P ARA INGRESANTES - frt.utn.edu.arfrt.utn.edu.ar/tecnoweb/imagenes/file/CUADERNILLOS 2015/CUADERNI… · 2 Cartilla de Ingreso 2015 Matematica Área de Carreras Cortas y Licenciaturas

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MATEMTICA APLICADA PARA INGRESANTES

TECNICATURA SUPERIOR EN HIGIENE Y SEGURIDAD EN EL TRABAJO.

TECNICATURA SUPERIOR EN MECATRONICA.

TECNICATURA SUPERIOR EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL.

TECNICATURA SUPERIOR EN PROGRAMACIN.

TECNICATURA SUPERIOR EN SEGURIDAD VIAL.

Ing. Walter Alberto Cseres

2015

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Cartilla de Ingreso 2015 Matematica

rea de Carreras Cortas y Licenciaturas

CONJUNTOS NUMRICOS

Nmeros Naturales y Enteros. Propiedades

Nmeros Racionales. Propiedades.

Nmeros Irracionales. Propiedades. Notacin cientfica

Nmeros Reales. Estructura algebraica

Nmeros complejos. Estructura algebraica

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Clasificacin de las expresiones algebraicas

Polinomios. Valor numrico. Cero de un Polinomio

Operaciones entre polinomios.

Regla de Ruffini y Teorema del Resto

Teorema del Factor y Teorema Fundamental del lgebra Factoreo

Expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones y Simplificacin

TRIGONOMETRIA

ngulos y Sistemas de medicin

Razones trigonomtricas

Resolucin de Tringulos Rectngulos

Circunferencia trigonomtrica

Relacin entre ngulos de distintos cuadrantes

Tringulos Oblicungulos. Teoremas del Seno y del Coseno

ECUACIONES

Clasificacin General

Ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Ecuaciones Cuadrticas

Ecuaciones Racionales e Irracionales

Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas

Sistemas Mixtos

Ecuaciones e Identidades Trigonomtricas

FUNCIONES

Conceptos preliminares

Producto Cartesiano y Relacin

Funcin. Conceptos generales

Funcin Constante

Funcin Lineal

Funcin Cuadrtica

Funciones definidas por tramos

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Smbolos matemticos de uso frecuente

Algunas letras del alfabeto griego

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CONJUNTOS NUMERICOS

Introduccin Un nmero es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un smbolo. El smbolo de un nmero recibe el nombre de numeral. Pensamos en nmeros cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc A lo largo de la historia cada civilizacin adopt un sistema de numeracin propio. En la actualidad an se usa, el sistema de numeracin romana, que se desarrollo en la antigua Roma y se utiliz en todo su imperio. Era un sistema de numeracin no posicional en el que se usan letras maysculas como smbolos para representar a los nmeros: I, V, X, L, C , D , M El sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el Sistema de Numeracin Decimal. Es un sistema de numeracin en el que las cantidades se representan utilizando como base el nmero diez, por lo que se compone de las cifras cero (0); uno(1): dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de smbolos se denomina nmeros rabes.

Objetivos

Definir a los conjuntos numricos

Distinguir entre racional e irracional, entre real y complejo

Recordar la aritmtica de los nmeros reales y complejos

Adquirir habilidad en la resolucin de situaciones problemtica Conceptos previos

Conceptos bsicos de lgica proposicional.

Teora de Conjuntos Los nmeros se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es ms completa y con mayores posibilidades en sus operaciones. Estn representadas en el siguiente mapa conceptual

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Definicin Los nmeros Naturales son los nmeros que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vacio Simblicamente: N = {1, 2, 3, 4, 5,....n, n+1,.....} Operaciones La suma y el producto de nmeros naturales son siempre naturales. En cambio la diferencia no siempre es otro natural. Simblicamente: Si a N y b N, entonces a + b N (a y b se llaman trminos o sumandos) Si a N y b N, entonces a . b N (a y b se llaman factores)

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NUMEROS ENTEROS

Para dar solucin al problema que se presenta al restar nmeros naturales donde el minuendo es igual o menor al sustraendo, se crearon otros nmeros que amplia al conjunto de nmeros naturales. Se agregan el nmero cero y los nmeros opuestos a los naturales De ese modo 3 3 = 0 y 3 7 = -4 Definicin El conjunto de los nmeros Enteros est formado por la unin de los naturales, el cero y los opuestos de los naturales Simblicamente se expresan Z= {...... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....} Los nmeros enteros permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc). En un grfico de conjuntos se aprecia claramente que

Se representa a los nmeros enteros en una recta graduada, donde se elige un punto arbitrario para representar al 0 (al cual le llamaremos origen) y se adopta un segmento como unidad y la convencin de que para la derecha estarn los nmeros enteros positivos (naturales) y para la izquierda estarn los enteros negativos (opuestos de los naturales).

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Operaciones en Z La suma y el producto de enteros es siempre otro entero.

La diferencia a b es considerada como la suma del minuendo ms el opuesto del sustraendo a b = a + ( -b ) donde a es el minuendo y b es el sustraendo

La divisin entre los enteros a y b, con b 0, arroja como resultados dos nmeros enteros llamados cociente (q) y resto) A ase le dice dividendo y a b se le dice divisor.

Caso particular: Si r = 0, entonces a = b.q

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Se dice que la divisin es exacta, que a es mltiplo de b, que a es divisible por b, que b es factor de a o que b es divide a a

La divisin por 0 no est definida. Ejemplos: 2: 0 y 0: 0 no existen!!!!!

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En el caso de tener expresiones algebraicas (expresiones que combinan nmeros y letras) puede aplicarse, de ser necesario, la definicin de potenciacin y as encontrar una expresin algebraica equivalente Productos notables Las siguientes expresiones resultan de aplicar la definicin de potenciacin y las propiedades de la suma y el producto. Reciben el nombre de productos notables

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NUMEROS RACIONALES Dividir es repartir en partes iguales!!! Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 52cartas. El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en el centro de la mesa. Cuntas cartas le corresponden a cada uno? Cuntas cartas quedan en el centro?Tu puedes deducir la respuesta!Y si se quiere repartir pero el dividendo es menor que el divisor? Por ejemplo Ejemplo: Juana quiere repartir 1 barra de chocolate entre sus 3 amigos. Entonces Juana da un tercio de chocolate a cada uno. Definicin Los Nmeros Racionales son los nmeros que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Esto es, los que se pueden expresar como fraccin. En smbolos

Los nmeros racionales representan partes de un todo Las partes sombreadas de los siguientes objetos estn representadas por nmeros Racionales

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Q es un conjunto denso Entre dos nmeros racionales hay infinitos nmeros racionales. Esta afirmacin podra justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio ser otro racional y estar comprendido entre ellos. Podramos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos nmeros racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por ms prximos que estn. Por ello decimos que Q es un conjunto denso

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NUMEROS IRRACIONALES Todos los nmeros racionales estn representados por puntos sobre la recta numrica pero, todos los puntos de la recta son representaciones de nmeros racionales? La respuesta es NO!!! Existen otros nmeros que junto a los racionales completan a la recta numrica. Ellos son los nmeros irracionales Definicin Los Nmeros Irracionales son los nmeros que no se pueden expresar como fraccin. En smbolos

Convertidos a la notacin decimal son nmeros con infinitas cifras no peridicas

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Operando con nmeros irracionales Las operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciacin de nmeros Irracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces los resultados son racionales!!

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Y si necesitramos expresar a los nmeros irracionales en forma decimal? Usamos las primeras cifras decimales. De ese modo se obtienen valores aproximados de los nmeros irracionales. Entonces siempre se comete un error al tomar la notacin decimal de un nmero irracional y el error cometido es menor que 1 unidad del orden de la ltima cifra conservada.

Racionalizacin Si las races aparecen en el denominador, en muchos casos es necesario eliminarla. A este proceso se lo conoce con el nombre de Racionalizacin de denominadores

Primer Caso: Un nico trmino con raz cuadrada en el denominador Se multiplica y divide por la raz presente en el denominador

Segundo Caso: Un nico trmino con raz mayor que 2 en el denominador Se multiplica y divide por la raz presente en el denominador elevada a un exponente conveniente

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Tercer Caso: En el denominador suma o resta de trminos que contienen races cuadradas. Se multiplica y divide por el conjugado del denominador

NUMEROS REALES Entre los racionales y los irracionales se completa la recta numrica. Es decir ya no queda ningn punto sobre la recta al que no le corresponda ya sea un nmero racional o un nmero irracional. Es por ello que se considera que si se unen los dos conjuntos, esto es, Racionales ms Irracionales se forma un nuevo conjunto Definicin El conjunto de los Nmeros Reales es la unin del conjunto de los Racionales al conjunto de los Irracionales. Simblicamente

A la recta numrica se le dice recta real pues en ella se representan a todos los nmeros reales y, viceversa, todo punto de la recta es la representacin de un real. El conjunto R tambin tiene la propiedad de ser denso. De acuerdo a la definicin se tiene el siguiente cuadro:

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En un diagrama de Venn, se observa la relacin entre los conjuntos

Notacin cientfica Cuando manejamos nmeros muy grandes o muy pequeos tenemos dificultad para interpretarlos y para introducirlos en algunas calculadoras. Es usual, para ellos, representarlos mediante notacin cientfica. Se dice que un nmero est expresado en notacin cientfica cuando se escribe como el producto de un nmero mayor que 1 y menor que 10, multiplicado por una potencia entera de diez.

El conjunto R tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo El conjunto R tiene estructura de Campo o Cuerpo pues las operaciones de suma y producto de nmeros reales cumplen los siguientes axiomas: Si x, y, z R, entonces: La suma y el producto son operaciones cerradas X + y R (x.y) R

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La suma y el producto son operaciones conmutativas x + y =y + x x.y = y.x La suma y el producto son operaciones asociativas (x+y) + z = x + (y+z) (x.y). z = x. (y.z) El producto es distributivo respecto a la suma x. (x+z) = x.y + x.z Existen nmeros reales que son neutros respecto de la suma y el producto 0 es el neutro respecto de la suma pues x+0 = x 1 es el neutro respecto del producto pues x.1 = x Todos los nmeros reales tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recproco x se dice inverso aditivo u opuesto de x 1/x se dice inverso multiplicativo o recproco de x

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Orden en el conjunto R R es un conjunto ordenado. Esto es, dados dos nmeros reales ha y b vale una y solo una de las siguientes afirmaciones a b o a = b Propiedades de la Igualdad en R 1) Si sumamos o multiplicamos a ambos miembros de una igualdad una misma constante se obtiene otra igualdad Si a = b, entonces a + c = b + c Si a = b, entonces a.c = b.c

2) Si sumamos o multiplicamos miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d

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Si a = b y c = d, entonces a. c = b. d

Propiedades de la desigualdad

1) Si a ambos miembros de una desigualdad se suma una misma constante , la desigualdad se mantiene

Si a < b, entonces a+c < b+c

2) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante positiva la desigualdad se mantiene Si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c

3) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante negativa la desigualdad cambia de sentido Si a < b y c < 0, entonces a.c>b.c

Intervalos A menudo se trabaja con subconjuntos de nmeros reales que representan semirrectas o segmentos de recta. La notacin de Intervalos es muy conveniente

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Modulo o Valor absoluto de un nmero real El valor absoluto o mdulo de un nmero mide la distancia desde el nmero al origen. Se denota con |a|.

Propiedades El valor absoluto de un nmero es siempre mayor o igual a cero |a| 0 Los nmeros opuestos tienen el mismo valor absoluto |a| = |-a| El valor absoluto es distributivo respecto del producto |a.b| = |a|.|b| El valor absoluto es distributivo respecto del cociente |a:b| = |a|:|b|

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La sptima operacin: Logaritmo de un nmero real Sea a, b R +, con b 1. Se define logaritmo del nmero a en base b a aquel nmero n que es el exponente necesario al que hay que elevar b para obtener a. Simblicamente:

a es llamado nmero logaritmado, b es llamado base del logaritmo y n valor del logaritmo.

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Propiedades del Logaritmo:

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NUMEROS COMPLEJOS Los nmeros complejos son combinaciones algebraicas de nmeros reales con nmeros imaginarios. Por qu surgen los nmeros imaginarios? Las races de ndice par de radicando negativo no tienen respuesta en R. Para dar solucin a este problema se crea el nmero j. Definicin:

Potencia ensima de la unidad imaginaria Si n N, al dividir n en 4 puede expresarse como n = 4. q + r, donde q es el cociente y r es el resto. Entonces 0 r < 4 y la potencia ensima de j se calculan como:

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Definicin Se define al conjunto de los Nmeros Complejos como C = { z / z = a + bj , a R y b R } a se dice componente real y b se dice componente imaginaria El conjunto C tambin tiene estructura de Campo, respecto de la suma y el producto

Las relaciones entre los conjuntos numricos estudiados se muestran en las siguientes Figuras:

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Todo nmero complejo est asociado a otros llamados opuesto y conjugado

Igualdad en C Dos nmeros complejos son iguales si y solo si sus componentes respectivas son iguales. Esto es: a + bj = c + dj ; a = c b = d

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Operaciones en c:

Propiedades del conjugado:

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Representacin grfica de los nmeros complejos Todo nmero complejo z = a+bj se representa en el plano mediante el punto (a,b). Sobre el eje horizontal se representa a la componente real del complejo, por lo que a este eje se lo llama eje real. Sobre el eje vertical se representa a la componente imaginaria y por ello se lo llama eje imaginario 0.

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C tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo El conjunto C tiene estructura algebraica de Campo respecto de las operaciones de Suma y Producto pues en l se cumplen las propiedades de:

z1 ,z2 ,z3 1 C La suma y el producto son operaciones cerradas

La suma y el producto son operaciones conmutativas

La suma y el producto son operaciones asociativas

El producto es distributivo respecto a la suma

Existen nmeros complejos que son neutros respecto de la suma y el producto 0 es el neutro respecto de la suma pues z + 0 = z 1 es el neutro respecto del producto pues z.1= z Todos los nmeros complejos tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recproco z se dice inverso aditivo u opuesto de z 1/z se dice inverso multiplicativo o recproco de z

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LOGICA MATEMATICA El razonamiento matemtico se apoya en la lgica, que trabaja con proposiciones. Una proposicin simple es cualquier afirmacin de la cual se pueda decir Verdadero o Falso, pero no ambos Ejemplo: Estamos en ao 2009 Es una proposicin Qu da es hoy? No es una proposicin A las proposiciones simples las denotamos con las letras p, q, r,..etc. Las proposiciones simples pueden generar otras proposiciones llamadas compuestas En ellas aparecen palabras llamadas conectivos lgicos. Tanto la notacin como su significado estn en la siguiente tabla:

Los valores de verdad de las nuevas proposiciones (p, pq, pq, pq, pq, pq) dependen de los valores de verdad de las proposiciones simples intervinientes. En particular:

Algunas proposiciones se refieren a conjuntos y hacen afirmaciones sobre la frecuencia con la que se cumple una caracterstica en el conjunto. Ejemplo: Todos los animales son cuadrpedos

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Algunos animales son carnvoros. Estas son frases que contienen cuantificadores: Todos y Algn/os Es muy frecuente expresarlos simblicamente, ms an cuando la frase se refiere a conjuntos numricos Sea A la caracterstica a la que se refiere la frase y sea x un individuo cualquiera del conjunto, las notaciones correspondientes figuran en la siguiente tabla_

TEORIA DE CONJUNTOS Un conjunto es cualquier coleccin (finita o infinita) de elementos de cualquier naturaleza. Todo conjunto est inmerso en otro conjunto llamado Universal Se denotan con letras maysculas y a sus elementos con minsculas. Es usual representarlos por medio de Diagramas de Venn. En el siguiente cuadro presentamos algunas Definiciones y su correspondiente notacin. Considere en los casos correspondientes dos Conjuntos Ay B.

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NMEROS PRIMOS. Sea n N, con n>1, n es primo si y solo si tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y n Los primeros nmeros primos son: 2 , 3 , 5 , 7 , 11, 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , etc. Todo nmero natural puede descomponerse como producto de factores primos Ejemplos: Expresar a 750, 480 y 1734 en su forma factoreada

Mximo Comn Divisor Dados dos nmeros enteros a y b. Al nmero que es divisor de ambos y es el mayor de todos los divisores comunes se le llama mximo comn divisor (mcd). El mcd(a,b) es igual al producto de todos los factores primos comunes entre a y b con su menor exponente Mnimo Comn Mltiplo Al nmero que es mltiplo de ambos y es el menor de todos los mltiplos comunes se le llama mnimo comn mltiplo (mcm). El mcm(a,b) es igual al producto de todos los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente Ejemplos

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS Introduccin Desde sus remotos orgenes arraigados en Egipto, Arabia y la India veinte siglos antes de nuestra era, el lgebra ha sido considerada un mtodo de expresin mediante frmulas que permiten simplificar los clculos numricos. En ese entonces los problemas algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera verbal. Los polinomios, se han aplicado recientemente en la transmisin de la informacin. Durante los ltimos aos, el trfico de datos por medio de las carreteras de la informacin ha crecido enormemente. Se pretende aumentar las velocidades de transmisin y conservar al mismo tiempo la integridad de los datos. Un mtodo desarrollado para tal fin es el PET (Transmisin Codificada con Prioridades). Con l la informacin se distribuye en diferentes paquetes. Esta distribucin se determina con base en polinomios. Objetivos generales

Conceptos previos

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MAPA CONCEPTUAL

EXPRECIONES ALGEBRAICAS Llamamos Expresin Algebraica Real a toda combinacin de letras y/o nmeros reales vinculados entre s por las operaciones de suma, resta, multiplicacin y potenciacin de exponente racional. Ejemplos:

A los nmeros intervinientes les llamamos coeficientes y a las letras variables

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Clasificacin de las Expresiones Algebraicas Segn las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en:

Las Expresiones Algebraicas Racionales Enteras, tambin llamadas Polinomios, son aquellas donde las variables estn afectadas por las operaciones de suma, resta, producto y potencia de exponente entero no negativo.

Las Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos una variable est afectada a un exponente entero negativo o figura en el denominador.

Las Expresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable est afectada a un exponente fraccionario o figura bajo un signo de radicacin.

TEORIA DE LOS POLINOMIOS Monomios Es toda expresin algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma y resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo trmino. Grado de un Monomio Es la suma de los exponentes de las letras (o variables) que contiene. Ejemplos:

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Monomios Semejantes Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplos:

POLINOMIO Un polinomio es la suma de dos o ms monomios. El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado que participa en l Casos particulares. Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios Ejemplos:

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Polinomio Homogneo Un polinomio se dice homogneo cuando todos sus trminos son del mismo grado. Ejemplos:

Si el polinomio es en la variable x se representa simblicamente como:

Donde: n Z, n 0 se llama grado del polinomio P y se escribe n = grP(x) ai R se denominan coeficientes del polinomio an 0 se denomina coeficiente principal y a0 se denomina trmino independiente Ejemplos:

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VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO

Ejemplo:

CERO DE UN POLINOMIO

Polinomio Ordenado Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus trminos estn dispuestos de modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer trmino hasta el ltimo. Ejemplos:

Polinomio Completo Un polinomio en una variable est completo cuando figuran todas las potencias de la variable menores al grado del polinomio. Ejemplos:

Si un polinomio est incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la variable que faltan con coeficiente cero. Ejemplo:

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Polinomio Nulo Llamamos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero Se escribe P(x) = 0 y se dice de l que no posee grado. Polinomio Opuesto

Esto es la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio Nulo Ejemplo:

Igualdad entre Polinomios Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los trminos semejantes son iguales. En smbolos:

Operaciones con Polinomios: La suma, producto y divisin de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones entre reales.

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Suma de Polinomios Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los trminos semejantes y se obtiene un polinomio de grado menor o igual al grado del polinomio de mayor grado. Resta de Polinomios Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo. Producto de polinomios Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de la potenciacin de potencias de igual base, se obtiene un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios intervinientes.

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Divisin de Polinomios Numricos: Divisin de monomios entre si El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados y la parte literal es el resultado de aplicar la propiedad de cocientes de potencias de la misma base. El resultado no siempre es un monomio. Ejemplos:

Divisin de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado no siempre es un polinomio Ejemplo:

Divisin de Polinomios entre si Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x) 0, tal que gr P(x) grQ(x) Entonces existen dos polinomios nicos C(x) y R(x) tales que: P(x) = Q(x).C(x) + R(x) con gr R(x) < grQ(x). Llamaremos a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, a C(x) cociente y a R(x) resto. Tambin puede expresarse:

Cuando R(x) = 0 la divisin es exacta por lo que P(x) = Q(x).C(x) y se dice que Q(x) es un factor de P(x) o que P(x) es divisible por Q(x). De ese modo se tendr que:

Algoritmo de la divisin Sean P(x) y Q(x) tal que grP(x) grQ(x). Para realizar la divisin P(x):Q(x) se procede del siguiente modo 1) Ordenar en forma decreciente a ambos. Completar al dividendo 2) Para calcular el 1 trmino del cociente, dividir el trmino de mayor grado de P(x) por el trmino de mayor grado del divisor 3) Luego se multiplica el trmino del cociente recin obtenido por todos los trminos del divisor y se coloca el resultado abajo de los trminos de P(x) que le sean semejantes. Luego se resta y se considera este resultado, un resto parcial, como el prximo dividendo 4) Se repiten los paso 2 y 3 5) Detener el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor.

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Caso particular Si grQ(x) = 1, entonces R = constante (polinomio de grado cero). En particular si Q(x) es de la forma Q(x) = x b, se puede aplicar un algoritmo ms sencillo que se conoce con el nombre de Regla de Ruffini. REGLA DE RUFFINI

Y un resto R que se obtienen con el siguiente algoritmo: 1 paso: En el primer rengln se colocan los coeficientes de P(x) ordenado y completo 2 paso: En el segundo rengln se coloca el valor b a la izquierda de los dems nmeros ya colocados 3 paso: En el tercer rengln se colocarn los coeficientes del cociente y el resto del siguiente modo:

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Teorema del Resto: Al dividir P(x) en (x b), el resto de la divisin es el valor numrico del polinomio P(x) particularizado para x = b. Esto es: R = P (b)

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Teorema del Factor Sea P(x) un polinomio de grado n y b una constante. Se dice que b es un cero de P(x) (x-b) es un factor de P(x) Esto es equivalente a afirmar que b es un cero de P(x) P(x) es divisible por (x b ) Observacin Si (x-b) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x) tal que P(x) = (x-b).C(x)

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Teorema Fundamental del Algebra

Teorema sobre el Numero Cero

Extensin de la Regla de Ruffini:

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Extensin del Teorema del Resto

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FACTOREO DE POLINOMIOS Factorear un polinomio es expresarlo como producto de polinomios primos. Caso particular

Entonces p(x) puede ser factoreado en la forma P( x ) = an ( x x1 ).( x x2 )( x xn ) Donde cada binomio de la forma (x xi) es un factor primo. Las estrategias de factoreo ms usadas son las siguientes: Factor comn Una expresin algebraica es factor comn de todos los trminos de un polinomio cuando aparece multiplicando en cada uno de esos trminos.

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Factor Comn en Grupo Una expresin algebraica puede no tener un nico factor comn en todos los trminos sino factores comunes distintos en cada grupo de trminos. Si luego de asociar convenientemente se puede extraer un nico factor comn habremos factoreado.

Diferencia de Cuadrados Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia de las bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas, es decir:

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Trinomio Cuadrado Perfecto

Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: i) Se busca a los cuadrados y se determina a sus bases ii) Se comprueba que el otro trmino sea el duplo de las bases de dichos cuadrados iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al cuadrado de una diferencia.

Cuatrinomio Cubo Perfecto

Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: i) Se busca a los cubos y se determina a sus bases ii) Se comprueba que los otros trminos sean el triple del cuadrado de una base por la otra base alternativamente

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iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cubo de una suma o al cubo de una diferencia

Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado

Estos polinomios se factorean usando la suma o diferencia de las bases segn sean.Todas las posibilidades se resumen en la siguiente tabla:

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EXPRECIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS Se llama expresin algebraica fraccionaria al cociente indicado entre dos polinomios, siempre que el denominador no sean ni el polinomio nulo ni polinomios constantes. Ejemplos:

Valor Numrico de una Expresin Algebraica Fraccionaria Se llama Valor Numrico de una expresin algebraica fraccionaria al nmero real que se obtiene al sustituir la variable por determinados valores. Ejemplo:

Pero la expresin no est definida para x = 2, dado que la divisin por cero no existe. Se llama Dominio (Dom) de una expresin algebraica real al conjunto de valores reales que le podemos asignar a las variables de modo que las operaciones en las que intervienen sean posibles en el conjunto de los Nmeros Reales.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES: Dos expresiones algebraicas se dicen iguales o equivalentes cuando tienen iguales valores numricos para cualquier sistema de valores asignados a sus letras. Simplificacin Simplificar una expresin algebraica racional fraccionaria significa dividir su numerador y denominador por un mismo factor. Cuando por sucesivas simplificaciones resultan el numerador y el denominador primos entre s, la expresin fraccionaria se dice reducida a su mnima expresin. Para facilitar el proceso de simplificacin se deben factorear numerador y denominador. Entonces las expresiones sern equivalentes cuando una expresin se ha obtenido de otra tras un proceso de simplificacin y esto ser vlido en el dominio de la expresin de partida.

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Ejemplo:

Operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias Se procede del mismo modo que entre nmeros fraccionarios. Suma algebraica 1 paso: Factorear todos los denominadores e indicar el dominio de la expresin 2 paso: Calcular el mcm entre los denominadores 3 paso: Aplicar el mismo algoritmo que la suma entre nmeros fraccionarios

Producto de expresiones algebraicas fraccionarias 1 paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresin 2 paso: Aplicar el mismo algoritmo que entre nmeros fraccionarios, simplificando si es posible

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Divisin de expresiones algebraicas fraccionarias 1 paso: considerar al cociente como el producto del dividendo por el inverso del divisor. 2 paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresin 3 paso: Aplicar el algoritmo del producto entre nmeros fraccionarios, simplificando si es posible.

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APANDICE Expresiones algebraicas enteras primas y compuestas Una expresin algebraica se dice prima cuando slo es divisible por si misma y la unidad. Es decir no puede factorearse en el conjunto de las expresiones algebraicas con coeficientes reales. En cambio una expresin algebraica que admite otros divisores distintos de la unidad y de si misma se llama compuesta

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El mximo comn divisor (mcd) de dos o ms expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Se denota con mcd [A, B], donde A y B son las expresiones algebraicas consideradas. El mnimo comn mltiplo (mcm) de dos o ms expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

TRIGONOMETRA Introduccin La palabra TRIGONOMETRIA proviene del griego Trigonom: triangulo y Metrom: medida. Entonces significa MEDIDA DE TRIANGULOS. Desde sus orgenes, la TRIGONOMETRIA estudia: las relaciones entre los lados y los ngulos del triangulo.

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Como astambin las propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonomtricas de ngulos. El estudio del tema abarca: - Trigonometra Plana, que se ocupa de tringulos contenidos en el plano.

Trigonometra Esfrica, que se ocupa de tringulos que forman parte de la superficie de una esfera.

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En la vida diaria .empleamos trigonometra? Con frecuencia nos encontramos con situaciones como: - determinar a que distancia del piso esta la ventana de un edificio. - determinar la altura de un muro - determinar el peso que soportan los tirantes . de lacubierta

- calcular la resultante de un sistema de fuerzas

En todos los casos, para dar solucin a las situaciones planteadas, aplicamos

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TRIGONOMETRA Entonces:

En esta oportunidad vamos a encarar el tratamiento del tema TRIGONOMETRA PLANA. Objetivos

Conceptos previos

ANGULOS ngulo plano es la porcin de plano determinada por la rotacin de una semirrecta desde una posicin inicial hasta una posicin final. El origen de la semirrecta es llamado vrtice del ngulo.

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Sea O el origen de la semirrecta y sean P y Q dos puntos cualesquiera de la semirrecta en posicin inicial y final respectivamente. Denotaremos con Q O P al ngulo, o con cualquier letra griega, por ejemplo , O al vrtice y OP y OQ a las semirrectas inicial y final respectivamente. La medida del ngulo Q O P es la cantidad de rotacin, respecto al vrtice requerida para mover la semirrecta OP sobre la semirrecta OQ en sentido contrario a las agujas del reloj. Es en definitiva cuanto se abre el ngulo.

ngulos especiales

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Sistemas de medicin Sistema Sexagesimal Unidad: Grado sexagesimal Ej.: 30 20' 35'' Sistema Circular Unidad: Radian Ej.: 2 rad. Sistema Centesimal Unidad: Grado centesimal Ej.: 100c Los sistemas de medicin de ngulos mas usados son Sexagesimal y Circular. Sistema Sexagesimal La unidad es el grado, que es la 180 ava parte de un ngulo llano giro. Los submltiplos son: minutos y segundos que a su vez son 60 avas partes de su anterior.

De la definicin se deduce que:

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Conversin de un ngulo en grados minutos y segundos a grados y viceversa

Sistema Circular y Longitud de Arco En el sistema Circular o Radial la unidad de medida es el radian. Para precisarlo recordemos que todo ngulo con vrtice en el centro de cualquier circunferencia determina un arco sobre la misma. Llamemos al ngulo, r al radio de la circunferencia y s al arco determinado por el ngulo.

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Se define al ngulo de 1 radian como el ngulo que determina un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Para medir cualquier otro ngulo, usando como unidad de medida el radian, se debe contar la cantidad de veces que el arco determinado en la circunferencia lo contiene al radio de la circunferencia.

En este caso el arco determinado por contiene 3 radios entonces diremos que = 3 radianes = 3 rad.

Responde: .Si consideramos otra circunferencia con el mismo centro, la medida del ngulo cambia? El sistema Circular es el que se trabaja generalmente en la prctica ya que permite operar con los nmeros Reales abstractos. Podemos dar el valor de los ngulos medidos en radianes usando la abreviatura rad o no

Relacin entre arco, radio y ngulo En una circunferencia de radio r, la longitud s de un arco que subtiende un ngulo central de radianes es:

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Relaciones de equivalencias entre los dos sistemas De la definicin de radian y de grado se desprende que:

Para realizar equivalencias entre los sistemas usamos proporcionalidad directa:

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De este modo se deducen los siguientes valores, tambin muy frecuentes:

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RAZONES TRIGONOMTRICAS Antes de definir a las seis razones trigonomtricas vamos a nombrar los elementos de un triangulo rectngulo.

Se define RAZONES TRIGONOMTRICAS de un ngulo agudo en un triangulo rectngulo a los siguientes cocientes:

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De la definicin se desprende que:

Dado que la hipotenusa es siempre mayor que cualquiera de los catetos se desprende que, en un triangulo rectngulo, para cualquiera de sus ngulos agudos se cumple que:

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APLICACIN DE TRIGONOMETRA EN TRINGULOS RECTNGULOS Otro de los conceptos que aplicamos para dar solucin a las situaciones planteadas es elde ANGULO DE ELEVACION Y ANGULO DE DEPRESION.

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Resolucin de Tringulos Rectngulos

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Considerando un sistema de ejes cartesianos, es posible representar cada una de las razones trigonomtricas por medio de segmentos. Para ello se considera una circunferencia de radio unidad centrado en el origen de coordenadas, llamada circunferencia trigonomtrica. En ella podremos analizar que sucede con los valores de las razones trigonomtricas cuando el valor del ngulo est comprendido entre 0o y 360o (0 a 2 rad). De este modo podremos resolver situaciones problemticas que son modeladas por tringulos oblicuos. Considere un ngulo, , con vrtice en el origen de coordenadas, el lado fijo sobre el eje de las abscisas y el lado mvil en el primer cuadrante. Sea P(x, y) un punto sobre la circunferencia determinado por la interseccin del lado mvil del ngulo con la circunferencia.

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La proyeccin del punto P sobre el eje x, determina el punto Q. El triangulo POQ es un triangulo rectngulo con catetos de longitudes x e y. Por ala definicin se tiene que:

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS Los signos de las razones trigonomtricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas del punto P, y estas coordenadas tendrn distintos signos segn en qu cuadrante este ubicado P.

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VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS NOTABLES.

RELACIONES TRIGONOMTRICAS A partir de los resultados anteriores y aplicando el Teorema de Pitgoras en el triangulo POQ se tiene que:

de lo que se deduce que: Llamada RELACION FUNDAMENTAL O RELACION PITAGORICA. Y como:

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Se tiene que:

Adems a partir de la relacin (1) podemos deducir otras relaciones.

Si en la expresin (1) dividimos ambos miembros por sen2 se tendr que:

Si en la expresin (1) dividimos ambos miembros por cos2 se tendr que:

Entonces se tienen las siguientes relaciones:

APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS Problema Directo: A partir de un determinado ngulo , determinar el valor de las razones trigonomtricas. Ejemplo: Si = 2030 determine el valor del sen La calculadora debe estar preparada para trabajar en sistema sexagesimal (DEG) Sen 20 30= 0,35 Problema Inverso: Conocido el valor de una razn trigonomtrica, queremos calcular el valor del ngulo. Con frecuencia se nos presenta el problema de determinar los ngulos

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de un triangulo conocidos los lados del mismo, tal como se plantea en la siguiente situacin.

El estudio que sigue se basa en la simetra de los puntos de los distintos cuadrantes, respecto a los ejes de coordenadas y al centro. Relacin entre ngulos del 1 y 2 cuadrante Sea un ngulo del 1o cuadrante, entonces existe del 2 cuadrante llamado Suplementario a . Esto es = 180o- , y se tendr que:

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Relacin entre ngulos del 1 y 3 cuadrante Sea un ngulo del 1o cuadrante, entonces existe en el 3 cuadrante tal que

= 180+ y se tendr que:

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Relacin entre ngulos del 1 y 4 cuadrante Sea un ngulo del 1o cuadrante, entonces existe en el 4 cuadrante tal que

=360 y se tendr que:

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Para la resolucin de estos tringulos se emplean los siguientes teoremas: Teorema del Seno En cualquier triangulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos correspondientes

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Teorema del Coseno En cualquier triangulo ABC se tiene:

En forma directa se emplea cuando se conocen dos lados y el ngulo comprendido pero tambin puede usarse en el caso indirecto cuando se conocen los tres lados y se desean calcular los ngulos del triangulo.

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Una aplicacin del teorema del coseno es la formula de Heron:

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APENDICE Para resolver la situacin planteada al inicio del capitulo, como tantas otras que se presentan en la vida diaria, vamos a repasar algunos conceptos.

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NGULOS INTERIORES DE UN POLGONO

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TEOREMA DE PITAGORAS

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TEOREMA DE TALES

Como consecuencia del teorema de Tales se puede enunciar el teorema fundamental de SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Toda paralela a uno de los lados de un triangulo, divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triangulo semejante al primero.

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ECUACIONES Introduccin En casi todas las ramas de la Matemtica las ecuaciones aparecen como protagonistas centrales pues ellas permiten describir en forma exacta y sencilla la situacin problemtica o el fenmeno del que se est hablando. En esta Unidad nos limitaremos a rever todos los tipos de ecuaciones y los mtodos de resolucin vistos en la escuela secundaria, preparndolos para poder enfrentar los temas de mayor complejidad en los que aparecern otros tipos de ecuaciones definidos en nuevos conjuntos. Un ejemplo de ello son las ecuaciones matriciales, las que no se podran resolver si no se manejan las ecuaciones sencillas y los mtodos ms simples de clculo. Objetivos

Conceptos previos

Una ecuacin es una igualdad donde figuran una o ms incgnitas. Resolver una ecuacin es encontrar el o los valores de las incgnitas que verifican la igualdad. A dichos valores se les llama races o soluciones de la ecuacin. Ejemplos:

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Clasificacin de las ecuaciones de acuerdo a las soluciones De acuerdo a las soluciones las ecuaciones se clasifican en:

Clasificacin de las ecuaciones de acuerdo a las expresiones El siguiente cuadro representa la clasificacin de las ecuaciones, correspondindose exactamente con la clasificacin de las expresiones A su vez se dan ejemplos de las que se ver en este curso.

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Una ecuacin algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que intervienen una o varias incgnitas. Los miembros de una ecuacin son las expresiones que estn a ambos lados del signo igual. As, se llama primer miembro a la de la izquierda y segundo miembro al de la derecha. Ejemplo:

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Un valor es solucin si se verifica ala ecuacin. Esto es, si se sustituyen las soluciones en lugar de la/s incgnitas, convierten ala ecuacin en identidad. Ejemplo:

Se llama as al proceso de hallar la/las solucin/es de una ecuacin. Para resolverla se transforma la ecuacin dada, aplicando propiedades, en una ecuacin equivalente de la forma x = K, cuya solucin es inmediata. La ecuacin equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuacin original.

5X + 2 = -3X2 + 4

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Propiedades que se aplican en la resolucin de una ecuacin 1) Propiedad simtrica: Los miembros de una igualdad pueden conmutarse entre si Esto es: Si a = b entonces b = a Se aplica esta propiedad para que la incgnita aparezca en el 1er miembro de la ecuacin. Ejemplo: si -3 =2 - 5y 2 - 5y = - 3 2) Propiedad uniforme para la suma: Si se suma una constante, positiva o negativa, a ambos miembros de una igualdad, la misma se mantiene. Esto es: Si a = b, entonces a + c = b + c Se usa cuando se quiere eliminar un trmino de un miembro de la ecuacin, posteriormente se aplica el axioma de los elementos opuestos Ejemplo: Si 2x + 3 = - 1 2x + 3 - 3 = - 1 - 3 2x = - 4 3) Propiedad cancelativa para la suma: Si una constante, positiva o negativa, esta sumando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse Esto es: Si a + c = b + c, entonces a = b

4) Propiedad uniforme para el producto: Si se multiplica una constante no nula, positiva o negativa, a ambos miembros de una ecuacin, se mantiene la igualdad. Esto es: Si a = b y c 0, entonces a.c = b.c Se usa cuando se quiere eliminar un factor de un miembro de la ecuacin, posteriormente se aplica el axioma de los elementos recprocos

5) Propiedad cancelativa para el producto: Si una constante no nula, positiva o negativa, est multiplicando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse Esto es: Si a.c = b.c con c0, entonces a = b

1) Si los dos miembros de una ecuacin se elevan a una misma potencia o se les extrae una misma raz, siempre que este definida, la igualdad subsiste. Se aplica cuando se quiera eliminar una potencia o un radical de algn miembro de una ecuacin:

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Una ecuacin lineal real en una variable es una ecuacin de la forma ax+b= 0 donde a y b, coeficientes de la ecuacin, son nmeros reales y x es la variable. Toda ecuacin real de primer grado en una incgnita tiene exactamente una raz real. Ejemplo:

A una ecuacin lineal en una variable ax+b= 0 le podemos asociar una ecuacin lineal en dos variables y = ax+b. Dicha ecuacin representa geomtricamente una recta en el plano.

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Si hacemos y = 0 en esa ecuacin se obtiene la ecuacin en 1o grado en una variable ax+b= 0. Entonces la raz de la ecuacin ax+b= 0 representa la abscisa del punto donde la recta y = ax+b intercepta al eje X. Ejemplo: La ecuacion3x - 12 = 0 tiene por raz x = 4 La grafica de la ecuacin y = 3x - 12 intercepta el eje X en (4 , 0 )

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RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

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RESOLUCION DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO* Plantear una ecuacin significa expresar en smbolos matemticos una condicin formulada con palabras; es una traduccin de un lenguaje corriente al lenguaje de las frmulas matemticas. Las dificultades que podamos tener al plantear ecuaciones son dificultades de traduccin. En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condicin. En segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las formas de expresin matemtica. George Polya Como expresar lenguaje Matemtico consignas dadas en lenguaje Coloquial?

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Se denomina as a la consideracin simultnea de dos ecuaciones de primer grado con dos incgnitas.

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SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar, si existen, el o los puntos en comn que posean las rectas que intervienen en el sistema. Llamamos conjunto solucin al conjunto de pares ordenados que verifican a todas las ecuaciones a la vez. Un sistema de Ecuaciones Lineales puede tener:

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Son muy usados los mtodos que a continuacin se describen para resolver, analticamente, sistemas de ecuaciones: Ellos son: mtodo de sustitucin, mtodo de igualacin, mtodo de reduccin y el mtodo por determinantes Mtodo de Sustitucin Consiste en despejar una de las incgnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresin en la otra, la cual se transformara en una ecuacin con una sola incgnita la cual se puede resolver. Una vez determinado el valor de dicha incgnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra al reemplazarlo en la expresin donde ella se encuentra despejada.

Mtodo de Igualacin El mtodo de igualacin consiste en despejar la misma incgnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo as una ecuacin con una incgnita. Una vez resuelta se obtiene fcilmente el valor de la otra incgnita.

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Mtodo de Reduccin Consiste en lograr que una de las incgnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incgnita, dando lugar a una ecuacin con solo la otra incgnita. Se resuelve dicha ecuacin y el valor de la incgnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incgnita.

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Mtodo por Determinantes

Se trabaja solamente con los coeficientes de las incgnitas y se forman los siguientes determinantes:

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Calculo de las soluciones:

Anlisis del determinante del sistema:

Valor de un determinante: El valor del determinante de segundo orden se encuentra por medio de la siguiente regla:

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Races o soluciones Toda ecuacin de 2 grado tiene exactamente dos races complejas. Ecuaciones cuadrticas en una y dos variables

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Caso 1: Ecuaciones incompletas Llamamos ecuacin incompleta de 2 grado a aquella donde b = 0 o c = 0 En los casos donde b = 0 se llega al valor de x con solo despejar

En los casos donde c = 0 se llega al valor de x factoreando

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Caso 2: Ecuaciones completas

- mtodo de completar cuadrados - por medio de la formula general - usando las propiedades de las races METODO DE COMPLETAR CUADRADOS Este mtodo consiste en convertir a una expresin que posee un trmino cuadrtico y uno lineal, como mnimo, en una expresin que contenga un trinomio cuadrado perfecto y que posteriormente se podr factorear Ejemplo:

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- Queda formado un trinomio cuadrado perfecto donde x puede despejarse de dos modos distintos

CALCULO DE LAS RAICES POR LA FORMULA de BHASKARA

que se emplea para determinar las races de la ecuacin. En esta frmula se observa que las soluciones dependen del signo del radicando presente en la misma.

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NATURALEZA DE LAS RAICES

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Usando las propiedades de las races se puede factorear el polinomio cuadrtico como as tambin encontrar las races en caso de ser desconocidas.

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Esto nos permite factorear el trinomio presente en el primer miembro de la ecuacin, los que sean cuadrados perfectos y los que no

Esta propiedad se aplica para la resolucin de las ecuaciones de manera mental, buscando dos nmeros que sumen b y que multiplicados arrojen el resultado c

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APLICACIONES

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Se llaman as a las ecuaciones poli nmicas de 4que presentan la siguiente forma:

Este tipo de ecuaciones, como cualquier ecuacin polinmicas de 4 grado, tiene exactamente cuatro races, que pueden ser todas reales, dos reales y dos complejas, o todas complejas.

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Son todas las ecuaciones donde las incgnitas aparecen al menos una vez bajo el signo de radicacin. La resolucin se basa en la aplicacin de las propiedades de las operaciones de los nmeros reales, especialmente las de la radicacin y/o potenciacin.

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Las ecuaciones exponenciales ms sencillas son de la forma

Para resolver ecuaciones exponenciales, en algunas oportunidades se puede aplicar propiedades de la potenciacin, pero en todos los casos se puede aplicar las propiedades de los logaritmos. Ambas se detallan a continuacin Propiedades: Igualdad entre potencias de la misma base: Si dos potencias con la misma base son iguales, entonces los exponentes tambin deben serlo:

Propiedad uniforme del logaritmo: si en una igualdad se aplica logaritmo de la misma base miembro a miembro, la igualdad se mantiene

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Las ecuaciones logartmicas ms sencillas presentan la forma:

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Un sistema de ecuaciones exponenciales (o logartmicas) es un conjunto de ecuaciones exponenciales (o logartmicas) cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Tambin pueden presentarse sistemas de ecuaciones mixtos, o sea sistemas integrados por ecuaciones exponenciales, logartmicas y/o algebraicas.

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Las identidades trigonomtricas son igualdades que involucran relaciones trigonomtricas, verificables para cualquier valor permitido de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ngulos sobre los que se aplican las relaciones). Estas identidades son tiles para: - simplificar expresiones que incluyen funciones trigonomtricas - en el clculo de integrales de funciones no-trigonomtricas Las identidades ms importantes son las siguientes:

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Dichas identidades sirven para probar otras. El mtodo de demostracin ms usual consiste en partir de un miembro de la igualdad y llegar al otro miembro.

Resolver una ecuacin trigonomtrica en el intervalo [0 , 2 ] es encontrar todos los Las ecuaciones trigonomtricas son aquellas donde la/s incgnitas son ngulos. ngulos menores o iguales a un giro que verifican la ecuacin. Las estrategias a emplear son diversas. La eleccin del mtodo depende de la ecuacin en s. A continuacin damos ejemplos de algunos casos tpicos

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a) Ecuaciones que se puede expresar usando una nica razn trigonomtrica

b) Ecuaciones que se pueden resolver como una ecuacin cuadrtica

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c) Ecuaciones que se pueden resolver factoreando

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FUNCIONES Introduccin Uno de los conceptos matemticos ms tiles es el de funcin. A estas alturas el estudiante ya est familiarizado con ellas. El propsito de este captulo es repasar las definiciones y caractersticas de las funciones matemticas ms elementales y resaltar su importancia debido a las aplicaciones en las ciencias. Ejemplos: 1) En la factura de energa elctrica se prev el pago de $26 por concepto de impuestos y $2,50 por cada KWh consumido. Cunto se debe pagar si se consumen 320KWh? Esta es una correspondencia entre el consumo de energa elctrica (en KWh) y el costo (en $) 2) Ramiro conduce su automvil a una velocidad constante de 1.000 m/min. Cul es el espacio recorrido por el mvil al cabo de 10 minutos? En este ejemplo se hace corresponder al espacio (en m) recorrido por el mvil con el tiempo (en min) transcurrido. 3) Un compaa de telfono posee el nmero gratuito 0800737842467 que corresponde a 0800SERVICIOS. Otro de sus telfonos disponibles es 080025436837 que es fcil de recordar pues corresponde a 0800CLIENTES. Qu nmero habr que marcar para comunicarse con 0800VENTAS? Qu palabra corresponder a 08002667727? Esta es una correspondencia entre nmeros y letras. Objetivos generales

Conceptos previos

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Par ordenado Se llama par ordenado de nmeros reales a dos nmeros reales dados en un cierto orden. Notacin: Al par ordenado formado por los nmeros x e y , en ese orden, se lo representa entre parntesis: ( x , y ) Se dice que x es la primera componente e y es la segunda componente Se representan en un sistema de ejes formado por dos rectas perpendiculares. Dichos ejes reciben el nombre de ejes coordenados Es usual disponer los valores de x en el eje horizontal y los valores de y en el eje vertical. Al punto de interseccin le llamamos origen de coordenadas. Cada par ordenado est representado por un punto del plano y recprocamente, cada punto del plano tiene coordenadas que se representan por un par ordenado. Notacin: Los puntos se suelen representar con letras maysculas seguidos del par ordenado formado por sus coordenadas. Ejemplos: A(-1, 2) ; B(3,0) Para ubicar un punto en el plano conocidas sus coordenadas se deben seguir los siguientes pasos 1) A partir del origen de coordenadas desplazarse sobre el eje horizontal tantas unidades como indique la 1o componente (hacia la derecha si es positiva y hacia la izquierda si es negativa). Este dato es la abscisa del punto. Si su valor es cero significa que el punto pertenece al eje Y 2) A partir de all, marcamos hacia arriba (si es positivo) o hacia abajo (si es negativo) el valor de la 2 componente del par. Este dato es la ordenada del punto. Si su valor es 0 (cero) no desplazarse. Si su valor es cero significa que el punto pertenece al eje X 3) Queda as ubicado el punto A(x,y) en el plano.

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Producto Cartesiano Sean dos conjuntos A y B. Se define Producto Cartesiano A x B como: A x B = {( x , y) / x A e y B } Esto es, el producto cartesiano AxB est formado por todos los pares ordenados que se pueden formar de tal modo que la 1 componente pertenece a A y la 2 componente pertenece a B. Si los conjuntos son finitos, el resultado de A x B se podr enumerar, en caso contrario solo se podr representar de modo general

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A las correspondencias entre los elementos de dos conjuntos las llamamos Relaciones Binarias

Dados dos conjuntos A y B se dice que R es una relacin entre A y B si es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

En smbolos RAXB

Caso particular A = B =

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En esta oportunidad vamos a recordar el tema de funciones definidas en R.

En los dos primeros ejemplos se vinculan cantidades fijas y cantidades a determinar. A las primeras llamaremos constantes y a las segundas variables. A su vez en cada uno de los problemas consideramos dos variables, consumo de energa y monto a pagar; espacio recorrido y tiempo trascurrido. En el primer caso observe que el monto a pagar depende de la energa consumida. Diremos que el monto a pagar es la variable dependiente y el consumo de energa es la variable independiente. Del mismo modo es claro que, en el caso del vehculo que se desplaza a una velocidad constante, el espacio recorrido depender del tiempo transcurrido. La variable dependiente ser el espacio recorrido y la variable independiente ser el tiempo transcurrido. Vemos que en estos problemas podemos responder a las preguntas porque cada valor de la variable independiente le corresponde un nico valor de la variable independiente. Sin embargo, en el ltimo ejemplo esto no sucede. Si las variables son nmeros y letras del teclado del telfono se ve claramente que a cada nmero le corresponde ms de una letra, por lo que no podemos responder a la segunda de las preguntas. Analizaremos solo aquellas relaciones que hacen corresponder a cada valor de la variable independiente con un nico valor de la variable dependiente. Conceptos generales Definicin: Dados dos conjuntos no vacios A y B, se llama FUNCIN de A en B a una correspondencia tal que a cada elemento del conjunto A le asigna un nico elemento del conjunto B.

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Notacin: Es usual designar con x a cualquier elemento del conjunto de partida y con y a cualquier elemento del conjunto de llegada. Se dice que x es la variable independiente y que y es la variable dependiente A las funciones se les llama f, g, h, etc y se indica f : A B o f : y = f(x) Esta ultima notacin se lee y es funcin de x o y es imagen de x por medio de f Si A y B son subconjuntos de nmeros reales se dice que las funciones son FUNCIONES ESCALARES o NUMERICAS

En diagramas de Venn, la identificacin de las funciones es sencilla

El caso a) no es funcin pues se observa que hay un elemento de A a quien le corresponde dos elementos de B. Pero los casos b) y c) si lo son pues cumplen la definicin Dominio y Rango de una funcin: Sea y = f(x) una funcin Llamamos Dominio de f (Dom f) al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente Llamamos Rango de f (Rgo f) al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente

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En cuanto a las funciones expresadas por frmulas se distinguen dos formas: Forma explicita Se dice que una funcin est en su forma explcita cuando las variables x e y, estn relacionadas por una ecuacin de la forma: y = f(x). Ejemplo: y = 2x Forma implcita Se dice que una funcin est en su forma implcita cuando las variables x e y, estn relacionadas por una ecuacin de la forma F(x, y) = 0 Ejemplo: 3x + y - 5 = 0 En cuantos a las funciones expresadas en notacin de conjuntos se distinguen dos formas: Por enumeracin o extensin: Cuando se enumeran todos los pares de valores relacionados por medio de la funcin Ejemplo: f {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)} Por propiedad o comprensin: Cuando se indica mediante una formula la propiedad que cumplen los pares (x,y) Ejemplo: f {(x, y)/ y = 2x} En cuantos a las funciones dadas por tablas Estas son prcticas si son pocos los datos; de lo contrario serian tablas muy grandes y difciles de manejar a menos que se disponga de un programa informtico para graficar.

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Respecto de las formas grficas Se pueden representar por medio de Diagramas de Venn y Grficos cartesianos La grafica en diagramas de Venn sera posible pues son pocos los valores, de lo contrario no es una representacin prctica

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Si toda recta vertical corta a la grafica de una relacin en uno y solo un punto, entonces la relacin es funcin.

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En distintas circunstancias se hace necesario conocer la interseccin de la grafica de f con los ejes coordenados.

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Interseccin con el eje de las abscisas: Ceros de la funcin Son los puntos de la forma P(x; 0) de la grafica. Pueden o no existir. A los valores de x que satisfacen esta condicin se les llama ceros de la funcin Entonces surge la siguiente definicin: x = a es un cero de f si y solo si f(a) = 0 Interseccin con el eje de las ordenadas: f(0) Es el punto Q(0 ; y) de la grafica. Puede o no existir. Al valor de y que satisface esta condicin se le llama f(0) (se lee f de cero.

Se dice que la funcin y=f(x) es creciente en el intervalo (a, b) si se cumple que:

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Se dice que una funcin y= f(x) es decreciente en el intervalo (a, b) si se cumple que:

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Se dice que la funcin f alcanza un mximo absoluto en el punto a del dominio si para todo x perteneciente al mismo, x a, la imagen de x es menor que la de a. Simblicamente escribimos:

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En el curso de nivelacin para ingresar a la Universidad Tecnolgica Nacional, Facultad Regional Tucumn, consideramos pertinente repasar en particular a las siguientes:

Funciones Algebraicas Racionales Enteras (o polinomiales)

Funcin constante

Funcin lineal

Funcin cuadrtica

Funciones definidas por tramos

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- Se observa que si x = 0, entonces y = b. Por lo tanto la grafica pasa por el punto (0,b) . Se deduce que b es la ordenada del punto donde la recta corta el eje Y, por ello el nombre de ordenada al origen

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- Observando la siguiente tabla de valores se deduce que cada vez que a x se le aumenta una unidad, y varia m unidades. Esto es, m representa la variacin (aumento o disminucin) de la variable dependiente por cada unidad que aumenta la variable independiente. A m se le llama pendiente, dado que est relacionada con la inclinacin de la recta.

Al nico cero de la funcin lineal, se le llama abscisa al origen y se le representa con la letra a .Se deduce que a es la abscisa del punto (a,0).

La recta, representacin grafica de la funcin lineal, se puede obtener mediante dos procedimientos: i) Conociendo P1 y P2, puntos de paso: Dado que por dos puntos pasa una nica recta, se puede obtener las coordenadas de dos puntos de paso y con ellos trazar la recta ii) Conociendo b y m: Dado que la ordenada al origen informa sobre un punto de paso y la pendiente informa sobre la variacin de y, se puede trazar la recta Conociendo dos puntos de paso Ejemplo:

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Conociendo la ordenada al origen y la pendiente Ejemplos:

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Importancia de la pendiente Las siguientes rectas tienen la misma ordenada al origen pero distintas pendientes.

Sus graficas se presentan en el mismo sistema de ejes coordenados

Se observa que:

Todas pasan por el punto (3 , 0 ) pues poseen la misma ordenada al origen Las rectas de pendientes positivas representan a funciones crecientes. Las rectas de pendientes negativas representan a funciones decrecientes. Cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente mayor es la velocidad con la que

la funcin crece o decrece, segn corresponda.

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La representacin grafica de este clculo es

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Ejemplo:

Ejemplo Decir si las siguientes ecuaciones corresponden a rectas paralelas, coincidentes o perpendiculares. Justifique.

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Respuesta: Para ello expresamos las ecuaciones en forma explicitas para determinar la pendiente y la ordenada al origen

Cuando se estudio el tema Sistema de Ecuaciones se realizo la resolucin analtica del mismo. En esa oportunidad se aplicaron distintos mtodos para determinar la solucin, pero se dijo que haba tambin una forma de resolucin llamada mtodo grafico. Todo sistema de ecuaciones lineales est formado por las ecuaciones de dos funciones lineales, que expresados en forma implcita seria:

Cada una de las funciones lineales tiene por representacin grafica una recta. Entonces de acuerdo al valor de los parmetros m y b, puede analizarse si las rectas se interceptan o no, esto es, si el sistema es compatible o incompatible y, en el caso de compatibilidad, si es determinado o indeterminado Los casos que pueden presentarse son:

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Para resolver grficamente un sistema se debe analizar los valores de m y b y graficar. A veces se encuentra la solucin en forma grafica fcilmente pero otras veces solo se puede llegar a valores aproximados.

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APLICACIONES 1) Una empresa dedicada al alquiler de automviles quiere encontrar una funcin que les permita saber el precio del alquiler de los vehculos de acuerdo a los km recorridos. Cobra $50 por el contrato del servicio y $2,50 por cada km recorrido. a) .Cuales son las variables intervinientes? .Que tipo de funcin es? Que formula debern programar? b) .Cuanto deber pagar un cliente que hace un viaje desde San Miguel de Tucumn a San Pedro de Colalao? (distante aproximadamente 100km) c) .Cuantos km puede recorrer un cliente que dispone de $275? d) Realice la representacin grafica

2) Un auto parte de San Miguel de Tucumn hacia Tartagal por la ruta 9 a una velocidad constante de 95 km/h. En ese mismo instante, otro auto que se encuentra en El Cadillal, a 20 km de San Miguel de Tucumn, parte tambin por ruta 9 hacia Tartagal de modo tal que a 1 h se encuentra a 110km de San Miguel de Tucumn.

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a) Determinar grficamente si se encuentran los autos en algn momento. b) .Cuando se encuentran? c) .A qu distancia de San Miguel de Tucumn es el encuentro?

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Las pendientes de las rectas son distintas por lo tanto se trata de un sistema compatible determinado, hay solucin nica. Esto nos indica que los vehculos se encuentran. El punto de encuentro se puede observar en la siguiente grafica

Los mviles se encuentran a 380 km de S.M.T y a las 4 hs de haber partido

Las caractersticas de dichas funciones son las siguientes:

Dominio: R En situaciones problemticas a veces el dominio se acota para que tenga sentido la funcin (por ejemplo si la variable es tiempo o espacio, no deben considerarse valores negativos de la misma)

Representacin grfica: la grafica de la funcin cuadrtica es una curva llamada parbola de eje vertical. Las particularidades de dicha grafica se muestran en el siguiente figura

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Se observa que: - Las tres graficas son simtricas respecto del eje Y, pues a pares de valores opuestos de x le corresponde el mismo valor de y. - Adems el mnimo valor que toma la funcin es y = 0, por lo que el Rango es [0,}. - Adems el origen de coordenadas ( 0 , 0 ) es el punto por donde pasa el eje de simetra y es el punto ms bajo de la curva, por ello es el vrtice de la parbola.

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Se observa que: - Las curvas siguen siendo simtricas respecto del eje Y, pero ahora se abren hacia abajo. Esto tiene que ver con el signo de a, dado que independientemente del valor que tome x, siempre ax2 ser negativo cuando a < 0. - El rango es (, o] - La funcin toma su mayor valor en el origen de coordenadas, por ello el vrtice de la parbola es (0, 0 )

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Se observa que las presencia de los parmetros b y c no nulos provoco - Desplazamiento del eje de simetra quien es ahora una recta paralela al eje Y - El vrtice no est sobre el eje Y - De nuevo se observa la influencia del parmetro a: Si a >0, la parbola es cncava hacia arriba Si a

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Se puede pasar de una forma a la otra por manipulaciones algebraicas El mecanismo que nos permite pasar de la forma explcita a la forma canonca se llama procedimiento de completar cuadrados. Se deben realizar los siguientes pasos 1) Se asocian los coeficientes cuadrticos y lineal en x

2) El coeficiente del trmino cuadrtico debe ser 1, entonces se debe extraer factor comn si es necesario

3) Dentro del parntesis sumamos y restamos un trmino convenientemente para que se forme un trinomio cuadrado perfecto. Dicho trmino se calcula como la mitad del coeficiente lineal elevado al cuadrado

Entonces queda:

4) Los tres primeros trminos del parntesis forman un trinomio cuadrado perfecto 5) Entonces se puede expresar como

6) Una vez conseguida la forma cannica se lee de la expresin cuales son las coordenadas del vrtice, se puede graficar la parbola y escribir el rango de la funcin cuadrtica.

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Son funciones definidas por dos o ms ecuaciones, una para cada tramo del dominio. A pesar que no se puede generalizar sobre ellas, son de mucha aplicacin en situaciones reales Ejemplos: Dadas las siguientes funciones, se pide: dominio, interseccin con los ejes coordenados, grafica y rango.

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El rango es R

a) .que variables se relacionan? .qu tipo de funcin determinan? b) .cual es la variable independiente?, .cual es la variable dependiente? c) Dar dominio y graficar. d) Dar rango e) Cual es a la altura mxima que alcanza? En qu momento?

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Respuestas: a) Las variables son: distancia y tiempo b) La variable independiente es el tiempo y la variable dependiente es la distancia c) El dominio estar dados por los valores de t en el que el objeto estuvo en el aire; es decir desde que el objeto es arrojado (e=0) hasta que cae nuevamente al suelo (e=0). Por lo tanto debemos calcular los ceros de la funcin dada.

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3) La Direccin General Impositiva (DGI) decide implementar la siguiente reglamentacin. Todas las personas que ganen menos de $5000 mensuales deben pagar, en conceptos de

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