Pencarian akar akar persamaan

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

Text of Pencarian akar akar persamaan

  • PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN

    ada bab ini akan dibahas metode-metode numerik yang digunakan untuk mencari akar-akar

    dari suatu persamaan matematik atau yang lebih dikenal dengan istilah roots finding. Dalam

    ilmu sains dan teknik, permasalahan terkait pencarian akar-akar suatu persamaan sangatlah sering

    dijumpai, oleh karena itu metode numerik untuk mencari akar-akar suatu persamaan penting untuk

    dipelajari.

    Motivasi

    Akar-akar dari suatu persamaan didefinisikan sebagai titik-titik perpotongan kurva persamaan

    tersebut terhadap sumbu-sumbu variabel bebasnya. Sebagai contoh, apabila suatu nilai

    sembarang memberikan nilai suatu persamaan atau fungsi () = 0, maka tersebut merupakan

    akar dari fungsi (). Dalam beberapa kasus, persamaan biasanya memiliki lebih dari satu akar

    persamaan seperti pada kasus persamaankuadrat yang secara umum dituliskan dalam bentuk,

    () = 2 + + (2.1)

    Akar-akar padapersamaan (2.1) dapat ditentukan secara analitik dengan rumusan berikut,

    1,2 = 2 4

    2 (2.2)

    rumusan (2.2) hanya dapat digunakan untuk persamaan kuadrat. Untuk persamaan dengan pangkat

    yang lebih dari dua, rumusan tersebut tidak berlaku. Contoh dari persamaan-persamaan yang

    dimaksud yaitu,

    () = 3 + 2 3 3

    () = 5 + 24 + 33 + 42 3 1

    selain itu, apabila terdapat persamaan atau fungsi dengan bentuk sebagai berikut,

    () = (2) + (1

    ln(cos ()) )

    apakah anda mampu secara analitik menemukan akar-akar dari fungsi diatas? Jelas sekali bahwa

    permasalahan seperti ini sangat sulit untuk diselesaikan secara analitik. Jikalaupun anda penasaran

    ingin menyelesaikan permasalahan tersebut secara analitik, maka anda harus menggunakan

    ekspansi deret Taylor. Apakah ada langkah lain yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan

    permasalahan tersebut dengan mudah? Tentunya ada, dan pastinya hanya dengan metode numerik.

    P

  • Berdasarkan definisinya, untuk mendapatkan akar-akar dari suatu persamaan pada dasarnya dapat

    dilakukan dengan cara menggambarkan kurva persamaan tersebut, lalu menemukan setiap

    titikyang memotong sumbu-sumbu variabel bebasnya. Titik-titik potong inilah yang merupakan

    akar-akar dari persamaan tersebut seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.1.

    Gambar 2.1. Akar Persamaan dari fungsi f(x)

    Dalam metode numerik, terdapat beberapa pola pikir yang dapat digunakan untuk menentukan

    akar-akar dari suatu persamaan. Tidak perduli seperti apa bentuk persamaan tersebut, pola pikir

    ini selalu dapat diterapkan.Dua buah metode numerik yang cukup sering digunakan dalam hal

    pencarian akar-akar suatu persamaan adalah metodeBisection dan Newton-Raphson.

    1.1 Metode Bisection

    Metode Bisection merupakan salah satu metode tertutup (bracketing) untuk menentukan

    solusi akar dari suatu persamaan; baik persamaan linear (khususnya orde tinggi) maupun

    persamaan non-linear. Metode ini dikatakan sebagai metode tertutup (bracketing) karena

    dibutuhkan dua nilai estimasi awal yang mengapit (bracket) solusi akar persamaan. Setiap

    metode tertutup memiliki cara yang berbeda untuk mendapatkan nilai akar persamaan

    tersebut. Secara Kalkulus, jika () bernilai real dan kontinyu pada selang interval 1 sampai

    2 dan (1) dan (2) berlainan tanda, akan berlaku hubungan

    (1) (2) < 0 (2.3)

    maka, di antara selang interval 1 sampai 2terdapat sebuah akar persamaan yang real.

  • Prinsip dari metode Bisection adalah dengan membagi interval awal menjadi setengah

    dari interval baru (subinterval). Jika nilai () berubah tanda pada selang interval yang baru,

    maka nilai () pada titik tengah interval tersebut dievaluasi. Letak akar persamaan berada

    pada setengah interval yang lainnya. Perhatikan gambar 2.1. (1) < 0 dan (2) > 0,

    karena (1) dan (2) berlainan tanda, maka berlaku pertidaksamaan (2.3). Interval baru

    (subinterval) berada pada 1 sampai 3 atau 3 sampai 2. Karena (1) < 0 dan (3) < 0

    meyebabkan tidak berlakunya pertidaksamaan (2.3) yang berarti akar persamaan tidak terletak

    pada selang interval 1 sampai 3, melainkan berada pada selang interval 3 sampai 2.

    Pengulangan ini dilakukan terus menerus sampai interval semakin sempit dan ditemukannya

    akar persamaan.

    Namun, metode tertutup ini memiliki kelemahan untuk persamaan yang hanya memiliki

    solusi tunggal akar persamaan. Ketika dua nilai estimasi awal tidak mengapit akar persamaan,

    maka akar persamaan tidak akan ditemukan. Coba bayangkan jika estimasi awal dilakukan

    pada 1 dan 3! Terdapat permasalahan lain ketika persamaan memiliki banyak akar

    persamaan, perhatikan gambar 2.2. Ketika perbedaan dua nilai estimasi awal terlalu besar

    (memiliki interval yang panjang), seolah-olah tidak terdapat akar persamaan dalam selang

    interval 1 sampai 2 karena tidak memenuhi pertidaksamaan (2.3); (1) (2) > 0.

    Seharusnya berdasarkan grafik (), terlihat jelas terdapat dua akar persamaan dalam selang

    interval 1 sampai 2. Kasus seperti di atas sama akan terjadi dalam selang interval 4 sampai

    3.

  • 1.1.1 Algoritma Metode Bisection

    Prosedur yang dilakukan untuk menyelesaikan persamaan dengan metode bisection adalah:

    1. Menghitung fungsi pada interval yang sarna dari sampai diperoleh perubahan tanda

    untuk fungsi ()dan(+1)yaitu () (+1) < 0

    2. Melakukan estimasi pertama terhadap akar x, yang dihitung dengan formula

    = + +1

    2 2.4

    3. Membuat evaluasi untuk menentukan sub interval (Gambar 2.2) tempat akar persamaan

    berada dengan kriteria:

    Jika () (+1) < 0. akar persamaan berada pada sub interval pertama. Jadi

    +1 = hitungan dilanjutkan pada langkah ke-4.

    Jika () (+1) > 0. akar persamaan berada pada sub interval kedua. Jadi =

    hitungan dilanjutkan pada langkah ke-4.

    Jika () (+1) = 0. akar persamaan adalah hitungan selesai.

    4. Menghitung perkiraan akar baru dengan formula

    = + +1

    2 2.5

    5. Jika perkiraan akar baru cukup kecil atau sesuai dengan target awal dalam batasan yang

    dapat diterima. Hitungan dianggap selesai dengan x, adalah akar persamaan. Jika

    perkiraan belum kecil. hitungan diulang dari langkah ke-3 sampai diperoleh hasil yang

    sesuai dengan target awal.

  • 1.1.2 Studi Kasus Penerjun Payung

    Kecepatan seorang penerjun payung diberikan dengan fungsi

    =

    (1 (

    ))

    dimana = 9,8 /2. Untuk penerjun payung dengan koefisien hambatan udara =

    15 /, hitung massa saat kecepatan = 35 / dan waktu = 9 . Gunakan

    estimasi = 0.1%

    Penyelesaian:

    Langkah awal yang akan dilakukan berdasarkan kasus diatas adalah sebagai berikut:

    1. Menginisialisasi variabel berdasarkan kasus:

    = 9.8; = 15; = 35; = 9;

    2. Membuat persamaan dengan memasukkan masing-masing variabel:

    =

    (1 (

    ))35 =

    9.8

    15(1 (

    15

    ) 9)

    Gunakan ruas kanan menjadi sama dengan nol:

    () = 9.8

    15 (1 135 ) 35 = 0

    Dengan menggunakan metode bisection dapat dilakukan dengan prosedur perhitungan

    berikut:

    1. Menghitung fungsi pada interval awal, misal 1 = 1dan 2 = 100 sehingga diperoleh:

    (1) = 9.8

    15(1)(1 135 (1) ) 35 = 34.3467

    (2) =9.8

    15(100) (1 135 (100) ) 35 = 13.3963

    Karena fungsi () kontinu, berarti perubahan tanda antara 1 dan 2 pada fungsi

    tersebut akan memotong sumbu paling tidak 1 kali.

    2. Menghitung estimasi sub interval pertama, yaitu:

    3 =1+2

    2=

    1+100

    2= 50.5

    (3) =9.8

    15(50.5) (1 135 (50.5) ) 35 = 4.2841

  • 3. Menentukan sub interval berikutnya dengan memilih salah satu titik awal yang berbeda

    tanda dengan (3). Jadi, (4)adalah sub interval antara(2)dan (3)(Gambar

    4.2).

    4. Menghitung fungsi pada interval 3dan 2, yaitu:

    4 =2+3

    2=

    100+50.5

    2= 75.25

    (4) =9.8

    15(75.25) (1 135 (75.25) ) 35 = 5.9879

    5. Perhitungan diulangi dari point 3 dengan sub interval yang semakin rapat.

    Langkah 1 sampai 5 disebut 1 iterasi atau pengulangan. Prosedur perhitungan yang telah

    dilakukan dengan hasil (4) = 5.9879 disebut iterasi pertama. Dari prosedur ini terlihat

    bahwa nilai (4)belum kecil atau belum mendekati nol. Nilai seperti ini dalam

    perhitungan dengan metode setengah interval dianggap belum merepresentasikan akar

    persamaan, sehingga perlu dilakukan perhitungan lebih lanjut. Hasil perhitungan yang

    diperoleh pada prosedur tersebut diperlihatkan pada Tabel 2.1.

    Apabila kita gunakan script MATLAB berikut,

    Setelah script diatas kalian running, maka akan didapatkan hasil:

    >> akar-akar persamaan non linier adalah = 59.8417

    Tabel 2.1 Hasil Perhitungan dengan Metode Bisection

    F = inline('(9.8*m)/15 *(1-exp(-((15*9)/m)))-35','m');

    x1 = 1 x2 = 100 s = 0.1/100;

    while F(x1)*F(x2)

  • 1.2 Metode Newton-Raphson

    Pada pembahasan metode sebelumnya, metode bisection harus memiliki dua nilai estimasi

    awal. Namun, pada metode Newton-Raphson hanya diperlukan satu nilai estimasi awal,

    karena metode Newton-Raphson merupakan sala