OPTIMIZACION RESTRINGIDA FUKL

OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA

YANNETH DIMAS ARIAS

CURSO DE MÉTODOS NUMÉRICOS

DocentePervys Rengifo

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZFACULTAD DE INGENIERÍA

Bogotá, noviembre 21 de 2005

Métodos Numéricos-Yanneth Dimas Arias

Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad.

Albert Einstein

Métodos Numéricos-Yanneth Dimas 2

INTRODUCCIÓN

Con el pasar de los tiempos el hombre ha querido simplificar procesos manuales que lo han llevado a una vida operativa, y por ende sin un aprovechamiento del tiempo, de los recursos, lo cual se traduce en costo (desperdicio de los recursos), para pensar y desarrollar ideas que propongan la mejora continua de los procesos.

Es así como el hombre comienza a indagar formas diferentes de procesar información, y comienza a ver que a través de las máquinas las operaciones pueden efectuarse rápido y automáticamente.

En numerosas ciencias, se hace necesario el estudio y análisis de fenómenos del mundo real, y por ello se hace necesaria la aplicación del método científico a este estudio. Como se sabe una de las fases de la aplicación del método científico se basa en la construcción de modelos o formulación de hipótesis. Es importante resaltar que un modelo esta realmente definido por las relaciones que incorpora. Estas relaciones son independientes de los datos a introducir en el modelo, ya que un modelo puede ser usado para diferentes ocasiones y en varios contextos diferentes.

Es así como se llega a la investigación de operaciones, en la cual se aplica el método científico por un grupo de personas a un problema, principalmente relacionado con la distribución eficaz de recursos limitados a través de los métodos de optimización aplicables a los problemas, como lo es la optimización restringida.


OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA

La optimización hace referencia a la minimización o maximización de una determinada función, que busca como objetivo validar o no la construcción de un modelo (representación ideal de un sistema y la forma en que este opera).

Dentro del proceso de optimización se requiere de un modelo matemático, producto de una abstracción de un sistema real; en el cual se eliminan complejidades y se hacen las suposiciones pertinentes, se aplica una técnica matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo.

Para la construcción del modelo matemático se debe tener en cuenta los siguientes elementos:

Las variables de decisión y parámetros; incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar.

Las restricciones; relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. El valor de estas variables deben ser mayor a cero.

La función objetivo; también llamada función criterio, la cual establece una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Siempre que una función alcance un mínimo o un máximo (interior), su pendiente será cero


En el proceso de optimización restringida se tiene en cuenta las restricciones del modelo, las cuales son representadas por ecuaciones independientes.

Como la función objetivo y las restricciones son lineales dentro del modelo, se utilizan métodos que aprovechan la linealidad de las mismas. Para lo cual, se emplean métodos de programación lineal, que resuelven problemas con una cantidad considerable de variables y restricciones.

La programación lineal trata de un conjunto de técnicas que intentan obtener el mayor provecho posible de un sistema cuyo funcionamiento es descrito de un de un modo adecuado.

La programación Lineal esta relacionada con la teoría matemática que se denominó Optimización en el siglo XX. Dentro de los más destacados en el desarrollo de la programación lineal es George Bernard Dantzig, que formuló en 1947 el enunciado general al que se reduce cualquier problema de Programación Lineal y autor del método del simplex para la resolución de problemas.

La programación lineal consiste en dos partes principales; determinar la función objetivo y el conjunto de restricciones del modelo. La función objetivo se representa como:

= pago por cada unidad de la actividad que se lleva a cabo.Los coeficientes son números reales y se les llama coeficientes de beneficio o costo. Representan los datos de entrada del problema.

= magnitud de la actividad.Las variables son variables de decisión o niveles de actividad, las cuales deben determinarse dentro del proceso de optimización.

Z = Pago total debido al número total de actividades, n.


Lo anterior con el fin de optimizar (maximizar o minimizar) la función objetivo.

Las restricciones se representan en forma general como:

cantidad e fuente que se consume por cada unidad de actividad.

Los coeficientes son números reales conocidos y se les denomina coeficientes tecnológicos.

cantidad de fuente que está disponible. Esta es la representación de las fuentes limitadas de recursos dentro del modelo.

El vector se llama vector de disponibilidades o requerimientos y son datos conocidos dentro del modelo.

Una de los requerimientos a los cuales están sujetas las restricciones tomadas en cuenta dentro del modelo es que debe tener un valor mayor o igual a cero.

Una vez obtenidas la función objetivo y las ecuaciones de las

restricciones, se tiene el problema de programación lineal.

El conjunto de valores de , los cuales satisfacen

simultáneamente todas las restricciones se le denomina región

factible. Cualquier punto dentro de la región factible representa un

posible programa de acción.

La solución óptima es el punto de la región factible que hace

máxima o mínima la función objetivo.


En un problema de Programación Lineal, según sean las

restricciones, se obtendrán poliedros diferentes, acotados o no, y

según sea la posición de la función objetivo respecto de dicho

poliedro se pueden originar diferentes situaciones. Según el tipo de

soluciones que presenten un problema de Programación Lineal

puede ser:

1. Factible:

Si existe la región factible. En este caso nos podemos encontrar:

Óptimo finito y único. La solución óptima está formada por un único

punto con coordenadas reales.

Múltiples óptimos. Un problema de Programación Lineal puede

tener más de un óptimo. Además, o bien el problema tiene un único

óptimo, o bien, tiene infinitos óptimos.

Óptimo infinito. Un problema de Programación Lineal puede tener

un óptimo no finito, es decir, la función objetivo puede tomar, un

valor tan grande o tan pequeño como se quiera sin abandonar la

región factible.

Región factible no acotada, óptimo finito. La no acotación de la

región factible no implica necesariamente óptimo infinito. Puede

ocurrir que la función objetivo alcance el óptimo en la zona acotada

de la región factible.

Región factible no acotada, óptimo finito e infinito. Puede darse el

caso que todos los puntos de una de las semirrectas que


determinan la región factible no acotada sean solución del

problema.

2. No factible:

Región factible vacía. El conjunto de restricciones de un problema

de Programación Lineal puede ser incompatible, conduciendo a una

región factible vacía.


Soluciones alternas

Problemas sin límites: Esto significa que esta bajorestringido, y por tanto con finales abiertos. Esto puede representa que existieron errores durante la especificación del problema.

La solución optima del modelo, se encuentra en uno de los puntos esquina (punto extremo) donde se encuentran dos restricciones.

Así mismo dentro de esta evaluación se debe tener en cuenta que no todo punto extremo es factible, es decir que no puede satisfacer todas las restricciones del modelo.

Una vez identificados los puntos extremos factibles, se procederá a identificar cual de todos estos ofrece el mejor valor de solución óptima en la función objetivo.

Con el fin de hallar la solución óptima del modelo de una manera eficiente, se emplea el método simplex. El cual fue desarrollado por George Datzing en 1947, con el fin de resolver problemas de programación lineal.


METODO SIMPLEX:

Este método simplex está basado en álgebra lineal y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Este método se basa en la suposición de que la solución óptima estará en un punto extremo. Así, el procedimiento debe ser capaz de discernir si durante la solución a un problema ocurre en un punto extremo. Por lo anterior, se infiere que es un proceso iterativo que permite ir mejorando la solución por cada iteración. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Con el fin de desarrollar el método simplex en cada una de sus fases, se tomará como referencia el siguiente problema:

Desarrollar formulación de programación lineal para maximar las utilidades de esta operación.


RECURSO REGULAR PREMIUM DISPONIBILIDAD DEL RECURSO

MATERIA PRIMA PARA LA GASOLINA

Tiempo de producción

Almacenamiento

Aprovbechamiento

PRODUCTO

toneldasm /7 3 toneldasm /11 3 s e m a n am /7 7 3

toneldahrs/10 toneldahrs /8 semanahrs /80

tonelada/150 tonelada/175tonelada9 tonelada6

http://www.investigacion-operaciones.com/#geo

http://www.investigacion-operaciones.com/#geo

Función objetivo- (maximización de ganancia):

Restricciones:


N. Descripcion Ecuación

1 Restricción de materiales

2 Restricción de tiempo

3 Restricción de almacenaje g. Regular

4 Restricción de almacenaje g. Premium

5 y 6 Restricción de positivas

77117 21 xx

80810 21 xx

91 x

62 x0, 21 xx

La función objetivo se puede incrementar hasta que alcance el valor mas alto que cumpla con todas las restricciones, gráficamente se mueve hacia arriba y a la derecha hasta que toca el espacio factible en un solo punto.

Los puntos y obtienen valores de 4.9 y 3.9 respectivamente cuando z=1.400, y cumple con solo tocar un solo punto del espacio factible.

Si se reemplazan los valores de estos puntos en las ecuaciones, cumplen con de restricciones dadas en el modelo


E

Z=1400

Z=600

A B

Z=0

F

D

77)9.3(11)9.4(7

80)9.3(8)9.4(10

99.4 69.3

Las fases para desarrollar el método simplex, son las siguientes:

1. Convertir las desigualdades en igualdades:

Las ecuaciones restricciones se reformulan como igualdades, para lo cual se incluyen dentro de la ecuación las variables de holgura. Estas variables miden cuanto de una fuente restringida esta disponible.

Para el problema se tienen 2 variables estructuradas, 4 variables de holgura y 6 ecuaciones con incógnitas.

La diferencia entre el número de incógnitas y el número de ecuaciones esta directamente relacionado con la forma como se puede distinguir un punto extremo factible.


PUNTO EXTREMO VARIABLES A CERO

A

B

C

D

E

21 , xx

22 , Sx

21 , SS

41 , SS

41 , Sx

Comenzamos con un punto extremo A, en donde y son iguales a cero. Lo cual hace que las ecuaciones originales sean:

2. Escribir la tabla simplex:

3. Luego igualamos la función objetivo a cero.

4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base.

La variable de entrada puede ser un coeficiente que tenga valor negativo, se escoge porque es la variable que usualmente lleva al incremento de Z. Si embargo se escogerá como variable de entrada la , ya que es la que nos conlleva más rápido nos llevará más rápido al máximo.

Para el cálculo de la variable de salida, se puede tomar como la razón de la columna solución al coeficiente correspondiente de

Intercepción = 77/7=11


Básica Z Solución Intercepción

Z 1 -150 -175 0 0 0 0 0

0 7 11 1 0 0 0 77 11

0 10 8 0 1 0 0 80 8

0 1 0 0 0 1 0 9 9

0 0 1 0 0 0 1 6

1S

2S

3S

4S

1x 2x 1S 2S 3S 4S

En este punto, se ha movido al punto B , y la nueva solución básica es ahora:

Ahora el sistema de ecuaciones define en forma efectiva los valores de las variables básicas en el punto B:

Se puede emplear el método de Gauss-Jordan, la cual implica convertir el elemento pivote a 1, y después eliminar los coeficientes en la misma columna arriba y abajo del elemento pivote.

Se toma como pivote (la variable de entrada) y el elemento pivote es 10, (coeficiente de la variable salida x ). Al dividir el renglón entre 10 y reemplazar por x se tiene:

Luego los coeficientes x en los otros renglones se pueden eliminar.


Básica Z Solución

Z 1-150 -175 0 0 0 0 0

0 7 11 1 0 0 0 77

0 1 0,8 0 0,1 0 0 8

0 1 0 0 0 1 0 9

0 0 1 0 0 0 1 6

1S

3S

4S

1x 2x 1S 2S 3S 4S

1x

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla

Esta tabla será útil para poder trabajar con la variable x , la cual tiene todavía como valor un número negativo, y por tanto se escoge como variable de salida.

De acuerdo con los valores arrojados por la interpolación (ahora se calcula como la columna solución sobre los coeficientes de la columna x ), la primera restricción tiene el valor positivo más pequeño y, por tanto, se selecciona a S como la variable entrada. Así el método simplex mueve los puntos de B a C

Una vez visto este resultado en la tabla se sabe que este es el resultado final ya que en las columnas x1 y x2 miembros de la función objetivo no quedan valores negativos.


Básica Z SoluciónInterpolación

Z 1 0 -55 0 0 0 0 1200

0 0 5,4 1-0,7 0 0 21 3889

0 1 0,8 00,1 0 0 8 10

0 0-0,8 0-0,1 1 0 1 -1,25

0 0 1 0 0 0 1 6 6

1S

3S

4S

1x 2x 1S 2S 3S 4S

1x

Básica Z SoluciónInterpolación

Z 1 0 010,18527,8704 0 0 1200 1413,889

0 0 10,1852-0,13 0 0 21 3,889

0 1 0-0,14810,2037 0 0 8 4,889

0 0 00,1481-0,204 1 0 1 4,111

0 0 0-0,18520,1296 0 1 6 2,111

1S

3S

4S

1x 2x 1S 2S 3S 4S

1x

La solución final es x =4.889 y x =3.889. De estos resultados se puede inferir que la función máxima de Z=1413.889, y que como SY S no fueron movidas, que la solución esta limitada por la primera y la segunda restricciones.

Observaciones:

Si en el problema de maximizar apareciesen como restricciones inecuaciones de la forma: ax + by c; multiplicándolas por - 1 se transforman en inecuaciones de la forma - ax - by - c y estamos en el caso anterior.

Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la función objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son negativos.

OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA NO LINEAL

Para la solución de problemas de optimización con funciones no lineales, se presentan diferentes procedimientos, los cuales se pueden clasificar en: directos e indirectos.

Dentro de los métodos directos, se encuentra el método de búsqueda del gradiente reducido generalizado (GRG), método utilizado en el Solver de excel, el cual tiene la característica de que en forma automática cambia al método del gradiente conjugado dependiendo de la disponibilidad de almacenamiento.

Este método reduce el problema a uno de optimización no restringida, en donde; resuelve un conjunto de ecuaciones no lineales para las variables básicas en términos de variables no básicas. Una vez efectuado la transformación de la ecuación se escoge el procedimiento cuasi-Newton (BFGS), el cual requiere el almacenamiento de una aproximación de la matriz Hessian.


PROGRAMACIÓN LINEAL EN EXCEL

La estrategia básica es llegar a una celda que esté optimizada como una función de las variaciones de las otras celdas sobre la hoja de cálculo.

Desarrollar formulación de programación lineal para maximar las utilidades de esta operación.

Como primer paso se debe acondicionar la hoja de excel con los datos del producto dados en el problema para usar el Solver para la programación lineal.

Una vez diligenciados los campos requeridos de la tabla, se busca la opción Solver en la barra de Menú- Herramientas


RECURSO REGULAR PREMIUM DISPONIBILIDAD DEL RECURSO

MATERIA PRIMA PARA LA GASOLINA

Tiempo de producción

Almacenamiento

Aprovbechamiento

PRODUCTO

toneldasm /7 3 toneldasm /11 3 s e m a n am /7 7 3

toneldahrs/10 toneldahrs /8 semanahrs /80

tonelada/150 tonelada/175tonelada9 tonelada6

Regular Premium Total DisponibilidadProducido 0 0

Materia Prima 7 11 0 77Tiempo 10 8 0 80Almacen. Regular 0 9Almacen. Premium 0 0 6

Aprov. Por Unidad 150 175Aprovechamiento 0 0 0

Obtención de la maximación de utilidades de la produccion de gasolina


Luego en el cuadro de dialogo de Solver:


Regular Premium Total DisponibilidadProducido 4,888889 3,888889

Materia Prima 7 11 77 77Tiempo 10 8 80 80Almacen. Regular 4,888889 9Almacen. Premium 0 3,888889 6

Aprov. Por Unidad 150 175Aprovechamiento 733,33335 680,555575 1413,889

Obtención de la maximación de utilidades de la produccion de gasolina

Celda donde se localiza la función Objetivo

Se registran el grupo de restricciones que acompañan el problema

Celdas en donde se encuentran las variables de decisión.

PROGRAMACIÓN NO LINEAL EN EXCEL

Se debe determinar las dimensiones de un tanque cilíndrico para el transporte de desechos que se van a trasladar en un camión, se debe asegurar que mantenga la cantidad requerida de líquido y que no exceda las dimensiones de la caja del camión. Debido a que el tanque transporta desechos tóxicos, se requiere de un espesor especificado por ciertos reglamentos.

Al analizar el problema nos damos cuenta que:


L

Lmax

Dmax

D

t t

El tanque consiste en dos placas soldadas en cada extremo del cilindro.El costo del tanque involucra dos componentes:

a) gasto del material, el cual está basado en el pesob) gastos de soldadura que se basan en la longitud necesaria

para soldar.

El objetivo es conseguir construir un tanque con el menor costo posible.

El costo esta relacionado con las variables de diseño (longitud y diámetro), ya que tienen efecto sobre la masa del tanque y las longitudes a soldar.

Restricciones:a) Ajustar a la caja de camiónb) Contener el volumen requerido de material.

Parámetro Símbolo Valor UnidadesVolumen requerido Vo 0,8 m3Espesor t 3 mDensidad p 8000 kg/m3Long. de la caja Lmax 2 m3Ancho de la caja Dmáx 1 m3Costo del material Cm 4,5 $/kgCosto por soldadura Cw 20 $/m

La función objetivo es:

Donde C= costo, m= masa, longitud a soldar (m) = factor de costo para la masa y para la longitud de la soldadura.


Este volumen esta restringido por el volumen deseado Vo

La longitud y el diámetro del cilindro deben acomodarse a la longitud de la caja del camión.

Entonces, se obtiene la siguiente función objetivo:

Con restricciones:

Luego m se convierte en:



Vo 0,8 D 1t 0,03 L 2p 8000

Lmax 2Dmáx 1 <= 1Cm 4,5 D 1 <= 2Cw 20 L 2 = 8

Vol 1,570796

m 1976,791w 12,94336 C 9154,425

Vcoraza 0,19415Vtapas 0,052948

Función Objetivo

Restricciones

Valores calculados

Diseño del tanque óptimo

Parametros Variables de diseño


Celda donde se localiza la función Objetivo

Celdas en donde se encuentran las variables de decisión.

Se registran el grupo de restricciones que acompañan el problema

Una vez efectuada la operación por el Solver, es detecta que el costo tendrá un decrecimiento respecto al calculado, ya que el volumen más pequeño tiene D=0.98 m y t=1.05 m.

METODOS INDIRECTOS:

En cuanto a los métodos indirectos se tienen las funciones de penalización, las cuales involucran expresiones adicionales para hacer la función objetivo menos óptima en tanto la restricción se aproxime a la restricción. Este método no es muy eficiente cuando se trata de un problema que contiene muchas restricciones.

De acuerdo a lo expuesto en este trabajo, se infiere que como una buena aplicación de la optimización se da en la investigación de operaciones, la cual es aplicada a la ingeniería de sistemas en el desarrollo de sistemas que cumplan con un diseño que utilice los recursos limitados del modelo.


Vo 0,8 D 0,982949t 0,03 L 1,054235p 8000

Lmax 2Dmáx 1 <= 1Cm 4,5 D 0,982949 <= 2Cw 20 L 1,064235 = 8

Vol 0,799998

m 1215,236lw 12,72909 C 5723,1438

Vcoraza 0,100646Vtapas 0,061259

Función Objetivo

Restricciones

Valores calculados

Diseño del tanque óptimo

Parametros Variables de diseño

CONCLUSIONES

La programación lineal es una herramienta poderosa para seleccionar alternativas en un problema de decisión

Dentro del planteamiento de modelo, se debe identificar la función objetivo, las variables de decisión, parámetros y las restricciones del problema, con el fin de llegar a una respuesta congruente de lo que se requiere.

La solución óptima es el punto de la región factible que hace máxima o mínima la función objetivo.

La programación lineal trata de un conjunto de técnicas que intentan obtener el mayor provecho posible de un sistema cuyo funcionamiento es descrito de un de un modo adecuado.

Dentro de las soluciones que se pueda obtener de un modelo matemático planteado están; las soluciones factibles, las soluciones no factibles, y problemas sin límite.

El método simplex está basado en álgebra lineal y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, este se basa en la suposición de que la solución óptima estará en un punto extremo de la región factible.

Una de las aplicaciones de la optimización esta dada en la investigación de operaciones aplicada en la ingeniería de sistemas, con el fin de lograr desarrollar “sistemas” que utilicen y aprovechen los recursos limitados de un modelo.


BIBLIOGRAFIA

Chapra, Steven & Canale R. Métodos Numéricos para Ingenieros. Tercera Edición. McGraw-Hill. México, 2001.http://www.investigacion-operaciones.com/operaciones.htm

http://www.investigacion-operaciones.com/Introduccion_modelizacion.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/prog_lineal_lbc/historia_pl.htm

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/opre/SpanishD.htm#rotherapplications

http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/prog_lineal_lbc/index_pl.htm


http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/prog_lineal_lbc/index_pl.htm

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