Bericht Nr. 1122 / 03

Optimierungsverfahren in der Energieversorgung

(Literaturstudie)

Im Rahmen des Graduiertenkollegs “Lokale Innovative Energiesysteme“

Bearbeiter: Dresden, 14. 1. 2003

Dipl.-Ing. Matthias Hable

Technische Universität Dresden Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Elektrische Energieversorgung und

Hochspannungstechnik Technische Universität Dresden

I E E H

2

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung .................................................................................................... 4

2 Übersicht ....................................................................................................... 5

3 Spitzenlastverringerung............................................................................... 7

4 Lastmanagement........................................................................................... 9

5 Einsatzoptimierung von BHKW ............................................................... 10

5.1 BHKW-Betrieb in Nahwärmesystemen ................................................................... 10

5.2 Stromgeführter BHKW-Betrieb ............................................................................... 11

5.3 Wärmegeführter BHKW-Betrieb ............................................................................. 12

5.4 Faulgasgeführter BHKW-Betrieb ............................................................................ 12

5.5 Parameter von BHKW-Anlagen............................................................................... 12

6 Gemischt ganzzahlig lineare Programmierung....................................... 14

6.1 Funktionsweise der GGLP ....................................................................................... 14

6.2 Bezugsoptimierung im liberalisierten Energiemarkt................................................ 18

6.3 Betriebsoptimierung von Kraftwerksanlagen........................................................... 19

6.4 Berücksichtigung von Wasserspeicherkraftwerken ................................................. 19

6.5 Anwendungen für große Systeme ............................................................................ 20

6.6 Kombinationen mit Lagrange-Relaxation................................................................ 21

6.7 Weitere Anwendungen............................................................................................. 21

7 Lagrange-Relaxation.................................................................................. 23

7.1 Prinzip ...................................................................................................................... 23

7.1.1 Konvexität ........................................................................................................ 23

7.1.2 Lösung ohne Nebenbedingungen ..................................................................... 25

7.1.3 Lösung mit Gleichungsnebenbedingungen ...................................................... 25

7.1.4 Lösung mit Ungleichungsnebenbedingungen .................................................. 27

7.1.5 Einsatzbedingungen ......................................................................................... 29

7.2 Mittelfristige Einsatzplanung hydrothermischer Verbundsysteme .......................... 29

3

7.3 Kurzfristige Einsatzplanung hydrothermischer Verbundsysteme............................ 30

7.4 Berücksichtigung der Ausfallwahrscheinlichkeit thermischer Kraftwerke ............. 31

7.5 Einsatzplanung von Kraftwerken mit Kraft-Wärme-Kopplung............................... 32

7.6 Weitere Anwendungen............................................................................................. 33

8 Evolutionäre Algorithmen ......................................................................... 35

8.1 Einführung................................................................................................................ 35

8.2 Genetische Algorithmen zur Einsatzoptimierung von Kraftwerken ........................ 35

8.3 Kombination evolutionärer Algorithmen mit Lagrange-Optimierung..................... 36

8.4 Kombination evolutionärer Algorithmen mit anderen Optimierungsverfahren....... 38

8.4.1 „Kulturelle Evolution“ ..................................................................................... 38

8.4.2 Kombination mit Tabusuche und „simulated Annealing“ ............................... 38

8.4.3 Diploide Genotypen ......................................................................................... 39

8.5 Dezentralisierte Koordinierung ................................................................................ 40

8.6 Multikriterielle Optimierung .................................................................................... 41

8.7 Weitere Anwendungen............................................................................................. 42

9 Weitere Verfahren...................................................................................... 45

9.1 Künstliche neuronale Netze ..................................................................................... 45

9.1.1 Einführung........................................................................................................ 45

9.1.2 Einsatzoptimierung von Wasserkraftwerken ................................................... 45

9.1.3 Einsatzoptimierung von thermischen Kraftwerken.......................................... 46

9.2 Interior-point Methoden ........................................................................................... 46

9.3 Degenerierte Lösungen bei linearer Optimierung.................................................... 47

9.4 Auktionen und Wettbewerb ..................................................................................... 47

9.5 Tabusuche................................................................................................................. 49

9.6 Fuzzy Logik.............................................................................................................. 49

10 Literaturverzeichnis ................................................................................... 51

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1 Einführung In diesem Bericht wird eine Literaturstudie zu Optimierungsverfahren in der Elektroenergieversorgung durchgeführt. Verschiedene in der Praxis eingesetzte oder theoretisch untersuchte Optimierungsverfahren werden kurz vorgestellt. Ziel ist es, einen Überblick über die bisher in der Energieeinsatzoptimierung (im weiteren Sinne) in der Energieversorgung eingesetzten Algorithmen, Verfahren und Optimierungsmethoden zu erhalten. Ihre Eigenschaften und Einsatzgebiete werden dargestellt. Damit soll ein Überblick über den gegenwärtigen Stand des Einsatzes von Optimierungsverfahren in der Energieversorgung gegeben werden.

Werden Beispielenergiesysteme mit angegeben oder interessante Daten genannt, so werden diese ebenfalls mit angegeben.

Die Gliederung erfolgt entsprechend der Arten der Optimierungsverfahren.

5

2 Übersicht Für den Einsatz von Kraftwerken (ohne und mit Speicherverhalten) werden nach [1, S. 1-21] die folgenden Optimierungsverfahren eingesetzt:

Heuristische Verfahren

bauen auf Erfahrung und Vorwissen auf

- keine Flexibilität

- ohne Konvergenzbeweise

Dynamische Programmierung

Lösungsstrategie erforderlich

+ Behandlung nichtlinearer und nichtstetiger Probleme möglich

- kein standardisiertes Verfahren

Lagrange Relaxation

+ standardisiertes schnelles Lösungsverfahren

- nur für konvexe Lösungsräume anwendbar

Lineare Programmierung

+ standardisiertes Verfahren

- nur auf lineare Probleme in konvexen Lösungsräumen anwendbar

Gemischt ganzzahlige lineare Programmierung

+ nichtlineare, nichtkonvexe und nichtstetige Probleme werden stückweise linearisiert gelöst

+ diskrete Variablen zulässig

- hoher Rechenaufwand

6

niedrig mittel hoch

Anf

orde

rung

en a

n di

e M

odel

lbild

ung

Simulation oderheuristisches Verfahren

manuelle Planung

nied

rigm

ittel

hoch

Rechenaufwand (Größe des Optimierungsproblems

mathematischeOptimierungsverfahren

Lagrange-Relaxation

GGLP

Lineare Prog.

DynamischeProg.

Bild 2.1 Optimierungsverfahren in Abhängigkeit von Modellgenauigkeit und Rechenaufwand [1, S. 11]

Häufig wird in der englischsprachigen Literatur zwischen „Unit commitment“ und „Economic dispatch“ unterschieden. Unter „Unit commitment“ wird die Entscheidung verstanden, welche Kraftwerke in einem bestimmten Intervall eingeschaltet werden bzw. welche aus bleiben. Mit dem „Economic dispatch“ wird dann die Aufteilung der zu versorgenden Leistung auf die eingeschalteten Kraftwerke vorgenommen [2]. Es erscheint jedoch sinnvoll und wird häufig auch so realisiert, „Unit commitment“ und „Economic dispatch“ miteinander zu kombinieren und in einem Schritt die Leistungszuweisung vorzunehmen unter der Nebenbedingung, dass jedes Kraftwerk mindestens mit seiner Mindestleistung betrieben werden muss. Alle Kraftwerke, die nicht diese Leistung zugewiesen bekommen, werden automatisch ausgeschaltet und die entsprechende Leistung auf die anderen aufgeteilt. Damit enthält das Verfahren des „Economic dispatch“ bereits das „Unit commitment“.

7

3 Spitzenlastverringerung Um einen Kunden mit Energie zu versorgen, muss ein Energieversorger zwei Bedingungen erfüllen. Er muss in der Lage sein, die benötigte Leistung zum Kunden zu transportieren. Dafür wird ein entsprechend ausgebautes Leitungsnetz und eine entsprechend große Kraftwerkskapazität benötigt. Zum Anderen muss der Energieversorger die gewünschte Arbeit liefern. Dies verursacht einen bestimmten Brennstoffverbrauch in den Kraftwerken. Beide Aufgaben verursachen dem Energieversorger Kosten, welche er dem Kunden in Rechnung stellen muss. Die Gesamtkosten berechnen sich demzufolge nach (2.1):

∫ ⋅+⋅= WPges KdttPPKK )(min15max max (2.1)

mit Kges – Gesamtkosten im Abrechnungszeitraum (€)

KPmax – Leistungspreis (€/kW)

Pmax 15min – mittlere Leistung im 15-min-Intervall der höchsten Leistung (kW)

P(t) – Leistungsaufnahme (kW)

KW – Arbeitspreis (€/kWh)

Für ein Unternehmen besteht also ein Anreiz sowohl die während des Abrechnungszeitraumes aufgenommene Arbeit zu minimieren als auch die 15-min-Spitzenleistung.

Um diese Spitzenlastaufnahme zu reduzieren werden verschiedene Verfahren angewendet.

• Begrenzung des Motoranlaufstromes

• Lastmanagementsysteme zur Spitzenlastreduzierung

Einfache Maximumwächtersysteme [3, S. 175 – 184, 178] schalten bei Überschreiten einer vorgegebenen Spitzenleistung so viele Verbraucher ab, dass die Leistungsaufnahme wieder unter den Grenzwert sinkt. Die Reihenfolge der Verbraucherab- und –zuschaltung wird durch eine Prioritätenliste bestimmt. Da die Abschaltung beim Auftreten einer Lastspitze bis zum Ende des Tarifintervalls (meist 15min) erfolgt, können nur Verbraucher abgeschaltet werden, auf die längere Zeit und ohne vorherige Ankündigung verzichtet werden kann.

Um diese Nachteile vermeiden zu können, werden prozessrechnergesteuerte Lastmanagementsysteme eingesetzt [3, S. 175 – 184, 178ff.]. Für dieses Lastmanagement sind insbesondere Geräte mit Speicherverhalten geeignet, z. B. Klima- und Kühlanlagen, Heizungen, Kompressoren. Für die in das Lastmanagement einbezogenen Verbraucher werden die wichtigen Kenngrößen (u. a. minimale und maximale Taktzeiten beim Schalten, mögliche Schalthäufigkeiten (Heizgeräte können öfters geschaltet werden als Kompressoren [3]), Sperrzeiten) ermittelt. Der Prozessrechner (häufig eine SPS) ermittelt den Systemzustand und den Verlauf der Last. Aus den Lastwerten der Vergangenheit wird ein Trend ermittelt. Wird entsprechend dieses Trends die zulässige Spitzenleistung voraussichtlich überschritten, so werden die Verbraucher, abhängig von ihren Kenndaten und ihrer Leistungsaufnahme in der Vergangenheit sowie der geplanten Nutzung in der Zukunft, in eine Rangliste eingeordnet. Entsprechen dieser Rangliste erfolgt die Ab- und Zuschaltung der Betriebsmittel.

8

Eine Staffelung der Einschaltzeiten vermeidet außerdem durch gleichzeitiges Einschalten entstehende Lastspitzen.

Viele moderne elektrothermische Geräte verfügen bereits über eine sogenannte Energieoptimierungsschnittstelle zur einfacheren Einbindung in ein Lastmanagementsystem [3, S. 181].

9

4 Lastmanagement Neben der Spitzenlastverringerung (Kapitel 3) kann das Lastmanagement auch zur Verringerung der vorzuhaltenden Reserveleistung eingesetzt werden [4].

Es werden drei verschiedene Systemzustände unterschieden [4, S. 859]

• sicherer Status

Alle Sicherheitsrandbedingungen werden erfüllt. Der Ausfall eines beliebigen einzelnen Elementes führt nicht dazu, dass der sichere Status verlassen wird.

• Grenzstatus

Alle Bedingungen sind innerhalb ihrer zulässigen Grenzen und alle Sicherheitsrand-bedingungen werden erfüllt. Der Ausfall eines einzelnen Elementes führt dazu, dass das System in den Risikostatus übergeht.

• Risikostatus

Die Sicherheitsrandbedingungen sind nicht mehr erfüllt. Einige Betriebsmittel arbeiten bereits außerhalb ihrer Betriebsgrenzen.

Im Normalfall ist eine entsprechende Reserveleistung vorzuhalten, die sicherstellt, dass das System sich immer im sicheren Status befindet. Das heißt, es muss mindestens die Leistung des größten Blockes im System als Reserveleistung vorgehalten werden. Werden abschaltbare (oder auch steuerbare) Lasten mit in die Reservehaltung einbezogen, so kann die Reserveleistung deutlich verringert werden. Tritt ein Fehlerfall auf, so wird die entsprechende Last durch das Lastmanagement abgeschaltet. Damit verbleibt das System im sicheren Status. Für das Hochfahren einer zusätzlichen Reserveleistung verbleibt nun genügend Zeit. Die Lastabschaltung muss schnell erfolgen, da die Kosten für nicht gelieferte Leistung sehr hoch sind (z. B. für Kanada 2,3 bis 6,2 $/kWh [4, S. 862]).

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5 Einsatzoptimierung von BHKW Blockheizkraftwerke (BHKW) erzeugen sowohl Wärme- als auch Elektroenergie. Dies führt zu einer deutlich schwierigeren Optimierungsaufgabe. Die erzeugten Wärme- und elektrischen Leistungen können nicht unabhängig voneinander eingestellt werden. Daher ist zu entscheiden, ob das Kraftwerk wärmegeführt oder stromgeführt betrieben werden soll. Wärmegeführter Betrieb heißt, es wird entsprechend dem Bedarf Wärme erzeugt. Die dabei entstehende Elektroenergie wird entweder ins Netz eingespeist oder bei fehlendem Bedarf an einer Dummy-Last „verbraten“. Bei stromgeführtem Betrieb wird das BHKW entsprechend dem Bedarf an elektrischen Strom betrieben. Die entstehende Wärme wird entweder direkt in den Heizkreis eingespeist, in einem Wärmespeicher gespeichert oder über einen Kühler abgeführt. Da einerseits die elektrische Energie meist zu einem höheren Preis verkauft werden kann und andererseits die Speicherung von Wärme (oder gegebenenfalls Kälte) wesentlich einfacher ist als die Speicherung elektrischer Energie, werden BHKW häufig stromgeführt betrieben.

Insbesondere bei der Verwendung von Speichern und dem Betrieb im Zusammenwirken mit anderen Kraftwerken ergeben sich weitreichende Möglichkeiten zur Optimierung des Einsatzes von BHKW. Einige sollen in den folgenden Kapiteln vorgestellt werden.

5.1 BHKW-Betrieb in Nahwärmesystemen In [5, S. 195-204] wird ein Optimierungsverfahren für den Betrieb eines BHKW in einem kommunalen Wohnpark mit ca. 150 Einfamilien- und 40 Mehrfamilienhäusern in Brühl vorgestellt [5, S. 198]. Die Häuser werden entsprechend ihrer Konstruktion in verschiedene Typklassen eingeteilt. Abhängig von der Außentemperatur wird eine Ganglinie des Wärmebedarfes erstellt. Zur Deckung des Wärmebedarfes stehen zur Verfügung:

• 2 Gasheizkessel (je Pth=1250kW, minimale Leistung Pth min=375kW

• 2 BHKW-Module (je Pel=657kW, Pth=865kW)

• 2 Warmwasserspeicher (je 40m3)

Das Wärmebedarfsprofil und die Jahresdauerlinie werden durch Simulation unter Verwendung der CARNOT-Toolbox für Matlab erstellt [6]. Diese Toolbox ermöglicht das Untersuchen und Simulieren von thermischen Anlagen auf eine einfache Weise. Die Anlagen können aus vorgefertigten Blöcken unter Simulink zusammengebaut werden. Parameter können einfach verändert werden. Die Toolbox kann modular erweitert werden. Anhand verschiedener Simulationsläufe wurde ein regelbasiertes Einsatzkonzept erarbeitet, welches eine optimale Nutzung der BHKWs erlaubt.

Das Regelwerk sieht bei einer Wärmeanforderung zuerst eine Entladung des Wärmespeichers vor, wenn das BHKW nicht in Betrieb ist. Ist der Speicher leer, erfolgt die Zuschaltung der Gasheizkessel. Das BHKW wird von den Stadtwerken Brühl zur Spitzenlastabsenkung stromgeführt betrieben. Ist es in Betrieb, so wird die Abwärme in das Wärmenetz eingespeist.

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Der Überschuss wird zum Laden des Speichers genutzt. Ein verbleibender Wärmeüberschuss wird über einen Kühler abgeführt.

Im Sommer kann es bei geringer Wärmeanforderung mit dieser Regelung zu einem oszillierenden Betrieb der Kessel kommen. Daher wird bei geringem Bedarf das Regelwerk verändert. Die Gasheizkessel werden dann nicht zur direkten Versorgung der Last genutzt sondern laden den Speicher. Aus diesem wird dann der Wärmebedarf gedeckt. Dies führt zwar zu einem geringeren Wirkungsgrad der Wärmeversorgung, was jedoch durch eine deutlich kürzere Betriebszeit der Heizkessel und weniger Starts mehr als kompensiert wird.

5.2 Stromgeführter BHKW-Betrieb Werden BHKW stromgeführt in einem größeren Energiesystem betrieben, so treten sie in Konkurrenz zu anderen Erzeugern elektrischer Energie. Ihr Einsatz ist nur dann wirtschaftlich sinnvoll, wenn ihre Erzeugungskosten niedriger liegen als die anderer ungenutzter Kraftwerke. Für die Berechnung der Wirtschaftlichkeit ist die [7] zu Rate zu ziehen. Da BHKW häufig als Mittel- oder Spitzenlastkraftwerke betrieben werden, sorgen sie für eine Verringerung der Spitzenbezugsleistung beim Betreiber. Dies schlägt sich in einem geringeren Leistungspreis (Gleichung Gesamtkosten siehe (2.1)) nieder. Da der Betrieb von BHKW teurer ist als die Erzeugung von Strom mit Grundlastkraftwerken, ergibt sich eine maximale wirtschaftliche Betriebszeit (Grenzlaufzeit). Für eine längere Laufzeit ist der Betrieb unwirtschaftlich. Nach [8, S. 205-213, S. 208] berechnet sie sich zu

4444 34444 214434421

321

ponenteArbeitskom rtesubstituieonenteBezugskomp

omponenteLeistungskrtesubstituie

11NTANTHTAHT

ges

Br

p

BHKW

PpeakG

KfKfK

KPP

t

−− ⋅−⋅−

+⋅

⋅=

ησ

(2.1)

mit tG – Grenzlaufzeit

PPpeak – BHKW-Leistung, die zur Senkung der Leistungsspitze eingesetzt wird

PBHKW – installierte BHKW-Leistung

Kp – Leistungspreis

KBr – Brennstoffpreis

KA-HT/NT – Arbeitspreis für Hoch- bzw. Niedertarifzeit

fHT/NT – Anteil an Gesamterzeugung in Hoch- bzw. Niedertarifzeit

ηges – Brennstoffausnutzungsgrad des BHKW

σ - Stromkennzahl

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5.3 Wärmegeführter BHKW-Betrieb Ein Beispiel für den wärmegeführten BHKW-Einsatz ist in [9, S. 57-68] gegeben. Bei dieser Anlage in Baden Württemberg werden die BHKW vorrangig zur Wärmeversorgung eingesetzt. Der dabei erzeugte Strom wird entsprechend der Erzeugung ins Netz eingespeist. Ziel der Betriebsüberwachung ist die Sicherstellung der Wärmebedarfsdeckung sowie die Erzielung möglichst langer Laufzeiten der BHKW-Module [9, S. 57].

5.4 Faulgasgeführter BHKW-Betrieb Ein interessantes Betriebsführungsregime, dessen Bedeutung in der Zukunft sicherlich noch zunehmen wird, ist in [10, S. 69-86] erläutert. Das BHKW befindet sich in einem Klärwerk. Das bei der Klärung entstehende Faulgas wird aufgefangen und dem BHKW zugeführt. Für den Fall, dass zu wenig Faulgas entsteht, kann das BHKW auch mit Erdgas betrieben werden. Überschüssiges Faulgas wird in einem Speicher (30MWh) aufgefangen bzw. bei vollem Speicher abgefackelt. Für die gegenwärtig zunehmende Nutzung von Biogas stellt diese Fahrweise eine untersuchungswürdige Alternative dar.

Beim faulgasgeführten Betrieb wird das BHKW unabhängig von Wärme- und Elektroenergiebedarf so betrieben, dass das anfallende Faulgas maximal ausgenutzt wird. Bei den anderen Fahrweisen (stromgeführt und wärmegeführt), die ebenfalls untersucht wurden, muss während der kalten Jahreszeit teilweise Erdgas zusätzlich bezogen werden. Während der warmen Jahreszeit wird dann überschüssiges Faulgas abgefackelt. Für die Faulgasbereitstellung wurde ein Arbeitspreis von 1c/kWh, für den Erdgasbezug von 2,3c/kWh angenommen [10, S. 74].

Im Vergleich der unterschiedlichen Fahrweisen erzielte für die gegebenen Umgebungsbedingungen (Strom-, Wärmebedarf u. a.) die stromgeführte Fahrweise die niedrigsten Gesamtkosten über den Optimierungszeitraum von einem Jahr [10, S. 81]. Die Kosten der faulgasgeführten Fahrweise liegen nur knapp darüber. Der wärmegeführte Betrieb verursacht die höchsten Kosten.

5.5 Parameter von BHKW-Anlagen Für verschiedene BHKW sind einige technische Daten in [10, S. 83] angegeben:

Tabelle 5.1 Parameter von BHKW-Anlagen

Parameter BHKW 1 BHKW 2 BHKW 3

elektrische Modulleistung [kW] 500 1500 1400

thermische Modulleistung [kW] 870 2200 2000

minimale Teillast bezogen auf Nennleistung [%]

80 80 80

13

Parameter BHKW 1 BHKW 2 BHKW 3

elektrischer Wirkungsgrad [%] 31 32 32

thermischer Wirkungsgrad [%] 55 57 57

erwartete Lebensdauer [Jahre] 10 10 10

Anschaffungswert [1000 €] 600 1300 1100

verbrauchsabhängige Wartungskosten [c/kWhel]

1 1 1

sonstige Kosten [% des Anschaffungswertes]

1 1 1

Die spezifischen Strombezugskosten betragen 7,9c/kWh, die spezifischen Wärmebezugs-kosten 3,15c/kWh [10, S. 77].

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6 Gemischt ganzzahlig lineare Programmierung Die gemischt ganzzahlig lineare Programmierung (GGLP) wird sehr häufig in konventionellen Energiesystemen zur Energieeinsatzoptimierung eingesetzt [11, S. 379-390]. Im folgenden sollen, nach einer kurzen Beschreibung der Funktionsweise der GGLP, einige Einsatzgebiete vorgestellt werden.

6.1 Funktionsweise der GGLP In diesem Kapitel wird das Verfahren der gemischt ganzzahlig linearen Programmierung nur kurz vorgestellt, um die in den nächsten Kapiteln dargestellten Anwendungen besser einordnen zu können. Eine detaillierte Analyse und eine Anwendung in zur Einsatzoptimierung in lokalen Energiesystemen erfolgt eventuell in einem kommenden Bericht. Eine sehr gute und ausführliche Darstellung der Funktionsweise kann in [12] gefunden werden. Weitere ebenfalls geeignete Literaturstellen sind [13, 14, 15, 16 und 17] zu finden.

Die GGLP wird eingesetzt zur Optimierung linearer Funktionen, bei denen die zusätzliche Forderung besteht, dass ein Teil der Optimierungsvariablen diskrete Werte (ganze Zahlen) annehmen soll. Der Rest kann kontinuierliche Werte annehmen. Durch eine entsprechende Gestaltung der Nebenbedingungen können auch stückweise lineare und unstetige Funktionen optimiert werden. Bei der Einsatzoptimierung der Betriebsmittel in lokalen Energiesystemen gilt für die Zielfunktion

( )∑ ∑=

→=i ttelBetriebsmi alle

minit,KEnde

Anfang

t

ttZ (2.1)

mit Z – Zielfunktion (Gesamtkosten des Betriebs des Energiesystems über den Optimierungszeitraum)

K – Kosten des Einsatzes des Betriebsmittels i während des Intervalls t

Die Kosten hängen von der gelieferten bzw. bezogenen Leistung des jeweiligen Betriebsmittels ab. Obwohl dieser Zusammenhang eigentlich nichtlinear und unstetig ist [18], muss er für den Einsatz der GGLP durch ein entsprechendes System linearer Gleichungen und Nebenbedingungen stückweise linearisiert werden. Damit entsteht ein lineares Gleichungs-system

BPAZ +⋅= (2.2)In den Matrizen A und B stehen die entsprechenden Koeffizienten. Die Nebenbedingungen müssen in der Form von Ungleichungen und Ganzzahligkeitsbedingungen formuliert werden.

0DPC ≤+⋅ (2.3)In diesen Nebenbedingungen sind minimale und maximale Leistungen, minimale Einschaltdauern, minimale Pausenzeiten, Wirkungsgrade, Speicherinhalte, maximale Leistungsgradienten und andere Forderungen zu codieren.

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Gleichungsnebenbedingungen lassen sich bei entsprechender Umformung auch in Form von Ungleichungsnebenbedingungen darstellen:

Gleichungsnebenbedingung (allgemein)

0=+ bax (2.4)formuliert als System von Ungleichungsnebenbedingungen

( ) 00

≤+−≤+

baxbax

(2.5)

Sind beide Ungleichungsnebenbedingungen erfüllt, so muss auch die Gleichungsneben-bedingung erfüllt sein.

Mit der Einführung von Entscheidungsvariablen, die nur die Werte 0 oder 1 annehmen können, lassen sich auch stückweise lineare („geknickte“) und unstetige Funktionen nachbilden [12, S. 40, 41-43].

Zeitliche Abhängigkeiten lassen durch den geschickten Einsatz von Entscheidungsvariablen ebenfalls in der Form von Ungleichungsnebenbedingungen formulieren (nach u. a. [14, S. 55 ff.]). Wegen der besseren Übersichtlichkeit wurde darauf verzichtet, Gleichungsneben-bedingungen in Ungleichungsnebenbedingungen zu überführen.

Danach gilt für Speicher

( ) ( ) 0=∆⋅+∆⋅⋅−∆−− tPtPttWtW EntladenLadenη (2.6)mit den Speichergrenzen

( )( ) 0

0max

≥≤−

tWWtW

(2.7)

mit W – im Speicher gespeicherte Energie (Ladezustand)

∆t – Intervalldauer

Durch eine weitere Nebenbedingung muss sichergestellt werden, dass nur entweder PLaden oder PEntladen einen von 0 verschiedenen Wert annimmt. Dies kann durch die Einführung einer Entscheidungsvariable g, die nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann, realisiert werden. Damit entsteht folgendes System an Nebenbedingungen

( ) 01

0

1000

max

max

≤−⋅−

≤⋅−−

≤≤≥≥

gPP

gPPganzzahligg

gP

P

EntladenEntladen

LadenLaden

Entladen

Laden

(2.8)

Für g=1 muss PEntladen 0 sein, damit die letzte Bedingung erfüllt ist. Dann wird der Speicher geladen. Für g=0 wird er entladen.

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Maximale Leistungsgradienten werden wie folgt beschrieben

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )43421

43421

abfall)(LeistungsradientLeistungsgnegativer maximaler

max

nstieg)(LeistungaradientLeistungsgpostiver maximaler

max

−

+

∆≤∆−+−

∆≤∆−−

PttPtP

PttPtP

(2.9)

mit der Nebenbedingung

( ) 0≥tP (2.10)Für minimale Pausenzeiten gilt

( )( )

( )M

,02,0

gelten mussdann ,0wenn

=∆−=∆−>

ttPttPtP

(2.11)

Ähnlich sind auch minimale Betriebszeiten zu formulieren.

Zuerst wird das lineare Optimierungsproblem gelöst. Alle Variablen werden im Rahmen ihrer Nebenbedingungen als kontinuierliche reelle Zahlen eingesetzt. Die gefundene Lösung liegt, wie bei allen linearen Optimierungsproblemen, an einer Ecke des zulässigen Bereiches. Diese Lösung wird häufig auch als „Simplexalgorithmus“ bezeichnet.

Erfüllt der optimale Punkt auch die Ganzzahligkeitsforderung der entsprechenden Variablen, so ist das Optimum gefunden und die Aufgabe gelöst. Im Allgemeinen wird diese Bedingung aber nicht gegeben sein. Daher muss die stetige Lösung auf eine gemischt ganzzahlige Lösung erweitert werden. Hierfür werden meist entweder das Schnittverfahren von Gomory oder das Branch and Bound Verfahren angewendet. Da sich die Grenzen des Lösungsbereiches nicht rechtwinklig schneiden müssen, muss der dem Optimum am nächsten liegende Punkt des Lösungsgitters nicht die optimale Lösung der gemischt ganzzahligen Optimierungsaufgabe darstellen. Deren Optimum kann beliebig weit entfernt liegen (Bild 6.1).

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x1

x2

Opt.

P'' P'P

P: Optimalpunkt des OptimierungsproblemsP': zu P nächstgelegener GitterpunktP'': optimaler Gitterpunkt

Bild 6.1 Problematik der ganzzahligen Optimierung [17, S. 163]

Schnittverfahren nach Gomory

Beim Schnittverfahren nach Gomory wird dem Optimierungsproblem eine weitere Nebenbedingung (Schnitt) hinzugefügt. Für diese Nebenbedingung gilt, dass alle zulässigen Gitterpunkte sie erfüllen. Das Optimum, welches die Ganzzahligkeitsforderung verletzt, erfüllt sie nicht. Dieses Abschneiden wird solange wiederholt, bis ein lineares Optimierungsproblem entsteht, dessen Lösung die entsprechenden Forderungen nach Ganzzahligkeit erfüllt. Durch eine geeignete Konstruktionsmethode für diese Schnitte [17, S. 163ff.] und [15, S. 10ff.] kann erreicht werden, dass nach endlich vielen Schnitten ein Optimum entsteht, welches die Ganzzahligkeitsforderungen erfüllt.

Verzweigungsverfahren (Branch and Bound)

Aufgrund der Linearität der Zielfunktion muss das Optimum in einer Ecke des Lösungsraumes liegen. Findet sich dort kein Gitterpunkt, so kann der beste Gitterpunkt nur eine gleich gute oder schlechtere Lösung aufweisen.

Die Verzweigungsverfahren funktionieren nun so, dass der Lösungsraum (etwa in der Mitte) in zwei Teile geschnitten wird. Nun wird das Optimum jedes Teilbereiches gesucht. Der Teilbereich mit dem schlechteren Optimum wird verworfen. Der andere Teilbereich wird

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wiederum in zwei Teile geschnitten. Das Verfahren wird solange fortgeführt, bis nur ein Gitterpunkt übrigbleibt. Dieser stellt dann die optimale Lösung dar.

Da es meist mehr als zwei Variablen gibt, für die die Forderung nach Ganzzahligkeit besteht, ist das Optimierungsproblem von hoher Dimension. Eine Möglichkeit der Lösung besteht dann darin, den Lösungsraum durch n-dimensionale Hyperebenen zu teilen [17, S. 166ff.]. Eine andere (u. a. [15, S. 38ff.],[12, S. 31ff.]) (die bei Branch and Bound angewendet wird) besteht darin, die ganzzahligen Variablen nacheinander zu optimieren. Jede Kombination dieser Variablen wird als Knoten aufgefasst. Ist keine Variable mehr frei, spricht man von einem Endknoten. Ausgehend von einem Startknoten wird solange verzweigt, bis die mit dem Knoten verbundene Menge nur unzulässige oder nichtoptimale Lösungen enthält. Danach wird ein anderer Zwischenknoten weiterverfolgt. Der beste Endknoten entspricht der optimalen Lösung. Geometrisch kann dieses Lösungsverfahren so aufgefasst werden, dass die Hyperebenen jeweils senkrecht auf der Achse einer ganzzahligen Variable stehen.

Der Nachteil dieser Methode besteht darin, dass jeweils die Werte für alle Zwischenknoten, die nicht ausgeschlossen werden können, gespeichert werden müssen. Daraus erwächst ein hoher Speicherbedarf. Bei einer ungünstigen Wahl der Verzweigungen kann es im schlechtesten Fall passieren, dass alle Gitterpunkte des Lösungsraumes durchsucht werden müssen. Die Anzahl der Gitterpunkte wächst kombinatorisch mit der Anzahl der ganzzahligen Variablen. Der Rechenaufwand kann also sehr groß werden.

6.2 Bezugsoptimierung im liberalisierten Energiemarkt Am Institut für Energiewirtschaft und Rationelle Energieanwendung der Universität Stuttgart wurde das Programmsystem PROFAKO entwickelt [19, S. 215-226], außerdem [20, S. 101-110] und [21]. Es dient der Optimierung der Fahrweise von Kraft-Wärme-Kopplungsanlagen im Umfeld eines liberalisierten Energiemarktes. Ziel der Optimierung ist die Gewinn-maximierung im liberalisierten Energiemarkt. Diese löst die Kostenminimierung als bisheriges übliches Optimierungsziel ab.

Das Programm besteht aus mehreren Modulen, die für die Prognose von Preis und Nachfrage zuständig sind, in denen Verträge hinterlegt sind, die versuchen, die Strom-, Gas- und Wärmebörse nachzubilden, in denen das betrachtete Energiesystem hinterlegt ist und die die Bezugs- und Einsatzoptimierung durchführen. Zentrum des Programmsystems bildet eine Datenbank.

Im Optimierungsmodul werden der optimale Einsatz der Betriebsmittel, der Energiebezug und der Verkauf optimiert. Hierfür wird ein kommerzieller GGLP-Solver eingesetzt [19, S. 219]. Damit ist das System auch in der Lage, Grenzkosten für eine kurzfristige Angebotserstellung zu ermitteln.

Da auch Öl- und Gasbezug mit in die Optimierung einbezogen wurden, ist eine Berücksichtigung von Speichereffekten notwendig.

Ein ähnliches Problem wird auch in [22] beschrieben. Hier werden die Bevorratung mit Erdgas, die Lieferung von Erdgas und der Betrieb eines Gasturbinenkraftwerkes in Abhängigkeit von der zu erwartenden Preisentwicklung von Strom und Gas optimiert. Zum Einsatz kommt ein Optimierungsverfahren auf der Basis des Branch and Bound Algorithmus. Für große Systeme wird das Problem mit Hilfe der Benders Dekomposition zerlegt und

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mittels Lagrange-Relaxation wird ein duales Problem gebildet. Das Problem des Verfahrens liegt in der Notwendigkeit der Linearisierung der Aufgabenstellung.

6.3 Betriebsoptimierung von Kraftwerksanlagen Von [23, S. 133-143] wird ein Energiemanagementsystem vorgeschlagen, welches beim Betrieb mehrerer Kraftwerksblöcke einen optimalen Fahrplan über 24h ermittelt. Es ist für den Einsatz in Energiesystemen mit Kraft-Wärme-Kopplungs-Anlagen (KWK-Anlagen) und Speichern sowie im Verbund mit anderen Kraftwerken im Energiemarkt über Energieliefer-verträge geeignet. Als Optimierungsverfahren kommt GGLP zum Einsatz.

Entsprechend [1, S. 12] werden Energiebezugsverträge als Energiequellen und Kraftwerke als Energiewandler (z. B. von Kohle zu Strom) betrachtet.

Bei der Optimierung ist es nicht notwendig, nur die Kraftwerke zu betrachten und zu versuchen, sie kostenoptimal einzusetzen. Weitaus bessere Optimierungsmöglichkeiten ergeben sich, wenn man das gesamte Querverbundunternehmen betrachtet [24, S. 23-37]. Betrachtet man als Ausgangspunkt die Primärenergien wie Heizöl, Gas und Kohle, so kann der Einsatz der Primärenergieverbraucher (u. a. Kraftwerke) so optimiert werden, dass diese Rohstoffe preisoptimal bezogen werden können und Lagerkosten minimal werden. Der Vorteil liegt auch darin, dass sie eine speicherbare Größe darstellen. Da die Kraftwerke als Ganzes betrachtet werden, können die Abgabe elektrischer Energie und Wärmeenergie, sowie der Bezug von Primärenergie und Kühlwasser sowie eventuelle Revisionszeiten insgesamt optimiert werden.

Weitere Literaturstellen zu diesem Problemkreis sind in [24, S. 37] zu finden.

6.4 Berücksichtigung von Wasserspeicherkraftwerken Die Nachbildung von Wasserspeicherkraftwerken für die GGLP ist schwierig [25, S. 503-512]. Diese Art der Kraftwerke weisen ein sehr stark nichtlineares Verhalten auf. So ist die Leistung eine Funktion der Fallhöhe, welche vom Speicherinhalt abhängt. Der Turbinen-wirkungsgrad ist eine Funktion von Fallhöhe und der durchfließenden Wassermenge [25, S. 503]. Bisher durchgeführte Linearisierungen zeigen nicht unbeträchtliche energetische Fehler. So werden meist die Wasserverluste (Sickerwasser, Verdunstung) und der Eigenbedarf des Kraftwerkes vernachlässigt. Außerdem wird die Speicherinhaltslinie angenähert. Es wird eine lineare Abhängigkeit von Fallhöhe und Speicherinhalt unterstellt, welche nur bei quaderförmigen Speicherbecken gegeben ist.

In [25] wurde gefunden, dass für die Nachbildung und Linearisierung einer Kennlinie, die Wassermenge und elektrische Leistung in Beziehung setzt, ein quadratisches Modell im Vergleich mit einem linearen und einem logarithmischen die geringsten Fehler liefert.

Die Gesamtleistung, die von den laufenden Wasserturbinen erzeugt wird, berechnet sich nach [25, S. 504]

( ) ( )( )2TSpeicherTTrafoGeneratorTurbine mnVhmngP && ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= αηηηρ (2.12)

20

mit ρ − Dichte des Wassers

g – Fallbeschleunigung

n – Anzahl der Turbinen

η - Wirkungsgrade

Tm& - Wasserstrom durch die Turbine

h(VSpeicher) – Fallhöhe (Funktion des Speicherinhalts)

α - mittlerer hydraulischer Verlustbeiwert

Begrenzt wird die Leistung durch die maximale elektrische Turbinenleistung, den minimalen und maximalen Füllstand des Speichers, die maximale hydraulische Turbinenleistung, die minimale und maximale Wassermenge. Diese Grenzen weisen teilweise nichtlinearen Charakter auf.

Eine Unterteilung des Speichers in einzelne Segment, die jeweils linear betrachtet werden, führt bei der Einsatzoptimierung zu einer ungünstigen Fahrweise [25, S. 507].

Als günstig erwies sich ein Modell mit quadratischer Separation der Variablen [25, S. 508].

( )( )

( )( ) ( )

22

22

TSpeicherTSpeicher

TSpeicher

TSpeicherTrafoGeneratorTurbine

mVhb

mVha

bak

mVhk

mVhgP

&&

&

&

−=

+=

−⋅=

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ηηηρ

(2.13)

Die quadratischen Funktionen a2 und b2 müssen stückweise linear angenähert werden. Bereits bei einer geringen Anzahl von Stützstellen entsteht nur noch ein geringer Fehler.

6.5 Anwendungen für große Systeme Verfahren der linearen Optimierung sind sehr effizient. Ein großer Zeitbedarf entsteht erst, wenn eine kontinuierliche Lösung in eine ganzzahlige Lösung überführt werden soll. Die Schnittmengenverfahren oder auch das Branch and Bound sind sehr rechenintensiv und der Rechenzeitbedarf wächst überproportional mit der Größe des Optimierungsproblems.

Kann das Problem als rein lineares Optimierungsproblem ohne die Forderung nach Ganzzahligkeit der Variablen formuliert werden, so lassen sich auch sehr große Probleme in kurzer Zeit optimieren. Nach [26] wird für die Optimierung des Einsatzes der Wasserkraftwerke in British Columbia unter Berücksichtigung der jahreszeitlichen Effekte für den Speicherbetrieb nur eine Rechenzeit von 25s benötigt. Es ist der Einsatz von 20 Kraftwerken über 96h zu planen. Damit besteht das Optimierungsproblem aus rund 30 000 Variablen und 35 000 Nebenbedingungen.

21

6.6 Kombinationen mit Lagrange-Relaxation Die Lagrange-Relaxation (siehe Kapitel 7) liefert ein suboptimales Ergebnis im Bereich der ganzen Zahlen. Wird eine ganzzahlige Lösung gewünscht, so muss die gefundene kontinuierliche Lösung so erweitert werden, dass der optimale Gitterpunkt des ganzzahligen Lösungsraumes gefunden wird. Hierfür können Schnittmengenverfahren oder das Verfahren des Branch and Bound (siehe Kapitel 6.1) eingesetzt werden. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, das von der Lagrange-Relaxation gefundene Ergebnis als Ausgangspunkt für eine weitere Optimierung mit der GGLP zu nutzen. Diese Vorgehensweise wird in [27] für die Einsatzoptimierung thermischer Blöcke verwendet.

Ein ähnliches Problem wird auch in [28] angesprochen. Die Einsatzoptimierung erfolgt hier indirekt über den Verkauf von Energie und Regelreserve auf dem Spotmarkt. Die Autoren bezeichnen dies auch als „dezentrale Einsatzplanung“ (decentralized unit commitment). In diesem Paper wird auch die Umwandlung nichtlinearer Randbedingungen und Zielfunktionen in lineare Funktionen ausführlich betrachtet. Beachtenswert ist hier die Feststellung, dass die Startkosten thermischer Einheiten exponentiell von der Zahl der Ausschaltstunden abhängen. Die Rechenzeit der GGLP ist für das gestellte Problem vernachlässigbar.

6.7 Weitere Anwendungen Weitere Anwendungen der GGLP für die Energieeinsatzoptimierung sind hier kurz zusammengestellt:

Bei der Einsatzoptimierung von Kraftwerken in Verbundnetzen ist es notwendig, immer eine entsprechende Regelreserve vorzuhalten. Diese Regelreserve gliedert sich in zwei Teile. Die 10-Minuten-Reserve muss in der Lage sein, das durch den Ausfall des größten Blockes im System entstehende Leistungsdefizit 10 Minuten lang zu decken. Weiterhin muss die Reserve fähig sein, innerhalb von 10 Minuten eine Leistung zu liefern, die der Hälfte der Leistung des größten Blockes entspricht. Gleiches gilt mit entsprechenden Zeiten für die 30-Minuten-Reserve [29].

Unter Berücksichtigung dieser Randbedingungen ist das hier vorgestellte System in der Lage, auf der Grundlage von Geboten, die mittels GGLP auf der Grundlage der Kosten ermittelt werden, einen optimalen Energieeinsatz zu realisieren. Ziel der hier vorgestellten Optimierung ist die Minimierung der Kosten, nicht die Maximierung des Gewinns.

Für viele Probleme, hier insbesondere die Veränderung des geplanten Energieeinsatzes unter veränderten Umgebungsbedingungen, sind sowohl die Zielfunktion als auch die Randbedingungen nicht ohne weiteres exakt formulierbar. In dem betrachteten Paper werden beide deshalb mit Hilfe von unscharfen Zahlen (Fuzzy-Zahlen) dargestellt. Es wird ein Verfahren zur linearen Optimierung von unscharf formulierten Problemen vorgestellt. Da auch eine unscharfe Verteilung anstatt eines exakten Optimums als Ergebnis geliefert wird, kann an der Breite der Verteilung (der „Unschärfe“ des Ergebnisses) die Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Fall eintritt, abgelesen werden [30].

22

Das Unterproblem einer Lagrange-Relaxation, die zur allgemeinen Energieeinsatzoptimierung eingesetzt wird, nämlich der Betrieb eines Wasserkraftwerkes in Abhängigkeit von den Leistungsforderungen und der zur Verfügung stehenden Wassermenge wird mit GGLP gelöst [31].

Der Einsatz kaskadierter Wasserkraftwerke ist mit vielen Beschränkungen verbunden. Es müssen An- und Abfahrtsrampen eingehalten werden, um Flutwellen zu vermeiden. Gewisse Mindest- und Höchstwassermengen sind vorgegeben, um die problemlose Schifffahrt zu ermöglichen und Umweltprobleme in den Gewässern zu vermeiden. Außerdem sind die kaskadierten Kraftwerke untereinander zeitlich gekoppelt. Der Einsatz der Wasserkraftwerke unter diesen Nebenbedingungen, welcher ein Unterproblem einer überlagerten Lagrange-Relaxation darstellt, wird mittels GGLP realisiert [32].

23

7 Lagrange-Relaxation Als zweithäufigste Optimierungsmethode für den Einsatz von Kraftwerken wird in der Literatur die Lagrange-Relaxation oder eine Variation davon genannt.

7.1 Prinzip Gute Literaturstellen zu den Grundlagen der Lagrange-Relaxation sind zu finden in [12, S. 44ff.], [16, S. 175ff.], [17, S. 991f.] und [33, besonders S. 99ff.].

In diesem Kapitel soll das Grundprinzip der Lagrange-Relaxation kurz erläutert werden. Die eingesetzten Verfahren stellen häufig Variationen dieses Verfahrens oder Kombinationen mit anderen Verfahren dar. Auf die dort eingebrachten Änderungen wird an den entsprechenden Stellen der Beispiele verwiesen.

Die Lagrange-Relaxation ist prinzipiell ein analytisches Verfahren, welches die Rand-bedingungen der Optimierungsaufgabe mittels der sogenannten Lagrangeschen Multiplikatoren mit in die zu optimierende Funktion integriert. Daher stellt das Verfahren einige Anforderungen an die Form der Zielfunktion. Sie muss konvex, innerhalb des zulässigen Lösungsraumes stetig und analytisch mindestens einmal differenzierbar sein.

7.1.1 Konvexität Viele Optimierungsverfahren fordern von der Zielfunktion Konvexität. Bildlich gesprochen, ist eine Funktion (oder auch Menge) dann konvex, wenn 2 beliebige Punkte dieser Funktion mit einer Gerade verbunden werden können, ohne dass diese Gerade die Funktion schneidet bzw. die Menge verlässt.

24

x

y

konvexe Menge

konvexe Funktion

nichtkonvexe Menge

nichtkonvexe Funktion

im Lösungsraumkonvexe Funktion

Nebenbedingung: y>0

Bild 7.1 Konvexität [33, S. 117ff]

Eine Funktion ist dann konvex, wenn sie stetig und zweifach stetig differenzierbar ist und die

Hesse-Matrix ( )xfx2

2

∂∂ für alle x im Wertebereich positiv semidefinit1 ist. Für eine

eindimensionale Funktion bedeutet das, dass deren zweite Ableitung im Wertebereich nirgendwo negativ wird. Den Wert Null darf sie annehmen.

Diese Eigenschaft ist für die Optimierung dahingehend wichtig, dass bei einer konvexen Funktion immer gilt, dass jedes lokale Optimum auch ein globales Optimum ist. Da es keine Wendepunkte gibt, kann zwischen zwei Minima auch kein größeres Maximum existieren, höchstens eine waagerechte Verbindungslinie.

Daher liegt das globale Optimum entweder an einem Punkt, an dem der Gradient der Zielfunktion 0 wird oder es liegt am Rande des Lösungsbereiches.

1 Definitheit [Bronstein, S.660] einer Matrix: Eine der beiden folgenden Eigenschaften ist für die Matrix erfüllt: Alle Eigenwerte sind positiv Alle Unterdeterminanten sind positiv

25

7.1.2 Lösung ohne Nebenbedingungen Die Lagrange-Relaxation unterscheidet sich von der Lösung ohne Nebenbedingungen dadurch, dass bei der Lagrange-Relaxation die Nebenbedingungen mit Hilfe der Lagrange-Faktoren in die Zielfunktion eingebaut werden.

Eine konvexe Zielfunktion ohne Nebenbedingungen hat genau dort ein globales Optimum wo die erste Ableitung eine Nullstelle aufweist. Für eine eindimensionale Zielfunktion Z(x) gilt

( )

0

min

=∂∂

=

xZ

fürxZ

(2.1)

Für eine mehrdimensionale Funktion ist der Gradient zu bilden

( ) ( )

( ) 0

0

00

min,...,,

2

1

21

r

MM

r

=

=

∂∂

∂∂∂∂

=

==

n

n

xZ

xZxZ

Zgrad

fürxZxxxZ

(2.2)

7.1.3 Lösung mit Gleichungsnebenbedingungen Wird die Zielfunktion verschiedenen Gleichungsnebenbedingungen der Form

( )( )

( )

( ) 0

0,...,,

0,...,,0,...,,

21

212

211

rr

M

=

=

==

xg

oder

xxxg

xxxgxxxg

nn

n

n

(2.3)

unterworfen, so müssen diese mit in die Zielfunktion eingebaut werden.

Dies kann in Form der sogenannten Lagrangeschen Multiplikatoren λr

geschehen. Damit entsteht eine sogenannte Lagrange-Funktion ( )λ

rr,xL

26

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nmmnn

T

xxxgxxxgxxxZxgxZxL

,...,,...,...,,,...,,,

21211121 ⋅++⋅+=⋅+=

λλλλ rrrrr

(2.4)

Diese Lagrange-Funktion kann nun wie eine Zielfunktion ohne Nebenbedingungen optimiert werden. Die Lösung ergibt sich als Nullstelle des Gradienten der Lagrange-Funktion

( ) ( )( ) 0

00 r

=

=

=

LgradLgrad

Lgradu

x (2.5)

Dieser Gradient kann in Form eines Gleichungssystems aus (n+m) Gleichungen, welches (n+m) Unbekannte enthält aufgeschrieben werden.

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0...

0

0

1221111

1

=∂∂

==+⋅+⋅+∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

m

n

L

xgxgxgxZL

xL

xL

λ

λλλλ

M

rrrr

M

(2.6)

Dieses Gleichungssystem kann nun einfach gelöst werden, wie ein Beispiel aus [12] verdeutlichen soll:

Beispiel

Zielfunktion: ( ) ( ) min5, 22

2121 →⋅+== xxxxZxZ r

Nebenbedingungen: ( ) ( ) 01, 2121 =−+== xxxxgxg r

Die entstehende Lagrange-Funktion hat die Form

( ) ( )( )15

,,,

2122

21

21

−+⋅+⋅+=

=

xxxx

xxLxL

λ

λλrr

(2.7)

Von ihr wird nun der Gradient gebildet

( )

=

−++⋅

+⋅=

∂∂

∂∂

∂∂

=000

1102

21

2

1

2

1

xxx

x

L

Lx

Lx

Lgrad λλ

λ

(2.8)

27

Jetzt ist das folgende Gleichungssystem zu lösen

01010

02

21

2

1

=−+=+⋅

=+⋅

xxx

xλ

λ (2.9)

Es hat die Lösung

35

61

65

21 −=== λxx (2.10)

Der gefundene Wert für λ gibt die Empfindlichkeit (Sensitivität) des minimalen Wertes der Zielfunktion bezogen auf eine Veränderung dieser Nebenbedingung an [33, S. 81].

7.1.4 Lösung mit Ungleichungsnebenbedingungen Deutlich schwieriger gestaltet sich die Lösung, wenn der Lösungsraum der Zielfunktion durch Ungleichungsnebenbedingungen begrenzt wird.

( )( )

( )

( ) 0

0,...,,

0,...,,0,...,,

21

212

211

rr

M

≤

≤

≤≤

xg

oder

xxxg

xxxgxxxg

nn

n

n

(2.11)

Bedingt durch die geforderte Konvexität der Zielfunktion gibt es zwei Möglichkeiten für die Lage des Optimums:

1. Der Gradient der Zielfunktion ist 0 und das Optimum liegt inmitten des Lösungsraumes (alle Ungleichungsnebenbedingungen sind strikt erfüllt, d. h. jedes ≤ kann durch ein < ersetzt werden).

2. Das Optimum liegt an der Grenze des Lösungsraumes (für mindestens eine Ungleichungsnebenbedingung gilt gn = 0). Hier muss dann der Gradient der Zielfunktion nicht 0 sein (und wird es auch nur in Ausnahmefällen sein).

Für den Fall 1. ist die gefundene Lösung die gleiche, wie für die Lösung ohne Nebenbedingungen. Die Erfüllung der Ungleichungsnebenbedingungen muss nur geprüft werden, sie müssen jedoch nicht weiter berücksichtigt werden.

28

Es bietet sich die in [33, S. 94] vorgeschlagene Vorgehensweise an:

a) Ignoriere alle Ungleichungsnebenbedingungen und löse das Optimierungsproblem nur unter Berücksichtigung der Gleichungsnebenbedingungen

b) Ist mindestens eine Ungleichungsnebenbedingung verletzt, so kann die Lösung hoffentlich auf heuristischem Weg gefunden werden.

Aus der Formulierung in b) ist zu erkennen, dass es keine eindeutige Lösungsvorschrift gibt.

Eine Möglichkeit besteht darin, die Ungleichungsnebenbedingungen mit Hilfe von Schlupfvariablen in Gleichungsnebenbedingungen zu überführen. Nach [33, S. 95] können dabei aber praktische und auch theoretische Probleme auftreten. Das Optimierungsproblem hat dann folgende Form

( ) ( )

( )( )

M

r

r

rr

0

0:

min

222

211

=+

=+

≠=→

zxg

zxggungenNebenbedin

zfxfZZ

(2.12)

Optimierungsvariablen sind jetzt die Vektoren x und die Schlupfvariable z. Die Zielfunktion ist jedoch nicht vom Wert von z abhängig. Die Quadrierung von z in den Nebenbedingungen ist notwendig, um auch bei negativem z die Erfüllung der oben aufgestellten Ungleichung zu garantieren.

Eine weitere Möglichkeit [u. a. 12, S. 49ff.] macht davon Gebrauch, dass bei konvexen Funktionen und der Lage des Optimums auf dem Rand des Lösungsraums immer mindestens eine Ungleichungsnebenbedingung zu einer Gleichungsnebenbedingung übergeht. Es werden alle Kombinationen mit aktiven Ungleichungsnebenbedingungen (g=0) und inaktiven Ungleichungsnebenbedingungen (g<0) untersucht. Die beste Lösung ist dann das Optimum. Dieses Verfahren wird durch das Kuhn-Tucker-Theorem untermauert und vereinfacht. Dieses besagt [12, S. 49]:

Der Vektor x* ist genau dann die Lösung des Optimierungsproblems, wenn die Lagrange-Funktion L bei x* einen Sattelpunkt besitzt, d. h. wenn ein λ* existiert, für das gilt:

( ) ( ) ( )**** ,,, λλλ xLxLxL ≤≤

für alle x und alle u≥0.

29

Damit entsteht das folgende System aus n Gleichungen und m Ungleichungen, für welches alle zulässigen Lösungen gefunden werden müssen und die beste davon, das Optimum darstellt.

( )

( ))ngen Ungleichum(0)ngen Ungleichum(0

)Gleichung 1(0

)nGleichungen (0

≥≤=

=⋅

=

λ

λ

λ gLgradg

LgradT

xr

(2.13)

Die angegebene Gleichung mit dem Gradienten mit der Ableitung nach λ wird auch als duale Funktion oder duales Problem bezeichnet, da die gesuchte Nullstelle ein Maximum der Lagrange-Funktion hinsichtlich λ beschreibt (der oben erwähnte Sattelpunkt), also ein weiteres Optimierungsproblem darstellt. Es gilt [17, S. 177], dass die Optima sowohl der Zielfunktion als auch der dazugehörigen dualen Funktion an der gleichen Stelle liegen.

7.1.5 Einsatzbedingungen Wie in den vorigen Kapiteln dargestellt, ist die Lagrange-Relaxation sehr gut dazu geeignet, analytisch differenzierbare, konvexe, stetige Funktionen mit Gleichungsnebenbedingungen zu optimieren. Es wird immer mit relativ geringem Rechenaufwand das globale Optimum gefunden. Hier liegt das einzige Problem darin, dass die analytische Ableitung von Funktionen rechentechnisch nicht einfach zu automatisieren ist. Dies wird also meist von einem Experten vorgenommen werden müssen, da viel „Denkarbeit“ zu leisten ist. Das steht also einer automatisierten Optimierung entgegen.

Die meisten in der Praxis auftretenden Probleme sind jedoch mit dem Auftreten von Ungleichungsnebenbedingungen verbunden. Für die Fälle, bei denen diese Neben-bedingungen nur zur Beschränkung der Variablen dienen und das Optimum mitten im Lösungsraum liegt, ist die Lagrange-Relaxation ebenfalls gut anwendbar. Sind jedoch Ungleichungsnebenbedingungen aktiv, so wird die Lösung mit diesem Verfahren aufwändig.

Für die meisten realen Einsatzfälle muss das Problem von einem Experten verstanden werden. Mittels „Denkarbeit“ müssen geeignete Annahmen getroffen werden und nach einem jeweils einzigartigem Lösungsweg unter Berücksichtigung der mathematischen Eigenschaften der Funktion gesucht werden. Dies macht die Lagrange-Relaxation für den automatisierten Einsatz in Energiemanagementsystemen, die sich selbstständig an wechselnde Umgebungs-bedingungen anpassen sollen, eher ungeeignet.

7.2 Mittelfristige Einsatzplanung hydrothermischer Verbundsysteme Für die Revisionsplanung und die Bewirtschaftung der Lager der fossilen Brennstoffe sowie der Wasserspeicher in einem Verbundsystem, welches aus thermischen Kraftwerken und Wasserkraftwerken besteht, ist eine mittelfristige Energieeinsatzplanung über einen Zeitraum von etwa einem bis fünf Jahren notwendig. Da sich die Bedingungen für die Optimierung der Wasserkraftwerke und der thermischen Kraftwerke unterscheiden, kann das Optimierungs-problem in zwei Teilprobleme zerlegt werden, die jeweils mit unterschiedlichen Optimierungsverfahren bearbeitet werden (sog. Dekomposition) [34, S. 423-432]. Damit kann

30

die Rechenzeit ebenfalls wirkungsvoll reduziert werden. Die Zusammenarbeit der beiden Optimierungsverfahren wird durch einen Koordinator gesteuert, der auch den Datenaustausch kontrolliert.

Für die Optimierung des Einsatzes der thermischen Kraftwerke kommt die Lagrange-Relaxation zum Einsatz [34, S. 429]. Diese gestattet die Berücksichtigung sowohl kurzfristiger als auch langfristiger Nebenbedingungen. Das Gesamtproblem wird in viele voneinander entkoppelte Teilprobleme zerlegt. Diese werden separat optimiert. Die Energiemengenbedingungen werden über sogenannte Schattenpreise abgebildet. Die Lagrange-Relaxation hat den prinzipiellen Nachteil, dass die relaxierten Energiemengen-bedingungen nicht zwangsläufig exakt einzuhalten sind [34, S. 429]. Daher wird das Ergebnis durch eine nachgeschaltete Trajektorienregelung noch weiter verbessert. Der Blockeinsatz wird solange leicht variiert, bis für keinen Block mehr die Energiemengenbedingungen verletzt werden.

Die Behandlung der Mindestzeiten wird vom eigentlichen thermischen Einsatz abgetrennt. Um minimale Pausenzeiten, minimale Betriebszeiten und Startkosten zu berücksichtigen, werden mittels eines heuristischen Ansatzes die Kostenfaktoren der Blöcke so nachbearbeitet, dass der Blockeinsatz in kurzen Betriebszeiten verteuert und in kurzen Stillstandszeiten verbilligt wird. Es wird ein dem Kehrwert der entsprechenden Zeitdauer proportionaler Kostenbetrag entweder auf- oder abgeschlagen [34, S. 430].

Die Nichtverfügbarkeit von Blöcken wird durch Stichprobenziehung nachgebildet. Es werden fiktive Blockausfälle von jeweils 24h Dauer zufällig über das Jahr verteilt.

Der Einsatz der Wasserkraftwerke und Pumpspeicherwerke wird durch sukzessiv lineare Programmierung optimiert. Das Speicherverhalten wird durch ein Netzwerkverfahren abgebildet [34, 431]. Da angenommen wird, das saisonale Speicher viel größer sind als der Tagesenergieverbrauch oder –überschuss, wird die Einhaltung der Speichergrenzen nur einmal täglich geprüft. Die Einsatzplanung erfolgt im Stundenraster.

Mittels eines Koordinators werden thermische und hydraulische Kraftwerke miteinander verknüpft. Er sorgt dafür, dass die entsprechenden Optimierungsroutinen solange iterativ durchlaufen werden, bis ein (sub-)optimales Ergebnis erzielt wurde.

Bedingt durch die gewählten Optimierungsverfahren und die deshalb notwendige Entkopplung zwischen thermischen Kraftwerken und Wasserkraftwerken sowie zur Berücksichtigung des Speicherverhaltens und der Mindestzeiten der thermischen Blöcke muss die Optimierung durch eine Vielzahl von heuristischen Regeln und fiktiven Schattenpreisen unterstützt werden. Obwohl im Beitrag eine universelle Einsetzbarkeit des Systems angegeben wurde und der modulare Aufbau, welcher eine Trennung zwischen Optimierungskern und Modellen der Betriebsmittel sowie der Betriebsdaten ermöglicht, herausgestellt wurde, ist anzunehmen, dass bei einer Änderung des Energiesystems umfangreiche Anpassungen am Algorithmus notwendig sind.

7.3 Kurzfristige Einsatzplanung hydrothermischer Verbundsysteme Beim kurzfristigen Einsatz von thermischen und Wasserkraftwerken in größeren Netzen kann die vorhandene Übertragungskapazität die Realisierung bestimmter Lösungen der Energieeinsatzplanung verhindern. Ein Verfahren zur Energieeinsatzplanung, welches Übertragungsbeschränkungen und Verlust, sowie Pumpspeicherwerke berücksichtigt, wird in [35] vorgestellt.

31

Hier werden in die Zielfunktion Beschränkungen der Übertragungskapazität, notwendige Reserveleistung, Emissionsgrenzen und die Speicher der Wasserkraftwerke eingebaut. Aus der Zielfunktion wird so eine erweiterte Lagrange-Funktion gebildet, dass sichergestellt werden kann, dass diese Funktion im Lösungsraum konvex ist. Ungleichungs-nebenbedingungen werden durch Schlupfvariablen integriert.

Die Unterprobleme der Einsatzoptimierung der einzelnen thermischen Blöcke werden mit dynamischer Programmierung gelöst.

7.4 Berücksichtigung der Ausfallwahrscheinlichkeit thermischer Kraftwerke Da die Kosten des Ausfalles eines Kraftwerkes wegen der Kosten, die durch die Nichtversorgung der Kunden entstehen, sehr hoch werden können (in [36] wird ein Wert von 1943€/MWh als „Value of lost load“, VOLL, angegeben), muss jederzeit eine Reserve im Kraftwerkspark vorgehalten werden. Diese Reservevorhaltung verursacht jedoch nicht unbeträchtliche Kosten, weswegen das Ziel besteht, diese möglichst gering zu halten. [36, S. 82] stellt ein Verfahren vor, mit dem bei der Fahrplanerstellung die Ausfall-wahrscheinlichkeit thermischer Kraftwerke mit berücksichtigt wird.

Es kommt hierfür eine erweiterte Lagrange-Relaxation zum Einsatz. Der gewählte Algorithmus kann Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen sowie An- und Abfahrzeiten berücksichtigen.

Die Lagrange-Funktion wird mittels eines Hopfield-Netzes minimiert. Hopfield-Netze sind rückgekoppelte künstliche neuronale Netze, die aus binären Neuronen aufgebaut sind. Nach einer bestimmten Anregung des Netzes werden die rückgekoppelten Neuronen solange neu berechnet, bis das Netz gegen einen Ruhezustand konvergiert ist. Die Gesamtheit der Aktivierungszustände der Neuronen kann als eine Energiefunktion beschrieben werden [37, S.141]. Nach der Anregung werden der Reihe nach die einzelnen Neuronen betrachtet. Führt eine Änderung der Aktivierung (Umschalten in den anderen binären Zustand) zu einer Verringerung der Energiefunktion, so wird diese durchgeführt. Die Neuronen werden solange betrachtet, bis keine weitere Verbesserung der Energiefunktion mehr möglich ist. Die Funktion hat jetzt ein lokales Optimum erreicht und das Netz befindet sich in einem Ruhezustand.

Mittels zusätzlicher Neuronen mit linearer bzw. sigmoider Aktivierungsfunktion wird das Netz so aufgebaut, dass die diskreten und kontinuierlichen Neuronen die Optimierungsvariablen und Lagrange-Faktoren der erweiterten Lagrange-Funktion bilden. Die Energiefunktion des Netzes entspricht damit der erweiterten Lagrange-Funktion. Damit kann dieses Netz zur Suche eines lokalen Optimums der Zielfunktion eingesetzt werden. Das Problem liegt dabei darin, dass nicht erkannt werden kann, wie weit das gefundene lokale Optimum vom globalen entfernt liegt.

32

7.5 Einsatzplanung von Kraftwerken mit Kraft-Wärme-Kopplung In [38] wird ein interessanter Ansatz der Kombination von Lagrange-Relaxation und evolutionären Algorithmen am Beispiel der Einsatzoptimierung von Kraftwerken mit Kraft-Wärme-Kopplung in der Umgebung eines größeren Elektroenergienetzes in einem liberalisierten Umfeld dargestellt.

Die Zielfunktion eines KWK-Kraftwerkes in einem Elektroenergienetz ergibt sich zu [38, S. 136]:

∑ ∑ ⋅+⋅= elgÜbertragunBrennstoffges PKHKK (2.14)

mit Kges – Gesamtkosten

KBrennstoff – Brennstoffkosten (auf Heizwert bezogen)

H – Enthalpie des Brennstoffes

KÜbertragung – Übertragungskosten der Elektroenergie (Briefmarkenprinzip)

Pel – übertragene elektrische Leistung

Summiert wird dabei über alle Kraftwerke und alle Optimierungsintervalle. Die erzeugte elektrische Leistung hängt mit der zugeführten Enthalpie nach [38, S. 135] über folgende Gleichung zusammen.

012

2 bPbPbH elel +⋅+⋅= (2.15)Die Faktoren b sind von der eingesetzten Turbine abhängig.

Für die Berechnung des Enthalpiestromes in britischen Einheiten [MBTU/h] (MBTU – 106 British Thermal Units) werden im Beispielenergiesystem folgende Werte für die Koeffizienten angegeben [38, S. 138]

Tabelle 7.1 Zusammenhang Leistung Enthaltpiestrom

Turbine Pmin el [MW]

Pmax el [MW]

Pmin th [MBTU]

Pmax th [MBTU]

b2 [MBTU/kW^2]

b1 [MBTU/kW] b0 [MBTU]

1 4,1 15 68 237,5 0,000393 2,704 5,143

2 4,9 15 52 120 0,004469 3,123 -38,29

3 4,4 15 60 237,5 0,004773 1,064 91,96

4 4,6 15 52 200 0,002250 2,197 13,85

5 4,9 15 127 250 0,000614 2,096 23,94

33

Neben der elektrischen Leistungsbilanz muss nun auch die Bilanz der Dampfströme eingehalten werden [38, S. 136].

∑ −+

⋅= erzeugtbenötigt SSH

w10 (2.16)

mit 1/w – Anteil des Enthalpiestromes der für die Erzeugung der Elektroenergie benötigt wird

Sbenötigt – vom thermischen Teil benötigte Dampfmenge

Serzeugt – erzeugte Dampfmenge

Auf die IEEE-30-Bus und IEEE-118-Bus Systeme wird die Lagrange Relaxation angewendet. Mit Hilfe des genetischen Algorithmus werden die Lagrange-Faktoren λ optimiert. Aus diesen kann dann der optimale Energieeinsatz bestimmt werden. Da es weniger Lagrange-Faktoren als Leistungsgrößen gibt, wird mit diesem Verfahren der Rechenaufwand des genetischen Algorithmus verringert.

7.6 Weitere Anwendungen Weitere Anwendungen der Lagrange-Relaxation für die Energieeinsatzoptimierung finden sich in:

[39]

Die Dekomposition eines Problems wird durch die, mittels maximaler Gradienten eingeführte, zeitliche Kopplung der einzelnen Optimierungsintervalle erschwert. Hier wird ein Dekompositionsverfahren für die Lagrange-Relaxation vorgeschlagen, welches durch Einführung zusätzlicher Lagrange-Faktoren, welche die maximalen Gradienten beschreiben, dieses Problem löst.

[40]

In diesem Algorithmus wird die Lagrange-Funktion mit Hilfe eines Hopfield-Netzes minimiert. Dies ermöglicht die Berücksichtigung weiterer, sonst üblicherweise nicht betrachteter Nebenbedingungen wie maximale Leistungsgradienten, Übertragungs-beschränkungen und Brennstoffvorräte.

34

[41]

Ergibt sich kein lineares Gleichungssystem, müssen die Lagrange-Faktoren häufig iterativ ermittelt werden. Hier wird ein Algorithmus vorgestellt, mit dem dies auf stabile und effiziente Weise realisiert werden kann. Er wird für die Einsatzplanung von thermischen und Wasserkraftwerken verwendet.

[42]

Auch diese Methode wird für die Einsatzoptimierung der Kombination von thermischen und Wasserkraftwerken angewendet. Für die iterative Bestimmung der Lagrange-Faktoren wird die sogenannte Bundle Trust Region Method angewendet. Sie wird mit Subgradienten-methoden verglichen und erweist sich als schneller und leistungsfähiger. Sie verwendet die quadratische Programmierung, um verschiedene Subgradienten zu ermitteln, die ein „Bündel“ in die Suchrichtung bilden.

35

8 Evolutionäre Algorithmen

8.1 Einführung Unter dem Begriff werden hier die Verfahren der evolutionären Strategien, der genetischen Algorithmen und der evolutionären Programmierung eingeordnet. Diese unterscheiden sich meist nur in Details bzw. lassen sich durch Variation bestimmter Parameter von der Grundfunktion her ineinander überführen. In der Literatur werden teilweise noch weitere Bezeichnung für diese Art der Algorithmen angegeben.

Im weiteren Sinne werden hier alle Algorithmen eingeordnet, die versuchen die Prinzipien der biologischen Evolution in der Technik nachzubilden. Grundsätzlich besteht ihre Funktion darin, eine Menge (Population) möglicher Lösungen eines Problems zu bilden. Die einzelnen Elemente dieser Menge (Individuen) werden nun miteinander kombiniert (Crossover) oder zufällig geringfügig verändert (Mutation). Damit entstehen neue Lösungen (Nachkommen). Aus der Menge der ursprünglichen Lösungen (Eltern) und der neuen Lösungen (Nachkommen) werden nach einem Prinzip, welches gute Lösungen bevorzugt, wieder so viele Elemente ausgewählt, wie sich in der ursprünglichen Population befanden. Dieses Verfahren wird mehrmals wiederholt (Generationen). Da die besten Individuen mit höherer Wahrscheinlichkeit in die nächste Generation übernommen werden, konvergiert die Population im Laufe der Zeit gegen das globale Optimum. Damit findet eine Optimierung statt.

Die einzelnen Verfahren unterscheiden sich insbesondere darin, wie die Lösungen des Problems in Form der Individuen codiert werden, wie die Bildung der neuen Individuen geschieht und nach welchem Prinzip die Individuen für die neue Generation ausgewählt werden. Detaillierte Informationen dazu sind unter anderem [18, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52 und 53] zu entnehmen. Daher soll auf die Grundlagen dieser Algorithmen hier nicht weiter eingegangen werden.

Der Vorteil evolutionärer Algorithmen besteht darin, dass sie praktisch beliebige Zielfunktionen optimieren können. Die Zielfunktionen müssen lediglich im gesamten Lösungsraum definiert und auswertbar sein. Sie können nichtlinear, unstetig, nicht-konvex, gemischt ganzzahlig und kombinatorische Probleme sein. Gleiches gilt für die Randbedingungen. Der Rechenaufwand steigt annähernd linear mit der Größe und Komplexität des Problems.

Die Nachteile der evolutionären Algorithmen liegen darin, dass sie relativ lange in lokalen Optima stecken bleiben können. Man kann nicht erkennen, ob das gefundene Optimum ein globales ist bzw. wie weit man sich vom globalen Optimum entfernt befindet. Da das Verfahren ein stochastisches Suchverfahren ist, kann nicht exakt angegeben werden, wie lange der Algorithmus braucht, um das Optimum zu finden. Außerdem ist der Rechenzeitbedarf recht groß. Für eine schnelle Konvergenz ist es notwendig, für jedes Problem eine geeignet Codierung der Individuen zu finden. Je nach Problem kann sich dies recht schwierig gestalten.

8.2 Genetische Algorithmen zur Einsatzoptimierung von Kraftwerken Bei genetischen Algorithmen werden die Lösungen in Form eines Vektors aus binären Zahlen codiert. Damit bietet sich diese Codierung für die Optimierung des Einsatzes von thermischen Kraftwerken, die entweder mit Nennleistung betrieben werden oder ausgeschalten sind, von

36

selbst an. Wird jedes Kraftwerk in einem Vektor codiert, welcher angibt, zu welchem Intervall innerhalb eines bestimmten Zeitraumes dieses Kraftwerk welchen Zustand aufweist, so entsteht eine Matrix mit den Intervallen in den einzelnen Spalten und den Kraftwerken in den einzelnen Zeilen. Die Gesamtzahl der Elemente gibt die Größenordnung der Dimension des Optimierungsproblems an (genau genommen gibt das Quadrat des Ranges der entstehenden Matrix die Dimension an).

Anwendungen der einfachen genetischen Algorithmen sind zu finden in [54], wo der Energieeinsatz einer Kombination von thermischen und Wasserkraftwerken durchgeführt wird, und in [55], wo nur thermische Kraftwerke betrachtet werden. Es werden teilweise recht große Systeme mit bis zu 100 Einheiten betrachtet. Da für jede Einheit jedoch nur untersucht wird, ob sie ein- oder ausgeschaltet ist, bleibt die Komplexität des Problems relativ gering. Es wird mit einer Populationsgröße von 50 Individuen zwischen 500 und 5000 Generationen lang gerechnet. Der Rechenzeitbedarf liegt bei einer knappen halben Stunde. Um die Konvergenz zu beschleunigen, ist es hilfreich, dem Algorithmus heuristische Hilfestellungen zu geben. Dies geschieht in [54] durch eine geschickte Konstruktion des Mutationsoperators. Dieser führt die Mutationen immer gleichzeitig an zwei Individuen aus. Die Leistung, die ein Kraftwerk weniger abgibt, muss ein anderes mehr abgeben. Solche Hilfestellungen sind sinnvoll, da sich die Lösung eines Optimierungsproblems häufig am Rand des Lösungsraumes befinden. Damit ist es sehr wahrscheinlich, dass eine Vielzahl der neu erzeugten Individuen in der Nähe des Optimums im unzulässigen Bereich liegen, was die Konvergenz sehr stark verlangsamen kann, wenn keine Gegenmaßnahmen getroffen werden.

Die Optimierung mit genetischen Algorithmen kann auch verwendet werden, um ertrags-optimale (profitmaximale) Fahrpläne in einer liberalisierten Umgebung zu erzielen [56].

Optimierungsverfahren mit genetischen Algorithmen werden auch kommerziell bzw. als Shareware angeboten, u. a. [57].

8.3 Kombination evolutionärer Algorithmen mit Lagrange-Optimierung Um die Konvergenz evolutionärer Algorithmen zu beschleunigen, werden diese häufig mit anderen Optimierungsverfahren kombiniert. Insbesondere versucht man die Fähigkeiten der evolutionären Algorithmen zur globalen Suche der ungefähren Lage des Optimums lokalen Suchverfahren zu kombinieren, welche dann die exakte Lage des Optimums sehr schnell finden können.

Da die Lagrange-Relaxation häufig Konvergenzprobleme aufweist, wird die globale Suche in [58] und [59] von genetischen Algorithmen übernommen.

In [58] wird die gesamte Optimierungsaufgabe in Form einer Lagrange-Funktion gestellt. Der genetische Algorithmus wird verwendet, um die Lagrange-Multiplikatoren zu bestimmen. Für ein System mit 100 Einheiten benötigt das in C geschriebene Verfahren rund 4000s zur Optimierung.

In [59] wird mit genetischen Algorithmen bestimmt, ob eine Einheit zu einem bestimmten Zeitpunkt ein- oder ausgeschaltet ist. Die genaue Leistung, die das Kraftwerk im eingeschalteten Zustand abgibt, wird mit der Lagrange-Relaxation bestimmt. Um minimale Betriebs- und Pausenzeiten einfach berücksichtigen zu können, wurde ein recht komplizierte Codierung gewählt, welche diese Anforderungen in einen binären Vektor überträgt. Bei Pumpspeicherwerken werden die Turbinen und die Pumpen jeweils als getrennte Kraftwerke betrachtet und codiert. Eine Logik sorgt für eine Verriegelung beider gegeneinander, so dass

37

Pump- und Turbinenbetrieb nicht gleichzeitig auftreten. Um die Konvergenz am Anfang zu verringern und eine hohe Diversität in der Population aufrechtzuerhalten wird für die Auswahl der Individuen für die nächste Generation eine Tournament Selection vorgeschlagen. Die besten Individuen werden außerdem noch verstärkt mutiert. Die Rechenzeit beträgt rund 10 Minuten. Die Darstellung der Kosten während der Optimierung zeigt wieder den häufig zu beobachtenden typischen Verlauf [59, S. 1466].

Bild 8.1 Kostenverlauf bei der Optimierung in [59, S. 1466] Auch ist die Verschlechterung des Konvergenzverhaltens bei einer ungünstigen Wahl der Mutationsrate gut zu beobachten.

Bild 8.2 Kostenverlauf bei unterschiedlichen Mutationsraten in [59, S. 1466]

38

8.4 Kombination evolutionärer Algorithmen mit anderen Optimierungsverfahren Neben der Kombination der evolutionären Algorithmen mit der Lagrange-Optimierung kommen auch einige andere Kombinationen zum Einsatz.

8.4.1 „Kulturelle Evolution“ In [60] werden sogenannte „memetic algorithms“ dargestellt. Sie versuchen eine „kulturelle Evolution“ zu simulieren. Das Grundprinzip dieser kulturellen Evolution liegt darin, dass eine Rückwirkung des Individuums (bzw. des „Besitzers“ des Chromosoms) auf die im Chromosom codierten Informationen ermöglicht wird. Damit ist es möglich, ungünstige Gene (für diese kulturelle Evolution nach [46] als „Meme“ bezeichnet) durch andere Verfahren zu verbessern. Das Verfahren entspricht also dem häufig auch mit dem Begriff „Lamarckismus“ bezeichneten Algorithmus [61].

Die Startpopulation wird mittels heuristischer Regeln initialisiert. Nach der Mutation wird jedes Individuum mittels einer lokalen Suchstrategie lokal optimiert. Hierfür kommt das Verfahren der Tabusuche zum Einsatz. Dies führt zu einer deutlichen Beschleunigung der Konvergenz. Die Qualität der Initialisierung hat keinen nennenswerten Einfluss auf das gefundene Ergebnis, da deren Effekte bereits bei der lokalen Optimierung in der ersten Generation weitgehend kompensiert werden. Als Auswahlverfahren für die Individuen der nächsten Generation kommt die Tournament-Selektion zum Einsatz.

Der „Memetic Algorithm“ findet eine nicht weiter verbesserbare Lösung meist innerhalb der ersten 25 Generationen, unabhängig von der Komplexität des Problems (von Sonderfällen abgesehen) [60, S. 126].

8.4.2 Kombination mit Tabusuche und „simulated Annealing“ Eine Verwendung ähnlicher Algorithmen bei einer jedoch anderen Herangehensweise wird in [62] vorgestellt. Die in 8.2 vorgestellte binäre Codierung wird grundsätzlich ebenfalls angewendet. Allerdings wird aus jeder Spalte eine dezimale ganze Zahl gebildet. Damit wird aus der binären Matrix ein dezimaler Vektor. Mittels des hier erläuterten Optimierungsverfahrens wird nur der Schaltzustand der Kraftwerke (Ein – Aus) festgelegt. Die tatsächlich abgegebene Leistung wird mittels quadratischer Programmierung bestimmt. Das Besondere an diesem Algorithmus ist, dass einige der neuen Individuen nicht durch Crossover gebildet werden sondern mittels der Tabusuche. Damit liegen diese neu erzeugten Individuen immer in der Nähe der Ausgangsindividuen. Es wird jedoch verhindert, dass der Algorithmus zwischen wenigen Lösungen hin- und herspringt. Durch die Tabuliste wird immer wieder die Bildung wirklich neuer Individuen erzwungen. Nach der Anwendung des Mutationsoperators und der Reparatur unzulässiger Individuen kommt das „simulated Annealing“ als lokales Optimierungsverfahren zum Einsatz.

Simulated Annealing (simuliertes Kühlen) ist ein Verfahren, welches prinzipiell die Vorgänge in einem sich abkühlenden Festkörper versucht abzubilden. Es ist eine abgewandelte Strategie des Hill-Climbings. In der Umgebung des Individuums wird ein neues Individuum erzeugt. Ist es besser, wird es übernommen. Ist es schlechter, wird es übernommen, wenn gilt

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( ) Τ∆

≤E

eU 1,0 (2.1)

mit ∆E – Erhöhung (Verschlechterung) der Zielfunktion

T – Temperaturparameter (zu Beginn z. B. 5000 [62, S. 833], wird während der Optimierung reduziert -> Abkühlung)

U(0,1) – Übernahmewahrscheinlichkeit eines schlechteren Individuums

Ansonsten wird es verworfen. Der Temperaturparameter wird im Laufe der Optimierung immer weiter verringert. Damit verringert sich die Wahrscheinlichkeit für schlechte Lösungen übernommen zu werden. Diese wahrscheinlichkeitsbehaftete Übernahme schlechterer Lösungen erlaubt es dem Algorithmus, lokale Optima zu verlassen.

8.4.3 Diploide Genotypen Ein Verfahren, welches sich weiter an das biologische Vorbild der natürlichen Evolution anlehnt, wird in [63] vorgestellt. Hier wird ein diploider Genotyp verwendet. Im Gegensatz zu den sonst verwendeten Genotypen (Codierung der Individuen – Chromosom), bei dem jedes Individuum nur einen Chromosomensatz trägt (haploid), trägt hier jedes Individuum einen doppelten Chromosomensatz. Ein Chromosom ist dabei dominant, das heißt, es bestimmt die Eigenschaften des Individuum. Das andere Chromosom ist rezessiv, das heißt, es tritt bei diesem Individuum nicht in Erscheinung, kann aber vererbt werden und in einem Nachkommen dominant auftreten. Diese diploide Struktur erlaubt es den Individuen, Merkmale an ihre Nachkommen weiterzugeben, die zum gegenwärtigen Zeitpunkt nicht unbedingt optimal sind. Da auch auf das rezessive Chromosom die genetischen Operatoren wie Crossover und Mutation angewendet werden, kann die Information in diesem Chromosom verändert und variiert werden, ohne dass sie sofort eine überlegene Eigenschaft darstellen muss bzw. in kurzer Zeit ausstirbt, wenn sie eine zum gegenwärtigen Zeitpunkt eher negative Eigenschaft codiert. Dies erlaubt der Evolution, ohne diesen strengen Selektionsdruck mit dem Erbmaterial zu „spielen“, um zu Lösungen zu gelangen, die erfordern, zuerst ein Gebiet schlechter Lösungen im Lösungsraum zu durchschreiten. Außerdem wird damit eine größere Diversität in der Population aufrechterhalten.

Der Dominanzmechanismus für ein bestimmtes Allel mit zwei möglichen Ausprägungsformen kann geschrieben werden als

aaaAaAAAaAAA →→→→ ,,, .

Durch eine entsprechende Boolesche Algebra wird dieser Mechanismus auf das entsprechende Gen angewendet, um die dominanten Allele zu bestimmen.

Der Crossover für diploide Genotypen ist auch komplizierter als der für haploide. Zuerst werden die Chromosomensätze separiert, das heißt, aus dem doppelten Chromosomensatz, von dem jeweils ein Satz vollständig dominant ist und einer vollständig rezessiv, wird ein neuer Chromosomensatz gebildet, indem für das erste Chromosom jeweils zufällig dominante und rezessive Allele miteinander kombiniert werden. Das zweite Chromosom besteht dann aus den jeweils anderen Allelen. Jeweils ein Chromosomensatz des Individuums wird dann mit einem entsprechend separierten Chromosomensatz eines anderen Individuums

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rekombiniert. Damit entsteht wieder ein Individuum mit einem doppelten Chromosomensatz. Dieses Verfahren soll an dem in [63, S. 1270] gegebenen Beispiel dargestellt werden.

Gegeben sind zwei Individuen

'''' dcbadcba

und

'''' hgfehgfe

Eine mögliche Separierung könnte so aussehen:

'''' dcbadcba

→

dcbadcba

''''

'''' hgfehgfe

→

''''

hgfehgfe

Womit dann nach dem Crossover die folgenden Individuen entstehen können

hgfedcba

''''

und

''''

hgfedcba

.

Dies entspricht der Anwendung des „uniform Crossover“ auf diploide Genotypen.

Für die Einsatzoptimierung von einem System aus untereinander durch Flussläufe gekoppelte Wasserkraftwerke und thermische Kraftwerke erzielte das Verfahren mit den diploiden Genotypen wesentlich schneller gute Lösungen als das Verfahren mit den haploiden Genotypen. Die erforderliche Anzahl an Generationen, um ein vergleichbares Ergebnis zu erzielen reduzierte sich auf etwa ein Drittel [63, 1272].

8.5 Dezentralisierte Koordinierung Das in [64] vorgestellte Verfahren zeichnet sich weniger durch eine besondere Programmierung des evolutionären Algorithmus als vielmehr durch eine interessante Herangehensweise bei der Codierung des Problems in den Individuen aus.

Bei den meisten Verfahren der Einsatzoptimierung in Energiesystemen wird ein zentraler Dispatcher vorausgesetzt, der über das gesamte Wissen im Energiesystem verfügt und der die vollständige Kontrolle über alle Betriebsmittel im Energiesystem hat. Dieser besitzt ein Optimierungssystem, welches auf der Grundlage aller Informationen einen optimalen Fahrplan für die Betriebsmittel erstellt. Vorteil dieses Verfahrens ist, dass das Energiesystem als Gesamtheit optimiert werden kann. Dem stehen einige Nachteile gegenüber. Die Optimierungsaufgabe kann in komplexeren Energiesystemen so groß werden, dass sie rechentechnisch nicht mehr zu beherrschen ist. Außerdem müssen die Betreiber der Kraftwerke die gesamten Informationen über ihr Betriebsmittel an den Dispatcher

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weitergeben. Sie haben keine Verfügbarkeit (von Notabschaltungen und dergleichen abgesehen) über ihre eigenen Anlagen.

Der Ansatz von MacGill [64] liegt nun darin, anstatt des zentralen Optimierungsansatzes einen dezentralen zu wählen. Die Betreiber optimieren den Einsatz ihrer Anlagen praktisch selbständig, ohne wichtige Informationen an einen Dispatcher abgeben zu müssen. Es entsteht ein Netzwerk „autonomer Entscheidungsagenten“ [64, S. 113]. Die einzelnen Agenten erstellen sogenannte „Benefit-to-go-Funktionen“, die beschreiben, wie sie der Ertrag ihrer Anlage von deren Fahrweise abhängt. Der Dispatcher koordiniert die Anlagen nun so, dass die Summe aller Benefit-to-go-Funktionen über den gesamten Optimierungszeitraum ein Maximum erreicht. Der evolutionäre Algorithmus wird für die Bestimmung von Faktoren in diesen Funktionen benötigt. Die Bestimmung dieser Funktionen und der dazugehörigen Faktoren ist in [64] sehr ausführlich beschrieben. Daher soll hier nicht weiter darauf eingegangen werden.

8.6 Multikriterielle Optimierung Evolutionäre Algorithmen sind wegen ihrer Trennung von Algorithmus, Modell der Betriebsmittel und Fitnessberechnung besonders für die multikriterielle Optimierung geeignet. In jeder Generation muss die Fitness der Individuen bestimmt werden. Es gibt keinen Grund, dass die Fitness in jeder Generation nach den gleichen Verfahren bestimmt wird. So können die Optimierungskriterien von Generation zu Generation verändert werden. Damit wird eine Lösung gefunden werden, die wahrscheinlich den meisten der verwendeten Kriterien am besten entspricht. Findet der Algorithmus eine Lösung, bei der kein Kriterium mehr verbessert werden kann, ohne dass mindestens ein anderes sich verschlechtert, so spricht man von einer Pareto-optimalen Lösung.

Während einer einzelnen Generation wird mehrmals entsprechend der Fitness aus der Population ausgewählt. Es werden Individuen für die Rekombination benötigt, es müssen Individuen für die Mutation ausgewählt werden. Am Schluss müssen die überzähligen Individuen gelöscht werden, damit die Populationsgröße in jeder Generation gleich bleibt. Existieren mehrere Populationen nebeneinander, so können auch noch fitnessabhängige Wanderbewegungen und Individuentauschverfahren realisiert werden. Ein Verfahren, bei dem die Individuen für den Crossover nach einem anderen Kriterium ausgewählt werden wie die für die Übernahme in die neue Generation, wurde in [61] mit einigem Erfolg untersucht.

Die Bestimmung der Fitness bedeutet, dass entsprechend eines oder verschiedener Kriterien die Individuen in eine bestimmte Reihenfolge gebracht werden. Strengere Anforderungen existieren nicht bzw. können umgangen werden. Damit können auch sehr unterschiedliche Kriterien miteinander kombiniert werden.

Ein ähnliches Verfahren wird in [65] vorgestellt. Die Energieeinsatzoptimierung erfolgt hier nicht nur rein nach ökonomischen Gesichtspunkten. Die Kraftwerke werden auch entsprechend ihrer Emissionen bewertet. Aus den Pareto-optimalen Lösungen wird eine externe Population gebildet. Die Individuen dort werden getrennt von den anderen rekombiniert und ausgewählt. Nach bestimmten Kriterien werden Individuen aus der Pareto-optimalen Population in die einfache Population zurückgeführt. Die Anzahl der Individuen in der Pareto-optimalen Population wird durch Clustering konstant gehalten. Wird ein neues Individuum aufgenommen, so werden die beiden ähnlichsten zu einem Cluster kombiniert und eines der beiden Individuen wird gelöscht.

42

Die Emissionen werden in Abhängigkeit von der Leistung nach folgender Formel bestimmt.

( )( )∑ ⋅⋅+⋅+⋅+⋅=i

Piiiiiiges

iiePPPE λδγβα 201,0)( (2.2)

Es wird über alle Generatoren summiert. Die Emissionen ergeben sich in t/h. Der Ausstoß von CO2 wird nicht mit berücksichtigt. Es geht im wesentlichen um SOx und NOx. Für die betrachteten Kraftwerke sind die Werte der Faktoren in Tabelle 8.1 gegeben.

Tabelle 8.1 Faktoren für Emissionsberechnung [65, S. 6]

Generator α β γ δ λ

1 4,091 -5,55 6,490 2*10-4 2,857

2 2,543 -6,05 5,638 5*10-4 3,333

3 4,258 -5,09 4,586 1*10-6 8,000

4 5,426 -3,55 3,380 2*10-3 2,000

5 4,258 -5,09 4,586 1*10-6 8,000

6 6,131 -5,56 5,151 1*10-5 6,667

8.7 Weitere Anwendungen Weitere Anwendungen evolutionärer Verfahren, d. h. evolutionärer Strategien, genetischer Algorithmen oder Kombinationen beider und mit anderen Verfahren sind unter anderem zu finden in:

[2]

Diese Arbeit betrachtet den Einsatz für das „Unit commitment“, d. h. welche Kraftwerke im untersuchten Zeitraum eingeschaltet werden. Die Aufteilung der Leistung erfolgt mit einem anderen Algorithmus, der im Paper nicht näher erläutert wird. Für diese Entscheidung ist die binäre Codierung der genetischen Algorithmen sehr gut geeignet.

[66]

In diesem Paper wird das Optimierungsproblem mittels Lagrange-Relaxation relaxiert (Relaxierung systemweiter Nebenbedingungen mittels Lagrange-Multiplikatoren) und dann in mehrere Teilprobleme zerlegt. Diese bilden Subpopulationen, die mittels evolutionärer

43

Algorithmen optimiert werden. Im Vergleich zu einfachen genetischen Algorithmen wurde ein geringerer Rechenzeitbedarf beobachtet. Das Problem besteht darin, dass bedingt durch die Lagrange-Relaxation meist nur suboptimale Lösungen gefunden werden.

[67]

Bedingt durch die vielen Nichtlinearitäten sind besonders Systeme mit Kombinationen aus thermischen und Wasserkraftwerken für den Einsatz genetischer Algorithmen geeignet. In dem betrachteten Paper wird mittels eines solchen Algorithmus der Einsatz der Wasserkraftwerke im brasilianischen Energiesystem optimiert. Hier steht eher die Langzeitoptimierung unter Berücksichtigung der Energienebenbedingungen, die sich durch die wetterbedingte Veränderung der Wasserzuflüsse der großen Flüsse im Verlauf mehrerer Jahre ergeben.

[68]

Ein interessanter Ansatz zur Bestimmung der Standardabweichung der Verteilung der Zufallszahlen, die den jeweiligen Elementen des Vektors bei der Mutation dazuaddiert werden, ist in diesem Beitrag gegeben. Wird die Leistung in realen Werten codiert, so kann σ wie folgt berechnet werden.

( )minmax

maxii

si PP

ff

−⋅⋅= βσ (2.3)

mit σi – Standardabweichung der Zufallszahl

β - Skalierungsfaktor

fs – Fitness des s-ten Individuums

fmax – maximale Fitness in der Population

Pi max – maximale Leistung an i-ter Stelle des Chromosoms

Pi min – minimale Leistung

Mit zunehmender Konvergenz nimmt dann auch die Streuung der Mutationen ab und es wird intensiver in dem Gebiet gesucht, wo vermutlich das Optimum liegt. Die Rechenzeiten für ein System mit 10 Generatoren lagen bei dem in Fortran programmierten Algorithmus auf einem 850 MHz-Rechner bei 30 bis 45 Minuten.

44

[69]

Eine Möglichkeit, die Konvergenzgeschwindigkeit genetischer Algorithmen bei „schönen“ Zielfunktionen zu erhöhen, besteht darin, den genetischen Algorithmus zum großräumigen Durchsuchen des Lösungsraumes einzusetzen und für die lokale Optimierung andere Verfahren zu verwenden. Ein solches Verfahren kann z. B. Simulated Annealing sein.

[70]

Dieser Beitrag stellt einen Algorithmus vor, der ebenfalls mit skalierbarer Streuung der Mutationen arbeitet und außerdem Lieferverträge (in Form von Leistungsblöcken) mit in die Optimierung einbezieht.

45

9 Weitere Verfahren In diesem Kapitel werden weitere Verfahren zur Energieeinsatzoptimierung vorgestellt, die sich in die bisher betrachteten Gruppen nicht oder nur schwer einordnen lassen.

9.1 Künstliche neuronale Netze

9.1.1 Einführung Rückgekoppelte künstliche neuronale Netze, z. B. Hopfield Netze, bilden nicht eine einfache Übergangsfunktion ab. Neben den Eingangsgrößen hängt die Ausgabe des Netzes auch noch vom gegenwärtigen Zustand der Anregung der einzelnen Neuronen ab [u. a. 71]. Diese wiederum ist vorgegeben durch den Verlauf der Eingangsgrößen in der Vergangenheit.

Wird nun ein Netz angeregt, so kommt es zu einer Veränderung der Netzausgabe. Diese ist nicht konstant in der Zeit. Das Netz muss nun solange berechnet werden, bis die Netzausgabe zu einem Ruhezustand hin konvergiert [37, S. 137ff.] (siehe Erläuterung im Kapitel 7). In einer Energiebetrachtung kann dieses Konvergieren so verstanden werden, dass die Energie des Netzes ein Minimum annimmt. Damit sucht das Netz das Minimum der Energiefunktion. Wird eine Zielfunktion so in das Netz integriert, dass sie der Energiefunktion entspricht, so wird bei einer Anregung die Zielfunktion minimiert. Das Netz führt damit eine Optimierung durch und findet das (lokale) Optimum der Zielfunktion.

Häufig wird jedoch nicht die Zielfunktion direkt mit dem neuronalen Netz optimiert, da die Integration von Nebenbedingungen schwierig ist. Diese wird durch das Einführen einer Lagrange-Funktion realisiert. Das neuronale Netz generiert nun die entsprechenden Lagrange-Faktoren, die ein (lokales) Optimum der Zielfunktion unter Einhaltung aller Nebenbedingungen beschreiben.

9.1.2 Einsatzoptimierung von Wasserkraftwerken In [72] wird ein Verfahren zur Optimierung des Einsatzes von Wasserkraftwerken, die in Reihe geschaltet sind und bei denen verschiedene Randbedingungen (wie z. B. Mindest-wassermengen, Veränderung der Wassermengen durch Witterungsbedingungen und Bewässerung) vorgegeben sind, vorgestellt. Auch hier werden die Nebenbedingungen der Zielfunktion in Form einer Lagrange-Funktion in die zu optimierende Funktion integriert. Um die Lagrange-Faktoren zu finden, wird ein zweistufiges künstliches neuronales Netz eingesetzt. Da die Aktivierungszustände der Neuronen kontinuierlich verändert werden können, findet das Netz eine kontinuierliche Lösung anstatt einer diskreten.

In der ersten Stufe wird für eine Einhaltung der Randbedingungen gesorgt [72, S. 391]. Wenn eine Verletzung einer Randbedingung auftritt, so wird deren Größe und Richtung in das Netz zurückgespeist, um die entsprechenden Aktivierungszustände der Neuronen anzupassen. Damit kommt es zu einer Kontraktion des Lösungsraumes.

In der zweiten Phase findet eine Minimierung der Energiefunktion statt. Danach wird in der Schleife wieder zur ersten Stufe zurückgekehrt, um die Einhaltung der Randbedingungen zu überprüfen. Diese Schleife wird solange durchlaufen, bis die Energiefunktion des Netzwerkes

46

ein Minimum erreicht hat und gleichzeitig alle Randbedingungen erfüllt sind. Der Rechenaufwand steigt nur linear mit der Komplexität des Problems an.

9.1.3 Einsatzoptimierung von thermischen Kraftwerken Künstliche neuronale Netze können ebenfalls zur Einsatzoptimierung thermischer Kraftwerke eingesetzt werden wie in [73] dargestellt. Das Problem der Einsatzoptimierung wird für ein Energiesystem, welches nur aus thermischen Blöcken besteht als Minimierung der Summe quadratischer Funktionen beschrieben.

( ) min2 →⋅+⋅+= ∑i

iiiiiges PcPbaK (2.1)

Die Kosten, die ein einzelner Block verursacht, werden als quadratische Funktion von der abgegebenen Leistung angegeben. Die Faktoren a,b,c hängen vom jeweiligen Block ab. Für das untersuchte Energiesystem liegen sie in der Größenordnung von

Tabelle 9.1 Kosten thermischer Kraftwerke [73, S. 543]

Faktor minimaler Wert häufigster Wert

(geschätzter Mittelwert)

größter Wert

a [€/h] 360 700 1000

b [€/MWh] 14 18 19,8

c [€/MW2h] 0,0007 0,005 0,07

Die Leistungen der einzelnen Blöcke liegen zwischen 20 und 150MW für die minimale Leistung und 80 bis 600MW für die maximale Leistung.

An- und Abfahrkosten, Kosten für Leistungsänderungen und weitere Kostenbestandteile können mit diesem einfachen Modell nicht berücksichtigt werden. Außerdem können keine nichtthermischen Betriebsmittel mit einer anderen Kostenkennlinie oder zeitintegralem Verhalten (Speicher) berücksichtigt werden. Dafür werden die Verluste der Übertragungsleitungen mit in die Optimierung einbezogen.

Die Gewichtsfaktoren der Neuronen eines Hopfield-Netzes werden mit einem angepassten Algorithmus ermittelt, welcher sie auf der Grundlage des Leistungsdefizites bzw. Leistungsüberschusses berechnet.

9.2 Interior-point Methoden Interior-point Methoden gehören zu den Verfahren der linearen Programmierung. Im Gegensatz zur Simplex-Methode, die entlang des Randes des Lösungsraumes nach einem Optimum sucht, bewegt sich die interior-point Methode durch die Mitte des Lösungsraumes, um zum nächsten zu untersuchenden Punkt zu gelangen [74]. Sie konvergieren deutlich

47

schneller gegen das Minimum als eine Simplex-Methode. Allerdings sind sie nicht in der Lage, das exakte Optimum zu finden. Sensitivitätsanalysen sind ebenfalls nicht möglich [75]. Soll das globale Optimum gefunden werden, so muss die Methode erweitert werden [75].

Erweiterte Methoden sind in der Lage, verschiedene Arten von Problemen zu optimieren. Diese können linear oder auch nichtlinear sein, sie können konvex oder nichtkonvex (dann keine Garantie, dass optimale Lösung gefunden wird) sein [76]. Eine der Schwierigkeiten aller interior-point Methoden liegt darin, unzulässige Lösungen zu erkennen. Der Rechenaufwand ist relativ gering. Er wird dominiert durch die Aufgabe, große, schwach besetzte, lineare Gleichungssysteme zu lösen, wofür gute Lösungsprogramme existieren. Ein Programmpaket zu interior-point Methoden für Matlab ist LIPSOL [77]. Es läuft allerdings nur auf Matlab unter Unix, da die Software auf Fortran basiert.

9.3 Degenerierte Lösungen bei linearer Optimierung Bei Aufgaben der linearen Optimierung liegt die Lösung immer auf dem Rand des Lösungsraumes. Dieser wird durch Geraden begrenzt. Daher wird die Lösung meist an einem Schnittpunkt zweier Geraden liegen. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, dass entweder mehrere Schnittpunkte die gleiche optimale Lösung aufweisen, dann gibt es mehrere Optima, oder dass das Optimum nicht an einem Schnittpunkt liegt, sondern, dass alle Werte einer Gerade den gleichen optimalen Wert aufweisen. In diesem Fall gibt es unendlich viele optimale Lösungen. Da als Optimierungsergebnis eine einzelne Lösung ausgegeben werden soll, muss ein Verfahren gefunden werden, mit dem aus der Vielzahl der Lösungen eine ausgewählt wird. Eine Möglichkeit besteht darin, zufällig einen Punkt zu wählen. Da alle gleich gute Ergebnisse liefern, ist es gleich, welcher Punkt gewählt wird.

Weitere Methoden hängen von der Art des Optimierungsproblems ab. Bei einem Auktionsproblem [75] besteht die Möglichkeit, bei gleich guten Geboten, die Bieter in der Reihenfolge des Eingangs ihres Gebots zu berücksichtigen.

9.4 Auktionen und Wettbewerb Im Rahmen des liberalisierten Energiemarktes entscheidet nicht mehr das Energieversorgungsunternehmen als Monopolist über den Einsatz der Betriebsmittel, die Menge der Erzeugung und den Preis der gelieferten Energie. Diese Fragen werden jetzt durch die Kräfte des Marktes beantwortet. Einige Veröffentlichungen beschäftigen sich daher auch mit der Optimierung des Einsatzes von Betriebsmitteln unter Marktbedingungen und mit der Bestimmung des richtigen Preises für die Abgabe von Geboten zur Leistungslieferung an den Markt. Da nun, neben dem Kundenverhalten und dem Wetter, eine weitere Unbekannte, nämlich der Marktpreis, in den Planungen der Energieversorger auftritt, wurden verschiedene Instrumente geschaffen, um dieses Risiko zu begrenzen. Die meisten davon sind anderen Handelsgebieten entlehnt. Es handelt sich hierbei unter anderem um [78S. 21-31]:

Forward: nichtstandardisierte, feste vertragliche Vereinbarung zu bestimmtem Zeitpunkt eine bestimmte Energiemenge zu einem bestimmten Preis zu kaufen bzw. zu verkaufen.

48

Future: standardisierter Handelsvertrag zum Kauf bzw. Verkauf einer bestimmten Energiemenge zu bestimmtem Zeitpunkt und Preis.

Beide kommen meist nicht zur physischen Ausführung sondern werden zur Preissicherung angewendet.

Swap: Vereinbarung über den Austausch von Geldzahlungen, Handelsvertrag wird abgeschlossen, jedoch physisch nicht ausgeführt, lediglich der Differenzbetrag zwischen aktuellem und vereinbartem Preis fließt.

Option: Option, zu einem bestimmten Zeitpunkt eine bestimmte Energiemenge zu einem bestimmten Preis zu kaufen (Call) oder zu verkaufen (Put).

Caps und Floors: Absicherung eines Maximal- bzw. Minimalpreises.

Bei Auktionen wird zwischen „1.-Preis-“ und „2.-Preis-“ Regel unterschieden [79]. Bei ersterem werden die Bieter, die einen Zuschlag erhalten zu dem Preis ihres Gebotes bezahlt. Bei zweiterem werden sie zum Preis des billigsten Gebotes, welches den Zuschlag nicht erhalten hat, bezahlt. Die erste Regel macht die Ausgestaltung des optimalen Gebotes deutlich komplizierter, während bei der zweiten Regel das Bieten zum echten Preis die sinnvollste Strategie darstellt. Da man einen Preis erhält, der unabhängig vom Gewinnaufschlag auf den eigenen Preis ist. Bei einem hohen Gewinnaufschlag sinkt jedoch die Chance, den Zuschlag zu erhalten.

Für den Energieversorger besteht nun das Problem darin, seine Bietestrategie so zu wählen, dass er maximale Gewinne erzielt und trotzdem handlungsfähig bleibt. Das Gebot kann abgegeben werden als allgemeine Leistungslieferung, Regelleistung, Regelreserve oder Ausfallreserve [79]. Das optimale Gebot eines Bieters besteht aus seinen eigenen Kosten und einem Aufschlag, welcher von seinen Kosten und der Wahrscheinlichkeit, den Zuschlag zu erhalten, abhängt [79, S. 978]. Die Bieter haben kein Interesse nur ihre echten Kosten zu bieten, da dann zwar die Wahrscheinlichkeit eines Zuschlages sehr hoch wäre, jedoch kein Gewinn anfallen würde.

Neben dieser einfachen Möglichkeit wird in [80] ein aufwändigeres Verfahren vorgestellt, welches den optimalen Gebotspreis für den jeweiligen Bieter mit dem Verfahren der Lagrange-Relaxation bestimmt.

Der hier beschriebene Marktmechanismus muss nicht real stattfinden. In [81] wird ein System vorgestellt, welches Einsatzoptimierung thermischer Blöcke dadurch realisiert, dass es einen Energiemarkt simuliert. Dort optimieren alle Einheiten für sich jeweils ihren Gebotspreis. Der Marktmechanismus setzt für jedes Intervall die jeweils dann billigsten Einheiten ein. Da Gebote immer als Rechteck aus Leistung mal Anzahl von zeitlichen Intervallen (zu einem bestimmten Preis) abgegeben werden, kommt es durch die Marktliberalisierung zum häufigeren Auftreten von steilen Leistungsgradienten, da die Intervalle alle zur gleichen Zeit beginnen.

Die Startkosten thermischer Blöcke hängen exponentiell von der Pausenzeit ab [81, S. 472]

49

−⋅+=

−

Abkühlung

tetausgeschal

1kaltStart heißStart τt

Start eKKK (2.2)

Weiterhin werden im Energiesystem „Ausgleichseinheiten“ benötigt, die, unabhängig von den blockartigen Geboten, jederzeit die Leistungsbilanz exakt ausgleichen. Die Reihenfolge der Zuteilung dieser Blöcke ist zufällig [81, S. 474].

9.5 Tabusuche Das Grundprinzip der Tabusuche besteht darin, Bewegungen im Lösungsraum, die sich als schlecht erwiesen, zu speichern und in Zukunft zu vermeiden [82]. Es wird eine Population möglicher Lösungen gebildet. Ausgehend von dieser Population werden neue Lösungen erzeugt, indem die bisherigen leicht variiert werden. Nun werden die neuen Lösungen überprüft. Verletzen sie bestimmte Kriterien (werden z. B. Nebenbedingungen verletzt oder ist die neue Lösung schlechter) so wird der entsprechende Zug (die Variation) als „schlecht“ bewertet und in einer sogenannten „Tabuliste“ gespeichert. In der Zukunft werden gleiche Züge vermieden. Dies führt dazu, dass Züge, die zu keiner Ergebnisverbesserung beitragen vermieden werden, was vor allen Dingen Rechenaufwand spart und die Konvergenz-geschwindigkeit erhöht.

Um das Steckenbleiben in lokalen Optima zu vermeiden, wird für die Tabuliste häufig eine bestimmte Länge vorgegeben. Werden neue schlechte Züge aufgenommen, so werden die ältesten gelöscht und damit „vergessen“. So kann später unter anderen Bedingungen ein „schlechter“ Zug durchgeführt werden und gegebenenfalls zu einer Ergebnisverbesserung führen. Manchmal wird auch eine bestimmte Wahrscheinlichkeit vorgegeben, mit der ein schlechter Zug in die Tabuliste aufgenommen wird oder trotz Ergebnisverschlechterung durchgeführt wird.

Meist wird das Verfahren der Tabusuche mit evolutionären Strategien kombiniert [82, S. 109]. Dann wird die Entwicklung der Population durch evolutionäre Operatoren realisiert. Die Tabuliste dient dazu, die Bewegung der Population im Lösungsraum in eine bestimmte (hoffentlich optimale) Richtung zu zwingen.

9.6 Fuzzy Logik Für regelbasierte Algorithmen können anstatt Regeln in Form der klassischen Logik auch Fuzzy Logik Regeln verwendet werden [83, 84, 85]. Diese erlauben es insbesondere mit unsicherheitsbehafteten Größen relativ einfach umzugehen. Außerdem können die Regeln häufig wesentlich vereinfacht werden, wenn nicht mit exakten Werten gearbeitet werden muss, sondern wenn auch Angaben wie „viel“ oder „bald“ zulässig sind.

Die Funktion der Fuzzy Logik soll hier nicht weiter erläutert werden. Es wird auf [83] und [84] verwiesen.

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Die Fähigkeit der Fuzzy Logik mit unscharfen Eingangsgrößen umzugehen, kann genutzt werden, um „harte“ Grenzen in „weiche“ zu verwandeln. Dies biete sich für „weiche“ Nebenbedingungen an wie für die Bestimmung der notwendigen Regelreserve. Da die Leistungsprognosen unsicher sind, hat es keinen Sinn, exakte Werte für die Regelreserve vorzugeben und diese mit großem Aufwand einzuhalten. Ein Beispiel für die Verwendung weicher Größen für die Regelreserve zeigt [86].

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