Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 19-Des-2016

Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 20161219.docx hlm1dari7

Istiarto�DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM

�http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/

UJIANAKHIRSEMESTERSTATISTIKADANPROBABILITAS

Senin,19Desember2016|100menit[Bolehmembukabuku|Tidakbolehmemakaikomputer]

SOAL1[SOA-3,BOBOT40%]

Hasilpengukuransampeldibeberapasekolahdanuniversitasterhadapkondisifisiksiswa/mahasiswamenghasilkandataamatansepertidisajikanpadatabeldibawahini.

Nomordata Usia[tahun] Tinggibadan[cm]1 12 1552 19 1693 18 1714 20 1735 17 1676 16 1617 15 1588 14 1709 13 156

(a) Temukanlahpersamaanhubunganantarakeduavariabeldenganteknikregresilinear,metode

kuadratterkecil.[Bobot20%](b) Berapakahkoefisienkorelasihubunganlinearkeduavariabeltersebut?[Bobot10%](c) ApakahyangdapatSaudarasimpulkandarihubungankeduavariabeltersebut?[Bobot10%]

PENYELESAIAN

(a)Regresilinear[bobot20%]

Jikanadalahukuransampel,usiasiswa/mahasiswadinyatakansebagaivariabelX(𝑥! = 𝑥!, 𝑥!,… , 𝑥!)dantinggibadansiswadinyatakansebagaivariabelY(𝑦! = 𝑦!, 𝑦!,… 𝑦!),makahubunganantarakeduavariabel,yangdiperolehdariregresilinear,dapatdinyatakandalampersamaanlineardibawahini:

𝑌 = 𝑎! + 𝑎!𝑋

Variabel𝑌atauseringpuladisimbolkandengan𝑌! adalahtinggibadansiswasebagaifungsiusiasiswa.Nilaia0dana1dalampersamaanregresidicaridenganpersamaanberikut:

𝑎! =𝑛 𝑥!𝑦!!

!!! − 𝑥!!!!! 𝑦!!

!!!

𝑛 𝑥!!!!!! − 𝑥!!

!!!! dan 𝑎! = 𝑌 − 𝑎!𝑋

Dalampersamaandiatas,nadalahjumlahdata,𝑌dan𝑋adalahtinggibadanrata-ratadanusiarata-rata.Untukmenghematpenulisan,indekspadaoperatorpenjumlahantidakdituliskan,sehingga

𝑥!!!!! dituliskansebagai 𝑥! .

HitunganregresilineardenganmetodekuadratterkecildisajikanpadaTabel1padahalamansetelahhalamanini.DariTabel1,diperolehinformasisebagaiberikut:

§ jumlahsiswa,n=9;§ tinggibadanrata-rata,𝑌 = 𝑦! 𝑛 = 1480 9 = 164.4 cm;§ usiarata-rata,𝑋 = 𝑥! 𝑛 = 144 9 = 16 tahun.




.ac.id/

Koefisien𝑎! dan 𝑎!padapersamaankurvaregresidihitungsebagaiberikut:

𝑎! =𝑛 𝑥!𝑦! − 𝑥! 𝑦!𝑛 𝑥!! − 𝑥! ! =

9×23802 − 144×14809×2364 − 144!

= 2.03 cm/tahun.

𝑎! = 𝑌 − 𝑎!𝑋 = 164.4 − 2.03×16 = 131.92 cm.

Perhatikanbahwausiadantinggibadansiswamemilikisatuan.Koefisiena0bersatuan[cm]dana1bersatuan[cm/tahun].Hubunganantaratinggibadandanusiasiswayangdiperolehdariregresilinearantarakeduavariabeladalah:

𝑌 = 131.92 + 2.03 𝑋atau𝑦! = 131.92 + 2.03 𝑥! .

TABEL1HITUNGANREGRESILINEARHUBUNGANANTARATINGGIBADANDANUSIASISWADENGANMETODEKUADRATTERKECIL

i 𝒙𝒊[tahun]

𝒚𝒊[cm]

𝒙𝒊𝒚𝒊[tahun.cm]

𝒙𝒊𝟐[tahun2]

1 12 155 1860 1442 19 169 3211 3613 18 171 3078 3244 20 173 3460 4005 17 167 2839 2896 16 161 2576 2567 15 158 2370 2258 14 170 2380 1969 13 156 2028 169

Σ 144 1480 23802 2364

(b)Koefisienkorelasi[bobot10%]

Koefisienkorelasi,r,dinyatakandalampersamaanberikut:

𝑟 =𝑆! − 𝑆!𝑆!

=𝑦! − 𝑌 ! − 𝑦! − 𝑦! !

𝑦! − 𝑌 ! atau 𝑟 =𝑛 𝑥!𝑦! − 𝑥! 𝑦!

𝑛 𝑥!! − 𝑥! ! 𝑛 𝑦!! − 𝑦! !

Dalampersamaandiatas,operatorpenjumlahan 𝑥! dibaca 𝑥!!!!! danindeksi=1,2,…,n.

HitunganuntukmendapatkannilaiStdannilaiSrdilakukansecaratabulasidalamTabel2dibawahini.Hitunganmengacukepadapersamaanrdiatasyangdisebelahkiri.

TABEL2HITUNGANKOEFISIENKORELASIANTARATINGGIBADANDANUSIASISWA

i 𝒙𝒊[tahun]

𝒚𝒊[cm]

𝒚𝒊 − 𝒀 𝟐[cm2]

𝒚![cm]

𝒚𝒊 − 𝒚! 𝟐[cm2]

1 12 155 88.36 156.3 1.692 19 169 21.16 170.5 2.253 18 171 43.56 168.5 6.254 20 173 73.96 172.5 0.255 17 167 6.76 166.4 0.366 16 161 11.56 164.4 11.567 15 158 40.96 162.4 19.368 14 170 31.36 160.3 94.099 13 156 70.56 158.3 5.29

𝑺𝒕 = 388.24 𝑺𝒓 = 141.10

𝑟 =𝑆! − 𝑆!𝑆!

=388.24 − 141.10

388.24= 0.80.




.ac.id/

Akarkuadratdapatbernilaipositifataunegatif.Koefisienkorelasidapatbernilaipositifataunegatif.Karenagradienkurvaregresi,𝑎!,bernilaipositif,ataudengankatalaintinggibadansiswaberbandinglurusdenganusiasiswa,makakoefisienkorelasibernilaipositif,r=0.80.

Gambar1menyajikanhubunganantarausiadantinggibadansiswasecaragrafis.Gambarinitidakwajibdibuatkarenasoaltidakmemintanya.Salahsatudatatampakberadajauhdarikurvaregresilinear.Sisiswainiberusia14tahundanmemilikitinggibadan170centimeter.Datumsepertiinidikenalsebagaioutlier.Adanyaoutlierdapatdisebabkanolehsifatkeragaman(variabilitas)sampelataudiakibatkanolehkesalahanpengukuran.Apabilapenyebaboutlierdiketahui,makaperlakuanterhadapnyadapatdiputuskan.Jikaoutlierdisebabkanolehkesalahanpengukuran,makaoutlierdikeluarkandaridatadantidakdiikutkandalampengolahandata.Sebaliknya,jikapengukuransudahbenar,makaoutliertetapdiikutkandalampengolahandata.

GAMBAR1HUBUNGANLINEARANTARAUSIASISWADALAMSATUANTAHUNDANTINGGIBADANSISWADALAMSATUANCENTIMETER

(c)Hubunganantarausiadantinggibadan[bobot10%]

Tinggibadandanusiasiswamenunjukkanhubunganlinearyangerat,walaulinearitashubunganantarakeduavariabeltidaksepenuhnyasempurna.Nilaikoefisienkorelasi0.80cukupmendukungsimpulanyangmenyatakanbahwatinggibadansiswaberbandinglurusdenganusiasiswa.Initampakjelaspadatampilangrafistitik-titikdata(Gambar1).Keberadaansebuahoutlier(14,170)mengurangikeeratanhubunganlinearantarakeduavariabel.

SOAL2[SOB-4,BOBOT60%]

Angka-angkadibawahiniadalahsampelkelembabanudararelatif,dalamsatuanpersen,yangdiperolehdarisebuahstasiuncuaca.

88 92 79 86 81 77 82 8387 94 81 90 85 70 84 7874 85 75 85 75 78 80 8278 76 90 85 71 83 90 7387 89 77 81 94 78 84 81

154

156

158

160

162

164

166

168

170

172

174

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Tinggibadansiswa[cm]

Usiasiswa[tahun]

kurvaregresilineartinggibadan=2.03(usia)+131.92

outlier




.ac.id/

(a) Buatlahtabelfrekuensidenganrentangkelas4%,batasbawahrentangkelaspertamaadalah68%(rentangkelaspertama68-72).[Bobot10%]

(b) Hitunglahnilairata-rata,median,danmodusberdasarkansampelkelembabanudaradenganmemakaitabelfrekuensi.[Bobot10%]

(c) Hitunglahnilaisimpanganbakusampelkelembabanudaradenganmemakaitabelfrekuensi.[Bobot10%]

(d) Hitunglahrentangkeyakinankelembabanudararata-ratapopulasidengantingkatkeyakinan95%.[Bobot15%]

(e) Ujilahhipotesisyangmenyatakanbahwakelembabanudararata-ratapopulasiadalah80%dengantingkatkeyakinan90%.[Bobot15%]

PENYELESAIAN

(a)Tabelfrekuensi[bobot10%]

Kelembabanudaraadalahvariabelrandomkontinu.Datakelembabanudaratersebutadalahdatasampel,bukandatapopulasi.TabelfrekuensidisajikanpadaTabel3dibawahini.KelembabanudaradisimbolkandengannotasiX.

TABEL3KELEMBABANUDARARELATIFDISEBUAHSTASIUNCUACA

i Kelembabanudara,X[%] Frekuensi𝒇𝒊

Frekuensikumulatif

𝒇𝒊𝒙𝒊[%] 𝒇𝒊𝒙𝒊𝟐[%2]Kelas 𝒙𝒊1 68 - 72 70 2 2 140 98002 72 - 76 74 5 7 370 273803 76 - 80 78 8 15 624 486724 80 - 84 82 10 25 820 672405 84 - 88 86 8 33 688 591686 88 - 92 90 5 38 450 405007 92 - 96 94 2 40 188 17672 Σ= 40 3280 270432

Jumlahdatadalamsampelkelembabanudaraadalah 𝑓! = 40.Operatorpenjumlahan 𝑓! dibaca

𝑓!!!!! .Datakelembabanudaradalamtabelfrekuensidiatasdapatpuladisajikandalambentuk

grafikbatangatauhistogramsepertidisajikanpadaGambar2.

GAMBAR2KELEMBABANUDARARELATIFDISUATUSTASIUNCUACA

0

2

4

6

8

10

12

68-72 72-76 76-80 80-84 84-88 88-92 92-96

Frekuensi

Kelembabanudararelatif[%]




.ac.id/

Grafikinitidakwajibdibuatkarenasoaltidakmemintanya.Perhatikanbentukkurvapadagambartersebut.Tampakjelasbahwabentukkurvamiripdengankurvapdfdistribusinormal.Dengandemikian,sampelkelembabanudaratersebutberdistribusinormal.

(b)Nilairata-rata,median,modus[bobot10%]

Nilairata-ratadihitungdenganbantuantabelfrekuensi,yaitudenganmenambahkansatukolomyangberisinilaifrekuensidikalikandengannilaidata,𝑓!𝑥! .

Kelembabanudararata-rataadalah:

𝑋 =𝑓!𝑥!𝑓!

=328040

= 82%

Nilairata-ratadapatpuladibacapadahistogram(Gambar2).Karenahistogramdatakelembabanudaramiripdengankurvapdfdistribusinormal,makakelembabanudararata-rataberadaditengah,yaitudalamkelasa80-84[%].Jadi,kelembabanudararata-rataadalah82%.

Nilaimedianadalahnilaidatayangberadaditengahdalamderetdatayangdiurutkandarikecilkebesarataudaribesarkekecil.Tabel3telahmengaturdatadalamderetdarikecilkebesar.Karenajumlahdataadalah40,makanilaimedianadalahnilaiyangberadaditengahantaradatake-20danke-21.Darihistogramdata(Gambar2)dankolomfrekuensipadatabelfrekuensidata(Tabel3),tampakbahwadataberdistribusisecarasimetrisdengansumbusimetrikelas80-84[%].Nilaimediankelembabanudara,dengandemikian,adalah82%.Nilaimediandapatpuladihitungdenganpersamaanberikut:

𝑋!"#$%& = 𝑥! +𝑛2 − 𝑓!!!!

!!!

𝑓!𝑥! − 𝑥!

Dalampersamaandiatas,𝑥! adalahbatasbawahkelasyangmengandungnilaimedian,𝑥!adalahbatasataskelasyangmengandungnilaimedian,madalahnomorurutkelasyangmengandungnilaimedian,danfadalahfrekuensidata.

𝑋!"#$%& = 80 +20 − 1510

84 − 80 = 80 +5104 = 82%.

Nilaimodusadalahnilaidatayangmemilikifrekuensitertinggi,yaitukelasdata80-84[%].Mengingatdistribusidataadalahsimetri,makamoduskelembabanudaraadalah82%.Nilaimodusdapatpuladihitungdenganpersamaanberikut:

𝑋!"#$% = 𝑥! +𝑓! − 𝑓!!!

𝑓! − 𝑓!!! + 𝑓! − 𝑓!!!𝑥! − 𝑥!

Dalampersamaandiatas,𝑥! adalahbatasbawahkelasyangmengandungnilaimodus,𝑥!adalahbatasataskelasyangmengandungnilaimodus,madalahnomorurutkelasyangmengandungnilaimodus,danfadalahfrekuensidata.

𝑋!"#$%& = 80 +10 − 8

10 − 8 + 10 − 884 − 80 = 80 +

22 + 2

4 = 82%.

Tampakbahwanilairata-rata,median,danmoduskelembabanudaraadalahsama,yaitu82%.Kesamaanketiganilaiinimerupakansalahsatusifatdatayangberdistribusinormal.

(c)Simpanganbaku[bobot10%]

Simpanganbakukelembabanudaradihitungdenganbantuantabelfrekuensi,yaitudenganmenambahkankolomyangberisi𝑓!𝑥!!.Nilaisimpanganbakuadalah:




.ac.id/

𝑠! =𝑥! − 𝑋 !

𝑓! − 1=

𝑓!𝑥!! − 𝑓! 𝑋 !

𝑓! − 1=

270432 − 40×82!

40 − 1= 6.1%.

(d)Rentangkeyakinankelembabanudararata-rata[bobot15%]

Rentangkeyakinankelembabanudararata-rata,denganasumsibahwakelembababnudaratersebutberdistribusinormal,dinyatakandenganpersamaanberikut:

prob 𝑙 ≤ 𝜇! ≤ 𝑢 = 1 − 𝛼

Dalampersamaandiatas,ladalahbatasbawahrentangkeyakinan,uadalahbatasatasrentangkeyakinan,dan1 − 𝛼adalahtingkatkeyakinan.Batasbawahdanbatasatasrentangkeyakinankelembabanudararata-ratadinyatakandenganpersamaanberikut:

𝑙 = 𝑋 −𝑠!𝑛𝑡!!! !,!!!dan𝑢 = 𝑋 +

𝑠!𝑛𝑡!!! !,!!!

Nilai𝑡!!! !,!!!adalahnilaitpadapdfdistribusitsedemikianhinggaprob 𝑇 < 𝑡 = 1 − 𝛼 2padanilaiderajatkebebasan𝜈 = 𝑛 − 1,nukuransampel(jumlahdata).Karenatingkatkeyakinantelahditetapkan,yaitu1 − 𝛼 = 95%,maka1 − 𝛼 2 = 97.5%.Nilai𝑡!!! !,!!! = 𝑡!.!"#,!"dibacapadatabeldistribusit.Bacaantabelmenjadimudahdilakukandengancaramembuatsketsapdfdistribusit.

Daritabeldistribusit,diperoleh:

𝑡!.!"#,!" = 2.0227

Dengandemikian,batasbawahdanbatasatasrentangadalah:

𝑙 = 82 − 2.02276.140

= 80%.

𝑢 = 82 + 2.022726.140

= 84%.

Jadi,rentangkeyakinan95%kelembabanudararata-rataadalah:

prob 80% ≤ 𝜇! ≤ 84% = 0.95.

(e)Ujihipotesiskelembabanudararata-rata[bobot15%]

H0: 𝜇! = 80%

H1: 𝜇! ≠ 80%

Karenavarianspopulasitidakdiketahui(𝜎!!tidakdiketahui),makastatistikaujiadalah:

𝑇 =𝑛𝑠!

𝑋 − 𝜇! =406.1

82 − 80 = 2.0736.

Batas-bataspenerimaanataupenolakanstatistikaujidengantingkatkeyakinan1 − 𝛼 = 90%danjumlahsampeln=40adalah:𝑡! !,!!! = 𝑡!.!",!"dan𝑡!!! !,!!! = 𝑡!.!",!".

Daritabeldistribusit,diperoleh:

𝑡!.!",!" = 1.6849dan

𝑡!.!",!" = −1.6849

Dengandemikian,statistikauji𝑇 = 2.0736beradadiluarrentangpenerimaanhipotesisH0( 𝑇 > 𝑡!.!",!"),

𝑡!.!"#,!"𝑡!.!"#,!" = −𝑡!.!"#,!"

1 − 𝛼 = 0.95𝛼 2⁄ = 0.025𝛼 2⁄ = 0.025

𝑡!.!",!" = 1.6849𝑡!.!",!" = −1.6849

1 − 𝛼 = 0.90𝛼 2⁄ = 0.05𝛼 2⁄ = 0.05




.ac.id/

sehinggahipotesisyangmenyatakanbahwakelembabanudararata-rataadalah80%tidakditerimaatauditolak.

-o0o-

Documents

Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 19-Des-2016