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Kugelflächenfunktionen [email protected]

[email protected]/edyn/präs.pdf · 2) Eigenfunktionen Aus Lineare Algebra 1: Eigenvektoren, Eigenwerte A⃗v=λ⋅⃗v Geht auch für alle anderen „Operatoren“! Ô

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Kugelflächenfunktionen

[email protected]

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Taylor Reihe

Fourier Reihe

Näherungen

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Kugelflächenfunktionen

... sind ein

vollständiger und

orthonormaler Satz

von Eigenfunktionen

des Winkelanteils des Laplace-Operators.

What!?

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1) Laplace-OperatorIn Kugelkoordinaten

x=r⋅sinθ⋅cosφy=r⋅sinθ⋅sin φz=r⋅cosθ

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2) Eigenfunktionen

Aus Lineare Algebra 1:Eigenvektoren, Eigenwerte

Matrix(Lineare Abbildung)

Eigenwert

A v=λ⋅v

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2) Eigenfunktionen

Aus Lineare Algebra 1:Eigenvektoren, Eigenwerte

A v=λ⋅v

Geht auch für alle anderen „Operatoren“!

Oψ=λ⋅ψ

Operatorz.B.∂t

„Objekt“z.B. Wellenfunktion,

Vektor, Spinor, ...

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2) Eigenfunktionen des Laplace Operators

ΔΩY=λY

Was sind Y?

Winkelanteil des Laplaceoperators

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2) Eigenfunktionen des Laplace Operators

ΔΩY=λY

Operator

Eigenfunktionen(es gibt sogar unendlich viele)

Eigenwert

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Eigenschaften

Y l m(Ω)=√ 2 l+14π

(l−m)!(l+m)!

⋅P lm(cosθ)ei mϕ

ZugeordneteLegendrepolynome

Normierung

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Eigenschaften (WICHTIG!!)

Y l , m* =(−1)mY l ,−m

∫Y l ' m '* ⋅Y l ,mdΩ=δl , l ' δm ,m '

(Anti-)Symmetrie

Orthonormalität

1)

2)

3) ∑l=0

∑m=−l

l

Y lm* (θ ' ,ϕ ' )Y lm(θ ,ϕ)=δ(ϕ−ϕ ' )δ(cosθ−cosθ ' )

Vollständigkeit: Alle Funktionen können durch Y ausgedrückt werden!→ Basis im Vektorraum „Funktionen“!

Y l m(Ω)=√ 2 l+14π

(l−m)!(l+m)!

⋅P lm(cosθ)ei mϕ

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Beispiel: QuantenmechanikSchrödingergleichung

„Hamiltonoperator“Energieeigenwert

(− ℏ2

2mΔ+V ) ψ( r )=E ψ( r )

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Beispiel QuantenmechanikSchrödingergleichung

z.B. Coulomb Potential,Hängt nur von Betrag r ab!

Lösung trennbar! (exakt):

ψ(r ,θ ,ϕ)=R(r )⋅Y (θ ,ϕ)

Interessieren unsheute nicht.

Separationsansatz„analog zu Trennung der Variablen“

(− ℏ2

2mΔ+V (r)) ψ( r )=E ψ( r )

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Alle Funktionen

können durch Kugelflächenfunktionen zumindest angenähert werden!

T (Ω)=∑l=0

∑m=−l

l

clmY lm(Ω)

f (θ ,ϕ)

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Alle Funktionen

können durch Kugelflächenfunktionen zumindest angenähert werden!

R(Ω)=∑l=0

∑m=−l

l

c lmY lm(Ω)

f (θ ,ϕ)

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Alle Funktionen

können durch Kugelflächenfunktionen zumindest angenähert werden!

R(Ω)=∑l=0

∑m=−l

l

c lmY lm(Ω)

f (θ ,ϕ)

Wenige Glieder

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Alle Funktionen

können durch Kugelflächenfunktionen zumindest angenähert werden!

R(Ω)=∑l=0

∑m=−l

l

c lmY lm(Ω)

f (θ ,ϕ)

Viele Glieder

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Alle Funktionen

können durch Kugelflächenfunktionen zumindest angenähert werden!

Φ(r ,Ω)=∑l=0

∑m=−l

l

clmY lm(Ω)

f (θ ,ϕ)

Multipolentwicklung

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Wie berechnet man c? f (Ω)=∑l=0

∑m=−l

l

clmY lm(Ω)

clm=∫Y *lm(θ ,ϕ)⋅ f (θ ,ϕ)dΩ

Geht immer:

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Wie berechnet man c? f (Ω)=∑l=0

∑m=−l

l

clmY lm(Ω)

clm=∫Y *lm(θ ,ϕ)⋅ f (θ ,ϕ)dΩ

Geht immer

Vergleich

sin2θ=23−2

3 √ 4π5Y 2,0

sin2 x+cos2 x=1Denn: