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Poliedross - sistema.deltacolegio.com.brsistema.deltacolegio.com.br/upload/08102016021043... · Quantas arestas e quantas faces tem esse poliedro? ... o poliedro tem 15 arestas e

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    Superfcie polidrica fechada

    uma superfcie polidrica fechada.

    No uma superfcie polidrica

    fechada.

    23.1

    Uma superfcie polidrica fechada composta de um

    nmero finito (quatro ou mais) de superfcies poligonais

    planas, de modo que cada lado de uma dessas superfcies

    coincida com apenas um lado de alguma das outras

    superfcies.

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    Poliedro

    a) b) c)

    23.2

    chamado de poliedro o slido geomtrico formado

    pela reunio de uma superfcie polidrica fechada com

    todos os pontos do espao delimitados por ela.

    Exemplos

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    Elementos de um poliedro

    23.3

    face

    aresta

    vrtice

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    Nomenclatura de um poliedro

    Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com seu

    nmero de faces.

    vrias face

    23.4

    Poli edro

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    Nomenclatura de um poliedro

    Exemplos

    a) hexaedro

    6 faces

    8 vrtices

    12 arestas

    b) tetradecaedro

    14 faces

    16 vrtices

    28 arestas

    c) dodecaedro

    12 faces

    20 vrtices

    30 arestas

    23.4

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    Nomes de poliedros estudados com maior frequncia

    23.4

    Nmero de faces

    4 5 6 7

    Nome do poliedro

    tetraedro pentaedro hexaedro heptaedro

    Nmero de faces

    Nome do poliedro

    8 12 20

    octaedro dodecaedro icosaedro

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    Se cada plano que contm uma face de um poliedro

    posiciona as demais faces em um mesmo semiespao,

    ento o poliedro convexo; caso contrrio, no

    convexo (ou cncavo).

    Poliedro convexo e poliedro no convexo

    Observao:

    Um plano divide o espao em dois semiespaos de mesma

    origem .

    23.5

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    Poliedros convexos Poliedros no convexos

    Poliedro convexo e poliedro no convexo

    Exemplos

    23.5

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    Relao de Euler

    V + F 2 = A

    nmero de vrtices

    nmero de faces

    nmero de arestas

    23.6

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    Poliedro V F A V + F V + F 2

    Relao de Euler

    Observe que a relao de Euler vlida para os

    poliedros abaixo.

    23.6

    8 6 12 14 12

    6 6 10 12 10

    6 5 9 11 9

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    Relao de Euler

    Todo poliedro convexo satisfaz a relao de Euler, mas nem

    sempre um poliedro que satisfaz essa relao convexo.

    V = 24

    F = 14

    A = 36

    24 + 14 2 = 36

    no convexo

    23.6

    Observe:

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    Exerccio resolvido

    R1. Obter o nmero de arestas de um poliedro convexo que

    tem 6 faces e 8 vrtices.

    Resoluo

    Como a relao de Euler vlida para todos os poliedros

    convexos, temos:

    V + F 2 = A A = 8 + 6 2 A = 12

    Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas.

    23.7

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    Exerccio resolvido

    R2. Quantos vrtices tem um poliedro convexo com 4 faces

    triangulares e 5 faces quadradas?

    Resoluo

    Nmero de faces do poliedro: 4 + 5 = 9.

    As 4 faces triangulares tm 12 lados (4 3) e as 5 faces

    quadradas tm 20 lados (5 4). Ento, o nmero de arestas

    dado por: (12 + 20) : 2 = 16, pois a ligao de duas faces

    consecutivas se d sempre por uma nica aresta. Assim, o

    poliedro tem 16 arestas e 9 faces. Logo:

    V + 9 2 = 16 V = 9

    Portanto, esse poliedro tem 9 vrtices.

    23.8

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    Exerccio resolvido

    R3. Um poliedro euleriano (que atende relao de Euler) de

    7 vrtices tem 5 vrtices nos quais concorrem 4 arestas e

    2 vrtices nos quais concorrem 5 arestas. Quantas arestas

    e quantas faces tem esse poliedro?

    Resoluo

    5 vrtices com 4 arestas: (5 4) arestas = 20 arestas

    2 vrtices com 5 arestas: (2 5) arestas = 10 arestas

    23.9

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    Exerccio resolvido

    R3.

    Resoluo

    Como cada aresta foi contada duas vezes (uma vez em cada

    vrtice), temos:

    A = = 15

    Pela relao de Euler, obtemos:

    V + F = A + 2 7 + F = 15 + 2 F = 10

    Logo, o poliedro tem 15 arestas e 10 faces.

    23.9

    20 + 102

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    Poliedros de Plato

    Um poliedro chamado de poliedro de Plato se,

    e somente se:

    convexo e, portanto, satisfaz a relao de Euler;

    todas as faces tm o mesmo nmero inteiro n de arestas;

    em todos os vrtices concorre o mesmo nmero inteiro m

    de arestas.

    23.10

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    Poliedros de Plato

    Exemplo

    a) Esse poliedro de Plato, pois:

    todas as faces tm 4 arestas;

    em todos os vrtices concorrem

    3 arestas;

    ele convexo, portanto a relao

    de Euler vlida (8 + 6 2 = 12).

    23.10

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    b) Esse poliedro no de Plato, pois,

    embora seja convexo e em todos os

    vrtices concorra o mesmo nmero

    de arestas, nem todas as faces tm

    o mesmo nmero de arestas. H

    faces quadrangulares, pentagonais

    e uma triangular.

    23.10

    Poliedros de Plato

    Exemplo

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    Classe Caracterstica Exemplo

    As cinco classes de poliedros de Plato

    23.11

    Tetraedro

    4 faces triangulares, e em

    cada vrtice concorrem

    3 arestas

    Hexaedro

    Octaedro

    6 faces quadrangulares,

    e em cada vrtice

    concorrem 3 arestas

    8 faces triangulares, e em

    cada vrtice concorrem

    4 arestas

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    Classe Caracterstica Exemplo

    As cinco classes de poliedros de Plato

    23.11

    Dodecaedro

    12 faces pentagonais, e em

    cada vrtice concorrem

    3 arestas

    Icosaedro

    20 faces triangulares, e em

    cada vrtice concorrem 5

    arestas

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    Poliedros regulares

    Os poliedros regulares tm todas as faces poligonais

    regulares e congruentes entre si.

    Observaes:

    Uma superfcie poligonal plana regular se o polgono que

    a compe regular;

    Um polgono regular se tem todos os lados de mesma

    medida e todos os ngulos internos congruentes.

    23.12

    pentgonoregular

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    Poliedros regulares

    Veja a seguir os cinco poliedros regulares.

    23.12

    tetraedroregular

    hexaedroregular (cubo)

    octaedroregular

    dodecaedroregular

    icosaedroregular

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    Planificao da superfcie de um poliedro

    A superfcie de um poliedro, que formada por superfcies

    poligonais planas, pode ser projetada sobre um plano, de tal

    modo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos

    um lado em comum com outra face.

    Obtemos, assim, uma figura plana, que costuma ser chamada

    de molde do poliedro, planificao da superfcie do

    poliedro ou, simplesmente, planificao do poliedro.

    As faces de um poliedro podem ser arranjadas de vrios

    modos, desde que cada face esteja ligada a outra por pelo

    menos um de seus lados.

    23.13

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    Planificao da superfcie de um poliedro

    Exemplo

    23.13

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    Exerccio resolvido

    R4. Para o caso do cubo, h 11 diferentes planificaes.

    Duas delas esto representadas abaixo; desenhar as

    outras 9 planificaes.

    23.14

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    Exerccio resolvido

    R4.

    Resoluo

    A resoluo fica facilitada se usarmos uma malha quadriculada.

    Estas so as outras possibilidades:

    23.14

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    Exerccio resolvido

    R5. Desenhar duas planificaes diferentes da superfcie do

    tetraedro regular.

    Resoluo

    23.15

    ou

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    Exerccio resolvido

    R6. Na planificao da superfcie

    de um cubo, foi assinalado

    um ponto A. Marcar nessa

    planificao o ponto que

    coincidir com A depois de

    o cubo ser montado.

    Resoluo

    23.16

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    Exerccio resolvido

    R7. Qual o nmero de vrtices

    do slido obtido ao dobrarmos

    convenientemente as linhas

    tracejadas da figura ao lado?

    Resoluo

    O slido obtido um heptaedro, logo o nmero de faces 7.

    Como h 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais, o

    nmero de arestas :

    Como vale a relao de Euler, temos:

    V = 15 7 + 2 ou V = 10

    23.17

    A =5 4 + 2 5

    2= 15

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    Chama-se prisma o poliedro formado por todos os

    segmentos de reta paralelos a r tais que uma de suas

    extremidades um ponto da regio P e a outra

    extremidade um ponto no plano .

    Prismas

    Vamos considerar dois

    planos paralelos, e , uma

    regio poligonal P contida

    em e uma reta r que

    intercepta os planos e .

    23.18

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    Prismas

    Exemplos

    a) b)

    c)

    23.18

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    Elementos de um prisma

    23.19

    bases: so as regies poligonais

    P e P', congruentes e situadas

    em planos paralelos ( e ,

    respectivamente);

    faces laterais: as regies poligonais AABB, BBCC etc.;

    arestas das bases: os segmentos AB, BC, ..., AB, BC etc.;

    arestas laterais: os segmentos AA, BB, CC etc.;

    altura do prisma: a distncia h entre os planos das

    bases ( e ).

    Considerando o prisma ao lado, temos:

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    Classificao dos prismas

    1o critrio

    Consideramos a inclinao da reta r em relao aos planos

    e que contm as bases:

    23.20

    faces laterais so retngulos

    prisma reto

    faces laterais so paralelogramos

    prisma oblquo

    se a reta r no

    perpendicular aos planos

    e prisma oblquo

    se a reta r

    perpendicular aos planos

    e prisma reto

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    2o critrio

    Consideramos o polgono que determina as bases:

    23.20

    Classificao dos prismas

    se esse polgono um tringulo

    prisma triangular

    se um pentgono

    prisma pentagonal,

    e assim por diante.

    se um quadriltero

    prisma quadrangular

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    Um prisma regular se, e somente se, reto e suas

    bases so superfcies poligonais regulares.

    Prisma regular

    23.21

    Este prisma no regular, pois as suas bases no so polgonos regulares.

    Este prisma regular, pois ele reto e as suas bases so quadradas.

    Exemplos

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    Paraleleppedo

    Entre os prismas quadrangulares, aqueles que tm bases em

    forma de paralelogramos so chamados de paraleleppedos.

    Esses prismas podem ser retos ou oblquos.

    23.22

    Exemplos

    Paraleleppedooblquo

    Paraleleppedoreto-retngulo oubloco retangular

    cubo

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    Diagonal de um paraleleppedo todo segmento

    cujas extremidades so vrtices desse paraleleppedo

    que no pertencem a uma mesma face.

    Medida da diagonal de um paraleleppedo reto-retngulo

    23.23

    d =

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    23.23

    d =

    Medida da diagonal de um paraleleppedo reto-retngulo

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    Sabemos que: d =

    Substituindo a, b e c, respectivamente, por 3, 4 e 5, temos:

    d = = =

    d =

    Logo, a diagonal mede cm.

    Exerccio resolvido

    R8. Calcule a medida da diagonal

    do paraleleppedo ao lado.

    Resoluo

    23.24

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    Exerccio resolvido

    R9. Calcule a medida da aresta de um cubo cuja diagonal

    excede em cm a diagonal da base.

    Resoluo

    Sendo d a medida da diagonal do cubo e

    f a medida da diagonal da base, temos, pelos

    dados do problema:

    d = f + d f =

    Tambm temos:

    23.25

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    Portanto: = cm

    Exerccio resolvido

    R9.

    Resoluo

    Por se tratar de um cubo, sabemos que: d =

    Assim: d f =

    23.25

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    Representaes planas de prismas

    Observe, a seguir, a planificao da superfcie de um prisma.

    Por meio dela, identificamos muitas caractersticas desse

    prisma. Veja:

    tem 7 faces, j que a planificao de sua superfcie apresenta

    7 regies poligonais;

    23.26

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    Representaes planas de prismas

    tem bases pentagonais, pois faces pentagonais no podem

    ser faces laterais de um prisma, que devem ser

    necessariamente quadrilteros;

    tem 5 faces laterais (ou faces retangulares), j que as

    pentagonais so bases;

    tem 10 vrtices, uma vez que cada base contm metade dos

    vrtices do prisma;

    um prisma reto, pois suas faces laterais so retangulares;

    tem altura igual ao comprimento de uma aresta lateral, j

    que reto.

    23.26

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    Atotal = Alateral + 2 Abase

    rea da superfcie de um prisma

    rea da base (Abase): rea da face que base;

    rea lateral (Alateral): soma das reas das faces laterais;

    rea total (Atotal): soma da rea lateral com as reas das

    duas bases, ou seja:

    23.27

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    Exerccio resolvido

    R10. Calcular a rea total da superfcie

    de um paraleleppedo reto-retngulo

    de dimenses a, b e c (medidas

    dadas em uma mesma unidade).

    Resoluo

    Nesse caso, quaisquer pares de faces paralelas podem ser as

    bases do prisma. Assim, a rea total a soma das reas de

    seis retngulos congruentes dois a dois:

    Atotal = 2ab + 2ac + 2bc Atotal = 2(ab + ac + bc)

    23.28

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    Exerccio resolvido

    R11. Calcular a rea total da superfcie de um cubo

    de aresta a.

    Resoluo

    Como o cubo um paraleleppedo

    reto-retngulo de arestas congruentes, temos:

    Atotal = 2(a a + a a + a a)

    Atotal = 6a2

    23.29

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    Exerccio resolvido

    R12. Calcular a rea total da superfcie do prisma hexagonal

    regular abaixo.

    23.30

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    Exerccio resolvido

    R12.

    Resoluo

    A base do prisma uma regio hexagonal regular de lado a.

    Sabemos que um hexgono regular pode ser decomposto em

    seis tringulos equilteros. A rea de um tringulo equiltero

    de lado dada por: A =

    23.30

    Como vimos, um prisma regular um prisma reto e, portanto,

    suas faces laterais so retangulares e congruentes, de

    dimenses a e h.

    Assim, a rea lateral dada por: Alateral = 6 a h

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    Exerccio resolvido

    Portanto, a rea da base do prisma dada por:

    Abase =

    Logo, a rea total da superfcie desse prisma hexagonal :

    Atotal = Alateral + 2 Abase = 6ah + 2

    Atotal = 3a(2h + a )

    23.30

    Assim, a rea de um hexgono regular de lado :

    A =

    R12.

    Resoluo

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    Exerccio resolvido

    R13. Determinar a rea total da superfcie de um prisma

    triangular reto, de altura 12 cm, sabendo que as

    arestas da base formam um tringulo retngulo de

    catetos que medem 6 cm e 8 cm.

    Resoluo

    O prisma tem base triangular. Assim:

    Abase = = 24

    23.31

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    Exerccio resolvido

    A rea lateral dada pela soma das reas das faces

    retangulares que compem a superfcie lateral. Calculando a

    medida da hipotenusa do tringulo retngulo da base, temos:

    x2 = 62 + 82 x = 10

    Portanto: Alateral = 6 12 + 8 12 + 10 12 = 288

    Logo, a rea total dada por:

    Atotal = Alateral + 2 Abase

    Atotal = 288 + 2 24 = 336

    Portanto, a rea total da superfcie do prisma de 336 cm2.

    23.31

    R13.

    Resoluo

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    Exerccio resolvido

    R14. Determinar a rea total da superfcie

    do prisma oblquo de base quadrada

    representado ao lado, sabendo que

    as faces laterais so congruentes.

    Resoluo

    O prisma tem base quadrada. Assim:

    Abase = 102 Abase = 100

    Para calcular a rea de uma das faces laterais, vamos obter

    a altura h.

    23.32

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    Assim:

    Alateral = 4 (10 15 ) = 600

    Exerccio resolvido

    sen 60 =

    rea do paralelogramo

    Logo:

    Atotal = Alateral + 2 Abase

    Atotal = 600 + 2 100

    Atotal = 200 (1 + 3 )

    Portanto, a rea total da superfcie do prisma 200 (1 + 3 )cm2.

    23.32

    R14.

    Resoluo

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    Volume de um prisma

    O volume de um prisma corresponde a um nico

    nmero real V positivo obtido pela comparao da

    poro do espao ocupado pelo prisma com a poro do

    espao ocupado por uma unidade de medida de volume.

    A unidade de medida de volume que usualmente

    consideramos o volume de um cubo unitrio (aresta 1 u),

    sendo u certa unidade de comprimento. O volume desse cubo

    unitrio 1 u3.

    Se a aresta do cubo unitrio mede 1 m V = 1 m3

    Se a aresta do cubo unitrio mede 1 mm V = 1 mm3

    23.33

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    Volume de um prisma

    Exemplo

    Vamos calcular quantas vezes o cubo unitrio de aresta 1 cm cabe em

    um paraleleppedo reto-retngulo de dimenses 4 cm, 2 cm e 3 cm.

    23.34

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    Volume de um prisma

    Exemplo

    Analisando a figura, observamos que o paraleleppedo formado

    por 4 2 = 8 cubos unitrios na base e tem 3 camadas iguais

    camada da base.

    Logo, tem 3 8 = 24 cubos unitrios no total.

    Portanto, o paraleleppedo formado por 4 2 3 = 24 cubos de

    1 cm3 de volume. Dizemos, ento, que o volume dele 24 cm3.

    23.34

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    Vparaleleppedo = a b c

    Vcubo = a3

    Volume de um paraleleppedo reto-retngulo

    23.35

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    Seco transversal de um prisma

    Um plano intercepta um slido atravs de uma superfcie

    chamada de seco plana. Quando a seco plana paralela

    base do prisma, ela denominada seco transversal.

    23.36

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    Captulo 23 Poliedros

    Dois slidos, S1 e S2, apoiados num plano e contidos

    num mesmo semiespao, tero o mesmo volume V

    se todo plano , paralelo a , secciona os dois slidos

    de modo que as seces sejam regies planas de

    mesma rea (A).

    23.37

    Princpio de Cavalieri

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    Exemplo

    Sobre uma mesa, formamos uma pilha com certa quantidade de

    cartes retangulares idnticos. A seguir, modificamos a forma da pilha

    sem retirar nem pr carto algum. Veja a ilustrao de uma possvel

    situao desse tipo.

    23.37

    Princpio de Cavalieri

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    Exemplo

    Observando as pilhas, possvel notar que:

    a altura das duas pilhas a mesma, pois tm a mesma quantidade

    de cartes idnticos;

    os cartes das duas pilhas ficam mesma altura da mesa e tm

    a mesma rea, pois so idnticos;

    a segunda pilha tem o mesmo volume da primeira, j que formada

    pelos mesmos cartes e, portanto, ocupa a mesma poro

    do espao.

    23.37

    Princpio de Cavalieri

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    Vprisma = rea da base x altura

    Volume de um prisma qualquer

    23.38

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    Exerccio resolvido

    R15. Deseja-se cimentar um quintal de formato quadrado,

    com lados medindo 8 m, com 4 cm de espessura de

    massa de cimento. Qual o volume necessrio de

    massa para revestir essa rea?

    Resoluo

    A camada de cimento ter a forma de um paraleleppedo

    reto-retngulo de base quadrada, com 8 m de aresta e altura

    de 4 cm. Como a espessura do revestimento de 4 cm ou

    0,04 m, o volume de massa dado por: V = 8 8 0,04

    V = 64 0,04 V = 2,56

    Logo, so necessrios 2,56 m3 de massa para o revestimento.

    23.39

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    Exerccio resolvido

    R16. Calcular o volume de ar contido em uma casa que tem

    a forma do prisma a seguir.

    23.40

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    Exerccio resolvido

    Vamos decompor a figura da casa em dois prismas.

    1.) Prisma reto-retngulo

    V1 = Abase altura

    V1 = 4 5 3

    V1 = 60

    23.40

    R16.

    Resoluo

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    Exerccio resolvido

    2.) Prisma reto de base triangular

    V2 = Abase altura

    V2 = 5

    V2 = 10

    Logo, o volume total de ar contido na casa dado por

    V1 + V2, ou seja, 70 m3.

    23.40

    R16.

    Resoluo

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    Exerccio resolvido

    R17. Um reservatrio de gua tem a forma do

    prisma hexagonal regular da figura ao lado

    e est cheio. Se forem consumidos 3.000

    litros, quanto baixar, em metro, o nvel da

    gua desse reservatrio?

    Resoluo

    Vamos representar por x, em metro, quanto baixar o

    nvel da gua no reservatrio, se forem consumidos os litros

    indicados. Os 3.000 litros consumidos ocupam o volume de

    um prisma hexagonal regular de mesma base do prisma da

    figura e altura de x metro.

    23.41

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    Exerccio resolvido

    A base do prisma uma regio hexagonal

    regular de lado 2 m, cuja rea dada por:

    Abase = Abase = Abase = 6

    Com esse dado, podemos calcular o volume da parte do prisma

    correspondente aos 3.000 litros:

    V = Abase x = 6 x

    23.41

    R17.

    Resoluo

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    Exerccio resolvido

    Como 3.000 litros = 3 m3, temos:

    6 x = 3 x = 0,5

    Portanto, o nvel da gua baixar 0,5 metro.

    23.41

    R17.

    Resoluo

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    Captulo 23 Poliedros

    Chama-se pirmide o poliedro formado por todos os

    segmentos de reta cujas extremidades so o ponto V

    e um ponto da regio S.

    Pirmides

    Vamos considerar um plano , uma regio poligonal convexa S

    contida em e um ponto V fora de .

    23.42

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    Elementos de uma pirmide

    23.43

    Considerando a pirmide desenhada

    ao lado, temos:

    base: a regio poligonal S;

    vrtice da pirmide: o ponto V;

    faces laterais: as superfcies

    triangulares AVB, BVC, ..., NVA;

    arestas da base: os segmentos AB, BC, ... , NA;

    arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, ... , VN;

    altura da pirmide: a distncia h entre o vrtice V e

    o plano .

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    Classificao das pirmides

    Consideramos o nmero de arestas da base:

    23.44

    se a base tem 5 arestas

    pirmide pentagonal,

    e assim por diante.

    se a base tem 3 arestas

    pirmide triangular

    se a base tem 4 arestas

    pirmide quadrangular

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    Representaes planas de pirmides

    At aqui, representamos pirmides em perspectiva, como

    a ilustrada abaixo.

    23.45

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    Representaes planas de pirmides

    Como os demais poliedros, uma pirmide tambm pode ser

    representada por meio de planificaes de sua superfcie. Em

    um plano, possvel justapor as faces de uma pirmide de

    diferentes modos, desde que cada uma das faces tenha pelo

    menos uma aresta em comum com outra. Observe:

    23.45

    ou

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    Uma pirmide cuja base uma superfcie poligonal

    regular e cuja projeo ortogonal P do vrtice sobre o

    plano da base coincide com o centro O do polgono de

    base chamada de pirmide regular.

    23.46

    Pirmide regular

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    23.46

    Observaes:

    O centro de um polgono regular coincide com o centro da

    circunferncia circunscrita a esse polgono.

    As faces de uma pirmide regular so determinadas por

    tringulos issceles congruentes. Um importante exemplo

    desse tipo de pirmide regular o tetraedro regular.

    Pirmide regular

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    Captulo 23 Poliedros

    Elementos das pirmides regulares

    23.47

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    23.48

    Relaes mtricas entre os elementos de uma pirmide regular

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    23.48

    Relaes mtricas entre os elementos de uma pirmide regular

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    Base Figura Relao

    Relao entre as medidas da aresta da base e as do aptema da base de algumas pirmides regulares

    23.49

    Tringulo equiltero

    ou

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    Base Figura Relao

    Quadrado

    23.49

    Relao entre as medidas da aresta da base e as do aptema da base de algumas pirmides regulares

    ou

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    Base Figura Relao

    Relao entre as medidas da aresta da base e as do aptema da base de algumas pirmides regulares

    Hexgono regular

    ou

    23.49

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    Exerccio resolvido

    R18. Um tetraedro regular tem arestas

    medindo 10 cm. Calcular a medida

    do aptema da pirmide (g),

    a medida do aptema da base (m)

    e a altura da pirmide (h).

    Resoluo

    No DMA, temos:

    Como a base uma superfcie tringular equiltera, vem:

    23.50

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    Exerccio resolvido

    Agora, no DMO, temos:

    Portanto, as medidas so:

    cm, cm e cm

    23.50

    R18.

    Resoluo

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    Atotal = Alateral + Abase

    rea da superfcie de uma pirmide

    rea da base (Abase): rea da superfcie poligonal que forma

    a base;

    rea lateral (Alateral): soma das reas das faces laterais

    (superfcies triangulares);

    rea total (Atotal): soma da rea lateral com a rea da base,

    ou seja:

    23.51

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    Atotal =

    rea da superfcie de uma pirmide

    Observao:

    Se a pirmide for um tetraedro regular, sua rea total, em

    funo da medida da aresta, ser dada por:

    23.51

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    Exerccio resolvido

    R19. Determinar a rea da superfcie de

    uma pirmide regular hexagonal

    sabendo que a aresta da base mede

    e a aresta lateral mede a.

    Resoluo

    A base da pirmide uma superfcie hexagonal

    regular de lado . Portanto, a rea da base dada por:

    Abase =

    23.52

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    ANOTAES EM AULA

    Captulo 23 Poliedros

    Exerccio resolvido

    Como a pirmide regular, as faces laterais so formadas por

    tringulos issceles e congruentes, que nesse caso tm base

    e altura g.

    No tringulo retngulo VMB, temos:

    Dessa forma:

    Alateral =

    23.52

    R19.

    Resoluo

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    1.5CONEXES COM A MATEMTICACONEXES COM A MATEMTICA

    ANOTAES EM AULA

    Captulo 23 Poliedros

    Exerccio resolvido

    Portanto:

    Atotal = Alateral + Abase =

    Logo, a rea da superfcie da pirmide regular hexagonal :

    Atotal =

    23.52

    R19.

    Resoluo

    =

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    Captulo 23 Poliedros

    Propriedades das pirmides

    1a propriedade: A razo entre a rea S

    de uma seco transversal de uma

    pirmide feita a uma altura h em relao

    ao vrtice e a rea S da base dessa

    pirmide de altura h :

    2a propriedade: Se duas pirmides

    tm mesma altura e mesma rea de

    base, elas tm o mesmo volume.

    23.53

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    Captulo 23 Poliedros

    Vpirmide triangular =

    Volume de uma pirmide de base triangular

    23.54

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    Captulo 23 Poliedros

    Vpirmide = rea da base x altura

    Volume de uma pirmide qualquer

    23.55

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    Exerccio resolvido

    R20. Calcular o volume do octaedro

    regular de aresta a.

    Resoluo

    Observe que o slido formado

    por duas pirmides quadrangulares

    regulares cuja rea da base

    Abase = a2.

    OB igual metade da medida da

    diagonal do quadrado da base.

    Portanto: OB =

    23.56

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    Exerccio resolvido

    R20.

    Resoluo

    No tringulo retngulo BOE, temos:

    Logo, o volume do octaedro :

    Voctaedro = 2 = 2

    23.56

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    Exerccio resolvido

    R21. Calcular o volume do tetraedro regular de aresta a.

    Resoluo

    A rea da base a rea de uma

    superfcie triangular equiltera de

    lado a. Logo: Abase =

    A altura h tal que:

    Assim:

    Vtetraedro = Vtetraedro =

    Vtetraedro =

    23.57

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    Exerccio resolvido

    Resoluo

    Primeiro, vamos calcular a medida g do aptema da pirmide.

    23.58

    R22. Determinar o volume de uma

    pirmide regular hexagonal cuja

    aresta da base mede 12 cm e a

    aresta lateral mede 20 cm.

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    Captulo 23 Poliedros

    Exerccio resolvido

    Agora, vamos determinar a

    medida m do aptema da base.

    Como a base um hexgono

    regular, temos:

    Clculo da altura h da pirmide:

    23.58

    R22.

    Resoluo

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    Captulo 23 Poliedros

    Exerccio resolvido

    Clculo da rea da base:

    Abase = Abase =

    Clculo do volume da pirmide:

    Vpirmide = Vpirmide = Vpirmide =

    Portanto, o volume da pirmide cm3.

    23.58

    R22.

    Resoluo

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    Captulo 23 Poliedros

    Vamos considerar uma pirmide de vrtice V, altura H e

    base contida em um plano .

    23.59

    Tronco de pirmide

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    Captulo 23 Poliedros

    Seccionando essa pirmide com um plano , paralelo a ,

    essa figura separada em dois slidos, o que contm o

    vrtice V, que uma nova pirmide de altura h e base

    contida no plano , e o que contm a base da pirmide

    maior, denominado tronco de pirmide, de bases

    paralelas.

    23.59

    Tronco de pirmide

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    Captulo 23 Poliedros

    Considerando o tronco de pirmide da

    figura ao lado, temos:

    base maior: superfcie poligonal

    ABCDEF;

    base menor: superfcie poligonal

    ABCDEF;

    faces laterais: superfcies trapezoidais

    AABB, BBCC etc.;

    altura do tronco (ht): distncia entre a

    base maior e a base menor (ht = H h).

    Elementos de um tronco de pirmide

    23.60

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    Captulo 23 Poliedros

    Tronco de pirmide regular

    No tronco obtido de uma pirmide regular, observamos que:

    as bases so superfcies poligonais regulares semelhantes;

    as faces laterais so superfcies trapezoidais issceles e

    congruentes;

    a altura de uma face lateral o aptema do tronco

    (de medida p).

    23.61

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    Captulo 23 Poliedros

    rea da base menor (Ab): rea

    da superfcie poligonal que forma

    a base menor (ABCDEF).

    rea da base maior (AB): rea

    da superfcie poligonal que forma

    a base maior (ABCDEF).

    rea lateral (Alateral): soma das reas dos trapzios laterais

    (AABB, BBCC, CCDD, DDEE, EEFF e FFAA).

    23.62

    rea da superfcie de um tronco de pirmide

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    Captulo 23 Poliedros

    Atotal = Alateral + Ab + AB

    rea total (Atotal): soma da rea lateral com as reas das

    bases menor e maior, ou seja:

    23.62

    rea da superfcie de um tronco de pirmide

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    Captulo 23 Poliedros

    Razo de semelhana

    Observao:

    Em geral, usa-se a letra k para representar a razo de

    semelhana entre dois segmentos.

    = ... =

    23.63

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    Vtronco =

    Vtronco = VVABCDE VVABCDE

    Volume de um tronco de pirmide

    Observao:

    Essa frmula tambm vlida para pirmides oblquas.

    ou

    23.64

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    Captulo 23 Poliedros

    R23. Um tronco de pirmide reta tem bases quadradas de

    lados 4 cm e 10 cm e altura de 6 cm. Calcular as reas

    das bases e o volume do tronco.

    Resoluo

    AB = 102 = 100

    Logo: AB = 100 cm2

    Ab = 42 = 16

    Logo: Ab = 16 cm2

    Vtronco =

    Vtronco = 2(100 + 40 + 16) = 312

    Logo, o volume do tronco 312 cm3.

    23.65

    Exerccio resolvido

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    R24. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm3 de

    volume. Calcular o volume v da pirmide obtida pela seco

    feita por um plano paralelo base e altura de 2 cm.

    Resoluo

    Se duas pirmides de alturas h e H so semelhantes na razo k,

    ento a razo entre seus volumes :

    Logo, o volume da nova pirmide 8 cm3.

    23.66

    Exerccio resolvido

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    R25. Um tronco de pirmide regular tem

    a aresta lateral medindo dm

    e bases quadradas cujos lados

    medem 4 dm e 10 dm. Calcular

    a rea de cada base, a rea lateral

    e o volume do tronco.

    Resoluo

    Clculo da rea de cada base:

    Ab = 42 = 16; logo: Ab = 16 dm

    2

    AB = 102 = 100; logo: AB = 100 dm

    2

    23.67

    Exerccio resolvido

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    R25.

    Resoluo

    Clculo da rea lateral:

    Para calcular a rea lateral, precisamos

    da medida de MM indicada na figura.

    Vamos destacar a face lateral BBCC.

    Pela figura ao lado, temos:

    A rea de cada face lateral

    (trapzio BBCC) :

    ABBCC =

    23.67

    Exerccio resolvido

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    Captulo 23 Poliedros

    A rea lateral do tronco de pirmide :

    Alateral = 4 35 Alateral = 140;

    logo: Alateral = 140 dm2

    Clculo do volume do tronco:

    Para calcular o volume, precisamos

    determinar a altura do tronco de pirmide.

    Observe o trapzio OMMO destacado:

    Pela figura, temos:

    23.67

    R25.

    Resoluo

    Exerccio resolvido

    ht + 32 = 52 ht = 4

    2

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    ANOTAES EM AULA

    Captulo 23 Poliedros

    Exerccio resolvido

    Portanto:

    Vtronco =

    Vtronco =

    Vtronco = 208

    Logo, o volume do tronco 208 dm3.

    23.67

    R25.

    Resoluo