Opca teorija relativnosti

skripta sa zadacima

Ivica Smolic

radna verzija 9. sijecnja 2011.

Sva prava pridrzana.

2

Ova skripta zamisljena je kao pomoc studentima u svladavanju osnovnih po-jmova opce teorije relativnosti i pripadnog matematickog aparata. Na ovommjestu nisu objasnjeni svi koristeni pojmovi, niti je to bila namjera po-drazumjeva se da ce se student s ostalim detaljima upoznati na predavanjima,vjezbama, kao i kroz ponudenu literaturu. Izvor zadataka je uglavnom stan-dardna zbirka grupe autora, [Lightman et al.], uz ponesto primjera pronadenihu jednom od mnostva udzbenika iz gravitacije (iako su na tim mjestima rjesenjacesto izostavljena).

Autor se zeli zahvaliti svim onim studentima i kolegama koji su svojim is-pravkama i primjedbama pomogli u stvaranju i poboljsavanju skripte. Ipak,valja naglasiti kako ona nije prosla strucnu recenziju, pa stoga nije lisena matematickihi pravopisnih pogresaka.

f

30. Konvencije, konstante, pokrate

Koristimo konvencije koje u [MTW] nomenklaturi odgovaraju odabiru (+,+,+),sto znaci da je

i) Metrika Minkowskog u inercijalnom Kartezijevom koordinatnom sustavu(x0, x1, x2, x3) = (ct, x, y, z) dana s

ds2 = dxdx = c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 (1)

ii) Riemannov tenzor je pomocu Christoffelovih simbola dan s

R = + (2)

iii) Einsteinovu jednadzbu pisemo

R 12Rg =

8piG

c4T (3)

gdje su Riccijev tenzor R i Riccijev skalar R definirani s

R R , R gR (4)G je uobicajena gravitacijska konstanta, a T tenzor energije i impulsa (za nje-govu definiciju vidi [Wald], Appendix D).

Jedinice: Uglavnom rabimo prirodni sustav jedinica u kojem je c = G = 1.

Kratice: STR = specijalna teorija relativnosti, OTR = opca teorija rela-tivnosti, TSM = trenutni sustav mirovanja; sg. = svjetlosna godina

Notacija indeksa: Za indekse pisane malim slovima grckog alfabeta po-drazumijevamo da poprimaju vrijednosti iz skupa {0, 1, 2, 3}, a za one pisanemalim slovima latinske abecede iz skupa {1, 2, 3} (i analogno u slucaju N -dimenzionalnog prostor-vremena)

Deriviranje: Obicnu, parcijalnu derivaciju moguce je zapisati na nekolikorazlicitih nacina,

A

x= A = A, = A|

Za kovarijantnu derivaciju takoder postoji nekoliko alternativnih oznaka,

A = A; = A||U slucaju visih derivacija rabimo zapis

3Ax x x

= A, , A = A;Konvencionalno, tocka oznacava derivaciju po vlastitom (a ne koordinatnom)vremenu,

A dAd

4Prirodni sustavi jedinica

Najvaznije konstante u specijalnoj i opcoj teoriji relativnosti, te kvantnojfizici su brzina svjetlosti c, gravitacijska konstanta G i reducirana Planckovakonstanta ~. U uobicajenom (SI) sustavu jedinica one imaju dimenzije

c

[L

T

], G

[L3

MT 2

], ~

[ML2

T

]Mi cemo promatrati dva prirodna sustava jedinica, u kojima su po dvije od ovihkonstanti bezdimenzionalne:

G : c = G = 1 , K : c = ~ = 1 (5)

Kombinacije fundamentalnih konstanti, korisne za kasnije racunanje konverzi-jskih faktora su

G

c2

[L

M

],~c

[LM ] ,~c2

[TM ]

Vecina fizikalnih velicina ima dimenziju koju je moguce izraziti preko dimenzijaduljine [L], vremena [T ] i mase [M ]. U prirodnom sustavu jedinica G sve cefizikalne velicine biti izrazene u jedinicama duljine [L], a u prirodnom sustavujedinica K u jedinicama mase [M ]. Veze izmedu neke fizikalne velicine A za-pisane u orginalnom (SI) i jednom od prirodnih sustava jedinica (AG , AK) danesu preko konverzijskih faktora A i A:

AG = A A , AK = A A (6)

U slucaju vremena, duljine i mase, imamo sljedece relacije:

tG = c t , tK = c2

~ t , lG = l , lK = c~ l

mG =G

c2m , mK = m

Opcenito, fizikalnu velicinu A dimenzije [T pLrMs] prebacujemo u

a) AG [Lp+r+s] pomocu konverzijskog faktora A = c

p (G/c2)s

b) AK [Mpr+s] pomocu konverzijskog faktora A = (c2/~)p (c/~)r

Neki vazniji konverzijski faktori dani su u tablici ispod. U slucaju elektricnognaboja napravljena je dodatna pretpostavka da polazimo od sustava jedinica ukojem je 4pi0 = 1.

5A [A] [AG] A [AK] A

vrijeme T L c M1 c2~1duljina L L 1 M1 c~1masa M L Gc2 M 1brzina LT1 1 c1 1 c1

akceleracija LT2 L1 c2 M c3~impuls LT1M L Gc3 M c1

energija L2 T2M L Gc4 M c2

angularni moment L2T1M L2 Gc3 1 ~1gustoca mase L3M L2 Gc2 M4 c3~3

gustoca energije T2L1M L2 Gc4 M4 c5~3

elektricni naboj L32T1M

12 L G

12 c2 1 c

12 ~ 12

U kvantnoj teoriji polja cesto se upotrebljava prirodni sustav jedinica K, u kojempolja (skalarno , fermionsko i bazdarno Aa) imaju naredne, tzv. kanonskedimenzije:

[]B =d 2

2, []B =

d 12

, [Aa]B = 1 (7)

gdje je d ukupan broj prostorno-vremenskih dimenzija.

Planckov sustav jedinica. Ponekad se u literaturi koristi i dodatno pojed-nostavljen sustav jedinica koji objedinjuje dva predstavljena ovdje, a u kojemvrijedi c = G = ~ = 1. U ovom sustavu jedinica sve fizikalne velicine su bezdi-menzionalne. Uvodimo pomocne velicine,

Planckova duljina, lP (G~/c3)1/2

Planckova masa, mP (~c/G)1/2

Planckovo vrijeme, tP lP/c = (G~/c5)1/2

Veze izmedu velicina izrazenih u Planckovom sustavu i onih u G i K sus-tavima jedinica mogu se zapisati na nekoliko alterativnih nacina,

AP =AG

lp+r+sP= mp+rsP AK =

(c5p+3rsGpr+s

~p+r+s

)12

A (8)

AP =A

tpP lrPm

sP

(9)

61. Specijalna teorija relativnosti

ZAD. (paradoks automobila i garaze) Automobil duljine l0 (mjerene u sustavumirovanja automobila) nalijece brzinom v na garazu duljine lg,0 < la,0. Neka jeomjer njihovih duljina (u mirovanju) dan faktorom k la,0/lg,0 1. Kolika jeminimalna brzina vm potrebna da automobil stane u garazu?

R. Postoje dvije varijante ovog problema: u jednoj se automobil ne zaus-tavlja vec prolijece kroz garazu (pretpostavljajuci da garaza ima ulazna i izlaznavrata); u drugoj se automobil sudara sa straznjim zidom garaze, pri cemu sedeformiraju automobil i/ili garaza.

U prvom slucaju paradoks je razrijesen jednostavnijim racunom - posrijedi jetek drugacija definicija istovremenosti u sustavima mirovanja garaze, odnosnoautomobila . . .

U drugom slucaju je potrebno napraviti odredene pretpostavke u vezi scvrstocom materijala od kojih su gradeni automobil i garaza. U svrhu po-jednostavljenja razmatranja ovi detalji ce biti prikriveni pod pretpostavkom dagledamo najgori moguci slucaj. Radi lakseg snalazenja uvodimo tri tocke: A(straznji kraj automobila koji posljednji ulazi u garazu), B (ulaz garaze) i C(tocka prvog kontakta automobila i garaze; prednji kraj automobila i straznjizid garaze). Problem cemo rijesiti promatranjem iste situacije u dva razlicitainercijalna sustava:

Sustav mirovanja automobila: Duljina automobila jednaka je la = la,0,dok je duljina garaze lg = lg,0/(v) zahvaljujuci relativistickoj kontrakciji. Utrenutku kada straznji zid garaze udari u prednji kraj automobila iz tocke Ckrece signal duz automobila, prema tocki A, u obliku nekakve deformacije ma-terijala od kojeg je on napravljen (pretpostavljamo da putuje maksimalnommogucom brzinom, c). Za to vrijeme straznji kraj automobila ne zna daje prednji kraj udario u zid garaze i nece saznati (i pomaknuti se) sve dokovaj signal ne doputuje do njega. Naravno, analognu deformaciju dozivljava igaraza, ali kako za taj signal takoder pretpostavljamo da putuje brzinom c, upromatranom granicnom slucaju on stize u tocku B istovremeno sa signalomduz automobila (u trenutku kada su se preklopile tocke A i B). Uvijet da au-tomobil stane u garazu jest da signal ne doputuje u tocku A prije vrata garaze(tocka B), drugim rijecima

ts =|AC|c |AB|

v(10)

la,0c la,0 lg

v la,0 la,0 lg,0

/ : lg,0

k k

1 2 ,

1 2 k(1 )1 +

1 k , k2 1k2 + 1

(11)

7vm =k2 1k2 + 1

c (12)

Sustav mirovanja garaze: U ovom sustavu duljina garaze je lg = lg,0,dok je automobil relativisticki skracen, la = la,0/(v). U trenutku kada prednjikraj automobila udari o straznji zid garaze krece signal duz garaze, prema tockiB, u obliku nekakve deformacije materijala od koje je ona napravljena (opetpretpostavljamo da putuje maksimalnom mogucom brzinom, c). Za to vrijemeulaz garaze ne zna da je njen straznji zid udario automobil i nece saznati(i pomaknuti se) sve dok ovaj signal ne doputuje do tocke B. Takoder, straznjikraj automobila (tocka A) jos ne zna da je prednji kraj automobila udario uzid garaze i nastavlja se gibati brzinom v prema ulazu garaze. Uvjet da auto-mobil stane u garazu poprima oblik analogan onomu u prethodno promatranominercijalnom sustavu,

ts =|AC|c |AB|

v

lg,0c la lg,0

v, lg,0 la,0

lg,0 / : lg,0

k

1 2 1 k

1 +

1 sto je u potpunosti identican rezultat kao onaj kojeg smo dobili razmatranjemu prvom inercijalnom sustavu!

Akcelerirani sustavi u STR

Uobicajena je predrasuda kako za razmatranje akceleriranih gibanja i akceleri-ranih promatraca specijalna teorija relativnosti nije dostatna, vec nuzno moramoposegnuti za opcom teorijom relativnosti. No, STR razvila se upravo motiviranapotrebom da se opise fizika akceleriranih objekata, primjerice, zracenja akceleri-ranih nabijenih cestica. Naredni zadatak ilustrirat ce jedno takvo razmatranje.

ZAD. Raketa je ubrzana na nacin da putnici u njoj osjecaju konstantnu grav-itaciju, u smislu da unutar rakete ispusteni predmeti padaju na pod akcel-eracijom konstantnog iznosa g. Pretpostavimo da raketa krece sa Zemlje izmirovanja. Napomena: Zemlja se ovdje pojavljuje samo u smislu ishodisnetocke polaznog inercijalnog sustava, a ne u smislu masenog tijela s gravitaci-jskim poljem.a) Koliko daleko je dosla raketa nakon vremena t, mjerenog na Zemlji, a kolikodaleko ako je spomenuto vrijeme mjereno u raketi?b) Izracunajte vlastito vrijeme koje izmjere putnici u raketi tijekom puta odZemlje do sredista galaksije, udaljenog 30000 godina svjetlosti. Pretpostaviteda raketa tijekom prve polovice puta akcelerira, a tijekom druge polovice de-celerira konstantnim iznosom g.

8c) Koliki moze biti koristan teret rakete u b) dijelu zadatka? Pretpostavite ide-alnu raketu koja za pogon koristi masu pretvorenu u zracenje sa 100% ucinkovitosti.

R. Polazeci od definicija 4-brzine i 4-akceleracije (u koordinatnom sustavuvezanom za Zemlju),

u =dx

d, a =

du

d(13)

te uzimajuci u obzir da je u normirana prema uu = 1, vidimo da vrijedi

0 =d

d

(1

2

)=

d

d

(1

2uu

)= au = a

0u0 + aiui (14)

Uocite kako je iz ove jednadzbe vidljivo da su komponente 4-akceleracije vezane,te su stoga samo 3 od njih nezavisne! To eksplicitno mozemo vidjeti u, prim-jerice, trenutnom sustavu mirovanja (TSM) akceleriranog sustava, gdje je ui =ui = 0, odakle slijedi u0 6= 0 (zbog uu = 1), te a0 = 0. Preostale 3komponente 4-akceleracije (ai) su nezavisne i mozemo stoga pisati

a = (0 ; ai)TSM , ai =

1

c2d2xi

dt2

TSM

(15)

Koristeci ove zakljucke mozemo odrediti kojoj velicini odgovara iznos akcel-eracije opisan u zadatku. U trenutnom inercijalnom sustavu

aa = (aiai)TSM =

(1

c2d2~x

dt2

)2TSM

=g2

c4(16)

pa onda i u svim drugim sustavima (s obzirom da je posrijedi skalarna velicina).Radi jednostavnosti razmatranja cemo pretpostaviti da raketa ide u x smjeru(tijekom gibanja vrijedi y = z = 0). Imamo jednadzbe gibanja:

cdt

d= u0 ,

dx

d= u1 ,

du0

d= a0 ,

du1

d= a1 (17)

uu = 1 = (u0)2 + (u1)2ua = 0 = u0a0 + u1a1 (18)

aa =g2

c4= (a0)2 + (a1)2

a1 = u0

u1a0 ,

g2

c4= (a0)2

(1 + (u

0)2

(u1)2

)=

(a0)2

(u1)2

Odavde slijedi (predznak je odabran prema pocetnim uvjetima zadatka),

a0 =g

c2u1 , a1 =

g

c2u0

du0

d=

g

c2u1 ,

du1

d=

g

c2u0 (19)

d2u0

d2=

g

c2du1

d=g2

c4u0 ,

d2u1

d2=

g

c2du0

d=g2

c4u1

9u0 = Aeg/c2

+Beg/c2

, u1 = Ceg/c2

+Deg/c2

(20)

Vracanjem (20) u jednadzbe (19) dobivamo

du0

d=

g

c2(Aeg Beg ) = g

c2(Ceg +Deg ) A = C , B = D

Dodamo li i pocetnu uvjet u1( = 0) = 0, iz (20) slijedi C = D, pa onda iA = B. Nadalje, iz uvjeta

1 = (u0)2 + (u1)2 = 4ABdobivamo A = 1/2 = B. Konacno imamo

u0() = ch(gc2

), u1() = sh

(gc2

)(21)

t() =c

gsh(gc2

)+ t0 , x() =

c2

gch(gc2

)+ x0 (22)

Valja uociti kako (u sustavu jedinica c = 1) vrijedi

(x x0)2 (t t0)2 = g2 (23)sto znaci da se raketa giba hiperbolicnom putanjom. Uz pocetni uvjet

t( = 0) = x( = 0) = 0

putanja je opisana s

t() =c

gsh(gc2

), x() =

c2

g

(ch(gc2

) 1)

(24)

Sada mozemo odgovoriti na prva dva pitanja iz zadatka:

a) Iz gore zapisanog rjesenja imamo:

t =c

gsh

(g

c2

)

x =c2

g

(ch

(g

c2

) 1)

=c2

g

((g t/c)2 + 1 1

)Prije nego sada uvrstimo neke konkretne brojke, zgodno je uociti numerickukoincidenciju da je g god./c = 9.81 3.14 107/3 108 1. Odavde slijedida je c2/g = (c god.)/(g god./c) sg. Izrazavamo li stoga t u jedinicamagodina (god.), a i x u svjetlosnim godinama (sg.), jednadzbe poprimajujednostavniji zapis,

t = sh() , x = ch() 1 =

(t)2 + 1 1

Uzmemo li sada npr. da je na Zemlji proteklo t = 40 (god.), za prijedeni putrakete dobivamo x = 39 (sg.). S druge strane, za vrijeme od /c = 40 god.

10

mjereno satovima na raketi, raketa ce prijeci put od x = ch(40)1 1017 (sg.)

b) Za prvu polovicu puta imamo x = 15000, odakle je

= ch1(x+ 1) 10.3

Po simetriji zadatka, za drugu polovicu puta je potrebno jednako toliko vre-mena, pa je ukupno vrijeme putovanja 20.6 godina.

c) Neka je M masa mirovanja rakete, koja se tijekom puta mjenja zbogizgaranja goriva. Promjena mase (energije) rakete jednaka je izracenoj energiji,koja je (u sustavu jedinica c = 1) jednaka promjeni impulsa fotona, a ona nadaljepromjeni impulsa rakete,

dp0 = d(Mu0) = dEizr = dP = d(Mu1)

Druga jednakost proizlazi iz zakona ocuvanja energije, a cetvrta iz zakonaocuvanja impulsa, te vrijedi d(Mu0) < 0 i dEizr > 0.

(dM)u0 +M(du0) = (dM)u1 M(du1)

dM/M = d(u0 + u1)/(u0 + u1)M = M0/(u

0 + u1) = M0eg/c2

Iz b) dijela zadatka imamo e 30000 za polovicu puta. Stoga je

Mfin = M0ee M0/(30000)2 M0 109

11

2. Tenzorski racun

Kroz sve racune podrazumijevamo tzv. Einsteinovu konvenciju koja kaze dase u slucaju kada imamo ponovljeni gornji i donji indeks podrazumijeva sumacijapo tom indeksu; konkretno,

AB

AB

U iznimnim slucajevima, kada se sumacija ne pretpostavlja, to ce biti posebnonaglaseno. Isto tako, podrazumijeva se da ukoliko dva ista indeksa leze oba goreili oba dolje, sumacija nije pretpostavljena.

Tenzori su velicine definirane neovisno o koordinatnom sustavu, medutim,u nasim racunima mi cemo najcesce racunati s njihovim komponentama cijavrijednost je definirana s obzirom na neki koordinatni sustav. Transformacijakomponenti tenzora T prilikom koordinatne transformacije x x:

T =

x

xx

xx

xx

xT (25)

Gornje indekse (u ovom primjeru i ) zovemo kontravarijantni indeksi, a donjeindekse (u ovom primjeru i ) kovarijantni indeksi. Rang tenzora jednak jeukupnom broju njegovih indeksa. Prilikom pisanja tenzorskih komponenti valjabiti posebno oprezan oko njihovog polozaja: kontravarijantni i kovarijantni in-deks opcenito imaju drugo znacenje (sto je, za pocetak, vidljivo vec iz razlike utransformacijskim svojstvima), ali isto tako je jednako bitan i njihov horizon-talan polozaj (primjerice, T opcenito nije jednak T

). Valja stoga prilikom

pisanja tenzorskih indeksa jasno naznaciti njihov polozaj:

ne T vec npr. T ili T

ili T

ili . . .

Jedna od osnovnih operacija s tenzorima je kotrahiranje indeksa - najkracereceno, sumacija po nekom paru indeksa, bilo da su oni na jednom ili dva ralicitatenzora. Rezultat kotrahiranja indeksa je opet tenzor . . .

T = T , AB

= C

Indeksi po kojima se vrsi sumacija prilikom kotrahiranja ponekad se nazivajuslijepi (gluhi, nijemi) indeksi kako bi se naglasilo da nije bitna oznaka koja jepritom upotrebljena za te indekse:

AB = AB

, AB +AB

= 2AB

Kroneckerova delta. Vazan primjer tenzora ranga 2 je

=

{1 = 0 6= (26)

Kroneckerova delta ima iste komponente u svim koordinatnim sustavima:

=x

xx

x =

x

xx

x=x

x=

{1 , =

0 , 6=

12

Metrika je simetrican tenzor ranga 2, konvencionalno oznacen s g (vrijedig = g). Metrika s gornjim indeksima definirana je kao matricni inverzmatrice cije su komponente jednake komponentama metrike, preko relacije,

gg = (27)

Specijalno, u slucaju dijagonalne metrike (takve da su sve komponente g jed-nake nuli kada je 6= ) imamo:

g =1

g

Metricki tenzor upotrebljavamo kako bismo podigli ili spustili indekse tenzora:

gT = T , g

T = T

Jednostavno se pokaze da je metrika s mjesanim indeksima jednaka Kroneckerovojdelti,

g = gg =

Vazno je uociti sljedecih par relacija:

= gg

= g

g = , g

=

= n

gdje je n broj dimenzija prostor-vremena.

Komponente metrickog tenzora s obzirom na koordinatnu transformacijux x se mjenjaju prema

g =x

xx

xg

Ukoliko komponente metrike g promatramo kao elemente matrice g, a kom-

ponente tenzora koordinatne transformacije x/x

kao na elemente matrice, mozemo gornju relaciju zapisati u kompaktnijoj formi

g = Tg (28)

S obzirom da je matrica proizvoljna, mozemo je zapisati u obliku umnoskaortogonalne matrice O i dijagonalne matrice D,

= OD , T = (OD)T = DTOT = DO1

Kako je po definiciji metrika g simetricna nesingularna matrica, moguce ju jedijagonalizirati i to pomocu ortogonalne matrice,

g = O1gO , g = diag(a1, . . . , an)

Ako za dijagonalnu matricuD odaberemo onu oblikaD = diag(|a1| 12 , . . . , |an| 12 )metrika u transformiranim koordinatama,

g = DO1gOD = diag(sgn(a1), . . . , sgn(an))

13

imat ce dijagonalnu formu kojoj su po dijagonali samo brojevi +1 ili 1 (nulese ne mogu pojaviti jer je po pretpostavci metrika g nesingularna matrica).Za ovako dijagonaliziranu i normiranu metriku ponekad se upotrebljava izrazkanonska forma.

Vazna cinjenica jest da se broj pozitivnih, kao i negativnih vrijednosti ukanonskoj formi metrike ne moze promjeniti koordinatnom transformacijom.Ovo je izravna posljedica teorema iz linearne algebre, poznatog pod nazivomSylvesterov zakon inercije. To nam omogucuje da klasificiramo metrike premanjihovoj signaturi, odnosno broju pozitivnih i negativnih vrijednosti u kanon-skoj formi: ukoliko su sve vrijednosti pozitivne (ili, ekvivalentno, sve negativne)govorimo o Euklidskom ili Riemannovom tipu metrike, u protivnom je rijeco pseudo-Riemannovom tipu metrike. Specijalno, ukoliko su sve osim jednevrijednosti pozitivne (ili, ekvivalentno, sve osim jedne negativne) govorimo oLorentzovom tipu metrike. Ukoliko uzmemo determinantu s obje strane jed-nakosti (28) dobivamo

det(g) = det(T) det(g) det() = (det())2 det(g) = J2 det(g) (29)

gdje je iskoristena cinjenica da transponirana matrica T ima jednaku determi-nantu kao i pocetna matrica . Determinanta matrice nije nista drugo doliJacobijan J koordinatne transformacije x x. Iz jednakosti (29) vidimo dadeterminanta metrike ne moze promjeniti predznak prilikom koordinatne trans-formacije. Ukoliko uvedemo broj s, definiran kao broj negativnih vrijednosti ukanonskoj formi metrike, tada vrijedi

sgn(det(g)) = (1)s

Uobicajeno je za determinantu metrike upotrebljavati pojednostavljenu oznaku

g det(g)

Nekoliko primjera metrike:

1) Euklidska metrika izrazena u Kartezijevim koordinatama,

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

gxx = gyy = gzz = 1 , gxy = gyz = gzx = 0

2) metrika Minkowskog izrazena u Kartezijevim koordinatama,

ds2 = dt2 + dx2 + dy2 + dz2

tt = 1 , xx = yy = zz = 1 , tx = ty = tz = xy = yz = zx = 0

3) nekakva izmisljena metrika,

ds2 = ydx2 + 2xy2dxdy + dy2

14

gxx = y , gxy = gyx = xy2 , gyy = 1

4) metrika 2D sfere (S2) radijusa R uronjena u 3D euklidski prostor:

x2 + y2 + z2 = R2

Prelaskom na sferne koordinate,

x = R sin cosy = R sin sinz = R cos

uvrstavanjem diferencijala

dx = R(cos cosd sin sind)dy = R(cos sind + sin cosd)dz = R sin d

u izraz za Euklidsku metriku, dobijemo

ds2 = R2(d2 + sin2 d2)

g = R2 , g = R

2 sin2 , g = g = 0

Metricki tenzor definira duljinu puta izmedu tocaka prostor-vremena,

lAB =

BA

ds =

BA

gdxdx

Ukoliko npr. zelimo izracunati duljinu luka na sferi S2 koji povezuje tocke naistoj paraleli, A(, 0) i B(, 1), duz te paralele, imamo

lAB =

10

gd2 =

10

R sind = R (1 0) sin

Simetricni i antisimetricni tenzori. U slucaju tenzora ranga 2 imamo dvaiznimna slucaja po pitanju simetrije na zamjenu indeksa:

Simetrican tenzor: S = S (primjer: metrika g)

Antisimetrican tenzor: A = A (primjer: EM tenzor F)

Analogne definicije vrijede u slucaju kada su oba indeksa kontravarijantna.Opcenito, tenzor ranga 2 moze biti niti simetrican niti antisimetrican na zamjenusvojih indeksa, ali je zato ga je uvijek moguce rastaviti na takva dva dijela,

T =1

2T +

1

2T +

1

2T 1

2T =

15

=1

2(T + T) +

1

2(T T) (30)

LMKotrahiranjem simetricnog i antisimetricnog para indeksadobijamo indenticki nulu,

SA = SA = SA = SA SA = 0 (31)

pri cemu je u prvoj jednakosti koristena simetrija indeksa tenzora S, u drugojantisimetrija indeksa tenzora A, a u trecoj jednakosti preimenovanje slijepihindeksa ( ). U slucaju tenzora s tri ili vise indeksa govorimo o simetriji iliantisimetriji odredenog para indeksa.

Ponekad se upotrebljavaju sljedece oznake:

T(1...n) =1

n!

pi

Tpi(1)pi(2)...pi(n) (32)

T[1...n] =1

n!

pi

(1)pi Tpi(1)pi(2)...pi(n) (33)

gdje pi oznacava redni broj permutacije indeksa (sumacija ide po svim permutaci-jama indeksa tenzora T ). U prvom slucaju kazemo da smo simetrizirali indeksetenzora T ; novi tenzor T(1...n) simetrican je na zamjenu bilo koja dva indeksa.Drugi slucaj je u potpunosti analogan, samo sto je posrijedi antisimetrizacija(T[1...n] je antisimetrican na zamjenu bilo koja dva indeksa).

Konkretni primjeri:

T() =1

3!(T + T + T + T + T + T)

T[] =1

3!(T T + T T + T T)

Valja uociti sljedece relacije (za gore definirane tenzore S i A):

S() = S , A[] = A , S[] = A() = 0

i analogno u slucaju parova anti/simetricnih parova indeksa kod tenzora s viseindeksa:

T(12...(i...j)...n) = T(12...i...j ...n)

T[12...[i...j ]...n] = T[12...i...j ...n] (34)

T(12...[i...j ]...n) = T[12...(i...j)...n] = 0

Ukoliko neke indekse zelimo izostaviti iz anti/simetrizacije, tada ih izdvajamookomitom crtom, primjerice

T(||) =1

2!(T + T)

ZAD. Pokazite da za elektromagnetski tenzor F A,A, vrijedi sljedecarelacija (jedna od Maxwellovih jednadzbi):

F, + F, + F, = 0

16

R. Prvo valja uociti da je

F[,] =1

3!(F, F, + F, F, + F, F,) =

=1

3(F, + F, + F,)

S druge strane, kako je F = 2A[,], imamo

F[,] = 2A[[,],] = 2A[,,] = 2A[,[,]] = 0

gdje druga i treca jednakost slijede iz prethodnih relacija (antisimetrizacija un-utar antisimetriziranih indeksa), a posljednja jednakost je posljedica komuti-ranja parcijalnih derivacija (Schwarzov teorem). Time je pokazana trazena jed-nakost.

17

3. Kovarijantno deriviranje

Motivacija: definirati operaciju deriviranja u opcenitom zakrivljenom prostor-vremenu, a koja se u ravnom prostor-vremenu u inercijalnim koordinatama svodina parcijalnu derivaciju. Kovarijantna derivacija preslikava tenzore tipa (k, l) utenzore tipa (k, l + 1) i zadovoljava sljedeca svojstva:

. linearnost,(T + S) = T + S

. Leibnizovo pravilo,

(T S) = (T ) S + T (S). komutira s kontrakcijom,

(T) = (T ) . na skalaru se svodi na parcijalnu derivaciju,

= . komutira na skalaru,

=

Iz svojstava ., . i . slijedi da je moguce napisati (vidi [Wald], str. 32.-33.) u obliku parcijalna derivacija plus neka linearna transformacija (definiranaafinom koneksijom),

t = t + Ct

t = t + CtNapomena: afine koneksije nisu tenzori, pa nije potrebno voditi racuna o potpi-sivanju gornjih i donjih indeksa. Ponovnom upotrebom svojstava ., . i . slijediC = C . Svojstvo . je ekvivalentno zahtijevu da Kroneckerova delta budekovarijantno konstantna, = 0. Svojstvo . povlaci iscezavanje tenzoratorzije, T = C

C = 0.

Ukoliko uz ove zahtijeve dodamo i sljedeci

. kompatibilnost s metrikom,

g = 0dobivamo posebnu afinu koneksiju, Christoffelov simbol, za koju se moze pokazatida je jednak

1

2g(g, + g, g,) (35)

Kovarijantno deriviranje opcenitog tenzora,

T; = T, +

T

+

T

T (36)

18

Komentar : kompatibilnost s metrikom omogucuje nam uvlacenje metrickogtenzora pod kovarijantnu derivaciju,

gt = (gt) = tUjedno, svojstvo . ekvivalentno je konstantnosti produkta dva paralelno po-maknuta vektora duz neke krivulje (vidi sljedece poglavlje).

ZAD. Pokazite da za dijagonalnu metriku vrijedi:

a) = 0 za 6= 6= 6= , b) = g,2g

za 6=

c) =(

ln |g| 12),

gdje u b) i c) slucaju nema sumacije po ponovljenim indeksima!

R.

a) Prema definiciji (35) imamo

=1

2g(g, + g, g,)

Kako se radi o dijagonalnoj metrici, od sume po indeksu preostane samosljedeci izraz (nema sumacije po indeksu !)

=1

2g(g, + g, g,)

Buduci da su , i medusobno razliciti indeksi, a g je dijagonalna metrika,svaki pojedinacni clan u zagradi jednak je nuli.

b) Na slican nacin imamo nadalje (nema sumacije po indeksima i !):

=1

2g(g, + g, g,) = 1

2gg, = g,

2g

c)

=1

2g(g, + g, g,) = 1

2gg, =

g,2g

=1

2(ln |g|), = (ln |g| 12 ),

ZAD. Izracunajte komponente Christoffelovog simbola za metriku sfere S2

R.ds2 = d2 + sin2 d2

g = 1 =1

g, g = sin

2 =1

g

19

g = det(g) = sin2

= (ln 1), = 0

= g,2g

= (sin2 ),2

= sin cos

= = (ln |g|

12 ), = 0

= (ln |g|12 ), = (ln | sin |), = 0 , =

g,2g

= 0

= =

g,2g

=1

2

(sin2 ),

sin2 = ctg

ZAD. Takozvano Rindlerovo prostor-vrijeme je prostor-vrijeme Minkowskogopisano (, ) koordinatama,

t = sh , x = ch (37)

Njihovo uvodenje je motivirano razmatranjem akceleriranih promatraca u poglavljuo specijalnoj teoriji relativnosti (radi jednostavnosti ogranicavamo se na razma-tranje 2-dimenzionalnog slucaja). Izracunajte komponente Rindlerove metrikeuz pripadne komponente Christoffelovog simbola, te razmotrite kauzalnu struk-turu ovakvog prostor-vremena!

R.

Ukoliko stavimo = 1/g = konst. i = g , uocavamo kako su (x, t) koordi-nate uniformno akceleriranog promatraca. Osim toga, vrijedi i

x2 t2 = 2

pa vidimo kako putanja akceleriranog promatraca u (x, t) koordinatnom sustavupoprima oblik hiperbole. Nadalje imamo

ds2 = dt2 + dr2 = (d sh + ch)2 + (d ch + sh)2

ds2 = 2d2 + d2 (38)Koristeci prethodne formule nije tesko izracunati komponente Christoffelovogsimbola,

= 1/ , =

Horizonti u Rindlerovom prostor-vremenu dani su s pravcima x t = 0(asimptotama hiperbole), odnosno = 0. Prostor mozemo razdjeliti u 4 kvad-ranta: I (kroz koji se giba raketa), II (moze primiti, ali ne i poslati signalraketi), III (ne moze nikako komunicirati s raketom) i IV (moze poslati, ali nei primiti signal od rakete). Kvadrant I odgovara poluravnini > 0, a kvadrantIII poluravnini < 0; kvadranti II i IV imaginarnim vrijednostima koordinate .

20

Komentar: Lorentzov potisak je dan parametrom rapiditeta preko(x

t

)=

(ch sh

sh ch

)(x

t

)(39)

gdje je = th . Rindlerova metrika je invarijantna na transformaciju + .

x = ch x = ch( + ) , t = sh t = sh( + )ch( + ) = ch() ch() + sh() sh()

x = x ch() + t sh()

sh( + ) = sh() ch() + ch() sh()

t = t ch() + x sh()

Dakle, imamo korespodenciju .

ZAD. Dokazite sljedece identitete:

a) g, = ggg, = ggg,b) = (ln |g|

12 ),

c) g = |g|12 (|g| 12 g),

d) A; = |g|12 (|g| 12A),

e) za antisimetrican tenzor A = A vrijedi:

A; = |g|12 (|g| 12A),

R.

a) Upotrijebimo lemu iz dodatka A na matrici ciji su elementi komponentemetrike g :

(ln |g|), =

(g1)g, = gg,

S druge strane,

(ln |g|), = |g|,|g| =g,g

Usporedbom slijedi jedna od trazenih jednakosti. Kako bismo pokazali drugujednakost valja uociti:

gg = /

g,g + gg

, = 0

g,g = gg,

21

Kontrahiramo li indekse i :

g,g = gg,

sto dokazuje drugu jednakost.

b) Po definiciji vrijedi:

=1

2g(g, + g, g,)

Zadnja dva clana u zagradi zajedno cine tenzor antisimetrican na zamjenu in-deksa i , pa kontrahiranjem s metrickim tenzorom (koji je simetrican!) izvanzagrade daju indenticki nulu. Upotrebom rezultata iz a) dijela zadatka preostajenam

=1

2gg, =

g,2g

= (ln |g| 12 ),

c)

g =1

2gg(g, + g, g,)

Valja uociti

1

2g(g,+g,) =

1

2(gg,+g

g,) =1

2(gg,+g

g,) = gg,

gdje je u drugoj jednakosti upotrebljeno preimenovanje indeksa , tesimetrija metrickog tenzora. Nadalje, koristenjem rezultata iz a) dijela zadatkaimamo

g = ggg, 1

2ggg, = gg,g

1

2g(ln |g|), =

= g, g(ln |g|12 ), = g, g

|g| 12,|g| 12 = |g|

12 (g |g| 12 ),

d)

A; = A, +

A

= A, + |g|12 (|g| 12 ),A = |g| 12 (|g| 12A),

gdje je u drugoj jednakosti iskoristen rezultat iz b) dijela zadatka.

e)

A; = A, +

A

+ A = A, + |g|

12 (|g| 12 ),A

gdje je drugi clan iscezao zbog kotrahiranja simetricnog i antisimetricnog paraindeksa. Konacno imamo

A; = |g|12 (|g| 12A),

22

4. Paralelni pomak vektora

Pretpostavimo da je u mnogostrukosti M zadana krivulja C M , para-metrizirana parametrom . Drugim rijecima, koordinate tocaka krivulje C ulokalnom koordinatnom sustavu {x} dane su funkcijama x(). Komponentevektorskog polja tangentnog na krivulju C u ovom koordinatnom sustavu glase

t =dx

d(40)

Kako bismo definirali paralelni pomak tangentnih vektora na mnogostrukostipolazimo od intuitivnog primjera: za vektorsko polje V () u ravnom prostorukazemo da je konstantno duz krivulje C ukoliko vrijedi

dV

d= 0 dx

d

V

x= 0 t V

x= 0 tj. t V , = 0

Sada zelimo poopciti ovu jednadzbu na slucaj zakrivljenih prostora, za sto jedovoljno prepisati prethodnu jednadzbu u kovarijantnu verziju:

t V ; = 0 tj. tV = 0 (41)

Ponekad se posljednji izraz pise i u skracenoj formi,

t V = 0

Zapisano pomocu Christoffelovih simbola

t V , + t V

= 0

dV

d+

dx

dV = 0 (42)

Vazno za uociti:

t(V 2); = t(VV

); = 2VtV ; = 0

drugim rijecima, norma (duljina) vektora ostaje konstantna prilikom paralelnogpomaka (ovo je posljedica izbora metricki kompatibilne koneksije).

ZAD. Zadan je tangentan vektor ~A na povrsini jedinicne 2-sfere (S2) jednak

jedinicnom vektoru u pocetnoj tocki T ( = 0, = 0). Koliki je ~A nakonparalelnog pomaka oko kruznice = 0?

R. Parametrizirajmo prvo kruznicu = 0 s parametrom = . Tangentanvektor ove krivulje (kruznice) je stoga t = . Jednadzba paralelnog pomakaza zadani vektor glasi

A; = A, +

A

= 0 (43)

Elementi metrike sfere:

ds2 = d2 + sin2 d2 , = sin cos , = ctg

23

Jednadzba (43) po komponentama:

= : A, sin 0 cos 0A = 0 (44)

= : A, + ctg 0A = 0 (45)

(44) A, = sin 0 cos 0A, = cos2 0A (46)A = a cos( cos 0) + b sin( cos 0)

(45) A = ctg 0(

a

cos 0sin( cos 0) b

cos 0cos( cos 0)

)+ c =

= asin 0

sin( cos 0) +b

sin 0cos( cos 0) + c

gdje su a, b i c konstante. Uvrstimo li ovdje izracunate komponente A i A

natrag u (44) lako se vidi da je konstanta c = 0. Nadalje, uvrstavanjem pocetnoguvjeta u = 0 :

~A=0

= (A, A)=0

= (1, 0) a = 1 , b = 0

dobivamo konacan oblik,

A = cos( cos 0) , A = 1

sin 0sin( cos 0) (47)

Promotrimo sada vektor ~A u = 2pi:

A=2pi

= cos(2pi cos 0) , A=2pi

= 1sin 0

sin(2pi cos 0)

Ocito, pocetni vektor ce biti jednak onom paralelno pomaknutom za kut 2pi,~A=0 = ~A=2pi, ako i samo ako vrijedi

2pi cos 0 = 2pik , k Z

cos 0 = k {1, 0, 1}Slucajevi k = 1 odgovaraju situaciji kada je 0 = 0, pi, tj. kada je kruznica sve-dena na tocku (sjeverni, odnosno juzni pol). Kako ovdje i nema pomaka, sasvimje jasno da se vektor pri tome ne mijenja. Slucaj k = 0 odgovara 0 = pi/2,odnosno situaciji kada je kruznica ekvator (ili opcenito neka velika kruznicana sferi). U ovom posljednjem slucaju krivulja je u stvari geodezik, o kojima cevise rijeci biti u sljedecoj lekciji.

Izuzmemo li gore navedene specijalne slucajeve, opcenito vektor paralelnopomaknut po zatvorenoj krivulji nece biti jednak pocetnom vektoru ( ~A=0 6=~A=2pi) i upravo je ova promjena ugradena u samu definiciju zakrivljenosti mno-gostrukosti.

24

5. Geodezici

Postoje dvije definicije koje su ekvivalentne ukoliko radimo s konvencional-nom afinom koneksijom, Christoffelovim simbolom:

1) krivulja koja dvije tocke u mnogostrukosti spaja putem ekstremalne duljine.

2) krivulja duz koje je vlastiti tangentni vektor paralelno transportiran (na-jravnija krivulja).

Uvrstimo li u jednadzbu paralelnog pomaka,

dV

d+

dx

dV = 0

upravo tangentan vektor

V = t =dx

d

dobivamo tzv. geodetsku jednadzbu,

d2x

d2+

dx

d

dx

d= 0 (48)

Elegantniji zapis dobijemo uvrstavanjem V = t u tV = 0

tt = 0 (49)

Napomena : U principu je geodezik moguce definirati i nesto opcenitijimzahtijevom, dopustajuci da tangentan vektor moze mjenjati duljinu duz krivulje,

tt = t

gdje je neka opcenita funkcija na mnogostrukosti. No, uvijek je mogucenapraviti redefiniciju parametra kojim geodetska jednadzba poprima oblik (49).Takav parametar nazivamo afinim parametrom, a pripadnu parametrizacijuafina parametrizacija.

Fizikalno znacenje geodetskih linija mozemo vidjeti ukoliko definiramo vlastituakceleraciju i pripadnu silu koja djeluje na cesticu,

a = u u = 1mf

Za slobodnu cesticu vrijedi f = 0, a s obzirom da 4-vektor vlastite brzine tan-gentan na trajektoriju, njena putanja je upravo geodezik!

25

Primjeri:

1) Ravan prostor (Euklidski, Minkowski):

0 ,d2x

d2= 0 x = A+B

gdje su A i B nekakve konstante odredene pocetnim uvjetima. Ocigledno,geodezici u ravnom prostoru su pravci!

2) Sfera S2 (jedinicnog radijusa, centrirana u ishodistu):

d2

ds2 sin cos

(d

ds

)2= 0 (50)

d2

ds2+ 2 ctg

d

ds

d

ds= 0 (51)

Valja uociti:

d

ds=d

d

d

ds,

d2

ds2=

d

d

(d

d

d

ds

)d

ds=d2

d2

(d

ds

)2+d

d

d2

ds2()

() (50) : d2

d2

(d

ds

)2+d

d

d2

ds2 sin cos

(d

ds

)2= 0 (52)

() (51) : d2

ds2= 2 ctg d

ds

d

ds= 2 ctg

(d

ds

)2d

d(53)

Uvrstavanjem (53) u (52) dobivamo diferencijalnu jednadzbu

2 ctg 2 sin cos = 0 (54)

gdje je koristena oznaka d/d. Ovu jednadzbu mozemo rjesiti preko sup-stitucije f() ctg . To znaci da je

=d

df

df

d= f

1 + f2, =

d

d

( f

1 + f2

)= f

1 + f2+

2ff2

(1 + f2)2

sin cos =f

1 + f2

pa uvrstavanjem u (54) slijedi

f + f = 0 f() = ctg = A cos+B sin

A sin cos+B sin sin cos = 0ili, prevedeno natrag u Kartezijeve koordinate,

Ax+By z = 0 (55)

26

Ovo je jednadzba ravnine koja prolazi kroz ishodiste koordinatnog sustava itocke u kojima presjeca sferu definiraju njezine geodezike - radi se o velikimkruznicama sfere!

ZAD. Geodetsku jednadzbu mozemo zapisati u opcenitom obliku

d2x

ds2+

dx

ds

dx

ds= (s)

dx

ds

Pokazi da se odredenom transformacijom = f(s), parametar s moze prevestiu afini parametar , onaj za kojeg geodetska jednadzba poprima oblik:

d2x

d2+

dx

d

dx

d= 0

Nadalje, pokazite da se svi afini parametri medusobno razlikuju do na linearnutransformaciju s konstantnim koeficijentima.

R. Uz reparametrizaciju s = f(s) imamo promjene u derivacijama,d

ds= f (s)

d

d,

d2

ds2= (f (s))2

d2

ds2+ f (s)

d

ds

Time geodetska jednadzba prelazi u

f 2d2x

d2+ f

dx

d+ f 2

dx

d

dx

d= f

dx

d

/: f 2

d2x

d2+

dx

d

dx

d=dx

d

(

f f

f 2

)Zahtijevom da desna strana ovako transformirane geodetske jednadzbe postaneidenticki nula dobivamo diferencijalnu jednadzbu

f (s) (s)f (s) = 0koja nam definira trazenu reparametrizaciju. Formalno, do rjesenja dolazimosljedecim putem:

f

f = d

ds(ln(f )) = f(s) =

sd exp

( ()d

)

Ukoliko, nadalje, trazimo one reparametrizacije = h() koje ostavljajugeodetsku jednadzbu u obliku

d2x

d2+

dx

d

dx

d= 0

ponavljanjem istog postupka (uvrstavanjem = 0) dolazimo do diferencijalnejednadzbe

h() = 0 h() = A+B , A,B = konst.

27

6. Riemannov tenzor

Riemannov tenzor definiran je pomocu komutatora kovarijantnih derivacijana kovarijantnom, odnosno, kontravarijantnom vektoru,

( ) = R (56)

( ) t = R t (57)

U slucaju tenzora opcenitog ranga imamo:

( ) T1...k1...l =

= ki=1

R i T1......k

1...l+

lj=1

R j T1...k

1......l(58)

Kotrahiranjem indeksa Riemannovog tenzora uvodimo jos dva nova tenzora,

Riccijev tenzor : R R , Riccijev skalar : R R

Riemannov tenzor moguce je izraziti pomocu Christoffelovih simbola,

R + (59)

Simetrije Riemannovog tenzora:

R = R (60)

= R [] = 0 (61)

g = 0 R = R (62)

Dokaz: ) slijedi iz same definicije (56) (lijeva strana je antisimetricna na zamjenuindeksa i ). ) Prvo dokazemo lemu: [ ] = 0. Naime, po definiciji imamo

= ( ) =

= ( )

28

Ako sada antisimetriziramo indekse s obje strane jednakosti, desna strana iscezavazbog komutiranja parcijalnih derivacija i simetricnosti donjih indeksa Christoffelovogsimbola. To, nadalje povlaci

0 = 2[ ] = [ ] [ ] = R [] Kako je proizvoljan kovarijantan vektor, slijedi simetrija koju smo htijeli pokazati.) Koristeci svojstvo g = 0, imamo

0 = ( )g = R g +R g = R +R

ZAD. Pokazite da iz simetrija Riemannovog tenzora (60), (61) i (62) slijedi

R = R (63)

R. Eksplicitno raspisana jednakost (61), uzimanjem u obzir antisimetrijeprvog para indeksa (60), slijedi

R +R +R = 0

Preimenovanjem indeksa ( ) imamo i

R +R +R = 0

Zbrajanjem ovih dviju jednadzbi dobivamo

R R = R RLijeva strana jednadzbe je invarijantna na zamjenu indeksa , , patakvu zamjenu mozemo napraviti i na desnoj strani jednadzbe:

R R = R R = R Rgdje smo u drugom koraku u svakom Riemannovom tenzoru napravili zamjenuunutar prvog i drugog para indeksa. Kako je konacan rezultat jednak negativnojvrijednosti pocetnog izraza, on je jednak nuli, pa je i

R R = 0

cime je pokazana trazena tvrdnja.

ZAD. Pomocu rezultata prethodnog zadatka pokazite da je Riccijev tenzorsimetrican,

R = R (64)

R.R = g

R = gR = g

R = R

29

Riemannov tenzor zadovoljava jos jedno vazno svojstvo:

Bianchijev identitet : [R ] = 0 (65)

ZAD. Pokazite da vrijedi tzv. kontrahiran Bianchijev identitet,

R = 12R (66)

R. Bianchijev identitet (65) uz simetrije Riemannovog tenzora daje

R +R +R = 0

Kotrahiranjem jednadzbe s g slijedi

R +R R = 0

R R R = 0 / RR R = 0

Preimenujemo li sada slijepe indekse i u , a indeks u , dobivamo

R 2R = 0

a otuda, zbog simetrije Riccijevog tenzora, slijedi trazeni identitet.

ZAD. Ako vrijedi R = f(x) g , pokazite da je f(x) konstantna funkcija.

R. Riccijev skalar jednak je u ovom slucaju R = Nf , gdje je N dimenzijaprostor-vremena. To znaci da kotrahiran Bianchijev identitet glasi (fg) =N2 f , odakle slijedi (1 N2 )f = 0. Ukoliko je N 6= 2, mozemo zakljuciti daje f = f = 0, odnosno f je konstantna funkcija. U slucaju N = 2 Riccijevtenzor je nuzno ovog oblika, pa ne mozemo nista posebno zakljuciti oko oblikafunkcije f .

ZAD. Izracunajte Riemannov tenzor, a pomocu njega nadalje Riccijev tenzori Riccijev skalar za metriku S2 sfere.

30

ZAD. Izracunajte broj linearno nezavisnih komponenti metrike, Christoffelovogsimbola i Riemannovog tenzora u n-dimenzionalnom prostor-vremenu.

R.

metrika (g): (n

2

)+ n =

n(n 1)2

+ n =n(n+ 1)

2

Christoffelov simbol ():

n ((

n

2

)+ n

)=n2(n+ 1)

2

U slucaju dijagonalne metrike imamo manji broj nezavisnih komponenti (kom-ponente sa sva tri razlicita indeksa su identicki nule):

n2(n+ 1)

2 n

(n 1

2

)=n

2(n2 + n n2 + 3n 2) = n

2(4n 2) = n(2n 1)

Riemannov tenzor (R):

naivno, bez simetrija: 4 indeksa daju n4 nezavisnih komponenti

uzmemo li u obzir antisimetricnost prvog i drugog para indeksa,R = R = R

imamo (n

2

)(n

2

)=n2(n 1)2

4

komponenti.

dodatna simetrija R[] = 0 daje

n (n

3

)=n2(n 1)(n 2)

6

ogranicenja, pa je to konacno

n2(n 1)24

n2(n 1)(n 2)

6=n2(n 1)

12(3(n 1) 2(n 2)) =

=n2(n 1)(n+ 1)

12=n2(n2 1)

12

linearno nezavisnih komponenti Riemannovog tenzora. Dobiveni rezultati suilustrirani u tablici ispod za prvih nekoliko dimenzija prostor-vremena.

31

n g

uz dijag. g R

1 1 1 1 *2 3 6 6 13 6 18 15 64 10 40 28 20

*u n = 1 slucaju jedina komponenta Riemannovog tenzora, R1111, je zbogsvojih simetrija identicki jednaka nuli.

32

7. Fizikalne velicine i jednadzbe

u zakrivljenom prostor-vremenu

Princip kovarijantnog prijepisa (popularno znano kao pravilo zarez ide utocku-zarez ili ). Problem na koji cesto nailazimo jest kako neku jed-nadzbu (bilo da se radi o definiciji fizikalne velicine ili iskazu nekog fizikalnog za-kona), orginalno u Lorentz kovarijantnom zapisu prevesti u opce kovarijantnuformu. Pozovemo li se na Einsteinov princip ekvivalencije, ono sto zahtijevamood kovarijantne verzije neke jednadzbe jest da je zapisana u obliku tenzorske jed-nadzbe, te da se u svakoj tocki prostor-vremena u lokalnom inercijalnom sustavusvodi na prije poznatu specijalnorelativisticku verziju. Operativno, postupak sesvodi na zamjenu ravne metrike s opcenitom g , te zamjenu parcijalne skovarijantnom derivacijom ( ).

Valja imati na umu kako poopcenje neke jednadzbe na opce kovarijantnuverziju ne mora biti jednoznacno definirano. Uzmimo primjer Maxwellovih jed-nadzbi u ravnom prostor-vremenu,

F = 4pij , [F] = 0 (67)Sacuvanje struje slijedi deriviranjem nehomogene jednadzbe s ,

F = 4pijLijeva strana je, naime, nula jer se, zbog komutiranja parcijalnih derivacija,radi o kontrahiranju simetricnog i antisimetricnog tenzora. S druge strane,uvrstavanjem bazdarnog polja A u nehomogenu Maxwellovu jednadzbu, prekoF = A A, uz Lorentzovo bazdarenje A = 0 imamo

A = 4pij (68)U zakrivljenom prostor-vremenu, kovarijantne verzije Maxwellovih jednadzbiglase

F = 4pij , [F] = 0 (69)Kovarijantna verzija sacuvanja struje, j = 0, sada slijedi prema

F = 1g (gF) = 1g

(g 1g (g F))

=

=1g

(g F) = 0gdje je dva puta koristen prije pokazan identitet, a posljednja jednakost opetslijedi iz simetrije. Ukoliko bismo, po principu kovarijantnog prijepisa, prebacilijednadzbu (68) u opce kovarijantnu formu,

A = 4pijimali bi jednadzbu koja ne vodi na sacuvanje struje! Nedostajuci clan mozemopronaci vratimo li se na pocetak,

F = (A A) = A (A +R A)

33

= A A R AUpotrebom Lorentzovog bazdarenja A = 0 dobivamo

A R A = 4pij (70)Ova jednadzba je kovarijantna verzija jednadzbe (68) koja vodi na kovarijantnosacuvanje struje!

Promotrimo sada nekoliko osnovnih kinematickih velicina u fizici: 4-vektorbrzine je u STR definiran kao

u dx

d, uu = 1

Ista definicija nastavlja vrijediti i u slucaju zakrivljenog prostor-vremena (defini-cija 4-vektora brzine je tenzorska jednadzba, a normalizacija je u manifestnokovarijantnom zapisu). Nadalje, 4-vektora akceleracije u STR je definirana s

a =du

d=

d

d

dx

d=dx

d

xdx

d= uu

Odavde mozemo jednostavnim korakom poopciti deniciju na slucaj zakrivljenogprostor-vremena:

a uu (71)Valja uociti kako su 4-vektori brzine i akceleracije okomiti,

ua = uuu = 1

2u(uu) = 1

2u(u

u) = 0

4-vektor impulsa cestice mase m definiran je analogno STR slucaju:

p mu (72)

Sada zelimo definirati energiju cestice 4-impulsa p koju mjeri opazac cije jegibanje opisano 4-vektorom brzine u. Tvrdimo da je ona definirana izrazom

E = pu (73)Promotrimo za pocetak situaciju u lokalnom inercijalnom sustavu u kojempromatrac trenutno miruje. Ovdje vrijedi u = (1,~0), u = (1,~0), pa jestoga pu = +p0 = E (uobicajena interpretacija vremenske komponente 4-impulsa u STR). Izraz (73) je manifestno kovarijantan, pa ocigledno predstavljaopcenit izraz za mjerenu energiju cestice u prostoru Minkowskog. Sada trazimopoopcenje takvog izraza u zakrivljnom prostor-vremenu,

E = Bpu

gdje su B komponente nekog tenzora za koje, prema principu ekvivalencije, ulokalnim inercijalnim sustavima mora vrijediti B = . Medutim, s obziromda imamo jednakost medu tenzorima u jednom koordinatnom sustavu, ona vri-jedi i u svim drugima, pa zakljucujemo da je Bab = gab, gdje je gab metrika pro-matranog prostor-vremena. Dobivena jednakost vrijedi u svakoj tocki prostor-vremena, pa smo time pokazali valjanost izraza (73) u opcenitom slucaju.

34

8. Killingovi vektori i ocuvane velicine

Ukoliko su komponente metrike g u nekom koordinatnom sustavu neovisneo jednoj od koordinata, recimo w, tada pripadno vektorsko polje = wzovemo Killingovo vektorsko polje. Za takav koordinatni sustav kazemo da jeadaptiran na . Promotrimo nadalje

= g( ) = g(, + )

S obzirom da je koordinatni sustav adaptiran na , vrijedi , = 0. Nadaljeimamo

2 = 2 g = g g(g, + g, g,) =

= (g, + g, g,) = (g, + g, g,) == g,

+ (g, g,) = g, + 2 g[,]

Sada simetriziramo indekse i s obje strane,

2( ) = g(), = g, = gw

= 0

Killingova jednadzba: + = 0 (74)

Uocite, je antisimetrican tenzor, s obzirom da vrijedi ( ) = 0.

Primjeri:

1) Minkowski : 4+6 = 10 Killingovih vektora (generatori prostorno-vremenskihtranslacija i rotacija, ukljucujuci potiske)

2) N -dimenzionalni Minkowski:N translacija +

(N2

)rotacija/potisaka = N(N + 1)/2 Killingovih vektora.

3) sfera S2 : 3 Killingova vektora (generatori SO(3) grupe simetrija)

Napomena: prostor dimenzije N moze imati najvise N(N +1)/2 Killingovihvektora i takvi prostori se onda nazivaju maksimalno simetricni prostori. Prim-jeri su prostor-vrijeme Minkowskog, N -dimenzionalne sfere SN , prostorni dioRobertson-Walkerovih prostor-vremena (u kozmoloskim modelima), itd.

ZAD. Pronadite sve Killingove vektore dvodimenzionalnog Euklidskog prostorarjesavanjem Killingove jednadzbe (74).

35

Ocuvane velicine

Neka je u 4-vektor brzine tijela koje se giba po geodeziku (koji je, bezsmanjenja opcenitosti, afino parametriziran):

uu = 0 (75)

LM Velicina Q u je konstantna duz geodezika.

Dokaz:

uQ = u(u) = uu + uu = 0

Prvi clan iscezava buduci da se radi o kontrahiranju simetricnog (uu) i anti-simetricnog () tenzora, dok je drugi clan nula prema geodetskoj jednadzbi.

Primjer: Schwarzschildova metrika. Prva dva Killingova vektora koja odmahuocavamo, buduci da komponente metrike napisane u Schwarzschildovim koor-dinatama ne ovise o t i , su

k = t , tj. k = (1, 0, 0, 0)

m = , tj. m = (0, 0, 0, 1)

Osim k i m postoje jos i dva Killingova vektora vezana za sfernu simetriju,ali oni nam za trenutnu raspravu nisu toliko bitni. Sada mozemo konstruiratipripadne sacuvane velicine,

e ku = gku = gtt 1 ut =(

1 2Mr

)dt

d(76)

l mu = gku = g 1 u = r2 sin2 dd

(77)

Interpretacija: za masivnu cesticu e predstavlja energiju cestice po jedinicimase, a l angularni moment cestice po jedinici mase. Za bezmasene cestice, e il su energija i angularni moment podjeljeni s ~.

36

9. Schwarzschildovo prostor-vrijeme

U ovom poglavlju promatramo kinematiku cestica unutar sferno simetricnogprostor-vremena, opisanog Schwarzschildovom metrikom,

ds2 = (

1 2Mr

)dt2 +

(1 2M

r

)1dr2 + r2(d2 + sin2 d2) (78)

ZAD. Koristeci sacuvane velicine izvedite jednadzbe gibanja cestice mase m uslobodnom padu u Schwarzschildovom prostor-vremenu.

R. 4-vektor brzine tijela normiran je tako da vrijedi

uu = , =

{1 , m 6= 00 , m = 0

(79)

Prije svega cemo iskoristiti cinjenicu da je l = r2 sin2 dd sacuvana velicina.Postavimo koordinatni sustav tako da je u pocetnom trenutku = 0 te(d/d)0 = 0 (cestica krece duz = 0 meridijana). Kako je u ovom pocenomtrenutku l = 0, a ovo je konstantna velicina duz putanje, tada slijedi da jel = 0 cijelo vrijeme, sto znaci da se cestica nastavlja gibati po tom meridi-janu. Mi, naravno, uvijek mozemo pogodnim odabirom (novog) koordinatnogsustava doticni meridijan poloziti u ekvatorijalnu ravninu, ( = pi/2), cime smopojednostavnili dio daljnjeg racuna jer je sada

u = 0 (80)

Uzevsi sve to u obzir, iz prve jednadzbe sada slijedi

(

1 2Mr

)(ut)2 +

(1 2M

r

)1(ur)2 + r2(u)2 = (81)

Ovu jednadzbu mozemo napisati preko sacuvanih velicina e i l, uvedenih uprethodnom poglavlju,

e =

(1 2M

r

)ut , l = r2u (82)

(

1 2Mr

)e2(

1 2Mr)2 + (1 2Mr

)1(dr

d

)2+ r2

l2

r4=

Mnozenjem s (1 2M/r) i uvodenjem pokrate r = dr/d dobivamo jednadzbu

e2 + r2 + l2

r2

(1 2M

r

)=

(1 2M

r

)Nesto konvencionalniji zapis postizemo dijeljenjem s 2 i prerazmjestajem clanova:

1

2r2 +

1

2

(1 2M

r

)(l2

r2+

)=e2

2(83)

37

Ovo je radijalna jednadzba gibanja, koja uz dvije jednadzbe u kojima su defini-rane e i l u potpunosti opisuje gibanje cestice. Valja uociti kako je gibanje cesticeekvivalentno gibanju u jednodimenzionalnom efektivnom potencijalu

Vef(r) =1

2

(1 2M

r

)(l2

r2+

)(84)

s efektivnom energijom e2/2.

ZAD. Pronadite vezu kruzne frekvencije i radijusa r0 stabilne kruzne putanjemasivne cestice ( = 1).

R. Stabilne kruzne orbite imaju radijus putanje u onim vrijednostima gdjeefektivni potencijal ima svoj lokalni minimum. Nuzan uvjet kako bi ovo biloispunjeno jest da vrijedi

V ef(r0) =1

2

(2M

r20

(l2

r20+ 1

)(

1 2Mr0

)2 l2

r30

)= 0

Odavde dobivamo

M

r0

(l2

r20+ 1

)(

1 2Mr0

)l2

r20= 0 (85)

Nadalje, zahtijev za kruznom orbitom znaci da imamo r = 0, pa iz radijalnejednadzbe gibanja (83) dobivamo

e2 =

(1 2M

r0

)(l2

r20+ 1

) l

2

r20+ 1 =

e2

1 2Mr0Uvrstimo li ovo u (85), slijedi

M

r0

e2

1 2Mr0=

(1 2M

r0

)l2

r20 l

2

e2=

Mr0(1 2Mr0

)2l

e=

Mr0

1 2Mr0Kruzna frekvencija dana je s

ddt

=d/d

dt/d=

l/r20

e(

1 2Mr0)1 = 1r20

(1 2M

r0

)l

e

=

Mr0r20

2 = Mr30

(86)

Ovo je 3. Keplerov zakon za stabilne kruzne putanje u Schwarzschildovomprostor-vremenu; njegova je forma identicna onoj u klasicnoj, Newtonovoj teoriji

38

gravitacije zahvaljujuci specificnom odabiru koordinatnog sustava (Schwarzschildovkoordinatni sustav).

ZAD. Svemirska stanica stoji fiksno u Schwarzschildovom prostor-vremenu natocki s koordinatom r = R i lansira projektil mase m radijalno prema van brzi-nom v, mjereno u njezinom sustavu mirovanja. Koliki je minimalan iznos tebrzine (vmin) koja je dovoljna da projektil s njom dosegne beskonacnost (brzi-nom nula)?

R. S obzirom da na projektil ne djeluje nikakve sile, njegova putanja jegeodetska. U konacnoj tocki putanje (u r =) mozemo izracunati energiju pojedinici mase,

e =

(1 2M

r

)dt

d

r=

= 1 (87)

gdje smo u obzir uzeli da na kraju projektil ima brzinu nula. Kako je ova velicinasacuvana duz geodetske putanje, to je ujedno i minimalna energija emin potrebnaza lansiranje projektila. Ujedno, zbog radijalnog gibanja, kutna kolicina gibanjapo jedinici mase je nula, l = 0.

Sljedece velicine koje nam trebaju su 4-brzine svemirske stanice (u) i pro-jektila (w). S obzirom da svemirska stanica ima fiksne koordinate (r, , )imamo u = (ut, 0, 0, 0). Iz normiranja dobivamo

1 = uu = g uu = gtt(ut)2 = (

1 2Mr

)(ut)2

ut =

(1 2M

r

)1/2(88)

Sto se tice projektila, s obzirom na radijalno gibanje, odmah imamo w = 0 =w. Radijalnu komponentu wr mozemo dobiti iz jednadzbe gibanja (uz e = 1 il = 0):

1

2r2 +

1

2

(1 2M

r

)=

1

2 wr = r =

2M

r(89)

Posljednju komponentu, wt mozemo opet izracunati iz normiranja 4-brzine,

1 = ww = g ww = gtt(wt)2 + grr(wr)2 =

= (

1 2Mr

)(wt)2 +

(1 2M

r

)1(wr)2

wt =(

1 2Mr

)1(90)

Energija projektila koju promatrac mjeri u svom sustavu dana je izrazom

E = p u = gpu

39

gdje je p 4-impuls projektila, p = mw. Uvrstavanjem do sada izracunatihkomponenti (izvrjednjenih u r = R) imamo

E = mgtt utwt = m1 2MR

(91)

Veza ove energije i brzine projektila dana je poznatim relativistickim izrazom,

E =m

1 v2Odakle dobivamo brzinu bijega, odnosno minimalan iznos brzine projektila potre-ban za lansiranje do beskonacnosti,

v =

2M

R(92)

sto sasvim slucajno (u Schwarzschildovim koordinatama) odgovara Newtonovomklasicnom izrazu za brzinu bijega. Valja uociti kako za R 2M , v 1(c)!

ZAD. Koliko svjetla bijezi u beskonacnost? S tocke s radijalnom koordinatomr = R, 2M < R < 3M , odasiljemo fotone u raznim smjerovima (u = pi/2ravnini) tako da cine kut s radijalnim smjerom. Koji je kriticni kut c za kojifotoni bjeze u beskonacnost?

R. Radijalna jednadzba gibanja za fotone u Schwarzschildovom prostor-vremenu glasi

1

2r2 +

1

2

(1 2M

r

)l2

r2=e2

2(93)

Fotone mozemo, dakle, opisati jednodimenzionalnim gibanjem cestice jedinicnemase energije e2/2 u efektivnom potencijalu

Vef(r) =1

2

(1 2M

r

)l2

r2

Jedini ekstrem ove funkcije je maksimum u r0 = 3M , sto znaci da fotoni moguimati kruznu putanju na tom radijusu (ova trajektorija je, doduse, nestabilna).Iz jednadzbe gibanja odmah mozemo izraziti i radijalnu komponentu 4-brzinefotona,

ur = r =

(e2

(1 2M

r

)l2

r2

)1/2(94)

Ostale komponente su dane preko sacuvanih velicina e i l:

ut =e

1 2Mr, u = 0 , u =

l

r2(95)

Sada valja preciznije definirati kut iz zadatka. Ortonormirana baza vek-tora duz ortogonalnih koordinatnih osi na poziciji opazaca . . .

(er) =

(0,

(1 2M

R

)1/2, 0, 0

)

40

(e) =

(0, 0, 0,

1

R

)tg =

u

ur=u eu er

Napomena: zbog = pi/2 imamo sin = 1

u e = g (e)u = R2 1

R lR2

=l

R

u er = grr (er)rur = 11 2MR

(1 2M

R

)1/2(e2

(1 2M

R

)l2

R2

)1/2=

(1 2M

R

)1/2l

(1

b2(

1 2MR

)1

R2

)1/2gdje smo uveli pokratu b l/e. Sada je

tg =1

R

(1 2M

R

)1/2(1

b2(

1 2MR

)1

R2

)1/2Promotrimo opet radijalnu jednadzbu gibanja,

1

2r2 +

1

2

(1 2M

r

)l2

r2=e2

2

/: l2

1

2l2

(dr

d

)+

1

2

(1 2M

r

)1

r2=

1

2b2

Uocimo kako se redefinicijom parametra putanje, l, ne mijenja fizikalnejednadzbe koje definiraju kinematiku fotona (u u = 0, (u )u = 0), kao niparametar b,

b =l

e=

r2 sin2 (1 2Mr

)r

s obzirom da omjer /r ostaje nepromjenjen reparametrizacijom. Time smopocetnu jednadzbu opet doveli na oblik

1

2

(dr

d

)2+

1

2

(1 2M

r

)1

r2=

1

2b2

s efektivnom energijom 1/2b2 i efektivnim potencijalom

Vef(r) =1

2

(1 2M

r

)1

r2

Funkcija Vef(r) ima maksimum u r = 3M i on iznosi

Vef(3M) =1

54M2

Kriticna efektivna energija, odnosno minimalna potrebna za svladavanje ovepotencijalne barijere (kako bi doticni foton mogao pobjeci u beskonacnost) iznosistoga

1

2b2c=

1

54M2 bc = 3M

3

41

Uvrstavanjem u gornji izraz za dobivamo

tgc =1

R

(1 2M

R

)1/2(1

27M2(

1 2MR

)1

R2

)1/2Nesto jednostavniji zapis imamo za

sinc =

(1 +

1

tg2 c

)1/2=

3M

3

R

(1 2M

R

)1/2Uocimo kako za R = 3M imamo sinc = 1, odnosno c = pi/2. Taj kutse monotono smanjuje kako se priblizavamo horizontu, R = 2M , gdje imamosinc = 0, sto povlaci c = 0 (na horizontu samo radijalno odaslani fotoniuspjevaju pobjeci u beskonacnost). Zamislimo li pokus u kojem smo u crnurupu ispustili izvor svjetla koji ravnomjerno odasilje fotone u svim smjerovima,a mi prikupljamo te fotone na nekoj velikoj udaljenosti od crne rupe, ono stobismo uocili jest postepeno tamnjenje tog izvora.

ZAD. Cestica mase m ispustena iz tocke s radijusom R pada radijalno uSchwarzschildovom prostor-vremenu. Pronadite vrijeme pada (koordinatno ti vlastito ) do tocke s radijusom r. Promotrite rezultat u limesu r 2M .Izracunajte lokalno mjerenu brzinu u razlicitim tockama putanje.

R. Kako imamo radijalni pad = = konst., u = u = 0, = 1:

(

1 2Mr

)(ut)2 +

(1 2M

r

)1(ur)2 = 1

e =

(1 2M

r

)ut

e2

1 2Mr+

(ur)2

1 2Mr= 1

ur = (e2 1 + 2M

r

)12

(predznak jer dr < 0 za dt > 0). Lokalno mjerenu brzinu cemo izrazitipreko lokalno definirane duljine i vremena (one koje mjeri opazac na fiksnimkoordinatama)

dt d r,,= konst. , dr d t,,= konst.dr

dt=

|grr||gtt| drdt =(

1 2Mr

)1r

t=

(1 2M

r

)1ur

ut=

= (e2 1 + 2Mr

)12

e=

(1 1

2Mr

e2

)12

dr

dt

r=2M

= 1 (tj. c !)

42

Sada odredujemo konstantu e iz uvjeta

dr

d

r=R

= urr=R

= 0

e2 1 + 2MR

= 0 e2 = 1 2MR

< 1

dr

d=

(1 2M

R 1 + 2M

r

)12

= (

2M

r 2M

R

)12

d = 12M

(1

r 1R

) 12dr

Odavde integracijom dobivamo vlastito vrijeme koje izmjeri sama cestica dotrenutka kada je dosla u tocku s radijalnom koordinatom r,

=

(R3

8M

)12

(2

(r

R r

2

R2

)12

+ arccos

(2r

R 1))

(96)

Vazno je uociti kako ostaje konacan u limesu r 2M .

Za potrebu ostatka racuna cemo uvesti konvencionalnu velicinu , preko

arccos(

2r

R 1)

, r =R

2(1 + cos ) (97)

Prethodno izracunato vlastito vrijeme sada poprima jednostavniju formu

=

(R3

8M

)12

( + sin )

Nadalje imamo

ut =e

1 2Mr dt = e d

1 2Mr

t = e

0

d

1 2Mr()= e

0

d

dd

1 2Mr()d

d=

(R3

8M

)12

(1 + cos ) , e =(

1 2MR

)12

t =

(1 2M

R

)12

0

(R3

8M

)12

(1 + cos )

1 4MR (1 + cos )1d (98)

Detalji racunanja ovog integrala su izlozeni u dodatku B; rezultat glasi

t

2M= ln

(R

2M 1)1

2 + tg(/2)(R

2M 1)1

2 tg(/2)

+(R

2M 1)1

2( +

R

4M( + sin )

)(99)

43

Ovdje valja uociti da koordinatno vrijeme t divergira u limesu kada r 2M ,tj. onda kada cestica prelazi horizont crne rupe, jer

limr2M

cos =4M

R 1 , lim

r2Mtg(/2) = lim

r2M

1 cos 1 + cos

=

(R

2M 1)1

2

ZAD. Osoba A kruzi oko sferno simetricne neutronske zvijezde (mase M) naradijusu r = 4M . Osoba B je ispucana iz topa radijalno s povrsine zvijezdebrzinom manjom od brzine bijega. Za vrijeme leta A i B se surecu 2 puta.Izmedu ta 2 susreta A napravi 10 punih orbita. Izracunajte vrijeme protekloizmedu 2 susreta i to prema satu osobe A i osobe B!

R. Zadatak promatramo prvo iz perspektive osobe A, potom iz perspektiveosobe B . . .

A :

Mozemo bez smanjenja opcenitosti odabrati da A kruzi u ravnini = pi/2,

d = 0 , r = 4M , dr = 0 , ur = u = 0

Pomocu prije dobivenog rezultata znamo

=d

dt=

Mr

r2=

2M

(4M)2=

1

8M

Uzevsi za pocetni uvjet (t = 0) = 0, integriranjem dobivamo

=1

8Mt

= 10 2pi t = 8M = 8M 20pi = 160piMVlastito vrijeme mozemo izracunati iz metrike,

d2A =(

1 2Mr

)dt2 r2 sin2 d2 = 1

2dt2 (4M)2d2 =

=1

2dt2 (4M)2 dt

2

(8M)2=

1

4dt2

A =1

2t = 80piM 251.5M

B :

S obzirom na simetriju, putanju mozemo podijeliti u dva dijela jednake duljine(uspon i pad). Dovoljno je promatrati samo jedan od njih (mi cemo promatrati

44

samo pad) i na kraju dobiveno vrijeme pomnoziti s faktorom 2. Pritom koristimorezultate prethodnog zadatka,

1/2 =

(R3

8M

)12

( + sin )

t1/22M

= ln

(R

2M 1)1

2 + tg(/2)(R

2M 1)1

2 tg(/2)

+(R

2M 1)1

2( +

R

4M( + sin )

)Koordinatno vrijeme proteklo od trenutka kada je osoba B dosegla vrh putanje(r = R) do trenutka kada se ponovno susretne s osobom A jednako je polovicikoordinatnog vremena proteklog osobi A tijekom kruzenja, t1/2 = t/2 =80piM . Odave slijedi jednadzba

40pi = ln

(R

2M 1)1

2 + tg(/2)(R

2M 1)1

2 tg(/2)

+(R

2M 1)1

2( +

R

4M( + sin )

)elegantnije zapisana uvodenjem pokrate x R/(2M),

40pi = ln

x 1 + tg(/2)x 1 tg(/2)+x 1( + x2 ( + sin )) (100)

Iz definicije (97) za r = 4M dobivamo jednadzbu koja povezuje x i ,

4 = x(1 + cos )

Sada je potrebno rjesiti ovaj netrivijalan sustav dvije (nelinearne) jednadzbe.Jedna metoda kojom to mozemo napraviti jest uz odgovarajuce aproksimacije.Kako osoba B napravi cak 10 orbita izmedu dva susreta, razumno je pret-postaviti x 1; odavde slijedi

1 + cos 0 pi

tg

2=

1 cos 1 + cos

x 1

tg(/2)x(1 + cos )

1 cos

4

2=

2

ln

x 1 + tg(/2)x 1 tg(/2) ln

(2 + 12 1

) 1.8 40pi

pa ovaj logaritamski komad mozemo u potpunosti zanemariti. Nadalje,

40pi x(pi +

x

2(pi + 0)

) pi

2x3/2 x 18.57

1 + cos =4

x 0.216 2.47

Usporedba s numerickim rezultatom (dobiven pomocu programa Mathematica),

2.46029 , x 17.91747opravdava raniju upotrebu aproksimacija. Konacno,

B = 2(R3

8M

)12

( + sin ) = 2x3/2( + sin ) 494.8M

BA

2

45

Eddington-Finkelsteinove koordinate.

Promotrimo svjetlosne radijalne geodezike u Schwarzschildovom prostor-vremenu,

ds2 = 0 = (

1 2Mr

)dt2 +

(1 2M

r

)1dr2

dt

dr=

(1 2M

r

)1Odavde vidimo kako se svjetlosni stosci skupljaju prilikom prilazenja horizontudogadaja (r 2M), da bi na samom horizontu postali singularni (dt/dr ). Izborom drugacijeg koordinatnog sustava cemo pokazati da je posrijedisamo singularno ponasanje pocetnog (Schwarzschildovog) koordinatnog sustava,a ne nekakav stvaran fizikalni efekt na horizontu.

Za pocetak pokusavamo rjesiti problem zamjenom koordinate t s nekom kojase mijenja sporije duz svjetlosnih geodezika,

dr2 dr2(

1 2Mr)2

Nova koordinata r je tzv. Regge-Wheeler ili tortoise koordinata, koja je ek-splicitno dana (uz konvencionalni odabir integracijske konstante) izrazom

r = r + 2M lnr 2M2M

(101)Metrika sada poprima oblik,

ds2 =

(1 2M

r

)(dt2 + dr2) + r2(d2 + sin2 d2)

gdje se podrazumijeva da je r ovdje funkcija nove koordinate, r = r(r). Onosto smo ovdje efektivno napravili jest pomaknuli horizont u beskonacnost,

r(r = 2M) =

Sljedeci korak jest uvodenje koordinata adaptiranih na svjetlosne geodezike,u smislu da su upadni ili izlazni radijalni svjetlosni geodezici duz linija s kon-stantnim novim koordinatama,

u = t r , v = t+ r (102)

du = dt dr = 0 za izlazne fotone izvan horizonta dogadaja.

dv = dt+ dr = 0 za ulazne fotone izvan horizonta dogadaja.

Koordinatni sustav (v, r, , ):

ds2 =

(1 2M

r

)(dt2 + dr2) + r2d2 =

46

=

(1 2M

r

)(dv2 + 2dvdr dr2 + dr2) + r2d2 =

= (

1 2Mr

)dv2 + 2dvdr + r2d2

Horizont je na konacnoj vrijednosti koordinate v . . .

Koordinatni sustav (u, r, , ):

ds2 =

(1 2M

r

)(dt2 + dr2) + r2d2 =

=

(1 2M

r

)(du2 2dudr dr2 + dr2) + r2d2 =

= (

1 2Mr

)du2 2dudr + r2d2

Horizont je na konacnoj vrijednosti koordinate u . . .

Promatramo radijalne (d = d = 0) svjetlosne (ds2 = 0) geodezike u(v, r, , ) ili (u, r, , ) koordinatnom sustavu:

dv

dr=

0 upadni

212M/r izlazni

,du

dr=

0 izlazni

212M/r upadni

ZAD. Pokazi da kad raketa jednom prijede horizont dogadaja Schwarzschildovecrne rupe (r = 2M), mora dosegnuti ishodiste (r = 0) u vlastitom vremenu piM bez obzira na rad motora.

R. Iz normiranja 4-vektora brzine (uu = 1) slijedi

(

1 2Mr

)(dt

d

)2+

(1 2M

r

)1(dr

d

)2+r2

(d

d

)2+r2 sin2

(d

d

)2= 1

Unutar horizonta (r < 2M) sve velicine su pozitivne osim one uz r2, pa moravrijediti (

1 2Mr

)1(dr

d

)2< 1

(2M

r 1)1(

dr

d

)2> 1

Razmatranjem Schwarzschildove metrike u Eddington-Finkelsteinovim koordi-natama (v, r, , ) mozemo pokazati da za svakog fizikalnog promatraca (m > 0, dt > 0) mora vrijediti r < 0:

ds2 = (

1 2Mr

)dv2 + 2drdv + r2(d2 + sin2 d2) < 0

47

2drdv 0 za fizikalnog promatraca -odavde slijedi dr < 0 (unutar horizonta).

Sada mozemo odabrati jednoznacan predznak prilikom vadenja korijena izgornje nejednakosti,

dr < d

2M

r 1

d < dr2Mr 1

U potrazi za granicnom vrijednosti stavljamo jednakost i vrsimo integraciju poputu koji zapocinje na horizontu i zavrsava u ishodistu,

max = 0

2M

dr2Mr 1

Uvodenjem nove varijable

x 2Mr 1 , r = 2M

1 + x, dr = 2M

(1 + x)2dx

imamo

max = 2M

0

x12

(1 + x)2dx

Ovaj integral mozemo rijesiti promatranjem kompleksnog integralaC

z12

(1 + z)2dz

po krivulji C koja se sastoji od dvije kruznice, radijusa i radijusa R, te dvije horizontalnelinije povucene infinitezimalno iznad i ispod reza duz realne osi. Podintegralna funkcija imapol drugog reda u z = 1. Reziduum funkcije u toj tocki je

Res(f(z),1) = limzepii

d

dz(z

12 ) = 1

2e

3pii2 = i

2

Odavde slijedi C

z12

(1 + z)2dz = 2piiRes(f(z),1) = pi

=

f(z) dz +

f(z) dz +

R

x12

(1 + x)2dx+ (e2pii)

12

R

x12

(1 + x)2dx

U limesu kada 0 i R integrali po kruznicama iscezavaju, pa nam preostaje

pi = (1 epii)

0

x12

(1 + x)2dx

0

x12

(1 + x)2dx =

pi

2

48

To nam konacno daje maksimalno vrijeme koje mozemo provesti unutar hori-zonta dogadaja prije nego sto udarimo u ishodiste koordinatnog sustava,

max = 2M pi2

= piM (103)

Na kraju mozemo ovaj rezultat pretvoriti u velicine u uobicajenom sustavujedinica,

piM pi Gmc2

1

c= pi

Gmc3

m

m 3 (6 10

11)(2 1030)(3 108)3

m

ms 10 m

ms

gdje je m masa Sunca (m = 2 1030kg). Cak i u slucaju supermasivnih crnihrupa (m 106m) vrijeme je tek reda velicine sekunde (max 10 s).

49

Dodatak A

LM Za matricu A, |A| det(A), vrijedi:

(ln |A|), = Tr(A1A) = Tr(

(A1)A,

)=,

(A1)A,

Dokaz:

(ln |A|) = limx0

ln |A+ A| ln |A|x

A A(. . . , x + x, . . .)A(. . . , x, . . .)

(ln |A|) = limx0

1

xln|A+ A||A| = limx0

1

xln(|A1(A+ A)|) =

= limx0

1

xln(|I+A1A|)

Koristeci poznati identitet

det(eA) = eTrA ln(det(B)) = Tr(lnB)

imamo dalje

(ln |A|) = limx0

1

xTr(ln(I+A1A)

)= lim

x0Tr(

ln(I+A1A)1

x

)Po analogiji s jednakosti

limx0

(1 + g(x) f(x))1

x ff = exp(g(x) lim

x0f(x)

x

)= eg(x)f

(x)

slijedi

(ln |A|) = Tr(A1 lim

x0A

x

)= Tr(A1A)

50

Dodatak B

Racunanje integrala iz zadatka o slobodnom padu cestice u Schwarzschildovomprostor-vremenu.

t =

(1 2M

R

)12

0

(R3

8M

)12

(1 + cos )

1 4MR (1 + cos )1d

Koristenjem prije uvedene oznake, x = R/(2M), imamo

t =

(1 1

x

)12

(M2x3)12

0

(1 + cos )2

(1 2x ) + cos d

t = Mxx 1

0

(1 + cos )2

(1 2x ) + cos d

Promatramo integral oblika

I(a) =

0

(1 + cos )2

(1 a) + cos d

Upotrebom rastava

(1 + cos )2 = (1 a2 + 2 cos + cos2 ) + a2 =

= (1 + a+ cos )(1 a+ cos ) + a2

imamo

I(a) =

0

(1 + a+ cos +

a2

(1 a) + cos )d =

= (1 + a) + sin + a2

0

d

(1 a) + cos Preostali integral rjesavamo poznatom supstitucijom

u = tg(/2) , d =2du

1 + u2, cos =

1 u21 + u2

J =

d

(1 a) + cos = 2

du

(2 a) u2 =

=1

a(2 a) lna(2 a) + aua(2 a) au

+ C ==

1a(2 a) ln

a(2 a) + a tg(/2)a(2 a) a tg(/2)

+ C

51

Rezultat je, stoga,

I(a) = (1 + a) + sin +a2

a(2 a) lna(2 a) + a tg(/2)a(2 a) a tg(/2)

Odavde je

t = Mxx 1 I(2/x) =

= Mxx 1

(1 + 2x

) + sin +

4x2

2x (2 2x )

ln

2x (2 2x ) + 2x tg(/2)2x (2 2x ) 2x tg(/2)

Uzevsi u obzir 2

x

(2 2

x

)=

2

x

x 1

imamo

t = 2Mx 1

( +

x

2( + sin )

)+ 2M ln

x 1 + tg(/2)x 1 tg(/2)

52

Najvazniji tipovi crnih rupa u OTR

Schwarzschild (1916.)sferno simetricno, bez naboja

ds2 = (

1 2Mr

)dt2 +

(1 2M

r

)1dr2 + r2(d2 + sin2 d2)

Reissner/Nordstrm (1916./1918.)sferno simetricno, nabijeno

ds2 = (

1 2Mr

+Q2

r2

)dt2 +

(1 2M

r+Q2

r2

)1dr2 + r2(d2 + sin2 d2)

Kerr (1963.)aksijalno simetricno, bez naboja

ds2 = (

1 2Mr

)dt2 2a sin

2 (r2 + a2 )

dt d+

dr2+

+d2 +

((r2 + a2)2 a2 sin2

)sin2 d2

a JM

, r2 2Mr + a2 , r2 + a2 cos2

Kerr-Newman (1965.)aksijalno simetricno, nabijeno

ds2 = (

1 2Mr

+Q2

)dt2 2a sin

2 (r2 + a2 )

dt d+

dr2+

+d2 +

((r2 + a2)2 a2 sin2

)sin2 d2

a JM

, r2 2Mr + a2 +Q2 , r2 + a2 cos2

Bibliografija

[Lightman et al.] A.P. Lightman, W.H. Press, R.H. Price and S.A. Teukol-sky: Problem Book in Relativity and Gravitation (Princeton, 1975.) ()Prakticno jedina postojeca zbirka zadataka iz opce teorije relativnosti. Valjanaglasiti kako su svi zadaci detaljno rijeseni.

[Dirac] P.A.M. Dirac: General Theory of Relativity (Wiley, 1975.) () Autor u35 lekcija (svega 77 stranica) ukratko iznosi glavne pojmove opce teorijerelativnosti.

[Hartle] J.B. Hartle: Gravity (Addison Wesley, 2003.) () Bogato ilustrirana i smnostvom motivacijskih primjera . . .

[Weinberg] S. Weinberg: Gravitation and Cosmology (Wiley, 1972.) () Jednaod standardnih referenci u gravitaciji; prednost ove knjige je u tome stoima neke izvode koje necete naci na drugim mjestima; mane su zastarjeli,negeometrijski pristup u izlaganju matematickog aparata, kao i potpunoodsustvo analize crnih rupa.

[Carroll] S.Carroll: Spacetime and Geometry (Addison Wesley, 2004.) () Prvapreporuka medu novijom literaturom u gravitaciji; pokriva otprilike prvupolovicu Waldovog udzbenika, ali u mnogo polaganijem tempu i s visedetalja; posljednje poglavlje obraduje i uvod u kvantnu teoriju polja uzakrivljenom prostor-vremenu.

[MTW] C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler: Gravitation (Freeman, 1973.)() Takozvana biblija gravitacije. Glomazna, crna knjiga na preko 1000stranica pazljivo, s posebnim naglaskom na geometrijsku intuiciju, prolazikroz matematicki aparat i prakticno svu klasicnu fiziku opce teorije rela-tivnosti.

[Wald] R.M. Wald: General Relativity (Chicago, 1984.) () Prva referencanaprednijeg kursa u opcoj teoriji relativnosti. Prednosti su joj moderan,geometrijski pristup i sirina primjenjivosti; mana joj je izrazito kompak-tan stil, s malo raspisanih medukoraka.

[HE] S.W. Hawking and G.F.R. Ellis: The Large Scale Structures of Space-Time(Cambridge, 1973.) ()

53