Upload
anneliese-ames
View
113
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Polygone und Polyeder
Reguläre Polygone
Dreieck
Quadrat
Pentagon
Hexagon
Oktagon
120º
30º 30º
30º
108º
54º
72º
54º 54º
108º
36º36º36º
72º72º
36º
108º
36º36º36º
72º 36º
36º36º
1
1
y
x
1
1
1
y
x
1
A
B
C D
E
Dreieck ADF ist ähnlich Dreieck BCF.
F
Also . Aber .1
1
x
y 1y x
1
1
y
x
1
A
B
C D
E
F
21 1 5 und 1 implizieren 1 0, oder
1 2
xy x x x y
y
Der Goldene Schnitt1
x 1-x
1
1
x
x x
2 1 0x x
1,2
1 5
2x
Konstruktion von
1
25
5
1 5
2
1 5
2
Pentagon:
1) Konstruiere das Goldene Dreieck2) Konstruiere das Pentagon
Welcheregulären Polygone können
mit Zirkel und
Lineal konstruiertwerden?
Welcheregulären Polygone können
mit Zirkel und
Lineal konstruiertwerden?
The reguläre Septagon (Heptagon) kann nicht mit Zirkel un Lineal konstruiert werden!
Platonische KörperPlatonische KörperReguläre Polyeder, welche konvex
sind und kongruente reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele
Flächen zusammen.
Reguläre Polyeder, welche konvex sind und kongruente
reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele
Flächen zusammen.
Es gibt genau fünf:Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder,
Ikosaeder und Dodekaeder
Es gibt genau fünf:Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder,
Ikosaeder und Dodekaeder
20 12
BeispielBeispiel
OktaederOktaeder BootBoot
konvexkonvex nicht konvexnicht konvex
Photography by Gayla Chandler
“of a Fractal Nature”
http://www.public.asu.edu/~starlite/
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 1: Peripheriewinkel der SeitenflächenSchritt 1: Peripheriewinkel der Seitenflächen
Jede Seitenfläche ist ein reguläres PolygonJede Seitenfläche ist ein reguläres Polygon
Partition des Polygons in n DreieckePartition des Polygons in n Dreiecke
Summe aller Winkel:
Summe aller Winkel im Zentrum:
Summe der Peripheriewinkel:
Ein Peripheriewinkel:
180n
360
180 360 ( 2) 180n n
( 2) 180n
n
Peripheriewinkel:( 2) 180n
n
Dreieck:
Quadrat:
Pentagon:
Hexagon:
60
90
108
128.57..Septagon:
120
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 2:Schritt 2:
An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie-winkel kleiner als sein: An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie-winkel kleiner als sein: 360
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3:Schritt 3:In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.
Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .360 / 3 120
Dreiecke:Dreiecke:
3 60 4 60 5 60
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
Quadrat:Quadrat:
3 90
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3:Schritt 3:In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.
Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .360 / 3 120
Pentagon:Pentagon:
3 108
Warum fünf Platonische Körper?Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3:Schritt 3:In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.
Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .360 / 3 120
Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …
Flächen Kanten EckenKanten
pro FlächeFlächen an einer Ecke
4 6 4 3 3
Tetraeder
Flächen Kanten EckenKanten
pro Fläche
Flächen
an einer Ecke
6 12 8 4 3
Hexaeder
Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …
Flächen Kanten EckenKanten
pro FlächeFlächen an einer Ecke
8 12 6 3 4
Oktaeder
Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …
Flächen Kanten EckenKanten
pro FlächeFlächen an einer Ecke
20 30 12 3 5
Ikosaeder
Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …
Flächen Kanten EckenKanten
pro Fläche
Flächen
an einer Ecke
12 30 20 5 3
Dodekaeder
Flächen, Kanten, Ecken, …Flächen, Kanten, Ecken, …
Flächen Kanten EckenKanten
pro Fläche
Flächen an einer
Ecke
4 6 4 3 3
6 12 8 4 3
8 12 6 3 4
20 30 12 3 5
12 30 20 5 3
Flächen Kanten EckenKanten
pro Fläche
Flächen an einer Kante
4 6 4 3 3
6 12 8 4 3
8 12 6 3 4
20 30 12 3 5
12 30 20 5 3
Euler-ZahlEuler-Zahl
?Flaechen Kanten Ecken
Flächen Kanten EckenKanten
pro Fläche
Flächen
an einer Ecke
4 6 4 3 3
6 12 8 4 3
8 12 6 3 4
20 30 12 3 5
12 30 20 5 3
Duale PolyederDuale Polyeder
Duale PolyederDuale Polyeder
Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:
Duale PolyederDuale Polyeder
Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:
Netze von KörpernNetze von Körpern
Netze von KörpernNetze von Körpern
Netze von KörpernNetze von Körpern
Netze von KörpernNetze von Körpern
Netze von KörpernNetze von Körpern
Netze von KörpernNetze von Körpern
Ein Netz aber verschiedene Körper:Ein Netz aber verschiedene Körper:
Ein Körper aber verschiedene Netze:Ein Körper aber verschiedene Netze:
Platonischer Körper
Zahl der Netze
Cubus 11
Dodekaeder 43380
Ikosaeder 43380
Oktaeder 11
Tetraeder 2
Ein Körper aber verschiedene Netze:Ein Körper aber verschiedene Netze:
Welcher Körper ist das?Welcher Körper ist das?
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/
Welcher Körper ist das?Welcher Körper ist das?
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/
Welcher Körper ist das?Welcher Körper ist das?