pengantar Struktur aljabar ii - ??Web view1.Misal G suatu himpunan tak kosong dan * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G. (G,*) ... pengantar Struktur aljabar ii Last modified

  • View
    236

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of pengantar Struktur aljabar ii - ??Web view1.Misal G suatu himpunan tak kosong dan * adalah suatu...

pengantar Struktur aljabar ii

BAB I

PENGERTIAN RING

INGAT KEMBALI :

1.Misal G suatu himpunan tak kosong dan * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G. (G,*) dinamakan semigrup, jika memenuhi :

a.Tertutup, yakni

b.Assosiatif, yakni

2.Misal G suatu himpunan tak kosong dan * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G. (G,*) dinamakan grup, jika memenuhi :

a.Tertutup, yakni

b.Assosiatif, yakni

c.Terdapat elemen identitas, yakni

Untuk selanjutnya e dinamakan elemen identitas pada G terhadap operasi

d.Setiap elemen punya invers, yakni

Untuk selanjutnya a-1 dinamakan invers dari a.

Suatu grup (G,*) dinamakan grup komutatif (abelian), jika operasi * bersifat komutatif , yakni

Definisi : ( RING )

Misal R adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua buah operasi yakni (operasi penjumlahan) dan (operasi pergandaan), selanjutnya dilambangkan dengan (R, , ). Struktur ( R, , ) dinamakan ring , jika memenuhi aksioma :

a.( R, ) grup abelian

i.Tertutup, yakni

ii.Assosiatif, yakni

iii.Terdapat elemen identitas, yakni

Untuk selanjutnya e dinamakan elemen netral (nol) .

iv.Setiap elemen punya invers, yakni

Untuk selanjutnya a-1 dinamakan invers dari a.

v.Komutatif , yakni

b.( R, ) semigrup

i.Tertutup, yakni

ii.Assosiatif, yakni

c.Sifat distributif kiri dan distributif kanan, yakni :

Perlu diperhatikan bahwa, operasi penjumlahan dan operasi pergandaan disini BUKAN BERARTI operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.

Contoh :

1.Z = Himpunan semua bilangan bulat.

Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut :

+ adalah operasi penjumlahan biasa

adalah operasi pergandaan biasa.

(Z, + , ) merupakan ring.

Bukti :

a.Ditunjukkan (Z, + ) grup abelian

i. (sifat ketertutupan penjumlahan bilangan bulat)

ii., (sifat assosiatif penjumlahan bilangan bulat)

iii. , berlaku

Jadi 0 adalah elemen netral pada Z

iv., , berlaku

Jadi setiap elemen di Z mempunyai invers terhadap operasi +

v. ( sifat komutatif penjumlahan bilangan bulat )

Dari a ( i, ii, iii, iv, dan v ), diperoleh ( Z, + ) grup abelian

b.Ditunjukkan ( Z , ) semigrup

i. berlaku (sifat ketertutupan pergandaan bilangan bulat)

ii., (sifat assosiatif pergandaan bilangan bulat)

Dari b ( i dan ii), diperoleh ( Z , ) semigrup

c.Ditunjukkan berlaku sifat distributif kiri dan kanan

2.Q= Himpunan semua bilangan rasional.

R = Himpunan semua bilangan real

C = Himpunan semua bilangan kompleks

Untuk operasi + dan seperti pada nomor 1, maka (Q, + , ), (R, + , ), (C, + , ) masing-masing merupakan ring. ( Coba tunjukkan buktinya yaa !!! )

3.N = Himpunan semua bilangan asli

Untuk operasi + dan seperti pada nomor 1, maka ( N, + , ) bukan ring.

( Tunjukkan aksioma apa yang tidak terpenuhi !!! )

LATIHAN SOAL

1.Diketahui M =

Didefinisikan operasi + dan pada M seperti berikut :

+ adalah operasi penjumlahan matriks

adalah operasi pergandaan matriks

Selidikilah apakah (M, + , ) merupakan ring atau bukan !

2.Diketahui Z5 = Himpunan semua bilangan bulat modulo 5

+ adalah operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 5

adalah operasi pergandaan bilangan bulat modulo 5

Selidikilah apakah (Z5, + , ) merupakan ring atau bukan !

3.Misalkan

, didefinisikan operasi dan pada sepeti berikut :

Apakah (K,, ) ring ? Tunjukkan !

4.ZxZ= {(a,b) | Z dan Z }

Operasi , didefinisikan ,

Operasi , didefinisikan ,

Selidiki apakah (ZxZ, , ) merupakan ring atau bukan !

5.Diketahui Z adalah himpunan semua bilangan bulat .

Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada Z sebagai berikut :

,

Selidikilah apakah ( Z, , ) merupakan ring ?

6.Diketahui Z adalah himpunan semua bilangan bulat .

Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada Z sebagai berikut :

,

Selidikilah apakah ( Z, , ) merupakan ring ?

7.Diketahui K =

Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :

Untuk setiap (a,b) , (c,d) K, ( a, b ) = ( c, d) jika dan hanya jika a = c dan b = d

( a, b) (c, d) = (ad + bc , bd )

( a, b) ( c, d) = ( ac , bd )

Selidilah apakah ( K , , ) merupakang ring.

8.Diketahui K =

Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :

Untuk setiap (a,b) , (c,d) K , ( a, b ) = ( c, d) jika dan hanya jika ad = bc dan b = d

( a, b) (c, d) = (ad + bc , bd )

( a, b) ( c, d) = ( ac , bd )

Selidiki apakah ( K , , ) merupakang ring !

9.Diberikan himpunan S.

Didefinisikan himpunan P(S) =

Operasi biner dan pada P(S), didefinisikan sebagai berikut

,

a.Buatlah table untuk dan pada P(S) jika S = {a, b}

b.Tunjukkan bahwa untuk himpunan S diatas, maka ( P(S) , , ) merupakan ring

10.Diketahui Q adalah himpunan semua bilangan rasional.

Didefinisikan operasi sebagai operasi penjumlahan biasa, dan operasi didefinisikan sebagai .

Selidiki apakah ( Q , , ) merupakan ring atau bukan !

UNTUK SELANJUTNYA OPERASI PENJUMLAHAN CUKUP DITULIS + , DAN OPERASI PERGANDAAN CUKUP DITULIS .

Definisi 2 :

Misal R adalah ring yang mempunyai elemen identitas terhadap operasi pergandaan (missal dinotasikan e1 ). Untuk selanjutnya elemen identitas terhadap operasi pergandaan ( e1 ) dinamakan sebagai elemen satuan.

Untuk lebih lanjut, ring R yang memuat elemen satuan dinamakan sebagai Ring dengan elemen satuan.

Definisi 3 :

Ring R dikatakan sebagai ring komutatif jika operasi pergandaan pada R bersifat komutatif.

Teorema 1 :

Misalkan R ring dengan elemen identitas e.

Untuk setiap a, b R berlaku :

1.e a = a e = e

2.a ( b) = ( a) b = ( ab )

3.(a) (b) = a b

Bukti ?

Teorema 2 :

Misalkan R ring dengan elemen satuan e1 .

Untuk setiap a R berlaku :

1.( e1 ) a = a

2.(e1 ) (e1 ) = e1

Bukti :

( Coba buktikan )

Definisi 4 :

Misalkan R ring dengan elemen satuan

Suatu elemen u R dinamakan unit, jika u mempunyai invers terhadap operasi pergandaan.

Definisi 5 :

Misalkan R ring dengan setiap elemen tak nol ( selain elemen netral ) merupakan unit, maka R dinamakan ring pembagian ( division ring ) .

Definisi 6 :

Misalkan R adalah division ring yang bersifat komutatif, maka R dinamakan sebagai lapangan ( field ) .

Jika R tidak komutatif maka R dinamakan skew field.

BAB II

SUB RING

Definisi :

Misalkan (R , + , . ) ring dan S himpunan bagian R.

S dikatakan subring dari R, jika (S, + , *) adalah ring.

Teorema :

Misalkan R adalah ring dan S adalah himpunan bagian dari R.

S subring dari R jika dan hanya jika :

1. e0 S

2. (a b) S, untuk setiap a,b S

3. a.b S , untuk setiap a,b S

Bukti :

Coba buktikan yaa !!!

Example :

1. (Z, + , . ) subring dari (Q, + , . ) subring dari (R, + , . ) subring dari (C, + , . )

2. D2(R) subring dari M2(R)

SOAL :

1. Misalkan M dan N masing-masing merupakan subring dari R. Apakah :

a. M N subring dari R

b. M N subring dari R

c. M + N = { m + n | m M dan n N } subring dari R

2. Misalkan (R, +, . ) ring dan a R

Tunjukkan bahwa Ia = { x R | a.x = e0 } subring dari R !

BAB III

DAERAH INTEGRAL

Definisi 1 :

Jika a dan b adalah elemen TAK NOL ( selain e0 ) pada ring R sedemikian hingga a.b = e0 , maka a dan b dikatakan sebagai pembagi nol.

Example 1 :

Misal pada Z12 , elemen 2, 3, 4, 6, 8, 9 merupakan elemen pembagi nol. ( kenapa ??? )

Misal pada M2(Real), elemen , adalah elemen pembagi nol ( kenapa ??? )

Teorema 1 :

Pada ring Zn , elemen pembagi nol adalah elemen-elemen yang tidak saling prima dengan n.

Bukti :

Misalkan m Zn dengan m 0 dan misalkan gcd(fpb) dari m dan n adalah d 1. Berlaku :

m = n

dan (m/d)n menghasilkan 0. Kemudian m(n/d) = 0 pada Zn , dimana m dan (n/d) tidak nol, jadi m adalah pembagi nol.

Sementara disisi lain, Andaikan m Zn relatif prima dengan n. Jika untuk s Zn , ms = 0 , maka n membagi pergandaan ms, dengan m dan s adalah elemen pada ring Z. Karena n relatif prima dengan m, maka n membagi habis s, jadi s = 0 pada Zn .

Corollary 1 :

Untuk p prima, maka Zp tidak mempunyai pembagi nol.

Bukti :

( kenapa ??? )

Teorema 2 :

Hukum kanselasi berlaku pada ring R jika dan hanya jika R tidak memuat pembagi nol.

Bukti :

Misalkan R ring dengan hukum kanselasi berlaku, dan misalkan ab = e0 untuk suatu a,b R . Akan ditunjukkan a atau b adalah nol. Jika ae0, ab = ae0 mengakibatkan b = e0 ( dengan hukum kanselasi ). Identik untuk be0 mengakibatkan a = e0 ( coba tunjukkan !!! ). Jadi tidak ada pembagi nol ketika hukum kanselasi berlaku pada R.

Misalkan R tidak mempunyai pembagi nol dan ab = ac , untuk ae0 .

Akibatnya ab ac = a(b c) = e0 . Karena ae0 dan R tidak memuat pembagi nol , jadi haruslah b c = e0 . Diperoleh b = c

Identik untuk ba = ca , dengan ae0 mengakibatkan b = c . ( coba tunjukkan !!! )

Definisi 2 :

Daerah integral D adalah ri