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  • Universidade Federal do Rio de Janeiro

    COPPE: Programa de Engenharia de Produo

    rea de Pesquisa Operacional PO

    Escola Politcnica: Departamento de Engenharia Industrial

    PROCESSOS ESTOCSTICOS

    E

    TEORIA DE FILAS

    Prof. Virglio Jos Martins Ferreira Filho

  • COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro Programa de Engenharia de Produo (PEP)

    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 2

    NDICE

    1. PROCESSOS ESTOCSTICOS ....................................................................................... 4

    1.1. DESCRIO E DEFINIO DE PROCESSOS ESTOCSTICOS ........................... 4 1.1.1. PROCESSO ESTOCSTICOS CONTNUOS / DISCRETOS ............................ 4 1.1.2. DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE ............................................................. 5 1.1.3. ALGUNS PROCESSOS ESTOCSTICOS IMPORTANTES .............................. 6

    1.2. CADEIAS DE MARKOV EM TEMPO DISCRETO ..................................................... 7 1.2.1. PROBABILIDADE DE TRANSIO EM VRIOS ESTGIOS ........................... 8 1.2.2. PROBABILIDADE DE 1 PASSAGEM E PRIMEIRO RETORNO ..................... 11 1.2.3. CLASSIFICAO DE ESTADO ........................................................................ 11 1.2.4. CADEIAS DE MARKOV ERGDICAS (PROBABILIDADES LIMITE) .............. 12 1.2.5. TEMPO MDIO DE 1 PASSAGEM / RECORRNCIA .................................... 15 1.2.6. CADEIAS DE MARKOV ABSORVENTES ........................................................ 17

    1.3. CADEIA DE MARKOV EM TEMPO CONTNUO ..................................................... 19 1.3.1. VISUALIZAO MATRICIAL ............................................................................ 22 1.3.2. TEMPO AT A PRXIMA TRANSIO ........................................................... 22

    1.3.3. PROBABILIDADE DE REGIME PERMANENTE t ............................... 24 1.3.4. PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE ...................................................... 24 1.3.5. PROCESSO DE POISSON ............................................................................... 26 1.3.6. TEMPO ENTRE EVENTOS CONSECUTIVOS ................................................. 28 1.3.7. SUPERPOSIO DE PROCESSOS DE POISSON ......................................... 28 1.3.8. DECOMPOSIO DE PROCESSOS DE POISSON ........................................ 28 1.3.9. TEOREMA DE KHINTHINE ............................................................................... 29

    1.4. EXERCICIOS PROPOSTOS DE PROCESSOS ESTOCSTICOS ........................ 30

    2. TEORIA DE FILAS .......................................................................................................... 39

    2.1. INTRODUO E CONCEITOS BSICOS .............................................................. 39 2.1.1. PORQUE FILAS SO ESTUDADAS ................................................................. 40 2.1.2. PRINCIPAIS CARACTERISTICAS DE UMA FILA ............................................ 40 2.1.3. NOTAO DE KENDALL .................................................................................. 42 2.1.4. TERMINOLOGIA E NOTAES ....................................................................... 43 2.1.5. RESULTADO DE LITTLE .................................................................................. 44 2.1.6. EXEMPLOS DE SISTEMAS DE FILAS REAIS ................................................. 45 2.1.7. A DISTRIBUIO EXPONENCIAL NA TEORIA DE FILAS.............................. 46 2.1.8. PROCESSO DE POISSON ............................................................................... 51

    2.2. FILAS MARKOVIANAS (PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE) ................... 52 2.2.1. SISTEMAS INFINITOS ...................................................................................... 52 2.2.2. SISTEMAS FINITOS .......................................................................................... 58

    2.3. MODELO DE ERLANG ............................................................................................ 60 2.3.1. SISTEMA M|EK|S ............................................................................................... 61 2.3.2. SISTEMA EK|M|1 ............................................................................................... 62

    2.4. REDES DE FILAS MARKOVIANAS ........................................................................ 63 2.4.1. SISTEMA ABERTO SEM REALIMENTAO .................................................. 64 2.4.2. SISTEMA FECHADO ......................................................................................... 66 2.4.3. SISTEMAS MISTOS OU ABERTOS COM REALIMENTAO ........................ 66 2.4.4. TEOREMA BURKE ............................................................................................ 67 2.4.5. FORMA PRODUTO NA REDE ABERTA .......................................................... 69

    2.5. A FILA M|G|1 ............................................................................................................ 71 2.5.1. MEDIDAS DE DESEMPENHO .......................................................................... 74

    2.6. Anexo ....................................................................................................................... 79 2.6.1. FUNO GERADORA DE MOMENTOS .......................................................... 79 2.6.2. PROPRIEDADES DA FUNO GERADORA DE MOMENTOS ...................... 81

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 3

    2.6.3. TRANSFORMADA Z .......................................................................................... 83

    EXERCICIOS PROPOSTOS DE TEORIA DAS FILAS ...................................................... 88

    3. MOVIMENTO BROWNIANO ........................................................................................... 94

    3.1. PASSEIO ALEATRIO DISCRETO - DISCRETE TIME, DISCRETE STATE, RANDOM WALK ................................................................................................................. 94

    3.2. PASSEIO ALEATRIO COM DESVIO - DISCRETE RANDOM WALK WITH DEVIATION .......................................................................................................................... 95

    3.3. PASSEIO ALEATRIO COM TAMANHO DO PASSO VARIVEL - DISCRETE TIME CONTINUOS SPACE RANDOM WALK ................................................................... 96

    3.4. PROCESSO DE WIENER ........................................................................................ 97

    3.5. GENERALIZAO - PROCESSO DE WIENER COM DESVIO ............................. 98

    3.6. REPRESENTAO DO MOVIMENTO BROWNIANO POR PASSEIO ALEATRIO 99

    4. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................................. 102

    5. LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS DE PROCESSOS ESTOCASTICOS ........... 104

    6. LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DAS FILAS .............................. 140

    7. Lista de Exerccios Complementares ........................................................................ 158

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    1. PROCESSOS ESTOCSTICOS

    1.1. DESCRIO E DEFINIO DE PROCESSOS ESTOCSTICOS

    Segundo Lieberman, um processo estocstico uma coleo de variveis

    aleatrias indexadas ( tX ), onde t um ndice definido num conjunto T. Assim, um processo

    estocstico a descrio de um fenmeno aleatrio que varia com o tempo.

    O processo estocstico ...,, 321 XXX , pode representar a coleo das quantidades

    de carros que passam por um determinado ponto de uma rodovia, a evoluo dos nveis de

    estoque semanais de uma firma, o comportamento de uma partcula de gs, variaes nas

    qualidades dos produtos, variaes nos preos de aes, vendas numa determinada loja,

    evoluo do nmero de desempregados num determinado pas, etc.

    O processo estocstico ,...,, 321 YYY representa a evoluo populacional brasileira,

    desde o ano de 1998 como mostra a Tabela 1.1:

    Tabela 1.1 Evoluo populacional brasileira

    1998 1999 2000 2001 2002 ...

    Habitantes 161.790.311 163.947.554 169.590.693 172.385.826 174.632.960 ...

    (Fonte: Denatran)

    Os valores assumidos por um processo estocstico so denominados estados e o

    conjunto de todos os estados possveis dito espao de estados.

    1.1.1. PROCESSO ESTOCSTICOS CONTNUOS / DISCRETOS

    Os processos estocsticos podem ser classificados como:

    a) Em relao ao Estado:

    - Estado Discreto (cadeia): X(t) definido sobre um conjunto enumervel ou finito.

    - Estado Contnuo: caso contrrio.

    b) Em relao ao Tempo:

    - Tempo Discreto: t finito ou enumervel.

    - Tempo Contnuo: caso contrrio.

    Notao:

    - Processo em tempo contnuo: {X(t), t 0}

    - Processo em tempo discreto: {X(t), t = 1, 2, 3, ...}

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    Exemplos:

    - Estado Discreto e Tempo Contnuo: nmero de usurios em uma fila de banco

    em um determinado instante, colises entre duas partculas no intervalo de 2

    minutos;

    - Estado Contnuo e Tempo Contnuo: nvel de uma represa observado em um

    intervalo de tempo;

    - Estado Discreto e Tempo Discreto: nmero de mquinas avariadas no fim do dia,

    Quantidade de barris petrleo produzidas ao final do dia por uma determinada

    multinacional;

    - Estado Contnuo e Tempo Discreto: cotao de uma ao no fim do dia.

    1.1.2. DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE

    Para um dado valor de t, o processo estocstico X(t) uma varivel aleatria, e a

    obteno de sua distribuio de probabilidade feita como qualquer outra varivel aleatria.

    Entretanto, quando t varia ao longo do conjunto T, a informao X(t) no fornecida por uma

    simples distribuio para um dado t. Para uma informao completa do processo precisamos

    da distribuio conjunta {X(t), t T}. Com isso podemos prever o comportamento do

    processo no futuro, conhecendo o comportamento no passado.

    Quando t contnuo, obter essa distribuio conjunta impossvel, j que o conjunto

    t no-enumervel. Sob essas circunstncias, vlido assumir que o comportamento do

    processo pode ser obtido estudando-o em um conjunto discreto de pontos, assim a

    distribuio conjunta definida nesse conjunto de pontos apropriada.

    Seja (t1, t2,...,tn), com t1 < t2 < ...< tn, um conjunto discreto de pontos de T. A

    distribuio conjunta do processo X(t) nesses pontos pode ser definida como segue:

    )1(],...,,[ 21 21 nttt xXxXxXP n

    A probabilidade do processo estocstico estar no tempo t no estado ta chamada

    probabilidade de estado ( tP ) e definida por:

    )2(][ ttt aXPP

    O vetor p = [ ......21 nppp ] chamado vetor de probabilidade de estado.

    A probabilidade do processo estocstico (com tempo e estado discretos) estar no

    estado j, dado que estava no estado i, chamada probabilidade de transio (nm

    ijP,

    ).

    )3(],|[,

    nmiXjXPP mnnm

    ij

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    Para o caso contnuo, a probabilidade condicional de transio e a probabilidade

    de estado so definidas, respectivamente, como segue:

    )4(])(|)([),,,( 00111010 xtXxtXPttxxF

    )5(])([),( xtXPtxF

    A matriz que armazena todas as probabilidades de transio ),( nm

    ijP chamada

    matriz de probabilidade de transio ][),(),( nm

    ij

    nm pP .

    Um processo dito homogneo (no tempo) se a transio depende de t , mas no

    depende de 0t . Nesse caso temos:

    000010 ),0,,(),,,( ttxxFtttxxF

    O correspondente para estado e tempo discretos

    )(),( mn

    ij

    nm

    ij PP

    Diagrama de Transio de Estados

    o grafo valorado representativo do processo estocstico, onde o conjunto de

    vrtices est associado ao conjunto de estados e seus valores as respectivas probabilidades

    de estado. O Conjunto de arcos, por sua vez, est associado as possveis transies e

    valorado pelas probabilidades de transio.

    1.1.3. ALGUNS PROCESSOS ESTOCSTICOS IMPORTANTES

    Processo de WEINER (Movimento Browniano): a disposio de uma partcula

    suspensa em um fluido, sujeita a sucessivas colises com partculas vizinhas um

    exemplo clssico do processo de Weiner. O fenmeno fsico foi descoberto pelo

    botnico Robert Brown em 1827. A teoria do comportamento desse processo foi

    desenvolvida por Einstein (1906) e Weiner (1923).

    1

    3

    2

    1/2

    2/3

    1/2

    1/3

    1/3

    1/3 1/3

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    Processo de Poisson: o processo estocstico {X(t)} tal que

    !

    )(])([

    k

    tektXP

    kt denominado processo de Poisson. Esse processo

    modela, razoavelmente bem, o nmero de chamadas numa cabine telefnica, por

    exemplo.

    Processo de Renovao: um exemplo desse processo a vida til de um

    equipamento onde uma pea que falha substituda por uma pea igual.

    Processo de Markov: nesse processo toda histria passada resumida no estado

    atual (memria de curto prazo).

    1.2. CADEIAS DE MARKOV EM TEMPO DISCRETO

    Um processo estocstico dito ter a propriedade Markoviana se:

    )6(]|[],;...;;|[ 10011111 iXjXPkXkXkXiXjXP tttttt

    para t = 0, 1, ... e qualquer seqncia i, j, k0, ..., kt-1.

    A expresso acima, equivale a dizer que a probabilidade condicional de qualquer

    evento futuro, dado qualquer evento passado e o estado presente Xt =i, independente do

    evento passado e depende somente do estado presente do processo. Ou seja, um processo

    estocstico dito ser um processo Markoviano, se o estado futuro depende apenas do

    estado presente e no dos estados passados.

    Esse tipo de processo estocstico tambm denominado de processo sem memria.

    Se, para cada i e j

    ,...1,0],|[]|[ 011 ttodosparaiXjXPiXjXP tt

    ento, as probabilidades de transio em um estgio so ditas serem estacionrias e so

    denotadas por pij. Isso implica que as probabilidades de transio no mudam no tempo.

    Um processo estocstico Xt (t = 0, 1, ...) dito ser uma cadeia de Markov em tempo

    discreto se tiver o seguinte:

    1- Satisfizer a propriedade de Markov

    2- Possuir espao de estados enumervel.

    No presente curso, focaremos nossas atenes em cadeias de Markov que

    apresentem as seguintes propriedades.:

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    1- Um nmero finito de estados,

    2- A propriedade markoviana,

    3- Probabilidades de transio estacionrias,

    4- Um conjunto de probabilidades iniciais P(X0 = i) para todo i.

    1.2.1. PROBABILIDADE DE TRANSIO EM VRIOS ESTGIOS

    A existncia de probabilidades de transio estacionrias em um estgio tambm

    implica que, para cada i, j e n (n = 0, 1, 2,...),

    ,...1,0],|[]|[ 0 ttodosparaiXjXPiXjXP ntnt

    Estas probabilidades condicionais so usualmente denotadas por pij(n)

    e so

    chamadas de probabilidades de transio em n estgios. Os processos com essas

    caractersticas so tambm chamados de processos homogneos no tempo.

    ]|[ 0)(

    iXjXPp nn

    ij

    A matriz que armazena as probabilidades de transio em n estgios denotada por

    ][)()( n

    ij

    n pP .

    Seja pij(2)

    a probabilidade de transio do estado i para o estado j em 2 estgios,

    como mostra a Figura 1.1 a seguir.

    Figura 1.1 Probabilidade de Transio do estado i para o estado j em 2 estgios

    Podemos escrever:

    )1()1()1()1()1()1()2(

    jjijzjizijiiij ppppppp

    Skjzik

    kjikij ppp,,

    11)2(, para cada i, j.

    1 2

    i

    z

    j

    estado

    estgio

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    Em notao matricial:

    2)1()1()2( PPPPPP ,

    onde:

    333231

    232221

    131211

    ppp

    ppp

    ppp

    P

    Analogamente:

    Sk

    kjikij ppP12)3(

    , para cada i, j.

    32)2()1()1()2()3( PPPPPPPP

    De uma maneira geral, podemos estabelecer a equao de Chapman-Kolmogorov:

    )7()()()( nkknn PPPP

    Seja pj(1)

    a probabilidade de estar no estado j no instante 1, como mostra a Figura

    1.2:

    Figura 1.2 Probabilidade de estar no estado j no instante 1

    Podemos escrever:

    )1()0()1()0()1()0()1(

    zjzjjjijij ppppppp

    Si

    ijij ppp)1()0()1(

    , para cada i, j.

    Em notao matricial:

    1 2

    i

    j

    z

    estado

    estgio

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    PpPpp )0()1()0()1(

    De uma maneira geral, podemos estabelecer o vetor de estado no instante n:

    )()()( kknn Ppp

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    1.2.2. PROBABILIDADE DE PRIMEIRA PASSAGEM E PRIMEIRO RETORNO

    Seja a igualdade:

    ];;...;;,[ 0121)(

    iXjXjXjXjXPf nnnn

    ij

    Se ij , )(n

    ijf a probabilidade de 1 passagem, isto a probabilidade de que o

    processo esteja no estado j, no tempo n (e no antes), dado que ele estava no estado i, no

    tempo 0.

    Se ij , )(n

    ijf a probabilidade de 1 retorno, isto a probabilidade de que sejam

    necessrios n passos at atingir o estado j pela 1 vez dado que o processo comea no

    estado i.

    )1()1(

    ijij pf , e para n

    ij

    n

    ij pf )(

    , 1n .

    )8(1

    1

    )()()(

    n

    k

    kn

    jj

    k

    ij

    n

    ij

    n

    ij pfpf

    ][ )()( nijn fF , para cada i,j, a matriz de primeira passagem / primeiro retorno.

    1.2.3. CLASSIFICAO DE ESTADO

    Processos Irredutveis: cada estado pode ser alcanado de qualquer outro (atravs

    de uma seqncia de transies), caso contrrio o processo dito redutvel. A Figura 1.3

    mostra um exemplo de processo redutvel.

    Figura 1.3 Exemplo de Processo Redutvel

    Estado Recorrente: se j aconteceu uma vez certo que ir ocorrer novamente, ou

    seja, existe uma probabilidade no nula do estado vir a acontecer no futuro.

    0lim )(

    n

    ijn

    p , para cada i.

    2 3

    4

    5

    6

    7

    1

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    Estado Transiente: ir ocorrer um determinado nmero de vezes e posteriormente

    no ocorrer mais.

    0lim )(

    n

    ijn

    p , para cada i, j estado transiente.

    Vale ressaltar que um processo finito e irredutvel tem todos os estados recorrentes.

    Estado Nulo: estado recorrente, porm com o tempo de recorrncia infinito.

    Estado no-nulo: tempo de recorrncia finito.

    Estado Peridico: estados s podem ocorrer em tempo fixo.

    Considere a Figura 1.4, neste caso, os estados 1 e 2 s podem ser alcanados num

    tempo fixo igual a 2.

    Figura 1.4 Exemplo de Estado Peridico

    A definio de estado peridico no garante que o estado ocorra, mas se ele

    acontecer, ter que ser naquele tempo.

    Estado Absorvente: 1lim )(

    n

    ijn

    p , para cada i, j estado absorvente

    Cadeia Absorvente: possui pelo menos um estado absorvente, como mostra a

    Figura 1.5, onde os estados 4 e 5 so absorventes.

    Figura 1.5 Exemplo de Cadeia Absorvente

    1.2.4. CADEIAS DE MARKOV ERGDICAS (PROBABILIDADES LIMITE)

    Uma cadeia dita Ergdica se for irredutvel, recorrente, no-nula e aperidica.

    )9(lim )( jn

    ijn

    p

    ,

    1 2 3 4

    5

    2

    1

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    onde:

    j frao do tempo que o processo passa no estado j.

    medida que o tempo do processo cresce, o estado inicial perde importncia,

    assim como o prprio tempo.

    ][ j (vetor linha)

    n

    nPlim (m rplicas do vetor ][ j )

    Da equao de Chapman-Kolmogorov temos:

    PPP nn )1()(

    PPPPP n

    n

    n

    n

    n

    n}{limlimlim 11

    = P

    A equao acima representa um sistema de equaes lineares com m sistemas

    independentes e iguais com m equaes lineares cada um. Isto , m rplicas do sistema

    abaixo:

    j

    j

    P

    1

    Uma outra abordagem para o problema a ser considerada pela utilizao da Lei de

    Conservao do Fluxo, a qual garante que no estado permanente, o fluxo que sai do

    sistema igual ao fluxo que entra.

    FLUXO QUE SAI = FLUXO QUE ENTRA

    Para anlise atravs da Lei de Conservao de Fluxo, consideremos a Figura 1.6,

    abaixo:

    Figura 1.6 Exemplo (Lei de Conservao de Fluxo)

    1

    3

    2

    1/2

    2/3

    1/2

    1/3

    1/3

    1/3 1/3

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    A matriz P de probabilidades de transio de estados para este exemplo encontra-se

    descrita a seguir.

    03

    1

    3

    23

    1

    3

    1

    3

    12

    1

    2

    10

    P

    1= 0,323

    Resulta em 2= 0,387

    3= 0,290

    321 3/23/1

    3212 3/13/12/1

    213 3/12/1

    1321

    combinao linear

    2133

    321222

    3211

    3

    1

    2

    1

    3

    2

    3

    1:3

    3

    1

    3

    1

    2

    1

    3

    1

    3

    1

    3

    1:2

    3

    2

    3

    1

    2

    1

    2

    1:1

    n

    n

    n

    Conservao

    do fluxo

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 15

    1.2.5. TEMPO MDIO DE 1 PASSAGEM / RECORRNCIA

    Seja Nij varivel aleatria que representa o nmero de estgios necessrios para

    atingir j pela 1 vez, partindo de i:

    )(}{ nijij fnNP (distribuio do tempo de 1 passagem/1 retorno)

    )(

    1

    )( nijn

    ijij fnNEm

    1 retorno (i = j)

    j frao do tempo que o processo passa no estado j.

    mjj = 1/ j o perodo mdio entre a ocorrncia de j.

    Tempo mdio de 1 passagem (i j)

    Condicionado ao estado no estgio 1

    mij=1 com probabilidade pij

    mij=(1+mkj) com probabilidade pik

    mkj

    jk

    kjikijij mppm )1(1*

    jk

    kj

    jk

    ikikijij mpppm 1*1*

    kj

    jk

    ikij mpm

    1 (10)

    Exemplo: Servio de Transporte de Passageiros por um Helicptero

    Consideremos uma cidade com apenas trs helipontos (Barra Shopping (1), Santos

    Dumont (2) e Galeo (3)) e um nico helicptero, que recolhe o passageiro de um dos

    helipontos e os leva at um outro dos helipontos, onde aguardam at que aparea outro

    passageiro. Um nico passageiro (um grupo com o mesmo destino) atendido de cada vez.

    i

    j

    j jk

    1 | | 0

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 16

    Se o helicptero est brevemente no Galeo, qual a probabilidade de que ele volte

    aps 3 viagens ?

    Se o helicptero est brevemente no Santos Dumont, quantas viagens, em mdia,

    iro correr at que ele volte ao Santos Dumont?

    Em um longo perodo de tempo, qual a frao de viagem se destinam ao Barra

    Shopping?

    Figura 1.7 Exemplo (Servio de Transporte de Passageiros por um Helicptero)

    03

    1

    3

    23

    1

    3

    1

    3

    12

    1

    2

    10

    P a matriz de transio de estados.

    O grafo mostrado na Figura 1.7 um recurso muito usado no estudo dos processos

    estocsticos, denominado diagrama de transio de estados.

    Soluo:

    54

    11

    54

    19

    9

    427

    8

    18

    7

    54

    1736

    13

    12

    5

    9

    2

    3P

    Assim a probabilidade de que o helicptero volte aps 3 viagens 54

    11.

    Da equao (9) temos: jn

    ijn

    p

    lim

    Utilizando, por exemplo, a calculadora HP podemos obter:

    1/3

    1

    3 2

    1/2

    2/3

    1/2

    1/3

    1/3 1/3

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 17

    29,0387,0322,0

    29,0387,0322,0

    29,0387,0322,0

    lim nn

    P

    Assim, em um longo perodo de tempo, a frao de viagens que se destinam ao

    Barra Shopping de 0,322.

    Temos que

    j

    jjm

    1

    ; Assim 583,2387,0

    11

    2

    22

    m , que representa o

    nmero mdio de viagens que iro ocorrer at que o helicptero volte ao Santos Dumont.

    1.2.6. CADEIAS DE MARKOV ABSORVENTES

    a) Representao Matricial:

    P =

    I

    RQ

    0

    b) Probabilidade de Absoro (A)

    ][ ijaA , para cada i pertencente aos estados transientes e para cada j pertencente

    aos estados absorventes.

    1

    )(

    n

    n

    ijij fa , para cada i pertencente aos estados transientes e para cada j

    pertencente aos estados absorventes.

    A probabilidade de absoro sempre depende do estado inicial:

    absorvente pij

    transiente transiente

    0 1

    k

    kjikijij appa

    j

    k j

    i

    akj

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 18

    Tk

    kjikijij appa , para cada i pertencente aos estados transientes e para cada j

    pertencente aos estados absorventes.

    RAQA *

    RAQI *)(

    RQIA *)( 1 (11)

    c) Durao mdia do regime transiente

    Diz-se que ize o nmero mdio de vezes que o estado transiente z ocupado,

    dado que o estado inicial i, i pertencente aos estados transientes.

    Se zi , ento

    Tk

    kzikiz epe

    Se zi , ento

    Tk

    kzikiz epe 1

    ][ izeE , i, z pertencente aos estados transientes.

    1)( QIE (12)

    id a durao mdia do regime transiente, dado que o estado inicial i.

    Tj

    iji ed (13)

    Durao mdia do processo se ele est no estado i e termina no estado j ijr :

    kjtransientek

    kjikijijij rapara , para i transiente e j absorvente.

    (OBS: fazendo ijijij rab e lkijbB , teremos AQIB 1

    .)

    Exemplo:

    Uma floresta constituda de dois tipos de rvores: aquelas com at 3 metros e as

    maiores do que 3 metros. A cada ano 40% das rvores com at 3m morrem, 10% so

    vendidas por $20 cada, 30% permanecem com at 3 metros e 20% crescem para acima de

    3m. Das rvores maiores do que 3m a cada ano so vendidas 50% por $50 cada, 20% por

    $30 cada e 30% permanecem na floresta.

    a) Qual a probabilidade de que uma rvore, com menos de 3m, morra antes de ser vendida?

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 19

    b) Se uma rvore (com menos de 3m) plantada, qual o seu valor esperado de venda?

    M, V20, V30 e V50 so estados absorventes.

    -3 +3 M V20 V30 V50

    -3 0,3 0,2 0,4 0,1 0 0

    +3 0 0,3 0 0 0,2 0,5

    P = M 0 0 1 0 0 0

    V20 0 0 0 1 0 0

    V30 0 0 0 0 1 0

    V50 0 0 0 0 0 1

    428,10

    408,0428,11QIE ,

    714,0285,000

    204,0082,0142,0571,0.REA

    a) Probabilidade de que uma rvore, com menos de 3m, morra antes de ser vendida:

    a 3,M = 0,571 57%

    b) Valor esperado de venda, se uma rvore com menos de 3m plantada:

    Vesp = 20*0,142 + 30*0,082 + 50*0,204 = $15,50

    1.3. CADEIA DE MARKOV EM TEMPO CONTNUO

    Uma cadeia de Markov em tempo continuo e, como a designao indica uma cadeia

    de Markov em que a varivel tempo continua, representando instantes ou momentos de

    0,2 -3

    M

    +3

    V20

    V50

    V30

    0,5

    1 1

    0,4

    0,31

    0,1 0,2

    1 1

    0,3

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 20

    tempo (e no perodos de tempo, como para as cadeias em tempo discreto). Assim, uma

    cadeia de Markov em tempo continuo um processo estocstico {X(t), t 0} com a

    propriedade de Markov, ou seja, a propriedade de estar no estado j num momento futuro

    depende apenas do estado presente e no dos estados visitados em qualquer momento

    passado.

    Considerando a Grfico 1.1 abaixo, temos:

    estado

    1

    Grfico 1.1 - Processo de Markov em Tempo Continuo

    )(),0(),( t

    ij

    t

    ij

    tt

    ij pppo (processo homogneo): probabilidade que o sistema esteja no

    estado j, no instante t, dado que ele estava no estado i no instante 0.

    P(t) = [pij(t)

    ]

    No exemplo temos:

    )()(

    )()()(

    1110

    0100

    tptp

    tptptP

    Suposies:

    O processo satisfaz a propriedade de Markov;

    O processo estacionrio;

    A probabilidade de 2 ou mais mudanas de estado acontecerem num certo intervalo

    de tempo )(t pequeno zero;

    A probabilidade de uma transio de 0 para 1; ou de 1 para 0 em um certo intervalo

    de tempo )(t pequeno proporcional a )(t :

    )()(01 ttp (14)

    e )()(10 ttp (15)

    Assim temos que:

    0 T

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 21

    )()()()()( 1001000000 tptptptpttp

    )()](1[)](1)[()( 1000010000 tptptptpttp

    )()](1[)](1)[()( 000000 ttpttpttp

    )()()()(

    000000 tp

    t

    tpttp

    )()()()(

    000000 tp

    t

    tpttp

    )()()()(

    lim 000000

    0tp

    t

    tpttp

    t

    )()()(

    0000 tpdt

    tdp

    dttp

    tdp

    )()(

    )(

    00

    00

    Integrando ambos os lados, temos:

    ttp

    )(

    )]()(ln[ 00

    tcetp )(00 )()(

    Como 1)0(00 p , temos 0)( ce .

    Logo:

    tetp )(00 )(

    (16)

    Analogamente, podemos obter:

    tetp )(01 )(

    (17)

    tetp )(11 )(

    (18)

    tetp )(10 )(

    (19)

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 22

    1.3.1. VISUALIZAO MATRICIAL

    )()()(

    010000 tptpdt

    tdp

    )()()(

    010001 tptpdt

    tdp

    )()()(

    111010 tptpdt

    tdp

    )()()(

    111011 tptpdt

    tdp

    )(

    )(tP

    dt

    tdP; Seja

    Assim temos:

    )()(

    tPdt

    tdP (20)

    1.3.2. TEMPO AT A PRXIMA TRANSIO

    )()()( 000000 tptpttp

    )](1)[()( 010000 tptpttp

    ttptpttp )()()( 000000

    ttptpttp )()()( 000000

    )()()(

    000000 tp

    t

    tpttp

    )()()(

    lim 000000

    0tp

    t

    tpttp

    t

    )()(

    0000 tpdt

    tdp

    tetp )(00 (21)

    Generalizando

    Um processo estocstico contnuo um processo de Markov se: }0),({ ttX ,

    com espao de estados enumervel E, um processo de Markov se para todo t, 0s e

    Ej :

    )](|)([]),(|)([ sXjtsXPsuuXjtsXP (22)

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 23

    O processo ser homogneo se:

    stpisXjtsXP ij )(])(|)([ (23)

    Discretizando e utilizando a equao de Chapman-Kolmogorov temos:

    )()()( tptpttpEk

    kjikij

    )()()( tPtPttP

    Clculo de )( tP

    Utilizaremos para tal a expanso em srie de Taylor:

    ...))(0```(6

    1))(0``(

    2

    1))(0`()0()( 32 tptptpptp ijijijijij

    2))(0`()0()( tpptp ijijij ,

    onde: 02 .

    ji

    jipij

    ,1

    ,0)0(

    ijt

    ij

    ijdt

    tdpp

    0

    )()0`(

    ij

    )()( tItP (24)

    Retomando, tnhamos anteriormente:

    )()()( tPtPttP Eq. C-K

    Substituindo o resultado obtido em (24) temos:

    )]()[()( tItPttP

    )(

    )(

    )()(tP

    t

    tPttP

    )()(

    tPdt

    tdP (25)

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 24

    chamado gerador infinitesimal.

    Propriedades de :

    ij a taxa de transio ou taxa de sada, isto a velocidade com que se escapa de

    um estado i para um estado j.

    0j

    ij

    1.3.3. PROBABILIDADE DE REGIME PERMANENTE t

    No estudo das cadeias de Markov em tempo continuo interessa conhecer as

    probabilidades estacionarias t de o processo estar em diferentes estados.

    )(lim)(

    lim tPdt

    tdP

    tt

    )(lim)(lim tPtPdt

    d

    tt

    dt

    d

    As equaes de regime permanente so as que seguem:

    e1

    0 (26)

    1.3.4. PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE

    Os Processos de Nascimento-Morte so processos estocsticos muito utilizados na

    descrio de Sistemas de Filas de Espera, dada a sua particular estrutura: as transies de

    um qualquer estado s so possveis para estados vizinhos (i.e., de um estado i para os

    estados i+1 ou i-1).

    Adotando-se um espao de estados X ={0, 1, } e considerando que cada estado

    representa um certo nvel de populao (exemplo: nmero de clientes numa loja, nmero

    de mensagens num coletor de chamadas, nmero de produtos a processar, etc.), tais

    transies podem ser facilmente interpretadas.

    A transio do estado i para o estado i+1 ser um nascimento (por exemplo,

    chegada de um cliente), uma vez que significa um aumento do nvel da populao.

    Enquanto que a transio do estado i para o estado i-1 ser uma morte (por exemplo,

    partida de um cliente), por significar um decrscimo do nvel da populao.

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 25

    Considere a Figura 1.8 abaixo.

    Figura 1.8 Processo de Nascimento e Morte

    ............

    ............

    ............

    ............

    .

    ............

    0

    0

    00

    232221

    121110

    0100

    Sendo assim:

    0100

    )( 121011

    ...

    )( 1,1, nnnnnn

    ...

    Por questo de simplicidade de notao usaremos:

    001 , 112 , 223 ... e

    110 u , 221 u , 332 u , ...

    Uma outra abordagem para o problema usando a Lei de Conservao do Fluxo:

    FLUXO QUE SAI = FLUXO QUE ENTRA

    e1

    0

    0: 1100 u

    1: 0212111010

    0)]([ 2211100 uu

    n-1

    0 1 2 3 n-1 n ... n+1

    1

    ...

    0

    1

    1

    2

    2

    3

    3

    n-1

    n

    n

    n+1

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 26

    2200111 )][( uu

    2: 0)()( 33222111 uuu

    3311222 )( uu

    Resolvendo o sistema temos:

    0: 01

    01

    u

    1: 012

    011

    2

    12

    uuu

    2: 0123

    0123

    uuu

    1...1123

    012

    12

    01

    1

    00

    uuuuuu

    Para resolvermos o sistema necessrio que a srie a convergncia da srie.

    1.3.5. PROCESSO DE POISSON

    Considere a Figura 1.9:

    Figura 1.9 O processo de Poisson

    Equao de Chapman-Kolmogorov (equivalente no caso contnuo):

    )()(

    tPdt

    tdP

    ............

    ............

    ............

    ............

    .

    ............

    00

    00

    00

    ;

    ............

    ............

    ...)()()(

    ...)()()(

    )(121110

    020100

    tptptp

    tptptp

    tP

    Da linha temos:

    0 1 2 3 n-1 n ... n+1

    1

    ...

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 27

    )()(

    0000 tpdt

    tdp

    )()()(

    010001 tptpdt

    tdp

    )()()(

    020102 tptpdt

    tdp

    )()()(

    01,00 tptpdt

    tdpnn

    n

    Resolvendo o sistema para a linha temos:

    dttp

    tdp

    )(

    )(

    00

    00

    cttp )(ln 00

    tcetp )(00 ; como 1)0(00 p , segue que 1c .

    tetp )(00 (27)

    Assim o tempo de permanncia no estado tem distribuio exponencial.

    )()()(

    1,000 tptpdt

    tpdnn

    n

    Multiplicando ambos os lados da equao por te temos:

    )()()(

    1,000 tpetpdt

    tpde n

    t

    nnt

    )()(

    1,00 tpe

    dt

    tpden

    tn

    t

    Para n = 1 temos:

    tt

    t

    eedt

    tpde

    )(10

    dt

    tpde t )(10

    dttpe t )(10

    tedttp )()(10 , como 0)0(10 p temos:

  • COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro Programa de Engenharia de Produo (PEP)

    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 28

    ttetp )(10

    tn

    n en

    ttp

    !

    )()(0 (28)

    O nmero de eventos tem distribuio de Poisson, com parmetro t , que o

    nmero esperado de eventos ocorrendo no perodo t.

    1.3.6. TEMPO ENTRE EVENTOS CONSECUTIVOS

    Seja nT a varivel aleatria correspondente ao tempo entre o (n-1)-simo e o n-

    simo evento.

    Assim 1T o tempo at que o primeiro evento ocorra.

    tempottoocorranonenhumevenPtp )(00

    ][)( 100 tTPtp

    tetTP ][ 1

    tetTP 1][ 1

    Generalizando, temos que:

    t

    nn etTTP

    1}){( 1 (29)

    Portanto, o tempo entre eventos consecutivos em um processo de Poisson tem

    distribuio exponencial.

    1.3.7. SUPERPOSIO DE PROCESSOS DE POISSON

    Se A um processo de Poisson com taxa A e B um processo de Poisson

    com taxa B ento C tambm um processo de Poisson com taxa BAc .

    1.3.8. DECOMPOSIO DE PROCESSOS DE POISSON

    Se A um processo de Poisson ento B e C sero processos de Poisson se a

    separao for probabilstica e independente.

  • COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro Programa de Engenharia de Produo (PEP)

    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 29

    1.3.9. TEOREMA DE KHINTHINE

    A superposio de um grande nmero de processos de renovao (tempos entre

    eventos independentes e identicamente distribudas i.i.d) aproximadamente um processo

    de Poisson.

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 30

    1.4. EXERCICIOS PROPOSTOS DE PROCESSOS ESTOCSTICOS

    01) Uma floresta constituda de dois tipos de rvores: aquelas com at 3 metros e as

    maiores do que 3 metros. A cada ano 40% das rvores com at 3m morrem, 10% so

    vendidas por $20 cada, 30% permanecem com at 3 metros e 20% crescem para acima de

    3m. Das rvores maiores do que 3m a cada ano so vendidas 50% por $50 cada, 20% por

    $30 cada e 30% permanecem na floresta.

    a) Qual a probabilidade de que uma rvore, com menos de 3m, morra antes de ser vendida?

    b) Se uma rvore (com menos de 3m) plantada, qual o seu valor esperado de venda?

    02) Com a chegada da civilizao, os ndios da Aldeia Taipan resolveram instituir um sistema

    de previdncia social, para o que contaram com a ajuda de um consultor, Mestre em

    Engenharia de Produo. A primeira etapa do estudo do consultor consistiu em classificar os

    ndios em trs grupos: crianas, trabalhadores e aposentados. Logo em seguida, utilizando a

    excelente memria dos ndios, ele inferiu os seguintes dados: durante um perodo de um

    ano, 959/1000 de todas as crianas permanecem crianas, 40/1000 se tornam adultos

    trabalhadores e 1/1000 delas morrem; alm disto, ainda durante um dado ano, 960/1000 de

    todos os adultos trabalhadores permanecem adultos trabalhadores, 30/1000 se aposentam e

    10/1000 falecem. A taxa de mortalidade dos aposentados de 50/1000 a cada ano. O

    nmero de nascimentos de 1000 crianas por ano.

    a) Supondo que a populao da Aldeia est em regime permanente determine a sua

    populao, bem como sua estrutura etria (nos trs grupos mencionados).

    b) Cada aposentado recebe uma penso de $ 5.000 por ano. O fundo de penso custeado

    pelos pagamentos dos adultos trabalhadores. Com quanto cada adulto trabalhador deve

    contribuir, por ano, para o fundo de penso?

    03) No jogo de Craps, ns jogamos um par de dados de seis faces. No primeiro lanamento,

    se tirarmos 7 ou 11 ns ganhamos imediatamente. Se tirarmos 2, 3 ou 12 perdemos

    imediatamente. Se o resultado do primeiro lanamento for 4, 5, 6, 8, 9, 10 ns continuamos a

    lanar os dados at obtermos um 7, quando perdemos, ou at obtermos o mesmo resultado

    que o primeiro lanamento, quando ganhamos. Use os seus conhecimentos de Cadeias de

    Markov para determinar nossa probabilidade de vitria.

    04) A Gazeta da Produo tem as seguintes informaes a respeito de seus assinantes:

    Durante o primeiro ano 20% dos assinantes cancelam suas assinaturas. Daqueles que

    completaram o 1o ano, 10% cancelam sua assinatura no 2o ano. Daqueles que assinam por

    mais de 2 anos 4% iro cancel-los durante algum dos prximos anos. Em mdia qual a

    durao de uma assinatura da Gazeta da Produo?

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 31

    05) O tempo em Pedra Azul pode ser descrito, como dependente do tempo nos dois ltimos

    dias, pelo seguinte mecanismo: (i) se os ltimos dois dias foram ensolarados ento existe

    95% de chance de amanh tambm ser ensolarado; (ii) se ontem esteve chuvoso e hoje

    ensolarado ento com 70% de chance amanh ser ensolarado; (iii) se ontem estava

    ensolarado e hoje est chuvoso ento amanh ser um dia chuvoso com 60% de chance;

    (iv) se os dois ltimos dias foram chuvosos ento amanha ser um dia chuvoso com 80% de

    chance.

    possvel modelar o tempo em Pedra Azul como uma cadeia de Markov? Explique porque e

    construa o diagrama de transio de estados.

    06) Suponha que no mercado existem apenas duas marcas de cerveja Mharba e rtica.

    Dado que a ltima compra de uma pessoa foi uma de Mharba, existe 90% de chance de que

    sua prxima compra seja de Mharba. Dado que a ltima compra de uma pessoa foi de rtica

    existe uma probabilidade de 80% de que sua prxima compra seja de rtica.

    a) Represente o problema por uma cadeia de Markov, apresentando a matriz de

    probabilidades de transio e o diagrama de transio de estados.

    b) Dado que uma pessoa acabou de comprar Mharba quanto tempo ser necessrio para

    que outra compra de Mharba seja realizada? E de tica? Como voc interpreta o tempo

    neste caso?

    c) Suponha ainda que cada consumidor faa uma compra de cerveja por semana (1 ano = 52

    semanas), e que existam 100 milhes de consumidores de cerveja. Uma unidade de cerveja

    vendida por $2 e custa cervejaria $1. Por $500 milhes por ano uma firma de propaganda

    garante diminuir de 10% para 5% a frao dos clientes de Mharba que mudam para rtica

    depois de uma compra. Deve a cervejaria Mharba contratar a empresa de propaganda?

    07) Uma companhia com um vo s 7h45 da manh entre Rio e Braslia no quer que o vo

    se atrase dois dias seguidos na mesma escala. Se o vo sai atrasado um dia, a companhia

    faz um esforo especial no dia seguinte para que o vo saia no horrio, e obtm sucesso em

    90% das vezes. Se o vo no saiu atrasado no dia anterior, a companhia no toma

    providncias e o vo sai como escalado em 60% das vezes. Que percentual de vezes o vo

    sai atrasado? Qual o tempo mdio entre dois vos no horrio?

    08) A baco sistemas de computao registra a cada semana uma demanda equiprovvel

    de 1 ou 2 de seu modelo A500. Todos os pedidos devem ser atendidos do estoque existente.

    Duas polticas de estoque esto sendo consideradas:

    Poltica I: Se o estoque de 2 ou menos unidades, coloca-se um pedido de forma que o

    estoque inicial na prxima semana seja de 4 unidades.

    Poltica II: Se o estoque de 1 ou menos unidades, coloca-se um pedido de forma que o

    estoque inicial na prxima semana seja de 3 unidades.

    Os seguintes custos so observados na baco:

    Custo de comprar um computador: $4.000

    Custo de manter o computador em estoque $100/semana.computador,

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 32

    Custo de efetuar um pedido $500 (alm do custo de $4.000 por computador).

    Qual poltica tem o menor custo semanal esperado?

    09) O programa de treinamento de supervisores de produo de uma determinada

    companhia consiste de duas fases. A fase 1 a qual envolve 3 semanas de aula terica,

    seguida da fase 2 a qual envolve 3 semanas de aprendizagem prtica. Pelas experincias

    anteriores, a companhia espera que somente 60% dos candidatos da fase terica passem

    para a fase prtica, com os 40% restantes sendo desligados do programa de treinamento.

    Dos que fazem a parte prtica, 70% so graduados como supervisores, 10% enviados para

    repeti-la e 20% dispensados.

    a) Desenhe o diagrama de transio de estados.

    b) Quantos supervisores pode a companhia esperar formar de seu programa normal de

    treinamento, se existem 45 pessoas na fase terica e 21 na fase prtica?

    10) No instante 0, eu tenho $1. Nos instantes 1, 2, 3, ... eu jogo um jogo no qual eu aposto

    $1. A cada lance tenho uma probabilidade p de ganhar $1 e probabilidade q= 1 - p de

    perder $1 Meu objetivo aumentar meu capital para $4, e to logo eu o consiga eu saio do

    jogo, assim como se eu ficar sem nenhum dinheiro.

    a) Construa a matriz de probabilidades de transio e o diagrama de transio de estados

    para a cadeia de Markov que modela o jogo.

    b) Aps 2 jogadas qual a probabilidade que eu tenha $2 ? E $3?

    c) Porque no razovel para este jogo falar em probabilidades de regime permanente?

    11) O livro de didtico "PO - A Soluo" vende 1 milho de exemplares a cada ano. Alguns

    dos leitores conservam o livro enquanto outros vendem o livro de volta para a livraria.

    Suponha que 90% de todos os estudantes que compram um novo livro o vendam de volta,

    que 80% dos estudantes que compram o livro com um ano de uso o vendam de volta e que

    60% dos estudantes que compram um livro com dois anos de uso o vendam de volta. Os

    livros com 4 ou mais anos de uso j esto muito usados e no so mais negociados.

    a) Em regime permanente, quantos novos exemplares do livro pode a editora esperar vender

    do livro?

    b) Suponha que o lucro da livraria com cada tipo de livro seja de $6 por um livro novo, $3 por

    um livro com 1 ano de uso, $2 por um livro com 2 anos de uso e de $1 por livro com 3 anos

    de uso. Qual o lucro esperado por livro vendido?

    12) Trs bolas so divididas entre 2 caixas. Durante cada perodo uma bola escolhida

    aleatoriamente e trocada para a outra caixa.

    a) Calcule a frao do tempo que uma caixa ir conter 0, 1, 2 ou 3 bolas.

    b) Se a caixa 1 no contm bolas, em mdia quanto tempo ser decorrido at que ela

    contenha 1, 2 e trs bolas ?

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 33

    13) Classifique os diversos estados das cadeias de Markov a seguir, dadas por sua matriz de

    transio. Calcule as probabilidades estacionrias.

    a)

    3,03,04,0

    2,08,00

    03,07,0

    P

    b)

    2/13/16/1

    2/13/16/1

    2/13/16/1

    P

    c)

    010

    100

    8/38/34/1

    P

    d)

    5/305/2

    010

    2/102/1

    P

    f)

    8/7008/1

    04/34/10

    05/45/10

    3/1003/2

    P

    14) Dois jogadores jogam uma moeda honesta. Se der cara o jogador I paga R$1 ao jogador

    II, se der coroa o jogador II que paga R$1 ao jogador I. Considere que a quantidade total

    de dinheiro em jogo (isto a soma das quantias possudas pelos dois jogadores) de R$5.

    Modele o jogo como uma cadeia de Markov. Dado que o jogador I comeou o jogo com R$3,

    calcule o tempo esperado do jogo e a probabilidade de que cada um dos jogadores vena o

    jogo (isto alcance R$5).

    15) Quatro meninos (A, B, C e D) brincam de lanar disco. Se o menino A recebe o disco

    lana-o para B, C ou D com iguais probabilidades; se C recebe o disco lana-o para A ou D

    com iguais probabilidades; se B ou D recebem o disco, ficam com o mesmo. Modele o

    problema como uma cadeia de Markov. Desenhe tambm o diagrama de transio de

    estados.

    a) Se o disco est com C qual a probabilidade de D ficar com o disco?

    b) Se A est com o disco qual a probabilidade do disco terminar com B?

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 34

    16) Considere um jogador que a cada lance de um jogo tem uma probabilidade p de ganhar

    uma unidade e probabilidade q= 1 - p de perder uma unidade. Assumindo que sucessivos

    lances so independentes qual a probabilidade que comeando com i unidades a fortuna

    do jogador alcance n antes de chegar a 0?

    17) Uma loja de mquinas fotogrficas estoca um modelo de mquina fotogrfica particular

    que pode ser encomendado semanalmente. Sejam D1, D2, ..., Di,... variveis aleatrias que

    representam a demanda pelas mquinas durante a semana i. Seja Xo o estoque existente

    de mquinas, e Xi o nmero de mquina disponveis ao final da semana i. Sbado noite a

    loja faz uma encomenda que ser entregue em tempo para a abertura da loja na 2a feira. A

    poltica de encomendas da loja (s,S)=(1,3); ou seja, se no Sbado a noite a quantidade de

    mquinas em estoque for menor que s=1 (nenhuma mquina em estoque), ento a loja

    encomendar (at) S=3 mquinas; caso contrrio nenhuma mquina ser encomendada.

    suposto que haja perdas de vendas quando a demanda exceder o estoque disponvel. As

    variveis aleatrias podem ser avaliadas iterativamente pela expresso:

    1se,0,max

    1se,0,3max

    1

    1

    1

    ttt

    tt

    tXDX

    XDX

    Considerando que a demanda tem uma distribuio de Poisson com mdia 1, a matriz de

    transio de uma etapa dada por:

    0.080 0.184 0.368 0.368

    0.632 0.368 0 0

    P = 0.264 0.368 0.368 0

    0.080 0.184 0.368 0.368

    a) Descreva como a matriz de transies pode ter sido obtida.

    b) Se o processo iniciou com um estoque de 3 mquinas qual o tempo esperado para que o

    estoque se esgote ?

    c) Qual a probabilidade de encontrar o estoque com 0, 1, 2, 3 e 4 mquinas ?

    d) Qual o tempo mdio entre duas encomendas?

    18) Um naturalista est observando o comportamento de um sapo em um pequeno lago, no

    qual h 4 ninfias (plantas aquticas). O sapo circula entre estas 4 plantas pulando de uma

    para outra, as quais so numeradas arbitrariamente de 1 a 4. A probabilidade do sapo pular

    de uma planta para outra inversamente proporcional a distncia entre elas (isto , o sapo

    prefere pular para uma planta mais perto do que para uma mais longe). As distncias entre

    as plantas so:

    2 3 4

    1 6/5 2 3/2

    2 6/7 1/2

    3 3/4

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 35

    a) Defina a matriz de transio

    b) Calcule as probabilidades de regime permanente

    c) Interprete estas probabilidades em termos do comportamento do sapo.

    d) Explique, do ponto de vista do sapo, o que significam as hipteses de Markov e de

    estacionariedade.

    19) Se-segura Companhia de Seguras classifica seus clientes de acordo com seu histrico

    de acidentes (do cliente). Um cliente que no tenha tido nenhum acidente nos ltimos dois

    anos tem uma anualidade de $100. Clientes que tenham tido acidentes em ambos os anos

    tem uma anualidade de $400. Clientes que tenham tido acidente em somente um dos ltimos

    dois anos tem uma anualidade de $300. Um cliente que tenha tido um acidente no ltimo

    ano tem 10% de chance de ter um acidente no ano corrente. Se o cliente no tiver tido

    nenhum acidente no ltimo ano ele tem 3% de chance de ter um acidente no ano corrente.

    Para um dado ano, qual a anualidade mdia paga por um cliente da Se-segura?

    20) DOFOGO uma companhia produtora de foges, famosos pela sua qualidade. A

    companhia tem uma poltica de 2 anos de garantia, onde ela garante a substituio de

    qualquer fogo que falhe durante este perodo. A companhia est planejando fazer uma

    campanha promocional onde pretende estender a garantia para trs anos. Como forma de

    avaliar o impacto desta nova poltica foram coletados os seguintes dados: 3% dos foges

    novos falham durante o primeiro ano de operao; 5% dos foges com mais de um ano de

    uso falham durante o segundo ano de operao; 7% dos foges com mais de dois anos de

    uso falham durante o terceiro ano de operao. Observe que um fogo substitudo no

    coberto pela garantia.

    a) Use cadeias de Markov para predizer quantos foges devero ser repostos com a nova

    poltica.

    b) Supondo que o custo de repor um fogo seja de $100 e que a DOFOGO venda 10.000

    foges por ano, qual o impacto monetrio da mudana de poltica de garantia?

    21) O proprietrio de uma barbearia de uma s cadeira est pensando em expandi-la devido

    ao fato de haver muita gente em espera. As observaes indicam que durante o perodo de

    tempo requerido para cortar o cabelo de uma pessoa, podem haver 0, 1 2 e 3 novas

    chegadas com probabilidade 0,3; 0,4; 0,2; 0,1; respectivamente. A cada tem capacidade

    fixa de 6 pessoas, incluindo aquela que estiver cortando o cabelo.

    a) Desenhe o diagrama de transio de estado e determine a matriz de probabilidade de

    transio.

    b) Determine a probabilidade que a casa esteja lotada.

    c) Dado que a casa esta lotada quanto tempo demora at que ela esteja completamente

    vazia?

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 36

    22) Suponha que voc conduziu uma srie de testes sobre um procedimento de treinamento

    e verificou que a seguinte matriz de probabilidades descreve o conjunto de respostas

    corretas e incorretas

    (j+1)-simo teste

    j-simo

    teste

    Correto Incorreto

    Correto 0,95 0,05

    Incorreto 0,01 0,99

    a) Que proporo de respostas corretas se pode esperar de um estagirio absolutamente

    treinado?

    b) Que proporo de respostas corretas se pode esperar de um estagirio aps quatro

    repeties do procedimento, caso a resposta inicial seja igualmente possvel de ser correta

    ou incorreta?

    c) Qual a probabilidade de que se obtenha, pela primeira vez, uma resposta correta,

    exatamente quatro tentativas aps uma resposta incorreta?

    d) Qual o nmero mdio de tentativas para que se obtenha uma resposta correta aps ter

    obtido uma resposta incorreta?

    23) Um jogador joga um jogo limpo no qual as chances so 2 contra 1. Em outras palavras

    ele tem 1/3 de probabilidade de ganhar e 2/3 de perder. Se ganhar, ganhar $2. Se perder,

    perder $1. Suponha que os recursos totais do jogador e do seu oponente sejam $N. Se o

    capital de qualquer um dos jogadores cair abaixo do ponto em que eles pudessem pagar

    caso perdessem o jogo seguinte o jogo termina.

    a) Desenhe o diagrama de transio de estados e determine a matriz de transio.

    b) Suponha que os dois jogadores concordem em que se o capital de qualquer dos dois cair

    para $1, eles faro o prximo jogo com chances iguais ganharo ou perdero $1, com igual

    probabilidade. Desenhe o diagrama de transio de estados e determine a matriz de

    transio para este caso.

    c) No caso descrito na letra (b) suponha que o jogador 1 tem $3 e o jogador 2 tem $2, qual a

    probabilidade do jogador 1 ganhar o jogo ?

    d) Quantas jogadas durar o jogo?

    24) Perfura-se um poo e, medida que a perfurao avana, uma srie de perfis so

    realizados. Suponha que o poo possa ser classificado em quatro estados, rotulados como

    se segue: Em curso; Com desvio ligeiro, Com desvio acentuado, Abandonado (por estar to

    fora de curso, que no se consegue mais atingir o alvo). Suponha ainda que Xn represente o

    estado do sistema aps a n-sima correo de curso e que o comportamento do poo possa

    ser modelado por uma cadeia de Markov, com a seguinte matriz de probabilidade de

    transio:

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 37

    1 0 0 0

    P = 1/2 1/4 1/4 0

    0 1/2 1/4 1/4

    0 0 0 1

    a) Se o poo comeou com um desvio ligeiro, qual a probabilidade de que ele eventualmente

    entre em curso?

    b) Se o poo tem chances iguais de comear com desvio ligeiro e acentuado, qual a

    probabilidade de que ele eventualmente entre em curso?

    25) Na teoria de anlise de crdito, determinados autores verificaram que a estimativa dos

    valores considerados como devedores duvidosos costuma seguir dois passos bsicos

    descritos a seguir: Classificam-se as contas por idade, que refletem o estado em que a conta

    se encontra: um ms de atraso, dois meses de atraso, etc.

    Estima-se uma expectativa de perda para cada estado, geralmente com base na poltica da

    empresa, situao econmico-financeira do cliente e outros fatores relevantes para a anlise

    do crdito. O segundo tpico merece uma anlise mais detalhada, sendo que atualmente

    diversos mtodos, principalmente na rea de econometria, esto sendo desenvolvidos.

    Entretanto, possvel desenvolver um mtodo para estimar a probabilidade de devedores

    duvidosos, com base nas Cadeias de Markov, atravs do atraso e da inadimplncia existente

    para uma determinada carteira de crdito de uma instituio financeira. Se em uma

    determinada data fizermos um levantamento de uma carteira de crdito, poderemos

    facilmente verificar os seguintes estados das contas em carteira:

    A0 = valores a serem recebidos que ainda no venceram, ou seja, esto em dia ou com 0

    (zero) meses de atraso;

    A1 = valores a serem recebidos que esto com 1 ms de atraso;

    .............................

    Aj = valores a serem recebidos que esto com j meses de atraso;

    .............................

    An = valores a serem recebidos que esto com n meses de atraso;

    Essa disposio corresponde a uma classificao da idade das contas a receber, sendo o

    estado A0 a conta que est em dia, A1 a conta com um ms de atraso, e assim por diante. An

    a situao dos considerados incobrveis. Na prtica o nmero de idades das contas pode

    variar de instituio para instituio ou por categorias de crdito, tais como crdito imobilirio,

    leasing, financiamentos diretos ao consumidor e qualquer outro tipo de operao de crdito.

    Se considerarmos um levantamento de contas a receber provenientes do perodo i para o

    perodo seguinte i + 1, que denominaremos de j , a conta poder ser classificada com

    relao a esses dois ndices, o perodo anterior e o perodo em que se encontra no momento

    atual. De forma geral, teremos Ajk igual ao levantamento da categoria k no tempo i + 1, o qual

    proveniente da categoria j no tempo i. Para considerarmos todas as possveis categorias

    devemos acrescentar mais uma categoria quelas descritas anteriormente. Trata-se da

    categoria correspondente aos ttulos classificados como pagos, que sero descritos

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 38

    comoPag. Valores classificados em qualquer categoria no perodo i podem mover-se para a

    categoria dos ttulos pagos ou para qualquer outra categoria de 0 a n no perodo i + 1. Iremos

    adotar os procedimentos recomendados pelo Banco Central do Brasil, atravs da resoluo

    2.682, que determina que os crditos vencidos h mais de 60 (sessenta) dias, sem garantias,

    sejam transferidos para as contas de Crditos em Liquidao.

    Em 1 de maro foi levantada uma amostra de 1050 contas, e em 31 de maro foi verificado

    o comportamento dessas contas:

    De 01/03 a 31/03 Integ. Pg Em dia Atraso 1 ms Atraso 2 meses Perda Total

    Emitidas at 28/02 150 100 150 0 0 400

    Emitidas at 31/01 120 90 90 150 0 450

    Emitidas at 31/12 30 40 40 60 30 200

    A primeira linha significa que, das faturas emitidas no ms de fevereiro, num total de 400,

    150 foram pagas, 100 ainda no venceram e 150 venceram e no foram pagas, contando o

    atraso de um ms. A segunda linha mostra que, de 450 faturas emitidas no ms de janeiro,

    120 foram pagas, 90 ainda no venceram, 90 apresentam atraso de um ms e 150 com

    atraso de dois meses. Finalmente, a ltima linha mostra que, de 200 faturas emitidas no ms

    de dezembro, alm da seqncia de pagamentos e atrasos, 30 correspondem perda, ou

    seja, atraso superior a 2 meses.

    Seja uma carteira de crdito total de R$ 1.000.000,00, conforme mostramos a seguir:

    Situao da Carteira Valor (R$)

    Contas em dia 800.000

    Contas com atraso de 1 ms 120.000

    Contas com atraso de 2 meses 80.000

    Valor da carteira 1.000.000

    Calcule o valor esperado que ser pago.

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 39

    2. TEORIA DE FILAS

    2.1. INTRODUO E CONCEITOS BSICOS

    A teoria das filas envolve o estudo matemtico das filas, ou filas de espera. Filas

    podem existir na forma de pessoas ou objetos esperando algum tipo de servio ou podem

    existir num sentido mais abstrato, ou seja, no to visvel, como uma fila de navios

    esperando para atracar em um porto.

    Um modelo ou sistema de filas pode ser brevemente descrito da seguinte forma:

    usurios (ou fregueses ou clientes) chegam para receber um certo servio e, devido

    indisponibilidade de atendimento imediato, formam uma fila de espera. A Figura 2.1 ilustra

    esta idia. Os termos usurio e servio so usados com sentido amplo. Podemos estar nos

    referindo a carros que chegam a um posto de pedgio, mquinas que esperam para serem

    consertadas, peas que seguem uma linha de montagem ou mensagens que so

    transmitidas pelos canais de comunicao. Uma rede de filas formada por vrias filas que

    se interconectam entre si de modo que o usurio ao sair de uma fila pode (com uma certa

    probabilidade) dirigir-se a outra. Nas redes abertas h fluxo de fregueses entrando e saindo

    do sistema. Por outro lado, h redes fechadas nas quais o nmero de usurios permanece

    inalterado, isto , no h movimentao de usurios para dentro ou para fora do sistema. Um

    servio de manuteno de mquinas pode ser visto como uma rede fechada onde M

    mquinas se alternam entre os centros de manuteno e de operao. Dessas definies

    bsicas, ramificam-se um sem nmero de outros modelos de filas adequados s varias

    reas, sempre na busca de melhor representar a realidade.

    Figura 2.1 - O Processo de Fila Bsico

    Em aplicaes, o estudo dos modelos de filas tem como objetivo a melhoria de

    desempenho do sistema, entendida, entre outros aspectos, como melhor utilizao dos

    recursos de servio disponveis, menor tempo de espera e mais rapidez no atendimento. O

    pioneiro neste estudo foi A. K. Erlang que, no comeo do sculo, como engenheiro da

    companhia dinamarquesa de telefones, estudou o problema de congestionamento das linhas.

    A Telefonia permaneceu a principal aplicao de teoria das filas at por volta de 1950. A

    partir da, um grande nmero de reas tem utilizado essa ferramenta e a vasta literatura o

    melhor indicador dessa expanso.

    PPaarrttiiddaass Sistema de

    servio FFiillaa ||||||||||||||||

    Fonte de

    chegadas

    CClliieenntteess

    vviiddooss CClliieenntteess

    SSiisstteemmaa ddee ffiillaass

    servidos

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 40

    2.1.1. PORQUE FILAS SO ESTUDADAS

    As filas so estudadas porque em toda fila, embora nem sempre se perceba, existe

    embutido um problema econmico e este problema econmico surge porque em qualquer fila

    existem dois custos envolvidos: o custo da fila e o custo do servio.

    Para exemplificar o que vem a ser estes dois custos, vamos usar o exemplo citado

    acima sobre o processo de atracao de navios em um porto. Em qualquer porto, existem os

    locais onde os navios podem atracar. Estes locais so chamados beros. Assim o nmero

    de beros d o nmero mximo de navios que podem atracar em um porto. Por sua vez, a

    legislao internacional que regulamenta o trfego martimo determina que se ao chegar a

    um porto (obviamente na data certa), no houver bero para atracar, a administrao do

    porto tem que indenizar a companhia, dona do navio, pelo tempo que ele ficar ao largo

    esperando bero livre para atracar. Em resumo quando, por qualquer motivo, todos os

    beros de um porto esto ocupados, os navios que chegam formam uma fila (lgica)

    aguardando sua vez.

    O custo do servio o custo de construir e manter em funcionamento os beros de

    atracao. Quanto mais beros oferecidos, ou seja, quanto maior o nvel de servio

    oferecido, maior este custo.

    O custo da fila o custo que a administrao do porto tem pelo pagamento das

    indenizaes aos navios que esperam na fila. Este custo inversamente proporcional ao

    custo do servio (nmero de beros). Se existem poucos beros o custo da fila ser grande,

    mas o custo do servio ser pequeno. J se existirem muitos beros, o custo do servio ser

    grande, mas em compensao, como a fila ser pequena, o custo da fila ser pequeno.

    2.1.2. PRINCIPAIS CARACTERISTICAS DE UMA FILA

    Algumas das caractersticas bsicas de uma fila como: chegadas, servio de

    disciplina de atendimento e capacidade de espera sero descritas a seguir.

    (a) Chegadas

    O processo de chegada (arrival process) a descrio de como os usurios

    procuram o servio. Se eles chegam a intervalos fixos de tempo, o processo de chegadas

    dito constante ou determinstico. Por outro lado, se as chegadas so aleatrias no tempo,

    elas formam um processo estocstico e necessrio descrever suas propriedades

    probabilsticas.

    A suposio mais comum de que as chegadas formam um processo de renovao,

    isto , os intervalos entre chegadas so independentes e identicamente distribudos. Em

    geral, tambm assumida a independncia em relao ao servio, mas possvel aplicar

    um processo de renovao para as chegadas, condicionado situao do servio. O

    processo de Poisson um processo de renovao com distribuio exponencial e um dos

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 41

    mais utilizados para modelar as chegadas. Alm de descrever, com boa aproximao,

    diversas situaes prticas, os processos de Poisson incorporam facilidades no tratamento

    matemtico proporcionadas pela falta de memria da distribuio exponencial. As

    distribuies de Erlang e hiperexponencial so tambm bastante utilizadas. Modelos mais

    complicados envolveriam possveis dependncias entre as chegadas como, por exemplo, a

    situao onde uma chegada de certo tipo aumentaria ou diminuiria a chance de ocorrncia

    de outro tipo de chegada.

    As chegadas mencionadas acima podem ser unitrias ou em um bloco (batches).

    Neste caso, alm do tempo entre chegadas, tambm o tamanho dos blocos aleatrio. Por

    exemplo, em aeroportos internacionais, a chegada de passageiros de um certo vo ao posto

    alfandegrio se d em bloco, onde o tamanho do bloco a lotao do avio.

    Existem situaes em que as chegadas dependem do nmero de usurios no

    sistema, podendo at ocorrer a situao em que uma chegada no se junta fila. Isto pode

    ocorrer por deciso do usurio ou por limitao no espao para espera. O caso clssico,

    conhecido como sistema com perda (loss system), originou-se do estudo de trfego

    telefnico onde o usurio completa a chamada ou obtm sinal de ocupado e excludo do

    sistema. Chegadas com usurios impacientes, que abandonam a fila aps algum tempo de

    espera, podem tambm ser modeladas.

    (b) Servio

    Da mesma forma que o processo de chegada possvel considerar o tempo de

    servio como sendo determinstico ou aleatrio. A distribuio do tempo de servio pode

    depender do estado do sistema ou, at mesmo do tipo de usurio a ser servido. Porm a

    hiptese mais simples a de independncia, isto , o servio um processo de renovao.

    Dentre as distribuies mais usadas destacam-se a exponencial, Erlang e hiperexponencial.

    O nmero de servidores disponveis para o atendimento a uma mesma fila tambm deve ser

    especificado. Neste caso, comum mencionar os servidores esto em paralelo numa

    referncia a estarem atendendo uma mesma fila.

    (c) Disciplina de Atendimento

    A disciplina de atendimento se refere a maneira como os usurios sero

    selecionados para receber servio. No nosso cotidiano os atendimentos, em geral, se do

    pela ordem de chegada. A fila no caixa do supermercado, a retirada de carros de um

    estacionamento e a compra de ingressos para o cinema so exemplos dessa disciplina, que

    ser referida como FCFS (do ingls, first come first served). Em aplicaes, outras disciplinas

    podem aparecer. A disciplina LCFS (last come first served) pode ser usada em modelos de

    arquivo ou de busca em disco rgidos. O servio em ordem aleatria, independente do tempo

    de chegada, pode servir de modelo para alguns sistemas computacionais. Outra disciplina,

    que tem aplicao em computao a do processamento ou tempo compartilhado

    (processor or time sharing) que definida pela dedicao, a todos os usurios presentes no

    sistema, de uma pequena quantidade de servio de cada vez. Assim, em rodadas

    sucessivas, o usurio vai recebendo sua dose de atendimento at que sua requisio total de

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    servio seja completada. A disciplina de atendimento pode ainda estabelecer prioridades

    entre usurios de modo a atender primeiro os de alta prioridade. Em alguns modelos o

    servio pode at ser interrompido para dar lugar a um usurio de prioridade mais alta.

    Quando modelos com prioridade so adotados necessrio especificar como se dar a

    ordem de atendimento dentro da mesma classe de prioridade e, em geral, FCFS utilizada

    nestes casos.

    (d) Capacidade do Sistema

    muito comum haver uma limitao fsica no numero de usurios que podem

    esperar. Se a capacidade total estiver ocupada, o usurio no poder entrar no sistema e

    ser perdido ou desviado para outro centro de servio. Essa limitao se relaciona com a

    chegada, mas a deciso de no se juntar fila no do usurio e sim do sistema de servio.

    Uma fila caracterizada pelo mximo nmero permissvel de clientes que ela possa

    conter. As filas so chamadas de infinitas ou finitas, de acordo com esse nmero ser infinito

    ou finito. A suposio de uma fila infinita o padro para a maioria dos modelos de fila,

    mesmo para situaes em que na verdade exista um limite superior finito (relativamente

    grande) no nmero permissvel de clientes, uma vez que tratar com um limite superior seria

    um fator de complicao na anlise. Entretanto, para sistemas de filas em que este limite

    superior suficientemente pequeno, para que seja, de fato, alcanado com alguma

    frequncia, torna-se necessrio supor uma fila finita.

    Variando as caractersticas (a) a (d) acima, podemos obter um grande nmero de

    modelos, conforme ser apresentado a seguir.

    2.1.3. NOTAO DE KENDALL

    O professor D. G. Kendall criou, em 1953, uma notao para sistemas de filas que

    hoje largamente utilizada. A notao consiste na forma A/B/c/K/Z, onde A descreve a

    distribuio do tempo entre chegadas, B a distribuio do tempo de servio, c o nmero de

    servidores, K a capacidade da fila de espera (alguns autores definem K como capacidade

    total de usurios no sistema) e Z a disciplina de atendimento.

    Algumas escolhas para A e B so as seguintes:

    M: Distribuio Exponencial (de memoryless)

    Ek: Distribuio de Erlang-k

    D: Distribuio Determinstica ou degenerada

    U: Distribuio Uniforme

    G: Distribuio Geral (no especificada)

    A omisso de K e Z na representao acima indica que a fila tem capacidade infinita

    e disciplina FCFS. Por exemplo, a fila M/G/1 tem chegadas exponenciais, o servio com

    distribuio geral e um servidor, no h limite na sala de espera e o atendimento na ordem

    de chegada. Por outro lado, a fila G/E2/3/15 tem chegadas seguindo uma distribuio geral,

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    o servio segue a distribuio de Erlang-2, existem 3 servidores, a capacidade mxima do

    sistema 18 (note que a fila mxima tem comprimento 15) e, como nada foi mencionado, a

    disciplina de atendimento FCFS.

    De forma resumida ento podemos apresentar o seguinte formato: A/B/c onde, A

    representa a distribuio de chegadas, B representa a distribuio do servio e c indica o

    nmero de estaes de servio. Como a distribuio de Poisson inclui as propriedades do

    processo Markoviano, a notao usada para A e B M quando temos um processo de

    Poisson.

    2.1.4. TERMINOLOGIA E NOTAES

    A menos que seja dito o contrrio, as seguintes notao e terminologia padres

    sero usadas deste ponto em diante:

    Tabela 2.1 Terminologias usadas em Teoria das Filas

    Estado do Sistema Nmero de clientes no sistema de fila

    Comprimento da Fila Nmero de clientes esperando um servio ou estado do sistema

    menos o nmero de clientes sendo servidos

    N (t) Nmero de clientes no sistema de fila no tempo t (t 0)

    Pn (t) Probabilidade de que exatamente n clientes estejam no sistema

    de fila no tempo t, dado o nmero no tempo 0

    S Nmero de servidores (canais de servio paralelo) no sistema de

    fila

    n Taxa mdia de chegada (nmero esperado de chegadas por tempo

    unitrio) de novos clientes, quando n clientes esto no sistema.

    n

    Taxa mdia de servio para todo o sistema (nmero esperado de

    clientes concluindo o servio por tempo unitrio) quando n clientes

    esto no sistema

    , , Vide pargrafo seguinte

    Quando n for uma constante para todo n, esta constante ser denotada por ;

    quando a taxa mdia de servio por servidor ocupado for uma constante para todo n 1,

    esta constante ser denotada por (neste caso, n = s , quando n s, de modo que todos

    os s servidores estaro ocupados). Nestas circunstncias 1/ e 1/ so o tempo entre

    chegadas esperado e o tempo entre servios esperado, respectivamente. Tambm

    s o fator de utilizao da instalao de servio, isto , a frao de tempo

    esperada em que os servidores esto ocupados, porque /s representa a frao da

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    capacidade do servio do sistema (s) que est sendo utilizada em mdia pelos clientes que

    chegam ().

    Tambm necessria alguma notao para descrever os resultados do estado de

    equilbrio. Quando um sistema de fila tenha comeado a operar recentemente, o estado do

    sistema (nmero de clientes no sistema) ser grandemente afetado pelo estado inicial e pelo

    tempo decorrido desde ento. O sistema dito ento estar em condio transiente.

    Entretanto, depois de j ter passado tempo suficiente, o estado do sistema se torna

    essencialmente independente do estado inicial e do tempo decorrido (exceto sob

    circunstncias pouco usuais). O sistema, ento, alcanou essencialmente uma condio de

    estado de equilbrio. A notao mostrada na Tabela 2.2 supe que o sistema esteja numa

    condio de estado de equilbrio:

    Tabela 2.2 Notao utilizada no estado de equilbrio

    N Nmero de clientes no sistema de fila

    Pn Probabilidade de que exatamente n clientes estejam no sistema no sistema de fila

    L Nmero de clientes esperado no sistema de fila

    Lq Comprimento de fila esperado

    Tempo de espera no sistema (inclui tempo de servio) para cada cliente em particular

    W E ()

    q Tempo de espera na fila (exclui o tempo de servio) para cada cliente em particular

    Wq E (q)

    2.1.5. RESULTADO DE LITTLE

    As relaes entre as medidas de desempenho do sistema so conhecidas como

    frmulas de Little. Estas relaes relacionam o nmero mdio de usurios (L ou Lq) com o

    tempo mdio de espera (W ou Wq) e tiveram a sua primeira demonstrao formal no trabalho

    de Little [1961]. Desde ento provas alternativas e extenses tm sido apresentadas e sua

    validade extrapolou os modelos Markovianos e pode ser verificada para sistemas mais

    gerais.

    Supondo que n seja uma constante para todo n. Num processo de fila em estado

    de equilbrio, foi provado que:

    L = W

    Alm disso, a mesma prova tambm mostra que:

    Lq = Wq

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    Se os n no forem iguais, ento poder ser substitudo nestas equaes por /, a

    taxa mdia de chegada a longo prazo.

    Supondo agora que o tempo mdio de servio seja uma constante, 1/, para todo n

    1. Segue ento que:

    W = Wq + 1/

    Estas relaes so extremamente importantes porque permitem que todas as quatro

    quantidades fundamentais, L, W, Lq, Wq, sejam imediatamente determinadas, assim que uma

    delas seja encontrada analiticamente. Isto muito bom porque algumas destas quantidades

    frequentemente so muito mais fceis de encontrar que outras, quando estamos resolvendo

    um modelo de fila a partir de princpios bsicos.

    2.1.6. EXEMPLOS DE SISTEMAS DE FILAS REAIS

    Uma classe importante dos sistemas de filas que todos ns encontramos em nossas

    vidas dirias a dos sistemas de servio comerciais, onde os clientes recebem servios

    de organizaes comerciais. Muitas destas organizaes envolvem servios de pessoa a

    pessoa num local fixo, tal como uma barbearia (os barbeiros so os servidores), servio de

    caixa no banco, as caixas de supermercado e uma fila de lanchonete onde cada um se serve

    (canais de servio em srie). Entretanto, em muitas outras organizaes, isto no ocorre, tais

    como servios de assistncia tcnica a domicilio (o tcnico de manuteno vai at o cliente),

    mquina de venda automtica (onde o vendedor uma mquina), e um posto de gasolina

    (onde os carros podem ser vistos como os clientes).

    Outra classe importante a dos sistemas de servio de transporte. Para alguns

    destes sistemas, os veculos so os clientes, tais como os carros esperando num posto de

    pedgio ou sinaleira de trnsito, um caminho ou navio esperando para ser carregado ou

    descarregado por carregadores (ou servidores), e avies esperando para aterrisar ou decolar

    de uma pista (o servidor).

    Em anos recentes, a teoria de filas, provavelmente tem sido mais aplicada a

    sistemas de servio internos empresa-indstria, onde os clientes que recebem servios

    so internos organizao. Exemplos disto so sistemas de manuseio de materiais, onde

    unidades de manuseio de materiais (ou servidores) movem as cargas (os clientes). Alm

    disso, as mquinas podem ser vistas como servidores cujos clientes so os trabalhos que

    esto sendo processados. Um exemplo correlato de grande importncia uma instalao de

    computador, onde o computador visto como servidor.

    Ultimamente, tem havido um reconhecimento crescente de que a teoria das filas

    tambm seja aplicvel a sistemas de servio social. Por exemplo, um sistema judicial

    uma rede de filas, onde os tribunais so instalaes de servios, os juzes (ou painis de

    juzes) so os servidores, e os casos esperando para serem julgados so os clientes. Um

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    sistema legislativo uma rede de filas similar, onde os clientes, agora, so os projetos de

    lei esperando para serem processados.

    Embora essas sejam quatro grandes classes dos sistemas de filas, elas ainda no

    esgotam a lista. De fato, a teoria das filas teve inicio no principio deste sculo, com

    aplicaes na engenharia telefnica, e ainda permanece como uma importante rea de

    aplicao. Alm disso, todos ns temos as nossas filas pessoais trabalhos de casa, livros

    para ler, e assim por diante.

    2.1.7. A DISTRIBUIO EXPONENCIAL NA TEORIA DE FILAS

    As caractersticas de operao dos sistemas de filas so grandemente determinadas

    por duas propriedades estatsticas, isto , a distribuio de probabilidade dos tempos entre

    chegadas e a distribuio de probabilidades dos tempos de servio. Para sistemas de filas

    reais, estas distribuies podem assumir praticamente qualquer forma (a nica restrio

    que no podem ocorrer valores negativos). Entretanto, para a formulao de um modelo de

    teoria de filas como uma representao do sistema real necessrio especificar a forma

    assumida de cada uma destas distribuies. Para ser til, a forma assumida deveria ser

    suficientemente realista, para que o modelo fornea predies razoveis, enquanto que, ao

    mesmo tempo, fosse suficientemente simples, para que o modelo fosse matematicamente

    tratvel. Nestas bases, a distribuio de probabilidade mais importante na teoria das filas a

    distribuio exponencial.

    Suponhamos que a varivel aleatria T represente ou o tempo entre chegadas ou o

    tempo de servio. Quais as implicaes de supormos que T tenha uma distribuio

    exponencial para um modelo de filas? Para explorar isso, necessrio examinar cinco

    propriedades-chave da distribuio exponencial.

    PROPRIEDADE 1: fT (t) uma funo estritamente decrescente de t (t 0).

    Figura 2.1 Propriedade 1 da Distribuio Exponencial na Teoria das Filas

    Uma conseqncia da propriedade 1 que:

    P[0 T t] > P[t T t + t]

    x

    1 t

    x fT (t)

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    Para quaisquer valores estritamente positivos de t e t. Isto decorre do fato de que

    essas probabilidades so a rea sob a curva fT(t), dentro do intervalo de comprimento t

    indicado, e de que a altura mdia da curva menor para a segunda probabilidade que para a

    primeira. Por isso, no apenas possvel, como tambm relativamente provvel que T

    assuma um valor pequeno prximo a zero. De fato,

    P[0 T

    1

    2

    1] = 0,393

    enquanto

    P[

    1

    2

    1 T

    1

    2

    3] = 0,383

    de modo que mais provvel que o valor de T assuma seja pequeno, isto , menor que a

    metade de E(T) e no prximo ao seu valor esperado, isto , no muito longe de metade de

    E(T), mesmo que o segundo intervalo seja duas vezes maior que o primeiro.

    O questionamento a ser feito se esta propriedade para T realmente razovel num

    modelo de fila? Se T representar tempos de servio, a resposta depender da natureza

    geral do servio envolvido, conforme discutido a seguir.

    Se o servio requerido for essencialmente idntico para cada cliente, com o servidor

    realizando sempre a mesma seqncia de operaes de servio, ento os tempos de servio

    reais tenderiam a estar prximos ao tempo de servio esperado. Podem ocorrer pequenos

    desvios da mdia, porm usualmente isso se daria apenas por causa das pequenas

    variaes na eficincia do servidor. Um tempo de servio pequeno, muito abaixo da mdia,

    seria essencialmente impossvel porque necessria uma certa quantidade de tempo

    mnimo para realizar as operaes de servio requeridas, mesmo que o servidor esteja

    trabalhando a toda velocidade. Esta claro que a distribuio exponencial no forneceria uma

    aproximao precisa para a distribuio de tempo de servio para este tipo de situao.

    Por outro lado, consideremos o tipo de situao em que as tarefas especficas

    requeridas dos servidores sejam diferentes, de cliente para cliente. A natureza geral do

    servio pode ser a mesma, porem o tipo especifico e a quantidade de servio diferem. Por

    exemplo, este seria o caso no problema do quarto de emergncia do Hospital Municipal. Os

    mdicos encontram uma grande variedade de problemas mdicos. Na maioria dos casos,

    eles podem fornecer o tratamento necessrio bem rapidamente, porem, ocasionalmente, um

    paciente requer cuidados extensivos