PENERAPAN ALJABAR BOOLEAN

Proposisi

Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. Nama lain proposisi: kalimat terbuka.

Contoh :1. 13 adalah bilangan ganjil2. 1 + 1 = 23. Ada monyet di bulan4. Hari ini adalah hari Rabu5. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? 6. x + 3 = 87. x > 3

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, …. Contoh :

a : 13 adalah bilangan ganjil.b : Soekarno adalah alumnus UGM.

Kombinasi Proposisi

Jika a dan b adalah proposisi.

1. Konjungsi (conjunction): a dan b Notasi a b,

2. Disjungsi (disjunction): a atau b Notasi: a b

3. Ingkaran (negation) dari a: tidak a Notasi: a

* a dan b disebut proposisi atomik

* Kombinasi a dengan b menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition)

Contoh 1.

Diketahui proposisi-proposisi berikut:a : Hari ini hujan

b : Murid-murid diliburkan dari sekolah

Maka :

a b :

Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

a b :

Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

a :

Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan)

Contoh 2.Diketahui proposisi-proposisi berikut:

a : Pemuda itu tinggib : Pemuda itu tampan

Nyatakan dalam bentuk simbolik: 1. Pemuda itu tinggi dan tampan

a b 2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan

a b3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan

a b4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak

tampan(a b)

5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampana (a b)

6. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan (a b)

• Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus

• Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

• Dua buah proposisi majemuk, P(a, b, ..) dan Q(a, b, ..) disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik.

Notasi: P(a, b, …) Q(a, b, …)

Proposisi Bersyarat

(kondisional atau implikasi)

Bentuk proposisi: “jika a, maka b”

Notasi: a b

Proposisi a disebut hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi

Proposisi b disebut konklusi (atau konsekuen).

Contoh.

1. Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah dari ayah

2. Jika suhu mencapai 80C, maka alarm akan berbunyi

3. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri

Cara-cara mengekspresikan implikasi a b:

1. Jika a, maka b

Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.

2. Jika a, b

Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.

3. a mengakibatkan b (a implies b)

Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.

4. b jika a

Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.

5. a hanya jika b

Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

Cara-cara mengekspresikan implikasi a b (lanjutan) :

6. a syarat cukup untuk b (hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) )Percikan api dari rokok adalah syarat cukup untuk membuat pom bensin meledak.

7. b syarat perlu untuk a (konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition) ) Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah syarat perlu untuk mengontrak pemain asing kenamaan

8. b bilamana a (b whenever a)Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.

Contoh :Ubahlah proposisi kalimat di bawah ini ke dalam bentuk proposisi “jika a maka b”

1. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik

2. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.

3. Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit

4. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok.Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak

5. Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan.Jika Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan maka Indonesia ikut Piala Dunia .

6. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.

Tabel kebenaran implikasi (a b)

a b a b

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Bukti :Dosen: “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda akan mendapat nilai A untuk kuliah ini”.

Apakah dosen anda mengatakan kebenaran atau dia berbohong? Tinjau empat kasus berikut ini:

Kasus 1: Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) dan anda mendapat nilai A untuk kuliah tersebut(konklusi benar). pernyataan dosen benar.

Kasus 2: Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) tetapi anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah). dosen berbohong (pernyataannya salah).

Kasus 3: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda mendapat nilai A (konklusi benar). dosen anda tidak dapat dikatakan salah (Mungkin ia melihat kemampuan anda secara rata-rata bagus sehingga ia tidak ragu memberi nilai A).

Kasus 4: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah). dosen anda benar.

a b a b

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Tugas

Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk menarik pembeli. Pedagang pertama mengumbar moto “Barang bagus tidak murah” sedangkan pedagang kedua mempunyai moto “Barang murah tidak bagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut menyatakan hal yang sama?

Varian Proposisi BersyaratKonvers (kebalikan) : b a

Invers : ~ a ~ b

Kontraposisi : ~ b ~ a

Tabel Kebenaran :

Implikasi Konvers Invers Kontraposisi a b ~ a ~ b a b b a ~ a ~ b ~ b ~ a

1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

Bikondisional (Bi-implikasi)Bentuk proposisi: “a jika dan hanya jika b”

Notasi: a b

Tugas : Buktikan a b (a b) (b a).

a b a b

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Cara-cara menyatakan bikondisional a b :

1. a jika dan hanya jika b.

1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.

2. a adalah syarat perlu dan cukup untuk b.

Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi.

3. Jika a maka b, dan sebaliknya

Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya .

4. a iff b

Bandung terletak di Jawa Barat iff Jawa Barat adalah sebuah propinsi di Indonesia

Tugas 1

Tugas 2.

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari:

1. Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya

2. Jika dia bersalah maka ia dimasukkan ke dalam penjara.

3. Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan bilangan negatif.

4. Iwan lulus ujian hanya jika ia belajar.

5. Hanya jika ia tdk terlambat maka ia akan mendapat pekerjaan.

6. Perlu ada angin agar layang-layang bisa terbang.

7. Cukup hari hujan agar hari ini dingin.

Tugas 3

Tugas 4:

Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “a jika dan hanya jika b”:

1. Jika udara di luar panas maka anda membeli es krim, dan jika anda membeli es krim maka udara di luar panas.

2. Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anda melakukan banyak latihan.

3. Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan.

4. Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitu sebaliknya.

5. Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika saya membutuhkannya.

Tugas 5

Tugas 6

Tugas 7