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Kugelflächenfunktionen
Taylor Reihe
Fourier Reihe
Näherungen
Kugelflächenfunktionen
... sind ein
vollständiger und
orthonormaler Satz
von Eigenfunktionen
des Winkelanteils des Laplace-Operators.
What!?
1) Laplace-OperatorIn Kugelkoordinaten
x=r⋅sinθ⋅cosφy=r⋅sinθ⋅sin φz=r⋅cosθ
2) Eigenfunktionen
Aus Lineare Algebra 1:Eigenvektoren, Eigenwerte
Matrix(Lineare Abbildung)
Eigenwert
A v=λ⋅v
2) Eigenfunktionen
Aus Lineare Algebra 1:Eigenvektoren, Eigenwerte
A v=λ⋅v
Geht auch für alle anderen „Operatoren“!
Oψ=λ⋅ψ
Operatorz.B.∂t
„Objekt“z.B. Wellenfunktion,
Vektor, Spinor, ...
2) Eigenfunktionen des Laplace Operators
ΔΩY=λY
Was sind Y?
Winkelanteil des Laplaceoperators
2) Eigenfunktionen des Laplace Operators
ΔΩY=λY
Operator
Eigenfunktionen(es gibt sogar unendlich viele)
Eigenwert
Eigenschaften
Y l m(Ω)=√ 2 l+14π
(l−m)!(l+m)!
⋅P lm(cosθ)ei mϕ
ZugeordneteLegendrepolynome
Normierung
Eigenschaften (WICHTIG!!)
Y l , m* =(−1)mY l ,−m
∫Y l ' m '* ⋅Y l ,mdΩ=δl , l ' δm ,m '
(Anti-)Symmetrie
Orthonormalität
1)
2)
3) ∑l=0
∞
∑m=−l
l
Y lm* (θ ' ,ϕ ' )Y lm(θ ,ϕ)=δ(ϕ−ϕ ' )δ(cosθ−cosθ ' )
Vollständigkeit: Alle Funktionen können durch Y ausgedrückt werden!→ Basis im Vektorraum „Funktionen“!
Y l m(Ω)=√ 2 l+14π
(l−m)!(l+m)!
⋅P lm(cosθ)ei mϕ
Beispiel: QuantenmechanikSchrödingergleichung
„Hamiltonoperator“Energieeigenwert
(− ℏ2
2mΔ+V ) ψ( r )=E ψ( r )
Beispiel QuantenmechanikSchrödingergleichung
z.B. Coulomb Potential,Hängt nur von Betrag r ab!
Lösung trennbar! (exakt):
ψ(r ,θ ,ϕ)=R(r )⋅Y (θ ,ϕ)
Interessieren unsheute nicht.
Separationsansatz„analog zu Trennung der Variablen“
(− ℏ2
2mΔ+V (r)) ψ( r )=E ψ( r )
Alle Funktionen
können durch Kugelflächenfunktionen zumindest angenähert werden!
T (Ω)=∑l=0
∞
∑m=−l
l
clmY lm(Ω)
f (θ ,ϕ)
Alle Funktionen
können durch Kugelflächenfunktionen zumindest angenähert werden!
R(Ω)=∑l=0
∞
∑m=−l
l
c lmY lm(Ω)
f (θ ,ϕ)
Alle Funktionen
können durch Kugelflächenfunktionen zumindest angenähert werden!
R(Ω)=∑l=0
∞
∑m=−l
l
c lmY lm(Ω)
f (θ ,ϕ)
Wenige Glieder
Alle Funktionen
können durch Kugelflächenfunktionen zumindest angenähert werden!
R(Ω)=∑l=0
∞
∑m=−l
l
c lmY lm(Ω)
f (θ ,ϕ)
Viele Glieder
Alle Funktionen
können durch Kugelflächenfunktionen zumindest angenähert werden!
Φ(r ,Ω)=∑l=0
∞
∑m=−l
l
clmY lm(Ω)
f (θ ,ϕ)
Multipolentwicklung
Wie berechnet man c? f (Ω)=∑l=0
∞
∑m=−l
l
clmY lm(Ω)
clm=∫Y *lm(θ ,ϕ)⋅ f (θ ,ϕ)dΩ
Geht immer:
Wie berechnet man c? f (Ω)=∑l=0
∞
∑m=−l
l
clmY lm(Ω)
clm=∫Y *lm(θ ,ϕ)⋅ f (θ ,ϕ)dΩ
Geht immer
Vergleich
sin2θ=23−2
3 √ 4π5Y 2,0
sin2 x+cos2 x=1Denn: