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POLIEDROS
POLIEDROS
Un POLIEDRO RECTILÍNEO es un cuerpo tridimensional limitado
por superficies planas que se denominan CARAS. Las ARISTAS del
poliedro son los segmentos pertenecientes a la intersección de las caras.
Los VÉRTICES del poliedro son los puntos de intersección de las
aristas. Las DIAGONALES del poliedro son los segmentos no
incluidos en ninguna cara.
Un poliedro se denomina CONVEXO, si todas sus diagonales están en
el interior del poliedro, y en caso contrario se denomina NO
CONVEXO.
ELEMENTOS DE POLIEDROS
POLIEDRO CONVEXO POLIEDRO NO CONVEXO
CARAS
ARISTAS
DIAGONALES
VÉRTICES
Un POLIEDRO CURVILÍNEO es un cuerpo
tridimensional limitado por superficies no necesariamente
planas.
POLIEDROS ELEMENTALES.
PRISMA.- Poliedro que se obtiene mediante traslación de un
polígono (base). Un prisma es triangular, cuadrangular,
pentagonal, etc., dependiendo del polígono que lo genera.
PARALELEPÍPEDO.- Prisma cuyas bases son
paralelogramos. En el caso de que sea un paralelepípedo recto,
entonces sus seis caras son rectangulares y se denomina
ORTOEDRO. Un CUBO es un paralelepípedo rectangular
cuyas seis caras son iguales.
¿Cómo calcular la longitud de la diagonal D de un Ortoedro de
lados a, b y c?.
CALCULAR LA DIAGONAL DE UN PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR
a
b
c a
bd = (a²+ b²)
d c
d
D = (d²+ c²)
D
PIRÁMIDE.- Poliedro tal que todas sus caras, salvo una
(base) son triangulares, y se juntan en un vértice común. Una
pirámide se denomina triangular, cuadrangular, pentagonal,
etc., dependiendo del tipo de polígono que sea la base .
ÁREA DE PRISMA.
Dado un PRISMA de base un polígono de n lados:
El ÁREA LATERAL = AL = ÁREA de las n áreas de los
paralelogramos laterales del prisma.
El ÁREA de la BASE = AB = ÁREA del polígono (de n
lados) de la BASE.
El ÁREA TOTAL = AT = AL + 2 . AB
EJEMPLO.
Dado el PRISMA
5 cm
1 cm
Su desarrollado será:
AL = 6 . (5 cm).(1 cm) = 30 cm²
1 cm
½ cm
22 1 3
1 .2 2
cm
2
31 . .
2 3.
2 4B
cm cm
A cm
2 2
2
2
3 30 2
4
60 3
2
T L BA A A
cm cm
cm
5 cm
1 cm
VOLUMEN DE PRISMAS.
El VOLUMEN de cualquier PRISMA se obtiene
multiplicando el ÁREA de la BASE del PRISMA, por la
ALTURA.
2 cm
2 cm
5 cm
Ejemplo. 2 3
2 . 2 . 5 .
4 5 . 20 .
Volumen V cm cm cm
cm cm cm
ÁREAS Y VOLÚMENES DE PRISMAS.
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS DE PRISMAS
PRISMA TRIANGULAR 1 ; PRISMA TRIANGULAR 2
PRISMA CUADRÁNGULAR ;
PARALELEPÍPEDO 1 ; PARALELEPÍPEDO 2
FÓRMULA DE EULER PARA POLIEDROS CONVEXOS
Si denominamos por:
C = Nº de caras de un Poliedro rectilíneo convexo.
A = Nº de aristas de un Poliedro rectilíneo convexo.
V = Nº de vértices de un Poliedro rectilíneo convexo.
Se cumple la siguiente Fórmula de EULER:
C – A + V = 2
Ejemplo: Si contamos las caras, aristas y vértices
del siguiente poliedro, obtenemos:
C = 12; A = 20; V = 10.
Luego se cumple:
C – A + V = 12 – 20 + 10 = 2
POLIEDROS REGULARES. CONSTRUCCIÓN.
POLIEDRO REGULAR.- Poliedro que cuyas caras son polígonos
regulares iguales entre sí y en cada uno de sus vértices concurren el
mismo número de caras. Existen solamente 5 poliedros regulares
convexos denominados SÓLIDOS PLÁTONICOS.
• Para poder construir los poliedros regulares, se tiene que cumplir:
- El número de caras concurrentes en cada vértice debe de ser mayor o
igual que 3
- La Suma de los ángulos que concurren en cada vértice ha de ser menor
de 360º.
DENOMINACIÓN DE POLIEDROS REGULARES
V A C
TETRAEDRO V = 4 A = 6 C = 4.
OCTAEDRO V = 6 A = 12 C = 8.
ICOSAEDRO V = 12 A = 30 C = 20.
CUBO V = 8 A = 12 C = 6.
DODECAEDRO V = 20 A = 30 C = 12.
ÁREA DE PIRÁMIDE.
Dada una PIRÁMIDE de base un polígono de n lados:
El ÁREA LATERAL = AL = ÁREA de las n áreas de los
triángulos laterales de la pirámide.
El ÁREA de la BASE = AB = ÁREA del polígono (de n
lados) de la BASE.
El ÁREA TOTAL = AT = AL + AB
EJEMPLO.
Dada una PIRÁMIDE de base un cuadrado de lado 2 cm. Y cuyo
apotema de sus triángulos (altura de triángulos laterales) es de 5 cm.
2 cm.
5 cm.
AB = 2 cm. 2 cm = 4 cm²
2 cm.
AL = 4.(½ .( 2 cm. 5 cm)) = 20 cm²
5 cm.
2 cm.
AT = AB + AL = 24 cm ²
VOLUMEN DE PIRÁMIDE.
El VOLUMEN de cualquier PIRÁMIDE se obtiene
multiplicando el (1/3) del ÁREA de la BASE de la
PIRÁMIDE por la ALTURA y multiplicando por .
Ejemplo.
2 cm.
h=5 cm.
AB = 2 cm. 2 cm = 4 cm²
2 cm.
V = (1/3) . AB . h = (1/3) . 20 cm ² . 5 cm = (100/3) cm3
ÁREAS Y VOLÚMENES DE PIRÁMIDES.
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS DE PIRÁMIDES
TETRAEDRO
PIRÁMIDE PENTAGONAL
ÁREA DE TRONCO DE PIRÁMIDE.
El ÁREA TOTAL de cualquier TRONCO DE
PIRÁMIDE la podemos obtener desarrollando el tronco
de pirámide en un plano, y obteniendo el ÁREA
LATERAL de las n áreas de los TRAPECIOS
ISÓSCELES LATERALES (n = lados de la base) y
sumándole el área de las dos bases (polígonos de n lados).
EJEMPLO.
Dado una TRONCO DE PIRÁMIDE de base mayor un cuadrado de lado
2 cm. y base menor un cuadrado de base 1 cm. Y cuya apotema de sus
trapecios isósceles (altura de trapecios laterales) es de 3 cm.
ABM = 2 cm. 2 cm = 4 cm²
2 cm.
AT = ABM + ABm + AL =
= 4 cm² + 1 cm² + 12 cm² =
= 17 cm²
ABm = 1 cm. 1 cm = 1 cm²
1 cm.
2 cm.
1 cm.
3 cm.
AL = 4.(½ .( 2 cm. + 1 cm) . 3 cm.) = 12 cm²
2 cm.
1 cm.
3 cm.
VOLÚMENES DE TRONCO DE PIRÁMIDE.
El VOLUMEN de cualquier TRONCO DE PIRÁMIDE se obtiene
restando al volumen de la PIRÁMIDE COMPLETA, el volumen de la
PIRÁMIDE QUE FALTA.
EJEMPLOS DE TRONCO DE PIRÁMIDE
TRONCO DE PIRÁMIDE
