LA PARABOLA.

.DEFINIZIONE

.EQUAZIONE

.INTERSEZIONI CON UNA RETTA

.PROBLEMI

DEFINIZIONE:

La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto

dato e da una retta data. Il punto si chiama fuoco, la retta

direttrice.

I DATI DELLA PARABOLA SONO : il punto F che costituisce il

fuoco e la retta d che costituisce la direttrice;

Se il punto e la retta sono dati, allora si conoscono: la distanza tra

F e d, indicata con 2c. 1clic

F •

d

2c

F •

d

y

x

introduciamo un opportuno sistema di assi cartesiani ortogonali ……

O

1 clic

asse y la retta per F e perpendicolare a d (orientato in modo che l’intersezione con d preceda il fuoco F); 1clic

asse x l’asse del segmento che rappresenta la distanza di F dalla direttrice d. 1clic

LA SCELTA DEGLI ASSI CARTESIANI DETERMINA :

LE COORDINATE DEL FUOCO E L’EQUAZIONE DELLA DIRETTRICE.

il fuoco ha coordinate:

F(0;c)

e la direttrice ha equazione:

y = – c . F •

d

y

x

Oc

-c

y = – c

Per ottenere l’ equazione cartesiana del luogo considero un generico punto P(x;y) e impongo che soddisfi la condizione di equidistanza dal fuoco e dalla retta direttrice. 1CLIC

P(x;y)

1 CLIC

y

x

O

F(0;c)

d

P(x;y)

y = - cH

Preso un punto P(x;y)

calcolo la distanza PF

(1clic)

Calcolo la distanza dalla

direttrice: PH (1clic)

______________ PF = (x – 0)2 + (y – c)2

PH =y- (-c)

1 CLIC

Eguaglio le due distanze:

____________

(x – 0)2 + (y – c )2 =y –(-c)

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

x2 + (y – c)2 = | y + c|2

e, sviluppando i calcoli, si ha l'equazione:

1

y = ·x2

4c

Equazione della parabola

• Siccome 2c è dato anche 1/4c è dato,

poniamolo uguale ad a;

allora l’equazione 1

y = ·x2

4c

diventa

y = a·x2

Viceversa

Se si tiene conto della sostituzione fatta, dall’equazione della

parabola nella forma:

y = a·x2,

confrontata con l’equazione ottenuta dalla def.: y = [1/(4c)] x2, si ha:

a = [1/(4c)] , quindi: c = 1/(4a)

si ottengono le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice,

espresse in funzione di a:

1clic

F(0; 1/(4a)) y = - 1/(4a)

• L’equazione della parabola,

che abbiamo ottenuta, presenta le

seguenti caratteristiche algebriche:

1. è di primo grado in y.

2. è di secondo grado in x;

y = a·x2,

Proprietà algebriche

PROPRIETA’ GRAFICHE (1/2)

Quando nell’equazione y = a·x2 alla variabile x si assegnano

tutti i valori reali positivi e negativi, i corrispondenti valori della y

risultano, con a > 0, non negativi (y > 0).

Quindi il grafico della parabola appartiene al 1 e 2 quadrante.

PROPRIETA’ GRAFICHE (2/2)

se una retta, parallela

all’asse delle ascisse,

incontra il grafico,

allora ciò avviene in

due punti simmetrici rispetto all’asse y:

i grafici presentano simmetria assiale

avente come asse di simmetria l’asse y.

Esempi di grafici di parabole y = ax2

a =1/2;

Caso a > 0 (1clic)

L’origine O è detta vertice della parabola

a=1/2 a=1a=2

x

a = 2.

a = 3/2;

a = 1;

a = 3/2

Possiamo generalizzare l’equazione che si è ottenuta,

y = a·x2

Se il parametro a è negativo, le ordinate dei punti della

parabola sono sempre non positivi. Il grafico sta nel 3 e 4

quadrante: y < 0

Prima generalizzazione dell’equazione

Grafici di parabole con a < 0

L’origine O è detta vertice della parabola

1clic

Ritorno all’indice

a =-1/2

a = -2.

a =-3/2

a = -1

a=-1/2 a=-1a=-2

a =-3/2

Equazione generale

Eseguiamo la traslazione che porta l’origine O’ nel vertice della parabola.

Le equazioni della traslazione sono:

x = X + x0

y = Y + y0

(1clic)

X

Y

x

y

OO’= V (x0;y0)

In un piano cartesiano Oxy consideriamo una parabola il cui grafico

abbia il vertice in un punto V(x0;y0), diverso dall’origine.

rispetto a tale sistema di riferimento, la parabola risulta avere equazione:

Y = a X2.

Per ottenere l’equazione della parabola riferita al sistema Oxy occorre applicare le equazioni della traslazione inversa

X = x - x0

t-1 :

Y = y - y0

L’equazione diventa:

y - y0 = a·(x - x0)2

Che è l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y e con il vertice in V(x0;y0) .

Se si sviluppano i calcoli, si ottiene:

y = ax2 –2ax0x + ax02 + y0 ;

Ponendo -(2ax0) = b e ax02 +y0= c

Si ha :y = ax2 + bx + c

Le informazioni relative:

1. alle coordinate del Vertice,

2. all’equazione dell’asse di simmetria ,

3. alle coordinate del Fuoco e

4. all’equazione della Direttrice

risultano contenute nei tre coefficienti:

a, b, c.

In conclusione si è dimostrato che una qualsiasi parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse y , ha equazione del tipo:

y = ax2 + bx + c

Se si tiene conto che l’asse di simmetria della parabola

y = ax2 coincide con l’asse y, di equazione x = 0, per

effetto della traslazione operata, l’equazione diventa:

x = - b/(2a)

Le coordinate del vertice:

Tenendo presente che x0 ed y0 sono le coordinate del vertice, si conclude:(1clic)

V ( _ b ; _ b2- 4ac )

2a 4a

2. Equazione dell’asse di simmetria

In conclusione: b 1

F ( - ; - + ) 2a 4a 4a

3. Le coordinate del FUOCO F

Per effetto della traslazione t le coordinate del fuoco F(0; 1/4a)

diventano:

xF = 0 + (b/(2a)) e

yF = 1/(4a) + (b2+4ac)/(4a) 1clic

Per effetto della traslazione inversa t -1 , l’equazione della

direttrice

y= - 1/(4a)

diventa:

y = (b2+4ac)/(4a) - 1/(4a)

cioè:

4. L’equazione della direttrice

1

y = - -

4a 4a

RELAZIONI TRA V, F,d

F

V

d

y

x

-/4a+1/(4a)

-/(4a)-1/(4a)

-/(4a)

1/(4a)

1/(4a)

1clic

Viceversa

Viceversa, ogni equazione del tipo y = ax2 + bx + c

rappresenta, per a ≠ 0, una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y.

[N.B. in realtà un’equazione generale di 1 grado in y e di 2 in x è

del tipo: mx2 + nx + py + q= 0

Se si esplicita rispetto ad y si ha:

y = -(m/p)x2 –(n/p)x –(q/p)

e sostituendo:

- (m/p) = a; -(n/p) = b; - (q/p) = c

si ottiene l’equazione nella forma canonica:

y = ax2 + bx + c ]

y = ax2 + bx + c

y = a[x2 + (b/a)x ] + c

Metodo del completamento dei quadrati:

y = a[x2 + (b/a)x + (b/2a )2 - (b/2a )2] + c

y = a[x + (b/2a )]2 – b2/4a + c

y = a[x + (b/2a )]2 – [(b2 - 4ac)/4a] , sostituendo: (b2 -4ac) = ∆

y + ∆ /4a = a[x + (b/2a )]2

se si pone: ∆ /4a = -y0 e b/2a = -x0,

L’equazione diventa:

y - y0 = a·(x - x0)2

Che coincide con l’equazione di una parabola con asse di

simmetria parallelo all’asse y e con il vertice in V(x0;y0) .

Dati della parabola

Vertice:

V ( _ b ; _ b2- 4ac )

2a 4a

Fuoco

b - 1 F ( - ; - )

2a 4a

direttrice:

+ 1

y = -

4a

Asse di simmetria:

bx = -

2a

x

y = x2 – 4x + 6

Esempio di grafico di una parabola di data equazione:

1clic

Di vertice V(2;2)

V

F

d

O

Di direttrice

y =7/4

Di fuoco F(2; 9/4)

1clic

1clic

1clic

Problemi relativi alla ricerca dell’equazione di una parabola soddisfacente a date condizioni.

Premessa:

Siccome le equazioni di una parabola con asse di simmetria parallelo ad un asse cartesiano dipendono da tre parametrioccorrono tre condizioni .

Si imposta il sistema costituito dalle tre condizioni di appartenenza dei tre punti dati alla parabola:

y = ax2 + bx +c

CASO : assegnati tre punti non allineati

A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)

Appartenenza di A alla parabola y = ax2 + bx + c (1 clic)y1 = ax12+ bx1+ c

Appartenenza di C alla parabola: y = ax2 + bx + c (1 clic)

Appartenenza di B alla parabola y = ax2 + bx + c (1 clic)y2 = ax22+ bx2+ c

y3 = ax32+ bx3+ c

(1 clic)

(1 clic)

(1 clic)

(1 clic)

Si ottiene un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite a, b, c

che ammette una ed una sola soluzione (per il teorema di Cramer)

y1 = ax12+ bx1+ c

y2 = ax22+ bx2+ c

y3 = ax32+ bx3+ c

Fine problema

CASO : assegnati il vertice V e un punto

Siano dati: il vertice V(xV;yV) e

il punto A(x1;y1)

1) si impone il passaggio per il punto A(x1;y1)

y1 = ax12+ bx1+ c

2) Il passaggio per V(xV;yV)

yV = axV2+ bxV+ c

3) Si impone che l’asse di simmetria x = -(b/2a) coincida con l’ascissa del

vertice:

-(b/2a) = xV

Ritorno al problema

Dati concernenti il Vertice, il Fuoco, la Direttrice

Casi in cui sono noti 2 dei seguenti 3 dati:

il vertice V, il fuoco F, la direttrice d.

Dalle combinazioni dei tre dati, presi a due a due, si possono presentare i seguenti TRE casi: (1clic)

Il fuoco F e la direttrice d

Il vertice V e la direttrice d

Il vertice V e il fuoco F

Primo caso: noti il fuoco F e la direttrice d

Dati: F(xF;yF) e d: y = h

Si perviene subito all’equazione della parabola utilizzando F e y = h

nella definizione di parabola: equidistanza da F e da d di un generico

punto P(x;y):

_____________

(x – xF)2 + (y – yF)

2 = | y h |

Da cui, sviluppando i calcoli, si perviene all’equazione richiesta.

Fine problema

Secondo caso: noti il Vertice e la direttrice d.

Dati: V(xV;yV) e d: y = h

Per via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite, utilizzando i dati del problema: (1clic)

L’equazione della direttrice: - /(4a) –1/(4a) = h;

l’ascissa del vertice: -b/(2a) = xV ;

L’ordinata del vertice: - /(4a) = yV ;

Parabola di dato Fuoco e per un Punto dato

Dati: il fuco F(xF;yF) e un punto P(xo;yo)

Osservazione: da una

prima analisi si deduce

che vi sono DUE

parabole che soddisfano

le condizioni del

problema. 1 CLIC

FP

F

P

(1clic) (1clic)

F P F

P

Risoluzione del problema per via algebrica.

Per via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite, utilizzando i dati del problema: (1clic)

Appartenenza di P: axo2+bxo+c = yo

L’ordinata del fuoco: - /(4a) –1/(4a) = yF ;

l’ascissa del fuoco: -b/(2a) = xF ;

-b/(2a) = xF

-b2 +4ac – 1 = yF

4a

axo2+bxo+c = yo

Fine problema

Intersezione tra Retta e Parabola

Per ricercare gli eventuali punti di intersezione tra una

data retta ed una data parabola ,cioè quei punti le cui

coordinate soddisfano contemporaneamente l’equazione

della retta e della conica, si mettono a sistema le

rispettive equazioni formando così un sistema di 2 grado :

y = mx + q

y = ax2 + bx + c

Dal punto di vista algebrico il sistema ammette due soluzioni

(x1;y1) e (x2;y2), che possono essere: (1clic)

due reali e distinte, due reali e coincidenti, due complesse coniugate

Nel primo caso la retta e la conica hanno due punti distinti in

comune e si dice che la retta è secante; (1clic)

(x1;y1)

(x2;y2)

nel secondo caso hanno due punti coincidenti in comune e si dice

che la retta e la parabola sono tangenti; (1clic)

(x1;y1)

In questo caso la tangente e la parabola hanno due punti coincidenti in comune 1 clic

Mentre la retta secante sviene ‘spostata ’ parallelamente a se stessa verso la posizione di retta tangente, le coppie di punti di intersezione si ‘avvicinano’ sempre più fino a ‘sovrapporsi’ in due punti coincidenti.

1 clic

s

nel terzo caso non hanno punti in comune e si dice che la retta è esterna alla parabola.

In conclusione:

secante

tangente

esterna

1 clic

Caso particolare di rette secanti

Si deve tenere conto del caso particolare relativo alle rette parallele all’asse di simmetria, di equazione: x = k. Queste rette intersecano in un solo punto la parabola.