Poly Maths

Embed Size (px)

Citation preview

Mathmatiques pour lIngnieurThomas Cluzeau cole Nationale Suprieure dIngnieurs de Limoges 16 rue datlantis, Parc ester technopole 87068 Limoges CEDEX [email protected] http://www.ensil.unilim.fr/~cluzeau

2

Table des matires1 Introduction aux distributions 1.1 Fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Lespace de fonctions tests D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Topologie de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Lespace D des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Exemples, distributions rgulires et singulires . . . . 1.3.3 Support dune distribution . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Oprations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Dilatation (homothtie ou changement dunit) . . . . 1.4.4 Multiplication des distributions . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Drivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Drivation dune fonction discontinue . . . . . . . . . . 1.4.7 Convergence (faible) dans lespace D des distributions 1.4.8 Sous-espaces de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Distributions plusieurs dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 7 10 10 10 11 13 13 13 14 15 15 16 16 16 17 17 18 19 19 20 21 23 23 24 24 24 25 25 27 28 28 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 La Convolution 2.1 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 De deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 De deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Convolution de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Notion de mesure oue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Proprits du produit de convolution de deux distributions 2.3 Algbre de convolution et rsolution dquations direntielles . . 2.3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Calcul algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2.4

2.3.3 Rsolution dune quation direntielle avec conditions initiales Interprtation physique de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Systmes dcrits par un oprateur de convolution . . . . . . . . 2.4.2 Systme causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Rponse une excitation exponentielle . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

29 30 30 31 31 33 33 33 34 34 35 36 37 38 39 39 40 40 41 42 42 42 44 47 47 47 47 48 48 49 49 50 50 50 51 51 52

3 La Transformation de Fourier 3.1 Transforme de Fourier des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Dnition et existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Transforme de Fourier en sinus et cosinus . . . . . . . . 3.1.4 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Transforme de Fourier et convolution . . . . . . . . . . 3.1.7 Formule de Parseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Transforme de Fourier des distributions . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Espace S et transforme de Fourier . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Transforme de Fourier des distributions tempres . . . 3.2.4 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Transforme de Fourier de la distribution peigne de Dirac 3.3 Sries de Fourier et chantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Transforme de Fourier des fonctions priodiques . . . . 3.3.2 chantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 La Transformation de Laplace 4.1 Transforme de Laplace des fonctions . . . . . . . . . . 4.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Lien entre transformes de Laplace et de Fourier 4.1.3 Domaine de dnition, abscisse de sommabilit 4.1.4 Formule dinversion . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Proprits et Exemples . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Transforme de Laplace des distributions . . . . . . . . 4.2.1 Lien entre transforme de Laplace et de Fourier 4.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Application la rsolution dquations de convolution . 4.4 Utilisation de la transforme de Laplace en physique . . 4.4.1 Calcul des fonctions de transfert en lectronique 4.4.2 En mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

5 Introduction lOptimisation 5.1 Rappels et complments de calcul direntiel . . . . . . . 5.1.1 Drives premires . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Drivation de fonctions composes . . . . . . . . . 5.1.3 Drives dordre suprieurs . . . . . . . . . . . . . 5.2 Extrema dune fonction de plusieurs variables relles . . . 5.2.1 Dnitions et premiers rsultats . . . . . . . . . . 5.2.2 Extrema relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Conditions ncessaires et susantes en utilisant la 5.3 Optimisation sous contrainte dans une partie de Rn . . . 5.3.1 Optimisation avec contrainte dgalit . . . . . . . 5.3.2 Optimisation sous dautres contraintes . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . drive seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

55 55 55 57 58 58 58 60 62 63 63 65

5

6

Chapitre 1 Introduction aux distributionsIntroductionLes distributions sont utilises depuis longtemps par les physiciens (distributions de Dirac, . . . ) mais une thorie mathmatique rigoureuse nest apparue que rcemment dans les travaux de Sobolev (1936) et surtout L. Schwartz (1950) (en parallle : Gelfand (1964)). Cest la thorie la plus adapte ltude de nombreux systmes physiques et notamment celle des systmes linaires continus. Avec la notion de distribution, la convolution (voir Chapitre 2) et la transforme de Fourier (voir Chapitre 3) deviennent des outils mathmatiques dune grande puissance. Intuitivement, les distributions sont des outils mathmatiques utiliss pour reprsenter des phnomnes physiques que les fonctions classiques savrent incapables de transcrire. Premier exemple introductif : Choc lastique entre deux objets Considrons une partie de squash. On suppose que la balle arrive sur un mur (perpendiculairement la surface pour simplier) la vitesse v0 et rebondit. La balle scrase quelque peu ce qui fait que le choc dure un temps t non nul, puis elle repart avec une vitesse v0 . Le graphe de la vitesse en fonction du temps est donc le suivant :

7

La loi de la mcanique Newtonienne stipule que, tout au long du mouvement, la force F exerce sur la balle est telle que F = m v ; elle est donc proportionnelle la drive de la fonction reprsente ci-dessus. Maintenant, si lon veut modliser un choc dur (partie de ptanque), le graphe de la vitesse devient alors :

La force exerce devrait toujours tre proportionnelle la drive de cette fonction donc F devrait tre nulle pour tout t = 0 et vrier 1 m+

F (t)dt = v(+) v() = 2 v0 ,

ce qui est absurde car lintgrale dune fonction presque partout nulle est nulle. Par consquent, ni cette intgrale, ni la drive prcdente ne peuvent tre traites au sens des fonctions ; on a besoin dobjets plus gnraux, i.e., les distributions. Deuxime exemple introductif : Distributions de charges en lectrostatique Trois notions de charges apparaissent en lectrostatique : les charges ponctuelles qi , les densits de charges supercielles (ou charge par unit de surface) sur les conducteurs, les densits de charges volumiques (par unit de volume). On peut remarquer quune distribution ponctuelle de charge peut sobtenir comme limite dune distribution volumique en faisant tendre, charge constante, le volume vers zro. Pour simplier, prenons un exemple une dimension. Soit (x) la fonction porte dnie par : (x) = 1 pour | x | 1/2, 0 pour | x | > 1/2.

Considrons, sur une droite, une suite de densits de charges k (x) = k (k x) donne par la gure suivante : 8

Lintgrale, qui reprsente la charge totale en lectrostatique, est indpendante de k : k (x)dx = 1. Lorsque k tend vers linni, la charge totale, qui reste gale 1, est entirement concentre lorigine. On a obtenu une charge unit ponctuelle lorigine. On a donc envie de reprsenter cette charge par une fonction (x) qui vaudrait : (x) = 0 pour x = 0, + pour x = 0,

et telle que (x)dx = 1 ce qui est absurde car lintgrale dune fonction presque partout nulle est nulle. Les fonctions ne permettent pas de reprsenter ce phnomne : on a besoin dobjets plus gnraux, i.e., les distributions. Autres exemples : En mcanique, dans le cadre de lapplication du Principe Fondamental de la Dynamique, comment crire lquation du mouvement dun solide lorsque le systme est soumis une force intense applique pendant un intervalle de temps trs court partir de linstant t = t0 ? En lectricit, comment va se comporter un circuit dont lentre varie brusquement ; par exemple par fermeture dun interrupteur sur une source de tension continue ? 9

En hydraulique, comment va se comporter un systme dont on ouvre brusquement une vanne linstant t = t0 ?

1.1

Fonctionnelle

Dnition 1.1.1. On dit que lon a une fonctionnelle sur un ensemble de fonctions appeles fonctions tests, si chacune de ces fonctions on peut associer un nombre complexe. Autrement dit une fonctionnelle T sur un espace de fonctions F est une application de F dans C. Le nombre associ par T F est not < T, >. Une grande varit de fonctions tests peuvent tre utilises et plus les conditions de rgularit imposes aux fonctions tests sont svres, plus les fonctionnelles dnies sont gnrales. Les distributions seront dnis comme fonctionnelles sur un certain espace, not D, que nous allons prsenter maintenant.

1.2

Lespace de fonctions tests D

Dans ce chapitre, nous nous restreindrons au cas une dimension, cest--dire que les fonctions considres seront des fonctions une seule variable relle.

1.2.1

Dnition

Dnition 1.2.1. Soit f une fonction valeurs complexes dnie sur R. Le support de f , not Supp(f ), est ladhrence des x R tels que f (x) = 0. Supp(f ) = {x R ; f (x) = 0}. Rappel : ladhrence dun ensemble est le plus petit ferm contenant cet ensemble. Dans le cas des fonctions dune seule variable, ladhrence est un intervalle compact du type [a, b]. Le support de f est donc un ensemble ferm en dehors duquel f est nulle et en outre cest le plus petit ensemble possdant cette proprit. Dnition 1.2.2. On dnit lensemble D comme lespace des fonctions valeurs complexes dnies sur R, indniment drivables et support born. Remarque : Cest un espace vectoriel de dimension innie. Le support tant ferm par dnition, on peut remplacer dans la dnition prcdente support born par support compact. En eet, pour quun sous-ensemble de R soit compact, il faut et il sut quil soit ferm et born. 10

1.2.2

Exemples

Des exemples de fonctions appartenant D ne viennent pas immdiatement lesprit ; les fonctions analytiques ne peuvent pas convenir. Exemple fondamental : Soit a la fonction dnie par : 01 exp( 1a2 x2 )

a (x) =

pour | x | 1/a, pour | x | < 1/a,

avec a > 0. Elle est indniment drivable, son support est [1/a, 1/a] et il est facile de vrier que toutes ses drives son nulles en x = 1/a et x = 1/a. Voici le graphe de 2 :

Plus gnralement, toute fonction ab dnie par 0 1 exp( 1 [ xb 2 pour x ]a, b[, / pour x ]a, b[,

ab (x) =

1 ]) xa

est une fonction de D de support [a, b]. Voici le graphe de 13 : 11

Une autre famille de fonctions de D est dnie par k (x) = 1 (k x) . 1 (k x)dx

Ces fonctions permettent den construire beaucoup dautres grce au thorme suivant : Thorme 1.2.1. Si D et si f est une fonction sommable support born, alors (x) = est une fonction de D. Considrons maintenant la suite de fonctions k (x) = f (t) k (x t)dt. f (t) (x t)dt

On dmontre que si f est continue, alors cette suite converge uniformment vers f . Do le thorme admis : Thorme 1.2.2 (Thorme dapproximation). Toute fonction continue support born peut tre approche uniformment par une suite (n )n>0 de fonctions de D. > 0, N N, tel que, n N, x, | f (x) n (x) | . 12

1.2.3

Topologie de D

Elle sera dnie par un critre de convergence pour les suites. Dnition 1.2.3. Une suite (n )n>0 de fonctions de D converge vers une fonction lorsque n tend vers linni si : 1. Il existe un ensemble born B (indpendant de n) de R tel que pour tout n > 0, Supp(n ) B ; 2. Pour tout entier k 0, la suite des drives (n )n converge uniformment sur R vers (k) . On peut montrer que la limite appartient alors D.(k)

1.31.3.1

Lespace D des distributionsDnition

Dnition 1.3.1. On appelle distribution toute fonctionnelle linaire continue sur lespace vectoriel D. Soit T une distribution. Par dnition, T est une fonctionnelle sur D donc T associe toute fonction D un complexe not < T, > (ou parfois T ()). La dnition dune distribution implique les deux points suivants : 1. Linarit < T, 1 + 2 >=< T, 1 > + < T, 2 >, < T, 1 >= < T, 1 >. 2. Si (k )k>0 converge dans D vers , alors la suite (< T, k >)k>0 converge au sens usuel vers < T, >, i. e., > 0, N N tel que, k > N, |< T, > < T, k >| . Lensemble des distributions est un espace vectoriel not D . La somme de deux distributions et le produit dune distribution par un scalaire sont dnis comme suit : < S + T, >=< S, > + < T, >, < T, >= < T, >. 13

1.3.2

Exemples, distributions rgulires et singulires

Dnition 1.3.2. Une fonction f : R C est dite localement sommable si elle est intgrable sur tout intervalle born. toute fonction f localement sommable, on associe la distribution Tf dnie par D, < Tf , >= f (x) (x) dx.

Une telle distribution est dite rgulire. Les autres (celles qui ne scrivent pas Tf pour f localement sommable) sont dites singulires. Remarque : Deux fonctions localement sommables dnissent la mme distribution si et seulement si elle sont gales presque partout. Un premier exemple de distribution rgulire est la distribution valeur principale de 1 Cauchy de 1/x note vp x et dnie par : 1 D, < vp , >= lim 0+ x par H(x) = 1 pour x 0, 0 pour x < 0.|x|>

(x) dx. x

Un second exemple est la distribution de Heaviside. La fonction H de Heavside est dnie

La distribution de Heaviside, note W = TH , est dnie par+

D, < W, >=0

(x)dx.

14

Lexemple le plus usuel de distribution singulire est la distribution de Dirac note et dnie par : D, < , >= (0). Plus gnralement, on dnit la distribution de Dirac au point a et on note a la distribution dnie par D, < a , >= (a). Attention : En physique, on crit souvent (x) ou (x a) au lieu de et a . Cette criture laisse croire que est une fonction, ce qui est faux ! La distribution de Dirac a est souvent interprte comme reprsentant la masse (ou la charge) +1 au point a. Toute combinaison linaire de distributions de Dirac est une distribution singulire. En particulier la distribution + n (n entier) a des proprits intressantes et joue un rle n= important en physique. On lappelle distribution peigne de Dirac et on la note .

X

Remarque : Ceux sont les gnralisations trois dimensions des distributions de Dirac qui donnent une reprsentation mathmatique correcte des charges ponctuelles et supercielles en lectrostatique.

1.3.3

Support dune distribution

Dnition 1.3.3. On dit que deux distributions S et T sont gales si < S, >=< T, > quel que soit D. On dit quelles sont gales sur un ouvert R si < S, >=< T, > quel que soit D ayant son support dans . Exemples : Les distributions rgulires T1 et W sont gales sur ]0, +[. 1 Les distributions et sont gales sur ] 2 , 1 [. 2 Dnition 1.3.4. Considrons la runion de tous les ouverts sur lesquels une distribution T est nulle. Cet ensemble est alors le plus grand ouvert sur lequel T est nulle (admis). Son complmentaire (qui est un ferm) est appel support de la distribution T ; on le note Supp(T ). Exemples : Supp(a ) = {a} et Supp(

X

X) = Z.

1.4

Oprations sur les distributions

Mthodologie : on souhaite dnir un certain nombre doprations sur les distributions. Pour ceci, on va tudier comment ces oprations sont dnies pour une fonction localement sommable, traduire ceci avec le langage des distributions sur la distribution rgulire associe et gnraliser. 15

1.4.1

Translation

Si f est localement sommable et si a R, alors la translate fa de f est la fonction donne par fa (x) = f (x a). La distribution rgulire associe fa vrie donc D, < Tfa , >= f (x a)(x)dx = f (y)(y + a)dy =< Tf , a > .

Dnition 1.4.1. La translate dune distribution T , note Ta est la distribution dnie par : D, < Ta , >=< T, a > . Exemple : La translate de la valeur principale de Cauchy de 1/x est la valeur principale de 1/(x a).

1.4.2

Transposition

Soit f une fonction localement sommable et cherchons la distribution associe la fonction f qui x associe f (x). On a D, < Tf, >= f (x)(x)dx = f (x)(x)dx =< Tf , > .

Dnition 1.4.2. La transpose dune distribution T , note T est la distribution dnie par : D, < T , >=< T, > . Remarque : Ceci permet de dnir des distributions paires et impaires comme pour les fonctions.

1.4.3

Dilatation (homothtie ou changement dunit)

Si f est localement sommable et si a R, alors la dilate de la fonction f est dnie par x f (a x). Sa distribution rgulire associe vrie D, < Tf (ax) , >= f (a x)(x)dx = 1 x y dy = < Tf , ( ) > . f (y)( ) a |a| |a| a

Dnition 1.4.3. La dilate dune distribution T est la distribution dnie par : D, < T (a x), >= Exemple : (a x) =1 |a|

1 x < T, ( ) > . |a| a

. 16

1.4.4

Multiplication des distributions

Il nexiste pas de moyen de multiplier entre elles deux distributions. En outre, si f et g sont deux fonctions localement sommables, alors leur produit ne lest pas ncessairement (f (x) = g(x) = 1/ x). Cependant si est une fonction indniment drivable, alors le produit par dune fonction test de D est encore dans D. Soit f une fonction localement sommable et une fonction indniment drivable. On a alors D, < T f , >= ((x) f (x)) (x)dx = f (x) ((x) (x)) dx =< Tf , > .

Dnition 1.4.4. Soit une fonction indniment drivable. Le produit T dune distribution T par est la distribution dnie par : D, < T, >=< T, > . partir de cette dnition, on peut dnir le produit dune distribution quelconque T par une distribution rgulire T associe une fonction indniment drivable de la manire suivante : D, < T T, >=< T, > . Lemme 1.4.1. Soit une fonction indniment drivable. On a : = (0) . Dmonstration. D, < , >=< , >= (0) (0) = (0) < , >=< (0) , >, do le rsultat. En particulier, x = 0. Lquation x T = 0, de distribution inconnue T , a pour solutions les multiples de la distribution de Dirac.

1.4.5

Drivation des distributions

Soit f une fonction localement sommable que nous supposons de plus drivable. Dans ce cas, f est localement sommable et sa distribution rgulire associe vrie : D, < Tf , >= f (x)(x)dx = f (x) (x)dx = < Tf , > .

Notons que ceci sobtient par intgration par partie en utilisant le fait que est support born. Cest la raison principale du choix restrictif des fonctions tests, i.e., de lespace D. 17

Dnition 1.4.5. La drive T dune distribution T de D est la distribution dnie par : D, < T , >= < T, > . De mme on pourra dnir les drives successives T (m) par : D, < T (m) , >= (1)m < T, (m) > . Exemple : W = . En eet+

D, < W , >= < W, >= 0

(x)dx = [(x)]+ = (0) =< , > . 0

Lemme 1.4.2. Soit T une distribution quelconque et une fonction indniment drivable. On a alors la rgle de Leibniz suivante : (T ) = T + T . Dmonstration. Voir TD 1.

1.4.6

Drivation dune fonction discontinue

On a vu que la drive au sens des distributions de la distribution de Heaviside tait gale la distribution de Dirac. Maintenant si on considre la fonction de Heaviside, sa drive est nulle partout sauf en 0 o elle nest pas dnie et la distribution associe nest pas . Par consquent, les oprations prendre la distribution associe et drivation ne commutent pas, ou, autrement dit, (Tf ) = Tf . Cela sera ainsi pour toute fonction prsentant une discontinuit en un point. Soit f une fonction C 1 par morceaux. Soient a1 , . . . , an les points de discontinuit de f (0) (que nous supposons en nombre ni) et i = f (a+ ) f (a ) le saut de discontinuit de i i f en ai . La fonction f peut alors scrire comme la somme dune fonction continue g et de fonctions de Heaviside. n f (x) = g(x) +i=0

i H(x ai ).

(0)

De plus, on a Tf = Tg o f dsigne la drive de f l o elle est bien dnie cest--dire en dehors des points de discontinuit. Thorme 1.4.1. Soit f une fonction de classe C 1 par morceaux. Avec les notations prcdentes, on a alors (0) (Tf ) = Tf + i ai .i

On notera plus simplement (Tf ) = Tf + (0) . De mme, soit f une fonction C par morceaux. Si lon note (j) les sauts de discontinuit de f (j) , on a (Tf )(m) = Tf (m) + (m1) + (m2) + + (0) (m1) . 18

1.4.7

Convergence (faible) dans lespace D des distributions

Thorme et Dnition 1.4.1. Soit (Tn )nN 1 une suite de distributions. On dit que (Tn )nN converge dans D si, pour tout D, la suite < Tn , > converge au sens ordinaire. Si on appelle < T, >= limn < Tn , > cette limite, alors lapplication < T, > est une distribution. Thorme 1.4.2. Soit (Tn )nN une suite de distributions. Si (Tn )nN converge dans D vers (m) une distribution T , alors, pour tout m N, la suite de distributions (Tn )nN converge dans D vers T (m) . Convergence vers . Si la suite de fonctions localement sommables (fk )k vrie : 1. A > 0 tel que pour tout | x | A, 2. a > 0,|x|a

fk (x) 0,

fk (x)dx 1 lorsque k +,1 a

3. fk (x) 0 uniformment dans tout ensemble 0 < a 0 et pour tout h > 0, xk f (h) (x) est borne. On obtient ainsi lespace E des distributions support compact et lespace S des distributions dites tempres (ou croissance lente). Espaces de fonctions tests : Espaces de distributions :1

D D

S S

E E

Attention : ici Tn dsigne une distribution quelconque et non pas la distribution rgulire associe une certaine fonction n.

19

1 Dans la pratique, la plupart des distributions sont tempres (a , vp x ). Cependant, en gnral, si f est une fonction localement sommable, alors T f nest pas tempre.

Thorme 1.4.3 (Caractrisation des distributions tempres). Pour quune forme linaire continue T sur S soit tempre, il faut et il sut quil existe A > 0 et p N+ tels que, pour tout S, on ait : |< T, >| A p , o p=

| (t) |p dt

1 p

.

1.5

Distributions plusieurs dimensions

Dune faon analogue, on peut dnir des distributions n dimensions comme fonctionnelles sur lespace D(Rn ) des fonctions de Rn dans C indniment drivables sur Rn et support born. Par exemple, la distribution rgulire associe une fonction f : Rn C localement sommable est dnie par : D(Rn ), < Tf , >= f (x1 , . . . , xn ) (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn .

20

Chapitre 2 La ConvolutionIntroductionLe produit de convolution est un outil dune grande importance en physique. On le rencontre, par exemple, chaque fois que lon tudie :

La transmission dun signal par un appareil,

Une impulsion lectrique fonction du temps,

Une image reprsente par une fonction dune ou deux variables,

En diraction.

Exemple introductif : Le photocopieur Considrons une machine photocopieuse imparfaitement rgle : un trait n en position x1 donne sur la photocopie un trait tal, centr en x1 . De mme un trait dune intensit moindre situ en x2 donnera sur la photocopie un trait tal, centr en x2 . On admet que ltalement de lencre sur la photocopie est identique pour les deux traits. Cet talement est donc une fonction caractristique de lappareil que nous appelons fonction dtalement (ou fonction de rponse) et que nous noterons h(x). 21

Pour un trait plac en x1 et dune intensit f1 , la photocopie donne donc f1 h(x x1 ). Si n traits placs en x1 , . . . , xn et dintensit respectives f1 , . . . , fn sont prsents sur loriginal, la photocopie sera constitue de la superposition des n traits tals. Le signal de sortie S(x) sera donc

n

S(x) =i=1

fi h(x xi ).

22

Maintenant si le signal dentre est une fonction continue de x ( la place dune fonction discrte), on remplace la somme par une intgrale et on obtient : S(x) = f (u) h(x u)du,

ce qui sera dnit comme le produit de convolution des fonctions f et h.

2.12.1.1

Produit tensorielDe deux fonctions

Dnition 2.1.1. Soient f et g deux fonctions. On appelle produit tensoriel (ou produit direct) de f par g la fonction h : R2 R dnie par h(x, y) = f (x) g(y) pour tout (x, y) appartenant R2 . On note alors h = f g. Exemple : Produit tensoriel de la fonction H de Heaviside par la fonction porte donne par 1 si x [ 1 , 1 ], 2 2 (x) = 0 sinon. 23

On a (H )(x, y) = H(x) (y) =

1 1 si x [0, +[ et y [ 2 , 1 ], 2 0 sinon.

2.1.2

De deux distributions

Cherchons maintenant dnir un produit tensoriel de deux distributions. Soient f et g deux fonctions localement sommables et soit h leur produit tensoriel. On a alors pour tout D(R2 ) (ensemble des fonctions indniment drivables et support born sur R2 ) : < Tf g , > = f (x) g(y) (x, y)dx dy = f (x) g(y) (x, y)dy dx = < Tf (x), < Tg (y), (x, y) >> . Dnition 2.1.2. Soient S et T deux distributions sur R. On appelle produit tensoriel (ou produit direct) de S par T la distribution note S T dnie sur D(R2 ) par < S(x) T (y), (x, y) >=< S(x), < T (y), (x, y) >> . Il nest pas du tout vident de montrer que ce produit est bien dni. En particulier, on doit vrier que la fonction x < T (y), (x, y) > appartient bien lespace D et que la fonctionnelle ainsi dni est linaire et continue. Exemple : Produit tensoriel des distributions et W : D(R2 ),+ +

< (x)W (y), (x, y) >=< (x), < W (y), (x, y) >>=< (x),0

(x, y)dy >=0

(0, y)dy.

Lemme 2.1.1. Le produit tensoriel de deux distributions est commutatif, continu, associatif. De plus si S et T sont deux distributions sur R, alorsi i x (S(x) T (y)) = (x S(x)) T (y), i i y (S(x) T (y)) = S(x) (y T (y)),

o x (resp. y ) dsigne la drive partielle par rapport x (resp. y) et i N.

2.22.2.1

Produit de convolutionConvolution de deux fonctions

Dnition 2.2.1. Soient f et g deux fonctions localement sommables. On dnit, sil existe, le produit de convolution h de f et g par h(x) = f (t) g(x t)dt,

pour tout x appartenant R. On note alors h = f g. 24

Remarque : Ce produit de convolution nexiste pas toujours. Ce produit est commutatif ds lors quil est dni. Donnons une interprtation graphique de ce produit de convolution. Soit k le produit tensoriel de f par g ; k = f g. On a alors (f g)(x) = f (t) g(x t)dt = k(t, x t)dt,

cest--dire quon intgre la fonction k sur le chemin form par la droite Dx de pente 1 et passant par (0, x). Exemple : Posons f (x) = (x) et g(x) = (x 1 ). Notons k = f g et h = f g. La 2 valeur h(x) est donne par lintgrale de k sur la droite Dx . Si la droite Dx rencontre le support de f g de manire nie, le produit de convolution est alors bien dni. Thorme 2.2.1. Le produit de convolution de deux fonctions localement sommables f et g existe ds lors que lune des conditions suivantes est satisfaite : 1. Les fonctions f et g sont toutes les deux support born, 2. Les fonctions f et g sont toutes les deux support born gauche, 3. Les fonctions f et g sont toutes les deux support born droite.

2.2.2

Notion de mesure oue

Soit la fonction porte. Soit a > 0 et f une fonction. Notons f(a) le produit de convolution de f et de la fonction porte de largeur a et de hauteur 1/a. On a f(a) (x) = f (x) 1 1 x ( ) = a a ax+a/2

f (t)dt.xa/2

Ceci reprsente la moyenne de f autour de x sur une largeur a. On peut ainsi modliser une mesure imparfaite de la fonction f , pour laquelle on a un ou de largeur a. Les dtails de largeur l a disparaissent, les autres restent visibles.

2.2.3

Convolution de deux distributions

On cherche tendre le produit de convolution de deux fonctions aux distributions. Soient f et g deux fonctions localement sommables et soit D. On a < Tf g , > = (f g)(t) (t)dt = (t) f (s) g(t s)ds dt = f (x) g(y) (x + y)dx dy = < Tf g , (x + y) > 25

Dnition 2.2.2. Soient S et T deux distributions. On dnit le produit de convolution de S et T comme la distribution note S T dnie par D, < S T, >=< S T, (x + y) > .

Le produit de convolution de deux distributions appliqu une fonction test de D est donc gal au produit tensoriel des deux distributions appliqu (x + y). Le produit de convolution de deux distributions nexiste pas toujours. En eet, si la fonction a pour support le segment [a, b], alors le support de (x + y) est la bande comprise entre les deux droites x + y = a et x + y = b.

Puisque (x + y) nest pas support compact, il sut que lune des deux distributions soit support compact. Dune manire gnrale, on a le rsultat suivant : Thorme 2.2.2. 1. Les distributions support born gauche (resp. droite) peuvent toujours tre convolues entre elles. 2. Une distribution support born peut tre convolue avec nimporte quelle autre distribution. 26

2.2.4

Proprits du produit de convolution de deux distributions

Commutativit et Associativit 1. Soient S et T deux distributions. On suppose que leur produit de convolution S T existe. Alors T S existe et S T = T S.

2. Soient S, T et U trois distributions. Si S T, T U et S U existent, alors S (T U ) = (S T ) U = S T U. Exemple : (T1 ) W = T1 ( W ). On peut vrier que T1 = 0. En eet, T1 = T1 et+

D, < T1 , >= < T1 , >=

(x)dx = []+ = 0,

et donc (T1 ) W = 0. Or, dun autre cot, on a W = donc T1 ( W ) = T1 . Ceci sexplique par le fait que T1 W nest pas dnie. Convolution et Dirac 1. Soit T une distribution. On a T = T = T . La distribution de Dirac est donc llment neutre du produit de convolution.

2. Soit a > 0. La translate Ta dune distribution T est gale au produit de convolution de T par la distribution de Dirac a au point a : Ta = T a = a T .

3. Les drivations dune distribution T sobtiennent par convolution par les drives des distributions de Dirac : pour tout m N, T (m) = (m) T = T (m) . Drive dun produit de convolution Daprs le point 3. ci-dessus, on a (S T ) = (S T ) = S T = S T . De mme (S T ) = (S T ) = S T = S T . On obtient donc le rsultat suivant : Lemme 2.2.1. Pour driver un produit de convolution, il sut de driver lun des facteurs, i.e., pour tout S et T dans D , on a : (S T ) = S T = S T . 27

2.32.3.1

Algbre de convolution et rsolution dquations diffrentiellesDnition

Dnition 2.3.1. On appelle algbre de convolution tout espace vectoriel de distributions contenant et sur lequel on peut dnir le produit de convolution dun nombre ni quelconque de distributions. Exemples : les espaces D+ (resp. D ) des distributions support contenu dans {x 0} (resp. {x 0}) aussi appel espace des distributions support born droite (resp. born gauche), lespace E des distributions support compact.

2.3.2

Calcul algbriqueA X = B,

Ces algbres permettent de rsoudre des quations du type

o A et B sont des distributions connues et X une distribution inconnue. On est amen chercher sil existe, dans lalgbre de convolution considre, une distribution note A1 et appele inverse de convolution de A (ou parfois fonction de Green de A) telle que A A1 = A1 A = . Si A1 existe, alors il est unique et la solution de lquation A X = B dans lalgbre de convolution considre est donne par X = A1 B. Exemple : Loscillateur harmonique Un oscillateur harmonique est caractris par une quation de convolution du type ( + 2 ) X(t) = B(t), o B(t) est une distribution caractrisant le signal extrieur. On peut montrer (voir TD 2) que 1 ( + 2 ) W (t) sin( t) = . 1 Or la distribution W (t) sin( t) appartient D + donc pour tout B D + , lquation admet lunique solution 1 X(t) = W (t) sin( t) B(t). On montre aussi que 1 ( + 2 ) W (t) sin( t) = . 28

donc si B D , lquation admet lunique solution X(t) = 1 W (t) sin( t) B(t).

On voit donc que linverse de convolution et donc la solution de lquation dpend de lalgbre de convolution dans laquelle on travaille. Ici lquation nadmettra pas de solutions dans E .

2.3.3

Rsolution dune quation direntielle avec conditions initiales

Problme de Cauchy = quation direntielle + Conditions initiales. Par exemple pour le premier ordre, on considre une quation direntielle u + u = 0, (2.1)

et on cherche une solution u : R+ R telle que u(0) = u0 . Il est possible dutiliser les distributions pour rsoudre ce genre dquation en cherchant non plus une fonction solution mais une distribution solution de la forme U = W (t) u(t). Si u(t) est solution (2.1), alors U = W u + u0 et donc U vrie lquation direntielle U + U = u0 1 qui se rcrit sous la forme dune quation de convolution : ( + ) U = u0 . Il ne nous reste donc plus qu trouver dans D + linverse de convolution de + . On peut vrier que ce dernier est donn par W (t) exp( t). Do la solution U = W (t) exp( t) u0 = W (t) u0 exp( t). Autre exemple : quation de la chaleur Lquation de la chaleur (ou quation de diusion) une dimension est donne par 2 2 t x u(x, t) = 0,

o u(x, t) reprsente par exemple la temprature dune barre au point x et au temps t. On cherche une solution correspondant une rpartition initiale de temprature u(x, 0) donne. On cherche donc une distribution U (x, t) = W (t) u(x, t) vriant lquation direntielle. La drivation au sens des distributions conduit 2 2 t x1

U (x, t) = u(x, 0) (t).

U + U = W u + u0 + (W u) = W (u + u) + u0 = u0 .

29

En eet, on a t x22

U (x, t) =

(W (t) u(x, t)) t

x2 (W (t) u(x, t))2 2

2

= (t) u(x, t) + W (t) t (u(x, t)) W (t) x2 (u(x, t))

= (t) u(x, 0) + W (t) = (t) u(x, 0).

(u(x, t)) t

x2 (u(x, t))

En crivant cette quation comme une quation de convolution, on obtient alors : 2 (x, t) 2 (x, t) U (x, t) = u(x, 0) (t). t x On peut alors vrier que la fonction de Green (linverse de convolution) de 2 x2 (x, t) est donne par x2 W (t) exp , 4t 2 t de sorte que la solution cherche scrit nalement x2 W (t) exp U (x, t) = u(x, 0) (t) 4t 2 t ou encore U (x, t) = W (t) 2 t (x, t) t

,

u(, 0) exp

(x )2 4t

d.

2.42.4.1

Interprtation physique de la convolutionSystmes dcrits par un oprateur de convolution

Nous allons maintenant voir que beaucoup de systmes physiques (e.g., systmes de mesures) peuvent tre reprsents par des oprateurs de convolution. Dnition 2.4.1. Soit (S) un systme physique dcrit par un oprateur qui un signal dentre E(t) (ou excitation) fait correspondre un signal de sortie (ou rponse) S(t). Soit R loprateur tel que S(t) = R(E(t)). Le systme est dit linaire si R est linaire. Il est dit continu si R est continu cest--dire si des excitations peu direntes conduisent des rponses peu direntes. Un systme est dit invariant par translation si loprateur R commute avec la translation cest--dire si le diagramme suivant commute : E(t) S(t) = R(E(t)) E(t a) S(t a) = R(E(t a)) 30

La plupart des systmes physiques sont invariants par translation dans le temps cest-dire que si lon retarde lentre de , alors la sortie est aussi retarde de . Dnition 2.4.2. On dit quun systme physique est dcrit par un oprateur de convolution sil existe une distribution T caractristique du systme telle que R(E(t)) = E(t) T (t). Dnition 2.4.3. La distribution T telle que R(E(t)) = E(t) T (t) est appele rponse impulsionnelle ou percussionnelle car elle correspond la rponse dune excitation lmentaire E = . Thorme 2.4.1. Un systme physique peut tre dcrit par un oprateur de convolution si et seulement si il est linaire, continu et invariant par translation. Exemples : Les ltres linaires en lectronique (systmes forms de rsistances, selfs, capacits, amplicateurs sans saturation). Les systmes forms de masses, de ressorts et damortisseurs en mcanique.

2.4.2

Systme causal

Dnition 2.4.4. Un systme dcrit par un oprateur de distribution temporel (cest--dire une variable qui reprsente le temps) est dit causal si sa rponse impulsionnelle T (t) est nulle pour t < 0 (cest--dire que < T, >= 0 ds que est nulle pour t 0). Dans le cas dun systme causal, leet dun signal ne peut prcder sa cause cest--dire que la rponse S( ) dun tel systme un temps ne dpend que des valeurs du signal E(t) pour t .

2.4.3

Rponse une excitation exponentielle

Thorme et Dnition 2.4.1 (Rgularisation dune distribution singulire). Soit une fonction indniment drivable et T une distribution. On note T lapplication T : x < T (t), (x t) > . Cette application est indniment drivable et vrie T T = TT . On lappelle la rgularise de T par . Dmonstration. D(R2 ), < T T, > = = = = = = = = = 31 < T (t) T (x), (x + t) > < T (t), < T (x), (x + t) >> < T (t), (x) (x + t)dx > < T (t), (x t) (x)dx > < T (t), < T (x), (x t) >> < T (t) T (x), (x t) > < T (x), < T (t), (x t) >> (x) < T (t), (x t) > dx < TT , > .

La rponse impulsionnelle dun systme dcrit par un oprateur de convolution joue un rle important. Un autre type de rponse joue un rle important : celle aux signaux exponentiels. Considrons donc un systme dcrit par un oprateur de convolution de rponse impulsionnelle T cest--dire S = E T, et examinons la rponse un signal E(t) = exp(2 i t), correspondant une oscillation harmonique de frquence . La rponse sera alors S = T exp(2 i t), et comme la fonction exponentielle est indniment drivable, il vient S(t) =< T ( ), exp(2 i (t )) >=< T ( ), exp(2 i ) > exp(2 i t). En posant T () =< T ( ), exp(2 i ) >, on obtient S(t) = T () exp(2 i t). La fonction T () sappelle la transforme de Fourier de la distribution T . Le systme trans forme donc lexcitation exp(2 i t) en T () exp(2 i t). Plus gnralement la rponse une excitation E(t) = exp(p t) o p est un scalaire complexe quelconque est S(t) =< T ( ), exp(p ) > exp(p t). La fonction de p donne par < T ( ), exp(p ) > est appele transforme de Laplace de la distribution T . Thorme 2.4.2. Les fonctions exponentielles sont des fonctions propres pour les oprateurs de convolution. Les valeurs propres correspondantes sont donnes par les transformes de Fourier (ou de Laplace) de la rponse impulsionnelle. On voit ici le rle important que jouent les transformes de Fourier et de Laplace que lon va tudier dans les chapitres suivants. Un moyen de calculer T E sera de dcomposer E en combinaison linaires de fonctions propres E(t) = E() exp(2 i t) d.

On verra que E() est justement la transforme de Fourier de E. En eet, par linarit, la rponse S(t) sera alors donne par S(t) = E() T () exp(2 i t) d.

La transforme de Fourier T () est appele fonction de transfert du systme. 32

Chapitre 3 La Transformation de Fourier3.13.1.1

Transforme de Fourier des fonctionsDnition et existence

Dnition 3.1.1. Soit f : R R ou C une fonction de la variable relle valeurs relles ou complexes. On appelle transforme de Fourier (ou spectre) de f , si elle existe, la fonction f : R C dnie par+

f () =

f (x) exp(2 i x) dx.

On crira symboliquement f = F[ f ] ou f () = F[ f (x) ]. Lintgrale et donc la transforme de Fourier nexiste pas toujours, par exemple la fonction x x2 nadmet pas de transforme de Fourier car lintgrale+

x2 exp(2 i x) dx

nexiste pour aucune valeur de . Si des conditions dexistence de la transforme de Fourier dune fonction sont diciles crire, on a en revanche la condition susante suivante : Thorme 3.1.1. Toute fonction intgrable possde une transforme de Fourier qui est une fonction continue, borne et tendant vers 0 lorsque || tend vers linni. Exemples : 1. F[(x)] =sin( )

(= 1 si = 0) ;

2. F[exp( x2 )] = exp( 2 ) ; 3. F[exp(a | x |)] =2a . a2 +4 2 2

33

3.1.2

Inversion

Soit f une fonction intgrable admettant une transforme de Fourier f elle-mme intgrable. Alors, en tout point x o f est continue, on a :+

f (x) =

f () exp(2 i x) d.

Cette transformation est appele transforme de Fourier inverse. On crira symbolique ment f (x) = F[ f () ] = F 1 [ f () ] si f est continue en x et de manire gnrale, si f est f ] = F 1 [ f ]. continue : f = F[ Si f est continue par morceaux, on peut donc obtenir f (x) partir de f () presque partout. Si f nest pas continue en x, on a plus gnralement :+

1 f () exp(2 i x) d = f (x+ ) + f (x ) . 2

3.1.3

Transforme de Fourier en sinus et cosinus

Soit f une fonction de la variable relle valeurs relles ou complexes. Il est connu que f peut se dcomposer en somme dune fonction paire p et dune fonction impaire q : x R, f (x) = p(x) + q(x), avec p(x) = On a alors+

1 (f (x) + f (x)) , 2

q(x) =

1 (f (x) f (x)) . 2

f () =

(p(x) + q(x)) (cos(2 x) i sin(2 x)) dx,+ +

do f () = 20

p(x) cos(2 x) dx 2 i0

q(x) sin(2 x) dx.

On crit alors F[f (x)] = Fcos [p(x)] i Fsin [q(x)], o Fcos et Fsin sont les transformes de Fourier respectivement en cosinus et sinus dnies par :+ +

Fcos [f (x)] = 20

f (x) cos(2 x) dx,

Fsin [f (x)] = 20

f (x) sin(2 x) dx.

Lorsque la fonction f est valeurs complexes, il faut dcomposer p et q en parties relles et imaginaires. On obtient alors la correspondance :

34

f (x) f ()

=

partie relle paire + imag. paire = partie relle paire + imag. paire

+ relle imp. + relle imp.

+ imag. imp. + imag. imp.

Finalement, on a f (x) paire impaire rellle imaginaire relle paire relle impaire imaginaire paire imaginaire impaire f () paire impaire hermitienne (f () = f ()) antihermitienne (f () = f ()) relle paire imaginaire impaire imaginaire paire relle impaire

3.1.4

Proprits

Linarit : F[ f (x) + g(x)] = ( f (x) + g(x)) exp(2 i x) dx = f (x) exp(2 i x) dx + g(x) exp(2 i x) dx = F[f (x)] + F[g(x)] Transposition : F[f (x)] = f (x) exp(2 i x) dx = f (y) exp(2 i y) dy = f () Conjugaison : F[f (x)] = = Changement dchelle : F[f (a x)] = = = f (a x) exp(2 i x) dx 1 f (y) exp( 2 ia y ) |a| dy 1 f(a) |a| f (x) exp(2 i x) dx f (x) exp(2 i x) dx

= f ()

En dautres termes, une dilatation dans le monde rel entrane une compression dans le monde de Fourier et inversement.

35

Translation : F[f (x a)] = f (x a) exp(2 i x) dx = f (y) exp(2 i (y + a)) dy = exp(2 i a) f (y) exp(2 i y) dy = exp(2 i a) f (). En dautres termes, une translation dans le monde rel correspond un dphasage (proportionnel la frquence ) dans le monde de Fourier. Modulation : F[exp(2 i 0 x) f (x)] = exp(2 i 0 x) f (x) exp(2 i x) dx = f (x) exp(2 i ( 0 ) x) dx ( 0 ). = f Moduler la fonction f par une exponentielle imaginaire revient translater sa transforme de Fourier.

3.1.5

Drivation

Par rapport x : Supposons f sommable, drivable et drive sommable. Par intgration par partie, il vient alors F[f (x)] = f (x) exp(2 i x) dx = [f (x) exp(2 i x)]+ + 2 i (). = 2i f Plus gnralement, on obtient F[f (m) (x)] = (2 i )m f (). De cette formule on tire (en prenant les modules) | 2 |m | f () | | f (m) (x) | dx, f (x) exp(2 i x) dx

et on conclut que plus f est drivable, drives sommables, plus f dcrot rapidement linni. En eet, si f est m fois drivable et drive m-ime sommable, f dcrot au moins m en 1/ . Par rapport :

f () = f (x) exp(2 i x) dx = (2 i x) f (x) exp(2 i x) dx = F[(2 i x) f (x)]. 36

De manire gnrale, on obtient f (m) () = F[(2 i x)m f (x)]. Ce rsultat conduit aussi une majoration | f (m) () | | 2 x |m | f (x) | dx.

et donc : plus f dcrot linni, plus f est drivable (avec ses drives bornes). En eet, m est m fois drivable (car | 2 x |m | f (x) | est alors si f dcrot en 1/x linni, alors, f sommable) et sa drive m-ime est borne.

3.1.6

Transforme de Fourier et convolution

Supposons f et g sommables telles que f g existe. On a alors F[f g] = exp(2 i x) f (t) g(x t)dx dt.

Le thorme de Fubini donne alors F[f g] = f (t)dt g(x t) exp(2 i x) dx,

et aprs le changement de variable y = x t dans la seconde intgrale, il vient F[f g] = do F[f g] = F[f ] F[g]. Thorme 3.1.2. La transforme de Fourier du produit de convolution de deux fonctions est le produit ordinaire des transformes de Fourier des deux fonctions. Exemple : On se propose de calculer la transforme de Fourier de la fontion dnie par : 1 + x pour 1 x 0 1 x pour 0 x 1 (x) = 0 pour | x | 1, ayant le graphe suivant : 37 f (t) exp(2 i t) dt g(y) exp(2 i y) dy,

On commence par montrer que (x) = ( )(x) et on en dduit que F[(x)] = F[(x)] =2

sin( )

2

.

Inversement, on montre que lon a le rsultat suivant : Thorme 3.1.3. Lorsque ces expressions sont dnies, on a F[f g] = F[f ] F[g].

3.1.7

Formule de Parseval-Plancherel

La relation suivante a t tablie par Parseval et gnralise par Plancherel aux transformes de Fourier : Thorme 3.1.4. Soient f et g deux fonctions de carr sommable. On a alors : f (x) g(x)dx = f () g () d.

Un cas particulier important est le cas f = g cest--dire | f (x) |2 dx = Dmonstration. On a f (x) g(x)dx = F[f g]|=0 = [f () g ()]|=0 = f (t) g (t )dt|=0

| f () |2 d.

=

f (t) g (t)dt.

38

En physique, si f est une onde ou une vibration et si la variable x est temporelle (x = t), alors | f (x) |2 dx peut reprsenter la puissance (ou lnergie) totale dans le domaine tem porel et | f () |2 d reprsente la puissance totale dans le domaine frquentiel. Remarque : Transforme de Fourier des fonctions de carr sommable Il existe des fonctions non intgrables mais dont le carr lest (par exemple la fonction sinus cardinal x sinc(x) = sin(x) prolonge par continuit en 0 par sinc(0) = 1 ). De x telles fonctions apparaissent frquemment en physique (fonction donde dune particule en mcanique quantique, en lectricit ou traitement du signal o | f (t) |2 dt reprsente lnergie totale dun signal temporel t f (t)). Il existe un moyen (que nous ne traiterons pas ici) dtendre la transforme de Fourier aux fonctions non sommables mais de carr sommable.

3.2

Transforme de Fourier des distributions

Nous allons maintenant dnir une notion de transforme de Fourier pour les distributions. Lintrt est de : 1. Pouvoir dnir la transforme de Fourier des distributions commes ,

X , ...,

2. Esprer pouvoir tendre la transforme de Fourier des fonctions sommables (et de carr sommable) des fonctions intervenant tout le temps en physique et ntant ni sommables ni de carr sommable comme H.

3.2.1

Dnition

Comme dhabitude on va tout dabord essayer de dnir la transforme de Fourier pour les distributions rgulires. Soit donc f une fonction intgrable qui dnit une distribution rgulire Tf et intressons nous la distribution rgulire associe f : on a : D, < Tf, >= f (t) (t)dt = ( f (x) exp(2 i x t)dx) (t) dt,

et en utilisant le thorme de Fubini pour intervertir les deux intgrales : D, < Tf, >= f (x)( exp(2 i x t) (t) dt) dx = f (x) (x) dx =< Tf , > .

Le problme ici est que si appartient D, il ny a aucune raison pour que sa transforme de Fourier appartienne D et donc < Tf , > na en gnral pas de sens. Pour obtenir une dnition satisfaisante de la transforme de Fourier des distributions, on doit donc se placer sur un espace plus grand que D. 39

3.2.2

Espace S et transforme de Fourier

Dnition 3.2.1. Une fonction est dite dcroissance rapide si pour tout k dans N, limx | xk f (x) |= 0. Une telle fonction dcrot plus vite que toutes puissance de 1/ | x | linni. On note S lensemble des fonctions de R dans R ou C qui sont indniment drivables et dcroissance rapide ainsi que toutes leurs drives. Intressons nous maintenant la transforme de Fourier de telles fonctions. Soit une fonction de S. On a : m N, (m) () = (2 i x)m exp(2 i x) (x) dx,

et on en dduit que ainsi que toutes ses drives sont aussi dcroissances rapides (voir aussi le paragraphe 3.1.5). Dune manire gnrale, on a le rsultat suivant : Thorme 3.2.1. La transformation de Fourier est une application linaire (et continue) de S dans S.

3.2.3

Transforme de Fourier des distributions tempres

Dnition 3.2.2. On appelle distribution tempre toute fonctionnelle linaire et continue sur lespace de fonctions S. Les distributions tempres forment un sous-espace de D not S.1 Dans la pratique, la plupart des distributions sont tempres (a , vp x ). Cependant, en gnral, si f est une fonction localement sommable, alors Tf nest pas tempre.

Thorme 3.2.2 (Caractrisation des distributions tempres). Pour quune forme linaire continue T sur S soit tempre, il faut et il sut quil existe A > 0 et p N+ tels que, pour tout S, on ait : |< T, >| A p , o p=

| (t) |p dt.

Proposition 3.2.1. Lensemble des distributions tempres contient toutes les distributions support borne comme les Dirac, les drives des Dirac et les distributions rgulires associes aux fonctions croissance lente comme les polynmes, les fonctions priodiques localement sommables. Exemple : la distribution rgulire Texp nest pas tempre puisque la fonction exponentielle croit trop rapidement linni. Thorme et Dnition 3.2.1. Toute distribution tempre T admet une transforme de Fourier, note F[T ] ou T , qui est galement une distribution tempre. Elle est dnie par : S, < T , >=< T, > . 40

Exemples : F[T1 ] = .+

< T1 , >=< T1 , >=

() d = (0) =< , >,

(cf. formule de la transforme de Fourier inverse) F[] = T1 .+

< , >=< , >= (0) =

(x) dx =< T1 , >,

F[Texp(2 i 0 x) ] = ( 0 ),1 F[Tcos(2 0 x) ] = 2 (( 0 ) + ( + 0 )),

F[Tsin(2 0 x) ] =

1 2i

(( 0 ) ( + 0 )).

3.2.4

Proprits

On peut dnir une transforme de Fourier inverse comme pour les fonctions : on a S, < F 1 F[T ], >=< F[T ], F 1 [] >=< T, FF 1 [] >=< T, > . On peut montrer, de la mme faon que pour la transforme de Fourier des fonctions, que lon a les proprits suivantes : Thorme 3.2.3. Soit T une distribution tempre. On a alors : F[T (m) ] = (2 i )m F[T ] ; F[T (x a)] = exp(2 i a) F[T ] ; F[T (a x)] =1 |a|

T ( ) ; a

F[exp(2 i a x) T ] = T ( a). Thorme 3.2.4. Si T est une distribution tempre support born, alors sa transforme de Fourier F[T ] est une distribution rgulire associe une fonction indniment drivable. 41

3.2.5

Transforme de Fourier de la distribution peigne de Dirac

On rappelle que la distribution peigne de Dirac note est gale + (x n). Le n= thorme suivant nest pas du tout vident dmontrer mais est trs important pour les applications comme, par exemple, lchantillonnage. Thorme 3.2.5. La distribution peigne de Dirac est une distribution tempre. Elle admet donc une transforme de Fourier au sens des distributions. Sa transforme de Fourier est la distribution peigne de Dirac elle-mme : F[ (x)] = () ou encore

X

X

X

+

+

F[n=

(x n)] =n=

( n).

De plus, on a :+

F[n=

(x n T )] =

En utilisant la dnition de crire :+

X et la linarit de la transforme de Fourier, on peut alorsn= + +

1 T

+

(

n ). T

F[n=

(x n)] =n= +

F[(x n)] =n= +

exp(2 i n ) T1 .

Do

( n) =n= n=

exp(2 i n ) T1 .

Grce ces formules, on peut obtenir le rsultat trs intressant suivant : Thorme 3.2.6 (Formule sommatoire de Poisson). Soit f une fonction continue admettant une transforme de Fourier. Lorsque ces sommes ont un sens, on a : 1 f (x n T ) = T n=+ +

2ixn n f ( ) exp( ). T T n=+

+

Dans le cas particulier x = 0 et T = 1, la formule de Poisson scrit : f (n) =n= n=

f (n).

3.33.3.1

Sries de Fourier et chantillonnageTransforme de Fourier des fonctions priodiques

Dveloppement en srie de Fourier dune fonction Soit f une fonction priodique de priode T , i.e., f (x) = f (x + n T ) pour tout n N. En notant 1 V0 = , T 42

on peut crire le dveloppement de f (x) en srie de Fourier sous la forme a0 + (an cos(2 n V0 x) + bn sin(2 n V0 x)) , f (x) = 2 n=1 avecT /2 T /2 +

an = 2 V0T /2

f (t) cos(2 n V0 t)dt,

bn = 2 V0T /2

f (t) sin(2 n V0 t)dt.

En transformant les cosinus et sinus en exponentielles complexes, on peut encore crire+

f (x) =n=

cn exp(2 i n V0 x),

o 1 cn = (an i bn ) = V0 2

T /2

f (t) exp(2 i n V0 t)dt.T /2 + n=

Thorme 3.3.1 (formule de Parseval). La srie+

| cn |2 est convergente et on a2

| cn |2 =n=

1 T

T /2

| f (x) |2 dx = fT /2

,

ce qui peut aussi scrire f2

=

a2 1 0 + 4 2

(a2 + b2 ). n nn1

Distributions et fonctions priodiques Thorme 3.3.2. Si F est une distribution priodique de priode T , alors il existe une distribution F0 dont le support a une longueur infrieure T et telle que

F = F0 n=

(t n T ).n T

Sa transforme de Fourier est alors un peigne de Dirac modul dont les Dirac sont en nZ: + n 1 n () = F cn ( ), cn = F0 ( ). T T T n=

avec

Dmonstration. On a F () = F0 () F[ n= (t n T )]. Daprs le thorme 3.2.5, on n 1 obtient donc F () = F0 () T n= ( T ). Or daprs le thorme 3.2.4, F0 est une distribution rgulire associe une fonction indniment drivable de sorte que F0 () ( n 0 ( n ) ( n ) do le rsultat. )=F T T T 43

Thorme 3.3.3. Si f est une fonction priodique de priode T et si lon note cn les coefcients dans son dveloppement en srie de Fourier complexe, alors on a+

F[Tf ] =n=

cn (

n ). T

Dmonstration. Si f0 reprsente f sur une priode, alors f (t) = + f0 (t n T ). Do n= + 1 n Tf = + Tf0 (t n T ). On a donc F[Tf ] = F[Tf0 ] T n= n= ( T ). Or f0 est loT /2 calement sommable donc F[Tf0 ] = Tf0 et f0 () = T /2 f0 (t) exp(2 i t)dt et on retrouve1 bien le coecient cn = T T /2 f0 (t) exp(2 i T t)dt du dveloppement en srie de Fourier complexe de f (voir aussi la preuve du thorme prcdent). T /2

3.3.2

chantillonnage

Lexprimentateur est souvent confront au problme suivant : il ne dispose que dune suite de mesures de la valeur dune fonction en certains points.

Supposons que les xi soient quidistants (xj xj1 = c o c est une constante) et susamment rapprochs. Peut-on dterminer f ? La rponse est oui condition que la transforme de Fourier de f soit support born et, dans ce cas, on va dterminer lintervalle maximal entre deux valeurs de x successives permettant de reconstruire f .n Considrons le produit ( T ) f (x). En appliquant la transforme de Fourier, on obtient n n n F[ ( T ) f (x)] = T (T ) f () = + (x T ) f () = + f ( T ). n= n=

X

X

X

44

Plaons nous dans le cas o f est support born compris dans [V0 , V0 ]. Pour T donn, 1 on prlve un chantillon (f (n T ), n N). Si T > 2 V0 cest--dire T < 2 1 0 , alors on obtient V une srie de fonctions disjointes.

On peut alors multiplier par la fonction porte prenant la valeur 1 pour || < V0 et 0 ailleurs, i.e., ( 2 0 ) pour obtenir f (). V Thorme 3.3.4 (Thorme dchantillonnage). Une fonction relle ayant une transforme de Fourier dont le support est contenu dans lintervalle [V0 , V0 ] est entirement dtermine par ses valeurs aux points x = n T pour n N et T < 2 1 0 . V Ce thorme aussi connu sous le non de thorme de Nyquist-Shannon signie que pour pouvoir transformer un signal dune forme discrte une forme continue, sa frquence dchantillonnage doit tre suprieure ou gale au double de la frquence maximale contenue dans ce signal (application : conversion analogique-numrique des signaux). On doit maintenant reconstruire f partir des valeurs des f (n T ). On appelle ce processus linterpolation. Si f () est nulle pour | | V0 , alors f () = (T (T ) f ())( 2 0 ), pour V x T < 2 1 0 . Do en prenant la transforme de Fourier inverse f (x) = ( T ) f (x) sin(2xV0 x) et V au nal on trouve : + sin(2 V0 (x n T )) f (x) = T f (n T ) , (x n T ) n=

X

X

que lon peut aussi crire+

f (x) =n=

f

n 2 V0

sin(2 V0 x n ) . 2 V0 x n )

45

46

Chapitre 4 La Transformation de LaplaceLa transformation de Laplace est une sorte de gnralisation de la transformation de Fourier qui permet entre autre dviter dutiliser les distributions lorsquune fonction nadmet pas de transforme de Fourier.

4.14.1.1

Transforme de Laplace des fonctionsDnition

Dnition 4.1.1 (Transforme de Laplace unilatrale). Soit f une fonction dni sur R+ et valeurs relles ou complexes : f : R+ R ou C. Lorsque f est localement sommable, on dnit sa transforme de Laplace note L[f (t)] ou L(s) avec s C par+

L[f (t)] = L(s) =0

f (t) exp(s t)dt.

Remarque : Transforme de Laplace bilatrale. Lorsque f : R R ou C est sommable, on dnit sa transforme de Laplace par+

L[f (t)] = L(s) =

f (t) exp(s t)dt.

4.1.2

Lien entre transformes de Laplace et de Fourier

Soit f une fonction dni sur R+ et supposons que f admette une transforme de Fourier f . On a alors+ +

F (i ) =

f (t) exp(i t)dt =

f (t) exp(2 i (

) t)dt = f ( ). 2 2

La transforme de Laplace peut donc se voir comme une extension de la transforme de Fourier. F (x + i ) est la transforme de Fourier de t f (t) exp(x t) prise en /(2 ). 47

4.1.3

Domaine de dnition, abscisse de sommabilit

Soit f une fonction localement sommable et soit s = x + i C. La fonction t f (t) exp(s t) est intgrable si et seulement si t f (t) exp(x t) est intgrable. Dnition 4.1.2. On appelle abscisse de sommabilit de la fonction f et on note la borne infrieure de tous les x pour lesquels il y a sommabilit : = inf{x R ; t | f (t) | exp(x t) est sommable} La transforme de Laplace F de f est donc dni pour tout s = x + i C avec x > o est labscisse de sommabilit de f . Dans certains cas, F est aussi dnie pour x = . Exemple : on considre la fonction de Heaviside H. Pour x R, on a+ +

H(t) exp(x t) dt =0 0

1 exp(x t) dt = [exp(x t)]+ 0 x

Labscisse de sommabilit de H est donc = 0 et L[H(t)] est dni pour tout complexe s ayant une partie relle strictement positive : on a alors L[H(t)] = 1 . s

4.1.4

Formule dinversion

Soit f une fonction dabscisse de sommabilit et notons F sa transforme de Laplace. On a alors, pour x > ,+

F (x + 2 i ) =

H(t) f (t) exp(x t) exp(2 i t)dt.

Do F (x + 2 i ) = F[H(t) f (t) exp(x t)], et en appliquant la transforme de Fourier inverse, il vient quen tout point t o f est continue :+

H(t) f (t) exp(x t) =

F (x + 2 i ) exp(2 i t)d.

Ceci entrane H(t) f (t) =

+

F (x + 2 i ) exp(x t) exp(2 i t)d.

On obtient donc H(t) f (t) =

1 2i

F (s) exp(s t)ds,Dx

o s = x + 2 i et Dx = {x + i ; R} est appel contour de Bromwich. 48

Thorme 4.1.1 (Inversion de la transforme de Laplace). Soient f une fonction localement sommable et F sa transforme de Laplace. Si lon note labscisse de sommabilit de f , on a la formule dinversion suivante (valable en tout point de continuit de f ) : f (t) = avec x0 > quelconque. 1 2ix0 +i

F (s) exp(s t) ds,x0 i

4.1.5

Proprits et Exemples

On montre assez facilement en utilisant des intgrations par parties les galits suivantes : L[f (t)] = f (0) + s L[f (t)] ; L[f (t)] = f (0) s f (0) + s2 L[f (t)] ; L[f (n) (t)] = f (n1) (0) s f (n2) (0) sn1 f (0) + sn L[f (t)] ; L[t 0

f (u)du] = 1 L[f (t)] ; s

L[f (t T )] = exp(s T ) L[f (t)] ; L[f g] = L[f ] L[g] ; L[H(t)] = 1 ; s L[H(t) t ] = n!n

1 sn+1

;1 s+a

L[H(t) exp(a t)] = L[H(t) cos( t)] = L[H(t) sin( t)] =

; ;

s s2 + 2 . 2 +s2

4.2

Transforme de Laplace des distributions

Dnition 4.2.1. Soit T une distribution support borne gauche. Sil existe R tel que, pour tout x > , la distribution exp(x t) T (t) soit tempre, alors on peut dnir la transforme de Laplace de T par lapplication s L[T (t)] =< T (t), exp(s t) > . On voit donc que la transforme de Laplace dune distribution nest pas une distribution mais une fonction qui un complexe s associe le complexe < T (t), exp(s t) >. 49

4.2.1

Lien entre transforme de Laplace et de Fourier

Soit f une fonction localement sommable et Tf la distribution rgulire associe. Soit L[Tf ] la transforme de Laplace de Tf et notons son abscisse de sommabilit. On a alors : 1. Si > 0, alors Tf nest pas tempre et nadmet donc pas de transforme de Fourier. 2. Si < 0, alors Tf () = L[Tf ](2 i ). 3. Si = 0, alors L[Tf ](s) = L(Tg )(s) +nI

n (s i n )mn

Tf () = Pf L(Tg )(2 i ) +nI

(2 i )mn 1 n (mn 1) ( n ), 2 (mn 1)!

o Pf est une distribution appele partie fractionnaire.

4.2.2

Exemples

On montre assez facilement que lon a : L[(t)] =< (t), exp(s t) >= 1 ; L[ (t)] = s ; L[

X

+ (t)]

=

1 1exp(s)

;

L(W (t) T (t)] =

L[T (t)] . s

4.3

Application la rsolution dquations de convolution

La transformation de Laplace peut tre utile pour calculer des inverses de convolution et donc rsoudre des quations de convolution. On considre une quation de convolution a x = b, o linconnue est la distribution x et a et b sont deux distributions donnes. On a dj vu que la solution x est donne par x = a1 b, o a1 est linverse de convolution de a que lon doit dterminer. Soit A(s) (resp. B(s)) la transforme de Laplace de a(t) (resp. b(t)). On peut alors montrer la proposition suivante : 50

1 Proposition 4.3.1. Si le module du complexe A(s) est major par un polynme (en la variable 1 s), alors A(s) est la transforme de Laplace de linverse de convolution a1 de a.

On en dduit donc que si le module du complexe la variable s), alors convolution.B(s) A(s)

B(s) A(s)

est major par un polynme (en

est la transforme de Laplace de la solution x de lquation de

Exemple : Considrons lquation de convolution D (t) x(t) = b(t), o D est un oprateur direntiel coecients constants. La transforme de Laplace de D (t) est alors un polynme P de la variable s. Daprs ce qui prcde, on sait alors que la transforme de Laplace de linverse de convolution (D (t))1 de D (t) est donn par P 1 , (s) fraction rationnelle que lon peut dcomposer en lments simples pour obtenir 1 ak = . P (s) (s sk )k k Finalement on en dduit (par Laplace inverse) (D (t))1 = W (t)k

ak exp(sk t)

tk 1 . (k 1)!

4.44.4.1

Utilisation de la transforme de Laplace en physiqueCalcul des fonctions de transfert en lectronique

On considre un circuit RLC.

51

Lquation direntielle rgissant un tel circuit est alors donne par E(t) = L 1 d i(t) + dt Ct

i(u)du + R i(t).0

Dans lespace D+ des distributions support born droite, cette quation scrit alors E(t) = (L + 1 W + R ) i(t). C

En prenant la transforme de Laplace, il vient alors E(s) = (L s + do Z(s) := 1 + R) I(s), Cs

1 E(s) = Ls + + R. I(s) Cs

Ce rapport de la tension lintensit en rgime exponentiel est appel fonction de transfert du circuit en rgime exponentiel.

4.4.2

En mcanique

On considre une cabine en translation le long de laxe Oz dun rfrentiel galilen Oxyz et une masse m suspendue son plafond par lintermdiaire : dun ressort de constante de raideur k, dun amortisseur de coecient a. Le principe fondamental de la dynamique nous permet alors dcrire m x = a x k x m u. En prenant u = a H(t) et en appliquant la transforme de Laplace, il vient alors a m (x (0) s x(0) + s2 X(s)) + a (x(0) + s X(s)) + k X(s)) = m . s Do avec les conditions initiales x(0) = x (0) = 0, X(s) = On pose alors2 w0 =

s (m s2

m a a = 2+ a s+ + a s + k) s (s m k , m a , 2 mk

k ) m

.

1

=

52

pour obtenir X(s) = s (s2

a . 2 + 2 1 0 s + 0 )

2 2 Le discriminant du trinme s2 + 2 1 0 s + 0 est gal 4 0 ( 2 1) donc, en supposant, 1 2 2 2 1 > 1 on a s + 2 1 0 s + 0 = (s s1 ) (s s2 ) avec s1 = 0 1 + 0 1 1 et s2 = 2 0 1 0 1 1. On peut alors dcomposer la fraction rationnelle X(s) en lments simples pour lcrire sous la forme

X(s) = avec A=

a A B C = + + , s (s s1 ) (s s2 ) s s s1 s s2 a2 1

a a a a a = 2, B= = = , C= 2 s1 s2 0 s1 (s1 s2 ) s2 (s2 s1 ) 2 0 2 0 1 1 s1

1 s2

.

Finalement, en prenant la transforme de Laplace inverse, il vient x(t) = a a exp(s1 t) a exp(s2 t) H(t) + H(t) + H(t). 2 2 2 0 2 0 1 s1 2 0 1 s2 1 1

53

54

Chapitre 5 Introduction lOptimisationLobjectif de ce chapitre est dintroduire loptimisation (sous contraintes) en partant du calcul direntiel. Nous rappellerons tout dabord des notions indispensables de calcul direntiel (e.g., drives premires et secondes). Ensuite, nous donnerons des conditions ncessaires et susantes dextremum relatif (quation dEuler, multiplicateurs de Lagrange,. . .) pour les fonctions relles. Enn, nous utiliserons ceci pour tudier des problmes (simples) doptimisation sous contraintes (e.g., dgalit) dans une partie de Rn .

5.15.1.1

Rappels et complments de calcul direntielDrives premires

Soit f : Rn R et (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn , i.e., ei est le vecteur ayant un 1 en i-me position et 0 ailleurs. Dnition 5.1.1. Soit a = (a1 , . . . , an ), d = (d1 , . . . , dn ) Rn . On appelle drive directionnelle de f en a dans la direction d en on note f (a) la limite d f f (a + h d) f (a) f (a1 + h d1 , . . . , an + h dn ) f (a1 , . . . , an ) (a) = lim = lim , h0 h0 d h h si elle existe. Lapplication f : a f (a) est une fonction de Rn dans R que lon appelle d d drive directionnelle de f dans la direction d. Exemples : La pente dun relief dans une direction donne est la drive directionnelle dans cette direction. Soit f : R2 R, (x, y) x3 y y et soit d = ( 1 , 23 ) R2 . Un calcul direct montre 2 que : f 3 3 3 (x, y) = x2 y + (x 1). d 2 2 55

En physique, la drive normale (resp. tangentielle) en un point dune courbe ou dune surface est la drive directionnelle dans la direction normale (resp. tangente) la courbe ou la surface. Dnition 5.1.2. On appelle drive partielle de f par rapport la i-me variable et on f note xi la drive directionnelle de f dans la direction ei .f En pratique, on calcule xi comme une drive classique en supposant x1 , . . . , xi1 , xi+1 , . . . , xn constants et en drivant par rapport xi .

Dnition 5.1.3. Soit a Rn . On appelle gradient de f au point a et on note grad f (a) ou f (a) le vecteur f f (a), . . . , (a) . grad f (a) = f (a) = x1 xn Proposition 5.1.1. Soit d Rn . Si f (a) existe, alors f (a) = d produit scalaire de Rn , i.e., x, y Rn , x.y = n xi yi . i=1

f (a) . d, o . dsigne de

Exemple : Soit f : R2 R, (x, y) x3 y y, d = ( 1 , 23 ) R2 et a = (0, 0). On a 2 f (x, y) = 3 x3 y, f (x, y) = x3 1, do f (a) = (0, 1). Do x y f (a) = d 1 3 3 f (a) . d = (0, 1) . ( , )= . 2 2 2

Dnition 5.1.4. Soit a Rn . On dit que f est (partiellement) drivable en a si toutes ses drives partielles en a existent. On dit que f est continment (partiellement) drivable en a si toutes ses drives partielles existent dans un voisinage de a et sont continues en a : dans ce cas on dit aussi que f est de classe C 1 en a. Dnition 5.1.5. Soit f de classe C 1 en a. On appelle direntielle de f en a et on note Df [a] lapplication linaire dnie par : Df [a] : Rn R h f (a) . h

Exemple : pour lexemple prcdent, on a Df [(x, y)](dx, dy) = 3 x2 y dx + (x3 1) dy. Proposition 5.1.2. Avec les notations prcdentes, on a : f (a + h) = f (a) + Df [a](h) + o(||h||), cest--dire f (a + h) f (a) Df [a](h) = 0. h0 ||h|| lim 56

Dnition 5.1.6. Avec les notations prcdentes, on dit que f est direntiable en a sil existe une application linaire, note Df [a], telle que, pour tout h Rn , f (a + h) = f (a) + Df [a](h) + o(||h||). La dnition prcdente sapplique dune manire gnrale. En particulier si f est C 1 , alors elle est direntiable mais il peut aussi exister des applications non C 1 qui sont direntiables. Dnition 5.1.7. Soit f : Rn Rp . On note fi : Rn R les applications composantes. Alors, on dit que f est direntiable en a Rn si et seulement si, pour tout i {1, . . . , p}, fi est direntiable en a. De plus : Df [a](h) = (Df1 [a](h), . . . , Dfp [a](h)) . Puisque Dfi [a](h) = fi (a) . h, on a 1 f1 (a) 2 f1 (a) Df1 [a](h) 1 f2 (a) 2 f2 (a) . . = . . . . . . . Dfp [a](h) 1 fp (a) 2 fp (a) i fj (a) =

. . . n f1 (a) . . . n f2 (a) . .. . . . . . . n fp (a)

h1 . . , . hn

avec la notation

fj (a). xi

La matrice prcdente sappelle matrice jacobienne de f en a et se note Jf (a). Dans le cas o n = p, son dterminant sappelle le jacobien de f en a.

5.1.2

Drivation de fonctions composes

Thorme 5.1.1 (Drive dune application compose). Soient f : E1 Rn Rp et g : E2 Rp R deux applications. On suppose que f (E1 ) E2 de sorte que la compose g f soit bien dnie. Soit a E1 . On suppose que f est direntiable en a et que g est direntiable en f (a). Alors g f est direntiable en a et D(g f )[a] = Dg[f (a)] Df [a], ou encore, matriciellement, Jgf (a) = Jg (f (a)) Jf (a). Une application utile de ce rsultat est le changement de variables. Soit : (x1 , . . . , xn ) (y1 , . . . , yn ) un changement de variables. Soit f une fonction de classe C 1 et g = f , i.e., g(x1 , . . . , xn ) = f (y1 , . . . , yn ). On a alors la formule des drives totales : i = 1, . . . , n, g (x1 , . . . , xn ) = xi 57n

k=1

f yk (y1 , . . . , yk ) . yk xi

Exemple : considrons le changement de variables : (r, ) (x = r cos(), y = r sin()), f : (x, y) x2 + y 2 et g = f . On a alorsg (r, ) r

= f (x, y) x + f (x, y) y x r y r = 2 x cos() + 2 y sin() = 2 r cos2 () + 2 r sin2 () = 2 r,

et

g (r, )

= f (x, y) x + f (x, y) y x y = 2 x (r sin()) + 2 y (r cos()) = 2 (r cos()) (r sin()) + 2 (r sin()) (r cos()) = 0.

Ceci est cohrent avec le fait que g(r, ) = r2 .

5.1.3

Drives dordre suprieurs

Soit f : E Rn R. Dnition 5.1.8. Soit {i1 , . . . , ik } {1, . . . , n}k . On dit que f admet une drive partielle dordre k en a Rn par rapport {i1 , . . . , ik } si xf , xi ( xf ), . . . , xi ( ) existent i i1 2 1 k1

dans un voisinage de a et si

( )(a) xik

existe. On note alors

k f (a). xik xi1

Dnition 5.1.9. On dit que f est de classe C k sur E si toutes ses drives partielles dordre infrieur ou gale k existent et sont continues sur E. Thorme 5.1.2 (Schwarz). Si f est C 1 sur E et si xi fxj et continues en a E, alors 2 f 2 f (a) = (a). xi xj xj xi2

2 f xj xi

existent et sont

Dune manire gnrale, lorsque tout est bien dni, lordre de drivation dans le calcul des drives partielles na pas dimportance.

5.25.2.1

Extrema dune fonction de plusieurs variables rellesDnitions et premiers rsultats

Soit f : E Rn R. Dnition 5.2.1. On dit que f admet un minimum local en a E sil existe un voisinage V de a tel que, x V, f (x) f (a). On dit que f admet un minimum global en a E si x E, f (x) f (a). 58

On dnit de mme la notion de maximum local ou global et on parle de minimum (ou maximum) strict lorsque lingalit est stricte. On parle dextremum pour dsigner indiremment un maximum ou un minimum. Dnition 5.2.2. Soit a E. On dit que a est un point critique de f si les drives partielles premires de f en a existent et sont nulles ou, autrement dit, si le gradient de f en a est nul, i.e., f (a) = 0. Thorme 5.2.1. On suppose que les drives partielles de f existent en tout point a nappartenant pas au bord de E. Une condition ncessaire pour que f admette un extremum en a est que a soit un point critique de f . Thorme 5.2.2. Si E est un ensemble ferm et born et que f est continue sur E, alors f admet au moins un minimum et un maximum sur E. Thorme 5.2.3. Les extrema dune fonction C 1 sur un ensemble ferm et born sont soit des points critiques, soit des points du bord. Dans le cas dune fonction de deux variables relles, on a le rsultat plus prcis suivant : Thorme 5.2.4. Soit f : E R2 R que lon suppose de classe C 2 au voisinage dun point critique (x0 , y0 ) E. On pose r= 2 f (x0 , y0 ), x2 s= 2 f (x0 , y0 ), x y t= 2 f (x0 , y0 ), y2

et on note u = s2 r t. On a alors les quatre cas suivants : Si u < 0 et r < 0, alors f admet un maximum local stricte en (x0 , y0 ), Si u < 0 et r > 0, alors f admet un minimum local stricte en (x0 , y0 ), Si u > 0, alors f admet un point selle en (x0 , y0 ), Si u = 0, alors on ne sait pas a priori la nature du point critique et une tude plus prcise doit tre mene. Application : mthode dapproximation des moindres carres Une question souvent rencontre est celle de la modlisation du lien entre deux variables X et Y . En pratique, on dispose dun chantillon de n mesures {(x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )}. Si le nuage de points semble suivre une certaine allure, on peut essayer de modliser la relation entre X et Y sous la formeK

Y =k=1

ak fk (X) + ,

o les fi sont des fonctions lmentaires (e.g., puissances, logarithmes, exponentielles, sinus, cosinus, . . . ) devine partir de lallure de la courbe et o est lerreur entre le modle et 59

la ralit. On dit que lon explique Y par X ou encore que Y est la variable explique et X la variable explicative. On doit donc avoir :K

i {1, . . . , n},

yi =k=1

ak fk (xi ) + i .

On dnit lerreur globale entre le modle et la ralit :n n 2 i i=1 K 2

E(a1 , . . . , aK ) =

=i=1

yi k=1

ak fk (xi )

.

La mthode des moindres carrs consiste alors dterminer les ak qui minimisent cette erreur. Daprs les rsultats prcdents, nous sommes donc amener rsoudre le systme linaire de K quations K inconnues suivant : E n a1 (a1 , . . . , aK ) = 2 i=1 f1 (xi ) (yi a1 f1 (xi ) aK fK (xi )) = 0, . . . . . . E (a , . . . , a ) = 2 n f (x ) (y a f (x ) a f (x )) = 0, i i 1 1 i K K i 1 K i=1 K aK qui peut scrire : a1 n f1 (xi )2 + a2 i=1 . . . n a 1 i=1 fK (xi ) f1 (xi ) + a2

f1 (xi ) f2 (xi ) + . . . . . . n fK (xi ) f2 (xi ) + i=1

n i=1

+ aK . . . + aK

n i=1 n i=1

f1 (xi ) fK (xi ) = 0, fK (xi )2 = 0.

Lorsque les valeurs optimales a1 , . . . , a sont dtermines (en rsolvant le systme linaire K prcdent), lerreur globale E(a1 , . . . , a ) est appele erreur rsiduelle et K1 n n 2 i=1 i 1 n

E(a1 , . . . , a ) = K

est appele cart-type rsiduel. Si lon souhaite comparer deux modles de rgres-

sion Y = K ak fk (X) et Y = L bk gk (X), on comparera alors leurs cart-types rsik=1 k=1 duels. Notons enn que dans le cas particulier dun modle de rgression linaire Y = a X +b, la rsolution du systme linaire prcdent conduit a= 1 n 1 n n i=1 xi yi x y , n 2 i=1 (xi x)

= y a x, b

avec x =

1 n

n

xi , y =i=1

1 n

n

yii=1

5.2.2

Extrema relatifs

Les rsultats suivants sont noncs dans un cadre gnral. En pratique, le cas qui nous intressera est le cas o = Rn et o, pour une fonction f : Rn R, f reprsente le gradient f de f . 60

Dnition 5.2.3. Soit maintenant f : R une fonction dnie sur un espace topologique et soit U une partie de . On dit que f admet en un point u U un minimum (ou maximum ou extremum) relatif par rapport U si la restriction de f U (muni de la topologie induite) admet un minimum (ou maximum ou extremum) relatif en u. On parle dextremum relatif li lorsque est un produit V1 V2 despaces vectoriels norms et que U est de la forme U = {(v1 , v2 ) ; (v1 , v2 ) = 0}, o : V1 V2 V2 . Thorme 5.2.5 (Condition ncessaire dextremum relatif li). Soit un ouvert dun produit V1 V2 despaces vectoriels norms, lespace V1 tant complet. Soit : V2 une fonction continment drivable sur et soit u = (u1 , u2 ) un point de lensemble U = {(v1 , v2 ) ; (v1 , v2 ) = 0} , en lequel (u1 , u2 ) Iso(V2 ), v2 o Iso(V2 ) dsigne lensemble des isomorphismes de V2 . Soit f : R une fonction drivable en u. Si la fonction f admet un extremum relatif par rapport lensemble U , alors il existe un lment (u) L(V2 , R) tel que 2 (u1 , u2 ) = f (u) + (u) (u) = 0. Dans la pratique, ce rsultat semploie surtout dans la situation suivante : soient m et n deux entiers tels que 1 m < n. On considre les fonctions f : Rn R et i : Rn R pour 1 i m. On se pose alors le problme de trouver une condition ncessaire dextremum relatif par rapport lensemble U = {v ; i (v) = 0, 1 i m}. En pratique, cet ensemble U comprend les contraintes du problme. Le thorme prcdent scrit alors : Corollaire 5.2.1 (Condition ncessaire dextremum relatif li). Soit un ouvert de Rn , soit i : R, 1 i m, des fonctions continment drivables sur et soit u un point de lensemble U = {v ; i (v) = 0, 1 i m} , en lequel les drives i (u) L(Rn , R), 1 i m sont linairement indpendantes. Soit f : R une fonction drivable en u. Si la fonction f admet en u un extremum relatif par rapport lensemble U , alors il existe des nombres i (u), 1 i m, dnis de faon unique tels que f (u) + 1 (u) 1 (u) + + m (u) m (u) = 0. 61

Les nombres i (u), 1 i m, du corollaire ci-dessus sont appels les multiplicateurs de Lagrange associs lextremum li u. Exemple : Soient trouver les extremum relatifs de la fonction f : R2 R, (x1 , x2 ) x2 par rapport lensemble U = {(x1 , x2 ) R2 ; (x1 , x2 ) = x2 + x2 1 = 0}. En notant 2 1 1 = 1 et 2 = 2 , la condition ncessaire du corollaire prcdent scrit alors x x 1 f (u1 , u2 ) + 1 (u1 , u2 ) = 0, 2 f (u1 , u2 ) + 2 (u1 , u2 ) = 0, ce qui quivaut alors 2 u1 = 0, 1 + 2 u2 = 0. Finalement les conditions ncessaires dextremum relatif li obtenues sont : u = (u1 , u2 ) = (0, 1) avec multiplicateur de Lagrange = 1/2, ou bien, u = (u1 , u2 ) = (0, 1) avec multiplicateur de Lagrange = 1/2. Cette condition est seulement ncessaire et, en gnral, on ne peut donc pas conclure que les points u candidats trouvs sont eectivement des extrema. Pour obtenir une condition susante, on a besoin de prendre en compte la drive seconde.

5.2.3

Conditions ncessaires et susantes en utilisant la drive seconde

Cette sous-section est aussi crite dans un cadre trs gnral. 2 f On note f (a)(h, k) = i,j hi kj xj xi (a). Lutilisation de la drive seconde permet tout dabord dobtenir la condition ncessaire suivante : Thorme 5.2.6 (Condition ncessaire de minimum relatif). Soit un ouvert dun espace vectoriel norm X et soit f : X R une fonction drivable dans , deux fois drivable en un point u . Si la fonction f admet un extremum relatif en u, alors f (u)(x, x) 0, x X. La rciproque de ce thorme est fausse. On a besoin dune hypothse plus forte au point u pour avoir une condition susante. Thorme 5.2.7 (Condition susante de miminum relatif). Soit un ouvert dun espace vectoriel norm X, soit u un point de et f : X R une fonction drivable dans telle que f (u) = 0. 62

1. Si la fonction f est deux fois drivable en u et sil existe un nombre tel que > 0, et f (u)(x, x) ||x||2 , x X, X alors la fonction f admet un minimum relatif strict en u. 2. Si la fonction f est deux fois drivable dans et sil existe une boule B centre en u telle que f (v)(x, x) 0, v B, x X, alors la fonction f admet un minimum relatif en u.

5.3

Optimisation sous contrainte dans une partie de Rn

Exemple : considrons la fonction f : R2 R, (x1 , x2 ) x2 + 2 x2 2 x1 et intressons 2 1 nous au problme de trouver le minimum de f (cest--dire le point o la valeur de f (x1 , x2 ) est minimale). On saperoit alors que f (x1 , x2 ) = (x1 1)2 + 2 x2 1 de sorte que lon 2 trouve simplement min f (x1 , x2 ) = (1, 0). Considrons maintenant la contrainte g(x1 , x2 ) = x2 x2 = 0. On sintresse donc au problme de trouver le point (u1 , u2 ) qui 1 1. minimise f (x1 , x2 ) ; 2. satisfait g(u1 , u2 ) = 0. Le problme se ramne donc minimiser la fonction f donne par f (x1 ) = (x1 1)2 +2 x4 1. 1 On a alors f (x1 ) = 2 (x1 1) + 8 x3 = 2 (2 x1 1) (2 x2 + x1 + 1) de sorte que f (x1 ) = 0 1 1 x1 = 1/2. On remarque que la solution trouve (1/2, 1/4) est la projection de la solution (1, 0) du problme sans contrainte sur la courbe reprsentative de la contrainte.

5.3.1

Optimisation avec contrainte dgalit

Dnition 5.3.1. Soit un ouvert de Rn . Soit f : Rn R et soit : Rn Rm . On appelle problme doptimisation avec contraintes dgalit le problme Trouver x = minx f (x) sous les contraintes (x) = 0. On dduit des thormes vu prcdemment les thormes suivants : Thorme 5.3.1 (Condition ncessaire du 1re ordre : thorme de Lagrange). Soit f : Rn R drivable et soit : Rn Rm telle que les applications composantes i soient drivables. Soit C = {x ; (x) = 0}. Si x est une solution (locale) du problme Trouver x = minx f (x) sous les contraintes (x) = 0, 63

et si les i (x ) sont linairement indpendants alors : ! (1 , . . . , m ) Rm ; f (x ) + 1 1 (x ) + + m m (x ) = 0. Dnition 5.3.2. On appelle fonction de Lagrange ou Lagrangien associ au problme Trouver x = minx f (x) sous les contraintes (x) = 0, la fonctionm

L : (x, ) R L(x, ) := f (x) +i=1

m

i i (x).

Thorme 5.3.2 (Condition susante de minimalit). Soit x C et soit Rm tels que : 1 L(x , ) = 0, 11 L(x , )(d, d) > 0, pour tout d appartenant lensemble T (C, x ) := {d Rn ; i (x )d = 0, 1 i m}. Alors x est une solution locale du problme Trouver x = minx f (x) sous les contraintes (x) = 0, Thorme 5.3.3 (Condition ncessaire du 2nd ordre). Soit f : Rn R deux fois drivable et soit : Rn Rm telle que les applications composantes i soient deux fois drivables. Soit C = {x ; (x) = 0}. Si x est une solution (locale) du problme Trouver x = minx f (x) sous les contraintes (x) = 0, et si les i (x ) sont linairement indpendants alors : ! = (1 , . . . , m ) Rm ; pour tout d appartenant T (C, x ) := {d Rn ; i (x )d = 0, 1 i m}. 64 1 L(x , ) = 0, 11 L(x , )(x, x) 0,

5.3.2

Optimisation sous dautres contraintes

Les contraintes peuvent aussi sexprimer laide dingalits ou dappartenance un ensemble. Exemple : Une usine fabrique deux produits P1 et P2 laide de matires premires Q1 , Q2 et Q3 . La fabrication dune unit du produit P1 ncessite une unit de Q1 , deux units de Q2 et quatre units de Q3 . La fabrication dune unit du produit P2 ncessite six unit de Q1 , deux units de Q2 et une unit de Q3 . Lusine dispose de trente units de Q1 , quinze units de Q2 et vingt quatre units de Q3 . Enn la vente dune unit de P1 rapporte un bnce de deux euros alors que celle dune unit de P2 rapporte un bnce de un euro. Lobjectif de lusine tant la recherche dun bnce maximal, comment doit-elle organiser sa production ? Ce problme scrit comme un problme doptimisation : trouver min(2x1 x2 ) sous les contraintes x1 + 6 x2 30, 2 x1 + 2 x2 15, 4 x1 + x2 24. Ingalit Dnition 5.3.3. Soit un ouvert de Rn . Soit f : Rn R et soit : Rn Rm . On appelle problme doptimisation avec contraintes dingalit le problme Trouver x = minx f (x) sous les contraintes (x) 0. Soit un ouvert de Rn . Soit f : Rn R et soit : Rn Rm . On a alors x , (x) 0 Rm ; (x) + 2 = 0. On considre alors la fonction de Lagrangem

L : (x, , ) R R L(x, , ) := f (x) +i=1

m

m

2 i i (x) + i ,

et on tudie le problme comme prcdemment. Appartenance un ensemble Les contraintes sont, dans ce cas, exprimes sous la forme x C. On considre alors la fonction indicatrice C de C et on se ramne un problme avec contraintes dgalit de la forme C (x) 1 = 0.

65

66

Bibliographie[1] Walter Appel Mathmatiques pour la physique et les physiciens, H & K ditions (2e dition), 2002 [2] Franois Roddier Distributions et transformation de Fourier ( lusage des physiciens et des ingnieurs) Ediscience, 1971

67