Pogled na raziskovalne naloge iz matematikena srecanjih mladih raziskovalcev v organizaciji ZOTKS

Borut Jurcic Zlobec

Ljubljana, Slovenia, 18. oktober 2013

1 / 46

Pregled 1990–2013

Od leta 1990 do danes je komisija pregledala 210 nalog,Od leta 1990 do danes je komisija pregledala 210 nalog,

od tega je bilo 80 gimnazijskih in 130 osnovnosolskih.od tega je bilo 80 gimnazijskih in 130 osnovnosolskih.

Teme in kvaliteta sta se iz leta v leto spreminjale.Teme in kvaliteta sta se iz leta v leto spreminjale.

Na zacetku so bile srednjesolske naloge stevilcnejse inNa zacetku so bile srednjesolske naloge stevilcnejse in

relativno kvalitetnejse od osnovnosolskih.relativno kvalitetnejse od osnovnosolskih.

Nato se je tehtnica obrnila v prid osnovnosolskim nalogam.Nato se je tehtnica obrnila v prid osnovnosolskim nalogam.

Na zacetku so bile naloge zahtevnejse in bolj teoreticne.Na zacetku so bile naloge zahtevnejse in bolj teoreticne.

Z vpeljavo racunalnikov v solahZ vpeljavo racunalnikov v solah

so se pojavljale zanimive naloge z uporabo programjaso se pojavljale zanimive naloge z uporabo programja

Cabri, Mathematica in Geogebra.Cabri, Mathematica in Geogebra.

Obdobje powerpointa in njegove nekriticne uporabe.Obdobje powerpointa in njegove nekriticne uporabe.

Orodje TeX,Orodje TeX, za pisanje matematike, se je redko uporabljalo.za pisanje matematike, se je redko uporabljalo.

Delez pravih matematicnih nalog je upadal,Delez pravih matematicnih nalog je upadal,

rastel je delez tako imenovanih anketnih nalog.rastel je delez tako imenovanih anketnih nalog.

2 / 46

Obravnavane teme

1 zgodovinske 5 %,zgodovinske 5 %,

2 verjetnost 5 %,verjetnost 5 %,

3 statisticna obdelava anket 35 %,statisticna obdelava anket 35 %,

4 zlati rez in fraktali 20 %,zlati rez in fraktali 20 %,

5 geometrijske naloge 15 %,geometrijske naloge 15 %,

6 kombinatorika 15 %,kombinatorika 15 %,

7 analiza in topologija 5 %.analiza in topologija 5 %.

3 / 46

Zgodovina, verjetnost, analiza in topologija

Zanimive zgodovinske naloge:Zanimive zgodovinske naloge:1 Egipcanski ulomki,Egipcanski ulomki,2 Quipu inkovsko knjigovodstvo.Quipu inkovsko knjigovodstvo.

Verjetnost:Verjetnost:1 Primerjava moznosti dobitka pri igrah na sreco,Primerjava moznosti dobitka pri igrah na sreco,

kot sta loto in sportna napoved.kot sta loto in sportna napoved.

Analiza in topologijaAnaliza in topologija1 Parakompleksna stevila in analiza. x + jy , j2 = 1 in j 6= ±1.Parakompleksna stevila in analiza. x + jy , j2 = 1 in j 6= ±1.

4 / 46

Egipcanski ulomki, Horusovo oko

5 / 46

Inkovski quipu

6 / 46

Parakompleksna stevila

7 / 46

Statistika in ankete

1 Tezavnost in tipi matematicnih nalog,Tezavnost in tipi matematicnih nalog,

2 razlike med deklicami in decki, letniki itd.,razlike med deklicami in decki, letniki itd.,

3 uspesnost resevanja besedilnih nalog,uspesnost resevanja besedilnih nalog,

4 odnos do matematike,odnos do matematike,

5 ucinkovitost ucenja matematike itd.ucinkovitost ucenja matematike itd.

8 / 46

Zlati rez, fraktali in filolotaksa

1 Merjenje in statisticna obdelava razmerijMerjenje in statisticna obdelava razmerij

pri cloveskem telesu, v glasbi, poeziji itd.pri cloveskem telesu, v glasbi, poeziji itd.

2 Zlati rez v arhitekturi,Zlati rez v arhitekturi,

3 Lastnosti Fibonaccijevega zaporedja,Lastnosti Fibonaccijevega zaporedja,

4 Fraktali in fraktalna dimenzija,Fraktali in fraktalna dimenzija,

5 Filotaksa.Filotaksa.

9 / 46

Da Vincijev Vitruvianski moz

10 / 46

Cudezno (Bozje) razmerje ϕ

ϕ = 1+√5

2 = 1.61803398874989ϕ = 1+√5

2 = 1.61803398874989

π/4 = 0.7853981634π/4 = 0.78539816341√ϕ

= 0.78615137781√ϕ

= 0.7861513778

Bozje razmerje?Bozje razmerje?

sin(666◦) = cos(6 · 6 · 6◦) = −ϕ2

sin(666◦) = cos(6 · 6 · 6◦) = −ϕ2

11 / 46

Zlata spirala

12 / 46

Zlata spirala

13 / 46

Zlata spirala

14 / 46

Zlata spirala

15 / 46

Zlata spirala

16 / 46

Zlata spirala

17 / 46

Zlata spirala

18 / 46

Zlata spirala

19 / 46

Zlata spirala

20 / 46

Zlata spirala

21 / 46

Filotaksa

22 / 46

Geometrija

1 Uporaba programskega orodja Cabri,Uporaba programskega orodja Cabri,

2 Poliedri in kristali,Poliedri in kristali,

3 Nemogoci predmeti,Nemogoci predmeti,

4 Znamenite tocke trikotnika,Znamenite tocke trikotnika,

5 Tlakovanja, trikotniki in satovje,Tlakovanja, trikotniki in satovje,

6 Profil ceste za kvadratna kolesa.Profil ceste za kvadratna kolesa.

23 / 46

Nemogoci predmeti

24 / 46

Tlakovanja

25 / 46

Kvadratna kolesa 1

26 / 46

Kvadratna kolesa 2

27 / 46

Kombinatorika

1 Pomoc pri racunanju na pamet,Pomoc pri racunanju na pamet,

2 Stetje diagonal mnogokotnikov,Stetje diagonal mnogokotnikov,

3 Paskalski trikotniki in piramide,Paskalski trikotniki in piramide,

4 Veckotniska stevila,Veckotniska stevila,

5 Matematicna indukcija,Matematicna indukcija,

6 Hanojski stolpi,Hanojski stolpi,

7 Zveneca matematika, matematika v glasbi,Zveneca matematika, matematika v glasbi,

8 Stevilski sestavi,Stevilski sestavi,

9 Sifriranje,Sifriranje,

10 Rimske stevke.Rimske stevke.

28 / 46

Paskalska piramida

29 / 46

Veckotniska stevila

30 / 46

Hanojski stolpi

31 / 46

Matematicna indukcija

32 / 46

Kaj je raziskovalna naloga iz matematike?

Vemo, da ucenec ne more odkrivati matematike.Vemo, da ucenec ne more odkrivati matematike.

1 Naj se seznani z nekim podrocjem matematike.Naj se seznani z nekim podrocjem matematike.

2 Se nauci uporabljati matematicno orodjeSe nauci uporabljati matematicno orodje

3 in naj resi kaksen problem z uporabo tega orodja.in naj resi kaksen problem z uporabo tega orodja.

4 Ni veliko podrocij, kjer bi ucenec lahko dodal kaj novega.Ni veliko podrocij, kjer bi ucenec lahko dodal kaj novega.

5 Pri pisanju naloge naj se ucenec seznani sPri pisanju naloge naj se ucenec seznani s

terminologijo in se nauci nekaj matematicne natancnosti.terminologijo in se nauci nekaj matematicne natancnosti.

33 / 46

Neprimerna navodila

Navodila organizatorjev, da naloga ne sme biti seminarska,Navodila organizatorjev, da naloga ne sme biti seminarska,

ampak raziskovalna, so vplivala na izbiro tem.ampak raziskovalna, so vplivala na izbiro tem.

Po teh navodilih naj naloga vsebuje:Po teh navodilih naj naloga vsebuje:1 uvod,uvod,2 hipotezo,hipotezo,3 raziskavo (anketa),raziskavo (anketa),4 potrditev ali zavrnitev hipoteze inpotrditev ali zavrnitev hipoteze in5 zakljucek.zakljucek.

Ta vzorec ni najbolj primeren za matematicne naloge.Ta vzorec ni najbolj primeren za matematicne naloge.

Pri matematiki je to naredilo vec skode kot koristi.Pri matematiki je to naredilo vec skode kot koristi.

Mnogi ucenci so zato izbirali naloge s statisticno obdelavo.Mnogi ucenci so zato izbirali naloge s statisticno obdelavo.

34 / 46

Dva nivoja izbire nalog

Problem dveh nivojev, lokalni in drzavni nivo.Problem dveh nivojev, lokalni in drzavni nivo.

Premalo je bilo usklajevanja med njima.Premalo je bilo usklajevanja med njima.

Naloge, ki so na lokalnem nivoju bile komisiji spremenljive,Naloge, ki so na lokalnem nivoju bile komisiji spremenljive,

se komisiji na drzavnem nivoju niso vedno zdele najprimernejse.se komisiji na drzavnem nivoju niso vedno zdele najprimernejse.

To so naloge, ki so vsebovale ankete in njihovo obdelavoTo so naloge, ki so vsebovale ankete in njihovo obdelavo

in vsebine bolj psiholoske oziroma pedagoske narave.in vsebine bolj psiholoske oziroma pedagoske narave.

35 / 46

Mentorji

Z vsem spostovanjem do profesorjev, ki so si vzeli casZ vsem spostovanjem do profesorjev, ki so si vzeli cas

za to plemenito delo.za to plemenito delo.

Vendar bi zelel omeniti, kaj bi se dalo izboljsati.Vendar bi zelel omeniti, kaj bi se dalo izboljsati.1 Premalo pozornosti dokazovanju.Premalo pozornosti dokazovanju.2 Dokazi, ki to niso, na primer racunska preverjanja.Dokazi, ki to niso, na primer racunska preverjanja.3 Nenatancno matematicno izrazanje.Nenatancno matematicno izrazanje.4 Nevesce izrazanje v domacem jeziku.Nevesce izrazanje v domacem jeziku.

Pa se nekaj, cemur bi jazPa se nekaj, cemur bi jaz

rekel strah pred znanjem, pa ce se se tako cudno slisi.rekel strah pred znanjem, pa ce se se tako cudno slisi.

To je: Tega pa v soli nismo obravnavali.To je: Tega pa v soli nismo obravnavali.

Pomagati talentiranim prebiti okvir solskega znanja.Pomagati talentiranim prebiti okvir solskega znanja.

36 / 46

Primera dobro ocenjenih raziskovalnih nalog 2013.

Osnovnosolska rasiskovalna naloga z naslovomOsnovnosolska rasiskovalna naloga z naslovomPadec z zemlje.Padec z zemlje.

Osnovna sola Tabor 1 MariborOsnovna sola Tabor 1 Maribor

Mentorica Polona DovecarMentorica Polona Dovecar

Avtor Vid VedlinAvtor Vid Vedlin

Maribor februar 2013Maribor februar 2013

Gimnazijska raziskovalna naloga z naslovomGimnazijska raziskovalna naloga z naslovomMnozenje in razstavljanje pitagorejskih trojic.Mnozenje in razstavljanje pitagorejskih trojic.

Skofijska gimnazija VipavaSkofijska gimnazija Vipava

Mentor mag. Alojz Grahor, prof. mat.Mentor mag. Alojz Grahor, prof. mat.

Avtorja Jan Krizanic in Rok MiklavcicAvtorja Jan Krizanic in Rok Miklavcic

Vipava april 2013Vipava april 2013

37 / 46

Naloga Padec iz Zemlje

Naloga je bila izjemno lepo predstavljena.Naloga je bila izjemno lepo predstavljena.

Razlaga je bila tekoca, jasna in odlocna.Razlaga je bila tekoca, jasna in odlocna.

Predmet naloge so bile opticne prevare.Predmet naloge so bile opticne prevare.

Na zacetku je bila predstavljena slikovna ugankaNa zacetku je bila predstavljena slikovna uganka

Sama Loyda, Get Off The Earth iz leta 1898.Sama Loyda, Get Off The Earth iz leta 1898.

V nadaljevanju se je naloga posvetila opticni prevariV nadaljevanju se je naloga posvetila opticni prevari

s kvadrati in pravokotniki, ki imajo na prvi pogled enaki ploscini,s kvadrati in pravokotniki, ki imajo na prvi pogled enaki ploscini,

vendar se razlikujeta za enoto.vendar se razlikujeta za enoto.

Opticna prevara temelji na zvezi med cleniOpticna prevara temelji na zvezi med cleni

Fibonaccijevega zaporedja, ki je bilo korektno,Fibonaccijevega zaporedja, ki je bilo korektno,

sicer brez dokaza formule, predstavljeno v nalogi.sicer brez dokaza formule, predstavljeno v nalogi.

Vec v nadaljevanju.Vec v nadaljevanju.

38 / 46

Padec iz Zemlje

39 / 46

Kvadrat, pravokotnik in Fibobaccijevo zaporedje,F1 = 1, F2 = 1 in Fn = Fn−1 + Fn−2, n ∈ N.

Opticna prevara temelji na formuli[0 11 1

]n=

[Fn−1 FnFn Fn+1

], (−1)n = Fn−1Fn+1 − F 2

n .

40 / 46

Naloga Mnozenje in razstavljanje pitagorejski trojic

Pitagorejske trojice: Npt = {(x , y , z) ∈ N3, x2 + y2 = z2}Pitagorejske trojice: Npt = {(x , y , z) ∈ N3, x2 + y2 = z2}Na prvi strani nekaj zgodovine.Na prvi strani nekaj zgodovine.

Zanimiv podatek, da je na plosci Plimpton 322,Zanimiv podatek, da je na plosci Plimpton 322,

ki je stara 3800 let, zapisanih 15 pitagorejskih trojic.ki je stara 3800 let, zapisanih 15 pitagorejskih trojic.

Sledijo izreki o pitagorejskih trojicah, opremljeni z dokazi.Sledijo izreki o pitagorejskih trojicah, opremljeni z dokazi.

Pitagorejske trojice in pravokotni trikotniki.Pitagorejske trojice in pravokotni trikotniki.

Za racunanje s pitagorejskimi trojicamiZa racunanje s pitagorejskimi trojicami

je bil uporabljen programski jezik Python.je bil uporabljen programski jezik Python.

41 / 46

Babilonska tablica Plimpton 322(Larsa (Tell Senkereh), Irak, ca. 1820–1762 pr. n. s.)

42 / 46

Operacija mnozenja v mnozici pitagorejskih trojic

Za poljubnaZa poljubna A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3) ∈ NnpA = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3) ∈ Nnp

obstajaobstaja C = A ◦ B def= (a1b1 − a2b2, a1b2 + a2b1, a3b3) ∈ Nnp.C = A ◦ B def= (a1b1 − a2b2, a1b2 + a2b1, a3b3) ∈ Nnp.

Korektno izpeljan dokaz, da je mnozenje notranja operacija.Korektno izpeljan dokaz, da je mnozenje notranja operacija.

Dokazani sta asociativnost in komutativnost mnozenja.Dokazani sta asociativnost in komutativnost mnozenja.

Enota za mnozenjeEnota za mnozenje E = (1, 0, 1).E = (1, 0, 1).

DefinicijaDefinicija primitivneprimitivne pitagorejske trojice.pitagorejske trojice.

Razstavljanje na nerazcepne prafaktorje.Razstavljanje na nerazcepne prafaktorje.

Iskanje prafaktorjev s pomocjo programa.Iskanje prafaktorjev s pomocjo programa.

43 / 46

Razcep ni enolicen

Razcep (tudi primitivnih) pitagorejskih trojic ni enolicen.Razcep (tudi primitivnih) pitagorejskih trojic ni enolicen.

Primitivna pitagorejska trojicaPrimitivna pitagorejska trojica

z vec razcepi na prafaktorje je izrojena.z vec razcepi na prafaktorje je izrojena.

Programsko je bila najdena najmanjsaProgramsko je bila najdena najmanjsa

izrojena pitagorejska trojicaizrojena pitagorejska trojica

(36, 323, 325) = (3, 4, 5) ◦ (56, 33, 65) = (5, 12, 13) ◦ (24, 7, 25)(36, 323, 325) = (3, 4, 5) ◦ (56, 33, 65) = (5, 12, 13) ◦ (24, 7, 25)

V uporabljeni literaturi (Stewart 2010, stran 61),V uporabljeni literaturi (Stewart 2010, stran 61),

je bilo zapisano, da je tak razcep enolicen.je bilo zapisano, da je tak razcep enolicen.

44 / 46

Polozaj pitagorejskih trojic (x , y , z) ravnini (x , y)

45 / 46

Vudu

Delitev slike v zlatem rezuDelitev slike v zlatem rezupostavi vse kljucnepostavi vse kljucne

elemente v samostojno lego.elemente v samostojno lego.

46 / 46