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PLAN DE COURS
Titre du cours : Calcul différentiel
Préalables : aucun
Programme : Sciences de la nature
Professeur : Jacques R. Paradis
Bureau : E-232
Numéro du cours : 201-NYA-05
Pondération : 3-2-3
Session : Hiver 2012
Groupe : 0001
Téléphone : 418-659-6600, poste 5950
Courriel : [email protected]
Site du cours : http://www.cegep-ste-foy.qc.ca/freesite/index.php?id=38321
N.B. L’emploi de termes génériques masculins a simplement pour but d’alléger le texte.
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1. THÉMATIQUE GÉNÉRALE DU COURS
Le calcul différentiel constitue un élément de base du langage mathématique utilisé
dans différents domaines de la connaissance, spécialement en sciences. Le cours
Calcul différentiel permet à l’étudiant de bien saisir la notion de dérivée et d’avoir une
bonne vision de son champ d’application. Ce cours est le premier cours de
mathématiques du programme de Sciences de la nature. Il est un préalable absolu au
deuxième cours de mathématiques (Calcul intégral 201-NYB-05), au 2e cours en
physique (Électricité et magnétisme 203-NYB-05) et au cours de programmation
(Programmation en sciences 360-FYA-04).
La compétence développée dans le cours Calcul différentiel sera mobilisée dans le
cours Calcul intégral et, éventuellement, dans les cours au choix Statistiques et Calcul
avancé, et dans l’activité d’intégration en mathématiques. Pour les autres disciplines,
cette compétence pourra être mobilisée dans les cours Mécanique, Électricité et
magnétisme, Ondes et physique moderne, Chimie générale, Chimie des solutions,
Évolution et diversité et, s’il y a lieu, dans l’activité d’intégration multidisciplinaire.
D’une façon générale, ce cours vise à :
• Intégrer de nouveaux savoirs aux précédents.
• Développer les capacités d’analyse et de synthèse.
• Développer la capacité d’abstraction en faisant ressortir qu’une même structure
mathématique peut se retrouver dans différents contextes.
• Développer la capacité de produire des solutions claires et rigoureuses, notamment
en utilisant correctement le langage mathématique ainsi qu’en soignant la
présentation et le français.
• Développer l’aptitude à résoudre des problèmes concrets, c’est-à-dire s’attarder à
lire un énoncé, l’analyser, le comprendre, le transcrire mathématiquement, le
solutionner et l’interpréter.
2. COMPÉTENCE ET ÉLÉMENTS DE LA COMPÉTENCE
Compétence
Appliquer les méthodes du calcul différentiel à l’étude des fonctions et à la
résolution de problèmes.
Éléments de la compétence
• Reconnaître et décrire les caractéristiques d’une fonction représentée sous forme
graphique ou sous forme d’expression symbolique.
• Déterminer si une fonction a une limite, est continue, est dérivable, en un point et
sur un intervalle.
• Appliquer les règles et les techniques de dérivation.
• Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d’une
fonction et tracer son graphique.
• Résoudre des problèmes d’optimisation et de taux de variation.
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3. CRITÈRES DE PERFORMANCE, HABILETÉS À DÉVELOPPER ET
CONTENUS OU SAVOIRS ESSENTIELS EN LIEN AVEC LES ÉLÉMENTS
DE LA COMPÉTENCE
Élément 1 : Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme
d'expression symbolique ou sous forme graphique
Critères de performance Habiletés à développer Contenus ou savoir essentiels
Utilisation appropriée des
concepts
Utilisation d'une terminologie
appropriée
Reconnaître les caractéristiques
d'une fonction présentée sous
forme graphique et, pour des cas
simples, sous forme d'expression
symbolique.
Fonctions : algébriques,
exponentielles, logarithmiques,
trigonométriques et
trigonométriques inverses.
Caractéristiques d'une fonction
présentée sous forme d'expression
symbolique: domaine, zéros,
signe et ordonnée à l'origine.
Caractéristiques d'une fonction
présentée sous forme graphique:
domaine, zéros, signe, ordonnée à
l'origine, croissance,
décroissance, concavité,
extremums relatifs et absolus,
asymptotes, discontinuités.
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Élément 2 : Déterminer si une fonction a une limite, est continue, est dérivable, en un point et sur
un intervalle
Critères de performance Habiletés à développer Contenus ou savoir essentiels
Utilisation appropriée des
concepts
Manipulations algébriques
conformes aux règles
Exactitude des calculs
Interprétation juste des résultats
Justification des étapes de la
résolution de problèmes
Utilisation d'une terminologie
appropriée
Estimer une limite graphiquement
et numériquement.
Appliquer le théorème
d’existence d’une limite.
Utiliser les propriétés des limites.
Calculer une limite
algébriquement.
Établir un lien entre le calcul
d’une limite et sa représentation
graphique.
Déterminer la continuité d'une
fonction en un point et sur un
intervalle.
Identifier graphiquement et
algébriquement les endroits
possibles de discontinuité d’une
fonction.
Déterminer la dérivée d’une
fonction en un point à l’aide de la
définition de la dérivée en un
point.
Déterminer la fonction dérivée à
l’aide de la définition de la
fonction dérivée.
Interpréter graphiquement la
définition de la dérivée en un
point.
Identifier graphiquement et
algébriquement les endroits où
une fonction est non dérivable.
Définition intuitive de la notion
de limite.
Approche intuitive de la limite
(numérique et graphique).
Théorème d’existence d’une
limite.
Les limites d'une fonction en un
point :
- limite à gauche, limite à droite.
Propriétés des limites.
Limites infinies et à l'infini.
Formes indéterminées (0/0, ± ∞/±
∞, ∞-∞).
Définition de la continuité d'une
fonction en un point et sur un
intervalle.
Définition de la dérivée en un
point.
Définition de la fonction dérivée.
Dérivabilité d’une fonction en un
point et sur un intervalle.
Théorème établissant le lien entre
la continuité et la dérivabilité.
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Élément 3 : Appliquer les règles et les techniques de dérivation
Critères de performance Habiletés à développer Contenus ou savoir essentiels
Choix et application correcte des
techniques de dérivation.
Manipulations algébriques
conformes aux règles.
Exactitude des calculs.
Utilisation d'une terminologie
appropriée.
Justification des étapes de la
résolution de problèmes.
Reconnaître la nature de la
fonction à dériver :
- dérivation explicite;
- dérivation implicite;
- dérivation logarithmique.
Reconnaître les opérateurs dans
une fonction, en vue d’y associer
la règle de dérivation
correspondante.
Déterminer l’ordre d’application
des règles de dérivation.
Utiliser les règles de dérivation.
Dérivation des sommes, des
produits, des quotients, des
fonctions composées.
Dérivation de fonctions
algébriques et transcendantes
(exponentielles, logarithmiques,
trigonométriques,
trigonométriques inverses).
Dérivation implicite.
Dérivation logarithmique.
Dérivées d'ordre supérieur.
Élément 4 : Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et
tracer son graphique
Critères de performance Habiletés à développer Contenus ou savoir essentiels
Utilisation appropriée des
concepts
Représentation graphique exacte
d'une fonction
Choix et application correcte des
techniques de dérivation
Manipulations algébriques
conformes aux règles
Exactitude des calculs
Interprétation juste des résultats
Justification des étapes de la
résolution de problèmes
Utilisation d'une terminologie
appropriée
Déterminer le domaine de la
fonction.
À l’aide de la notion de limite,
déterminer les asymptotes d’une
fonction, s’il y a lieu.
À l’aide des dérivées première et
seconde, trouver les extremums,
les points d’inflexion et les
intervalles de croissance et de
concavité de la fonction.
Tracer la courbe représentant la
fonction.
Domaine d’une fonction.
Asymptotes d’une fonction :
- verticale;
- horizontale;
- oblique.
Croissance et décroissance.
Maximums et minimums relatifs
et absolus.
Concavité.
Points d'inflexion.
Tracé de courbes.
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Élément 5 : Résoudre des problèmes d'optimisation et de taux de variation
Critères de performance Habiletés à développer Contenus ou savoir essentiels
Utilisation appropriée des
concepts
Représentation d'une situation
sous forme de fonction
Choix et application correcte
des techniques de dérivation
Manipulations algébriques
conformes aux règles
Exactitude des calculs
Interprétation juste des résultats
Justification des étapes de la
résolution de problèmes
Utilisation d'une terminologie
appropriée
Calculer un taux de variation
moyen.
Appliquer la notion de dérivée pour
calculer un taux de variation
instantané.
_____________________________
Pour un problème de taux de
variation liés.
Mathématiser le problème : - Illustrer le problème, s’il y a lieu;
- Identifier et nommer les variables;
- Déterminer le ou les taux connus et le
taux cherché;
- Établir le lien entre les variables;
- À l’aide de la notion de dérivée, établir
le lien entre les taux.
Calculer le taux cherché en tenant
compte des données particulières du
problème.
Interpréter le résultat obtenu selon
le contexte du problème.
_____________________________
Pour un problème d'optimisation.
Mathématiser le problème : - Illustrer le problème, s’il y a lieu;
- Identifier et nommer les variables;
- Établir le lien entre les variables;
- Exprimer la quantité à optimiser en une
fonction d’une seule variable et trouver
son domaine.
À l’aide des dérivées première et
seconde, trouver l’extremum absolu
de la fonction.
Interpréter le résultat obtenu selon
le contexte du problème.
Taux de variation moyens (pente
de sécante).
Taux de variation instantanés
(pente de tangente).
Taux de variation liés.
Extremums absolus.
Test de la dérivée première et
test de la dérivée seconde.
Problèmes d’optimisation.
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4. MÉTHODES PÉDAGOGIQUES
Forme générale du cours
En général, les cours suivront la séquence suivante : au début du cours, une courte
période permettra, au besoin, de faire un retour sur la dernière rencontre en répondant
aux questions des étudiants qui concernent soit la théorie, soit les exercices proposés.
L’enseignant pourrait aussi faire une brève synthèse sur la matière vue lors des cours
précédents. Ensuite, une nouvelle matière sera présentée de façon magistrale en
utilisant des présentations PowerPoint. Généralement, le professeur distribuera les
photocopies de ces documents aux étudiants. Au cours de l’exposé magistral, des
exemples seront apportés par l’enseignant et des exercices seront complétés par les
étudiants. Les périodes d’exercices ne sont pas fixées à l'avance dans l'horaire. Elles
seront intercalées entre les exposés théoriques et seront de durée variable.
À chaque rencontre (deux fois par semaine), des exercices seront proposés dans le but
de maîtriser les concepts abordés en classe. Ces travaux ne seront pas contrôlés
systématiquement, ni annotés. Cependant, l’étudiant sera averti que l’on suppose
toujours qu’ils ont été faits et que le suivi du cours nécessite que l’on fasse ces
exercices.
Certaines périodes seront consacrées à des révisions. Ces périodes de révision sont des
moments privilégiés pour faire un retour sur diverses notions, pour corriger certaines
erreurs, pour dépanner l’étudiant, pour effectuer des liens entre les diverses parties du
cours.
Au cours de la session, certaines périodes seront consacrées à la résolution de tâches
contextualisées et à l’utilisation du logiciel Maple. Le professeur expliquera en détail
le travail à accomplir une semaine avant les périodes prévues à cette fin.
Participation
Les professeurs du département de mathématiques considèrent que la présence (de
corps et d’esprit) de leurs étudiants à toutes les heures de cours est essentielle.
L’étudiant qui s’absente au-delà d’une proportion d’heures de 15 % du cours
(11,25 heures pour ce cours) est passible d’un échec. Il appartient à chacun et
chacune de pallier aux inconvénients causés par une absence ou un retard à un cours
donné. La méthode d’enseignement utilisée dans ce cours s’appuie sur la
participation de tous et chacun à chaque heure de classe. Le professeur incite donc
chaque étudiant à utiliser de manière optimale toutes les heures en classe avec toutes
ses ressources disponibles.
Règlement No 5 du cégep : Toute utilisation d’un ordinateur portable, de matériel
électronique (par exemple : téléphone cellulaire, lecteur de disque, mp3) est interdite
dans les locaux d’enseignement et sur les lieux de stages sans l’autorisation du
professeur ou du responsable de l’activité.
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5. ACTIVITÉS D’ÉVALUATION ET ÉCHÉANCIER
A) ÉVALUATION FORMATIVE
Trois fois durant la session, les étudiants seront invités à travailler en équipe pour
accomplir une tâche dite « complexe ». Une telle tâche supposera la mobilisation de
plusieurs ressources, tout particulièrement celles acquises lors des activités
d’apprentissage qui la précèdent. Elle sera suffisamment élaborée pour avoir un
caractère intégrateur et être d’un niveau d’exigence correspondant à la préparation
d’études collégiales. Elle permettra aussi aux étudiants, dans un contexte d’évaluation
formative, de démontrer leur niveau d’atteinte de la compétence du cours. Ces travaux
en équipe d’au plus quatre étudiants compteront pour 9 % de la note finale.
Bien faire les exercices suggérés dans le volume obligatoire constitue un premier
pas pour la réussite de ce cours et permet de prendre connaissance de ses
progrès, en particulier lors des exercices corrigés par le professeur.
B) ÉVALUATION SOMMATIVE
Étape 1 Étape 2 Étape 3 Totaux
Partie 1 Partie 2
Épreuve formative 3 % 3 % 3 % 9 %
Travail Maple 2 % 1 % 1 % 4 %
Examens 20 % Ex 2 : 12% Ex 3 : 23% 32 % 87 %
Totaux 25 % 39 % 36 % 100 %
Chapitres anticipés Date approximative
Examen 1 1 à 3.3 5e semaine
Examen 2 4.1 à 5.1 7e semaine
Examen 3 5.2, 8.1 à 8.3, 9.1, 9.2, 10.1 à 10.3 11e semaine
Examen 4 6.1 à 6.5 et 7.1 15e semaine
Épreuve terminale 16e semaine
Examens (87 %)
Les dates exactes seront données au moins une semaine avant chaque
évaluation.
La matière exacte sera précisée au moins une semaine avant chaque évaluation.
La durée des examens sera d’un maximum de trois heures
Les calculatrices programmables, graphiques ainsi que celles pouvant
conserver des données en mémoire ne sont pas permises lors des
évaluations.
Si une évaluation ne peut pas avoir lieu à la date prévue (tempête, grève, panne
d’électricité,...), le professeur communiquera avec les étudiants par le biais
d’Omnivox pour indiquer la nouvelle date d’évaluation.
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Les apprentissages reliés aux notions vues en classe, même si absentes du
volume utilisé sont sujets à évaluation.
Un étudiant qui pour une raison majeure (maladie, mortalité…) est absent à
une évaluation doit informer le professeur en lui laissant un message
téléphonique ou un message avec MIO. Il doit laisser son nom, son numéro de
groupe et la raison de l'absence aussitôt que possible. Il doit, dans les plus brefs
délais, prendre contact avec son professeur pour régulariser sa situation et
présenter une preuve de son absence (billet du médecin, par exemple). Dans le
cas d’une absence motivée, l’étudiant devra faire un examen compensateur.
Dans le cas où l’absence n’est pas motivée, l’étudiant obtiendra la note zéro.
Correction et notes
Après chacun des deux premiers examens, le professeur remettra à l’étudiant sa copie
d’examen corrigée et notée, dans les meilleurs délais. À partir du moment où le
professeur remet les copies d’examens à la classe, l’étudiant a jusqu'à la fin de la
période pour noter toute erreur de correction. Si, pour une revendication, il n’y a pas
entente avec le professeur et que l’étudiant souhaite que sa situation soit soumise au
comité de révision de notes à la fin de la session, il devra lui en faire mention afin que
ce dernier l’indique par écrit sur sa copie. L’étudiant devra remettre sa copie à la
fin du cours où il l’a reçue. Après le dernier examen, le professeur conserve la copie
corrigée et informe l’étudiant de la note accordée par le biais d’Omnivox.
Travail Maple et épreuves formatives (13 %)
Une journée ouvrable de retard entraînera une pénalité de 5%. Au-delà
de ce délai, le travail est refusé et la note «0» est attribuée.
Les évaluations formatives seront faites en salle de classe et seront à remettre à
la fin de la période prévue.
Les dates des évaluations formatives seront mentionnées à l’avance. Une
absence à l’une de ces périodes entraînera automatiquement la note «0».
CRITÈRES DE PERFORMANCE
Les évaluations seront faites à partir des critères suivants :
• Utilisation appropriée des concepts ;
• Représentation d’une situation sous forme de fonction ;
• Représentation graphique exacte d’une fonction ;
• Choix et application correcte des techniques de dérivation ;
• Manipulations algébriques conformes aux règles ;
• Exactitude des calculs ;
• Interprétation juste des résultats ;
• Justification des étapes de la résolution de problèmes ;
• Utilisation d’une terminologie appropriée.
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6. DISPONIBILITÉ
Le professeur indiquera dès la première semaine ses heures de disponibilité pour des
consultations individuelles à son bureau. Si ces heures ne conviennent pas à l’étudiant,
à cause d’un conflit avec son horaire de cours, il sera possible de prendre des
arrangements particuliers. Pour se faire expliquer une notion mathématique moins
bien comprise ou un problème qu’on ne réussit pas à résoudre, pour discuter de ses
difficultés en mathématique ou de sa méthode de travail, rien ne vaut une rencontre
avec son professeur.
7. MÉDIAGRAPHIE
Volume obligatoire (en vente à la coopérative étudiante):
CHARRON, Gilles et PARENT, Pierre. Calcul différentiel, 6e édition, Beauchemin –
Chenelière Éducation, 2007
Entente obligatoire (en vente à la coopérative étudiante):
Numéro de l’entente : 201-E-44
Volumes de référence
BRUNELLE, Éric et DÉSAUTELS, Marc-André. Calcul différentiel, Les
éditions CEC, Québec, 2011.
HAMEL, Josée et AMYOTTE, Luc. Calcul différentiel, ERPI, 2007.
8. POLITIQUE D’ÉVALUATION DES APPRENTISSAGES DU DÉPARTEMENT
DE MATHÉMATIQUES (SECTION 5 DES STATUTS ET RÈGLEMENTS)
5. POLITIQUE D’ÉVALUATION DES APPRENTISSAGES DU DÉPARTEMENT DE
MATHÉMATIQUES
5.1 Généralités
5.1.1 La présente politique a pour but d’évaluer objectivement et équitablement les
étudiants du Cégep inscrits à des cours de mathématiques.
5.1.2 Cette politique se veut en conformité avec la Politique d’Évaluation des
Apprentissages du Cégep (P.E.A.). En cas d’ambiguïté, la Politique
d’Évaluation des Apprentissages du Cégep a préséance.
5.2 Évaluations
5.2.1 Pour chacun des cours de mathématiques, le ou les professeurs concernés
établissent le mode d’évaluation prévu pour ce cours et ceci est consigné dans
le plan de cours remis au département au début de la session.
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5.2.2 Le professeur explique aux étudiants, dès le début de la session, le mode
d’évaluation prévu pour le cours.
5.2.3 Si un étudiant est absent lors d’un travail à compléter en classe, il se verra
accorder la note de 0 pour ce travail.
5.2.4 Si un étudiant n’est pas en mesure de remettre un travail à temps, la politique
du collège sur la remise des travaux s’applique (P.E.A. article 6.1.12).
5.2.5 Si un étudiant ne se présente pas à un examen pour une raison sérieuse, un
examen compensateur peut lui être accordé. Un examen compensateur est un
simple déplacement dans le temps.
5.2.6 Pour tenir compte de certaines situations exceptionnelles, le professeur peut
modifier le mode d’évaluation prévu au cours ou prévoir une activité
d’évaluation complémentaire.
5.2.7 L’étudiant a la responsabilité d’utiliser les moyens mis à sa disposition pour
faire valoir ses droits s’il se croit lésé dans sa démarche d’apprentissage.
5.3 Notes
5.3.1 La note finale attribuée à un étudiant provient de l’ensemble des résultats
cumulés pour chacun des travaux et examens selon les pondérations prévues au
plan de cours.
5.3.2 Un maximum de 10 % de la note finale peut être accordé pour la participation
au cours et aux activités d’évaluation formative (P.E.A. article 6.1.8).
5.3.3 Dans le calcul de la note finale, tous les résultats partiels de travaux et
d’examens doivent être inclus, c’est-à-dire qu’une note moyenne ou une
proportionnalité quelconque ne peut remplacer un « 0 » attribué pour un
travail ou un examen. Exemple : si un étudiant a fait trois des quatre examens
prévus au mode d’évaluation avec les résultats suivants : 60, 70 et 70, sa note
finale sera .504
0707060
5.3.4 En cas de plagiat ou de fraude, la politique d’évaluation du collège s’applique
(P.E.A. article 6.1.13).
5.3.5 Si l’étudiant désire faire réviser une note, il doit suivre la procédure prévue à
cet effet (P.E.A. article 6.5.1 et 6.5.2).
5.3.6 Les professeurs doivent conserver les copies des examens dont la note a été
contestée en cours de session ainsi que les copies du dernier examen jusqu’à
l’expiration du délai fixé par le Collège pour la révision de notes.
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5.4 Français écrit
5.4.1 Le professeur signale sur les copies les erreurs de langue, notamment en ce qui
concerne l’orthographe d’usage, l’orthographe grammaticale et la construction
de phrase.
5.4.2 Dans les évaluations sommatives, le professeur soustrait 0,5% pour chaque
erreur de langue, jusqu’à concurrence de 10% de la note. (P.E.A. article 6.1.9)
5.5 Présentation des travaux et des examens
5.5.1 Tout travail et tout examen doit être présenté soigneusement (ordre, propreté,
clarté).
5.5.2 Dans tous les travaux et les examens, des solutions complètes et bien présentées
sont exigées.
5.5.3 Dans tous les travaux et les examens, la notation mathématique doit être
respectée.
5.6 Présence aux cours
5.6.1 Les professeurs de mathématiques considèrent essentielle la présence des
étudiants à toutes les heures de cours. L’étudiant a la responsabilité d’assister
aux cours. S’il arrive qu’il s’absente, la responsabilité lui incombe d’obtenir
des autres étudiants toute information donnée durant ce cours.
5.6.2 L’étudiant qui s’absente au-delà d’une proportion d’heures de 15% d’un cours
est passible d’un échec. Lors de l’analyse de la situation, le professeur peut
tenir compte de circonstances particulières pour prendre sa décision. (P.E.A.
article 6.1.11).
______________________________________
Jacques R. Paradis, professeur et coordonnateur
Date : ____________________
