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ISBN 978-3-446-44979-4

PHYS

IKSt

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Heribert Stroppe u. a.

PHYSIKDas vorliegende Buch ist die Zusammenführung der bewährten Aufgaben-sammlungen für die physikalische Grundlagenausbildung von Studierenden vor allem ingenieurwissenschaftlicher Studiengänge an Technischen Fach-hochschulen und Universitäten.

Das Buch enthält – didaktisch aufbereitet und gegliedert nach Art eines Lehr-buches sowie mit steigendem Schwierigkeitsgrad – insgesamt 960 Beispiel- und Zusatzaufgaben aus den Gebieten Mechanik, Wärmelehre, Elektrizität und Magnetismus, Schwingungen und Wellen sowie Atom- und Kernphysik.

Für die Beispielaufgaben werden der gesamte Lösungsweg und der vollstän-dige Rechengang mit Erläuterung der einschlägigen physikalischen Gesetze ausführlich dargestellt, für die Zusatzaufgaben zur Selbstkontrolle sind nur die Lösungen und ggf. Zwischenrechnungen angegeben.

Die Beispiele und Aufgaben mit meist praxisorientiertem Inhalt sind so aus-gewählt, dass sie den in Vorlesungen und Übungen behandelten Stoff weit-gehend abdecken und durch ihre didaktische Aufbereitung eine effektive Wiederholung und optimale Prüfungsvorbereitung ermöglichen.

Heribert Stroppe u. a.

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900 Aufgaben und

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Beispiele und Aufgaben

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Heribert Stroppe u. a.

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Mechanik – Warmelehre –

Elektrizitat und Magnetismus –

Schwingungen und Wellen –

Atom- und Kernphysik

Mit 526 durchgerechneten Beispielen, 434 Zusatzaufgabenund 304 Bildern

Fachbuchverlag Leipzigim Carl Hanser Verlag

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ISBN 978-3-446-44979-4

E-Book-ISBN 978-3-446-44980-0

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c© 2017 Carl Hanser Verlag Munchen

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Lektorat: Philipp Thorwirth

Herstellung: Katrin Wulst

Satz: Dr. Eckard Specht, Magdeburg, Dr. Michael Specht, Berlin

Grafik: Holger Grafe, Dr. Eckard Specht, Magdeburg

Druck und Bindung: Hubert & Co, Gottingen

Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis

KINEMATIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1–17 Geradlinige Bewegung. Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . 9

18–26 Fall- und Steigbewegung. Senkrechter Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

27–39 Uberlagerung von Bewegungen. Schiefer Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

40–56 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

DYNAMIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

57–74 NEWTONsche Bewegungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

75–85 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

86–97 Tragheitskrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

98–113 Inertialsysteme. Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

114–134 Arbeit, Energie, Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

135–147 Gravitationsgesetz. KEPLERsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

148–164 Impuls und Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

STATIK UND DYNAMIK DES STARREN KORPERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

165–176 Zusammensetzung und Zerlegung von Kraften. Kraftegleichgewicht . . . . . . . . . 31

177–189 Drehmoment. Statisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

190–198 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt). Gleichgewichtsarten . . . . . . . . . . . . . . . 35

199–213 Massentragheitsmoment. Rotationsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

214–223 Arbeit, Energie und Leistung bei Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ELASTIZITAT FESTER KORPER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

224–237 Spannung, Dehnung, Scherung. HOOKEsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 39

238–242 Dehnungsarbeit. Volumenelastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

MECHANIK DER FLUSSIGKEITEN UND GASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

243–258 Druck in Flussigkeiten und Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

259–271 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

272–281 Oberflachenspannung, Oberflachenenergie, Kapillaritat . . . . . . . . . . . . . . . 45

282–296 Stromung idealer Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

297–310 Stromung realer Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

TEMPERATUR UND WARME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

311–315 Temperatur, Thermometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

316–325 Thermische Ausdehnung fester und flussiger Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

326–338 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

339–350 Warme. Spezifische Warmekapazitat. Kalorimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

HAUPTSATZE DER THERMODYNAMIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

351–366 I. Hauptsatz. Zustandsanderungen der Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

367–381 Kreisprozesse, Energieumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

382–398 II. Hauptsatz. Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

REALE GASE. PHASENUMWANDLUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

399–409 VAN-DER-WAALSsche Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

410–422 Phasenumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

423–429 Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8 Inhaltsverzeichnis

GASKINETIK. AUSGLEICHSVORGANGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

430–449 Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

450–462 Warmeubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

463–470 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

ELEKTRISCHES FELD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

471–490 Kraftwirkungen des elektrischen Feldes. Feldstarke, Potenzial, Spannung . . . . . . 76

491–497 Elektrischer Fluss, Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

498–506 Elektrisches Feld in Stoffen. Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

507–525 Kapazitat, Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

GLEICHSTROMKREIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

526–537 Einfacher Stromkreis. OHMsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

538–563 Widerstande und Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

564–575 Energie, Warme und Leistung von Gleichstromen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

576–590 Elektrische Leitungsvorgange. Elektrolyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

MAGNETISCHES FELD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

591–607 Magnetfeld von Dipolen und Gleichstromen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

608–625 Kraftwirkungen des Magnetfeldes auf Stromleiter und bewegte Ladungstrager . . . 94

626–642 Magnetisches Feld in Stoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

ELEKTROMAGNETISCHE INDUKTION. WECHSELSTROMKREIS . . . . . . . . . . 99

643–664 Induktionsgesetz. Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

665–679 Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

SCHWINGUNGEN UND WELLEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

680–724 Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

725–738 Elektrische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

739–769 Allgemeine Wellenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

770–795 Schallwellen. Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

796–809 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

OPTIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

810–845 Strahlenoptik (Geometrische Optik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

846–870 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

871–880 Temperaturstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

881–888 Photometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

ATOME UND ATOMKERNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

889–909 Welle-Teilchen-Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

910–925 Atomhulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

926–940 Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

941–960 Atomkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Losungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

76 ELEKTRISCHES FELD

ELEKTRISCHES FELD

Kraftwirkungen des elektrischen Feldes. Feldstarke, Potenzial, Spannung

471 Coulomb-Gesetz (1)

Um eine Vorstellung von der Große der Ladungseinheit 1 Coulomb (C) zu bekommen, berechne

man die Kraft, mit der sich zwei Kugeln mit Ladungen von je 1 C in 100 m Entfernung anziehen

bzw. abstoßen!

472 Coulomb-Gesetz (2)

Welche gleich große spezifische Ladung q/m mussten zwei Himmelskorper mit den Massen m1

und m2 haben, damit deren Gravitationswirkung durch die elektrostatische Abstoßung gerade

kompensiert wird? Welche Ladungen kamen dann der Erde (mE = 5,976 · 1024 kg) und dem

Mond (mM = 7,347 · 1022 kg) zu?

473 Feldstarke und Potenzial des kugelsymmetrischen Feldes (Zentralfeld)

Der Kern des Wasserstoffatoms, das Proton, tragt eine positive Elementarladung. Man bestim-

me a) die Feldstarke E und das Potenzial ϕ auf der kernnachsten Elektronenbahn (Kreisbahn)

mit dem sog. BOHRschen Radius r1 = 0,53 · 10−10 m (K-Schale). b) Welche Feldstarke- und

Potenzialdifferenz besteht zwischen der K- und der daruber liegenden L-Schale mit dem Bahn-

radius r2 = 22r1? c) Wie groß ist die potenzielle Energie Wp eines Elektrons auf den beiden

Bahnen? Elementarladung e = 1,602 · 10−19 C.

474 Resultierende Feldstarke und Feldkraft zweier Ladungen

Zwei positive Punktladungen Q1 = 400 nC (1 nC = 10−9 C) und Q2 = 150 nC haben vonein-

ander den Abstand 10 cm. a) Wie groß ist die Kraft auf eine genau in der Mitte zwischen den

beiden Ladungen befindliche kleine positive Probeladung q = 10 nC? Wie groß ist die elektri-

sche Feldstarke an dieser Stelle? b) Wie groß sind Feldkraft und Feldstarke, wenn Q2 negativ

ist?

475 Potenzial eines Punktladungssystems. Potenzialdifferenz (Spannung)

(Bild) In drei Ecken eines Quadrats mit der Kantenlange a = 4 cm befin-

den sich die Punktladungen Q1 = +100 pC, Q2 = −200 pC und Q3 =+300 pC. Man berechne das Potenzial des Ladungssystems in den Punkten

P1 (Eckpunkt) und P2 (Mittelpunkt) sowie die Spannung U zwischen den

beiden Punkten!a

a

Q1

Q2Q3

P1

P2

476 Elektrischer Dipol

(Bild) Zwei Punktladungen unterschiedlichen Vorzeichens q = ±20 nC, die sich in einem fe-

sten Abstand l = 1 cm zueinander befinden, bilden einen elektrischen Dipol. a) Wie groß sind

P

l

+q q

r+

r = (r + r ) / 2+ _

r_

Potenzial ϕ und Feldstarke E im Punkt P in der Entfernung

r = 1,50 m vom Dipol? Wie groß sind ϕ und E im Punkt P ,

wenn der Dipol durch eine einzelne Punktladung q = 20 nC er-

setzt wird? b) Welches Drehmoment wirkt auf den Dipol, wenn

sich in P eine Ladung Q = 100 nC befindet und die Dipolachse

senkrecht zu der im Bild gezeichneten Lage steht?

Kraftwirkungen des elektrischen Feldes. Feldstarke, Potenzial, Spannung 77

477 Arbeit beim elektrischen Aufladen

Eine elektrisch neutrale Metallkugel vom Radius R = 5 cm soll auf die Ladung Q = 10 mC

aufgeladen werden. a) Welche Arbeit ist dazu erforderlich? b) Welche Spannung liegt dann an

der Kugel?

478 Probeladung im homogenen elektrischen Feld

Eine Seifenblase mit dem Durchmesser 2 r = 4 cm sinkt in Luft mit der Geschwindigkeit

v = 3 cm/s zur Erde (dynamische Viskositat von Luft bei 20 ◦C: η = 1,84 · 10−5 Pa s). Wie

viele Elementarladungen e musste sie tragen, um in einem lotrechten elektrischen Feld der

Feldstarke E = 130 V/m gerade in der Schwebe gehalten zu werden?

479 Freies Elektron im homogenen elektrischen Feld (1)

In einer Vakuumrohre befinden sich zwei parallele plattenformige Elektroden im Abstand d =2 cm, an denen eine Spannung U = 300 V liegt. Man bestimme a) die elektrische Feldstarke E

im Raum zwischen den Platten, b) die Kraft auf ein Elektron im elektrischen Feld zwischen den

Platten, c) die von einem Elektron gewonnene Energie, wenn es sich von der Katode zur Anode

bewegt, d) die Geschwindigkeit, mit der es auf die Anode trifft.

480 Freies Elektron im homogenen elektrischen Feld (2)

(Bild) Ein Elektron tritt senkrecht zu den elektrischen Feldlinien mit der Geschwindigkeit

v0 in den Vakuumraum eines Plattenkondensators ein und durchlauft ihn auf gekrummter

v0

e_

h

l

v

Bahn. a) Um welche Art von Bahnkurve handelt es sich? b)

Der Kondensator habe einen Plattenabstand von d = 4 cm und

eine Plattenlange von l = 10 cm, die an den Platten anlie-

gende Spannung ist U = 300 V. Mit welcher Geschwindig-

keit v tritt das Elektron aus dem Kondensatorfeld aus, wenn

v0 = 1,6 · 107 m/s? c) Wie groß ist die Abweichung h von

der ursprunglichen Bewegungsrichtung beim Austritt aus dem

Feld? d) Welche Energieanderung erfahrt das Elektron beim Durchqueren des Feldes? Ladung

des Elektrons e = 1,602 · 10−19 C, Masse des Elektrons m = 9,109 · 10−31 kg.

481 Beschleunigungsspannung

Welche Spannung muss ein Elektron im Vakuum durchlaufen, um auf 95% der Lichtgeschwin-

digkeit c beschleunigt zu werden? Man beachte die relativistische Massenzunahme des Elek-

trons (Ruhmasse m0 = 9,1 · 10−31 kg)!

ZUSATZAUFGABEN

482 a) Wie viel Elektronen sind in 1 Coulomb (C) enthalten? b) Welche Ladung Q und Masse

m hat n = 1 mol Elektronen?

483 Berechnen Sie a) die Feldstarke, welche durch eine kleine, raumlich konzentrierte Gas-

wolke, bestehend aus 1 kmol einwertiger Ionen, in 100 km Entfernung hervorgerufen wird, und

b) die Potenzialanderung, die sich bei Vergroßerung der Entfernung auf 500 km ergibt!

484 Welche Arbeit wird verrichtet, wenn ein Elektron eine Potenzialdifferenz (Spannung) von

1 V durchlauft?

78 ELEKTRISCHES FELD

485 Welche großte Annaherung ist beim zentralen Stoß eines α-Teilchens (He++) der Energie

Eα = 2 MeV mit dem Kern eines Aluminiumatoms (Ordnungszahl 13) moglich (RUTHERFORD-

Streuung)? Die kinetische Energie geht bei großter Annaherung vollstandig in potenzielle Ener-

gie uber.

486 In den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks von a = 10 cm Seitenlange befinden sich

die Ladungen Q1 = +1 mC, Q2 = +2 mC und Q3 = −3 mC. Man berechne den Betrag der

resultierenden Kraft, mit der Q1 und Q2 auf Q3 wirken!

487 Eine Ladung von 8 mC befindet sich in 1 m Entfernung von einer zweiten Ladung 50 mC

und wird a) auf 50 cm an diese angenahert, b) auf einer Kreisbahn um diese herumgefuhrt. Wie

groß ist in den beiden Fallen die dazu notwendige Arbeit?

488 Im Abstand von 1 m befinden sich zwei Punktladungen Q1 = 5 nC und Q2 = −3 nC

(Q1 links von Q2). Auf der Verbindungsgeraden beider Ladungen liegt rechts von Q1 in der

Entfernung 25 cm ein Punkt A und 25 cm links von Q2 ein Punkt B. a) Welcher Punkt befindet

sich auf dem hoheren Potenzial? b) Welche Arbeit ist zu verrichten, um eine Probeladung q =−50 mC von A nach B zu verschieben?

489 In Aufgabe 488 ist die Lage desjenigen Punktes zu ermitteln, in dem das resultierende

Potenzial null ist.

490 In einem Teilchenbeschleuniger werden Protonen auf eine kinetische Energie von 10 GeV

gebracht. Wie weit hat sich dadurch die Teilchengeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit an-

genahert? Auf das Wievielfache hat die bewegte Masse m gegenuber ihrer Ruhmasse m0 zuge-

nommen? Spezifische Ladung des Protons: e/m0 = 9,579 · 107 C/kg.

Elektrischer Fluss, Flussdichte

491 Elektrische Durchflutung

a) Man berechne die elektrische Feldstarke E in der Entfernung r = 50 cm von einer Punkt-

ladung Q = 2,7 · 10−12 C! b) Wie groß ist die Flussdichte D in dieser Entfernung und der

elektrische Fluss Ψ durch eine um die Ladung herumgelegte, beliebige geschlossene Flache?

Elektrische Feldkonstante ε0 = 8,854 · 10−12 C/(V m).

492 Zylindersymmetrisches Feld eines langen Drahtes

Auf die Oberflache eines sehr langen, geraden Metalldrahtes von 2 mm Durchmesser werden

Ladungen mit dem Ladungsbelag Q′ = Q/ l = 90 nC/m (Ladung je Langeneinheit) gebracht.

Welchen Feldstarke- und Potenzialverlauf weist das vom Draht erzeugte Feld in seiner Umge-

bung (Luft) auf? Wie groß sind Feldstarke und Flachenladungsdichte an der Drahtoberflache?

493 Atmospharisches elektrisches Feld

Bei ungestortem schonen Wetter betragt das lotrechte elektrische Feld in Bodennahe E1 =130 V/m und in h = 10 km Hohe E2 = 4 V/m. a) Welche Flachenladungsdichte σ der Erd-

oberflache und welche (als homogen angenommene) Raumladungsdichte der Atmosphare

folgt aus diesen Angaben? b) Welche Potenzialdifferenz U herrscht zwischen Erdoberflache

und 10 km Hohe?

Elektrisches Feld in Stoffen. Feldenergie 79

494 Quellen- und Wirbelfeld

(Bild) Sind die dargestellten Kraftfelder, deren Feldstarke E a) in Feldlinienrichtung, b) senk-

recht zur Feldrichtung linear zunimmt, Quellen- oder Wirbelfelder? – Anleitung: Man un-

tersuche den elektrischen Fluss Ψ durch ein geschlossenes Raumgebiet und prufe, ob beim

Umlauf einer Probeladung auf

einem geschlossenen Weg Ar-

beit verrichtet wird.a) b)

ZUSATZAUFGABEN

495 An einem Plattenkondensator (Plattenflache A = 100 cm2, Plattenabstand d = 2 cm)

liegt eine Spannung von U = 70 V. Wie groß ist die Ladung auf einer Platte?

496 Ein elektrisches Feld der Feldstarke E = 905 V/m wird durch eine dazu senkrechte Me-

tallschicht abgeschirmt. Wie viel Elementarladungen werden auf der Oberflache je Flachenein-

heit influenziert, d. h., wie groß ist ihre Flachenladungsdichte σ?

497 Eine 4 cm von einem langen, elektrisch geladenen Draht entfernte Punktladung q =6,69 · 10−10 C wird auf 2 cm Entfernung an den Draht herangefuhrt. Dazu muss die Arbeit

W = 5 · 10−6 J verrichtet werden. Welchen Ladungsbelag Q/ l hat der Draht?

Elektrisches Feld in Stoffen. Feldenergie

498 Geschichtetes Dielektrikum. Effektive Dielektrizitatszahl

(Bild) Das Innere eines Plattenkondensators ist mit zwei parallel zu den Platten verlaufenden

d1 d2

E1 E2

ε1 ε2

Schichten aus unterschiedlichen Isolierstoffen mit den Dielektrizitatszahlen

εr1 = 7,5 (Glas) und εr2 = 150 (Keramik) voll ausgefullt. Die Schicht-

dicken sind d1 = 2,5 mm und d2 = 1 mm. Am Kondensator liegt die Span-

nung U = 2500 V an. Wie groß sind a) die Feldstarken E1 und E2, b) die

Spannungsabfalle U1 und U2 in den beiden Schichten? c) Welche”effektive“

Dielektrizitatszahl εr musste ein Stoff haben, der bei voller Ausfullung des

Kondensators mit diesem Stoff die gleiche elektrische Polarisation erzeugt wie das geschichtete

Dielektrikum?

499 Energiedichte des elektrischen Feldes

Ein Plattenkondensator (Plattengroße A = 5 cm2, Plattenabstand d = 1 mm) ist mit Glimmer

(Dielektrizitatszahl εr = 7) ausgefullt. Er wird auf eine Spannung von 500 V aufgeladen. Man

berechne a) die Feldstarke E und b) die Flussdichte D im Kondensatorraum, c) die Ladung Q

auf einer Kondensatorplatte, d) die Energiedichte we und e) die Energie We des elektrischen

Feldes im Kondensator!

500 Elektrische Polarisation

Wie groß ist in Aufgabe 499 die Polarisation P des im Plattenkondensator befindlichen Dielek-

trikums (Glimmer)? Wie groß sind die infolge Polarisation auf dem Dielektrikum entstandenen

freien Oberflachenladungen QP?

80 ELEKTRISCHES FELD

501 Durchgang des E- und D-Feldes durch Grenzflachen

In einem ausgedehnten Dielektrikum (Sonderkeramik mit εr = 500) herrsche ein homogenes

elektrisches Feld der Flussdichte D = 4 mC/m2. Gesucht ist die elektrische Feldstarke EL in

einem darin enthaltenen engen Luftspalt mit εrL = 1 a) langs zur Feldrichtung, b) quer zur

Feldrichtung, c) in einem kleinen kugelformigen Hohlraum. Feldstarke im Innern einer Kugel,

die sich in einem außeren Feld E0 befindet: Ei = 3εaE0/(εi +2εa)mit εi, εa Dielektrizitatszah-

len im Innen- und Außenraum.

502 Brechungsgesetz fur Feldlinien

(Bild) Aus einem Dielektrikum mit hoher Dielektrizitatszahl εr treten

elektrische Feldlinien – auch wenn sie streifend die Oberflache treffen

– nahezu senkrecht aus. Man berechne fur Nitrobenzol (εr = 36) den

maximalen Einfallswinkel α1 gegen die Grenzflachennormale, fur den

der Brechungswinkel α2 nicht mehr als 10◦ von der Grenzflachennor-

malen abweicht!

α2

α1εr

ZUSATZAUFGABEN

503 Ein Plattenkondensator ist mit gleich dicken Schichten zweier Isolierstoffe mit den Di-

elektrizitatskonstanten ε1 und ε2 ausgefullt. Wie groß ist die mittlere (effektive) Dielektrizitats-

konstante ε?

504 Berechnen Sie fur den Plattenkondensator in Aufgabe 498 die Anteile der Feldenergie in

den beiden mit unterschiedlichen Dielektrika ausgefullten Kondensatorraumen sowie die Ge-

samtenergie und die daraus folgende mittlere Energiedichte des Kondensatorfeldes! Platten-

flache A = 5 cm2.

505 Im Unterschied zu Aufgabe 499 wird das Dielektrikum (Glimmer, εr = 7) erst in den

Kondensator eingebracht, wenn dieser bereits an die Spannungsquelle von 500 V angeschlossen

ist. Welche Ladung muss von der Spannungsquelle auf den Kondensator nachfließen, wenn sich

die Feldstarke im Kondensator nicht andern soll? Geben Sie die Ladungen Q0 und Q vor und

nach Einbringen des Dielektrikums an!

506 Ein Plattenkondensator (Plattenabstand 5 mm) ist mit einem Dielektrikum gefullt, das

eine Suszeptibilitat von χe = εr − 1 = 1,5 hat. Am Kondensator liegt eine Spannung von

4 kV. Wie groß ist die Flachendichte der Ladung auf den Kondensatorplatten (σK) und auf dem

Dielektrikum (σD)?

Kapazitat, Kondensatoren

507 Leerer Plattenkondensator

Auf die 1 cm voneinander entfernten Platten eines luftleeren Kondensators der Kapazitat C1 =100 pF wird aus einer Spannungsquelle die Ladung Q = 22 nC aufgebracht. Danach wird der

Kondensator wieder von der Spannungsquelle abgeklemmt. a) Welche Spannung U1 liegt am

Kondensator, und wie groß ist die Feldstarke E1 im Kondensatorraum? b) Welche Werte neh-

men Kapazitat, Spannung und Feldstarke an, wenn der Plattenabstand auf d2 = 2 cm vergroßert

wird?

Kapazitat, Kondensatoren 81

508 Kondensator ohne und mit Dielektrikum

Ein Luftkondensator der Kapazitat C0 = 80 pF wird auf die Spannung U0 = 220 V aufge-

laden und danach a) von der Spannungsquelle getrennt, b) an der Spannungsquelle belassen.

Wie andern sich im Fall a) und im Fall b) Kapazitat, Ladung, Spannung und Energieinhalt des

Kondensators, wenn er mit Ol (Dielektrizitatszahl εr = 2,75) gefullt wird?

509 Kraft zwischen Kondensatorplatten

Berechnen Sie die Kraft F , mit der sich zwei ebene Kondensatorplatten der Flache A = 0,15 m2

im Abstand x = 2 mm anziehen, wenn zwischen ihnen eine Spannung U = 300 V herrscht!

Wie groß muss die Zugspannung σ sein, um die Platten auseinander zu halten?

510 Kapazitat einer Kugel

a) Man berechne die Kapazitat einer freistehenden Metallkugel vom Durchmesser 2R = 10 cm!

b) Welche Flachenladungsdichte ist erforderlich, um sie auf eine Spannung von 10 kV aufzula-

den?

511 Durchschlagsspannung

Gesucht ist die Spannung U , auf die eine Metallkugel vom Durchmesser 2R = 20 cm in einer

Hochspannungsanlage maximal aufgeladen werden kann, wenn die Durchschlags-Feldstarke in

Luft ED = 2 MV/m betragt. Es wird vorausgesetzt, dass sich die Kugel in hinreichend großem

Abstand von leitenden Wanden befindet.

512 Koaxialkabel (1)

Ein Koaxialkabel besteht aus einer zentralen Ader (Innenleiter vom Radius a) und einer sie

umgebenden zylindrischen Hulle (Außenleiter mit dem Radius b). Dazwischen befindet sich

ein Isolator (Dielektrizitatszahl εr). a) Berechnen Sie allgemein die Kapazitat eines solchen

Kabels! – Anleitung: Man gehe von der Potenzialdifferenz zwischen r = a und r = b aus

(vgl. Aufgabe 492). b) Wie groß ist fur ein Koaxialkabel mit b/a = 6,667 und εr = 2,3 der

Kapazitatsbelag (Kapazitat je Langeneinheit)?

513 Koaxialkabel (2)

Der Radius der zentralen Ader eines Koaxialkabels betragt a = 1,5 cm, der Radius der umge-

benden zylindrischen Hulle b = 3,5 cm. Zwischen Ader und Hulle besteht ein Potenzialunter-

schied von U = 2300 V. Gesucht ist die elektrische Feldstarke E in einem Abstand r = 2 cm

von der Kabelachse.

514 Kondensatorschaltung (1)

(Bild) Zwei Kondensatoren mit den Kapazitaten C1 = 200 pF und C2 =600 pF werden parallel geschaltet und auf 120 V aufgeladen. Man bestim-

me a) die Ladung auf den Kondensatoren und die Gesamtladung der Schal-

tung, b) die Gesamtkapazitat der Schaltung.

C1

C2

U

515 Kondensatorschaltung (2)

(Bild) Zwei Kondensatoren (C1 = 1 mF, C2 = 3 mF) werden in Reihe ge-

schaltet und dann an U = 24 V Gleichspannung angeschlossen. Man be-

rechne a) die Gesamtkapazitat, b) die Gesamtladung und die Einzelladun-

C1 C2

U1 U2

U

gen auf den Kondensatoren, c) die Spannungen an beiden Kondensatoren, d) die in den Kon-

densatoren gespeicherte Energie W . e) Nach dem Laden werden die Kondensatoren von der

Spannungsquelle getrennt. Welche Spannung stellt sich ein, wenn sie anschließend mit glei-

cher/entgegengesetzter Polaritat parallel geschaltet werden?

82 ELEKTRISCHES FELD

ZUSATZAUFGABEN

516 Ein γ -Quant erzeugt in einem GEIGER-MULLER-Zahlrohr eine Ladungslawine von et-

wa 105 Elementarladungen. Welche Hohe des Zahlrohrimpulses ist bei einer Zahlrohrkapazitat

(einschließlich Schaltkapazitat) von 16 pF zu erwarten?

517 Man berechne die Kapazitat eines aus einem Metallfolienpaar und einem Papier- oder

Kunststofffolienpaar hergestellten platzsparenden Wickelkondensators nach dem Schema des

Plattenkondensators und beachte, dass jede Metallfolie beidseitig Ladung tragt! Dicke der Pa-

pierfolie dP = 80 mm, Dicke der Metallfolie dM = 8 mm, Dielektrizitatszahl εr = 2,2, Volumen

des Wickelkondensators V = 17 cm3.

518 Welche Kapazitat hat a) eine aus Stanniolpapier geknetete Kugel von der Große eines

Tischtennisballes (R = 1,5 cm) und b) die Erdkugel (R = 6378 km)? εr ≈ 1.

519 Eine Seifenblase vom Radius R1 = 2 cm wird auf eine Spannung U1 = 10 kV auf-

geladen. Durch Zerplatzen entstehe ein Tropfchen vom Radius R2 = 0,5 mm. Auf welchem

Potenzial U2 befindet sich das Tropfchen?

520 Ein Kugelkondensator, wie er z. B. fur die Untersuchung photoelektrischer Vorgange

benutzt wird, besteht aus einer inneren Metallkugel (Radius R1 = 0,8 cm) als Katode, um die

konzentrisch eine innen versilberte Kugelschale (Innenradius R2 = 5 cm) als Anode angeordnet

ist. Dazwischen herrscht annahernd Vakuum. Man berechne die Kapazitat dieses Kondensators!

Anleitung: Man gehe von der Potenzialdifferenz im kugelsymmetrischen Feld (vgl. Aufgabe

473) aus!

521 Zwei Kondensatoren C1 = 1 mF und C2 = 4 mF werden einzeln auf U0 = 110 V aufge-

laden. Dann werden Sie mit entgegengesetzter Polaritat parallel geschaltet. Berechnen Sie die

resultierende Ladung und Spannung der Kombination!

522 Drei auf je 500 V aufgeladene 120 pF-Plattenkondensatoren werden in Reihe geschal-

tet. Gesucht ist a) die Gesamtkapazitat der Schaltung, b) die Gesamtspannung zwischen den

Endplatten, c) die Ladung auf jedem Kondensator, d) die im System gespeicherte Energie.

523 Ein 2 mF-Kondensator wird auf 50 V aufgeladen. Danach wird er mit einem auf 100 V

aufgeladenen 4 mF-Kondensator parallel geschaltet. Wie groß ist a) die Gesamtladung und die

Gesamtspannung der Schaltung, b) die Ladung auf jedem der Kondensatoren, c) die in bei-

den Kondensatoren gespeicherte Gesamtenergie, d) die gespeicherte Gesamtenergie, bevor die

Kondensatoren parallel geschalten wurden?

524 (Bild) Zwischen je zwei Eckpunkten des dargestellten Netz-

werkes von Kondensatoren kann man mit einem Messgerat einen

Kapazitatswert bestimmen. Welche Gesamtkapazitaten liegen zwi-

schen den Punkten AB, AC, AD, BC, BD und CD? A B

CD

C1= 0,75µF

C2= 3µF

C3= 4 µF

C4=2,4µF

525 An das Netzwerk von vier Kondensatoren in Aufgabe 524 (Bild) wird zwischen den

Punkten A und C eine Spannung von 20 V angelegt. Welche Spannung misst man zwischen

den Punkten B und D?

224 ELEKTRISCHES FELD

b) Aus der Extremalforderung

dc(r, t)

dt= n(4πD)−3/2

(

−3

2t−5/2 + r2

4Dt−7/2

)

e− r2

4Dt = 0

folgt t = r2/(6D) = 37 037 s = 10,3 h und somit nach (1) c(r)max = [3/(2π e)]3/2n/r3 = 736 mol/m3.

467 a) Der durch die Schwerkraft F = −µg hervorgerufenen Sinkbewegung mit der Driftgeschwin-

digkeit v = βF = −βµg wirkt der durch das dabei entstehende vertikale Konzentrationsgefalle dc/dz

bedingte Diffusionsstrom −Ddc/dz entgegen. Im stationaren Zustand gilt fur die Gesamtstromdichte

jn = −Ddc

dz− cβµg = 0 oder

dc

c= −βµg

Ddz.

Beidseitige Integration zwischen den Grenzen c = c0 fur z = 0 und c in der Hohe z ergibt

lnc

c0

= −βµg

Dz oder c = c0 e

−βµg

Dz. (1)

Die Konzentration nimmt exponentiell mit der Hohe ab. b) Aus der barometrischen Hohenformel (vgl.

Aufgabe 250) p = p0 e−0gz/p0 folgt mit c = N/V und p = NkT/V sowie 0 = Nµ/V0 und

p0 = NkT/V0 = c0kT die Konzentrationsverteilung

c = c0 e−µg

kTz. (2)

Gleichsetzen der Exponenten von (1) und (2) fuhrt auf β = D/(kT ).

468 a) 1) L =√

2Dt ≈ 1,3 m; 2) L ≈ 4 mm; 3) L ≈ 40 nm; b) 1) L =√

6Dt ≈ 2,3 m; 2)

L ≈ 7 mm; 3) L ≈ 70 nm.

469 Mit v = βF = DF/(kT ) (s. Aufgabe 467) und F = eE = eU/d folgt v = DeU/(kT d) =1,25 · 10−5 m/s ≈ 45 mm/h.

470 Aus der Konzentrationsverteilung c(r) = c(r → ∞) + In/(4πDr) (vgl. Aufgabe 464) folgt

mit 1c = c(r → ∞) − c(r = R) der Stoffmengenstrom In = −4πDR1c, und damit aus V =4πR2 dR/dt = −Vm In das Wachstumsgesetz R = R(t) =

√

R 20 + 2DVm1ct ; t ≈ R2/(2DVm1c) =

29,4 min fur R = 1 mm.

471 Die Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2, die sich im Abstand r voneinander befinden,

berechnet sich nach

F = 1

4πε0

Q1 Q2

r2(COULOMB-Gesetz)

mit ε0 = 8,8542 · 10−12 C/(V m) (elektrische Feldkonstante, Influenzkonstante), 1/(4πε0) ≈9,0 · 109 V m/C. Da das Gesetz nicht nur fur Punktladungen, sondern auch fur geladene Kugeln mit r als

Mittelpunktsabstand gilt, erhalten wir mit Q1 = Q2 = 1 C und r = 100 m: F ≈ 9 · 105 N = 0,9 MN,

entsprechend dem Gewicht einer Masse von ca. 92 t.

472 Gravitationskraft und elektrostatische Abstoßungskraft mussen dem Betrage nach gleich sein:

γm1m2/r2 = q1q2/(4πε0r2). Daraus folgt

q1q2

m1m2

= q2

m2= 4πε0γ,

q

m=√

4πε0γ = ±8,62 · 10−11 C/kg.

Fur die Erde wird damit qE = (q/m)mE = 5,15 · 1014 C und fur den Mond qM = (q/m)mM =6,33 · 1012 C.

473 Die Kraft zwischen Kern (Ladung Q = +e) und Elektron (Ladung q = −e) im Abstand r ist dem

Betrage nach F = q Q/(4πε0r2) und die vom Kern erzeugte Feldstarke E = F/q = Q/(4πε0r2). Das

Potenzial in der Entfernung r vom Kern erhalt man daraus zu

ϕ(r) = −r∫

∞

E dr = − Q

4πε0

r∫

∞

dr

r2= Q

4πε0r.

Kraftwirkungen des elektrischen Feldes. Feldstarke, Potenzial, Spannung 225

a) Mit Q = e = 1,6 · 10−19 C und r = r1 = 0,53 · 10−10 m wird E1 = 5,13 · 1011 V/m = 513 GV/m und

ϕ1 = 27,2 V. b) Fur r = r2 = 4r1 folgt E2 = E1/16 und somit |1E | = |E2 − E1| = 481 GV/m sowie

ϕ2 = ϕ1/4 = 6,8 V, also |1ϕ| = |ϕ2 − ϕ1| = 20,4 V. c) Die potenzielle Energie von q beim Potenzial

ϕ ist Wp = qϕ, fur das Elektron also Wp1 = −eϕ1 = −27,2 eV (Elektronvolt) = −4,36 · 10−18 J =−4,36 aJ (Atto-Joule) bzw. Wp2 = −eϕ2 = −6,8 eV = −1,09 aJ = Wp1/4. Außer der potenziellen

Energie besitzt das Elektron auch noch kinetische Energie.

474 a) Da Q1 und Q2 von entgegengesetzten Seiten her wirken, ist die resultierende Kraft F auf q

gleich der Differenz der von den beiden Ladungen ausgehenden Krafte:

F = F1 − F2 = q Q1

4πε0r 21

− q Q2

4πε0r 22

= q

4πε0

(

Q1

r 21

− Q2

r 22

)

.

r1 und r2 sind die Entfernungen der Probeladung q zu Q1 und Q2. Hier ist r1 = r2 = r = 5 cm,

womit man erhalt F = 9,0 · 10−3 N = 9,0 mN in Richtung Q2 (wegen q > 0 und Q1 > Q2 bei

gleichen Entfernungen zu q). Die resultierende Feldstarke ist E = F/q = 0,9 · 106 V/m = 0,9 MV/m.

b) Jetzt ist Q2 negativ, und beide Krafte, F1 und F2, wirken in Richtung Q2. Damit wird F = q[Q1 −(−Q2)]/(4πε0r2) = 19,8 mN und E = 1,98 MV/m.

475 Das Potenzial einer einzelnen Punktladung Q im Abstand r von ihr berech-

net sich zu ϕ = Q/(4πε0r). Das von mehreren Ladungen erzeugte resultieren-

de Potenzial an einem beliebigen Ort P ergibt sich durch Addition der Einzel-

potenziale ϕi , die von den Ladungen Q i mit den Abstanden ri von P unabhangig

voneinander erzeugt werden. In Bezug auf den Eckpunkt P1 ist also (s. Bild

vorn):

ϕ1 = 1

4πε0

3∑

i=1

Q i

r1i

= 1

4πε0

(

Q1

a+ Q2

a√

2+ Q3

a

)

.

Die Ladungen Q i sind vorzeichenbehaftet einzusetzen. Mit 1/(4πε0) = 9,0 · 109 V m/C und den ubrigen

Werten erhalt man ϕ1 = 58,1 V. Fur P2 als Aufpunkt, der zu allen drei Ladungen den Abstand a√

2/2

hat, folgt

ϕ2 = 1

4πε0

3∑

i=1

Q i

r2i

= 1

4πε0

1

a√

2/2(Q1 + Q2 + Q3) = 63,6 V.

Die Spannung U zwischen P1 und P2 ist folglich gleich der Potenzialdifferenz 1ϕ = ϕ2 − ϕ1 = 5,5 V.

Das Bild zeigt fur das hier betrachtete Punktladungssystem die Linien konstanten Potenzials (Aquipo-

tenziallinien).

476 a) Das vom Dipol in P erzeugte Potenzial ist gleich der Summe der beiden Einzelpotenziale ϕ± =±q/(4πε0r±). Fur r ≫ l wie hier folgt wegen r+ = r − l/2 und r− = r + l/2: r+r− = r2 − l2/4 ≈ r2.

Mit dem elektrischen Dipolmoment p = ql = 2 · 10−10 C m erhalt man somit fur das Potenzial in P:

ϕ(r) = q

4πε0

(

1

r+− 1

r−

)

= q

4πε0

(

r− − r+r+r−

)

≈ ql

4πε0r2= p

4πε0r2= 0,8 V.

Die Feldstarke berechnet sich zu E = −dϕ/dr = p/(2πε0r3) = 1,07 V/m. Eine einzelne Punktladung

erzeugt dagegen das Potenzial ϕ = q/(4πε0r) = 120 V bzw. die Feldstarke E = q/(4πε0r2) = 80 V/m.

b) Fur den Betrag des Drehmoments gilt M = Fl = [q Q/(4πε0r2)]l = Qp/(4πε0r2) = 8 · 10−8 N m;

es bewirkt eine Ausrichtung der Dipolachse in Feldrichtung.

477 a) Tragt die Kugel in einem Zwischenstadium die Ladung q, so herrscht an ihrer Oberflache das

Potenzial ϕ(q) = q/(4πε0 R). Beim weiteren Aufladen um dq muss gegen die dort bereits vorhandenen

(gleichnamigen) Ladungen die Arbeit dW = ϕ(q) dq verrichtet werden, insgesamt also

W =Q∫

0

ϕ(q) dq = 1

4πε0 R

Q∫

0

q dq = Q2

8πε0 R= 9 J.

226 ELEKTRISCHES FELD

b) Die Spannung ist gleich der Potenzialdifferenz zwischen Kugeloberflache (als Sitz der Ladungen) und

Unendlich:

U = ϕ(R)− ϕ(∞) = ϕ(R) = Q

4πε0 R= 1,8 MV

mit ϕ(∞) = 0. Außerdem folgt damit aus a) die Beziehung W = QU/2.

478 Die an der Seifenblase angreifende Gewichtskraft wird zum einen von der bei konstanter Sink-

geschwindigkeit wirkenden Reibungskraft 6πηrv (STOKESsches Gesetz), andererseits – im Zustand

der Schwebe – von der elektrischen Feldkraft zeE (mit z als Anzahl der Elementarladungen auf der

Blase) gerade kompensiert. Daraus folgt zeE = 6πηrv, oder mit e = 1,602 · 10−19 C die Anzahl

z = 6πηrv/(eE) ≈ 1010.

479 a) Im homogenen elektrischen Feld ist der Betrag der Feldstarke zwischen zwei Punkten mit der

Potenzialdifferenz U : E = U/d. Es ist also hier E = 15 000 V/m = 15 kV/m. Die Feldlinien verlaufen

von der Anode zur Katode. b) Die auf eine Ladung q wirkende Feldkraft ist gleich dem Vektor F = q E,

fur ein Elektron (q = −e) also F = −eE, d. h., dem Feldstarkevektor entgegengerichtet. Der Betrag der

Kraft errechnet sich zu F = 2,4 · 10−15 N. c) Die (gewonnene) Verschiebungsarbeit ist

W = Fd = eEd = eU = 4,8 · 10−17 J = 300 eV.

d) W geht vollstandig in kinetische Energie des freien Elektrons uber: W = Wk = mv2/2. Daraus folgt

v =√

2Wk/m = 1,03 · 107 m/s ≈ c/29. (Fur v < 0,1c ist eine relativistische Rechnung i. Allg. noch

nicht erforderlich.)

480 a) Wir haben hier die gleichen Verhaltnisse wie beim waagrechten Wurf eines Korpers: Wegen

F = −eE (Feldkraft) und F = ma (NEWTONsches Grundgesetz) erfahrt das Elektron im Feld ei-

ne konstante Beschleunigung vom Betrage a = eE/m (analog der Fallbeschleunigung g beim Wurf),

und daher gilt auch hier die Gleichung fur die Wurfparabel (vgl. Aufgabe 30 mit dem Einschusswinkel

α0 = 0◦). b) Die Geschwindigkeit in Einschussrichtung bleibt konstant vx = v0, in Feldrichtung ist

vz = at , mit a = eE/m, E = U/d und t = l/v0 also vz = eUl/(mv0d) = 8,25 · 106 m/s. Damit wird

v =√

v 2x + v 2

z = 1,8 · 107 m/s. c) Die Bewegungen in x- und z-Richtung sind unabhangig voneinan-

der. Es gilt daher wie beim freien Fall h = at2/2 = eUl2/(2mv 20 d) = 25,8 mm. d) Die potenzielle

Energie nimmt (analog mgh beim freien Fall) um mah = (h/d)eU = 3,1 · 10−17 J ab, die kinetische

Energie um den gleichen Betrag m(v2 − v 20 )/2 zu. Die Gesamtenergie des Elektrons bleibt also erhalten

(konservatives Kraftfeld).

481 Die Arbeit, die vom elektrischen Feld am Elektron beim Durchlaufen der Potenzialdifferenz

(Spannung) U verrichtet wird, berechnet sich zu W = eU mit e als Elementarladung. Sie geht vollstandig

in kinetische Energie des Elektrons uber. Diese ist gleich der Differenz aus Gesamtenergie E = mc2 (mit

der Impulsmasse m = m0/√

1 − (v2/c2)) und Ruhenergie E0 = m0c2:

eU = m0c2

[

1√

1 − (v2/c2)− 1

]

.

Fur v = 0,95 c erhalt man daraus U = 1,13 MV.

482 a) 6,24 · 1018; b) Q/n = NAe = F = 96 485 C/mol (FARADAY-Konstante), somit Q ≈ 105 C,

m ≈ 0,55 mg.

483 a) Q = 9,65 · 107 C, E = 8,67 · 107 V/m; b) |1ϕ| = 6,9 · 1012 V = 6,9 TV (Teravolt).

484 1,602 · 10−19 J = 1 eV (Definition der Energieeinheit Elektronvolt).

485 Aus Eα = q Q/(4πε0rmin), q = 2e und Q = 13e folgt rmin = 1,87 · 10−14 m. rmin ist damit von

der Großenordnung des Kernradius.

486 F = |Q3|4πε0a2

√

Q 21 + Q 2

2 − 2Q1 Q2 cos 120◦ (Kosinussatz) = 7,14 N.

Elektrischer Fluss, Flussdichte 227

487 a) 3,6 J; b) null. 488 a) ϕA = 144 V, ϕB = −48 V, d. h. ϕA > ϕB. b) W = 9,6 mJ.

489 62,5 cm rechts von Q1. 490 v = 0,9963c; m = 11,66m0.

491 (Bild) a) Jede Ladung Q als Quelle eines elektrischen Feldes erzeugt außerhalb von ihr eine elek-

trische Flussdichte (Verschiebungsdichte) D. Bildet man das Integral

∮

(A)

D · dA = Q(dA Normalenvektor eines

Flachenelements der Große dA)

uber eine geschlossene Oberflache A, so erhalt man die gesamte, von dieser

Flache eingeschlossene Ladung Q. Wahlt man eine zur Punktladung Q kon-

zentrische Kugelflache mit r als Radius und somit A = 4πr2 als Oberflache,

hat der Flachennormalenvektor dA immer die gleiche Richtung wie die radi-

Q+r

(A) dA

D, E

alsymmetrisch verlaufenden D-Vektoren (das skalare Produkt ist daher D · dA = D dA cos 0◦ = D dA),

und D ist uberall auf der Kugelflache gleich. Weiterhin gilt D = ε0 E , womit man erhalt:

∮

(A)

D dA = ε0 E

∮

(A)

dA = ε0 E · 4πr2 = Q.

Daraus folgt E = Q/(4πε0r2) ≈ 0,1 V/m. b) D = ε0 E = 8,6 · 10−13 C/m2 und wegen D = Ψ/A:

Ψ = D A = 2,7 · 10−12 C = Q.

492 Aus Symmetriegrunden ergibt sich ein radiales, zylindersymmetrisches Feld, ahnlich dem Bild

zu Aufgabe 491 (Losung). Der Vektor der Feldstarke E steht senkrecht auf jedem beliebigen, konzen-

trisch zum Draht verlaufenden Zylindermantel im Abstand r zur Drahtachse, und sein Betrag ist dort

E = const. Erstreckt man das Flussintegral uber ein Drahtstuck der Lange l, so ist die Oberflache des

Zylindermantels A = 2πrl, und es gilt (da das Integral uber die Deckflachen wegen D ⊥ dA verschwin-

det) ∮

D · dA = ε0E

∮

dA = ε0E · 2πrl = Q; E(r) = Q

2πε0rlfur r ≥ R.

Fur den Potenzialverlauf erhalt man damit

ϕ(r) = −∫

E(r) dr = − Q

2πε0l

∫

dr

r= − Q

2πε0lln r + const.

Feldstarke E und Potenzial ϕ sind also vom Ladungsbelag Q/ l und vom Abstand r von der Drahtachse

abhangig. Fur r = R = 1 mm (Drahtradius) folgt E = 1,62 MV/m und als Flachenladungsdichte

σ = Q/A = Q/(2πRl) = ε0E = 14,3 mC/m2. Das Potenzial ϕ ist dagegen immer bis auf eine

beliebige Konstante bestimmt. Wird es z. B. so normiert, dass es an der Drahtoberflache null ist, also

ϕ = 0 fur r = R, so ergibt sich – wie durch Einsetzen dieser Werte in ϕ(r) folgt – die Konstante zu

Q ln R/(2πε0l), womit man fur r ≥ R erhalt: ϕ(r) = −Q ln(r/R)/(2πε0l).

493 a) Wird der Erdkorper als Leiter betrachtet, liegt eine negative Ladung mit einer Flachenladungs-

dichte σ = −D1 = −ε0 E1 = −1,15 · 10−9 C/m2 auf seiner Oberflache. Der elektrische Fluss durch eine

Flache A nimmt mit zunehmender Hohe ab, also enthalt die Atmosphare eine positive Raumladung Q,

fur welche ε0(E1 − E2)A = Q gilt. Ersetzt man Q durch die Raumladungsdichte = dQ/dV = const,

erhalt man

Q =

∫

dV = Ah; = Q

Ah= ε0

E1 − E2

h= 1,12 · 10−13 C/m3.

stellt nur die positive Uberschussladung dar. b) Bei gleichmaßig verteilten Raumladungen nimmt die

elektrische Feldstarke E linear mit der Hohe z zwischen E1 und E2 ab: E = E1 − (E1 − E2)z/h. Die

228 ELEKTRISCHES FELD

Potenzialdifferenz (Spannung) betragt

U =h∫

0

E dz =[

E1z − E1 − E2

h

z2

2

]h

0

= E1 + E2

2h = 670 kV.

494 (Bild) a) Als vom Fluss Ψ durchsetztes Raumgebiet wahlen wir einen in Feldrichtung liegenden

Quader (Seitenansicht ABCD), von dem nur die senkrecht zum Feld orientierten Deckflachen BC und

AD durchflutet werden. Da die Feldstarke E in Flussrichtung linear anwachst, ist der aus dem Gebiet

austretende Fluss Ψ2 großer als der eintretende Ψ1. Im umschlossenen Gebiet befinden sich also elektri-

sche Ladungen Q als Quellen des Feldes. Es gilt (vgl. Aufgabe 491)

ε0

∮

E · dA = Ψ2 − Ψ1 = Q mit Q > 0 (Quellenfeld).

a)

AB

C D

Ψ1 Ψ2

E1 E2

b)

AB

C DE1

E2

Beim Umlauf einer Probeladung q auf dem geschlossenen Weg A–B–C–D–A wird nur entlang A–B und

C–D Arbeit verrichtet. Dabei wird offensichtlich entlang des Weges A–B genau soviel Arbeit geleistet

wie langs des Weges C–D wieder frei wird, sodass die insgesamt verrichtete Arbeit null ist:

W =∮

F · dr = q

∮

E · dr = 0,

d. h., es handelt sich hier (wie bei jedem elektrostatischen Feld) um ein konservatives Kraftfeld (wirbel-

freies Quellenfeld). b) In diesem Feld wird bei einem geschlossenen Umlauf A–B–C–D–A entlang A–B

mehr Arbeit verrichtet als auf dem Ruckweg C–D gewonnen wird (wegen E2 > E1), d. h. hier ist W 6= 0.

Das Feld b) ist ein quellfreies Wirbelfeld und kann damit als elektrostatisches Feld nicht existieren.

495 Q = ε0U A/d = 3,1 · 10−10 C.

496 σ = D = ε0 E = 8 · 10−9 C/m2; σ/e = 5 · 1010 m−2. Fur engmaschige Metallnetze gelten die

gleichen Zusammenhange.

497 W = qU = q(ϕ2 − ϕ1) = q Q ln(r1/r2)/(2πε0l) mit r1 = 4 cm und r2 = 2 cm; Q/ l =6 · 10−7 C/m.

498 a) Die Feldlinien des (homogenen) D- und E-Feldes treten senkrecht durch die Grenzflache, beide

Felder haben also nur Normalkomponenten. Fur die Verschiebungsdichte (Flussdichte) D sind diese in

beiden Stoffen gleich (stetiger Durchgang): D1 = D2 = D = ε1 E1 = ε2E2 (mit ε = εrε0). Mit der

Spannung U an den Platten ist

U = U1 + U2 = E1d1 + E2d2 = D

(

d1

ε1

+ d2

ε2

)

; D = U

d1

ε1

+ d2

ε2

= ε0U

d1

εr1

+ d2

εr2

.

Zahlenmaßig erhalt man D = 6,5 · 10−5 C/m2. Somit wird E1 = D/ε1 = D/(εr1ε0) = 980,4 kV/m

und E2 = D/ε2 = 49,0 kV/m. Die Feldstarke ist in der Schicht mit kleinerem εr am großten. b) U1 =E1d1 = 2451 V, U2 = E2d2 = 49 V. c) Mit d1 + d2 = d (Plattenabstand) und E = U/d als effektiver

Feldstarke gilt ε = D/E = Dd/U , woraus mit dem obigen Ausdruck fur D folgt:

ε = ε0

d1 + d2

d1

εr1

+ d2

εr2

, εr = ε

ε0

= d1 + d2

d1

εr1

+ d2

εr2

= 10,3.

499 a) Es ist E = U/d = 500 kV/m; b) D = εrε0 E = 31 mC/m2; c) D = Q/A, d. h. Q = D A =15,5 nC. d) Fur das Aufladen ist die Arbeit W = QU/2 erforderlich (vgl. Aufgabe 477); sie wird als

Kapazitat, Kondensatoren 229

elektrische Feldenergie We im Kondensator gespeichert. Mit V = Ad (Kondensatorvolumen) folgt somit

fur die Energiedichte:

we = We

V= QU

2Ad= (D A)(Ed)

2Ad= 1

2DE = 1

2εrε0 E2.

Die beiden letzten Ausdrucke sind unabhangig von der Geometrie des Kondensators und gelten fur jedes

beliebige elektrische Feld. Hier wird we = 7,75 J/m3. e) We = weV = we Ad = 3,87 mJ.

500 Die Polarisation P ist die Differenz zwischen den Flussdichten D und D0 mit und ohne Dielek-

trikum bei derselben Feldstarke E:

P = D − D0 = εrε0 E − ε0 E = (εr − 1)ε0 E = χeε0 E.

χe = εr − 1 ist dabei die elektrische Suszeptibilitat, hier mit εr = 7 also χe = 6. Mit E = 500 kV/m

wird P = 26,6 mC/m2 (Oberflachenladung QP/Flache A), d. h. QP = 13,3 nC.

501 a) Die Tangentialkomponente der Feldstarke tritt stetig durch die Grenzflache, also EL = E =D/(εrε0) = 0,9 kV/m. b) Die Normalkomponente der Flussdichte tritt stetig durch die Grenzflache:

D = DL = ε0 EL, d. h. EL = D/ε0 = 452 kV/m. c) EL = 3εr E0/(εrL + 2εr) = 3D/[ε0(1 + 2εr)] =1,35 kV/m.

502 Beim Ubertritt der Feldlinien von einem Dielektrikum in ein anderes werden sie an der gemeinsa-

men Grenzflache nach dem Gesetz tanα1/ tanα2 = εr1/εr2 gebrochen. Mit εr1 = 36 und εr2 = 1 (Luft)

folgt daraus fur α2 ≤ 10◦ der Einfallswinkel α1 ≤ 81◦.

503 ε = 2

1/ε1 + 1/ε2

= 2ε1ε2

ε1 + ε2

(harmonisches Mittel).

504 We = (1/2)εrε0 E2Ad: We1 = 39,9 mJ; We2 = 0,8 mJ; We = 40,7 mJ; we = 23,3 J/m3.

505 Q0 = 2,21 nC, Q = εr Q0 = 15,5 nC, d. h. 1Q = 13,3 nC (= Große der durch Polarisation

erzeugten freien Oberflachenladungen QP; vgl. Aufgabe 500).

506 σK = D = εrε0 E = 1,77 · 10−5 C/m2; σD = P = χeε0 E = 1,06 · 10−5 C/m2.

507 a) Aus Q = C1U1 folgt U1 = Q/C1 = 220 V und E1 = U1/d1 = 22 kV/m. b) Die Kapa-

zitat eines leeren Plattenkondensators berechnet sich allgemein zu C = ε0 A/d (A Plattenflache). Es ist

C2/C1 = d1/d2, C2 = (d1/d2)C1 = 50 pF, U2 = Q/C2 = 440 V und E2 = U2/d2 = 22 kV/m = E1.

Die Feldstarke bleibt also bei konstanter Aufladung des Kondensators konstant (wegen der gleich blei-

benden Flussdichte D = Q/A = ε0 E).

508 a) Die Kapazitat erhoht sich um den Faktor εr auf C = εrC0 = 220 pF. Die Ladung bleibt erhalten:

Q = Q0 = C0U0 = 1,76 · 10−8 A s = 17,6 nC. Wegen Q = CU = C0U0 wird U = (C0/C)U0 =U0/εr = 80 V und somit W = QU/2 = Q0U0/(2εr) = W0/εr = 7,04 · 10−7 W s = 704 nJ. Spannung

und Energieinhalt fallen also auf den εr-ten Teil ab. b) Jetzt ist ebenfalls C = εrC0 = 220 pF. Die

Spannung bleibt erhalten: U = U0. Damit wird Q = CU = εr Q0 = 4,84 · 10−8 A s = 48,4 nC und

W = QU/2 = εr Q0U0/2 = εrW0 = 5,324 · 10−6 W s = 5,324 mJ. Ladung und Energieinhalt steigen

also auf das εr-fache.

509 Bei einer angenommenen Vergroßerung des Abstandes der Kondensatorplatten von x auf x +dx muss gegen die Kraft F , mit der sich die Platten anziehen, die Arbeit dW = −F dx verrichtet

werden. Diese ist fur U = const gleich der Anderung der im Kondensator gespeicherten elektrischen

Feldenergie dWe = (1/2)U 2 dC , wobei wegen C(x) = ε0 A/x , dC/dx = −ε0 A/x2 folgt: dWe =−[ε0 AU 2/(2x2)] dx . Aus dW = dWe ergibt sich mit den Zahlenwerten

F = ε0 AU 2

2x2= 15 · 10−3 N = 15 mN.

Damit erhalt man als Zugspannung σ = F/A = 0,1 N/m2 = 0,1 Pa.

510 a) Die Kapazitat eines Korpers, der durch die Ladung Q auf die Spannung U aufgeladen wird,

ist C = Q/U . Dabei ist U in unserem Fall die Potenzialdifferenz zwischen der Kugeloberflache, dem

230 ELEKTRISCHES FELD

Sitz der Ladung, und Unendlich: U = ϕ(R) − ϕ(∞) mit ϕ(r) = Q/(4πε0r), vgl. Aufgabe 473, und

ϕ(∞) = 0. Es ist also U = Q/(4πε0 R) = Q/C und somit die Kapazitat der Kugel C = 4πε0 R =5,56 · 10−12 F = 5,56 pF. b) Die erforderliche Flachenladungsdichte auf der Kugeloberflache A betragt

σ = Q

A= CU

4πR2= ε0U

R= 1,77 · 10−6 C/m2.

511 Die Feldstarke an der Kugeloberflache E = Q/(4πε0 R2), vgl. Aufgabe 473, darf die Durch-

schlagsfeldstarke ED nicht uberschreiten. Es muss also gelten E < ED, d. h. mit C = 4πε0 R als

Kapazitat der Kugel:

Q

4πε0 R2= CU

4πε0 R2= U

R< ED

oder U < ED R = 200 kV.

512 a) Die Potenzialdifferenz zwischen Innen- und Außenleiter betragt

U = ϕ(a)− ϕ(b) = − Q

2πε0εrl(ln a − ln b) = Q

2πε0εrlln

b

a.

Wegen U = Q/C ergibt sich C = 2πε0εrl/ ln(b/a). b) Aus den gegebenen Zahlenwerten folgt der

Kapazitatsbelag C ′ = C/ l = 67,4 pF/m.

513 Die Feldstarke eines zylindersymmetrischen Feldes (geladener Draht im Dielektrikum) im Ab-

stand r von der Zylinderachse betragt E(r) = Q/(2πε0εrlr), vgl. Aufgabe 492. Mit Q = CU und

C ′ = C/ l = 2πε0εr/ ln(b/a), s. Aufgabe 512, folgt

E(r) = U

r ln(b/a)= 135,7 kV/m.

514 An beiden Kondensatoren liegt die gleiche Spannung U , daher ist Q1 = C1U = 2,4·10−8 C =24 nC und Q2 = C2U = 7,2 · 10−8 C = 72 nC. Somit ist die Gesamtladung der Parallelschaltung

Q = Q1 + Q2 = 96 nC. b) Die Gesamtkapazitat betragt C = C1 + C2 = 800 pF.

515 a) Die Gesamtkapazitat C der Reihenschaltung berechnet sich nach

1

C= 1

C1

+ 1

C2

bzw. C = C1C2

C1 + C2

= 0,75 mF.

b) Es ist Q = CU = 1,8 · 10−5 C = 18 mC. Die Ladung ist also auf jedem Kondensator 18 mC; denn die

”inneren“ Platten laden sich durch Influenz auf, sodass beide Kondensatoren jeweils die gleiche Ladung

tragen. c) An den Kondensatoren liegen die Spannungen U1 = Q/C1 = 18 V und U2 = Q/C2 =6 V. d) Es ist W = QU/2 = 2,16 · 10−4 J = 216 mJ. e) Die Gesamtkapazitat bei Parallelschaltung

ist C = C1 + C2 = 4 mF und die Gesamtladung bei gleichpoliger Schaltung gleich 2Q, somit also

die Gesamtspannung U = 2Q/C = 9 V. Bei gegenpoliger Parallelschaltung kompensieren sich die

Ladungen; somit wird U = 0.

516 1 mV.

517 Die Dicke einer Wickelwindung ist s = 2dP + 2dM. Mit V = As folgt C = 2εrε0 A/dP =εrε0V/[dP(dP + dM)] = 47 nF.

518 a) C = 1,67 pF; b) C = 710 mF.

519 Q = 4πε0 R1U1 = 4πε0 R2U2; U2 = U1(R1/R2) = 400 kV.

520 U = Q

4πε0

(

1

R1

− 1

R2

)

= Q

C; C = 4πε0 R1 R2

R2 − R1

≈ 1 pF.

521 Q = Q2 − Q1 = (C2 − C1)U0 = 330 mC. Mit C = C1 + C2 wird U = Q/C = 66 V.

522 a) 40 pF; b) 1,5 kV; c) 60 nC; d) 45 mJ.

523 a) 500 mC, 83,3 V; b) 167 mC, 333 mC; c) 20,8 mJ; d) 22,5 mJ.

Einfacher Stromkreis. Ohmsches Gesetz 231

524 Zwischen den Eckpunkten AB liegen parallel geschaltet die Kapazitat C1 und die Ersatzkapazitat

Ce, welche sich aus der Reihenschaltung von C2, C3 und C4 nach 1/Ce = (1/C2) + (1/C3) + (1/C4)

berechnet. Mit Ce = 1 mF wird CAB = C1 + Ce = 1,75 mF. Analog erhalt man CAD = 2,92 mF;

CBC = 3,5 mF und CCD = 4,48 mF. Als Parallelschaltung der Reihen aus C1 und C2 sowie C3 und C4

erhalt man CAC = 2,1 mF und analog dazu CBD = 2,29 mF.

525 Es ist U = UAC = ϕC − ϕA = 20 V mit ϕC = 20 V und ϕA = 0. Fur die Reihenschaltung von C1

und C2 mit C12 = C1C2/(C1 + C2) = 0,6 mF folgt (s. Aufgabe 515) Q12 = C12U = 12 mC und damit

U1 = Q12/C1 = ϕB −ϕA = 16 V und U2 = ϕC −ϕB = 4 V. Analog erhalt man aus der Reihenschaltung

von C3 und C4: U3 = ϕD − ϕC = −7,5 V und U4 = ϕA − ϕD = −12,5 V (jeweils negativ wegen∑

Ui = 0). Damit wird ϕB = 16 V, ϕD = 12,5 V, also |UBD| = |ϕD − ϕB| = 3,5 V.

526 Der Innenwiderstand Ri des Elements liegt mit dem außeren Widerstand (Lastwiderstand) Ra

des ubrigen Stromkreises in Reihe und bewirkt am Element einen”inneren“ Spannungsabfall I Ri, um

welchen – abhangig von der Stromstarke I – die Klemmenspannung UK des Elements gegenuber seiner

Urspannung (EMK) U0 verringert ist:

UK = U0 − I Ri = I Ra.

Fur Ra = n Ri folgt I Ri = U0/(n + 1) und damit UK/U0 = n/(n + 1). Man erhalt also a) 9,1%, b) 50%,

c) 91%.

527 Es ist (vgl. Aufgabe 526)

UK = U0 − I Ri = I Ra; I = U0

Ri + Ra

.

a) Im Leerlauf ist I = 0 und somit UK = U0. b) Bei Kurzschluss ist Ra = 0, d. h. UK = 0; die

Klemmenspannung bricht zusammen, und es fließt der Kurzschlussstrom I = U0/Ri = 420 A. c) Mit

Ra = R1 wird I = 63 A, UK = 10,7 V. d) Mit Ra = R2 folgt I = 6,21 A und UK = 12,4 V.

528 Aus UK1 = U0 − I1 Ri und UK2 = U0 − I2 Ri folgt Ri = (UK1 − UK2)/(I2 − I1) = 0,6� und

U0 = UK1 + I1 Ri = 48 V.

529 a) Bei Reihenschaltung der Elemente addieren sich deren Urspannungen und inneren Widerstande,

sodass gilt

2(U0 − I1 Ri) = I1 Ra, I1 = 2U0

2Ri + Ra

= 2U0/Ri

2 + (Ra/Ri).

b) Bei Parallelschaltung bleibt die Urspannung U0 erhalten, der Innenwiderstand wird halbiert; es gilt

also

U0 − I2 Ri/2 = I2 Ra, I2 = 2U0

Ri + 2Ra

= 2U0/Ri

1 + 2(Ra/Ri).

Daraus folgt: Fur Ra = Ri ist I1 = I2, d. h., die Stromstarken sind bei Reihen- und Parallelschaltung der

Elemente gleich. Fur Ra > Ri ist I1 > I2, fur Ra < Ri ist I1 < I2. – Anmerkung: Bei Parallelschaltung

von Spannungsquellen ist Vorsicht geboten. Stimmen ihre Urspannungen nicht genau uberein, fließt zwi-

schen den Spannungsquellen ein standiger Querstrom, sodass sich die eine Spannungsquelle auf Kosten

der anderen entladt.

530 Mit Ra1 = 3,2 �, I1 = 3,7 A und Ra2 = 1,6� folgt Ri = (U0/I1) − Ra1 = 43 m� und damit

I2 = U0/(Ri + Ra2) = 7,3 A.

531 R = 1,4 k�. 532 61 m�.

533 a) Ri = 0,2�. b) Der maximale Strom ist der Kurzschlussstrom IK = 75 A.

534 a) 5 A; b) 12 V, 60 V; c) 72 V; d) 75 V. 535 a) 16�; b) 12,3 V.

536 UK = U0 − I Ri; U0 = 1,52 V; Ri = 0,77 �.

537 Der Innenwiderstand einer Batterie betragt Ri = U0/IK = 0,3 �. Bei Reihenschaltung der Batte-

rien ist die gemeinsame Urspannung 2U0 = 9,6 V und der gemeinsame Innenwiderstand 2Ri = 0,6�,