Bab11Persamaan Diferensial ParsialPersamaandiferensial parsial dijumpai dalamkaitandenganberbagai masalahfisikdangeometrisbila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanyasistemfisikyangpalingsederhanayangdapat dimodelkandenganpersamaandiferensial biasa mekanikafluidadanmekanikapadat, transferpanas, teori elektromagnetikdanberbagai bidangfisika lainnyapenuhdenganmasalah-masalahyangharusdimodelkandenganpersamaandifferensial parsial. Yang sesungguhnya, kisaran penerapan persamaan diferensial parsial sangatlah besar, dibandingkan dengan kisaranpenerapanpersamaandiferensialbiasa. Peubah-peubahbebasdapatberupawaktudansatuatau lebih koordinat di dalam ruang. Bab ini akan ditujukan untuk beberapa persmaan diferensial parsial paling penting yang dijumpai di dalam penerapan rekayasa. Kita akan menurunkan persamaan itu sebagai model dari sistem fisik dan mengupas cara-cara untuk memecahkan masalah nilai awal dan masalah nilai batas, dengan kata lain metode untuk memperoleh solusi bagi persamaan yang berkaitan dengan masalah fisik yang dihadapi.Didalampasal11.1, kitaakanmendefinisikanpengertiansolusi persamaandiferensialParsial. Pasal 11.2 11.4 akan ditujukan untuk persamaan gelombang berdimensi-satu, yang mengatur gerak seutas dawai yang bervibrasi. Persamaan panas akan dibahas dalam pasal 11.5 dan 11.6; persamaan gelombang berdimensi-dua (membran bervibrasi) dalam pasal 11.7 11.10, dan persamaan Laplace dalam pasal 11.11 dan 11.12.Di dalam pasal 11.13 dan 11.14 kita akan melihat bahwa persamaan diferensial parsial dapat juga dipecahkan melalui transformasi Lapace(lihat Bab 5) atau transformasi Fourier (lihat pasal 10.10-10.12). Metode numerik untuk persamaan diferensial parsial akan disajikan dalam pasal 20.4-20.7.Prasyarat untuk Bab ini: persamaan diferensial biasa (Bab 2) dan deret Fourier(Bab 10).Pasa-pasal yang dapat dilewati untuk kuliah yang lebih singkat : 11.6, 11.9, 11.10.11.1 Konsep-konsep DasarPersamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi (yang diketahui) dengan dua atau lebih peubah bebas dinamakanpersamaandiferensial parsial.Ordo turunan tertinggi dinamakanordopersamaan tersebut. Seperti pada persamaandiferensial parsial biasa, kita katakanbahwasuatupersamaandiferensial parsial linear jikapersamaanituberderajat satudalampeubahbiasanyadanturunan parsialnya. Jikasetiapsukupersamaandemikianinimengandungpeubahtakbebasnya atau salah satu dari turunannya, persamaan itu dikatakan homogen; bila tidak, persamaan itu dikatakan tak homogen.Teladan 1. Persamaan diferensial parsial linear ordo kedua yang penting 2 222 22222 22 22 2 22 2 2 persamaan gelombang dimensi-satu persamaan panas berdimensi-satu( , ) persamaan poisson berdimensi-duau ucu xu uct xu uf x yx yu u ux y zo oo oo oo oo o+ o oo o o+ +o o o0 persamaan Laplace berdimensi-tiga Dalam hal ini c adalah konstanta, t adalah waktu, x y z adalah adalah koordinat Kartesius. Persamaan4dengan( f 0)adalahtakhomogen, sedangkanpersamaan-persamaan lainnya homogen.Yangdimaksuddengansolusisuatupersamaandiferensial padasuatudaerahRdidalam ruang peubah (-peubah) bebasnya ialah fungsi yang memiliki turunan parsial yang muncul di dalam persamaan itu, yang didefenisikan pada suatu domain mengandung R dan yang memenuhi persamaan itu dimana-mana di dalam R. Ada kalanya orang hanya menyaratkanbahwa fungsi tersebut kontinu pada batas daerah R, mempunyai turunan-turunantersebut di dalaminteriordaerahR,danmemenuhi persamaanitudi dalam interior daerah R.)Secara umum, keseluruhan solusi suatu persamaan diferensial adalah sangat besar.Misalnya, fungsi-fungsi(6)2 2 2 2,cos . ln( ),xu x y u e y u x y + Yang berbeda sama sekali satu sama lain, semuanya merupakan solusi bagi (3), sebagai pembaca dapat menverifikasi sendiri. Kita akan melihat nanti bahwa solusi tunggal suatu persamaan diferensial parsial yang berasal dari suatu masalah fisik tertentu akan diperolehdenganmemanfaatkaninformasi tambahandari dari situasi fisiktersebut. Misalnya, sering kali nilai solusi yang diinginkan pada batas domainnya diketahui (syaratataukondisi batas); dalam kasus lain, bila t menyatakan waktu, nilai solusi pada t = 0 adakalanya diberikan (syarat awal).Kita tahu bahwa jika suatu persamaan diferensialbiasabersifat linear dan homogen, makadari solusi yangdiketahui dapat diperolehsolusi-solusi lainmelalui superposisi. Pada kasus persamaan diferensialparsiallinear, keadaannya sangat serupa. Dan memang, teorema berikut ini berlaku.Teorema Dasar 1 (Prinsip Superposisi) Jika u1dan u2adalah solusi bagi suatu persamaan diferensial parsial homogen linear pada sutu daerah, maka1 1 2 2, u c u c u +dengan c1 dan c2 sembarang konstanta, juga merupakan solusi bagi persamaan itu dalam daerah tersebut.Bukti teorema penting ini mudah dan sangat mirip dengan bukti untuk Teorema 1 Pasal 2.1 dan disediakan untuk pembaca.Di dalampasal berikut, kita akan memulai pembahasan dengan persamaan penting pertama yang dicantumkan pada Teladan 1, yaitupersamaan gelombang berdimensi satu.Istilah berdimensi satu menunjukkan bahwa persamaan itu mengandunghanyasatupeubahruang, yaitux. Persamaanini mengaturgerakseutas dawai elastik, misalnya dawai biola.Soal-soal Latihan untuk Pasal 11.11. Buktikan Teorema Dasar 1 untuk persamaan diferensial ordo-keduadalam dua dan tiga peubah bebas.2. Verifikasi bahwa fungsi-fungsi (6) merupakan solusi bagi ( 3).Verifikasi bahwa fungsi-fungsi berikut merupakan solusi bagi persamaan gelombang (1) untuk nilai konstan c di dalam (1) yang sesuai.3. 2 2u x t + 4. 2 29 u x t + 5. sin sin u t x 6. cos sin u t t 7. cos sin u ct x 8. sin sin u ct x u u Verifikasi bahwa fungsi-fungsi berikut merupakan solusi bagi persamaan panas (2) untuk nilai konstanta c yang sesuai.9. 9cos10.sin 211.cost t tu e x u e x u e x 912.sin3tu e x

13. 16cos 2tu e x

14. 2 2sinc tu e xuu

( )2 2 2 2215. 16.3 17.cos18.sin19./20.sin coshxu x y u x y u e yu e y u arct y x u x y

21.Tunjukkan bahwa u(x, y) = v(x + c)+ w(x - ct) merupakan solusi bagi persamaan gelombang (1); dalam hal ini v dan w terdiferensialkan dua kali. Verfikasi bahwa u(x, y) = ( )2 2ln a x y b + + memenuhi persamaan laplce (3) dan tentukan a dan b sedemikian rupa sehingga u memenuhi syarat batas u =0 pada lingkaran 2 24. x y + 22. Tunjukkan bahwa 2 2 21/ u x y z + + merupakan suatu solusi bagi persamaan Laplace (5).23. Tentukan potensial elektrostatik [soluis bagi (5)] antara dua bola konsentrik S1: 2 2 2 2 2 221 dan: 4 x y z S x y z + + + + bila S1 bertegangan 110 volt sedangkan S2 dihubungkan dengan tanah [0 volt]. Petunjuk. Ingat soal 23.25. Tunjukkan bahwa ( )2 2/ u y y x y + memenuhi persamaan Laplace (3) dan bernilai 0 pada sumbu-x maupun pada lingkaran 2 21. x y + Hubungan dengan persamaan diferensial biasaJika suatu persamaan diferensial parsial mengandung turunan terhadap hanya salah satu peubahnyasaja, makakitadapat memecahkannyaseperti suatupersamaandiferensial biasa, dengan memperlakukan peubah (-peubah) bebas lainnya sebagai prameter. Pecahkan persamaan berikut jika u merupakn fungsi dua peubah x dan y.Pecahkan persamaan berikut jika u merupakan fungsi dua peubahx dany.26. 0 27. 0 28. 029.30. 0 31.20y x xxxx z yy xx xu u u uu u u u u u u + +Dengan memisalkan ux=p, pecahkan32. 0,036. 0, 037. 0, 0 38. 0,0x y xx yy xx xyzz yyu u u u u uu u 39. Perlihatkan jika kurva datar z = konstantadari suatu permuklaan z = (x, y) berupa garis-garislurusyangsejajar sumbu-x, maklazmerupakansolusi bagi persamaan diferensial zx = 0. Berikan beberapa cotoh sebagai ilustrasi. 40. Tunjukkanbahw solusi ( ) ,bagi0x yz x y yz xz merepresentasikan permukaan benda-benda putar. Berikan contoh ilustrasinya. Petunjuk. Ambil cos ,sin x r y r u u dan kemudian tunjukkan bahwa persamaan itu menjadi0z c . 11.2Pemodelan: Dawai Bervibrasi, Persamaan Gelombang Berdimensi-SatuBerbagai persamaandiferensial parsial pentingyangpertama, Marilahkitaturunkan persamaanyangmengaturvibrasi padaseutasdawai elastis,yangdiregangkansampai panjang L dan diikatkan pada kedua ujungnya. Misalkan kemudian dawai itu ditarik dan diganggu dan kemudian dilepaskan padat= 0 agar bergetar. Masalahnya adalah menentukan vibrasi dawai tersebut, dengan kata lain menentukan penyimpangannya u(x,t) pada sembarang titik x dan waktu t > 0; lihat gambarar 265.PQaT1T2bxX+xLT2T1uPQab0Gambar 265 Dawai yang bervibrasi Bila menurunkan suatu persamaan diferensial yang bersumber pada suatu masalah fiska tertentu, biasanya kita harus menyederhanakan asumsi-asumsi untuk menjamin agar persamaanyangdihasilkantidakmenjadi terlalurumit. Kenyataanpentingtelahkita perolehketikakitamempelajari persamaandiferensial biasa, danhal yangsamapun berlaku untuk persamaan diferensial parsial.Pada kasus kita sekarang ini, kita memberlakukan asumsi-asumsi berikut : 1. Massa dawai persamaan satuan panjang adaah konstan (dawai homogen) Dawainya elastis sempurna dan tidak memberikan perlawanan terhadap pelengkungan.2. Teganganyangdisebabkanolehperegangandawai itusebelumpengikatankedua ujungnya lebih besar diandingkan dengan gaya gravitasi, sehingga yang terakhir ini dapat diabaikan.3. Dawai itu mengalami gerak tranversal (melintang) kecil pada suatu bidang vertikal;artinya, setip partikel dawai itu bergerak secara vertikal dengan defleksi(penyimpangan) dan kemiringan di setiap titik dawai tetap kecil nilai mutlaknya.Asumsi-asumsi itu sedemikian rupa sehingga sehingga kita dapat berharap bahwa solusi u(x, t) bagi persamaan diferensial yang diperoleh dapat menerangkan dengan cukup baik vibrasi kecil dawai nonideal yang bermassa kecil dan homogen yang mengalami tegangan besar.Untuk memperoleh persamaan diferensialnya, kita simak gaya-gaya yang bekerja pada suatu bagian kecil dawai tersebut (gambar 265). Karena dawai itu tidak memberi perlawanan terhadap pelengkungan (does not offer resistance to bending), maka tegangan bersifat tangensial terhadap kurva dawai itu pada setiap titik. Misalkan T1 dan T2 adalah tegangan di kedua titik ujng P dan Q dari bagian kecil tersebut. Karena tidak ada gerak dalam arah horisontal, berarti komponen horisontal tegangan ini pasti konstan. Dengan menggunakan notasi seperti pada gambar 265, kita memperoleh(1)1 2cos cos T T T o konstantaPada arah vartikal terdapat dua gaya, yaitu komponen vertikal T1 sin dari T1 danT2 sin dariT2; tanda minus disini berarti bahwa komponen yang bersangkutan diP arah ke bawah. Menurut hukum kedua Newton, resultan kedua gaya tersebut sama dengan massa bagian itu, px, kali percepatannya, 2u/ t2, dihitung pada suatu titik daerah x dan x + x; dalam hal ini p adalah massa dawai yang tidak terdefleksi persatuan panjang, sedangkan x adalah panjang bagian dawai yang tidak terdefleksi persatuan panjang, sedangkan x adalah panjang bagian dawai yang tidak terdefleksi. (2) 22 1 2sin sinuT T xt o po Ao Dengan menggunakan (1) kita memperoleh 22 122 1sin sintan tancos cosT T x uT T T t o p o oA o oSekarang tan dan tan adalah kemiringan kurva dawai itu di titk x dan x + x :tan dantanx x xu ux xo +Ao o | ` | ` o o. , . ,Di sini kita harus menuliskan turunan parsial sebab u juga tergantung pada t.Pembagian (2) dengan x menghasilkan 221x x xu u ux x x T tp+A ] o o o | ` | ` ]A o o o. , . , ]Jika x mendakati nol, kita memperoleh persamaan diferensial parsial linear2 222 2u uct xo oo o2Tcp .Inilah yang dinamakanPersamaan gelombang berdimensi-satu, yang mengatur masalah kita. Kita lihat bahwa persamaan homogen dan berorde dua. Notasi c2 (alih-alih c untuk konstanta fisik T/pdiambil unutuk menunjukkan bahwa konstanta positif. Solusi persamaan ini akan diperoleh dalam pasal berikut.11.3Metode Pemisahan Peubah (Metode Hasil Kali)

Di dalam pasal sebelumnya kta telah menunjukkan bahwa vibrasi seutas dawai, misalnya dawai bola, mengikuti persamaan gelombang berdimensi-satu(1) 2 222 2u uct xo oo o, dengan u(x ,t) adalah defleksi dawai tersebut. Untuk mengetahui bagaimana dawai itu bergerak, kita harusmemecahkan persamaaan ini; lebih tepatnya, kita tentukan solusi u bagi (1) yang juga memenuhi syarat yang dikenakan oleh sistem fisik bersangkutan. Karena dawai itu diikat pada kedua ujung x = 0 dan x = L, kita kenai dua syarat batas (2) (0, ) 0, ( , ) 0untuk semuau t u L t t

Bentuk gerak dawai itu akan tergantung pada defleksi awalnya (defleksi pada t =0) dan pada kecepatan awalnya (kecepatan pada t = 0).Jika f(x)adalahdefleksi awalnya dan g(x) adalah kecepatan awalnya, maka kita akan memperoleh kedua syarat awal( ,0) ( ) u x f x

(3) dan0( ).tug xtoo(4)

Masalah kita sekarang adalah menemukan solusi bagi (1)yang memenuhi syarat(2)-(4). Langkah-langkah yang akan kita tempuh adalah sebagai berikut.LangkahPertama.Denganmenerapkan apa yang dinamakan metode pemisahan peubahataumetodehasil kali, kitaakanmemperolehduapersamaandiferensial biasa.Langkah Kedua.Kita akan menetukan solusi bagi kedua persamaan itu yang memenuhi syarat batasyang ditentukan.LangkahKetiga.Solusi-solusi itu akan digabungkan sedemikian rupa sehingga hasilnyamerupakansolusipersamaan gelombang(1)memenuhisyaratawalyang diberikan.Rinciannya adalah sebagai berikut. Langkah Pertama. Dua Persamaan Diferensial BiasaMetode hasil kali inimenghsailkan solusi bagi persamaan gelombang (1) yang berbentuk( , ) ( ) ( ) u x t F x G t (5)yang merupakan hasil kali dua fungsi, masing-masing tergantung pada salah satu peubah x atau t. Akan kita lihat nanti bahwametode ini mempunyai banyak penerapan di dalam matematika rekayasa. Dengan mendiferensialkan (5), kita memperoleh2 2''2 2 danu uF G F Gt x--o o o oDengan tanda dua titik di atas melambangkan turunan terhadap t, sedangkan tanda aksen melambangkan turunan terhadapx. Dengan menyisipkan ini ke dalampersamaan diferensial (1), kita memperoleh 2 ''FG c F G--Dengan membagidengan c2FG kita akanmemperoleh''2G Fc G F--.Ruas kirihanya mengandung fungsi yang tergantung hanya pada t sedangkan ruas kanan mengandung fungsi yang tergantung hanya pada x. Ini berarti ruas kanan maupun ruas kiri sama dengansuatu konstanta, makapengubahan takan mengubah nilai ruas ini namun jelas tidakmengubah nilai ruas kanan, sebabruas kanan tidak tergantung pada t begitu pula, jika ruas kanantidak sama dengankonstanta, maka pengubahanx akan mengubahnilai ruas ini namun jelas tidakmengubah nilai ruas kiri. Jadi,''2G Fkc G F-- .Inimenghasilkandua persamaan diferensial biasa linier, yaitu : (6)''0 F kFdan(7)20 G c kG-- Di sini, k masih merupakan sembarang bilangan.Langkah Kedua. Memenuhi Syarat Batas Kita sekarang akan menentukan solusi Fungsi dan G bagi (6) dan (7) sedemikian rupa sehingga u = FG memenuhi syaratbatas(2); dengan kata lain(0, ) (0) ( ) 0,( , ) ( ) ( ) 0 u t F G t u L t F L G t untuk semua t.Jelaslah, jika G 0, maka u 0, sama sekali tidak menarik. Jadi, kita meginginkan G 0, sehingga haruslah (8)(a)(0) 0(b)( ) 0 F F L Untukk=0, solusi umumbagi (6) adalah F=ax+b, sehinggadari (8) kita memperoleha = b = 0. Dengan demikian F 0, juga tidak menarik sebab akibatnya G 0. Untuk k = m2 positif, solusi umum bagi (5) adalah ,x xF Ae Be +dan dari (8) kita memperolehF0, seperti sebelumnya. Sekarang, kita tinggal kemungkinan mengambil knegatif k = -p2 . persamaan (6) sekarang mempunyai bentuk 2" 0. F p F + dengan solusi umum adalah ( ) cos sin . F x A px B px +dari sini dan (8) kita memperoleh(0) 0sehingga ( ) sin 0 F A F L B pL Kita harus mengambilB 0sebab jika tidak demikian F 0. ini berarti sin pL = 0.Akibatnya ,(9)atau (bilangan bulat). npL n p nLrr Dengan mengambil B = 1, kita memperoleh tak hingga banyaknyasolusi F(x) = Fn(x), dengan(10)( ) sin n = 1,2,...nnF x xLrSolusi-solusi itumemenuhi (8). Untukbilanganbulat negatifnkitamemperoleh solusi yang pada hakekatnyasama, kecuali tandanya, sebab sin (-) = - sin .Bilangank sekarang terbatas pada nilai-nilai k = -p2 = -(np/L)2, yang berasal dari (9). Untuknilai-nilai k tersebut, persamaan (7) mempunyai bentuk 20 dengan n ncnG GLri i--+ Suatu solusi umumnyaadalah *( ) cos sinn n n n nG t B t B t i i +.Jadi, fungsi-fungsiun(x, t) = Fn(x)Gn(t), yakni(11) *( , ) ( cos sin )sin ( =1,2,...)nn n n nnu x t B t B t x nLri i +,Merupakansolusi-solusi bagi (1) yangmemenuhi syarat batas (2). Fungsi-fungsi itu dinamakan fungsi-eigen, atau fungsi ciri, dan nilai n = cnp/L dinamakan nilai-eigen, atau nilai ciri,dari dawai yang bervibrasi tersebut. Himpunan (1, 2, ...) dinamalan spektrum.Kitalihat bahwasetiapunmerepresentasikan suatu gerak harmonik yangmemiliki frekuensi n/2n=cn/2Lsiklusper satuanwaktu. Gerakini dinamakan modus normalke-ndawai tersebut. Modus normal pertama dikenal sebagai modus dasar (fundemental mode) (n=1), sedangkan yang lain dikenal sebagaiovertone, pada musik, modus-modus tersebut menghasikan oktaf, oktaf plus seperlima, dan seterusnya. Karenadi dalam (11)2 1sin 0pada, ,...,n L L nx x LL n n nr ,Modus normal ke-n memiliki n-1 apa yang dinamakan simpul (nodes), yaitu padadawaii yang tidak bergerak (Gambar 266).0L0L0L0LN = 1N = 2N = 3N = 4Gambar 266. Modus normal dari dawai yang bervibrasiGambar 267 memperlihatkanmodus normal kedua untuk berbagai nilai t. Pada tiap saat dawai itu berbentuk gelombang sinus. Bila bagian kiri dawai itu bergerak dibawah, maka bagianyangbergerakkeatas, dansebaliknya. Untukmodus yanglain, keadaannya serupa. LxGambar 267. Modus normal kedua untuk berbagai nilai tLangkah Ketiga. Solusi Masalah KeseluruhannyaJelaslah, satu solusi un(x, t) pada umunya tidak memenuhi syarat awal (3) dan (4).Sekarang, karena persamaan(1) linier dan hmogen, maka menurut Teorema Dasai 1Pada pasal 11.1 jumlah terhingga banyaknya solusiun juga merupakan solusi bagi (1). Untuk memperoleh solusi yang memenuhi (3) dan (4), kita simak(12)*1( , ) ( cos sin )sinnn n n nnnu x t B t B t xLri i +Dengan n = cnp/L seperti sebelumnya. Dari sini dan syarat awal (3), kita memperoleh(13)1( ,0) sin ( ).nnnu x x f xLr Jadi, agar (12) memenuhi (3), koefisien-koefisienBnharus diambil sedemikianrupa sehingga u(x,0) menjadi uraian separuh-kisaran (half-range expansion) bagif(x); yaitu deret sinus Fourier bagi f(x). Jadi[lihat (4) pasal 10.5],(14) 02( ) sinn=1,2,...LnnB f x dxL LrlBegitu pula, dengan mendiferensialkan (12) terhadap t dengan menggunakan syarat awal kedua, yaitu (4), kita memperoleh*010( sin cos )sinn n n n ntntu n xB t B tt Lri i io]+ ]o ]*1sin ( ).n nnn xB g xLri Oleh karena itu, agar (12) memenuhi (4), koefisien-koefisien Bn* harus dipilih sedemikian rupa sehingga, untuk t=0, turunanu/ tmenjadi deret sinus Fourier bagi g(x); jadi menurut (4) pasal 10.5.*02( ) sinLn nnB g x dxL Lri lAtau, karena n = cnp/L,(15) *02( ) sin Ln nnB g x dxcn Lrirln = 1, 2, ...Akibatnya, u(x, t) yang diberkan leh (12) dengan koefisien-koefisien (14) dan (15) merupakan salah satu solusi bagi (1) yang memenuhi syarat (2)-(4), asalkan deret (12) tersebut konvergen dan juga asalkan deret yang diperoleh meleui pen diferensialan (12) suku-demensi-suku terhadap x dan i konvergen dan mempunyai jumlah bertut-turut, yang bersifat kontinu.Jadi, solusi (12) masih berupa ekspresi formal belaka, kita masih harus membuktikannya. Untuk kemudahan, kita hanya akan menyimak kasusu bila kecepatan awalnya g(x) sama dengan nol. Ini berimplikasi Bn* sama dengan nol dan (12) tereduksi menjadi (16)1( , ) cos sin,= .n n nnn cnu x t B tL Lr ri iSekarang kita akan mejumlahkan deret ini, artinya menuliskan hasilnya dalam bentuk tertutup atau terhingga. Untuk maksud ini, kita gunakan rumus [lihat (11dalam apendiks 3.1] 1cos sin x = sin ( ) sin ( ) .2cn n n nt x ct x ctL L L Lr r r r] + +' ' ' ' ] ]Akibatnya, kita dapat menuliskan (16) dalam bentuk

1 11 1( , ) sin ( ) sin ( ).2 2n nn nn nu x t B x ct B x ctL Lr r + +' ' ' ' Kedua deret itu yang diperoleh melalui subsitusi, berturut-turut, x - ct dan x + ct peubah x dalm deret sinus Fourier (13) untuk f(x). Oleh karena itu,(17)( ) ( )* *1( , )2u x t f x ct f x ct] + + ]Dengan f* adalah perluasan periodik ganjil fungsifdengan periode 2L(Gambar 268). Karena defleksi awal f(x)kontinu pada selang 0x L dan bernilai nol di kedua titik ujngnya, maka dari (17) kita dapat menyimpulkan bahwau(x, t)merupakan suatu fungsi kontinu untuk semua niai x dan t. Dengan mendiferensialkan (17) kita lihat bahwa u(x, t) merupakan salah satu solusi bagi (1), asalkan f (x) dideferensialkan dua kali pada selang 0 < x < L, dan memiliki turunan kedua satu-arah (one sided second derivatives) di x =0, yang bernilai nol. Di bawah kondisi tersebut, terbuktilah bahwa u(x, t) merupakan salah satu bagi (1) yang memenuhi 1-(4)0LxGambar 268. perluasan periodik ganjil bagi f(x)Jikaf(x)dan f(x) hanya kontinue sepotong-sepotong (Lihat Pasal 1.5), atau jika turunan-turunan satu arah itu tidak nol, maka untuk setiaptakan ada terhingga banyaknya nilai xyang pada nilai-nilai itu turunan kedua fungsi u yang muncul di dalam (1)tidakada. Kecualipadatitik-titiktersebut, persamaangelombangmasihterpenuhi, dan kita dapat memandang u(x, t) sebagai solusi bagi masalah kita dalam pengertian yang lebih luas. Misalnya, dalam kasus defleksi awal yang berbentuk segi tiga (teladan 1 di bawah ini) menghasilkan solusi jenis ini.Kiranyaperludikemukakan suatu tafsiran fisik yangsangatmenarikbagi(17). Grafik f*(x + ct) diperoleh dari grafik f*(x) dengan cara menggeserkan yang terakhirini ct satuan ke kanan (gambar 269). Ini berarti bahwa f*(x ct ) (c > 0) merepresentasikan suatu gelombang yang bergerak ke kanan sejalan dengan naiknya t. Begitu pula, f* (x + ct)merepresentasikansuatugelombangyangbergerakkekiri, danu(x,t)merupakan superposisi kedua gelombang tersebut.ctxf *(x)f *(x - ct)Gambar 269.Tafsiran bagi (17)Teladan 1. Dawai bervibrasi jika defleksi awalnya berupa segi tigaTentukan solusi persamaan gelombang(1) jika defleksi awalnya berbentuk segi tiga 22( ) 02

2( )KxLKL xLLjika xLjika x Lf x

< hiperbolik jika 20. AC B< Di sini A, B, C,mungkin merupakan fungsi dari x dan y, dan jenis (8) mungkin berbeda di bagian-bagian bidang xyyang berbeda.13. Tunjukkan bahwaPersamaan Laplace 0 adalah eliptik,xx yyu y + persamaan panas 2 adalah parbolik,t xxu c u persamaan gelombang 2 adalah hiprbolik,tt xxu c u persamaan Tricomi 0 xx yyyu u adalah berjenis campuran (eliptik di separuh-bidang bagian atas dan hiperbolik di separuh bagian bawah).14. Jika persaman (8) hiperbolik, maka persaman itu dapat ditarnsformasikan ke dalam bentuk nomal uvz =( ) , , , ,v zF v z u u u- dengan mengambil ( ) ( ) , , , ; v x y z x y w 4 dalam hal ini 4 konstanta dan wkonstanta merupakan solusi ( ) y y x bagi persamaan 2' 2 ' 0 Ay By C+ (lihat acuan [C12] ). Tunjukkan bahwa dalam kasus persamaan gelombang (1).,. x ct x ct 4 + + 15. jika (8) parabolik, subsitusi ( ) , , , v x z x y w dengan w didefinisikan seperti pada soal (14), mengubahnya ke bentuk normal ( ) , , , , .vv v zu F v z u u u- Verifikasi fakta ini untuk persamaan 2 0xx xyu u + . 16. (Persamaan Airy) Tunjukkan bahwa melalui pemisahan peubah kita dapat memperoleh persamaan Airy " 0 G yG dari persamaan Tricomi.(untuk solusinya, lihat hlm. 446 Acuan [1] yang dicantumkan dalam Apendiks 1, lihat juga Soal Ulangan 30 Bab 4.)uyxx=LGambar 271. Balok yang tidak mengalami perubahan bentuk dalam Soal 17Vibrasi sebuah balok. Dapat diperlihatkan bahwa vibrasi vertikal bebas dari suatu balok seragam (Gambar 271) mengikuti persamaan orde-empat(9) 2 422 40u uct xo o+ o o(Acuan [C14]).Dengan dalam hal ini 2/ c EI pA (E = modulus elastisitasYoung, I= momen inersia irisan melintang terhadap sumbu y di dalam gambar, p = kerapatan atau densitas, A = luas irisan melintang ).17. Dengan mensubsitusikan ( ) ( ) u F x G y ke dalam (9) dan memisahkan peubah-peubahnya, tunjukkan bahwa ( )( )(4) 2 42 2/ / konstanta. cos sin cos sin , cos sin .F F G c GF t A x bB x C x D xG t a c t b c t -- + + + +18. Tentukan solusi ( ) ( )n n nu F x G t bagi (9) jika kecepatan awalnya nol dan memenuhi syarat-syarat batas (lihat Gambar 272)

( ) ( ) 0, 0,, 0 u t u L t (kedua ujungnya diganjal untuk semua t),

( ) ( ) 0, 0, , 0xx xxu t u L t (di kedua ujungnya, momennya nol, sehingga lengkungannya juga nol). ux=LxGambar 272. Balok dalam Soal 1819. Tentukan solusi bagi (9) yang memenuhi syarat-syarat dalam Soal 18 dan syarat awal ( ) ( ) ( ) ,0 . u x f x x L x 20. Bandingkan hasil-hasil dari Soal 19 dengan Soal 5 Pasal 11.3. Apakahperbedaanpokokantarafrekuensimodusnormaldawaiyangbervibrasi dengan frekuensi modus normal balok yang bervibrasi?21. Apakah syarat-syarat batasnya jika balok itu ditahan/dijepit di kedua ujungnya ? (lihat Gambar273.) Gambar 273. Balok dalam Soal 21

Gambar 274. Balok dalam Soal 2122. Tunjukkan bahwa ( ) F x dalam Soal 17 memenuhu syarat-syarat dalam Soal 21 jika L adalah akar persamaan (10) cosh cos 1 L L 23. Tentukan solusi hampiran bagi (10).24. Jika balokitudijepit di ujungkirinya dandibiarkanbebas di ujungkanannya (Gambar 274), maka syarat-syarat batasnya adalah ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0, 0, 0,, 0,, 0.x xx xxxu t u t u L t u L t Tunjukkan F(x) dalam Soal 17 memenuhi syarat-syarat itu jika L adalah akar persamaan(11) cosh cos 1 L L .25. Tentukan soluisi hampiran bagi (11). 11.5 Aliran PanasAliran panas di dalam suatu benda homogen mengikuti persamaan panas (lihat pasal 9.7) 2 2uc uto Vo

2kcop Dengan u(x, y, z, t) adalah suhu di dalam benda tersebut, K adalah konduktivias termal, s adalah panas jenis dan r adalah kerapatan benda, v2 u adalah Laplacian dari u, dan relatif terhadap koordinat Kartesius x, y, z22 2 22 2 2.u u uux y zo o oV + +o o oSebagai salah satu penerapan penting, marilah kita simak suhu pada suatu batang atau kawat tipis panjang, yang irisan melintangnya konstan dan terbuat dari bahan yang homogen, dan terletak pada sumbu-x. Maka utergantung hanya pada x dan waktu t dan persamaan panasnyan menjadi apa yang dinamakan persamaan panas berdemensi-satu. 222u uct xo oo oxLGambar 275. Batang yang dibahasKita akan memecahkan (1) untuk beberapa jenis syarat batas dan syarat awal yang penting. Prosedur penyeleseiannya akan mirip dengan pada kasus persamaan gelombang. Perilakusolusinyaakansamasekali berbeda dibandingkan dengan perilaku persamaan gelombang, sebab (1) melibatkan uu.(Klasifikasi dalam soal 13 pada pasal sebelumnya bukan cuma untuk formalitas belaka, namun mempunyai konsekuensi yang dalam relatif terhadap perilaku umum solusinya.)Marilahkitamulai dengankasuskeduaujungbatangnya(x= 0danx=L) dipertahankan pada suhu nol. Maka syarat-syarat batasnya adalah

(0, ) 0,( , ) 0 u t u L t untuk semua t.Perhatikanbahwaini mempunyai bentukyangsamadengan(2) Pasal 11.3. Jikaf(x) adalah suhu awal batang tersebut, maka syarat awalnya adalah( , ) ( )[ ( ) diketahui]. u x t f x f x Kita akan menentukan solusi u(x, t) bagi (1) yang memenuhi (2) dan (3).Langka pertama.Denganmenerapkanmetodepemisahanpeubah, mula-mulakita tentukan solusi bagi (1) yang memenuhi syarat batas (2). Kita mulai dengan ( , ) ( ) ( ) u x t F x G t .Pensubstitusian ini ke dalam (1) menghasilkan persamaan FG = c2( , ) ( ) [ ( ) dikrtahui] u x t f x f x FG, dengantanda petik di atas melambangkan turunan terhadap t, sedangkan aksen menandakan turunan terhadap x. Untuk memisahkan peubah, kita bagi persamaan ini dengan c2F"2.G Fc G FgRuas kiri hanyatergantungpadat, sedangkanruas kananhanyatergantungpadax. Seperti pada pasal 11.3, kita simpulkan bahwa kedua ruas itu pasti sama dengan suatu konstanta, katakanlah k. Pembaca dapat memperlihatkan bahwa untuk k 0, satu-satunya solusi u = -p2 yang negatif, kita memperoleh dari (5) "22. .G Fpc G F gKita lihat bahwa ini menghasilkan dua buah persamaan diferensial biasa (6)" 20 F p F + (7) 2 20 G c p G-+ Langkah kedua. Kita perhatikan (6). Solusi umumnya adalah(8)( ) cos sin . F x A px B px +Syarat batas atas (2) berakibat bahwa (0, ) (0) ( ) 0 dan( , ) ( ) ( ) 0 U t f G t u L t F L G t Karena G 0 berimplikasi u 0, maka kita menginginkan F(0) = 0 dan F(L) = 0.Menurut (8), F(0) = A. jadi, A = 0, sehingga F(L) = b sin pLHaruslah b 0, sebab jika tidak F 0. oleh karena itu syarat F(L) = 0 membawa pada sin 0, sehingga,1, 2,...npL p nLr Dengan mengambil B = 1, kita memperoleh solusi bagi (6) yang memenuhi (2):

( ) sin ,= 1,2,...nn xF x nLr(Seperti pada Pasal 11.3, kita tidak perlu menyimak nilai-nilai n yang bulat negatif) Sekarang kita simak persamaan diferensial (7). Untuk nilai-nilai p = np/L yang baru diperoleh, persamaan ini mempunyai bentuk 20 dengan.n ncnG GLri i + gSolusi umumnya adalah 2( ) ,= 1,2,...,ntn nG t B e ni denganBnadalah konstanta. Jadi,fungsi fungsi 2( , ) ( ) ( ) sin= 1,2,...,ntn n n nn xu x t F x G t B e nLir

Merupakan solusi bagi persamaan panas (1) yang memenuhi (2).Seperti halnya pada pasal sebelumnya, untuk memperoleh solusi bagi masalah perubahannya, kita akan menggunakan deret tak hingga.Langkah ketiga. Untuk memperoleh solusi yang juga memenuhi (3), kita perhatikan (10)2n=1 1( , ) ( , ) sin ,.ntn n n nnn x cnu x t u x t B eL Lir ri

| ` . , Disini dan (3), maka 1( , 0) sin ( ).n nnn xu x B f xLr Agar (10) memenuhi (3), koefisien-koefisien Bnharus dipilih sedemikian rupah hingga u(x, 0) merupakan uraian separuh-kisaran bagif(x), yaitu deret sinus bagif(x); dengan kata lain [lihat (4) Pasal 10.5)], (11)02( ) sin1, 2,...,LLnn xB f x dx nLr l3ihat catatan kaki 7 di dalam Pasal 10.2.Solusi bagi masalahkitaini dapat dibuktikandenganmengasumsikanbahwaf(x)itu sepotong-sepotong pada selang 0xL (lihat pasal 5.1), dan memiliki satu arah3di semua ttik interior selang tersebut; artinya, di bawah asumsi-asumsi tersebut, deret (10) dengan koefisien-koefisien (11)merupakan solusi bagi masalah fisik yang kita hadapi. Buktinya, yang membutuhkan pengetahuan tentang konvergenan seragam, akan diberikan pada kesempatan nanti (soal 21, 22 di akhi pasal 14.8).Karena adanya faktor eksponensial, semua suku di dalam (10) mendekati nol jika tmendekati tak hingga. Laju penurunan suhu semakin cepat sejalan dengan naiknya n.Teladan1. Suhu awal sinusiodal Misalkan suhu u(x, t) di dalam sebatang tembaga yang telah diisolasi yang panjang 80 cm suhu awalnya adalah 100 sin (px/80)o C dan ujung-ujungnya dipertahankan pada suhu 0oCberapalamasampai suhumaksimumdi dalambatangtembagaituturunmenjadi 50oC? Mula-mula kira-kiralah, dan kemudian hitunglah. Data fisik untuk tembaga: kerapatan 8.92 gm/cm3, panas jenis 0,092 kal/gm oC konduktifitas termal 0.95 kal/cm det oC.Jawab. Syarat awal menghasilkan 1( ,0) sin ( ) 100sin .80 80nnn x xu x B f xr r Dengan demikian, dengan melihat begitu saja atau dari (10) kita memperoleh B1 = 100, B2 = B3 =... = 0.Didalam (10) kita membutuhkan 12 = c2p2/ L2, dengan c2= K/sp = 0.95/(0.092)(8.92) =1.158 [cm2/det].Jadi,kitamemperolehl12 = (1.158)(9.870)/6400 = 0.001785 [det-1]. Solusi bagi (10) adalah 0.0017853( , ) 100sin .80txu x t er

Selanjutnya, 100-0.001785t = 50 jika t = (ln 0.5)/(-0.001785) = 388 [detik] 6.5 [menit]. Teladan2. Kecepatan turunnya suhuPecahkansoal padaTeladanjikasuhuawalnyaadalah100sin(3px/80)oCdandata lainnya samaJawab. Di dalam Pasal (10), alih-alih n = 1 sekarang n =3, dan l32 = 32l12 = 9(0.001785) = 0.01607, sehingga solusinya adalah 0.016073( , ) 100sin .80txu x t er

Jadi, suhu maksimunnya turun menjadi 50 oC dalam waktu t = (ln 0.5)/(0.01607) 43 [detik], jauh lebih cepat (9 kali lebih cepat dibandingkan pada teladan 1). Kalau kita mengambil n yang lebih besar, penurunan suhu akan lebih cepat lagi, dan di dalam dewret yang suku-sukunya demkian, setiap suku mempunyai laju penurunannya sendiri, dan suku dengan n besar praktis bernilai nol, dalam waktu singkat. Teladan kita berikut adalah semacam ini, dan kurva dalam Gambar 276 untuk t = 0.5 sangat mirip dengan kurva sinus; artinya, praktis ini merupakan grafik suku pertama solusi tersebut.0 = lxu5 . 0 = lxu2 = lxu1 . 0 = lxuGambar 276. Solusi pada Teladan 3Untuk L = p, c = 1 dan bagian nilai t Aliran Panas Berdemensi-Dua Keadaan-Stabil Persamaan bedemensi-dua (lihat di awal Pasal ini)Jika aliran panas itu stabil atau stasioner (tidak tergantung waktu), maka / dy t o = 0 sehingga persamaan panas ini berubah menjdi persamaan Laplace42u = 2 22 20u ux yo o+ o oJadi suatu masalah panas rediri atas persamaan ini yang harus disimak pada suatu daerah R pada bidang-xy dan suatu syarat batas pada kurva yang menjadi batas daerah R tesebut. Masalah ini dinamakanmasalah nilai batas(boundary value problem). Orang menyebutnya masalah Dirichlet jika u ditentukan pada C.masalah Neumann jika turunan normalnya un = / u n o o ditentukan pada .masalah campuran jika u ditentukan pada sebagian dari C sedangkan unpada sebagian lain dari C.Sekarang kita simak suatu masalah Dirichlet pada suatu persegi panjang R(Gambar 77), dengan mengasumsikan bahwa suhu u(x, y) sama dengan suatu fungsi f(x) tertentu di sisi atas dan sama dengan 0 di ketiga sisi lainnya.4Persamaan sangat penting muncul dalam pasal 9.7 dan akan dibahas lebih lanjut dalam pasal-pasal 11.9, 11.11, 11.12, 12.5 dan dalam Bab 17Gambar 277. Persegi Panjang R dan nilai batasnyaKita pecahkan masalah ini melalui pemisahan peubah. Subtitusi ( , ) ( ( ) u x y F xG y ke dalam (13) dan pembagian dengan FG menghasikan2 22 21 1. . .d F d GkF dx G dy Dari sini menghasilkan syarat batas pada sisi kiri dan sisi kanan persegi panjang R, kita memperoleh 220d FkFdx+ ( ) 0 0, F

( ) 0. F a Ini menghasilkan k = (np/a)2 dan solusi bukan-nol(14)F(x) = Fn(x) = sin ,nxar n = 1, 2, . . .Dengan demikian, persamaan untuk G menjadi4Persamaan sangat penting ini muncul dalam pasal 9.7 akan dibahas lebih lanjut dalam Pasal-Pasal 11.9, 11.11, 11.12, 12.5, dan dalam bab 17.2220d G nGdy ar | ` . ,Solusinya adalah/ /( ) ( )n y a n y an n nG y G y A e b er r +.Sekarang syrat batas u = 0 di sisi bawah persegi panjang R berimplikasi bahwa Gn(0); sehingga Gn(0) = An + Bn = 0 atau Bn = -An . ini menghasilkan / /( ) ( ) 2 sinh .n y a n y an n n nn yG y A e b e Aar rr

Dari sini dan (14), dengan menuliskan 2an*, kita memperoleh fungsi eigen bagi masalah kita (15)( , ) ( ) ( )n n n nu x y f x G y A sin sin .n x n ya ar rFungsi-fungsiini memenuhi syarat batas u = 0 pada sisi kiri, sisi kanan, dan sisi bawah persegi panjang R. Untuk memperoleh solusi yang juga memenuhi syarat batas(16) ( , ) ( ) u x b f x

Pada sisi atas persegi panjang R, kita perhatikan deret tak hingga ( ,y) u x 1 n( , )nu x ydari ini, (16) dan (15) dengan y = b, kita memperolehu(x, b) = f(x) = 1 n sin sinhnn x n bAa ar r-kita dapat menuliskan ini dalam bentuk( )1, sinh sinhnnn b n xu x b Aa ar r-| ` . ,Ini menunjukkanbahwaeksperesi di dalamtandakurungharusmerupakankoefisien Fourier bn bagi f(x); dengan kata lain, menurut (4) dalam pasal 10.5.02sinh ( ) sinan nn b n xb A f x dxa a ar r- ldari ini dan (15) kita memperoleh solusi bagi masalah kita, yaitu (17) ( )1, sin sinhnnn x n yu x y Aa ar r-Dengan (18) ( )( )02sinsinh /ann xA f x dxa n b a arr-l

Solusi ini, yangdiperoleh tanpa memperhatikan konvergen dan jumlah deret bentuk u,uxx dan uyy, dapat dibuktikan bila f dan f kontinu dan f kontinu sepotong-sepotong pada selang 0 x a. Buktinya agak rumit dan didasarkan pada konvrgenan seragam (uniform konvegen); bukti ini dapat anda temukan di dalam Acuan [C2] yang di cantumkan di dalam Apendiks 1.Tegangan Elektrostatis Persamaan Laplace (13) juga mengatur tegangan elektrostatis muatan listrik di gambarang daerah yang bebas dari muatan tersebut. Jadi, masalah panas keadaan-stabil dapat juga ditafsirkan sebagai masalah tegangan elektrostatis, sehingga (17), (18) merupakan tegangan di dalampersegi panjangRjika sisi atas persegi panjangR mempunyai tegangan f(x)sedangkan ketiga sisi lainnya dihubungkan dengan tanah. Sesungguhnya, di dalamkeaadan-stabil, persamaangelombangberdemensi-dua (akan dibahas dalam pasal 11.7, 11.8) tereduksi menjadi (13) dan (17); dengan demikian (18) merupakan persegi (displacement) membran elastis persegi panjang (lembaran karet, permukaangenderang) yangterikat (fixed) sepanjangbatasnya, denganketigasisinya terletak pada bidang-xy dan sisi keempat mengalami pergeseran f(x).Mode karet bagi medan tegangan elektrostatis ini dapat digunakan (dan telah digunakan) untuk menemukan lintasan elektron: kita tinggal membiarkan sebutir kelereng kecil menyelusuri turunan dan memotret lintasannya. Begitu pula, ini akan menghsilkan kurva yang merupakan lintasan aliran panas di dalam model panas.Ini merupakan petunjuk yang mengesankan tentang matematika sebagai kekuatu penyatu:sistemfisikyangsamasekali berbedaternyatadapat diterangkanmatemtis yang sama-dan analogi demikian ini sering di gunakan di dalam pemodelan.Di dalampasal berikutnya, kita akan menunjukkan bahwa pembahasan kita tentangpersamaanpanasdapat diperluaskebatangtakhingga. Ini merupakanmodel yang baik bagi batang atau kawat yang sangat panjang (misalnya, kawat yang panjangnya 100 m). Di dalam model tersebut, itegral Fourier (Pasal 10.9) akan menggantikan deret Fourier.Soal-soal latihan untuk Pasal 11.51. Bandingkan Gambar 270 dengan Gambar 276, dan jelaskan perbedaan perilaku solusi kedua persaman itu .2. Bagaimanakahketergantunganlajupenurunansuhu(9)untukntetaptertentupada panas jenisnya, kerapatannya, dan konduktifitas termalnya?3. Gambarkan grafik u1, u2, u3, [lihat (9) dengan 1, 1,nB c L r ] sebagai fungsi dari x untuk nilai-nilai t = 0, 1, 2, 3. Bandingkan perilaku fungsi-fungsi tersebut.Tentukan suhu x(x, t) di dalam sebuah batang perak (panjang 10 cm, luas irisan melintang 1 cm2, kecepatan 10.6 gm/cm3, kondukvifitas termal 1.04 kal/cm detoC, panas jenis 0.056 kal/gm oC) yang terisolasi sempurna, ujung-ujungnya dipertahankan pada suhu 0 oC dan yang suhu awalnya (dalam oC) adalah f(x), jika( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )24. 0.2 5.sin0.1 jika0 5jika0 56.7.=0 jika5< 10 10jika5 108.1009. f x sin x f x xx x x xf x f xx x xf x x x f xr r 0).Fungsix, y, zini dinamakanpotensialmedangravitasi, dan momentumpersaman Laplace.Perluasankepotensial dangayayangdisebabkanolehdistribussi massayang kontinu tidaklah sulit. Jika suatu massa yang berkerapatan p(X, Y, Z) didistribusikan di seluruh daerah T di dalam ruang, maka potensialnya u pada suatu titik (x, y, z) yang tidak diduduki oleh massa itu didefenisikan sebagai(3)( ) ( ) , , >0Tu x y z k dx dy dz krpl l lDalam hal ini r diberikan oleh rumus sebelum ini. Karena 1/r (r > 0) merupakan solusi bagi (1) , artinya2(1/r) = 0, dan tidak bergantung pada x, y, z maka kita memperoleh2 21 =0;Tu k dx dy dzrp| `V V . ,l l lIni berarti potensial gravitasi yang didefenisikan oleh (3) memenuhi persamaan Laplace pada sembarang titik yang ditempati oleh massa tersebut.Di dalamelektrostatik, gaya tarik-menarik atau tolak-menolak listrik antara partikel-partikel yang bermuatan mengikutihukumCoulomb(lihat Pasal 8.8), yang mempunyai bentukmatematisyangsamadenganhukumgravitasi Newton. Iniberarti medanyangdiciptakanolehsuatudistribusi muatanlistrikdapat diterangkansecara matematis oleh sebuah fungsi potensial yang memenuhi persamaan Laplace pada sembarang titik yang tidak diduduki oleh muatan.Di dalambab17, kitaakanmelihat bahwapersamaanLaplacejugadijumpai dalam teori aliran fluida yang tak termanpatkan (theory of incompressible fluidflow). 2 2tu c u VLebih jauh, persaman pokok di dalam konduksi panas adalah persaaman panas (lihat pasal 9.7 dan pasal 11.5). jika suhunya u tidak tergantung pada waktu t (keadaan-stabil), maka persaman ini tereduksi menjadi persaman Laplace; lihat pasal 11.5.Pada sebagianbesar penerapanyangmembawa padapersamanLaplace, kita diharuskan memecahkan sesuatu masalah nilai batas, artiny menentukan solusi bagi (1) yangmemenuhi syarat batasyangdiberikanpadapermukaanSyangmenjadi batas daerah Tyang merupakan daerah defenisi persaman tersebut. Ini dinamakan:(I) Masalah nilai batas pertamaatau masalah Dirichletjika uditentukan pada S(II) Masalah nilai batas kedua atau masalah Neumann jika turunan normal /nu u n o o ditentukan pada S.(III) Masakah nilai batas ketiga atau campuran jika u ditentukan pada suatu bagian dari S dan un ditentukan pada bagian sisanya dari S.Selanjutnyakitaperlumenggunakan koordinatdidalam ruang yangmembuatSdapat diucapkan dalam rumus yang sederhana. Ini mengharuskan kita melakukan transformasi terhadap Laplace (2) ke dalam sistem koordinat lain. Tentu saja, xzyrq(r, q, z)xzyrq(r, q, f)Gambar 289. Kordinat tabung Gambar 290. Koordinat bolatransformasi demikian ini sangat serupa dengan transformasi pada kasus Laplacian suatu fungsi dua peubah (lihat Pasal 11.9 Dari (4) Pasal 11.9 dapat ditunjukkan bahwa Laplacian sebuah fungsi u dalam koordinat tabung (clinderical koordinates)10 (lihat gambar 289)(4) r =2 2x y +. q = arc tan yx, z = zadalah (5)2 2 222 2 2 21 1.u u u uur r r r z uo o o oV + + +o o o oKoordinat penting lain adalah koordinat bola (spherical coordinates) r, q, , yang berhubungan dengan koordinat kartesius sebagaiberikut (lihat gambar 290):(6)cos sin , y sin sin ,z cos . x r r r u o u o o Laplacian suatu fungsi u dalam koordinat bola adalah10Perhatikan bahwa u tidak ditentukan sepenuhnya oleh rasio y/x, namun harus diperhitungkan juga tanda x dan tanda y.(7)2 2 222 2 2 2 2 2 22 1 cot 1.sinu u u u uur r r r r roo o o uo o o o oV + + + +o o o o oIni juga dituliskan dalam bentuk (7)22 22 2 21 1 1sin .sin sinu uu rr r roo o o o u ]| ` o o o o o | `V + + ]o o o o o. ,. ,]Rumus ini diturunkan dengan cara yang sama seperti pada Pasal 11 rinciannya disediakan sebagai latihan bagi pembaca.Di dalam Pasal berikut, kita akan menunjukkan bahwa pemisahan peubah pada koordinat bola akan menghasilkan persamaan Legendre, yang telah kita bahas pada Pasal 43.Soal-soal Latihan untuk Pasal 11.111. Tentukan Laplacian dalam koordinat persegi panjang ,y , , x ax by z cz- - jika , , x y z adalah koordinat-koordinat Kartesius. 2. Dengan mulai dari (2), verefikasi melalui perhitungan bahwa relative terhadap koordinat Kartesius yang didefinisikan oleh (7) dan (8) halaman 562.2.x x y y z zu u u u-- - - --V + +Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi ( , ) u f x y berikut memenuhi persamaan Laplace dan buatlah ploy beberapa garis ekipotensial u = konstanta 2 2 2 23 2 2 2 2 2 2 2 23.4.5. y( )6.- 37./ ( )8. ( )( )x y xy x yx xy x x y x y x y +++9.Verifikasi bahwa / u c r memenuhi persaman Laplace dalam koordinat bola.10. Tunjukkan bahwa satu-satunya solusi 20 u V yang tergantung hanya pada peubah 2 2 2r x y z + + adalah / ; u c r k + dalam hal ini c dan k adalah konstanta.11. Tentukan c dan k dalam soal 10 sedemikian rupa sehingga u merepresentasikan tegangan elektrostatis antara dua bola konsentris yang bejari-jari 12 cm r dan 210 cm r yang masing-masing dipertahankan pada tegangan 1110 volt U dan 20 volt U .12. Tunjukkan bahwa satu-satunya solusipersamaan Laplace berdemensi-dua yang tergantung hanya pada2 2 2r x y z + + adalah ln . u c r k +13. Tentukan tegangan elektrostatis antara dua tabung koaksial yang berjari-jari 12 cm r dan 210 cm r yang masing-masing dipertahankan pada tegangan 1110 volt U dan 20 volt U .Gambarkan grafiknya dan bandingkan solusi Soal 11 dengan solusi Soal 13.14. Ucapkan koordinat bola yang didefinisikan oleh (6) dalam koordinat Kartesius. 15. Verifikasi (5) dengan mentransformasikan 20 u V kembali ke koordinat Kartesius.Tentukan distribusi suhu keadaan-stabil (tidak bergantung waktu):16. Antara dua plat paralel 0 1danx x x x yang masing-masing dijaga pada suhu 1 0danu u.17. Antara dua tabung lingkaran koaksial yang berjari-jari-jari 0 1danr r yang masing-masing dijaga pada suhu 1 0danu u.18. Antara dua balok konsentris yang berjari-jari-jari 0 1danr r yang masing-masing dijaga pada suhu 1 0danu u.19. (persamaan Helmholts 11) Tunjukkan bahwa substitusi ( , , )i tu U x y z eu ( 1) i ke dalam persamaan gelombang berdemensi-tiga 2 2ttu c u V menghasilkan apa yang dinamakan persamaan Helmholts 2 20/ U k U k c u V + 20. Misalkan , , r u adalah koordinat-kordinat bola. Jika (r, q,) memenuhi 20 u V , tunjukkan bahwa v(r, q,) = r-1u(r-1,q, ) memenuhi 20 u V .11.12. persaman Laplace dalam Koordinat Bola. Persaman Legendre Marilah kita simak suatu masalah nilai batas tipikal yang melibatkan persamaan Laplace dalamkoordinat bola. MisalnyasebuahbolaSyangberjari-jarirdipertahankanpada suatu distribusi tegangan listrik tertentu (1)( )2 " '2 1 0 r G rG n n G ++ dengan r, q, f adalah koordinat yang didefenisikan dalam Pasal sebelumnya dengan titik asal di pusat S, dan f(f) adalah suatu fungsi yang diketahui. Kita ini mengetahui tegangan u disemua titik didalamruang, yang diasumsikan bebas muatan-muatan lain. Karena tegangandiStidaktergantungq,maka begitu puladengan tegangan didalamruang. Oleh karena itu,2u/2= 0 dan dari (7) dalam Pasal 11.11 maka kita melihat bahwa persamaan Laplace tereduksi menjadi(2)21sin 0.sinu urr roo o o| ` o o o o | `+ o o o o. ,. ,11HERMANN VON HELMHOLTZ (1821-1894),seoran fisikawan jerman, dikenal krena karya-karya pentingnya dalam bidan termodinamika, hidrodinamika dan akustika.Lebih lanjut, di tak hingga tegangannya akan sama dengan nol; artinya, haruslah(3)( ) lim, 0.ru r o Kita akan memecahkan masalah nilai batas yang terdiri atas persamaan (2) syarat batas (1) dan syarat (3) di tak hingga dengan menggunakan metode pemisahan peubah. Dengan mensubstitusikan solusi yang berbentuk( ) ( ) ( ) , u r G r H o o ke dalam (2) dan membagi persamaan yang dihasilkannya dengan GH, memperoleh 21 1sin .sind dG d dHrG dr dr H d doo o o| ` | ` . ,. ,Melalui penalaranseperti biasa, kedua ruas persamaan harus sama dengan sebaran Konstanta, katakanlah k, sehingga (4) 21 1sin 0 dan.sin Gd dh d dGkH r kd d dr droo o o| `| `+ . ,. ,Persamaan terakhir ini dapat dituliskan sebagai 2 " '2 0. r G rG kG +Ini tidak lain adalah persamaan Euler-Cauchy. Dari pasal 2.7 kita tahu bahwa persaman ini mempunyai solusi yang berbentuk. G ro Agar solusi itu mempunyai bentuk yang sangat sederhana, kita ubah notasi kita dan kita ganti k dengan ( 1) n n +.Dengan demikian (5) ( )2 " '2 1 0. r G rG n n G ++ dengann masih berupa sembarang bilangan. Dengan mensubstitusikan G ro ke dalam (5), kita memperoleh ( ) ( ) 1 2 1 0. n n rooo o]+ ]Nilai nol dari ekspresi yang di dalam kurung siku adalah 1. n o jadi, kita memperoleh solusi (6)( ) ( )n+11 dan r = . rnn nG r r G-Dengan menyisipkan ( ) 1 k n n + ke dalam (4) dan mengambilcos w o .kita memperole 2 2sin 1 w o dansin .

d d dw dd dw d dwoo o Dengan demikian, (4) mengambil bentuk ( ) ( )2(7)1 1 0.

d dhw n n Hdw dw ] + + ] ]atau( ) ( )222(7') 1-w 2 1 0.

d H dHw n n Hdw dw + + Iniadalah persamaan Legendre (lihat Pasal 4.3).Solusi Persamaan Legendre Untuk bilangan bulat12 n = 0,1, ..., polinom Legendre( ) ( ) cos , n = 0, 1, ...,n nH P W p o merupakan solusi persamaan Legendre (7). Jadi, kita memperoleh dua barisan solusi u GH di bawah bagi persamaan Laplace (2):(8*) ( ) ( ) ( ) ( )n 1, cos , , cosn nn n n n nBu r A r p n r pro o o o-+ dengan n = 0,1, ..., dan An dan Bn adalah konstanta.Untuk mendapatkan solusi bagi (2) yang sah di titik-titik didalam bola tersebut dan memenuhi (1), kita perhatikan deret13(8)( ) ( )0, cos .nn nnu r A r P o o Agar (8) memenuhi (1), haruslah (9)( ) ( ) ( )0, cos ;nn nnu R A R P f o o o artinya (9) haruslah merupakan deret Fourier umum bagif( ) dalam polinum Legendre Dari (6) dan (7) Pasal 4.7 dan (2) Pasal 4.9, dapat diperlihatkan bahwa ( ) ( )1 12 12n nn n nA R w P w dwRf

+l:Dalam hal ini( ) wf: menyatakanf ( ) sebagai fungsidari w = cos karena dw= -d , dan batas-batas integrasi 1 dan -1 berpadanan dengan = p dan = 0 maka kita juga memperoleh ( )( )

02 1cos sin ,0,1, .2nn n nA P d nRfro o oo+ lJadi, deret (8) dengankoefisien(10) merupakansolusi bagi masalahkitauntuktitik dalam bola.Untukmemperolehsolusi eksteriorterhadapbola(titikdiluarbola), kitatidak dapat menggunakan fungsi un(r,) sebab dalam hal ini fungsi-fungsi itu tidak memenuhi (3), namunkitadapat menggunakanfungsi-fungsiun(r, ), yangmemenuhi (3), dan dapat menempuh langkah-langkah seperti sebelumnya. ini menghasilkan solusi(11) ( ) ( ) ( )10, cosnn nnBu r P r Rro o+ >Dengan koefisien-koefisien (12)( )( )

102 1cos sin . 2n nn nB R P dfro o oo++lTeladan 1.kapasitor Bola Tentukan tegangandi dalam dan di luar seuah kapasitor berbentuk bola yang terdiri atas dua separuh-bola yang berjari-jari-jari 1 ft yan dipisahkan oleh suatu celah kecil untukxyz110 volt Gambar 291. kapasitor bola pada Teladan 1 insilusi,jika separuh bola bagian atas dipertahankan pada 110 volt sedangkan bagian bawahnya dihubungkan ke tanah.(Gambar 291 ).Solusi , syarat batasnya adalah (ingat gambar 290 di Pasal 11.11)( ){110jika0 / 20 jika /2< .fo rr o ros Tentu saja tidak ada dawai takhingga, namun model kini dapat diterapkan pada dawai atau tali yang panjang sekali (yang beratnya dapat diabaikan) dengan ujung kanannya diikatkan jauh pada sumbu x (sekali lagi kita gunakan w sebab u kita perlukan untuk melambangkan fungsi tangga satuan.Jawab. Kita harus memecahkan persamaan gelombang (Pasal 11.2)(5) 22wtoo22.wct o' 'o Untuk x dan t positif, dengan syarat batas(6) ( ) ( ) ( ) 0, lim ,= 0(0).xw t f t w x t t >dengan fseperti diberikan di atas ,dan syarat-syarat awal1-1f( t )p2ptGambar 293. Gerak ujung kiri dawai padateladan 2 sebagai fungsi dari waktu t(7) ( ) ,0 0 w x (8)00twtooKita ambil transform Laplaceterhadap t.menurut (2) Pasal 5.2L 222wst o' 'o L{ ( )20,0tww sw x ctoo L2.wt o' 'o Berdasarkan (7) dan (8), dua suku hilang.diruas kanan kita mangasumsikan bahwa kita boleh saling menukarkan perintegralan dan perdiferensial :L( )2 2 2 22 2 2 20 0,st stW We dt e x t dtx x x x o o o o ' 'o o o o l l L( ) { , . W x tDengan menuliskan, ( ) , W x s L( ) { , , w x t kita memperoleh 22 22Ws W cxooAtau

2 22 20.W sWx co oKarena ini mengandung hanya turunan terhadap x, maka persamaan ini dapat dipandang sebagai sebuah persamaan diferensial biasa bagi ( ) , , W x s dengan memandang terakhir ini sebagai fungsi dari x. Solusi umumnya adalah(9) ( )/ /, ( ) ( ) .sx c sx cW x s A s e B s e

+Dari (6) kita memperoleh, dengan menulisnya( ) F s L( ) { , f t ( ) 0, W s L( ) { 0, w t L( ) { ( ) f t F s dan, dengan mengasumsikan bahwa uraian pengintegralan terhadap t dan pengambilan limt untuk 0 x dapat saling dipertukarkan.( ) ( ) ( )0 0lim , lim , lim , 0x xs stx x xW x s e w x t dt e w x t dt l lIni berimplikasi ( ) 0 A s di dalam (9) sebab 0, c > sehingga untuk setiapspositif tertentu fungsi / xs ce naik dengan naiknya x. Perhatikan bahwa kita dapat mengasumsikan 0 s > sebab transforman Laplace ada untuk semua s yang lebih besar daripada suatu y tertentu (Pasal 5). Oleh karena itu kita memperoleh ( ) ( ) ( ) 0, . W s B s F s Sehingga

( ) ( )/, .sx cW x s F s e

Dari teorema pergeseran kedua (Pasal 5.3) dengan / a x c kita memperoleh transformasi kebalikan (gambar. 294)(10)( ) , .x xw x t f t u tc c| ` | ` . , . ,(t = 0)(t = 2p)(t = 4p)(t = 6p)2pcxxxxyang berarti Gambar 294. Gelombang berjalan pada Teladan 2( ) ( ) , sin jika < > . ,dannol solusinya. Ini merupakangelombangsinus tunggal yangbergerakkekanan dengan kecepatan c. Perhatikan bahwa sembarang titik x tetap diam sampai t = x/c, waktu yang dibutuhkan untuk mencapaixtersebut jika kita berangkat pada t= 0 (awal gerak ujungkiri)danbergerakdengankecpatanc. Hasilnyasesuai denganintuisifisikkita. Karena kita hanya mengikuti rumus-rumus saja, kita masih harus memverifikasi bahwa (10) memenuhi syarat -syarat yang ditetapkan. Pembaca penulis persilahkan untuk melakukannya sendiri .Di dalamPasal berikut, kitaakanmenunjukkanbahwadisampingtransformasi Laplace, metode oprasional lainnya, yaitutransformasi Fourier(lihat Pasal 10.10-10.12), dapat juga digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial parsial.Soal-soal Latihan untuk Pasal 11.131. Buatlah Gambar seperti pada Gambar 294 jika 1 c dan fadalah segi tiga seperti pada Teladan 1 pasal 11.3 dengan / 2 1. k L 2. Bagaimanakah kecepatan gelombang pada Teladan 2 tergantung pada tegangan dan massa dawai tersebut?3.Verifikasi solusi pada Teladan 2. Gelombang berjalan apakah yang akan kita peroleh pada Teladan 2 jka kita menganakan suatu gerak sinusoidal (yang tidak henti-hentinya) di ujung kiri mulai pada t = 0?Pecahkan melalui transformasi Laplace:4. 2 2 , ( ,0) 1, (0, ) 1u ux x u x u tx xo o+ o o5., ( ,0) 0jika 0, (0, ) 0jika 0.u ux xt u x x u t xx to o+ > >o o6. Pecahkan Soal 5 dengancara lain.Tentukan suhu ( , ) w x t di dalam sebuah batang semi-takhingga, yang di isolasi memanjang mulai dari 0 x sepanjang sumbu-x sampai, jika diasumsikan bahwa suhu awalnya adalah 0, ( , ) w x t untuk setiap nilai t 0 tertentu, dan ( , ) ( ). w x t f x Tempulah langkah-langkah berikut ini.7. Buatlah modelnya dan tunjukkan bahwa transformasi Laplace menghasilkan 222( , ) wsW x s c Wxo oL{w}dan /( , ) ( )s x cW x s F s e F

L{f}8. Dengan menerapkan teorema konvolusi pada soal 7, tunjukkan bahwa 2 23/ 2 / 40( , ) ( ) .2tx cxw x t f t e dctt t tr l9. Misalkan 0(0, ) ( ) ( ) w t f t u t (Pasal 5.3). Lambangkan w, W dan F padanannya dengan w0, W0 dan F0. Tunjukkan bahwa dengan demikian di dalam Soal 82 23/ 2 / 400( , ) 1erf2 2tx cx xw x t e dc c ttt tr | ` . ,ldalam hal ini fungsi galat erf didefinisikan seperti pada Soal latihan untuk Pasal 11.6.10 Rumus Duhamel14) Tunjukkan bahwa di dalam Soal 9/01( , )s x cw x t esdan teorema konvolusi menghasilkan rumus Duhamel00( , ) ( ) .tww x t f t d t tto ol11.14 Penerapan Transformasi Fourier pada Persaman Diferensial Parsial 14JEAN MARIE CONSTANT DUHAMEL (1797-1872), matematika Prancis.Sekarangkitaakanmembahassebuahcaralainuntukuntukmemecahkanpersamaan diferensial parsial, yaitupenerapansalahsatutransformasi Fourier. Ini berlakuuntuk masalah-masalahyangsyrat-awal dansyarat batasnyadiberikanpadasumbu-positif-sehingga transformasi cosinus atau sinus Fourier (Pasal 10.10) dapat digunakan atau pada seluruh sumbu-dalam hal demikian kita dapat menggunakan transformasi Fourier dalam Pasal 10.11. Kita bahas cara-cara ini melalui penerapan tipikal.Teladan 1. masalah panas pada sumbu-x Tentukan suhu u(x, t) pada sebuah batang homogen yang irisan melintangnya konstan, yang diisolasi memanjang dari x = sampai,untuk0, x t > dengan mengasumsikan bahwa suhu awalnya adalah (1) ( ) ( ) ( ) ,0 u x f x x < < Dan untuk semua 0, t >solusi dan turunannya terhadap x memenuhi syarat(2) ( ) ( ) , 0., 0 untukxu x t u x t x Sebagai kasus khusus, tentukan u(x, t) bila (3)( )0f x U konstanta ( ) jika1 dan0 jika >1. x f x x < Jawab. Kita harus memecahkan persamaan panas (4) 2t xxu c u Yangmemenuhi syarat (1), (2). Strategi kitaadalahmengambil transformasi Fourier terhadapxdan kemudian memecahkan persamaan diferensial biasa dalamtyang dihasilkannya.rinciannya sebagai berikut.Misalkan u F( ) u melambangkan transformFourier bagi u, dipandang sebagaisuatu fungsi dari x. Dari (10) dalam Pasal 10.11, kita melihat bahwa (4) menghasilkan F( )2tu c F( )2 2. u c w u Di ruas kiri, dengan mengasumsikan bahwa kita boleh saling menukarkan urutan perdiferensialan dan perintegralan, kita memperolehF( )1 12 2 i x i xt tuu u e dx u e dxt tu ur r o o o ol lSehingga

2 2.uc w uto oKarena ini melibatkan hanya turunan terhadp t dan tidak melibatkan turunan terhadap w, berarti persamaanini merupakanpersamaandiferensialbiasaorde-pertamadengant sebagaipeubahbebasnyadan wprameter. Dengan memishkan peubah (Pasal 1.2) kita memperoleh solusi umum ( ) ( )2 2, .c tu w t C w eu

dengan dalam hal ini konstanta ( ) C w tergantung pada prameterw. Syrat awal (1) menghasilkan ( ) ,0 ( ) ( ) u w C w f w F ( ) , f sehingga kita memperoleh( ) ( )2 2, .c tu w t f w eu

Rumus pembalikan (7) Pasal 10.11 sekarang menghasilkan solusi (5)( ) ( )2 2 1, .2c t i xu x t f w e e dwu ur

lKe dalam ini kita dapat menyisipkan transform Fourier ( ) ( )1.2i xf w f v e dvur

lDengan mengasumsikan bahwa kita boleh mengubah urutan perintegralannya, maka kita memperoleh ( ) ( )( )2 201, .2i wx wv c tu x t f v e e dw dvur ] ] ]l lMenurt rumus Euler (3) Pasal 10.11 integral yangdi dalam kurung siku sama dengan ( ) ( )2 2 2 2cos sin .c t c te wy wv ie wx wvu u + Ini menunjukkan bahwa bagian khayalnya merupakan suatu fungsi ganjil dari w, sehingg integral15bagian ini sama dengan 0, sedangkan bagian nyatanya adalah genap, sehingga integralnya sama dengan dua kali integral dari nol sampai;( ) ( ) ( )2 201, cos .2c tu x t f v e wx wv dw dvur

] ] ]l lIni sesuai dengan (9) Pasal 11.6, dan menghasilkan rumus-rumus (11) dan (13) dalam Pasal 11.6Teladan 2. Masalah pada Teladan 1 dipecahkan melalui metode konvolusi Pecahkan masalah panas pada teladan 1 dengan metode konvolusi.IjawabI. Awalnya seperti sebelumnya dan menghasilkan (5), yaitu (5)( ) ( )2 2 1,2c t i xu x t f w e e dwu ur

lSekarang kita sampai pada gagasan metode konvolusi. Kita mengenali bahwa ini bebentuk (13) Pasal 10.11, yaitu (6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,i xu x t f g x f w g w e dwu - l)dengan dalan hal ini (7)( )2 1.2c tg w eur

Karena, menurut definisi konvolusi[(1) Pasal 10.11],(8) ( ) ( ) ( ) ( ) . f g x f p g x p dp- lmaka sebagai langkah beriktnya kita harus menentukan transformasi Fourier kebalikan g bagi g. Untuk ini kita dapat menggunakan rumus 9 dalam Tabel III Pasal 10.12(yang telah dibuktikan dalam Teladan 2 Pasal 110.11),15Sesungguhnya, bagian utama integral ini; lihat Pasal 15.3.F 2/ 41( )2ar u ae ea dengan ayang sesuai. Dengan menggunakan (7) dengan c2t= 1/4aatau a = 1/4c2t,kita memperolehF( )( )2 2 2 2/ 4 2 24 2 2 .x c t c te c t e c t g wGr

Jadi, gmempunyai kebalikan 2 2/ 421? .2x c tec t

Mulalui penggantian x p dan pensubstitusian ini ke dalam (8) akhirnya kita memperoleh(9)( ) ( ) ( ) ( )( )221, exp .4 2x pu x t f g x f p dpc t c t r

- ' ' lHasil ini sesuai dengan (11) dalam pasal 11.6. perhatikan bahwa kita melambangkan ( ) ( ) f g x - tanpa menunjukkan prameter t, karena kita tidak melakukan pengintegralan terhadap peubah itu.Teladan 3. Transform sinus Fourierditerapkan pada persaman panasTentukan solusi pada Teladan 1 jika batang itu memanjang dari 0 sampa, suhu awalnya ( ) ( ) ( ) , 0 u x t f x r s < Dan syarat batasnya di ujung kiri adalah ( ) ( ) 0, 0 0 u t t >Jawab. Alih-alih transformasi Fourier, sekarang kita akan menerapkan transformasi sinus Fourier (Pasal 10.10), karena x berkisar antara 0 sampai. Dengan menemouh jalan seperti pada Teladan 1, dari persamaan panas (9b) Pasal 10.10, karena(0) (0,0) 0, f u kita memperolehF( )2 stsuu cto o F( )2 2xxu c w F( ) ( )2 2, . ssu c w u w t Solusi persamaan diferensial bias orde-pertama ini adalah ( ) ( )2 2, .c tsu w t w eu

Dari syarat awal ( ) ,0 u x=( ) f x, kita memperoleh ( ) ( ) ( ) ,0 .s su w f w C w Dengan demikian ( ) ( )2 2, .c ts su w t f w eu

Dengan mengambil transform sinus kebalikan dan mensubstitusikan ( ) ( )02sinsf w f p wp dprlkita memperoleh solusi yang kita cari(10)( ) ( )2 20 02, sin sinc tu x t f p wpe wx dp dxur l lTeladan 4. Persamaan gelombang pada selang tak hingga. Solusi d'Alembert Pecahkan persamaan gelombang ( ) , 0tt xxu cu x t < < >Dengan syarat ( ) ( ) ( )( ),0 defleksi awal diketahui,0 0 kecepatantu x f xu x ( ) awal nol 0, 0 jikaxuntuk semua t.xu u dengan hal ini f dan g diasumsikan memiliki transfom Fourier.Jawab. Kita transformasikan terhadap x, dengan menuliskan ( ) u F u. Dengan menggunakan (10) Pasal 10.11 kita memperoleh dari persamaan gelombang F( ) 2ttttu u c F( )2 2.ttu c w u 2 2sehingga 0. tt u c w u + Karena turunan terhadapwtidak muncul, berarti ini merupakan suatu persamaan diferensial biasa ordo-kedua dengan koefisien c2w2 konstanta (tidak tergantung pada t). Solusi umumnya adalah ( ) ( ) ( ) , cos sin u w t A w cwt B w cwt +Karena F ( ) { ( ) ,0 ,0 u x u w, maka kita peroleh dari syarat awal, untuk ( ) ( ) ( ) ,0 u w A w f w ( ) ( ) ,0 0tu w AcwB w Jadi ( ) ( ) , 0 u w t f w Ingat bahwa kita ingin mencari u. Ini perlu akal. Untuk ini kita ucapkan kosinus itu dalam fungsi eksponensial dan kemudian kita terapkan rumus pergeseran (11)F( ) { i ax a eu F( ) { . f xyang merupakan akibat langsung dari definisi transformasi Fourier dengan mengambil , , , sehingga x a p x p a dx dp + F( ) { ( ) ( )( )1 1 2 2i p a i xf x a f p e dx f p e dpu ur r + l l

( )11 .2a i pe f p e dpu ur l 1Jadi,( ) cos ( )2ic t ic tf w cwt f w e eu u

] + ]mempunyai transformasi Fourier kebalikan (12)( ) ( ) ( )1, .2u x t f x ct f x ct] + + ]Ini tidak lain adalah adalah solusi d'Alembert (6), Pasal 11.4Ini akhir Bab 11. di dalamBab ini kita telah memusatkan perhatian pada persamaan-persamaan diferensial parsia paling penting di dalam fisika dan rekayasanya sekaligus, ini jugamerupakanakhir bagianCtentanganalisaFourier danpersamaan diferensial parsial. Di dalambagianD(Bab12-Bab17), kitaakanmenjelajahi suatu cabang yang sama sekali berbeda sifatnya, analisis kompleks, yang juga sangat penting bagi rekayasawan, sebagaian akan diperlihatkan oleh teladan-teladan dan soal-soal latihan yang akan diberikan.Soal-soal Latihan Ulangan untuk Bab 11.4 1. Apakah prinsip superposisi itu? Pada jeis persamaan bagaimanakah prinsip ini berlaku?2. Hukumfisikapakahyangmenghasilkanpersamaangelombang, danmengapakah persamaanini melibatkanturunanpersiakkeduaterhadapt?Turunanterhadapt apakah yang apakah yang terdapat di dalam persamaan panas?3. Verifikasi bahwa 2 2 34dan3 u x t u x xt + + merupakan solusi bagi persamaan gelombang bedemensi-satu dengan c yang sesuai.4.Apa yang dimaksud dengan solusi d'Alembert bagi persamaan gelombang?5.Apakah fungsi-eigen bagi dawai yang bervibrasi itu? Bagi membran yang bervibrasi?6. Di dalam pemisaan persamaan gelombang ber-demensisatu, kita hanyan memperole fungsi trigonometrik, sedangkan di dalam pemisahan persamaan gelombang kita juga memperoleh satu persamaan eksponensial. aaaaaaApak alasannya?7. Bagaimanakahfungsieksponensial di dalam Soal 6 akan berubah jikac2di dalam persamaan itu ditingkatkan? Apakah jawaban anda dapat dipahami dari sudut pandang fisik?8. Bagaimana mungkin beberapa syarat awal dikenakan pada kasus persamaan gelombang? Di dalam kasus persamaan panas?9. Verifikasi bahwa 4 2 2 46dansin sinh u x x y y u x y + merupakan solusi bagi persamaan Laplace.10.Verifiaksi bahwa( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2/dan2 / sin sinh u x y x y u x x y x y + + + merupakan solusi bagi persamaan Laplace.11. Verifikasi bahwa ( )2 22 u x y z merupakan solusi bagi persamaan Laplace.12. Verifikasi2 2 2u x y z + + memenuhi persamaan Possion.13. Apa yang dimaksud dengan persamaan eliptik? Persamaan elptik manakah yang paling penting?14. Apakah persamaan hiperbolik itu? Persamaan hiperbolik? Berikan teladan.15. Berapapersamaandiferensial yangsederhanadapat dipecahkandengancarayang biasa digunakan untuk persamaan diferensial biasa. Jelaskan. Berikan teladan. 16. Apakah fungsi galat itu? Dalam kaitan dengan apa fungsi ini muncul dalam bab ini?17. Mengapa fungsi Bessel dan polinom Lagendre muncul di dalam bab ini?18. Mengapa deret Fourier memainkan peranan pokok di dalam bab ini, walaupun fungsi yang diberikan yang secara fisik menarik tidak bersifat periodik?19. Atas pertimbangan apakah integral Fourier muncul di dalam bab ini?20. Di dalam bab 5, persamaan pembantunya merupakan merupakan persamaan aljabar. Mengapa kita memperoleh memperoleh persamaandiferensialbiasa ketika memecahkan persamaan diferensial parsial melalui metode transform(metode oprasonal)?21. Pecahkan9 0.22. Pecahkan1 0.23. Pecahkan3 4 8.xxxy xyy yu uu u x yu u u+ + + + + +24. Carilah semua solusi ( , ) ( ) ( ) u x y F x G y bagi persamaan Laplace dan dua peubah.25. Tentukan semua solusi bagi x yyu xu melalui pemisah peubah.Tentukan gerak dawai yang bervibrasi yang panjangnya 2, dengan/ 1, c T p r yang mulai dengan kecepatan awal 0 dan defleksi3126.( ) sin sin227.( ) 0.1sin3228.( ) / 2 / 229.( ) sin30.( )jika 0 / 3,( ) ( ) / 2 jika/ 3f x x x f x xf x x f x xf x x x f x x xr rr r r r <