PENGHAMPIRAN ARCHIMEDES BAGI PI

Disediakan oleh :

Nur Syuhadah Binti Januri

Nur Afiqah Auni Binti Mohd Rosdan

Nurul Haslina Binti Mohd Rozali

KENALI ARCHIMEDES 287 S.M – 212 S.M (65 tahun) di

Syracuse, Sicily (Italy). Tokoh terkenal dalam ilmu Matematik,

Fizik, Mekanikal dan Astronomi.

Terima kasih atas

sumbangan

Archimedes’ Screw

Claw of Archimede

s

Prinsip Archimede

s

Penghampiran nilai pi

 

Penentuan luas

bulatan

PENGHAMPIRAN ARCHIMEDES BAGI PI Pi ( Π , π ) Merupakan huruf ke-16 dalam sistem

aksara Greek. pi /pī approximately equal to 3.14159 Pi adalah konstan iaitu 22/7. Nilainya ialah nisbah lilitan sebuah

bulatan kepada diameternya.

Cara Archimedes menentukan nilai π Panjang lilitan dan

diameter dikaitkan dengan formula, C = πd.

Jika diameter = 1, penghampiran archimedes bagi panjang lilitan menghasilkan penghampiran bagi π.

Idea Archimedes menggunakan poligon terterap lilit (circumscribed polygon) dan poligon terterap dalam (inscribed polygon).

Circumscribed poligon – poligon terterap lilit

Inscribed polygon – poligon terterap dalam

PERIMETER POLIGON TERTERAP LILIT (CIRCUMSCRIBED POLYGON) DITUNJUKKAN DI ATAS RAJAH. PERIMETER POLIGON TERTERAP DALAM (INSCRIBED POLYGON) DITUNJUKKAN DI BAWAH RAJAH.

SEMAKIN BERTAMBAH SISI POLIGON, SEMAKIN POLIGON ITU MEMBENTUK BULATAN.

BAGAIMANA NILAI Π DIDAPATI ?

Archimedes tidak tahu panjang lilitan bulatan. Jadi dia mulakan dengan sesuatu yang dia tahu

iaitu perimeter segiempat sama.

Walau apa pun, panjang lilitan bulatan adalah diantara perimeter poligon terterap lilit (circumscribed polygon) dan poligon terterap dalam (inscribed polygon).

(CP)Outside square: side = 1, perimeter = 4

(IP)Inside square: side = √(0.52 + 0.52) = 0.7 [Theorem Pythagoras], perimeter = 4 x 0.7 = 2.8

FORMULA YANG DIGUNAKAN Theorem

Pythagoras

c ² = a ² + b ²

• Angle bisektor

BD:CD=BA:AC

• Petua Sinus

a

c

b

ca

b

a

Sin A=

b

Sin B=

c

Sin C

THOREM PYTHAGORAS Circumscribed polygon :

side = 1, perimeter = 4

Inscribed polygon: side = √(0.52 + 0.52) = 0.7 [Theorem

Pythagoras], perimeter = 4 x 0.7 = 2.8

Inside perimeter:  Satu segmen di dalam segiempat sama =

sin(x/2), di mana x = sudut dalaman. Contoh , satu segmen di dalam segiempat

sama= sin(90/2) = sin(45) ~ .7. Jadi, perimeter, 4 x 0.7 = 2.8.

Outside perimeter:  Satu segmen di luar segiempat sama =

tan(x/2), di mana x = sudut dalaman. Jadi , satu segmen di luar segiempat sama,

tan(45) = 1. Perimeter of 4.

PETUA SINUS

Note! Pertambahan sisi menjadikan sudut semakin kecil.

Perimeter segiempat sama = 4 x sin(90/2). Octagon ada lapan sudut 45-darjah

menjadikan perimeter 8 x sin(45/2).

Cuba jaya — segiempat sama (sisi=4) ada

ketepatan 91% -- oktagon (sisi=8) ketepatan melonjak ke 98%!

ANGLE BISEKTOR π = lilitan bulatan d = 1 diameterLANGKAH 1

12 24 , < 3.217924 48 , < 3.15968748 96 , < 3.1460758

Semakin mendekati 3.142

Archimedes menentukan bahawa nilai π kurang daripada 22/7 tetapi lebih besar daripada 223/71.

Nilai ini bersamaan dengan 3.1429 dan 3.1408. Nilai ini sangat-sangat hampir dengan nilai

3.1416 (bundarkan menjadi 3.142) yang digunakan sehingga sekarang.

22/7 > π > 223/71

http://demonstrations.wolfram.com/topic.html?topic=Approximation+Methods