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RESEARCH CO NTRIBUTIONS

I m a g e P r o c e s s i n ga n d C o m p u t e rV i s ionR o b e r t M . H a r a l i c kE d i tor

A Fa st P ara l le l A lgo r ithm forTh inn ing D ig ita l P at tern s

T. Y . Z HA NG and C . Y . SUEN

A B S T R A C T : A f a s t p a ra l le l t h i n n in g a l g o r i th m i s p r o p os e din t h i s paper . I t cons i s t s o f two sub i t e ra t ions: one a ime d a td e l e t i n g t h e s o u t h - e a s t b o u n d a r y p o i n t s a n d t h e n o r t h - w e s tc o r n e r p o i n t s w h i l e t h e o t h e r o n e i s a i m e d a t d e l e t i n g t h en o r t h - w e s t b o u n d a r y p o i n ts a n d t h e s o u t h - e a s t c o r n e rp o i n ts . E n d p o i n t s a n d p i x e l c o n n e c t i v i t y a r e p r es e r v e d .E a c h p a t t e r n i s t h i n n e d d o w n t o a " s k e l e t o n " o f u n i t a r yt h i c k n e s s . E x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o w t h a t t h i s m e t h o d i svery e f f ec t i ve .

1 . I N T R O D U C T I O NI t i s w e l l k n o w n t h a t t h e g e n e r a l p r o b l e m o f p a t t e r nr e c o g n i t i o n l i e s in t h e e f f e c ti v e n e s s a n d e f f i c ie n c y o fe x t r a c t i n g t h e d i s t in c t i v e f e a t u r e s f r o m t h e p a t t e r n s .T h e s t r o k e a n a l y s i s m e t h o d i s a p o w e r f u l a p p r o a c h t or e c o g n i z i n g c e r t a i n t y p e s o f d i g i ta l p a t t e r n s s u c h a s al -p h a n u m e r i c c h a r a c te r s a n d i d e o g ra p h s . I t s h o u l d b en o t e d t h a t t h e s t ro k e s t h i n n e d b y h a r d w a r e o r s o ft w a r ea r e a c c o m p a n i e d b y d i f f e r e n t k i n d s o f d i s t o rt i o n . D i f f e r-e n t t h i n n i n g a l g o r i t h m s p r o d u c e d i f f e r e n t d e g r e e s o fd i s t o r t i on [ 1 - 5 , 7 - 12 ] .

T h e r e i s n o g e n e r a l a g r e e m e n t i n t h e l i t e r a t u r e o n a ne xa c t de f i n i t i on o f t h i nne s s . P a v l i d i s [ 6 ] de s c r i be s at h i n n i n g a l g o r i t h m t h a t d e t e r m i n e s s k e l e t a l p i x e l s b yl oc a l ope r a t i ons . A t t he s a m e t i m e , t he p i xe l s a r e l a -b e l e d s o t h a t t h e o r i g i n a l i m a g e c a n b e r e c o n s t r u c t e df r om i t s s ke l e t on . T he go a l o f t h i s pa p e r i s t o f i nd a 1984 ACM 0001-0782/84/0300-0236 75

f a s t e r a n d m o r e e f f i c i e n t p a r a l l e l t h i n n i n g a l g o r i t h m .T he d i s t o r t i on s hou l d be a s l i t t l e a s pos s i b l e . E xpe r i -m e n t a l r e s u l t s in d i c a t e t h a t t h i s m e t h o d c a n b e u s e d t ot h i n a va r i e t y o f d i g i t a l pa t t e r n s .2 . P A R A L L E L P I C T U R E P R O C E S S I N GA b i n a r y d i g i t iz e d p i c t u r e i s d e f i n e d b y a m a t r i x I Tw h e r e e a c h p i x e l IT( i , j ) i s e i t he r 1 o r 0 . T he pa t t e r nc o n s i s ts o f t h o s e p i x e l s t h a t h a v e v a l u e 1 . E a c h s t r o k ei n th e p a t t e r n i s m o r e t h a n o n e e l e m e n t t h i c k . I t e r a ti v et r a n s f o r m a t i o n s a r e a p p l ie d t o m a t r i x I T p o i n t b y p o i n ta c c o r d i n g t o t h e v a l u e s o f a s m a l l s e t o f n e i g h b o r i n gpo i n t s . I t i s a s s u m e d t h a t t he ne i gh bo r s o f t he po i n t ( i, j )ar e (i - 1, j), (i - 1, j + 1), (i, j + 1), (i + 1, j + 1),(i + 1, j), (i + 1, j - 1), (i, j - 1), an d (i - 1, j - 1), as iss h o w n i n F i g u r e 1 . I n p a ra l l e l p i c t u r e p r o c e s s i n g , t h en e w v a l u e g i v e n t o a p o i n t a t t h e n t h i t e r at i o n d e p e n d so n i t s o w n v a l u e a s w e l l a s th o s e o f i ts e i g h t n e i g h b o r sa t t he ( n - 1 ) t h it e r a t i on , s o t ha t a l l p i c t u r e p o i n t s c a n

P ,( i - 1 , j - 1 )P ,( i , j - 1)

P 2 P 3( i - 1 , j ) ( i - 1 , j + 1 )P1( i , j ) P ,( i , j + 1)

P ~ P e P s( i + 1 , j - 1 ) ( i + 1 , j) ( i + 1 , j + 1 )F I G U R E 1 . D e s i g n a t io n s o f t h e n in e p ix e l s in a 3 x 3 w i n d o w .

236 Communications of the ACM March 1984 Volume 27 Numbe r 3

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Research Con tr ibut ions

b e p r o c e s s e d s i m u l t a n e o u s l y . I t i s a s s u m e d t h a t a 3 x 3w i n d o w is us e d , a n d t h a t e a c h e l e m e n t i s c o n n e c t e dw i t h i t s e i g h t n e i g h b o r i n g e l e m e n t s . T h e a l g o r i t h m p r e -s e n t e d i n t h i s p a p e r r e q u i r e s o n l y s i m p l e c o m p u t a t i o n s .3 . T H I N N I N G A L G O R I T H MO u r m e t h o d f o r e x t r a c t i n g t h e s k e l e t o n o f a p i c t u r ec o n s i s t s o f r e m o v i n g a l l t h e c o n t o u r p o i n t s o f t h e p i c -t u r e e x c e p t t h o s e p o i n t s t h a t b e l o n g t o t h e s k e l e t o n . I no r d e r t o p r e s e r v e t h e c o n n e c t i v i t y o f t h e s k e l e t o n , w ed i v i d e e a c h i t e r a t i o n i n t o tw o s u b i t e r a t i o n s .

I n t h e f i rs t s u b i t e r a t i o n , t h e c o n t o u r p o i n t P 1 i s d e -l e t e d f r o m t h e d i g i t a l p a t t e r n i f i t s a t i s f ie s t h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n s :

(a) 2 _< B( P1) -< 6( b ) A ( P ~ ) = 1(C) P2*P4*P6 = 0(d) P4*P6*P8 = 0

w h e r e A ( P 1 ) i s t h e n u m b e r o f 0 1 p a t t e r n s i n t h e o r d e r e ds e t P 2 , P 3 , P 4 , - - P 8 , P 9 t h a t a r e t h e e i g h t n e i g h b o r s o fP 1 ( F i g u r e 1 ), a n d

B ( P i ) i s t h e n u m b e r o f n o n z e r o n e i g h b o r s o f P 1 ,t h a t i s ,

B(P1) = P2 + P3 + P4 + + P8 + P9 .I f a n y c o n d i t i o n i s n o t s a t i s fi e d , e . g ., t h e v a l u e s o f P 2,P 3 , P 4 , - P 9 a s s h o w n i n F i g u r e 2 , t h e n

A ( P i ) = 2T h e r e f o r e , P ~ i s n o t d e l e t e d f r o m t h e p i c t u r e .

I n t h e s e c o n d s u b i t e r a t i o n , o n l y c o n d i t i o n s (c ) a n d ( d)a r e c h a n g e d ( F i g u r e 3 ) a s fo l l o w s :( c ' ) P2 * P4 * P8 = 0(d' ) P2*P6*P8 = 0a n d t h e r e s t r e m a i n t h e s a m e .

B y c o n d i t i o n s (c ) a n d ( d) o f t h e f i r st s u b i t e r a t i o n , i tw i l l b e s h o w n t h a t t h e f i r st s u b i t e r a t i o n r e m o v e s o n l yt h e s o u t h - e a s t b o u n d a r y p o i n ts a n d t h e n o r t h - w e s t c o r-n e r p o i n t s w h i c h d o n o t b e l o n g t o a n i d ea l s k e l e t o n .

T h e p r o o f f o r t h e f i r s t s u b i t e r a t i o n i s g i v e n , t h a t i s ,t h e p o i n t s t o b e d e l e t e d s a t i s f y c o n d i t i o n s :

0 0 Ii

1 : P ~ 01 I 0 0

\ 2 JFIGUR E 2. Coun ting the 01 p atterns in the ordered set P2, P~, P4,. . . . P~, P~.

Wes t

NorthP2

Pa Pl P4Pa

South

East

FIGURE 3. Points under c onsideration and their locations

. @ ~ . ~ @ . ~ @ . ~@@@@@@8@. @8#@@8@@.@@8@@88~. @@8@@@@~. .@@8@8@8@8@@8@@@. @8@@@@8@. .@@ @8888@@@@@@~8. @@~0@@@8. .88@ 8@ 8@#@@@@@@@ @@@@@~@@ .@@8@~@@@@@~@8@@. @@@@@@@@. .@88@8@@@@8@~@@8. 8@~@@@@@. .@8@@@88@@8@@8@@. @@~@@88@. .88888@~~8@@8@@@. @@@@@@@@ .8@@@@@@@~8@8@@@@@@88@@@8@@@@@8@@8@.8808@@88088@8@@@@@@@@~8~8@8.@@@@@@@O@@@@@@@@O@@@@@@~@@@@@8@888@8@88@8~@8@@8~@@@@8@.888@8@8~8@@@@@8@@8@@@@@#@0.@@@~@@@8~8@8@8@@8@@@@@@~8@8.@888@@88~ .. .. .. .. .. 888~88@@.@@@@@8@@. @@@@@8@@.@@@@@@@@. ~#@@@@@8.@@@@@@8@. @@@@@~8@.@@@@8~@@. 8@@@@8@@.@@@@@0@@. #@@@@0@@.888@@8@~. @8@@@@@@8~8@@@@@. @@8@@@#8.@@@@@@@@. #@#@@088.~@#@@@#. @@@@@@@@. o . . . . . . . . o . . . . . .

(a )

. . . . ..@@@@88@.8@@8@@@.@@@8@8@.@@@@8@@.@@~8@@@.@@@@@@@.@@@@88@.@@@8@@8.@@@@@0@

.@@@@@@@O@@@@@@@@@@@@@@@@@@.@@@@@@@@@@@@#@@O@~@@@@@@@@

.~88@@8@@@@@~@~8@8@@@@@@@@@.8@8@@@@#@88@@@@@@8@@@@@8@@.@@@@@@@@@8@@@@088@@@@@@@@@

. . . . @ . ' .

. . . . ~ o .

. . . . @. .

. . . . @. . . @o

. . @ . . . . o@., . . . @ . . . .. . @ . . . . @ . . . .

. @ ., o . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . .

. . @ . . . . . . . . . . . . . . . . . . @ . . . .. . @ . . . . . . . . . . . . . . . . . . @ . . . ..8@@@@@@@@@~8@@8@#@@@. . . .@ . . . . . . . . . . . . . . . . . . @ . . . .@ . . . . . . . . . . . . . . . . . . @ . . .. . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . @ . o

.@@@8@8@ .@@8@@@8 --@ . . . . . . . . ~ . . . 8@@@8@@ .@@@8@@@ --@ . . . . . . . . @ . . . @@@8~@@ .@ 888@ @ ~ .-@ . . . . . . . . ~ . . .8@@@@@@ .@8@@@@@ . .8 . . . . . . . . ~ . . . .@ . . . . . . . . 8 . . .@@@@@@0 .@@@@88@@ 88@ 8@ 8 . @ @ @ 8 @ 8 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . .@8@@@@@ .@@@8@@@@@8@@@@ .@ 8 @ @ @ @ @ . . . . . . . . . . . . . . . . . .@@8@@@8 .@ @ @ @ @ @ ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . .@@@@@@. .@@@8@@.( b ) ( c )

FIGURE 4. Res ultsof thinning the ch aracter 'H' b y the su biterations.

M ar c h 1 9 8 4 Vo l um e 2 7 N um be r 3 C om m un i c a t ions o f t he AC M 2 3 7

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Research Contr ibut ions

(c ) P2*P4*P6 = 0 (1)(d) P4*P6*P8 = 0 (2)T h e s o l u t i o n s t o t h e s e t o f e q u a t i o n s ( 1) a n d ( 2) a r e P 4= 0 o r P6 = 0 o r (P2 = 0 and P s = 0 ) . So the p o in t P1 ,w h i c h h a s b e e n r e m o v e d , m i g h t b e a n e a s t o r s o u t hb o u n d a r y p o i n t o r a n o r t h - w e s t c o r n e r p o i n t . S i m i l a r l y ,i t c a n b e p r o v e d t h a t t h e p o i n t P 1 d e l e t e d i n t h e s e c o n ds u b i t e r a t i o n m i g h t b e a n o r t h - w e s t b o u n d a r y p o i n t o r as o u t h - e a s t c o r n e r p o i n t. F o r e x a m p l e , t h e r e s u l t s o fp r o c e s s i n g t h e c h a r a c t e r " H " b y b o t h s u b i t e r a t i o n s a r es h o w n i n F i g u r e 4 (a ) a n d 4 ( b) . T h e p o i n t s m a r k e d b y" . " h a v e b e e n r e m o v e d . T h e f i n a l r e s u l t is s h o w n i nF i g u r e 4 (c ).

B y c o n d i t i o n ( a) , t h e e n d p o i n t s o f a s k e l e t o n l i n e a r ep r e s e r v e d . A l s o , c o n d i t i o n ( b) p r e v e n t s t h e d e l e t i o n o ft h o s e p o i n t s t h a t l ie b e t w e e n t h e e n d p o i n t s o f a s k e l e -t o n l i n e , as s h o w n i n F i g u r e 5 . T h e i t e r a t i o n s c o n t i n u eu n t i l n o m o r e p o i n t s c a n b e r e m o v e d .

A f l o w c h a r t o f t h e p r o p o s e d t h i n n i n g a l g o r i t h m i ss h o w n i n F i g u r e 6 . I n i t i a l l y , t h e o r i g i n a l p i c t u r e i ss t o r e d i n m a t r i x I T a n d a c o u n t e r C i s s e t t o 0. T h er e s u l t o f t h e p r o c e s s e d p i c t u r e i s s t o r e d in m a t r i x I T . T os a v e m e m o r y s p a c e , o n l y t w o m a t r i c e s , I T a n d M , a r eu s e d i n o u r c o m p u t a t i o n .

F i g u r e s 7 ( a )- 7 (c ) s h o w t h e r e s u l t s o b t a i n e d b y o u ra l g o r i t h m f o r a C h i n e s e c h a r a c t e r " @ , " a l e t t e r " B ,"a n d a d i g i t a l " m o v i n g b o d y , " r e s p e c t i v e l y . S k e l e t o np o i n t s a r e m a r k e d b y " * , " o r " @ ," a n d a l l t h o s e p o i n t st h a t h a v e b e e n d e l e t e d i n t h e t h i n n i n g p r o c e s s a r em a r k e d b y " - . "

T h e a b o v e a l g o r i t h m y i e l d s v e r y g o o d r e s u l t s w i t hr e s p e c t t o b o t h c o n n e c t i v i t y a n d c o n t o u r n o i s e i m m u -n i t y . F u r t h e r m o r e , t h e c o n d i t i o n s f o r s e a r c h i n g t h o s ep o i n t s t h a t s h o u l d b e d e l e t e d f r o m t h e p a t t e r n a r e v e r ys i m p l e . I n o r d e r t o a s s e ss t h e p e r f o r m a n c e o f o u r a l g o -r i t h m , w e h a v e c h o s e n o n e g i v e n b y S t e f a n e l l i a n d R o -s e n f e l d [ 1 1 ] f o r c o m p a r i s o n . B o t h a l g o r i t h m s w e r e w r i t -t e n i n F O R T R A N , r u n o n t h e s a m e C D C C y b e r 1 7 2c o m p u t e r , a n d t e s t e d w i t h t h e s a m e d i g i t i z e d p a t t e r n s .T h e r e s u l t s h o w s t h a t t h e e x e c u t i o n t i m e o f o u r a l g o-r i t h m i s o n l y 5 0 p e r c e n t o f t h e o n e g i v e n [ 11 ]. A s c a nb e p r e d i c te d , t h e e x e c u t i o n t i m e d e p e n d s o n t h e c o m -p l e x i t y o f t h e p a t t e r n a n d t h e t h i c k n e s s o f t h e s t ro k e s :0 .5 05 C P U s e c o n d s f o r t h e C h i n e s e c h a r a c t e r " ~ " 0 .4 5 4C P U s e c o n d s f o r t h e l e t t e r " B " a n d 1 . 1 6 3 s e c o n d s f o rt h e m o v i n g b o d y .

TABLE I . Comparison of CPU Time ( in seconds) Consumed byDifferent Parallel Thinning Algorithms

MethodPattern Four-Step Two-Step Ou r AlgorithmB 0.765 0.678 0.454 1.031 0.882 0.505Moving body 2.713 2.221 1.163

0 O - - 0 0I I I0 i 1 1I 1 10 , 0 0 0

0 0 ~ 0 0I I1 1 1 1; IO. 0 ~ 0 0

FIGURE 5. Preventin the deletion of endpoints.

l

S t a r t )

I C = O

S e a r c h M ( s a t i s f ie dt h e c o n d i t i o n s o f t h ef i r s t s u b i t e r a t i o n )C = C + l , i fM ( i , j ) = 1

I T = I T - M

C = O

Search M (sa t is f iedthe c onditions of thesec ond subiteration)C = C + 1 , i f M ( i , j ) = 1

I T = I T - M

Y e s

Y e s

FIGURE 6. Flow chart of the thinning algorithm.

2 38 C om m un i c a t ions o f t he AC M M ar c h 1 9 8 4 Vo l um e 2 7 N um be r 3

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R e s e a r c h C o n t r i b u t i o n s

, i . . . . . . . ~ i . . . . . ; . . . . . . . . . . . . i i i

1 ,2 * , , ; ; ' . . H , , , , . . . . .' ~ , 2 o t t t . . . .. . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

~e . . . . . . . . . .

( a )

. . . . . @ . . . . . . . . @ @ . ..@.@.@.@.@.@.@.@.@

. @ . @ o

@ . @

o @ ~ @ o

. @ . @ @ . .

o @o . @ . . . . . . . . . @ .. @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ . .. @ . . . . . . .. . @ @ . .. @ . . . @ @ . .. @ . . . @ . . .. @ . . . @ . .. @ . . . . @ . .. @ . . . @ . .. @ . . . @ . .. @ . . . @ . . .. @ . . . @ @ . .

. . . . . @ . . . . . . . . . . @ @ . .. . @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ . .o o . . . . . . . o ~ o o

( b )

. . ~ . .

. ., .- -- . . . . . . . . .

. . . . . . ~2 j , ~" " i ; . . . . . ~ . . . ~

222,1 ~.2.

. * . . . . . . . . "~ ; ;22. . ~ . . .

( c ): : ~ ; : : : :

F I G U R E 7 . T h i n n i n g o f d i f f e r e n t d i g i t a l p a t t e r n s .4 . S U M M A R YA p a r a l le l a l g o r i t h m f o r th i n n i n g d i f f e r en t t y p e s o f d ig i -t a l pa t t e r n s i s p r e s e n t e d i n t h i s pa pe r . E a c h i t e r a t i on i sd i v i d e d i n t o t w o s u b i t e r a ti o n s t h a t r e m o v e t h e b o u n d -a r y a n d c o r n e r p o i n t s o f t h e d i g i t al p a t t e r n s . A f t e r se v -e r a l it e r at i o n s , o n l y a s k e l e t o n o f t h e p a t t e r n r e m a i n s .

T h e p r o p o s e d a l g o r i t h m a p p e a r s t o b e v e r y e f fi c ie n ti n t h e t h i n n i n g o f d i g it a l p a t te r n s a n d i t c o m p a r e s f a -v o r a b l y w i t h t h o s e d e s c r i b e d i n [ 1 1] . T h e r e s u l ts i nT a b l e I i nd i c a t e t ha t ou r m e t ho d i s 1. 5 to 2 .3 t i m e sf a s t e r t h a n t h e f o u r - s t e p a n d t w o - s t e p m e t h o d s d e -s c r i be d i n [ 11 ] w h i l e t he r e s u l t i ng s ke l e t on s l ook ve r ym u c h t h e s a m e .R E F E R E N C E S1 . A rc e l l i , C ., Corde l i a , L . P. a nd Le v i a l d i , S . From l oc a l ma x i m a t oc o n n e c t e d s k e l e t o n s . IEE E Trans. Pattern Analysis and Machine In tell .P A M I - 3 (M a rc h 1981) , 134-143 .2 . A rc e l l i , C . A c ond i t i on fo r d i g i t a l po i n t s r e m ova l . Signal Processing 1,

4 (1979), 283-285.3 . D e u t s c h , E .S . T h i n n i n g a l g o r i t h m s o n r e c t a n g u l a r , h e x a g o n a l , a n dt r i a n g u l a r a r r a y s . C o m m u n . A C M 1 5, 9 (Sept . 1972), 827-837.4 . H i l d i t c h , C .J . L i n e a r s k e l e t o n s f r o m s q u a r e c u p b o a r d s . I n : Ma ch in eIntelligence IV, B. M e r t z e r a n d D. M i c h i e , Eds ., Un i ve r s i t y Pre ss ,Ed i nburgh , 1969 , pp . 403-420 .5 . O g a w a , H . a n d T a n g u c h i , K . T h i n n i n g a n d s t r o k e s e g m e n t a t i o n f o rh a n d w r i t t e n C h i n e s e c h a r a c t e r r e c o g n i t i o n . Pattern Recognition 15, 4(1982), 299-308.6 . P a v l i d i s , T . A F l e x i b l e P a r a l l e l T h i n n i n g A l g o r i t h m . Proc. IEEEComput. Soc. Conf. on Pattern Recognition and Image Processing. A u g .1981, pp. 162-167.

7 . R o s e n f e l d, A . C o n n e c t i v i t y i n d i g i t a l p i c t u r e . J . AC M 17, 1 (Jan.1971), 146-160.8 . R o s e n f e l d, A . A c h a r a c t e r i z a t i o n o f p a r a l l e l th i n n i n g a l g o r i t h m . In fo .Control 29 (Nov. 1975}, 286-291.9 . Rose nfe l d , A. a nd Da v i s , L .S . A no t e on t h i n n i ng I EEE Tra n s . S ys t .Ma n C yb ern . S MC - 6 , 3 (M a rc h 1976) , 226-228 .10 . Ru t ov i t z , D. Pa t t e rn R e c ogn i t i on . Proc. Royal S tatis ts . Soc. 129, Se r i e sA (1966), 504-530.1 1 . S t e f a n e l l i , S . a n d R o s e n f e l d , A . S o m e p a r a l l e l t h i n n i n g a l g o r i t h m s f o rd i g i t a l p i c t u re J . ACM 18 (Apri l 1971), 255-264.1 2 . T a m u r a , H . A c o m p a r i s o n o f l in e t h i n n i n g a l g o r i t h m s f r o m d i g i t a lg e o m e t r y v i e w p o i n t . Proc. 4th In t. C onf. Pattern Recognition, 1978, pp.715-719 .

CR Categories an d Subject Descriptors: 1 .5.2 [Pattern Reco gnit ion[:D e s i g n M e t h o d o l o g y - - p a t t e r n a n a ly s is ; 1.5.4 [Pattern Recognit ion[: A p -p l i c a t i o n s - c o m p u t e r v i s i o nG e n e r a l T e r m s : A l g o r i t h m s , T h e o r y , A p p l i c a t i o n sA d d i t i o n a l K e y W o r d s a n d P h r a s e s: p a r a l l e l a l g o r it h m , t h i n n i n g o fd i g i t a l p a tt e r n s , s k e l e t o n i z a t i o nR e c e i v e d 3 / 8 3 ; a c c e p t e d 9 / 8 3A u t h o r s ' P r e s e n t A d d r e s s e s : T . Y Z h a n g , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i -e n c e a n d A u t o m a t i c C o n t r o l , C h o n g q i n g U n i v e r s i t y , C h o n g q i n g , C h i n a ;C . Y . S u e n , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , C o n c o r d i a U n i v e r s i t y ,1 45 5 d e M a i s o n n e u v e W e s t , M o n t r e a l , Q u e b e c H 3 G 1 M 8 . C a n a d aP e r m i s s i o n t o c o p y w i t h o u t f e e a l l o r p a r t o f t h i s m a t e r i a l i s g r a n t e dp r o v i d e d t h a t t h e c o p i e s a r e n o t m a d e o r d i s t r i b u t e d f o r d i r e c t c o m m e r -c i a l a d v a n t a g e , t h e A C M c o p y r i g h t n o t i c e a n d t h e t i t l e o f th e p u b l i c a t i o na n d i t s d a t e a p p e a r , a n d n o t i c e i s g i v e n th a t c o p y i n g is b y p e r m i s s i o n o ft h e A s s o c i a t i o n f or C o m p u t i n g M a c h i n e r y . T o c o p y o t h e r w i s e , o r t or e p u b l i s h , r e q u i r e s a f e e a n d / o r s p e c i f i c p e r m i s s i o n .

M a r c h 1 9 84 V o l u m e 2 7 N u m b e r 3 C o m m u n i c a t i o n s o f t h e A C M 2 3 0