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OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES

FUNCIONES DE 2 VARIABLES

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Optimización de Sistemas

y Funciones. CONTENIDO

Carmen Aguilar

Marianlys Aguilera

José Valencia

Optimizar, Función,

Restricciones………………… 4

Variables de Decision y

Parametros…………………... 5

Funcion Objetivo…………… 5

Optimizacion

Sin Restricciones…………… 6

Importancia de la

Optimizacion sin

Restricciones………………... 7

Optimizacion para Todo…… 8

Funcion Objetivo de una

Variable……………………… 9

Funcion Objetivo de dos

Variables……………………. 10

Ejercicios Propuestos……... 12

Sopa de Letras…………….... 18

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¿Qué es Optimizar?

-Es Buscar la mejor manera de realizar una

Actividad.

Si la actividad puede modelizarse con una función

de una o varias variables, optimizar requiere hallar

el menor o el mayor valor de la función para los

valores admisibles de las variables.

¿Qué es una Función?

Una función es un objeto matemático que se

utiliza para expresar la dependencia entre dos

magnitudes, y puede presentarse a través de

varios aspectos complementarios.

¿Qué son Restricciones?

Las restricciones son relaciones entre las

variables de decisión y magnitudes que dan

sentido a la solución del problema y las acotan a

valores factibles

ConozCamos…

y = f(x)

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Variables de decisión y

parámetros.

Las variables de decisión son incógnitas

que deben ser determinadas a partir de la

solución del modelo. Los parámetros

representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar.

Función Objetivo La función objetivo es una relación matemática entre las

variables de decisión, parámetros y una magnitud que

representa el objetivo o producto del sistema

ConozCamos…

Si el objetivo del sistema es minimizar

los costos de operación, la función

objetivo debe expresar la relación entre

el costo y las variables de decisión. La

solución ÓPTIMA se obtiene cuando el

valor del costo sea mínimo para un

conjunto de valores factibles de las

variables.

Es decir hay que determinar las variables x1, x2,..., xn que

optimicen el valor de Z = f(x1, x2,..., xn) sujeto a

restricciones de la forma g(x1, x2,..., xn) ? b. Donde x1,

x2,..., xn son las variables de decisión Z es la función

objetivo, f es una función matemática.

Ejemplo

:

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OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES

-Optimizar una función es el proceso que

permite encontrar el valor máximo y/o

mínimo que puede tomar una función así

como aquellos valores de la variable

independiente que hacen que la función

sea óptima.

El método sin restricciones puede ayudar en gran

manera a la solución de ciertas clases de

problemas complejos en el área de ingeniería

causando un impacto significativo en la solución

de ciertos Problemas.

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Una buena técnica de

optimización de variables es

fundamental por al menos tres

razones:

• En muchos problemas las

restricciones se pueden incluir

dentro de la función objetivo, por

lo que la dimensionalidad del

problema se reduce a una

variable.

• Algunos problemas sin

restricciones, inherentemente

incluyen una única variable.

• Las técnicas de optimización

con y sin restricciones,

generalmente incluyen pasos de

búsqueda unidireccional en sus

algoritmos.

IMPORTANCIA DE LA OPTIMIZACIÓN SIN

RESTRICCIONES.

En optimización sin restricciones se minimiza una función

objetivo que depende de variables reales sin restricciones

sobre los valores de esas variables y su formulación es:

(OSR) = _minx

f(x) ∈IRn

Donde f es una función suficientemente regular.

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¡¡Optimización para

Todo!!!

La Optimización es aplicable a un sin

fin de problemas:

Diseño de aviones y estructuras aeroespaciales para

minimizar peso.

Encontrar trayectorias óptimas de vehículos espaciales

Diseño de estructuras de obras civiles (puentes, torres,

chimeneas, presa) al precio más bajo.

Peso mínimo de estructuras resistentes a terremotos y

viento.

Diseño de reservas de agua para un uso eficiente.

Camino más corto pasando por una serie de puntos.

Planificación de una producción óptima.

Análisis de datos estadísticos y construcción de modelos a

partir de datos experimentales para obtener la

representación más realista de un fenómeno físico.

Control de los tiempos de espera en una línea de

producción para minimizar costes.

Planificación de la mejor estrategia para obtener el máximo

beneficio en presencia de competidores.

Diseño óptimo de sistemas de control.

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Función Objetivo de Una variable.

Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener

el (los) máximo(s) o mínimo(s) relativo(s) serán:

1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e

igualarla a 0, dy0dx=0

2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y

revisar los signos. Esta condición es llamada “condición

suficiente”. Si un punto crítico es “a”, entonces:

f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un

máximo relativo

f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un

mínimo relativo

f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar

el test de las “derivadas sucesivas”:

Si el primer valor diferente de cero de una derivada de

orden superior, cuando se evalúa un punto crítico es una

derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.) la función

es un punto de inflexión.

Si el primer valor diferente de cero de una derivada de

orden superior, cuando es evaluado en un punto crítico

es una derivada de grado par, entonces la función es un

extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene valor

negativo entonces la función es cóncava en “a” (y por

ende, es un máximo relativo). Caso contrario, la función

es convexa y presenta un mínimo relativo en “a”.

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Función Objetivo de Dos Variables

Para que una función como z = f (x,y) tenga un mínimo o

máximo relativo, tres condiciones deben ser satisfechas:

1. Las derivadas parciales de primer orden deben

simultáneamente ser iguales a cero. Ello indica que en

un punto dado (a,b) llamado “punto critico”, la función

no está creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes

principales sino a una superficie relativa.

2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser

negativas cuando ellas son evaluadas en el punto crítico

(a,b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo

relativo. Ello asegura que la función es cóncava y

moviéndose hacia abajo en relación a los ejes

principales en el caso de un máximo relativo y la función

es convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los

ejes principales en el caso de un mínimo relativo.

3. El producto de las derivadas parciales de segundo

orden evaluadas en el punto crítico deben exceder el

producto de las derivadas parciales cruzadas también

evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es

necesaria para evitar un punto de inflexión. En resumen:

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En la situación que fxx fyy < (fxy)2, cuando fxx y fyy

tienen el mismo signo, la función esta en un punto de

inflexión. Caso contrario, la función estará en un punto de

silla. Si fxx fyy = (fxy)2 entonces se requeriría mayor

información.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

X1= 9 ; X2= 11

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EJERCICIOS PROPUESTOS

F’(X) = [(2X – 20) (X – 10)2 –(X2 – 20X + 99)

(2(X – 10))] / ((X – 10)2)2

F’(X) = (2 (X – 10)) [(X – 10)2 – (X2 – 20X +

99)] / (X – 10)4

F’(X) = (2 [X2 – 20X + 100 – X2+ 20X – 99] /

(X – 10)3

F’(X) = 2 (100 – 99) / (X – 10)3 = 2 / (X – 10)3

F” (9) = 2 / (9 – 10)3 = -2 < 0 ; máximo

F” (11) = 2 / (11 – 10)3 = 2 > 0 ; mínimo

Si X = 11

Y = 10 – 11 = -1 ---> Y = -1

Hay un mínimo en X = 11 , los números son : X = 11 ; Y =-1

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EJERCICIOS PROPUESTOS

2) Para la fabricación de un determinado producto, se necesita

invertir dinero en contratar empleados y comprar maquinas. El

dueño de la fábrica ha estimado que si compra “X” máquinas y

contrata “Y” empleados, el número de unidades de productos

que podía fabricar vendría dado por la función:

F (X, Y) = 90X – Y2 Cada máquina le supone una inversión de

2500 euros. Si el empresario dispone de un presupuesto de

22500 euros para este fin, determine el número de obreros que

debe contratar y el número de máquinas que debe comprar

para maximizar la producción.

F (X, Y) = 90X – Y2

2500X + 1500Y = 22500

5X + 3Y = 45 ---> Y = (45 – 5X) / 3

F(X) = 90X ((45 – 5X) / 3)

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EJERCICIOS PROPUESTOS

F(X) = 90X ((2025 – 450X + 25X2) / 9)

F(X) = 10X (25X2 – 450X + 2025)

F(X) = (250X3 – 4500X2 + 20250X)

F’(X) = (750X2 – 9000X2 + 20250)

F’(X) =0

750X2 – 9000X + 20250 = 0

X2 – 12X + 27 = 0

X = 9 ; Y = 0

X = 3 ; Y = 10

F’’(X) = 1500X – 9000

F’’(3) = 1500(3) – 9000 = -4500 < 0 ; maximo

F’’(9) = 1500(9) – 9000 = 4500 > 0 ; minimo

Para maximizar la producción se debe contratar 10 empleados y

comprar 3 maquinas.

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3) Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9

alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la

estructura de la empresa solo puede optar por dos tipos de

alarmas, de tipo A o de tipo B ; además, afirma que la seguridad

de la empresa se puede expresar como la décima parte del

producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el

cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B ¿Cuantas

alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para

maximizar su seguridad?

X ---> alarmas tipo B

Y ---> alarmas tipo A

Y = 9 – X

F(X) = (Y X2 / 10) = (9 - X) X2 / 10

F(X) = (9X2 – X3) / 10

F’(X) = (18X – 3X2) / 10

F’(X) = 0

(18X – 3X2) / 10 = 0

-3X (X - 6) = 0

X = 0 ---> Y = 9 – 0 = 9 ; P (0 , 9)

X = 6 ---> Y = 9 – 6 = 3 ; P (6 , 3)

EJERCICIOS PROPUESTOS

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EJERCICIOS PROPUESTOS

F’’(X) = (18 – 6X) / 10

F’’(0) = (18 – 6(0)) / 10 = 9 / 5 > 0 ; mínimo

F’’(X) = (18 – 6(6)) / 10 = - 9 / 5 > 0 ; máximo

P(6 , 3) ---> Hay un máximo en X = 6

Debemos instalar 6 alarmas de tipo “B” y 3 alarmas de tipo

“A”

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18

Sopa de Letras

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19

ALGORITMO DERIVADA EJERCICIO

FASES FORMULAS FUNCION

GRADIENTE HESSIANA MATEMATICA

MATRIZ MAXIMA MINIMIZAR

NEWTON NUMEROS OPTIMIZAR

PENDIENTE PROBLEMAS RESTRICCIONES

VALORES VARIABLE

Encuentra las

Palabras!!!

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