pp epistemología

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    nanosso

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  • La matemtica Medieval y el Renacimiento

    Gloria Latino Emilio Garcia 2012

  • Se considera el comienzo de esta poca en el siglo VI, con la cada del

    Imperio Romano, hasta el siglo XV, con la cada de Constantinopla.

    En Occidente, a partir del siglo VI hasta el siglo XII hubo una decadencia

    en el desarrollo del conocimiento matemtico, donde este era muy

    elemental. En tanto que en el Oriente, se produce una eclosin a travs de

    los hindes y de los rabes, enriqueciendo el saber occidental luego de

    este perodo.

  • Desarrollo del conocimiento matemtico en la poca Oscura. Siglos VI XII

    Occidente No hay contribuciones al conocimiento matemtico

    Oriente

    Hindes

    rabes

    Inventan el actual sistema de numeracin, el concepto de cero y de los nmeros negativos; e hicieron importantes aportes al rea de la

    trigonometra con el estudio de los tringulos rectngulos.

    Perfeccionan el sistema de numeracin hind.

    Realizan importantes progresos en el lgebra.

    Se los consideran los inventores de la trigonometra.

    Conservaron y transmitieron a Occidente los trabajos griegos.

  • Ubicacin Geogrfica: Imperio Bizantino

    En el ao 755 el Imperio Islmico se escindi en dos partes, el reino Occidental, con

    capital en Crdoba, y el Oriental en Bagdad.

  • Los europeos latinos superaron la barrera lingstica de la cultura rabe durante

    el siglo XII, ya que una oleada de traducciones posibilit un renacer en la

    transmisin del saber, durante las cruzadas.

    Los traductores ms importantes fueron:

    Adelardo de Bath (1075 1160). Explic a los lectores latinos los numerales hind

    arbigos. Tradujo las tablas astronmicas del matemtico rabe Al-Khowarizmi,

    y Los Elementos de Euclides.

    Gerardo de Cremona (1114 1187). Super la traduccin de Adelardo de Los

    Elementos de Euclides tomada de Thabit Ibn-Qurra.

    Roberto de Chester (? - ?) . Hizo la primera traduccin del tratado de Al-

    Khowarizmi, llamado lgebra.

  • Leonardo de Pisa (1180 1250), matemtico italiano

    conocido como Fibonacci o hijo de Bonaccio.

    Como su padre era un mercader tuvo la oportunidad

    de viajar por el Oriente y aprender el desarrollo de la

    matemtica de los rabes, reconociendo la eficacia de

    los nmeros indo-arbigos (de Al-Khowarizmi).

    Promova el usos de estos nmeros en detrimento de los

    nmeros romanos utilizados en toda Europa.

  • Con los nuevos conocimientos se entusiasm y viaj a diversos pases rabes,

    recibiendo ah lecciones de sabios musulmanes. De vuelta a Pisa, compuso 5 obras:

    la primera de ellas en 1.202, revisada y aumentada en 1.228 es Liber Abaci (Libro

    del baco). Con ella introduce el uso del cero en Occidente y presenta al mundo la

    famosa sucesin que lleva hoy su nombre, mediante un problema referido a los

    conejos:

    Cuntas parejas de conejos se producirn en un ao, comenzando con una

    pareja nica, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce

    a su vez desde el segundo mes?

  • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ., un,

    Donde un = un-1 + un-2 , para n 3, es decir, cada trmino es la suma de

    los dos trminos inmediatamente anteriores.

    Se han descubierto muchas propiedades interesantes de esta sucesin,

    como por ejemplo:

    Dos trminos sucesivos cualesquiera son primos entre s.

    El lmite:

    Sucesin de Fibonacci

  • El Tringulo de Tartaglia o Pascal construido con los nmeros combinatorios o

    coeficientes binomiales, tiene una conexin directa con los nmeros de Fibonacci.

    La suma de los nmeros situados en las diagonales de menor pendiente forman la

    sucesin de Fibonacci.

  • Si excluimos una de las diagonales con los unos, las sumas de las diagonales de

    Fibonacci aquellas que originaron cada trmino de la sucesin son las sumas

    parciales de la sucesin de Fibonacci.

  • La sucesin de Fibonacci y la naturaleza.

  • Uno de los aportes ms significativo de los

    matemticos europeos de la poca medieval fue el

    tratamiento de las series infinitas, un tema

    esencialmente original y nuevo, que reconoce al

    infinito como algo completo.

  • Nicole Oresme (1323? 1382) fue un universitario

    parisino a quien se le atribuye la primera

    demostracin de la divergencia de la serie armnica.

    Oresme agrup los sucesivos trminos de tal manera que cada grupo contenga una cantidad

    de trminos equivalentes a una potencia de dos.

    El grupo m-simo incluye 21 trminos por lo que obtenemos infinitos grupos y la suma de

    stos es mayor o igual que 1/2, con lo que

    superamos cualquier nmero dado.

  • Tuvo sus orgenes en Italia, en el siglo XIV, difundindose por el resto

    de Europa durante los siglos XV y XVI.

    En este perodo prosper, de forma vertiginosa, la educacin en

    general, las artes, la msica, la filosofa, la tica, la moral, la

    ciencia

  • Durante este perodo el lgebra se caracteriz por su inters en la

    resolucin de las ecuaciones. Lo que marca la diferencia entre el

    lgebra antigua y esta que se est gestando, es la capacidad de

    alcanzar la generalizacin de los resultados que permita aplicarlo

    a todos los casos. Motivo que le confiere carcter cientfico.

    La introduccin de una terminologa uniforme signific no slo

    una unificacin de lenguaje, sino un principio de sistematizacin.

  • El rabe Al-Khowarizmi (780? - 850) es considerado El padre

    del lgebra. Este matemtico descubri que al multiplicar un

    nmero por s mismo obtenemos uno ms que si multiplicamos el

    nmero anterior por el nmero posterior. Al-Khowarizmi no pudo

    separar el lgebra de la geometra.

    Ver Video

    En 1225 Fibonacci trabaj la ecuacin cbica, pero fue Nicolo Fontana, ms

    conocido como Tartaglia, quin encontr el mtodo general de resolucin para las

    ecuaciones de la forma:

    Lenguaje que explica las normas del comportamiento de los nmeros

  • Este importante logro lleg a odos de Gerolamo Cardano,

    quien invit a Tartaglia a visitarlo para tratar de convencerlo

    de que le contara cmo era el mtodo de resolucin. ste se lo

    cont a condicin de que mantuviera el secreto hasta que lo

    publicara. Cardano hizo caso omiso de su promesa y public

    antes que Tartaglia la solucin de las ecuaciones cbicas en su

    libro Ars Magna en 1545. La frmula que en nuestros das es

    conocida como de Cardano-Tartaglia es la que aparece en el

    siguiente cuadro.

  • Exponentes importantes de la poca

  • Regiomontano estudi en las universidades de Leipzig y Viena,

    donde desarroll su gusto por las matemticas y la astronoma.

    En Roma lleg a adquirir un gran conocimiento del griego, con

    lo que enlaz el conocimiento clsico preservado en

    Constantinopla y el movimiento renacentista.

    El trabajo sistemtico de los mtodos para resolver tringulos de Regiomontano: De triangulis omnimodis, es de gran significado para las matemticas, ya que

    marc el renacimiento de la trigonometra, plana y esfrica.

    Problema: Si se conocen la base de un tringulo y el ngulo opuesto, y si adems

    se conoce o bien la altura correspondiente a la base o bien el rea, entonces

    pueden calcularse los otros lados.

  • Leonardo conect tambin el arte con las

    matemticas.

    En sus notas se encuentran cuadraturas,

    construcciones de polgonos regulares y

    razonamientos sobre centros de gravedad pero se

    distingui ms por su aplicacin de las matemticas

    a la ciencia y la teora de la perspectiva.

  • En su Trattato della pittura inicia con la

    advertencia:

    Quien no sea un matemtico no lea mi trabajo

    Diversos estudios muestran como el rostro de

    Mona Lisa, tanto en su conjunto como en sus

    detalles, se enmarca con precisin en una

    elegante sucesin de varios rectngulos

    ureos.

  • Aunque no se dispone de testimonio directo del uso de la proporcin

    urea por parte de Leonardo, la composicin de obras como La ltima

    cena se solapa de forma asombrosa con diversas figuras ureas, en

    especial, el rectngulo.

  • Piero della Francesca en De prospectiva pingendi (1478)

    desarroll cmo representar el mundo tridimensional en una

    superficie bidimensional con el uso de la perspectiva, lo que

    provoc una revolucin matemtica. Escribi tambin De

    corporibus regularibus, donde not la divine proportion en la

    cual las diagonales de un pentgono regular se cortan unas a

    otras.

    Su obra maestra es La

    flagelacin de Cristo

  • Galileo fue un defensor de la Teora de Coprnico, lo que

    posteriormente le trajo serios problemas con la Iglesia.

    Fue el principal responsable de introducir los mtodos

    experimentales y matemticos en todo el campo de la Fsica.

    Insisti en la necesidad de hacer medidas sistemticas del

    fenmeno estudiado de forma que se pudieran revelar las

    regularidades del mismo, de forma cuantitativa y pudieran

    ser expresadas posteriormente de forma matemtica. Galileo

    es el primer cientfico en el sentido moderno de la palabra.

  • Desarrollo del lgebra en Occidente

    Chuquet (1500) introdujo importantes sincopaciones en va hacia el lgebra

    simblica.

    Lo que hoy conocemos como: l lo expresaba

    Y

    Estudi las ecuaciones de la forma donde los coeficientes

    y los exponentes son todos ellos nmeros positivos.

  • Pacioli (1445-1515) escribi la Summa donde recopil la aritmtica, el lgebra,

    la geometra y la contabilidad de doble entrada. Adems, introdujo el punto para

    representar la divisin de un entero por una potencia de diez, anunciando la coma

    decimal.

    Widman (1460). Aparecen los signos + y para indicar exceso o defecto en las

    medidas de mercancas de los almacenes y es Widman quien los adopta para las

    operaciones de suma y resta.

    Stifel (1487-1567). Usa las fracciones decimales, el smbolo moderno de las races y

    el tringulo de Pascal. Trabaj el nmero negativo en las ecuaciones y la notacin

    de las potencias negativas como se usan en la actualidad.

  • Tartaglia-Cardano. La resolucin de races cuadradas de nmeros negativos

    en la ecuacin cbica condujo a la necesidad de crear con mucha resistencia un

    nuevo nmero, el imaginario.

    Bombelli. Relaciona la geometra con el lgebra. Resuelve la ecuacin cbica

    geomtricamente a travs de subdivisiones del cubo.

    Werner (1468- 1522). Estaba interesado en la duplicacin del cubo, la parbola y

    la hiprbola. Encuentra un mtodo original para graficar parbolas usando un

    haz de circunferencias tangentes.

  • Durero. Aparece el primer cuadrado mgico en su obra Melancola (1514).

    Construccin del pentgono regular y otros polgonos regulares. Anticip el

    desarrollo de la cartografa.

    Peter Apian (1495- 1552) Public el primer mapa del viejo y del nuevo mundo

    nombrndolo Amrica.

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