ZEITSCHRIFT FOR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK INGENIEUR.WISSENSC€iAFTLICHE FORSCHUNGSARBEITEN Band 8 Oktober 1928 Hefi 5

In hal t : b

Bette H a u taufsi i tze . J. W. Geckeler : Plastisches

&lckm der Wandung von Hohlzylindern und einige andere Faltungserscheinuugen an Schalen und Blechen . . 341

I<. S c h l a y e r : Ueder’di’e Sta’biiitit he; Kaimbn- scheu WirbelstraBe gegentiber beliebigan StO- rungen in drei Dimensionen . . . . . 353

B. B u s e m a n n : Das Fi)rderh~henverh8linirr ra- dialer Kreiselpnmpen mit logarithmisch-spira- Iigen Schaufeln . . 372

W. Y c h me i d l e r : Mathe&ti&he kheiri; her Wiirmenpeicher . . . . . . . . . . . . 385

A. W. Sotoff : Zur graphisch’en Restimmung der Knotenpunktsverschiebun~eu raumlicher Fach- werke. . . . . . . . . . . . . . . . . 393

M. H e r z b e r g e r : Ueber die Durchrechnung der GrBDen zweiter Ordnuna durch ein ODtiSCheS - Svstem . . . . . : . . . 396

S t . B a r g m a n n : Ueder’di’eBerec~nMgder Tem- peraturverteilung im Rotor einer Dynamo- maschine . . . . . . . . . . . . . . . 402

K l e i n e M i t t e i l u n gen. Me i s e l : Zur Ermittlung der theoretiRchen Laistuug vou Turbomaschi- nen. - S t e i n h a u s : Uaber die A proximation konvexer vermittels linearor Buu&tionen . .

M o h r : Abhandlungen aus dem Gebiete der Techniechen Mrchauik. - Cool idge : Eiufflhrung in die Wahrschefn- lichkeirsrechnuug. - A. F a a p l j- u. L. FBppl: Drang und Zwang. - H e l l i n g e r und T o e p - 1 i t z: Int~gralgleichungan und Gleichungen mit uuendlich vielen Unbekannten. - L i e t z - mann: Ueber die Beurteilutig der Leicitungen in der Schule. - W e r k m e i s t e r : Eiufllhrung in die Ausgleichsrechuungeu nach der Methode der kleinsten Quadrate. - GauB: Bestimmung der Anziehung eines elliptischen Ringes. - Weiter eingegangene BUcher . . . . . . .

N a c h r i c h t e n . . . . . . . . . . . . . . Z n s c h r i f t e n an d e n H e r a u s g e b e r . . . .

B uc h b e 8 p r e c h ungen.

Selte

413

415 417 419

HAUPTAUFSATZE .

Plastisches Knicken der Wandung von Hohlzylindern und einige andere Falfungserscheinungen

an Schalen und Blechen.’) Von J. W. GECKELER In Jena.

1. &debn$. Ein Hohlzylinder, auf dessen Endquerschnitte gleichmtidig vertetlte Dmckkrllfte in Richtung der Mantellinien wirken, ist im allgemeinen einer eweifsohen Kniok- gefahr auegesetzt. Wenn er hinreichend lang ist im Verbllllnis zu den Qaersahnitts- abmeesungen, und die Last ein gewiesee Mad abersteigt, biegt er a18 Stab in e inem Bogen am. Die Knickiget wird in diesem Falle, solern sie noch in deb Bereich der vollkommenen Elastiaitllt fLllt, durch die E ulersche Formel angegeben. Unter anderen Verhtiltnissen, ntimlich bei kurzeren und dunnwandigen Zylindern, iet aber noch ein gllnzlich anderer Vorgang moglich, der ebenfalls EU den Knickerecheinangen zBhlt, nnd darin besteht, da l sioh bei geradlinig bleibender Achse in der Zylinderwandong ringsum laufende Wulste oder Falten bilden, was bei Fortdauer der Belastung ebenfalls zum Zu- sammenbruch fiihrt (Abb. 1). Dieser Knicktall wurde 1908 vou El. Lorenz%) und von s. Timoschenko 3, erstmals theoretisch untereucht ’).

EE lohnt aich au8 verschiedenen Grunden diems Problem noohmale autzugreifen : 1. sind in den genannten Arbeiten Randbedingungen vorausgesetzt, die praktisch niaht, oder allenfalls nur mit komplizierten Anordnungen an verwirkliahen sind und daher zu Ergebnissen fiihren, die in den gewtihnlichen Fallen rnit der Beobachtung nicht iiber- einstimmen, 2. ist 88 wunsohenswert die Untersuchung a d das Qebiet bleibender Form- llndernngen ausaudehnen, weil aus Griinden, die spllter leicht einznsehen sind, gerade

l) Vortrag, gehalten gelegentlich der Werkstoffschau, in der Qesellschaft f. angew. MathemStik

a) R. L o r e n e , Zeitschr. des VDI, Bd. 52 (19081, 8. 1706. a) S. T i m o s c h e n k o , Mitt. der Techn. Hochschule eu Kiew, 1907108; Zeltsohr. fllr Math. u.

Phys., Bd. 58 (1910), S. 337. 4, Aut das nicht achsensymmetrische Eniokea, bei dem die Quersehnitte nicht Kreise bleiben,

sondern zu Vielecken ausknicken, sol1 hier vorerat nicht eingegangen werden. Eine Untersnchung dieses Falles hat &enfalls R. L o r e n e gegeben (Physik. Zeitsohr., 12. Jahrg. (19111, 8. 247.

und Mechanik in Berlin, a m 28. Oktober 1927.

23

Ztschr. f. angew. 342 Ueckeler, Plastiaches Knicken der Wandung von Hohlzylindern Math.undMech.

dieses Qebiet von praktisohem Interesse ist, 3. kann dieser einfache Fall zur Erlluterung einer auoh fur die Untersuohung verwickelterer Kniokvorglnge branohbaren Methode

dienen.

2. Differenfialgleichung fiir dar Knicken eines Rohres im plasiirchen Bereich. Fur die Ableitung der auoh jenseits der Elastizitlltsgrgnze giiltigen Differentialgleichung ist es zweokmlaig, sioh aus der zylindrischen Wandung einen Llngs- streifen von der Breite a d 9 ausgeschnitten zu denken und die Qleichung fur diesen Stab aufzustellen. Auf diesen wirken folgende Lasten:

1. In axialer Richtung der anf diesen Streifen treffende Anteil an der Dmcklast, also T a d y, wenn T der auf die Lllngeneinheit des Querwhnittskreises treffende Betrag ist,

Abb. 1.

8. Auf die Rtlnder kann ein Moment M und eine Querkraft Q wirken. 3. Jede Ausweichung w der Erzeugenden - sie soll positiv gerechnet werden,

wenn sie nach a u h n geht - rnft tangentiale, also Umfangsspannungen hervor. Deren iiber die Wanddicke genommeue Resultante ist auf die Llngeneinheit der Mantellinie

E 8 T ~ E - w .

Diese KrPfte, die man sioh anstelle der weggeschoittenen Zylinderteile llngs des Stabes angebrsoht zu denken hat, haben eine in die RiohtnIig der FlPchennormale fallende Komponente vom Betrag

E 8 T 2 d T = - - w d T . a

Auf die Llngeneinheit der Stabbreite, also auf die FlZioheneinheit des Mantels, trifft dann eine Kralt

(1). E 8 q=- - -w . . . . . . . . . . . as

Sie etellt einen der Ausbiegung proportionalen Widerstand dar, der das Ausbiegen, also das Knioken des Stabee zu hindern suoht. Der Ausdruck - spielt dabei dieselbe

Rolle, wie in der Theorie des Balkens auf elastisoher Unterlage - etwa der Eisenbahn- schwelle - die Bettungszilfer. Er soll hier als Widerstandsziffer S eingefuhrt werden

E 8 aa

5 E6 Ua

@ = - . . . . . : . . . . . . (2).

Das Fehlen oder Vorhandensein eines solohen elastisohen Widerstandes teilt die Knickerscheinungen in zwei wesentlich versohiedene Klassen. Zur ersten Klasse gehoren die elementaren Kniokfllle des geraden und gebogenen Stabes, der ebenen Platte nnd das Knicken soloher Sohalen, bei denen eine Verbiegung ohne Dehnung der Mittelflllcbe moglioh ist. Zur zweiten Klasse gehirren die vorausgehenden Fllle dann, wenn ein ZiuBerer Widerstand stiitzend wirkt, also z. B. der Stab mit elastisoher Querstutzung, sowig das Knioken soloher Schalen, deren geometrische Form und Randbedingungen keine Verbiegung ohne eine wesentliohe Dehnizng der Mittelfllche zulassen. Diem Dehnung ist in der Wirknng einem IluBeren elastischen Widerstand gleichwertig. Wtlhrend bei den Kniokflllen der ersten Klasse die elastisohe Linie oder Fllche im ganzen e i n e n Bogen bildet, besteht das Knioken im zweiten Falle in der Bildung meist zahlreioher Wellen, Falten oder Beulen. Weil die Schale auf diese Weise in mehrere kleinere Bereiche anfgeteilt ersoheint, wird dieser Vorgang auch als mlokales Knicken der Wandunga bezeiohnet I). Alle hier erorterten Flllle geharen dieeer zweiten Klasse an.

Die Differentialgleiohung des in der oben bezeiohneten Weise belasteten Stabes lautet: 5

l) R. Z o e 11 y , Ueber ein Knickungeproblem an der Rngelschale, Promotionsarbeit, ZUrich 19 15.

343 Band 8, Heft 5 Oktober 1928 G eckeler, Plastisches Knioken der Wandung von Hohlzylindern

Dabei ist B die Biegungssteifigkeit, d. h. das Produkt E I aus Elastizitiltmodul und Trtlg- heitsmoment des Stabquerschnitts. Nach zweimaliger Differentiation und Einsetzen des Wertes B w fur q (5) erhtllt man

wo B sich nun auf die Breite 1 bezieht, so daO

d ' w T dq w + - - + J! w = 0 , . . . . . . . . (4), B a r a B

E 8 12 (1 - -a ) ' ar

P = - . B 8 3 B = 1 Der Faktor (Y = Qnernabl, - l /4 ) stellt eine kleine Korrektur dar, die anzubringen

ist, weil der Querkontraktion wegen der Spannungsznstand des Stabee, der sioh im Zu- sammenhang mit den anschlieOenden Zylinderteilen befindet, nicht mehr einaohsig ist.

Bis jetzt war voransgeeetzt, da6 sioh alle Vorgllnge im Bereioh vollkommener Elastizittlt abspielen. Nur unter dieser Voraussetzung gibt die Lijsung der G1. (4) die Vorgtlnge richtig wieder. Fur den geraden Stab haben nun E n g e s s e r ' ) und KBrmBn2) eine uber die ElastizitStsgrenze hinaus giiltige Verallgemeiuerung der E u l er sohen Glei- chung entwiokelt. Diese Methode kann ohne weiteres auoh a d den Bus dem Rohr aus- geschnittenen Elementarstreifen und damit aul diesee selbst angewandt werden. Fur die Anwendung dieser Theorie ist es notwendig, daB fur den betreffenden Stoff das Form- lnderungsgesete iiber die Elaetizittltsgrenze hinaus durch Druokversuohe an Sttlben er- mittelt iet. Vorausgeeetzt wird sodann: 1. dab sich die LtlngenSnderungen der Fasern eines wenig ausgebogenen Stabes aus der Annabme iiber das Ebenbleiben der Quersohnitte geniigend genau berechnen lassen und Z., daO in den Fasern eines solohen Stabee der Zusammenhang zwischen Dehnungen und Spannungen derselbe ist, wie beim einfachen Zug-Druckversuch und zwar sowohl iin elastischen, wie im plastischen Cfebiet. Diese Aunahmen erweisen sioh als gerechtfertigt 3). Abb. 2 zeigt fur einen Querschnitt des Elementar- streifens die Verteilung der durch die Ausbiegung hinzukommenden Dehnungen nnd Spannungen im Angenblick des Auskoickens. Ant der einen, der konkaven, Seite einer sog. neutralen Faser, die aber nicht mehr duroh den Schwerpankt geht, werden die Druck- spannangen infolge des Hinzutretens der Biegung noch weiter erhijht. Dort gilt ein Modul El =- der aus Druckversuohen ermittelt ist. Auf der konvexen Seite findet eine

Entlastung statt, wobei jedoch nur die rein elantisohen Fiirmlnderungen ruckgtlngig gemacht werden. Hierlur gilt ein Modul Ear der nnr wenig von aem gewiihnlicheu

1-Vy'

d a d e '

. Debnuiigen Modul E verschieden ist. - E n g e s s e r und KBrmkn haben unter Zugrunde- . legung einer solchen Spanniingsve&ilung durch einfache Cfleichgewiohtsbetraoh- tungen, die ganz denen der elementaren Biegungstheorie entsprechen, die Diffe- rentialgleichung der elastisohen Link im plastischen Bereich abgeleitet, die sich von der gewijbnlichen f i i r dae elastische Qebiet nor dadurch untorsoheidet, dab an Stelle des Moduls E ein Aasdruck K tritt, der die eben eingefiihrten Griiban El und Es in einer von der Form des Querschnitts abhtlngigen Weise enthtllt. Fur den hier in Be- tracht kommenden rechteokigen Querschnitt ist

Abb. 2.

Dieser sog. Knickmodul ist au! diese Weise eine Finktion der Belastung und nimmt ab, wenn letztere wtlchst. Diese Ueberlegungen bleiben f i r den aus dem Zylinder ausge- schnitten gedachten Llngsstreifen giilttg. Setzt man also in der Dif~erentialgleiohung (4) in dem Ausdruck fur die Biegungssteifigkeit B anetelle von E diesen Modal K ein, also

. . . . . . . . . . . (61, K a3 B = 12 (1 - - Y q

F. E n g e s s e r , Sohweizer. Bauseitg., Bd. 26, 8. 24 (1895). a) Th. v. EArm&n, Dfssert. O(lttlngen, Mitt. Ub. Forschungsarb. a. d. Qab. d. 1ngen.-Wesens,

H. 81 (1910); vergl. aueh W. O e h l e r , Verhandl. des 2. Internat. Kongresses fllr teoh. Mechanik. ZUrIch 1926 (Verl. Orell Fllasli).

E. Meyer , Zeitsch. des VDI., Bd. 52, 9. 167 (1908).

23.

ztschr.f.an ew Geckeler, Plastisches Rnicken der Wandung von Hohlzylindern Mathnnddch: 344

so braucht man bei der Auflosung der Qleichung znnlchst gar keinen Unterschied zu machen, ob es sich um das rein elastische oder das plastische Gebiet handelt. Im ersteren Fall geht R in E iiber. Dagegen dart nicht etwa auch in /? an die Stelle von ER ein- gesetzt werden. Vielmehr kann mit guter Annitherung E iinveriindert stehen bleiben, weil die Umfangsspannungen Ta vor dem Eintritt des Knickens keine hohen Werte an- nehmen uod selbst eine bereits ehgetretene Stauchung in axialer Bichtuog den Dehnungs- modul qner dam nicbt erheblich fndert. Allenfalls miiDte dies dnroh genauere Versuche noch mehr geklrrt und ein verbesserter Dehnungsmodul ermittelt werden.

-~ --

3. LBsung der Differentialgleichung. Dteee lautet : w=c1 etlX+ca etnx+ea e ' 9 ~ + c * e ~ 4 ~ ,

wo t die Wurzeln der Qleichung t4+- t ,+J T = o

B B

Die reelle Form der Losung fur w ist verschieden, j e nachdem

Es wird sich eeigen, da0 dieser Ausdruck den k r i t i s c h e n W e r t fiir die Belastung dar- stellt. Setet man in diesem noch die Werte fur B nnd ein, so erhBlt man dafiir

Das Verhltltnis der augenblicklich aufgebrachten Last zur kritiscben sol1 weiterhin mit' z beeeichnet werden: . Vor dem Erreichen des kritischen Wertes kann man die Losung in der Form schreiben

wo 4, CZ, YI, Ys Integrstionskonstanten, und

Z = T/Tk . . . . . . . . . . . . (9).

w = C l e + e a s i n ( y e + v l ) + C a e - ~ ~ s i n ( y x + t p a ) . . . . (lo),

. . (11).

Wenn T = 0, also z = 0 und damit w verlZluft denn in einer stark geditmpften Sinuslinie. stehen im Verhiiltois en: 1, also etwa !23,14 : 1.

= y, erhitlt man die Formsin fur die reine Biegung. Anfeinanderfolgende Amplituden

Die Wellenltinge ist -

. . . . . (12).

Brin,gt man eine allm&hlich znnehmende Belastung auf, so nimmt die Wellenliinge dabei ab nnd erreicht bei der kritischen Belastung einen im Verbtiltnis 1 : 1% kleineren Wert, niimlich

Der Dhpfungsexponent hat dabei auf Null abgenommen. chen der kritischen Belastung in die Form iibergegangen:

Bei weiterer Steigerung der Last, wenn also a > 1, lautet die Liisung

wo p1 und Cpa die dnrch i dividierten rein imaginiiren Wnreeln (7) sind. Diese Loiungen sind nun den R a n d b e d i n g u n g e n anenpassen. Dabei ist fol-

gendes zu beaohten: Die Druckbelastung ruft infolge der Qnerdehnung eine VergriiDerung des Zylinderdnrchmessere urn den Betrag T a - hervor. Im allgemeinen werden bei

Versnchen in der Festigkeitsmaschine die Druckplatten, bei Konstruktionen die anschliefien- den Konstruktionsteile die R@er ganz oder teilweise daran hindern, dieser Dehnung zu

Die Losnng ist beim Errei-

w = (c1 + ca x) 008 y Ix: -I- (ca + cp z) sin y 2 . . . . . . (14).

w = CI 00s ~1 x + cs sin (PI + cs COB 91 x + c4 sin va x . . . . (1 5 ) ,

T ~8

n

346 Band 8, Heft 5 Oktober 1928

folgen (Abb. 3). Man hat also von Anfang an mit einer Verbiegung an den Rllndern zu reohnen und hat far die Rllnder bei x = O und x = 1 nioht wie in der Lorenasohen

Oeeke ler , Plaatieches Knicken der Wandung von Hohlzylindern

Untersnchung w = 0, eondern w = - d T zu fordern, da w = 0 die unverbogene Mantellinie ist. Auf diesen Umstand hat auoh L. Foppl ') hingewiesen. Solange man der Kniokla'st nioht zu nahe kommt, klingen diese von den Rllndern ausgehenden Ver- biegungssysteme rasoh ab nnd die an einem Ende hervor- gerufenen Spannungen haben keine merkliohe Wirkong ant das andere, wenn der Zylinder nioht allzukurz ist (I> etwa 4,8 Va). Bei oder nahe an der kritisohen Last ist dies jedooh andere. Es zeigte sich, datl in diesem Felle der Diimphgaexponent ganz versohwindet, und wie das Auftreten des Faktors x in der

linders eine aewisse Rolle. Die Rllnder wirken pepenseitia ver- LBsung (14) erkennen Illfit, spielt nunmehr die Lllnge des Zy- Abb. 3.

steifend aufeinander. getrennt zu erfiillen.

die Rohrlllnge ein gerades Vielfaohes der Wellenlllnge

biegt, dargestellt durch

Es ist nioht mehr miiglioh; ;die RaGdbedingungen an beiden Enden

4. Besprechung der Msung. Wenn die Rohrenden nicht eingespannt sind, und naoh 01. (13) ist, wird I. B. die

Form,zu der sioh die Mantellinie unter

2 2v 7r

Diese Kurve ist far I = 8 - und I = 1 6 - in Abb. 4 dargestellt. a Y Y

Wenn die Robrlhge, wie in diesen Beispielen, so groS ist, ds8 sich mehrere Wellen ausbilden BBnnen, kann man mit guter Annlherung als grBDte Answeichung w,, jene ansehen, die zu x = - gehBrt.

Diese ist dann d z

4 Aehnliche Formen ergeben sioh auch fiir andere Verhllltnisse zwischen Wellenlllnge und Rohrlange. Wird an der Stelie htiohster Bean- spruohnng (d. i. immer die dem Rande nllchste Ausbiegung) die Elestlzitlltsgrenze ubersohritten, so geht die Formllndermg an dieser duroh die Ausbiegung geschwllohten Stelle rasoh weiter, wllhrend sioh

erhllt man bei Versuchen in der Festigkeits- maschine zuerst meist nur eine Welle von der typischen, immer naoh aufien gebogenen Form (Abb. 5). Ob diem Welle an beiden Enden, Q

oder nnr an einem,,und an welohem Ende sie ,, dann auftritt, hllngt von Znftllligkeiten des

sz 2 Y

~ , , , , , ~ = - ( ( y I - - n ) . , . . . . (17).

w%zG m%m die ubrigen Wellen wieder zuriiokbilden k8nnen. An! diese Weise Abb. 4.

1 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 W f l 7 2

Abb. 6. Abb. 5.

'1 L. Fappl , Sitzungsber.:d. bryr. Akad. d. Wiss., math.-phyr. El., 1926.

die Ql. (17) bestaligt. Zur Berechnnng der w uber z = 1 hinaus hat man von 01. (15) anszugehen. Eigentlich miifite auch immer beriicksiohtigt werden, daJ3 y und damit 111 fur ein bestimmtes Rohr nicht einen festen Wert hat, sondern Funktion von z ist. Die Vertinderliohkeit ist aber in der NPhe der kritischen Belastung

Abb. 8 gibt j e ein Beispiel fiir die Verformung der Mantel- linien bei beidseitiger und einseitiger fester Einspannung. Im

2 % ersteren Falle ergibt sioh, wenn 1 ein gerades Vielfaohes von +-

L

2tachr.f. angew. Cteck e l e r , Plastisches Knicken der Wandung von Hohlzylindern Math. uud ~~~h 546

Materials und der Form ab. Unter Umstllnden (diinnwandige Rohre, Z = 2n f- -, scblagarfige Belastung) erhillt man aber auoh eine liings des ganzen Robres sichtbare Wellenbildung. Im allgemeinen bleiben die w fur die kritische Last endlioh, nur wcnn die Rohrliinge 1 = (2 72 f 1) ist, ergeben sich nnendlich groBe Werte. Stellt man (immer

fur z = 1) wmkx als Funktion der RohrlLnge dar, so erhZllt man Abb. 6. Zur Kenneeiohnung der Verhllltnisse bei der AnnLberung an die kritische Belastung

ist 8s niitzlicb, die maximale Ausbiegung ah Funktion von z darzustellen. Die Grund- lage liefert 01. (10). Unter Zulaasnng der obigen Vereinfachung fur die Berechnung von urns= erhglt man, wenn 1 = __

___ -

( 3;

Y

2 n m

Y - : (y I - n)

Y a E

l rm,x=dr-*- -e T 2 . . . . . ( i ~ a ) fi=P - .a- J

l + s y (2 n + l ) n

Y nnd wenn I = ___

- 2, (y I - n ) 'I a n ---

wmsx = A r --L- * e y a . . . . . (18b). I - e

1 / 1 - 2 - Q y r

Die beiden Kurven sind fur n = 4 in Abb. 7 dar- gestellt. Die Kurven, die den dazwischen liegenden VerhRltnissen entsprechen, verlaufen in dem Gebiet zwischen beiden. Man sieht, dab die FormLnde- rungen erst 5 bis 15 vH unter der kritischen Be- lastung stark anwachsen. Praktisoh ist auch der Unterschied, ob die Rohrltinge ein gerades oder un- gerades Vielfaohes der Wellenlbge oder ein da- zwischen liegender Wert ist, nicht sehr erheblich. Die 01. (18b) liefert, wie oben schon gesagt fiir z = 1 w =m, 01. (18a) dagegen nimmt zungchst eine unbestimmte Form an, die aber naoh Bereoh- nung des Qrenzwertes

=; ' 1 3 ( y 1 - n) 11 - y q , I - n ) f 5 1 +

' 1 ?zl lTZ(1 - e

die Ql. (17) bestaligt. Zur Berechnnng der w uber z = 1 hinaus hat man von 01. (15) anszugehen. Eigentlich miifite auch immer beriicksiohtigt werden, daJ3 y und damit 111 fur ein bestimmtes Rohr nicht einen festen Wert hat, sondern Funktion von z ist. Die Vertinderliohkeit ist aber in der NPhe der kritischen Belastung nur gering und kann f i i r eine allgemeine Erijrterung auder acht gelassen werden.

Abb. 8 gibt j e ein Beispiel fiir die Verformung der Mantel- linien bei beidseitiger und einseitiger fester Einspannung. Im

2 % ersteren Falle ergibt sioh, wenn 1 ein gerades Vielfaohes von +-

L ist, die Cosinnslinie als Losung, fur 1 = (2 n + 1) - , wie in der

Abbildnng, erhlllt man :

m Y

2 w = - d r [(I - 3 T) cos y3c + - sin 7.1 . (IS).

Im Falle fester Einspannung bleibt immer w < d T , solange T < Tk, daruber hinaus nehmen aber die Formllndernngen eben- tall8 rasch zn.

Y l

a41 Band 6, Heft 5 Oktober 1928

Man erkennt, dafl es sich unter Beobaohtung der hier vorausgesetzten Randbe- dingnngen im Gegensatz zu der Lor en zschen Lijsung nicht eigentlich um ein Stabilitllte- problem bandelt: eine Verzweignng des Qleicbgewichtszustandes kommt an keiner Stelle in Frage, weil die triviale Lasung w = 0 von Anfang an der Randverbiegnng wegen ausgescbloesen ist. Es handelt sich streng genommen urn ein reines Spannungsproblem, lhnlich wie beim Stab mit onsltzlicher Biegungebeanspruchung. Immerhin ist das geflhr- licbe Anwaohsen der Formlnderungen nnd Spannnngen so deutlich anf die nlchste Um- gebung der kritischen Belastung beschrlnkt, dafl es fur die praktisohe Beurteilung der aEnickgehhr* vollstLndig geniigt, den kritischen Wert Tk zu kennen. Allerdings ist dann zu beachten, da8 unter Umsthden der Zusammenbruch schon bei einer nm etwa 10 oder 15 vH geringeren Last eintreten kann.

(feckeler, Plastisches Knicken der Wandung von HohlnyIindern

Die kritische Spannung ist gegeben durch 2

~ (wenn E9,E;) . . . (20). u/zG I s S 8

ok=ljm" I + f E E I

Diese liegt nur dann u n t e r der ElasIizitPtsgrenze, wenn ee sich urn auhordentlich weite dunnwandige Rohre bandelt. Bei Eisen mufl z. B. der Halbmesser mindestens 500mal so groD sein wie die Wanddicke. Dam gehen die Q1. (8) und (20) in die von Lorene und Timoschenko abgeleiteten Werte uber. Praktisch werden aber eolche Rohre kaum verwendet. Bei dick- wandigeren Hohlzylindern gelten dann die allgemeineren Formeln (8) nnd (20), die man etwa In Parallele stellen kann zu der Tetmeyer- sohen Formel fur das unek~tische Knicken des geraden Stabee.

Wie erwlhnt, mufJ der Mo- dnl K ein fiir allemal fur das in Be- tracht kommende Material d s Funk- tion der Spannung ermittelt sein. Legt man 2. B. die Versuche von Kitrm An l) mit Siemens-Martin-Stabl- 6tLben zngrnnde nnd stellt dann die kritische Spannnng als Fnnktion des VerhEtltnisses Bobrdurcbmesser zu Wandstllrke dar, so erhillt man den in Abb. 9 anfgezeichneten Verlauf. Bis zn rib= 500 gilt die L o r e n z - sche Formel, welche sich als Ryperbel darstellt. Im plastischen Qebiet bleibt dann die kritisohe Spannung erheblich hinter dieser Hyperbel zuriick, um erst jenseits der Streckgrenze wieder stLrker anzusteigen. Fur die Praxis miiflte eine solcbe Knrve fiir jeden Werkstoff ein- ma1 anfgezeichnet werden, um dam in jedem Fall ohne weiteres die kritische Spannnng entnehmen zu k6nnen. Stellt

bestimmter Wandstllrke, 2;. B. 1 mm ale d-

so zeigt sich, dafl im elastischen Qebiet die Knicklast vom Dorchrnesser ganz nnabblngig let, dafl jedoch i m plaetisohen Bereich die Knicklast mit dem Durohmesser stark abnimmt und diesem schliefllich mehr and mehr proportional wird, wie es dem einfacben Stanchen entsprioht. Auf diese Weise entsteht ein ganz stetiger Uebergang vom Knicken zum Stauchen.

3 2

man die TragfPhigkeit cines ?OO 200 300 900 500 600 700 800 ,9&7

Funktion des Halbmeesers dar (Abb. lo), Abb. 10.

') Ann. 2, 8. 343 unten.

Ztschr Len w Cfeckeler, PIastiaches Knicken der Wandung von Hohlzylindern Math. ind #ch:

Alle diem Ergebniese werden dnroh Versuche gut bestitigt. Auf ErZirterungen iiber den weiteren Verlau! des Vorgangee (Bil- dung mehrerer Knickwellen nacheinander), uber die Abgrenzung gegen das Eulersche Knicken im plastisohen Bereich usw. sol1 nicht weiter eingegangen werden. ErwBhnt sei nur, da% unschwer anch Zylinder mit nicht kreisf6rmjgem Querschnitt in entsprechender Weise behandelt werden kZinnen. Fur den elliptieohen Zylinder ergtbt sioh z. B., dafl die Breite der Kniokfalte, deren Bildnng an der Stelle geringster Kriimmung zuerst beginnt, ringsum pro- portional rnit der Wurzel aus dem Kihmungsradius verlnderlich ist, was ebenfalls durch den Versuch sehr gut bestatigt wird. Abb. 11 zeigt die Kniokform fiir einen Zylinder mit rechteckigem Querschnitt. Ferner werden dadurch, daB man nur die allgemeinen Begriffe Birgungssteifigkelt, Dehnungseteifigkeit (Ed), Widerstands- ziffer eingefiihrt, auch Zylinder mit komplizierterer Wandkonstruk-

Abb. 11. tion (Netzwerkkonstruktionen, Zylinder aus Wellbleoh, solche mit Versteifungsrippen 11. drrgl.) der Untersuchunng zugllnglich.

5. Faltenbildung an Behatern und Kesseln unter inndrem Ueberdruck. Wie schon einlriteild gesagt, 1P4t sich auf diese einfache Weise nicht nur dieses Kniok- probbm des Zylinders, eondera nooh eine profiere Zahl anderer Aufgaben tiber das Knicken von gewalbten Schalen und ebcnen Blecben Itisen. Man schneidet aus dem auf Stabilitilt

zu untersuchenden Objekt in geeigneter Weise einen Streifen aus, und ersetzt den Widerstand, der der Ver- biegung. solange der Zusammenhang nooh gewahrt irt, aus geometrisohen Qriinden entgegenwirkt, durch Buflere elastisohe KrBfte, die sioh dann wie eine elastisohe Bettung auswirken.

Es miige 8. B. an ein abgeplattetes Rotations- ellipsoid (oder uberhaupt an einen Bhnltch geformten einfach zusilmmenbBngenden Behlllter) gedaoht werden (Abb. 12). Ein innerer Ueberdruck ruft in einem solchen Illngs eines Streifens von bestimmter Breite zu beiden Seiten den Aequators D r u c k spannungen Ts hervor, wenn das Ellipsoid Xlaoher ist. als dem AohsenverhBlrnis d;: I entspricht (oder allgemein, wenn der Meridiankriimmungs-

radiun kleiner ist als die HBlfte des 1. Krurnmungshalbmessers a. d. b. der Normale bis zur Aohsr).

348 _______

I<.\*'

I

Ahb. 1'2.

Der im Aequator erreichte HZichstwert dieser Druckspannungen ist U P T = -- (2 - ") . . . . . . . . . . 2 v

wo e der Meridiankriimmungsradius am Aequator ist. Eiu sebr schmaler Srreifen zn beiden Seiten dee Aequators befindet sich nun in

derselben Lage, wie ein auf Druck beanspruchter Kreirring, dessen Ausknicken in seiner Ebene duroh einen radialen elastischen Widerstand bebindert wird. Dieser Widerstand riihrt von den mit dem Auskntoken notwendig verhundenen Dehnungen der Suhalen- mittelfltiche her. Es ist leicht zu zeigen, dafl auch hier die Widerstandsziffer

. . . . . . . . . (22)

ipt. Erreichen die Druokspannungen in einem solchen Ring einen bestimmten kritischen Wert, so kidckt er, iodem er sich llings seines ganzen Umfanges in Wellen legt. Das- selhe gilt fiir die Aequatorzone dee Ellipsoid* (Abb. 13). Die Recbnung entspricht panz der fiir den geraden Stab durchgefiihrten, nur hat man von der iiir den krummen Stab gultigen Qleiohung der elastisohen Linie

auuszugehen. Man findet fur die kritisohe Spannung -

, . , . (23).

349 Band 8. Heft 5 Oktober 1928 Geckeler, Plastiscbes Knicken der Wandung von Hohlzylindern

In diesem Falle handelt es sich ubrigens urn ein wirkliches Stabilitlltsproblern. Bei Schalen, die so diinnwandig sind, daf3 ein Knioken in Frage kommt, ist

ein so kleiner Wert, da9 man einen nur sehr geringen Fehler macht, wenn man ihn in Q1. (23) gegeniiber 1 vernachllssigt und wieder schreibt

__ T = 2 I B P . . . . . . . , . . . (23’).

Diese Vereinfacbung bedeutet, dafl man ftir ein Stiick des Aequatorkreises von der L’dnge einer Welle die Krtimmnog vernmhlllssigt. Die Wellenlllnge ergibt sich wieder zu

4 - 4 -

h = e n f; . . (24), die Wellenzahl 5u n = a 1/$ . . (?4’).

Setzt man schliefllich noch fur B und $ die Werte ein, dnd benutrt man noch die GI. (81), so erhtllt man fiir den kritischen Ueberdrpck

Abb. 13.

Diem Formd wurde durch eine groeere Reihe von Versnchen mit dunnwandigen, ans Messingblech ge- driickten Ellipsoiden gut besttltigt. Allerdings findet, llhnlich wie auoh bei anderen Eniokversuchen, des Knioken infolge schwer zu vermeidender Fehler i n Form, Wanddicke und Werkstoff- beschaffeoheit meist schon bei einem etwas geringeren Drnck statt. H%utig tritt dann auch die Wellenbildung nicht lfings des gauaen Umfanges in Erscheinung, sondern es blldet sich nur eine krllftige Falte au der schwfichsten Stelle. Die Wellenlllnge stimmt mit der aus Gl. (24) gerech- neten i n allen Ffillen sehr gut iiberein.

Bemerkenswert ist, da6 grund- slltzlich anch die Krempe eines Kessel- bodens in dieser weise knicken kann IAbb. 14). Mittsls der oben ahge- Iriteten Gleichungen und der friiher fiir diesen Fall entwickalten Theorie ’) ist 8 s nicht schwer, den kritischen Druck zu berechnen. Bei den ge- brlluohliohen Kesselformen ist eine Knickgefabr im allgemeinen nicht vor- handen, wenn man auch bei einem za geringen Bordelradius dem kriti- schen Wert nahekommen kann. Das Kesselmodell. Abb. 14, miidte mit Abb. 14. a= 150 mm. b=0,28 mm nach GI. (24’) n = 42 Wellen zeipen, wllhrmd der Versuch 4 4 ergiht.

der Kugelsuhale abgeleitete tiber. Mit a = e = R geht GI. (25) in die von Zoellyg) und Schwer in8 ) fiir das Knicken

1) Forschungaarbeiten auf dem Gebiet des Ingenieurwesem, Heft 276. s, Anm. 1, 8 8 4 2 unten. a) E. S c h w e r i n , Zeltech. i. angew. Math. n. Mech., Bd. 2, 8. 81, 1922.

Ztschr f. 8D W. 350 Geckeler, Plastisches Knicken der Wandung von Hohlzylindern hfath.bdd%,

6. Faltenbildunsen an ebenen Blechen, insberondere beim Ziehprozeb. Beachtenswert ist schliel3lich noch ein anderer Qrenzfall: das Doppelblatt und das ebene Blecb. Das Doppelblatt kann man sich aus dem abgeplatteten Drehellipsoid durch all- mlhliche Verkleinerung der Drehachse bis auf Null entstanden denken. Wenn man ein solches, etwa aus zwei kreisrunden , lLngs des Randes aneinander geklebten BlElttern hergestelltes Doppelblatt auf blist, bilden sich in einem Eln5eren Ring radial laufende Falten, die so weit reichen, wie die Druckspannungen, ntlmlich von r = a bis r = -!?

(Abb. 15). Verwandt hiermit sind die Faltungserscheinungen, wie sie oft bei Arbeiten an der Ziehpresse zu beobachten sind. Wird z. B. ein ebenes Blech mittels des Zieh- stempels in eine tellerformige Matrize gedruckt (oder umgekehrt, wie bei der folgenden Abb. lS), und ant diem Weise radial nach der Mitte zu kon- trahiert, so entstehen in der uber- stehenden Randzone tangentiale Druck- spannungen, die ein wellentiirmiges Ausknicken verursaohen (Ab b. 16).

Zur Untersuchnng dieser Er- scheinungen geht man zweokmllig

1/2

l m 1 Abb. 15. Abb. 16.

von der Betraohtung der Stabilitlt eines radial gedruckten Kreisringes gegen rlumliche Verserrung Bus. Dem Umstand, dai3 der Ring nicht frei beweglich, sondern llngs seines Innenrandes festgehalten ist, kann wieder dnroh Annahme einer elastiechen Querstutzang (normal zur Ringebene) Rechnnng getragen werden. Jeder Versohiebung w eines Punktes normal zur Ringebene wirkt eine Eraft q = pw pro Flticheneinheit entgegen, dle unten nlher nntersucht wird. Der anf die Ltinge 1 der Mittellinie des betraohteten Vinges (P= a) bezogene radiale Druck sei p (kglcm). Labilitllt tritt ein, w e m

B na+ -

a b p (26). B b c p = (n3- 1) - + __- as na(n2+l)

. . . . . . . n stellt die Anzahl der Vollwellen auf den Umfang dar. b ist die Breite des

Ringes, B die Biegnngesteifigkeit pro Breite 1 gegeniiber einer Verbiegnng des Ringes aus seiner Ebene heraus, also B = -. C ist die Torsionssteifigkeit. 6ie wird fur flache

Rechtecke (Ringquerschnitt), wenn b > 3 6 ist, genugend genan durch die Nlherungsformel 2 6 C = - (1 - 0,63 y) E a 3

angegeben. Das in Gl. (26) vorkommende Verhgltnis B/C bleibt demnach meist kleiner als 1, und sogar fur das Quadrat kleiner als 1,5, so da l man 8s mindestens fur den Zweck einer allgemeinen Erorterung gegen na vernaohltisslgen kann. Die Torsion spielt keine merkliche Rolle, wenn es sich um eine einigermalen groae Wellenzahl handelt. Setzt man noch na & 1 mit nr gleioh, so wird

E J 3 12

15

B b a b p a3 n3

p = laa - + - . . . . . . . . . . (26'). Der Wert n, der znr kleinsten kritiechen Belastung (dem kleinsten Eigenwert)

a Hhrt, wird aus der Bedingnng $ = 0 gefunden au 4 -

n = a f + . (27).

351

Dies ist die Wellenzahl auf den ganzen Umfang. Der zngehorige kritische Radial-

Band 8, Heft 5 Okbber 1928 Geclkeler, Plastisches Knicken der Wandung von Hohlzylindern

(28). druck ist b

p k = 2 - 1 3 . . . . . . . . . . Eine Wellung des Ringes tritt also ein, Venn die in seinem Querschnitt uber-

T = a V i i j j . (2s) tragene Druckresultante (a 8) ist.

. . . . . . . . . . Es ist nun zu iiberlegen, welohen Wert man fur die Widerstandsziflterfl einzusetzen hat. Bei einer Ausbiegung des Ringes aus seiner Ebene heraus bat man zunachst an

den Biegungswiderstand als widerstebende Kraft zu denken, und zwar ist jener Biegungs- widerstand gemeint, den der Iangs seines Innenrandes zwiechen Stempel und Matritze feat eingespannte Ring einer achsensymmetrischen Antbiegung entgegensetzt. Diesen Widerstand kann man sich von gleiohmP%ig iiber die Ringoberflllohe verteilten Krilften q geleistet denken, die normal zur Ringflilche wirken, der Ausbiegung proportional sind (,Bettungsdrucke), und fur sich allein die entgegengesetzt gleiohe Durohbiegung der ring- formigen Platte ergeben warden. Dem entsprioht eine in radialer Richtung vertinderliche Widerstandsziffer, die am Adenrand den kleinsten Wert hat; dort ist die Kniokgefahr am grosten.

Der Zusammenhang zwiachen Belaetung q und groBter Ausbiegung w am Rande kann in der Form ¶ 6' w = x -

8 8

dargestellt werden, wo x ein vom Verhllltnis a- abhangiger, aber von 1 nnr wenig ver-

schiedener Faktor ist. Nimmt z. B. der Rand ' I , des Gesamthalbmessers ein, SO ist x = 1,102, ist der Rand nur des Halbmessere, so ist x = 1,036. Mit x = 1 w%re die Formel identisoh mit jener f8r einen Kragbalken yon der Llnge b. Bus Q - - w folgt,

da% der Ausdrnck

b

8 B x b4

die Rolle der Widerstandszahl am AuSenrande spielt, also x b4

8 B @=,,, . . . . . . . . . . . (30). Damit geben die Gl. (27) und (29) uber in -

* 4 B n= - a $$

b T = - fL . . . . . . (31). ba x

Setzt man far x einen mittleren Wert, etwa 1,07 ein, so wird B E J 3 'b n = 1,65 5 T = 5,47 - = 0,46 - . . . . (31');

b ba b2 z. B. erhlilt man mit a = 54mm, b = 12,5 mm naoh dieser Formel eincc Wellenzahl n = 7,1, - was durch den Versuoh (Abb. 17) bestltigt wird. Praktisch kommen natiirlich nur ganze Zahlen in Betraobt Es ist bemerkenswert, da% bei diesem Voraang die Wellenzahl von der Bleohdicke ganz unabhilngig ist.

diese Faltenbildungen vermieden werden. Man erreicht dies, indem man einen eogenannten Niederhalter mit pneumatischer oder mit Federkraft gegen den auskniokenden Rand prebt. Abb. 1 8 ist eine schematisohe Darstellung der Ziehpresse, wobei , entspreohend dem oben behandelten Vorgang, der Niederhalter noch nicht in Wirksamkeit getreten ist. Dagegen ist dies in Abb. 19 bereits der Fall. Dann wird natiirlich die Widerstandsziffer iiber den Betrag der GI. (30) hinaus erhght, und damit die Wellenzahl groler, als die (31. (31) angibt. Der weitere Verlaut den Vorganges hLngt dann von Einzelheiten der Zieheinrichtnng und der Ziehform ab. Htlufig spielen bei stllrkerer Dnrchbiegung, oder nachdem der Niederhalter die weitere VergroBerung der Biegungswellen hemmt, cder wenn die Form zu starken kegelftrmfgen Aulbiegungen des Randes rwingt, die tangentialen Dehnungsspannungen die Eauptrolle. Im letzteren Falle wird 1 6

Bei der Fabrikation mtiaeen natiirlich Abb. 17.

(32). . . . . . . . . . . . 6 - z

Ztaehr.f.an ew. 352 __ Schlayer , Ueber die Stabilittlt der Khrmhnschen WirbelstraBe Math.md&,oh.

Dem entepricht .~

n = 1,56 f", Tk = 0,4 1 . . . . . (33). E 61 a

Hier ist dann auch die Blechdicke wieder von EinflnB anf die Zahl der Wellen. Letztere ist grSBer, als die von 01. (31) angegebene, wenn b > 1,06 la. Fur das in Abb. 16 gezeigte Beispiel liefert die Formel (33) mit a = 150 mm (mittlerer Randhalbmesser) und 8 = 1 mm die Wellenzahl n = 19,l , wghrend tatslchlieh 20 Wellen - in der NZlhe

. . . . - . . . . . . . . .

W

I 1

Abb. 18 .

des inneren Randes - zu zLhlen sind.

Abb. 19.

Die gegen den Audenrand hin beobachtete Gabelung einzelner Wellen in zwei ist haupts&h&h auf eine durch den Niederhalter verursachte spLtere Knickung des flach gedriickten Wellenecheitels znriickzufiihren. Qenauer sol1 auf diese Einzelheiten hier nicht eingegangen werden.

In diesem nnd dem vorausgehenden Abschnitt iet auf die VerhZlltnisse nach dem Ueberschreiten der Elastizittltsgrenze nicht mehr besonders Riicksicht genommen. Dies kann selbstverstlndlich in derselben Weise wie beim Zylinder geschehen, indem man in B oder oder in beiden j e nach den besonderen Urnsttinden den Modul K oder ES an- stelle von E einfuhrt. 864

fiber die Stabilittit der KBrmBn schen Wirbelsirahe gegenuber beliebigen Storungen in drei Dimensionen. '1

Von KARL SCHLAYER in Berlln. i e Frage nach einer stabilen Anordnung von Wirbeln in einer doppelten Reihe

(Dmirbelstrafiecc) ist erstmalig von K&rm&n a ) im Jahre 1010 behandelt worden zum Zweck einer Erkllrong des qiiedratisahen Widerstandsgesetzes in Flussfg-

Beiten nnd Gasen. Der Oeltungsbereich diesem quadratiscben Oesetzes (im Qegeneatz zum linearen S t o k e s schen) ist bekanntlich der, wo man die Fliiesigkeit als relbungslos ansehen kann, was nm so genauer zotriflt. j e kleiner die ZBhigkeitskonstante bzw. j e gr86er die Qeschwindigkeit des dnrahgescbleppten KSrpers ist. Da weder die eogenannte mtetigecr Potentialstromung noch die durch Annahme eines atoten a Waerers hinter dem Harper entstehende sunatetigee PotentialstrSmung diesen Grenzfall riohtig darznstellen

D

'1 Disssrtcltioa, UniversitPt Mtinchen; Referenten: Prof. Sommerfeld und Prof. W. W i e n . Januar 1927.

3 KBrmrln, QUttfnger Naohrichten 1911, 8. 509 ff. und 1912, S. 5 4 7 ff., sowie KBrmrln und R u b a c h , Phys. Zeitsohr., 13. Jahrg. (19121, 8. 49.ff. Vergl. such Lamb, Hydrodynamice, 4. Auflage, Kap. VII, Art: 156.