Optimalisation de certains traitements numériques avec une forme quadratique

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OPTIMALISATION DE CERTAINS AVEC UNE FORME

par

E t i e n n e B O I L E A U * et Docteur es Sciences Physique

TRAITEMENTS NUMi~,RIQUES QUADRATIQUE

H e n r i C L E R G E O T * Agr~g~ de l'Universit6

R~SUMI~. - - Pour l'dtude de certains signaux, on est amend d effectuer un filtrage, puis une dldvation au carrd. Dans le cas d'un signal analogique il est commode de sdparer ces deux opdrations, el avec le ddveloppement de la numdrisation, les traitements numdriques correspondants ont dtd envisagds dgalement. Les auteurs vont examiner s'il n'est pas plus avantageux d'utiliser un seul traitement numdriquc pour rdaliser les deux opdrations, particuli~rement dans lc cas de deux probl~mes prdcis : l 'estimation d'une densitd spectrale, et l' estimation des variances en temps fini qui sont utilisdes pour ddcrire la stabilitd des oscillateurs. Its ont constatd que darts ce deuxi~me probl~me, on trouve effectivement avantage & utiliser un traitement un peu plus gdndral, alors que dans le premier, l' avantage disparait, l ls prdcisent un choix optimal de ce traitement en utilisant le crit~re des moindres carrds el un gabarit qui dolt lui-mdme ~tre choisi convenablement en fonclion de la prdcision

ddsirde.

ABSTn~CT. - - When processing some given signals it is very often necessary to filter and then square this signal. When the signal is continuous these two operations are performed separately by analogous means ; equivalent digital procedures are possible and have been already proposed. The authors considered whether this treatment could not be done with better results in one single digital operation, with respect to two specific problems : power spectrum estimation, and finite time variance estimation (particularly useful to specify oscillators stabil i ty) . For this second problem they found some advantage to use this more general treatment, while for the first this approach does not bring any advantage. They proposed an optimal choice for this new approach by using a least mean squares method, where the choice of a window gauge is made according to the required accuracy.

PLAN. - - �9 I : Introduction. �9 I I : Mdthode proposde. � 9 : Choix du gabarit. �9 IV : Variance de l'estimation. �9 V : Conclusion. �9 Bibliographic (8 rdf.).

I. I N T R O D U C T I O N

P o u r e s t ime r la densi t6 spec t ra le Yx(f) d ' u n pro-

cessus x(t) p o u r la f r6quence f (p rob l6me A), on p e u t

u t i l i ser un filtre s6lectif, d o n t le gain Gf(v) est, p o u r

> 0, n6gl igeable en m o d u l e en dehors d ' u n pe t i t

i n t e r v a l l e cen t rd en f. Si y(t) est le processus filtr6,

on a alors :

(1) E (y 2) = / yx(9) IGy(u)[2 d r ,

Z 2 IGf( )I

Cet te md thode , l a r g e m e n t uti l isde pa r les a n a l y -

seurs de spect re , ou pour des d tudes de s tabi l i td [1],

p e u t ~tre t r ansposde pour le t r a i t e m e n t n u m d r i q u e

de processus dchant i l lonnds [2, 3].

On p c u t u t i l i ser un t r a i t e m e n t f o r m e l l e m e n t ana -

logue p o u r d d t e r m i n e r la variance en temps fini [4, 5]

d ' u n processus a y a n t des ddrives i m p o r t a n t e s (pro-

b lSme B). P o u r ddcrire la s tabi l i td d ' u n osc i l la teur ,

pa r exemple , on p e u t u t i l i ser la v a r i a n c e du processus

y(t) d~dui t de la f r~quence x(t) pa r un f i l t rage d o n t

le gain Hf(v) dl imine au m i e u x les f luc tua t ions de

f r6quences inf~rieures h f = l / T ; on d~fini t :

(2) a2(T) = E(y 2) = / y x ( v ) ] H f ( v ) ] 2 d r ,

~ 2 "~x(~) d r .

Dans ecs d e u x probl~mes , on ef fec tue un f l l t rage

suivi d ' u n e ~l~vat ion au car rY; nous env i sageons la

possibi l i t~ de r e m p l a e e r ees deux ope ra t i ons pa r une

seule o p e r a t i o n q u a d r a t i q u e plus g~n~rale. U n e te l le

ope ra t i on a d~jh ~t~ uti l is~e p o u r le p rob l~me B [voir

~qua t ion 4 et 12 dans 41, et ee t t e possibi l i t~ p e u t ~tre

envisag~e p o u r b ien d ' a u t r e s p rob l~mes off on utf l ise

le f i l t rage num~r ique .

Nous nous l imi tons au cas off on ~tudie un p ro -

eessus discret , de sor te qne pour les d e u x p rob l~mes

(A ou B), nous r empla~ons y2 pa r une fo rme q u a d r a -

t i que z p o r t a n t sur un n o m b r e d~ te rmin~ de x i . (Si

on ef fee tue le t r a i t e m e n t avee un o r d i n a t e u r de capa -

cit~ r~dui te , on eon~oi t clue la por t~e p e u t ~tre l imit~e. )

On p e u t o p t i m a l i s e r le eho ix de ee t t e fo rme q u a d r a -

t i q u e en u t i l i s an t le er i t~re des m o i n d r e s earr~s a v e c

un ce r t a in gabar i t . I1 a p p a r a t t q u ' a v e e une fo rme

q u a d r a t i q u e on dispose d ' u n n o m b r e de coeff ic ients

* Au Laboratoire des siguaux et syst~mes Ecole Sup6rieure d'Electricit~, Plateau du ~oulon, F 91190 Gif-sur-Yvette.

1/11 ANN. TIEL~COMMUNIC., 31, n ~ 5-6 , 1 9 7 6

1 8 0 E. BOILEAU. -- T R A I T E M E N T S NUMI~RIQUES AVEC U N E FORME Q U A D R A T I Q U E

plus grand pour approcher le gabari t que lorsqu'on utilise nn filtre, et on pr~voit done (pour une portde donnde) qu 'on obt ien t une prgcision meilleure. C'est ce que nous avons v6rifid pour le probl~me B ; par contre, pour le probl~me A, l ' avan tage n 'es t pas net, vu la forme souhait6e pour [Hi(v)[ 2 (w II). Remarquons toutefois que l ' es t imat ion d 'une densit6 spectrale peut

t r& bien se ramener au probl~me B ; en effet, si on d~termine une es t imat ion de (2) en fonction de f, il est facile d 'en ddduire une est imation de y(f) par ddrivation.

La precision obtenue d~pend ~galement beaucoup du gabari t choisi ; elle est d ' a u t a n t meilleure que celui-ci est cont inf iment d6rivable h u n ordre plus 61ev6. Ceci nous condui t h comparer les r6sultats obtenus avec deux familles de gabarits simples (w III).

De m~me que dans les mdthodes rappel6es pr6c6- demment , on obt ient une approximat ion de E(g) ~ par un filtrc in t6grateur por t an t sur g~, on peut obtenir l ' es t imat ion cherch6e par une int6grat ion

por t an t sur z. Nous mont rons au paragraphe IV que,

si on peut se placer darts les conditions de l ' int6gra- t ion forte, la forme simplifide du processus que nous proposons est par t icul i~rement avantageuse. Nous examinons 6galement (pour le cas oh on ne peut pas int6grer), la possibilit6 de minimaliser la variance

de z ; ceci n 'es t possible que si on poss+de d6jh certaines informations sur le processus x. On obt ient un r6sultat trbs simple darts le cas extreme off le temps de corr6lation est tr~s petit .

II. M~.THODE PBOPOSI~.E

11.1. F o r m e g 6 n 6 r a l e .

Nous envisageons un proeessus 6ehanti l lonn6 :

xn = x(nAt) ,

et la forme quadra t ique suivante de p = 2 N - t - 1 ~ehantil lons cons~eutifs :

N

(3) Zk = ~ At1 xe+t xe+l . i,j=--N

Le carr6 d 'une fonction filtr6e de Xn, avec un filtre po r t an t sur le m6me nombre d'6chantffions :

(4) g~ = l=--N Rr xe_~,

est 6videmment un cas part iculier du processus ze. Nous allons d 'abord mont re r que E(z) s 'exprime

par une int6grale analogue h (1) ou (2). Pour eela,

nous utilisons

(5) t f l [2At e l 2 r : v ( n - m ) A t

Fn-m = E(xn X m ) = A # - l [ 2 A t Y(~) d r ,

off y(v) est la densitd spectrale pdriodique (pdriode

I]Ai) du processus dchanti l lonn& Si on uti t isait la densit6 spectrale yx(v) du processus x(/) avan t ~chan- t i l lonnage, l ' intdgrale serait h prendre de - - oo 5 + o0 et on n ' au ra i t pas le coefficient A t ; en effet :

1 +~o ~(v)= ~ ~:-~Z ~ ' x ( v - l /A t ) .

Nous voyons que :

zN

E ( z ) = Z ( Z Azj) F e , (6) k = - ~,v i--j=k

f__l /2At E(z) = Al -1/2At T(v) Q(v) d r .

La fonction Q(v) in t rodui te darts (6) est d6finie par k:O.N

(7) Q(v) = ~, Be e i2rrvk/xt , k=-- ~N

(8) B e = Y, AZ 1. i - j = k

Quand on utilise la fonction filtr~e y ddfinie dans (4), E(g 2) est donn6e par une intdgrale analogue

h (6), oh Q(v) est remplacde par le carrd du module

du gain du filtre. La formule (7) montre que Q(~) est une fonction

pdriodique de m~me pdriode que y(v), et la formule (8) exprime que les (4 N + 1) coefficients Be de son ddveloppement sont les sommes des ~ldments

All se t r ouvan t sur une m~me parall~le h la diagonale principale de la matrice. Dans les deux probl~mes que nous consid~rons (probl~mes A et B), nous choi- sirons la matrice Aij de fa$on que Q(v) (au lieu de IG(v)l ~ dans le cas off on ut i l isai t un filtrage [5])

approche au mieux nn gabari t pair F(v). Nous revien- drons en I I I sur le choix de ce gabarit , qui sera d~fini dans (0, 1/2At), mais que nous consid~rons comme une fonetion pdriodique de p~riode 1]At.

Nous utilisons le crit~re des moindres carr~s, c'est-h-dire que nous minimal isons l ' intdgrale sui-

van te :

f f t l 2 A t .~ , , (9) I = J-'12at I ~ t v ) - - F ( v ) I * d r .

On montre [6] que les Bk d6finissant l 'approximat ion optimale de F(v) (pour N d o n n 0 sont alors les (4 N + 1) coefficients ee eorrespondants du d6ve- loppement en s6rie de Fourier eomplexe de F(v).

Darts le probl~me B, il est imp6ratif d ' d i m i n e r

exae tement la fr~quenee 0 [4], et e 'est n6eessaire 6galement dans le problbme A si on a affaire h un proeessus ayan t des d6rives impor tantes [7]. On impose alors la condit ion suppl6mentaire suivante :

(10) Q(0) = 0.

L 'approximat ion optimale s 'ob t ien t alors [6] en

a jou t an t aux Be pr&~dents une constante qui se d~termine en ~crivant (10). On peut noter que dans

les deux cas, le gabari t ~tant pair, on aura B_e = Be, de sorte que Q(v) est uue fonetion paire. Dans le eas off on utilise une matr ice [A~j] sym~trique, on obt ient cer ta inement cette relat ion Be = B_k, mais, pour simplifier le calcul de zlc, on a in t6r& h utiliser une

ANN. T~LI~COMMUNIC., 31, la ~ 5~ 1976 2/11

E. B O I L E A U . -- T R A I T E M E N T S NUMI~RIQUES AVEC U N E F O R M E Q U A D R A T I Q U E 1 8 1

matrice ayan t ses 616ments Aij nuls pour i > j (ou pour i < j). En effet, le coefficient de x~+i Xk~ 6tant Ai~-i- A ~ , seules ces sommes ddterminent zk, et on r6duit le nombre de termes h calculer en supposant par exemple que

(11) A 0 .= 0 pour i > j .

On a alors B ~ = 0 pour k > 0 et Q(v) n 'es t pas paire ; mais il convient de remarquer que dans (6), seule la partie paire de Q(v) in tervient , puisque T(v) est paire. I1 convient donc, dans ce cas, de remplacer Q(v) par sa partie paire daus (9) pour utiliser le cri- t6re des moindres carr6s. II est facile de voir que les Be opt imaux obtenus alors pour k > 0 sont doubles de ceux qu 'on obt ient si on utilise une matr ice symd- trique, c'est-h-dire que les sommes Bk + B_k (qui

d6terminent la partie paire de Q(v)) ont la mfime valeur dans les deux cas.

II.2. Comparaison avec la m6thode du filtre.

Nous nous proposons ici de comparer les est imations de T(f) ou aS(T) obtenues par E(z) et E(yZ), off z et y2

probl6me que prdc6demment, mais on ne dispose que de (2 N § 1) coefficients Rl (qui vdrifient 6galement

R_~=Ri). Pour N donnd, ddfinissant le nombre 2 N + 1 d 'dchanti l lons Xn sur lesquels on travaille, on pr~voit doric que la mdthode de la forme quadra t ique donnera une meilleure prdcision. C'est ce que nous avons

v6rifi~ dans le cas du probl6me B, mais dans le cas du probl6me A, l ' avantage disparait. Ceci se comprend darts la mesure oh, pour ce probl6me, on d~sire (pour Q(v) ou IG(v)l 2) une fonction ayan t un lobe impor t an t

dans un pet i t intervalle autour du f, et la plus petite possible en dehors ; la qualit6 de l ' approximat ion par rapport au gabari t n ' i n t e rv ien t que darts les intervalles off ce gabari t est nul, car la forme exacte du lobe principal n ' a pas d ' importancc. I1 est clair qu 'en t rava i l lan t sur un filtre, on trouve donc avantage h

ce que le gain soit 6levd au carrY.

La figure 1 reprdsente les fonctions Q(v) et IG(v)[2 obtenues avec le gabari t su ivant (problhme A) :

e (13) F(v) = - g[

F(v) = 0

Cette forme

1 § cos pour [ , ~ - f l < a ,

pour v ~ [0, f - - a ] ou I f + a , 1]2At],

a (itd choisie pour la comparaison, car

Q

10 t

011 - - ~ ~ Q 0 . 5

FIG. 1. - - Compara ison de IG(v) l 2 obtenue en u t i l i san t un f iRre et Q(v) obtenue en n t i l i s a n t u n e f o r m e q u a d r a t i q u e da r t s le ca s off o n v e u t e s t i m e r T(/) .

L a f o n c t i o n F(v ) d 6 f i n i e p a r (13) c o r r e s p o n d h l a f o n c t i o n ~ d 6 f i n i e p a r (41) p o u r p = 1. L e d 6 v e l o p p e m e u t c o r r e s p o n d a n t e s t d o n c d o n n ~ p a r (24) e t (46) .

P o u r la f o n c t i o n G(v) , o n a u t i l i s6 le g a b a r i t a s soc i~ h (cf . I I I ) :

T~ ~ x T~ 2 COS U Y 4 A t a c O S - - a qu i d o n n e C k ( y ) - - r: 2 - - 4 u 2

sont ddfinies par (3) et (4). Quand on utilise la m6thode du filtre, il faut dans (6) remplacer Q(v) par IG(v)l 2

area N

(12) G(v) = ~ Ri o -i2nvAt �9 i = - N

Si on cherche les Ri d~finissant l ' approximat ion optimale G(v) de ~ / F ~ , on a exae tement le m~me

3/11

7~(v--f) (dans I v - fl < a) donne f fF (v )= D cos 2 ~

une fonction facile h ddvelopper en sdrie de Fourier

(les d~veloppements sont donnds darts la 16gende de

la figure 1). Dans les deux cas, on a choisi le coefficient de proport ionnal i t6 de fagon que l ' int~grale sur [ - - 1 / 2 At, 1]2At] de Q(v) ou ]G(v)[ ~ soit ~gale h 1. Les courbes out dtd tracdes avec N = 15 et

ANN. T~:LECOMMUNIC., 31, n ~ 5-6, 1976

182 E. B O I L E A U . -- T R A I T E M E N T S N U M ] ~ R I Q U E S A V E C U N E F O R M E Q U A D R A T I Q U E

a = 1/1,75 N A t . On a impos6 la condi t ion (10) pour toutes les figures. Le lobe principal est p ra t iquemen t

le m~me pour les deux courbes: Si on prend a plus petit , la hau teur du lobe principal augmente plus rap idement pour Q(v), mais il en est de m~me pour les lobes secondaires. Si d'ailleurs on compare les petites oscillations de Q(v) et IG(v)l~ (pas visibles sur la figure), o n constate qu'elles ont une ampl i tude plus faible pour IG(v)l ~.

Les courbes de la figure 2 (cas du probl~me B) ont 6t6 obtenues avec des gabarits F(v) tels que FvrF~

plus pet i t possible compatible avec uae ampli tude tol6r6e pour les oscillations.

11.3. F o r m e s impl i f i6e .

En ut i l isant la forme quadra t ique (3), on approche doric en gdn6ral un gabari t donn6 mieux qu 'en uti- l isant un ffitre, mais a p r i o r i on a besoin d 'avoir en mdmoire (ou de ealculer) des coefficients A , i en nombre beaueoup plus grand que les coefficients Rl du filtre.

11 ~ o~. oo. Q(v) """ ". '" . . . . . . . . . . �9 . . . . . . . . . . . . . . . ..__.-..

�9 ff

J

/is tt

i t

J

j /

f 1/2~t

Fro. 2. - - Comparaison de ]G(v)l ~ et Q(v) dans le eas oh on veut ~liminer les basses fr6queaces.

Pour Q(v), le gabarit est F(v) = o pour v c [0, f - - a],

pour v ~ I f - a, f + al,

= 1 pour v c

Dont les coefficients cg sont : 2

c o = 1 - - 2 f A l - - ~ a A t ,

clr k r : u sin u sin X + cos u cos X k:/:0,

avec X = 2 7:kfAt, u = 2rzkaAl .

Pour G(v) le gabarit est associ6 it go, donc d6veloppemeut donn~ par (25) et (29).

varie l in6airement de 0 h 1 darts [ f - - a , f § a], avec F ( v ) ~ 0 dans [0, f - - a ] et F (v)= 1 dans I f§ a, 1]2AI] (d6Veloppements donnds dans la 16gende de la figure 2).

O n ~ pris N = 10 et a = 1 / (3NAI) pour la eourbe

Q(v) et la eourbe [G(v)12 en pointffi6s. On eonstate une

suroscillation ne t t emen t moins impor tante pour Q(~) ; il faut prendre a environ 2 fois plus grand (la courbe

I G[ * en t ra i t in te r rompu correspond h a = 1/(1,5 NAt)) pour que ]GI 2 donne la m~me suroscillation que Q(v). Si on prend a plus petit , la suroscillation augmente plus r i t e pour I G] 2 que pour Q. Si on prend a plus grand, l ' avantage de la forme quadra t ique diminue don~, mais il est clair qu'orL eherche h prendre a l e

E n adop tan t la condit ion (11), il reste N(2 N + 1)

coefficients At1, alors qu ' en r e t enan t la condit ion R_~ = R l , on n ' a que (N + 1) coefficients R, h stocker.

Le temps de ealeul de ze est 6galement plus grand que eelui de g~e, sensiblement dons le mSme rapport�9

Toutefois, pour obtenir les B e , d~terminds eomme nous l 'avons vu h par t i r du gabarit , on peut se

eontenter d 'un seul coefficient A l l =/= 0 pour chaque valeur de i - - j . En ut i l i sant plus part icul i6rement les Aij avec i = 1 (on pourrai t aussi bien utiliser ceux de j = 1), on obt ient une factorisation de z, ce qui diminue le temps de calcul (et le rend 6gal au temps de calcul de y2) :

(14) z~= x e _ l v ( B o x ~ _ n - k B 1 X e _ N + I - V �9 B~Nxk+~r

ANN�9 TEL~COMMUNIC., 31, n ~ 5-6. 1976 4/11

E. B O I L E A U . T R A I T E M E N T S N U M I ~ R I Q U E S A V E C U N E F O R M E Q U A D R A T I Q U E 183

La parenth6se qui appara i t dans (14) est une fonc-

tion filtrde des x~, analogue ~ ye , mais ici il n 'y a

pas de relation de sym6trie entre les coefficients. On

peut d 'ail leurs se demander si, darts le cas du filtre,

il ne serait pas int6ressaut d 'ut i l iser au lieu de (14) un filtre du type

( 1 5 ) 95 = RO Xk - - ... -~- R 2 N + I Xk--(2N§

off (avec le crit6re des moindres carr6s), on n 'a plus

non plus de relation de symdtrie. I1 semble qu' i l

n 'en est rien, m~me en ut i l isant un crit~re mieux

adaptd au probl6me [7].

Si E(z) est ind6pendant du choix des A 0 v6ri-

fiant (8), avec des Be choisis comme nous l ' avons vu

(et de fa~on diffdreute suivant qu 'on adopte (11) ou

non), cela ne signifie pas que ce choix n 'a aucune

importance. Ce choix n 'es t indiffdreut que si on

d~termine E(z) avec un nombre suffisamment grand

d 'dchanti l lons ; au contraire, si on veut est imer E(z)

avec un pet i t hombre d '@hant i l lons (ou mfime avec

un seul dchantillon), on aura int6r~t h essayer de

profi ter de l ' ind6terminat ion des A~ t vdrifiant (8) et

(11) pour minimaliser la var iance de l ' e s t im a t i on ;

c 'est ce que nous examinerons au paragraphe IV.

I I I . C H O I X D U G A B A B I T

I I I . 1 . I n t r o d u c t i o n .

Pour l '61imination des fr6quences v < f (pro-

blbme B), le gabari t iddal est a priori ddduit de

l 'dchelon reprdsent6 dans [0, 1 /2A/ ] par un t ra i t

cont inu sur la figure 3 a. Toutefois, avec un d6ve-

O.5

k , Fs0')

FB(v)

i i i i

i I

I

i I i

f-a a 1 / 2 A -

Fza. 3. - - (a) Forme des gabarits utilisds dans le probl~me B. (b) D6riv~e de ces gabarits.

loppement du type (7), on approche real une fonction

ayan t une telle discontinuitd (ph~nom~ne de Gibbs) ;

on a des suroscillations de plus en plus fines h mesure

que N augmente, mais leur ampl i tude est h peu pr+s

inddpendante de N. On rdduit ces suroscillations en

ut i l isant un gabari t cont inf iment ddrivable h l 'ordre

le plus dlevd possible. En effet, dans le cas oh F(v)

a une d~riv6e continue d 'ordre p ddveloppable en

sdrie de Fourier, les coefficients ck du ddveloppement

de F(v) peuven t s 'obtenir par intdgration te rme h

terme et d6croissent en fonction de k (pour k assez

grand) au moins comme 1](2 ~zkAt)p ; l 'erreur faite en

suppr imant les ck pour [k] > N est donc d ' a u t a n t

plus pet i te que p est plus grand. Ce ra isonnement

pent se pr6ciser en examinan t la valeur de I (d6finie

par (9)), obtenue lorsque Q(v) est l ' approx imat ion

opt imale de F(v) ; si on n 'uti l ise pas la condit ion (10),

on a s implement

2 y~+ C2k �9 (16) I = ~ , ,

Si on utilise la condit ion (10), on a [7] :

co Ck 2 I 1 2 ,,."~t ~o

(17) I = At (2 N + 1) § 2,~,eUk~

Darts les deux cas, on aura doric int6r~t fi avoir

des ck tr6s peti ts pour k > N.

Les courbes de la figure 4, obteuues avee le gabari t

discontinu ddcrit prdcddemment i l lustrent bien cec i ;

avec le m~me hombre de coefficients que pour les

courbes de la figure 2 (N = 10), on constate aussi bien

pour Q(v) que pour [G(v)[ 2 des oscillations ne t t emen t

plus importantes . Avec ee gabari t discontinu, l ' avan-

tage de la forme quadra t ique est par ailleurs discu-

table : on a une meilleure approximat ion du gabari t

darts l ' in terval le off celui-ci est 6gal h 1, mais une

approximat ion moins bonne dans l ' in terval le off celui-ci est dgal h 0.

Nous nous proposons d ' examiner les r f su l ta t s

obtenus avee des gabarits var ian t de 0 h 1 entre

f - - a e t f + a, 6gaux h 0 pour v < [0, f - - a] et 1

pour v c I f + a, 1/2 At], comme le mont re la courbe pointillde sur la figure 3 a.

La ddriv(!e de ces gabarits Fn(v) est une fonction

qui darts [0, 1/2 At] est nulle, saufpour f - - a < v < f + a

(cf. Fig. 3 b ) ; on pent donc l 'ut i l iser pour ddfinir

un gabari t pour le probl6me A (pour f > a).

Nous envisageons plus par t icul i6rement des fonc-

tions y(v) de support [ - - a , a], paires, et telles que

(18) / ~ y(v)dv = 1.

Dans la p~riode [ - - 1 [ 2 A t , 1 /2At] , on peut en

ddduire l 'expression d 'un gabari t :

(19) FAO) = 1]2 At [Y0 - - f) + y(v -- f ] .

Le coefficient de proport ionnal i t6 a dtd choisi de

fa~on que la valeur moyenne soit 1, de sorte que,

si on n ' impose pas la condit ion (10), on a B o = 1,

5 / 1 1 ANN. TI~LECOMMUNIC., 31, n ~ 5-6, 1976

184 E . B O I L E A U . -- T R A I T E M E N T S N U M I ~ R I Q U E S A V E C U N E F O R M E Q U A D R A T I Q U E

Q ~GI 2

Q,

/ /

~ ~ ~ ' ~ - J ~ " ~ ' ~ ~ fat o.5 v~

Fro. 4. - - Comparaison de [G(~)I~ et Q(v) dans le cas du gabarit discontinu (probl~me B).

donc

fll2at (20) . / - l / 2 a t Q(v) dv = 1 ,

et la relat ion (6) donne s implement E(z) ~ y(f)At. Si on impose (10), on n ' a plus B o = 1 ; pour que

(20) soit vdrifi6e, il suffit de diviser Q(v) par B o (c'est-h- dire qu 'on divisera t o u s l e s Be par Bo).

La primit ive de y ( v - - f ) pour v > 0 d~finit sur

[ f - - a , f + a] un arc de courbe FB(~ ) sym~trique par rappor t au point (f, 1/2), qui donne un gabari t pour le probl6me B dans la p6riode fondamentale par :

(21) F~(v) = y(v - - f) - - y(v § f ) .

L'expression des coefficients ce des gabarits ainsi

ddfinis s 'obtient par la formule

t f l ] 2At (22) ce = A . / - l / 2 A t F(v) e -12~kvAt dv.

Pour les gabari ts F(v) associfis A une fonction y(x), les ce s ' expr iment faci lement en fonction des coeffi-

cients Ck(y) d~finis par :

f l [ 2 A t e_12~kxA t (23) Ck(y) = At J - l ]2At y(x) dx.

Pour le probl~me A (cas de (19)), on a :

(24) ck = cos (2 ~kfAt) 1 t Ck[Y].

Pour le probl~me B (cas de (21)), on a :

(25) c o = 1 - - 2 ~fAt, sin (2 gkfAt)

ce = r~kAt Ce[Y] (k # 0) .

Remarquons que les Ce(y) 6tant ind~pendants de f,

ils n ' o n t pas h ~tre recalcul~s lorsqu 'on fait varier f ; ceci permet d 'envisager l 'u t i l isa t ion de gabarits associ6s h des Ck(y) re la t ivement complexes; on les calcule une fois, et pour les diff6rentes valeurs de f, on en d6duit les ck par (24) on (25).

Dans le cas de l 'analyse spectrale, si on n ' impose

pas la contra inte (10), on a B~ = c~, et si on utilise la forme simplifi~e (14), on peut remarquer que zz est la partie r~elle de ~k calcul~e en uti l isant , au lieu des ck d~finis par (24), B k= ~e, off les ~k sont d~finis par

(24') ~k = e i2~kfAt 1

Les (2 N § 1) z'e obtenus pour f = k/(2 N + 1) At avec k : 0, 1, ..., 2 N ont l ' intdr~t de pouvoir se ealculer par les algorithmes de la t ransformat ion de Fourier rapide [8]. Nous retrouverons eette possi- bilitd dans un autre eas de forme simplifide [of. (64)].

III.2. Gabarits propos6s.

Les courbes de la figure 5 d6 te rminent l 'al lure des gabarits que nous consid~rons. Le gabar i t associ~ fi Y0 donne la fen6tre spectrale rectangulaire (dis- con t inue ) ; en ut i l i sant (23), on obt ient

sin u sin u Ck(Yo) -- 2 7~ka -- At - - - U

(29)

off :

(30) u = 2 7zka At.

On en d6duit facilement, pour la fen~tre t r iangu-

laire associ6e h Yl (fen6tre de Bart let t ) :

( s in u12~ (31) Ck(Yl)= A t \ u/2 } "

Pour n 1> 2, on a des fonctions Yn dont les ( n - - 1) premieres d~riv~es sont continues (nulles pour x = i a). I1 est facile de voir qu' i l existe un seul polyn6me pair Yn v~rifiant (18), qui peut s'~crire :

(32) Yn= An 1 - - a S / ,

ANN. T~ZL~COMMUNIC., 31, n ~ 5-6. 1976 6/11

E. BOILEAU. -- TRAITEMENTS NUMI~RIQUES AVEC UNE FORME QUADRATIQUE 185

r

- a

vo

/2a

i I

I I

a

Yl 1/a

-a 0 a

FIG. 5. - - F o n c t i o n s Yn"

- a 0

m,2

\ a

avec

(33) 2 n + 1

An+l -- 2 n An,

15 (34) A2 -- 16 a"

Pour ealculer les Ck(Yn) pour n i> 2, on peut d6velopper (32) et ddriver n fois ; on obt ient une fonction discontinue, mais qui peut se d6velopper en s6rie de Fourier ; les fonctions gn (n) (ddriv6es n-~me de

Yn sont des sommes de termes en (x[a)P, dont les contr ibut ions h Ck(Yn (n)) peuven t se calculer par r6currence :

(35)

V(--x~2q] = L s i n u I Ck[_\Cl/ A , u l 2 q ~ k [ ( ~ ) 2 q - l ~ ~2]CIAt ,

(36)

~ k E( - -~ )2q+I~ ~ 1 I [-/xk2q-] ~ C O S U U , ~

Les premiers termes de la rdcurrence sont :

sin u (37) Ck(1) kr: '

( x ) i ( s in u ) (38) C/r : ~ cos u - - �9

\

Nous nous contenterons d 'uti l iser y2 et Y3 (pour lesquels le calcul par rdcurrence ne s ' impose pas) ; o n a :

1 15[ (sinu ) l (39) ~ ~k(~/2) : ~ COS U - - sin u ,

\ 1 105 ~15 (s in u u ) - - (40) ~ ~k(Y3) : ~ - LU2" ~ U COS

sin u 6 - - + cos u . u

Pour n = 2 p ( p /> 1), on peut aussi utiliser

~P 1 + cos -- (41) ~2p = a

F vl 1 1 + ~ p C O S ~ - + . . .+ [zpcosp . (42) -- 2 a

La fonction ~2 d6finit la fenfitre de H a m m i n g ; la

fonction ~4 a une expression analogue, mais non identique fi celle de Blackman (qui est discontinue pour x = a ) ; on a :

(43) ~4 : 2 3 1 § ~ cos --a + 3 cos 27: .

Les coefficients [3p ... [zp s 'ob t iennent faci lement en

&r i va n t que ~2p, ainsi que ses p premieres d~riv~es d 'ordre pair, sont nulles pour x : a (les d~rivdes d 'ordre impair dtant cer ta inement nulles).

Les coefficients Ck(~q2v) s 'ob t iennent plus faci lement que les Ck(Yn), puisque

t 71: ~ X ( 44 ) ~2p - - 2 a2 L[~P s in n ~ + ... +

p [zp sin p ~ ,

et que

(45) C ~ I s i n qT:

Ainsi, on obt ient

1 (46) ~ Ck(~)2 ) = - -

1 (47) ~ ~ k ( ~ 4 ) -

xl 2 qT~ = ( - - 1)q +1 q27~2 - U 2 sin u.

sin u 7~ 2

u 71; 2 - - U 2

sin u 4 ~:4 U (7~ 2 - - U 2) (4 7~ 2 - - U2) "

Dans Ck(~2), le comportement en 1/u 3 (donnan t [~2] en 1/k a) n ' appa ra i t que pour k assez grand vis-h- vis de 1/2 aAl; or, nous allons voir qu 'on est amend h choisir a de l 'ordre de 1[2 NAt. La ddcroissance recherch6e n ' appa ra i t donc ne t t ement que pour

k >> N, et de ce point de rue , ~2 semble moins int& ressante que Yx. Par contre, l 'expression (46) est plus simple que (39) et la prdcision requise darts un calcul ut i l isant ~q2n sera moindre que dans un calcul ut i l isant

~]2n �9

I I I . 3 . Q u e l q u e s o b s e r v a t i o n s .

Nous avous tracd quelques families de courbes afin

de facititer, dans un probl~me particulier, le choix

parmi les gabarits ddfinis pr&ddemment .

La figure 6 montre, dans le cas du probl~me B,

les fonctions Q(~) obtenues avec les fonctions Y0, Yl,

Y2, Y3 et ~4 pour N = 10 e t a = l /NAt . On constate qu 'on obt ient bien, pour cette valeur de a, un front de montde de plus en plus raide avec l 'accroissement de l 'indice.

7/11 ANN. TI~LECOMMUNIC., 31, n e8 5-6, 1976


11 . . . . ~176 .~176176

/ a~ g

f~t

i i

v 3 t i , O.5

Fro. 6. - - Fonctions Q(v) obtenues avec les fonctions go, Yz, Y2, Y3, et ~4, avec a -- l l N A t et N = 10 (probl~me B).

'Q1

a.~t= 1.1_ / ~

;w : t

aAt= 1 _ 3N ~ '

~

0 - - - . . . . . . . . . ~ - ~ " " ' / ' / "" fst

v ~ t

O . 5

Fro. 7. - - Fonctior~s Q(v) obteaues avec la fonction Yz et diffdrentes valeurs de a (p?obl~me B).

La figure 7 mont re (en ut i l isant la fonction Yz et

N = 1 0 ) l 'dvolut ion de Q(v) en fonction de a ; quand on

diminue a, on obtient un front de mont6e de plus

en plus raide, mais 6galement des suroscillations de

plus en plus importantes . I1 est clair que, quel que

soit le gabari t utilis6, lorsque a - + 0, on obt ient la

fonction Q(v) de la figure 4 correspondant au gabari t

discontinu (y = 8). En principe, on pourra choisir la

valeur de a la plus pet i te compat ible avec une valeur

tot6r6e de la suroscillation. L ' avan tage des indices

61evds est alors moins net que dans le cas de la figure 6,

car les suroscillations augmenten t plus r i t e lorsque

l ' indice de la fonction utilis6e est plus grand.

Les figures 8 et 9 donnent des courbes analogues

aux prdc6dentes dans le cas du probl~me A. Pour la

figure 8, on a N = 15 et a = 1]2 N A t . On remarque

que yz donne pa radoxa lement une oscillation plus

impor tan te que Ya �9 La figure 9 montre , avec la fonc-

t ion Yl, l '6volut ion en fonction de a ; on constate que l ' augmenta t ion des oscillations devient relati-

v e m e n t impor tan te , plus r i t e que pour le probl6me B.

Nous avons 6galement essay6 de comparer les

courbes obtenues avec Y2 et ~ , mais la diff6rence

est faible. Pour les peti tes valeurs de a (qui sont

les plus int6ressantes), c 'est ~]e qui donne des r6sultats

ldg6rement meilleurs (a ~< 112 Nt), et si on augmente

a la s i tuat ion s ' inverse. Le calcul des coefficients

(~k(~) dtant plus rapide que celui des Ck(y2) , on peut

dire que la fonction Y2 est moins int6ressante que ~]2.

La figure 10 mont re les fonctions Q obtenues avec

ye, a = 1/3 N A t et respec t ivement N = 5, 10 et 30.

On constate que pour une valeur fix6e de a N A t ,

l ' ampl i tude de Ia suroscillation est sensiblement

ind~pendante de N (comme dans le cas du gabari t

discontinu).

En conclusion, on peut souligner d 'une par t que

l ' avan tage de l 'u t i l isat ion d 'une forme quadra t ique

disparai t dans le cas du probl6me A, et d 'au t re par t

qu 'on a ne t t emen t int6r~t h dviter les gabarits dis-

continus. Par contre, l 'emploi de gabarits ayant plu-

sieurs d6riv6es continues ne s ' impose que si on cherche

une tr~s bonne pr6cision ; on est alors amen6 h avoir

une coupure d6finie ~ A~ pros avec A~ ~ 2 / N A t

(cf. Fig. 6 off a = 1]NAt) , ce qui d6termine N si on

s ' impose ce Av.

ANN, T~L~COMMUNI(:., 31, n ~ 5-6, 1976 8/11

E. B O I L E A U . -- T R A I T E M E N T S N U M I ~ R I Q U E S A V E C U N E F O R M E Q U A D R A T I Q U E 187

I ,

lo,

~ 2

_. o . . . . ~

01

"" 0.5 v~t,

Fro. 8. - - Fonctions Q(v) obtenues avec g l , g~ et g3, a = 112 N A t et N = 15 (probl~me A).

2 0

10

'Q1

I i , i '" . . . - - - - ~ a / ~ t " 1 - -

.- , , . N

o . . . . . . . . . . . k . . . . . . . . . . . . . . f~t \ ] - ' - ' . . . . . . . . . . . . (15

F I 6 . 9. - - - F o n c t i o n s Q ( v ) o b t e n u e s a v e c la f o n c t i o a Yl e t d i f f 6 r e n t e s v a l e u r s d e a ( p r o b l ~ m e A ) .

IV . V A R I A N C E D E L ' E S T I M A T I O N

I V . 1 . D i f f 6 r e n t s c a s ~ e n v i s a g e r .

Nous nous sommes int~ress~s j u s q u ' i c i h la pre-

cision avec l aque l le E(z) p e r m e t d ' a p p r o c h e r

f l / 2 A t (48) d = . / - l / 2 A t y(v) F(v) d r ,

oh F(v) est un g a b a r i t d o n t le cho ix a 6t6 d iscutd

en I I I . Nous al lons m a i n t e n a n t e x a m i n e r si on p e u t

p ro f i t e r de l ' i n d 6 t e r m i n a t i o n r encon t rde en I I p o u r

amdl io re r l ' e s t i m a t i o n de E(z).

P o u r e s t ime r E(z), on dd te rmine a p r i o r i un cer-

t a in n o m b r e q d ' 6chan t i l l ons zk c o r r e s p o n d a n t h des

s6ries diffdrentes de p 6chant i l lons x~, et on ca lcu le ra

la m o y e n n e :

q 1 k~__ j zk. (49) M(z) = q

Si on utilise le processus simplifid d6fini par (14),

on voit que :

(50) M(z) = B o M(x 2) + B1M(x~x~+I) + ... +

B 2 N M ( X t X~+2N) .

A v e c des ponddra t i ons diff~rentes, on p e u t ~crire

une fo rmule ana logue si on r e m p l a c e (14) p a r (3),

p o u r v u que x soi t s t a t i onna i r e et du second o r d r e ;

l ' opd ra t i on fa i te d q u i v a u t h e s t ime r E(z) p a r une

c o m b i n a i s o n l indaire d ' e s t imdes des Fk ddfinis p a r (5).

Si on v e u t e s t ime r E(z) p o u r p lus ieurs va leu r s de f,

il f a u d r a u t i l i ser p lus ieurs s~ries de coeff icients

B o , B 1 , . . . , B 2 N , et il semble p re fe rab le (plus rap ide)

d ' e s t i m e r ces Pk (k = 0, 1, ..., 2 N), puis les diff~rents

E(z) pa r (50), p l u t 6 t que d 'u t i l i s e r p lus ieurs s~ries de

Zk , puis (49). Mais ce t t e possibi l i t~ d i spa ra i t si E (x ~)

est infini , et ce cas nous int~resse t o u t pa r t i cu l i6 -

r e m e n t [4]. L i m i t o n s - n o u s ici h cons id~rer le cas off

9/11 ANN. TELECOMMUNIC., 31, n ~ 5-6, 1976


'Q2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * - == =~ l - ~ - -

~ . . ~ _ ~ - - - _ ~ - ' . . " " " • - - . , . . . . . . . . . . . . . . -. f ..,* " " . . . . . . =

Nffi30 t t ...*~ N=5 l . /"

I~ : . '~N=IO t :

p..'

/ ...-~

."t : t

. . ' : /

f a t O.5

FIG. 10.-- Fonctious Q(v) obtenues avec la fonction /12 et a = 1]3 NAt pour diff~rentes valeurs de N (probl~me B).

E(x 2) est fini, mais beaucoup plus grand que les variances que l 'on cherche fl ddterminer (cas de

spectres en l/[via pour 0~ > 1 avec une coupure en tr~s basse frdquence). Cela signifie que pour ddterminer E(x2), il rant des mesures de duroc beaucoup

plus longues que celles qui sont n~cessaires pour Posons ddterminer les E(z) consid~rds.

Nous ne supposons plus, h present, qu 'on utilise le (55)

processus simplifid (on suppose qu 'on n 'es t pas limit~ o n a

par les moyens de calcul), ct nous cherchons h min ima- liser la variance de l 'es t imation. Il y a alors lieu de (56)

dist inguer dcux cas. Si on dispose d ' un nombre total d '~chanti l lons xi

grand vis-h-vis de la port~e 2 N + 1 choisie (en fonc- t ion de la r6solution d6sirde), on pourra utiliser dans (49) q assez grand pour qu 'on puisse considdrer cette opdration comme une int6grat ion forte. En d6signant par Gi(v) le gain de ce filtrage et par yz(v) la densit6 spectrale du processus centr6 zn-E(z), la variance de l 'es t imat ion est

Y~ll2At (51) a 2 = At J - l ] 2 A t "~z(V) [Gl(V)12 dr ,

/"l]2At "Yz(O) At. At yz(O) / _ I ] 2 A t IGI(v)12 dv = q

Nous voyons qu 'on aura i t int6rfit fl minimaliser yz(0), alors que, dans le cas contraire off on ne dispose que d ' un hombre d 'dchanti l lons xl de l 'ordre de 2 N + I ,

il serait int~ressant de minimaliser la variance de z. off En posant

(6O) (52) (rz)k = E {IZn - - E(z) I I~.+~-- E(z)l),

= E(zn Zn+k) - - E2(Z) ,

o n a -"

+,,o

(53) yz(0) = Z (Fz)k, k=--co

alors que la variance de z s'dcrit (l 'z)0. Dans les deux cas, en u t i l i sant (3), la variance de

l ' es t imat ion s 'exprime en fonction des moments d 'ordre 4 du processus x dtudi6 (qne nous supposons

centre). Pour cont inuer la discussion, nous supposons

que ce processus est gaussien. On obt ient alors :

N

(54) (Fz)k = ~_a Aij A~T(Fk+t'_ I F~:+/,_/+ i,it,j,j',:--N

Fk+l ' - j Fk+j'_~) �9

(Pz)k = ~, DkpqI~p Fq ,

p<q

Dkp q = 2 ~ Aig(Al~p_k,g:kq_k + tj

Ai:i:q-k Ai:kp-k) (P :~ q),

(57) D~v p : 2 ~, AigAl•177 ij

Dans ces deux formules, s i p (ou q) est nul, le -k disparait f ividemment ; on a par exemple :

(58) Dk0o = 2 ~ A~g Ai-kd-k �9 i j

IV.2. Cas de l'int6gration forte.

Nous cherchons les Atj v6rifiant (8) et min ima- l isant :

(59) yz(0) = ~ DkpqFpFq, kpq

= ~ DpqFpFq , pq

Dpq = ~ Dkpq. k

En reprenant (56), nous voyons que les Dpq sont

des sommes de termes de la forme

(61) ~ Atj At:kp-kj-4-q-k, ijk

= ~ AiiBi-g:t:pt=q, ii

= ~.~ BlBl• I

Les coefficients Dvq s ' expr imant en fonction des

ANN. T~L~COMM~NIC., 3 | , n ~ 5-6, 1976 10/11

E. BOILEAU. -- TRAITEMENTS NU~'VIERIQUES AVE(] UNE FORME QUADRATIQUE 189

B k , on peut choisir a rbi t ra i rement les A,j (pourvu

qu'i ls vdrifient (8)), sans changer la variance. Eu particulier, on peut utiliser la forme simplifi(e.

IV.3. Cas oh o n veut m i n i m a l i s e r (Pz )o .

En ut i l i sant les formules (55) et (57), (Fz)o apparai t comme une forme quadrat ique des A~j, dont les coefficients s ' expr iment en fonction des Fp . Nous allons voir que, si on a certaines informations sur ces l ' p , il est possible de minimaliser cette forme quadra t ique avec les contraintes (8) (oh les B k sont connus).

Examinons d 'abord le cas oh le temps de corrd-

la t ion Tc du processus x est tr~s petit vis-h-vis de At (bruit p ra t iquement b lanc ) ; on peut considdrer que

(62) (Fz)o ~ Dooo 17~,

Doo o - 2 ~ A~j.

On obt ient les Agj qui minimal isent Doo o avec les contraintes (8) en dcrivant ~Doo o = ~ kk ~Bg, d'ofi

k

(63) 4 Az,g+k = kk.

Nous obtenons des A/j dgaux sur une m6me paral- 161e h la diagonale principale, donc

Be (64) Ai,~+k-- 2 N m 1 -- [k["

Dans ce cas, on n ' a donc que les B k h conserver en mdmoire, comme dans le cas de la forme simplifide (14), mais le nombre de termes h calculer ici n 'es t pas rdduit. Des simplifications (le calcul notables appara i t ron t toutefois par mises en facteurs ; (3) peut s'4crire ici zk = ~, Bn Pn , off les Pn sont des sommes de termes Xk+i Xk+i+n, qui ne ddpendent pas de f. Cette forme est par t icul i6rement int@essante dans le cas de l 'analyse spectrale si on n ' impose pas la

contra inte (10), car on peut utiliser (24') et les algo- r i thmes de la t ransform@ de Fourier rapide.

Si on connai t la forme de la fonction de corrdlatiou, on a F p = ~ p F o , off les ~p sont connus. On peut donc exprimer (Fz)0 comme forme quadra t ique connue des Aij et ddterminer de faqon analogue par un syst6me lindaire les A~j qui minimal isent (Fz)o avec les contraintes (8). On peut toujours se ramener h ce cas en faisant une i)remi+re est imation des coetTmients [ ' p .

V. C O N C L U S I O N

Nous avons vu qu 'avec un formalisme ldg6rement plus gdndral que le formalisme compor tan t un filtrage lindaire, on peut no tab lemen t amdliorer le t ra i t ement numdrique utilisd pour dtudier les f luctuations de la

frdquence d 'un oscillateur. Nous utilisons le crit6re des moindres carrds pour

approcher au mieux un gabari t coupe-bas. Le rdsultat est ne t t ement meilleur en ut i l isant un gabari t continu.

La forme simplifide du processus que nous ddfi- nissons est par t icul i6rement avantageuse, car elle ne ndcessite pas un temps de caIcul plus imporLant que les processus antdrieurs.

On peut eavisager d 'employer la mdthode que nous proposons clans d 'autres probl6mes, n o t a m m e n t l ' es t imat ion de la densitd spectrale par l ' intermddiaire

de la fonction de rdpart i t ion spectrale. Au contraire, si on cherche h isoler des intervalles de frdquence dtroits, notre mdthode n 'es t pas meilleure que celle

qui utilise un filtre lindaire.

Manuscril refu Ie 10 j u in 1976.

BtBLIOGRAPH 1E

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l l / l l ANN. TI~LI~COMMUNIC., 3t, n ~ 5-6, 1976

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Optimalisation de certains traitements numériques avec une forme quadratique