Oscilaciones Cap 13 Young

5/17/2018 Oscilaciones Cap 13 Young - slidepdf.com

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Los relojes de pendulo han marcado lashoras desde mediados del siglo XVI. Seba-san en el principio de que el tiempo que

tarda una oscilacion completa, de ida y re-greso, practicamente no depende de la am-plitud de la oscilaci6n. Por ello, un reloj dependulo marca la hora correcta aunque elmecanismo impulsor pierda fuerza y lasoscilaciones del pendulo se haganmascortas por la friccion.

S up on ga q ue a um e nta a l d ob le

la m asa d el pendulo d e u n re lo j (q ue

in clu ye la v arilla y la p es a e n s u e x tre m o)

s in a lt er ar su s d imen si on e s. L E I r e lo j s e

adelantaria 0 se a t rasar ia?

476

MOVIMIENTO

PERIODICO

MChOSipos de movimiento se repiten una y otra vez: la vibraci6n de un

cristal de cuarzo en un reloj de pulso, el pendulo oscilante de un reloj con

pedestal, las vibraciones sonoras producidas por un clarinete 0 un tuba de 6rgano

y el movimiento peri6dico de los pistones de un motor de autom6vil. A esto lla-

mamos movimiento periodico u oscllacion, y sera el tema del presente capitulo.

Su comprension sera indispensable para nuestro estudio posterior de las ondas, el

sonido, las corrientes electricas altemantes y la luz.

Un cuerpo que tiene un movimiento periodico se caracteriza por una posicion

de equilibrio estable; cuando se le aleja de esa posicion y se suelta, entra en accion

una fuerza 0 un momenta de torsion para volverlo al equilibrio. Sin embargo, pa-

ra cuando llega ahi, ya ha adquirido cierta energia cinetica que 10hace pasarse

hasta detenerse del otro lado, de donde sera impulsado otra vez hacia el equilibrio.

Imagine una pelota que rueda dentro de un tazon redondo, 0 un pendulo que osci-

la pasando por su posicion vertical.

En este capitulo, nos concentraremos en dos ejemplos sencillos de sistemas

con movimiento periodico: los sistemas resorte-masa y los pendulos. Tambien ve-

remos por que algunas oscilaciones tienden a parar con el tiempo y otras tienen

desplazamientos cada vez mayores respecto al equilibrio cuando actuan fuerzas

periodicamente variables.



13.1 I Descripci6n de la oscilaci6n

13.1 I Des c rip c io n d e la o s cila ci6 n

Uno de los sistemas mas simples que puede tener movimiento peri6dico se muestra

en la figura 13.1a. Un cuerpo con masa m se mueve sobre una guia horizontal sin

fricci6n, como un riel de aire, de modo que s610 puede desplazarse en el eje x. Elcuerpo esta conectado a un resorte de masa despreciable que puede estirarse 0 com-

primirse. El extremo izquierdo del resorte esta fijo, y el derecho esta unido al cuer-

po. La fuerza del resorte es la unica fuerza horizontal que actua sobre el cuerpo; las

fuerzas normal y gravitacional verticales siempre suman cero. Las cantidades: x, v"

ax y F ,; se refieren a las componentes x de los vectores de: posici6n, velocidad, ace-

leraci6n y fuerza, respectivamente, y pueden ser: positivas, negativas 0 cero.

Lo mas sencillo es definir nuestro sistema de coordenadas con el origen 0en lapo-

sici6n de equilibrio, donde el resorte no esta estirado nicomprimido. Asi, x es la com-

ponente x del desplazamiento del cuerpo respecto al equilibrio y tambien el cambio

de longitud del resorte. La componente x de aceleraci6n, ax , esta dada por ax =Efm.

La figura 13.1b muestra diagramas de cuerpo libn~ para tres posiciones del

cuerpo. Siempre que el cuerpo se desplaza respecto a su posici6n de equilibrio, la

fuerza del resorte tiende a regresarlo a esa posici6n. Llamamos a una fuerza con

esta caracteristica fuerza de restitucion. S610 puede haber oscilaci6n si hay una

fuerza de restituci6n que tiende a regresar el sistema al equilibrio.

Analicemos como se da la oscilacion en este sistema. Si desplazamos el cuer-

po a la derecha hasta x =A y 10soltamos, la fuerza neta y la aceleracion son hacia

la izquierda. La rapidez aumenta al aproximarse el cuerpo ala posici6n de equili-

brio O. Cuando e] cuerpo esta en 0, la fuerza neta que aetna sobre el es cero pe-

ro, a causa de su movimiento (velocidad), rebasa la posicion de equilibrio. En el

otro lado de esa posicion, la velocidad es a la izquierda pero la aceleraci6n es a la

derecha; la rapidez disminuye hasta que el cuerpo para. Despues demostraremos

que, con un resorte ideal, el punto de detencion es x = -A.Ahora el cuerpo ace-lera hacia la derecha, rebasa otra vez el equilibrio, y se detiene en el punto inicial

x = A, listo para repetir todo el proceso. [El cuerpo esta oscilando! Si no hay fric-

ci6n u otra fuerza que elimine energia mecanica del sistema, el movimiento se re-

petira eternamente; la fuerza de restituci6n tirara perpetuamente del cuerpo hacia

la posicion de equilibrio, la cual, el cuerpo rebasara una y otra vez.

En situaciones diferentes, la fuerza puede depender de diversas maneras del

desplazamiento x respecto al equilibrio, pero siempre habra oscilaci6n si la fuerza

es de restitucion y tiende a volver el sistema al equilibrio.

He aqui algunos terminos que usaremos al analizar movimientos periodic os de

todo tipo:

La amplitud del movimiento, denotada conA, es lamagnitud maxima del despla-zamiento respecto al equilibrio; es decir, el valor maximo de I x l y siempre es positi-va. Si el resorte de la figura 13.1 es ideal, el rango global del movirniento es 2A. La

unidad de A en el SI es el metro. Una vibracion completa, 0cicio, es un viaje redon-

do, digamos deA a -A ydevueltaaA, ° de OaA, regresandopor 0 hasta -Ayvol-

viendo a O. El movimiento de un lado al otro (digamos, de -A aA) es medio cicIo.

El periodo, T, es el tiempo que tarda un cicIo, y siempre es positivo. La uni-

dad del periodo en el sistema internacional SI es el segundo, pero a veces se ex-

presa como "segundos por cicIo".

La frecuencia,f, es el numero de ciclos en la unidad de tiempo, y siempre es

positiva. La unidad de la frecuencia en el sistema internacional SI es el hertz:

I hertz = 1 Hz = 1 ciclo/s = 1 S-l

477

o

~ F

Desplazamiento a la izquierda,

fuerza restauradora a la derecha

Desplazamiento cero, fuerza

restauradora cero

Desplazamiento a la derecha,

fuerza restauradora a la izquierda

(a)

(b)

13.1 Modelo demovimiento periodico,(a) En la posicion de equilibrio, el resorteejerce fuerza cero. Cuando el cuerpoesta desplazado respecto a la posicion deequilibrio, el resorte ejerce una fuerzade restitucion dirigida hacia la posicion deequilibrio. (b)Diagramas de cuerpo libre

de las tres posiciones.



478 CAP f T U L 0 13 I Movimiento peri6dico

Esta unidad se llama asi en honor del fisico aleman Heinrich Hertz (1857-1894),

un pionero en la investigacion de las ondas electromagneticas,

La frecuencia angular, co , es 211 ' veces la frecuencia:

W = 211 ' /

Pronto veremos para que sirve w; representa la rapidez de cambio de una cantidad

angular (no necesariamente relacionada con un movimiento rotacional) que siem-

pre se mide en radianes, de modo que sus unidades son rad/s. Dado que f esta encicIos/s, podemos considerar que el mimero 211 ' tiene unidades de rad/cicIo.

Por las definiciones de periodo Ty frecuenciaf, es evidente que uno es el reci-

proco del otro:

1i=>:

T

1T=-/

(relaciones entre frecuencia y periodo)

Tambien, por la definicion de w,

211 'W = 211 ' /=-

T(frecuencia angular)

Ej emplo

13.1 Pe r iodo . fr e cuenda y fre c u en c ia a n g u la r

Un transductor ultrasonico (una especie de altavoz) empleado para el

diagnostico medico oscila con una frecuencia de 6.7 MHz '" 6.7 X 106

Hz. i,Cuanto tarda cada oscilacion, y que frecuencia angular tiene?

"1!l u i [ I U 'I O E N T lF IC A R Y P L A N I E A R : Las incognitas son: el periodo T y la

frecuencia angular w. Nos dan la frecuenciaf, as! que podemos ob-

tener esas variables empleando las ecuaciones (13.1) y (13.2), res-

pectivamente.

E J E C U I A R : Por las ecuaciones: (13.1) y (13.2):

1 1T = - = = 1.5 X 10-7 s = 0.15,u.s

f 6.7 X 106

Hzw = 2 7Tf= 2 7T(6 .7 X 106Hz)

= (27T rad/ciclo)( 6.7 X 106 cic1os/s)

= 4.2 X 107 rad/s

E V A L U A R : Esta es una vibracion muy rapida, confy w grandes y

T pequefio; una vibracion lenta tiene fy w pequefias y T grande.

Fuerza de restituci6n F,

IFx_'" _ - h i

Desplazamiento x----------~--------~

13.2 La fuerza de restitucion de un resorte

idealizado es directamente proporcional al

desplazamiento. Esta es la ley de Hooke,

F; '" - kx. La oscilacion con una fuerza de

restitucion que obedece la ley de Hooke sedenomina movimiento armonico simple.

Una lancha ancIada sube y baja con las olas. La lancha alcanza 6.0 em arriba y

6.0 em abajo de su posicion de equilibrio, y describe un cicIo completo de ascen-

so y descenso cada 5.00 s. Calcule: la amplitud, periodo, frecuencia y frecuencia

angular, del movimiento.

13.2 I Mov im ien to armenlce s imp le

EI tipo mas sencillo de oscilacion se da cuando la fuerza de restitucion F; es direc-

tamente proporcional al desplazamiento x respecto al equilibrio. Esto sucede si el

resorte de la figura 13.1 es ideal y obedece la ley de Hooke. La constante de pro-

porcionalidad entre F; Yx es la constante de fuerza k. (Repase, si es necesario, laseccion 6.3.) En ambos lados de la posici6n de equilibrio, F; y x siempre tienen



13.2 I Movimiento ann6nico simple

signos opuestos. En la secci6n 6.3, representamos la fuerza que actua sobre un re-

sorte ideal estirado como F; = kx. La componente x de la fuerza que el resorte

ejerce sobre el cuerpo es el negativo de esta, asi que la componente x de la fuerza

F; sobre el cuerpo es

(fuerza de restituci6n de un resorte ideal) (13.3)

Esta ecuaci6n da la magnitud y signo correctos de la fuerza, sea x: positivo, negati-

vo 0 cero (Fig. 13.2). La constante de fuerza k siempre es positiva y tiene unidades

de N/m (tambien resultan utiles las unidades de kg/s"). Estamos suponiendo que no

hay fricci6n, asi que la ecuaci6n (13.3) da la fuerza neta que actua sobre el cuerpo.

Si laJuerza de restitucion es directamenteproparcianal al desplazamiento res-

pecto al equilibria, segun la ecuacion (13.3), la oscilacion se denomina movi-

mien to arm6nico simple, que se abrevia MAS. La aceleraci6n ax = d2xldt2 =

F)m de un cuerpo en MAS esta dada por

(movimiento arm6nico simple) (13.4)

EI signa menos indica quela aceleraci6n y el desplazamiento siempre tienen sig-

nos opuestos. Esta aceleraci6n no es constante, asi que olvidese de usar las ecua-

ciones para aceleraci6n con stante del capitulo 2. En breve veremos c6mo resolver

esta ccuaci6n para obtener el desplazamiento x en funci6n del tiempo. Un cuerpo

que esta en movimiento arm6nico simple se denomina oscilador arm6nico.

l,Por que es importante el movimiento arm6nico simple? Tenga presente que no

todos los movimientos peri6dicos son arrn6nicos simples; en el movimiento pe-

ri6dico en general, la relaci6n entre la fuerza de restituci6n y el desplazamiento es

mas complicada que la ecuaci6n (13.3). No obstante, en muchos sistemas, la fuer-

za de restituci6n es aproximadamente proporcional al desplazamiento si este espequefio (Fig. 13.3). Es decir, si la amplitud es pequefia, las oscilaciones son mas

o menos arm6nicas simples y la ecuaci6n (13.4) las describe aproximadamente.

Asi, podemos usar el MAS como modelo aproximado de muchos movimientos

peri6dicos distintos, como la vibraci6n del cristal de cuarzo de un reloj de pulso,

el movimiento de un diapas6n, la corriente electrica en un circuito de corriente al-

tema y las vibraciones de los atomos en moleculas y s6lidos.

E c ua cio ne s d el m o v im ie nto armenlco simple

Para explorar las propiedades del movimiento arm6nico simple, debemos expresar el

desplazamiento x del cuerpo oscilante en funci6n del tiempo, xif]. La segunda deriva-

da de esta funci6n, d2xldt2, debe ser igual a (-kim) multiplicado por la funci6n rnis-

ma, como 10 pide la ecuaci6n (13.4). Como ya dijimos, las f6rmulas para aceleraci6n

constante de la secci6n 2.4 no sirven porque la aceleraci6n cambia constantemente al

cambiar x. En vez de ello, obtendremos x(t) aprovechando la notable sirnilitud entre el

MAS y otra forma de movimiento que ya estudiamos detalladamente.

La figura 13.4 muestra una vista superior de un disco horizontal de radio A con

una bola pegada a su borde en el punto Q . El disco gira con velocidad angular cons-

tantc w (en rad/s), asi que la bola tiene movirniento circular uniforme. Un haz de

luz horizontal incide en el disco y proyecta la sombra de la bola en una pantalla. La

sombra en P oscila conforme la bola se mueve en un circulo. Luego instalamos un

cuerpo sujeto a un resorte ideal, como la combinaci6n de la figura 13.1, de modo

que el cuerpo oscile paralelo a la sombra. Demostraremos que el movirniento del

479

Fuerza de restituci6n F,

11.3 En casi todas las oscilaciones reales,

la fuerza de restituci6n no es directamente

proporcional al desplazamiento. No obs-

tante, F, = - kx suele ser una buena

aproximaci6n si el desplazamiento x

es suficientemente pequefio.

Pantalla

La luz brilla en el aparato, creando

la sombra de la bola en la pantalla

13.4 La bola en el punto Q gira en movi-miento circular uniforme antihorario.

Su sombra en el punto P se mueve en

movimiento arm6nico simple, exactamente

igual que un cuerpo que oscila en un

resorte ideal.



480 CAPITULO 13 I Movirnientoperi6dico

cuerpo y el de la sombra de la bola son identicos si la amplitud de la oscilaci6n

del cuerpo es igual al radio del disco A y si la frecuencia angular 27Tf del cuerpo os-

cilante es igual a la rapidez angular cadel disco. Esto es, el movimiento armonico

simple es laproyeccion del movimiento circular uniforme sobre un diametro.

Podemos comprobar esta notable afirmacion calculando la aceleraci6n de la

sombra en P y comparandola con la aceleraci6n de un cuerpo en MAS, dada por

la ecuaci6n (13.4). EI circulo en el que la bola se mueve de modo que su proyec-

ci6n coincide con el movimiento del cuerpo oscilante se denomina circulo de re-

ferencia; llamaremos a Q el pun to de referencia. Tomamos el circulo de

refercncia en el plano xy, con el origen 0en el centro del circulo (Fig. 13.5a). En

el instante t,el vector OQ del origen al punto de referencia Q forma un angulo e con eleje +x.Al girar Q en el circulo de referencia con rapidez angular constante w, el vec-

tor OQ gira con la misma rapidez angular. Semejante vector giratorio se denomi-

na fasor. (Este termino estaba en uso mucho antes de inventarse el arma del

mismo nombre del programa de TV "Viaje a las estrellas". EI metodo de fasores

para analizar oscilaciones es util en muchas areas de la fisica. Usaremos los faso-res cuando estudiemos los circuitos de corriente alterna en el capitulo 31 y la in-

terferencia de la luz en los capitulos 35 y 36.)

La componente x del fasor en el instante t es la coordenada x del punto Q:

(13.7)

x = A cos e (13.5)

Esta es tambien la coordenada x de la sombra P, que es la proyeccion de Q sobre

el eje x. Por tanto, la aceleraci6n de P sobre el eje x es igual a la componente x del

vector de aceleraci6n del punto de referencia Q (Fig. 13.5c). Puesto que Q esta en

movimiento circular uniforme, su vector de aceleraci6n iiQ siempre apunta hacia

O. Ademas, la magnitud de iiQ es constante y es igual a la velocidad angular al

cuadrado multiplicado por el radio del circulo (vease la secci6n 3.4):

aQ = w2A (13.6)

La figura 13.5c muestra que la componente x de iiQ es ax= -aQ cos e . Combinan-

do esto con las ecuaciones (13.5) y (13.6), vemos que la aceleraci6n de P es

o sea

(13.8)

La aceleraci6n del punto P es directamente proporcional al desplazamiento x y

siempre tiene el signa opuesto. Estas son precisamente las caracteristicas del mo-

vimiento arm6nico simple.La ecuaci6n (13.8) es exactamente igual ala ecuaci6n (13.4) para la acelera-

cion de un oscilador arm6nico, siempre que la velocidad angular t» del punto de

referencia Q este relacionada con la constante de fuerza k y la mas a m del cuerpo

oscilante por

w2 =!:_ 0 sea w = (km \j;; (13.9)

Hemos estado usando el mismo simbolo w para la velocidad angular del punto de re-

ferencia Q y lafrecuencia angular del punto oscilante P. La raz6n es que estas can-

tidades son iguales. Si Q completa una revoluci6n en un tiempo T, P completa un

ciclo de oscilaci6n en el mismo tiempo; por tanto, T es el periodo de la oscilaci6n.Durante el tiempo T,el punto Q gira 2 7 T radianes, asi que su rapidez angular esw = 2 7 T IT.



13.2 I Movimiento arm6nico simple

y

Despiazamiento -E-.Aceleracion

(a) (b)

U.5 (a) La coordenadax de la sombra de la bola P (Fig. 13.4) cambia al girar la bola Q

en movirniento circular uniforme. (b) y (c) La velocidad x y la aceleracion x de P son las

componentes x de los vectores de velocidad y aceleracion, respectivamente, de Q.

Esta es la ecuacion (13.2) para la frecuencia angular de P, y esto verifica 10 que he-

mos dicho acerca de las dos interpretaciones de w. Es por ello que introdujirnos la

frecuencia angular en la seccion 13.1; es la cantidad que conecta la oscilacion y el

movimiento circular. Asi pues, reinterpretamos la ecuacion (13.9) como una expre-

sion de la frecuencia angular del movimiento armonico simple para un cuerpo de ma-

sa m sobre el que aetna una fuerza de restitucion con constante de fuerza k:

w = J K-----

(movimiento armonico simple) (13.10)

Cuando un cuerpo comienza a oscilar en MAS, no podemos escoger el valor de w,

pues esta predeterminado por los valores de k y m. Las unidades de k son N/m 0

kg/s'', asi que kim esta en (kg/s2)/kg = S-2. Cuando obtenemos la raiz cuadrada en

la ecuacion (13.10), obtenemos S-1 0, mejor dicho, rad/s, porque se trata de una

frecuencia angular (recuerde que el radian no es una unidad verdadera).

Segun las ecuaciones (13.1) y (13.2), la frecuenciafy el periodo Tson

to 1 if=tr =':': -2 7 T 2 7 T m

(movimiento armonico simple)

(movimiento armonico simple) (13.12)

Por la ecuacion (13.12), vemos que una masa mayor m, con su mayor inercia, tiene

menos aceleracion, se mueve mas Ientamente y tarda mas en completar un ciclo

(Fig. 13.6). En contraste, un resorte mas duro (con mayor constante de fuerza k)

ejerce una mayor fuerza para una deformacion x dada, causando una mayor acele-

racion, velocidades mas altas y ciclos mas cortos.

•••••. Podemos meternos en problemas si no distinguimos entre fre-

cuencia fy frecuencia angular w = 27Tf La frecuencia nos dice cuantos ciclos de

oscilaci6n se dan por segundo; w nos dice a cuantos radianes por segundo co-

rresponde esto en el cfrculo de referencia. AI resolver problemas, fijese bien si

el objetivo es obtener f u w.

481

y

(c)

Brazos con masa grande m:

frecuencia bajaf= 128 Hz

Brazos con masa pequefia m:

frecuencia alta f = 4096 Hz

13.6 Cuanto mayor es la masa m de los

brazos de un diapason, mas baja es la fre-

cuencia de oscilacion f = (~7T)~Ymas bajo es el tono del sonido producido

por el diapason.



482 CAPITULO 13 I Movimientoperi6dico

Las ecuaciones (13.11) Y(13.12) muestran que el periodo y la frecuencia del

movimiento armonico simple estan determinadas solamente por la masa m y la

constante de fuerza k. En el movimiento armonico simple, el periodo y lafrecuen-

cia no dependen de fa amplitud A. Para valores dados de m y k, el tiempo de una

oscilacion completa es el mismo, sea la amplitud grande 0 pequefia. La ecuaci6n

(13.3) muestra por que esto es logico. Una mayor A implica que la masa alcanza

valores mayores de I x l y se somete a fuerzas de restauraci6n mayores. Esto aumen-

ta la rapidez media del cuerpo durante un ciclo completo, 10que compensa exac-

tamente la necesidad de recorrer una mayor distancia, de modo que el tiempo total

es el mismo.

Las oscilaciones de un diapas6n son en esencia movimiento arm6nico simple, 10

que implica que siempre vibra con la misma frecuencia, sea cual sea la amplitud.

Esto permite usar el diapas6n como estandar para tono musical. Si no fuera por es-

ta caracteristica del movimiento arm6nico simple, seria imposible hacer que los

relojes mecanicos y electr6nicos que conocemos fueran exactos, 0tocar afinadamen-

te la mayor parte de los instrumentos musicales. Si encontramos un cuerpo oscilantecuyo periodo sf depende de la amplitud, su movimiento no es armonico simple.

La frecuenciaJes

w 20 rad/s

J = ~ = . = 3.2 ciclos/s = 3.2 Hz2 1 1 2 7 T rad/ciclo

EI periodo T es el reciproco de la frecuenciaJ:

1 1T = - = = 0.31 s

J 3.2 cicIos/s

Ejemplo

13. 2 Frec .uenci aangu la r , fr ecuenc ia y perio do en MAS

Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fi-

jo. Conectando una balanza de resorte a 1 extremo libre y tirando hacia

1aderecha (Fig. 13.7), determinamos que I tt fuerza de estiramientoes proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 N causa

un desplazamiento de 0.030 m. Quitamos la balanza y conectamos un

cuerpo de 0.50 kg al extremo, tiramos de 61hasta moverlo 0.020 rn,

10 soltamos y vemos como oscila. a) Determine la constante de

fuerza del resorte. b) Calcule: la frecuencia angular, la frecuencia y

el periodo de la oscilacion.

".I I IAUaIDENT IF ICAR : Dado que la fuerza del resorte (con magnitud igual

a la fuerza de estiramiento) es proporcional al desplazamiento, el

movimiento es arm6nico simple.

P lANTEAR : Obtendremos el valor de k usando la ley de Hooke,ecuaci6n (13.3), y los valores de w,Jy T,usando las ecuaciones

(13.10), (13.11) y (13.12), respectivamente.

E J E C U T A R : a) Cuando x = 0.030 m, la fuerza que el resorte ejerce

sobre el cuerpo es F; = -6.0 N. Por la ecuacion (13.3),

F, -6.0N 2k = -- = -~~- = 200N/m = 200kg/s

x 0.030m

b) Usando m =0.50 kg en la ecuaci6n (13.10), vemos que

w=~=200 kg/s2

0.50 kg = 20 rad/s

EI periodo por 10regular se da en "segundos", no en "segundos por

cicIo".

EVA lUAR : La amplitud de la oscilaci6n es de 0.020 m, la distancia

a la derecha que movimos el cuerpo conectado al resorte antes de

soltarlo. No necesitamos esta informacion para calcular: la frecuen-

cia angular, la frecuencia ni el periodo porque, en MAS, ninguna de

esas cantidades depende de la amplitud.

~N

, . . . ,x

o O.030m

13. 7 La fuerza ejercida sobre el resorte (indicada por el vector

F) tiene componente x F; = +6.0 N. La fuerza ejercida par el

resorte tiene componente x F, = -6.0 N. .



13.2 I Movimiento arm6nico simple

Desp la zam ie n to . v e lo c id a d y aceleraeien en MAS

Aun necesitamos obtener el desplazamiento x en funcion del tiempo para un osci-

lador armonico. La ecuacion (13.4) para un cuerpo en movimiento armonico sim-

ple en el eje xes identica a la ecuacion (13.8) para la coordenada x del punto de

referencia en movimiento circular uniforme con rapidez angular constante

w = ~. Se sigue que la ecuacion (13.5), x =A cos (), describe la coordenada

x para ambas situaciones. Si, en t = 0, el fasor OQ forma un angulo c f> con el eje

+x, en cualquier instante posterior t, este angulo sera ()= to t + c f > . Sustituimos esto

en la ecuacion (13.5) para obtener

x = A cos (w t + c f » (desplazamiento en MAS) (13.13)

donde w = ~. La figura 13.8 muestra una grafica de la ecuacion (13.13) pa-

ra el caso en que c f> =0. EI desplazamiento x es una funcion periodica de t, como

se espera en MAS. Tambien podriamos haber escrito la ecuacion (13.13) en termi-

nos de la funcion seno en lugar de coseno usando la identidad cos a = sen (a +7 T / 2 ) . En el movimiento armonico simple, laposicion es una funcion periodica se-

noidal del tiempo. Hay muchas otras funciones periodicas, pero ninguna tan con-

tinua y simple como una funcion seno 0coseno.

EI valor del coseno siempre esta entre -1 y I, asi que en la ecuacion (13.13) x

siempre esta entre -A y A. Esto confirma que A es la amplitud del movimiento.

La figura 13.9a muestra la grafica de x contra t para diversos valores de A.

EI periodo T es 10 que tarda un ciclo de oscilacion. La funcion coseno se repite

cada vez que la cantidad entre parentesis en la ecuacion (13.13) aumenta en 27 T ra-

dianes. Si comenzamos en t = 0, el tiempo T para completar un ciclo esta dado por

wT =

. J ET = 27T o T= 27T~

que es la ecuacion (13.12). Un cambio de m 0k altera el periodo de oscilacion, co-

mo se muestra en las figuras 13.9b y 13.9c.

La constante c f> de la ecuacion (13.13) es el angulo de rase; nos dice en que

punto del cicIo el movimiento estaba en t = ° (0 en que parte del circulo estaba

el punto Q en t = 0). Denotamos la posicion en t = ° con X o . Sustituyendo t = 0 Y

x = X o en la ecuacion (13.13) obtenemos

X o = A cos c f> (13.14)

x x

1 2 3

483

x

, 3 .8 Grafica de x contra t [ecuacion

(13.13)] para movimiento armonico sim-

ple. Aqui, 1 > = o .

x

3 2 1

3

(a) A aumenta; mismas k y m (b) m aumenta; mismas A y k

13.9 Variaciones del movimiento arm6nico simple. En todos los casos, 1 > =O.(a) La am-plitud A aumenta de la curva Iala 2 a la 3. EI cambio de amplitud no afecta el periodo.

(b) La masa m aumenta de 1 a 2 a 3; aumentar m solo aumenta el periodo. (c) La constan-

te de fuerza k aumenta de 1 a 2 a 3; aumcntar k sola reduce el periodo.

(e) k aumenta; mismas A y m



484

I Diferente < / > ; mismas A, k Ym I

A

o ~~~--~~~~~~-A

1 1

T T

4 2

13.10 Estas tres curvas ilustran un MAS

con el mismo periodo y amplitud pero

angulos de fase c p distintos.

X~T~

o tI

-A(a) Desplazamiento

u~x: :m a x = wA I I.

o lit

-u . = -wAmax T 2T

(b) Velocidad

a. =W2Aa~x i iax I . I

o . t

-amax = -w2A 1 I

T 2T

(c) Aceleraci6n

13.11 (a) Grafica de x contra t para MAS.

En esta grafica, c p = 7 T / 3 . (b) Grafica de U x

contra t para el mismo movimiento. Esta

curva esta desplazada !e cicio respecto a

la de x-t. (c) Grafica de ax contra t para el

mismo movimiento. La grafica x-t esta

desplazada ~de ciclo respecto a la de ux-ty! cicio respecto a la de a x - t o

CAP f T U L 0 13 I Movimiento peri6dico

Si c p = 0, X o = A cos 0 = A , y Ia particula parte del desplazamiento positivo maxi-

mo. Si c p = ' T T , entonces X o =A cos 'T T = -A , Y Ia particula parte del desplazamien-

to negativo maximo. Si c p = ' T T 1 2 , X o = A cos ( ' T T 1 2 ) = 0, y la particula parte del

origen. La figura 13.10 muestra el desplazamiento x contra el tiempo para diferen-tes angulos de fase.

Obtenemos la velocidad Vx Y la aceleraci6n ax en funci6n del tiempo para un

oscilador arm6nico derivando Ia ecuaci6n (13.13) respecto al tiempo:

dxv x =- =-wA sen (wt + c p )

dt(velocidad en MAS) (13.15)

(aceleraci6n en MAS) (13.16)

La velocidad Vx oscila entre v r n a x =+wA y -vrnitx = -wA, y la aceleraci6n ax os-

cila entre amitx =+w2A y -arnitx = -w2A (Fig. 13.11). Si comparamos Ia ecuaci6n

(13.16) con la (13.13) y recordamos que w 2 = kim [ecuacion (13.9)], vemos que

2 ka = -w x = --xx m

que es la ecuaci6n (13.4) para el movimiento arm6nico simple. Esto confirma que

la ecuaci6n (13.13) para x en funci6n del tiempo es correcta.

Ya antes deducimos geometricamente Ia ecuaci6n (13.16) tomando Ia compo-

nente x del vector aceleraci6n del punto de referencia Q. Esto se hizo en la figura

13.5c y la ecuaci6n (13.7) (recuerde que ()= tot+ c p ) . Del mismo modo, podriamoshaber derivado 1aecuaci6n (13.15) tomando la componente x del vector velocidad

de Q (Fig. 13.5b). Dejamos los detalles allector (vease el problema 13.79).

Observe que Ia grafica senoidal de desplazamiento contra tiempo (Fig. 13.11a)

esta desplazada un cuarto de periodo respecto a la de velocidad contra tiempo

(Fig. 13.11b) y medio periodo respecto a de la de aceleraci6n contra tiempo (Fig.

13.1 Ie). Cuando el cuerpo pasa por Ia posici6n de equilibrio (x =0), Ia velocidad

es Vrnitx 0bien -Vmitx (dependiendo de la direcci6n de movimiento) y la acelera-

ci6n es cero. Cuando el cuerpo esta en su desplazamiento maximo positivo (x = =

+A) 0negativo (x = - A),''ta velocidad es cero y el cuerpo esta momentaneamente

en reposo. En estos puntos, la fuerza de restituci6n F; =+kx y Ia ace1eraci6n del

cuerpo tienen su magnitud maxima. En x = +A la aceleraci6n es negativa e igual a

-amitx' En x = -A, Ia aceleraci6n es positiva: a, = +ami!x'

Si conocemos la posicion y velocidad iniciales X o Y VOx del cuerpo oscilante,

podemos determinar Ia amplitud A y el angulo de fase c p como signe. VOx es Ia ve-locidad en t = 0; si sustituimos Vx = VOx Y t = 0 en Ia ecuaci6n (13.15), vemos que

VOx = ~wA sen c p (13.17)

Para calcular c p , divida la ecuaci6n (13.17) entre Ia ecuaci6n (13.14). Esto e1imi-

na A y produce una ecuacion de Ia que podemos despejar c p :

-wA sen c p. . = -w tan c pA cos c p

(Vox)

c p = arctan - ,_.-wxo (angulo de fase en MAS) (13.18)



13.2 I Movimiento arm6nico simple 485

Tambien es facil calcular la amplitud A si conocemos Xo Y Vox- Bosquejaremos la

deducci6n y dejaremos los detalles al lector. Eleve al cuadrado la ecuaci6n

(B.14); divida la ecuaci6n (13.17) entre w, elevela al cuadrado y sumela al cua-

drado de la ecuaci6n (13.14). El miembro derecho seraA2(sen2 c p + cos2 c p ) , que

es igual a A2. El resultado final es

22 VOx

Xo +-2w

(amplitud en MAS)=

•A d ! VP h y s c s

(13.19)

9.1 Graficas y ecuaciones de posici6n

9.2 Descripci6n de movimientos

de vibraci6n

9.5 Mono deja caer a Tarzan

Observe que, si el cuerpo tiene un desplazamiento inicial Xo Yuna velocidad ini-

cial VOx distinta de cero, la amplitudA no es igual al desplazamiento inicial. Eso es

logico. Si el cuerpo parte de un Xo positivo y se le imparte una velocidad positiva

Vox>llegara mas lejos que Xo antes de regresar.

Est ra teg i a pa ra

r es o lv e r p ro b le m a s M ov im ie nto a rm o nico s im p le I

I D E N I I F I C A R . l o s conceptos relevantes: Un sistema oscilante

tiene movimiento armonico simple (MAS) unicamente si la

fuerza de restitucion es directarnente proporcional al desplaza-

miento, Asegurese de que esto se curnpla en la situaci6n del pro-

blema antes de tratar de aplicar cualquiera de los resultados de

esta secci6n. Como siempre, identifique las incognitas.

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:

1. Identifique las cantidades conocidas y desconocidas, y

determine cuales son las incognitas.

2. Resulta util distinguir dos c1ases de cantidades. Las pro-

piedades basicas del sistema incluyen la masa m y Ia

constante de fuerza k. (En algunos problemas, m, k 0 am-

bas se pueden determinar a partir de otra inforrnacion.)

Tambien incluyen cantidades derivadas de m y k, como el

periodo T, la frecuenciafy la frecuencia angular w. Las

propiedades del movimiento describen como se cornporta

el sistema cuando se pone en movimiento de una forma

especif ica, e incluyen la amplitudA, la velocidad maxima

Umh, el angulo de fase < p y los valores de: x, Ux Y ax en un

instante dado.

3. Si es necesario, defina un eje x como en la figura 13.6.

EJECUTAR la solucion como sigue:

1. Use las ecuaciones dadas en las secciones 13.1 Y 13.2 pa-

ra obtener las incognitas.

2. Si necesita calcular el angulo de fase, tenga cuidado de

expresarlo en radianes, La cantidad to t de la ecuacion

(13.13) esta naturalmente en radianes, por 1 0 que c P debe

e st ar lo t amb ie n ,

3 . Si necesita hallar los valores de: x, Ux Y a x en diversos ins-

tantes, use las ecuaciones (13.11), (13.15) Y (13.16). Si se

dan la posicion X o Y la velocidad inicial VOX' se puede deter-

m in ar: e l a ng ulo de fase y la amp litu d a partir de las ecua-

ciones (13.18) y (13.19). Si el cuerpo tiene un

desplazamiento inioial positivo Xo pero velocidad inieial

cere (vox =0), la amplitud es A "" X(j Y el angulo de fase es

< p = O . Si el cuerpo tiene velocidad inieial positiva pero

n ingun desp laz amien to inicial (X O =0), la ampl i tud es A =

ur/w y el angulo de fase es < p = -7T/2.

EVALUAR la respuesta: C om p ru eb e su s resultados para asegu-

rarse de que sean congruentes. Por ejemplo, suponga que uso la

posicion y la velocidad iniciales para obtener expresiones gene-

rales para: x y Ux en el instante t. Si sustituye t= 0 en estas ex-

presiones, debera obtener los valores correctos de Xo Y VOx.

Ej emplo

13.3 Des crip cio n d el MAS

Volvamos al sistema de masa y resorte horizontal que consideramos

en el ejemplo 13.2, con k =200 N/m y m =0.50 kg. Esta vez impar-

tiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0.015 my una ve-

locidad inicial de +0.40 mls. a) Determine: el periodo, arnplitud y

angulo de fase del movimiento. b) Escriba ecuaeiones para: el des-

plazamiento, velocidad y aceleracion en funcion del tiempo,

11']'11;1,11

I D E N T I F I C A ' R : Igual que en el ejemplo 13.2, las oseilaciones son

MAS y podemos usar las expresiones desarrolladas en esta seccion.

P L A N T E A R : Nos dan los valores de: k, m , Xo Y Vax. Con base en

e l lo s , ca lcu la r emos las incognitas: T, A Y < p Y las expresiones para:

x, u,Y a x en funcion del tiempo,

E J E C U T A R : a) EI periodo es exactamente e1 misrno del ejernplo

13.2, T= 0.31 s. En el mov im i en to a rmon ic o simple, el periodo no

depende de la amplitud, solo de los valores de k y m.

En el ejemplo 13.2, determinamos que w =20 rad/s, asi que, por

la ecuacion (13.19),



486 CAPf TULoB I Movimiento peri6dico

( )

2 (0 .40m/s)2

0.015 m + ( ) 220 rad/s

x 0= (0.025 m) cos [(20 rad/s )t - 0.93 rad]

Vx = -(0.50m/s) sen [(20rad/s) t - 0.93rad]

a x = - (10 m/s"] cos [(20 rad/s)t - 0.93 rad]

La velocidad varia senoidalmente entre -0.50 m ls y +0.50 mls . Laaceleraci6n varia senoidalmente entre -10 m/s? y + 10 m/s''.

A=

= 0.025 m

(- v o x )c jJ = arctan --wxo

EVALUAR: Puede comprobar los resultados para x y Vx en funci6n

del tiempo sustituyendo t =0 y evaluando el resultado. Debera ob-

tener x = xo =' 0.015 my Vx = v o x = 0.40 mls . l,Es asi?

Para obtener el angulo de fase c j J , usamos la ecuaci6n (13.18):

(-0.40 m ls )

= arctan ( ) ( ) = -530 = -0.93 rad

20 rad/s O . Q 1 S m

b) El desplazamiento, la velocidad y la aceleraci6n en cualquier

instante estan dados por las ecuaciones (13.13), (13.15) y (13.16),

respectivamente. Sustituyendo los valores, obtenemos

9.3 Energfa de vibraci6n

9.4 Dos formas de medir la masa

del joven Tarzan

9.6 Liberaci6n de un esquiador

que vibra I

9.7 Liberaci6n de un esquiador

que vibra "1 1

E = -mv 2 + - kx2 = constante2 x 2

(13.20)

Se da la posicion de cierto objeto en MAS en funcion del tiempo: x = (0.050 m)

cos [(290 rad/s)t + (2.5 rad)]. Calcule: la amplitud, periodo, angulo de fase y po-

sicion inicial para este movimiento.

13.3 I Ene rg ia en e l m ov im ien to a rm on ico s im ple

A c t l O VP h y s c s

Podemos aprender mill mas acerca del movimiento armonico simple usando considera-ciones de energia, Examinemos otra vez el cuerpo que oscila en el extremo de un resor-

te en la figura 13.1.Ya sefialamos que la fuerza del resorte es la unica fuerza horizontal

que aetna sobre el cuerpo. La fuerza ejercida por un resorte ideal es conservadora y las

fuerzas verticales no efectuan trabajo, asi que la energia mecanica total del sistema se

conserva . Tambien supondremos que la masa del resorte es despreciable.

La energia cinetica del cuerpo es K = }mv2 y la energia potencial del resorte

es U = ~kx2, igual que en la seccion 7.2. (Seria util repasar esa seccion.) No hay

fuerzas no conservadoras que efectuen trabajo, asi que la energia mecanica total

E = K + Use conserva:

(Dado que el movimiento es unidimensional, v 2 = v} .)

La energia mecanica total E tambien esta relacionada directamente con la amplitud

A del movimiento. Cuando el cuerpo llega al punto v =A, su desplazarniento es maxi-

mo respecto al equilibrio, se detiene momentaneamente antes de volver hacia la posi-

cion de equilibrio. Es decir, cuando x = A(o -A), Vc r = O.Aqui, la energia es solo

potencial, y E = ~kA2 . Puesto que E es constante, esta cantidad es igual a E en cual-

quier otro punto. Combinando esta expresion con la ecuacion (13.20), obtenemos

1 1 1E = -mv 2 + - kx2 = -kA2 = constante

2 x 2 2

(energia mecanica total en MAS)

(13.21)



13.3 I Energia en el movimiento arm6nico simple 487

vx = 0 Vx = ±Um ax Vx = :t.[3i4 v ma x Vx = 0ax= 0

ax=-am~ ax=~

G f ' x

0 A /2 A

0 II I I . I I I I . IIK U E K U E K U E K U E K U

Podemos verificar esta ecuacion sustituyendo X y Vx de las ecuaciones (13.13) y

(13.15) y usando w2 = kim de la ecuacion (13.9):

1 1 1 -1E = -mv} + -kx2

=-m[-wA sen (wt +

< p H+ -k[A cos (wt +

< p H2 2 2 2

1 1= -kA2sen2 (wt + < p ) + -kA2coS2 (wt + < p )2 2

1= -kA2

2

(Recuerde que serr' a + cos2 a = 1.) Por tanto, nuestras expresiones para el despla-

zamiento y la velocidad en MAS son congruentes con la conservacion de la ener-

gia, como debe ser.

Podemos usar la ecuacion (13.21) para ca1cular la velocidad Vx del cuerpo en

un desplazamiento v:

(13.22)

El signo ± implica que, para un valor de x dado, el cuerpo se puede estar movien-

do en cualquiera de las dos direcciones (de ida 0 de regreso). Porejemplo, cuando

x = ±AI2,

La ecuacion (13.22) tambien muestra ~a rapidez maxima vmilxse da en x =O.

Utilizando la ecuacion (13.10), w = Vklm, finalmente encontramos que

vmilx= ~A = wA (13.23)

Esto concuerda con la ecuacion (13.15), que mostro que v x oscila entre - (VAY+ wA.

La figura 13.12 muestra las energias: E, K y U en: x = 0, x = ±AI2 Yx = ±A. La

figura 13.13 es una representacion grafica de la ecuacion (13.21); la energia (ci-

netica, potencial y total) se grafica verticalmente, y la coordenada x, horizontal-

mente. La curva parabolica de la figura B.13a representa la energia potencial

U = 1 kx". La linea horizontal representa la energia mecanica total E, que es cons-

tante y no varia con x. Esta linea interseca la curva de energia potencial en: x=-A

y x = A, donde la energia es solo potencial. En cualquier valor de x entre -A y A,

la distancia vertical entre el eje x y la parabola es U; dado que E = K + U, la dis-

13.12 En elMAS, la energia mecanica to-tal E es constante, transformandose conti-nuamente de energia potencial U a energiacineticaK y de regreso confonne el cuerpooscila.

A c t - I VP h y s c s

9.8 Sistemas vibratorios de uno y dos

resortes

9.9 Vibrojuego

~------~-+~--~~~x-A 0 x A

(a)

Energfa

- A o

(b)

A

13.13 Energia cineticaK, energia poten-cial U y energia mecanica total E enfuncion de la posicion enMAS. Paracada valor dex, la suma de K y U esigual al valor constante deE.



488 CAPiTULO 13 I Movimiento peri6dico

tancia vertical restante hasta la linea horizontal es K. La figura 13.13b muestra a

K y U como funciones de x. Al oscilar el cuerpo entre -A YA, la energia se trans-

forma continuamente de potencial a cinetica y viceversa.

La figura 13.13a muestra la relaci6n entre la amplitud A y la energia mecanica

total eorrespondiente, E = ~kAl. Si trataramos de haeer a x mayor que A (0 me-

nor que -A), U seria mayor que E y K tendria que ser negativa. Esto es imposible,

asi que x no puede ser mayor que A ni menor que -A.

E s t ra te g ia p a ra

r e so lve r p r ob le m as Mov im ie nto a rm o nic o s im .p le II

La ecuacion de energfa (ecuacion 13.21) es una relacion alterna

util entre: velocidad y posicion.sobre todo cuando tambien se

piden energias. Si el problema implica una relaci6n entre: posi-

cion, velocidad y aceleracion sin referencia al tiempo, suele ser

mas facil usar la ecuacion (13.4) (de la segunda ley de Newton)

o la (13.21) (de la conservacion de la energia) que usar la expre-

si6n general para: x, Vx Y ax en funci6n de t [ecuaciones (13.13),

(13.15) y (13 ..16), respectivamente]. Dado que en la eeuacion de

energia intervienen x2 y v/, no podemos conocer el signo de x

ni de v,,; debemos inferirlo de la situacion. Por ejemplo, si el

cuerpo se mueve de la posicion de equilibrio hacia al punto de

desplazamiento positivo maximo, x y Vx seran positivas.

Ejemplo

13.4 Ve l oc i dad , aeeleraclen y en erg iaen MA S

En la oscilaci6n descrita en el ejemplo 13.2, k= 200 N/m, m =0.50 kg

Y la masa oscilante se suelta del reposo en x = 0.020 m. a) Ca1cule

las velocidades: maxima y minima que alcanza el cuerpo al oscilar.

b) Calcule la aceleraci6n maxima. c) Determine: la velocidad y laaceleraci6n cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino

hacia el centro desde su posici6n inicia!. d) Determine las energias:

total, potencial y cinetica en esta posici6n.

I D E N T I F I C A R : Observe que el problema se refiere al movimiento

en diversas posiciones del movimiento, no en instantes especificos.

Esto nos sugiere que podemos usar las relaciones de energia que

deducimos en esta seccion, despejando de elias las incognitas.

P L A N T E A R : La figura 13.14 muestra que escogimos el eje x. En

cualquier posicion x, usaremos las ecuaciones (13.22) y (13.4) para

obtener la velocidad u, Y la aceleraci6n a x > respectivamente. Te-

niendo la velocidad y la posicion, usaremos la ecuacion (13.21) pa-

ra obtener las energias: K, U y E.

••••• La velocidad del cuerpo no esconstante, asi que es-

tas irnaqenes equiespaciadas del cuerpo no estan equiespaciadas

en el tiempo.

E J E C U T A R : a) La velocidad Vx para cualquier desplazamiento x es-

ta dada por la ecuaci6n (13.22):

Vx = ::t ~ V A 2- x2

La velocidad maxima se da cuando el cuerpo se mueve hacia la de-recha y pasa por la posicion de equilibrio, donde x =0:

v = v ' = r I A =x ma x »; 200N/m

---( 0.020 m) = 0.40 m/s0.50 kg

La velocidad minima (la m a s negativa) se da cuando el cuerpo semue-ve hacia la izquierda y pasa por x =0; su valor es -Vrnax = -0.40 mls.

b) Por la ecuaci6n (13.4),

13.t4 Un cuerpo se conecta a un resorte, se lleva a una distancia

A de la posici6n de equilibrio y se suelta. La figura muestra lavelocidad y aceleracion en nueve puntos del movimiento.



13.3 I Energia en el movimiento arm6nico simple 489

La aceleracion maxima (mas positiva) se da en el valor mas negati-

vo de x, 0 sea, x = -A; por tanto,

a . = -!(-A) = - 200 N/m( -0 020 m ) = 8.0 mls2ma x m 0.50 kg .

La aceleracion minima (mas negativa) es -8.0 m/s'' y se da en x =

+A =+0.020 m.

c) En un punto a la mitad del camino hacia el centro desde la posi-

cion inicial, x =AI2 =0.010 m. Por la ecuacion (13.22),

v =-x

200 N/myl (0.020 m ) ? - (0.010 m)? = -0.35 mls0.50 kg

Escogemos la raiz cuadrada negativa porque el cuerpo se mueve de

x =A hacia x = O . Por la ecuacion (13.4),

200N/max = - (0.010 m ) = -4.0 m/s2

0.50 kg

En este punto, la velocidad y la aceleracion tienen el mismo signo,

asi que la rapidez esta aumentando. En la figura 13.14, se muestran

las condiciones en x =0, x = :tA12 y x = :tA.

d) La energia total tiene el mismo valor en todos los puntos duran-

te el movimiento:

E = ~kA2 = ~(200N/m)(0.020m)2 = 0.040J

La energia potencial es

1 1U = 2kx2 = 2(200 N/m)(0.010 m)2 = 0.010J

y la energia cinetica es

1 1K = 2 . mu] = 2 . (0.50 kg)( -0.35 m/s )? = 0.030 J

E V A L U A R : En el punto x =A12, la energia es una cuarta parte ener-

gia potencial y tres cuartas partes energia cinetica, Puede compro-

bar este resultado examinando la fig. 13.13b.

Ejemplo

13.5 Energ ia . y can tid a.d d e m o vim ie nto en MA S

Un bloque con masa M, conectado a un resorte horizontal con cons-

tante de fuerza k, se mueve en movimiento arrnonico simple con

amplitud A I'En el instante en que el bloque pasa por su posicion de

equilibrio, se deja caer un trozo de masilla con masa m verticalmen-

te sobre el bloque desde una altura pequefia y se pega a el (Fig.

P o si ci 6n d e e q ui li br io

(a)

P o si ci 6n d e e q ui li br io

(b)

13.15 (a) Un trozo de masilla cae sobre un bloque oscilante al

pasar este por el equilibrio. (b) Un trozo de masilla cae sobre

el bloque enx =AI'

13.15a). a) Calcule la amplitud y el periodo ahora. b) Repita la par-

te (a) suponiendo que la masilla se deja caer sobre el bloque en un

extremo de su trayectoria (Fig. 13.15b).

.il l i A " m 1I D E N T I F I C A R : EI problema implica el movimiento en una posicion

dada, no un instante dado, asi que usaremos metodos de energia pa-

ra resolverlo. Antes de que la masilla toque el bloque, la energia

mecanica del bloque y resorte son constantes. EI contacto entre la

masilla y el bloque es un choque totalmente inelastico (seccion

8'.3); la componente horizontal de la cantidad de movimiento se

conserva, pero la energia cinetica disminuye. Despues del choque,

la energia mecanica se mantiene constante con un valor diferente.

Usaremos este principio para calcular la nueva amplitud (que esta

relacionada con la energia total del sistema). Obtendremos el nue-

vo periodo empleando la relacion entre periodo y masa.

P L A N U A R : La figura 13.15 muestra las coordenadas que escogi-

mos. Las incognitas en cada parte son: la amplitud A2 y el periodo

T 2 despues del choque. En cada parte, consideraremos que sucede:

antes, durante y despues del choque.

+ x E J E C U T A R : a) Antes del choque, la energia mecanica total del blo-

que y el resorte es EI = ~kA?Puesto que el bloque esta en la posi-

cion de equilibrio, U=0 y la energia es puramente cinetica, Si v Ies

la rapidez del bloque en la posicion de equilibrio, tenemos

_I 2_1 2, _~EI - -Mvi - -kA as! que VI - -AI

22m

Durante e1 choque, la componente x de la cantidad de movimiento

del sistema de bloque y masilla se conserva. (i,Por que") Justo an-



490 CAP f T U LoB I Movimiento periodico

tes del choque, esta componente es la suma de MvI(para el bloque)

y cero (para la masilla). Justo despues del choque, el bloque y la

masilla se mueven juntos con rapidez Vb y su componente x de can-

tidad de movimiento combinada es (M+ m)vz. Por la conservaci6n

de la cantidad de movimiento,M

V2= ---VM+m

as! que

EI choque dura muy poco, asi que poco despues el bloque y la

masilla aun estan cerca en la posici6n de equilibrio. La energia sigue

siendo exclusivamente cinetica, pero menor que antes de] choque:

£2 = !(M + m)vl = !~VIZ = _!!__(!MV?)2 2M+m M+m 2

= ( M : m ) E I

Dado que E2 = !kA22, donde A2 es la amplitud despues del choque,tenemos

!kA z =(_!!__}!kA 22 z M+m2 I

A2=AI) MM+m

Cuanto mayor sea lamasa m de lamasilla, menor sera la amplitud fmal.

Determinar el periodo de oscilaci6n despues del choque es la

parte facil. Usando la ecuaci6n (13.12), tenemos

(M+;zT2 = 27T\j-----';-

b) Al caer la masilla sobre el bloque, este esta momentaneamente

en reposo; toda la energia mecanica esta almacenada en el resorte

como energia potencial. La componente x de la cantidad de movi-

miento es cero tanto; antes como despues del choque. El bloque te-

nia cero energia cinetica justo antes del choque, y el bloque y la

masilla tienen cero energia cinetica inmediatamente despues, En

este caso, pues, la adici6n de la masa extra no afecta la energia me-

canica, Es decir,

1£z = EI = "2kA?

y la amplitud despues del choque es la misma (A z =AI). El periodosi cambia al agregarse la masilla; su valor no depende de c6mo seagreg6 la masa, s610 de la masa total. Asi, T2 es el mismo que obtu-

vimos en la parte (a), T2 = 27TV (M + m)lk.

EVA lUAR : GPorque se pierde energia en la parte (a) pero no en la

(b)? La diferencia es que, en la parte (a), la masilla se desliza con-

tra el bloque en movimiento durante el choque; esto disipa energia

por fricci6n cinetica,

Si queremos duplicar la energia total de un sistema masa-resorte en oscilaci6n,

l,en que factor deberemos aumentar la amplitud? l,Que efecto tiene este cambio

sobre la frecuencia? Suponga MAS.

13.4 I A plic ac io ne s d el m o vim ie nto a rm o n ic o s im p le

Hasta ahora, hemos examinado globalmente una situaci6n en la que hay movi-

miento arm6nico simple{MAS): un cuerpo conectado a un resorte ideal horizon-

tal. Sin embargo, el MAS puede presentarse en cualquier sistema en el que haya

una fuerza de restituci6n directamente proporcional al desplazamiento respecto al

equilibrio, segun la ecuaci6n (13.3), F, = -kx. Dicha fuerza se origina de diferen-

tes maneras y en distintas situaciones, por 1 0 que debe determinarse la constante

de fuerza k para cada caso examinando la fuerza neta que actua sobre el sistema.

Una vez hecho esto, es facil calcular: la frecuencia angular w, la frecuenciafy el

periodo T; basta sustituir el valor de ken las ecuaciones (13.10), (13.11) y (13.12),

respectivamente. Utilicemos estas ideas para examinar varios ejemplos de movi-

miento arm6nico simple.

MA S ve rt ic al

Suponga que colgamos un resorte con con stante de fuerza k (Fig. 13.l6a) y sus-

pendemos de el un cuerpo de mas a m. Las oscilaciones ahora seran verticales;

l,seguinin siendo MAS? En la figura 13.16b, el cuerpo cuelga en reposo, en equi-

librio. En esta posici6n, el resorte se estira una distancia !1 1 apenas suficiente pa-

ra que la fuerza vertical k!11 del resorte sobre el cuerpo balancee su peso mg:

k!1t = mg



13.4 I Aplicaciones del movimiento arm6nico simple 491

II x = o

TI

~

Ob je to en equi li br io :

( fu er za d el r es or te ) =

( p es o d el o bj eto )

O bj eto d es pla zad o d el

e qu il ib ri o: la f ue rz a n eta

es p ropo re i ona l al

d es pl az am ie nt o; la s

o se ilae io ne s so n M A S

(a) (b) (e)

13.16 (a) Resorte colgante. (b) Cuerpo suspendido del resorte, Cuando el resorte esta

estirado 1 0 suficiente como para que la fuerza hacia arriba del resorte tenga la misma

magnitud que el peso del objeto, el objeto esta en equilibrio. (c) Si el cuerpo obedece

la ley de Hooke, su movirniento sera armonico simple.

Sea x = 0 la posicion de equilibrio, con la direccion +x hacia arriba. Cuando el "

cuerpo esta una distancia x arriba de su posicion de equilibrio (Fig. 13.16c), la ex-

tension del resorte es fl.l - x. La fuerza hacia arriba que ejerce sobre el cuerpo es

k(fl.! - x), y la componente x neta de fuerza sobre el cuerpo es

Ob je to en equi li br io :

( fu e rz a de l r es o rt e) =

( p es o d el o bj eto )

Fneta = k( fl.! - x) + (- mg) = - kx

esto es, una fuerza neta hacia abajo de magnitud lex. De forma similar, cuando el

cuerpo esta debajo de la posicion de equilibrio, hay una fuerza neta hacia arriba

de magnitud kx. En ambos casos, hay una fuerza de restitucion de magnitud kx. Si

el cuerpo se pone en movimiento vertical, oscilara enMAS con la rnisrna frecuen-

cia angular que si fuera horizontal, w = ~. Por tanto, el MAS vertical no di-

fiere en su esencia del horizontal. El unico cambio real es que la posicion de

equilibrio x = 0 ya no corresponde al punto donde el resorte no esta estirado. Las

mismas ideas son validas cuando un cuerpo con peso mg se coloca sobre un resor-

te compresible (Fig. 13.17) y 10 comprime una distancia fl.!.

13.17 Si el peso mg comprime el resorte

una distancia Ill, la constante de fuerza es

k =mg l I I I y la frecuencia angular para

MAS vertical es w = ~; igual que si

el cuerpo estuviera suspendido del resorte.

(Fig. 13.16.)

E j em pl o

136 MAS vertic al en u n au to v ie jo

Los amortiguadores de un auto viejo de 1000 kg estan vencidos.

Cuando una persona de 980 N se sube lentamente al auto en su cen-

tro de gravedad, el auto baja 2.8 em. Cuando el auto, con la perso-

na a bordo, cae en un bache, comienza a oscilar verticalmente en

MAS. Modele el auto y la persona como un solo cuerpo en un solo

resorte, y calcule el periodo y la frecuencia de la oscilacion.

adicional nos da la constante de fuerza, que podemos usar para ob-

tener el periodo y la frecuencia (las incognitas).

".!lit3"DIDE N TIFIC AR Y PL AN T EA R: La situacion es parecida a la de la

figura 13.17. La compresion del resorte cuando se afiade el peso

EJECUTAR :Cuando la fuerza aumenta en 980 N, el resorte se com-

prime otros 0.028 m, y la coordenadax del auto cambia en -0.028

m. Por tanto, la constante de fuerza efectiva (inc1uido el efecto de

toda la suspension) es

F. 980 Nk = - - = - = 3.5 X 104 kg/s2

X -0.028 m



492 CAP f r U L 0 13 I Movimiento peri6dico

Lamasa de lapersonaes wig =(980 N)/(9.8 m/s'')= 100kg. Lama-

sa oscilantetotal es m = 1000kg + 100kg= 1100kg. EI periodo T es

T = 2 7 1 ' - J " ¥ = 2 7 1 '

1100kg-----=-- = 1.11 s3.5 X 104 kg/s?

EVALUAR: Una oscilacion persistente con un periodo aproximado

de un segundo es muymolesta. EI proposito de los amortiguadoreses eliminar tales oscilaciones (vease la seccion 13.7).y la frecuencia es

1 1f= - = -- = 0.90 Hz

T 1.11s

R ue da d e b ala nc e Resorte

~E l m om ento d e to rsion de l res orte 7'z

s e o po ne a l d es pla za mie nto a ng ula r

13.18 Rueda de balance de un reloj meca-nico. EI resorte ejerce unmomenta de tor-sion de restitucion que es proporcional aldesplazamiento angular e . Por tanto, elmovimiento es MAS angular.

MAS a n gu la r

La figura 13.18 muestra la rueda de balance de un reloj mecanico, La rueda tiene

un momento de inercia Ialrededor de su eje. Un resorte espiral ejerce un momen-

to de torsion de restitucion Tz proporcional al desplazamiento angular 0 respecto a

la posicion de equilibrio. Escribimos Tz = -KO, donde K (la letra griega "kappa")

es una constante Hamada eonstante de torsion. Empleando la analogia rotacionalde la segunda ley de Newton para un cuerpo rigido, LTz = Ia,= I d

20ldt2, la ecua-

cion del movimiento es

-KO = Ia 0bienK--0

I

La forma de esta ecuacion es identica a la de la ecuacion (13.4) para la aceleracion

en movimiento armonico simple, sustituyendo x por 0 y kim por K I I.Asi, estamos

tratando con una forma de movimiento armonico simple angular. La frecuencia

angular c u y la frecuenciaj estan dadas por las ecuaciones (13.10) y (13.11), res-

pectivamente, con la misma sustitucion:

(MAS angular) (13.24)

El movimiento esta descrito por la funcion

o = e cos ( c u t + c P )

donde e ("theta" mayuscula) hace las veces de una amplitud angular.

Es bueno que el movimiento de una rueda de balance sea armonico simple. Si

no 10 fuera, la frecuencia podria depender de la amplitud, y el reloj se adelantaria

o se retrasaria al ir disminuyendo la tension del resorte.

*V ib ra cio ne s d e m o le cu la s

En la siguiente explicacion de las vibraciones de las moleculas se usa el teorema

binomial. Si el estudiante no esta familiarizado con este teorema, le recomenda-

mos estudiar la seccion apropiada de su libro de matematicas.

Si dos atomos estan separados menos de unos cuantos diametros atomicos,

pueden ejercer fuerzas de atraccion entre si. Por otra parte, si los atomos estan tan

cercanos que sus capas electronicas se traslapan, las fuerzas entre ellos son de re-

pulsion. Entre estos limites, hay una separacion de equilibria en la que los atomos

forman una molecula. Si los atomos se desplazan ligeramente del equilibrio, osci-

laran. Veamos si tales oscilaciones pueden ser armonicas simples.

Como ejemplo, consideremos un tipo de interaccion entre atomos Hamada inte-

raccion de Vimder Waals. Nuestro objetivo inmediato es estudiar las oscilaciones,



13.4 I Aplicaciones del movimiento arm6nico simple

U F,

IOUolRo

oU '" en er g ia p o ten ci al

de l siste ma de do s atom os

F, '" Fu er za e je rc id a

s ob re e l a to mo d ere ch o

p o r e l i zq ui er do

-5Uo1R o

Equ il ib ri o e n r '" RoCU e s m i nima)-2Uo - lOUoiRo

(a) (b)

13.19 (a) Dos <Homoscon sus centros separados una distancia r. (b) La energia potencial

U de la interacci6n de Van der Waals en funci6n de r. (c) La fuerza F, sobre el atomo

derecho en funci6n de r.

asi que no entraremos en detalles respecto al origen de la interaccion. Tomemos el

centro de un atomo como el origen; el otro estara a una distancia r (Fig. 13.19a). La

distancia de equilibrio entre los centros es r =Ro . Se ha observado experimental-

mente que esta interaccion se puede describir con la funcion de energia potencial

[ (R o ) 12 ( R o ) 6 ]

U = o ; -;: - 2 -;: (13.25)

donde Uo es una constante positiva con unidades de joules. Si los atomos estan muy

separados, U = 0; si estan separados por la distancia de equilibrio r = R o , U = - U o .La fuerza sobre el segundo atomo es la derivada negativa de la ecuacion (13.25),

dU [ 1 2 R o 1 2 6 R 06 ] Uo [ ( R o ) 1 3 ( R o ) 7 ]F, = -- = Uo -- - 2- = 12- - -- - (13.26)dr r13 r7 Ro r r

La energia potencial y la fuerza se grafican en las figuras 13.19b Y 13.19c respec-

tivamente. La fuerza es positiva para r < R o y negativa para r > R o , asi que es unafuerza de restitucion.

A fin de estudiar oscilaciones de amplitud pequefia alrededor de la separacion

de equilibrio r =R o , introducimos la cantidad x para representar el desplazamiento

respecto al equilibrio:

x = r - Ro as! que r ""'Ro + x

En terminos de x, la fuerza F; de la ecuacion (13.26) se convierte en

(1 + ~ / R o r ](13.27)

F=

Esto no se parece en nada a la ley de Hooke, F;=-kx, y podriamos precipitamos

a la conclusion de que las oscilaciones moleculares no pueden ser MAS. Sin em-

bargo, Iimitemonos a oscilaciones depequeha amplitud, de modo que el valor ab-

soluto del desplazamiento x sea pequefio en comparacion con R o Y el valor

absoluto de la razon x lR o sea mucho menor que I. Ahora podemos simplificar la

ecuacion (13.27) usando el teorema binomial:

()n(n-l) 2 n(n-l)(n-2) 3

1

+u n = 1

+nu

+u

+u

+...(13.28)

2! 3!

493

Ce rc a de l equi li br io , F, s e p u ed e

ap rox im ar co n un a re cta

-F

-- F, (aproxirnacion)

Equ il ib ri o e n r '" RoCF, e s c er o)

(c)



4 94 CAPITULO 13 I Movimiento peri6dico

Si lu i es mucho menor que 1, cada termino sucesivo de la ecuacion (13.28) es mucho

menor que el anterior, y podemos aproximar (1 + uf con solo los dos primeros ter-

minos. En la ecuacion (13.27), u es reemplazado por x lR o y n es -13 0 -7, asi que

1 x

(1 ) 1 3 = (1 + x IR o ) - 1 3 = 1+ (-13)-+ x lR o Ro

1 x( 1 r= 1 + x IR o )-7 = 1 + ( - - 7 ) -+ x lR o Ro

r.» 1 2 ~ : [ ( 1 + ( - 1 3 ) ; J - ( 1 + ( - 7 ) ; J J = _(7~¥o)x (13.29)

Esta es Ia ley de Hooke con k=nUo lRo2. (Observe que k tiene las unidades co-

rrectas, J/m20N/m.) Asi, las oscilaciones de las moleculas unidas por interacci6n

de Van der Waals pueden ser movimiento armonico simple si la amplitud es pe-

quefia en comparacion con Ro , haciendo valida la aproximacion Ix lRol «1 em-

pleada al deducir la ecuaci6n (13.29).Tambien podemos demostrar que la energia potencial U de la ecuacion ( 1 3 . 2 5 )

se puede escribir como U =~x? + C, donde C = - Uo Y k es de nuevo igual a

nUo lRo2 . La suma de una constante ala energia potencial no afecta la interpreta-

cion fisica, asi que el sistema de dos atomos no es fundamentalmente distinto de

una masa unida a un resorte horizontal para el que U = ~kX2. Se deja la demos-

tracion como ejercicio.

E J e l l 1 p l o

1 3 . 7 V i bra c io n mo le c ula r

Dos atomos de argon pueden formar una molecula debilmente uni-

da, Ar2 , gracias a una interaccion de Van der Waals con Uo = 1.68 X

10-21 J y Ro = 3.82 X 10-10 m. Calcule la frecuencia de oscilacio-

nes pequefias de un atomo alrededor de su posicion de equilibrio.

11,]111;1.0.

I D E N lI F I C A R Y P L A N T E AR : Puesto que las oscilaciones son pe-

quefias, podemos usar la ecuacion (13.11) para obtener la frecuen-

cia del movimiento armonico simple. La con stante de fuerza esta

dada por la ecuaci6n (13.29).

E J E C U T A R : La constante de fuerza es

_nuo _ n( 1.68 X 10-21

1 ) _ 2 _

k - -2- - ( 10)2- 0.829 Jim - 0.829 NlmRo 3.82 X 10- m

Esta es comparable a la constante de fuerza de los resortes de ju-

guete flojos, como SlinkyTM.

De la tabla peri6dica de los elementos (apendice D), la mas a

atornica media de argon es (39.948 u) (1.66 X 10-27 kg/I u) =6.63

X 10-26 kg. Si uno de los atomos esta fijo y el otro oscila, la fre-

cuencia de oscilaci6n es

1If 1 - 0.829 N/m

f - - - - = 5.63 X io" Hz271" 271" 6.63 X 10-26 kg

La masa oscilante es muy pequefia, asi que incluso un resorte flojo

causa oscilaciones muy rapidas.

E V A L U A R : Sin embargo, lafque calculamos no es del todo correc-

tao Si no aetna una fuerza externa neta sobre la molecula, su centro

de masa (situado ala mitad de la distancia entre los atomos) no tie-

ne aceleraci6n. Para que haya aceleraci6n, ambos atomos deben os-

cilar con la misma amplitud en direcciones opuestas. Nos podemos

dar cuenta de esto sustituyendo m por ml2 en la expresi6n para f(Vease el problema 13.81.) Esto aumentafen un factor de V 2 , asique f = \12(5.63 X 1011Hz) = 7.96 X 1011Hz. Una complica-

ci6n adicional es que, para la escala atomica, debemos usar meca-

nica cuantica, no newtoniana, para describir la oscilaci6n y otros

movimientos; felizmente, la frecuencia tiene el mismo valor en me-

canica cuantica,

Suponga que uno de los atomos de arg6n de una molecula de A r2 (ejemplo 13.7)

se desplaza 1.00 X 10-11 m respecto al equilibrio y despues se suelta. l,Que mag-

nitud tiene la aceleracion inicial del atomo?



13.5 I EI pendulo simple

13.5 I E I p en du lo s im p le

Un pendulo simple es un modelo idealizado que consiste en una mas a puntual

suspendida de un hilo sin masa y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su

posicion de equilibrio (vertical), oscilara alrededor de dicha posicion. Situacionesordinarias, como una bola de demolicion en el cable de una grua, la plomada de

un teodolito y un nifio en un columpio, pueden modelarse como pendulos simples.

La trayectoria de la masa puntual (Hamada pesa) no es recta, sino el arco de un

circulo de radio L igual a la longitud del hilo (Fig. 13.20). Usamos como coorde-

nada la distancia x medida sobre el arco. Si el movimiento es armonico simple, la

fuerza de restitucion debe ser directamente proporcional a x 0 (porque x = LO) a O.

lLo es?

En la figura 13.20, representamos las fuerzas que actuan sobre la masa en ter-

minos de componentes tangencial y radial. La fuerza de restitucion Fe es la com-

ponente tangencial de la fuerza neta:

Fe = -mg sen e (13.30)

495

mg

La fuerza de restitucion se debe a la gravedad; la tension T s610 aetna para nacer 13.20 Dinamica de un pendulo simple.

que la masa puntual describa un arco. La fuerza de restitucion es proporcional no

a () sino a sen e, asi que el movimiento no es armonico simple. Sin embargo, si el

angulo e es pequeiio, sen 0 es casi igual a e en radianes (Fig. (13.21). Por ejem-

plo, si e = 0.1 rad (unos 6°), sen e = 0.0998, una diferencia de solo 0.2%. Con es-

ta aproximacion, la ecuacion (13.30) se convierte en

X

Fe = -mge = -mg- 0 seaL

mgFe =-x (13.31)

LLa fuerza de restitucion es entonces proporcional a la coordenada para desplaza-

mientos pequeiios, y la constante de fuerza es k=mg/L. Por la ecuacion (13.1 0),

la frecuencia angular w de un pendulo simple con amplitud pequefia es

w = J i = ~ = f z(pendulo simple, amplitud pequefia)

~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

(13.32)

Las relaciones de frecuencia y periodo correspondientes son:

w 1 f z---- -2 7 1 ' 2 7 1 ' L

(pendnlo simple, amplitud pequefia) (13.33)

(pendulo simple, amplitud pequefia) (13.34)

Observe que en estas expresiones no interviene la masa de la particula. La razon

es que la fuerza de restitucion, una componente del peso de la particula, es propor-

cional a m. Asi, la mas a aparece en ambos miembros de 2 : . F = m ii y se cancela.

(El principio fisico es el mismo que hace que dos cuerpos con diferente masa caigan

con la misma aceleracion en el vacio.) Si la oscilacion es pequefia, el periodo de

un pendulo para un valor dado de gdepende solo de su longitud.

Fe

2mg-~ - Fe = -m g sen 8

(real)-- Fe = --mg8

(aproximada)

7T/2 8 (rad)-7T/2

=mg

-2mg

13.21 Si el desplazamiento angular ()es

pequefio, la fuerza de restituci6n para

un pendulo simple, Fe = -mg sen e , esaproximadamente igual a -mge; es decir,

es aproximadamente proporcional a e , ylas oscilaciones son arm6nicas simples.




La dependencia de L y g en las ecuaciones (13.32) a (13.34) esjusto 10 espe-

rado. Un pendulo largo tiene un periodo mas largo que uno corto. Si aumenta g,

aumenta la fuerza de restitucion, causando un aumento de la frecuencia y una dis-

minucion del periodo.

Enfatizamos otra vez que el movimiento de un pendulo es solo aproximada-

mente armonico simple. Si la amplitud no es pequefia, la divergencia respecto al

MAS puede ser considerable. Pero, l,que tan pequefia es "pequefia"? El periodo

puede expresarse con una serie infinita; si el desplazamiento angular maximo es

e, el periodo Testa dado por

9.10 Frecuencia de pendulo

9.11 Arriesgado paseo con pendulo

(13.35)

Podemos calcular el periodo con la precision deseada tomando suficientes termi-

nos de la serie. Compruebe que, si e= 15° (a cada lado de la posicion central), el

periodo verdadero es mas largo que la aproximacion dada por la ecuacion (13.34)

en menos de 0.5%.

La utilidad del pendulo en relojes depende de que el periodo sea practicamen-

te independiente de la amplitud, siempre que esta sea pequefia. Asi, al perder im-

pulso un reloj de pendulo y disminuir un poco la amplitud de las oscilaciones, la

exactitud del reloj casi no se altera.

EJemplo

13.8 Un p e.n du lo s im p le

Calcule el periodo y la frecuencia de un pendulo simple de 1.000 m

de longitud en un lugar donde g=9.800 m/s",

EVAlUAR: El periodo es casi exactamente 2 s. De hecho, cuando se

estableci6 el sistema metrico, el segundo se defini6 como la mitad

del periodo de un pendulo de 1 m. Sin embargo, este no fue un es-tandar muy bueno para el tiempo porque el valor de g varia segun el

lugar. Ya hablamos de estandares de tiempo mas modemos en la

seccion 1.3.

111 1 1 [ 3[Ia

I .DENTIFICAR y PlANTEAR: Usaremos la ecuaci6n (13.34) para

determinar el periodo T de un pendulo a partir de su longitud, y la

ecuaci6n (13.1) para obtener la frecuencia f a partir de T.

EJECUTAR :Por las ecuaci6ns (13.34) y (13.1),

~

1.000mT = 2 1 T = 2 1 T = 2.007 s

g 9.800 m/s''

1f = T = 0.4983 Hz

Los depositos minerales 0 de petroleo afectan el valor local de g porque su densi-

dad difiere de la de su entorno. Suponga que un pendulo simple de 1.000 m tiene

un periodo de exactarnente 2.000 s en cierto lugar. l,CUanto vale g ahi?

13.6 I E I p en du lo fis ic o

Un pendulo fisico es cualquier pendulo real, que usa un cuerpo de tamafio finito,en contraste con el modelo idealizado de pendulo simple en el que toda la masa se



A d - I VP h y s c s

(13.37) 9.12 P e n d u lo f fs i c o

13.6 I El pendulo ffsico

concentra en un punto. Si las oscilaciones son pequefias, el analisis del movimien-

to de un pendulo real es casi tan facil que el de uno simple. La figura 13.22 mues-

tra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin friccion alrededor de un eje

que pasa por el punto O. En la posicion de equilibrio, el centro de gravedad esta

directamente abajo del pivote; en la posicion mostrada en la figura, el cuerpo es-til desplazado del equilibrio un angulo f J que usamos como coordenada para el sis-

tema. La distancia de 0 al centro de gravedad es d, el momenta de inercia del

cuerpo alrededor del eje de rotacion es I y la mas a total es m. Cuando el cuerpo se

desplaza como se muestra, el peso mg causa un momento de torsion de restitucion

7z = -(mg)(dsenfJ) (13.36)

El signo negativo indica que el momenta de torsion es horario si el desplazamien-

to es antihoriario, y viceversa.

Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posicion de equilibrio. El movi-

miento no es armonico simple porque el momenta de torsion 7z es proporcional a

sen f J , no a 8; pero si 8 es pequefio, podemos aproximar sen 8 con f J en radianes, y

el movimiento es aproximadamente armonico simple. Entonces,

7z = -(mgd)fJ

La ecuacion de movimiento es ~7z = I cc ; as! que

Si comparamos esto con la ecuacion (13.4), vemos que el papel de (kim) en el sis-

tema masa-resorte 1 0 desempefia aqui la cantidad (mgdll). Por tanto, la frecuencia

angular esta dada por

w=~ (pendulo fisico, amplitud pequefia) (13.38)

La frecuenciaJes 1/27T veces esto, y el periodo Tes

T=Z7T~ (13.39)pendulo fisico, amplitud pequefia)

La ecuacion (13.39) es la base de un metodo comun para determinar experi-

mentalmente el momenta de inercia de un cuerpo de forma compleja. Primero, se

localiza el centro de gravedad del cuerpo por balanceo. Luego, se suspende el

cuerpo de modo que oscile libremente alrededor de un eje, y se mide el periodo T

de oscilaciones de amplitud pequefia, Usando la ecuacion (13.39), puede calcular-

se el momento de inercia I del cuerpo alrededor de ese eje a partir de T, la masa

del cuerpo m y la distancia d del eje al centro de gravedad (vease el ejercicio

13.50). Los investigadores en biomecanica usan este metodo para calcular los mo-

mentos de inercia de los miembros de un animal. Esta informacion es importante

para analizar como camina un animal, como veremos en el segundo de los ejem-

plos que siguen.

497

mg

13.22 Dinamica de un pendulo fisico.



498 CAPITULO 13 I Movimiento periodico

Ejemplo

13.9 P imdu lo f(sic o c on tr a p imdul o simp le

Suponga que el cuerpo de la figura 13.22 es una varilla uniforme de

longitud L que pivota en un extremo. Calcule el periodo de su mo-

vimiento.

" " ' " 3 [.aI D E N T I F I C A R y P l A N T E A R : Usaremos la tabla 9.2 (seccion 9.4) para

hallar el momenta de inercia de la varilla; luego, sustituiremos ese va-

lor en la ecuacion (13.39) para determinar el periodo de oscilacion,

E J ECUTAR : Por la tabla 9.2, el momento de inercia de una varilla

uniforme respecto a un eje en su extremo es 1= tML2. La distan-

cia del pivote al centro del gravedad es d = Ll2. Por la ecuacion

(13.39),

EVALUAR: Si la varilla es un metro (L= 1.00 m) y g =9.80 m/s',

entonces

2(1.00m)___,.-=----':::-:- = 1.64 s3(9.80 mls2)

EI periodo es menor, en un factor de V2i3 = 0.816 que el de un

pendulo simple con la misma longitud, cal cui ado en el ejemplo

13.8 (seccion 13.5).

T= 2 'TT

Ejemplo

1 3 . 1 0 lYrannosaurus rex y e l pEmdu l o fis ic o

Todos los animales que caminan, incluido el ser humano, tienen un

paso natural para caminar, un numero de pasos por minuto, que es

mas comodo que un ritrno mas rapido 0mas lento. Suponga que es-

te paso natural es igual al periodo de la piema, vista como una va-

rilla uniforme con pivote en la cadera. a) i,Como depende el paso

natural de la longitud L de la pierna, medida de la cadera al pie? b)

Pruebas f6siles muestran que Tyrannosauros rex, un dinosaurio

bipedo que vivio hace 65 millones de afios al final del periodo Cre-

tacico, tenia una longitud de piema L = 3.l'·m y una longitud de paso

(la distancia de una huella a la siguiente del mismo pie) S = 4.0 m

(Fig. 13.23). Estime la rapidez con que el T rex caminaba.

. . •. .

. .

LOngitud~

' i 'l '" j u M 'I D E N T I F IC A R Y P L A N T E A R : Trataremos la pierna como un pendu-

1 0 fisico, con el periodo de oscilacion que determinamos en el ejem-

plo 13.9. Las incognitas son: a) la relacion entre el paso al andary la

longitud de la pierna y b) la rapidez con que caminaba el T rex.

E J ECUTAR : a) Por el ejemplo 13.9, el periodo de oscilacion de la

pierna es T = 2 'TTV2iJ3i ; , que es proporcional a Vi. Cada perio-do (una oscilacion de ida y vuelta de la piema) corresponde ados

pasos, asi que el ritmo al caminar en pasos por unidad de tiempo es

13.23 La rapidez al caminar del Tyrannosaurus rex se puede estimar a partir de lalongitud de su pata L y la de su paso S.



13.7 I Oscilaciones amortiguadas

dos veces la frecuencia de oscilacionj"= liT. Por tanto, el paso es

proporcional a l IVL . Los animales con piernas cortas (L pequefio)como los ratones 0perros chihuahuefios caminan con ritmo rapido;

laspersonas, lasjirafas y otros animales conpiernas largas (L gran-

de) caminanmas lentamente.

b) Segun nuestro modelo del ritmo del andar natural, el tiempo que

el T. rex tarda en dar unpaso es

(2 LT = 27T\ j 3i = 2 7 T

499

EVALUAR: Nuestra estimacion por fuerza tiene cierto error porque

una varillauniforme no esun buenmodelo deuna pierna. Las pier-

nas demuchos animales, entre ellos el T. rex y las personas, no son

uniformes; haymucha mas masa entre la cadera y la rodilia que en-

tre esta y elpie. Asi, el centro demasa esta a menos deL/2 de laca-

dera; una estimacion razonable seria L14 . Elmomento de inercia es

mucho menor queML2/3 , tal vez del orden deML 2/IS . Pruebe estas

cifras con el analisis del ejemplo 13.9;obtendra un periodo de osci-

lacion mas corto y una rapidez al andar aun mayor para el T. rex.2(3.1 m)-----::-c-=29s3(9.8 m/s") .

La distancia que semueve en este tiempo es la longitud de paso S,

asi que la rapidez al andar es

S 4.0mu = - = -- = 1.4 m /s = 5.0 kmIh = 3.1 mi/h

T 2.9 s

[Esta esmas 0menos la rapidez con que camina una persona!

Suponga que el cuerpo de la figura 13.22 es una varilla uniforme con masa m y

longitud L que pivota en su punto medio. El momento de inercia para este punto

pivote es I = -1zmL 2. Determine el periodo de oscilaci6n e interprete su resultado.

13.7 I Oscilacionesamortiguadas

Los sistemas oscilantes idealizados que hemos visto hasta ahora no tienen fricci6n.

No hay fuerzas no conservadoras, la energia mecanica total es constante y un sistema

puesto en movimiento sigue oscilando etemamente sin disminucion de la amplitud.

Sin embargo, los sistemas del mundo real siempre tienen fuerzas disipadoras,y las oscilaciones cesan con el tiempo si no hay un mecanismo que reponga la

energia mecanica disipada (Fig. 13.24). Un reloj mecanico de pendulo sigue an-

dando porque la energia potencial almacenada en el resorte 0 en un sistema de pe-

sos colgantes repone la energia mecanica perdida por friccion en el pivote y los

engranes. En algun momento, el resorte perdera su tension 0 los pesos llegaran al

fonda de su trayecto. Al no haber mas energia disponible, la amplitud de las osci-

laciones del pendulo disminuira y el reloj se parara,

La disminucion de la amplitud causada por fuerzas disipadoras se denomina

amortiguaclon, y el movimiento correspondiente se llama oscllacton amorti-

guada. El caso mas sencillo para un analisis detallado es un oscilador armonico

simple con una fuerza de amortiguacion por fricci6n directamente proporcional a

la uelocidad del cuerpo oscilante. Este comportamiento se observa en la fricci6npor flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores de los autos 0 el desli-

zamiendo de superficies lubricadas con aceite. Asi, sobre el cuerpo aetna una

fuerza adicional debida a la fricci6n, F, = -bux, donde Ux = dx/dt es la velocidad

y b es una constante que describe la intensidad de la fuerza amortiguadora. El sig-

no menos indica que la fuerza siempre tiene direcci6n opuesta a la velocidad. La

fuerza neta que aetna sobre el cuerpo es entonces

"F = - l e x - buL. J x x (13.40)

y la segunda ley de Newton para el sistema es

=

kx - bu , = ma x 0bien (13.41)

13.24 Si una campana que oscila se dejade impulsar, tarde 0 temprano las fuerzasamortiguadoras (resistencia del aire y fric-cion en el punto de suspension) haran que

deje de oscilar.



500

n.25 Grafica de desplazamiento contra

tiempo para un oscilador con poca amorti-

guacion [ecuacion (13.42)] y angulo de fa-

sec p=O. Se muestran curvas para dos

valores de la constante de amortiguacion b.


La ecuacion (13.41) es una ecuacion diferencial en x; seria igual a la ecuacion

(13.4), que da la aceleracion en MAS, si no fuera por el termino adicional -b

dxldt. La resolucion de esta ecuacion es un problema sencillo en ecuaciones dife-

renciales, pero no entraremos aqui en detalles, Si la fuerza de amortiguacion es rela-

tivamente pequefia, el movimiento esta descrito por

x = Ae -(bl2m)t cos (w' t + c p ) (oscilador con poca arnortiguacion) (13.42)

La frecuencia angular de la oscilacion io' esta dada por

to' = ) k _ b2

m 4m2

-----

(oscilador con poca amortiguacion) (13.43)

Ellector puede verificar que la ecuacion (13.42) es una solucion de la ecuacion

(13.41) calculando la primera y segunda derivadas de x, sustituyendolas en la

ecuacion (13.41) y viendo si los miembros derecho e izquierdo son iguales. Este

procedimiento es sencillo aunque algo tedioso.

EI movimiento descrito por la ecuacion (13.42) difiere del casu no amortigua-

do en dos aspectos. Primero, la amplitudAe-(bI2m)f no es constante sino que dismi-

nuye con el tiempo a causa del factor exponencial decreciente e-(bI2m)f. La figura

13.25 es una grafica de la ecuacion (13.42) para el casu c p = 0; muestra que, cuan-to mayor es b, mas rapidamente disminuye la amplitud.

Segun~a frecuencia angular w', dada por la ecuacion (13.43), ya no es igual

a w = V kim, sino un poco menor, y se hace cero si b es tan grande que

k b2

- - - = 0 0 bien b = 2~

m 4m

2(13.44)

Si se satisface la ecuacion (13.44), la condicion se denomina amortiguacion eri-

tica. EI sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posicion de equilibrio sin os-

cilar cuando se le desplaza y suelta.

x

A_. - b =O.ljk;;

- b =O.4jk;;

-A

Mayor amortiguaci6n (b mas grande):

• La amplitud disminuye mas

rapidamente (curvas de guiones)

• EI periodo T aumenta

(T o = periodo sin amortiguaci6n)



13.7 I Oscilaciones amortiguadas

Si b es mayor que 2~, la condici6n se denomina sobreamortiguaci6n.

Aqui tampoco hay oscilaci6n, pero el sistema vuelve al equilibrio mas lentamen-

te que con amortiguaci6n critica. En este caso, las soluciones de la ecuaci6n

(13.41) tienen la forma

donde C1 YC2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales y a1ya2

son constantes determinadas por m, k y b.

Si b es menor que elvalor cririco, como en la ecuaci6n (13.42), la condici6n se lla-

ma subamortiguaci6n. EI sistema oscila con amplitud constantemente decreciente.

En un diapas6n 0 cuerda de guitarra que vibra, normalmente queremos laminima

amortiguaci6n posible. En cambio, la amortiguaci6n es benefica en las oscilacio-

nes de la suspensi6n de un auto. Los amortiguadores proveen una fuerza amorti-

guadora dependiente de la velocidad para que, cuando el auto pasa por un bache, no

siga rebotando etemamente (Fig. 13.26). Para optimizar la comodidad de los pasa-

jeros, el sistema debe estar criticamente amortiguado o un poco subamortiguado.

Al hacerse viejos los amortiguadores, el valor de b disminuye y el rebote persiste

mas tiempo. Esto no s610 causa nauseas, perjudica la direcci6n porque las ruedas

delanteras tienen menos contacto positivo con el suelo. Asi, la amortiguaci6n es

una ventaja en este sistema. Demasiada amortiguaci6n seria contraproducente; si b

es excesiva, el sistema estara sobreamortiguado y la suspensi6n volvera al equilibrio

mas lentamente. En tal caso, si el auto cae en otro bache, justo despues del prime-

ro, los resortes de la suspensi6n todavia estaran comprimidos un poco por el primer

golpe y no podran absorber plenamente el impacto.

En oscilaciones amortiguadas, la fuerza amortiguadora no es conservadora; la

energia mecanica del sistema no es constante, sino que disminuye continuamente,

acercandose a cero despues de un tiempo largo. Si queremos deducir una expre-

si6n para la rapidez de cambio de energia, primero escribimos una para la energiamecanica total E en cualquier instante:

1 1E = -mu2 + -kx2

2 x 2

Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo:

dE dux dx- = mu -+x-dt x dt dt

Pero doJdt = ax y dx/dt = ux, asi que

Por la ecuaci6n (13.41), max + kx = =b dx/dt = -bux, asi que

(oscilaciones amortiguadas) (13.45)

EI miembro derecho de la ecuaci6n (13.45) siempre es negativo, sea u positiva 0

negativa. Esto indica que E disminuye continuamente, aunque no con rapidez uni-

forme. El termino -bu/ = (-bux)ux (fuerza multiplicada por velocidad) es la ra-

pidez con que la fuerza amortiguadora efectua trabajo (negativo) sobre el sistema

(0 sea, la potencia amortiguadora). Esto es igual a la rapidez de cambio de la ener-

gia mecanica total del sistema.

501

Cilindro superior conectado

al armazon del auto: permanece

relativamente estacionario

Empujado

hacia abajo

Cilindro inferior unido

al eje y la rueda:

sube y baja

13.26 Amortiguador de automovil, EIfluido viscoso causa una fuerza amortigua-

dora que depende de la velocidad relativade los dos extremos de la unidad. Estoayuda a controlar el rebote y las sacudidasde las ruedas.



502

A

Mayor amortiguaci6n (b mas grande):• El pico se ensancha

• El pico se hace menos agudo

• El pico se desplaza hacia

frecuencias mas bajas

Si b > J U m . el picodesaparece por completo

13.21 Grafica de la amplitud A de oscila-

cion forzada en funcion de la frecuencia Wd

de la fuerza impulsora. El eje horizontal

indica el cociente de Wd Yla frecuencia an-

gular W = VJJm de un oscilador no amor-

tiguado. Cada curva tiene un valor distintode la constante de amortiguacion b.


Se observa un comportamiento similar en circuitos electricos que contienen in

ductancia, capacitancia y resistencia. Hay una frecuencia de oscilacion natural,

la resistencia desempefia el papel de la constante de amortiguacion b. En tales cir

cuitos, suele ser deseable reducir al minimo la amortiguacion, pero nunca puede

evitarse por completo. Estudiaremos esto con detalle en los capitulos 30 y 31.

Considere otra vez la combinacion masa-resorte del ejemplo 13.2 (seccion 13.2), co

k = 200 N/m y m = 0.50 kg. Sin amortiguacion, este sistema tiene una frecuencia

angular W = 20 rad/s. Determine la frecuencia angular si hay amortiguacion co

b = 10 kg/so L,Conque valor de b hay amortiguacion critica?

13.8 I Osc i lac i ones fo r zadas y r e sonanda

Un oscilador amortiguado aislado dejara de moverse tarde 0 temprano, pero pode

mos mantener una oscilacion de amplitud constante aplicando una fuerza que varicon el tiempo periodica 0 ciclicamente, con periodo y frecuencia definidos. Po

ejemplo, considere a su primo Tito en un columpio. Usted puede mantenerlo osci

lando con amplitud constante dandole un empujoncito una vez cada ciclo. Llama-

mos a esta fuerza adicional fuerza impulsora.

Si aplicamos una fuerza impulsora que varie periodicamente con frecuencia

angular Wd a un oscilador armonico amortiguado, el movimiento resultante se lla

ma oscilacien forzada u oscilacion impulsada, y es diferente del movimiento qu

se da cuando el sistema se desplaza del equilibrio y luego se deja en paz, en cuy

casu el sistema oscilara con una frecuencia angular natural to' determinada po

m, k y b, como en la ecuacion (13.43). En una oscilacion forzada, en cambio, l

lm :: 1 l' e1 ' lC ) 'd ' d1 ' l' g Il \W f t o ) ) 1 l .1 l ~\ 'd ID 'd 'S ' d o ' S t) \' d ~ 'S )'g'U'd\2 1 . h TI~~'Q~l\~\'ddl\'g'Uh'i\\\\»\\\

sora, Wd, la cual no tiene que ser igual ala frecuencia angular w' con que el siste

ma oscilaria sin una fuerza impulsora. Si usted sujeta las cuerdas del columpio d

Tito, puede obligar al columpio a oscilar con cualquier frecuencia que desee.

Suponga que se obliga al oscilador a vibrar con una frecuencia angular Wd ca

igual a la frecuencia angular to' que tendria sin fuerza impulsora. L,Quesucede? E

oscilador tiende naturalmente a oscilar con W = w', y cabe esperar que la ampl

tud de la oscilacion resultante sea mayor que cuando las dos frecuencias son mu

diferentes. Analisis y experimentos detallados muestran que esto es 10 que suce

de. El casu mas facil de analizar es una fuerza que varia senoidalmente, digamo

F(t) = Fmax cos wdt. Si variamos la frecuencia Wd de la fuerza impulsora, la ampl

tud de la oscilacion forzada resultante variara de manera interesante (Fig. 13.27

Si hay muy poca amortiguacion(bpequefia), la amplitud tendra un pico marcad

al acercarse Wd a la frecuencia angular de oscilacion normal w'. Si se aumenta

amortiguacion (b mayor), el pico se ensancha y se hace menos alto, desplazando

se hacia frecuencias mas bajas.

Podriamos deducir una expresion que muestre como la amplitud A de la osc

lacion forzada depende de la frecuencia de una fuerza impulsora senoidal, con v

lor maximo Fm a x . Ello implicaria resolver ecuaciones diferenciales para las qu

aun no estamos preparados, pero el resultado seria:

FA = mlix •. (amplitud de un oscilador impulsado) (13.46

vi (k - m w i J 2 + b 2w i

Si k - m w i = 0, el primer termino bajo el radical es cero, y A tiene un maximcerca de Wd = ViJln. La altura de la curva en este punto es proporcional a lib



13.8 I Oscilaciones forzadas y resonancia

cuanto menor es la amortiguacion, mas alto es el pico. En el extremo de baja fre-

cuencia, con Wd = 0, obtenemos A = F m a x / k . Esto corresponde a una fuerza cons -

ta nte Fm axy un desplazamiento constante A = Fmax1krespecto al equilibrio, como

esperariamos.

EI hecho de que haya un pico de amplitud a frecuencias impulsoras cercanas a

la frecuencia natural del sistema se denomina resonancia. En fisica, abundan los

ejemplos de resonancia; uno es aumentar las oscilaciones de un nifio en un colum-

pia empujando con una frecuencia igual a la natural del columpio. Un ruido vibra-

torio en un auto que se escucha solo a cierta velocidad del motor 0de rotacion de

las ruedas es un ejemplo muy conocido. Los altavoces baratos a menudo emiten

un retumbo 0 zumbido molesto cuando una nota musical coincide con la frecuen-

cia resonante del cono del altavoz 0del bafle. Un circuito sintonizado en una ra-

dio 0 un televisor responde vigorosamente a ondas con frecuencias cercanas a su

frecuencia de resonancia, y aprovechamos esto para seleccionar una estacion y re-

chazar las demas, Estudiaremos la resonancia en circuitos electricos con detalle

en el capitulo 31.

La resonancia en los sistemas mecanicos puede ser destructiva. Una compafiiade soldados una vez destruyo un puente marchando sobre el al mismo paso; la fre-

cuencia de sus pasos era cercana a una vibracion natural del puente, y la oscila-

cion resultante tuvo suficiente amplitud para desgarrar el puente. Desde entonces,

se ha ordenado a los soldados que rompan el paso antes de cruzar un puente. Hace

algunos afios, las vibraciones de los motores de cierto avion tuvieron justo la fre-

cuencia correcta para resonar con las frecuencias naturales de las alas. Las oscila-

ciones iban creciendo y a veces se caian las alas.

Casi todo mundo ha visto la pelicula del colapso del puente de suspension Ta-

coma Narrows en 1940 (Fig. 13.28). Esto sue1e citarse como ejemplo de resonan-

cia impulsada por el viento, pero hay dudas al respecto. EI viento no tenia que

variar periodicamente con una frecuencia cercana a la natural del puente. El flujo

de aire por el puente era turbulento, y se formaban remolinos en el aire con una

frecuencia regular que dependia de la velocidad de fiujo. Es concebible que esta fre-

cuencia haya coincidido con una frecuencia natural del puente, pero la causa bien

puede haber sido algo mas sutil llamado o s ci la c io n a u to e xc it ad a , en la que las

fuerzas aerodinamicas causadas por un viento constante al soplar sobre el puente

tendieron a alejarlo mas del equilibrio en momentos en que ya se estaba alejando

del equilibrio. Es como si tuvieramos una fuerza amortiguadora como el terrnino

=bu, de la ecuacion (13.40) pero con el signa invertido. En lugar de extraer ener-

gia mecanica del sistema, esta fuerza antiamortiguadora bombea energia a el, au-

mentando las oscilaciones hasta amplitudes destructivas. La ecuacion diferencial

aproximada es la (13.41) con el signa del termino en b invertido, y la solucion os-

cilante es la ecuacion (13.42) con un signo positioo en el exponente. Puede verseque nos esperan problemas. Los ingenieros han aprendido a estabilizar los puen-

tes suspendidos, tanto estructural como aerodinamicamente, a fin de evitar tales

desastres.

Mencionamos que cierto avion experimento una resonancia indeseable entre las

vibraciones de los motores y las de las alas. EI problema se corrigio haciendo mas

rigida la estructura de las alas. Utilice el concepto de resonancia para explicar co-

mo funciono esa solucion,

503

13.28 El puente Tacoma Narrows se des-

plorno cuatro meses y seis dias despues de

abrirse al trafico. El claro principal tenia

2800 pies de longitud y 39 pies de anchu-

ra, con vigas de 8 pies de altura para darle

rigidez en ambos costados. La amplitud

maxima de las vibraciones torsionales

fue de 35°; la frecuencia fue de cerca

de 0.2 Hz.



504 CAPiTULO 13 I Movimiento peri6dico

R E S U M E N

Un movimiento periodico se repite en un cicio definido;

se presenta siempre que un cuerpo tiene una posicion deequilibrio estable y una fuerza 0momento de torsion

de restitucion que aetna cuando el cuerpo se desplaza del

equilibrio. EI periodo T es 10 que tarda un cicio. La fre-

euenciajes el numero de ciclos por unidad de tiempo.

La frecuencia angular (J )es 27Tveces la frecuencia.

c:-(Yease el ejemplo 13.1.)

Si la fuerza neta es' una fuerza de restitucion F, directa-

mente proporcional al desplazamiento x, el movimiento

es armonieo simple (MAS). En muchos casos, esta con-

dicion se satisface si el desplazamiento respecto al equili-

brio es pequefio,

1 1 x::[)~F v

i=>: T= - (13.1)

m ; I : 1 oj

~.x

,bi;0)1

27T o j ; : ' g x(J ) = 27Tf=- (13.2)

T u r ~ o Y Q

" " i I o l ; l ~ g X

F, = =kx

F, ka x "" - = --x

m m

(13.3) Fuerza de restitucion F,x< O

F.>O

(13.4)

EI circulo de referencia usa un vector giratorio, llamado fasor, cuya longitud es igual a la am-

plitud del movimiento. La proyeccion del fasor en el eje horizontal representa el movimiento

real de un cuerpo en movimiento arrnonico simple.

_l~~,-A cos (J

La frecuencia angular, la frecuencia y el periodo en MAS

no dependen de la amplitud, solo dependen de la masa m

y la con stante de fuerza k. (Veanse los ejemplos 13.2,

13.6 y 13.7.)

En MAS, el desplazamiento, la velocidad y la aceleracion son

funciones senoidales del tiempo. La frecuencia angular es

(J )= V k I m ; la amplitud A y el angulo de fase cf Jestan determi-

nados por: la posicion y velocidad iniciales del cuerpo. (Vease el

ejemplo 13.3.)

La energia se conserva en MAS. La ener-

gia total se puede expresar en terminos de

la constante de fuerza k y la amplitud A.

(Veanse los ejemplos 13.4 y 13.5.)

1 I IE = - mu 2 + - kx ? = - kA 2 = constante (13.21)

2 x 2 2

(J)=~

f = .s . = _1 fI27T 27T\j-;

T = 7 = 27TJ¥

(13.10)

(13.11)

(13.12)

~x=Acos({J)t+cfJ) (13.13) .r

~~.rT 2T\

-A

Energfa + U

I

I

-A o· A x

En el movimiento armonico simple angular, la frecuencia

y la frecuencia angular estan relacionados con el momen-

to de inercia Iy la constante de torsion K.

{J)""~ y

t= 2 ~ f T (13.24)

Rueda de balance Resorte

-l momento de torsion del resorte, '1',

se opone al desplazamiento angular



505otas del lector

-:f-_!!_ __ l

f!27 T 27 T 'V L

T = 2 : ~ 7 = 2 7 T ~

Un pendulo simple consiste en una masa puntual m en el

extremo de un hilo sin masa de longitud L. Su movimiento

es aproximadamente armonico simple si la amplitud es pe-

quefia; entonces, la frecuencia angular, frecuencia y periododependea solo de g y L, no de la r na sa n i de la amplitud.

(Vease el ejemplo 13.8,)

(J3.32J_.

(13.33)

E13.34)

Un pendulo flsico es un cuerpo suspendido de un eje de ro-

taci6n que esta a una distancia d de su centro de gravedad.

Si el momenta de inercia respecto al eje de rotacion es J, la

frecuencia angular y el periodo para oscilaciones de ampli-

tud pequefia son independientes de la amplitud. (Veanse los

ejemplos 13.9 y 13.10.) ~

(13.38)

(13.39)

Si a un oscilador armonico se aplica una fuerza amortiguadora

F; = +bu, proporcional a la velocidad, el movimiento se deno-

mina oscilacion amortiguada. Para una fuerza de amortiguacion

relativamente pequeiia, el movimiento es senoidal con amplitud

decreciente y frecuencia angular w Imas baja que la que tendria

sin amortiguacion. Bsta situacion se presenta cuando

b < 2v'kiii. (condicion de subamortiguacion), Si b = 2Vk1n,

el sistema esta criticamente amortiguado y ya no oscila. Si

b > 2Ykm. el sistema esta sobreamortiguado.

x = Ae-(bl2m)1 cos co't (13.42)

(13.43)

_b~ a . 4 ! k m

Si a un oscilador armonico amortiguado se aplica una fuerza

impulsora que varia senoidalmente, el movimiento resultante se

denomina oscilacion forzada. La amplitud es funcion de la fre-

cuencia impulsora Wd y alcanza un maximo eon una frecaencia

impulsora cercana a la frecuencia de oscilaeiori natural del sis-

tema. Este comportamiento se denomina resonancia.

I

I ·

Terminos dave

pendulo fisico, 496pendulo simple, 495

periodo,477

resonancia, 503

sobreamortlguacfon, 501

subamortiguacion, 501

movimiento armonlco simple(MAS), 479

movimiento periodlco

(oscilacion),476

oscllacion amortiguada, 499

oscilacion forzada, 502

oscilador armonico, 479

fasor,480frecuencia,477

frecuencia angular, 478

frecuencia angular natural,

502

fuerza de restitucion, 477

fuerza impulsora, 502

amortiguacion, 499amortlguacion critica, 500

amplitud,477

angulo de fase, 483

cicIo, 477

circulo de referencia, 480

desplazamiento, 477

Notas del lector



506 CAPITULO 13 I Movimientoperi6dico

R e s pu es ta a la p re gu nta in ic ia l d el c ap itu lo ,...

Ninguna de las dos cosas; el reloj seguiria marcando correctamen-

te el tiempo. Si la masa de su varilla es despreciable, el pendulo essimple y su periodo es independiente de la masa [ecuacion (13.34)].

Si se inc1uye la mas a de la varilla, tenemos un pendulo fisico.

Un aumento de su masa m al doble tambien duplica su momenta

de inerci;.-lL.i!si que la razon l/m no cambia y el periodo

T = 27TV l/mgd [ecuacion (13.39)] sigue siendo el mismo.

R e s pu es ta s a la s p re gu nta s d e E v alliesu cemprenslen

secclen 13.1 La amplitud es A = 6.0 em (el desplazamiento ma-

ximo respecto al equilibrio). El periodo es T= 5.00 s, la frecuencia

esf= l/T= 1/(5.00 s) = 0.200 Hz y la frecuencia angular esw = 2 7 T f = 2 7 T ( 0.200 Hz) = 1.26 rad/s.

secclen 13.2 Comparando con la ecuacion (13.13), x =A cos (wt

+ < / » , vemos que la amplitud es A =0.050 m, el angulo de fase, < /> =

2.5 rad, y la frecuencia angular, w = 290 rad/s. Por la ecuacion

(13.2), el periodo es T= 2 7 T / W = ( 2 7 T rad)/(290 rad/s) = 0.022 S. En

t = 0, la posicion es Xo = (0.050 m) cos (2.5 rad) = -0.040 m.

Seccion 13.3 Para aumentar la energia E = !kA2 en un factor de 2,

la amplitud A debe aumentar en un factor de v'2. Puesto que el mo-vimiento es MAS, un cambio de amplitud no afecta la frecuencia.

Seccion 13.4 Por la ecuaci6n (13.4), ax = -(k/m)x. Con k =0.829

N/m, m = 6.63 X 10-26 kg y un desplazamiento inicial de 1.00 X

10-11 m, la magnitud de la aceleracion es [(0.829 N/m)/(6.63

X 10-26 kg)] X (1.00 X 10-11 m) = 1.25 X 1014 mls2• [Los ob-

jetos microscopicos pueden experimentar aceleraciones en verdad

inmensas!

Seccion 13.5 Por la ecuacion (13.34), g = 4 7 T 2L/T2 =

4 7 T 2( 1.000 m)/ (2.000 S ) 2 = 9.870 m/s",

Seccien 13.6 La distancia del pivote al centro de gravedad (el cen-

tro de la varilla) es d = O . Por tanto, el periodo T = 2 7 T v ' l lm i d es

infinita. En otras palabras, cuando la varilla se desplaza, tarda un

tiempo infinito en regresar. La varilla esta en equilibrio, sea cual

sea el valor del angulo ()en la figura 13.22, asi que no hay momen-

to de torsion restaurador y la varilla no tiende a moverse.

Seccion 13.7 Por la ecuaci6n (13.43), la frecuencia angular con b

= 10 kg/s es

~w' =V ;; - 4,;i

200N/m

0.50 kg

(10 kg/s ) 2

( )

2 = 17 rad/s4 0.50 kg

que es menor que sin amortiguaci6n. Una amortiguaci6n critica

requiere

b = 2~ =2Y(200N/m) (0.50 kg) = 20kg/s

Secclon 13.8 El ala reforzada tenia una constante de fuerza k mas

alta y, por tanto, una frecuencia natural mas alta. Por ello, su fre-

cuencia natural ya no coincidia con la frecuencia impulsora de los

motores, y ya no habia resonancia.

P re g un ta s p a ra a n id is is

P13.1 Un objeto se mueve con MAS de amplitud A en el extremo

de un resorte. Si la amplitud se duplica, l.que sucede con la distan-

cia total que e l objeto recorre en un periodo? l.Que sucede con el

periodo? l.Que sucede con la rapidez maxima del objeto? Comente

la relacion entre estas respuestas.

P13.2 Piense en varios ejemplos ordinarios (comunes) de movi-

miento que sea, al menos, aproximadamente armonico simple.

l.Como difiere cada uno del MAS?

P13.3 Un diapason u otro instrurnento de afinacion similar, l.tiene

movimiento armonico simple? l.Por que es crucial esto para los r m i -

sicos?

P13.4 Una "superpelota" muy elastica que rebota en un piso duro

tiene un movimiento aproximadamente periodico. i,En que se pare-

ce al MAS? i,En que difiere?

P13.5 Si un resorte uniforme se corta a la mitad, l.que constante defuerza tiene cada mitad? Justifique su respuesta. i,Como diferiria la

frecuencia de MAS usando la misma masa y medio resorte en lugar

del resorte entero?

P13.6 El analisis de MAS de este capitulo desprecio la masa del re-

sorte. i,Como cambia esta masa las caracteristicas del movimiento?

P13.7 Dos deslizadores identicos en un riel de aire estan conectados

por un resorte ideal. i,Podria tal sistema estar en MAS? Explique.

i,C6mo seria el periodo en comparacion con el de un solo desliza-

dor unido a un resorte cuyo otro extremo esta unido rigidamente a

un objeto estacionario? Explique.

P13.8 Imagine que 10capturan unos extraterrestres, 10meten en su

nave y 10duermen con un narcotico, Tiempo despues, despierta y se

encuentra encerrado en un compartimento pequefio sin ventanas.

Lo unico que Ie dejaron es su reloj digital, su anillo escolar y su lar-

go collar de cadena de plata. Explique c6mo puede determinar si

todavia esta en la Tierra 0 si ha sido transportado a Marte.

P13.9 El sistema de la figura 13.16 se monta en un elevador que

sube con aceleraci6n constante. i,El periodo: aumenta, disminuye 0

no cambia? Justifique su respuesta.

P13.10 Si un pendulo tiene un periodo de 2.5 sen la Tierra, i,que

periodo tendria en una estaci6n espacial en 6rbita terrestre? Si una

masa colgada de un resorte vertical tiene un periodo de 5.0 s en la

Tierra, i,que periodo tendra en la estacion espacial? Justifique sus

respuestas.

P13.11 Un pendulo se monta en un elevador que sube con acelera-ci6n constante. i ,El periodo: aumenta, disminuye 0 no cambia? Ex-

plique.

P13.12 i,Que debe hacerse a la longitud del hila de un pendulo

simple para: a) duplicar su frecuencia? b) i,Duplicar su periodo?

c) i,Duplicar su frecuencia angular?

P13.13 Si un reloj de pendulo se sube a la cima de una montafia,

l.se adelanta 0 se atrasa? Explique, suponiendo que marca la hora

correcta a menor altitud.

P13.14 Si la amplitud de un pendulo simple aumenta, i,debe au-

mentar 0 disminuir su periodo? Ofrezca un argumento cualitativo;

no se base en la ecuacion (13.35). i,Su argumento tambien es vali-

do para un pendulo fisico?

P13.15 i,Por que los perros de baja talla (como los chihuahuefios) ca-

minan con pasos mas rapidos que los altos (como los gran daneses)?



P13.16 i,En que punto del movimiento de un pendulo simple es ma-

xima la tension en el hilo? i,Y minima? Explique su razonamiento.

P13.17 Un estandar de tiempo, l,Podria basarse en el periodo de

cierto pendulo estandar? i,Que ventajas y desventajas tendria tal es-

tandar respecto al estandar actual descrito en la seccion 1.3?P13.18 La frecuencia con que los perros jadean es la frecuencia na-

tural de su sistema respiratorio. i,Por que escogen esta frecuencia?

P13.19 Al disefiar estructuras en una region propensa a terremo-

tos, i,que relacion debe haber entre las frecuencias naturales de os-

cilacion de una estructura y las frecuencias tipicas de terremoto?

i,Por que? i,La estructura debe tener mucha 0poca amortiguacion?

Ejercicios

secclen 13.1 Des cr ip c io n d e la oscllaclen ._

13.1 Una cuerda de piano produce un la medio vibrando pri-mordialmente a 220 Hz. a) Ca1cule su periodo y frecuencia angular.

b) Calcule el periodo y la frecuencia angular de una soprano que

canta un "La alto", dos octavas mas arriba, que es cuatro veces la

frecuencia de la cuerda de piano.

13.2 Si un objeto en una superficie horizontal sin friccion se une a

un resorte, se desplaza y despues se suelta, oscilara. Si se desplaza

0.120 m de su posicion de equilibrio y se suelta con rapidez inicial

cero, despues de 0.800 s su desplazamiento es de 0.120 m en ella-

do opuesto, habiendo pasado la posicion de equilibrio una vez. Calcu-

le: a) la amplitud; b) el periodo; c) la frecuencia.

13.3 La punta de un diapason efectua 440 vibraciones completas

en 0.500 s. Calcule la frecuencia angular y el periodo del movi-

miento.13.4 En la figura 13.29 se mues-

tra el desplazarniento de un objeto

oscilante en funcion del tiempo.

Ca1cule: a) la frecuencia; b) la

amplitud y c) el periodo.

x(m)

0.20

se cclo n 13.2 Mov imiento-0.20armenlco s imple

13.5 Una pieza de una maquina F igura 13.29 Ejercicio 13.4.esta en MAS con frecuencia de

5.00 Hz y amplitud de 1.80 em.

i,Cuanto tarda la pieza en ir de x = 0 a x = -1.80 ern?

13.6 En un laboratorio de fisica, se conecta un deslizador de riel de

aire de 0.200 kg al extremo de un resorte ideal de masa despreciable

y se pone a oscilar. EI tiempo entre la primera vez que el deslizador

pasa por la posicion de equilibrio y la segunda vez que pasa por ese

punto es de 2.60 s. Determine la constante de fuerza del resorte.

13.7 Un cuerpo de masa desconocida se une a un resorte ideal con

con stante de fuerza de 120 N/m. Se observa que vibra con una fre-

cuencia de 6.00 Hz. Calcule: a) el periodo; b) la frecuencia angular;

c) la masa del cuerpo.

13.8 Se crea un oscilador armonico usando un bloque de 0.600 kg,

que se desliza sobre una superficie sin friccion y un resorte ideal con

constante de fuerza desconocida. Se determina que el oscilador tie-ne un periodo de 0.150 s. Calcule la constante de fuerza del resorte.

Ejercicios 507

13.9 Un oscilador armonico tiene una mas a de 0.500 kg y un re-

sorte ideal con k = 140 N/m. Calcule: a) el periodo; b) la frecuen-

cia; c) la frecuencia angular.

13.10 Sustituya las siguientes ecuaciones, en las que A, w y f3 son

constantes, en la ecuacion (13.4) para ver si describen un MAS. Deser asi, i,cuanto debe valer w? a) x =A sen (wt + f 3 ) . b) x =Awt2 + f3 .

c ) x=Ae i(wt+/3l ,donde i = v=T.13.11 Tir6n. Una cuerda de guitarra vibra con una frecuencia

de 440 Hz. Un punto en su centro se rnueve en MAS con amplitud de

3.0 mm y angulo de fase cero. a) Escriba una ecuacion para la po-

sici6n del centro de la cuerda en funcion del tiempo. b) i,Que mag-

nitud maxima tienen: la velocidad y la aceleracion del centro de la

cuerda? c) La derivada de la aceleracion respecto al tiempo es una

cantidad lJamada tiron. Escriba una ecuaci6n para el tiron del cen-

tro de la cuerda en funcion del tiempo, y calcule el valor maximo de

la magnitud del tiron,

13.12 Un bloque de 2.00 kg, que se desliza sin friccion, se conec-

ta a un resorte ideal con k = 300 N/m. En t =0, el resorte no esta es-

tirado ni comprimido y el bloque se mueve en la direccion negativa

a 12.0 m/s. Calcule: a) la amplitud; b) el angulo de fase. c) Escriba

una ecuaci6n para la posici6n en funci6n del tiempo.

13.13 Repita el ejercicio 13.12, pero suponga que, en t =0, el blo-

que tiene una velocidad de -4.00 m/s y un desplazamiento de

+0.200 m.

13.14 La punta de la aguja de una maquina de coser se mueve en

MAS sobre el eje x con una frecuencia de 2.5 Hz. En t = 0, sus com-

ponentes de posicion y velocidad son +1.1 em y -IS cm/s. a) Calcu-

Ie la componente de aceleracion de la aguja en t =O.b) Escriba

ecuaciones para las componentes de posici6n, velocidad y acelera-

cion de la punta en funcion del tiempo.

13.15 Un objeto esta en movimiento arrnonico simple con periodo

de 1.200 s y amplitud de 0.600 m. En t =0, el objeto esta en x =O.

i,A que distancia esta de la posicion de equilibrio cuando t=0.480 s?

13.16 Una silla de 42.5 kg se sujeta a un resorte y se le permite os-

cilar, Cuando la silla esta vacia, tarda 1.30 s en efectuar una vibra-

ci6n completa. Cuando una persona se sienta en ella, sin tocar el

piso con los pies, la silJa tarda 2.54 s en efectuar un cicio. Calcule

la masa de la persona.

13.17 Un objeto de 0.400 kg en MAS tiene ax = -2.70 m/s? cuan-

do x =0.300 m. i,Cuanto tarda una oscilaci6n?

13.18 La velocidad de una masa de 0.500 kg en un resorte esta da-

da en funcion del tiempo por vxCt) = (3.60 cm/s) sen[(4.71 S-I)t -w/2]. Ca1cule: a) el periodo; b) la amplitud; c) la aceleracion maxi-

ma de la masa.

13.19 EI desplazamiento en funcion del tiempo de una masa de

1.50 kg en un resorte esta dado por la ecuaci6n x(t) =(7.40 cm)

cos[(4.16 S -I)t - 2.42]. Calcule: a) el tiempo que tarda una vibra-

ci6n completa; b) la constante de fuerza del resorte; c) la rapidez

maxima de la mas;a d) la fuerza maxima que actua sobre la masa;

e) la posicion, rapidez y aceleracion de la masa en t = 1.00 s, y la

fuerza que actua sobre la masa en ese momento.

13.20 Un objeto esta en movimiento armonico simple con periodo

de 0.300 s y amplitud de 6.00 cm. En t = 0, el objeto esta instanta-

neamente en reposo en x =6.00 ern. Calcule el tiempo que el obje-

to tarda en ir de x = 6.00 ern ax = -1.50 ern.




S e cc io n 1 3.3 E n er gia e n e l m o v im ie n to armenlco s imple

13.21 Deduzca la ecuacion (13.19); a) a partir de las ecuaciones

(13.14) y (13.17); b) a partir de la conservaci6n de la energia, ecua-

cion (13.21).

13.22 Las puntas de un diapason rotulado "392 Hz" estan vibran-

do con una amplitud de 0.600 rum. a) i,Que rapidez maxima tiene

una punta? b) Una mosca comun (Musca domestica) con masa de

0.0270 g esta sujeta en e l extremo de una de las puntas. Al vibrar la

punta, i,que energia cinetica maxima tiene la mosca? Suponga que

el efecto de la masa de la mosca sobre la frecuencia de oscilaci6n

es despreciable.

13.23 Un oscilador armonico tiene frecuencia angular w y ampli-

tud A. a) Calcule la magnitud del desplazamiento y de la velocidad

cuando la energia potencial elastica es igual a la energia cinetica.

(Suponga que U=0 en el equilibrio.) b) i,Cuantas veces sucede eso

en cada cicio? i,Cada cuando sucede? c) En un instante en que el

desplazamiento es igual a A12, i,que fraccion de la energia total delsistema es cinetica y que fraccion es potencial?

13.24 Un deslizador de 0.500 kg, conectado al extremo de un re-

sorte ideal con constante de fuerza k =450 N/m, esta en movimien-

to arm6nico simple con una amplitud de 0.040 m. Calcule: a) la

rapidez maxima del deslizador; b) su rapidez cuando esta en x =

-0.015 m; c) la magnitud de su aceleracion maxima; d) su acelera-

ci6n en x = -0.015 m; e) su energia rnecanica total en cualquier

punto de su movimiento.

13.25 Una porrista ondea su pomp6n en movimiento arm6nico

simple con amplitud de 18.0 ern y frecuencia de 0.850 Hz. Calcule:

a) la magnitud maxima de la aceleraci6n y de la velocidad; b) la ace-

leracion y rapidez cuando la coordenada del pomp6n es x=9.0 ern;

c) el tiempo que tarda en moverse directamente de la posici6n de

equilibrio a un punto situado a 12.0 ern de distancia. d) i,Cuales de las

cantidades pedidas en las partes (a), (b) y (c) pueden obtenerse

empleando el enfoque de energia de la secci6n 13.3 y cuales no?

Explique.

13.26 Para la situaci6n descrita en la parte (a) del ejemplo 13.5,

i,que masa m debera tener la masilla para que la amplitud despues

del choque sea la mitad de la amplitud original? Con ese valor de m,

i,que fracci6n de la energia mecanica original se convierte en calor?

13.27 Unjuguete de 0.150 kg esta en MAS enel extremo de un re-

sorte horizontal con k= 300 N/m. Cuando el objeto esta a 0.0120 m

de su posici6n de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 mls. Calcu-

Ie: a) la energia total del objeto en cualquier punto de su movimien-to; b) la amplitud del movimiento; c) la velocidad maxima alcanzada

por el objeto durante su movimiento.

13.28 Un objeto se mueve en MAS. Cuando esta desplazado

0.600 mala derecha de su posici6n de equilibrio, tiene una veloci-

dad de 2.20 mls ala derecha y una aceleracion de 8.40 m/s? a la iz-

qui erda. i,A que distancia de este punto se desplazara el objeto

antes de detenerse momentaneamente para iniciar su movimiento a

la izquierda?

13.29 Un objeto se mueve en MAS con periodo de 0.500 s. Su

aceleraci6n maxima es de 6.40 m/s", Calcule su rapidez maxima.

S e cc io n 1 3.4 A p lic a cio n e s d e l mo v im i en to armenico s imple

13.30 La escala de una balanza de resorte que marca de cero a 200N tiene 12.5 em de longitud. Un pez suspendido de la balanza osci-

la verticalmente a 2.60 Hz. i,Que masa tiene el pez? Puede despre-

ciar la masa del resorte.

13.31 Un orgulloso pescador de alta mar cuelga un pez de 65.0 kg

de un resorte ideal con masa despreciable, estirando e 1 resorte 0.120 m.

a) Calcule la constante de fuerza del resorte. b) i,Que periodo de os-

cilaci6n tiene el pez si se tira de el hacia abajo y luego se suelta?

13.32 Un gate de 4.00 kg que gusta de las emociones fuertes esta

unido mediante un ames a un resorte ideal de masa despreciable y

oscila verticalmente en MAS. La amplitud es de 0.050 m y , en el

punto mas alto del movimiento, el resorte tiene su longitud natural

no estirada. Calcule: la energia potencial elastica del resorte (su-

ponga que es cero cuando el resorte no esta estirado), la energia ci-

netica del gato, la energia potencial gravitacional del sistema

relativa al punto mas bajo del movimiento y la surna de estas tres

energias cuando el gate esta en: a) su punto mas bajo; b) su punto

mas alto; c) su posici6n de equilibrio.

13.33 Un bloque de queso cheddar de 2.00 kg cuelga de un resor-te ideal de masa despreciable. Cuando se Ie desplaza del equilibrio

y se suelta, el queso oscila con un periodo de 0.400 s. i,Cuanto se

estira el resorte cuando el bloque cuelga en equilibrio (en reposo)?

13.34 Imagine que su jefe en la Compafiia Relojera Universal Ie

pregunta que sucederia con la frecuencia del MAS angular de la

rueda de balance si esta tuviera la misma densidad y el mismo re-

sorte espiral (y , por 10 tanto, la misma constante de torsi6n) pero to-

das sus dimensiones se redujeran a la tercera parte para ahorrar

material. a) i,Que contesta usted? b) i,En que factor habria que mo-

dificar la constante de torsi6n para hacer que la rueda pequefia de

balance oscilara con la frecuencia original?

13.35 Cierto reloj despertador hace tic cuatro veces cada segundo,

y cada tic representa medio periodo. La rueda de balance consiste

en un aro delgado de 0.55 cm de radio conectada al vastago de ba-

lance por rayos de masa despreciable. La masa total de la rueda es

de 0.90 g. a) i,Que momenta de inercia tiene la rueda respecto a su

eje? b) i,Que constante de torsi6n tiene la espiral?

13.36 Un disco metalico delgado con masa de 2.00 X 10-3 kg y

radio de 2.20 ern se une en su centro a una fibra larga (Fig. 13.30).

Si se tuerce y sueJta, el disco oscila con un periodo de 1.00 s. Calcu-

Ie la constante de torsi6n de la fibra.

13.37 Imagine que quiere determinar el momento de inercia de

una pieza mecanica complicada, respecto a un eje que pasa por su

centro de masa, asi que la cuelga de un alambre a 10 largo de ese

eje. EI alambre tiene una constante de torsi6n de 0.450 N . mlrad.

Usted gira un poco la pieza alre-

dedor del eje y la suelta, crono-

metrando 125 oscilaciones en

265 s. i,Cruinto vale el momento

de inercia buscado?

13.38 La rueda de balance de

un reloj vibra con amplitud an-

gular 8, frecuencia angular (d y

angulo de fase f jJ =O.a) Deduz- F ig u ra 1 3.3 0 Ejercicio 13.36.

ca expresiones para la velocidad

angular dilld: y la aceleraci6n angular d2()ldt2 en funcion del tiem-

po. b) Calcule la velocidad angular y la aceleraci6n angular de la

rueda cuando su desplazamiento angular es 8/2 y () esta disminu-yendo. (Sugerencia: Haga una grafica de ()contra t.)



*13.39 Para la interaccion de Van der Waals con la funci6n de

energia potencial dada por la ecuacion (\ 3 .25), demuestre que,

cuando la magnitud del desplazamiento x respecto al equilibrio (r =

Ro) es pequefia, la energia potencial es aproximadamente

U = ~ k~ - Uo . [Sugerenc i a : En la ecuaci6n (\3.25), sea r=Ro + x

Y u =x lR o . Luego, aproxime (1 + u )n con los primeros (res terminos

de la ecuacion (\ 3.28).] Compare k de esta ecuacion con la constan-

te de fuerza de la ecuacion (13.29) para la fuerza.

*13.40 Cuando los dos atomos de hidrogeno de una rnolecula de

Hz se desplazan del equilibrio, una fuerza de restitucion F, = - 1 0 : ,

con k =580 N/m, actua sobre ellos. Calcule la frecuencia de oscila-

cion de la molecula, (Sugerencia: La masa de un atomo de hidr6geno

es 1.008 unidades de masa atomica, 0 sea, 1 u; yea el apendice E.

Como en el ejemplo 13.7 de la seccion 13.4, use ml2 en lugar de m

en la expresi6n paraf)

Secc ion 13.5 E I pendulo s imp le

13.41 Un pendulo en Marte. En la Tierra, cierto pendulo simple

tiene un periodo de 1.60 s. z,Que periodo tendra en Marte, donde g

=3.71 m/s''?

13.42 Se tira de un pendulo simple de 0.240 m de longitud para

moverlo 3.50° a un lado y se suelta. a) z,Cuanto tarda la pesa del

pendulo en alcanzar su rapidez maxima? b) z,Cuanto tarda si el an-

gulo es de 1.75° en vez de 3.500?

13.43 Una manzana pesa 1.00 N. Si la colgamos del extremo de un

resorte largo con constante de fuerza de 1.50 N/m y masa despre-

ciable, rebota verticalmente en MAS. Si detenemos el rebote y deja-

mos que la manzana oscile de lado a lado con un angulo pequefio,

la frecuencia de este pendulo simple es la mitad de la del rebote.

(Puesto que el angulo es pequefio, las oscilaciones de lado a lado noalteran apreciablemente la longitud del resorte.) z,Que longitud tie-

ne el resorte no estirado?

13.44 Una esfera pequefia de masa m esta unida a una varilla sin

masa de longitud L con un pivote en el extremo de arriba, forman-

do un pendulo simple. El pendulo se mueve a un lado hasta que

la varilla forma un angulo 8 con la vertical y se suelta del reposo.

a) Dibuje el pendulo justo despues de soltarse; incluya vectores que

representen las Juer z as que actuan sobre la esfera y la aceleracion

de la esfera. [La exactitud es importante! En este punto, z,que ace-

leracion lineal tiene la esfera? b) Repita la parte (a) para el instante

en que el angulo de la varilla con la vertical es 8/2. c) Repita (a) para

el instante en que la varilla esta vertical. En ese punto, z,que rapidez

lineal tiene la esfera?

13.45 Despues de posarse en un planeta desconocido, una cxplora-

dora espacial construye un pendulo simple con longitud de 50.0 cm

y determina que efectua 100 oscilaciones completas en 136 s.

i,Cuanto vale g en ese planeta?

S ecc ion 13.6 E I pendulo f is ico

13.46 Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y

hacer que tenga una oscilacion completa con angulo pequefio una

vez cada 2.0 s. z,Que radio debe tener el aro?

13.47 Demuestre que la expresion para el periodo de un pendulo

fisico se reduce a la del pendulo simple si el pendulo fisico consis-

te en una particula de masa m en el extremo de un hilo sin masa de

longitud L.

Ejercicios 509

13.48 Una Have inglesa de 1.80 kg esta pivotada a 0.250 m de su

centro de masa y puede oscilar como pendulo fisico. El periodo pa-

ra oscilaciones de angulo pequefio es de 0.940 s. a) i,Que momen-

to de inercia tiene la lIave respecto a un eje que pasa por el pivote?

b) Si la Have inicialmente se desplaza 0.400 rad de la posicion deequilibrio, i,que rapidez angular tiene al pasar por dicha posicion?

13.49 Un adorno navidefio con forma de esfera hueca de masa M

= 0.015 kg y radio R = 0.050 m se cuelga de una rama con un lazo

de alambre unido a la superficie de la esfera. Si el adorno se des-

plaza una distancia corta y se suelta, oscila como pendulo fisico.

Calcule su periodo. (Puede despreciar la fricci6n en el pivote. El

momenta de inercia de la esfera respecto al pivote en la rama es

5M R 2/3.)

13.50 Una biela de 1.80 kg de un motor de coche pivota alrededor

de un filo de navaja horizontal como se muestra en la figura 13.31.

El centro de gravedad de la biela se encontr6 por balanceo y esta a

0.200 m del pivote. Cuando la biela se pone a oscilar con amplitud

corta, completa 100 oscilaciones en 120 s. Calcule el momenta deinercia de la biela respecto al eje de rotacion en el pivote.

S e cc io n 1 3.7 O s cila cio n es am o rtig ua da s

13.51 Un raton de 0.300 kg, nada contento, se mueve en el extre-

mo de un resorte con constante

de fuerza k = 2.50 N/m, someti-

do a la acci6n de una fuerza

amortiguadora F; = -bux. a) S i

b = 0.900 kg/s, i,que frecuencia

de oscilacion tiene el raton? b)

i,Con que valor de b la amorti-

guacion sera critic a?

13.52 Un huevo duro (cocido)

de 50.0 g se mueve en el extre-

mo de un resorte con k = 25.0

N/m. su desplazamiento inicial Figura 13.31 Ejercicio 13.50.

es de 0.300 m. Una fuerza amor-

tiguadora F; = =btr, actua sobre el huevo, y la amplitud del movi-

miento disminuye a 0.100 m en 5.00 s. Calcule la constante de

amortiguacion b.

13.53 El movimiento de un oscilador subamortiguado esta descri-

to por la ecuacion (13.42). Sea el angulo de fase c p = o . a) Segun laecuacion, i,cuanto vale x en t= O ? b) i,Que magnitud y direccion tiene

la velocidad en t =O? i,Que nos dice el resultado acerca de la pen-

diente de la curva de x contra t cerca de t = O ? c) Deduzca una ex-

presion para la aceleracion ax en t =O. i,Para que valor 0 intervalo

de valores de la constante de arnortiguacion b (en terminos de k y m)

en t = 0, la aceleracion es: negativa, cero 0positiva? Comente cada

caso en terminos de la forma de la curva de x contra t cerca de t= O .

S ec cio n 13.8 O sc ila cio ne s fo rz ad as y resonanc ia

13.54 Una fuerza impulsora que varia senoidalmente se aplica a un

oscilador armonico amortiguado con constante de fuerza k y masa

m. Si la constante de amortiguacion tiene el valor bj, la amplitud es

A Icuando la frecuencia angular impulsora es VkiIii. En terminosde AI, i,culinto vale la amplitud con la misma frecuencia impulsora

y la rnisma amplitud de la fuerza impulsora F ma x si la constante de

amortiguacion es: a) 3b,i,? b) b1/2i,?



510 CAP I r U L 0 13 I Movimiento peri6dico

13.55 Una fuerza impulsora que varia senoidalmente se aplica a un

oscilador arm6nico amortiguado. a) l,Que unidades tiene la cons-

tante de amortiguaci6n b? b) Dernuestre que la cantidad \!kin tiene

las mismas unidades de b.:.fl_Determine, en terrninos de Fmaxy k, la

amplitud de Wd = Yklm cuando: (i) l,b = 0.2\!kin? ii)

i,b = 0.4 \!kin? Compare sus resultados con la figura 13.27.

13.56 Un paquete experimental y su estructura de soporte que se

colocaran a bordo de la Estaci6n Espacial Internacional actuan co-

mo sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza

de 2.1 X 106 N/m y masa de 108 kg. Un requisito de la NASA es

que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna fre-

cuencia menor que 35 Hz. l,Satisface el paquete tal requisito?

Prob lemas

13.57 MAS en un motor de auto. El movimiento del pist6n de un

motor de auto (Fig. 13.32) es aproximadamente arm6nico simple.

a) Si la carrera de un motor (el doble de la arnplitud) es de 0.100 m

y el motor trabaja a 3500 rpm, i,que aceleracion tiene el pist6n en el

extremo de su carrera? b) Si el pist6n tiene una masa de 0.450 kg,

i,que fuerza neta debe ejercerse sobre el en ese punto? c) i,Que ra-

pidez y energia cinetica tiene el

pist6n en el punto medio de su

carrera? d) l,Que potencia media

se requiere para ace lerar el

pist6n desde el reposo hasta la

rapidez determinada en la parte

(c)? d) Repita las partes (b), (c) Y

(d) con el motor trabajando a7000 rpm. Figura·13.32 Problema 13.57.

13.58 Cuatro pasajeros cuya

mas a combinada es de 250 kg

comprimen 4.00 cm los resortes de un auto con amortiguadores

vencidos cuando se suben a el. Modele el auto y los pasajeros como

un solo cuerpo sobre un solo resorte ideal. Si el auto cargado tie-

ne un periodo de vibraci6n de 1.08 s, i,que periodo tiene cuando es-

ta vacio?

13.59 Un deslizador oscila en MAS con amplitud A j en un riel de

aire. Usted 10 frena hasta reducir la amplitud a la mitad. i,Que pasa

con su: a) periodo, frecuencia y frecuencia angular? b) i,Energia

mecanica total? c) i,Rapidez maxima? d) i,Rapidez en x = ±A/4?

d) l,Energias cinetica y potencial en x = ±A /4?

13.60 Se cuelga un peso desconocido de un resorte de masa des-

preciable, moviendo la mana hacia abajo lentamente de modo que,

cuando el peso alcanza el equilibrio, ha estirado el resorte una dis-

tancia L. Demuestre que el peso puede oscilar en MAS con el mis-

mo periodo que un pendulo simple de longitud L.

13.61 Un nino maleducado esta deslizando su plato de 250 g de un

lado a otro sobre una superficie horizontal en MAS con amplitud

de 0.100 m. En un punto a 0.060 m de la posici6n de equilibrio, la

rapidez del plato es de 0.300 mls. a) Calcule el periodo. b) Encuen-

tre el desplazamiento cuando la rapidez es de 0.160 mls. c) En el

centro del plato hay una rebanada de zanahoria de 10.0 g a punto de

resbalar en el extremo de la trayectoria. Calcule el coeficiente de fric-ci6n estatica entre la zanahoria y el plato.

'f0.100 m±

13.62 jToro mecanico! Durante una visita a unos amigos en Cal

State Chico, un estudiante acude al Crazy Horse Saloon. Este exce-

1ente establecimiento cuenta con un toro mecanico de 200 kg que

repara gracias a un mecanismo que 10 mueve verticalmente en mo-

vimiento arm6nico simple con amplitud de 0.250 m y frecuencia de

1.50 Hz, haya un jinete montado 0 no. Despues de ver c6mo otros

parroquianos se aferran al "toro" mientras 10 montan, el estudiante

(masa 75.0 kg) decide montar estilo "macho", sin sujetarse, A na-

die Ie extrafia que el estudiante salga despedido de la silla. Mientras

espera que sanen sus moretones y su orgullo, el estudiante mata el

tiempo haciendo calculos, a) El se separ6 de la silla durante el as-

censo. i,Que magnitud tiene la aceleraci6n de la silla hacia abajo

cuando el estudiante pierde contacto con ella? b) l,A que altura es-

ta la superficie de arriba de la silla sobre su posici6n de equilibrio

cuando el jinete se separa? c) i,Con que rapidez sube el cuando

abandona la silla? d) El estudiante esta en caida libre hasta volver a

la silla. Demuestre que esto sucede 0.538 s despues, e) i,Que rapi-

dez tiene el relativa a la silla cuando la toea otra vez?

13.63 Un bloque de masa M descansa en una superficie sin fric-

ci6n y esta conectado a un resorte horizontal con constante de fuer-

za k. EI otro extremo del resorte esta fijo a una pared (Fig. 13.33).

Un segundo bloque de masa m esta sobre el primero. EI coeficien-

te de fricci6n estatica entre los bloques es / L e ' Determine la ampli-

tud de oscilaci6n maxima que no permite que el bloque superior

resbale.

13.64 Una masa de 10.0 kg viaja hacia la derecha con rapidez de

2.00 mls sobre una superficie horizontal lisa y choca con una se-

gunda masa de 10.0 kg que inicialmente esta en reposo pero unida

a un resorte ligero con constante de fuerza de 80.0 N/m. Las masas

Figu~a13.33 Problema 13.63.

quedan pegadas. a) Calcule: la frecuencia, amplitud y periodo de

las oscilaciones subsecuentes. b) i,Cuanto tarda el sistema en regre-

sar por primera vez a la posici6n en que estaba inmediatamente an-

tes del choque?

13.65 Un bloque de mas a m j, unido a un resorte horizontal con

constante de fuerza k, se mueve en MAS con amplitud A j Yperiodo

Ts . a) En el instante en que el bloque pasa por su posici6n de equi-

librio, se divide repentinarnente en dos piezas identicas. Una per'

manece unida al resorte y la otra es empujada rapidamente a un

lado. En terminos de A j Y Tj, i,que amplitud y periodo tiene el MAS

despues de partirse el bloque? b) Repita la parte (a) para la situa-

ci6n en la que el bloque se divide cuando esta en x =A r - c) Compare

sus resultados con los del ejemplo 13.5 (secci6n 13.3) y comente las

similitudes y diferencias.

13.66 Una fuerza elastica de restituci6n con constante de fuerza de

10.0 N/m actua sobre un objeto de 0.200 kg. a) Grafique la energia

potencial elastica U en funci6n del desplazamiento x dentro de un

intervalo de x de -0.300 m a +0.300 m. Use la esc ala I ern = 0.05

J verticalmente y I em = 0.05 m horizontalmente. El objeto se po-



ne a oscilar con una energia potencial inicial de 0.140 J y una ener-

gia cinetica inicial de 0.060 J. Conteste las preguntas que siguen

consultando la grafica. b) l,Que amplitud tiene la oscilaci6n? c)

l,Cuanto vale la energia potencial cuando el desplazamiento es la

mitad de la amplitud? d) l,Con que desplazamiento son iguales lasenergias cinetica y potencial? e) l,Cuanto vale el angulo de fase c psi la velocidad inicial es positiva y el desplazamiento inicial es ne-

gativo?

13.67 La figura 13.16 muestra un cuerpo con masa m que cuelga

de un resorte con constante de fuerza k. EI eje +x es hacia arriba y

x = 0 es la posici6n de equilibrio del cuerpo. a) Demuestre que,

cuando el cuerpo esta en la coordenada x , la energia potencial elas-

tica del resorte es Vej =!( A l ~ x Vb) Sea x =Xo la coordenada

en la que la energia potencial gravitacional es cero. Demuestre que

la energia potencial total es V = ~kx2 + 1k( A I)2 ~ mgxi; c) La ex-

presion para la energia potencial total en la parte (b) tiene la forma

V =1kx2 + C, donde la constante C es igual a ~k(AI)2 - mgx.;

Explique por que el comportamiento del sistema no depende del

valor de esta con stante, de modo que el MAS vertical no es distin-

to en 10 esencial del MAS horizontal, para el cual V = 1 k x 2•

13.68 Un alambre colgante tiene 1.80 m de longitud. Cuando una

bola de acero de 60.0 kg se suspende del alambre, este se estira 2.00

mm. Si se tira de la bola hacia abajo una distancia adicional peque-

fia y se Ie suelta, l,con que frecuencia vibrara? Suponga que el es-

fuerzo aplicado al alambre es menor que el limite proporcional

(vease la secci6n 11.5).

13.69 Una perdiz (codorniz) de 5.00 kg cuelga de un peral me-

diante un resorte ideal con masa despreciable. Si se tira de la perdiz

para bajarla 0.100 m respecto a su posici6n de equilibrio y se suel-

ta, vibra con un periodo de 4.20 s. a) l,Que rapidez tiene al pasar por

su posici6n de equilibrio? b) l,Que aceleraci6n tiene cuando esta

0.050 m arriba de dicha posici6n? c) Cuando esta subiendo, l,que

tiempo tarda en moverse de un punto 0.050 m debajo de la posici6n

de equilibrio a un punto 0.050 m arriba? d) La perdiz se detiene y

se retira del resorte. l,Cuanto se acorta este?

13.70 Un perno de 0.0200 kg se mueve en MAS con amplitud de

0.240 m y periodo de 1.500 s. EI desplazamiento del perno es

+0.240 m cuando t = O. Calcule: a) el desplazamiento del perno

cuando f = 0.500 s; b) la magnitud y direcci6n de la fuerza que ac-

tua sobre el perno en f =0.500 s; c) el tiempo minimo que el perno

tarda en moverse de su posici6n inicial alpunto donde x = -0.180 m;

d) la rapidez del perno cuando x = - 0.180 m.

13.71 MAS de una balanza de carnicero. Un resorte con masadespreciable y constante de fuerza k=400 N/m cuelga verticalmen-

te, y una bandeja de 0.200 kg se suspende de su extremo inferior.

Un carnicero deja caer un filete de 2.2 kg sobre la bandeja desde

una altura de 0.40 m. EI choque es totalmente inelastico y el sistema

queda en movimiento arm6nico simple vertical. Calcule: a) la rapi-

dez de la bandeja y el filete justo despues del choque; b) la amplitud

del movimiento subsecuente; c) el periodo de esc movimiento.

13.72 Una viga uniforme de 225 kg se suspende horizontalmente

de dos resortes verticales identicos que sujetan cada extremo de la

viga con el techo. Un saco de 175 kg de grava se coloca sobre el

punto medio de la viga. La viga esta oscilando en MAS con ampli-

tud de 40.0 ern y frecuencia de 0.600 ciclos/s. a) EI saco de grava se

Problemas 511

cae de la viga cuando esta tiene su desplazamiento maximo hacia

arriba. Calcule la frecuencia y amplitud del MAS subsecuente de la

viga. b) Suponga ahora que el saco de grava se cae cuando la viga

tiene su rapidez maxima. Calcule la frecuencia y amplitud del MAS

subsecuente de la viga.13.73 En el planeta Newtonia, un pendulo simple tiene masa de

1.25 kg y longitud de 185.0 em cuando se suelta del reposo, tarda

1.42 s en describir un angulo de 12.5° hasta un punto en el que otra

vez tiene rapidez cero. Se determin6 que la circunferencia de New-

tonia es de 51,400 km. Calcule la mas a del planeta.

13.74 Una fuerza de 40.0 N estira un resorte vertical 0.250 m. a)

l,Que masa debe colgarse del resorte para que el sistema oscile con

un periodo de 1.00 s? b) Si la amplitud del movimiento es de 0.050

myel periodo es el especificado en (a), l,d6nde esta el objeto y en

que direcci6n se mueve 0.35 s despues de haber pasado la posici6n

de equilibrio, bajando? c) l,Que fuerza (magnitud y direcci6n) ejer-

ce el resorte sobre el objeto cuando este esta 0.030 m bajo la posi-

ci6n de equilibrio, subiendo?13.75 Que no la deje el barco. En una visita a Minnesota (la "tie-

rra de los 10,000 lagos"), una turista se inscribe en una excursi6n

por uno de los lagos mas grandes. Cuando llega al muelle donde es-

ta atracado el barco de 1,500 kg, ve que la embarcaci6n esta osci-

lando verticalmente sohre las olas en movimiento arm6nico simple

con amplitud de 20 ern. EI barco tarda 3.5 sen efectuar un ciclo de

subida-bajada. Cuando esta en su punto mas alto, la cubierta esta a

la misma altura que el muelle estacionario. Al ver c6mo se mece el

barco, la turista (masa 60 kg) comienza a sentirse mareada (debido

en parte a que la noche anterior cen6 bacalao noruego), por 10 que se

niega a subir a bordo a menos que la cubierta este a menos de 10 em

del nivel del muelle. l,De cuanto tiempo dispone para abordar el

barco c6modamente durante cada cicio de movimiento vertical?

13.76 Un ejemplo interesante pero muy poco practico de oscila-

ci6n es el movimiento de un objeto que se deja caer por un agujero

que va de un lade de la Tierra a otro pasando por el centro. Supo-

niendo (1 0 cual no es realista) que la Tierra es una esfera con densi-

dad uniforme, demuestre que el movimiento es arm6nico simple y

calcule el periodo. [No ta: La fuerza gravitacional sobre el objeto en

funci6n de la distancia r del objeto al centro de la Tierra se dedujo

en el ejemplo 12.10 (secci6n 12.6). El movimiento es MAS si la

aceleraci6n a y el desplazamiento respecto al equilibrio x estan re-

lacionados por la ecuaci6n (13.8), Ye l periodo es entonces T=

2'7Tlw.]

13.77 Sea tj el tiempo que un cuerpo en MAS tarda en moverse dex = 0 (en t = 0) a x =A. Obtenga una ecuaci6n para tj como sigue.

En la ecuaci6n (13.22), sustituya Vx por dxldt. Separe las variables

escribiendo todos los factores que contengan x en un miembro y los

que contengan f en el otro, para poder integrar cada miembro. Inte-

gre la ecuaci6n con limites de f de 0 a f], y de x, de 0 a A, obtenien-

do asi una ecuaci6n para fl. Compare f1 con el periodo T.

13.78 Para cierto oscilador, la fuerza neta que actua sobre el cuer-

po de masa m esta dada por F; = -ex3. a) l,Que funci6n de energia

potencial describe este oscilador, si tomamos U= 0 en x =O?b) EI

cuerpo se mueve de x = 0 a x =A en un cuarto de periodo. Calcule

este tiempo y de ahi el periodo. (Sugereneia: Parta de la ecuaci6n

(13.20), modificada para incluir la funci6n de energia potencial que



512 CAPITULO 13 I Movimiento peri6dico

obtuvo en la parte (a), y despeje la velocidad Vx en funcion de x.

Luego sustituya u,por dx/dt y siga los pasos bosquejados en el pro-

blema 13.77. En la integral de x, haga el cambio de variables u =

xiA. La integral resultante puede evaluarse por metodos numericos

usando una computadora y tiene el valor f~du/~ = 1.31.]

c) Segun el resultado obtenido en la parte (b), (,el periodo depende

de la amplitud A? (,Son las oscilaciones armonicas simples?

13.79 Considere el circulo de referencia de la figura 13.5. La com-

ponente x de la velocidad de Q es la velocidad de P. Calcule esta

componente y muestre que la velocidad de P es la dada por la ecua-

cion (13.15).

13.80 A fin de medir g de una

forma no ortodoxa, una estu-

diante coloca un cojinete de bola

de masa m en ellado concave de

una lente (Fig. 13.34) y conecta

la lente a un oscilador armonico

simple (un altavoz pequefio) cu-

ya amplitud es A y cuya frecuen-

ciajpuede variarse. Ella puede F ig u ra 1 3.3 4 Problema 13.80.

medir A y/ con una luz estrobos-

copica, a) Determine la fuerza normal ejercida por la lente sobre el

cojinete en funcion del tiempo. El resultado debera estar en termi-

nos de A,f, m, g y un angulo de fase c p . b) Se aumenta lentamentela frecuencia y, aillegar a un valorJl" se escucha que la bola rebota.

Exprese g en terminos de A y J I , .

*13.81 Molecula diatomica. Dos atomos identicos de una mo-

lecula diatomica vibran como osciladores armonicos, pero su cen-

tro de masa, a la mitad del camino, no se mueve. a) Demuestre que,

en cualquier instante, las cantidades de movimiento de los atomosrespecto al centro de masa son p y -jj. b) Demuestre que la ener-

gia cinetica total K de los dos atomos en cualquier instante es la

misma que tiene un solo objeto de masa ml2 con una cantidad de

movimiento de magnitudp. (Use K=p2/2m.) Este resultado mues-

tra por que debe usarse ml2 en la expresion para/del ejemplo 13.7

(seccion 13.4). c) Si los atomos no son identicos, y tienen masas ml

y m2, demuestre que aun se cumple el resultado de (a), y que la ma-

sa del objeto unico de (b) es mJmAmJ + m2) ' La cantidad mJmzl (mJ

+ m2) se denomina m as a redu cida del sistema.

*13.82 Una aproximacion de la energia potencial de una molecula

de KCI es U =A [(Ro7/8 r8) - l /r] , donde Ro =2.67 X 10-10 m y A =

2.31 X 10-28 J . m. Use esto para: a) demostrar que la componente

radial de la fuerzasobre cada atomo eSFr=A[ (Ro7Ir 9) - I /r2] yb)

demostrar que Ro es la separacion de equilibrio. c) Calcule la ener-

gia potencial maxima. d) Use r =Ro + x y los primeros dos termi-

nos del teorema binomial (ecuacion 13.28) para demostrar que Fr~

- (7AIRo3)x , de modo que la con stante de fuerza de la molecula es

k =7A I R l e) Si los atomos de K y CI vibran en direcciones opues-

tas en lados opuestos del centro de masa de la molecula, mJm2/(ml

+ m2) =3.06 X 10-26 kg es la masa que debe usarse para calcular la

frecuencia (vease el problema 13.81). Ca1cule la frecuencia de las

vibraciones de pequefia amplitud.

*13.83 Tres particulas con carga positiva se mantienen en linea

recta. Las particulas de los extremos son identicas y se mantienen

fijas separadas por una distancia 2Ro . La energia potencial para lafuerza que aetna sobre la particula central puede escribirse como U

=A[l/r - l/ (r - 2Ro )] , donde A es una constante y re s la distancia

entre la particula izquierda y la central. a) Demuestre que la fuerza

que actua sobre la particula central es F; =A[l/? - I/(r - 2Ro )2 ] .

b) Dernuestre que r =Ro es el punto de equilibrio. c) Use r =Ro + x

y los primeros dos terminos del teorema binomial, ecuacion

(13.28), para demostrar que Fr~ ·-(4AIR o3)x , de modo que la cons-

tante de fuerza es k =4AIR l d) (,Que frecuencia tiene la oscilacion

de amplitud pequefia de la particula central si su masa es m?

13.84 Muchos resortes reales son mas faciles de estirar que de

comprimir. Podemos representar esto usando diferentes constantes

de resorte para x > 0 Ypara x <O.Por ejemplo, considere un resor-

te que ejerce la siguiente fuerza de restitucion:

{-kx six> 0

F; = _2kx si x < 0

Una masa m en una superficie horizontal sin friccion se une a este

resorte, se desplaza a x =A estirando el resorte, y se suelta. a) Calcu-le el periodo del movimiento; (,depende deA? (,Son armonicas sim-

ples las oscilaciones? b) (,CuaJ es el valor mas negativo de x que

alcanza la masa m? (,Es simetrica la oscilacion respecto a x =O?

13.85 Dos cilindros solidos identicos conectados a 1 0 largo de su

eje cornun por una varilla corta y ligera tienen radio R y masa total

M, y descansan sobre una mesa horizontal. Un resorte con constan-

te de fuerza k tiene un extremo sujeto a un soporte fijo y el otro a

un anillo sin friccion en el centro de masa de los cilindros (Fig.

13.35). Se tira de los cilindros hacia la izquierda una distanciax, es-

tirando el resorte, y se sueltan. Hay suficiente friccion entre la me-

sa y los cilindros para que estes rueden sin resbalar al oscilar

horizontalmente. Demuestre que el movimiento del centro de masa

de los cilindros es armonico simple, y calcule su periodo en termi-

nos de My k. [Sugerencia: EI movimiento es armonico simple si a x

y x estan relacionados por la ecuacion (13.8) y el periodo es T =

2'TTlw. Aplique IT z =lcmaz y IFx =Ma cm-x a los cilindros a fin de

relacionar a cm-x con el desplazamiento x de los cilindros respecto a

su posicion de equilibrio.]

F i g u ra ; 1 : 3. 35 Problema 13.85.

13.86 En la figura 13.36, la bola

superior se suelta del reposo, cho-

ca con la bola estacionaria y sepe-

ga a ella. Ambos hilos tienen 50.0

cm de longitud. La bola superior

tiene masa de 2.00 kg Yesta ini-

cialmente 10.0 ern mas alta que la

inferior, cuya masa es de 3.00 kg.

Ca1cule la frecuencia y el despla-

zamiento angular maximo del mo-virniento despues del choque.

-f--IO.Oem

--- -__J__

F ig u ra 1 3.3 6 Problema 13.86.



13.87 T-rex. Modele la pata del tiranosaurio del ejemplo 13.10

(secci6n 13.6) como dos varillas uniformes de 1.55 m cada una uni-

das por un extremo. La varilla inferior tiene masa M, y la superior,

2M. El objeto compuesto pivota en torno a la parte superior de la

varilla de arriba. Ca1cule el periodo de oscilaci6n de este objeto pa-

ra oscilaciones de amplitud pequef ia , Compare su resultado con el

del ejemplo 13.10.

13.88 Una varilla rnetalica del-

gada y uniforme con masa M pi-

vota sin friccion sobre un eje que

pasa por su punto medio y es

perpendicular a la varilla. Un re-

sorte horizontal con constante de

fuerza k se conecta al extremo

inferior de la varilla, y el otro

extremo del resorte se fija a un

soporte rigido. La varilla se des-

plaza un angulo pequefio e res-pecto a la vertical (Fig. 13.37) y Fi gu Ja 1l.:n Problema 13.88.

se suelta. Demuestre que se

mueve en MAS angular y calcule su periodo. (Sugerenc ia : Supon-

ga que e es suficientemente pequefio para que las aproximaciones

sen e R:! e y cos e R:! 1 sean validas, El movimiento es arm6nico

simple si d2f)/dt2 = -«if) y el periodo es entonces T= 27T/W.)

13.89 EI problema de la campana que suena en silencio. Una

campana de 34.0 kg cuelga de una viga de modo que puede oscilar

con fricci6n despreciable. Su centro de masa esta 0.60 m bajo el pi-

vote, y su momenta de inercia respecto a un eje en el pivote es de

18.0 kg· m2• El badajo es una masa de 1.8 kg que cuelga de una va-

rilla delgada de longitud L y masa despreciable. El otro extremo de

la varilla esta sujeto al interior de la campana de modo que puede os-

cilar libremente sobre el mismo eje que la campana. ,;,Que longitud

L debe tener la varilla para que la

campana suene en silencio, es

decir, para que el periodo de os-

cilaci6n de la campana sea igual

al del badajo?

13.90 Dos varillas delgadas

identicas, cada una con masa m y

longitud L, se unen en angulo

recto para formar un objeto en

forma de L, el cual se balancea

sobre un filo (Fig. 13.38). Si el Figura 13.38 Problema 13.90.

objeto se desvia un poco, oscila.

Calcule la frecuencia de oscilaci6n.

13.91 Se desea construir un pendulo con un periodo de 4.00 s en un

lugar en el que g= 9.80 m/s", a) l ,Que longitud tiene un pendulo s im-

ple con este periodo? b) Suponga que el pendulo debe montarse en

una caja que no puede tener mas de 0.50 m de altura. ,;,Puede inven-

tar un pendulo con un periodo de 4.00 s que cumpla este requisito?

13.92 Demuestre que x(t) dado por la ecuaci6n (13.42) es una so-

luci6n de la segunda ley de Newton para oscilaciones amortiguadas

(ecuaci6n 13.41) si w' se define como en la ecuaci6n (13.43).

13.93 Una variHa uniforme de longitud L oscila con angulo pequefio

alrededor de un punto a una distancia x de su centro. a) Demuestre

que su frecuencia angular es Vgx/[ ( L2 / 12 ) + x2

]. b) Demues-

Problemas de desafio 513

tre que su frecuencia angular maxima se da cuando x =uVPi.c) l,Que longitud tiene la varilla si la frecuencia angular maxima es

27 T rad/s?

13.94 ;,Cmindo es simple? Para hacer un pendulo, se cuelga una

esfera s6lida uniforme de radio R del extremo de un hila ligero. La

distancia del pivote al centro de la esfera es L. a) Demuestre que el

periodo del pendulo es T = Tp;VI + 2R2 / 5U , donde Tpses el pe-

riodo de un pendulo simple de longitud L. b) l,Para que valor de L

es Ts610 0.10% mayor que Tps?c) Para una esfera de 2.540 em de

diametro, l,cuanto vale L de la parte (b)?

Problemas de desafio

13.95 Dos resortes, ambos con longitud no estirada de 0.200 m pe-

ro diferentes constantes de fuerza k1 y k2, estan unidos a extremos

opuestos de un bloque de masa m en una superficie plana sin fric-

ci6n. Ahora los extremos exteriores de los resortes se unen ados

agujas P1 y P 2 que estan a 0.100 m de las posiciones originales delos extremos de los resortes (Fig. 13.39). Sea k1 = 2.00 N/m, k2 =

6.00 N/m y m = 0.100 kg. a) Calcule la longitud de cada resorte

cuando el bloque esta en su nueva posici6n de equilibrio despues de

fijarse los resortes a las agujas. b) Ca1cule el periodo de vibraci6n

del bloque si se desplaza un poco de su nueva posici6n de equilibrio

y se suelta.

Fi gu ra, 13.39 Problema de desafio 13.95.

13.96 Constante de fuerza

efectiva de dos resortes. Dos

resortes con la misma longitud

no estirada pero diferentes cons-

tantes de fuerza k , y k2 se unen a

un bloque de masa m en una su-

perficie plana sin fricci6n. Calcu-

le la constante de fuerza efectiva

kfe en cada uno de los tres casos:

(a), (b) y (c) de la figura 13.40.

(La constante de fuerza efectiva Fi gu ra 13.40 Problemas de

esta definida por 'iFx = -kr"x.) desafio 13.96.

d) Un objeto de masa m, suspen-

dido de un resorte uniforme con constante de fuerza k, vibra con

una frecuenciaj]. Si el resorte se parte ala mitad y el mismo obje-

to se cuelga de una de las mitades, la frecuencia esh. Determine la

relaci6n ht;;.

13.97 a) Determine el cambio!:'T del periodo de un pendulo simple

cuando la aceleraci6n debida a la gravedad cambia en ! : .g . (Sugeren-

c ia : El nuevo periodo T + !:.T se obtiene sustituyendo g + !:.gpor g:

T + !:.T = 27T~ Lg +!:.g

(a)

(b)

t k, k, j

'¥(e)



514 CA PIT U LO 13 I Movimiento peri6dico

Para obtener una expresion aproximada, expanda ~l factor (g +<lg)-112 usando el teorema binomial (apendice B) y conservando so-

lo los primeros dos terminos:

1

(g + <lg)-112 = g-I/Z __ g -3/Z< lg + ...2

Los demas terminos contienen potencias mayores de <lg y son muy

pequefios si <lg es pequefio. ) Exprese su resultado como el cambio

fraccionario del periodo, <lTIT, en terminos del cambio fracciona-

rio <lg lg. b) Un reloj de pendulo da la hora correcta en un punto

donde g=9.8000 m/s", pero se atrasa 4.0 s cada dia a una altura ma-

yor. Use el resultado de (a) para ca1cular el valor aproximado de g

en este nuevo lugar. .

13.98 Resorte con masa. En todos los problemas anteriores del

capitulo, hemos supuesto que los resortes tienen masa despreciable,

aunque desde luego ningun resorte carece por completo de masa.

Para determinar el efecto de la masa de un resorte, considere un re -

sorte de masa M , con longitud de equilibrio L o Y constante de fuer-za k. Si el resorte se estira 0 comprime a una longitud L, la energia

potencial es !k x Z, donde x = L - L o . a) Considere un resorte co-

mo este con un extremo fijo y el otro en movimiento con rapidez v.

Suponga que la rapidez de los puntos a 10 largo del resorte varia li-

nealmente con la distancia I al extremo fijo, y que la masa M esta

distribuida uniformemente a todo 10 largo del resorte. Calcule la

energia cinetica del resorte en terrninos de My v. (Sugerencia: Di-

vida el resorte en partes de longitud dl; determine la rapidez de ca-

da parte en te rminos de I, v y L; determine la masa de cada parte en

terminos de dl, My L; e integre de 0 a L. El resultado no es !MvZ,

ya que no todo el resorte se mueve con la misma rapidez.) b) Ob-

tenga la derivada de la ecuacion de conservacion de la energia

(ecuacion 13.21) respecto al tiempo para una masa m que se mueve

en el extremo de un resorte sin masa. Comparando sus resultados

con la ecuacion (13.8), que define a w, demuestre que la frecuencia

angular de oscilacion es w = v7Jm. c) Aplique el procedimiento

de la parte (b) para obtener la frecuencia angular de oscilaci6n w

del resorte considerado en (a). Si la masa efectiva M' del resorte es-

ta definida por w =v1JM' , exprese M ' en terminos de M .

13.99 Un metro uniforme (con longitud de 1.00 m) cuelga de un

eje horizontal por un extremo y oscila como pendulo fisico. Un ob-

jeto pequefio con masa igual a la del metro se puede sujetar al me-

tro a una distancia y por debajo del eje. Sea Tel periodo del sistema

con el cuerpo pegado y 1 '0 e1 periodo del metro solo. a) Determine

la relacion TITo . Evalue su expresion para valores de y desde 0 has-ta 1.0 m en incrementos de 0.1 m, y grafique T1To contray. b) l,Hay

algun valor de y, distinto de y =0, para el que T = To ? Si 10 hay, en-

cuentrelo y explique por que el periodo no cambia cuando y tiene

ese valor.

13.100 Se determina que el periodo de un pendulo fisico alrededor

de un punto pivote es T. Luego se encuentra otro punto pivote en el

lado opuesto del centro de masa que da el mismo periodo. Los dos

puntos estan separados una distancia L. Use el teorema de ejes pa-

ralelos para demostrar que g =L(2'TTIT)z. (Este resultado sugiere

una forma de ca1cular g sin conocer la masa ni ningun momenta de

inercia del pendulo fisico.)

13.101 Resonancia en un sistema mecanlco, Una mas a m esta

unida al extremo de un resorte sin masa con constante de fuerza k

y longitud no estirada 1 0, El otro extremo del resorte puede girar

libremente alrededor de un clavo incrustado en una superficie hori-

zontal sin fricci6n (Fig. 13.41).

Se hace que la masa gire en un

circulo con frecuencia angular

de revolucion w'. a) Ca!cule la

longitud I del resorte en funcion

de w' . b) l,Como cambia el resul-

tado de la parte (a) cuando to' se

acerca a la frecuencia naturalF ig u ra 1 3 .4 1 Problema de

w = v7Jm del sistema resorte- desafio 13.101.

_~m

~ . . - - - 1

masa? (Si el resultado Ie parece

extrafio, recuerde que los resortes sin masa y las superficies sin

friccion no existen; solo son descripciones aproximadas de resortes

y superficies reales. Ademas, la ley de Hooke misma es solo una

aproximacion al comportamiento de los resortes reales; cuanto mas

se alarga un resorte, mas se desvia su comportamiento de la ley de

Hooke.)

*13.102 Vibracien de una molecula con enlace covalente. Mu-chas moleculas diatomicas (de dos atomos) estan unidas por enla-

ces covalentes que son mucho mas fuertes que la interaccion de

Van der Waals. Ejemplos de ello son Hz, O2 Y N 2. Los experimen-

tos indican que, en el caso de muchas de tales moleculas , la interac-

cion puede describirse con una fuerza de la forma

F, =A[e-2b(r-Ro) - e-b(r-Ro)]

donde A Y b son constantes positivas, r es la separacion de los cen-

tros de los atomos y Ro es la separacion de equilibrio. Para la mo-

lecula de hidrogeno (H2) ' A =2.97 X lO-8 N, b = l.95 X lOlO m-1

y Ro =7.4 X lO-11 m. Ca!cule la constante de fuerza para oscilacio-

nes pequefias alrededor del equilibrio. (Sugerencia: Use la expan-sion de e' dada en el apendice B.) Compare su resultado con el

valor dado en el ejercicio 13.40.

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Oscilaciones Cap 13 Young