podstawy automatyki 1

Automatyka i Robotyka Podstawy Automatyki 1

PODSTAWY AUTOMATYKI 1 – ĆWICZENIA

lista zadań nr 1

Transformata Laplace’a

1. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Laplace’a funkcji:

a. 32)( tty c. 2)( tty

b. 2)( tty d. 12)( 3 tety

2. Dana jest odpowiedź na impuls Diraca (funkcja wagi) )(tg . Znaleźć transmitancję

operatorową )(sG .

a. )(32)( 43 teetg tt1

d. )(32)( 322 teteettg ttt1

b. )(23)( 23 teeetg ttt1

e. )(2sin2)( ttetg t1

c. )(32)( 22 teettg tt1

f. )(sin)( ttttg 1

3. Dana jest odpowiedź układu na skok jednostkowy )(1 ty . Znaleźć transmitancję operatorową

)(sG .

a. )(422)( 2

1 teety tt1

c. )(1)( 2

1 tetety tt1

b. )(2)( 2

1 ttety t1

d. )2(2sin)(1 ttty 1

4. Dana jest transmitancja operatorowa obiektu )(sG . Wyznaczyć odpowiedź układu na

impuls Diraca (funkcję wagi) )(tg .

a. 86

25)(

2

ss

ssG d.

22

1)(

s

ssG

b. 209

32)(

2

ss

ssG e.

653

1)(

2

2

sss

sssG

c. 1

12)(

ss

ssG f.

31

32)(

s

ssG

5. Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową )(sG

oraz odpowiedź układu na impuls Diraca (funkcję wagi) )(tg .

a. uuyyy 8210122

b. uuyyy 4816122

c. uuyyy 6912153


6. Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową )(sG

oraz odpowiedź układu na skok jednostkowy )(1 ty .

a. uuyyy 34

b. uuyyy 6265

c. uuuyyy 45

7. Znaleźć transmitancję )(sG czwórnika elektrycznego:

a.

b.

U1 U

2

i

L

R

CU1

U2

i

R

c.

d.

U1 U

2

i

L

R

C

U1

U2

i1

C

L

L

C

i2



lista zadań nr 2

Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe układów ciągłych

1. Wykreślić charakterystykę impulsową obiektów opisanych transmitancją operatorową )(sG :

a. 5)( sG c.

ssG

2)(

b. 2

1)(

ssG d.

12

5)(

sssG

2. Wykreślić charakterystykę odpowiedzi na skok jednostkowy obiektów opisanych

transmitancją operatorową identyczną jak w zadaniu I.

3. Wykreślić charakterystykę amplitudowo – fazową (Nyquista) obiektów opisanych

transmitancją operatorową identyczną jak w zadaniu I.

4. Wykreślić logarytmiczną charakterystykę amplitudowo – fazową (na karcie Nicholsa)

obiektów opisanych transmitancją operatorową identyczną jak w zadaniu I.

5. Wykreślić uproszczone logarytmiczne charakterystyki modułu i argumentu (Bodego)

obiektów opisanych transmitancją operatorową )(sG :

a. 2

110)(

s

ssG

f.

10

100)(

sssG

b. 210

1)(

ssG g.

1,01)(

ss

ssG

c. 211,0

1)(

s

ssG h.

11001

1001,0)(

ss

ssG

d. 21

)(

s

ssG i.

211,01,0

110010)(

ss

ssG

e. 101

10)(

ss

ssG j.

11001,01,0

11010)(

ss

ssG


6. Wyznaczyć transmitancję operatorową )(sG dla układów, których uproszczone

logarytmiczne charakterystyki modułu dane są na rysunkach:

a.

b.

L() [dB]

[rad/s]10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

20

40

60

L() [dB]

[rad/s]10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

20

40

60

c.

d.

L() [dB]

[rad/s]

20

40

60

10410-2 10-1 100 101 102 103

...

L() [dB]

[rad/s]10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

20

40

60

e.

f.

L() [dB]

[rad/s]

20

40

60

10410-2 10-1 100 101 102 103

L() [dB]

[rad/s]10-3 10-2 10-1 100 101 102 103

20

40

60



lista zadań nr 3

Algebra schematów blokowych układów ciągłych

1. Wyznaczyć transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach:

a.

1122

5

ss

se s

–

b.

G2

–

G4

G1

G3

c.

G1

–

G3

G2

G4

d.

–G3G

2G1

– –


e.

G1

G2

G3

G5

G4

f.

–

G1

G2

G3

G5

G4

G6

g.

–G1

G2

G3

G4



lista zadań nr 4

Stabilność układów ciągłych cz.1

1. Korzystając z kryterium Routh’a zbadać stabilność układu o wypadkowej transmitancji

)(sG . Określić liczbę biegunów w prawej i w lewej półpłaszczyźnie.

a. 12345

110)(

234

ssss

ssG d.

123)(

23

sss

ssG

b. 1234

1)(

234

sssssG e.

432

5)(

23

ssssG

c. 6555

13)(

234

ssss

ssG f.

15

10)(

23

sss

ssG

2. Dana jest transmitancja )(sG obiektu. Wykorzystując kryterium Michajłowa zbadać czy

układ zamknięty (ze sztywnym sprzężeniem zwrotnym) jest stabilny.

a. 1

2)(

23

ssssG c.

1323

1)(

23

ssssG

b. 132

1)(

23

ssssG d.

1)(

2

ss

esG

s

3. Dana jest transmitancja )(12 sG układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista

zbadać czy układ zamknięty jest stabilny.

a. 15,11

4)(

212

sss

sG c. ss

sG

312

1)(

b. 112

1)(

212

sss

sG d. 65

5)(

212

sss

sG

4. Dana jest transmitancja )(12 sG układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista

zbadać dla jakiego k układ zamknięty jest stabilny.

a. 312

4)(

s

ksG c.

642

2)(12

sss

ksG

b. 31

)(212

ss

ksG d.

1127

35)(

212

sss

ksG



lista zadań nr 5

Stabilność układów ciągłych cz.2

1. Dana jest transmitancja )(12 sG układu otwartego. Wykorzystując kryterium logarytmiczne

zbadać czy układ zamknięty jest stabilny.

a. 312

1

7)(

ssG

b. 244

50)(

212

sss

sG

c. ses

sG 5

122

3)(

2. Dana jest transmitancja )(12 sG układu otwartego. Obliczyć zapas fazy i wzmocnienia dla

układu zamkniętego.

a. 312

1

4)(

ssG c.

4168

32)(

212

sss

sG

b. ses

sG 2

125,0

1)(

d.

12102

3)(

212

ss

sG



lista zadań nr 6

Zmienne stanu

1. Korzystając z metody bezpośredniej wyznaczyć równania stanu dla obiektu o transmitancji

)(sG przy zerowych warunkach początkowych:

a. 23

2)(

2

sssG c.

642

12)(

2

ss

ssG

b. 62

4)(

23

sssG d.

33

1)(

23

ssssG

2. Korzystając z metody równoległej wyznaczyć równania stanu dla obiektu o transmitancji


a. 65

1)(

2

sssG c.

435,0

35,0)(

2

ss

ssG

b. 56

12)(

2

ss

ssG d.

642

10)(

sss

ssG

3. Korzystając z metody szeregowej wyznaczyć równania stanu dla obiektu o transmitancji


a. 22

1)(

ssG c.

41

4)(

ss

sssG

b. 462

4)(

2

sssG d.

2

2)(

2

ss

ssG

4. Dane są równania stanu:

)()()(

)()()(

sUssY

sUsss

DCX

BAXX

Wyznaczyć transmitancję )(sG .

a.

11

11A ,

1

0B , 01C , 0D d.

43

21A ,

2

1B , 10C , 0D

b.

12

21A ,

1

1B , 01C , 0D e.

33

22A ,

4

4B , 11C , 0D

c.

21

12A ,

0

1B , 01C , 0D f.

13

12A ,

2

1B , 22C , 0D



lista zadań nr 7

Transformata Z

1. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Z funkcji:

a. nnf 3)( d. 15)( nnf

b. 22)( nnf e. )()( 4 tetf t1

c. 13)( 2 nnf f. )()( tetf pTt1

2. Korzystając z podstawowych własności transformaty, znaleźć transformatę Z funkcji:

a. )(83)( tttf 1 d. )(5,0)( 2 tttf 1

b. )(5)( tttf 1 e. )(5)( 3 tetf t1

c. )()( 1 tttf 1 f. )(3)( 4 tettf t

1

3. Obliczyć odpowiedź na impuls Diraca, )(ng , dla układu impulsowego o transmitancji:

a. 56

25,0)(

2

zz

zzG e.

5,05,1)(

2

zz

zzG

b. 86

25)(

2

zz

zzG f.

209

32)(

2

zz

zzG

c. 107

5,0)(

2

zz

zzG g.

34

13)(

2

zz

zzG

d. 158

24)(

2

zz

zzG h.

22

1)(

z

zzG

4. Obliczyć odpowiedź na skok jednostkowy, )(1 ny , dla układu impulsowego o transmitancji:

a. 2

)(

z

zzG d.

1

12)(

z

zzG

b. 15,0

1)(

zzG e.

65)(

2

zz

zzG

c. 1

1)(

z

zzG f.

2

4)(

2

zz

zzG


5. Dana jest odpowiedź na impuls Diraca )(ng . Obliczyć transmitancję takiego układu

impulsowego:

a. nnng 2332)( c. nnng )2(3)1(2)( 1

b. 125)( nng d. 13)( nnng

6. Wyznaczyć odpowiednik impulsowy transmitancji układu ciągłego )(sG dla czasu

próbkowania sTp 1,0 .

a. 23

12)(

2

ss

ssG d.

4

1)(

2

ssG

b. 45

2)(

2

ss

ssG e.

ss

ssG

2

4)(

2

c. 65

1)(

2

sssG f.

12

1)(

2

sssG



lista zadań nr 8

Równania różnicowe. Ekstrapolatory

1. Dla układu impulsowego o transmitancji )(zG , zakładając zerowe warunki początkowe,

obliczyć wartość pierwszych pięciu próbek sygnału wyjściowego )(ny , dla sygnału

wejściowego )()( ttu .

a. 5

5)(

zzG c.

32

2)(

2

zz

zzG

b. 12

4)(

zzG d.

122

2)(

2

zz

zzG

2. Znaleźć równanie różnicowe wiążące sygnały wejściowy i wyjściowy dla układu

impulsowego o transmitancji )(zG , zakładając zerowe warunki początkowe. Obliczyć

wartość próbki sygnału wyjściowego )3(y , dla sygnału wejściowego )()( ttu 1 .

a. 56

1)(

2

zz

zzG c.

10

2)(

zzG

b. 65

1)(

2

zzzG d.

2

1)(

2

zzG

3. Rozwiązać równanie różnicowe dla podanych warunków początkowych.

a. 0)1(4)( nyny , 1)1( y

b. 0)2(9)( nyny , 1)1( y ,

1)2( y

c. 0)2(2)1(3)( nynyny , 2)1( y , 1)2( y

d. 0)2(2)1(3)( nynyny , 3)1( y , 2)2( y

e. 0)2(2)1()( nynyny , 3)1( y , 6)2( y

4. Rozwiązać układ równań różnicowych dla podanych warunków początkowych.

a.

)(

)(

12

34

)1(

)1(

2

1

2

1

nx

nx

nx

nx, 2)0(1 x , 1)0(2 x

b.

)(

)(

13

46

)1(

)1(

2

1

2

1

nx

nx

nx

nx, 1)0(1 x , 2)0(2 x


c.

)(

)(

23

34

)1(

)1(

2

1

2

1

nx

nx

nx

nx, 3)0(1 x , 1)0(2 x

5. Obliczyć transmitancję )(zG obiektu o transmitancji )(sG przy zastosowaniu ekstrapolatora

zerowego rzędu.

a. 1

1)(

ssG , sTp 1 d.

5

2)(

ssG , sTp 10

b. )5,0ln(

2)(

ssG , sTp 1 e.

23

1)(

2

sssG , sTp 1

c. 5

2)(

ssG , sTp 1,0 f.

)2ln()4ln(

1)(

ss

ssG , sTp 1

6. W układzie jak na rysunku zastosowano ekstrapolator zerowego rzędu. Obliczyć wartości

pierwszych czterech próbek sygnałów odpowiedzi )(ny i błędu )(ne przy pobudzeniu skokiem

jednostkowym ( sTp 1 ).

GE(s) G

0(s)

Tp

a. 2

1)(0

ssG , c.

4

5,0)(0

ssG ,

b. 13

3)(0

ssG , d.

86

1)(

20

ss

sG ,

7. W układzie jak na rys. 9.1 zastosowano ekstrapolator zerowego rzędu. Obliczyć wartości

pierwszych pięciu próbek sygnałów odpowiedzi )(ny i przy pobudzeniu skokiem prędkości

( sTp 1 ).

a. 1

1)(0

ssG c.

2

1)(0

ssG

b. 13

1)(0

ssG d.

32

5,0)(0

ssG



lista zadań nr 9

Algebra schematów blokowych układów dyskretnych

1. Wyprowadzić wzór na dyskretną transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach:

a.

Y(s)U(s) E(s)

Tp

G1(s) G

2(s)

G3(s)

Tp

b.

Y(s)U(s) E(s)

Tp

G1(s) G

2(s)

G3(s)

2. Wyznaczyć transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach:

a.

G2(s)

Y(s)U(s) E(s)

Tp

G1(s)

ssG

1)(1

2

1)(2

ssG

1pT

b.

Y(s)U(s) E(s)

Tp

G1(s)

G2(s)

Tp

2ln

1)(1

ssG

3ln

2)(2

ssG

1pT


c.

G2(s)

Y(s)U(s) E(s)

T

p

G1(s)

ssG

1)(1

ssG

2)(2

1pT

d.

G2(s)

Y(s)U(s) E(s)

T

p

G1(s)

2ln

1)(1

ssG

2ln

2)(2

ssG

1pT

e.

Tp

G3(s)

Y(s)U(s) E(s)

Tp

G1(s)

G2(s)

916,1

1)(1

ssG

125,0

1)(2

ssG

ssG

1)(3

1pT



lista zadań nr 10

Stabilność układów dyskretnych

1. Dana jest transmitancja )(zG obiektu. Wykorzystując podstawowy warunek stabilności

układów dyskretnych, zbadać czy układ zamknięty (ze sztywnym sprzężeniem zwrotnym) jest

stabilny.

a. 6,13,1

2)(

2

zzzG c.

38,08,1

2)(

2

zzzG

b. 92,14,0

2)(

2

zzzG d.

96,03

2)(

2

zz

zzG

2. Korzystając z kryterium Jury’ego zbadać stabilność układu o transmitancji:

a. 12345

3)(

234

zzzz

zzG e.

22224

152)(

234

2

zzzz

zzzG

b. 1242

1)(

234

2

zzzz

zzzG f.

4325

5)(

234

zzzzzG

c. 2243

13)(

234

3

zzzz

zzG g.

12233

4)(

234

zzzz

zzG

d. 23233

12)(

234

23

zzzz

zzzG h.

12

12)(

234

zzzz

zzG

3. Dana jest transmitancja )(12 zG układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista

zbadać dla jakiego k układ zamknięty jest niestabilny sTp 1 .

a. 5,0)(12

z

kzG

d. 4,03

2)(12

z

kzG

b. 2,02)(12

z

kzG

e. 8,12

)(12

z

kzG

c. 8,0)(12

z

kzG

f. 6,912

1,0)(12

z

kzG

4. Korzystając z przekształcenia biliniowego zbadać stabilność układu o transmitancji )(zG .

a. 5

1)(

23

zzzzG c.

1325

1)(

23

zzzzG

b. 1322

2)(

23

zzzzG d.

1837

1)(

23

zzzzG


Documents

podstawy automatyki 1