parametro estadistico

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Parmetro estadstico

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Parmetro estadsticoEn estadstica, un parmetro es un nmero que resume la ingente cantidad de datos que pueden derivarse del estudio de una variable estadstica.[1] El clculo de este nmero est bien definido, usualmente mediante una frmula aritmtica obtenida a partir de datos de la poblacin.[2] [3] Los parmetros estadsticos son una consecuencia inevitable del propsito esencial de la estadstica: crear un modelo de la realidad.[4]

La media aritmtica como resumen de la vejez de un pas.

El estudio de una gran cantidad de datos individuales de una poblacin puede ser farragoso e inoperativo, por lo que se hace necesario realizar un resumen que permita tener una idea global de la poblacin, compararla con otras, comprobar su ajuste a un modelo ideal, realizar estimaciones sobre datos desconocidos de la misma y, en definitiva, tomar decisiones. A estas tareas contribuyen de modo esencial los parmetros estadsticos. Por ejemplo, suele ofrecerse como resumen de la juventud de una poblacin la media aritmtica de las edades de sus miembros, esto es, la suma de todas ellas, dividida por el total de individuos que componen tal poblacin.

Enfoque descriptivoUn parmetro estadstico es, como se ha dicho, un nmero que resume una cantidad de datos. Este enfoque es el tradicional de la estadstica descriptiva.[5] [6] [7] En este sentido, su acepcin se acerca a la de medida o valor que se compara con otros, tomando una unidad de una determinada magnitud como referencia. Por su parte, la faccin ms formal de la estadstica, la estadstica matemtica y tambin la inferencia estadstica utilizan el concepto de parmetro en su acepcin matemtica ms pura, esto es, como variable que define una familia de objetos matemticos en determinados modelos. As se habla, por ejemplo, de una Grficas de distribuciones normales para distintos distribucin normal de parmetros y como de una determinada valores de sus dos parmetros. familia de distribuciones con una distribucin de probabilidad de expresin conocida, en la que tales parmetros definen aspectos concretos como la esperanza, la varianza, la curtosis, etc. Otro ejemplo comn en este sentido es el de la distribucin de Poisson, determinada por un parmetro, ; o la distribucin binomial, determinada por dos parmetros, n y p. Desde el punto de vista de la estadstica matemtica, el hecho de que estas distribuciones describan situaciones reales y los citados parmetros signifiquen un resumen de determinado conjunto de datos es indiferente.

Parmetro estadstico

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ControversiaComo se ha dicho, los parmetros estadsticos, en el enfoque descriptivo que aqu se adopta, substituyen grandes cantidades de datos por unos pocos valores extrados de aquellos a travs de operaciones simples. Durante este proceso se pierde parte de la informacin ofrecida originalmente por todos los datos. Es por esta prdida de datos por lo que la estadstica ha sido tildada en ocasiones de una falacia. Por ejemplo, si en un grupo de tres personas una de ellas ingiere tres helados, el parmetro que con ms frecuencia se utiliza para resumir datos estadsticos, la media aritmtica del nmero de helados ingeridos por el grupo sera igual a 1 ( ), valor que no parece

resumir fielmente la informacin. Ninguna de las personas se sentira identificada con la frase resumen: "He ingerido un helado de media".[8] Un ejemplo menos conocido pero igual de ilustrativo acerca de la claridad de un parmetro es la distribucin exponencial, que suele regir los tiempos medios entre determinados tipos de sucesos. Por ejemplo, si la vida media de una bombilla es de 8.000 horas, ms del 50 por ciento de las veces no llegar a esa media. Igualmente, si un autobs pasa cada 10 minutos de media, hay una probabilidad mayor del 50 por ciento de que pase menos de 10 minutos entre un autobs y el siguiente. Otro ejemplo que suele ofrecerse con frecuencia para argumentar en contra de la estadstica y sus parmetros es que, estadsticamente hablando, la temperatura media de una persona con los pies en un horno y la cabeza en una nevera es ideal. Quizs por situaciones como stas, que en general muestran un profundo desconocimiento de lo que los parmetros representan en realidad y de su uso conjunto con otras medidas de centralizacin o dispersin, el primer ministro britnico Benjamn Disraeli sentenci[9] primero y Mark Twain populariz ms tarde[10] la siguiente afirmacin: Hay mentiras, grandes mentiras y estadsticas. Benjamn Disraeli Hay otros personajes que tambin han advertido sobre la simplificacin que supone la estadstica, como el profesor Aaron Levenstein, quien afirmaba: Las estadsticas son como los bikinis: lo que muestran es sugerente, pero lo que esconden es vital.Benjamn Disraeli, un descredo de las estadsticas.

Aaron Levenstein Por su parte, el escritor y comediante ingls Bernard Shaw

sentenci:[11] La estadstica es una ciencia que demuestra que, si mi vecino tiene dos coches y yo ninguno, los dos tenemos uno. George Bernard Shaw; o el personaje ficticio Homer Simpson, de la popular serie de televisin Los Simpson, en una entrevista acerca de las proporciones en uno de sus captulos:[12] Oh!, la gente sale con estadsticas para probar cualquier cosa, el 14 por ciento del mundo lo sabe. Guionistas de la serie Los Simpson

Parmetro estadstico

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Propiedades deseables en un parmetroSegn Yule[13] un parmetro estadstico es deseable que tenga las siguientes propiedades: Se define de manera objetiva, es decir, es posible calcularlo sin ambigedades, generalmente mediante una frmula matemtica. Por ejemplo, la media aritmtica se define como la suma de todos los datos, dividida por el nmero de datos. No hay ambigedad: si se realiza ese clculo, se obtiene la media; si se realiza otro clculo, se obtiene otra cosa. Sin embargo, la definicin de moda como el "valor ms frecuente", puede dar lugar a confusin cuando la mayor frecuencia la presentan varios valores distintos. No desperdicia, a priori, ninguna de las observaciones. Con carcter general, un parmetro ser ms representativo de una determinada poblacin, cuntos ms valores de la variable estn implicados en su clculo. Por ejemplo, para medir la dispersin puede calcularse el recorrido, que slo usa dos valores de la variable objeto de estudio, los extremos; o la desviacin tpica, en cuyo clculo intervienen todos los datos del eventual estudio. Es interpretable, significa algo. La mediana, por ejemplo, deja por debajo de su valor a la mitad de los datos, est justo en medio de todos ellos cuando estn ordenados. Esta es una interpretacin clara de su significado. Es sencillo de calcular y se presta con facilidad a manipulaciones algebraicas. Se ver ms abajo que una medida de la dispersin es la desviacin media. Sin embargo, al estar definida mediante un valor absoluto, funcin definida a trozos y no derivable, no es til para gran parte de los clculos en los que estuviera implicada, aunque su interpretacin sea muy clara. Es poco sensible a las fluctuaciones muestrales. Si pequeas variaciones en una muestra de datos estadsticos influyen en gran medida en un determinado parmetro, es porque tal parmetro no representa con fiabilidad a la poblacin. As pues es deseable que el valor de un parmetro con esta propiedad se mantenga estable ante las pequeas oscilaciones que con frecuencia pueden presentar las distintas muestras estadsticas. Esta propiedad es ms interesante en el caso de la estimacin de parmetros. Por otra parte, los parmetros que no varan con los cambios de origen y escala o cuya variacin est controlada algebraicamente, son apropiados en determinadas circunstancias como la tipificacin.

Principales parmetrosHabitualmente se agrupan los parmetros en las siguientes categoras: Medidas de posicin.[14] Se trata de valores de la variable estadstica que se caracterizan por la posicin que ocupan dentro del rango de valores posibles de esta. Entre ellos se distinguen: Las medidas de tendencia central: medias, moda y mediana. Las medidas de posicin no central: cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles). Medidas de dispersin.[15] Resumen la heterogeneidad de los datos, lo separados que estos estn entre s. Hay dos tipos, bsicamente: Medidas de dispersin absolutas, que vienen dadas en las mismas unidades en las que se mide la variable: recorridos, desviaciones medias, varianza, desviacin tpica y meda. Medidas de dispersin relativa, que informan de la dispersin en trminos relativos, como un porcentaje. Se incluyen entre estas el coeficiente de variacin, el coeficiente de apertura, los recorridos relativos y el ndice de desviacin respecto de la mediana. Medidas de forma.[16] Su valor informa sobre el aspecto que tiene la grfica de la distribucin. Entre ellas estn los coeficientes de asimetra y los de curtosis. Otros parmetros.

Parmetro estadstico Adems, y con propsitos ms especficos, existen otros parmetros de uso en situaciones muy concretas, como son las proporciones, los nmeros ndice, las tasas y el coeficiente de Gini.

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Estadstica mundialOjos cafs: 56% - Ojos verdes: 22.3% - Ojos azules: 13.7% - Ojos avellana: 7% - Ojos grises: 1% Medidas de tendencia central o centralizacin Son valores que suelen situarse hacia el centro de la distribucin de datos. Los ms destacados son las medias o promedios (incluyendo la media aritmtica, la media geomtrica y la media armnica), la mediana y la moda. Media aritmtica o promedio La media aritmtica es, probablemente, uno de los parmetros estadsticos ms extendidos.[17] Sus propiedades son:[18] Su clculo es muy sencillo y en l intervienen todos los datos. Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

La estatura media como resumen de una poblacin homognea (abajo) o heterognea (arriba).

Minimiza las desviaciones cuadrticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de es mnimo cuando . Este resultado se conoce como Teorema de Knig. Esta propiedad

permite interpretar uno de los parmetros de dispersin ms importantes: la varianza. Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si entonces , donde es la media aritmtica de los , para i = 1, ..., n y a y b

nmeros reales. Este parmetro, aun teniendo mltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene tambin algunos inconvenientes, como son: Para datos agrupados en intervalos (variables continuas), su valor oscila en funcin de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.

Parmetro estadstico Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersin, de modo que cuanto menos homogneos son los datos, menos informacin proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composicin pueden tener la misma media.[19] Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95, pongamos por caso, tendra una estatura media de 1,95, evidentemente, valor que representa fielmente a esta homognea poblacin. Sin embargo, un equipo de estaturas ms heterogneas, 2,20, 2,15, 1,95, 1,75 y 1,70, por ejemplo, tendra tambin, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes. Es muy sensible a los valores extremos de la variable. Por ejemplo, en el clculo del salario medio de un empresa, el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de tiene tanto peso como el de mil empleados "normales" que ganen 1.000 , siendo la media de aproximadamente 2.000 . Moda La moda es el dato ms repetido, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.[20] En cierto sentido se corresponde su definicin matemtica con la locucin "estar de moda", esto es, ser lo que ms se lleva. Su clculo es extremadamente sencillo, pues slo necesita de un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolacin. Sus principales propiedades son: Clculo sencillo. Interpretacin muy clara. Al depender slo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parmetro ms utilizado cuando al resumir una poblacin no es posible realizar otros clculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios periodsticos las caractersticas ms frecuentes de determinado sector social. Esto se conoce informalmente como "retrato robot".[21] Inconvenientes: Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales. Por otra parte, en variables agrupadas en intervalos, su valor depende excesivamente del nmero de intervalos y de su amplitud. Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor. No siempre se sita hacia el centro de la distribucin. Puede haber ms de una moda en el caso en que dos o ms valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales). Mediana La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de s a la mitad de los datos, una vez que estos estn ordenados de menor a mayor.[22] Por ejemplo, la mediana del nmero de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posicin central es 2:

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En caso de un nmero par de datos, la mediana no correspondera a ningn valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los anteriores:

Parmetro estadstico

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Se toma como mediana Existen mtodos de clculo ms rpidos para datos ms numerosos (vase el artculo principal dedicado a este parmetro). Del mismo modo, para valores agrupados en intervalos, se halla el "intervalo mediano" y, dentro de este, se obtiene un valor concreto por interpolacin. Propiedades de la mediana como parmetro estadstico:[23] Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripcin en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el ltimo nmero, deja a la mediana inalterada. Como se ha comentado, puede calcularse para datos agrupados en intervalos, incluso cuando alguno de ellos no est acotado. No se ve afectada por la dispersin. De hecho, es ms representativa que la media aritmtica cuando la poblacin es bastante heterognea. Suele darse esta circunstancia En este ejemplo basado en una tabla real de percentiles usada en pediatra, puede cuando se resume la informacin sobre los comprobarse que una nia de 24 meses con un peso de 13 kg estara en el salarios de un pas o una empresa. Hay percentil 75, esto es, su peso es superior al 75% de las nias de su edad. La unos pocos salarios muy altos que elevan mediana correspondera, aproximadamente, a 12 kg (interseccin de la lnea la media aritmtica haciendo que pierda curva ms oscura con la lnea horizontal correspondiente al valor 12 en el eje vertical, para esa misma edad). representatividad respecto al grueso de la poblacin. Sin embargo, alguien con el salario "mediano" sabra que hay tanta gente que gana ms dinero que l, como que gana menos. Sus principales inconvenientes son que en el caso de datos agrupados en intervalos, su valor vara en funcin de la amplitud de estos. Por otra parte, no se presta a clculos algebraicos tan bien como la media aritmtica. Medidas de posicin no central Directamente relacionados con la anterior, se encuentran las medidas de posicin no central, tambin conocidas como cuantiles. Se trata de valores de la variable estadstica que dejan por debajo de s determinada cantidad de los datos. Son, en definitiva, una generalizacin del concepto de la mediana. Mientras que sta deja por debajo de s al 50% de la distribucin, los cuantiles pueden hacerlo con cualquier otro porcentaje.[24] Se denominan medidas de posicin porque informan, precisamente, de la posicin que ocupa un valor dentro de la distribucin de datos. Tradicionalmente se distingue entre cuartiles, si se divide la cantidad de datos en cuatro partes antes de proceder al clculo de los valores que ocupan cada posicin; deciles, si se divide los datos en diez partes; o percentiles, que dividen la poblacin en cien partes. Ejemplos: si se dice que una persona, tras un test de inteligencia, ocupa el percentil 75, ello supone que el 75% de la poblacin tiene un cociente intelectual con un valor inferior al de esa persona. Este criterio se usa por las asociaciones de superdotados, que limitan su conjunto de miembros a aquellas que alcanzan determinado percentil

Parmetro estadstico (igual o superior a 98 en la mayora de los casos). El ejemplo que se muestra en la imagen de la derecha es el correspondiente al clculo inverso, esto es, cuando se desea conocer el percentil correspondiente a un valor de la variable, en lugar del valor que corresponde a un determinado percentil. Otras medidas de posicin central son la media geomtrica y la media armnica que, aunque tienen determinadas propiedades algebraicas que podran hacerlas tiles en determinadas circunstancias, su interpretacin no es tan intuitiva como la de los parmetros anteriores.[25] Comentarios sobre las medidas de posicin Este tipo de parmetros no tienen por qu coincidir con un valor exacto de la variable y, por tanto, tampoco pueden usarse con carcter general para hacer pronsticos. Por ejemplo, si se dice que la media aritmtica de los hijos de las familias de un pas es de 1,2, no es posible encontrar familias con ese valor en concreto. Un segundo ejemplo: a ninguna fbrica de zapatos se le ocurrira fabricar los suyos con tallas nicamente correspondientes al valor promedio, ni siquiera tienen por qu ser estas tallas las ms fabricadas, pues en tal caso sera ms apropiado atender a la moda de la distribucin de tallas de los eventuales clientes. La eleccin de uno u otro parmetro depender de cada caso particular, de los valores de la variable y de los propsitos del estudio. Su uso indiscriminado puede ser deliberadamente tendencioso o involuntariamente sesgado, convirtindose, de hecho, en un abuso.[8] Puede pensarse, por ejemplo, en la siguiente situacin: un empresario publica que el salario medio en su empresa es de 1.600 . A este dato, que en determinadas circunstancias podra considerarse muy bueno, podra llegarse si la empresa tuviese cuatro empleados con salarios de 1.000 mensuales y el salario del jefe, incluido en la media, fuese de 4.000 al mes:[26]

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Con carcter general y a modo de resumen podra decirse que la media aritmtica es un parmetro representativo cuando la poblacin sigue una distribucin normal o es bastante homognea; en otras situaciones de fuerte dispersin, habra que decantarse por la mediana. La moda es el ltimo recurso (y el nico) cuando de describir variables cualitativas se trata.

Medidas de dispersinLas medidas de posicin resumen la distribucin de datos, pero resultan insuficientes y simplifican excesivamente la informacin. Estas medidas adquieren verdadero significado cuando van acompaadas de otras que informen sobre la heterogeneidad de los datos. Los parmetros de dispersin miden eso precisamente, generalmente, calculando en qu medida los datos se agrupan en torno a un valor central. Indican, de un modo bien definido, lo homogneos que estos datos son. Hay medidas de dispersin absolutas, entre las cuales se encuentran la varianza, la desviacin tpica o la desviacin media, aunque tambin existen otras menos utilizadas como los recorridos o la meda; y medidas de dispersin relativas, como el coeficiente de variacin, el coeficiente de apertura o los recorridos relativos. En muchas ocasiones las medidas de dispersin se ofrecen acompaando a un parmetro de posicin central para indicar en qu medida los datos se agrupan en torno de l.[27]

Diagrama de caja que muestra la dispersin grficamente, usando los cuartiles como referencia. Entre Q1 y Q3 (rango intercuartlico) se encuentran el 50% de las observaciones.

Parmetro estadstico Medidas de dispersin absolutas Recorridos El recorrido o rango de una variable estadstica es la diferencia entre el mayor y el menor valor que toma la misma. Es la medida de dispersin ms sencilla de calcular, aunque es algo burda porque slo toma en consideracin un par de observaciones. Basta con que uno de estos dos datos vare para que el parmetro tambin lo haga, aunque el resto de la distribucin siga siendo, esencialmente, la misma. Existen otros parmetros dentro de esta categora, como los recorridos o rangos intercuantlicos, que tienen en cuenta ms datos y, por tanto, permiten afinar en la dispersin. Entre los ms usados est el rango intercuartlico, que se define como la diferencia entre el cuartil tercero y el cuartil primero. En ese rango estn, por la propia definicin de los cuartiles, el 50% de las observaciones. Este tipo de medidas tambin se usa para determinar valores atpicos. En el diagrama de caja que aparece a la derecha se marcan como valores atpicos todos aquellos que caen fuera del intervalo [Li, Ls] = [Q1 - 1,5Rs, Q3 + 1,5Rs], donde Q1 y Q3 son los cuartiles 1 y 3, respectivamente, y Rs representa la mitad del recorrido o rango intercuartlico, tambin conocido como recorrido semiintercuartlico.[28] Desviaciones medias Dada una variable estadstica X y un parmetro de tendencia central, c, se llama desviacin de un valor de la variable, xi, respecto de c, al nmero |xi - c|. Este nmero mide lo lejos que est cada dato del valor central c, por lo que una media de esas medidas podra resumir el conjunto de desviaciones de todos los datos. As pues, se denomina desviacin media de la variable X respecto de c a la media aritmtica de las desviaciones de los valores de la variable respecto de c, esto es, si entonces De este modo se definen la desviacin media respecto de la media (c = ) o la desviacin media respecto de la mediana (c = ), cuya interpretacin es sencilla en virtud del significado de la media aritmtica.[27] Sin embargo, el uso de valores absolutos impide determinados clculos algebraicos que obligan a desechar estos parmetros, a pesar de su clara interpretacin, en favor de los siguientes. Varianza y desviacin tpica Como se vio ms arriba, la suma de todas las desviaciones respecto al parmetro ms utilizado, la media aritmtica, es cero. Por tanto si se desea una medida de la dispersin sin los inconvenientes para el clculo que tienen las desviaciones medias, una solucin es elevar al cuadrado tales desviaciones antes de calcular el promedio. As, se define la varianza como:[29]

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Conjunto de datos estadsticos de media aritmtica 50 (lnea azul) y desviacin tpica 20 (lneas rojas).

,

Parmetro estadstico o sea, la media de las desviaciones respecto de la media, al cuadrado. La desviacin tpica, , se define como la raz cuadrada de la varianza, esto es,

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Para variables agrupadas en intervalos, se usan las marcas de clase (un valor apropiado del interior de cada intervalo) en estos clculos. Propiedades:[29] Ambos parmetros no se alteran con los cambios de origen. Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante, b, la varianza queda multiplicada por b2. En el intervalo se encuentran, al menos, el de las observaciones (vase

Desigualdad de Tchebyschev).[30] Esta ltima propiedad muestra la potencia del uso conjunto de la media y la desviacin tpica como parmetros estadsticos, ya que para valores de k iguales a 2 y 3, respectivamente, se obtiene que: En el intervalo En el intervalo estn, al menos, el 75% de los datos. estn, al menos, el 89% de los datos.

Se cumple la siguiente relacin entre los parmetros de dispersin:

donde

,y

son, respectivamente, la desviacin media respecto de la mediana, la desviacin media

respecto de la media y la desviacin tpica (vase Desviacin media). La media. Es una medida de dispersin que tiene, por su propia definicin, las mismas propiedades que la mediana. Por ejemplo, no se ve afectada por valores extremos o atpicos.[31] No se utiliza demasiado en estadstica. Medidas de dispersin relativa Son parmetros que miden la dispersin en trminos relativos, un porcentaje o una proporcin, por ejemplo, de modo que permiten una sencilla comparacin entre la dispersin de distintas distribuciones.[32] Coeficiente de variacin de Pearson Se define como , donde es la desviacin tpica y es la media aritmtica.

Se interpreta como el nmero de veces que la media est contenida en la desviacin tpica. Suele darse su valor en tanto por ciento, multiplicando el resultado anterior por 100. De este modo se obtiene un porcentaje de la variabilidad. Su principal inconveniente es que en el caso de distribuciones cuya media se acerca a cero, su valor tiende a infinito e incluso resulta imposible de calcular cuando la media es cero. Por ello no puede usarse para variables tipificadas.

Parmetro estadstico Coeficiente de apertura Se define como el cociente entre los valores extremos de la distribucin de datos, esto es, dada una distribucin de datos estadsticos x1, x2, ..., xn, su coeficiente de apertura, CA es Se usa para comparar salarios de empresas. Recorridos relativos Dado Re, el recorrido de una distribucin de datos estadsticos, el recorrido relativo, RR es , donde

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es la media aritmtica de la distribucin. Dada una distribucin de datos estadsticos con cuartiles Q1, Q2 y Q3, el recorrido intercuartlico relativo, RIQR se define como[33]

Por otra parte, se define el recorrido semiintercuartlico relativo, RSIR, como ndice de desviacin respecto a la mediana Se define como , donde DMe es la desviacin media respecto de la mediana y Me es la mediana de

una distribucin de datos estadsticos dada.

Medidas de formaLas medidas de forma caracterizan la forma de la grfica de una distribucin de datos estadsticos. La mayora de estos parmetros tiene un valor que suele compararse con la campana de Gauss, esto es, la grfica de la distribucin normal, una de las que con ms frecuencia se ajusta a fenmenos reales. Medidas de asimetra Se dice que una distribucin de datos estadsticos es simtrica cuando la lnea vertical que pasa por su media, divide a su representacin grfica en dos partes simtricas. Ello equivale a decir que los valores equidistantes de la media, a uno u otro lado, presentan la misma frecuencia.

La campana de Gauss, curva que sirve de modelo para el estudio de la forma de una distribucin.

En las distribuciones simtricas los parmetros media, mediana y moda coinciden, mientras que si una distribucin presenta cierta asimetra, de un tipo o de otro, los parmetros se sitan como muestra el siguiente grfico:

Parmetro estadstico

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Ello puede demostrarse fcilmente si se tiene en cuenta la atraccin que la media aritmtica siente por los valores extremos, que ya se ha comentado ms arriba y las definiciones de mediana (justo en el centro de la distribucin, tomando el eje de abscisas como referencia) y moda (valor que presenta una ordenada ms alta). Por consiguiente, la posicin relativa de los parmetros de centralizacin pueden servir como una primera medida de la simetra de una distribucin. Otras medidas ms precisas son el coeficiente de asimetra de Fisher, el coeficiente de asimetra de Bowley y el coeficiente de asimetra de Pearson. Medidas de apuntamiento o curtosis Con estos parmetros se pretende medir cmo se reparten las frecuencias relativas de los datos entre el centro y los extremos, tomando como comparacin la campana de Gauss. El parmetro usado con ms frecuencia para esta medida es el coeficiente de curtosis de Fisher, definido como:

Tres distribuciones con distintos grados de apuntamiento.

, aunque hay otros como el coeficiente de curtosis de Kelley o el coeficiente de curtosis percentlico. La comparacin con la distribucin normal permite hablar de distribuciones platicrticas o ms aplastadas que la normal; distribuciones mesocrticas, con igual apuntamiento que la normal; y distribuciones leptocrticas, esto es, ms apuntadas que la normal.[34] Por ltimo, existen otras medidas para decidir sobre la forma de una distribucin con ajuste a modelos menos usuales como los que se muestran en las siguientes grficas:

Parmetro estadstico

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Otros parmetrosSe presentan en este apartado otros parmetros que tienen aplicacin en situaciones muy concretas, por lo que no se incluyen entre los grupos anteriores, aunque tienen cabida en este artculo por su frecuente uso en medios de comunicacin y su facultad de resumir grandes cantidades de datos, como ocurre con las medidas tratadas hasta ahora. Proporcin La proporcin de un dato estadstico es el nmero de veces que se presenta ese dato respecto al total de datos. Se conoce tambin como frecuencia relativa y es uno de los parmetros de clculo ms sencillo. Tiene la ventaja de que puede calcularse para variables cualitativas. Por ejemplo, si se estudia el color de ojos de un grupo de 20 personas, donde 7 de ellas los tienen azules, la proporcin de individuos con ojos azules es del 35% (= 7/20). El dato con mayor proporcin se conoce como moda (vase, ms arriba). En inferencia estadstica existen intervalos de confianza para la estimacin de este parmetro. Nmero ndice Un nmero ndice es una medida estadstica que permite estudiar las fluctuaciones o variaciones de una magnitud o de ms de una en relacin al tiempo o al espacio. Los ndices ms habituales son los que realizan las comparaciones en el tiempo. Algunos ejemplos de uso cotidiano de este parmetro son el ndice de precios o el IPC[35] Tasa La tasa es un coeficiente que expresa la relacin entre la cantidad y la frecuencia de un fenmeno o un grupo de fenmenos. Se utiliza para indicar la presencia de una situacin que no puede ser medida en forma directa.[35] Esta razn se utiliza en mbitos variados, como la demografa o la economa, donde se hace referencia a la tasa de inters.

Coeficiente de Gini en el mundo (2007-2008)

Algunos de los ms usados son: tasa de natalidad, tasa de mortalidad, tasa de crecimiento demogrfico, tasa de fertilidad o tasa de desempleo.

Parmetro estadstico Coeficiente de Gini El ndice de Gini o coeficiente de Gini es un parmetro de dispersin usado para medir desigualdades entre los datos de una variable o la mayor o menor concentracin de los mismos. Este coeficiente mide de qu forma est distribuida la suma total de los valores de la variable. Se suele usar para describir salarios. Los casos extremos de concentracin seran aquel en los que una sola persona acapara el total del dinero disponible para salarios y aquel en el que este total est igualmente repartido entre todos los asalariados.[36]

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MomentosLos momentos son una forma de generalizar toda la teora relativa a los parmetros estadsticos y guardan relacin con una buena parte de ellos. Dada una distribucin de datos estadsticos x1, x2, ..., xn, se define el momento central o momento centrado de orden k como

Para variables continuas la definicin cambia sumas discretas por integrales (suma continua), aunque la definicin es, esencialmente, la misma.[37] De esta definicin y las propiedades de los parmetros implicados que se han visto ms arriba, se deduce inmediatamente que:

y que

Se llama momento no centrado de orden k a la siguiente expresin:

De la definicin se deduce que:

Usando el binomio de Newton, puede obtenerse la siguiente relacin entre los momentos centrados y no centrados:

Los momentos de una distribucin estadstica la caracterizan unvocamente.[38]

Parmetros bidimensionalesEn estadstica se estudian en ocasiones varias caractersticas de una poblacin para compararlas, estudiar su dependencia o correlacin o realizar cualquier otro estudio conjunto. El caso ms comn de dos variables se conoce como estadstica bidimensional.[39] Un ejemplo tpico es el de un estudio que recoja la estatura (denotmosla por X) y el peso (sea Y) de los n individuos de una determinada poblacin. En tal caso, fruto de la recogida de datos, se obtendra una serie de parejas de datos (xi, yi), con i = 1, ..., n, cada una de las cuales estara compuesta por la estatura y el peso del individuo i, respectivamente. En los estudios bidimensionales, cada una de las dos variables que entran en juego, estudiadas individualmente, pueden resumirse mediante los parmetros que se han visto hasta ahora. As, tendra sentido hablar de la media de las estaturas ( ) o la desviacin tpica de los pesos (Y). Incluso para un determinado valor de la primera variable, xk,

Parmetro estadstico cabe hacer estudios condicionados. Por ejemplo, la mediana condicionada a la estatura xk sera la mediana de los pesos de todos los individuos que tienen esa estatura. Se denota Me/x=xk. Sin embargo existen otros parmetros que resumen caractersticas de ambas distribuciones en su conjunto. Los ms destacados son el centro de gravedad, la covarianza y el coeficiente de correlacin lineal.

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Centro de gravedadDadas dos variables estadsticas X e Y, se define el centro de gravedad como la pareja ( son, respectivamente, las medias aritmticas de las variables X e Y. El nombre de este parmetro proviene de que en una representacin de las parejas del estudio en una nube de puntos, en la que cada punto tuviese un peso proporcional a su frecuencia absoluta, las coordenadas ( , ) corresponderan, precisamente, al centro de gravedad como concepto fsico.[40] , ), donde y

CovarianzaLa covarianza o varianza conjunta de una distribucin bidimensional se define como:

La interpretacin de este parmetro tiene que ver con la eventual correlacin lineal de las dos variables. Una covarianza positiva implica una correlacin directa y una negativa, una correlacin inversa.[41] Por otra parte, es un parmetro imprescindible para el clculo del coeficiente de correlacin lineal o los coeficientes de regresin, como se ver ms abajo. En su contra tiene que se ve excesivamente influenciada, al igual que ocurra con la media aritmtica, por los valores extremos de las distribuciones y los cambios de escala.

Coeficiente de correlacin linealSe trata de un coeficiente que permite determinar la bondad del ajuste de la nube de puntos por una recta.

Variacin del coeficiente de correlacin lineal en funcin de la nube de puntos asociada.

Se define como:

, donde xy es la covarianza y x y y, las desviaciones tpicas respectivas de las

distribuciones implicadas. El coeficiente de correlacin lineal toma valores entre -1 y 1. En esa escala, mide la correlacin del siguiente modo: La correlacin lineal es ms fuerte cuanto ms cerca est de -1 o 1. La correlacin lineal es ms dbil cuanto ms prximo a cero sea r.[42] El diagrama de la derecha ilustra cmo puede variar r en funcin de la nube de puntos asociada: Otros parmetros bidimensionales son, el coeficiente de correlacin de Spearman, los coeficientes de correlacin no paramtricos, el coeficiente de determinacin o los coeficientes de regresin lineal.

Parmetro estadstico Al igual que con distribuciones unidimensionales, existe una forma equivalente de desarrollar la teora relativa a los parmetros estadsticos bidimensionales usando los momentos.

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Los parmetros en la inferencia estadsticaEn ocasiones los parmetros de una determinada poblacin no pueden conocerse con certeza. Generalmente esto ocurre porque es imposible el estudio de la poblacin completa por cuestiones como que el proceso sea destructivo (p. e., vida media de una bombilla) o muy caro (p.e., audiencias de televisin). En tales situaciones se recurre a las tcnicas de la inferencia estadstica para realizar estimaciones de tales parmetros a partir de los valores obtenidos de una muestra de la poblacin.[43] Se distingue entonces entre parmetros y estadsticos. Mientras que un parmetro es una funcin de los datos de la poblacin, el estadstico lo es de los datos de una muestra. De este modo pueden definirse la media muestral, la varianza muestral o cualquier otro prametro de los vistos ms arriba. Por ejemplo, dada una muestra estadstica de tamao n, muestral n-sima como: , de una variable aleatoria X con

distribucin de probabilidad F(x,), donde es un conjunto de parmetros de la distribucin, se definira la media

En el caso concreto de la varianza muestral, suele tomarse, por sus mejores propiedades como estimador, la siguiente:

donde se ha tomado como denominador n-1, en lugar de n. A este parmetro tambin se le llama cuasivarianza.[44]

Vase tambin Desigualdad de Tchebyschev, teorema que muestra la cantidad de datos que resumen conjuntamente la media aritmtica y la desviacin tpica. Diagrama de caja, grfico en el que se aprecian visualmente las caractersticas de algunos de los parmetros de centralizacin, posicin y dispersin. Dispersin (matemtica). Estadstica descriptiva. La teora estadstica relativa a los parmetros, tal y como se han expuesto en este artculo, pertenece a esta especialidad matemtica. Estadstica robusta. Estadstico, concepto equivalente al de parmetro cuando se trata de una muestra. Estimacin de parmetros, diversos mtodos para predecir el valor real de determinados parmetros poblacionales cuando stos no pueden conocerse mediante experiencias. Intervalo de confianza, mtodo para estimar el valor aproximado de un parmetro estadstico. Parmetro, como objeto matemtico. Parmetros ms comunes: Parmetros de centralizacin: Media aritmtica, media geomtrica, media armnica, Mediana, Moda; Parmetros de dispersin: Coeficiente de variacin,

Parmetro estadstico Desviacin media, Desviacin tpica, Rango, Varianza; Medidas de posicin no central: Otros parmetros: Asimetra estadstica, Coeficiente de Gini, Curtosis, Momento estndar, Momento centrado, Nmero ndice, Proporcin, Tasa (ndice); Parmetros bidimensionales: Correlacin: Coeficiente de correlacin de Pearson, Coeficiente de correlacin de Spearman, Poblacin, como concepto estadstico. Regresin estadstica

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Fuentes y contribuyentes del artculo

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