Persamaan Diferensial Biasaridho_insanilmiah.student.ipb.ac.id/files/2015/11/pdb3.pdf · matriks turunan parsial ... Matriks A disebut sebagai matriks koe–sien dari sistem. Toni

Persamaan Diferensial BiasaSistem Persamaan Diferensial

Toni Bakhtiar

Departemen Matematika IPB

September 2012

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 35

Sistem PD Linear Notasi Vektor

Sistem PD Orde-1 dalam Notasi Vektor

Sistem PD orde-1 yang terdiri atas n persamaan dan n fungsi tak diketahuix1, x2, . . . , xn diberikan oleh:

x1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),x2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),

...

xn = fn(t, x1, x2, . . . , xn).

SPD di atas dapat ditulis dalam notasi vektor:

x = f (t, x),

dengan

x =

x1x2...xn

, f (t, x) =

f1(t, x1, x2, . . . , xn)f2(t, x1, x2, . . . , xn)

...fn(t, x1, x2, . . . , xn)

.Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 2 / 35


Keujudan dan Ketunggalan Solusi

Theorem

Diberikan MNA berikut: x = f (t, x), x(t0) = x0, x ∈ Rn. Didefinisikanmatriks turunan parsial

∂f∂x=

∂f1∂x1

· · · ∂f1∂xn

.... . .

...∂fn∂x1

· · · ∂fn∂xn

.Jika f (t, x) dan ∂f (t ,x )

∂x merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam t dan xpada daerah

R = {(t, x1, . . . , xn) | c < t < d , ai < xi < bi , i = 1, . . . , n},

maka untuk sembarang (t0, x0) ∈ R, maka MNA memiliki solusi tunggalpada interval buka I yang memuat t0.



SPD Linear Homogen

SPD linear homogen yang terdiri atas n persamaan dan n fungsi yangtidak diketahui xi (i = 1, 2, . . . , n) ditulis

x(t) = Ax(t),

dengan

x(t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

, x(t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

, A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

.Matriks A disebut sebagai matriks koefisien dari sistem.



SPD Linear Homogen

Example

Sistem berikut

x1(t) = x1(t) + x2(t),

x2(t) = 4x1(t) + x2(t),

merupakan bentuk khusus dari SPDLH dengan n = 2 dan

A =[1 14 1

].


Sistem PD Linear Solusi SPD: Direct Method

Solusi SPD Linear Homogen

Akan dicari solusi berbentuk x(t) = veλt dengan v adalah vektorberukuran n× 1. Jika x(t) = veλt solusi, maka ia memenuhi x = Ax ,yaitu berlaku

x = Ax ⇔ λveλt = Aveλt ⇔ λv = Av .

Dengan demikian, x(t) = veλt merupakan solusi jika dan hanya jika λ danv berturut-turut merupakan nilai eigen (eigenvalue) dan vektor eigen(eigenvector) dari A, atau secara singkat dikatakan (λ, v) sebagaipasangan eigen (eigenpair) dari A.

Theorem

Fungsi x(t) = veλt adalah solusi dari sistem x(t) = Ax(t) jika dan hanyajika (λ, v) merupakan pasangan eigen dari matriks koefisien A.




Misalkan (λ1, v1), (λ2, v2), . . . , (λk , vk ) adalah pasangan-pasanganeigen dari A dengan 1 ≤ k ≤ n.Definisikan xi (t) = vieλi t dan kombinasi linearnya

x(t) =k

∑i=1cixi , (1)

dengan ci (i = 1, 2, . . . , k) merupakan konstanta-konstanta real.Diperoleh xi (t) = λixi (t), dan karena Avi = λivi maka

Axi (t) = Avieλi t = λivieλi t = λixi (t).

Penurunan terhadap (1) menghasilkan

x(t) =k

∑i=1ci xi =

k

∑i=1ciλixi (t) =

k

∑i=1ciAxi (t) = A

k

∑i=1cixi (t) = Ax(t),

yang menunjukkan bahwa x(t) seperti didefinisikan di (1) merupakansolusi dari SPD linear homogen.




Theorem

Misalkan (λ1, v1), (λ2, v2), . . . , (λk , vk ) adalah pasangan-pasangan eigendari A dengan 1 ≤ k ≤ n. Jika didefinisikan xi (t) = vieλi t , maka

x(t) =k

∑i=1cixi , ci ∈ R,

merupakan solusi dari SPDLH x(t) = Ax(t).

Misalkan diberikan matriks A berukuran 2× 2 dengan

A =[a11 a12a21 a22

].

Nilai-nilai eigen A ditentukan dengan menyelesaikan |A− λI | = 0, yaitu∣∣∣∣a11 − λ a12a21 a22 − λ

∣∣∣∣ = 0⇔ λ2 − (a11 + a22)λ+ a11a22 − a12a21 = 0.




Diperoleh

λ1,2 = 12 (a11 + a22)±

12

√(a11 + a22)2 − 4(a11a22 − a12a21)

= 12 trA±

12

√tr2A− 4|A|,

dengan trA dan |A| berturut-turut merupakan teras dan determinanmatriks A, yaitu trA = a11 + a22 dan |A| = a11a22 − a12a21.Example

Masalah nilai awal berikut:

x =[1 14 1

]x , x(0) =

[11

],

memiliki solusi

x(t) =34

[12

]e3t +

14

[1−2

]e−t .



SPD Linear Takhomogen

SPD linear takhomogen memiliki bentuk

x(t) = Ax(t) + b (2)

dengan b adalah vektor konstan berukuran n× 1. Solusi dari SPDLtakhomogen (2) ialah x(t) = xh(t) + xp(t), dengan

xp(t) = −A−1b.Solusi di atas ada karena diasumsikan A−1 ada.

Example

SPD

x =[1 14 1

]x +

[41

]memiliki solusi

x(t) = c1

[12

]e3t + c2

[1−2

]e−t +

[1−5

].



Tipe Nilai Eigen

SPDLH: x = Ax

Nilai eigen real dan berbeda:

x(t) =n

∑i=1civieλi t .

Nilai eigen real dan berulang: Jika akar dari persamaankarakteristik berulang atau memiliki nilai yang sama maka banyaknyapasangan eigen tidak cukup untuk membentuk solusi yang memenuhinilai awal yang diberikan. Kasus ini muncul jika sedikitnya satu nilaieigen berulang. Namun demikian, meskipun nilai eigen berulang,masalah nilai awal masih mungkin diselesaikan.

Kegandaan aljabar = kegandaan geometriKegandaan aljabar > kegandaan geometri



Tipe Nilai Eigen

Example

Diberikan SPD x = Ax dengan

A =

2 0 10 2 10 0 −1

.Matriks A memiliki persamaan karakteristik (λ+ 1)(2− λ)2 = 0 sehinggadiperoleh nilai-nilai eigen λ1 = −1, λ2 = λ3 = 2. Dikatakan, λ = −1memiliki kegandaan aljabar 1 dan λ = 2 memiliki kegandaan aljabar 2.Vektor-vektor eigen:

v1 =

11−3

, v2 =

100

, v3 =

010

.Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 12 / 35


Tipe Nilai Eigen

Example (lanjutan)

Dikatakan, λ = 0 memiliki kegandaan geometri 1 dan λ = −3 memilikikegandaan geometri 2. Solusi SPD:

x(t) = c1

11−3

e−t + c2 100

e2t + c3 010

e2t .



Tipe Nilai Eigen

Example

Diberikan SPD x = Ax dengan

A =[2 10 2

].

Matriks A memiliki persamaan karakteristik (2− λ)2 = 0 sehinggadiperoleh nilai-nilai eigen λ1 = λ2 = 2. Dikatakan, λ = 2 memilikikegandaan aljabar 2. Vektor-vektor eigen:

v =[10

].

Dikatakan, λ = 2 memiliki kegandaan geometri 1. Solusi: x(t) = ve2t .



Tipe Nilai Eigen

Example (lanjutan)

Solusi lain dicari dengan bentuk x(t) = wte2t + ue2t . Substitusi ke SPDmemberikan

we2t + 2wte2t + 2ue2t = Awte2t + Aue2t ,

sehingga haruslah dipenuhi

Aw = 2w , (A− 2I )u = w .

Jelas w = v . Solusi:

x(t) = c1

[c31

]e2t + c2

[10

]te2t .



Tipe Nilai Eigen

Nilai eigen kompleks (konjugat): setiap solusi bernilai kompleksdapat diubah menjadi dua solusi bernilai real, yaitu Re x(t) danIm x(t), yaitu x(t) = c1 Re x(t) + c2 Im x(t).

Perhatikan bahwa jika x(t) = f (t) + ig(t) maka Re x(t) = f (t) danIm x(t) = g(t). Selanjutnya, karena x(t) = f (t) + i g(t) maka

Re x(t) = f (t) =ddt

Re x(t),

Im x(t) = g(t) =ddt

Im x(t).

Di lain pihak,

Re x(t) = Re[Ax(t)] = ARe x(t)⇔ ddt

Re x(t) = ARe x(t)

Im x(t) = Im[Ax(t)] = A Im x(t)⇔ ddt

Im x(t) = A Im x(t),

yang menunjukkan bahwa Re x(t) dan Im x(t) merupakan solusi SPD.Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 16 / 35


Tipe Nilai Eigen

Examples

SPD berikut:

x =[1 1−1 1

]x ,

memiliki pasangan eigen

(λ1, v1) =(1+ i ,

[1i

]), (λ2, v2) =

(1− i ,

[i1

]).

Dari pasangan eigen (λ1, v1) diperoleh

x(t) = v1eλ1t = et[cos t− sin t

]+ iet

[sin tcos t

].



Tipe Nilai Eigen

Examples (lanjutan)

Solusi umum:

x(t) = c1 Re x(t) + c2 Im x(t)

= c1

[cos t− sin t

]et + c2

[sin tcos t

]et

= et[c1 cos t + c2 sin t−c1 sin t + c2 cos t

].

Periksalah bahwa dari pasangan eigen (λ2, v2) akan diperoleh solusi umumyang sama.


Sistem PD Linear Solusi SPD: Metode Substitusi

Dari SPD Orde-1 ke PD Orde-2

SPD mandiri dengan dua variabel dituliskan sebagai

x1 = a11x1 + a12x2 + b1,

x2 = a21x1 + a22x2 + b2,

dengan aij dan bi adalah koefisien-koefisien bernilai real. Solusi SPDmerupakan penjumlahan solusi homogen dan solusi partikular:

x1 = xh1 + xp1 ,

x2 = xh2 + xp2 ,

dengan xi merupakan solusi umum, xhi solusi homogen bagi xi , dan xpi

solusi partikular bagi xi .




SPD homogen:

x1 = a11x1 + a12x2, (3)

x2 = a21x1 + a22x2, . (4)

Dengan menurunkan (3) diperoleh

x1 = a11x1 + a12x2.

Dengan menggunakan persamaan (4) untuk mensubstitusi x2, didapatkan

x1 = a11x1 + a12(a21x1 + a22x2).

Dari persamaan (3) dapat diperoleh ekspresi berikut untuk mensubstitusix2:

x2 =x1 − a11x1

a12, x2 6= 0. (5)




Diperoleh PD orde-2 berikut:

x1 = a11x1 + a12

(a21x1 + a22

x1 − a11x1a12

),

atau dalam bentuk baku

x1 − (a11 + a22)x1 + (a11a22 − a12a21)x1 = 0.

Solusi partikular x1 dan x2 dicari dengan menyelesaikan

a11x1 + a12x2 = b1,

a21x1 + a22x2 = b2.


Sistem PD Linear Diagram Fase dan Kestabilan

Diagram Fase

Kebanyakan PD tidak mudah diselesaikan atau ditemukan solusikuantitatifnya. Pendekatan berbeda harus dilakukan untuk memelajariperilaku solusinya yaitu dengan menguji sifat-sifat kualitatifnya.

Banyak PD memunyai bentuk mandiri (autonomous):

x = F (x). (6)

Diagram fase merupakan representasi geometrik dari peubah xterhadap peubah x di bidang-xx , yang disebut sebagai bidang fase.Diagram ini dapat dibuat apabila x merupakan fungsi dari x saja,yaitu merupakan PD mandiri.

Kurva yang terbentuk dalam bidang fase disebut sebagai garis fase.Diagram fase sangat bermanfaat karena dapat digunakan untukmemelajari sifat-sifat dari solusi PD (6).



Diagram Fase

Contoh diagram fase:

Apa yang terjadi dengan titik pada garis fase jika t bertambah besar?Di titik di atas sumbu-x berlaku x(t) = F (x) > 0, sehinggadikatakan bahwa x(t) merupakan fungsi naik terhadap t. Dengandemikian titik (x(t), x(t)) akan bergerak dari kiri ke kanan.Di bawah sumbu-x , titik bergerak dari kanan ke kiri.



Kestabilan

Salah satu sifat PD yang sangat penting adalah apakah PD tersebutmemiliki keadaan kesetimbangan (equilibrium state) atau tidak.

Keadaan kesetimbangan atau keadaan stasioner (stationary state)adalah suatu keadaan di mana solusi dari persamaan diferensialtersebut tidak lagi berubah terhadap waktu.

Di aspek terapan, mengetahui apakah keadaan kesetimbangantersebut stabil atau takstabil juga sangat penting. Beruntungnya,kestabilan ini tetap dapat diperiksa meskipun solusi persamaandiferensial tidak dapat ditemukan.

Secara umum, titik a dikatakan sebagai titik kesetimbangan bagix = F (x) jika F (a) = 0. Dalam kasus ini, x(t) = a juga merupakansolusi dari PD tersebut.



Kestabilan

Diagram fase di atas memiliki satu titik kesetimbangan, yaitu a. Ia bersifatstabil asimtotik global karena jika x(t) merupakan solusi dari x = F (x)dengan x(t0) = x0 maka x(t) akan selalu konvergen ke titik a, dengantitik awal (t0, x0) sembarang.



Analisis Bidang Fase

Diagram fase di atas memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu a1(stabil) dan a2 (takstabil).

Di a1, kurva x = F (x) memiliki kemiringan (slope) negatif sementaradi a2 kurva memiliki kemiringan positif.




Misalkan a adalah titik kesetimbangan dari x = F (x), yaitu berlakuF (a) = 0. Jika F ′(a) < 0 maka F (a) > 0 untuk x < a dan F (a) < 0untuk x > a. Sebaliknya, jika F ′(a) > 0 maka F (a) < 0 untuk x < adan F (a) > 0 untuk x > a.

Fakta-fakta ini diringkas dalam hasil berikut: misalkan a adalah titikkesetimbangan, yaitu F (a) = 0,

jika F ′(a) < 0 maka a adalah titik stabil asimtotik lokal,jika F ′(a) > 0 maka a adalah titik takstabil,jika F ′(a) = 0 maka tidak ada kesimpulan tentang kestabilan titik a.




Example

PD berikut:x + ax = b, a 6= 0,

merupakan bentuk khusus dari PD mandiri (6) dengan F (x) = b− ax danmemiliki titik kesetimbangan x = b

a . Dapat dilihat bahwa F′(x) = −a

sehingga x = ba stabil asimtotik lokal jika a > 0 dan takstabil jika a < 0.

Kesimpulan ini sama dengan apa yang dikatakan oleh solusi kuantitatifnya:

x(t) =(x0 −

ba

)e−at +

ba

Solusi di atas konvergen ke ba jika a > 0 dan divergen jika a < 0.







Analisis bidang fase dengan menggunakan diagram fase juga dapatdigunakan untuk memelajari perilaku solusi kualtitatif SPD.Perhatikan SPD mandiri berikut:

x1 = f (x1, x2)x2 = g(x1, x2)

, (7)

dengan f dan g merupakan fungsi-fungsi yang memiliki turunanpertama yang kontinu.Solusi (x1(t), x2(t)) dari sistem di atas menggambarkan kurva padabidang-x1x2.Laju perubahan dari x1(t) dan x2(t) dengan demikian berturut-turutdiberikan oleh f (x1(t), x2(t)) dan g(x1(t), x2(t)).Sebagai contoh, jika di titik P = (x1(t), x2(t)) berlakuf (x1(t), x2(t)) > 0 dan g(x1(t), x2(t)) < 0, yang berarti bahwax1(t) > 0 (x1 naik terhadap t) dan x2(t) < 0 (x2 turun terhadap t),maka sistem akan bergerak ke arah kanan-bawah dari titik P.




Arah gerakan ini ditunjukkan oleh vektor kemiringan (x1(t), x2(t))dari garis singgung kurva di titik P seperti pada gambar berikut:

Titik (a, b) sehingga f (a, b) = g(a, b) = 0 disebut sebagai titikkesetimbangan dari sistem (7). Di titik kesetimbangan berlakux1 = x2 = 0, sehingga jika sistem berada di titik kesetimbangan makasistem tersebut akan selalu berada pada titik tersebut.




Titik kesetimbangan sistem (7) merupakan titik perpotongan antaradua kurva f (x1, x2) = 0 dan g(x1, x2) = 0.

Kedua kurva ini disebut sebagai isoklin (isoclines) dari sistem.Penggambaran diagram fase dari sistem (7) diawali denganmenggambar isoklin. Di setiap titik pada isoklin f (x1, x2) = 0 berlakux1 = 0, sehingga vektor kecepatan adalah tegak menghadap ke atasjika x2 > 0 dan tegak menghadap ke bawah jika x2 < 0.

Di setiap titik pada isoklin g(x1, x2) = 0 berlaku x2 = 0, sehinggavektor kecepatan adalah mendatar mengarah ke kanan jika x1 > 0dan ke kiri jika x1 < 0.




Example

Gambarkan diagram fase dari SPD berikut:

x1 = x2x2 = −2x1 − x2.

Solution

Dari sistem di atas dapat didefinisikan f (x1, x2) = x2 dang(x1, x2) = −2x1 − x2 sehingga diperoleh

Titik kesetimbangan (0, 0).

Isoklin: x2 = 0 dan x2 = −2x1.Kedua isoklin membagi bidang fase menjadi empat sektor.




Arah gerakan garis fase:

Diagram fase:





Documents

Persamaan Diferensial Biasaridho_insanilmiah.student.ipb.ac.id/files/2015/11/pdb3.pdf · matriks turunan parsial ... Matriks A disebut sebagai matriks koe–sien dari sistem. Toni