PEMBANGKIT VARIABEL RANDOM

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Definisi Program Yang Digunakan

Dalam mempelajari simulasi, sesuatu yang dibuthkan adalah kemampuan

dalam membangkitkan bilangan random, dimana apabila merandom sebuah data,

maka yang keluar adalah data berdistribusi uniform (0,1). Dalam pembahasan di

bawah ini, akan dijelaskan mengenai bagaimana membangkitkan data variable

random.

Pembangkitan Bilangan Acak- Pseudorandom Number Generation

Pseudo= semu seolah-olah apa yang dirandomkan berdistribusi uniform (0,1)

Satu hal yang paling sering digunakan dalam pseudorandom generation yaitu dimulai

dengan X0, sehingga nantinya akan didapatkan Xn, dimana Xn=aXn-1 modulo m

Misalnya: a=2, m=5 , X0 = 3

X1= 2(1) modulo 5 =1 Xn=aXn-1 modulo m

X2= 2(3) modulo 5 =2 u = Xn/m ~U (0,1)

X3= 2(2) modulo 5 =4 X~U (a,b)

X4= 2(4) modulo 5 =3

Note: modulo adalah sisa hasil bagi suatu bilangan dengan suatu nilai (dalam

kasus ini menggunakan nilai m)

Misalkan ada suatu digit angka sebagai berikut:

Modul II Dinar Resita Cesilvrenia ( 0932010027 ) Senin I / Meja C

I = 1

II = 3

III = 7

.

.

.

III … I = …

untuk mengetahui bilangan dengan 32 digit, maka dapat diketahui dengan:

2k-1 dengan k=1,2,..

Sehingga didapatkan III … I(hingga 32 ) =232-1=4294967295

Contoh pembangkitan data variable Random:

1. Distribusi Uniform

Secara random didapatkan U~U (0,1). Apabila diberi batasan (a,b), maka

menghasilkan pembangkit variabel random sebagai berikut:

X = U(b-a)+a dengan a=batas atas dan b= batas bawah

2. Distribusi Exponensial

Dapat diketahui bahwa,

f(x)= (1/β)e-x/ β

F(x)= 1- e-x/ β, dengan β=1, maka menjadi F(x)= 1- e-x

Apabila U adalah suatu bilangan random dari data berdistribusi uniform(0,1),

maka pembangkit variabel randomnya adalah sebagai berikut:

U = 1-e-x

U-1 =- e-x


1-U = e-x

U = e-x

-x = ln U

x =- ln U

2.1.1 Fungsi Pembangkit Variabel Random berbagai Distribusi dengan Pascal

Berikut Daftar Distribusi yang akan diberikan fungsi pembangkit variabel

randomnya :

1. Distribusi uniform

2. Distribusi Eksponensial

3. Distribusi Normal

4. Distribusi Lognormal

5. Distribuso Weibull

6. Distribusi t-student

7. Distribusi fisher

1) Fungsi Distribusi Uniform

Function Uniform (a,b : double) : double;

Var u : double;

Begin

u := random;

Uniform := (b-a) * u + a;

End;


2) Fungsi Distribusi Eksponensial

Function Eksponensial (beta : double) : double;

Var u : double;

Begin

u := random;

Eksponensial := -beta * ln(u);

End;

3) Fungsi Distribusi Normal

Procedure Normal (mean,variance : double ; Var z1,z2 : double);

Var u1,u2,v1,v2,w,y,x1,x2 : double;

Begin

Repeat

u1 := random;

u2 := random;

v1 := 2 * u1 – 1;

v2 := 2 * u2 – 1;

w := sqr(v1) + sqr(v2);

if w <= 1 then

begin

y := sqrt ((-2*ln(w))/w);

x1 := v1 * y;

x2 := v2 * y;

z1 := sqrt (variance) * x1 + mean;


z2 := sqrt (variance) * x2 + mean;

end

Until w <= 1;

End;

4) Procedure Distribusi Lognormal

procedure lognormal (mean,varr : double;

Var zln1,zln2 : double);

Var y1, y2 : double;

begin

Normal (mean,varr,y1,y2);

zln1 := exp(y1);

zln2 := exp(y2);

end;

5) Fungsi Distribusi Weibull

Function Weibull (alfa,beta: double) : double;

Var u,z : double;

Begin

u := random;

z := -ln(u);

Weibull := beta * exp (ln(z)/alfa);

End;


6) Fungsi Distribusi t-student

function tdistribution(m:integer):double;

Label r2;

Var v,x,r,s,c,a,f,g,mm : real;

begin

mm:=0;

if m < 1 then

begin

writeln('impermissible degrees of freedom.');

halt;

end;

if (m mm) then

begin

s:=m;

c:=-0.25*(s+1);

a:=4/power((1+1/s),c);

f:=16/a;

if m>1 then

begin

g:=s-1;

g:=power(((s+1)/g),c)*sqrt((s+s)/g);

end else

g := 1;


mm:=m;

end;

r2:repeat

r:=random;

until r > 0.0;

x:=(2*random-1)*g/r;

v:=x*x;

if (v>(5-a*r)) then

begin

if ((m>=3) and (r*(v+3)>f)) then goto r2;

if (r>power((1+v/s),c)) then goto r2;

end;

tdistribution :=x;

end;

begin

tipe11[1]:=0.2;

tipe11[1]:=0.3;

tipe11[1]:=0.5;

tipe11[1]:=0.8;

tipe11[1]:=1.0;

end.


2.1.2 Membangkitkan Variabel Random Berdistribusi

Ada lima metode pembangkitan variabel random yaitu Transformasi Invers,

Metode Konvolusi, Metode Komposisi, Metode Acceptance-Rejection, dan Adaptive

Acceptance-Rejection. Unsur dasar yang dibutuhkan tiap metode pembangkitan

tersebut adalah bilangan random yang memenuhi sifat IIDU~(0,1). Pentingnya

distribusi U~(0,1) ini berasal dari kenyataan bahwa variabel-variabel random dari

semua distribusi (weibull, exponensial, dll) dan realisasi bermacam-macam proses

random bisa di dapatkan dengan mentrasformasikan, mengkonvolusikan dan

mengkomposisikan variabel random IIDU~(0,1) menjadi variabel distribusi lain yang

diinginkan / Transformasi Invers.

Metode transformasi invers adalah metode pembangkit variabel random

paling sederhana. Namun, hanya berlaku untuk variabel random yang mempunyai

bentuk distribusi kumulatif (CDF).

Contoh :

Jika X~Eksponensial (λ)maka tentukan variavel random pembangkit variabel

randomnya dengan menggunakan metode transformasi invers.

Jawab

Untuk suatu variabel random yang berdistribusi exponensial, maka


http://ainymahmudah.wordpress.com/2009/09/13/membangkitkan-variabel-random-berdistribusi/

http://ainymahmudah.wordpress.com/2009/09/13/membangkitkan-variabel-random-berdistribusi/attachment/1/

http://ainymahmudah.wordpress.com/2009/09/13/membangkitkan-variabel-random-berdistribusi/1-2/


Distribusi ini mempunyai CDF close form, yaitu

Sehingga pembangkitan variabel randomnya adalah



http://ainymahmudah.files.wordpress.com/2009/09/1.jpg








2.1.3 Pseudorandom Number Generation

Pseudrom number disebut juga dengan random semu. Disebut dengan random

semu dikarenakan walaupun data sudah dirandom akan tetapi terdapat nilai yang

berulang secara teratur.

Contoh :

a = 2, m = 5, xo = 3

x1 = 2(3) modulo 5 = 1

x2 = 2(1) modulo 5 = 2

x3 = 2(2) modulo 5 = 4

x4 = 2(4) modulo 5 = 4

atau secara rumus dapat dirumuskan xn = axn-1. Persamaan ini digunakan untuk

menduga variabel random dari distribusi uniform (0,1)

2.1.4 Taksiran Varian

Berikut ini adalah salah satu contoh untuk mengetahui apakah varian suatu

sampel bias terhadap populasinya.

Algoritma untuk melakukanya adalah

1. mulai

2. Bangkitkan data X~N(60,1) sebanyak 100 sebagai populasi

3. mengambil sampel dengan n=10 sebanyak 1000 kali.

4. untuk masing-masing sampel hitung


http://ainymahmudah.wordpress.com/2009/09/06/taksiran-varian/

http://ainymahmudah.wordpress.com/2009/09/13/pseudorandom-number-generation/

http://ainymahmudah.files.wordpress.com/2009/09/rumus-s.jpg

5. Hitung bias S1 dan S2 dan bandingkan

6. selesai

sebagai catatan S1 merupakan varian populasi dan S2 merupakan varian sampel.

2.1.5 Mencari Phi Menggunakan Pascal

Kita juga dapat menggunakan persamaan lingkaran X2+Y2=1 untuk mencari

luas lingkaran. Dimana titik x ~ U(0,1) dan y ~ U(0,1). Sehingga dengan

membangkitkan data untuk distribuís binomial kita bisa memperoleh nilai dari phi.

Algoritma untuk program ini hádala

1. mulai

2. i = 0

3. i = i+1

4. bangkitkan 10000 titik

x ~ U(0,1)

y ~ U(0,1)

5. phi= 4* m/n

6. jika i < 1000 pergi ke langkah 3

7. phi=∑ I / 1000

8. tulis

9. Selesai


http://ainymahmudah.wordpress.com/2009/09/05/mencari-phi-menggunakan-pascal/

Dengan algoritma d atas dapat dibuat syntag sebagai berikut

untuk runing 2 kali diperoleh sebagai berikut

Program pertama ini hanya dilakukan pengambilan sample (random) satu kali

saja. Untuk setiap running program dalam waktu yang berbeda diperoleh hasil yang

berbeda pula. Karena dilakukan hanya satu kali pengambilan sample sehingga


pernedaanya cukup jauh, untuk itu dibuat jyga program dimana pengambilan sample

dilakukan secara berulang-ulang.

Berikut ini adalah syntag program pascal

hasil yang diperoleh


2.1.6 Sampel

Sebagai seorang statistikawan kita bekerja tidak langsung pada populasi, akan

tetapi pada sampel. Dari populasi kita akan mendapatkan suatu parameter dengan

mengambil sampel dari populasi kita dapat menduga parameter dengan mengunakan

statistik.

Dapat di gambarkan sebagai berikut

Karena statistik digunakan untuk mengestimasi parameter maka harus memenuhu

kriteria

a. Tak bias

b. Efisien

c. Konsisten

d. Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator (UMVUE)

e. Kecukupan

Tak Bias

Suatu estimator dikatakan tak bias jika E(θˆ)= θ

Contoh:

Suatu populasi bernilai 10,20 dan 30 mempunyai μ = 20

Maka dapat dibuat suatu sample sebagai berikut


http://ainymahmudah.wordpress.com/2009/09/05/sampel/

E(x(bar)) = (15+15+20+20+25+25)/6 = 20

Karena nilai E(x(bar)) = μ maka estimator/penduga rata-rata sampel yang digunakan

tidak bias.

2.1.7 Contoh Simulasi Sederhana (Mencari nilai phi)

Pada umumnya nilai phi diberikan dengan nilai 22/7 atau 3,14. dengan

menggunakan simulasi matematis untuk mencari nilai dari phi. Kita mensimulasikan

dengan mengunakan lingkaran dan bujursangkar, kita membuat titik dimana

dibedakan titik tersebut terdapat didalam lingkaran atau diluar lingkaran tetapi masih

di dalam bujursangkar.

Sehingga perbandingan matematisnya adalah


http://ainymahmudah.wordpress.com/2009/09/05/contoh-simulasi-sederhana-mencari-nilai-phi/

2.2 Teori Pogram Yang Dibuat

Simulasi adalah proses merancang model dari system yang sebenarnya,

mengadakan percobaan-percobaan terhadap model tersebut dan mengevaluasinya.

Jadi simulasi merupakan metode penelitian yang eksperimental. Beberapa tujuan

simulasi adalah :

a. Untuk memahami perilaku system nyata.

b. Untuk memprediksi system yang akan datang.

Pemecahan masalah dengan model simulasi biasanya dilakukan dengan

memakai computer, sebab banyak hal atau perhitungan yang terlalu rumit untuik

dihitung dengan tangan. Namun untuk masalah yang sangat sederhana bias

diselesaikan tanpa computer.

Model – model simulasi dapat dikelompokkan ke dalam beberapa golongan,

antara lain adalah :

1. Berdasarkan keteraturan hubungan antara input dan output :

a. Model Stochastik

Di dalam proses stochastic sifat-sifat output dari proses ditentukan

berdasarkan dan merupakan hasil dari konsep random (acak). Meskipun


output yang diperoleh dapatdinyatakan dengan rata-rata, kadangkadang

ditunjukkan pula pola penyimpangannya.

b. Model Deterministik

Pada model ini tidak diperhatikan unsure random, sehingga pemecahan

masalahnya lebih sederhana.

2. Berdasarkan perubahan state terhadap waktu :

a) Model Statik

Model yang tidak memperhatikan perubahan nilai dari variable yang ada yang

terjadi pada waktu yang berbeda.

b) Model Dinamik

Model yang memperhatikan perubahan nilai dari variable yang ada yang

terjadi pada waktu yang berbeda. Model ini selalu mjengikuti perkembangan

jaman.

3. Berdasarkan sifat perubahan “state” dari system :

a) Model Kontinu

b) Model Diskret

4. Berdasarkan penyajian :

a) Model Matematik

b) Model Ikonik

c) Model Analog

5. Model Heuristik

Model heuristiuk adalah model yang dilakukan dengan cara coba-coba, jika

dilandasi dengan suatu teori masih bersifat ringan, langkah perubahannya


dilakukan berulang-ulang, dan pemilihan langkahnya bebas, sampai diperoleh

hasil yang lebih baik, tetapi belum tentu optimal.

Langkah – langkah dalam simulasi :

1. Formulasi Masalah

Masalah : gabungan atara yang seharusnya dan yang terjadi (kenyataan)

Perumusan masalah : padat, jelas dan memungkinkan pengumpulan data

2. Pendefinisian sisitem

Tujuan studi

Komponen – komponen penting (entity) dan atributnya

Kejadian – kejadian, aktivitas dan keadaan system

Batasan system

Performansi system

3. Formulasi model

Merumuskan hubungan antara komponen dan atribut

Diagram-diagram alir

Persamaan-persamaan matematik

4. Penyiapan data

Data-data empiris dan kritis, data-data kualitatif dan kuantitatif

5. Penterjemahan model

Mentejemahkan model ke program simulasi computer

Bahasa computer :

o Umum : fortran, pascal, basic, dll

o Khusus : GPSS, SIMAN, DINAMO, dll


Program khusus simulasi : ProModel, Simul8, Arena, dsb

6. Uji validasi dahn verifikasi

Uji validasi : apakah hasil simulasi sesuai dengan system nyata ?

Uji verifikasi : apakah penterjemahan model sudah benar ?

7. Eksperimen

Mengadakan perlakuan-perlakuan (dengan mengubah nilai-nilai variable

bebas) dan melihat pengaruhnya pada output simulasi.

Analisis sensitivitas

8. Implementasi

Aplikasi model pada beberapa kasus tertentu

9. Dokumentasi

Penyimpanan program hasil simulasi

Model Simulasi yang berupa Pembangkitan Bilangan Random (PBR) terbagi

menjadi dua, yaitu :

1. Pembangkitan bilangan random (PBR) terdistribusi kontinu.

2. Pembangkitan bilangan random (PBR) terdistribusu tidak

uniform.

Kualitas simulasi dipengaruhi oleh kualitas bilangan random yang dihasilkan

dari Pembangkitan Bilangan Random (PBR).Pembangkitan bilangan random

terdistribusi uniform komputer yang sering digunakan :

1) Mixed linier Congruential Generator (LCG)

C ≠ 0


2) Prime Modulus Multiplicative Linier Congrential Generator

(PMMLCG)

C = 0

Dimana :

a = faktor pengali

c = faktor penjumlah

m = modulus

= nilai awal

yang mana : a, m, > 0

Untuk menghasilkan bilangan random yang baik diperlukan syarat-syarat

sebagai berikut :

1) m dan c habis dibagi bilangan positif 1

2) Jika q bilangan prima habis membagi m, q juga habis

membagi (m-1)

3) Jika 4 habis membagi m, maka 4 juga habis membagi (a-1)

Bilangan random yang baik adalah :

1) Berasal dari satu sumber distribusi uniform U (0,1)


2) Antara bilangan random tidak berkorelasi (uji independensi)

3) Periode panjang

4) Spasi antar pengenal diabaikan.

Jenis / Tipe Data :

1) Tipe Integer

Tipe Integer adalah terdiri dari bilangan dan tidak mempunyai titik desimal.

Tanda plus / minus dapat mendahului bilangan tersebut. Data tipe ini digunakan

untuk pencacah.

2) Tipe Real

Tipe Real adalah bilangan yang berisi paling sedikit satu digit titik desimal

sebelum atau sesudah titik desimal. Tidak boleh ada koma dan nilai dapat

positif atau negatif.

3) Tipe Char

Kata Char (Karakter) digunakan untuk mendefinisikan tipe data yang nilainya

berupa himpunan karakter yang dikenal komputer. Dalam pemrograman nilai

rinci data tipe Char ditulis diantara tanda petik.

4) Tipe Boolean

Tipe data Boolean memiliki dua nilai saja yaitu True / False. Nilai Boolean

sangat penting terutama untuk pengambilan keputusan dalam suatu program.

Statement Baca dan Tulis :

1. Statement Baca

Pascal mempunyai dua statement untuk membaca data yaitu statement Read dan

Readln. Statement Read tidak memperlihatkan batas baris, rinci data (yang


tersedia) akan selalu dibaca, tidak tergantung apakah mereka ada dibaris yang

sama atau tidak. Statement Readln memulai pembacaan data pada posisi baris

saat itu dan pergi ke awal baris baru setelah pembacaan selesai.

2. Statement Tulis

Pascal mempunyai dua statement keluaran yaitu Write dan Writeln. Untuk

kedua statement lebar baris dalam suatu baris yang bisa digunakan untuk

mencetak keluaran bervariasi sesuai dengan piranti keluaran yang digunakan.

Statement Write digunakan untuk mencetak pada baris yang sama dari beberapa

argumen. Sedangkan Writeln yang tidak diikuti argumen tidak akan mencetak

nilai argumen tersebut dan berpindah ke baris berikutnya.

Perintah Pengulangan :

1. Statement For

Statement For digunakan untuk melakukan operasi Loop. Dalam statement ini

cacah pengerjaan sejumlah statement dapat diketahui dengan pasti.

2. Statement While

Statement While digunakan untuk proses berulang dimana salah satu atau lebih

statement akan dieksekusi berulang kali sampai kondisi yang dinyatakan dalam

Statement While tidak dipenuhi.

2. Statement Repeat

Cara kerja Statement Repeat adalah kebalikan dari While. Perintah Repeat dapat

digunakan untuk mengulang sekelompok perintah dalam suatu program.

Pengajuan waktu dalam simulasi :

1. Fixed Time Increament


a. Waktu (clock) diajukan pada interval waktu tertentu

b. Perubahan system dianggap kontinu

Kerangka program simulasi :

Program utama memuat program-sub program :

TIME : Real (waktu simulasi)

tawal : Real (waktu awal)

takhir : Real (waktu akhir)

incrt : (penambahan interval waktu)

Read_Parameter : procedure (subprogram pembacaan parameter)

Init_State : procedure (subprogram pemberian nilai-nilai awal)

Next_State : procedure (subprogram perhitungan state)

Tulis_State : procedure (subprogram penulisan state)

Report : procedure (subprogram penulisan resume dan hasil

simulasi)

2. Event Oriented Simulation

c. Pengajuan waktu (clock) simulasi berdasarkan perubahan state system

akibat adanya event

Kerangka program simulasi :

Main program (program utama) memuat subprogram-subprogram :

Read param : procedure (subprogram pembacaan parameter)

Init : procedure (subprogram pemberian nilai-nilai awal)

Timing event : procedure (subprogram pengajuan clock), bias terdiri dari

beberapa event


Report : procedure (subprogram pembacaan hasil akhir simulasi)

Model Simulasi yang berupa Pembangkitan Bilangan Random (PBR) terbagi

menjadi dua, yaitu :

Pembangkitan bilangan random (PBR) terdistribusi kontinu.

Pembangkitan bilangan random (PBR) terdistribusi tidak uniform.

Kualitas simulasi dipengaruhi oleh kualitas bilangan random yang dihasilkan

dari Pembangkitan Bilangan Random. Pembangkitan Bilangan Random terdistribusi

Uniform Komputer yang sering digunakan :

1. Mixed Linier Congruential Generator (LCG)

C ≠ 0

Zi = (a.Zi-1 + C) mod m

Ui = Zi / m

2. Prime Modulus Multiplicate Linier Congruential Generator

(PMMLCG)

C = 0

Zi = (a.Zi – 1) mod m

Ui = Zi / m

Dimana : a = factor pengali

c = factor penjumlah

m = modulus

Zo = nilai awal

yang mana : a, m, Zo > 0


Untuk menghasilkan bilangan random yang baik diperlukan syarat – syarat sebagai

berikut :

1. m dan c habis dibagi bilangan positif 1

2. jika q bilangah prima habis dibagi m, q juga habis membagi (m – 1)

3. jika 4 habis membagi m, maka 4 juga habis membagi (a – 1)

Bilangan random yang baik :

1. berasal dari suatu submer distribusi uniform U(0,1)

2. antar bilangan random tidak berkorelasi (uji independensi)

3. periode panjang

Program-program simulasi yang dibuat harus berdasarkan kerangka dan

penggunaan pokok permasalahan yang ada. Jadi dalam penentuan program harus

menemukan permasalahan apa yang akan diselesaikan dan hasi apa yang dibutuhkan

dalam pengolahan insert data yang diinginkan oleh pengolah dan penterjemah model.

Program TPW. 1.5 ini digunakan untuk menyelesaikan permasalahan simulasi

yang berkaitan dengan pembuatan program yang akan mencari solusi permasalah

kaitannya dengan bilangan random dengan bentuk data kuantitatif. Data-data yang

dikhususkan dengan melalui insert data, berupa integer maupun bilangan real.


Documents

PEMBANGKIT VARIABEL RANDOM