1

Proiect Piete Financiare

Masterand: Solomon Cristian Ioan

A.S.E., TACT Anul 2

2014

2

Optimizarea portofoliului de actiuni

1. Introducere

Teoria portofoliului Markovitz

Care este cel mai bun portofoliu? Această intrebare este, probabil, la fel de veche ca si piata

de capital in sine. Cu toate acestea, atunci cand Markowitz a publicat lucrarea sa despre

selectia de portofoliu in 1952 el a furnizat fundamentele pentru teoria moderna a portofoliului

ca o problemă de matematica. [2]

Randamentul unui portofoliu la momentul t poate fi definit ca valorea totala a portofoliului

impartita la valoarea portofoliului la um moment anterior t-1, adica

(1)

astfel fiind simpla modificare procentuala a valorii portofoliului de la un moment la altul.

Teoria portofoliului Markovitz aduce o metoda de a analiza cat de bun este un anumit

portofoliu bazandu-se doar pe media si varianta activelor pe care le contine portofoliul.

Investitorul se presupune ca este riscofob, prin urmare doreste o varianta mica a

randamentului (adica un risc mic) si un randament asteptat ridicat. [3]

Considerm un portofoliu cu n active diferite unde activul cu numarul i va aduce randamentul

. Notam cu si media si varianta corespunzatoare si cu

covarianta dintre si .

Daca notam cu R randamentul intregului portofoliu, atunci:

Conditia (5) este la fel cum am spune ca sunt permise doar pozitii „long”, daca ar fi incluse si

pozitii „short” in model atunci aceasta conditie ar trebui omisa [3]. Pentru diferite combinatii

de active investitorul va obtine diferite combinatii de si . Multimea tuturor

combinatiilor posibile de ( ) se numeste multimea portofolilor posibile. Acele portofolii

cu minim pentru un anumit nive al sau mai mare si respectiv maxim de pentru

un anumit nivel al sau mai redus sunt numite multimea portofolilor eficiente (sau frontiera

eficienta). Atat timp cat investitorul doreste un profit ridicat si un risc redus, el doreste sa

maximizeze si sa minimizeze si de aceea el va alege un portofoliu care are o combinatie

3

de din multimea portofolilor eficiente. In graficul 1 multimea portofoliilor posibile

este interiorul elipsei si multimea portofoliilor eficiente este data de cadranul din stanga sus al

conturului elipsei.

Graficul 1. Multimea portofoliilor eficiente reprezentata in planul

Selectia portofoliului ca problema de optimizare

Asa cum am mentionat in sectiunea 1, teoria portofoliului Markovitz sustine ca investitorul va

alege un portofoliu din multimea portofoliilor eficiente, in functie de cat de riscofob este. O

modalitate de tratare a acestei probleme este de a considera problema de optimizare:

2. Stadiul cunoasterii

Ipoteze ale modelului si critici

In cadrul TPM (Teoria portofoliului Markovitz) sunt facute mai multe ipoteze despre

investitori si piete, atat explicite in ecuatiile modelului cat si implicite, cum ar fi ignorarea

taxelor si comisioanelor.

Investitorii sunt interesati de problema de optimizare descrisa mai sus (maximizarea

mediei pentru un anmit randament). In realitate, investitorii au functii de utilitate care

pot fi sensibile la momentele de grad superior ale distributiei randamentelor. Pentru ca

investitorii sa utilizeze optimizarea medie-varianta, ar trebui presupus ca o combinatie a

4

utilitatii si randamentelor ar face problema optimizarii utilitatii similara cu o problema de

optimizarea medie-varianta. O functie de utilitate patratica fara o ipoteza asupra

randamentelor este insuficienta. Alta ipoteza posibila ar fi cea de utilizare a unei functii de

utilitate exponentiala si a distributiei normale.

Randamentele activelor sunt distribuite normal (multivariat). De fapt, in mod

frecvent se poate observa ca randamentele actiunilor si ale activelor din alte piete nu sunt

distribuite normal. Variatii mari de pret (la o distanta de 3 pana la 6 deviatii standard fata

de valoarea medie) apar in piata mult mai frecvent decat predictia pe baza ipotezei

referitoare la distributia normala.[4] În timp ce modelul poate fi, de asemenea, justificat

prin ipoteza ca orice distributie comuna a randamentelor este eliptica, [5] [6] toate

distributiile eliptice comune sunt simetrice in timp ce randamente empirice ale activelor

nu sunt. Bouchaud si Chicheportiche (2012) resping empiric ipoteza eliptica, scriind

"intuitiv, respingerea modelelor eliptice poate rezulta din insuficienta ipotezei unui singur

tip de volatilitate pentru toate actiunile".

Corelatile intre active sunt fixe si constante pe termen lung. Corelatiile depind de

relatiile sistemice dintre active, si se schimba atunci cand aceste relatii se schimba.

Exemplele pot include cazul in care o tara declara razboi alteia sau o prabusire generala a

pietei. In timpul crizelor financiare toate activele tind sa devina pozitiv corelate, pentru ca

toate preturile se misca simultan in scadere. Cu alte cuvinte TPM (Teoria portofoliului

Markovitz) este contrazisa tocmai atunci cand investitorii au mai multa nevoie de

protectie in fata riscului.

Toți investitorii urmăresc să maximizeze utilitatea economică (cu alte cuvinte, sa

faca cat mai mulți bani posibil, indiferent de alte considerente). Aceasta este o

presupunere cheie a ipotezei pietei eficiente pe care se bazează TMP.

Toti investitorii sunt rationali și au aversiune la risc. Acesta este o alta presupunere a

ipotezei pietei eficiente. In realitate, asa cum s-a demonstrat prin economia

comportamentala (behavioral economics), participantii la piata nu sunt intotdeauna

rationali sau consecvent rationali. Ipoteza nu tine cont de deciziile emotionale, informatii

de piata vechi, "comportamente de turma", sau investitori care pot solicita risc de dragul

riscului. Jucatorii de cazino platesc in mod clar pentru risc si este posibil ca unii

participanti la piata sa plateasca pentru risc, de asemenea.

Toti investitorii au acces la aceleasi informatii in acelasi timp. De fapt, in pietele reale

pot exista: asimetria informatiei, insider trading, precum si unii participanti care sunt pur

si simplu mai bine informati decat altii. Mai mult decat atat, estimarea mediei (de

exemplu, nu exista un estimator consistent al drift-ului miscarii browniene cand

subesantionarea este intre între 0 si T) si matricea de covarianta a randamentelor (atunci

când numarul de active este de acelasi ordin de numarul de perioade ) sunt sarcini de ordin

statistic dificile.

5

Investitorii au o perceptie corecta a posibilelor randamente, adica asteptarile de

probabilitate ale investitorilor se potrivesc cu adevărata distributie a randamentelor.

O alta posibilitate este ca asteptarile investitorilor sunt partinitoare, determinand preturile

de pe piata sa fie informational ineficiente. Aceasta posibilitate este studiata in domeniul

finantelor comportamentale care foloseste ipoteze psihologice pentru a oferi alternative la

CAPM, cum ar fi modelul de stabilire a preturilor activelor pe baza de exces de incredere

elaborat de Kent Daniel, David Hirshleifer, și Avanidhar Subrahmanyam (2001).

Nu exista taxe sau costuri de tranzactionare. Produse financiare reale sunt supuse atat

la taxe si costuri de tranzactionare (cum ar fi taxele de brokeraj), si tinand seama de

acestea va fi modificata structura portofoliului optim. Aceste ipoteze pot fi relaxate cu

versiuni mai complicate ale modelului.

Toti investitorii sunt utilizatori de pret, adica actiunile lor nu influentează preturile.

In realitate, vanzarile suficient de mari sau achizitiile de active individuale pot schimba

preturile de piata pentru acel activ si ale altora (prin elasticitatea transversală a cererii.) Un

investitor poate sa nu aiba posibilitatea de a asambla portofoliul teoretic optim daca piata

se misca prea mult in timpul in care valorile mobiliare necesare sunt cumparate.

Orice investitor poate imprumuta sau se poate imprumuta cu o suma nelimitata la

rata de dobanda fara risc. De fapt, fiecare investitor dispune de o limita de credit.

Toate titlurile pot fi impartite in pachete de orice dimensiune. In realitate, fractiuni de

actiuni de obicei nu pot fi cumparate sau vandute, sau se poate ca unele active sa aiba

dimensiuni minime pentru ordine de tranzactionare.

Raportul risc/volatilitatea unui activ este cunoscuta in avans / este constant. De fapt,

adesea pietele pretuiesc gresit riscul (de exemplu, bulele ipotecare din SUA sau criza

datoriilor europene) sau volatilitatea se poate schimba rapid.

TPM nu modeleaza intr-adevar piata

Masurile riscului, randamentelor si corelatiei folosite de MPT se bazează pe valori estimate,

ceea ce inseamna ca sunt declaratii matematice cu privire la viitor (valoarea preconizata a

randamente este explicita in ecuatiile de mai sus, si implicita in definitiile varianta si

covarianta). In practica, investitorii trebuie sa inlocuiasca previziunile pe baza masuratorilor

istorice ale randamentelor activelor si a volatilitatii in ecuatiile de mai sus din model. De

foarte multe ori aceste valori asteptate nu tin seama de noile circumstante care nu existau

atunci cand au fost generate datele istorice. Fundamental, investitorii raman in estimarea

parametrilor cheie pe baza datelor de piață anterioare deoarece MPT incearca sa modeleze

riscul in termeni de posibilitate a pierderilor, dar nu spune nimic despre „de ce” ar putea sa

apara aceste pierderi. Masuratorile riscului utilizate sunt probabilistice in natura, nu sunt

6

structurale. Aceasta este o diferenta majora fata de multe abordari ingineresti in

managementul riscului.

3. Studiu de caz

A fost considerat un portofoliu format din urmatoarele actiuni tranzactionate la Bursa de

Valori Bucuresti:

Indicatori de randamente medii si volatilitate au fost calculati pe baza datelor istorice din

perioada 26.01.2011 pana la 01.09.2014.

Au fost analizate urmatoarele variante de benchmark pentru portofoliu:

Simboluri

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

FP TEL TGN TLV SNP ATB BIO BVB SOCP BCC BRK CEON CMP TRP SPCU

Indicatori anualizati

m 10.1% 7.4% -3.3% 19.6% 10.6% 12.9% -12.1% -6.8% -28.6% -6.2% -32.8% 10.3% -10.7% 0.6% -12.2%

s 20.7% 26.2% 21.9% 27.3% 26.4% 24.9% 59.4% 26.9% 69.3% 80.9% 72.1% 120.5% 62.1% 61.6% 58.0%

Indicatori zilnici

m 0.0004 0.0003 -0.0001 0.0008 0.0004 0.0005 -0.0005 -0.0003 -0.0012 -0.0003 -0.0013 0.0004 -0.0004 0.0000 -0.0005

s2 0.0002 0.0003 0.0002 0.0003 0.0003 0.0003 0.0014 0.0003 0.0020 0.0027 0.0021 0.0059 0.0016 0.0016 0.0014

s 0.0132 0.0168 0.0140 0.0175 0.0169 0.0159 0.0380 0.0172 0.0443 0.0517 0.0461 0.0770 0.0397 0.0394 0.0371

0 1 2 3

BET BET FI M

Indicatori anualizatiIndicatori anualizati

m 6.3% 8.5% -2.8%

s 16.2% 21.7% 26.9%

Indicatori zilniciIndicatori zilnici

m 0.0003 0.0003 -0.0001

s2 0.0001 0.0002 0.0003

s 0.0103 0.0139 0.0172

7

Matricea W:

Matricea

Au fost calculate ponderile pentru portofoliile de varianta minima avand E(r) egal cu

portofoliul pietei cu ponderi egale (M) si respectiv cu randamentul egal cu al indicelui BET in

perioada analizata.

FP TEL TGN TLV SNP ATB BIO BVB SOCP BCC BRK CEON CMP TRP SPCU m

0.00017 8.01E-05 7.66E-05 9.3E-05 8.7E-05 7.6E-05 5.95E-05 8.97E-05 4E-05 7.65E-05 0.000118 5.17E-06 7.49E-05 1.47E-05 2.14E-05 4E-04 1

8E-05 0.000281 0.000101 0.00012 9.2E-05 7.6E-05 9.99E-05 0.000112 6.57E-05 8.01E-05 0.000166 9.82E-05 0.000118 5.86E-05 5.86E-05 3E-04 1

7.7E-05 0.000101 0.000196 8.6E-05 8.4E-05 7E-05 7.44E-05 7.98E-05 3.51E-05 0.000109 0.000111 7.6E-05 6.72E-05 1.45E-05 2.2E-05 -0 1

9.3E-05 0.000115 8.57E-05 0.0003 0.00013 8.2E-05 0.000103 0.000126 0.000102 0.0001 0.000157 6.66E-05 0.000104 4.55E-06 2.62E-05 8E-04 1

8.7E-05 9.16E-05 8.38E-05 0.00013 0.00028 7.2E-05 7.22E-05 0.000101 0.000107 8E-05 0.000139 4.9E-05 0.000118 5.74E-05 4.19E-05 4E-04 1

7.6E-05 7.6E-05 6.96E-05 8.2E-05 7.2E-05 0.00025 6.67E-05 7.21E-05 4.3E-05 7.69E-05 0.000119 9.47E-05 7.86E-05 4.62E-05 1.1E-05 5E-04 1

6E-05 9.99E-05 7.44E-05 0.0001 7.2E-05 6.7E-05 0.001441 6.03E-05 8.24E-05 2.4E-05 0.00011 0.000169 8.02E-05 -1.2E-05 7.02E-05 -0 1

9E-05 0.000112 7.98E-05 0.00013 0.0001 7.2E-05 6.03E-05 0.000296 -4.3E-06 -2.7E-06 2.52E-05 -0.0001 2.16E-05 -6E-06 1.83E-05 -0 1

4E-05 6.57E-05 3.51E-05 0.0001 0.00011 4.3E-05 8.24E-05 -4.3E-06 0.001964 -5.1E-06 -1.7E-05 2.79E-05 3.42E-06 4.43E-05 5.14E-05 -0 1

7.7E-05 8.01E-05 0.000109 0.0001 8E-05 7.7E-05 2.4E-05 -2.7E-06 -5.1E-06 0.002677 3.91E-05 -9.5E-05 -1.1E-05 1.65E-05 7.32E-06 -0 1

0.00012 0.000166 0.000111 0.00016 0.00014 0.00012 0.00011 2.52E-05 -1.7E-05 3.91E-05 0.002127 0.000131 -5.3E-06 -3.3E-05 -1E-05 -0 1

5.2E-06 9.82E-05 7.6E-05 6.7E-05 4.9E-05 9.5E-05 0.000169 -0.0001 2.79E-05 -9.5E-05 0.000131 0.005934 2.41E-05 1.93E-05 -2.6E-05 4E-04 1

7.5E-05 0.000118 6.72E-05 0.0001 0.00012 7.9E-05 8.02E-05 2.16E-05 3.42E-06 -1.1E-05 -5.3E-06 2.41E-05 0.001576 -6.6E-06 -4.1E-05 -0 1

1.5E-05 5.86E-05 1.45E-05 4.5E-06 5.7E-05 4.6E-05 -1.2E-05 -6E-06 4.43E-05 1.65E-05 -3.3E-05 1.93E-05 -6.6E-06 0.001552 2.74E-05 2E-05 1

2.1E-05 5.86E-05 2.2E-05 2.6E-05 4.2E-05 1.1E-05 7.02E-05 1.83E-05 5.14E-05 7.32E-06 -1E-05 -2.6E-05 -4.1E-05 2.74E-05 0.001375 -0 1

0.00041 0.000302 -0.00014 0.0008 0.00043 0.00053 -0.0005 -0.00028 -0.00117 -0.00025 -0.00134 0.000422 -0.00044 2.27E-05 -0.0005 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

7533.53 -913.37 -1301.49 -1628.46 -1375.26 -1936.33 25.45 -480.13 121.08 -38.46 77.35 21.71 -2.23 -57.35 -46.06 216.2552 0.2176

-913.37 5066.12 -997.31 -1247.67 -353.80 -634.88 -44.28 -473.93 62.12 -1.19 -38.43 -63.87 -110.64 -154.26 -94.62 165.1399 0.0175

-1301.49 -997.31 6385.20 522.70 -448.73 -450.01 -268.35 -1774.16 -277.93 -286.29 -369.64 -97.47 -284.39 -118.98 -233.15 -226.1654 0.2163

-1628.46 -1247.67 522.70 3919.80 -1677.98 -1023.22 37.78 238.92 160.25 22.49 240.72 -23.37 157.22 135.97 164.86 317.4900 -0.0037

-1375.26 -353.80 -448.73 -1677.98 4902.53 -534.57 40.85 -184.30 -56.50 -4.01 24.73 -21.06 -107.43 -156.34 -48.13 136.6560 0.0417

-1936.33 -634.88 -450.01 -1023.22 -534.57 4393.14 -1.93 185.08 96.79 -14.05 95.34 -69.52 11.57 -147.42 30.02 173.8056 0.1303

25.45 -44.28 -268.35 37.78 40.85 -1.93 698.76 -208.95 -65.13 -10.69 -61.69 -19.60 -53.74 -5.99 -62.49 -43.9811 0.0242

-480.13 -473.93 -1774.16 238.92 -184.30 185.08 -208.95 3371.83 -224.54 13.48 -201.04 99.06 -115.65 -32.95 -212.70 -370.8469 0.1453

121.08 62.12 -277.93 160.25 -56.50 96.79 -65.13 -224.54 438.29 -19.93 -71.40 -3.17 -52.44 -37.67 -69.81 -84.7214 0.0351

-38.46 -1.19 -286.29 22.49 -4.01 -14.05 -10.69 13.48 -19.93 378.03 -18.68 10.47 -2.90 -9.63 -18.65 -32.1629 0.0155

77.35 -38.43 -369.64 240.72 24.73 95.34 -61.69 -201.04 -71.40 -18.68 397.23 -4.19 -37.78 3.41 -35.94 -104.5511 0.0119

21.71 -63.87 -97.47 -23.37 -21.06 -69.52 -19.60 99.06 -3.17 10.47 -4.19 173.38 2.63 -3.28 -1.70 -5.5854 0.0115

-2.23 -110.64 -284.39 157.22 -107.43 11.57 -53.74 -115.65 -52.44 -2.90 -37.78 2.63 616.10 -5.60 -14.73 -74.5087 0.0301

-57.35 -154.26 -118.98 135.97 -156.34 -147.42 -5.99 -32.95 -37.67 -9.63 3.41 -3.28 -5.60 631.66 -41.57 -21.1431 0.0496

-46.06 -94.62 -233.15 164.86 -48.13 30.02 -62.49 -212.70 -69.81 -18.65 -35.94 -1.70 -14.73 -41.57 684.66 -45.6807 0.0572

216.26 165.14 -226.17 317.49 136.66 173.81 -43.98 -370.85 -84.72 -32.16 -104.55 -5.59 -74.51 -21.14 -45.68 -83.1462 0.0068

0.22 0.02 0.22 0.00 0.04 0.13 0.02 0.15 0.04 0.02 0.01 0.01 0.03 0.05 0.06 0.0068 -0.0001

Portofoliul de varianta minima cu Ep = -2,8% (market)

FP TEL TGN TLV SNP ATB BIO BVB SOCP BCC BRK CEON CMP TRP SPCU Total

19.31% -0.11% 24.18% -3.95% 2.62% 11.07% 2.92% 18.71% 4.47% 1.92% 2.37% 1.21% 3.86% 5.20% 6.23% 100.00%

Portofoliul de varianta minima cu = 6,3% (BET)

FP TEL TGN TLV SNP ATB BIO BVB SOCP BCC BRK CEON CMP TRP SPCU Total

27.34% 6.02% 15.79% 7.83% 7.69% 17.52% 1.29% 4.95% 1.32% 0.72% -1.51% 1.00% 1.09% 4.41% 4.54% 100.00%

8

FRONTIERA EFICIENTA 'MARKOWITZ'

RPVMA RM

Rentab FP TEL TGN TLV SNP ATB BIO BVB SOCP BCC BRK CEON CMP TRP SPCU

zi 0.04% 0.03% -0.01% 0.08% 0.04% 0.05% -0.05% -0.03% -0.12% -0.03% -0.13% 0.04% -0.04% 0.00% -0.05% 0.01% -0.01%

an 10% 7% -3% 19.6% 11% 13% -12% -7% -29% -6% -33% 10% -11% 1% -12% 1.99% -2.76%

FP x1 31% 28% 19% 39% 31% 33% 11% 16% -4% 16% -7% 31% 12% 22% 11% 24% 19%

TEL x2 9% 7% 0% 15% 9% 10% -6% -3% -18% -2% -20% 9% -5% 2% -6% 3% 0%

TGN x3 12% 15% 25% 4% 12% 10% 33% 28% 48% 27% 52% 12% 32% 21% 33% 20% 24%

TLV x4 13% 9% -5% 25% 13% 16% -16% -9% -38% -8% -43% 13% -14% 0% -16% 2% -4%

SNP x5 10% 8% 2% 15% 10% 11% -3% 0% -12% 1% -14% 10% -2% 4% -3% 5% 3%

ATB x6 20% 18% 11% 27% 21% 22% 4% 8% -7% 9% -10% 20% 5% 13% 4% 14% 11%

BIO x7 1% 1% 3% -1% 1% 0% 5% 4% 8% 4% 8% 1% 4% 2% 5% 2% 3%

BVB x8 -1% 3% 20% -15% -1% -5% 33% 25% 58% 24% 64% -1% 31% 14% 33% 12% 19%

SOCP x9 0% 1% 5% -3% 0% -1% 8% 6% 13% 6% 15% 0% 7% 3% 8% 3% 4%

BCC x10 0% 1% 2% -1% 0% 0% 3% 2% 5% 2% 6% 0% 3% 1% 3% 1% 2%

BRK x11 -3% -2% 3% -7% -3% -4% 6% 4% 13% 4% 15% -3% 6% 1% 6% 0% 2%

CEON x12 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 2% 1% 2% 1% 1% 1% 1% 1% 1%

CMP x13 0% 1% 4% -3% 0% -1% 7% 5% 12% 5% 13% 0% 6% 3% 7% 2% 4%

TRP x14 4% 4% 5% 3% 4% 4% 6% 6% 7% 5% 8% 4% 6% 5% 6% 5% 5%

SPCU x15 4% 4% 6% 2% 4% 3% 8% 7% 11% 7% 12% 4% 8% 6% 8% 5% 6%

Sigma 0.00010 0.00010 0.00010 0.00014 0.00010 0.00011 0.00012 0.00010 0.00022 0.00010 0.00026 0.00010 0.00012 0.00009 0.00012

zi 1.02% 0.99% 0.99% 1.17% 1.02% 1.05% 1.10% 1.02% 1.50% 1.02% 1.62% 1.02% 1.08% 0.97% 1.11%

an 16% 16% 15% 18% 16% 16% 17% 16% 23% 16% 25% 16% 17% 15% 17%

10% 7%

-3%

20%

11% 13%

-12%

-7%

-29%

-6%

-33%

10%

-11%

1%

-12%

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

E(r)

Sigma

FRONTIERA EFICIENTA 'MARKOWITZ'

9

PVMA

Au fost calculate ponderile pentru portofoliul de varianta minima

Au fost calculati indicatorii pe acelasi set de date pentru modelele CAPM, Marcovitz si CML

folosind aplicatia pentru calcule statistice si matematice R, utilizand pachetele

PerformanceAnalytics si fPortfolio.

0.000175 0.000080 0.000077 0.000093 0.000087 0.000076 0.000060 0.000090 0.000040 0.000077 0.000118 0.000005 0.000075 0.000015 0.000021 1

0.000080 0.000281 0.000101 0.000115 0.000092 0.000076 0.000100 0.000112 0.000066 0.000080 0.000166 0.000098 0.000118 0.000059 0.000059 1

0.000077 0.000101 0.000196 0.000086 0.000084 0.000070 0.000074 0.000080 0.000035 0.000109 0.000111 0.000076 0.000067 0.000015 0.000022 1

0.000093 0.000115 0.000086 0.000305 0.000132 0.000082 0.000103 0.000126 0.000102 0.000100 0.000157 0.000067 0.000104 0.000005 0.000026 1

0.000087 0.000092 0.000084 0.000132 0.000284 0.000072 0.000072 0.000101 0.000107 0.000080 0.000139 0.000049 0.000118 0.000057 0.000042 1

0.000076 0.000076 0.000070 0.000082 0.000072 0.000253 0.000067 0.000072 0.000043 0.000077 0.000119 0.000095 0.000079 0.000046 0.000011 1

0.000060 0.000100 0.000074 0.000103 0.000072 0.000067 0.001441 0.000060 0.000082 0.000024 0.000110 0.000169 0.000080 -0.000012 0.000070 1

0.000090 0.000112 0.000080 0.000126 0.000101 0.000072 0.000060 0.000296 -0.000004 -0.000003 0.000025 -0.000104 0.000022 -0.000006 0.000018 1

0.000040 0.000066 0.000035 0.000102 0.000107 0.000043 0.000082 -0.000004 0.001964 -0.000005 -0.000017 0.000028 0.000003 0.000044 0.000051 1

0.000077 0.000080 0.000109 0.000100 0.000080 0.000077 0.000024 -0.000003 -0.000005 0.002677 0.000039 -0.000095 -0.000011 0.000017 0.000007 1

0.000118 0.000166 0.000111 0.000157 0.000139 0.000119 0.000110 0.000025 -0.000017 0.000039 0.002127 0.000131 -0.000005 -0.000033 -0.000010 1

0.000005 0.000098 0.000076 0.000067 0.000049 0.000095 0.000169 -0.000104 0.000028 -0.000095 0.000131 0.005934 0.000024 0.000019 -0.000026 1

0.000075 0.000118 0.000067 0.000104 0.000118 0.000079 0.000080 0.000022 0.000003 -0.000011 -0.000005 0.000024 0.001576 -0.000007 -0.000041 1

0.000015 0.000059 0.000015 0.000005 0.000057 0.000046 -0.000012 -0.000006 0.000044 0.000017 -0.000033 0.000019 -0.000007 0.001552 0.000027 1

0.000021 0.000059 0.000022 0.000026 0.000042 0.000011 0.000070 0.000018 0.000051 0.000007 -0.000010 -0.000026 -0.000041 0.000027 0.001375 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

=H

8095.993 -483.853 -1889.7 -802.696 -1019.8 -1484 -88.944 -1444.67 -99.273 -122.11 -194.58 7.18092 -196.02 -112.34 -164.869 0.23517 FP

-483.853 5394.11 -1446.5 -617.092 -82.387 -289.7 -131.63 -1210.49 -106.15 -65.069 -246.08 -74.964 -258.62 -196.25 -185.344 0.03097 TEL

-1889.72 -1446.51 7000.39 -340.905 -820.45 -922.8 -148.72 -765.427 -47.478 -198.81 -85.248 -82.278 -81.717 -61.467 -108.89 0.197833 TGN

-802.696 -617.092 -340.9 5132.12 -1156.2 -359.6 -130.16 -1177.15 -163.26 -100.32 -158.5 -44.699 -127.29 55.2348 -9.57343 0.022178 TLV

-1019.83 -82.3872 -820.45 -1156.16 5127.14 -248.9 -31.44 -793.81 -195.74 -56.873 -147.1 -30.242 -229.89 -191.09 -123.209 0.052794 SNP

-1484.27 -289.682 -922.78 -359.551 -248.91 4756.5 -93.862 -590.125 -80.312 -81.281 -123.21 -81.197 -144.18 -191.62 -65.4692 0.144473 ATB

-88.9437 -131.629 -148.72 -130.159 -31.44 -93.86 722.026 -12.7876 -20.318 6.3208 -6.3839 -16.648 -14.326 5.19051 -38.3225 0.020634 BIO

-1444.67 -1210.49 -765.43 -1177.15 -793.81 -590.1 -12.788 5025.87 153.332 156.933 265.272 123.967 216.672 61.3552 -8.95423 0.11505 BVB

-99.2732 -106.15 -47.478 -163.258 -195.74 -80.31 -20.318 153.332 524.614 12.845 35.1318 2.51739 23.4814 -16.125 -23.2641 0.028185 SOCP

-122.111 -65.0692 -198.81 -100.323 -56.873 -81.28 6.3208 156.933 12.845 390.475 21.7628 12.6331 25.9258 -1.453 -0.97829 0.012906 BCC

-194.579 -246.078 -85.248 -158.501 -147.1 -123.2 -6.3839 265.272 35.1318 21.7628 528.699 2.83172 55.9091 29.9986 21.49689 0.003349 BRK

7.180918 -74.9638 -82.278 -44.699 -30.242 -81.2 -16.648 123.967 2.51739 12.6331 2.83172 173.756 7.63255 -1.861 1.36942 0.011033 CEON

-196.025 -258.62 -81.717 -127.292 -229.89 -144.2 -14.326 216.672 23.4814 25.9258 55.9091 7.63255 682.871 13.3446 26.20594 0.024078 CMP

-112.337 -196.252 -61.467 55.2348 -191.09 -191.6 5.19051 61.3552 -16.125 -1.453 29.9986 -1.861 13.3446 637.038 -29.9554 0.04788 COMI

-164.869 -185.344 -108.89 -9.57343 -123.21 -65.47 -38.322 -8.95423 -23.264 -0.9783 21.4969 1.36942 26.2059 -29.955 709.756 0.053468 DAFR

0.23517 0.03097 0.19783 0.02218 0.05279 0.1445 0.02063 0.11505 0.02819 0.01291 0.00335 0.01103 0.02408 0.04788 0.053468 -9.4E-05

0.01% pe zi 0.002% pe zi

1.99% pe an 0.03% pe an

=- 1H

=PVMAE =2

PVMAs

PVMA

FP TEL TGN TLV SNP ATB BIO BVB SOCP BCC BRK CEON CMP COMI DAFR

23.52% 3.10% 19.78% 2.22% 5.28% 14.45% 2.06% 11.51% 2.82% 1.29% 0.33% 1.10% 2.41% 4.79% 5.35%

10

Indicatorii CAMP

Cod R:

> table.CAPM(Port1.z[,1:15,drop=FALSE], Port1.z[,16,drop=FALSE], Rf = 0)

Risc specific vs. Risk sistematic

FP TEL TGN TLV SNP ATB BIO BVB Specific Risk 0.2018 0.2516 0.2132 0.2628 0.2552 0.2436 0.3713 0.2612 Systematic Risk 0.0574 0.0866 0.0632 0.0876 0.0797 0.0661 0.4745 0.0793 Total Risk 0.2098 0.2661 0.2224 0.2770 0.2674 0.2524 0.6025 0.2729 SOCP BCC BRK CEON CMP TRP SPCU Specific Risk 0.4914 0.6179 0.4788 0.9605 0.3791 0.6130 0.5770 Systematic Risk 0.5032 0.5406 0.5538 0.7561 0.5032 0.1225 0.1147 Total Risk 0.7033 0.8210 0.7320 1.2224 0.6301 0.6251 0.5883

Cod R:

> table.SpecificRisk(Port1.z[,1:15,drop=FALSE], Port1.z[,16,drop=FALSE], Rf = 0,digits = 4)

FP to M TEL to M TGN to M TLV to M SNP to M ATB to M BIO to M BVB to M SOCP to M BCC to M BRK to M CEON to M Alpha 0.0004 0.0003 -0.0001 0.0008 0.0005 0.0006 -0.0003 -0.0002 -0.0010 0.0000 -0.0011 0.0007 Beta 0.2104 0.3178 0.2320 0.3214 0.2924 0.2424 1.7409 0.2909 1.8460 1.9836 2.0317 2.7739 Beta+ 0.4153 0.7064 0.4213 0.6008 0.5985 0.4259 0.7254 0.5634 0.6805 0.8391 1.1673 5.6454 Beta- 0.0808 0.1189 0.1099 0.1163 0.0930 0.1009 2.2297 0.1259 2.2435 2.3862 2.3224 2.5603 R-squared 0.0746 0.1059 0.0808 0.0999 0.0887 0.0684 0.6200 0.0843 0.5116 0.4333 0.5720 0.3823 Annualized Alpha 0.1159 0.0888 -0.0273 0.2349 0.1241 0.1501 -0.0727 -0.0601 -0.2153 -0.0077 -0.2442 0.2035 Correlation 0.2732 0.3254 0.2842 0.3161 0.2979 0.2616 0.7874 0.2903 0.7152 0.6583 0.7563 0.6183 Correlation p-value 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Tracking Error 0.2951 0.3130 0.2989 0.3215 0.3200 0.3195 0.4229 0.3250 0.5430 0.6739 0.5555 1.0758 Active Premium 0.1564 0.1128 0.0135 0.2486 0.1470 0.1777 -0.9287 -0.0309 -0.9287 -0.9287 -0.9287 -0.9287 Information Ratio 0.5299 0.3604 0.0453 0.7734 0.4592 0.5561 -2.1963 -0.0951 -1.7102 -1.3782 -1.6720 -0.8633 Treynor Ratio 0.4045 0.1306 -0.2489 0.5518 0.2589 0.4389 -0.5744 -0.3513 -0.5417 -0.5041 -0.4922 -0.3605 CMP to M TRP to M SPCU to M Alpha -0.0002 0.0001 -0.0005 Beta 1.8463 0.4494 0.4209 Beta+ 0.7154 0.4513 1.0439 Beta- 2.2717 0.1436 0.0970 R-squared 0.6377 0.0384 0.0380 Annualized Alpha -0.0563 0.0187 -0.1074 Correlation 0.7986 0.1959 0.1949 Correlation p-value 0.0000 0.0000 0.0000 Tracking Error 0.4439 0.6314 0.5985 Active Premium -0.9287 -0.1011 -0.1878 Information Ratio -2.0920 -0.1601 -0.3137 Treynor Ratio -0.5416 -0.3835 -0.6155

11

Optimizarea portofoliului s-a facut pe baza indicatorului de risc CVaR si rata fara risc luata in

calcul a fost 0%.

Cod R:

> setNFrontierPoints(longSpec) <- 25 > longFrontier <- portfolioFrontier(Port1.tss , Spec, + constraints = "LongOnly") > tailoredFrontierPlot(object = longFrontier, mText = "Mean-CVaR Portfolio - + Long Only Constraints", + risk = "CVaR")

12

Concluzii:

Aplicarea in practica a TMP este utila dar totusi are limitari importante:

- Randamentele viitoare asteptate sunt determinate doar pe baza randamentelor din

trecut;

- Corelatiile intre active nu sunt constante, ele variaza semnificativ si in conditii de

criza activele tind sa fie puternic corelate pozitiv;

- Este posibil ca unele piete de dimensiuni reduse sa nu permita implementarea

portofoliului optim datorita lichiditatii reduse. In pietele in curs de dezvoltare

comisioanele de tranzactionare sunt semnificativ mai mari decat in pietele mature.

In practica prezinta utilitate mai mare optimizarea portofoliilor intre diferite clase de active

decat intre diferite titluri.

13

Referinte:

[1] Markowitz, H. (1952) Portfolio Selection. The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1,

pp. 77-91. March. 1952. www.jstor.org.proxy.lib.chalmers.se/stable/10.2307/2975974?origin=api

(2012-10-30)

[2] Stephen F. Witt, Richard Dobbins. (1979) The Markowitz Contribution to Portfolio Theory.

Managerial Finance, Vol. 5 Iss: 1 pp. 3 - 17. DOI: 10.1108/eb013433

[3] West G. (2006) An Introduction to Modern Portfolio Theory: Markowitz, CAP-M,

APT and Black-Litterman. Financial Modelling Agency.

http://www._nmod.co.za/MPT.pdf (2012-11-07)

[4] Mandelbrot, B., and Hudson, R. L. (2004). The (Mis) Behaviour of Markets: A Fractal View of

Risk, Ruin, and Reward. London: Profile Books.

[5] Chamberlain, G. 1983."A characterization of the distributions that imply mean-variance

utility functions", Journal of Economic Theory 29, 185-201.

[6] Owen, J.; Rabinovitch, R. (1983). "On the class of elliptical distributions and their applications to

the theory of portfolio choice". Journal of Finance 38: 745–752. doi:10.1111/j.1540-

6261.1983.tb02499.x.

[7] Hannes Marling; Sara Emanuelsson (2012). “The Markowitz Portfolio Theory”

[8] http://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory#Criticisms - Modern portfolio theory

[9] Diethelm Würtz, Yohan Chalabi, William Chen, Andrew Ellis - Portfolio Optimization with

R/Rmetrics

[10] Peter Carl, Brian G. Peterson - Econometric tools for performance and risk analysis.