PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK .Berbeda dengan statistika parametrik, statistika

  • View
    216

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK .Berbeda dengan statistika parametrik, statistika

PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL

NONPARAMETRIK

RONI WIJAYA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi

Sebaran dalam Model Nonparametrik adalah benar karya saya dengan arahan dari

komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan

tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang

diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks

dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Juni 2013

Roni Wijaya

NIM G54080042

ABSTRAK

RONI WIJAYA. Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model Nonparametrik.

Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI.

Statistika nonparametrik merupakan alternatif dari statistika parametrik

ketika asumsi-asumsi yang mendasari dalam statistika parametrik tidak dapat

terpenuhi, seperti tidak diketahuinya fungsi sebaran. Statistika nonparametrik

sering disebut sebagai prosedur yang bebas distribusi (free-distibution

procedures) karena tidak mengacu pada distribusi tertentu. Dalam karya ilmiah ini

dibahas tentang pendugaan fungsi sebaran dalam model nonparametrik dan dititik

beratkan pada keluarga nonparametrik. Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk

mempelajari model pendugaan nonparametrik pada fungsi sebaran empiris,

dinotasikan yang independent and identically distributed (iid) dan

merupakan maximum likelihood untuk suatu fungsi sebaran yang tidak diketahui.

merupakan penduga takbias terhadap dengan

atau adalah uniformly minimum variance

unbiased estimator (UMVUE) dan -konsisten untuk .

Kata kunci: penduga nonparametrik, fungsi sebaran secara empiris, likelihood.

ABSTRACT

RONI WIJAYA. Estimation in Nonparametric Models. Supervised by I WAYAN

MANGKU and SISWANDI.

Nonparametric statistics are alternative for parametric statistics whenever

no assumptionis satisfied in parametric statistics, for example the distribution

function is not identified. Nonparametric statistics are often referred as free

distribution procedures, because they are not referred to any particular

distribution. This paper discusses the estimation of the distribution function in

nonparametric models. It emphasizes on nonparametric family. The objective of

this research is tostudy nonparametric estimation models on the empirical

distribution functions, denoted by that is independent and identically

distributed (i.i.d.) and is maximum likelihood for unknown distribution

function. is unbiased estimator of with

or as an uniformly minimum variance unbiased estimator

(UMVUE) and -consistent for .

Keywords: nonparametric estimation, empirical distribution function, likelihood.

PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL

NONPARAMETRIK

RONI WIJAYA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model Nonparametrik

Nama : Roni Wijaya

NIM : G54080042

Disetujui oleh

Dr Ir I Wayan Mangku, MSc

Pembimbing I

Drs Siswandi, MSi

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Dra Berlian Setiawaty, MS

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa taala atas

segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang

dipilih ialah pendugaan, dengan judul Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model

Nonparametrik.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc

dan Bapak Drs Siswandi, MSi selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga

disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih

sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Juni 2013

Roni Wijaya

DAFTAR ISI

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN

Latar Belakang 1

Tujuan 1

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran 3

Nilai Harapan, Ragam, dan Momen 3

Matriks 5

Multivariate Normal 6

Peubah Acak Bernoulli dan Binomial 6

Kekonvergenan Peubah Acak 7

Penduga dan Sifat-sifatnya 8

Beberapa Lema Teknis 9

HASIL DAN PEMBAHASAN

Estimasi Parameter 11

Fungsi Sebaran dalam Kasusu iid Secara Empiris 15

Maximum Likelihood Estimator (MLE) di Model Nonparametrik 21

Metode Maximum Likelihoods 22

Contoh Penerapan 26

SIMPULAN 27

DAFTAR PUSTAKA 27

LAMPIRAN 29

DAFTAR LAMPIRAN

1. Bukti Lema 2.1 Pertaksamaan Markov 30

2. Bukti Lema 2.2 Pertaksamaan Chebyshev 30

3. Bukti Lema 2.4 Teorema Limit Pusat (CLT) 31

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Statistika nonparametrik merupakan alternatif dari statistika parametrik

ketika asumsi-asumsi yang mendasari dalam statistika parametrik tidak dapat

terpenuhi seperti tidak diketahuinya fungsi sebaran. Pada umumnya, setelah data

dikumpulkan, langkah selanjutnya adalah menduga nilai harapannya (mean) dan

ragamnya (variance), kemudian dilakukan uji-z atau uji-t. Semua tindakan yang

dilakukan di atas merupakan prosedur umum statistika parametrik yang mengacu

pada suatu distribusi tertentu. Berbeda dengan statistika parametrik, statistika

nonparametrik adalah prosedur statistika yang tidak mengacu pada distribusi

tertentu. Itulah sebabnya, statistika nonparametrik sering disebut sebagai prosedur

yang bebas distribusi (free-distibution procedures). Statistika nonparametrik

digunakan bila distribusi dari data yang diamati tidak diketahui.

Salah satu peran dan kegunaan statistika dalam ilmu pengetahuan adalah

sebagai alat analisis dan interpretasi data kuantitatif ilmu pengetahuan, sehingga

didapatkan suatu kesimpulan dari data tersebut. Dalam statistika dikenal sebuah

istilah pendugaan. Istilah pendugaan yang sering didengar adalah terjemahan dari

kata estimation. Pada dasarnya, metode pendugaan adalah suatu metode untuk

memperkirakan kisaran nilai-nilai karakteristik suatu populasi dengan

menggunakan nilai-nilai sampel. Nilai karakteristik populasi sering disebut

dengan parameter populasi, sedangkan nilai-nilai sampel sering disebut dengan

statistik sampel. Dalam metode estimasi, parameter populasi yang ingin diduga

adalah berupa nilai harapan dari peubah acak yang diberi notasi dan simpangan baku dengan notasi . Teori pendugaan sendiri digolongkan menjadi pendugaan titik (point estimation) dan pendugaan selang (interval estimation).

Misalkan diberikan data pengamatan peubah acak yang independent and identically distributed (i.i.d.) dan

, dengan adalah ruang dimensi dan adalah bilangan bulat positif.. Untuk menentukan distribusi dari ekivalen dengan menentukan fungsi sebarannya. Untuk menduga fungsi sebaran F dapat dilakukan dengan dua pendekatan

yaitu pendekatan parametrik dan non parametrik. Pendekatan parametrik

dilakukan jika asumsi bentuk fungsi F diketahui dan tergantung pada suatu

parameter, sehingga menduga fungsi F ekivalen dengan menduga

parameternya. Sedangkan pendekatan nonparametrik dilakukan jika asumsi

bentuk fungsi F tidak diketahui. Dalam hal ini diasumsikan bahwa fungsi F

termuat dalam kelas fungsi mulus dalam arti mempunyai turunan yang kontinu.

Dalam tulisan ini dibahas tentang pendugaan fungsi sebaran dalam model

nonparametrik dan dititikberatkan pada keluarga nonparametrik.

Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:

1 Mempelajari model pendugaan nonparametrik pada fungsi sebaran empiris yang i.i.d.

2 Mempelajari metode maximum likelihoods dalam model nonparametrik. 3 Membuktian bahwa penduga fungsi sebaran adalah lebih efisien secara

asimtotik dibandingkan dengan fungsi sebaran empirisnya.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang

hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi kita bisa mengetahui semua

kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.