvaputa iSla na izlet, u kompletnom sastavu. Odeljenje IVr ima 30 udenika. IV:,ima 29 udenika, a lV: ima 32 udenika. Sve ove brojke uienici r-rpisu;u rrsvoje sveske. Na prvi izlet udenici su doili tako Sto je najpre stigao autobus

59

sa udenicima iz IVt i IV2 , a malo zatim i drugiautobus sa ucenicima iz IV:. U ovom momentu nastavnik zahteva od udenika da formiraju zapis:(30+29)+32, kojim se izradunava broj udenika na izletu.

Na drugi izlet udenici su stigli tako ito je prvo stigao autobus saudenicima lVl , a odmah zatim iautobus sa udenicima IVz i lV: . Od uienikase takode zahteva da formiraju izraz: 30 + (29 +32), kojim se izradunava brojprispelih udenika.

Dijalogom se dolazi do odgovora na pitanja, kao Sto su: Kakvi sumedusobno dobijenizapisi? Po demu se zapisi razlikuju? Kakve su vrednostidobijenih zapisa, odnosno zbirova?"

2. Formiranje hipoteza se prepliie sa formulacijom problema, a re-alizuje se odEovorima udenika na navedena i slidna pitanja.

3. Udenici se uveravaju u tadnost hipoteza, odnosno reiavaju formuli-sani problem izradunavanjem zbirova, a poito dobiju istu vrednost 91 . pisujednakost:

(30 + 29) + 32 : 3O + (29 + 32)

Osim navedenog neophodno je da udeniciurade jedan do dva primeraiz udZbenika bez obaveze matematidkog modelovanja.

4. Na osnovu navedenih primera u prethodnim fazama, ucenici irtrlr,rttc1/om samostalno generalizuju pravilno zdruZivanje sabiraka:( a * b ) * c : a + ( b + c ) .

Nadalje zakljuduju da je mogui zapis zbira u kome se izostavljajuzagrade: a+b* c: (a *b) f c:a* (b + c)

5. Udenici samostalno primenjuju pravilo zdruZivanja sabiraka nazadacima u kojima se neposredno vidi njegova svrsishodnost. Npr. Nanajbr i i i naj lakSinadin izradunaj zbir : 37+91+9.

Poito su udenici prethodno upoznati i sa zamenom mesta sabiraka

Togu se zadavatiizadaciu koiima se pogodnim grupisaniem izra{unavarbt nekog antrneti(kag nfza prxodn\h blojela. f\a kaju i.asa za domar\rad treba zadati kombinovane zadatke iz udZbenika.

Sistem metoda kibernetike

Kibernetidke metode (prema C. Mejeru), zasnivaju se na opitinr me-todama miiljenja inastavu matematike posmatraju kao kibernetidki sistem.

Primeruspostmetod,

Al

Q:

analizzjedinst

Arelemeusposdinih I

Mproucokolnirada i

Auoci ripo plzmanif

znacabno crasdle

I(

p0it(

z

I

nicima iz IV3niraju zapis:

autobus saOd uienikarcunava broj

u: Kakvi susu vrednosti

,lenra, a re-

aju formuli-rst91 . pi5r-r

lva primer ar

:nici tnr/i.,,tr -

sabiraka:

izostavljaju

rbiraka nat. Npr. Na

a sabirakaizraiunavaza domaii

>Stim me-:ki sistem.

Primenom ovih metoda upravljanje nastavom matematike se vrii pomoiuuspostavljenog sistema povratnih sprega - otuda je i naziv kibernetidkemetode.

Analitiiko-sintetiika metoda

sam naziv ove metode. govori da su u njoj primarni misaoni procesanaliza isinteza. Analiza prethodisintezi, one se dopunjuju itinL a,JateLtiekojedinstvo.

Analizom se otklanja sve ito je nebitno a otkriva se struktura, grada ielementi, kao i funkcija i nadin delovanja posmatranog objekta. Sinteza seqlqgsjavlja. osmi5ljenirn poveziva njem

-ele m enata i ko"m bin ova nj em p oje -

dinih funkcija i kompleksa.

Metoda proudavanja.svakog sistema je ista: Rastavljanje na delove,proucavaanje svakog dela, proudavanje veza medu delovlma i veza sokolnim svetom, i konacno, na osnovu svega toga, razumevanje njeqovograda iupravljanje njime u granicama ljudsk-e mJgucnosti.

Analizu udenik kori.sti kad god je potrebno da neki pojam prouti, dar-roii.razne njegove manifestac'rje iosobine. Analizu svakako ireba'sprovoditipo planu. Prilikom sintetizovanja udenik pronalazibitne elemente, osobine,manifestacije pojrrra i tako ga izgraduje.'

Medu metodidarima vlada.miiljenje da su analiza i sinteza od velikoqznadaja u nastavi matematike. Medutim, za ove misaone procese je potreibno,da.uienici imaju vei neka predznanja kako bl mogii iamostalno darasclanjuju celinu.

Koristeii se ovom metodom kao dominantnom u radu, uienik sepostepeno, osposobljava da kritidki posmatra okolinu, da razlikuje bitno odT?nje. bitnog i nebitnog, Sto je veoma vazno za usvajanje ,nunll iz drugihoblasti.

Algoritam analitidko-sintetiike metode:

1. Posmatraj najpre celinu, postigni potpun pregled celine!

2. Rastavi je u delove, elemente! prodist i i steknit ime uvid u strukturul

3.lzrazi funkciju elemenata kao pojedinadnih objekata iu celini!

4. Pokloni paZnju najznadajnijim delovimal

5'l

5. lstraZi obostrane odnose i medudelovanje bitnih delova!

6. lzgradi ponovo celinu!

7. Uporedisa sl idnim predmetima i nadizajednidkipojam!

B. Primeni u praksi nove informacije! potraZiinvarijante!

. ova metoda je vrlo primenljiva u podetnoj nastavi matematike. uceniketreba osposobljavati da 5to viSe sami anarizirbju i sintetizuju, a nastavnik jeprisutan kao organizator.

Metoda kvantovanja

Kod prenosa.signala kibernetika, primenjuje i postupak kvantovanja.01 se-sastoji u tome da se neki slozeni sistem zbog-jednostavnijeg iefikasnijeg ispitivanja razloLi na podsisteme. Razlaganle rioze bitis obziromna vreme i na sadrZaj, ili s obzirom na oba faktora. 0 nastavi matematikese kvantovanje desto primenjuje s obzirom na sadrZaj i implicira progran-ll-rano uienje.

L. Landa smatra da je suitina savremene nasrave unastavi. Ova nastava u savremenim uslovima treba dauslova:

programiranojzadovolli detiri

Met

Kadiizdvajanjrposebno,

Ovaaktivnostgeneraliz,

Procniza razli<nekog pc

Ovametoda r

Met,

Zakisvesnimvreme uskorak polovanju izPri tom Iuvek u nrazvija i u

easodnosnocelog sisl

Neki

Dakhi za utvrd

_ 1. Realizuje s9 pomoiu automatskih i poluautomatskih uredaja zaudenje (pre svega kompjutera).

. 2. Predvida podelu nastavnog gradiva na porcije, a nastavnog procesana ko-rake ipostavljanje udeniku pitanla, nakoh suakog koraka koji'zahtevaodreden odgovor: na osnovu odgovora se sudi aut6matski o karakteruusvajanja gradiva.

3.. Pretpostavlja qe postojanje povratne sprege a uredaj za ucenjesposoban je da izmeni tok nastave zavisno od rezul-tata usvalan;a gradivi.

4. ostvaruje adaptacuu nastave., prema karakteru i dinamici usvajanja?n?-njq, veitina, navika od strane. svakog udenika, a takode prema njegbvimindividualnim osobinama (individualizacija nastave).

Uieniketavnik je

rtovanja.rvnijeg iobzirom:ematikeogrami-

rmiranojrlj i cetiri

:daja za

Procesazahtevalrakteru

udenjeryadiva.

Metoda aplrtrahovanja ili idealizacije

Kada se govori o apstrahovanju, tada se misli na misaoni pfocesizdvajanja opiteg i odbacivanje posebnog ili na misaoni proces izdvajanjaposebnog, a odbacivanje opiteg.

Ova metoda se u nastavi desto koristi, a narodito u obliku misaoneaktivnosti izdvajanja opiteg i odbacivanja posebnog, 5to se svodi nageneralizaciju.

Procesu apstrahovanja prethodi proces analize kojim r-rcenik dolazi dcrniza razliditih karakteristidnih svojstava nekog pojma. Prilikom deliniserrrjanekog pojnra uienik odbacuje nebitno.

Ova metoda moZe se koristiti kao samostalna, ali i kao dopunskametoda nekoj drugoj metodi.

Metoda sistematizacije

Za kibernetiku je karakteristidno da postavlja zadatke koje treba reiil isvesnim miSljenjem. Ona planira upravljanje i regulaciju da bi kroz nekr>vreme usmeravala odredenu radnju. Takvi se zadaci reiavaju tako da sekorak po korak pribliZava postavljenom cilju, te se u postojanom medude'lovanju izmedu zadataka i reSenja pronalazi najpovoljniji put do toq cilja.Pri tom posmatrani objekat dovodimo do uvek nove veze i gledanro qauvek u novim odnosima. Time se predmet, odnosno sistem postupnclrazija i usavriava dok se ne postigne postavljeni cilj.

Cas matematike se ne moZe ni zamisliti bez faze sistematizacije.odnosno prelaZenja sa uodavanja pojedinadnih elemenata na posmatranjecelog sistema.

Neki dasovi matematike se mogu organizovati samo ovom metodom.

Dakle, ova metoda je pogodna za obradu svake nastavne jedir-rice . kacri za utvrdivanje nakon svake tematske celine.

;va;anjaegovim

63

Metoda analogije

_ Metoda. analogije svojom suitinom predstavlja misaoni procestraienja, otkrivanja, uspostavljanja slidnosti i razlike-medu erementima,objektima, pojavama i sistemima. MiSljenje u analogijama je prelaZenje sajednog sistema na drugi.

ova metoda je vrlo laka i zato je udenici vrlo desto koriste. pririkomnailaska na problem udenik traZi neki slidan vei reien zadatak i alqoritamkoji mu je pomogao da ga reSi.

. M.eloqom analogij_e Togu seispitivatiosobine samo onih objekata kojipripadaju istom rodu. Prilikom njihovog uporedivanja i nalazenja

-analog nih

elemenata sluzi se analizom. Medutim,-ne treba-uzimati u-obzir s5moslidnosti izmedu tih objekata nego i razlike. uodene slidne elemente trebarangirati prema vaZnosti za reiavanje datog problema. udenicima trebaskrenuti paZnju da- budu obazrivi prema metodi-a na logije. Za kljuda k izvedenanafogijom. nije dovolj.no matematidki pouzdan. zito je desto potrebnonavesti i primer pogreSne analogije.

Algoritam metode analogije:

1. PrikaZi novo pomoiu analogija s ranijim! \

2. PrikaLijednakosti slidnosti, ali i razlike!

3. Dovedi do novog saznanja ono 5to je inace vei izgradeno i proverenou praksi!

Metoda transformacije

ova metoda se primenjuje kada se prelazi sa jednog nadina prikazi-yanja na drugi. ona olakiava udeniku da pamti samo centralnu formulu,dijom ie transformacijom dobijati druge formule.

Na primer, dovoljno je da udenik zapamti centralnu formuru za povriinupravougaonikaP:a. b iz koje moZe dobrtia ako je poznato p i b, il i b akoj e p o z n a t o P i a .

ova metoda moZe da se koristi kao centralna metoda, a i kao podrikanekoj drugoj kibernetidkoj metodi.

Mel

SuitponaSaponaian

Sto jidentidarda posm

Z a nmoZe jas

u kitoriginala.

Metomatematmatemat

AIgo

1 . O

2. At

3 . O

4 . l z ,

5 . D

6. ls

7 . P t

B . V

9 . M

Svalsimbolik

Matrnastavi r

64

^>---

proces3nt ima,:enje sa

'ril ikom

;oritam

ata kojirlognih' samoe trebal trebazvedentrebno

/ereno

rikazi-mulu,

yriinub ako

drSka

Metoda modela

suitina metode modela je u tome da se iz modera zakljuduje kako seponaia original, zato model mora imati vazne elemenfe struktrure iponaianja originala, i to preglednije ijasnije od originala.

519i. model savr5eniji, to nas viSe priblizava originarrr. on ne moze bitiidentiian originalu j zatg.ostaje samo njegova kopila. zadatak modela jeda posmatratu istakne bitna svojstva, a-da zanemaii sporedna.

Za model se moze reii da je neka vrsta apstrakcije. Fomoiu njega semoZe jasno i pregledno predoditi zavisnost izmedu stvari i pojava.

u kibernetici se insistira na analogiji (slidnosti) u ponaianju modela ioriginala.

Metoda modela kao nastavna metoda, najcei6e koristi simbolickimatematidki model. .. Pona5anje originala se opisuje pomoiu skupamatematidkih i logidkih relacija.

Algoritam metode modela:

1. Odredivanje originala

2. Analiza originala

3. Odluka o uvodenju modela

4. lzgradnja informacione baze modelovania

5. Definisanje modela

6. lspitivanje na modelu

7. Prenos informacija sa modela na original

B. Verifikacija dobijenih informacija na originalu

9. Modifikacija modela

svaki zadatak se svodi na matematidkijezik. izralavase maten-ratickomsimbolikom i reiava se primenom matematidkih operacija.

Matematidko modelovanje se koristi i prilikom primene radunara rinastavi matematike.

65

Mel

Ovase ispitastihijskose u starali ne oshipotezapozitivnt

Mocreienja.ne zadotje reSenj

Upsamo jerPrimenadinamidlacija m,

Metoda modela je od izuzetne vaZnosli za raziianje odgovarajucihintelektualnih sposobnosti udenika, jer se ostvaruje preko analize i sinteze,apstrakcije i konkretizacije, indukcije i dedukcije, uporedivanja i analogije.

Irletoda "Crne kutije"

Metoda "crne kutije" je vaZna u kibernetidkom radnom procesu.

Ovom metodom se ponaianje sistema posmatra samo preko ulaznihiizlazihvelidina. Ponaianje sistema metodom "crne kutije"moZe biti aktivnoipasivno.

Aktivan nadin je kada se deluje preko ulaza sistema poznatim ulaznimvelidinama i prate promene izlaznih velidina. lzlazne informacije daju po-datke o unuira5nloj strukturi sistema tako da se stvara pretpostavki ounutrainjosti sistema ("crne kutije") . Na osnovu pretpostavke se stvara imodel njene unutraSnjosti.

Pasivan nadin je kada se vrSi posmatranje ponaianja sistema prekoulaznih i izlaznih velidina.

U nastavnom procesu za nastavnika je udenik "crna kutija" . NastavnikteZi da sazna kojim se misaonim procesima udenik sluZi u procesurazmiSljanja. Do takvih podataka se dolazi aktivnim nadinom. Ulaznevelidine u ovom sludaju su nastavnikova pitanja. Udenikovi odgovori suizlazne velidine i na osnovu njih nastavnik zakljuduje o stanju sistema(udenika).

66

VlIRANJE

-t, I

J

ACIJA.COMR

'arajuiihsinteze.

ralogije

'u .

, uiaznihaktivno

ulaznimlaju po-tavka ostvara i

a preko

rstavnikrrocesuUlaznevori su;istema

luletoda "Pokuiaja i pogreiaka"

Ova metoda se sastoji u tome da se nadine sludajni pokuiaji kako bise.i.spitao neki predme!, poja-va ili sistem. Treba istaii da nije u pitanjustihijsko dola_zenje do reSenja. Put do reienja je usmeren i nelogidna ieienjase u startu odbaciju. Naravno isvaki sledeii pogre5an pokuiajie odbacuj-e.ali ne ostaje zaboravljen. Pogreike se analiziraju i na osnovu loga se stvarahipoteza {oja se stalno proverava. Negativne rezultate odbacujemo. apozitivne dalje razradujemo.

Modifikacija ove metode se sastojiu tome da se udenicima ponudir,r{ereSenja. Kada dobije reSenje. udenik ga uporeduje sa ponudenim. Ako onone zadovolj-ava odekivanja, vraia se na ponovno reiavbnje tog zadatka. Akoje reienje dobro, reiava sledeii zadatak.

U.praksi skoro i nema dasova matematike na kojima se primenjujelamo jedna. nastavna metoda. Mnoge metode se kombinovano primenjuju.Primena viSe nastavnih metoda na istom dasu, pa i istovremeno, eini gadinamidnijim i efikasnijim. Svakako treba da postoji odgovarajuca koi6-lacija medu primenjivanim nastavnim metodama.

67

"Oni koji i-sk[uiiuo c-ene pnksu bez teoiy.;h'h

osnaLa s/lini.su ntore4tloucu kcyi ulazi u brod

bez ttntrc [ busole, ne znaiui[ kuda se piou|."

L. da V ind i (L da V inc i )

4- MESTO I ULOGA A,DATAKA U MI{TEMATIEKOMOBRAZOVANJU I METODII{A NJIHOVOG RESAVANJA

4"1. Mesto i uloga zadataka

ReSavanje problema i raznih zadatka predstavlja vrl rr.rrrAr..matematidkog obrazovanja i matematidke kulture udenika.

Prema Kruteckom matematidke sposobnosti ucenika marrifesli riir seu slede6em:

- sposobnosti formulacije malematiikog mat.erijala, odvainnie for.ineo d sadri-aja, apstra hovanje kon kretni h od nosa,

- sposobnost odvajanja bitnog od sporednog,

- sposobnost operisanja brojevima, znacima, simbolinra,

- sposobnost logidkog miSljenja.

- sposobnost rasudivanja, miSljenja po odredenim st.rurkturarna

- sposobnost obrtanja misaonog procesa.

- gipkost miSljenja, sposobnost lakog napuitanja jedne oper.)(.U{-. iprelaz na drugu, oslobadanje od Sablona,

- sposobnost pamienja matematidkih iinjer-rica i relacija.

- snalaZenje u prostoru i sposobnostprostornog predstavljanja.

Samo reSavanjem zadataka ne moZe se steii matematiiko olrrazovarrj<,ri matematidka kultura, posebno ako se radi pleteZno o formainirn il i"prepariranim" Skolskim zadacima. u kojima ne postoji pot.reba i.lmisaonim aktivnostima, vec se reSavaju neposrednom primenclr)) rJ[)fdr.rrirsavladanih teorijskih sadrZaja, po ugledr-r na izloZene primere.

69

Da bi nastava matematike dala pun doprinos razvijanju matematidkihsposobnosti udenika, i reiavanje zadataka treba da se zasniva na otkrivanjuteorijskih relacija u praktidnim problemima. Nije prihvarljiva, inade cJostaraiirena praksa po kojoj se primena znanja savladuje odvojeno od teorijskihosnova.

Zna(.aj i uloga reiavanja zadataka u matematidkom obrazor,'anju suizuzetni iogledaju se u:

- ovladavanju matematidkim metodama, tehnikama i postupcima,

- umeinostima u matematitko-kibernetidkom modelovanju i

- vaspitnim efektima nastave matematike.

Ovim se daje znadajan doprinos razuijanju:

- misaonih operacija i intelektualnih funkcija,

- sposobnosti apstraktnog miSljenja ioperacija sa apstrakcijama.

- kreativnosti (originalnosti, kombinatornoj fantaziji i sl.)

- racionalnog rasudivanja, objektivnog argumentovanja i obrazlaganja,

- sistematskog, planskog i samostalnog rada,

- urednosti i estetskog ukusa,

- interesovanja i radoznalosti,

- pozitivnih osobina lidnosti: sigurnost, odmerenost, preciznost, istra-jnost, upornost itd.

Zadaci u nastavi matematike su veoma raznovrsni i mogu se posma-trati iz razliditih aspekata:

Sa matematidkog stanoviSta zadatke moiemo deliti na:

- odredbene, u kojima treba odrediti, izradunati, naii vrednost rrekogizraza, neke nepoznate velidine, transformisati neki izraz, konstruisati nekugeometrijsku figuru itd.

- dokazne, u kojima treba neSto pokazati, dokazati, izvesti i sl.

Sa didaktidkog stanoviSta zadatke moZemo deliti na:

- nzanpu/atlune - manipulisanje stvarima, didaktickim materijalom.konstrukcije lenjirom iiestarom, rad sa tablicama, radunarima itd.,

dokazinjega.

nove c

- t

odnev.

testovi

4

u

u pro(

Urazunkao iinforraktivr

tpitanja rezobavr

(oznar

Ini nakoralne direiat

70

ikihanjuOSTA

iskih

lu su

ra.

ganJa

; ^ l - ^

, r 5 t - t d -

osma-

nekogi neku

- lehniike - sluZe za uveZbavanje, za sticanje tehnike radunanja.dokazivanja, reiavanja raznih matematiikih modela, sa radunarom ili beznjega.

- problernske - zahtevaju intuiciju, ma5tu, suptilnije misaone operacije.nove originalne kombinacije znanja itd.

- prime4jene - aktualizaciia matematike u raz,nim oblastima i u svak-odnevnom Zivotu (matematifko modelovanje),

- kotttrolne - za proveravanje nivoa znanja (kontrolni i pismeni zadaci.testovi i sl.).

4.2. Osnovne faze re5avania zadataka

U nastavi matematike dominantno se koristi Poliina iema sa i:etrri f;tzeu procesu re5avanja zadalaka:

- shvatanje ili razumevarrie.

- stvaranje plana,

- realizacija plana i

- provera tadnosti, diskusiia i interpretacija reienla.

Uvodna faza u procesu reiavanja zadatka nu2no 1ygb7l d3 ,rlrr,rrrazumevanje sadrZine pojmova, termina i simbola koji se nalar:re Li ..rrlaiikao i njihove medusobne povezanosti. PaZljivim iitanjenr priltrrpll r :r1informacije, cime se samo ulazi u anrbijent zadatka. a tr:l.. r'r.r'-;-i,)raktivnoiiu se i nterp reti raju releva ntn e i r-r form a cije-.

U zadacima odredivanja . ova f aza podrazurneva traierrje oclqovc r , ,,pitanja kao 5to su:5ta se traZi? 5ta je dato? sta nije eksplicitno nir\/e(iriioa realno se podrazumeva? i sl. Odgovori na takva pitanja irnirlir:iraijuobaveznu identifikaciju i obeleZavanie zadatih i traZenih veliiina

U zadacima dokazivanja. raz-unrevanje zaclatka znaii identifil.:acr1u ioznadavanje pretpostavke i tvrdnje.

Razumevanje zadatka ne ukljuduje obavezno sagledavanje restnia. pani nadina dolaZenja do njega. Kod jednostavnijih zadataka reienje ir: i;.trnrrkorak iza razumevanja i tada, naravno, naredne faze u reiavarrrju zadatkzrne cine se mnogo bitnim. Medrrtim. u sloZenijinr z.adacima stvaranle planareSavanjaie centralna faza, i tek posle r-rspeha r,r nioj nroieruto konsttrior.,,rti

71

alom.

da smo sagledali reSenje. PoSto zadatke reSavamo, uglavnom, korak pokorak, moguie je, a desto je ipoZeljno, formiranje odgovarajuieg algoritmaza reSavanje odredene klase zadataka. Algtoritrnizacija reienja zadataka jei imperativ informatidkog druitva.

U zadacima odredivanja, stvaranje plana podrazumeva pronalaZenjeonih veza izmedu zadatih i traZenih elemenata na osnovu kojih se utvrdujematematidki mehanizam za odredivanje traZenog. Problem postaje teZikada neki elementi iveze nisu eksplicitno navedeni u zadatku.

U zadacima dokazivanja , pod stvaranjem plana podrazumevamomisaone aktivnosti koje prethode formalnom izvodenju dokaznog pos-tupka.

Za fazu izvrSenja plana moZemo konstatovati da dirri operativni ilitehnidki deo procesa reiavanja zadatka. U ovoj fazi viSe dolaze do izralajastedena matematidka znanja, umenja i veStine, a manje misaoni postupcii kreativnost.

U zadacima odredivanja obidno se vrSe razna izra(.unavanja, reiavajujednaiine, il i nejednadine, konkretizuju formule, transformiSu izrazi, re-alizuju algoritmi, konstruiSu gemetrijske figure i sl.

U zadacima dokazivanja ova faza podrazumeva i primenu logidkihzakona i formi mi5ljenja, jer i oni dine znanja i umenja bitna za formalnoizvodenje dokaza.

Na kraju ove faze, moZemo reii da smo reiili zadatak samo ako suispunjeni sledeii zahtevi:

a) reSenje je tadno, tj. zadovoljavazadate uslove zadatka,

b) postupak reSavanja je tadan, 5to podrazumeva da ne sadrZi materi-jalne i logidke greike,

c) reienje je potpuno, 5to znati da ne postoje ta[na reSenja razlidita oddobijenih.

Pored navedenih, poZeljno je da nadin reSavanja ispunjava i zahtevekao 5to su: elegantnost, racionalnost, jednostavnost, konciznost itd.

Posle zavrienog procesa reSavanja treba izvriiti i njegovu proveru ilikontrolu, upravo po navedenim zahtevima u zadatku. Sem toga, trebaanalizirati eventualne uslove koji se ili pojave u procesu reiavanja, ili se uopitem obliku nalaze u zadatku, 5to nazivamo diskusijom.{l zavisnosti odpiirode problema, na kraju reiavanja zadatka potrebno je dati iodgovarajuiu interpretaciju dobijenih reienja, dakle odgovor napostavljeno pitanje u skladu sa sadrZinom problema.

Navecilj da uracionalnbiti nestrAko nisrreEavanjr-plana. Saznacaveprestaje j

4 .3 .

Izbornatemanije Prolza das jejanja no'za odreraznovrs

Prolre5avan'od sledr

1 .zadatka

2 . 1bitnih z

3 .odgoviu mogPutevai l i jednPogre:

UodnosuoPStt(mreZtzadatl

72

lavnom, korak porraluceg algoritma:sen;a zadataka je

reva..pronalaZenjer KoJth se utvrdujeorem postaje teZiratku.

podrazumevamor dokaznog pos_

iini operativni il ilolaze do izraiajaisaoni postuf).:i

,anja, resavaJu

riSu izrazi, re-

nenu logidkiha za formalno

samo ako su

I ,

sadrZi materi-

-rja razliiita od

iava i zahtevenost itd.

'vu Proveru ilin toga, trebarvanja, ili se uzavisnosti odto je dati iodgovor na

Navedena siruktura proce.rsa reia'anja zadataka, pravens*eno ima zacilj da ukaZe nu^ptuvil# ,;;r:;""ris-aonih at<tivntsii i rime ih uiiniracionarnijim i efikasnijim. r" 'nuti ;;;-ili;r;".:i,,'ll-d'lruuu ne smemobiti nestrpljivi i povrini, p"."nn" ,-fazi, shvatanja i razumevan3a zadatka.nKo nrsmo potDuno razumeli ,udur*^:1?r;-*;.i;"i, u nl"gouo.reiavanju su hinimat::, i"i"".i;;;!" zapodnemo reiJvanle bez ikakvocplana' S druge sirane' ne treba o1*:."^ iscrgrrjuiemo u identifikaciji

-ioznacavanju faza, pogotovo 5to selesto moie precizno odrediti kadaprestaje jedna a po8inle naredna.

4.3. Fostupci re5avanja zadataka

Izl>or zadatal:a -se vrEi na ostlor4t cilja i oste.rattt-tr;l) za.latal{.r r};r=l.'\/e: r > . 2 / o r r r a t i l < e / z l - a t z a d a t a A a , , t t a q r a r T t ' t a 1 e ' t ' a i ; t ' - ' 1 " ' t a ' r r : , ' l t t t ' ' ' r ' t e / i A ' r '

, i j e p r a l r l e n r e l e . t d s l a w e - B o g a L d n d s t a v n i i k d I i L e I a L u r d I 5 o l l ( - r l ) d P , r P l e r r l d

za tis jesu osnovni preduslovi kvalitetne nastave matematike. Kod usva-janja novih znanja, naravno, zadaci ie bitijednostavniji, ali karakteris[icniza odredenu oblast. U fazi veZbanja treba nastojati da zadaci buduraznovrsniji i da pokriju osnovne tipove zadataka date teme.

Problemski i primenjeni zadaci su, po pravilu, sloZeniji i njihovore5avanje zahteva primenu sloZenijih metodsl<ih postupaka, koji se sastojeod sledeiih koraka:

1. lzvrii se analiza problema- Zanemarivanjem nebitnih aspekatazadatka, problem se reformuliSe na osnovu relevantnih osobina.

2. Aktualiziraju se odredene informacije i matematidka znanja iz oblastibitnih za reiavanje datog zadatka.

3. Od starta do cilja postupka za re5avanje zadataka, formiraju seodgovarajuii "putevi" povezivanja odredenih informacija u sistem, liojijeu moguinosti da reii dati problem. Obidno postoji veii boroj razliditihp. uteva koji vode do re5enja, ali medu njima neki su elegantniji. racionalniji,i l i jednostavniji od ostalih. Neki su putevi direktni, drugi indirektni, a im; ipogreinih, koji ne vode do traienog reienja.

U ovoj fazi reSavanja zadatka, u fazi stvaranja postupka, algoritma,odnosno modela reSavanja, desto se sluZimo i grafidkim metodama iuopi-te metoda ma i tehnikama matematidko-kibernetid kog mode lovanja(mreZnim d.Uagramima, Semama itd.) MreZni dijagram reiavanja nekogzadatka moZe imati sledeiu strukturu (vidi sliku).

73

i ^

,i, - io --r._

. _.,a-

l?,

SrARr: ,,-!,-----------'F--] i,0 -- i1,: crLJ\ \

\ \15 ---=---_-_16

od toginost s(rad uretko s

PcreSavazajednradi zazadatksvaki tpravilrudenilrad sasludajrs e t o tkoji otavniktable.

SnavikreiavmoZeU SVOsati,zadalparcipraterazredelinsvojczadazahtrtira tn a oradai t oPripn a t

ude

4. Nakon definisanja matematidkog modela, odnosno algoritnra zareSavanje zadatka, pristupa se njegovom reiavanju. Ova faza nastave seoslanja na tehnidkim i manipulativnim postupcima reiavanja matematickihzadataka. Pored aritmetidkih igeometrijskih operacija itransformacija, sveviSe treba ratunatiina modelski eksperiment, na simulaciju i na druge, presvega numeriike metode reiavanja matematidkih modela ito koriScenjemkompjutera.

5. Proveravanje rezultata i diskusija reienja se vrii pomoir-rmatematidko-logidkih operacija i ugradnjom reSenja u postojeii sistemznanja, odnosno u oblasiiprimene matematidkog modela" Ako reienje neispunjava odekivanja, dakle model nije pouzdan, onda se vrii modifikacijadatog modela.

Reiavanje zadataka, kao metodski nastavni oblik, ra5dlanjuje se nasledeie metodske pojedinosti:

1. Nastavnikov rad,

2. Polusamostalan rad,

3. Samostalan rad udenika,

4. Takmidenje.

Nastavnikov rad je takav nadin formiranja nastavne metodske poje-dinosti koja ukljuduje maksimalnu angaZovanost nastavnika, dok r,rtenikima receptivnu funkciju. Pribegava se ovakvom radu na prvim etapamauveZbavanja gradiva. 0 stvaranju plana reSavanja zadalaka nastavnik imaglavnu ulogu, pa ionda ako se pristvaranju plana koristi nekim predlozimaudenika. Nastavnik radi i na tabli, a u kojoj ie ga meriudenici slediti. zavisi

1 A

l\

II

i r , : C ILJ IIIII

rlgoritnta za) nastave seratematidkihrmacija, svea druge, pre<oriSienjem

ii pomoiurjeii sistemr reSenje nenodifikacija

njuje se na

iske pojeroK ucentkr etapamaavnik imaredlozimarditi, zavisi

od.\ogakako\\\euspeora\n\reso',tatr1ap\ob\em.Olame\ods\apoled\-nost se koristi sa ciliem da se uienicirna itustruie pleg\edan i taciona\anrad u vezi sa nekom temom. U ikolskojpraksi ova metodska pojedinos\retko se koristi.

Polusamostalan rad je najraiirenijioblik rada u tradicionalnoj praksi prireiavanju zadalaka. Sastoji se u tome 5to se plan reiavanja zadataka stvarazajedniEkim naporima udenika i nastavnika. Posle stvorenog plana udenikradi zadatak na tabli uz primedbe, korekcije razrednog kolektiva. U izradizadatka, ako je duZi, udestvuje viSe udenika. Svakako treba omogLriit.i dasvaki udenik koji izlazi na tablu, zavrii neku manju logidku celinu. Metodickipravilna realizacija polusamostalnog rada obezbeduje saradnju svihudenika ali sadriii moguinost da udenik u svojoj svesci samo reprodukujerad sa table, a ne daje svoj doprinos. U nastavnoj praksi mnogobrojni susludajevi potpunog kompromitovanja ove metodske pojedinosti. De5avase to onda kad se prozove jedan udenik, pa se onda njemu zadaje zadatakkoji on jedini reiava bez prethodno sadinjenog plana. Intervencije nas-tavnika su deste, razred nije motivisan z.a rad, a udenici prepisuju rad satable.

Samostalan rad udenika se uprainjava na stupnju sticanja umenja inavika i iziskuje maksimalno udeiie udenika u radu. Stvaranje planareiavanja zadatka se i ovde sprovodi u zajednidkom razgovoru. Taj procesmoZe da se skrati i svodi se samo na isticanje najbitnijih kontura. Nastavniku svojoj pripremi oznadava momente u kojima treba konkretno interveni-sati, postavlja potpitanja da bi uienici prebrodili teSkoie, ra5dlanjavazadatak na etape iprosuduje kada je aktuelno od pojedinih udenika zatraiitiparcijalne rezultate. (Ne stupa u tihi dijalog sa pojedinim udenicima. veiprateii rad na osnovu svoje pripreme, pogodnim pitanjima, usmerava radrazreda.) Na tabli ne radi niko, sem 5to nastavnik moZe da zabeleZi nekidelimidni rezultat, neki karakteristidan elemenat rada koji je unapred usvojoj pripremi predvideo poSto je prethodno metodiiki razradio ceozadatak. Nastavnik prati ritam rada; posle izvesnog proteklog vremenazahteva odredene rezultate; kod kritidnih rnesta otvara diskusiju, konfron-tira rezultate; kod pogreinih rezultata pogodnim pitanjima navodi udenikanaotkrivanje udinjene greike, na iznalazerrje izvora greiaka. lako ovaj oblikrada zahteva maksimalnu aktivnost udenika, u nastavi se vrlo retko lioristi.i to mahom iz razloga 5to i od nastavnika zahteva metodidki podrobnopripremljen das. 5to su stvorene navike da na dasu matematike uvek morana tabli da radi neko od udenika.

.. Organizovanje takmidenja doprinosi oZivljavanju nastave, vezivanjuudenika za predmet i doiivljavanju spostvene

- afirmacije ucenik"a.

75

Takmidenjem treba da se postigne odredeni cilj, koji postavlja nastavnik.Cilj moie biti:

1. da se za dato vreme tadno reii 5to veii broj zadataka,

2. da se odredeni zadatak reSi za 5to kra6e vreme,

3. da se pri reiavanju zadataka postigne 5to veii broj bodova.

Prilikom individualnog takmidenja unutar jednog razreda, svaki uienikteZi da ostvari postavljeni cilj. Takmidenje se ne sme pretvoriti u konkuren-c'rju koja obuhvata ne samo postizanje cilja vei i onemoguiavanjekonkurenta u postizanju cilja. Grupno takmidenje razvija duh saradnje(takmidenje pojedinih grupa unutar jednog razreda). Crupe po sastar,umoraju pribliZno bitijednake jadine, jer motiv pri takmidenju stimuliSe naaktivnost samo ako su takmidari svesnijednakih moguinosti u postizanjuuspeha.

Treba istaii da savremena nastava matematike ravnopravno tretiraformiranje matematidkih modela i tehniku radunanja, vode6i posebnoraduna o vaspitnim efektima nastave. Naravno u podetnoj nastavi matema-tike veii znadaj se daje vaspitnim dimenzijama i radunshm operacijama.ne zanemarujuii ni formiranje jednostavnijih matematidkih modela (nedo-voljno apstraktnih ipouzdanih). Medutim, u viSim razredima osnovne Skolei u srednjoj ikoliprimat se daje matematidkim idejama i modeliranju, s timda se tehnika re5avanja matematidkih modela sve vi5e prepuStaracunarima.

Tokom reiavanja zadataka udenici prave i odredene greike,. Me-todiika istraZivanja ukazuju na to da se najdeiie greii u:

- razumevanju zadatka,

- sadinjavanju algoritma, odnosno matematickog modela problema,

- pr imeni pravi la i formula,

- operacijama sa brojevima i izrazima i

- izvodenju zakljudaka.

Udenje matematike u osnovnoj i srednjoj 5koli najdeiie se svodi nareiavanje matematidkih zadataka. Tehnike i pravila raiunskih operacija.dokazivanja, pa i reiavanja problema usvajaju se izradom tipidnih zadalaka.da bi se uodena pravila primenjivala analogijom i kod drugih slidnih

saznanja Prinmetoda. Zbolsu temeljnekoncentracije

PRIMERI

1. Zbir kti znos i 117. C

Reienje:poznavanje zierno identifiza aritmetidkzbir prvih n t

Prema P

Ako sm,nlegovog re:niza, jer ona5 se odred

Primen,

a posle

PovrSrreiiv, jer jtuzimajuiitkuini brojparan), izlne znacl I

lz uslc

n > 5zadataka. Medutim, putevi reiavanja problema treba da idu stazama

nastavnik.

rva.

vakiudenikkonkuren-

lguiavanjeh saradnjero sastavulimuliSe napostizanju

rvno tretira:i posebnod matema-,eracUama,lela (nedo-ovne Skole'anju. s tim

prepuita

eike,. Me-

rroblema.

: svodi naoperacija.zadataka.

[h slidnihI Slazama

saznanja primenjivanih teorija , a uz svesnu primenu matematidkih ideja imetoda. Zbog toga za uspeino reSava nje nratematidkih zadataka naivaZnijesu temeljne teorijske osnove, razvijene misaone aktivnosti, visok nivokoncentracije, intuicija itd.

PRIMERI:

1 .'Zbir kuinih brujeva sa jedne strane ulice, radunajuiiod uola do ugla.iznosi 117. Odrediti kuini broj pete kuie.

ReSenje: Razumevanje zadatka podrazumeva, pre svega, pre-poznavanje aritmetidkog niza brojeva u ambijentu zatJatka, ito znadi daierno identifikaciju i oznadavanje izvriiti u skladrt sa uobifajenim oznal<amaza aritmetidki niz, at je prvi dlan, an je n-ti dlan, d je razlika niza, a Srr jezbir prvih n dlanova niza.

Prema podacima: d : 2 i S n : 1 1 7

Ako smo pravilno razumeli zadatak, nameie nam se plan postupkanjegovog reiavanja. Prvenstveno je bitan obrazac za zbir prvih n dlanovaniza, jer on povezuje najviSe identifikovanih elemenata. "fraZeni elemenata5 se odred uje obrascem za opiti dlan niza (an).

Primenom obrasca: Sn:n

i (2a r * (n - l ) d ) . dob i j amo :

1 l - ( 2 a l + 2 ( n - l ) ) , ( l )

a posle skraiivanja:

n ( a t * n - 1 ) : I I 7 . ( 2 )

PovrSna analiza vodila bi do zakljudka da zadatak nije jednoznacnoreiiv, jer je dobijena samo jedna iednadina sa dve nepoznate. Medutim.uzimajuii u obzirrealne uslove zadatka, da su na zadatoj strani ulice neparnikuini brojevi, jer im je zbir neparan (da su parni brojevi i z-bir bi im bioparan), izdvajamozakl judak: al > l ineparanbroj (ne rnorabit i 1, jerugaone znadi i podetak ulice).

Iz uslova zadatka dobijam dalje:

n > 5 , i a 1 * n - 1 > n

/7

2

77

Iz dinjenice da su dinioci neparnog broja takode neparni, iz (2\ zak-ljutujemo:

n je neparan broj ;

an' f-n-1 je neparan broj .

Na osnclvu ove analize zaciatka, postupak za iznala2enje rezultata sesvodi na rastavljanie broja 1 17 na neparne cinioce. koji ispunjavaju rrslovezadatka, a to su brojevi I i 13.

Da l je zak l judu je rno : n :9 . a t :5 i a5 :13 .

Dakle odgovor na postavljeno pitanje glasi:

kucni broj pete kuie je 13.

Provera zadatka se moZe izvriiti i neposrednorn kontrolom u izvorrrorr.tambijentu zadalka, sabirajuii 9 uzastopnih kucnih brojeva i idenrifil i '.rjucibroj pete kuie.

2. Neki radnik star 20 godina zavriio bi utovar 15 tona robe za 12 satiPoito je radio 3 sata, pomogne mu drugi radnik star 25 godina. koj i biraiposao zavr5o za 15 sati. Za koliko sati ie utovariti ovu robu zajedno naopisani nadin?

Za reiavanje ovog zadatka neophodno je formirati odqovarajr-rcimatematiiki model. Analizom moZemo doii do zakljr-rdka da godine Zivotai priroda posla nisu relevantni uslovi zadatka,pa ih nroiemo z-anemariti.

Relevantni podaci ivaine relaciie su:

I radnik bi posao zavriio za l2 sati;

l l radnik isti posao bi zavriio za l5 sati;

I radnik je radio 3 sata viSe nego l l radnik.

Iradnik je za jedan sat zavrsio 1r12 posla, a I I radnik 1l l5 pasla Zatri sata prvi radnik je zavr5io 3/i2 posla (114), a preostali deo posla su zavriil i'za x dana, radeii zajedno.

Prema tome: x( l112 + 1 15) :3 4

Reiavanjem ove jednadine dobijamo da je x:5.

Odgovor na postavljeno pitanje:

Radnici radeii zajedno pod datim uslovima dati posao ce z-avrSiti za B

Provtza5 sati Iceo Posa

3. Pr

satl.

78

iz i,?_t zak

ezuitata :reralu rrsiove

tz\,10r no f ltniif i i i ir jrrci

za )2 saiikoji bi raj

i jedno na

lova ral Li.-]rne Zivotitrnaiit i

rosla Zau za,;r i i l i

Provera reSenia; Fn,i radnir< za E sati ce uraditi g,/ t2 posra. a drurli radnil<za 5 sat i5/15 posk. Prema ioryre za I sat i bi ie uratJer i l l ] , -213: i . dal i leceo posac].

3. Frirneri zadataka za c{okazivarile su dati u prretlrodnim F]o(ltravliirna

srti za B

79

'Matentatlkale uuek b|1a 'Ah|/oua peta"

suake.iko/e".

S. Prvanovic

5. NASTAVNI EAS. TIPOU TTSOVN U T{ASTAVIII,TI{TEIh/ITIKE

5.1. Nastavni ias

Nastavni das je glavni segment organizacije nastavnoq rada. Cas jeosnovna vremenska, sadriajna i metodidka celina.

Osobenosti dasa matematike uslovljene su, pre svega, osobenostimamatematike kao nastavnog predmeta. Posebno, program razredne nastavematematike sadinen je tako, da se istovremeno sa izudavanjem aritmetidkihsadrZaja izudavaju elementialgebre igeometrije. Stoga se na jednom isiomdasu vrlo desto istovrerneno razmatraju aritmetidki, algebarski i geometrij-ski sadriaji. lzudavanje sadrLaja raznih delova programa, svakako, utide nastrukturu dasa i metodiku njegovog izvodenja.

Druga osobenost progranta razredne nastave je razmatranje unredusobnoj vezi teorijskih i praktidnih pitanja. Zato se na svakom iasumatematike usvajanje znanja odvija istovremeno sa formiranjem umenja inavika.

Na svakom tiisr-r se realizuje, po pravilu, nekoliko metodidkih ciljeva:u odnosu na jedan sadrZaj obavlja se blagovremeno pripremni rad; uodnosu na drugi sadrZaj - upoznavanje sa novim pojmovima i njihovopodetno utvrdivanje; u odnosu na treii ranije izudavani sadrZaj - obavlja seutvrdivanje radi uopitavnja i sistematizacije znanja, odnosno formiranjaumenja i navika, Istovremeno se na svakom dasu ostvaruje i proveravanieznanja, umenja i navika udenil<a. Medu svim ovim ciljevima poneki zauzi-maju dominantno, tj. istaknuto mesto na odredenom (pojedinom) iasu. Urealizaciji metodidkih ciljeva dasa posebno je vaZno pridrZavati se postup-nosti u radu, od iasa do dasa. To je moguie samo u sludaju kada nastavnikdobro zna kojim znanjima, umenjima i navikama ucenicitreba da ovladajuna kra"iu proudavanja nastavne teme. odnosno ako nastavnik ima preciznu

8 1

sliku celog sistema dasova za odredenu temu. Svaki das u tom sistemu imaspecifidan cilj i specifidnu ulogu u izudavanju teme. Dakle, svaka nastavnatema obraduje se sistemom dasova.

Specifidnost dasova matematike uslovljena je takode osobenostimausvajanja matematidkih sadriaja od strane udenika: apstraktni karaktersadrZaja zahteva briZljiv izbor nastavnih sredstava i raznovrsnih metoda ioblika aktivnosti udenika u toku dasa.

Na dasovima matematike, u toku usvajanja sadrZaja, treba stalnoproveravati znanja udenika, da bi nastavnik mogao uspeinije upravljatinjihovim aktivnostima i ostvarivati diferenciranu nastavu. Kada se dajenekoliko varijanti zadalaka, onda, po pravilu, treba proveravati reSenjesloZenijih varijanti da bi svi udenici shvatili kako treba reiavati te zadatke. ida bi provera doprinela poboljianju znanla ucenika celog odeljenja.

Na dasovima matematike se, u globalu, ostvaruju obrazovni, razvojrti ivaspitni zadaci.

Odrediti obrazovne zadatke dasa, znadi odrediti 5ta ude udenici: ( l)koja znanja treba cia usvoje, (2) koje nadine i postupke treba da formiraiLr.

Razvojni zadaci dasa su usmereni na razvoj miiljenja. jezika (govora).posmatranja, merenja idrugih procesa i funkcija kod udenika.

Posebna paZnja na dasovima se pridaje razvitku interesovanja kodudenika za matematiku i vaspitavanju navika samostalnog rada. lntere-sovanje za matematiku i intelektuaina samostalnost tesno su povezaniKada je uienicima interesantno na dasu, oni tada ispoljavaju znatno vecuaktivnost i samostalnost u radu. To znadi da aktivnost i samost.alnost, koieispoljavaju udenici u sticanju znanja, pobuduju kod njih interesovanje :amatematiku.

Veliki znadaj za vaspitanje intelektualne samostalnosti i razvitka int.eresovanja za matematiku kod udenika ima pravilan izbor nastavnih metoda.

Samostalan rad udenika je jedan od efikasnih nastavnih metoda. Nadasovima matematke taj se rad ostavaruje: u toku pripreme za izucavanjenovih sadrZaja; pri upoznavanju s jednostavnijim novim sadrZajima: kodutvrdivanja znanja, umenja i navika, a takode i prilikom proveravanjausvojenosti ranije izudavanih sadriaaja.

Na dasu matematike se ostvaruju raznovrsni vaspitni zadaci: fornrirase inicijativa, odgovornost i savesnost u radu; izgraduje se tacnost iurednost u radunanju, merenju, crtanju, formulisanju i zapisivanju; vaspi-tavaju se navike sistematskog rada i savladivanja teikoia.

5.2. Ti

U zavisrsu podred enastavi mat,

- komb

- das ol

- ias ut

- cas pt

Kombi'ciljeva, ondnajvi5e raspodgovara Itakode i osr

Struktt-i provera rutvrdivanjegrad iva ;2)gradiva; 3)tavnih tem

Na daupoznatoggradiva in'upoznatoggradivo. Piunrenja i rizudavanjetoku dasa

Casoposebnihgradiva. Iiasu. Po:gradiva. (takode prgradiva sru sistem,sticanje t

82

nu tma\s\a\\,a

lostimaiarakteretoda i

stalno'pnil1atrse dajereSenje

adatke, ia .

'azvojni i

:n ic i : ( | )rrmirajU.

Eovora).

nja kodl - + ^ - ^

. l l t t c t c -

ovezani.no vecurst, koie,ranje za

r intere-netoda.

rda. Nacavaniena; kod:ravanja

forrnirarenost ir; vaspi-

5.2. Tipovi i struktura nastavnih dasova

U zavisnostiod osnovnog, dominantnog metodidkog cilja dasa, komesu podred eni svi drugi ciljevi, izdvajaju se sledeii tipovi dasova u razrednoinastavi matematike:

- kombinovani das:

- tas obrade novog gradiva;

- ias utwdivanja i ponavljanja gradiva

- das proveravanja znania, umenja i navika.

Kombinouani iasoui. Ako das ima nekoliko ravnoDravnih ntetodidkihciljeva, onda se takav das naziva kombinovani. Komtiinovani tip casa jenajviSe rasprostranjen u osnovnoikolskoj nastavi, jer ovaj tip dasa najviSeodgovara uzrasnim osobenostima uienika mladeg Skolskog uzrasia, atakode i osobenostima koncepcije programa nastave matematike.

Struktura dasova kombinovanerg tipa moie biti razlidita: 1) utvrdivanjei provera ranije upoznatog gradiva; 2) upoznavanje novog gradiva; 3)utvrdivanje novog gradiva; 4) domaii zadaci, ili: 1) upoznavanje novoggradiva ; 2) utvrdivanje upoznatog gradiva na datom dasu i ranije prerlenoggradiva; 3) domaii zadaci; 4) pripremni rad na izuiavanju sledeiih na-stavnih tema.

Na dasu kombinovanog tipa, za ponavljanje i proveravanie rani.;eupoznatog gradiva, troii se pribliZno isto vreme kao i za upoznavanje novoggradiva i njegovo utvrdivanje. Pri tome, istovremeno sa utvrdivanjem ranrleupoznatog gradiva, nastavnik desto proverava kako su uienici usvofiligradivo. Paralelno s upoznavanjem novog gradiva vrii se utvrdivanje zrranja.umenja i navika iz novog gradiva; utvrdivanje se povezuje s pripremonr zaizudavanje sledeiih tema, itd. Ovim se obezbeduje aktivan rad udenil<a Lrtoku tasa.

Casouiobmde nouogrgrmdiua. - U razrednoj nastavi matematike nemaposebnih dasova matematike koji su sasvim posveieni obradi novoggradiva. Novo gradivo se razmatra u malim segmentima, skoro na sval<omiasu. Postoje dasovi diji je osnovni metodidk cilj upoznavanje novoggradiva. Ovom radu pripada veii deo dasa, pri demu se drugi delovi casatakode podredeni izudavanju novog gradiva. Da bi uspostavili veze novoggradiva sa ranije upoznatim gradivom, odnosno da bi nova znanja ukljuciliu sistem, ponavljaju se oni sadrlaji i pitanja koji pripremaju ucenike zasticanje novih znanja i pomaZu im da samostalno izvode odredene zak-

B3

ljudke. Pored upoznavanja s novim gradivom, na ovom dasu vrSi se podetnoutvrdivanje novou svojenih zna nja.

Struktura ovog tipa dasa moZe biti sledeia: 1) ponavljanje gradiva kojeje neophodno za svesno usvajanje novih matematidkih znanja; 2)upoznavanje novog gradiva; 3) podetno utvrdivanje gradiva koje se izudava;4) domadi zadaci.

Naizmenidnost strukturnih elemenata dasa moZe biti i drugadija, ali usvakom sludaju se glavni deo dasa ovog tipa posveiuje obradi novoggradiva.

Casoul uturdiuaryta f pornu!'ar11a gtndiua. - Clavno mesto nadasovima ovog tipa zauzima reiavanje raznovrsnih zadalaka sa ciljem dase uveiba i obnovi ranije predeno gradivo.

Izvode se veZbanja u odredenom sistemu a posebna pai.nja se pridajesamostalnom radu udenika. Struktura ovih dasova je, po pravilu, sledeca:1) obnavljanje znanja, umenja inavika, koja su potrebna za reSavanjezadataka; 2) samostalno obavljanje razliditih veZbanja; 3) proveravanjere5enja zadataka iizvodenje zakljudka (rezimea); 4) domaii zadaci.

Radi produbljivanja znanja i usavriavanja umenja i navika na ovimdasovima ponekad se unose i elementi novog gradiva. Osim toga, istovre-meno ili pomoiu specijalnih veZbi izvodi se pripremni rad za izudavanjetema koje dalje sleduju po programu. Ali ovi metodidk ciljevi podreduju seosnovnom cilju dasa - utvrdivanju gradiva koje se izudava. Na podetkuSkolske godine, na podetku drugog polugodiSta, il i izuiavanja pojedinihnastavnih tema, realizuju se dasovi utvrdivanja izudavanog gradiva sa ciljemponavljanja, uopitavanja i sistematizacije onih znanja koja su potrebna zaizudavanje novih nastavnih tema. Na kraju izudavanja teme, na kraju prvogpolugodi5ta, ili na kraju nastavne godine, na dasovima utvrdivan.ja seukljuduju veZbanja uopitenog i sistematizovanog karaktera.

uaryia zna41a, umerya i nauika. -Glavno mesto se na ovimiasovima dodeljuje usmenom i pismenom proveravnju ranije usvojenoggradiva. Proveravanje se, po pravilu, povezuje sa utvrdivanjem znan;a.umenja inavika. Samostalni pismeni radovi zauzimaju 15 do 20 minuta.ostalo vreme se dodeljuje utvrdivanju ranije izudavanog gradiva. Na krajudasa, ako se'proveravbnje izvodi u usmenoj formi, naitavnik, po pravilu.daje kratku karakteristiku znanja, umenja i navika udenika (ukazuje nadostignuia, nedostatke i puteve njihovog prevladavanja). Ako se pro-veravanje vrSi iskljudivo u pismenoj formi, onda se sledeii das posvecLrjeanalizi rezultata kontrolne veZbe, ispravljanju tipidnih greiaka, ponavljanjui utvrdivanju onih sadrZaja koji su slabije usvojeni. Proveravanjematematidkih znanja, po pravilu, treba realizovati na svakom iasu u

razrednposvetil

Natike trel

l . l

2 . r

3 . '

4 .

Privei se

84

etno

koje'

/ l

:ava;

ali u)vog

) n an d a

razrednoj nastavi matematil<e. Sem toga, proveravanju je neophodnoposvetiti i posebne dasove.

Na kraju se moZe zakljuditi da bez obzira na tip, nastavni das matema-tike treba da ima sledeiu globalnu strukturu:

i. preparativna (pripremna) faza,

2. operativna ili centralnafaza ostvarivanja ciljeva i zadataka dasa,

3. verifikativna ili kontrolna faza.

4. faza domaieg zadatka.

Pri tom treba imati r-r vidu da faze nisu strogo, disjunktno razdvojene,vei se medusobno proiimaju i dopunjuju.

idajeleia:ianjeranje

lvlm)vre-ranjeJU se:etkul inihrljem\a zarvoga s e

)um)nogrnja.ruta.lrajuvilu.r n apro-cujeanjuanjeU U

. '

B5

"74/na dosadftaryb lei[ u tortte

ito ioue/c hoie sue da kaie"

\o\\er

6. OBLICI RAI)A O NIISTAVI II'T1{TEII'I/{TIKE

Intencije savremene nastave matemaike su, pored ostalog, da seomoguii veii uticaj matematike na razvoj mentalnih sposobnosti uienika.U matematidkom obrazovanju, podev od razredne nastave, istide se pri-oritet formalne komponente nad materijalnom. Matematika kao nastavnipredmet za udenike, mora postati humanija na taj nadin 5to ie uvaZavati irazvijati sposobnosti svakog udenika. Udenik na dasovima matematiketreba da se nalazi u situaciji da sam otkriva i pronalazi matematickezakonitosti, da "izgraduje svoju matematiku ".

Ovakvi zahtevi nastave matematike ostvaruju se u razredno-dasovnomsistemu raznovrsnim oblicima rada. Nastavni rad na dasu moZe da budeorganizovan tako da se odredeni sadrZaji programa realizuju sa celimodeljenjem, ili sa posebnom grupom udenika, il i samo sa pojedinimudenikom, i zbog toga u nastavnoj praksi razlikujemo tri oblika vaspitno-obrazovnog rada: frontalni (kolektivni), grupni i individualni. Ova klasifi-kacija oblika rada izvriena je prema stepenu aktivnosti nastavnika i udenikau nastavnom procesu.

Izbor oblika rada (kao i nastavnih metoda)vrii se zavisno od vaspitno-obrazovnih zadataka i sadrZaja koje treba realizovati na dasu. Pri tome se,u najvecoj meri, moraju imati u vidu i konkretne ol<olnosti u kojima senastava izvodi. U izboru oblika rada nastavnik je uglavnom slobodan, tj. onse sam opredeljuje za primenu jednog ili viSe oblika na odredenom iasu.Svakiod navedenih oblika - frontalni, grupni i individualni - ima svoje bitnekarakteristike (prednosti i nedostatke), na osnovu kojih nastavnik biranajefikasniji oblik i prelazi s jednog oblika rada na drugi odnosno koristionaj kojije najviSe adekvatan u konkretnoj situaciji.

U ovom odeljku razmotriiemo oblike rada na iasu, kao i nekeprobleme u vezi sa programiranom nastavom u razrednoj nastavi matema-tike.

87

6.1" Frontalni (kotektivni) oblik rada

Frontalni oblik rada karakteriSe simultani i zajednidki rad svih udenikajednog odeljenja na istom gradivu. Rad organizuje i njime neposrednorukovodi nastavnik. U stvari, nastavnik odreduje cilj i sadraZaj rada, plan imetode rada, sredstva za rad i pri tom sam izvodi rad. Frontalni oblik radau razrednoj nastavi matematike svakako je dominantan - najdeiie seprimenjuje u praksi - kako na dasovima obrade novog gradiva, tako i naostalirn dasovima.

Prednosti frontalnog oblika rada su: (1) s obzirom na vreme i utroiakenergije veoma je ekonomidan, jer su instrukcije upuiene svim udenicima;(2) moguie je odabrati najlakii i najuspeiniji put kojim ie udenici sticatiznanja; (3) neposredno usmeravanje nastavnika spredava lutanja i suviinepostupke koji bi znadili gubitak vremena i izazvali umor udenika; (4)ostvaruje se proces socijalizacije udenika i razvija kolektivniduh u radu; (5)svi udenici se podstidu na aktivnost, posebno oni koji nisu dovoljnomotivisani za rad.

Nedostaci frontalnog oblika rada su: (1) neminovno prisustvo di-daktickog proseka, tj. ne uvaZavaju se individualne razlike uienika; (2)didaktidka difuzija u kontaktu i komunikaciji izmedu nastavnika i udenika,jer se rad odvija odredenim temponl i stilom koji ne moZe da odgovarasvakom udeniku. tako da slabijiudenicipostepeno gube samopouzdanje ijoi viSe zaostaju u savladivanju gradiva, dok bolji udenici nisu adekvatnooptereieni, te se zavaravaju da sve mogu uraditi relativno brzo i lako; (3) utoku rada, posebno na dasovima veZbanja, mncgi uienici prate rad nas-tavnika ili udenika na tabli, dime se umanjuje njihova aktivnost i sputavainicijativa i samostalnost u radu.

Praksa pokazuje da se nedostaci frontalnog oblika rada mogu prilidnoublaZiti njegovom uspeinom kombinacijom sa individualnim i grupnimoblikom rada.

6.2. Grupni oblik rada

To je oblik rada u kojenr je odeljenje, za izvesno vreme, podeljeno namanje ili veie grupe ( od 3 do 15 udenika, najbolje je 3 do 5 udenika). Uoptimalnim psiholoikim i socioloikim uslovima, ove grupe samostalnorade na usvajanju, utvrdivanju, reiavanju i primenjivanju raznih vaspitno-obrazovnih sadraZaja. Tako dlanovi grupe razvijaju i usavriavaju svoie

sposobnostipraktidna zroblik radautvrdivanja 1

D a b i sraduna o fotu grupi. Grusedenja, po

Ako sunivoa znanjdajemo slo)sloZenosti, tsludaju sval

Ako suda bude ujtjedan od brsvaka grupisve zadatketakmide u t

Za svadoprinosi i

Prednrudenika u,grupe i raznego Pn Ir(integracijor

Nedosgrupe; (2):za primentmnogo mi

Rad uproblemujednosmetkarakter (tRazredno-nastava nstolovima,parovimaSC MOZE U

BB

;vih udenikaneposrednorada, plan ir iobl ik radanajdei(e sera, tako i na

ne i utro5akr uienicima;cenici sticatinja i suviineudenika; (4)h u radu; (5)su dovoljno

rrisustvo di-udenika; (2)<a i uienika,Ca odgovararpouzdanje iu adekvatnor i lako; (3) u'ate rad nas-rst i sputava

rogu prilitnon i grupnim

>odeljeno na' utenika). Usamostalno

rih vaspitno-Savaju svoje

sposobnosti za samostalan rad, forme socijalnog ponaianja i stidupraktidna znanja, umenja i navike. U razrednoj nastavi matematike gruprrioblik rada narodito je pogodan za primenu na iasovima veZbanja iutvrdivanja predenog gradiva.

Da bi se grupni oblik rada uspeino primenio. posebno treba voditiraduna o formiranju isastavu grupe, izboru nastavnih sadriaja i nadinu radau grupi. Grupe se mogu formirati na razne nadine: po uspehu, po rasporedusedenja, po slobodnom opredeljivanju udenika i sl.

Ako su formirane po uspehu (u jednoj grupi su uienici pribliZno istognivoa znanja), onda je to diferencirarri grupni rad: grupi boljih uienikadajemo sloZenije zadatke, grupi prosednih udenika dajemo zadatke srednjesloZenosti, a grupislabijih udenika zadajemo jednostavnije zadatke. U ovomsludaju svaki udenik u grupi reiava deo zadatka.

Ako su grupe formirane po drugim kriterijumima (svaka grupa trebada bude ujednadena u pogledu sastava udenika, tj. u svakoj treba da budejedan od boljih udenika), onda je to nediferencirani (istovrsni) grupni rad:svaka grupa reiava iste zadatke. U ovom sludaju svaki udenik treba da re5isve zadatke (pri demu moZe da se savetuje s ostalin-ra u grupi), a grupe setakmide u reiavanju zadataka.

Za svaki das treba ponovo sastavljati grupe, jer takav nadin radadoprinosi Siroj socijalizaciji udenika.

Prednosti grupnog oblika rada su: (1) pojaiana samostalna aktivnostudenika u odnosu na frontalni rad; (2) prihvatanje odgovornosti za uspehgrupe i razuijanje takmidarskog duha; (3) dublje i Sire usvajanje sadr2aja,nego pri frontalnom radu; (4) negovanje prirodne teZnje za saradnjom, zaintegracijom.

Nedostacigrupnog oblika rada su: (1) nejednaka aktivnost svih dlanovagrupe; (2) s obzirom na potrebno vreme za njegovu primenu, nije pogodanza primenu na svim tipovima dasova i u okviru svih sadrZaja programa; (3)mnogo manje je ekonomidan, nego frontalni rad.

Rad u parouima. - Pri ovom obliku rada dva ucenika rade na istomproblemu realizujuii tako ciljeve dasa. Rad u parovima moZe da imajednosmeran karakter ( bolji udenik pomaZe slabijem), il i dvosmerankarakter (uzajamna pomoi, medusobna kontrola, uzajamno ocenjivanje).Razredno-dasovni sistem nastave i uslovi u kojima se izvodi razrednanastava matematike u mnogim naiim Skolama (name5taj s radnimstolovima, odnosno klupama za par udenika), omoguiavaju da se rad uparovima moZe primenjivaticei6e nego grupni oblik rada. Rad u parovimase moZe uspeSno kombinovati sa frontalnim i individualnim oblikom rada

B9

na svim iasovima podev od I razreda. Ovaj oblik rada predstavlja prelaznimodalitet - individualnog ka sloZenim oblicima grupnog rada i odgovaraprirodnoj teZnji ljudskog rada za udruZivanjem.

Prednosti rada u parovima su:(i) medu raznim parovima se javljajuprirodne i lako kontrolisane takmitaraske ambicije, uporedivanje parovapodstide na rad; (2) saradnja u tandemu pribliZava udaljene pojedince iusmerava ih zdravoj solidarnosti u radu; (3) motivacija u radr-r postajesadrZajnija, kontrolisanje i vrednovanje sopstvenih rezultata je iire i naviSem stepenu realnosti i objektivnosti.

Nedostaciovog oblika rada slidnisu nedostacima grupnog oblika rada.

U naiim uslovima primena rada u parovima moZe se najlakie ostvaritikoriS6enjem nastavnih listiia i poluprogramiranog materijala iz postojecihudZbenika i radnih listova. Priovom obliku rada, kao i prigrupnom obliku,treba voditi raduna o formiranju i sastavu parova, izboru sadrZaja i sred-stava, nadinu rada i dr.

6.3. Individualni oblik rada

Ovo je najstarijioblik rada u kome svi udeniciistovremeno i samostalnosavladavaju isto nastavno gradivo. Individualni oblik rada najviSe jeprilagoden prirodi, karakteru i zakonitostima udenja. U njegovoj primenidominantno mesto, na relaciji nastavnik-udenik, pripada udeniku. Onsamostalno u okviru svojih znanja i sposobnosti, analizira date podatke,izvodi zakljudke, reSava zadatke i proverava tadnost svog rada. Zato jevaspitna vrednost ovog oblika rada veoma znadajna: udenik stide poverenjeu vlastite snage, osposobljava se za samokritidnost i samokontrolu, navi-kava se na disciplinu, tadnost i istrajnost u radu.

Uvodenje udenika u individualan rad treba da bude sistematsko,postepeno i permanentno. Razlikujemo tri etape ovog oblika rada. i to:

a) individualni rad podinje frontalnim oblikom rada (svim ucenicimapostavljaju se istizadaci i daju se uputstva za reiavane zadataka);

b) udenici samostalno reiavaju zadatke (nastavnik ih obilazi, ispravlja,daje dodatna uputstva po potrebi, a udenike koji prvi reie zadatak. upuiujeda prate i pomaZu ostalim uednicima pri reSavanju zadataka);

c) po potrebi vrii se frontalna analiza rezultata rada

lni asu . '

a)

b)rada c

c )

(frontt

PPosta'noj nividovisvojinnastaoblikr

tokupri izri prisludasasta

stalnindivalnihnost:osol

uder

l ja prelaznii odgovara

se javljajunje Parova>ojedince iiu postaje: Sire i na

bl ika rada.

5e ostvaritipostojecihrm obl iku,aja i sred-

mostalnorajviSe jel pr imeniniku. Onpodatke,. Zato je'OVerenjellu, navi-

matsko,, i t o :

enicima

;pravlja,rpuiuje

Individualni rad ucenika predstavlja osnovu bilo kojeg oblika rada nadasu. Treba razlikovati sledeie vidove individualnog rada:

a) samostalan rad udenika koji usmerava (vodi) nastavnik;

b) samoaktivnost utenika u nastavnom procesu kada ciljeve i nacinerada odabiraju sami udenici (slobodan individualan rad);

c) individualan rad udenika u procesu organizovanja drugih oblika rada(frontalnog, grupnog, rada u parovima).

Podrazumeva se da je samostalan rad utenika prema jasnopostavljenim zadacima nastavnika, osnovni vid individualnog rada u razred-noj nastavi matematike. Postupno se u nastavni proces ukljuduju razliiitividovi frontalnog i grupnog rada, u kojima udenik treba da saraduje sasvojim drugovima pri reiavanju zajednidkih zadataka koje je postavionastavnik. Medutim, cilj kojem treba teZitijeste - samoaktivnost uienika uobliku samoudenja i samoobrazovanja u nastavnom procesu.

Samostalan i samoaktivan rad ucenika dolazi do izraLaja uglavnom utoku reiavanja domaiih zadataka. Na dasovima ovaj oblik rada koristi sepri izvodenju kontrolnih radova, Skolskih pismenih zadataka, testova. kaoi pri koriSdenju rcznog programiranog materijala. tl svim ostalimsludajevima individualni rad udenika javlja se kao elemenat, odnosnosastavni deo frontalnog ili grupnog rada.

/ndiutduallzouant md je oblik rada u kome svaki udenik radi samo-stalno na posebnom zadatku. U stvarl, individualizovani rad je diferenciraniindividualni rad. Osnovna karakteristika takvog rada je uvaZavanje individu-alnih razlika svakog udenika, koje se ogledaju u psihofizidkim sposob-nostima, tempu rada, iskustvu, nadinu reagovanja i karakternimosobinama.

Individualizacija se moZe ostvariti ako se upoznaju individualne razlikeudenika, i to postupkom identifikacije i dijagnoze.

Postupak identifikacije ima tri etape.

U prvoj etapi utvrduje se:

a) fizidka, psiholoika i socijalna zrelost;

b) razuijenost sluha ivida;

c) opsta mentalna razvijenost;

d) uslovi Zivota udenika u porodici.

9 1

U drugoj etapi utvrduje se da liudenikvlada onim znanjima, umenjimainavikama koje dine neophodnu op5tu osnovu za uspeino usvajanje novihznanja, tj:

a) osnovna matematicka pismenost;

b) osposobljenost za sluZenje udZbenikom.

Treia etapa obuhvata utvrdivanje uzroka iprirode individualnih razlika.

Metode itehnike u identifikaciji i dijagnozi:

a) nastavnikova opservacija ;

b) uobidajeno tekuie usmeno i pismeno proveravanje;

c) razgovor nastavnika sa udenikom i roditeljima;

d) primena objektivnih tehnika;

e) testovi inteligencije.

Najpoznatiji nadini, postupci i tehnike individualizovanog rada:

a) rad sa nastavnim listii ima;

b) rad sa zadacima razliditog nivoa teZine;

c) individualna nastavnikova instrukcija;

d) rad sa programiranim materijalima;

e) dopunski rad;

f) dodatni rad.

Rad sa nastavnim listi6ima:

1. Struktura nastavnog lista

Svaki nastavni listi6 ima tri dela:

a) uvod u zadatak (podseia udenike na neko ranije obradeno gradi-vo) :

b)rc ) r

2 . \

a ) l

b ) l

c,l ise usvc

PreangaZore5avaru radu;nostii ti na svt

Nepripren

Ui indivirresavazadalagruParnivoimstalnopodac

Usadairnastalradu.samo(viduali osarmaterfrontaNijedtuslovioblicit

92

)a, umenjimavajanje novih

,ralnih razlika

rada:

b) glavni deo lista (sadrZi uputstva za proudavanje problema);

c) reiavanje zadataka.

2. Vrste nastavnih listiia:

a) listiii za dopunjavanje znanja;

b) listi6i za brli razvoj udenika;

c) listiii za samostalno udenje (sadrZaji u vidu zadataka koji treba dase usvoje).

Prednosti individualizovanog oblika rada su: (i) maksimalnaangaZovanost individualnih sposobnosti i znanja svakog udenika (putemreSavanja razliditih zadataka po teZini); (2) potpuna samostalnost udenikau radu; (3) moguinost da nastavnik stekne potpuni uvid u znanje, sposob-nosti i osobine udenika; (4) primenjivost na mnogim sadrZajima programai na svakom tipu dasa.

Nedostatak ovog oblika rada je u tome 5to zahteva dosta vremena zapripremu iprimenu.

U razrednoj nastavi matematike primenjuje se kako individualni, takoi individualizovani rad, pa i kombinacija, kada nekoliko udenika samostalnoreiava jedan zadatak, druga grupa udenika samostalno reiava drugizadatak itd., pri demu su zadaci prilagodeni sposobnostima utenika pogrupama. 0 stvarito je oblikindividualizacije pomoiu zadataka na razliditimnivoima sloienosti. Interesantan oblik individualizovanog rada je i samo-stalno sastavljanje zadataka od strane udenika, kojima se unapred dajupodaciili Sema prema kojoj treba da sastave zadatak.

U veoma vaZne zadatke unapredivanja nastave matematike usadainjim uslovima spada razvijanje maksimalne aktivnosti ucenika unastavnom procesu i njihovo osposobljavanje za potpunu samostalnost uradu. Posebno je znadajan problem samostalnog rada, samoudenja isamoobrazovanja. Zato individualni i individualizovani rad, odnosno indi-vidualizacija i diferencijacija nastave, koji udenike u najveioj meriaktivirajui osamostaljuju u radu, jesu oblici koji doprinose unapredivanju nastavematematike. Medutim, u sadainjim uslovima razredno-dasovnog sistema,frontalni rad joi uvek ostaje dominantan, pa ga valja i dalje usavrSavati.Nijedan oblik rada ne sme se proglasitiiskljudivim, jer svaki, pod odredenimuslovima, moZe bitiuspeian, tj. moZe imati neka preimuistva nad drugimoblicima.

rdeno gradi-

93

Programirana nastava

Programirana nastava se moZe smatrati i oblikom nastavnog rada ukome se nastavno gradivo na poseban nadin logidki strukturira i dajeudenicima u manjim, ranije pripremljenim delovima koje udenici usvajajusamostalno, postupno, iduii korak po korak sopstvenim ritmom i pro-veravaju6i usvojenost tih sadrZaja pomoiu stalne i tekuie povratne infor-macije.

Karakteristike programiranog oblika nastave su:

1. Udenik usvaja samostalno sadrZaje, tzv. "dlanak", "sekvencu", temu,tadno programiranu i logidki strukturiranu.

2. Udenik napreduje korak po korak sopstvenim ritmom, bez uieiianastavnika.

3. Usvajanje nastavnih sadrLaja izloZenih u "porcijama" ("dozama")sistematski se proverava pomoiu povratnih informacija (postupnost, mo-tivacija).

4. Udenik prelazi na naredni korak samo ako je usvojio prethodneetape.

5. Suitina programirane nastave je u tome Sto su unapred, detaljno Iprecizno, odredeni ne samo sadrZajivei i sam Proces usvajanja.

Pojmove u programiranoj nastavi dine:

Teme: grupa sekvenci koje se odnose na deo nastavnog proglama.

Sekvenca: sastoji se od viSe dlanaka, a odreduje deo tematidke celine.

Clanak ("porcija", "doza"): destica znanja koju udenik usvaja re5avaji-rcineki problem, zadatak, pitanje.

Struktura dlanka:

a)informacija;

b) zadatak;

c) re5enje;

d) instrukcija (ako je neophodna za dalji rad).

FnastakasnrpostivaLarznand a bindiv

:

izvo,min

pravu rattivn<

odnnosskr<

94

rad

lavnog rada urkturira i dajelenici usvajajuritmom i pro-'ovratne infor-

vencu , temu.

n, bez uieiia

a" ("dozama")jrupnost, mo-

i io prethodne

ed, detaljno rnja.

programa.

i t icke cel ine.

ja reSavajtrci

'Uzrcke neuspeha suo1|h uientka naslauntl-

beba da traii pre suegra u sanzont sebi"

S. Prvanovi6

7. PRAEENJE I OCENJIVAI\JE RAI}A I REZOLTATA

RADA UCNXME O NASTAVI IhATEM/\TTKE

Praienje rada udenika i njegovog celovitog razvoja je stalni zadataknastavnika, da bi na osnovu povratnih informacija u nastavi mogao efi-kasno da upravlja nastavnim procesom. Kriterijumi upravljanja supostavljani ciljevi i zadaci u nastavi matematike. To je izuzetno odgovoran,vaian, ali iveoma delikatan zadatak svakog nastavnika. Vrednovanje rada,znanja, veStina, navika, razvoja celokupne lidnostiudenika, pre svega trebada bude individualizovano i kontinuirano jer je svaki udenik posebnaindividualnost i nalazi se u stalnom razvoiu.

Sta se vrednuje u nastavi matematike?

-Znanja - udenik treba da usvoji odredenu kolidinu dinjenica podataka,pravila i sl. VaZan je iobim i nivo znanja, 5to podrazumeva i njihovu primenuu raznim oblastima. Nastavniprogrami matematike jasno odreduju opera-tivne zadatke za svaki razred.

- Umenja (veitine) - udenik treba da relativno brzo, tadno i spretnoizvodi razne operacije, da se sluZi simbolima, matematizacijom, algorit-mima, odredenim priborom itd.

- Navike - udenik treba da stide i odredene pozitivne navike,kao Sto su:odnos prema radu ( sistematidnost, odgovornost, preciznost, samostal-nost, urednost i sl.), teorijski pristup problemima u praksi, racionalnost,skromnost, kritidnost itd.

Sposobnosti - posmatranja, logidkog miSljenja, apstrahovanja,snalaZenja u prostoru, funkcionalnog miSljenja itd.

- Stavovi - socioetidki Stavovi kao 5to su: naudni pogled na svet,radoznalost, intelektualno poitenje, stav prema radu itd.

95

Cemu vrednovanje u nastavi matematike?

Ocena, kao povratna informacija o kvalitetu nastavnog procesa imasledeie funkcije:

- informacionu - da blagovremeno obavesti ucenike, roditelje i ikolu ouspely pojedinih udenika, a nastanika o rezultatima njihovog rada, s ciljemSto efikasnijeg upravljanja nastavom.

- motivacionu - da podstide udenike na veie angaZovanje i motiviSe zasistematsko udenje,

- orijentacionu - predstavlja osnovu za utvrdivanje uzroka teikoia unapredovanju udenika i za peduzimanje odgovarajuiih mera radi postizanjaboljeg uspeha i harmonidnijeg razvoja udenika. Na kraju Skolovanja uodredenoj Skoli uspeh udenika svakako ce biti jedan od usmeravajuiihfaktora za izbor poziva.

7.1. Karakteristike ocena

Ocena iz matematike treba da izrazi stvarni uspeh pojedinog uienikau nastavi, dakle treba da bude:

- valjana - da pokazuje stepen usvojenosti programa nastave matema-tike, u skladu sa operativnim zadacima te nastave.

- objektivna - da zavisi samo od pokazanih rezultata, a ne od subjek-tivnih utisaka nastavnika, il i prirode instrumenata kojima se vr5i pro-veravanje i ocenjivanje.

- pouzdana - da se za isti stepen usvojenosti programskih sadr2aja uponovljenim ocenjivanjima (od drugog nastavnika ili nekom objektivnommetodom) dobija ista ocena.

Nastavnik prilikom "vrednovanja udenika" treba da ima u vidu liirrostudenika u celini, uslove pod kojima Zivi i radi, njegove moguinosti, zala-ganje, i sl. Naravno, taj faktor ne moZe biti odludujuii, niti bitno uticati nasniZavanje kriterijuma ocenjivanja.

Vrednovanje rada i rezultata rada udenika tokom Skolske godine se vrii:

- brojdanom ocenom i

- c

olefektir( a n a kkoje stbeleZirS e n a l

\J

kvalite

I

vera\alter

obra

C

1obuhtnosta

zsredni navi

proEodgo

obrzd a t

bitnjedrFflOt

-

lesa ima

i Skolu o, s ciljem

rtiviie za

rikoia urstizanjalvanja uavajuiih

ucenika

'ratema-

subjek-rii pro-

driaja udivnom

r lidnost;ti, zala-Licati na

- oprsnom ocenom.

Obrazovni efekti nastave se izraZavaju preteZno brojdanim, a vaspitniefekti najdeiie opisnim ocenama. Ocene u dnevniku su po pravilu brojdane(a na kraju Skolske godine iskljudivo brojdane), alioni moraju uvaZiti i ocenekoje su date u opisnoj formi. Opisne, a i neke brojdane ocene, nastavnikbeleZi u svojoj svesci. Ocene se u dnevnik rada unose periodidno iformirajuse na osnovu svih relevantnih aspekata nastave matematike.

Glavna komponenta ocene iz matematike je znanje, njegov obim ikvalitet.

Obim znanja se moZe definisati u koncentridnim kruqovima:

1. Znanja koja su neophodna za svakog udenika. Programskiminimumobuhvata sve vaZnije pojmove, pravila, formule i nihovu primenu u najjed-nostavnijim sludajevima .

2. Znanja koja su potrebna za odeljenje, ( ali ne i za svakog udenika) -srednji, krug znanja, koji obuhvata sva osnovna znanja, neophodne veitinei navike.

3. Optimalni nivo znanja (stidu ga pojedini ucenici), koji pored sadrLajaprograma obidno podrazumeva i proiirenje znanja iz datih oblasti, sodgovarajudim veitinama i navikama.

Kvalitet znanja se javlja na razliditim nivoima:

1. Prepoznavanje - pojmova, definicija, pravila, formula itd. Pro-veravanje ovog najniZeg nivoa znanja se vrii usmeno ili pisano, putemalternativnih pitanja, viSestrukim izborom, sparivanjem grupe podataka i sl.

2. Reprodukcija - udenik moZe da reprodukuje odredene sadrZaje, bezobrazloZenja ili suitinskog razumevanja.

3. Razumevanje - stvarno shvatanje i razumevanje sadriaja, sa logidkimobrazloZenjem. Qdenik je u moguinosti i da vrii misaonu preradu znanja,da povezuje dinjenice i da izvodi odredene zakljudke.

4. Nivo primqne - funkcionalnost znanja i umenja. Odenik zna da izdvojibitno od nebitnog, da apstrahuje, da formira matematidke modele nekihjednostanijih pojava, odnosno da aktualizuje izudavane matematidkemodele.

) se vrst:

9l

5. Nivo kreativnosti ili stvaraladkog rada - udenik, saglasno svomuzrastu, uspeSno koristi stedeno znanje u reiavanju veoma Sirokog spektraproblema, traZi najelegantnija reienja, kritidki analizira i procenjuje iznetetvrdnje, samostalno formuliSe odredene probleme, matematidke modele irutinski ih reiava.

ViSi nivoi znanja uvek podrazumevaju i sve niZe nivoe, a pre svega iadekvatni obim znanja. Kvalitet znanja se procenjuje indirektno, na osnovupostupaka rada, udinjenih greiaka u radu, kako u obraditeorijskih sadrZaja,tako i prilikom formiranja I primene matematidkih modela.

Konadna ocena iz matematike na kraju polugodi5ta ili Skolske godinetreba da izraLava stepen ostvarenosti propisanog programa kako po kvan-titetu, tako i po kvalitetu, stepen formiranih umenja, navika, stavova itd.Trud izalaganje udenika, njegove mogudnosti i sposobnosti i drugi faktoritakode mogu biti korektivi kod formiranja konadne ocene."Famozna"aritmetidka sredina svih ocena tokom Skolske godine ne bi trebala da budei jedini argument za konadnu ocenu iz matematike. Neke ocene mogu bitipopravljene (opet ne po principu srednje ocene), ako je udenik savladaoone sadrZaje programa iz kojih je bio slabije ocenjen, ili se radi o ocenamarazlidite teZine (pismeni, kontrolni, odgovaranje, iz vaZnije ili manje vaZneoblasti itd.).

Ocene treba da budu javne i obrazloZene, da hrabre udenike, da ihmotiviSu . Vredanje, ili omalovaZavanje udenika je neprihvatljivo.

7.2. Obtici i metode ocenjivanja

Pracenje rada i razvoja udenika, proveravanje njegovog znanja i oce-njivanje, sve to treba da bude:

- dobro planirano, s jedne strane kontinuirano, a s drpge stranesistematsko, posle tematskih celina, sveobuhvatno i koordinirano,

- individualizovano i diferencirano, da bi svaki udenik mogao postiiisvoj lidni maksimum,

- nepristrasno, da se zasniva na priznatim i naudno proverenim meto-dama, postupcima i objektivnim elementima.

-PnZM i rad

Priktreba vr:koriste t

- ra:

- 5 k

- pi!

- pri

- v a

- priradu, dr

U n rpraienjinaJcesc,ispitivat

Pritciplinu I

- Ui udenimisaonodgovasamoktpredstz

Ustako i tznanjab i n i t r

- tkao 5tposle tprover

9B

;vomektralnetelele i

3ga INOVU'Laja,

rd inet/an -

r itd.rktori)zna"rude.r bitiadaoamaaZne

la ih

Prikupljanje podataka koji su bitniza ocenjivanje udenika iz matematiketreba rrriiti u svim fazama nastave tokom ditave Skolske godine.Pri tome sekoriste raznovrsne tehnike, od kojih su najvaZnije:

- razne forme usmenog proveravanja,

- ikolski pismeni zadaci,

- pismene kontrolne veibe, kontrolni nastavni listii i, testovi,

- praienje rada i ponaianja udenika na dasu i van dasa,

- vannastavni ivanikolski rad udenika (posebno domaii zadaci),

- praienje urednosti udenikovih svezaka i radnih listova, odnosa prenraradu, drugovima idrugaricama, odraslima i drugih vaspitih momenata.

- prikupljanje podataka o interesovanjima udenika, uslovima u kojimaZ i v i i r a d i i d r u g o .

U nastavnoj praksije neophodno kombinovanje raznih metoda ioblikapraienja, proveravanja i ocenjivanja ucenika. Usmeno proveravanje senajdeS6e kombinuje sa reiavanjem zadataka, alije poZeljno povrern€lr-roispitivati i teoriju, posebno u srednjoj 5koli.

Primena tzv."pedagoikih ocena" je nedopustiva (za disciplinu, il i nedis,cipl inu i s l . ) .

- Usmena proveravanja - realizuju se, najdeSie, kroz dijalog nastavnikai udenika. Pitanja treba tako postavljati da podstaknu 5to intenzivrrijumisaonu aktivnost svih udenika - dakle za celo odeljenje. Prilikomodgovaranja udenika, treba uticati na kulturu komuniciranja, kriti inost isamokritidnost, preciznost itd. Pored odgovarajuiih znanja, svi ovi elenrenl.ipredstavljaju indikatore za proveravanje i ocenjivanje udenika.

Usmeno proveravanje se primenjuje kako pri obradi novog qradiva.tako i na dasovima uveibavanja, utvrdivanja, ponavaljanja i sisterrratizacijt:znanja. Retki su dasovi proveravanja. a posebnih casova za ocerrjivarrje nebi ni trebalo da bude

- Pismena proveravanja - obavljaju se putem raznih pismenih radova.kao Sto su: Skolski pismeni zadaci, kontrolni zadaci i testovi. Po pravilLr,posle realizacije svake programske teme (tri-detiri puta u toku polLrgorJiit;r)proveravaju se znanja putem kontrolnih zadataka, standardizov;:rrilr

Sttcr

3to-

testova, ilizadacima objektivnog tipa , koje sastavlja sam nastavnik. Skolsklpismeni zadaci se pi5u, prema programu. dva puta u polugodiStu.

Pismeni zadaci su kompleksnijiod kontrolnih zadataka ilitestova, pa idobivene ocene treba adekvatno tretirati. C)cena sa pismenog zadatkadirektno ulaziu dnevnik rada, a ocene sa kontrolnih zadataka itestova boljeje da se evidentiraju u svesci nastavnika i da u dnevnik rada ulazeobogaiene ocenama ostalih aspekata nastave, koji se takode evidentirajuu svesci nastavnika. Uvodenje ovih ocena u dnevnik rada treba da budepropraieno prigodnim dobronamernim komentarima nastavnika i uzsaglasnost udenika - neprihvaiena ocena je veoma Stetna.

Ocenjivanje pisanih radova je posebno pitanje. Ocenjuje se i kvantiteti kvalitet izrade, a na ocenu utide i urednost u radu. Zadaci se mogu datina raznim nivoima, naravno otuda slede i razne skale ocena. PoZeljno jevriiti bodovanje pojedinih faza izrade zadataka i o tome unapred upoznatiudenike. Jednostavniji zadaci ie bitibodovani sa manjim brojem bodova,a sloZeniji sa viSe bodova. Nadin reiavanja zadataka takode moZe donetidodatne bodove,kao i urednost i elegantnost u radu.

ocena: nedovolojan

ocena: dovoljan,

ocena: dobar,

ocena: vrlo dobar,

ocena: odlidan.

7.3.

Kritenastave tda se nasavete kr

Da lrazvitka ropSte nc

-O(reprodulnostavniUmenjamoi i ie

-oosnovn(osposotlogidki, rdovoljntmodela

- Cprogrand a i h iodgovau okvirl

-osve elerprimen,Poseduesovanrodgova

Betavnikuudenikivrstu idalje ptu nasti

Obidno se preporuduje ova skala ocenjivanja:

- do 40 % osvojenih bodova


- od 56-70% osvojenih bodov

- od71-85% osvojenih bodova


S obzirom na znadaj ocena s pismenih proveravanja, nastavnikje duZanda obezbedi odgovarajuie uslove za samostalni rad svakog udenika.

Analizu (ispravak) pismenih radova nastavnik treba da iskoristi zaotklanjanje tipidnih greiaka u radu, da koriguje svoju nastavu i da usmeravasvoje udenike u daljem radu.

PoniStavanje pismenog ili kontrolnog zadatka je nepoZeljno; u normal-nim uslovima do toga i ne moZe da dode.

Domadi zadaci su takode pisani zadaci udenika, a po pravilu se neocenjuju (pitanje samostalnosti, uveZbanosti itd.).

100

-

)va, Pa izadatkava boljea ulazelentirajula budek a i u z

Skolski

vantrtetrgu datieljno jepoznatirodova,doneti

duian

isti zalerava

rrmal-

se ne

7.3. Kriteriiumi i norme ocenjivanja

Kriterijum ocenjivanja je verovatno medu najznatajnijim problemimanastave matematike. BliZih i konkretnijih uputstava o tome ni nema, takoda se nastavnik moZe osloniti samo na svoje iskustvo (ako ga ima), ili nasavete kolega.

Da bi smo obezbedili 5to ujednadenije ijedinstvenije praienje rada irazvitka udenika i objektivnije ocenjivanje, izneiemo osnovne kriterijume iopite norme ocenjivanja u nastavi matematike.

- Ocenu dovoljan moie dobiti udenik koji na nivou prepoznavanja ireprodukcije zna osnovne programske sadrZaje i moZe da reiava jed-nostavnije zadatke, a nije dovoljno samostalan u primeni stecenih znanja.Omenja i navike su mu na niskom nivou, ali se trudi i sistematski radi, amoii ie da prati sledeie novo gradivo.

- Ocenu dobar moZe dobiti udenik kojije sa razumevanjem usvojioosnovno programsko gradivo, ume da se sluii stedenim znanjem iosposobljen je za njegovu primenu u poznatim situacijama. Gradivo izlaZelogidki, sa obrazloZenjem. Navike i umenja nisu mu na Zeljenom nivou, nijedovoljno samostalan kod zakljudivanja i formiranja matematidkihmodela. lma solidne osnove za dalje praienje nastave.

- Ocenu vrlo dobar moZe dobiti udenik koji je usvojio i savladaoprogram, shvata i razume suStinu programskih sadrZaja i moZe samostalnoda ih izlale, ume da povezuje ranija sa novim znanjima, posedujeodgovarajuia umenja i navike, osposobljen je za primenu stedenih znanjau okviru programa. Odgovoran je iuredan, temeljan, korektan iracionalan.

_ - Ocenu odlidan moZe dobiti udenik kojije sa razumevanjem savladaosve efemente programa , zna da se sluZi stedenim znanjem, kreativan je kodprimene znanja, samostalan je kako u sticanju, tako i u primeni znanja.Poseduje razuijene potrebne navike i umenja, pokazuje visoki stepen inter-esovanja za predmet. Vredan je i uredan, radi sistematski. Ume da se sluZiodgovarajudom literaturom u cilju samoobrazovanja.

Bez obzira na ova nadelna uputstva kod ocenjivanja udenika, nas-tavniku je ipak ostala velika sloboda u procenjivanju usmenih odgovoraudenika, kod izbora zadataka za pismene i kontrolne zadatke, u odnosu navrstu i nivo zadataka koji su radeni na dasu. Dok u mnogim oblastima idalje preovladuju zahtevi koji se odnose na zapamiivanje i reprodukovanje,u nastavi matematike vei odavno preovladavaju zahtevi za produktivnim

1 0 1

".lzgrleda da srno m[ natocYfto oset!1'ui na duh )tuosti

i ble.sak inte/igencye, do/c ntarye cenimo sttp/iluos|

1 oduainost Lr naDo/u. l4edullnt oue dLte osobttrc

don[ni'41u tt stnkoj /cart1erl"

E. Pikar (E. Pikard)

8. II,IOTIVISANJE T PODSTICA$JE ZA OCENJE MI{TEMr{.TTKE. VANNASTAVHE I VANSKOLSKE AKTIVNOSTT

8.1. Razvijanie interesovanja za utenie maternatike

Zaito neki ucenici vole matematiku, a drugi ne vole; zaito su nekipaZljivi na dasu, a drugi nisu? Kad bi nast.avnik znao odgovore na ova i slidnapitanja, mogao bi i da utide na ponaianje udenika, da predvidi, da spredi,ili izazove odredeno ponaianje. Medutim, teiko je objasniti ponaSanlesvakog udenika, jer to zavisi od raznih motiva i drugih faktora.

Podsticanje i motivisanost udenika idu medu najznadajnije faktore l<ojiutidu na njihov odnos prema nastavi matematike.

Posebno su uticajni motivi:

- aktivnosti,

- radoznalosti,

- afirmacije.

Uticaj razvojno-odbranbenih mehanizama je takode znadajan. Njihovuticaj moZe biti i pozitivan i negativan. Radi se o:

- identifikaciji,

- maitanju,

- kompenzaciji i natkompenzaciji,

- racionalizaciji itd.

Aktivnost i radoznalost je u prirodi deteta, samo ih treba pozitivnousmeravati. Takode, svaki udenik Zeli da se potvrduje u razredu. Svaka

! a " ,

! , , , ,

! ' . . . .

r03

nastavnikova pohvala moze doprineti podsticanju motiva afirmcije, ito seodraZava i na odnos prema nastavi matematike. Identifikaciia ucenika sapozitivnim lidnostima, njihovo.ma5tanie o. buduiem pozivu, iamena cilja,samopotvrdivanje i dokazivanje, ponekad i "inat", mogu da posluZe k"aopozitivni motivi za udenje matematike.

Interesovanje za udenjem matematike se budi:

- pravom motivacijom,

- osmiSljenim vaspitnim uticajem,

- primenom matematike u raznim oblastima,

- raznovrsnim i interesantnim sadrZajima,

- aktivnim metodama rada,

- upotrebom nastavnh itehnidkih sredstava,

- stavom i kvalitetom nastavnika.

Nastavnik, l.jegov stil rada i pre svega njegove ljudske osobine sigurnosu medu najvaZnijim faktorima koji uticu na uspeh utenika u nastavimatematike. Mozda ne. bismo mnogo pogreiil i ako bismo tvrdili da jenastavnik najuticajnijifaktor u nastavi matematike. Navedimo karakteristikedobrog nastavnika:

- voli svoj poziv i ima razvijeno interesovanje za matematiku,

- dobro poznaje matematiku kao nastavni predmet i metodiku nastavematematike,

, - zna da pronade najbolje metode za obradu pojedinih nastavnih

sadrZaja,

- shvata teSkoce udenika iove ume da motiviie za udenje matematike,

- nastoji da udenike zainteresuje i kod njih razvije stvaraladkomatematicko miSljenje, ne zadovoljavajuii se golim informacijama,

- kod udenika pobuduje i razvija dosetljivost,

- nastoji da udenike nauii i navikne da dokazuju tvrdnje.

- na osnovu reiavanja konkretnog zadatka pronalazi i otkriva opitimetod.

- dotkriju itajnu re

- P (namec€

- v o

- m

- p n

- d oi jednak,

- pri

Dobrnalemaalnu aktotkrivanudenikaprvenst\induktivformalnidinjenirgradiva.

a.2

Fizinastavajedne ";pedagonegativomogutipidnorudeniciBeogra

- n

- n

104

iva afirmcije, ito setifikacija udenika saozivu, zamena cilia.gu da posluZe k"ao

- dovoljno je strpljiv, kako bi omoguiio ucenicima da samos\a\nootkriju 5to vi5e dinjenica, odnosno da dopustr utenicima da sami otkrijutajnu reiavan\a zada\ka pre nego ito on izloZi reienje,

- ponekad koristi sugestivna pitanja ili uputstva, s tim da napadno nenameie svoje miSljenje.

- vodi raduna o distribuciji svoje paZnje u svakom nromentu iasa,

- misli uvek iskazuje korektno i u tonr srnislu vaspitava i udenika,

- pravilno koristi tablu, pi5e i crta pregledno i uredno,

- dobro poznaje udenike, ima korektan stav prema njima,objektivan 1eijednako strog u zahtevima prema svakom udeniku,

- prati i proudava struino-metodidku literaturu.

Dobar nastavnik treba da uzima u obzir prirodnu o5troumnost imatematiiko predznanje udenika, da izaziva i podstite njihovu intelektu-alnu a'Kivnost, motiviSe, stvara situacije, koje doprinose samostalnomotkrivanju matematidkih relacija i razvijanju matenratickog mi5ljenjaudenika. U nastavnom radu sa udenicima mladeg uzrasta gradivo izlai-eprvenstveno induktivnim putem, sa udenicima srednjeg uzrasta. preteZnoinduktivnim putem, za udenike starijeg uzrasta akcenat pomera premilformalno-logidkom putu, uspostavljajuii veze medu proudenim svof stvi nr aidinjenicama, te od tih svojstava ivezaiz,graduje deduktivni sistem izlaqan;agradiva.

8.2. Nastavnik i nadareni udenik

Fizidke i mentalne razlike medu udenicima ukazuiu na to da savrentef)dnastava ne bi smela da bude svojevrsna "pedagoSkakonfekcija" koja je zajedne "pretesna" a za druge "preSiroka" . Takode se pokazalo da je tzvpedagoSkiprosek (prosecan ucenik) pedagoSka iluzija, koja godinanrb ,la1enegativne rezultate u nastavi matematike - siab uspeh, s iedne i rieomogucava l idni maksimum s druge slrane. Utvrdeno je npr di st .uktrrratipidnog odeljenja V razreda, s obzirom na individualne razlike merJLrudenicima, u matematici izgleda ovako (Prosvetno-pedagoiki zav od gr adaBeograda, 1980. god. ) :

ke osobine sigurnoucentka U nastavitismo tvrdili da ie!imo karakteristi(e

matiku,

retodiku nastave

dinih nastavnih

ie matematike,

e stvaraladkocijama,

na nivou lll razreda je 17% uienika,

na nivou lV razreda l9% udenika.

rtkriva op5ti

r 05

- na nivou V razreda 28% udenika,

- na nivou VI razreda 17% udenika,

- na nivou Vll razreda 11% udenika,

- na nivou VIll razreda B% udenika.

Ovo dobro pokazuje, da na odeljenje odredenog razreda treba gledatikao na skup udenika nejednakih moguinosti i znanja.

Koje su individualne osobine nadarenih udenika u oblasti matematikei kako ih otkriti?

Prema jednoj kategorizaciji, karal<teristike darovitih udeni ka pripadajusledeiim podrudjima:

- karakteristike udenja,

- karakteristike stvaralaitva,

- motivacijske karakteristike i

- socijalne karakteristi ke.

Za nastavu matematike je od znaiaja: brzo uodavanje dinjenica. brzoshvatanje opitih principa, nezavisno mi5ljenje, lako primenjivanje znanja,kritidko zapaLanje iotkrivanje relacija. Sporno je da lipojadana sposobnostprostornog predstavljanja i izvodenja radunskih operacija nuZno pripadasposobnosti za matematiku.

lmaginacija, originalnost, radoznalost, bogatstvo ideja, otvorenost,nekonvencinalnost, konciznost, jasnost, kritidnost, istrajnost, teZnjasavrienstvu, ambicioznost kao i odgovornost, suprotstavljanje autoritetu,takode su atributi matematidke sposobnosti.

Sposobnosti i sklonosti za matematiku podinju da se ispoljavajuuglavnom u starijim razredima osnovne 5kole. Da liie se iu kojoj meridaljerazviti, zavisi od uslova Zivota i od kvaliteta nastave matematike. U ni2imrazredima osnovne Skole ne bi se jo5 moglo govoriti o talentima. vec samoo viSe ili manje izraZenim posebnim sposobnostima i sklonostima.

ldentifikacija darovitih udenika za matematiku vrSi se:

- procenjivanjem osobina ucenika ( nastavnik, roditelj, voditeljiklubova, savetodavalac, samoocenjivanje i sl.)

- Prcradovi, psekcijarr

Naspronalazstrpljenjikoncentapstrahtzadatkezadatke

Upuditelji,50% sluNajdeiipredmepovoljntCesto srnjih do:protesttudenicit

U rkoji jeintereszosPosonastavrsposob

Mruniforrmedueksternapre(iscrpljrse din

8 .

106

ba gledati

atematike

pripadaju

rica. brzoe znanja,csobnostr pripada

rorenost,- te)nia

rtoiltetu,

roljavajureridaljeu ntzlm:i samo

- procenjivanjem duhovnih i materijalnih proizvoda udenika (origirralniradovi, praktidni radovi, nagrade na takmitenjirna, dlanstvo u naudnimsekcijama isl).

Nastavnik pre svega primeiuje da udenik pri reiavanju z-adatakapronalazi originalne postupke, ume da reii neobidne zadatke, pokazuiestrpljenja i istrajnosti u reiavanju sloZenijih zadataka i isproljav;r punukoncentraciju i misaonu aktivnost pri tome. Sposoban je da klasifikuje,apstrahuje, da vrSi analizu i sintezu, otkriva funkcionalne veze, veito reSavazadatke logidko-kombinatorne prirode, samostalno reSava domarcezadatke itd.

U preko 90% sludajeva u identifikacionim postupcima su ukljuceni iuditelji, odnosno nastavnici. Medutim istraZivanja pokazuju da su u pref<o50% sludajeva nastavnici (ne samo u matematici), dali pogreirre dijaqnoze.Najdeiie se proglaiava nadarenim udenikom onaj koji ima iz svih nastavnihpredmeta odlidan uspeh (kojije taj uspeh postigao izvanrednim radonr. upovoljnom socioekonomskom okruZenju itd.), a realno je prosecan ucenik,Cesto se ne prepoznaju daroviti ucerrici, jer se oni ne istidu u rutinsl<inr i z-.1njih dosadnim Skolskim situacijama, stalno pitaju neSto, upadaju u ret,protestuju, a ponekad pr:stoji i odbojnost nastavnika prema darovitinrucenicima.

U radu sa nadarenim udenicima imaie uspeha sarno onai nastavrr i i<koj i je snaZna, ernocionalno l<onzistentna l icnost. Sirol<ih intblektr-rurrrr i 'interesa, inventivna, fleksibilna, komunikaivna i putem specitiinih znarrjirosposobljena za odgovarajucu edukativnu delatnost. PoZeljno bi bilo dii inastavnici koji posebno rade sa darovitom decom, budu natprosecniirsposobnosti,obrazovani na specijalistidkim studijama.

8.3. Diferencijacija i individualizacija nastave matema-tike

Medu najkrupni j im slabost ima na5e skole )g . bez sunrrr ie. rr ierr , . runi formnost. To znat i da svi udenici , nezavisno od individualnih razl i l<amedu njima, "treba" da ovladaju istim programom. da ursvo.je porllclrln,rl<ekstenzitet i intenzitet znanja, da se bave zadacima podjednake tez-ine. rlanapreduju pribliZno istim tempom. U takvim uslovima nastava se krajrrlr:iscrpljuje u radu sa slabijim udenicima, posebno nastava maternatilic

'l-ir

se dini da bi se ostvarila te2nja ka oZivotvorenju "Skole bez porrar,,ljar.i"voditelji

101

Istovremeno su zapostavljeni napredni i daroviti udenici. Danas, u vremetreie naudno-tehnoloSke revolucije, dobro je poznato da su upravo talenti,daroviti pojedinci najsuptilniji resursi progresa druitva.

Tradicionalizam, jednolidnost, rutinerstvo i sl. moie se ublaZiti, i l i pakprevaziiiuvodenjem diferencijacije iindividualizacije nastave. To nije Sansasamo za darovite udenike nego, takode, i za udenike prosednih i ispot-prosednih sposobnosti,.

Diferencijacija nastave se uzima kao organizaciona mera koja ukljudujegrupisanje udenika u povremeno ilitrajno profilisane grupe, manje iliviSehomogene, a koje se formiraju prema kriterijumu interesovanja, sposob-nosti za udenje, tempu napredovanja i sl.

Naravno, ovo podrazumeva postojanje odgovarajuiih diferenciranihprograma, viSesmerno planiranje, diferencirane zadatke, izborne kurseve,pa i mentorski rad. Moguie organizacione forme su:

- grupisanje udenika prema sposobnostima,

- diferenciranizadaci u heterogenoj grupi,

- dodatni rad i

- izborna nastava.

Crupisanje udenika sa superiornim mentalnim sposobnostima u spe-cijalne Skole ili specijalna odeljenja, pokuSano je u mnogim Skolskimsistemima. OpSte je miSljenje da ta praksa ima mnoge prednosti, aliinekenedostatke. Kad je dete smeiteno u grupu pribliZno jednako sposobnedece, ono biva podstaknuto da koristi svoje intelektualne moiiu veioj meri,jer su standardi dostignuia vi5i. Ovaj plan nije primenljiv u manjim sredi-nama, a moZe imati negativne psiholoike i socijalne efekte.

Cak i u sludaju viSesmernih programa razliditih kurseva i sa veiimbrojem homogenih grupa, a u heterogenim grupama pogotovo, postojeznatne razlike medu udenicima unutar odeljenja. KoriSienje diferenciranihzadataka za udenike koji imaju razlidite sposobnosti i rade razliditim brzi-nama, takode je jedna organizaciona forma prilagodavanja interesima imoguinostima udenika.

Razlikujemo razlidite tipove diferenciranih zadataka :

- ugovorni tip zadataka - definiSu se zahtevi za prolaznu ocenu, ali izahtevi za sve ostale nivoe znanja,

razn(spos

Ina diu 5kr

ucerenciZAOS

ucet

POPzao!

inte

koji

5ko

aktipsilopt

doluiemeaktna:doldol

108

)anas, u vremel upravo talenti,

: ublaiiti, i l i pake. lo ni je Sansarsednih i ispot-

a koja ukljuduje:, manje ili vi5evanja, sposob-

diferenciranihborne kurseve,

rstima u spe-yim ikolskim:sti, ali i nekeko sposobneu veioj meri,ranjim sredi-

r i sa vecirhcvo, postojeiferenciranihzliditim brzi-interesima i

- viSestepeni tip zadataka - ne pruZa detaljne specifikacije zahteva zarazne ocene., ve6 predvida razlidite zadatke koji po priiodi iteZiniodgovarajusposobnostima pojedinih udenika (dva ilitri stepena sposobnosti).

,Kori5ienje "obogaiujuieg" gradiva za bolje udenike moze se primenitina dasu, ili da ti udenici umesto da rade u udionici , svoje zadatke'reiavajuu Skolskoj biblioteci, u kompjuterskoj udionici i sl.

8.4. Vannastavne aktivnosti u matematici

_ Matematika je-medu onim nastavnim predmetima koje znatan brojudenika teze savladuje i gde je zaostajanje udenika relativno veliko. Difer-enciranim, individualizovanim pristupom treba nastojati da se spredava tozaostajanje, ali ako se ipak javi, nastavnik treba da pomogne onimudenicima kojito zaostajanje ne mogu sami nadoknaditi.

Dopunska nastaua se org6nizuje prema potrebi i traje dok se nepopune praznine u znanju uienika, uz nastojanje da se otklone i uzrocizaostajanja. Tri su moguinosti za dopunski rad:

- po utvrdenom rasporedu, za one udenike s kojima je neophodnointenzivno raditi duZe vreme,

- tokom ili posle obrade i utvrdivanja pojedinih tema, za one uienikekoji nisu shvatili odgovarajuie bitne sadrZaje tih tema,

- u vidu povremenih instrukcija, za one udenike koji su do5ii iz drugeSkole ili su bili bolesnii sl.

Odredivanje udenika za dopunski rad iz matematike vrii nastavnik, uzaktivno udeiie razrednog stareSine, razrednog veia, roditelja i pedagoiko-psiholoike sluZbe u 5koli. Pri tome se mora voditi raduna i o ukupnojoptereienosti udenika.

Vrlo je znadajno da se na vreme identifikuju udenici kojima je potrebnadopunska pomoi i kakva. Pored pregleda sadrZaja koje udenik ili grupaudenika treba da usvoji u dopunskom radu, treba planirati iodgovarajuiemetode i nastavna sre{gtva kojima se udenik moZe najvi5e misaonoaktivirati, kao i nadin praienja rezultata. Nikako ne bi valjalo dopunskunastavu svesti na " Saputanje udenicima" za naredni nastavni das, niti da sedopunska nastava drii neposredno pre pismenog ili kontrolnog zadatka. Udopunskom radu mora bitinaglaiena ivaspitana komponenta, kao 5to su:

ocenu. al i i

109

izgradivanje radnih navika, razvijanje osecanja odgovornosti u radu, moti-vacija za rad itd.

Dodatni mdiz matematike predviden je samo za one uienike IV-VIIIrazreda osnovne Skole i nekih srednjih Skola koji pokazuju izrazite sposob-nosti i posebna interesovanja za matematiku. On treba da produbljuje iproSiruje matematidka znanja, ali istovremeno da omoguii kompleksnijipristup usvajanju matematidkih sadrZaja, da doprinosi formiranju i i irenjunaudnog pogleda na svet, motiviSe i podstide udenike na samostalni rad,na stvaraladko miSljenje, da osposobljava udenike za samoobrazovanje,uopite da darovitim udenicima omoguii ispoljavanje i razvijanje njihovihmatematidkih sposobnosti.

Veoma su znadajne organizaciono-tehnidke i strucno-pedagoSl<epripreme za dodatni rad iz matematike. Posebno je vaZno da se izvr5ipravilan izbor udenika, identifikacija udenika sa izraZenom sposobno5iu iinteresovanjem za matematiku. To dine nastavnici matematike r"r saradniisa Skolskim psihologom ipedagogom. Pritome je prethodniuspeh udenikau redovnoj nastavivaZan indikator, ali ne jedini i najvaZniji.

S obzirom na to da svega oko 10% uccnika ima posebne matematiil<esposobnosti, broj ucenika u dodatnoj nastavi neie biti veliki. Ako tr nekojSkoli nema vi5e od tri udenika istog razreda za dodatni rad. onda se u tornrazredu dodatna nastava moZe organizovati i u vidu povremenih konsr-tl-tacija il i individualizovanim pristupom u redovnoj nastavi, ali postoiimoguinost i formiranja kombinovanih grupa.

Takode postoji moguinost organizovanja dodatne nastave za r-rienikeiz viSe 5kola, time se dobija u kvalitetu i ekonimiinosti rada (5koie mladihmatematidara).

Dodatni rad iz matematike izvodi se po propisanom ori jentaciononrprogramu.

Slobodne rnatemallike aktiunosl|se organizuiu sa ciljenr populari-zacije matematike. U radu sekcije il i kluba uiestvuju svi r,rdenici koji to 2ele.bez obzira na uspeh i sposobnosti.

U sekciji, odnosno klubu sami uienici odreduju oblike, metode isadrZaje rada (u okviru date programske orijentacije), pri demu nastavnikdaje strudnu pomoc i sugestije za rad.

Pored redovnih sastanaka sa odgovarajuiom tematikom (zanirnljivapredavanja, razgovori, reiavanje zadataka, matamatidke zanirnijivosti, igre,p rak t i tn i radov i id r . ) . mogu se organ izovat i i razne Inasovne p13p i [n5 l ,1e i i r

(matmat(

naslmatzovanen

sluzalieIr€caakSA

SA

d(diSttf l

S\

u

1 1 0

adu, moti-

nike IV-VIIle sposob-cdubljuje i,mpleksnij iju i Sirenjulstalni rad,rrazovanje,je njihovih

ledagoSkea se izvr5i;obnoiiu iu saradnji:h udenika

rtematiike<o u nekojl s e u t o mih konsul-ali postoji

ra u ieniker le mladih

l tac lonom

popular i -oji to 2ele,

metode inastavnik

zanimljivarosti. igre,rifestacile

(matematidki kvizovi, izloZbe, matematidke ekskurzije isl.), izdavanje zidnihmatematidkih novina, matematidkog lista i sl.

8.5. Domadi rad utenika iz matematike

Domaii rad udenika se javlja kao posebna vrsta permanentnog van-nastavnog, odnosno vanikolskog rada udenika, koji povezuje iasovematematike, dakle ispunjava neku" didaktidku prazninu" u vaspitno-obra-zovanom procesu. Posebno je pitanje o kakvoj praznini se radi, da li je onaneminovna i kako se "ispunjava".

Domaiizadatak udenika moZe da bude:

- pripremanje za naredni das - savladavanje gradiva sa nastave,

- veZbanje zadataka - sticanje veStina i navika,

- primena usvojenih znanja u raznim oblastima,

- proiirivanje i sticanje novih znanja,

-izrada nekog modela tela, zidne novine, razna merenja itd.

Pretpostavlja se da je domaii rad udenika samostalan, iako to nije uveksludaj. Onaj udenik koji je savladao gradivo na dasu, uradiie i domaiizadatak, koji se najdeiie svodi na izradu Sablonskih zadataka, a oni drugi6e ih prepisati i l i ie potraZiti pomoi sa strane. Dakle nijedni, ni drugi. nitreii nemaju mnogo koristi od tog "obaveznog" rada. Ako je nastava nadasu dobro organizovana, individualizovana i diferencirana i obezbedujeaktivnost svih udenika onda postoje optimalni uslovi za to da udenicisavladaju sadrZaje, veitine i navike prema svojim sposobrrostima rrasamom dasu, pod strudnim rukovodstvom rrastavnika i potrebe zadomaiim radom bi6e znatno manje, odnosno nastavnik ie ih zadavatidiferencirano, i to samo prema potrebi. Ovaj "vekovni san" je postaostvarnost u osnovnim ikolama mnogih razvijenijih sredina, i mi takodetreba da teZimo ka njemu.

To ne znadida udenik kod kuie ne treba niSta da radi, vei da ne morasvaSta da radi, udiie dodatno samo to 5to ga interesuje ili 5to nije savladaou 5koli.

i 1 1

Domaii rad udenika ne treba ocenjivati, vei podsticati, strucno us-meravati i moralno podrZavati. Taj rad ni u kom sludaju se ne sme svestina izradu datih zadataka, vei treba da obuhvati i izborne zadatke, ali iproudavanje teorije iz sveske, udZbenika i iz drugih izvora.

Praienje domaieg rada udenika je u svakom sludaju obavezno.

t ike.vaspnasti

gralture

zadeholc

udobnem

t(+ .L'

Fri

\ 12

reno Lrs-ne svestitke, ali i

'lo.

'A ko1e rnsta un iku suol p redm e t dosada n,

s 4/m ie se dosadiuatt ceo nzrcd"

G. P5lya

9. PIAN|RANJE U NASTAVI I5/TTEU1{TIKE

Bitna pretpostavka za kvalitetnu realizaciju programa nastave matema-tike je temeljno planiranje. Nastavnik je organizator i nosilac obrazovno-vaspitnog rada, otu_da .njemu pripada primarna funkcija u planiranjunastave i vannastavnih aktivnosti.

- Cilj planiranja je da se nastava organizuje u skladu sa ciljevima izadacima nastave matematike, primenjujuii najsavremenija saznanja psi-holoikih i pedagoikih nauka i same matematike

Posredno planiranje obuhvata proudavaanje nastavnog plana i pro-grama,-raznih dasopisa strudno-metodidke i pedagoiko-psiholoske litera-ture, udZbenika, starih planova rada, il i planova iskusnijih kolega itd.

Neposredno planiranje vaspitno-obrazovnog rada podrazumeva:

- makro-planiranje (globalno, tematsko planiranje) i- mikro-planiranje (pripremanje za das).

,.._Pre.izrade plana rada nastavnik treba da uporedi program i sadr2aje uudZbeniku, ukljudujuii i redosled tema. Ako oceni da-su udzbeniriomobuhvaieni sviprogramski sadriaji, koji dine odredeni logidki sistem, porednastavnog programa i didaktidkog uputstva, udZbenik ie biti osnovnimaterijal za izradu plana nastavnika.

U program-u je godiSnji fond dasova za svaki razred razdeljen potemama._Broj dasova predviden za pojedine teme valja shvatiti-orijen-taciono. Time se nastavniku (iautoru udibenika) ukazuje-na obim i du6inupojedinih tema. strukturu dasova p.o tipovima nastave rasporeduje samnastavnik,.po pravilu oko 40% za obradu novih sadrZaja, a najmanje 60%za ostalo. Medutim skoro nijedan das nije monotipan.

. u okviru Sireg pripremanja za realizaciju svake teme pravi se operativniplan njene realizacije: programske sacrzaje svake teme-nastavnik deli na

1 1 3

nastavne jedinice. Priovom planiranju treba polazitiod opitih ioperativnihzadataka koji su navedeni u programu i, r,rz dobro sagledavanje sadrZajacele teme, formulisati obrazovno-vaspitne zadatke za svaku nastavnu temu,kao vaZnu orijentaciju za njenu realizaciju.

Najznadajniji deo pripremanja nastavnika za nastavu je njegova nepos'redna priprema za nastavni das. C)na obuhvata:

- strudnu pripremu (izbor gradiva, zadataka i sl.),

- didaktidko-metodidku pripremu (cilj izadacidasa. tip dasa, naslavnemetode. oblike rada. nastavna sredstva i sl.).

Uz

-s l

- o

- d

- organizaciono-tehnidkehnidkih sredstava. organizacijus l . l .

Bez obzira na svoje iskustvo, nijedan nastavnik ne treba da potcenjr-ijeplaniranje ineposredno pr ipremanje za tas, i l ida ga shvat i kao fornralrrost.Pr ipreme za das treba da budu pregledne ioperat ivne (upotrebl j ive rrasamom dasu) i trajne (sa analizama realizacije dasova, sa dopunamn rizmenama - dakle da reflektuju i pedagoiko iskustvo nastavnika).

Pod pr ipremom se ne podrazumeva smo pisana pr iptema. vrc iodgovarajuii materijali (nastavni listii i, grafofolije, razne aplikacije itd.).

Nezahvalno je davati neke krute modele planiranja nastave maiema-tike, medutim joi uvek je to korektnije nego ostavljati stotine nedor,oljtrcriskusnih nastavnika da se sami snalaze.

Na osnovu dugogodiSnjeg praienja nastavne prakse doSli snto dcrzakljudka da su u nastavi matematike najprihvatljiviji sledeci modeli plani-ranja i pripremanja.

9.1" GodiSnji, globalni plan i operativno-tematski plan

Model godiSnjeg plana daiemo u obliku tabele sa sledeiirn rubrikama

I / i l POLUCODISTE

RED.BR-

NASTAVNATEMA

BROJ NASTAVNIH CASOVA

OBRADA VEZBANJE PROVERA PONAVUANJE . ; . . \

pripreme (obezbedivanje nastavnih i te-pripremljenosti udenika za nastavni ias i

Terubrike

Orzvanidt

9.

K]ranje rnacijepriprer

S]pripresadrLzcelog

1 1 4

ih,ni

rativnih:adrLajau temu,

nePos-

astavne

i te-ias i

tcerlLrjena lnos t .lljive rrarnama r

tatenra -lovollrcr

;nro dc: l i p l an i -

p lan

rikanq.r

Uz globalni plan treba navesti:

- spisak literature za udenike,

- odeljenja u kojima se primenjuje ovaj plan,

- druge napomene od interesa za 3kolu.

Tematski plan se obidno naslanja na godiSnji plan i sadrii sledeierubrike:

Ovi planovi se najdeiie izgraduju za jedno polugodiSte i predstavljajuzvanidni dokument 5kole.

9.2. Dnevno planiranje - pripremanje

Klasidni modeli dnevnih priprema ne omoguiavaju paralelno plani-ranje etapa, sadriaja i odgovarajuie metodidke artikulacije dasa. Kornbi-nacije metoda, oblika rada iprimenjenih nastavnih sredstava nisu predmetpripremanja nastave, vei su prepuiteni sludaju.

Sledeii model pripreme za das prevazilazi niz nedostataka klasicnepripreme. SuStina je u tome da se vrii istovremena kombinacija nastavnihsadrZaja, metoda ioblika rada, kao i nastavnih sredstava, kojivariraju tokomcelog nastavnog dasa.

l . ve( i I

i rd . ) .

MESECNASTAVNA

TEMA(Vasp. obr. zad.)

NASTAVNAJEDINICA TIP CASA

NASTAVNASREDSryA

1 1 5

MODEL PRIPREME ZA CAS

NASTAVNA.IFDINICA RATPFI-)

CIU IZADACI CASA: . . . . . . . . .

IIP CASA:

TOK CASA /vreme/NAST-MET.

NA)T.

oH, lcNAST,SREI)

SADRZAJ I '5 I Met. l obt . Sred. I

SADRZA.J 2 11O'I M e t . 2

SADRZ,{J 3 i15'

Met. 3 o b l . 2 Sred 2

M e t . 2 obl l

SADRZ,TJ 4 112'/ Sred.

DOMACI ZADACI 13' Met. I obl r Srecl 4

PRIMEDBE O CASU:

Cilj, zadaci i tip dasa karakteriSu nastavni das unastavne metode, nastavni oblici i nastavna sredstva supojedine faze dasa, zato ih treba tako i planirati.

celini, medutimkarakteristidni za

- S crnaterijalodnos t(encijacUi

- P rnjihova tkoristiol<oriSier

- S tzaclia rcdinamik

I :- L - l l

dinamic

- R iradu, jerad udereiavajt

- D rizrade, I

- F rvaspitnt

. C

rada, p

. K

postoj€

- (realiza(

- (uredn(

- (struan

- L

NASIAV

eventL

9.3. Anatiza odrianog iasa

Nakon odrZanoq dasa nastavnik treba da analizira das i da zabele2iosnovne primedbe 5d interesa za unapredivanje svoje nastave. koje ce.naravno, koristiti u buduiem radu.

Casoue studenata, ispitne casove, il i dasove na kojima su prisustvovalidirektor il i pedagog 5kole, Skolski nadzornik i sl., obicno prate detaljnijeanalize koje obuhvataju sledeie:

- Kako su ostvareni cilj i zadaci dasa - kako su definisani, da li jenastavnik iskoristio sve moguinosti za njihovo postizanje, s posebnirnosvrtom na vaspitne dimenzije nastave

l l 6

ini, medutimakteristidni za

W R E D : . . .

NAST.SRED

Sred. I

S r e d . 2

Sred. -l

Sred. 4

i da zabeleZilave, koje ce.

r Prisustvovalirate detaljnije

isani, da li jes Posebnim

- SadrZaj dasa - da li je izbor sadrlaja bio pravilan, da li je bilomaterijalnih gre5aka, kako su uvazavani didaktidki principi, kakav je bioodnos teorije i prakse, kako je tekla matematizacija, kako je vriena difer-encijacija i individualizacija itd.

- Primenjene nastavne metode - kombinacija nastavnih metoda injihova uloga u aktiviranju udenika, kako su metode primenjivane kako jekoristio tablu, kakva je bila motivacija udenika, kako je pratio rad utenika.koriSienje udZbenika itd.

- Struktura i organizacija dasa - izbor tipa iasa, struktura dasa, organizacija rada na dasu, tehnidka pripremljenost dasa, koriiienje vremena,dinamika dasa itd.

- Lidnost nastavnika - pedagoikitakt, ponaianje i atmosfera na iasu,dinamicnost, jasnost, urednost, stabilnost itd.

- Rad udenika - aktivnost udenika, paLnja, disciplina, samostalnost uradu, jezik udenika, ucenidke sveske, sa posebnim osvrtom na urednost,rad udenika kod table, kako vrSe logidke i matematidke operacije, kakoreiavaju zadake itd.

- Domaii zadaci - nadin zadavanja ikontrola domacih zadalaka, kvalitetizrade, pripremljenost udenika za das i sl.

- Praienje rada iocenjivane udenika - kvantitet i kvalitet ocena, pracenjevaspitnih efekata nastave itd.

- Clobalna ocena o uspeSnosti dasa, primedbe o radu i rezr.tltatimarada, preporuke za dalji rad.

- Kvalitet pripreme za das, odnos dasa i pripleme.

- Opremljenost Skole nastavnim i tehnidkim sredstvima, iskoriScenostpostojeiih sredstava, neophodna nova sredstva.

- O radu vannastavnih aktivnosti - planovi i programi rada i njihovarealizacija, uspesi na takmicenjima i sl.

- GodiSnji itematksi plan svih matematidkih aktivnosti u 5koli, l<valitet,urednost, sklad izmedu plana i realizacije.

- O strudnom usavriavanju nastavnika (individualno i institucionalt-ro'tstrudna literatura, casopisi, strudni rad nastavnika.

- O problemima nastave ivannastavnih aktivnosti u 5koli. opterecenostnastavnika, angaiovanost nastavnika u Skoli ivan nje, u druStvenoj sredini.eventualno doSkolavanje nastavnika itd.

1 1 7

9.4. Primeri priprema za iasove:

PRIPREMA ZA CAS 1.

MnoZenje-deljenje do 1000 III razred

(tema)

Zavisnost proizvoda od iinilaca (2)

(nastavna jedinica)


CILJ CASA: usvojiti znanje o tome kako se menja proizuod u odnosu na promenu irnilai;r.

konkretno kada se jedan od cinilaca umanji za odredeni broj puta.

ZADACI CASA:

OBRAZOVIII: osposobiti udenike da uvide kako se menja proizvod u odnosu na pronrenu

tinilaca, konkretno kada sejedan od iinilaca umanji za odredeni broj puta.

VASPITNI: razvijati kod uienika taanost i preciznost u radu, negovati logiiko mi5ljenje i

zaldjutivanje.

SPECIJALIV: primena kibernetiikih metoda

1 1 8

niSljenje

TOK CASA Nastawemelooe

Nastavnl

obl ik rada

i lastamasredst,,a

Prcparatlvna faza: 12'

- Analiza domaieg zadatka

Nakon analize domaieg zadatka ukratko ponavljamo

sta smo nauiili na Proslom iasu, naime, Sta se deiava

sa proizvodom ako se jedan od einilaca poveca

odredeni broj puta .

(Odgovor: Ako se jedan od iinilaca poveca odredeni

broj puta, toliko puta se poveca i Proizvod.)

Zahtevam od udenika da svoj zaldjuiak ilustruju sa dva

orimera:

1 ) 8 7 = 5 6 2 ) 1 4 5 = 1 o| ' I t l n

I z l z 14 t -1 6 7 = t r 2 1 4 2 0 = 2 8 O

1. Kada prvi tinilac povedamo dva puta, tada se i

proiz'uod poveca dva puta.

2.Kada drug tinilac poveiamo ietiri puta, tada se i

proizvod poveia ietiri puta.

Operativna faza:

Craf oskop om sa grafofolije projektujem zadatak.

l. Oienici jedne Skole zasadili su sadnice topole najednoj parceli. Zasadili su 8l red sadnica sa po 9

sadnica u svakom redu.

Koliko su sadnica zasadili?

Odgovor: 81 '9 = 729

- Koliko bi sadnica zasadili da su broi

a) redova smanjili 9 puta

b) sadnica u redu smanjili 3 puta

2. Na osnovu niza prethodnih primera pokuiaj da

reiima zapi5eS pravilo.

\q-

N\n\Jt \N\{.\n-N\

N

t\lNt'\

R̂V

t vfr

:irl>..]\ \IYa'Lq.v

L '

i :

\s. i l5NS\<A\ r \A YN\tv\I

N

\

!V:inN/\

\

Nastavnametoda

Nastawi

obl ik rada

Nastama

Sredstva

KADA JEDAN OD CINIT.ACA UI|IANJIMOODREDEIjI BROJ PUTA, I PROIZVOD

CE SE OiIAT{JITI ISTI BROJ POTA

Nakon logitki iaredenog zakljuika grafoskopom

projektujem pM zadatak koji uienici reiavaju

individualno.

l. Sta ie se desiti sa proizvodom ako prvi tinilac

smanjimo 5 puta.

Proveri na primeru: 25 8

(Odgovor: 25 B=2OO: 5 I l : 5

5 B = 4 0

Ako pM iinilac smanjimo pet puta, i proizvod ce se

smanjiti pet puta.)Kada su svi utenici reiili zadatak, zajednitki gaproveravamo. Zatim re5avamo drugi zadatak.

2. Na dva naaina smanji proizvod.

a) proizvod 27 30 smanji 3 puta

Odgovor:27 30 = 810(27 :3) 30 = 9 '3O = 27O

27 '(3o 3) = 27 'rO = 27o

b) proizvod 32 20 smanji 4 puta

Odgovor:32 20 = 640( 3 2 : 4 ) 2 0 = 8 2 0 : 1 6 0

3 2 ( 2 0 : 4 = 3 2 5 = 1 6 0

c) proizvod 25 30 smanji 5 puta

Odgovor:

25 30 =75O

( 2 5 : 5 ) 3 0 = 5 3 0 = 1 5 0

2 5 ( 3 o : 5 ) = 2 5 6 = 1 5 0

Taina re5enja do kojih su uienici do5li projektujem

pomocu grafoskopa. Nakon toga zadajem i treai zadatak:

\

\sn- -\

NA\ \

\NcA\\

\\sN

RpN\

\\NlYA|Y!-

\( \

n

N\rc\v^\\\ \

S,\r\

:X\\'\

\

s-'il

I J

N

r\XNr\'/t'\N<.

\\sXsA\

R

\\NNIY

ri5N

N\v)c\N\ri\

Nastawemetode

Nastawioblik rada

Nastama

sredstva

3. Na osnow niza predhodnih primera poku5aj da

simbolima zapiseS pravilo.

Odgovor:

P r o i a r o d : a b = c

( a : z ) b = c : z

a ' ( b : z \ = c : z

Ako kod ovog zadatka utenici naidu na te5koce u

reiavanju, nastojaeu da im ukaZem na prethodno

uradene pdmere i ponovnom analizom ih usmeriti na

put do reSenja zadatka. Proveru zadatka vr6imo

projekcijom sa grafofolUe.

Verlftkatlvna fazz: 10'

U cilju provere savladanosti ove nastavne jedinice,

posluiieu se unapred priprendjenim nastavnim listiiima"

Nakon objainjenja zadataka utenici potinju

individualno reivanje zadataka.

I T A S T A V F I I L I S T I C

l. Izraiunaj proizvod 84 8, zatim pM pa drugi dinilac

smanji 4 puta, pa izraiunaj proizvod.

2. Sta p potrebno uraditj sa iiniocima da bi se proizvod

umanjio odreden broj puta.

\'\

xsNAf'- 5

\Ntn\tti

\\sNat \ -^\.J

N

A\\J

\rafrrY\\{r

}\( \

I(sNx\

N\

s'xx\

xN\Jt'\Ns,

\\V\XN.-\

R

rf;x\a^\\

Rr \\01\'a

lis

Pr

ir

Ul

lir

Kada se pM iinilac smanjio 9 puta, i proinod sesmanjio _ puta.

Kada se drugi iinilac smanjio tri puta, i prroinod se

____- puta

4 lzra iunaj : 95 6 =

a) pM iinilac smanji ietiri puta i izraCunaj

b) drugi dinilac smanji tri puta i izrair.rnaj proizvod

$ n

\

:laf'

f-

"f\

!v

n\

"J

\<-

\N\l\n'\.1:lN)\r\

Y.\

, l^ / \

i Jr J t

Nt v\I " .

N

122

r nsta vn a

sfeist \ a

' \

\( nrl!a\\..:tt \ .\ttr

Nastavnametoda

Nastanioblik rada

\ astarn a

sreoslva

Kada su svi uaenici zavr5ilii rad na nastavnim

listiiima, organizujem proveru tako 5to te uienici koji

sede zajedno zameniti nastavne listiie. Prilikom Provere

zadataka, nakon taanog odgovora uienika, reSenje

projektujem pomoiu grafoskopa i grafofolije. I sam-a

iu pregledati reiene zadatke kako bih imao-la uvid u

uspesnost nastavnog rada. Odenici ie svoje nastavne

listi(e zalepiti u svoje sveske

Faza domadeg zadatka:

Preporuiiiu uienicima da jo5 jednom pregledaju i

urade zadatke koje smo uradili u Skoli, a zatim da

pristupe re5avanju zadataka u udibeniku.

Ako ostane joi wemena do kaja tasa, popriiaoJa bih

sa uienicima kako im se dopada ovakav pristup novom

gradivu.

\c

KY(\Nt\Y\\a

A:Nf'-N

n!

\rn\\\

\Y\

\ , \n \ r\x\ )>xac(\r v l .\>.C V)r$ \#

bt

\\:(N

vN\

\-\

Rf^\.\l

S

Anzliza dtianog dasa:

PRIPREMA ZA CAS 2

RMLOMCI (zapism \ v razred_ J

11

(tema)

Mnoienje razlomqka

(nastavna jedinica)


(tip iasa)

{ILJ CA,SA: sticanje znanja o mnoZenju razlomaka i r-roiavanje mogucnosti primene.

zArlAcI cnsn;

OBRAZOVFII: usvajanje i logidko motivisanje definicije mnoZenja ra;Comaka.

VA.$PITNI: razuijanje logiikog i matematiikog miSljenja, sistematiinosti i upornostj u radu.

PRILOG: grafofol i je 1,2 i3 inastavni l is tovi I i2 .

TOK CASA Nastavnametoda

Nastawioblik rada

l lastavna

sredstva

Pteparatlvaa faza:

Posle provere domaieg zadatka sledi postepeno

prikazivanje grafofolije br. 1. Ponavljamo mnoZenje

prirodnih brojeva i mnoienje razlomka prirodnirn

broiem.

Qperativna faza: 20'

Zadavanjem nastavnog lista br" I i postepenim

prikazivanjem grafofolije br. 2 stvara se problemska

situacija i formuliSe problem, postavljaju hipoteze, wii

dekompozicija i reSava problem.

Analiza rezultata, izvodenje zakljuiaka i generalizacija

w6i se prikazivanjem grafofolije br. 3.

Nx\J. \

RrV, \\ir

\f \ *F{r\JN.

N

\st\aa\v|S\

t \\ lx$.^\ l

r\

\'\q.r \t'\

\'

L .

\\NrY\IY

$:\\ )

sst\ial](r

irj:\(î\<t ld*Npx\\\t<-N\CAxvl

\

5\

RNF\v

Nastavna

metoda

Nastavr l l

obl ik rada

Nastavna

sreostva

Verlftkativna faza: r2'

Uienici rade zadatke sa nastavnog lista br. 2, a rezultati

se proveravaju projeldovanjem sa odgovarajuie

grafofolije,

Faza domaieg zadatka: 3',

Nastavni list br. 2 se eventualno dovrSava kod kuce i

zadaju odgovarajuii zadaci iz udibenika i zbirke

zadataka.

R-

I(Nr{t

\Y, \

\-\

N.\\r'tAt !

sl

Fi

N<t

\\SNNt\

R

t \:s\>\aN --tN J \

A\<

R9"a

\\N

RnV

l,-.\

N{

>NSxa\ lL- \ -;s $,N-J Jr-.'l \)

SNSt \

Anallza odti-anog tasa :

l .

a b =lb-

) 4 = 4 '

5 4 = 5 '

2. Majka i

126

tavna

lstva

'-x\t^\\

\rNhv

t

N\rR

n-\V\)

St\\

N

CRAFOFOLUA I.

l .

a . b = r b + b + b + . . . . + b ra sabiraka

5 ' 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4

5 . 4 = 5 + 5 + 5 + 5

b a = + a + a + . . . . + ab sabiraka

12. Majka ima 5 tegli, a u svakoj od njih : kg meda. Koliko je ukupno meda u svim teglanra?

3 3 3 + l + 3 + 3 + 3 5 3+ - +

4 4

1 5

45 : = -

+ ' + -4 4 4 4

1 2 7

NASTA\,NI LIST BR. I

Kolika je povriina figure AEFC?

Fgura je deo kvadrata ABCD.

A B = l

A D : 1 , 23

1

[ r = -

4a = - -

5

4

)

4

5

Problem reSi postepeno reiavaju{i zadatke.

i ) Kakva je Srafirana figura AEFG?

2) Kako se izraaunava povr5ina te figure: P :

3) Zameni poznate vrednosti za a i b u formulu

za izraiunavanje povriine: P :

4) Koji deo kvadrata predstavlja figura AEFC,

kako dolazi5 do broiioca. a kako do imenioca

tog dela? P =

5) Izjednaii izraze koje si dobio za povriinu

re5avanjem zadatka pod br. 3) i 4).

1 ) P M

7 \ P -

3 \ p -

4 ) P =

r28

CRAFOFOLIJA 2

c

G

2$ = -

J

1

5

',b = i .

-t

4? = ; ,

:!

A E = l Ittl .,- ;

1) PRAVOoCAONIK

) \ P = a h

4 1

] J

I 4 . )4 t v :.

1 5 5 l

4 1 4 . )

) J ) J

r

' , , ' l t '

129

CR-CFOFOLUA 3

l . Popt

2. Por

strani(____i

4 7 4 7 2 8

3 5 1 5 1 5

Zakl jutaku ' ' : g 9b d b c l

b * 0 , d * 0

r 30

NASTAVNI LIST BR. 2

1. Popuni tabelu:

2. Ponudene razJomke: 1,1,1

,O'r, u prazne kruZ.i6e tako da proizvod ra;,lomaka rr;r :r, .i:'rl

stranici trougla bude jednak.

I ?3

/ \

T/ \(-av/ \

3^

5;I

I

7

2

5

I

I 3 1

'Matematiiku i matematiiku teoryu uopite lazume,

uistinu, santo on41 ko1|je ponouo otkrye".

l l Medunarodni kongres za nastavu matematike

10. NITSTAVNA I TEHNIEKA SREDSTVA U NI\STAVIIh1{TEM1{TIKE

Za ostvarivanje programa nastave matematike, pored pridrZavanjaodredenog sistema didaktidkih principa i adekvatnog izbora nastavnihmetoda i oblika rada, potrebna su i nastavna sredstva. Termin "nastavnosredstvo" je u5ao u upotrebu relativno skoro. Pre njega upotrebljavao setermin "odigledno sredstvo", kojije obuhvatao uZi pojam (kako u pogleduobima tako i u metodoloikom smislu) u odnosu na danainji termin"nastavno sredstvo".

Razne prirodne i vedtacke materijale koji sluZe kao posrednik izmeduljudskog saznanja i objektivne stvarnosti, nazivamo nastavnim sred stvima.odnosno didaktidkim materUalom. Komenski je prvi uveo odiglednost unastavu pomoiu nastavnih sredstava, a Pestalocije taj princip primenio ina matematiku.

.. Pored prirodnog materijala (zgrada, nameStaja, raznih predmeta, i sveSto nas okruZuje) u nastavi matematike koristimo nastavna i tehnitkasredstva (realni predmeti, modeli, slike, 5eme, dijagrami, tablice, pribori.uredaji, maiine, sprave, instrumenti, alati, udZbenici i druqi tekstualni,pisani i potrodni materijali ) koja u procesu vaspitno-obralovnog radadoprinose razumevanju i usvajanju znanja, sticanju potrebnih umenja inavika.

U vaspitno-obrazovnom radu nastavna sredstva moqu da sluZe kaor.z1roli z-a neposredno sticanje znanja, tj. ona mogu biti noJioci informacija.Medutim, nastavna sredstva mogu da sluZe i za posredno sticanje znanja.tj. mogu biti samo prenosioci informacija (u tom sludaju se nazivalunastavna pomagala).. Posebno u poietnoj nastavi matematike, koriscenjenastavnih sredstava diniefikasnijim proces sticanja znanja, umenja i naviki.

I J J

Adekvatna, pravilna i raznovrsna primerra nastavnih sredstava raz-viia kodudenika interesovanje za matematiku. pndstide razvol misaonih sposob-nosti, ubrzava i olakSava izgradniu matematidkih pojrnov;l. fofrlrii i l l l j{ ' lsudova, izvodenje zakljudaka i reiavanje z,adataka.

s obzirom na vel ik i broj i raznovisnost nastavnih sredsf;rra. i . i r r . . - j i ,su razlii ite klasifikacije od koji smo iz-abrali sledecLr:

S /4 r t t I trl t trl / la.s lit /'/ ItI 5 i e(Isl 1',-1.'

a) UdT.benic i i drugi tekstualno-d idakt idk i mater i ja l i za ucenike izb i r i t r . 'zadalaka, radni l istovi, radne sveske. kontrolni zadaci. ieslovi. tt; ' t ' .1,-r '" 'rri

l is t i i i , dasopis i i l is tov i za u ienikr : , l<ac i dr t lg i Stampani matet i ia l i ) :

t r ) Stampani metodidk i mater i ja l i 7 ,a nastat 'n !ke ( r . t . , : r i t pr i r r ' r : i . i

strudno-metodidkog karaktera, zbii l<e zadataka, specijalna l i lerattir ' ;. l tr pr-:

jed in im pi tanj ima iproblemima matemat icke nastave, ma: ten-raI i i 'kc r : r " r r . i i r

iopedije, leksikoni i rednici, strudno irretoditki casopisi i dr').

Oclqlcdr ;a / Iaslau| Ia \/cds/ L)d.'

- jednostavna vizuelna sredstva (realni predmeti, mocleli: qeomelrtl:; i i ih

tela, mernih jedinica i dri-rgi, sl ike, aplikacije, plakati. crte2i. serne" tabii i r:.

d i jagrami, komplet i ie tona, bro jerrn iStapi i i , log jdk ib lokovi . oboieni s tapi r ' t .

radunaljke, aritmetidka kuti ja - kolekcija simbola: znaci brojevd. ope rrr, rici i

relacija i dr").

Tc,/t r t iCka nAs la t ! / lA s t t,dS / r,a..

a) v izuelna: d i jaskop, episkop, c l rafoskop i s l . ; akust i i l< i l . grct r r t " r ' r1- ;

magnetofon, radio i sl.;

b) audiovizurelna: zvucni f i lm, televizii.r. video: :tred:itvzr i irt ja . iLlf ir ' , ir

izuju nastavni proces: trenaieii masine za uienie, l<ornpiutelri i dr :

Ma r t tJ t u la I lu / n / l.f 5' /.1 u,' t. t \, ('( I ", I / t

a) didaktidki materijali;

b) osnovni geometr i jsk i pr ibor za cr tanje na tabl i i u sveskarna ( l rn; i r .

ugaonik, trougaonik, Sestar i dr.);

c) pr ibor za merenje ( raz-r re posude, var je, iasovnic i . model l 1 l - le l r i l . tjed in ica, l ibe la, v isak i s l " ) .

Folazeii od navedene l<lasifikacije, razmotri ienro osobenosl.i rr.: i ' l i t

najvaZnij ih nastavnih sredstava, kao i nji l 'rovu uiogt i t l r lsr, ' .r i;:t i l t I

matematidkih pojnrova i dinjenica.

10.

udLtike, jerudenicirnikom icelog si

Preobavezt

Udodredeprogral

CltudZber

Teu nastiudZber

U(nosnoudZbetprimelstrukttnasta\tavnihsposodeice

Kporeiprva tu kojraciot

(udZbsistelinter'didaljasnrnenz

134

/a razviia kodonih sposolr-a, fornrirranje

ava, ntoqutr:

:en ike (z l r i r l<eovi , r ras tar i r r ir i ja l i ) :

n i pr i tuc 'n ic . ieratlrfil o pcl,rati ike crrr-i l";.

yeometrrl:;kiheme, tabi ic :e.rojeni ritapici.a. operacti.I i

r : g ran l . ) l ( ) t " )

Ia AUt ! ) r t r ; t ti d r ;

kama ( lenj i r .

tde l i nrerr r ih

:rrosti rreii ihr r-rsvajan ju

10.1. Odibenici, radni listovi i zbirke zadataka

Udibenil< je osnovno nastavno sredstvo u razrednoj nastavi matema-tike, jer upravo on odreduje ne samo sadrZaj nego i ceo sistem rada saudenicima. Sva druga nastavna sredstva pripremaju se u skladu s udZbe-nikom i koriste u uzajamnoj vezi sa njim, dakle - udZbenik je jezgro i bazacelog sistema nastavnih sredstava.

Prema zvanidno usvojenom planu, u razrednoj nastavi matematikeobavezno se koriste dve Skolske knjige - udZbenik i radni listovi.

UdZbenik, kao osnovna knjiga iz koje se usvajaju matematicka znanjaodredenog nivoa, mora biti napisan striktno na osnovu nastavnog plana iprograma.

Globalnu strukturu udZbenika matematike dine: tematske celine.udZbenidke jedinice i zadaci za ponavljanje gradiva.

Tematske celine u udibeniku treba da odgovaraju tematizaciji gradrvau nastavnom programu. Tematske celine se sastoje od odredenog brojaudZbenidkih jedinica.

UdZbenidke jedinice odreduju gradivo jedne programske teme, od-nosno jedinice. Osnovna karakteristika didaktidkog oblikovanjaudZbenidkih jedinica u udZbenicima za mlade razrede osnovne skole jesteprimena tzv. kraiih didaktidkih koraka. To znadi da se u ovim udibenicimastrukturne komponente (uvodenje u obradu novog gradiva, obrada novihnastavnih sadrZaja, uveZbavanje i ponavljanje gradiva. obrada novih nas-tavnih sadrZaja, uveZbavanje i ponavljanje gradiva, proveravanje znarrja isposobnosti) neie primenjivati sukcesivno, vei simultano integrisati i l ideiie menjati.

Kraii didaktidki koraci u izlaganju nastavnih sadrZaja zahtevaju ras-poredivanje raznih aktivnosi na celu udZbenicku jedinicu. Zbog toga je uprva tri razreda najprihvatljivije opredeljenje za udZbenik sa radninr listovimau kojima udenik pismenim putem reiava zadatke za veibanje. To jeracionalnije nego prepisivanje zadataka u svesku.

ildZbenik matematike za detvrti razredje po didaktidkom oblikovanjuudibenitkih jedinica drukdiji. Ovaj udZbenik se oblikuje celovitinr isistematidnim izlaganjem nastavnog gradiva, i to bez udenidke pisaneintervencije u njemu, a glavni nosilac informacija je matematidki tekst. Udidaktidkom oblikovanju udZbenidkih jedinica, u udZbeniku za ietvrti razrerljasno se izdvajaju strukturni elementi kojiodgovaraju strr-rkturnim kompo'nenatama vaspitno-obrazovnog procesa. Na taj nadin, oni uvode lrienika

1 3 5

u ob'radu novog gradiva, obradr: novih nastavnih sadr2aja. ve2banja ak,tivnosti, ponavljanja nastavnih sadrZaja. proveravanja znanja i sposobnosti.Medutim, ne tra2i se da se obr-rhvate sve navedene kornponente i l i primerrinavedeni redosled, vei se stvaralatki vri i kombinacija ovih komponerratai faza rada, u zavisnosti od prirode gradiva i uzrasta ucenika.

Zadaci u r,rdi.beniku treba da su raznovrsni ipo sadriaju ipo forrnul;ici j ii l okviru svake teme zadaci se grupisu po srodtrosti i rasporedLrjLr po te7.ini.Pored uobicajenih rrraternati ikih zaclataka" treba da br:dr,r z-astr.rplierrr izadaci za usmeno re iavanje, kao i problemsi i i zadaci l (o t isr to je davat izadatl<e u kojima se koriste i grafi ika reSenja. kako bi uienici rloqlisagledat i odnose izmedu vel id ina u zadatku.

'Zadaci za ponavljanje gradiva se daju na krajr-r ud7-benil<': ivelani :Lr za

ldjucne delove gradiva i njihovo povezivanje.

Radni l is tov i su sastavrr i deo udZbenika nratemat i l<e za I , I i . I l l i lV razredCilj zadataka u radnim listovima je da odredeno gradir,ro u ol<virtt jedneudZbeniike jeri inice uienik 5to detaljnije upozna i Llvezba. Najr,reci dt:osadraTja ovih l istova nanrenjett je doradi znaiajnrjeq i sio2enijeg grarJi," 'a. Pcrsvojim sadrZa.iima radni l istovi ne predstavljaju izbor norrih zirania u orlrosuna udZbenik, vec s luZe uglavnom za samosta lan rad t l ien ika na iasu i kodkude i problemskom kor-rstrukcijom zadataka motiviiu ucetri i ia z.rrazmiSl ian. ie .

i . lz udlbenik i radr 'e l is tc lve u raz-redr io j nastarr i malernat i l<e, ' L t l . , r ' f r iblja.,,aju se jo6 i zbirke zadatal<a. radne sveslte. nastavni l isti ' : : i i r lniqiStampani rnate l i ja l i (kao neobavezna l i terat r - t ra)

Za li l<ovna reienja udT.benil<a matenrati l<e u raz.redno; nastavi itrristi:se dve v rs te i l us l rac i j a :

- i lust rac i je kao osnovr t i t tos icc i in forma, : i ja i

- i lustracije kao sastavni deiovi tekstr.ralnih inl 'ot tr-racija.

I lust rac i je u ud2benic i rna t reba da ornoguie uspeSno otkt ivanlekol i i insk ih odnosa i prostorr r ih for t 'n i . Kao osnovni nosioc i in formaci la .i lustracije su najbrojnije u udZbeniku I razreda. ito u orrim poglavlj ima l<o1ase obraduju dok udenici ne savladajt-r pocetno i itanje i pisanje

Osim u potetnoj fazi stvaranja matematiikih pojmova. u r-td2benirinr.rrnatemat ike t reba da se postepeno oslobadar lo pr ikaz- ivaniamatematickih pojmova, zakona i operacija pomocu ilustracija. l<ako bt se:r - i ien ic is to pre pr iv ikaval i na matemat i ik i nai in miSl jenja. Craf icka i l ikovnare5enja t reba da pomaZu otkr ivaniu i razumevat t ju matemat idk ih sadrzaja

1 0

DanePosrzapis nstracija

"Oudenikodiglecu drugranije tupoznitrouql<postavtrougltpovezz

PrsamarazulnZa uctmaterpocettaktivnnostmiSljeobradprede

tU prisvakcprstigrafiimodrPrerrvidueslidni

Isamlkorissred

l 3 b

en lo t d

: l j l .

i n i .

^ t .d h -

sti.

I l

t a t l

rgli

7a

za

fe

t g j

, + ^) l c

tarlaSEtad -

1O"2. Oiigledna sredstva

Danas se " odiglednost" u nastavi shvata znatno 5ire nego moguinostneposredne vizuelne percepcije. Tako se smatra da, u odredenom sludaju,zapis na tabli, i l i izlaganje nastavnika, mogu biti odigledniji nego demon-stracija neke pojave u njenom prirodnom vidu.

"Odiglednost" u nastavi se temelji na odgovarajuiim posmatranjimaudenika, te je zato ne treba shvatiti samo kao nastavu sa koriSienjemodiglednih sredstava. U jednom sludaju su potrebna odigledrra sredstva, au drugom se moZe bez odiglednih sredstava, alije zato potrebno aktivitatiranije udenikovo iskustvo, koje je sada sadrZano u predstavama. Na primer.upoznajuii udenike sa trouglom, nastavnik se koristi rnodelima razliditihtrouglova, istituiibitna svojstva figura ovakvog oblika. LIporedo, nastavnikpostavlja pitanja udenicima i traZi da se prisete koji predmeti imaju obliktrougla. Na ovaj nadin se u nastavi matematike koriste u medusobnojpovezanosti, opaZanja i p,redstave udenika.

Primena raznih odiglednih sredstava u nastavi matematike ne sme bitisama sebi cilj. Ukoliko pojedina odigledna sredstva ne doprinoserazumevanju gradiva i razvijanju apstraktnog mi5ljenja, ne treba ih koristiti.Za udenje matematke, posmatranje i izvodenje operacija na konkretnommaterijalu, odnosno na specijalnim nastavnim sredstvima, vaina jepodetna etapa u procesu udenja, ali je daleko vaZnija sama misaonaaktivnost, tj. apstrahovanje, generalizovanje i rezonovanje uopite. Odigled-nost se posmatra kao privremeni oslonac za razvljanje apstraktnogmiSljenja. Upotrebu nastavnih sredstava treba planirati i osmisliti kako priobradi novog gradiva, tako i kod raznih vidova veZbanja i ponavljanjapredenog gradiva.

U nastavi matematike koristimo prirodna iveitadka odigledna sedstva.U prirodna odigledna sredstva ubrajaju se predmeti kojima se ucenicisvakodnevno sluZe: knjige, sveske, olovke, kutije, slidice, palidrvca, plodovi,prsti na ruci itd. Veitadka odigledna sredstva mogu biti predmetna igrafidka. Od predmetnih sredstava najdeiie se koriste : razne radunaljke,modeli geometrijskih figura, modeli mernih jedinica, drvca, Zetoni. itd.Prema nadjnu upotrebe odigledna sredstva delimo na odeljenjska i indi-vidualna. Cesto su odeljenjska i individualna odigledna sredstva ista (il islidna) po sadrZaju, a razlikuju se po velidini.

Prema izradi razlikujemo fabridka odigledna sredstva i sredstva koja susamostalno napravili nastavnik i udenici. Preporudljivo je i viiestrukokorisno da se angaZovanjem samih udenika izraduju pojedina odiglednasredstva. Poznavanje raznih vrsta odiglednih sredstava daje moguinost

. l

neeoPoI S U

od

lJela ,)Ja

nastavniku da ih pravilno odabira i efikasno koristi u nastavi, a takode i daih sam, ili zajedno sa udenicima, izraduje za odgovarajuie potrebe urkonkretnim situacijama.

S/ike v ode direktnom sticanju znanja, is kustva i p redstavljaju sred stvokoje omoguiuje ne samo istraiivanje vec i saopitavanje misli i idejadrugima, koje je ponekad teiko izrazitiverbalnim putem. Pojedini elementislike moraju biti ukomponovani tako da motiv u celini izaLava osncrvnezadatke koje sadrZi tema.

Ap/lkacgeza obradu programskih tema u podetnoj nastavi matematikesu: slike predmeta i Zivih biia, simboli, jedinice dekadnog sistema, elenrentiza tablicu mnoZenja, apoeni novca, matematidke oznake i cifre. lzradenesu od razliditih materijala, najdeiie od hamera, 5perplode, panelploie.stiropora, plastike i papira^ Na pozadini aplikacije lepi se Smirgl papir il i. akosu aplikacije od plastike, stavlja se magnet da bi se aplikacija mogla zakaditina flanelograf.

GmBp/11'a je providna plastidna folija, sa koje se uz pomoc projek-cionog aparata (grafoskopa) slika moZe preneti na ekran.

-fekst il i slika se

na foliju nanosi specijalnim priborom (flomasterom), odnosno laserskin.rStampadem (na termofoliju). Koriiienje grafofolija nad Skolskonr tablonr,slikom i dr. ima sledeie prednost: folija se mo2e postepeno otkrivati,postoje mogu6nosti "zidanja" slika pomoiu uzastopnih slojeva folija kojese slaZu tokom dasa, dopisivanja i "brisanja" (skrivanja) slika itd.

Dgagmmisu uproiienicrteZi, geometrijske slike, a cesto samo obiinaskica, izvedeni tako da pokaZu medusobne odnose, strukturu ili kontrirunekog objekta ili pojave, njihov popredni il i uzduZni presek. Dijagrarnprvenstveno ima svrhu da objainjava, a ne da prikazuje. Nastavnicimatematike nailibise u veoma teikom poloZaju kada bigeometriju rnoralida tumade bez dijagrama. Svaki dobar dijagram ima minimum detalja izbog toga su takvi dijagrami ponekad apstraktni. U mnogim sluiajevirnanastavno gradivo se ne moZe obraditi samo pomoiu jednog unapredpripremljenog dijagrama, vei je bolje da se izradi osnovna kontura dija-grama ( na tabli i l i tabaku hartije), a da se detalji dopunjuju na iasu uprisustvu udenika. Na taj nadin i udenici saraduju Lr izgradnji dijagrama.

Slml:oll mogu biti: simboli operacije, brojeva, relacija i slidno. Vec upodetnoj nastavi matematike udenici naude da kruZicima i drugim znacimasimbolidki prikazuju konkretne predmete i njihove odnose. Svako r-rienjeje uslovljeno upotrebom raznih simbola pod kojima se podrazumevajuznaci razliditi od prvobitne stvarnosti.

Modell se koriste onda kada se o realnim predmetima i pojavama nemoZe dobiti dovoljno jasna slika. Mnogi predmeti u prirodi su preveliki il i

SUVISEie boltike nrinica.prednalnoopaLanastojmode

LposeLdijafilti uopzahte'Prem,ispun

Stvo,dodarVIem,osnoupozlgde rucen

I

serijtdijafiodre,ucenman

prerponpon

138

:ode i dartrebe r-r

sredstvoi i ideja:lementicsnovne

:ematike: lementilzradenerelploie,i r i l i . akorzakaiiti

projek-slika se

rserskinltablom,rtkrivati,'lija koje

l obicnakonturutijagrarnrstavnici: moraliCetalja iajevimarnapredrra dija-iasu uama.

r. Vei unacimauienjemevaju

ama neveliki il i

suviSe mali, sloZeni, komplikovani i skriveni. U takvim sludajevima modeli6e bolje posluZiti u nastavne svrhe nego realni predmeti. U nastavi matema-tike najdeSie se upotrebljavaju modeli geometrijskih figura i mernih jed-inica. Pomoiu njih se postiZe veliki stepen odiglednosti i konkretnosti opredmetima i pojavama koji su prostorno i vremenski udaljeni, funkcion-alno ili fizidki teZe shvatljivi, apstraktni i nepristupacni neposrednomopaZanju i posmatranju. Kada se model koristi u nastavi, potrebno jenastojati da udenici ne steknu pogre5nu predstavu o velidini predmeta l<ojimodel predstavlja.

Dybpozitiui predstavljaju materijal u obliku plodica, gde je svaka slikaposebno uokvirena i time pokazuje odite prednosti pred vei klasiinimdijafilmom. Pomoiu serije dijapozitiva pove6ava se moguinost analitickogi uopitenog izudavanja pojedinih nastavnih predmeta. Njihova primenazahteva paZljiv odnos nastavnika prema izboru materijala za prikazivanje iprema pravilnom koriSdenju preimuistva serija, kako bi njihova prirnenaispunif a postavljeni zadatak.

Nastauni fi/m je dinamidno vizuelno ili audiovizuelno nastavno sred-stvo, koje obezbeduje specifidne uslove za nastavni rad, a udenicimadodarava stvarnost Zivota i rada u raznovrsnim manifestacijama i razliditimvremenskim razdobljima. On moZe omoguiiti posmatranje i pruZiti solidnr-rosnovu za sticanje neophodnih iskustava tamo gde se udenik ne moieupoznatisa prirodnim objektima i pojavama, odnosno u onim sludajevimagde niobjainjenje nastavnika, nidruga nastavna sredstva ne mogu pruiitiudenicima jasne predstave.

Dg'art/moui se ubrajaju u kategoriju vizuelnog materijala, koji sadri-iseriju viie medusobno sadrZajno povezanih slika. Karakteristika nastavnoqdijafilma je njegova znadajna poudna sadrZina. jasno usmerena naodredenu nastavnu jedinicu ili nastavnu temu, nastavni predmet, na uztastudenika i stepen 5kole. Za mladi Skolski uzrast pogodniji su dijafilnrovi samanjim brojem slika (15 - 20).

1O.3. Prenosioci informacija - nastavna pomagala

Nastavna pomagala su objekti i uredaji kojima se nastavne inforrrracrleprenose na udenike. Za nastavu matematike znadajne su detiri qrupepomagala: pomagala za ekspoziciju, vizuelni projektori. manipulativnapomagala i elektronska nastavna pomagala.

1 3 9

POMAGAIA TAEKSPOZICIJU dine: Skolska tabla, flaneloqraf iprojek-ciono platno

Skolska tab/a se najviSe koristi kao nastavno pomagalo u nastavimatematike. Nema dasa na kojem se ona ne koristi, jer se preko zapisa nanjoj, crteZa i ilustracija najjednostavnije mobiliSe paZnja udenika. Skolskatabla mora uvek da bude dista i uredna, a ispisana tako da pruZa utisakreda i sistematidnosti u kojima ie se svaki udenik snaii.

Flanelogrmrfje ploda obloZena flanelom ili nekim drugim platnom nakoje se prianjaju papirne aplikacije. On treba da je postavljen u istoj ravnisa odima udenika i da je dobro osvetljen. Flanelograf se koristi zapostavljanje aplikacija pri obradi raznih tematskih celina (pri pocetnomradunanju, obradi brojeva dekadnog sistema, predstavljanju niza brojeva,sastavljanju i rastavljanju skupova, pri obradi geometrijskih skupova i dr.).Pored flanelografa postoji magnetograf ili magnetna tabla koja se koristi zamagnetne aplikacije.

Prqekclane p/oie koristimo kao zidne ekrane, ekranske zastore iekrane za dnevnu projekciju. Na ekranima se projektuju slike, crteZi iilustracije preko filmskih projektora, dijaprojektora, grafoskopa i drugihprojekcionih aparata. Za izradu projekcionog platna najdeiie se upotfe-bljavaju bela impegnisana platna, metalizirane ili perlicaste povriine, kojeodbijaju zrake projekcije.

VIZUELNE PROJEKTORE dine: filmski projektori, dijaprojektori i gra-foskopi.

Fi/mskiprqektori (nemi itonski) sluZe za projekciju Skolskih nastavnihfilniova, a u nastavi matematike se rede koriste.

Dgbprqlektori mogu biti raznih vrsta i raznih kornbinacija, a sluZe zaprojektovanje diiafilmova i dijapozitiva. Pri projektovanju slike se mogumenjati pomoiu poluautomatskog menjada ugradenog na aparatu ilipomoiu daljinskih komandi.

Gmfoskop je uredaj koji sluZi za projektovanje transparentnih slika nagrafofoliji. Pisanje na grafofoliji ima niz prednosti od pisanja na tabli. CrteZesa foliia moZemo saduvati i kasnije ih reprodukovati. Za vreme pisanja icrtanja na radnoj povriini grafoskopa, nastavnik je okrenut licem pemaudenicima, 5to mu omoguiuje da sa njima odr/.ava kontakt. Dok radi nagrafoskopu, nastavnik se nalazi u normalnim uslovima, jer moZe stajati,sedeti i pisati. Oitrina crteZa ili tekstova projektovanih na grafoskopumnogo je bolja nego dijaprojekcija ili crteZ na Skolskoj tabli.

pri

geStI

vr(za

- r

tr(pl,oLdcgrNE

ljenieri to(ol

A ,

niDje

z(I l /

uoCp

1,40

projek-

nastavipisa naikolskar utisak

lom narj ravniristi za:etnomrrojeva,a i d r . ) .:risti za

rstore icrte2i idrugihJpotre-re, koje

r i ig ra -

stavnih

luZe zamogu

ratu ili

l ika naCrteZesanja iPema'adi na

stajati,rskopu

MANIPULACIONA POMAGALA dine: pribor za crtanje i konstrukciju ipribor za merenje.

Pnbor za crta4/e i konstrukcgu koristimo za crtanje i konstruisanjegeometrijskih figura. Tu spadaju lenjiri, Sestari, trouglovi za crtanje i kon-strukciju na Skolskoj tabli i u sveskama.

Prfbor za mere4le upotrebljava se za merenje duii, mase, tednosti,vremena, zapremine i povrSine, a podrazumeva razne merne instrumenteza merenje: metre, vage, razne posude, dasovnike i sl.

ELEKTRONSKA NASTAVNA POMAGALA dine: televizija i kompjuteri- radunari.

Obmzouna teleutzg'a se ne drii striktno predmetne sistematike i netretira pojedine nastavne jedinice, vei obrazovnu materiju zahvata kom-pleksno. Ona je pogodna za uvodenje udenika u pojedine nastavne teme ioblasti, a tako je i za ponavljanje iveZbanje. Obrazovna televizija deluje kaodoprinos i pomoi dopunskoj nastavi za one udenike koji nisu savladaligradivo, ali i kao dobar podsticaj talentovanim udenicima da i dalje radena samoobrazovanju.

Skolska te/euizgb projektuje i prezentira svoje programe u vidu snim-ljenih, viSe-manje uspeino ilustrovanih Skolskih dasovg, Skolskih lekcija,nastavnih jedinica, pojedinadno za svaki uzrast udenika. Skolske televizijskeemisije znatno oboga6uju rad nastavnika u 5koli, medutim one zahtevajui briZljiviju pripremu nego obidan nastavni das. One ne treba da traju duZeod 15-20 minuta, da bi ostali deo dasa bio iskoriSien za utvrdivanie iliorganizovanje nekih drugih aktivnosti.

Kompluten-miunari su elektronske maiine za primanje, obradu idavanje informacija. Razlika izmedu radunara i ostalih maiina za udenjenije samo u konstrukciji itehnidkim osobinama vei iu didaktidkoj nameni.Dok maSine za udenje udestvuju samo u pojedinim etapama nastave. dotleje radunar ukljuden u ceo tok nastave.

Radunari u nastavi imaju znadaj po tome 5to doprinose individuali-zovanju procesa udenja; udenici ispoljavaju pozitivniji stav nego premauobidajenoj nastavi; nastava pomocu radunara jade motiviSe i anga2ujeudenika. Radunari imaju moguinost da testiraju udenike, pamte njihoveodgovore, sreduje ih iodmah obave5tavaju o rezultatima pojedinca i grupe.Oni mogu posluZiti nastavniku kao pomo6 za upravljanje nastavnin-rProcesom.

Prilikom koriSienja radunara nastavnik ima viSestruku funkciju. On viSenije samo predavad, vei organizator i upravljai procesa nastave i dobrim

741

delom programer. Zbog toga moradidaktidkih svojstava racunara'

biti dobar Poznavalac tehnidkih i

11 .

11

uticalomatemvelikimknjiga.odrZaobazazamaterrskuporskuporskupa.

Nterne nd a s e to demgovoriima stdovoljlogidk

LI

dva arSAD,spoljr

t 4 z

kih i'Na uka ne pokuia ua ob1'ai 41a ua t/,

jedua pokuia ua n terpretira tt. na tt/ca

ug/a u non2 pos ta ulfu n t ode le "

J . Neumann

1 1. MOG(IENOSN NFORMATIZACIJE NASTAVEItll{TEltutTlKF

11.1. Koncepcije i strategije u nastavi i utenju matema-tike

U Staroj Crdkoj matematika je bila nauka o vremenu i prostoru. i to jeuticalo na matematidko obrazovanje. Ne tako davno u Engleskojmatematidko obrazovanje za niLe razrede bilo je "treniranje" ratunanja savelikim i komplikovanim brojevima, a za viSe razrede ditanje Eul<lidovilrknjiga. Taj objektivan pogled na sadrZaj programa nastave maternatikeodrZao se do podetka ovog veka, kada je rad Bula, Rasela i drugih postacrbazaza razlidite vrste matematike. Od tada je nastao koncept karakterizacijematematidkih termina i struktura, skupova i elemenata. gde su relacijeskupoviuredenih parova, funkcije su vrste relacija, algebarske strukture suskupovi sa zakonima kompozicije, a topologija je neka vrsta identifikovanoqskupa.

Nova matematika je predvidala da objedini elemente klasidne i mod-erne matematike. To se dinilo stranim onima koji su se sloZili sa Raselomda se matematika moZe definisatikao predmet u kome mi nikad ne znamoo demu govorimo, ni da li govorimo istinu. Sada se moie shvatiti zaito segovori da je matematika teSka za udenje. To pretpostavlja da svaki covekima svoj mentalni milje i kapacitet da predstavi svoje znanje o svetu nadovoljno visokom nivou apstrakcije, kao i da poseduje sposobnost zalogidko deduktivni nadin miSljenja.

Za razmalranja problematike udenja sadriaja matematike koristice sedva aspekta: asocijativni i kognitivni. Asocijativni pristup je dominantan uSAD, a kljudna stvar u njemu je da se udenje odvija kroz asocijacije naspoljne uticaje sa specifidnim uglom posmatranja udenika koji uci, sa

143

uspostavljanjem mentalnih. veza.prema asocijacijama. Brojna istraZivanjakoja su zapodeta dvadesetih godina ovog_vek-a, r-azmatrala!u mogucnostrazvoja uslova za asocijacrje.koje bi dare o?govaiaiui;;;rrrt"t.. I;F[k".iJ"te teorije na nastavu i udenje matematike iu znadajne

.Asocijativno udenje nastupa kada se udruze painjai rerevantni usrovi.Pod identifi[acijop relevantnih usrova se poaiuiu'm"ul. ;;;';;"ga, objekatuienjg. Predmet ie se lakie shvatiti ako je brganizovanje iaJrzala ostvarenotako.da se udenje ostvaruje po principu oaiaxsel #;";;; da se veZbasvaki deo sadriaja koji se udi.

Tokom pedesetih godina takvo shvatanjedrilai ve)biizgubilo je mnogona popularnosti. Jedna grupa.naudli[g j: pokuiara au i"uiturirr;e asocija-tivno udenje. i. njegov znadaj, tumadeii ia'su komp[kr;i preameti t om_ponovani od jednostavnijih koje je nemoguce pojedinacn6 identifikovati.ro njrma' deo kumurativnog yfenja. je. koncipiran hrjerarhijski to jesty:11i:,::gl?l: i:j.:d"eitini. Nauiniii koji su'zastupuiit.o,.iiu asocijacijermarr su snazan uticaj na nastavu matematike. jer'se njihovo sr,vatanjeucenja moglo- lako realizovati u nastavi. Takvo ih*tuniL niie mogto iaobuhvati razliditost ponaianja udenika u procesu udenja.'

"'J

"^^_O,9.3:::!llyT teorije.rldenja. raztikuje se kognitivna teorija uienja.nognrtrvni pravac potice od ceitalt-psihologa, koji su se bavili ' internJm

srruKturom. uni se razlikuju od pristalica asocijativne teoriie po tonre stoinsistiraju,na-tezi da ljudsl<i-mozak interpretira ,ut eutni nJiuz!1" i iskustvaprema odredenim^principima. prema tome i uienje je mnogo vise negosamo primanje informacija. Mada se Geitalt-psih<itogrja us#erila no p"rtna kome su preovladali problerni strukture, njeni prJdstavnici nisu niitarekli o. procesu prepoznavanja koji omoguilva'ulaz, niti--kako se ta:?.g::i.:l T:ll l1-tu,uremenom Taj.probtem je obradio Z. viaze. koji jepoKusao da cror(aze da se odredene bazicne strukture misljenja. ko;e ie:":i.1"^Tisati

lo_oitki i matematiki, razvijaju purem normii*'int"ruro.il"sa okruzenjem. on se opredelio za razvoj logidkih sistema klasifikacije riaL?::.S.p^,'Ti.!1ojevq, geometrije, prortoiu i vremena, kretanja i brzine.uKrarKo, o pJazeovoJ strukturi se moze razmisljati kao da je ona-kompono_vana od elemenata u relaciji, a dine je rrrentalnl i fizidke

"rl.ir" r" strukture

su baze PjaZeove teorije, pi'ema kojoj se udenidko ,"r-isriJnj" razvija u triIaze.

.P.rva. faza, predoperaciona, u kojoj dominira percepcija - prihvatanjepodaka iz okruienja;

Druga faza, konkretno operaciona, u kojoj se vrii mentalna transfor-macija naudenog fonda znanja;

njeddpt -l t

oi

pS]

al

n

+ .

n

L

Uppl l

S

tC

rrttl.If

144

raiivanjarguinostrplikacije

r iuslovi ., objekatstvarenose veZba

l mnogoasocija-

eti kom-ifikovati., to jest;ocijacijehvatanjeroglo da

ucenja.nternomome 5toiskustvaiSe negoe na putisu niSta,o se tae, koji jekoje se

terakcije<acije nai brzine.rmpono-;truktureMja u tri

hvatanje

lransfor-

Treia faza, formalno operaciona koja omoguiava hipotetidko rezono-vanje i logidko razmiSljanje.

Problem sa PjaZeovom teorijom je u tome 5to je predvidala nadinmiSljenja po gradacijama, odnosno uzrasnom periodu razvoja deteta. Madaje praksa pokazala da dete moZe pokazivatijednu fazu miiljenja u jedrrorndomenu, a drugu fazu miSljenja u drugom domenu. To je ukazivalo na toda je ova struktura izgrad ena i primenjivana na razliiite domene znanja.pre nego 5to je operaciono razmiSljanje u tom dornenu postalo moquie.lzraLena razliditost osvetljava jedan od najveiih problema PjaZeovog rada:on se zasniva na delimidnim podacima i sjedinjavanju kognitivnih strukturai razliditog nivoa funkcionisanja.

Psiholog Kejs (Case) u jednoj raspravi je rekao da su problemi inter-pretacije asocijacije povezani sa PjaZeovom teorijom i da je ona viSestrukturalna nego funkcionalna. Ona se koncentriSe na intelektualne oper-acije koje deca mogu da rade u razliditim etapama svog razvoja, ali ignoriiekognitivni proces koji te operacije uzrokuje. Informatidarima je potrebanmodel procesa podrZan Pjaieovom strukturom, koja rnoZe da objasnirazlidite epizode procesa udenja.

Svi ti faktori zajedno proizvode bogat spektar pona5anja. Kako se mo2etestirati model kojizastupa Kejs?

Rad u kognitivnirn naukama podrazumeva konstrukciju infornraticl<ihmodela u formiu kojqjkompjuterskiprogram moZe da obezbedi, pomocusimulacije, pregled raz:nih moguinosti.

U izgradnji informatidkih modela kognitivni naudnici koriste informa-cionu tehnologiju razvijenu za poseban domen znanja, da biopisali proceseu koje su ukljudene informacije o datom problemu i organizacija novog ipostojeieg znanja da brise reiio postavljeni problem.VaZno je istadi da takavpristup reiavanju prob'lema nije u suitini samo kompjuterska simulacija otome kako dovek reSa'va probleme korak po korak, vei je to sistem skupastruktura i procesa. Inra smisla proudavati kako strukture i procesi mogubiti koriSieni za reiavanje odredemih problema. Naravno, rei je o informa-cionom modelu niZeg nivoa, u kome se koriste operacije racunanja.merenja, kalkulacija, organizovarrja i uporedivanja. U procesu istraZivanjamodela tipa simulaacije potrebno je izdvojiti elemente koji mogu razvijatiprethodno stedeno znanje, ekspert mora da ima strategijsko znanje kakoproblem treba postaviti i kako ga reiiti. Konadni korak je provera izlaza zakoji se koriste procesi kao 5to su: komparacija, aproksimacija i testiranje.Kognitivnim naudnicinra se moZe uputitizamerka da nisu napravilidovoljnoprogresa u modeliranju indukcije.

745

SaZeti inventarisanje kompleksnosti problema udenja matematikeimalo je za cilj da bolje rasvetli pitgnja pred kojim se nalaze projektantiobrazovnog radunarskog softvera. Cinjenice, procesi , veitine, konceptu-alne strukture, strategije reiavanja problema dine matematidku kolekcijuudenidkog znanja. Kakav doprinos matematidkom obrazovanju ima nas-tava matematike, pitanje je koje se mora paZljivo prouciti.

Za uspeSnu primenu kompjutera u nastavi matematike neophodno jeprouditi kako se predaje matematika u Skolama. U razrednoj nastavi uiiteljje odgovoran da uredi niz uslova i aktivnosti u udionici putem kojih ieudenik prihvatiti matematiku.

U nastavi matematike treba skladno povezati iinjenic:e, veitine. konceptualne strukture, metode i generalne sirategije u reiavanjuu problema.lstaknuto je vei da je sistem drila iveZbi neadekvatan u udenju matematil<e.Njega su preporudivali naudnici koji su zastupali asocijativnu teoriju uienja.Njegova neadekvatnost se ogleda u cinjenici da taj model udenja ne vodiraduna o razliditom ponaianju udenika u udenju aritmetike (Brownell,Jones). Mada to ne znadi da taj aspekt udenja nije efektan metod uienjauopSte.

Globalna istraZivanja pokazuju da tamo gde dril nije efektan kao nacinudenja aritmetike, on je veoma plodotvoran tamo gde je potrebnopoznavanje velikog broja cinjenica. Zbog toga je tehnika drila i veZbiukljucena u skup nastavnih metoda u predavanju matematike.

Cotovo da se svaka nastavna metoda moZe primeniti u individuairr<tnrrrradu, ali su pojedini udenici razliditi po tome kojorn brzinom uie Nekiimoraju da jasno savladaju svaki korak udenja, dok drugi mogu da pleskoceneke korake. Implikacija je takva da ih nastavnik mora diskrel.no korrstiti,izbegavajuii rigidnu podelu rada i prilagodavajuci se svakom ucenikuprema njegovim sposobnostima.

PjaZeove ideje imaju znadajnu implikacaiju, mada se on rrije rnnogointeresovao za obrazovanje dece. Naime, teikoie uienja matenratil<e sLrtakve da podrazumevaju rad na visokom nivou apstrakcije. koji prernaPjaZeu odgovara formalnom operativnom nivou. Postoje dokazi da rnnoqr,rkulture nisu cenile i razvijale operativno miSljenje.

Pitanje je na koji nacin treba predavati matematiku da bi se razvio trrjnadin razmiSljanja. To pitanje zahteva istraZivanje. Jedno od obj;rSnjeniadedijeg razmiSljanja je u tome da deca zamenjuju intuitivne nrodele szrkonkretnim. Na primer, svoje predstave o prostoru prilagodavaju fiz-ii:konrsvetu. Sa druge strane, ako Zele da razvijaju znanje geometrue. ond;r svoj.rrazmiSljanja moraju da lociraju na apstraktnijem nivou od realnoq lstraZivad Grir (Greer) ukazu je da mnogi problemi potiiu iz matematir:l<ih

u lolplplSIr€diV(

d,Orle

Prbrktp ldr- t

Lll

jek(prb,>a

S

S

I(

pnkptt(r

t46

e+ :L I

t-Ut-

' l i,'):e

udionica, zbog razlika u razmiSljanjima ucenika koja se odvijaju u riq-oroznim situacijama, to jest, u simbolidkom razmiiljanju. Razlicitostponaianja posebno dolazi doizraLaja u nastavialgebre. lsti sluiaj se nroi,elpojaviti u predikolskom ili ranoikolskom udenju aritmetike. Moqucastrategija nastave je ta da se prevazide simbolizam, da se prede u "realistidku matematiku". Drugi nadin je da se nastavniku omoguii da udijalogu sa udenikom, provocirajuii ga pogreinim koncepcijama i odgo-vorima, stvori uslove da udenik menja nadin razmiSljanja. NaSe izlaganje sedo sada koncentrisalo samo na pitanje udenja po PjaZeu, alije to mo2daod drugorazrednog znataja u odnosu na uslove zarazumevanje. Po Pjai-eu,razumeti znadi raditi kroz mentalne i fizidke aktivnosti, a to se prvenstvenopreporuduje udenicima. Mada ie to, kako sam nauinik vidi, dove.sti dobrojnih greiaka, ali greike su neizbeZan deo izgradnje i osmi3ljavanjakoncepata. Konstruktivno udenje podrazumeva predlaganje ideja, njihovoproveravanje radi utvrdivanja koja je ideja uspeina, a koja nije. To po-drazumeva takvu nastavu u kojoj ie ucenici imati informacionu povratnr.lspregu u odnosu na svaku svoju akciju.

U nekom smislu, PjaZe ne predlaZe niSta novo, vei je preformulisacrudenje kroz rad koje su predlagali Dewey i Montessori. Na tim osnovamaje razvijen pojam istraZivaikog udenja, aktivnog umesto pasivnog. r.rkome se samo primaju gotove informacije. No udenje-otkrivanjem ycponekad manje efikasno od udenja koje odmah vodi do saznanja. ali jebolje i lakie se prenosi na nove situacije. Dokazi pokazuju da rrisesaznavanje usmerenog istraZivaikog ucenja:

- osigurava udenje sa razumevanjem, po5to se svako predznanje nrorakoristiti kao deo istraZivadke aktivnosti;

- omoguiava udenje u jednostavnijim uslovima od onih gde i:r: sestedeno znanje primenjivati;

- pored koncepta strukture, unapreduje udenje generelnih strategijcr;

- ukoliko je uspeino, ono visoko motiviSe.

ldeje o primeni softverskih alata u kreiranju obrazovnog racunarskogsoftvera za potrebe nastave i udenja matematike sve su prisutnije. Usavremenoj nastavi matematike sve je prisutnija i nova informacionatehnologija, koja doprinosi vi5im efektima matematidkog obrazovanja. Napitanje kako informatidka reienja mogu da doprinesu povecanju znanjamatematike, odgovor je , pre svega, da se u nastavi i udenju matematikekoristiobrazovni radunarski softver koji, opet, na optimalan nadin ispunlavapostavljene ciljeve matematidkog obrazovanja. Polaznu osnovu za projek-tovanie i razvoi obrazovnog radunarskog softvera tine softverski alati(toolkits). Jedan od pravaca istraZivanja i razvoja obrazovnog raiunarskoq

e.a .diil,:^p

t nrobi

T)(i i- c

ri' t I

lo;U

laI P

aJiaia-n

t -

a .

laS.

ih

147

softvera zavisan je od stepena razvoja softverskih alata, kojise mogu koristitiza projektovanje i razvoj obrazovnog radunarskog softvera za matematiku.

11.2. $oftver u matematiikom obrazovanju

Analiziranje nekih poznatih softverskih alata posluZiie za razvoj ideja oreSenjima za softver u matematidkom obrazovanju.

Spred5its - $preadsheets

Programski paketi, kao 5to su VISICALS, L-OTUS l-2-3 iliMULTIPLAN, pokazali su izuzetan uspeh u reiavanju problema brznisa, trgovine i zafinansijske analize. Na njihovim konceptualnim osnovama grade se softver-ska reienja za nastavu i udenje matematike. Veliki deo matematiikestrukture se moZe svesti na format dvodimenzionalne matridne ielije. pritemu vrednost svake pojedine ielije moZe da bude zavisna od neke drurqeielije il i skupa ielija. Primer za to je mnoZenle matrica. Omesto pisanjerniza instrukcija za mnoienje elemenata vrsta, u prvoj matrici, sa elemerr-tima kolona druge matrice, Sprediit jednostavno definiSe proizvod matrir;ar.postavljaju6i svaku 6eliju pomocu formule koja predstavlja prigodnu konr'binaciju vrsta i kolona.

Spred5it programi, u nastavi i u ienju matematike, moglr da se kor istel<ao modeli "crne kutije". U niZim razredima osnovne Skole uditelj bi unapredpripremio formulu, a udenici bi unosili podatke i dobijeni rezultat. To jemodel aplikativnog tipa obrazovnog radunarskog softvera. U visirnrazredima ucenicibisamisastavl jal i formule i unosi l i podatke, i na taj nat inre5avali zadatke. SpredSit programi imaju velike mogucnosti za kreiranjeobrazovnog radunarskog softvera u matematidkom obrazovanju.

Grafiiki softver

Klasifikacija tipova obrazovnog radunaraskog softvera obuhvata isoftvere tipa elektronska tabla. Za elektronsku tablu je znacajna podr5kagrafidki softver. Ve6 je bilo redi da mnogi r-rdenici imaju problema urazumevanju razliditih slika. "Centar za tehnologiju' Harvardskog uni

l 4 8

itiu.

verziteta razvija serUu dinamidki povezanih slika za velike brojeve. U te svrherazuijena su detiritipa grafidke prezentacije:

1. likovna - kvadratni prozor sa pravougaonim kutijama u kojima surazlidite slike;

2. brojevna (tabelarna) - prozor sadrZi kolone povezanih brojeva;

3. koordinantna grafidka prezentacija;

4. sabirad brojeva - omoguiuje udenicima manipulacije sa brojevima

Na ekranu se, u svakom trenutku, moZe prikazati drvo odludivanja sakompletnom strukturom , kao odgovor na udenikov postupak reiavanjazadatka.

IstraZivaiki program

Primer istraZivadkog programa je ALGEBRALAND SYSTEM, razvijen uXerox Palo Alto Research Center-u. Osnovna ideja kod tog programa je dase postupak re5avanja jednadina moZe prikazati na ekranu ili oditampati,ili dak ponoviti, omoguiujuii na taj nadin animaciju puta za re5avanje. Tajpostupak se prikazuje grafidki - pomoiu drveta odludivanja, pokazujuii kojiput redavanja su izabrali udenici, kao i usputne gre5ke i ponovne pokuSaje.Bez dubljeg ulaZenja u to kako se taj alat uklapa u matematiku, njegovosnovni doprinos je u dinjenici da udenik moZe da razume eksperimenti-sanje u reiavanju zadataka. To eksperimentisanje se sastoji u formiranju itestiranju hipoteza, a uzima u obzir efekte koje prouzrokuju sprovedeneoperacije. Taj program ima tri komponente:

1. program, pisan u LOGO jeziku;

2. mikrosvet grafike za slikovnu prezentaciju objekata i operacija;

3. algebarsku radnu plodu koja moZe biti izvriilac (izvriava po redualgebarske relacije), ili se ponaia kao tutor, dajuii savete i kritike.

Stvaralaiki jezici

Programski jezik SIvIALLTALK su stvorili strudnjaci Xerox Palo AltoReserch Center-a za posebne svrhe. Naime, to je "objektivno orijentisani"jezik, pomoiu koga korisnik opisuje 5ta Zeli da sastavi kao kolekciju

\NZA

lr-kerri1et -

|Jan -

n -

te:diet -

i 1'1

ie

149

objekata kojiie medusobno kornuniciratitako 5to ie slatii primatiporuke.Svaki objekat predstavlja il i objekat koncepta klase, il i sadrzi opise'porukaiakcija, odnosno crta po ekranu, Stampa tekst itd.

_. _ Na primer, da bi se programirala simulacija aviona na jeziku SXTALL-TALK, treba definisati klase objekta - "instrument" i primere posebnihinstrumenata iscrtati na ekranu. Svaki instrument bi imao svoju poziciju naekranu, oznaku i vrednost. Drugi primer je primena jezika SMALLTAIK zaizgradnju laboratorijefzgmod_elovanje geometrijskih objekata. U laboratorijipod nazivom THINGLAB (Borning), objekat se modeluje opisivanjemrelacija izmedu njegovih delova, koje moraju da postoje. THINGLABobezbeduje da se promenom jednog parametra objekta automatskipromene idrugi koji su sa njim u relaciji. Na primer, kod crtanja paralelo-grama- romba, moZe se menjati relacija: ugao izrnedu dve stranice, il i semoZe menjati podetna tadka, odnosno njene koordinate i sl.

Korisnici SMALLTALK jezika istidu da je prednost objekatski orijenti-sanog-programiranja nad proceduralnim u tome 5to se jasno razlikujuprocedure za manipulaciju podacima od ulaznih podatka kojima se pozi-vaju procedure. Slidno je miSljenje i kad je u pitanju logika.

Suitina je u tome da se tvrdenja u deklarativnoi logici mogu u jezikuSMALLTALK interpretirati u vidu proceduralnih instrukcija. To je posluiilokao podloga za stvaranje programskog jezika PROLOG, kojije posebnopogodan za izgradnju baza podataka sa dinjenicama i pravilima koje udenikmoZe ispitivati. Prihvaieno je miSljenje da je stvarna vrednost logike kaoprogramskog jezika u njegovoj primenljivosti za udenje logidkograzmiSljanja, i to u svim podrudjuma nastavnog programa. Evropskaekonomska zajednica je (1984.9.) finansirala projekt primene MICRO-PROLOC jezika u Skolama Belgije, Francuske, Crdke i ltalije, a dobijenirezultati ukazuju na pozitivne efekte primene tog programskog jezika narazvoj logidkodeduktivnog miSljenja. U p rojektovanju obrazovnog rac u na r-skog softvera na jeziku PROLOG, javljaju se razliditi stavovi kad je u pitanjumodel udenja - da li dati preradeno gradivo (definicije, primere zakljudke),ili udenike usmeriti da ude putem pokuiaja i pogreike.

Tutorski programi bazirani na znanju

Tokom poslednje decenije veitadka inteligencija je napravila znadajankorak u razvoju ekspertnih sistema, koji se odlikuju po tome 5to sadrZeznanja eksperta i pravila za reiavanje problema. Inteligentni tutori znademnogo viSe od ekspertnog sistema. Kao 5to je poznato, kod ekspertnog

sistema seI razvijenijudenidkihnerazumevpodu od ttudenja bi nsistema naveitinamaekspertnogvati veii sktnego 5to srsistema mctako da u ktaciju novihosnow un(

Intelige5to analiziriOvde iemc

Prona

DetekcPM prilaz jrza reSavanjrTakav eksppokuiaja. Ipekata iz olbaze nedos

Taj mcpostojanjajednom skrudenikovihveStine ie INa tom prilwon". ZadiduZ polja dosvaja nagnacijom trijedan od ar

1 5 0

poruke.rporuka

SMALL-osebnihziciju naIALK zaroratoriji;ivanjemINCLABomatskiraralelo-ce, il i se

orijenti-razlikujuse pozi-

u jezikurosluiilorcsebnoe ucenikgike kaologickog:vropskaMICROdobijeniezika naracunar-,-i pitanjukljudke),

:naiajanr sadrZerri znaceipertnog

sistema se smatra da su korisnikovo prethodno znanje i veStine ogranideni.I razvijenijim modelima ekspertnih sistema nedostaje dijagnostikaudenidkih greiaka, koje mogu biti posledica nepaZnje, neznanja ilinerazumevanja. Te dinjenice obavezuju projektante ekspertnih sistema dapodu od teorije kako udenici ude u odredenoj oblasti. Takva strategijaudenja bimogla biti preuzeta uz rasporedenitransfer znanja sa ekspertnogsistema na uienika, ukljudujuiii dijagnostiku rupa u udenikovom znanju iveitinama koje su rezultat prekida u procesu transfera. Ako projektantekspertnog sistema prihvatiteoriju o konstruktivnom udenju, on ie oceki-vativeii skup greiaka. Dakle, detekcija greike se pokazala kao te2i zadataknego 5to se u prvom momentu dinilo. Kod razvijenijih modela ekspertnihsistema mogu se datioznake koje ie obeleiiti u bazi znanje koje je poznato,tako da u kasnijim sludajevima ekspertni sistem treba da promeni prezen-taciju novih znanja, u skladu sa onim 5to se veruje da udenik vec zna - naosnovu unetih oznaka. Tako se lakSe objainjavaju greike koje se cine.

Inteligentni tutorski obrazovni raiunarski softveri odlikuju se po tome5to analiziraju udenidke odgovore i pronalaze greike u njihovom znanju.Ovde iemo prikazati tri prilaza analiziranju greiaka u odgovorima uienika.

Pronalaienie rupa u znanju

Detekcija rupa u znanju udenika se moZe vriiti po raznim osnovama.Prvi prilaz je pogodan za predmetne oblasti u kojima ne postoji strategijaza reSavanje problema, igde nema nadina da se od uienika dobiju podaci.Takav ekspertni sistem detekciju greSaka vr5i samo na osnovu udeniikihpokuiaja. Drugi prilaz je strategija zasnovana na identifikaciji vainih as-pekata iz oblasti i ve5tina koje mogu da se ude, a odluduje se na osnovubaze nedostajuiih udenikovih poteza.

Taj model daje viSe od prethodnog. Clavni problem je u identifikacijipostojanja veitina koje uienik moLda poseduje, a koje se ne koriste ni ujednom skupu problema. Redenje je u posedovanju ekspertnog prikazaudenikovih akcija iidentifikovanje podve5tina koje ima. Bilo koji nedostatakveitine ie biti relevantan smo ako ga je ekspert ukljucio u date okolnosti.Na tom prilazu su radili Barton i Braun na primeru igre "How the West waswon" . Zadatak udenika je da postigne cilj sa minimalnim brojem pokretaduZ polja dugog 70 kvadrata. Zavisno od mesta na koje je stigao, ucenikosvaja nagradne ili kaznene pokrete. Osnovni pokret je definisan kombi-nacijom tri mala cela broja u aritmetikom izrazu, pri demu se koristi najvi5ejedan od aritmetidkih simbola za operacije (+, -. x, :).

r 51

Tutor pod imenom WEST konstruiSe model udenika, uporedivanjemudenikovih pokreta s najboljim pokretima. Kod njega se koristi model zaidentifikovanje veitina koje su slabo razvijene ili ih udenik ne poseduje. Toukljudu.je aritmetidke veitine (da li udenik ume da sastavi broj od tri malabroja), veitine koje zavise od igre (kada i kako doii do nagradnih polja) iigranje strategije (posmatranje suparnidkog igrada). Za svaku veitinu pos-tojiidentifikator kojije prepoznaje iocenjuje. Zajednidkioniiz-graduju modeluderrika koji sadrZi podatke o koriSienim veitinarna i njihovoj relativnojrrroguinosti. U tom modelu je ugradena baza za intervenciju koja dajetaktidke savete udeniku.

Pronalaienje gre6ke

Osnovna ideja za ovaj modelje da se identifikuju udenikove greike -konceptualne i proceduralne, direktno iz udenikovih odqovora, bez bilokakvog podatka o medukoracima koji su pravljeni prilikom reSavanjaproblema. Model je pogodan za oblasti kod kojih postoji samo jednastrategija koja tadno reiava problem.

Slinran (Sleeman) projektuje tutorski program THE LEEDS MODEL-LING SYSTEM "LMS", koji se bavi istraZivanjem zakljudaka udenidkihmodela u aritmetici i algebri. Greike su napravljene kao upoznavanjenetadnih verzija nekih pravila. Modeli se koriste za definisanje nivoa do kogsu udenici kompetentni. Sa svakim modelom povezan je skup problemaodgovarajuie teZine. U zavisnostiod datih odgovora, sistem generiSe tipovemodela udenika, dodajuii rrova pravila postojeiem modelu. lnterpretatoristandardnih pravila izvodenja izvriavaju modele, s tim 5to se oni koji seslaZu sa odqovorima udenika obelaZavaju posebno.

Pronalaienie pogreino shvadenog

Treii prilaz je pogodan za oblasti u kojima nema samo jednog algo-ritma za re5avanje svih problema, odnosno pogodan je za oblasti u kojimamoguinost izvodenja potkoraka u reienju problema obezbeduje baza zazakljuiivanje o strategiji i l i planu koji udenik prati tokom reiavanjaproblema.

ADVISER SYSTEM (sistem savetnik Generseth) najbolji je primer kojipomaZe korisnicima algebarskog sistema MACSYMA COMPUTER. Tipidnr

k05rd,>rdiM

olp(big l

pr(l inpoi p ral tsistutskr

I IUI:da

miobto

t ) z

korisnik MACSYMA programa obidno nema ekspertno znanje o sistemu.Odenik moZe otkriti da je dao pogreian odgovor. Jasno, poZeleie da sazna5ta nije bilo u redu. U tom sludaju on moZe da pozove ADVISOR sistem,dajuii mu zadatak da otkrije lokaciju u prirodu greike. Poznavanje ADVI,SOR programa ukljuduje i objainjenje 5ta je tadno cilj kojije udenik pokuSaoda postigne. ADVISOR vei ima zapis udenikovih prethodnih redenica izMACSYMA COMMANDS zajedno sa modelom podetnika MACSYMA USER"MUSER" U MUSER vaZeii planovi su predstavljeni grafovima kojiobjainjavaju kako akcije postiZu ciljeve. Svaki cilj je u relaciji sa svojimpotciljevima. Svaki metod zadovoljava odredeni cilj i uz preduslov da morabitiispunjen podacima. Postoji, takode, ibiblioteka delova planova idelovagreiaka.

Za prepoznavanje greike ADVISOR koristi meSavinu povratnih rezonai rezonovanje unapred. Prvo, program gradi tadan plan zakljudivanjemunazad, od cilja udenika, a zatim koristizakljudivanje unapred, sa nameromda promeni delove udenikovih akcija u planove, i to na taj nacin Stoprepoznaje plan i gre5ke iz svoje biblioteke, podeiavajuii ih prema mode-lima MUSER programa. Creika je pronadena na mestu gde data akcija nepogoduje modelu. Sistem ima standardno objainjenje za svaku komanduiprezentira je korisniku. Takode moZe da sugeriSe iupotrebu neke pogodnealternativne komande. Od 1986. godine tehnike planiranja za tutorskesisteme dobijaju u prioritetu za programiranje, a istraZivanje inteligentnihtutorskih p,rograma dobija prioritet u projektovanju obrazovnog racunar-skoo softvera.

11.3,. Informacione tehnologije i matematiiko obrazo-vanje

Za :;avremeno matematidko obrazovanje, odnosno nastavu i uienjematema,tike na svim nivoima u sistemu obrazovanja, potrebno je da seobezbecli koriSienje novih informacionih tehnologija. Relevantni uslovi zato se mogu grupisati u dve znadajne grupe:

- terhnologija i nastava matematike;

- tr:hnologija i obrazovanje nastavnika matematike;

Zbog toga iemo ukratko opisati znaiaj irrformacionih tehnologija zanastav u i obrazovanje nastavnika matematike.

153

Tehnologija i nastava maternatike

Savremena nastava matematike podrazumeva i ukljuiivanje nove in-formacione tehnoloogije u njenu realizaciju. Zato je potrebno da se sveinstitucije u sistemu obrazovanja (pred5kolsko, osnovno i srednjoikolskoobrazovanje i univerzitet) opreme hardverski i softverski, a da nastavnicidobiju potrebno usavriavanje za efikasnu primenu nove inforrnacionetehnologije u matematidkom obrazovanju. To posebno znadi:

- opremljenost nastavnika matematike posebnim kompjuterskim alat-kama za realizaciju nastave matematike i da im se omoguii konstantnoinoviranje nastave;

- usavriavanje nastavnika matematike iz oblasti modela ucenja i me-todologije uvodenia inovacija u matematidko obrazovanje;

- izmenu pozicija u nastavi matematike, tako da centralno mestoumesto nstavnika treba da zauzme uienik. Zato se uienik moraobuditi za primenu kompjutera u upotrebi savremenih matematiikihsoftverskih alata i obrazovnog radunarskog softvera;

- za ostvarivanje bolje komunikacije na relacijinastavnik -udenik, trebada se koriste programski proizvodi koji ie interpretirati proceduralne istrateike greike i omoguiiti gradnju modela.

Tehnologija i obrazovanje nastavnika

U procesu obrazovanja nastavnika, bilo da je rei.o uiiteljima ili oprofesorima srednjih 5kola, treba obavezno da se savlada osnovna infor-maticka i kompjuterska pismenost, kao i primenjena obrazovna informatikasa metodikom u nastavi matematike. 0savriavanje nastavnika koji nisu utoku svog obrazovanja savladali program informatidkog obrazovanja, tre-balo bi da obuhvati sledeie:

- svaki nastavnik bi trebalo da prode makar kroz minimalnu obuku okoriS6enju kompjutera za nastavu i udenje rnatematike;

- uvodni i korisniiki kursevi treba da obuhvate sledece:

1. SVESNOST sa naglaskom na aplikacije koje omogucuju nas,tavnicima da razumeju tehnoloike potencijale za primdnu u nastavi i uc-'c:njumatematike;

na:

usizo\

nozo\

154

tve ln-JE SVC(olsko.avnicircione

n alat-.antno

r i m e -

mesto. moraaritkih

, trebaralne i

ra il i or infor-matikanisu u

l d , u e -

ruku o

Lr nas-ucenju

2. APLIKACIJE - naglasak je na izboru programskih alatki za ucenje inastavu matematike.

3. STVARANJE MODELA sa naglaskom na koncepcijama:

- matematidki sadrZaji i teme za obe vrste kurseva treba da buduusaglaieni sa zahtevima nastavnog programa odgovarajuieg nivoa obra-zovanja;

- nastavnici moraju upoznati nove oblike organizacije rada u udionici inove nastavne metode u radu sa kompjuterima u matematidkom obra-zovanju.

1 ^ q

LITERATORA

1. Batler, H. C., Linvud Vren, F: Nastaua ntale,ttatike u -yednlbrikoll Progmn l metodi, Vuk KaradZii, Beograd, 1967.

2. Devide, V.: y'latemattA:a kroz kufture t epo/rc, Skolska knjiga,Zagreb. 19'79.

3. Krklju5, S.: (liergre u nasiaul otkrluary-ern,RU "Radivoj Cirpanov",Novi Sad, 1977.

4. Kudrjavcev, L" D.: .Sauremennqta ma terna t|/ta i ee pr epodotta nie.l4oskva, l980.

5. Nastavniprogram za osnovnu Skolu u RepubliciSrbiji. Arhimedes,Beograd, 1991.

6. Nastavni program za srednje Skole u SR Srbiji, Arhimedes, Beo-grad, 1987.

7. Penavin, V. i dr.: Metocltiki priruintk za neka ptfary'a pocet/rcnastaue rnalematfke. Novi Sad, 1974.

B. Petrovii, N. : Metodiikt ;trt ruin t k za p t"tp rent a ryc 7: r4ent r t og i-sp il.t1z matematike za upts na faktrltete, PMF, Novi Sad, 1992.

9. Petrovii, S., Martii, J., Petkovic, M.: Drdaktri/ro-tnetodii/iipriruinfk,:a nastauu mate-ntatike V-V/// nzreda osnoune ikole, Zavod zaudZbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1967.

10. Polja, D.'. MatenLatika t pr:udopodobnge nsrdcien4a, Nauka.Moskva,

- l975.

1i. Polja; D.: Kako dt rciitt ntatentatickt'zadaLtA, Skolska knjiga,Lagreb,1966.

12. Prvanovic, S: Teorya l praksa saulellte/tog rnatentaltiko.q obn-zotrar!/a na usnte/enont uaspfttto-obrazourtom stepenz:, "Veselin Masleia' ,Sarajevo, 198l.

I 3. P rva novic, S. : Me toc/|ka sa u / e / n e n og m a ter n a l t i Aog o/: r a zo ua r y'au osnoultoJ iA'oli, Beo-grad, 197O.

14. Ricard, R. Skemp: A ntaternattka ta/)u/;sp,r/ho/ogrtya, Budapest,1975.

15 Rybnikov, K. A.: Professy'a-r, ta/ertn/ iA,Moskva, l989

1 5 6r

'P )t crP.Jn;nl

:olska knjiga,

. : .'oJ Llrpanov",

,epodouanie,

i, Arhimedes,

medes, Beo-

trya poietrrc

emnog tsptta

ko-metodiikiole, Zavod za

:nga, Nauka,

:olska knjiga,

ztiikog obta-elin Masleia",

'obrazouatya

7b, Budapest,

i9.

i _

l

F-t , , " , " '

CIP - Katalogiacija u publikacij iBiblioteka Matice srpske, Novi Sad

371.3 :5a

OPSTA METODIM MSTAVE MATEMATIKE / JANOS PiNtCT,Velimir Sotirovi6, Nenad Petrovid, DuSan Lipovac.Sombor, Uiiteljski fakuitet, 1996 (Apatin: Grafika).1 55 str.: Grafiiki pfikazii 22 cm

TiraZ 1000.DrDlogra t t la : S t r . l )5

L Pinter, Janoia) Matematika - Metodika Nastave

UNIVERZITET U NOVOM SADUUtiteliski fakultet Sombor

Janoi Pinter

Velimir Sotirovii

Nenad Petrovii

DuSan Lipovac

OPSTA METODII(AN/\STAVE fulfi1Et561l I(E

SOFa"f tOR, t9 96. .

si _ z ' - t

Documents

Opsta Metodika Nastave Matematike