Organizzazione del corso di Fisica e Laboratorio di Fisica AA 2011/2012 Modulo di Fisica Docente E-PA Prof. Paris Matteo 6 CFU Modulo di Laboratorio di

Organizzazione del corso di Fisica e Laboratorio di Fisica

AA 2011/2012

Modulo di FisicaDocente E-PA Prof. Paris Matteo

6 CFU

Modulo di Laboratorio di FisicaDocente E-PA Prof. Veronese Ivan

3 CFU

Modulo di Laboratorio di Fisica

Ivan Veronese

Orario di ricevimento: lunedì 14.30-15.30Dipartimento di Fisica Edificio LITA - 5° piano (sezione di fisica medica)

Via Celoria 16, Milano

e-mail: [email protected]

Modulo di Laboratorio di Fisica

Lezioni in Aula (dicembre-gennaio):- Elementi di Statistica Applicata

Esperienza di Laboratorio (marzo-maggio, 4 pomeriggi):

- Applicazione pratica degli strumenti di teoria degli errori (esperimenti di elettrolisi)

Lezioni in Aula (2° semestre):- corrente e circuiti a corrente continua; onde meccaniche e

elettromagnetiche; ottica; cenni di fisica moderna

Lezioni in Aula di dicembre-gennaio:

Data Ora Aula

Ven 16/12/2011 10.30-12.30 202

Merc 21/12/2011 12.30-14.30 202

Merc 11/1/2012 12.30-14.30 202

Ven 13/1/2012 10.30-12.30 202

Merc 18/1/2012 12.30-14.30 202

Ven 20/1/2012 10.30-12.30 202

Merc 25/1/2012 12.30-14.30 202

Ven 27/1/2012 10.30-12.30 202

Lezioni primo semestre: programma

• Il concetto di errore di una misura• Media, deviazione standard e deviazione standard della media• Le cifre significative• La propagazione degli errori• La distribuzione normale (gaussiana) e compatibilità• Media pesata• Relazioni funzionali (minimi quadrati)

ESEMPI ED ESERCIZI INTRODUZIONE ALL’ESPERIENZA DI LABORATORIO

Richiami ai concetti già introdotti nel

Modulo di Laboratorio di Metodi Matematici e Statistici (Prof.ssa Elena Villa)

Ammissione al laboratorio:

COMPITO DI AMMISSIONE AL COMPITO DI AMMISSIONE AL LABORATORIO:LABORATORIO:

9 Febbraio 2012 9 Febbraio 2012

21 Febbraio 201221 Febbraio 2012(iscrizioni via SIFA – contenitori)(iscrizioni via SIFA – contenitori)

Iscrizione presso i terminali SIFA

INFORMAZIONI PRATICHE:

• TESTI CONSIGLIATI:

Analisi degli errori sperimentali di laboratorioAutori: Miramonti, Perini, Veronese; Editore: EDISES

Introduzione all’analisi degli errori Autore: John R. Taylor; Editore: Zanichelli

Principi di fisicaAutori: Serway Raymond A. - Jewett John W.; Editore: EDISES

• CALCOLATRICE SCIENTIFICA

INFORMAZIONI PRATICHE:

SITI DI RIFERIMENTO:http://users.unimi.it/veronese/didattica.htm

http://ariel.unimi.it

ERRORE DI UNA MISURA E SUA RAPPRESENTAZIONE:

Il risultato di una qualsiasi misura sperimentale è costituito da un valore numerico x (con la rispettiva unità di misura) ed un errore (incertezza) x, che indica il “grado di confidenza” che abbiamo sul risultato trovato.

Scriveremo quindi il risultato come: x± x

La procedura per stimare x dipende da come si è ricavato/misurato x.

L’incertezza di una misura si può esprimere anche in termini di:

errore relativo: x

x errore percentuale:

x

x100

ERRORE DI UNA MISURA E SUA RAPPRESENTAZIONE:

Diametro di una cellula: (15±3) mErrore relativo: 3/15 =0.2 (senza unità di misura)Errore percentuale: 100 * 3/15= 20% (senza unità di misura)

Esempi:

Temperatura corporea: (36.4±0.4) °CErrore relativo: 0.4/36.4 ≈ 0.01 (senza unità di misura)Errore percentuale: 100 * 0.4/36.4 ≈ 1% (senza unità di misura)

Massa di una sfera: (400±4) gErrore relativo: Errore percentuale:

4/400=0.01

1%

NON CONFONDERE L’ERRORE RELATIVO (O PERCENTUALE) CON L’ERRORE ASSOLUTO!!

Un’automobile da corsa viaggia alla velocità di 200 km/h. Se tale velocità è misurata con un errore del 2%, dire quale è l’errore assoluto sulla velocità.

velocità: 200± ?? km/h

velocità: 200± 0.02 km/h NO !!

velocità: 200± 4 km/h SI !!

NON CONFONDERE L’ERRORE RELATIVO (O PERCENTUALE) CON L’ERRORE ASSOLUTO!!

Si misura la temperatura di un forno e si trova T=150°C. Se tale temperatura è misurata con un errore relativo di 0.04 dire quale è l’errore assoluto sulla temperatura.

temperatura: 150± ?? °C

temperatura: 150± 0.04 °C NO !!

SI !!temperatura: 150± 6 °C

CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI:

Sono gli errori inevitabili nelle misure, effetto di fluttuazioni casuali che determinano una dispersione simmetrica del valore misurato attorno al valore vero. E’ ciò di cui ci occuperemo.

ERRORI STATISTICI (o CASUALI)

ERRORI SISTEMATICI

Dagli errori casuali dipende la PRECISIONE della misura

Sono gli errori che modificano il risultato della misura sistematicamente in una direzione. Possono derivare da una cattiva taratura dello strumento, o dall’effetto di qualche variabile esterna (tipo temperatura, pressione, condizione di utilizzo dello strumento).

Dagli errori sistematici dipende la ACCURATEZZA della misura

PRECISIONE E ACCURATEZZA:

Valore vero

Dati molto “sparpagliati” ma in modo simmetrico rispetto al valore vero

MISURA POCO PRECISA MA ACCURATA

Singole misure effettuate

Dati poco dispersi e simmetrici rispetto al valore vero

MISURA PRECISA ED ACCURATA

Dati poco dispersi ma “lontani” rispetto al valore vero

MISURA PRECISA MA

NON ACCURATA


xxxxx

x

x

x

xx x

xxxx

MISURA POCO PRECISA MA ACCURATA

MISURA PRECISA ED ACCURATA

MISURA PRECISA MA

NON ACCURATA


Misura della costante di Faraday da parte di quattro gruppi di studenti. Vediamo chi è preciso e accuratoEsempio:

Valore vero: F=96485 C/mol

Gruppo Valore misurato

1 130000±4000

2 96000±9000

3 96500±300

4 125800±200

Il gruppo 3 è l’unico ad essere sia accurato che preciso, il gruppo 2 è accurato ma poco preciso, il gruppo 1 invece non è né accurato né preciso. Infine il gruppo 4 è preciso ma non accurato.

SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA

Spesso la misura di una grandezza viene ripetuta più volte, ottenendo valori anche tra loro diversi.

N misure che danno i seguenti valori: x1, x2, x3, ….xN

La grandezza che meglio esprime il risultato trovato è la MEDIA ARITMETICA:

Media aritmetica:

N

iiN

N

x

N

xxxxx

1321 ...

Esempio: Otto misure di un intervallo di tempo. Risultati: 3.1 s ; 3.0 s; 2.8 s; 3.1 s; 2.7 s; 3.2 s; 2.8 s; 2.9 s

sx

xi

i 95.28

6.23

8

9.28.22.37.21.38.20.31.3

8

8

1


Oltre al valore medio è importante avere una grandezza che mi esprima quanto i vari dati sono diversi tra loro e fornisca quindi una indicazione sulla precisione della misura.

Tale grandezza è la DEVIAZIONE STANDARD:

Deviazione standard:

)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

x

17728.0

7

95.29.295.28.295.22.395.27.295.21.395.28.295.20.395.21.3

)1(

)( 222222221

2

x

N

ii

x

S

N

xxS

Esempio:


Deviazione standard della media: N

S

NN

xxS x

N

ii

x

)1(

)(1

2

La deviazione standard fornisce l’incertezza associata alla singola misura xi. Il fatto di ripetere la misura più volte permette di ridurre l’incertezza sul risultato finale (cioè sulla MEDIA).

L’incertezza associata alla media è la DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA:

06268.08

17728.0

)1(

)(1

2

N

S

NN

xxS x

N

ii

xEsempio:


Esempio: Dodici misure di una grandezza. Risultati: 3.0; 3.2; 2.9; 3.1; 3.3; 2.9; 3.0; 3.0; 3.1; 3.1; 3.0; 3.0

05.312

6.361

N

ii

N

xx

117.00136.011

15.0

)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

x

034.012

117.0

)1(

)(1

2

N

S

NN

xxS x

N

ii

x

Attenzione:

Facendo i conti con la calcolatrice evitare le approssimazioni intermedie che possono falsare il risultato finale.


CALCOLATRICE:

La quasi totalità delle calcolatrici scientifiche (ora economiche) ha già impostate delle funzioni che permettono il calcolo della media e della deviazione standard una volta introdotti i singoli valori.

In genere non effettuano il calcolo della deviazione standard della media ma, una volta ottenuta la deviazione standard questo calcolo è banale (basta dividere per la radice quadrata del numero di misure)

Si tratta solo di imparare ad usarle bene, possibilmente studiando il libretto delle istruzioni. Così facendo si riducono i tempi per i calcoli e la correttezza del risultato è assai più probabile!

Anche comuni software (es. Excell) permettono facilmente questi calcoli

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE


Definiamo cifre significative quelle cifre che esprimono realmente il risultato di una misura, o del suo errore, cioè che non sono completamente incluse nell’intervallo di incertezza dovuto all’errore. In altri termini non risultano significative le cifre che sono “piccole” rispetto al valore dell’errore.Benché esistano regole più o meno pratiche per definire se una cifra può essere considerata significativa, è innanzitutto bene usare il buon senso.

Esempio:

Supponiamo che il risultato di una serie di misure dia come risultato:

12459 ± 6740Essendo l’errore dell’ordine delle migliaia, le cifre indicanti le centinaia, le decine e le unità non sono significative e non vanno pertanto esplicitate. Di conseguenza il valore 6740 diverrà 7000 e analogamente anche il valore 12459 dovrà essere approssimato alle migliaia diventando così 12000. Presenteremo allora il risultato nella forma:

12000 ± 7000


Esempi:

112859 ± 6240 113000 ± 6000

731 ± 23 730 ± 20

1096 ± 364 1100 ± 400

7.853 ± 0.482 7.9 ± 0.5

2.95 ± 0.06268 2.95 ± 0.06

3.05 ± 0.034 3.05 ± 0.03

3.05 ± 0.0034 3.050 ± 0.003 (facendo i pignoli …)

Esercizio

Si misura la lunghezza d’onda di una riga spettrale nell’intervallo delle microonde e si trovano i seguenti valori, espressi in nanometri:

36400 36300 36400 36200 36100 36710Trovare la miglior stima della lunghezza d’onda con il suo errore, utilizzando il corretto numero di cifre significative. Stimare inoltre la precisione dell’apparato di misura usato.

i xi

1 36400 2336.079

2 36300 2669.479

3 36400 2336.079

4 36200 23002.879

5 36100 63336.279

6 36710 128402.539

218110 222083.334

Applicando le formule della media, troviamo:

667.363516

218110x

L’errore sulla media :

75.2105

334.222083

)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

x

La deviazione standard, che fornisce la stima della precisione, si ricava come:

2)( xxi

N

i 1

866

75.210

N

SS xx

La miglior stima della lunghezza d’onda quindi è:

36350 ± 90 nanometri

Esercizio

Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo ognuno 8 misure:A) 35.3 35.6 34.9 35.3 35.2 35.4 35.2 34.8B) 34.9 35.1 35 35.2 35.1 34.9 35 35Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello trovato in 8 misure col metodo più preciso.

Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un numero N’ di misure tale da avere:

2588.0)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

A

La precisione è data dalla deviazione standard:

8

1035.0

N

SS BB

Dal confronto tra le due precisioni si vede che il metodo B è quello più preciso. L’errore sulla media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a:

1035.0)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

B

8'BA

BA

S

N

SSS

2

8'

B

A

S

SN 50'N

Esercizio

Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo ognuno 8 misure:A) 35.3 35.6 34.9 35.3 35.2 35.4 35.2 34.8B) 34.9 35.1 35 35.2 35.1 34.9 35 35Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello trovato in 8 misure col metodo più preciso.

Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un numero N’ di misure tale da avere:

2588.0)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

A

La precisione è data dalla deviazione standard:

8

1035.0

N

SS BB

Dal confronto tra le due precisioni si vede che il metodo B è quello più preciso. L’errore sulla media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a:

1035.0)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

B

8'BA

BA

S

N

SSS

2

8'

B

A

S

SN 50'N

ATTENZIONE ALLE APPROSSIMAZIONI: se avessimo calcolato N’ utilizzando come precisioni 0.3 e 0.1 (cioè la rappresentazione delle precisioni SA e SB con le corrette cifre significative avremmo trovato un numero N’ maggiore o uguale a 72!

RIASSUMENDO

Ad ogni misura è associato un errore (errore assoluto), che può essere espresso anche in termini di errore relativo o percentuale

Quando si hanno misure ripetute il risultato è espresso come MEDIA, a cui è associato come errore la DEVIAZIONE STANDARD della MEDIA. L’errore sulla singola misura, che fornisce anche la stima della PRECISIONE della misura stessa, è data dalla DEVIAZIONE STANDARD

E’ importante rappresentare il risultato finale con il corretto numero di CIFRE SIGNIFICATIVE

Le approssimazioni vanno però fatte solo alla fine mentre è bene considerare tutte (o molte) cifre durante lo svolgimento dei calcoli, altrimenti si può arrivare ad un risultato finale falsato. Per questo è importante sapere usare bene la calcolatrice

96456.87 ± 503.02

0.457 ± 0.073

23.11 ± 2.3

0.00459 ±0.00077

4.15 ± 0.0482

1304 ± 38

44.568 ± 0.022

Esercizio

Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative

96456.87 ± 503.02 96500 ± 500

0.457 ± 0.073 0.46 ± 0.07

23.11 ± 2.3 23 ± 2

0.00459 ±0.00077 0.0046 ± 0.0008

4.15 ± 0.0482 4.15 ± 0.05

1304 ± 38 1300 ± 40

44.568 ± 0.022 44.57 ± 0.02

Esercizio

Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative

Esercizio

Uno studente cronometra il lasso di tempo che intercorre tra due eventi ripetendo la misura 6 volte trovando i seguenti valori:

7.6 s 7.9 s 8.1 s 7.8 s 8.3 s 7.9 sDopo aver calcolato la media e il suo errore dire quante misure si dovrebbero eseguire per ottenere un errore 3 volte più piccolo.

i xi

1 7.6 0.1111

2 7.9 0.0011

3 8.1 0.0278

4 7.8 0.0178

5 8.3 0.1344

6 7.9 0.0011

47.6 0.2933

N

i 1

2)( xxi Applicando le formule della media, troviamo:

9333.76

6.47x

2422.05

2933.0

)1(

)(1

2

N

xxS

N

ii

x

La deviazione standard è:

0989.06

2422.0

N

SS xx

La miglior stima dell’intervallo di tempo quindi è: 7.9 ± 0.1 s

La deviazione standard della media è:

Per avere un errore sulla media 3 volte più piccolo, visto che la precisione resta la stessa, è necessario un maggior numero di misure N’ tale per cui:

54699'3

1

'3' NN

N

S

N

SSS xxxx

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