DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Osnovni pojmovi teorije brojeva

Marko -Dikic

Univerzitet u NišuPrirodno Matematicki Fakultet

februar 2010

Istraživacka stanica Petnica

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Kažemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac = b. Zapisujemo

a|b.

a|b ∧ a|c ⇒ a|b ± ca|b ⇒ xa|xb, za svako x ∈ Nab|ac ⇒ b|c.

Teorema (o deljenju sa ostatkom)

Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r , sasvojstvom da je 0 ≤ r < b i da je

a = q · b + r .

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Kažemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac = b. Zapisujemo

a|b.

a|b ∧ a|c ⇒ a|b ± ca|b ⇒ xa|xb, za svako x ∈ Nab|ac ⇒ b|c.

Teorema (o deljenju sa ostatkom)

Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r , sasvojstvom da je 0 ≤ r < b i da je

a = q · b + r .

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Kažemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac = b. Zapisujemo

a|b.

a|b ∧ a|c ⇒ a|b ± ca|b ⇒ xa|xb, za svako x ∈ Nab|ac ⇒ b|c.

Teorema (o deljenju sa ostatkom)

Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r , sasvojstvom da je 0 ≤ r < b i da je

a = q · b + r .

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Kažemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac = b. Zapisujemo

a|b.

a|b ∧ a|c ⇒ a|b ± ca|b ⇒ xa|xb, za svako x ∈ Nab|ac ⇒ b|c.

Teorema (o deljenju sa ostatkom)

Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r , sasvojstvom da je 0 ≤ r < b i da je

a = q · b + r .

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Kažemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac = b. Zapisujemo

a|b.

a|b ∧ a|c ⇒ a|b ± ca|b ⇒ xa|xb, za svako x ∈ Nab|ac ⇒ b|c.

Teorema (o deljenju sa ostatkom)

Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r , sasvojstvom da je 0 ≤ r < b i da je

a = q · b + r .

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Broj n ∈ N je prost ako je veci od 1 i deljiv jedino brojevima 1 i n.

LemaSvaki broj je deljiv nekim prostim brojem.

Beskonacno mnogo prostih brojeva.

Teorema (Osnovna teorema aritmetike)

Za svaki prirodan broj n veci od 1 postoje jedinstveni k ∈ N, prostibrojevi p1 < p2 < ... < pk i α1, α2, ..., αk ∈ N takvi da je

n = pα11 pα2

2 · · · pαkk .

Eratostenovo sito.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Broj n ∈ N je prost ako je veci od 1 i deljiv jedino brojevima 1 i n.

LemaSvaki broj je deljiv nekim prostim brojem.

Beskonacno mnogo prostih brojeva.

Teorema (Osnovna teorema aritmetike)

Za svaki prirodan broj n veci od 1 postoje jedinstveni k ∈ N, prostibrojevi p1 < p2 < ... < pk i α1, α2, ..., αk ∈ N takvi da je

n = pα11 pα2

2 · · · pαkk .

Eratostenovo sito.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Broj n ∈ N je prost ako je veci od 1 i deljiv jedino brojevima 1 i n.

LemaSvaki broj je deljiv nekim prostim brojem.

Beskonacno mnogo prostih brojeva.

Teorema (Osnovna teorema aritmetike)

Za svaki prirodan broj n veci od 1 postoje jedinstveni k ∈ N, prostibrojevi p1 < p2 < ... < pk i α1, α2, ..., αk ∈ N takvi da je

n = pα11 pα2

2 · · · pαkk .

Eratostenovo sito.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Broj n ∈ N je prost ako je veci od 1 i deljiv jedino brojevima 1 i n.

LemaSvaki broj je deljiv nekim prostim brojem.

Beskonacno mnogo prostih brojeva.

Teorema (Osnovna teorema aritmetike)

Za svaki prirodan broj n veci od 1 postoje jedinstveni k ∈ N, prostibrojevi p1 < p2 < ... < pk i α1, α2, ..., αk ∈ N takvi da je

n = pα11 pα2

2 · · · pαkk .

Eratostenovo sito.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Broj n ∈ N je prost ako je veci od 1 i deljiv jedino brojevima 1 i n.

LemaSvaki broj je deljiv nekim prostim brojem.

Beskonacno mnogo prostih brojeva.

Teorema (Osnovna teorema aritmetike)

Za svaki prirodan broj n veci od 1 postoje jedinstveni k ∈ N, prostibrojevi p1 < p2 < ... < pk i α1, α2, ..., αk ∈ N takvi da je

n = pα11 pα2

2 · · · pαkk .

Eratostenovo sito.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Ako je p prost, tada važi p|ab ⇒ p|a ∨ p|b.Ako je p prost, tada iz p|a2 sledi p2|a2.

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Najveci zajednicki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d |a i d |b, a nijedan broj veci od d nema tu osobinu.Pišemo d = (a,b).Najmanji zajednicki sadržalac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i

b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Pišemo s = [a,b].

Ako je d = (a,b) tada 1 = ( ad ,

bd ).

(a,b)[a,b] = ab.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Ako je p prost, tada važi p|ab ⇒ p|a ∨ p|b.Ako je p prost, tada iz p|a2 sledi p2|a2.

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Najveci zajednicki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d |a i d |b, a nijedan broj veci od d nema tu osobinu.Pišemo d = (a,b).Najmanji zajednicki sadržalac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i

b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Pišemo s = [a,b].

Ako je d = (a,b) tada 1 = ( ad ,

bd ).

(a,b)[a,b] = ab.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Ako je p prost, tada važi p|ab ⇒ p|a ∨ p|b.Ako je p prost, tada iz p|a2 sledi p2|a2.

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Najveci zajednicki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d |a i d |b, a nijedan broj veci od d nema tu osobinu.Pišemo d = (a,b).Najmanji zajednicki sadržalac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i

b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Pišemo s = [a,b].

Ako je d = (a,b) tada 1 = ( ad ,

bd ).

(a,b)[a,b] = ab.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Ako je p prost, tada važi p|ab ⇒ p|a ∨ p|b.Ako je p prost, tada iz p|a2 sledi p2|a2.

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Najveci zajednicki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d |a i d |b, a nijedan broj veci od d nema tu osobinu.Pišemo d = (a,b).Najmanji zajednicki sadržalac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i

b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Pišemo s = [a,b].

Ako je d = (a,b) tada 1 = ( ad ,

bd ).

(a,b)[a,b] = ab.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Ako je p prost, tada važi p|ab ⇒ p|a ∨ p|b.Ako je p prost, tada iz p|a2 sledi p2|a2.

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Najveci zajednicki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d |a i d |b, a nijedan broj veci od d nema tu osobinu.Pišemo d = (a,b).Najmanji zajednicki sadržalac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i

b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Pišemo s = [a,b].

Ako je d = (a,b) tada 1 = ( ad ,

bd ).

(a,b)[a,b] = ab.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Kažemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a− b. Zapisujemo a ≡m b.

Neka je a ≡m b i c ≡m d . Tada je i: a± b ≡m c ± d , ac ≡m bd ,an ≡m bn.Ako je a ≡m1 b i a ≡m2 b, tada je a ≡[m1,m2] b.Kada iz ac ≡m bc smemo da zakljucimo a ≡m b?Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?Kriterijumi deljivosti.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Kažemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a− b. Zapisujemo a ≡m b.

Neka je a ≡m b i c ≡m d . Tada je i: a± b ≡m c ± d , ac ≡m bd ,an ≡m bn.Ako je a ≡m1 b i a ≡m2 b, tada je a ≡[m1,m2] b.Kada iz ac ≡m bc smemo da zakljucimo a ≡m b?Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?Kriterijumi deljivosti.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Kažemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a− b. Zapisujemo a ≡m b.

Neka je a ≡m b i c ≡m d . Tada je i: a± b ≡m c ± d , ac ≡m bd ,an ≡m bn.Ako je a ≡m1 b i a ≡m2 b, tada je a ≡[m1,m2] b.Kada iz ac ≡m bc smemo da zakljucimo a ≡m b?Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?Kriterijumi deljivosti.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Kažemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a− b. Zapisujemo a ≡m b.

Neka je a ≡m b i c ≡m d . Tada je i: a± b ≡m c ± d , ac ≡m bd ,an ≡m bn.Ako je a ≡m1 b i a ≡m2 b, tada je a ≡[m1,m2] b.Kada iz ac ≡m bc smemo da zakljucimo a ≡m b?Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?Kriterijumi deljivosti.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Kažemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a− b. Zapisujemo a ≡m b.

Neka je a ≡m b i c ≡m d . Tada je i: a± b ≡m c ± d , ac ≡m bd ,an ≡m bn.Ako je a ≡m1 b i a ≡m2 b, tada je a ≡[m1,m2] b.Kada iz ac ≡m bc smemo da zakljucimo a ≡m b?Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?Kriterijumi deljivosti.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Kažemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a− b. Zapisujemo a ≡m b.

Neka je a ≡m b i c ≡m d . Tada je i: a± b ≡m c ± d , ac ≡m bd ,an ≡m bn.Ako je a ≡m1 b i a ≡m2 b, tada je a ≡[m1,m2] b.Kada iz ac ≡m bc smemo da zakljucimo a ≡m b?Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?Kriterijumi deljivosti.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Neka je n prirodan broj veci od 1. Ako skup A ispunjava sledeca dva svojstva:1o Svaka dva razlicita elementa iz A imaju razlicit ostatak pri deljenju sa m;2o Za svaki prirodan broj postoji element skupa A koji daje isti istatak prideljenju sa m kao i taj broj,tada A nazivamo potpun sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Ako iz potpunog sistema ostataka po modulu m izbacimo sve brojeve koji nisuuzajamno prosti sa m, dobijamo redukovan sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Funkcija ϕ : N→ N koja svakom broju n pridruži broj brojeva manjih od n kojisu uzajamno prosti sa n, naziva se Ojlerova funkcija.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Neka je n prirodan broj veci od 1. Ako skup A ispunjava sledeca dva svojstva:1o Svaka dva razlicita elementa iz A imaju razlicit ostatak pri deljenju sa m;2o Za svaki prirodan broj postoji element skupa A koji daje isti istatak prideljenju sa m kao i taj broj,tada A nazivamo potpun sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Ako iz potpunog sistema ostataka po modulu m izbacimo sve brojeve koji nisuuzajamno prosti sa m, dobijamo redukovan sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Funkcija ϕ : N→ N koja svakom broju n pridruži broj brojeva manjih od n kojisu uzajamno prosti sa n, naziva se Ojlerova funkcija.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Definicija

Neka je n prirodan broj veci od 1. Ako skup A ispunjava sledeca dva svojstva:1o Svaka dva razlicita elementa iz A imaju razlicit ostatak pri deljenju sa m;2o Za svaki prirodan broj postoji element skupa A koji daje isti istatak prideljenju sa m kao i taj broj,tada A nazivamo potpun sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Ako iz potpunog sistema ostataka po modulu m izbacimo sve brojeve koji nisuuzajamno prosti sa m, dobijamo redukovan sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Funkcija ϕ : N→ N koja svakom broju n pridruži broj brojeva manjih od n kojisu uzajamno prosti sa n, naziva se Ojlerova funkcija.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

TeoremaNeka su a i m prirodni brojevi za koje je(a, m) = 1. Tada je

aϕ(m) ≡m 1.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Dokazati da za svaka tri prirodna broja a,b i c važi:

abc = [a,b, c](ab,bc, ca).

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Dokazati ili opovrgnuti tvrdenje: Za svaki prirodan broj n postoji nekibroj koji je deljiv sa n i ciji je zbir cifara n.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Naci sve parove prirodnih brojeva (a,n) tako da

n|(a + 1)n − an.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Neka je n prirodan broj. Ako je broj 1 + 2n + 4n prost, tada je n stepentrojke. Dokazati.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po moduluSistemi ostataka

Neka je a prirodan broj i neka je niz (xn) definisan na sledeci nacin:x1 = a i

xn+1 =

xn2 , ako je xn paran broj;

3xn+12 , ako je xn neparan broj

za svaki prirodan broj n. Dokazati da je bar jedan clan tog niza paranbroj.

Marko -Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva