CalibrationdeMod`elesetCouverturedeProduitsDerivesPeterTANKOVUniversiteParis-Diderot(ParisVII)tankov@math.univ-paris-diderot.frEdition2009,derni`erem.`a.j. le16janvier2011Cedocumentestmis`adispositionsousuncontratCreativeCommons(pasdUtilisationCommercialepasdeModication)Laderni`ereversionestdisponible`aladressewww.math.jussieu.fr/tankov/MA/cel-00664993, version 1 - 31 Jan 20122cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012Tabledemati`eres1 Lesmarchesdeproduitsderives 71.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Fonctionnementdesmarchesdoptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Dierentstypesdesous-jacents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Lesoptionseuropeennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Lesoptionsamericaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Lesoptionsexotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I Mod`eles 112 Lemod`eledeBlacketScholesetlacouvertureendelta 132.1 Lemod`eledeBlacketScholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.1 Portefeuilleautonancant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Evaluationrisque-neutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 FormuledeBlacketScholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.4 Optionsurunactifversantdesdividendes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.5 Exemplesdecouvertureendelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.6 Analysedelerreurdecouverture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.7 Couvertureengamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Lutilisationdumod`eledeBlack-Scholesdanslesmarchesdoptions . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 Lacouvertureendeltacommeunestrategiedetrading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 RobustessedelaformuledeBlack-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Lavolatiliteimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Roledelavolatiliteimplicitedanslesmarchesdoptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Priseencomptedesdividendesdanslecalculdelavolatiliteimplicite . . . . . . . . . . . 242.4 Complement: formuledeGarman-Kohlhagenetcotationdoptionssurtauxdechange . . . . . . 243 Lesmod`eles`avolatilitelocaleetladiusionimplicite 273.1 Mod`eles`avolatilitelocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Arbretrinomialdepricing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Arbresimplicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 DiusionimplicitedeDupire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Lesmod`eles`avolatilitestochastique 414.1 Equationsdepricingetdecouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Comportementasymptotiquedevolatiliteimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Estimationdevolatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Swapsdevariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5 ParametrisationdeHeston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553cel-00664993, version 1 - 31 Jan 20124 PETERTANKOV5 Lesmod`elesavecsauts 615.1 IntroductionauxprocessusdeLevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 StructuredestrajectoiresdunprocessusdeLevy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Mod`elesexponentielle-Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4 Basesducalculstochastiquepourlesprocessusavecsauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5 Exponentiellestochastiquedunprocessusavecsauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.6 Couverturedanslesmod`elesavecsauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.7 Valorisationdoptionsdanslesmod`elesexp-Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.8 MethodedetransformeedeFourierpourlavalorisationdoptionseuropeennes . . . . . . . . . . . 875.9 Calibrationdemod`elesexp-Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.10 LimitesetextensionsdesprocessusdeLevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93II Outils 956 Regularisationdesprobl`emesmalposes 976.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Probl`emesmalposeslineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3 Regularisationdeprobl`emesmalposes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4 RegularisationdeTikhonovpourlesprobl`emeslineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5 Regularisationduprobl`emedereconstructiondelacourbedetauxdinteret . . . . . . . . . . . . 1056.5.1 Methodesclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.5.2 Methodederegularisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077 Regularisationdeprobl`emesdecalibrationI:probl`emeslineaires 1117.1 Reconstructiondeladensiterisque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.1.1 ApplicationdelaregularisationdeTikhonov`alareconstructiondelaSPD . . . . . . . . 1128 Regularisationdeprobl`emesdecalibrationII:probl`emesnon-lineaires 1178.1 RegularisationdeTikhonovpourlesprobl`emesnon-lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Regularisationduprobl`emedecalculdelavolatilitelocale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189 Methodesnumeriquespourlacalibrationdemod`eles 1239.1 Algorithmesdoptimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.1 Optimisation: rappelstheoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.2 Probl`emesdoptimisationennance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.1.3 Minimisationdefonctionsconvexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124AQuelquesrappelssurlecalculstochastiqueetlesprocessusdeMarkov 129BExamensdesanneesprecedentes 131B.1 MasterModelisationAleatoire,examendu27avril2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131B.2 MasterModelisationAleatoire,examendu10mai2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133B.3 MasterModelisationAleatoire,examendu14mai2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136B.4 MasterModelisationAleatoire,examendu7mai2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138B.5 MasterProbabilitesetFinance,examendu27mars2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Bibliographie 141cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012IntroductionIfyouwanttoknowthevalueofasecurity,usethepriceofanothersecuritythatisassimilartoitaspossible. Alltherestismodeling.Emmanuel DermanEnparaphrasant lacelebre formule dEmmanuel Derman, donnee enepigraphe, onpeut dire que pourvaloriserunproduitcomplexe, il fauttoutdabordtrouverdesactifsliquidesqui lui ressemblent, etdontlesprix sont cotes sur le marche et ables. Ensuite, lapproche le plus souvent utilisee consiste `a choisir un mod`ele,dontlesparam`etresserontestimessurlesprixdesproduitsliquides(calibrationproprementdite). Cemod`elecalibrepeutmaintenantetreutilisepourvaloriserleproduitliquide. Dierentsmod`elesvont,apriori,donnerdes prix dierents, et on peut legitimement se demander, quelles sont les bornes imposees sur le prix du produitexotiqueuniquementparlabsencedarbitrage. Bienquepourcertainsproduits,onpeutobtenircesbornesennefaisantpasoutr`espeudhypoth`esessurlemod`ele, voirparexemplelasectionsurlesswapsdevariance,pourlaplupartdepay-oscelasav`ereimpossible. Enpratique, onutilisedoncpresquetoujoursunmod`elepourfairelelienentrelesprixdesoptionsliquidesetcelui duproduitexotique. Lecoursdecalirationestdoncavanttoutuncoursdedierentsmod`elesutilisesdanslemarchedeproduitsderives. Danscesnotes,ondecouvriraavanttoutlesmod`elesdevolatilite(volatilitelocale,volatilitestochastique),maisaussilesmod`elesprenantencomptelerisquedesaut(processusdeLevy).Lacalibrationutiliselesprixdoptionscoteessurlemarche. Onvadonccomprendrelefonctionnementdesmarchesetlesmethodesdecotation. Lesprixcotessontrepresentessouslaformedunesmiledevolatilite;uncoursdecalibrationestdoncuncoursdemodelisationdesmile.Du point de vue theorique, le probl`eme de calibration, cest-` a-dire, reconstruction des param`etres du mod`ele`apartir des observations de prixest unprobl`eme inverse mal pose. Inverse car dans tout mod`ele onsaitfacilementresoudreleprobl`emedepricingdoptionseuropeennes(sinoncemod`eleneserajamaisutilise), etpourlacalibrationoncherche`ainverserceprocessus. Mal posecarcetteinversionesttr`essouventinstable,et conduit `alamplicationdes erreurs dedonnees dans lasolution. Onauradoncbesoindelatheoriedeprobl`emes inverses mal poses. Mathematiquement,un probl`eme inverse mal pose consiste `a resoudre lequationTx = y, (1)o` uTestunoperateur(lineaireounon)dontlinverseT1nestpascontinu. Typiquement,yestlevecteurdedonneesobserveessurlemarcheetxestlevecteurdesparam`etresdumod`elequoncherche`acalibrer. Dans(1), T1peutetreconnuexplicitement, o` upeutetrecalculeiterativementenminimisant |Tx y|2, ceci nechangerien`alanaturemal poseduprobl`eme. Si leprobl`emeestmal poseunepetiteerreursurlesdonnees(y)peutconduire`aunetr`esgrandeerreursurlasolution(x),rendantimpossibletouteresolutionenutilisantlesdonneesobservees(carlesobservationscontienttoujoursuncertainbruit). Latheoriederegularisationdeprobl`emesinversesmal poses[29] nepermetpasdetransformerunprobl`ememal poseenunprobl`emebienpose,ilyauratoujoursunepertedeprecision,maisellepermetderecupererlemaximumdinformationsurx`apartirdeydefaconstable.Enstatistiqueoncherchesouvent`aresoudreunprobl`emesimilaire,parexemple,celuidestimerxdansTx = y5cel-00664993, version 1 - 31 Jan 20126 PETERTANKOV`apartirduneobservationbruitee y=y + . Ladierenceestquenstatistiqueonconsid`erelesobservationscomme des variables aleatoires, qui contient toujours unniveaude bruit assez important, et oncherche `aconstruiredesestimateursconvergentslorsquelenombredobservationstendverslinni. Celanapasdesensdecalibrerlesobservations,lecrit`ere etantlaqualitedestimationduparam`etreinconnu.Encalibration, onregardelesprixobservessurlemarchecommelesvraisprix. Ilspeuventcontenirunpeudebruit, `acausedesfourchettesbid-ask, maisoncherche`alescalibreravecunegrandeprecision, sinononnousarbitre. Nousnepouvonspasfairetendrelenombredobservationsverslinni, caril estxeparlemarche,lalimitequiaunsenscestlalimiteniveaudebruitdobservationtendverszero,cequicorrespond`aunmarchetr`esliquide.Lesmethodesnumeriquesdontonasouventbesoinencalibrationetquon etudieradanscecourssont Methodes de pricingpermettant de calculer les prixde plusieurs options enmeme temps (methodesdarbres,EDPforward,methodesdetransformeedeFourier). Methodesderegularisation(pourlaresolutionstabledeprobl`emesinversesmalposes). Methodesdoptimisation(algorithmesclassiques,optimisationparMonteCarlo).Finalement, lastbutnotleast, lobjectif de ce cours est dapprendre comment choisir un mod`ele adapte `a unproduitdonneetunemethodedecalibrationadapte`acemod`ele. Lechoixdumod`elenepeutpasseectuerdanslabsolu,carilnexistepasdemod`elequiprendraitencomptetouslesrisquesdetouslesproduitsquonpeut imaginer. Pour dierents produits,dierents risques sont importants,et on va choisir le mod`ele qui prendencomptecesrisquesetennegligedautres,quisontjugespeuimportantspourleproduitenquestion.Lechoixdunmod`eleet dunemethodedecalibrationenvuedecalculer leprixdunproduit exotiqueseectuealorsautourdestroisquestionsfondamentales:Risquedemod`ele. Ilsagitde determiner,dans quellemesure le prixnaldu produit exotiqueest expliqueparlemod`eleutilise, etdansquellemesureil estexpliqueparlesprixdesinstrumentsdecalibrationutilises.Idealement, le prix dun exotique doit etre compl`etement determine par les instruments de calibration et ne doitpasavoirunedependanceimportanteparrapportaumod`eleutilise. Sitelnestpaslecas,onparledurisquedemod`ele. Parexemple, si onutiliseunmod`elecalibreauxoptionseuropeennesdecheanceTpourvaloriserunautrepay-oeuropeenayantlameme echeanceT,lerisquedumod`eleestpetit. Si,aucontraire,onutiliselemememod`eleetlesmemesproduitsdecalibrationpourvaloriserunproduitpath-dependent,lerisquedumod`eleseraplusgrand.Lerisquedumod`eleest engrandepartiedeterminepar les instruments decalibrationutilises: pour lediminuerilfautchoisirdesinstrumentsdecalibrationnaturelspourleproduitexotiqueenquestion,(exemple:swaptionsco-terminalespourvaloriseruneswaptionbermudeenne)etil fautquelensembledinstrumentsdecalibrationsoitsusammentcomplet.Adequationdumod`elechoisiauxinstrumentsdecalibration. Ici, on cherche `a repondre `a la questionsuivante: est-cequelemod`eleestsusammentrichepourbienreproduirelesprixdetouslesinstrumentsdecalibration? Parfois, onacetteproprieteparconstruction, dansdautressituationsonnapascetteproprieteapriori,etilfautverieraposterioriquelleestsatisfaiteavecuneprecisionsusante.Validite et stabilite de lalgorithme de calibration. En plus detre mathematiquement correct, lalgorithmedecalibrationutilisedoitetrenumeriquementstable, cest-` a-dire, lespetitschangementsdesprixdesinstru-mentsdecalibrationnedoiventpasconduire` adesgrandschangementsauniveaudesparam`etrescalibres. Parexemple,silalgorithmefaitinterveniruneminimisationnumerique,lafonctionnelle`aminimiserdoit etrecon-vexe ou en tout cas ne doit pas avoir de minimums locaux, qui conduisent souvent `a des instabilites numeriques.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012Chapitre1Lesmarchesdeproduitsderives1.1 HistoriqueLe premier marche doptions moderne est apparuen1973cetait le CBOE(ChicagoBoardof OptionsExchange). Remarquons (sans pretendrequil yaunlienentreles deuxev`enements) quelecel`ebrearticledeFisherBlacketMyronScholesThepricingofoptionsandcorporateliabilitiesaetepubliedanslamemeannee. De lautre cote de lAtlantique, le premier marche doptions a ete cree `a Londres en 1978 (London TradedOptionExchangeaujourdhui devenuLIFFEqui faitmaintenantpartiedugroupeEuronext). EnFrance, leMONEP(MarchedOptionsNEgotiablesdeParis)aouvertcesportesen1987.1.2 FonctionnementdesmarchesdoptionsLe r ole des marches organises doptions est tout daborddassurer laliquidite des options, cest-` a-dire, lacotationpermanenteetlexistencedunprixuniquepouruneoptiondonnee. Deuxi`emement, lexistencedemarches organises simplie lagestiondes contrats optionnels eneliminant le risque de contrepartie, car lacontrepartieuniquedetouslescontratssurunmarcheorganiseestlachambredecompensationdelabourse.Lesdierentsparticipantsdesmarchesdoptionssont Lesbrokers(courtiers)quiexecutentlesordresdesinvestisseurs; Les market makers(teneurs de marche) qui risquent leur propre capital et assurent la liquidite du marche.Les specialistes achent enpermanence les prixsur les options les plus liquides. Les contrepartistesrepondentauxdemandesdeprix. La chambre de compensation qui sert `a eliminer le risque de contrepartie. Elle peut demander (et demande)auxvendeursdoptionsleversementdesappelsdemarge.1.3 Dierentstypesdesous-jacentsLesoptionssont ecritessur Actions(CBOE:1332actions,MONEP:67actions) Indices(CAC40,S&P500,indicessectoriels...) Tauxdechange(PHLX) Obligationsouswaps Futures sur marchandises (commodity): cacao, cafe, sucre, ble mais aussi des mati`eres premi`eres, lelectriciteetc.7cel-00664993, version 1 - 31 Jan 20128 PETERTANKOVFigure1.1: Exempledecotation(lesoptionslesplusliquidessurlindiceS&P500). Ask=leprixauquelvouspouvezacheterloptionenquestion. Bid=leprixauquelvouspouvezlevendre.Lesmarcheslesplusliquidessontceuxdoptionssurindices. Cesontaussidesmarcheso` uonaleplusbesoindune calibration precise (car les fourchettes bidask sont etroites) et o` u on a le maximum de donnees disponibles(parexemple, surCBOEontrouveplusde500optionsde8maturitesdierentesallantdequelquesjours`adeuxanssurlindiceS&P500).1.4 LesoptionseuropeennesLesoptionseuropeennesetamericainessontdesoptionslesplusliquides, leursprixsontconnusetpeuventdoncetre utilises comme entrees des algorithmes de calibration. Les options sur indices sont typiquementeuropeennes.Pour les options europeennes lexercice est possible uniquement`a la maturiteT;le payo ne depend que duprixdesous-jacent`aladatenale.Call: HT= (ST K)+Put: HT= (K ST)+Terminologie K:strike(prixdexercice). Uneoptionest`alamonnaie`aladatetsi`acettedateK= St. Uneoptionestdanslamonnaie: sielledevaitexpireraujourdhuisonpay-oseraitpositif. Lavaleur intrins`eque dune optionest laquantite dargent quelle rapporterait si elle devait expireraujourdhui(lavaleurdupay-oaujourdhui). Lavaleurtempsduneoptionest egale`asonprixmoinssavaleurintrins`eque.Les options les plus liquides sont les options `a la monnaie (ATM) et, dans une moindre mesure, les options horsdelamonnaie(OTM).Unexempledefeuilledeprixdoptionseuropeennesestdonnesurg.1.1.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 9Proprietesdesprixdecalls/puts Touteslesproprietesci-dessousdecoulentdelabsencedopportunitesdarbitragesurlesmarchesdoptions(sionsupposequeleprixdachatconcideavecleprixdevente). Paritecall-putCall(T, K) Put(T, K) = StKB(t, T),o` uB(t, T)estleprix`alinstantt dunzero-coupondematuriteT (uneobligationqui paieuneunitedargent`alamaturiteetneversepasdecoupon). Silacourbedestauxestplateauniveaur,B(t, T) =er(Tt). Enconsequencedelaparitecall-put, onobtientlesbornessuivantespourlesprixdecalls/puts:(StK)+< (StKB(t, T))+ Call(T, K) St. (1.1)(KB(t, T) St)+ Put(T, K) KB(t, T). (1.2)LavaleurtempsduneoptionCallsurunactifneversantpasdedividendeestdonctoujourspositive. Leprixduneoptioncallestdecroissantparrapportaustrike(etleprixduneputestcroissant)K1 K2 Call(T, K1) Call(T, K2).Cetteproprietedecouledelexistencedelastrategiecall spreadqui consiste`aacheterunecall destrikeK1et `a vendre une call de strike K2. Comme cette strategie a un pay-o positif, son prix doit etre positif. Lesprixdes calls/puts sont convexes par rapport austrike. Cetteproprietecorrespond`alastrategiebutteryquiconsiste`aacheterunecalldestrikeK1,vendredeuxcallsdestrike(K1 +K2)/2etacheterunecalldestrikeK2. Onveriequecettestrategieaegalementunpay-opositifdanstouslesetatsdelanaturecequiimpliquelaconvexite. Leprixduneoptionestcroissantaveclamaturite: T1 T2impliqueCall(T1, K) Call(T2, K). Cetteproprietecorrespond`alastrategiecalendarspread: acheterunecalldematuriteT2etvendreunecalldememestrikedematuriteT1.Casdunsous-jacentversantdesdividendes Pour des options sur un sous-jacent versant des dividendeslarelationdeparitecall-putestmodiee. AlamaturitenousavonstoujoursCallT(T, K) PutT(T, K) = ST K,cependantpourpercevoirceux`alamaturite, il nestpasnecessairedinvestirSt B(t, T)K`aladatet. Silactionversedesdividendesdiscr`etesconnuesD1, . . . , DNauxdatest1, . . . , tn,alorsenachetantuneactionetenempruntantN

i=1DiB(t, ti) +KB(t, T)`alabanque`aladatet,onauraleuxST K`aladateT. Laparitecall-putdevientdoncCallt(T, K) Putt(T, K) = StN

i=1DiB(t, ti) KB(t, T).Pour les indices contenant plusieurs actions, on utilise un general lapproximation de taux de dividende continu,i.e., on suppose que lindice Stverse en continu une dividende egale `a qStdt. Dans ce cas il est facile de voir quepour sassurer le ux ST`a la maturite,on doit investir le montant StD(t, T) `a la date t,o` u D(t, T) = eq(Tt).Laparitecall-putdevientdoncCallt(T, K) Putt(T, K) = StD(t, T) KB(t, T).Laderivationdesbornesanalogues`a(1.1)(1.2)estlaisseeenexercice.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201210 PETERTANKOV1.5 LesoptionsamericainesPourlesoptionsamericaines, lexerciceestpossible`atoutedatetavantlamaturiteTou`alamaturite. Leprixduneoptionamericaineestdoncengeneralsuperieurauprixdeloptioneuropeennecorrespondante. Ladierenceentrelesdeuxprixsappellelaprimedexerciceanticipee. Danslecasparticulierdeloptioncallamericaine sur un actif ne versant pas de dividende, comme la valeur temps est toujours positive, il nest jamaisoptimaldexercerloptionavantlamaturite,etdonc,leprixdeloptionamericaineest egalauprixdeloptioneuropeenne.1.6 Lesoptionsexotiques Options`abarri`ere: lepaiementalieu(napaslieu)silesous-jacentadepasseunniveaucontractuel(labarri`ere)avantcettedate. Exemple(upandoutcall)HT= (ST K)+1MTCBSS: ledeltaduneoptionestsuperieur`asondeltaBlack-Scholes.1VeganestpasunelettregrecquemaissimplementunjolinompourladeriveeduprixBlack-Scholesparrapport`alavolatiliteimpliciteouplusgeneralementladeriveeduprixduneoptionparrapport`alavolatiliteCcel-00664993, version 1 - 31 Jan 201224 PETERTANKOVExercice1. Onsupposequeleprol (smile)devolatiliteimplicitepourlesoptionspr`esdelamonnaieestdecroissantaveclestrike,etqu` alamonnaie,IK= 0.002. CalculerCSpouruneoptionCalleuropeenne`alamonnaiedanslhypoth`esestickydelta. Lesvaleursdeparam`etressontS0= 100,= 0.2,T= 1,r= 0. Pourlecalculnumeriqueonpeutseservirdelapproximationsuivante,valablelorsqueS0estprochedeKerT:CallBS(S0, K, T) S0_12+T5_KerT_12 T5_.Combiendactionsfaut-ilacheterouvendrepourcouvrir100options?2.3.2 Priseencomptedesdividendesdanslecalcul delavolatiliteimpliciteSionutiliselaformuledeBlack-Scholes(2.3)pourlecalculdelavolatiliteimplicite,pourcertainsindices(e.g.le DAX) on obtient des resultats raisonnables,mais pour dautres (CAC 40 ou S&P 500) on obtient des valeursaberrantes (troppetites), surtout pour des grandes maturites. Ceci est d u`aladierencedes methodes decalcul desindices: leDAXestunindicedeperformance, il peutetrevucommeunportefeuilleautonancantdactionsdanslequellesdividendespayesparlesactionssontimmediatementreinvestis,ouencorecommeunegrosseactionnepayantpasdedividende. Enrevanche,CAC40,S&P500etc.sontlesindicesditscomposites,cest-` a-dire, leurvaleuresttoutletempsegale`alamoyennepondereedesprixdesconstituants. Si lestitresconstituantuntelindicepaientdesdividendes,cecidiminueleurvaleuretlavaleurdelindice.Laformule(2.4)impliquequelarelationdepariteCall-PutpourlesindicescommeCAC40prendlaformeCall(S0, T, K) Put(S0, T, K) = S0eqTKerT,cequipermetdestimerlavaleurdeqparuneregressionlineairedelogCalliPuti +KieriTisurTi. Lavolatiliteimplicitepeutalors etrecalculeeeninversantlaformule(2.4).2.4 Complement: formule de Garman-Kohlhagen et cotation doptionssurtauxdechangeSi le sous-jacent de loption est un taux de change Xt, alors la valeur dun portefeuille autonancant qui rapporteXT`alecheancedeloptionT estegaleauprixdunzero-couponetrangerconverti enmonnaiedomestique,donc,danslecasdetauxdeterministes,Vt= eTtrfsdsXt,o` urfestletauxcourtetranger. LaformuledeBlack-Scholes,quiestalorsconnuesouslenomdeformuledeGarman-Kohlhagen[32],prendlaformeCall(t, Xt, T, K) = XteTtrfsdsN(d1) KeTtrsdsN(d2) (2.12)avec d1,2=1T tlog_XteTtrfsdsKeTtrsds_12T t, (2.13)Lacotationdoptionssurtauxdechangeestsensiblementdierentedecellessuractionsetindices: alorsquedanslesmarchesequity, onachelesprixdecallsetdeputsenfonctiondeleurprixdexercice,pourlesoptions FX on ache la volatilite implicite `a la monnaie (ATM vol) ainsi que la volatilite implicite des montagesbuttery(qui represente la convexite du smile de volatilite) ou risk-reversal (qui represente la pente du smile) enfonction de leur delta (g. 2.7). Lutilisation du delta, du volatilite implicite, et des montages qui correspondentauxprincipauxfacteursderisqueassociesausmiledevolatilitepermetderendrelachageplusstabledansletempsetpluslisiblepourlestraders.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 25Figure2.7: UnepageBloombergaveclescotationsdesoptionssurtauxdechange.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201226 PETERTANKOVETcRiskreversalcButterflyT25D(Call) -25D(Put) 50D0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005.75.85.96.06.16.26.36.4Figure2.8: Agauche: representationgraphiquedesButteryetRiskReversal. Adroite: smiledevolatilitepourlesoptionssurEUR/USDdematurite3mois.Cotationendelta Ledeltadeloptiondanslemod`eledeGarman-KolhagenesteT0rft dtN(d1), d1=1Tlog_X0eT0rft dtKeT0rtdt_+12T,o` uX0estletauxdechangecourant, maispourlacotationonutiliseN(d1)pourqueledeltasoitcomprisexactemententre0et1pourtouteslesmaturites. Il yadoncunebijectionentreledeltadeloptionetsonstike. Loption50correspond`aN(d1) = 0.5d1= 0etalestrikeK50= X0eT0(rtrft +22)dt.Dememe,pouruneoptionxonaKx= X0eT0(rtrft +22)dteTN1(x).Riskreversaletbuttery Les volatilites du risk-reversal et du buttery ne sont pas en fait des volatilitesmaissimplementlesmesures de lapenteetdela convexitedusmilerespectivement. Ilsontcalcules`a partirdevolatilitesdescallsetdesputshorslamonnaieaveclesformulessuivantes:BB25=25c +25p250, RR25= 25c25pCes formules sont illustrees sur legraphique degauchedeg. 2.8. Pour reconstituer lesmiledevolatiliteimplicite,onpeutrecalculerlesvolatilitesdesoptionscalletputhorslamonnaie:25c= BB25 +50 +RR252, 25p= BB25 +50RR252,puis les interpoler avecunemethodedinterpolationconvenable. Remarquons quelebutteryest toujourspositif, maisleriskreversal peutchangerdesignesurleFX, contrairementauxmarchesdactions, o` uil estpresquetoujoursnegatif.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012Chapitre3Lesmod`eles`avolatilitelocaleetladiusionimplicite3.1 Mod`eles`avolatilitelocaleDanslasection2.3nousavonsvuquelemod`eledeBlack-Scholes`avolatiliteconstantenepeutpasreproduirelensembledesprixdoptionsobservessurlemarchepourunsous-jacent donne, carleurvolatiliteimplicitevarieenfonctiondustrikeetdelamaturite. Pourprendreencomptelesmiledumarchetoutunrestantdanslecadremarkovienetcomplet(unseul facteurderisque)unesolutionnaturelleestdemodeliserlavolatilitecommeunefonctiondeterministedutempsetdelavaleurdusous-jacent:dStSt= tdt +(t, St)dWt, (3.1)dBtBt= rtdt.Dans ces equations,le taux dinteret rtpeut aussi dependre de t et de St, et la derive tpeut etre un processusprevisiblegeneral caronvasendebarrassergr ace`alevaluationrisqueneutre. Unexempledemod`eledecetypebien etudiedanslalitteratureestdonneparlemod`eleCEV(ConstantElasticityofVariance)de[18],quisera analyse en detail `a la n de cette section. Dans ce mod`ele, la volatilite est une fonction puissance du niveaudesous-jacent:dStSt= tdt +0S1dWt(3.2)Le mod`ele de Black-Scholes et le mod`ele gaussien sont des cas particuliers de cette equation avec = 1 et = 0respectivement.Parlememeargumentdautonancementquedanslemod`eleBlack-Scholes(voirsection2.1),leprixduneoptionquipaieh(ST)`alinstantTsatisfaitrtC(t, S) =Ct+rtSCS+12(t, S)2S22CS2, C(T, S) = h(S),etleportefeuilleautonancantdecouverturecontientt=C(t,St)SactionsetBt=C(t, St) tStencash.Lequationdepricinggardealorslamemeformequedanslemod`eledeBlack-Scholesmaisonnepeutplusendeduireuneformuleexplicitecarlavolatilitedependmaintenantdusous-jacent.Par analogie exacte aumod`ele de Black-Scholes, le mod`ele de volatilite locale correspond`aunmarchecomplet (leseul facteur derisqueest lesous-jacent) et luniqueprobabiliterisque-neutre(si elleexiste) estdonneepardQdP[Jt= exp__t0srssdWs_t0(srs)222sds_. (3.3)27cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201228 PETERTANKOVSouscetteprobabilite,dStSt= rtdt +(t, St)dWQt. (3.4)Pour assurer lexistence de la probabilite risque-neutre, il faut alors demontrer que (3.3) est bien une martingale.Supposonsquilexisteunprocessusdeprimederisquettelquet= rt +ttetE[e12T02sds] < .Parexemple,ilsutquesoitbornee. Alorslecrit`eredeNovikov(theor`eme8delannexe)garantitquedQdP[Jt= exp__t0sdWs12_t02sds_est une martingale uniformement integrable et la probabilite risque-neutre Qest biendenie. Sous cetteprobabilite,dStSt= rtdt +(t, St)d Wtet C(t, S) = EQ[eTtrsdsh(ST)[St= S]Soulignons bien que cette probabilite risque-neutre est unique,cest-` a-dire,elle est compl`etementdetermineune fois quonaestime le mod`ele historique (3.1). Les prixdoptions sont doncegalement compl`etementdetermines, etil nestpaspossibledecalibrerlemod`eleauxprixdoptionscoteessurlemarche. Pourcetteraison,enpratique,lemod`eledevolatilitelocalenestpasestime`apartirdesdonneeshistoriquesmaisutilisedirectementdanssaformerisque-neutre(3.4)etcalibreauxprixdoptionscotees.Mod`eleCEV Lemod`eleCEV(3.2)fournitunexemplesimpleetnon-trivialdunmod`ele`avolatilitelocale.Placons-noussouslaprobabiliterisque-neutre,etsupposonsqueleprixforwarddusous-jacentFt= er(Tt)Stsuitlemod`eleCEV:dFt= 0FtdWt, 0 < 1 (3.5)Lavaleur0estunebarri`ereabsorbante,siFt= 0pourunt,Fs 0pourtouts t. Lacontrainte0 < 1est imposee puisquonpeut demontrer quepour >1, (Ft) est unemartingale locale stricte, cest-` a-dire,pasunevraiemartingale, cequi peutconduire, parexemple, `alaviolationdelapariteCall-Putetdautresinconvenients. Montronsquepour0 (ti,Sti)t.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201230 PETERTANKOV$$$$$$$$$$$$$$$$&&&&&&&&&&&&&&&&ttttt tttt$$$$$$$$&&&&&&&&&&&&&&&&$$$$$$$$71.484.7100.6119.4141.8100119.1100.384.50.120.140.140.160.160.190.140.16Figure3.2: ExempledunarbretrinomialPourquecetteinegalitesoittoujoursveriee,onpeutposerd = 1 +rt t,o` u est uneconstantequi satisfait >(t, S) dans tous les noeuds delarbre. Cetteconstantenest pastoujoursfacile`atrouversi(t, S)nestpasbornee. Pourcontournercettediculte,ilsutdechoisir assezgrandetremplacerlemod`eleinitialparlemod`eledStSt= rtdt + min( , (t, St))dWt.Larbre construit `a partir de cette diusion sera toujours sans opportunite darbitrage, au prix de travailler dansunmod`eleleg`erementdierent.Evaluationbackwarddesprixdoptionsdansunarbretrinomial Pourcalculerleprixduneoptioncalleuropeensurunarbre,lalgorithmestandardpeut etreemploye: Aladatenale,lesprixsontdonnespar: C(tN, S) = (S K)+. Atoutedatetipouri 1),cequiconduit`adesopportunitesdarbitragedanslesresultatsducalcul. Ilpeut etreassezdiciledetrouverunestructuredelarbrequidonnedesprobabilitesdetransitionpositives. Pourresoudrecedeuxi`emeprobl`eme,danslasectionsuivanteonpresenteraunemethodepermettant de construire un processus de diusion risque-neutred`es que lensemble de prix observes ne presentepasdopportunitedarbitrage.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201234 PETERTANKOV$$$$$$$$$$$$$$$$&&&&&&&&&&&&&&&&ttttt tttt$$$$$$$$&&&&&&&&&&&&&&&&$$$$$$$$10.230.490.270.230.270.100.170.410.260.020.110.180.130.330.210.39Figure3.6: Arbreimpliciteaveclesprobabilitesdetransition(enpetitscaract`eres)etlesprixArrow-Debreu;voirexemple2.3.4 DiusionimplicitedeDupireRappelonsquedansunmod`eledevolatilitelocaleleprixduneoptionquipaieh(ST)`alinstantTsatisfaitrtC(t, S) =Ct+rtSCS+12(t, S)2S22CS2, C(T, S) = h(S). (3.9)Ceci est une equation backward, car on lui associe une condition terminale et lequation se resout sur lintervalle[t, T] dans ladirectionTt. Cette equationest satisfaite par le prixde toute optioneuropeenne, pasnecessairementcallouput. Ellepermetdecalculerleprixduneoptionenfonctiondeladatedobservationtetdelavaleuractuelledusous-jacentSt.Notreobjectifmaintenantestdetrouverunefonctiondevolatilitelocale(t, S)qui reproduit, `aunedatedonnee, lesprixobservesdescallspourtouslesstrikesettouteslesmaturites. Equation(3.9)nepermetpasdereconstruirelavolatilitelocaleen ecrivant2(t, S) =rC Ct rSCS12S22CS2,car`aunedatedonnee, lesvaleursdetetSsontxees, etonnepeutpascalculerlesderiveespartielles. Lasolution`aceprobl`emeaetedonneeparBrunoDupire[27]quiaproposeunemethodepourcalculer(t, S)`apartirduneobservationdesprixdoptions(pourtousstrikesetmaturites)`aunedatedonnee. Il ademontreque dans un mod`ele `a volatilite locale, les prix de calls C(t, St, T, K) verient lequation forward (avec conditioninitiale):CT=122(T, K)K2 2CK2 rK CK, C(t, St, t, K) = (StK)+Cette equationsapplique uniquement aux prix des options Call,qui sont cette fois consideres comme fonctionsdustrikeKetdelamaturiteT. Comme`aunedatedonneonpeutobserverlesprixdoptionsdeplusieursstrikesetmaturites,cette equationpeut etreutiliseepourrecalculerlafonctiondevolatilite(, )`apartirdesprix doptions. Ce resultat implique que dans un mod`ele de volatilite locale, la fonction de volatilite peut etreretrouveedefaconuniqueavec:(T, K) =2CT+rKCKK22CK2(3.10)Commeonladej` aobservedanslecasdesarbresimplicites,lefaitquonpuisseretrouverdefaconuniqueunprocessusmarkoviencontinu`apartirdesprixdoptionseuropeennesnimpliquepasquil nyapasdautrescel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 35mod`eles(nonmarkoviensounoncontinus)qui evaluentlesoptionseuropeennesdelamemefacon. Laconnais-sance des prix des options euro determine les distributions marginales du processus, mais la loi du processus neselimitepas`acesdistributionsmarginales.Theor`eme1. Soit(St)t0tunesolutiondelEDSdStSt= rdt +(t, St)dWt, St0= S0.Supposonsque1. Stestdecarreintegrable:E__Tt0S2tdt_< , T2. Pourchaquet > t0,lavariablealeatoireStaunedensitep(t, x),continuesur(t0, ) (0, ).3. Lecoecientdediusion(t, x)estcontinusur(t0, ) (0, ).AlorslafonctiondeprixduneoptioncallC(T, K) = er(Tt0)E[(ST K)+].satisfaitlequationdeDupireCT=122(T, K)K2 2CK2 rK CK, (T, K) [t0, ) [0, ) (3.11)avecconditioninitialeC(t0, K) = (S0K)+.Preuve. Lademonstrationrepose sur lapplicationde laformule dIt o`alasemimartingale ert(St K)+.Puisquelafonctionf(x) =x+nest pas C2, laformuledIt oclassiquenesappliquepas directement. Unesolutionpossible[28] consiste`autiliser laformuledeMeyer-Itopour les fonctions convexes [52]. Ici, nousadoptonsuneautreapprochequiconsiste`aregulariserfenintroduisantlafonctionf(x) =(x +/2)221/2x/2 +x1x>/2.Ilestclairquefest2foisdierentiableetdierentedefseulementsi [x[ < /2. Deplus,onaf(x) =x +/21/2x/2 + 1x>/2, f (x) =11/2x/2.LapplicationdelaformuledIt ostandard`aertf(StK)entreTetT+donneer(T+)f(ST+ K) erTf(ST K) = r_T+Tertf(StK)dt+_T+Tertf(StK)dSt +12_T+Tertf (StK)2(t, St)S2tdt. (3.12)Enprenantlesperancedechaquetermedans(3.12)souslhypoth`ese1ci-dessus,ontrouveer(T+)E[f(ST+ K)] erTE[f(ST K)] = r_T+TertE[f(StK)]dt+_T+TertE[f(StK)St]rdt+12_T+Tert1_/2/2(K +x)22(t, K +x)p(t, K +x)dt, (3.13)cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201236 PETERTANKOVEnutilisantlhypoth`ese2ci-dessus,onpeutpasser`alalimite 0:C(T+, K) C(T, K)= r_T+TC(t, K)dt +r_T+TertE[St1StK]dt+12_T+Tert2(t, K)K2p(t, K)dt= rK_T+TertP[St K]dt +12_T+Tert2(t, K)K2p(t, K)dt.Endivisantlesdeuxpartiesparetenpassant`alalimite 0,cecidonneCT= rKerTP[ST K] +12erT2(T, K)K2p(T, K).Finalement,enobservantqueerTP[ST K] = CKet erTp(T, K) =2CK2,ontrouvelequationdeDupire.Mod`ele`avolatilitelocalecommeprojectionmarkovienne Soit(St)t0tunprocessusdIt ogeneraldelaformedStSt= rdt +tdWt, St0= S0avec taleatoire, et supposons que 2(t, x) =E[2t[St=x] verie les hypoth`eses dutheor`eme ci-dessus.Ensuivant lapreuveetapeparetape, il est faciledeseconvaincrequeles prixdes options dans lemod`eleassocie`a(St) verient lequationdeDupireavecvolatilite(t, x). Autrement dit, lafonctiondevolatilite2(t, x)=E[2t[St=x] denitunediusionmarkoviennequi alesmemesprixdoptionseuropeennesetdonclesmemesloismarginalesque(St). Cettediusionsappellelaprojectionmarkoviennede(St).VisionEDPdelaformuledeDupire LaformuledeDupirepeutetrevuecommeuneconsequencedelequationFokker-Planckpourladensiteduprocessus. Soitt(S)ladensitedeSt. Alors,sousdeshypoth`esesderegularitequonnedetaillepasici,tt122S2_2S2t_+S(rSt) = 0, 0(S) = S0(S) (3.14)CetteequationsappellelequationdeFokker-PlanckoulequationforwarddeKolmogorovpourleprocessus(St). Remarquonstoutdememequeleshypoth`esesnecessairespourceresultatsontbienplusfortesquecellesdutheor`eme1: parexemple,icionabesoinqueladensitesoitC2.Lesprixdescallssobtiennentenintegrantladensiterisque-neutredeuxfois:Call(0, S0, T, K) = erT_KdS_SdST(S)PourretrouverlequationdeDupire, onint`egredonclequationdeFokker-Planck(3.14)deuxfoistermepartermeetmultiplieparerT: Premierterme:erT_KdS_SdST(S)T= erTT (erTC(T, K)) = rC(T, K) +CT .cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 37 Deuxi`emeterme:erT_KdS_SdS122S2(2S2t(S)) = 122(T, K)K2T(K)erT= 122(T, K)K2 2CK2. Troisi`emeterme:erT_KdS_SdSS(rST(S)) = erT_KrST(S)dS= _KrS 2CK2dS= r_KCKdS +rK CK= rK CK rC(T, K).Enrassemblantlestroistermes,ontrouve(3.11).Theor`eme1permetderetrouverlecoecientdevolatilite`apartirdunensemblecompletdeprixdecalls`aune date donnee, si onsait que ces prix proviennent dunmod`ele de volatilite locale. Il ne permet pasdirectementderepondre`alaquestionsuivante: etantdonneunsyst`emedeprixdecalls(C(T, K))T0,K0,est-cequilexisteunmod`eledediusioncontinupermettantdereproduirecesprix?Pourappliquerlaformulede Dupire (3.11) on a besoin au moins de supposer2CK2> 0 etCT+rKCK 0. Ces contraintes correspondentauxcontraintes darbitragedepositivitedunbutteryspread et duncalendar spread respectivement (voirsection1.4). Cependant, il sepeutquememesi lavolatilite(t, S)existe, elleneconduitpas`aunprocessusdeMarkovquisatisfaitlestroishypoth`esesdutheor`eme1. Leresultatsuivantdonneuneconditionsusantesouslaquelleunprocessusdediusionaunedensite.Proposition2(theor`eme2.3.1dans[51]). Soit(Xt, t [0, T])lasolutionduneEDSdXt= (t, Xt)dt +(t, Xt)dWt.o` ulescoecientssontglobalementLipschitzetdecroissancesous-lineaire,etsoitS= inft > 0 :_t01(s,Xs)>0ds > 0 T.Alors,pourtout0 < t T,laloideXtconditionnellement`a t > Sestabsolumentcontinuparrapport`alamesuredeLebesgue.Parexemple,si(0, X0) > 0,leprocessusaunedensite.Exemple3. Figure3.7montreles resultats dapplicationdelaformuledeDupireauxdonnees articielles(gauche)etauxprixreelsdoptionssurlindiceS&P500. Alorsquesurlesdonneessimulees, laformuledeDupirepermetderetrouverunsurfacedevolatilitelocalequiparatcoherent,laperformancepourlesdonneesreellesnestpassatisfaisantepourplusieursraisons: Lesprixdemarchenesontpasconnuspourtouslesstrikesettouteslesmaturites. Ilsdoiventdonc etreinterpolesetleresultatnalseratr`essensible`alamethodedinterpolationutilisee. D u`alanecessitedecalculer ladeuxi`emederiveedelafonctiondeprixdoptionC(T, K), les petiteserreurs de donnees conduisent `a des tr`es grands erreurs sur la solution (probl`eme mal pose). On reviendrasurcepointdanschapitre6.Lien entre volatilite locale et volatilite implicite La formule de Dupire (3.11) peut etre reecrite en termedevolatilitesimplicitesdumarche,enobservantquepourtouteoptiononaC(T, K) = CBS(T, K, I(T, K)),cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201238 PETERTANKOV0.20.30.40.50.60.70.80.91808590951001051101151200.10.150.20.25TK 00.511.521150120012501300135014001450150000.511.5Figure3.7: Exempledediusionimplicite. Gauche: donneesarticielles: lavolatiliteimpliciteestdelaformeI(K) = 0.15 100Kpour toutes maturites (S0= 100). Droite: donnees doptions sur S&P 500,interpolationparsplines.o` u CBS(T, K, ) denote la formule Black-Scholes pour le prix dune call de volatilite et I(T, K) est la volatiliteimpliciteobserveepourmaturiteTetstrikeK. Ensubstituantcetteexpressiondans(3.11),ontrouve2(T, K) = 2CBST+CBSIT+rK_CBSK+CBSIK_K2_2CBSK2+ 22CBSKIK+2CBS2_IK_2+CBS2IK2_=IT+ 2IT+ 2rKIKK2_1K2IT+ 2d1KITIK+d1d2I_IK_2+2IK2_, (3.15)aveclanotationhabituelled1,2=log_SKerT_12I2TIT.Dansunpremiertempssupposonsquelavolatiliteimplicitenedependpasdestrike(absencedesmile). Danscecaslavolatilitelocalenedependpasnonplusdestrikeetlaformule(3.15)sereduit`a2(T) = I2(T) + 2I(T)TIT ,do` uI2(T) =_T02(s)dsT,lavolatiliteimpliciteest doncegale`alamoyennequadratiquedelavolatilitelocalesur ladureedeviedeloption. Ceresultatpeut etrepartiellementgeneraliseaucaso` ulavolatilitedependdestrike[33].Pourcontinuerletudedelequation(3.15),onferaunchangementdevariablepourpasserdustrikeKaulog-moneynessx = log(S/K) +rT,avecI(T, K) =I(T, x). Lequation(3.15)devientalors2ITIT+I22_1 xIIx_22IT 2Ix2+142I2T2_Ix_2= 0.EnsupposantqueIetsesderiveesrestentnislorsqueT 0,ona,danscettelimite,I2(0, x) = 2(0, x)_1 xIIx_2.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 39Cette equationdierentielleseresoutexplicitement:I(0, x) =__10dy(0, xy)_1. (3.16)Nous avons doncdemontreque, dans lalimitedetr`es courtematurite, lavolatiliteimpliciteest egale`alamoyenneharmoniquedesvolatiliteslocales,unresultat etabliparBerestyckietBusca[6]. Lorsquelavolatilitelocale (0, x) est dierentiable en x = 0, equation (3.16) permet de demontrer que (le calcul est laisse au lecteur)I(0, 0)x=12(0, 0)x,lapente`alamonnaiedelavolatilitelocaleest egale,pourlescourtesmaturites,`a2foislapente`alamonnaiedelavolatiliteimplicite.Resumedesprincipauxpointscritiquesdumod`eledevolatilitelocaleetdelapprochedeDupire La surface de volatilite locale obtenue par la formule de Dupire est tr`es sensible `a la methode dinterpolationdesdonnees Leseulfacteurderisqueestlesous-jacent;impossibledeprendreencomptelerisquedevolatilite Lasurfacedevolatilitelocalecalibreenestpasstableaucoursdetemps Ladynamiquedevolatilitepreconiseeparlemod`elenecorrespondpas`acelleobserveesurlemarche Calibrationnepeutpas etreeectuedefaconcoherenteaveclestimationhistorique(marchecomplet)ExercicespourcechapitreExercice2(Pasvraimentunexercicemaisunprobl`emedicile). Donnerunexempledeprocessusquinestpasunediusionmarkoviennecontinue,etpourlequellaformuledeDupirepermetdeconstruireunediusionmarkoviennecontinuequidonnelesmemesprixdesoptionseuropeennes.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201240 PETERTANKOVcel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012Chapitre4Lesmod`eles`avolatilitestochastiqueEnobservantlestrajectoiresdevolatilite(g. 4.1), oncomprendimmediatementqueceprocessusnestpas`a100%correleaveclesous-jacentetquedonccelaaunsensdemodeliserlavolatilitecommeunprocessusstochastique `a part enti`ere, sans se limiter `a des fonctions deterministes de sous-jacent. Cette classe de mod`elesest connue sous le nom de mod`eles `a volatilite stochastique. Ils ont comme avantage de non seulement expliquerlephenom`enedesmile(cequonpeutfairedej` adanslesmod`eles`avolatilitelocale)maisaussiconduire`aunedynamiquerealistepourleprixetlasurfacedevolatiliteimplicite.Une approche possible est de modeliser la volatilite tpar une diusion continue (solution dune EDS), maisonpeutaussienvisagerdesprocessusdeMarkovdiscontinus,parexemple,unprocessusquineprendquedeuxvaleurs1(volatilitebasse)et2(volatilitehaute). Lemod`eledeprocessusdediusion, auquel onselimiteici,aunavantagedefaciliterlintroductiondunecorrelationinstantanee 1 1entrelesous-jacentetlavolatilite:dStSt= tdt +tdWt(4.1)dt= atdt +btdWt, dW, Wt= dt (4.2)Lescoecientsatetbtsontchoisispourquelavolatilitetsoitunprocessusstochastiquepositif. Souvent,onimposeegalementlaconditiondestationnarite(retour`alamoyenne). Figure4.2montreunetrajectoirepossibledusous-jacentetduprocessusdevolatilite.Lemod`ele(4.2)correspondengeneral `aunmarcheincomplet: lerisquedevolatilite(risquedevega)nepeut pas etre elimine par une strategie de trading en actions seulement. Cependant, on na ici que deux facteursde risque (Wet W),ce qui fait que le risque de vega est compl`etement elimine par une strategie de couvertureutilisantdesactionsetunautreactifrisqueliquide(parexemple,uneoption).4.1 EquationsdepricingetdecouvertureDanscettesectiononseplacedansuncadremarkovien:dStSt= tdt +tdWt(4.3)dt= atdt +btdWt, dW, Wt= dt (4.4)dBtBt= rdt,o` u at= a(t, t, St), bt= b(t, t, St). En presence de deux sources de risque on aura besoin de deux actifs risquespourlacouverture. OnsupposeradoncquilexisteunactifliquidecoteauprixC0t= C0(t, t, St).41cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201242 PETERTANKOVjan 1990 jan 20085101520253035404550jan 1990 jan 20082004006008001000120014001600Figure4.1: Haut: lindiceVIX(volatilitedesoptionssurS&P500). Bas: coursdelindiceS&P5000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.91.01.11.21.31.41.51.6Stock price0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.160.180.200.220.240.260.280.300.320.340.36VolatilityFigure4.2: Prixdelaction(gauche)ettrajectoiresdevolatilitedansunmod`ele`avolatilitestochastique.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 43o` ulafonctiondeterministeC0(t, , S)estconnueetsatisfaitC0(t,,S)>0pourtoutt, , S(danscecasonditquelactif C0compl`etelemarche). Deplusonaurabesoindelhypoth`ese 1 0,lemod`ele(4.3)-(4.4)peut etrereecritdStSt= (r +tt)dt +tdWtdt= (t +tbt)dt +btdWt,Lecoecienttqui permetdepasserdelaprobabiliterisque-neutre`alaprobabilitehistoriqueesttradition-nellementappelelaprimederisque. Paranalogie,onappellesouventtlaprimederisquedevolatilite.Exercice 3. Sous lhypoth`ese que les primes de risque tet tsont bornees, montrer comment onpeutconstruirelaprobabiliterisque-neutreQ`alaidedutheor`emedeGirsanov.Remarque1. Unedierencefondamentaleentretettestquetestfacile`aestimercommetrtalorsquepourestimertondevraitestimert`apartirdedonneeshistoriques,cequinestengeneralpaspossible.Unesolutionconsiste`aspecieruneformeparametriquepourtqui seracalibreedirectementsouslaproba-biliterisque-neutre, auxprixdoptionscotessurlemarche. Onreviendrasurcepointdansladiscussiondesparametrisationsdevolatilitestochastique.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 454.2 ComportementasymptotiquedevolatiliteimpliciteCasdevolatilitedevolatilitepetite Danscettesection, supposonspoursimplierquelavolatiliteestindependantedumouvementbrownienWquidirigelesous-jacent. OnnoteraVT=_T02tdtlavarianceintegree. Gr ace`alindependance,eninserantlesperanceconditionnelleparrapport`alatrajectoiredelavolatilite,ontrouvequeleprixduneoptioneuropeenneverieCall(T, K) = E[CallBS(T, K,_VT/T)] = E[CallBS(T, K, VT)],o` uonaposeCallBS(T, K, V ):=CallBS(T, K,_V/T), V >0. SupposonsmaintenantqueVTestprochedeE[VT], cest-` a-dire, VarVT E[VT]2. ParunedecompositionenseriedeTaylordelafonctionCallBS, autourdupointE[VT],ontrouveCall(T, K) CallBS(T, K, E[VT]) +12VarVT2V2CallBS(T, K, E[VT]), (4.10)o` u2V2CallBS(T, K, V ) =Sn(d1)4V3/2_m2VV4 1_, m = logSKerT .Parailleurs,lorsque ,CallBS(T, K, +) CallBS(T, K, ) +CallBS(T, K, ).Encomparantcesdeuxdeveloppements,ontrouvequelavolatiliteimpliciteI(T, K)verieI(T, K) _E[VT/T] +12VarVT2V2CallBS(T, K, E[VT])CallBS(T, K,_E[VT/T]),=_E[VT/T] +18T1/2E[VT]3/2VarVT_m2E[VT] E[VT]41_. (4.11)Casduneoptionprochedelecheance Pouranalyserlecomportementdelavolatiliteimplicitepourlesoptionsdecourtematuriteenutilisantlesresultatsduparagrapheprecedent, il fautconnaitrelesproprietesdeE[VT] etVarVTlorsqueT 0. Supposonsqueleprocessusdelavarianceinstantaneevt=2tsuitlEDShomog`enedvt= (vt)dt +(vt)dWt,o` ulemouvementbrownienWesttoujourssupposeindependantdeW. Lesfonctionsetsontreguli`eresetverientleshypoth`esesnecessairespourlexistencedunesolutionforte. Soitu(t, v) = E__Ttvsds[vt= v_.LeprocessusMt= E__T0vsdsTt_=_t0vsds +u(t, vt)estalorsunemartingale,cequiimplique(formuledIt o)queuverielequationut+(v)uv+122(v)2uv2+v= 0, u(T, v) 0. (4.12)cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201246 PETERTANKOVOncherche`aobtenirundeveloppementdeuenpuissancesdeT t. Puisquelaconditionterminaleetlescoecientssontreguli`eres(etlaconditionterminaleestnulle),u(t, v) = (T t)u1(v) +(T t)22u2(v) +O((T t)3).EnsubstituantcetteexpressiondanslEDP(4.12), paridenticationdestermesaveclamemepuissancede(T t),ontrouveu1(v) = vetu2(v) = (v),do` unalementE[VT] = u(0, v0) = v0T+(v0)T22+O(T3).LecalculdeVarVTsuitlamemelogique. Soit u(t, v) = E____Ttvsds_2vt= v__.LeprocessusMt= E____T0vsds_2Tt__= u(t, vt) +__t0vsds_2+ 2u(t, vt)_t0vsdsestalorsunemartingale. EnappliquantlaformuledIt o,ontrouvedMt=_ ut+(v) uv+122(v)2 uv2_dt + uv(v)dWt+ 2__vt +ut+(v)uv+122(v)2uv2_dt +uv(v)dWt_ _t0vsds + 2vu(t, v)dt=_ ut+(v) uv+122(v)2 uv2+ 2vu(t, v)_dt +_ uv(v) + 2uv(v)_t0vsds_dWt,cequiimpliqueque udoitverierlEDP ut+(v) uv+122(v)2 uv2+ 2vu(t, v) = 0, u(T, v) 0. (4.13)Commeavant,posons u(t, v) = (T t) u1(v) +(T t)22 u2(v) +(T t)33 u3(v) +O(T4).Lasubstitutiondecetteformedans(4.13)donne u1(v) = 0, u2(v) = 2v2et u3(v) = 3v(v) +2(v),do` uE[V2T] = v20T2+ (v0(v0) +2(v0)/3)T3+O(T4) et VarVT=132(v0)T3+O(T4).Lhypoth`eseVarVT E[VT]2,quiassurelavaliditedelapproximation(4.10)estdoncrespecteelorsqueTestpetit. Sideplus,loptionestprochedelamonnaie([m[ 1),onpeutsubstituerlesexpressionspourE[VT]etVarVTdans(4.11),cequidonneI(T, K) v0 +2(v0)24v5/20m2+_(v0)4v02(v0)24v3/202(v0)(v0)48v7/20m2_T.Enparticulier,pourm = 0,lavolatiliteimplicite`alamonnaieforwardverieIATMF(T) v0 +_(v0)4v02(v0)24v3/20_T,cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 47cequi impliquequelavolatiliteinstantaneeestlalimitequandT 0delavolatiliteimplicite`alamonnaieforward. PourT= 0etmnonnul(maispetit),I(T= 0, K) v0 +2(v0)24v5/20m2,lavolatiliteimpliciteenT=0alocalementuneformeparaboliqueenm, centreeenm=0. Ceci permetdecalculerlaconvexitedusmileauxcourtesmaturites:limT02Im2[m=0=2(v0)12v5/20.Desresultatsdecetypeontdesapplicationsencalibration,puisquilsrelientdirectementdesquantitesobserv-ablesauxparam`etresdumod`ele.La forme localement symetrique de la volatilite implicite est une consequence de lhypoth`ese de lindependancedesmouvementsbrowniensdusous-jacentetvolatilite(=0). Danslecas ,=0, desresultatssimilairesontete obtenus par Medvedev et Scaillet [50]. Ces auteurs modelisent directement la volatilite tet non la varianceinstantanee:dt= a(t)dt +b(t)dWt, dW, Wt= dt.Ceci correspond `a prendre (v) = b2(v)+2a(v)v et (v) = 2b(v)v dans notre formulation. Lhypoth`eseque m doit etre proche de zero est interpretee en introduisant le moneyness renormalise z=m0Tet supposantquezresteni losqueT 0. AveclesmethodesdedeveloppementenseriepourlesEDP, similaires`acellesquonvientdevoirdansuncadreplussimple,MedvedevetScailletmontrentalorsqueI(T, z) = 0 +I1(0, z)T+I2(0, z)T+O(TT)avecI1(, z) =b()z2etI2(, z) =16_b2()(1 2)+2b()b()_z2+a()2+b()4+2b2()24+b2()122b()b()6.Cette formule permet de calculer le skew et la convexite `a la monnaie pour courtes maturites dans le cas ,= 0:limT0Im[m=0=b(0)20=(v0)4v0,limT02Im2[m=0=1320_b2(0)(1 2)0+2b(0)b(0)_=2(v0)(1 22)12v5/20+2(v0)(v0)6v3/20.La formule de Roger Lee pour les strikes extremes Dans cette section, qui nest pas limitee auxmod`eles`avolatilitestochastique,onmontrequelaconditiondabsencedarbitrageimposedescontraintessurlacroissancedelavolatiliteimplicitepourlestr`esgrandsetlestr`espetitsstrikes. Cesresultatsont ete etablisparRogerLee[45]etgeneralisesdans[31].Soitk= logKerTSlelogstrike. OnxelecheanceTetdenoteparI(k)lavolatiliteimpliciteduneoptiondecheanceTetlog-strikek,etparcBS(k, )leprixBlack-Scholesdecetteoption,silavolatiliteest egale`a.Danstoutmod`elesansarbitrage,onaalors,limsupk+I2(k)Tk 2. (4.14)Pourdemontrercetteinegaliteilsutdevoirquilexistek< telquepourtoutk > k,cBS(k, I(k)) < cBS_k,_2kT_.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201248 PETERTANKOVOr,limkcBS(k, I(k)) = 0parconvergencedominee,alorsquelimkcBS_k,_2kT_=limkS_N(0) ekN(2k)_=S2parler`egledelHopital.LeresultatplusgeneraldeRogerLee etablitlelienentrelavaleurdelimsupk+I2(k)TketlenombredesmomentsnisduprocessusdeprixST. Dansunpremiertempsonvaetudierlecomportementduprixduncall. SoitE[Sp+1T] < pourp > 0. IlestfaciledevoirquepourtoutS> 0,S K Sp+1p + 1_pp + 1_p1Kpetdonc (S K)+Sp+1p + 1_pp + 1_p1KpEnprenantlesperanceactualiseedechaquecote,C(K) erT E[Sp+1]p + 1_pp + 1_p1KpetdoncC(K) = O(Kp), K (4.15)Avec(4.14)et(4.15),onanalementTheor`eme2(RogerLee).(i) Soit p = supp : E[S1+pT] < et R= limsupk+I2(k)Tk.AlorsR [0, 2]et p =12R+R812.(ii) Soit q= supq: E[SqT] < et L= limsupkI2(k)T[k[.AlorsL [0, 2]et q=12L+L812.Preuve. Nousdonneronsici seulementuneideedelapreuvedelapremi`erepartiedutheor`eme, qui permetdecomprendrecommentapparaitlelienentrelenombredemomentsnisetlecomportementdelavolatiliteimplicite. Lelecteurpeutconsulter[45]pourlapreuvecompl`ete. Soitf() :=1+4 1. Alors,cBS(k,_k/T) = S(N(_f()k) ekN(_f+()k)). (4.16)EnremarquantquelimxN(x)[x[1n(x)= 1,onmontrefacilementquecBS(k,_k/T) Cef()k/2k(4.17)cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 491.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.65log(K/S)IV^240 60 80 100 120 140 160 180 200 220 2400.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.80KIVFigure 4.4: Comportement asymptotique du smile dans le mod`ele de Heston pour les valeurs extremes du strike.Lesparam`etressont: = 0.5,v0= = 0.04,= 0.5etk = 2,tempsjusqu`amaturite: T= 50jours.lorsquek ,o` uCestuneconstante. Soitp f()2impliqueR ,etpuisquelafonctionf()estdecroissante,que p f(R)/2.Le resultat de Roger Lee montre que le carre de la volatilite, en fonction du log-strike, est asymptotiquementlineaire. Cetypedecomportementestillustresurlegraphique4.4.4.3 EstimationdevolatiliteDans la section precedente nous avons vu quen theorie, dans un mod`ele `a volatilite stochastique avec 2 facteursderisque,touteoptionestrepliqueparunportefeuillecontenantdesactionsetunactifrisqueadditionnel. Enrealite, pourcalculerlesratiosdecouverture(4.6)et(4.7)etleprixdeloption, il fautconnatrelavolatiliteinstantaneetqui nestpasdirectementobservable. OnpeutapprochertparlavolatilitemoyennesuruneperiodedelongueurT,quiestestimable`apartirdedonneeshistoriques,mais LavariancedelestimateurdevolatilitemoyennedecrotavecT LebiaisdelapproximationdetparlavolatilitemoyennecroitavecTEngeneral,memeavecdesdonneeshautefrequence,onnepeutconnatretquavecuneprecisionde10%aumieux, cequi introduitunrisquesupplementaire(risquedemod`ele)danslaproceduredecouverture. Danscettesectiononseproposederegarderlesmethodesdestimationdevolatilitemoyenne`apartirdedonneeshistoriques.Estimateursdevariancerealisee Soit(St)unprocessusdeprixavecvolatilitestochastique:dStSt= tdt +tdWt.Alorsd log St=_t2t2_dt +tdWt(4.18)cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201250 PETERTANKOVetlavariationquadratiquedelog Stsatisfaitlog St=_t02sds.Dunautrecote,lavariationquadratiquedunesemimartingaleestdenieparXt= limNNi=1(XiNtXi1Nt)2,o` ulaconvergencealieupresques urement. Aveclanotationr(t, h) log St+hStpourlelog-rendementduprocessusdeprix,onadonc_t02sds = limNNi=1r_i 1Nt,tN_2.Cecisugg`erequonpeutestimerlavarianceintegree_t02sdsparlavariancerealiseeV RNtNi=1r_i 1Nt,tN_2.Pouranalyserlecomportementdecetestimateur,onferadeuxhypoth`esessimplicatrices: Lavolatilite(t)estindependantedumouvementbrownienquidirigelesous-jacent(Wt). Laderivetestdeterministe.Ceshypoth`esesnesontpasnecessaires,pourvoircommentonpeutsenaranchir,cf.[2].On ecriraEpourlesperanceconditionnelleparrapport`alatrajectoiredevolatilite. Souscetteesperanceconditionnelle,Ri r_i 1Nt,tN_estunevariablealeatoireGaussiennedevarianceetesperancevi=_ iNti1Nt2sds et mi=_ iNti1Nt(s2s/2)dsrespectivement,etlesvariablesRietRjsontindependantespourtouti ,= j.Dansunpremiertemps,onanalyselebiaisdelestimateurdevariancerealisee. UncalculdirectmontreE[V RNt] =Ni=1E[R2i] =Ni=1(vi +m2i)_t02sds +tN_t0(s2s/2)2ds,lebiaisdelestimateurestdoncdelordredeO(t/N). PourlavarianceconditionnelledelestimateuronaVar[V RNt] =Ni=1E[(R2i vim2i)2] =Ni=1(2v2i+ 4vim2i)2tN_t04sds +4t2N2_t02s(s2s/2)2ds.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 510 0.2 0.4 0.6 0.8 10.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.020.022InstantaneousRealized/100Mean/1001/1/92 31/12/9260006500700075001/1/92 31/12/9200.10.20.30.4Moyenne 1 jourMoyenne 2 joursFigure4.5: Estimateurdevariancerealisee. Graphiquedegauche: donneessimulees. Graphiquededroite:donneesreelles. Haut: tauxdechangeDM/USD.Bas: volatilitemoyennejournali`ere, estimeesurlesdonneesdefrequence5min.Letermedominantdanslerreurdelestimateurestdoncd u`alavarianceetlecarttypedelerreurest, aupremierordre, egal`a2tN_t04sds.Ceci sexplique par le fait que lestimateur de variance realisee est un estimateur compl`etement non-parametrique,il ne necessite aucune hypoth`esesur le mod`eleet nintroduit donc presque pas de biais mais au prix dune vari-anceassez elevee.Exemple4. Soitt=1jour, N=100(unedonneetoutesles5minutes). Alorspourunniveaumoyendevolatilitede10%,ona2tN_t04sds 5 106,ce qui correspond `a une erreur relative de 15%. Dun autre cote, lecart type typique de la volatilite instantaneesur1jourestde5103(param`etresdelarticledeHeston[40]). Laprecisionrelativedelestimationdelavolatiliteinstantaneeparlestimateurdevariancerealiseeestdonc,danscecasde16%.Lestimationdevolatiliteparvariancerealiseeestillustreeparg.4.5. Agauche,surlesdonneessimulees,oncomparelestimateurdevariancerealiseesur1jouraveclavolatiliteinstantaneeetlavolatilitemoyennesur 1 jour, cest-` a-dire_1t_t02sds. On voit quici, lecart entre la volatilite instantanee et la volatilite moyenneestpetit, maislestimateurdevariancerealiseeintroduitbeaucoupdebruit. Surlegraphiquededroite, onappliquelememeestimateuravecdesfenetresdunjouretdedeuxjoursauxdonneesreelles. Iciegalement,limportantedierence entre les estimateurspour les deux fenetres montreque lestimateurde variance realiseeintroduitbeaucoupdebruitdansleresultatnal.Estimationdevolatiliteavecunmod`eleARCHauxiliaire Cettemethodedestimationdevolatiliteintroduitunlissagesupplementaire, cequi permetdediminuerlavariancedelestimateur, auprixdunbiaisplusgrand. Onseplacedanslecadredunmod`elediscret `avolatilitestochastique:Ri= i +ii. (4.19)Ici, i est une suitede variablesaleatoiresadaptee`a une ltrationdiscr`ete Tt et tellequepour touti,i+1estindependantde TietdeloiN(0, 1). Lessuites iet isontsupposees Tt-previsibles(cecirevient`acel-00664993, version 1 - 31 Jan 201252 PETERTANKOVdirequeietisont Ti1-mesurables). Danscecas, lerendementcontinur((i 1)h, h)alamemeloi pourtoutiquelerendementdiscretRi= i +ii.Remarque2. Sous lhypoth`esedederivedeterministeet volatiliteindependantedusous-jacent, lemod`elecontinu (4.18) observe avec frequence h peut etre reecrit sous cette forme, en prenant une suite i de variablesindependantesdeloiN(0, 1),etenposantTt:= 1, . . . , t s: s (t + 1)h.i=_ih(i1)h(s2s/2)ds, i=_ih(i1)h2sds.Danslemod`ele(4.19),2i= E[(Rii)2[Ti1].Ceciconduit`alideedapprocher2iparunemoyennemobiledescarreesdesobservationsprecedentes2i +1(Ri1i1)2+ +n(Rinin)2. (4.20)Cettemethodepeutdoncetreconsiderecommeunegeneralisationdelestimateurdevariancerealisee. Dunautrecote,ilexisteuneclassedemod`eles econometriquesdevolatilite,o` uelleaexactementlaforme(4.20). Ilsagit de mod`eles de type ARCH (autoregressive conditional heteroscedasticity) [30]. Dans un mod`ele ARCH(n),onsupposequeleprocessusderendementsdiscretsestdecritpar(4.19),avecunevolatilitedonneepar2i= +1(Ri1i1)2+ +n(Rinin)2. (4.21)Lesmoyennesipeuvent etreconstantesouintegrerune eventuellesaisonnalite.Danscemod`eletoutlaleaprovientdoncdelasuite i,etilnyapasdefacteursderisquecachescequifacilitelestimation. Pourestimerunmod`eleARCH(n),onpeutdansunpremiertempsutiliserlamethodedemaximumdevraisemblancepourdeduirelesparam`etres, 1,. . . ,npuisltrerlavolatiliteaveclequation(4.21). Parexemple,danslemod`eleARCH(1)aveci ladensitejointede(R1, . . . , RT)satisfaitp(R1, . . . , RT[) = p(RT[RT1, ) . . . p(R2[R1, )p(R1),o` u = (, , 1)estlevecteurdesparam`etresinconnusetp(Ri[Ri1, ) =1i2exp_(Ri)222i_=1_2( +1(Ri1)2)exp_(Ri)22( +1(Ri1)2_.Ladensitep(R1)peutetreGaussienneavecunevaleurdevolatilitexee`apriori. Lesparam`etres(, , 1)peuventdonc etreestimesavec = arg maxlog p(R1, . . . , RT[) = arg max_Ti=1log iTi=1(Ri)222i_.Pourconstruireunestimateurabledevolatiliteavecunmod`eleARCHauxiliaire,onestobligedechoisirnsusammentgrandetdoncdestimerbeaucoupdeparam`etres. Pourunedescriptionplusparcimonieuse,lesmod`elesGARCH(generalizedARCH)onteteproposes[7], qui permettent`alavolatiliteidedependrenonseulement des rendements passes mais aussi des valeurs passees de volatilite elle-meme. Le mod`ele GARCH(m,n)adonclaforme2t= +ni=1i(Rtiti)2+mj=1j2tj.Lavantagedecetteapprocheestquepourobtenirdesbonsresultatsonararementbesoindallerau-del`adeGARCH(1,1).cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 530 0.2 0.4 0.6 0.8 10.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02InstantaneousGARCH(1,1)MeanFigure4.6: Estimationdevolatiliteavecunmod`eleGARCH(1,1)auxiliaire.Pourestimerlavolatilitedansunmod`ele`avolatilitestochastique, unemethodepossibleconsistedonc`asubstituerlavolatilitestochastiqueparunevolatilitedetypeARCHouGARCH. Enlefaisant, on, introduitun biais d u au fait quon nutilise pas le bon mod`ele,mais en vue de lequation (4.20) on peut esperer avoir uneapproximation`alavraievolatilite. Graphique4.6montrelaperformancedelestimateurfondesurunmod`eleGARCH(1,1)auxiliairesurlesmemesdonneesquiont eteutiliseespourtesterlestimateurdevariancerealisee(g. 4.5). On voit que maintenant, lestimateur contient beaucoup moins de bruit, mais que la volatilite estimeeestparfoisdierentedelavraievolatiliteenraisondunlissageindesirableparlemod`eleGARCH.Estimationdelavolatiliteinstantaneeavecvolatiliteimplicite Des resultats de la section precedenteilressortquelavolatiliteimplicite`alamonnaieforward(etlavolatiliteimplicite`alamonnaie)convergeverslavolatiliteinstantanee v0pourlespetitesmaturites:IATM(T) =v0 +O(T) (casgeneral)IATM(T) =v0 +O(T) ( = 0).Danslesmarchesliquides, onpeutdoncestimerlavolatiliteimplicitesimplementeninterpolantlavolatiliteimplicite`a lamonnaie. Les formulesdela sectionprecedentepermettentdanalyserlerreurdunetelleapprox-imation.4.4 SwapsdevarianceLes swaps de variance sont des actifs contingents qui permettent de prendre des positions sur lavolatilite(variance)desous-jacent. Unswapdevarianceaunpay-o`alecheance egal`aHT=NAnni=1_logSiSi1_2N2K,o` u A = 250estlenombremoyendejoursouvresdanslannee; Nestlenominalducontral; nrepresentelenombredejoursouvresjusqualecheanceT; Kestlavolatilitestrike.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201254 PETERTANKOVEndautresmots,unswapdevariancepermetdechangerunmontantxeN2Kcontreunuxaleatoire egal`alavariancerealiseedusous-jacent.Dans un mod`ele `a trajectoires continues, un swap de variance peut etre replique par un portefeuille statiquecontenantdesoptionseuropeennesetunportefeuilledynamiquecontenantlesous-jacent[11]. Poursimplierletraitement,onvaapprocherlasommedanslepay-odeproduitparuneintegrale:HT= N_1T_T02sds 2K_.Supposonsquelesous-jacentSestdecritpardStSt= tdt +tdWt,o` utettsontdeuxprocessusstochastiques. LaformuledIt odonnealors12_T02sds =_T0dStStlog STS0. (4.22)Pourrepliquerlavarianceintegree,ilsutalorsderepliquerlesdeuxtermesdanslapartiedroite.SoitVtlavaleurduportefeuillequireplique_T0dStStetsoitQuneprobabiliterisque-neutre. OnaalorsVt= er(Tt)E__T0dStSt[Tt_= er(Tt)__t0dSsSs+r(T t)_do` uondeduitdVt= r(VttSt)dt +tdStavec t=er(Tt)St.Le premier terme de la partie droite de (4.22) peut donc etre replique par un portefeuille autonancant consistant`ainvestirer(Tt)enactionsetayantlavaleurinitialeV0= rTerT.Ledeuxi`emetermedans lapartiedroitede(4.22) (lelog-contrat) peutetrerepliquepar unportefeuillestatiquedecallsetputs. SoitfunefonctionC2. AlorsilestfacilededemontrerquepourtousF, xpositifs,f(x) = f(F) +f(F)(x F) +_F0f(K)(K x)+dK +_Ff(K)(x K)+dK.PourcalculerleprixduneoptioneuropeennedecheanceTetdepay-of(ST),onposeF= S0erTetcalculelesperancedeerTf(ST)souslaprobabiliterisque-neutre:Prix = erTf(F) +_F0f(K)P(T, K)dK +_Ff(K)C(T, K)dK,o` uP(T, K)estleprixdunputetC(T, K)leprixduncalldecheanceTetstrikeK. Enparticulier, pourlelog-contratf(x) = logxS0,ontrouvePrix = erTrT _F0P(T, K)K2dK _FC(T, K)K2dK.Enrajoutantceciauprixduportefeuilledereplicationpourlepremiertermede(4.22),ontrouvequeleprixduportefeuilledereplicationpour12_T02sdsest egal`a_F0P(T, K)K2dK +_FC(T, K)K2dK.Finalement,leKquiannulelavaleurduswapdevariancesatisfaiterT2K=2T_F0P(T, K)K2dK +2T_FC(T, K)K2dK.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 55LindiceVIX VIXestlindicedevolatilitedoptionssurS&P500, publieparCBOE. Entre1993et2003,cetindice etaitcalculecommelamoyennedesvolatilitesimplicitesde8optionslesplusliquides,maisen2003lamethodologieaetechange, etlenouvel indiceestcalculeenprenantencomptetouteslesoptionsparlaformule(4.4). LerapportpubliesurlesitedeCBOE(faitesunrecherchegooglesurvixwhitepaper)donnelanouvelleformule: oncalculeV IX2T=2erTTiKiK2iQi(Ki) 1T_FK01_2,pourlesdeux echeanceslespluscourtesT1etT2,o` u Qiestleprixdeloption(callouput)quiesthorsdelamonnaiepourlestrikeKi; Festleforwardcalculeparlaparitecall-put; K0estleplusgrandstrikequiestpluspetitqueleforward; Kiestlintervalleentrelesstrikes.Letroisi`emetermeestuntermedecorrection:2T_F0P(T, K)K2dK +2T_FC(T, K)K2=2T_K00P(T, K)K2dK +2T_K0C(T, K)K2dK +2T_FK0P(K) C(K)K2dK2T_K00P(T, K)K2dK +2T_K0C(T, K)K2dK erTT(F K0)2K20.Pour calculer lindice VIX, on fait une interpolation lineaire entre V IXT1et V IXT2pour arriver `a une maturitede30jours.4.5 ParametrisationdeHestonDanssaversionrisque-neutre,lemod`eledeHeston[40]alaforme:dStSt= rdt +tdWtd2t= k( 2t)dt +tdWt, dW, Wt= dto` uencore dvt= k( vt)dt +vtdWtavec vt= 2tLeprocessusdelavariancevtestconnusouslenomdeprocessusracinecarree. Il aeteintroduitparCox,Ingersoll et Ross [19] pour modeliser le taux dinteret court. Ce processus reste positif et retourne `a la moyenne avec vitesse caracteristique k. Le param`etre joue le r ole de volatilite de volatilite. Le comportement dynamiqueduprocessusdependdesgrandeursrelativesdesparam`etres: si2k2>1, leprocessusnetouchejamaiszero;danslecascontraireilpeuttoucherzeroetreechir. Danscettederni`eresituation,onrencontredesdicultesdesimulationdeceprocessus: puisquelafonctionf(x) =xnestpasLipschitzenzero,leschemadEulervt+t= v(t) +k( vt)t +vtWtconvergetr`eslentement. Deplus, memesi leprocessuscontinurestetoujourspositif, leprocessusdiscretisepeutdevenirnegatif. Cettediculteestgeneralementeviteeenremplacant vtpar_[vt[ou_v+t,maiscecine resout pas le probl`eme de convergence. Pour voir comment ameliorer la convergence avec un schema dordreeleve,voir[33,35]. Ilexiste egalementdesalgorithmesdesimulationexacte(sansdiscretisation)voir[9]maisilsnesontpastoujourslesplusrapides.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201256 PETERTANKOVPourmieuxcomprendrelesproprietesdumod`ele,onpeutreecrireleprocessusracinecarreecommevt= +ekt(v0) +_t0ek(ts)vsdWs.Dans cette forme on voit immediatement que le processus oublie sa valeur initiale et retourne vers la moyenneexponentiellementviteavecvitessek. LamoyenneduprocessusestE[vt] = ekt(v0) +etlavarianceVar[vt] =22k+2(v0)kekt+2( 2v0)2ke2kt.Sitestpetit,Var[vt] = v02t,cequiexpliqueletermevolatilitedevolatilite.Remarquonsaupassageque1T E__T0vtdt_= + (v0)1 ekTkT,cequipermetdecalculerfacilementleprixdunswapdevariance.Lesparam`etres dans larticleoriginal deHeston[40] sont k=2, =0.01, =0.1et v0=0.01. Pourcesvaleurs, lecarttypedevariancesurunjour(T=4103)estde 6104. Si onremplacelavarianceinstantaneeparlavarianceintegreesur1jour,onfaitdoncuneerreurrelativede6%.Exercice 4. Calculer lavariance de lavariance moyenne VarITdans le mod`ele de Heston. Montrer queVarIT O(T)quandT 0.Valorisationdoptions europeennes Section5.8decrit une methode rapide pour calculer les prixdesoptionseuropeennesdansunmod`eleo` uonconnatexplicitementlafonctioncaracteristiquedulog-prix. Lemod`eledeHestonappartient`alaclassedemod`elesditsanes[25, 26], etpourtouslesmod`elesdanscetteclasse, lafonctioncaracteristiqueestconnue. Ici onexpliquelamethodedecalcul pourlemod`eledeHestonseulement.Le log-prix Xtest deni par St= S0ert+Xto` u le taux dinteret a ete introduit pour simplier les calculs parlasuite. Leprocessus(Xt)satisfaitlEDSdXt= 122tdt +tdWtParlelemmedIt o,lafonctioncaracteristiqueconditionnelledeXT,f(t, v, x) = E[eiuXT[Xt= x, vt= v],satisfait:v22fx2+v2fxv+2v22fv2 v2fx+k( v)fv+ft= 0,avecconditionnalef(T, v, x) = eiux.Cherchonslasolutionsouslaforme:f(t, v, x) = (t, v)eiux. (4.23)Alorslequationdevient:2v22v2+ (iuv +k( v))v v2(u2+iu) +t= 0,cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 57avecconditionnale (T, v) = 1. Gr ace `a la structure ane des coecients,on devine encore une fois la formedelasolution:(t, v) = expC(T t) +vD(T t). (4.24)Lequationsedecomposealorsen2 equationsdierentiellesordinaires:D(t) =22D2+ (iu k)D u2+iu2, D(0) = 0 (4.25)C(t) = kD, C(0) = 0 (4.26)CesEDOpourCetDontdessolutionsexplicites:D(t) = u2+iu cotht2+k iu, (4.27)C(t) =kt(k iu )22k2ln_12(1 +et) +k iu2(1 et)_, (4.28)o` u=_2(u2+iu) + (k iu)2. Finalement,enrassemblantequations(4.23)(4.24),ontrouvelafonctioncaracteristiquenon-conditionnellede(Xt):E[eiuXT] = eC(T)+v0D(T).Remarque3. Lecriture(4.23)(4.24)desfacteursCetDdelafonctioncaracteristiquedeHestonestopti-misee pour les calculs numeriques: lexpression sous le signe de logarithme nexplose pas pour u grand, et restedansledomainedecontinuitedelafonctionlog(lafonctiondelogarithmecomplexedanslaplupartdesbib-lioth`equesnumeriquesaunediscontinuitesurledemi-axe(, 0]). Voir[46]pourunediscussionapprofondiedeceprobl`emeExplosionsdesmomentsdanslemod`eledeHeston Lanalysedetailleedesequations(4.25)et(4.26)[42]montrequeE[euXT](etdoncE[SuT])estnisietseulementsiT< T(u),o` uT(u) =___+, (u) 02_arctan_(u)u k+1uk $0.25 utilisees et la calibration a ete eectuee par moindres carrees avecpoints de depart dierents pour eviter de tomber dans un minimum local. Les resultats sont representes sur lestrois graphiques du g. 4.9. On voit que le mod`ele reproduit correctement la pente de la volatilite implicite auxgrandesmaturites(memepourplusieursmaturitesenmemetemps),maisnarrivepas`aexpliquerlaconvexiteauxtr`escourtesmaturites. Ceci estduaufaitquesuruneechelledetempscourtelavolatilitenepeutpaschangerdemani`eresignicative,etlemod`elesecomportecommelemod`eleBlack-Scholes.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201260 PETERTANKOV600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 16000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.50MarketCalibrated1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 15500.00.10.20.30.40.50.60.7MarketCalibrated600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 16000.00.10.20.30.40.50.60.7Market 69 daysModel 69 daysMarket 188 daysModel 188 daysFigure 4.9: Calibration du mod`ele de Heston aux donnees de marche. En haut `a gauche: Maturite 188 jours: lemod`elereproduitcorrectementleskewdumarcheauxlonguesmaturites. Enhaut`adroite: Maturite8jours:lesmileauxcourtesmaturitesnestpascalibrecorrectement. Enbas: Calibrationsimultanee`a2maturites: lastructurepartermeestmodeliseecorrectement.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012Chapitre5Lesmod`elesavecsautsDanscechapitre, onconsid`erelesprocessusstochastiquesavecsauts, cest-` a-dire, lesprocessusdontlestra-jectoirespeuventavoirdesdiscontinuites. Cependant,onleurimposeraunecertainestructure: pourdenirlanotionmemedunsaut,ilfautqueleslimites`agaucheet`adroiteexistententoutpoint:Xt:= limstXs, Xt+:= limstXsdoiventexisterpourtoutt. LesautaupointtestalorsdeniparXt= Xt+Xt. Lavaleurentpeut etreegale`aXt(processusc`agl`adpourcontinu`agauche,limite`adroite)ou`aXt+(c`adl`agpourcontinu`adroite,limite`agauche). Laplupartdeprocessusdanscechapitreserontdesprocessusc`adl`ag.5.1 IntroductionauxprocessusdeLevyLesprocessusdeLevyformentuneclassedeprocessusavecsautsqui est`alafoissusammentsimplepouretudieretenmemetempsassezrichepourlesapplicationsouentoutcaspouretreutilisecommebriquedebasepourconstruiredesmod`elesplusrealistes.Denition2. Un processus stochastique Xest un processus de Levy sil est c`adl`ag, satisfait X0= 0 et poss`edelesdeuxproprietessuivantes: Accroissementsindependants; Accroissementsstationnaires;Decesdeuxproprietesdecoulentnotamment Continuiteenprobabilite: , lims0P[[Xs+tXt[ > ] = 0. Absencedesautsauxtempsxes: t,P[Xt= Xt] = 1.Les processus de Levy sont essentiellement des processus avec sauts, car on peut demontrer que tout processusdeLevycontinuestunmouvementBrownienavecdrift.Proposition3. Soit Xunprocessus deLevycontinu. Alors il existent Rdet unematricesymetriquedeniepositiveAtelsqueXt= t +Wt,avecWunmouvementBrowniendematricedevariance-covarianceA.Preuve. Ce resultat est une consequence directe dutheor`eme de limite centrale de Feller-Levymais il estimportant pour lacomprehensiondes processus deLevy, ondonneradoncuneideedepreuve(dans lecasunidimensionnel).Il sut de demontrer que X1suit laloi gaussienne, le reste est une consequence de lindependance etstationnaritedesaccroissements.61cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201262 PETERTANKOVEtape1 Soitkn:= XknXk1n. LacontinuitedeXimpliquelimnP[supk[kn[ > ] = 0,pourtout. Posonsan= P[[1n[ > ]. PuisqueP[supk[kn[ > ] = 1 (1 P[[1n[ > ])n,onalimn(1 an)n= 1,do` ulimnnlog(1 an) = 0. Ornlog(1 an) nan 0. NousavonsdonclimnnP[[X1n[ > ] = 0 (5.1)Etape2 Enutilisantlindependanceetlastationnaritedesaccroissements,ondemontrelimnnE[cos X1n1] =12log EeiX1+ log EeiX1 := A; (5.2)limnnE[sin X1n] =12ilog EeiX1log EeiX1 := . (5.3)Etape3 Lesequations(5.1)and(5.2)permettentdedemontrerquepourtoutefonctionftellequef(x)=o([x[2)dansunvoisinagede0,limnnE[f(X1n)] = 0cequiimpliquepourtout > 0limnnE[X1n1]X1n]] = , (5.4)limnnE[X21n1]X1n]] = A, (5.5)limnnE[[X1n[31]X1n]] = 0. (5.6)(5.7)Etape4 Enrassemblantlesdierentesestimations,onanalementlog E[eiuX1] = nlog E[eiuX1n 1X1n] +o(1)= nlog1 +iuE[X1n1X1n] u22E[X21n1X1n] +o(1/n) +o(1)= iu Au22+o(1) niu Au22o` uo(1)signieunequantitequitendvers0lorsquen .LautreexemplefondamentaldunprocessusdeLevyestleprocessusdePoisson.LeprocessusdePoissonDenition3. Soit (i)i1unesuitedev.a. exponentielles deparam`etreet soit Tn=ni=1i. Alors leprocessusNt=n11tTn(5.8)estappelleleprocessusdePoissondeparam`etreProposition4(ProprietesduprocessusdePoisson).1. Pourtoutt 0,lasommedans (5.8)estniep.s.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 632. LestrajectoiresdeNsontconstantesparmorceauxavecdessautsdetaille1seulement.3. Lestrajectoiressontc` adl` ag.4. t > 0,Nt= Ntavecprobabilite1.5. t > 0,NtsuituneloidePoissondeparam`etret:P[Nt= n] = et(t)nn!6. LafonctioncaracteristiqueduprocessusdePoissonestE[eiuNt] = expt(eiu1).7. LeprocessusdePoissonestunprocessusdeLevy.LeprocessusdePoissoncomptelesevenementsdontlestempsdattentesontdesvariablesexponentiellesindependantes. Dansuncadreplusgeneral,onparledunprocessusdecomptage.Denition4. Soit(Tn)unesuitedetempsavecTn p.s. AlorsleprocessusNt=n11tTnestappelleunprocessusdecomptage.Autrementdit,unprocessusdecomptageestunprocessuscroissantconstantparmorceaux,avecsautsdetaille1etp.s. ni.UnpremierpasverslacaracterisationdunprocessusdeLevyestdecaracteriserlesprocessusdeLevydecomptage.Proposition5. Soit(Nt)unprocessusdeLevyetunprocessusdecomptage. Alors(Nt)estunprocessusdePoisson.Preuve. Lapreuvereposesurlacaracterisationdeladistributionexponentielleparlaproprietedabsencedememoire: sipourunevariablealeatoireTonaP[T> t +s[T> t] = P[T> s]pourtoutt, s > 0alorsTestunev.a. exponentielle.Soit T1le 1er temps de saut du processus N. Lindependance et la stationnarite des accroissements donnent:P[T1> t +s[T1> t] = P[Nt+s= 0[Nt= 0]= P[Nt+sNt= 0[Nt= 0] = P[Ns= 0] = P[T1> s],lepremiertempsdesautT1estdoncunevariableexponentielle.Maintenant,ilsutdedemontrerqueleprocessus(XT1+tXT1)t0estindependantduXT1etalamemeloi que(Xt)t0. Soitf(t):=E[eiuXt]. Alorslindependanceetlastationnaritedesaccroissementsentrainentque f(t+s) = f(t)f(s) et Mt:=eiuXtf(t)est une martingale. Soit Tn1:= nT1. Alors par application du theor`emedarretdeDoob,E[eiu(XTn1+tXTn1)+ivTn1] = E_f(Tn1+t)f(Tn1 )eivTn1_= E[eiuXt]E[eivTn1].Pourterminerlapreuve,ilrestealors`aappliquerletheor`emedeconvergencedominee.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201264 PETERTANKOVProcessusdePoissoncompose LeprocessusdePoissonenlui-memenestpasutilisepourmodeliserlescoursdactifs, carlaconditionquelatailledesautsesttoujoursegale`a1esttropcontraignante, maisil sertcommebriquedebasepourconstruiredesmod`elesplusriches.Denition5(ProcessusdePoissoncompose). LeprocessusdePoissoncomposeavecintensitedessautsetdistributiondelatailledessautsestunprocessusstochastique(Xt)t0deniparXt=Nti=1Yi,o` u Yii1estunesuitedev.a. independantesdeloietNestunprocessusdePoissonstandarddintensiteindependantde Yii1.Endautresmots,unprocessusdePoissoncomposeestunprocessusconstantparmorceauxquisauteauxinstantsdesautsdunprocessusdePoissonstandard,etdontlestaillesdesautssontdesvariablesi.i.d. duneloidonnee.Proposition6(ProprietesduprocessusdePoissoncompose). Soit(Xt)t0unprocessusdePoissoncomposedintensitedessautset deloi dessauts. AlorsXest unprocessusdeLevyconstant parmorceauxet safonctioncaracteristiqueestdonneeparE[eiuXt] = exp_t_R(eiux1)(dx)_.Exemple5(Mod`ele de Merton). Le mod`ele de Merton (1976) est lune des premi`eres applications de processusavec sauts en modelisation nanci`ere. Dans ce mod`ele, pour prendre en compte les discontinuites dans les coursdactions,onrajoutedessautsgaussiensaulogarithmeduprix:St= S0ert+Xt, Xt= t +Wt +Nti=1Yi, Yi N(, 2)independants.Lavantage de cette modelisation est davoir une representation en serie pour la densite de probabilite du log-prix(etpourlesprixdoptionseuropeennes):pt(x) = etk=0(t)kexp_(xtk)22(2t+k2)_k!_2(2t +k2).MesuresaleatoiresdePoisson La notion de mesure aleatoire de Poisson est centrale pour toute la theorie;ellenouspermettradedonnerladescriptioncompl`etedestrajectoiresdunprocessusdeLevy.Denition6(Mesurealeatoire). Soit(, P, T)unespacedeprobabiliteet(E, c)unespacemesurable. AlorsM: c Restunemesurealeatoiresi Pourchaque ,M(, )estunemesuresur c. PourchaqueA c,M(, A)estmesurable.Denition 7 (Mesure aleatoire de Poisson). Soit (, P, T) un espace de probabilite, (E, c) un espace mesurableetunemesuresur(E, c). AlorsM: c RestunemesurealeatoiredePoissondintensitesi PourtoutA cavec(A) < ,M(A)suitlaloidePoissondintensiteE[M(A)] = (A). PourtousA1, . . . Andisjoints,M(A1), . . . , M(An)sontindependants.En particulier, la mesure aleatoire de Poisson est une mesure aleatoire positive aux valeurs enti`eres. Elle peutetreconstruitecommelamesuredecomptagedunnuagedepointscommelemontrelapropositionsuivante.cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 65Proposition7. Soit une mesure -nie sur un sous-ensemble mesurable EdeRd. Alors il existe une mesuredePoissonsurEdintensite.Preuve. Supposonsdansunpremiertempsque(E) < . Soit Xii1unesuitedev.a. independantestellesqueP[Xi A]=(A)(E), iet A B(E), etsoitM(E)unev.a. dePoissondintensite(E)independantedeXii1. IlestalorsfacilededemontrerquelamesurealeatoireMdenieparM(A) :=M(E)i=11A(Xi), A B(E),estunemesurealeatoiredePoissonsurEdintensite.Si maintenant(E)= , il sutdeprendreunesuitedensemblesmesurablesdisjoints Eii1telleque(Ei)< , i etiEi=E, construireunemesuredePoissonMisurchaqueEiaveclaproceduredecriteci-dessusetposerM(A) :=i=1Mi(A), A B(E).Corollaire1(Formule exponentielle). SoitMunemesurealeatoiredePoissonsur(E, c)dintensite,B cetfunefonctionmesurableavec_B[ef(x)1[(dx) < . AlorsE_eB f(x)M(dx)_= exp__B(ef(x)1)(dx)_.Denition8(Mesuredesauts). SoitXunprocessusc`adl`agauxvaleursdansRd. LamesuredesautsdeXestunemesurealeatoiresur B([0, ) Rd)denieparJX(A) = #t : Xt ,= 0and(t, Xt) A.Lamesuredesautsdunensembledetype[s, t]AcomptelenombredesautsdeXentresettdontlestaillestombent dansA. Pour unprocessusdecomptage, commelatailledesaut est toujoursegale`a1, lamesuredesautsestunemesurealeatoiresur[0, )simplement.Proposition8. SoitXunprocessusdePoissondintensite. AlorsJXestunemesurealeatoiredePoissonsur[0, )dintensite dt.Leresultatpeut-etreleplusimportantdelatheoriedeprocessusdeLevyestquelamesuredesautsdunprocessusdeLevygeneralest egalementunemesurealeatoiredePoisson.Exercice5. Soit Xet Ydeux processus de Levy independants. A partir de la denition, demontrer que X+YestunprocessusdeLevy.Exercice6. Demontrerquelaproprietedabsencedememoirecaracteriselaloiexponentielle: siunevariablealeatoireTsatisfaitt, s > 0, P[T> t +s[T> t] = P[T> s]alorssoitT 0soitTsuitlaloiexponentielle.Exercice7. Demontrerlapropriete7duprocessusdePoisson(si NestunprocessusdePoissonalorsil estunprocessusdeLevy).Exercice8. Demontrerquesi NetNsontdeuxprocessusdePoissonindependantsdeparam`etresetalorsN+NestunprocessusdePoissondeparam`etre +.Exercice9. SoitXunprocessusdePoissoncompose,aveclaloidesauts. Etablirquecel-00664993, version 1 - 31 Jan 201266 PETERTANKOV E[[Xt[] < sietseulementsi_R[x[f(dx)etdanscecasE[Xt] = t_Rxf(dx). E[[Xt[2] < sietseulementsi_Rx2f(dx)etdanscecasVar[Xt] = t_Rx2f(dx). E[eXt] < sietseulementsi_Rexf(dx)etdanscecasE[eXt] = exp_t_R(ex1)f(dx)_.Exercice10. IciilsagitdedemontrerquepourconstruireunemesuredePoissonsurR,ilfautprendredeuxprocessusdePoissonetfairepartirunvers+etlautrevers .SoitNetNdeuxprocessusdePoissondintensite,etsoitMunemesurealeatoiredenieparM(A) = #t > 0 : t A, Nt= 1 + #t > 0 : t A, Nt= 1.MontrerqueMestunemesurealeatoiredePoissondintensite.5.2 StructuredestrajectoiresdunprocessusdeLevyDenition9(Mesure de Levy). Soit Xun processus de Levy `a valeurs dansRd. Alors la mesure denie par(A) = E[#t [0, 1] : Xt ,= 0etXt A], A B(Rd)estappelleelamesuredeLevydeX.Theor`eme3(Decomposition de Levy-It o). SoitXunprocessusdeLevy`avaleursdansRddemesuredeLevy. Alors1. SamesuredesautsJXestunemesurealeatoiredePoissonsur[0, ) Rddintensitedt .2. SamesuredeLevysatisfait,_Rd(|x|2 1)(dx) < .3. Il existent RdetunmouvementBrowniend-dimensionnel BdematricedecovarianceAtelsqueXt= t +Bt +Nt +Mt, o` u (5.9)Nt=_]x]>1,s[0,t]xJX(ds dx) andMt=_00stXs=_ 0pourtoutt, u. CeciimpliqueE[eiuXt] = E[eiuRt]E[eiuXt].Donc,E[eiuXt]estborneinferieurementparunnombrepositifindependantde. Parlaformuleexponentielle,ceciequivaut`aexp_t_]x](eiux1)(dx)_ C> 0,cequi implique_]x](1 cos(ux))(dx) C< . Puisqueceresultatestvrai pourtoutu, lapreuvedelapartie2estterminee.Partie3 NotonstoutdabordqueleprocessusMestbiendenigr ace`alacompensationdespetitssautsetaufaitquelamesuredeLevyintegre |x|2presdezero: enintroduisantleprocessusMt=_|x| 0surlintervalle[0, T].cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 69Exercice12. Soit Xun processus de Levy avec la mesure de Levy de la forme (dx) = 0(dx),o` u 0na pasdatomes et satisfait 0(R) = . Pour tout n N,kn> 0 est la solution de_kn0(dx) = n. Pour Txe,quelleestlaloidelavariablealeatoireAn= #t T: Xt [kn+1, kn].Utiliserceresultatpourproposerunemethodedestimationde`apartirdelobservationdunetrajectoiredeX,ensupposantque0estconnu.Exercice13. SoitXunprocessusdeLevyavecsanscomposantedediusionetavecunemesuredeLevyquisatisfait_R[x[(dx) < . AlaidedeladecompositiondeLevy-It o,montrerquelestrajectoiresdeXsontp.s. `avariationnie(onditquunefonctionest`avariationniesiellepeutetrerepresenteecommedierencededeuxfonctionscroissantes).Exercice14. DemontrerquelamesuredeLevyduprocessusgammaestdonneeparlequation(5.11). Mon-trer queleprocessusvariancegammapeutetrerepresentecommeunedierencededeuxprocessusgammaindependants,etendeduirelaformedelamesuredeLevyduprocessusvariancegamma.5.3 Mod`elesexponentielle-LevyPourassurerlapositivitedesprix,onmodelisesouventlescoursdactionscommeexponentiellesdesprocessusdeLevy:St= S0ert+Xt. (5.12)Le mod`ele(5.12)nadmetpas dopportunitedarbitragesil existe une probabilitehistoriqueQ equivalente`a Ptelleque eXest une Q-martingale. Si letripletcaracteristiquede Xsous Qest (AQ, Q, Q),alorsla conditiondemartingalesecrit +A2+_R(ex1 x1]x]1)Q(dx) = 0.Pour appliquer les mod`eles (5.12) `alevaluationdoptions, il faut doncetablir lexistenceduneprobabilitemartingale equivalente,etpourcelanousavonsbesoinderepondre`alaquestionsuivante: Etant donnes 2 processus de Levy (X, P) et (X, Q), avec triplets caracteristiques (AP, P, P) et (AQ, Q, Q),commentdeterminersilesprobabilitesPetQsont equivalentes?Danslecascontinu(siP Q 0),onsaitquelaconditionnecessaireetsusanteestAP= AQ> 0. PourlesprocessusdePoissoncomposes,lasolutionestfacile:Proposition9. Soit (X, P) et (X, Q) deux processus de Poisson composes de mesures de Levy Pet Q. AlorsP Qsur[0, T]sietseulementsiP Qetdanscecas,dQdP[JT= exp__T(PQ) +sT:Xs,=0(Xs)__:= exp(ZT), (5.13)o` uP:= P(R),Q= Q(R)et = logdQdP .Preuve. Supposons dans un premier temps que Q P. Il est clair alors que Zest un processus de Levy dontlintensitedesautsest egale`aP. Deplus,T(PQ) +T_Z(dx)(ex1) = 0montrequeeZestunemartingaleetdoncunchangementdeprobabilite. SoituneprobabiliteQequivalente`aPdeniepardQdP [JT= exp(ZT).cel-00664993, version 1 - 31 Jan 201270 PETERTANKOVSois la probabilite Q, Xest un processus de Levy puisque Zlest sous P. On calcule la fonction caracteristiquedeXsousQ:EQ[eiuXt] = EP[eiuXteZt] = et(PQ)exp_t_(eiu(x+(x))1)P(dx)_= exp_t_(eiux1)Q(dx)_.Donc,lamesuredeLevydeXsousQest egale`aQ,cequiimpliquequeQconcideavecQetdoncQ P.Si, aucontraire, Qnestpasequivalent`aP, il existeA Rtel quesoitQ(A)>0etP(A)=0soitQ(A) = 0etP(A) > 0. Supposonspourxerlesideesquonestdanslepremiercas. AlorslevenementilyaaumoinsunsautdeXdans[0, T]dontlatailletombedansAaprobabilitenullesousPetnon-nullesousQ,cequiveutdirequeQnestpasequivalente`aP.Le resultat precedent montre que dans le contexte de processus de Poissononpeut changer librementlintensitedechaquetailledesaut, maisonnepeutpascompletementenleverlessautsdunetailledonneenirajouterdessautsdunetaillequietaitabsentesouslaprobabiliteoriginale. Contrairement`acequi sepassedanslecasdumouvementbrownien, onnepeutpasnonpluschangerledriftduprocessus, caril peutetreobservedemani`erepresquesure`apartirduneseuletrajectoire.Lorsquelintensitedesautsestinnie,exercice12sugg`erequedescontraintessupplementairessurlatailledespetitssautssont`arespecter. Letheor`emesuivantde[55],reproduiticisanspreuve,donnedesconditionsnecessairesetsusantes.Theor`eme 4. Soient (X, P) et (X, Q) processus de Levy avec triplets caracteristiques (AP, P, P) et (AQ, Q, Q).AlorsP Qsur[0, T]pourtoutTsietseulementsi1. LescoecientsdediusionverientAQ= AP:= A.2. LesmesuresdeLevyverientQ Paveclafonction := logdQdPquisatisfait_(e/21)2P(dx) < .3. Il existe RavecQ= P+_]x]1(e1)P(dx) +A. (5.14)Cettederni`ereconditionestunecontrainteseulementsiA = 0.On peut enn analyser lexistence dopportunites darbitrage dans les mod`eles exponentielle-Levy. La propo-sitionsuivantemontrequecesmod`elesnesontpresquejamaisarbitrables.Proposition10. Soit(X, P)unprocessusdeLevydetripletcaracteristique(A, , ). Il existeuneprobabiliteQ PtellequeeXestuneQ-martingalesietseulementsiXnestpasp.s. croissantnip.s. decroissant.Preuve. Lapartieseulementsiestquasi-triviale,onseconcentresurlapartiesi.SiA > 0,onpeutobteniruneprobabilite equivalenteparunsimplechangementdedrift. OnsupposedoncsanspertedegeneralitequeA=0. Deplusonpeutsupposerque_]x]1ex(dx)< pourtoutcarsinononpeutcommencerparunchangementdeprobabilite equivalenteavecQ= ex2.Pourun R, soitQ=exetQ=+_]x]1(ex 1)(dx)etsoit(X, Q)unprocessusdeLevydetripletcaracteristique(0, Q, Q). Alorsparletheor`emeprecedent, Q P. Pourdemontrerquil existeuneprobabilitemartingale equivalente,ilfauttrouveruntelqueQ+_(ex1 x1]x]1)Q(dx) = 0,cel-00664993, version 1 - 31 Jan 2012CALIBRATIONDEMODELESETCOUVERTUREDEPRODUITSDERIVES 71cequiest equivalent`af() := +_(e(x+1)exx1x1)(dx) = 0.Lafonctionf()estcroissantedederiveef() =_xex(ex1)(dx) 0.Si((, 0)) > 0et((0, )) > 0,laderiveefestborneeinferieurementparmin__0x(ex1)(dx),_0x(ex1)(dx)_ce qui implique que dans ce cas f() = 0 a une solution. Supposons donc pour xer les idees que ((, 0)) = 0.Danscecaslim+f() = +etlimf() = lim +_10x(ex1).Lorsque_10x(dx)= (processus`avariationinnie),cettelimitevaut etdoncf() = 0aunesolution.Danslecascontraire,cettelimitevaut _10x(dx),etf()=0aunesolutionseulementsi _10x(dx)0et>0). Montrer, enutilisantlaquestionprecedente, queP Qimplique = . Veriervotreresultat`alaidedutheor`eme4.5.4 Basesducalcul stochastiquepourlesprocessusavecsautsIntegrands et integrateurs Lapplication principale de lintegrale stochastique en nance est la representationdunportefeuilleautonancant: enlabsencedetauxdinteret,lorsqueleprixdelactifrisqueestunprocessusauxtrajectoirescontinuesSetlaquantitedelactifest,lavaleurduportefeuilleestVT=_T0tdStcel-00664993, version 1 - 31 Jan 201272 PETERTANKOVOnvoudraitquecetterelationsoitaussi vraieenpresencedesauts, maisquellesontlesproprietesnaturelles`aimposersurSet? LeprocessusSdoitetrecontinu`adroitecarlessautsdanslesprixarriventdefaconinattendue. Lastrategiedecouverturet,aucontraire,estfondesurlesobservationsdugerantduportefeuilleavant date t; elle doit donc etre continue `a gauche. Une illustration est donnee par lexemple suivant: supposonsqueleprixdunactifestdecritparSt= t Nt,o` uNtestunprocessusdePoissondintensite,etsoitTletempsdupremiersautdeN. Sionpouvaitchoisirlastrategiec`adl`agt= 1[0,T)(t),consistantavendrelactifjusteavantlesaut,onauraituneopportunitedarbitragecarVt=_t0tdSt= t T.Aveclastrategiec`agl`adt= 1[0,T](t),onaVt=_t0tdSt= t T NtT,cequi estdesperancenulle. Il estdoncnaturel deconsidererlesintegrandsqui sontadaptesetcontinus`agauche. La formelaplussimple(etlaseulerealisableenpratique)dunestrategiedeportefeuilleest celleo` uleportefeuillenestrebalancequunnombrenidefois. Ondenitalorsunprocessusprevisiblesimplepart= 01t=0 +ni=0i1(Ti,Ti+1](t), (5.15)o` uT0= 0,(Ti)i0estunesuitedetempsdarretetpourchaquei,iest TTi-mesurableetborne. Lespacedeprocessusprevisiblessimplesseranotepar o.Pourlesprocessusprevisiblessimples,ondenitlintegralestochastiquepar_t0sdSs:=ni=0i(STi+1tSTit) (5.16)Pour un processus general adapte et continu `a gauche,lintegrale stochastique est deni avec une extension parcontinuite,enutilisantlatopologiedeconvergenceenprobabiliteuniformementsurlecompactes(ucp): onditquelasuite(Xn)deprocessusconvergeversXenprobabiliteuniformementsurlecompactessi, pourtoutt,(XnX)tconverge vers 0 en probabilite, o` u Zt:= sup0st[Zs[. On note par oucplespace oavec la topologiedeconvergenceucp, etparLucpetDucplespacedeprocessusadaptescontinus, respectivement, `agaucheet`adroite, aveccettememetopologie. Il estalorspossiblededemontrerquelespace oucpestdensedansLucp,etdassocier`alatopologieucpunemetriquesurDucp,pourlaquellecetteespaceseracomplet. Poureectuerune extension par continuite de loperateur dintegration stochastique deni par (5.16) de oucpversLucp, il fautquecetoperateursoitunoperateurcontinude oucpversDucp. Or,celadependdelintegrateurS,etonvaselimiterjustementauxintegrateurspourlesquelsceciestvrai.Denition10. Un processus S D est une semimartingalesi loperateur dintegration stochastique deni par(5.16)estunoperateurcontinude oucpversDucp.Toutprocessusc`adl`agadapteetdevariationniesurlescompactesestunesemimartingale. Ceci estuneconsequencedesup0tT_t0sdSs VarT0 (S) sup0tTt,o` uVarT0 (S) sign