Poliedros - rc.unesp.brrc.unesp.br/tmelo/aula7.pdf · Poliedros Poliedro e um objeto da Matem atica que pode ser de nido com diversos n veis de generalidade. Adotaremos a seguinte:

PoliedrosMA13 - Unidade 22

Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT

Poliedros

Poliedro e um objeto da Matematica que pode ser definido comdiversos nıveis de generalidade. Adotaremos a seguinte:

Poliedro e uma reuniao de um numero finito de polıgonos planoschamados faces onde:

i) Cada lado de um desses polıgonos e tambem lado de um, eapenas um, outro polıgono.

Cada lado de um polıgono, comum a exatamente duas faces, echamado uma aresta do poliedro e, cada vertice de uma face eum vertice do poliedro.

ii) A intersecao de suas faces quaisquer ou e um lado comum, oue um vertice ou e vazia.

iii) E sempre possıvel, caminhando sobre as faces, ir de um pontode uma a um ponto qualquer de outra sem passar por nenhumvertice (ou seja, cruzando apenas arestas).

Poliedros slide 2/11

Um poliedro

b

b

b

b

b

b

b

b

A = numero de arestas A = 12F = numero de faces F = 6V = numero de vertices V = 8


Descrevendo as faces

Fn representa o numero de faces de genero n.

O poliedro da figura ao lado e formadopor dois triangulos, tres quadrilaterose dois pentagonos.

F3 = 2, F4 = 3, F5 = 2.b

b

b

b

b

b

b

bb


Descrevendo os vertices

Genero de um vertice e o numero de arestas que incidem nele.Vn representa o numero de vertices de genero n.

Na figura ao lado,

A, B e C tem genero 3,D, E , F e G tem genero 4,H tem genero 5.

V3 = 3, V4 = 4, V5 = 1.

Como exercıcio, descreva suas faces.b

Db

B

bE

bA

bH

b

F

b G

bC


Contando as faces e os vertices

O numero total de faces e a soma dos numeros de faces de cadagenero.

F = F3 + F4 + F5 + · · ·

O numero total de vertices e a soma dos numeros de vertices decada genero.

V = V3 + V4 + V5 + · · ·


Contando as arestas

Como cada aresta e lado de exatamente duas faces temos:

2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + · · ·

Como cada aresta e comum a extatamente dois vertces temos:

2A = 3V3 + 4V4 + 5V5 + · · ·


Visualizando as relacoes

Veja novamente o poliedro anterior.

A descricao pelas faces e F3 = 6, F4 = 3. Entao,

2A = 3F3 + 4F4 = 3 · 6 + 4 · 3 = 30

Logo, A = 15.

A descricao pelos vertices e V3 = 3,V4 = 4, V5 = 1. Entao,

2A = 3V3+4V4+5V5 = 3·3+4·4+5·1 = 30

Logo, A = 15.

b

b

b

b

b

b

b

b


Poliedro convexo

Todo poliedro limita uma regiao do espaco chamada de interior dopoliedro. Dado um poliedro, um ponto do espaco ou e exterior aopoliedro, ou pertence ao poliedro, ou e interior ao poliedro.

Uma reta e secante a um poliedro quando possui pontos interioresao poliedro.

Um poliedro e convexo quando qualquer reta secante possuiexatamente dois pontos em comum com o poliedro.

b

bb

b

b

b


Duas desigualdades

Em todo poliedro valem as desigualdades:

i) 2A ≥ 3F ii) 2A ≥ 3V

Demonstracao de i)

2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + · · ·2A = 3(F3 + F4 + F5 + · · · ) + F4 + 2F5 + · · ·2A = 3F + F4 + 2F5 + · · ·2A ≥ 3F

A igualdade vale somente se F4 = F5 = · · · = 0, ou seja, se opoliedro tiver apenas faces triangulares.

A demonstracao de ii) e analoga e fica para o leitor.


Um exemplo

Colando pela base duas piramides regulares iguais cuja base e umpolıgono de n lados, obtemos um poliedro formado apenas porfaces triangulares.

b b

bb

b

b

b

Temos F = 2n, V = n + 2 e A = 3n.Como se ve, 2A = 3F .


Poliedros regularesMA13 - Unidade 22


Definicao

Um poliedro convexo e regular se suas faces sao polıgonosregulares iguais e se todos os seus vertices possuem mesmo genero.

Desde a antiguidade sao conhecidos os 5 poliedros regulares.

Poliedros regulares slide 2/12

Tetraedro

Formado por 4 faces triangulares F3 = 4.

bb

b

b

F = 4

V = 4

A = 6


Cubo

Formado por 6 faces quadradas F4 = 6.

bb

bb

b

b

b

b

F = 6

V = 8

A = 12


Octaedro


bb

bb

b

b

F = 8

V = 6

A = 12


Dodecaedro


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b b

b

bb

F = 12

V = 20

A = 30


Icosaedro


b

b b

b b

b

b

b

b

b

b

b

F = 20

V = 12

A = 30


Por que existem apenas 5 poliedros regulares?

a) Poliedros com faces triangulares

Se cada vertice e comum a 3 faces temos o tetraedro.Se cada vertice e comum a 4 faces temos o octaedro.Se cada vertice e comum a 5 faces temos o icosaedro.

Retorne e veja as figuras desses poliedros.

Reunindo 6 triangulos equilateros com um vertice comum, a figurafica plana.

b


b) Poliedros com faces quadradas

Se cada vertice e comum a 3 faces temos o cubo.

Reunindo 4 quadrados com um vertice comum a figura fica plana.

b


c) Poliedros com faces pentagonais

Se cada vertice e comum a 3 faces temos o dodecaedro.

Nao e possıvel reunir 4 pentagonos regulares com um verticecomum.

b


d) Nao ha poliedros com todas as faces regulares de nenhumoutro tipo.

Reunindo 3 hexagonos regularescom um vertice comum a figurafica plana. Nao e possıvel reunir 3 heptagonos com um verticecomum.

b

b


Poliedros duais

Dois poliedros sao duais quando o numero de vertices de um eigual ao numero de faces do outro.Cubo e octaedro sao duais.

F V A

Cubo 6 8 12

Octaedro 8 6 12

Obs: dodecaedro e icosaedro sao tambem duais.Poliedros regulares slide 12/12

Teorema de Euler para poliedrosMA13 - Unidade 22


Teorema de Euler

Em todo poliedro convexo com F faces, V vertices e A arestas tem-se

A + 2 = F + V .

Observe o poliedro da figura abaixo.

A = 11

F = 6

V = 7

A + 2 = 11 + 2 = 13

F + V = 6 + 7 = 13

bb

bb

b

bb

Teorema de Euler para poliedros slide 2/10

Preparando a demonstracao do teorema

Seja P um poliedro convexo com F faces, V vertices e A arestas.As faces sao numeradas de 1 ate F .O genero da k-esima face e nk .

LemaA soma dos angulos internos de todas das faces e

S = 360◦(A − F ) .

Demonstracao

S = 180◦(n1 − 2) + 180◦(n2 − 2) + . . . + 180◦(nF − 2)

S = 180◦[(n1 + n2 + . . . + nF ) + (2 + 2 + . . . + 2)]

S = 180◦(2A − 2F ) = 360◦(A − F )


Demonstracao do teorema

Sejam: r = reta nao paralela anenhuma face de P.H = plano perpendicular a r que naointersecta P (sera chamado de planohorizontal).

A projecao de P sobre H possui comocontorno um polıgono K ′.Cada ponto de K ′ e projecao de umunico ponto de P.O conjunto desses pontos de P e a po-ligonal K (vermelha no desenho) cha-mada de contorno aparente de P.

H

K

r

K’

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b b

b

bb

b

b


Continuando

Se uma reta paralela a r intersecta Pem dois pontos entao o mais afastadode H sera chamado de ponto superiore o outro de ponto inferior.

Os pontos de P ficam separados em 3conjuntos:

Os pontos superiores (verdes).

Os pontos do contorno aparente(vermelhos).

Os pontos inferiores (azuis).

H

K

r

K’

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b b

b

bb

b

b


Continuando

Sejam:

V0 = numero de vertices docontorno aparente K = numerode vertices de K ′.

V1 = numero de verticessuperiores.

V2 = numero de verticesinferiores.

A projecao dos pontos superiores de Pe formada por um polıgono K ′ com V0

vertices tendo em seu interior V1 pon-tos que sao as projecoes dos verticessuperiores.

K’

b b

b

bb

b

b

b

b


Continuando

Atencao: a soma dos angulos internosde um polıgono nao se altera com suaprojecao.

A soma dos angulos internos das facessuperiores e

S1 = 360◦V1 + 180◦(V0 − 2)

K’

b b

b

bb

b

b

b

b


Continuando

Analogamente, a soma dos angulos internos das faces inferiores e

S2 = 360◦V2 + 180◦(V0 − 2)

Somando os dois temos

S = 360◦V1 + 360◦V2 + 2 · 180◦(V0 − 2)

= 360◦(V1 + V2 + V0 − 2)

= 360◦(V − 2)

Entretanto, pelo Lema temos S = 360◦(A − F ).Logo, A − F = V − 2, ou seja,

A + 2 = F + V


Observacao

A relacao de Euler foi demonstrada para poliedros convexos.Entretanto e facil verificar que existem poliedros nao convexos quetambem satisfazem a relacao de Euler.

F = 8

V = 12

A = 18

Que poliedros nao satisfazem a relacao de Euler?


Um poliedro nao-euleriano

b b

bb

b b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

Identifique os numeros F, V e A nesse poliedro.A relacao de Euler nao vale.


Volumes e Princıpio de CavalieriMA13 - Unidade 23


Volumes

Nocao intuitiva

O volume de um solido e a quantidade de espaco por ele ocupada.

Unidade de volume A unidade de volume e o cubo de aresta 1.Seu volume, por definicao, sera igual a 1.

1

Volumes e Princıpio de Cavalieri slide 2/12

Volume do paralelepıpedo retangulo

TeoremaSe dois paralelepıpedos retangulos possuem bases iguais, entao arazao entre seus volumes e igual a razao entre suas alturas.

DemonstracaoSejam V e V ′ os volumes de dois paralelepıpedos retangulos commesma base B e alturas h e h′, respectivamente.

a) Suponha que h e h′ sao comensuraveis.Seja x um segmento que cabe m vezes em h e n vezes em h′.Daı,

h = mx , h′ = nx eh

h′ =m

n.


Continuacao da demonstracao

Pelos pontos de divisao tracamos planos paralelos a B que dividemos dois paralelepıpedos retangulos em outros menores todoscongruentes.

h

h’

Se v e o volume de cada um dos pequenos paralelepıpedos entao

V = mv e V ′ = nv . Assim,V

V ′ =m

ne consequentemente,

V

V ′ =h

h′ , c.q.d.

b) Se h e h′ nao forem comensuraveis a demonstracao esta noApendice desta aula.


TeoremaO volume de um paralelepıpedo retangulo e o produto de suasdimensoes.

DemonstracaoSeja V o volume do paralelepıpedo cujas dimensoes sao a, b e c .Considere tres outros paralelepıpedos retangulos com as dimensoesque aparecem na tabela a seguir.

Dimensoes Volume

a b c V

a b 1 V1

a 1 1 V2

1 1 1 v

Aplicando o Teorema 1 temos:V

V1=

c

1,

V1

V2=

b

1,

V2

v=

a

1

Multiplicando membro a membro temos:V

v=

a · b · c1 · 1 · 1

Mas, por definicao, V = 1 (unidade de area). Logo, V = abc .Volumes e Princıpio de Cavalieri slide 5/12

O Princıpio de Cavalieri

Sao dados dois solidos A e B e um plano H. Se todo planoparalelo a H secciona A e B segundo figuras de mesma area entaoesses solidos tem mesmo volume.

Na figura um plano paralelo a H, distando d de H seccionou ossolidos A e B segundo figuras de areas A1 e A2.

Se, para todo d , tem-se A1 = A2 entao A e B tem mesmo volume.


O volume do prisma

Dado um prisma de altura h cuja base e um polıgono de area A,

considere um paralelepıpedo retangulo tal que o produto de duas das

dimensoes seja A e que a terceira dimensao seja h.

Ponha os dois solidos com a face de areaA sobre um plano H. O prisma e o pa-ralelepıpedo retangulo possuem mesmaaltura h.

Para qualquer plano H ′ paralelo a H a

secao produzida no prisma e congruente

com a base e a secao produzida no pa-

ralelepıpedo retangulo tambem e con-

gruente com a base. Assim, se A1 e

A2 sao as areas das duas secoes, temos

A1 = A = A2.

Pelo princıpio de Cavalieri, os dois solidos tem mesmo volume.

Entao, o volume do prisma e V = Ah.


Definicao geral de volume

Um poliedro retangular e todo solido formado pela reuniao de umnumero finito de paralelepıpedos retangulos justapostos.


Definicao

Dado um solido S , o volume de S e o numero real cujasaproximacoes por falta sao os volumes dos poliedros retangularescontidos em S .

Seja P um poliedro retangular contido em S .A definicao dada significa que nao apenas se tem V (S) ≥ V (P)para todo poliedro retangular P contido em S como tambem, dadoqualquer numero real r tal que r < V (S) e possıvel encontrar umpoliedro retangular P1 tal que r < V (P1) ≤ V (S).


Solidos semelhantes

Vamos recordar a definicao de figuras semelhantes dada naUnidade 10.1.Duas figuras F e F ′ sao semelhantes, com razao de semelhanca k ,quando existe uma bijecao s : F → F ′ entre os pontos de F e ospontos de F ′ tais que:

Se X e Y sao pontos quaisquer de F e se X ′ = s(X ) e Y ′ =

s(Y ) sao seus correspondentes em F ′ entaoXY

X ′Y ′ = k .

ab

c

a′

b′

c′

F

F′

F e F ′ sao dois paralelepıpedos retangulos semelhantes.


a b

c

a′

b′

c′

F

F′

Se F e F ′ sao semelhantes na razao k entaoa

a′=

b

b′ =c

c ′ = k .

A razao entre os volumes dos dois paralelepıpedos e:

V (F )

V (F ′)=

abc

a′b′c ′ =a

a′· b

b′ ·c

c ′ = k · k · k = k3 .

TeoremaA razao entre os volumes de dois solidos semelhantes e igual aocubo da razao de semelhanca.

Este fato geral decorre da definicao geral de volume e do resultadoanterior.


Apendice

TeoremaSe dois paralelepıpedos retangulos possuem bases iguais, entao arazao entre seus volumes e igual a razao entre suas alturas.

b) Suponha que as alturas h e h′ nao sao comensuraveis.

Seja x um segmento que cabe n vezes em h′. Temos h′ = nx .

Suponha agora que x esteja contido em h entre m vezes e m + 1 vezes.

Temos entao mx < h < (m + 1)x .

Assim, a razao h/h′ entre as alturas e tal que mn < h

h′ <m+1n .

Tracando planos paralelos a base por cada extremidade dos segmentos x

assinalados sucessivamente sobre h e h′ temos que a razao entre os

volumes V e V ′ dos dois paralelepıpedos e tal que mn < V

V ′ <m+1n .

A razao entre os volumes e a razao entre as alturas estao entre mn e m+1

n .

Entretanto, essas razoes diferem de 1n que pode ser tao pequeno quanto

quisermos desde que n seja suficientemente grande. Portanto, a razao

entre os volumes dos dois paralelepıpedos e igual a razao entre suas

alturas: VV ′ = h

h′ .


Prisma e piramideMA13 - Unidade 23


Prisma regular

Um prisma e reto quando suas arestas laterais foremperpendiculares ao plano da base.Prisma regular e um prisma reto cuja base e um polıgono regular.

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

Prisma e piramide slide 2/7

Piramide (secoes paralelas a base)A figura abaixo mostra uma piramide de vertice V , altura H e base dearea A. Uma secao paralela a base dista h do vertice V e tem area A′.

A

A’H

h

b

Xb

b

Y

bV

bX ′

b

Y ′

b

b

b

b

b

Na figura acima, a razao de semelhanca entre a secao e a base e

X ′Y ′

XY=

VX ′

VX=

h

H.

A razao entre as areas de figuras semelhantes e o quadrado da razao desemelhanca. Entao,

A′

A=

(h

H

)2


TeoremaDuas piramides de mesma base e mesma altura tem mesmovolume.

h

H

A1 A2

A

b

b

b

b

V1

b

V2

b

b

b

b

A figura acima mostra duas piramides com mesma base de area A e comaltura H. Um plano paralelo a base distando h dos vertices V1 e V2

produziu secoes de areas A1 e A2. Temos

A1

A=

(h

H

)2

=A2

A

Logo, A1 = A2 e, pelo princıpio de Cavalieri, as duas piramides tem

mesmo volume.Prisma e piramide slide 4/7

Volume da piramide triangular

Um prisma triangular pode ser decomposto em tres tetraedros demesmo volume. Observe a figura abaixo. Os tetraedros T1, T2 eT3, juntos, formam o prisma triangular.

Procure justificar por que os tres tetraedros possuem mesmovolume.Se o prisma triangular tem altura h e base de area A entao seuvolume e Ah.Logo, o volume de T3 e V = 1

3Ah.O volume da piramide triangular e a terca parte do produto daarea da base pela altura.


Volume da piramide qualquer

O volume de qualquer piramide e a terca parte do produto da areada base pela altura.

A1

A2

A3

h

b

b b

b

b

b b

b

O polıgono da base pode ser dividido em triangulos. A piramidefica dividida em piramides triangulares cujas bases tem areasA1,A2, . . . ,An. O volume V da piramide e

V =1

3A1h +

1

3A2h + . . . +

1

3Anh =

1

3(A1 + A2 + An)h =

1

3Ah


Piramide regular

Uma piramide e regular quando a base e regular e a projecao dovertice sobre o plano da base e o centro da base.

b

Ab

B

b C

bD

b

Ob

M

bV

A figura acima mostra uma piramide quadrangular regular.O ponto O e o centro da base.OV e a altura da piramide.As arestas laterais sao iguais.Se M e o ponto medio de uma das arestas da base, VM e oapotema da piramide.


Esfera inscrita e circunscrita. Tronco deprisma

MA13 - Unidade 23


Prisma regular e sua esfera circunscrita

Todo prisma regular admite uma esfera circunscrita.

b

b

b

b

b

b

bO

bO′

bK

Se O e O ′ sao os centros das duas bases, o ponto K , medio deOO ′ e equidistante de todos os vertices.O ponto K e o centro da esfera circunscrita ao prisma.

Esfera inscrita e circunscrita. Tronco de prisma slide 2/8

Piramide regular e sua esfera circunscrita

Toda piramide regular admite uma esfera circunscrita.

b

Ab

B

b C

bD

b

H

bV

b O

Todo ponto da altura da piramide regular equidista dos vertices dabase. Na figura acima o ponto O e tal queOV = OA = OB = OC = OD. O ponto O e o centro da esferacircunscrita a piramide.Para calcular o raio da esfera use o triangulo OHA.


Piramide regular e sua esfera inscritaToda piramide regular admite uma esfera inscrita.

b

Ab

B

b C

bD

b

Hb

M

bV

bK

b E

Todo ponto da altura da piramide regular equidista das faceslaterais. Na figura acima o ponto K tem mesma distancia da basee de uma face lateral (KH = KE ).O ponto K e o centro da esfera inscrita na piramide.Para calcular o raio da esfera observe que os triangulos VEK eVHM sao semelhantes.


Secoes paralelas a base de uma piramide

Toda secao paralela a base de umapiramide forma outra uma outra menor,semelhante a primeira.

O desenho mostra uma piramide trian-gular, mas o leitor deve imaginar umapiramide de genero n.

As piramides V − A′B ′C ′ e V − ABC dealturas h′ e h sao semelhantes na razao

k =A′B ′

AB=

B ′C ′

BC= · · · =

VA′

VA=

VB ′

VB= · · · =

h′

h

h’

hS’

S

V′

V

b

A

b

B

b

C

bV

bA′

b

B′

b C ′

b

b

b

b

Se S ′ e S sao as areas das bases e V ′ e V os volumes, temos ainda

S ′

S= k2 e

V ′

V= k3

Obs: O poliedro ABC . . .− A′B ′C ′ . . . e um tronco de piramide e seuvolume e, naturalmente, a diferenca entre os volumes das duas piramides.


Tronco de prisma triangularO poliedro ABC − A′B ′C ′ representado na figura a seguir e tal que AA′,BB ′ e CC ′ sao paralelos. Esse poliedro e um tronco de prisma triangular.

h1

h2

h3

bA

b

B

b

C

bA′

b

B′

bC ′

b

b

b

b

b

b

Seja S a area do triangulo ABC e sejam h1, h2 e h3 as distancias dosvertices A′, B ′ e C ′ ao plano (ABC ), respectivamente.O volume do tronco de prisma triangular e

V = S · h1 + h2 + h3

3

Obs: A demonstracao deste resultado esta no Apendice desta aula.Esfera inscrita e circunscrita. Tronco de prisma slide 6/8

Apendice

Notacao

Em uma piramide triangular qualquer face pode ser consideradacomo base e, escolhida a base, o quarto vertice e chamado de“vertice” da piramide.

Na piramide triangular ABCD a notacao D − ABC significa queABC e a base e D e o vertice da piramide.


Roteiro da demonstracao

Faca a divisao do tronco de prisma nas mesmas tres partes queforam realizadas na demonstracao do volume da piramidetriangular (unidade 22.1, figura 4).Sejam V1, V2 e V3 os volumes das tres partes. Lembre: “Duaspiramides de mesma base e mesma altura tem mesmo volume”.

V1 = V (A − A′B ′C ′) = V (A − A′BC ′) = V (A − A′BC )

= V (A′ − ABC )

V2 = V (B ′ − ACC ′) = V (B − ACC ′) = V (C ′ − ABC )

V3 = V (B ′ − ABC )

O volume V do tronco de prisma e, entao,

V = V1 + V2 + V3 = V (A′−ABC ) + V (C ′−ABC ) + V (B ′−ABC )

Se S e a area do triangulo ABC temos entao

V =Sh1

3+

Sh3

3+

Sh2

3= S · h1 + h2 + h3

3


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