PR-PREA-A-123-PTA-VARIACIÓN Y CAMBIO

Videos introductorios al Pensamiento Variacional

Crecimiento de una planta https://www.youtube.com/watch?v=i4_0pJmmcLINacimiento de una árbol https://www.youtube.com/watch?v=ejw00NlVlVkCrecimiento de una niña https://www.youtube.com/watch?v=UH1x5aRtjSQCambios de la tierra https://www.youtube.com/watch?v=nLZQg62PjbIEl mundo de la geometría fractal https://www.youtube.com/watch?v=mVyczf3kLW8Descomposición de una manzana https://www.youtube.com/watch?v=LLvAK_vfUuw

Fruta y Verdurashttps://www.youtube.com/watch?v=Y4tJHpyS2uU

Patrones en la naturaleza https://www.youtube.com/watch?v=9vmakrmzd1U

General

Fortalecer en los docentes el conocimiento didáctico delcontenido, relacionado con el aprendizaje de la variacióny el cambio en los niveles de primaria, que les permitatomar decisiones conscientes y fundamentadas sobreactividades, métodos, recursos, técnicas y formas detrabajo en el aula de clase, para mejorar los aprendizajesen los estudiantes.

Objetivos de la STS

Objetivos de la STSEspecíficos

• Modelar diversas situaciones de cambio y expresarlas simbólicamente, enpalabras, en forma gráfica, en forma tabular, y si es posible en formaalgebraica.

• Formular conjeturas sobre el comportamiento de una gráfica teniendo encuenta el fenómeno que representa.

• Comprender la noción de pensamiento variacional y desarrollar estrategiasdidácticas para construir en los estudiantes habilidades en la solución desituaciones problemas de variación y cambio.

• Identificar en el contexto cotidiano situaciones de variación y relacionarlascon las actividades que presentan los textos de matemáticas del PTA.

• Relacionar los referentes nacionales con la estructura de la prueba saberutilizando los retos de matemáticas del pensamiento variacional.

¿Por qué centrarnos en el pensamiento variacional?

En los análisis de los resultados de las pruebas Saber se evidencia que la

mayoría de los EE presentan en rojo y naranja aprendizajes relacionados

con el pensamiento variacional

En el marco de la ruta formación hasta el

momento no se le ha dado prioridad al pensamiento

variacional.

En los textos dematemáticas del PTA seencuentran centros deaprendizajes relacionadoscon el pensamientovariacional que requierenser abordados y estudiadoscon mayor profundidadpara apoyar con unaformación de mayorcalidad a los docentes yestudiantes de los EE.

“El pensamiento variacional se desarrolla en

estrecha relación con los otros tipos de pensamiento matemático (el numérico, el espacial, el de medida o

métrico y el aleatorio o probabilístico) y con otros tipos de pensamiento más propios de otras ciencias”

(MEN, 2006, p. 66).

¿Cómo estamos en el pensamiento variacional?

32,02% 27,49%

79,40%

63,65%

60,02%58,28%

18,81%

33,86%

6,82%12,09%

1,49% 2,05%1,15% 2,14% 0,30% 0,44%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Construir y describir secuenciasnuméricas y geométricas.(3°)

Reconocer equivalencias entrediferentes tipos de

representaciones relacionadas connúmeros. (3°)

Generar equivalencias entreexpresiones numéricas. (3°)

Justificar y generar equivalenciasentre expresiones numéricas. (5°)

Aprendizajes a priorizar del pensamiento variacional

Momentos de la STS:

Momento 1: Ideas previas - Retos SABER.• Retos en grupos de trabajo.• Actividad general.

Momento 2: Actividades de los textos de matemáticas ypropuesta para multigrado.

Momento 3: Socialización.

Momento 4: Conceptualización.

Momento 5: Cierre.

Momento 1. Reto SABER

ICFES (2016) Cuadernillo de preguntas de matemáticas, SABER 3°. Pregunta No. 7 página 29.

Recordemos . . .

Reto SABER por grupos – Indicaciones

20 minutos

5 personas

ROLES:

1. Líder2. Supervisor de

tiempos3. Secretario4. Relator5. Facilitador

Indicaciones:1. Conformen equipos de 5 personas.

2. Asignen los roles para cada uno de los integrantes del equipo.

3. Lean y analicen el Reto SABER asignado, junto con la estructura que presenta.

Para el análisis tenga presente las siguientes

preguntas en cada reto:o ¿Qué cambia?o ¿Qué hace que cambie?o ¿Cómo cambia?o ¿Cuánto cambia?

¿Qué cambia y no cambia?

¿Qué hace que cambie?

¿Cómo cambia?

¿Cuánto cambia?

Reto SABER - General

Observar Analizar Socializar

Algunas respuestasPREGUNTAS POSIBLES RESPUESTAS

¿Qué cambia y no cambia?

Nivel 0 de Razonamiento:

Reconocer

CAMBIANúmero de la FiguraCantidad de triángulos equiláteros de menor área en cada figura.Área del triángulo pequeño.Perímetro del triángulo pequeño.Cantidad de líneas (o palitos para armar).

NO CAMBIAEl triángulo grande inicial.El perímetro del triángulo inicialEl área del triángulo inicial

¿Qué hace que cambie?Nivel 1 de

Razonamiento:Coordinación

En la medida que se construye la nueva figura se aumenta el número de triángulos (en una proporción más pequeña). Lo que hace que cambie es la construcción de nuevos triángulos a partir de la unión de los puntos medios que se realiza a

cada lado de los triángulos. Lo que hace que cambie es la posición que determina cada una de las figuras.

¿Cómo cambia?

Nivel 2 de Razonamiento:

Dirección

Cuando el número de la figura aumenta el número de triángulos pequeños aumenta.

¿Cuánto cambia?

Nivel 3 de Razonamiento:

Cantidad

Numero de la Figura 1 2 3 4 5 … n

Cantidad de triángulos equiláteros de menor área en cada figura 1 4 16 64 256 …

+1 +1 +1 +1

Numero de la Figura 1 2 3 4 5 … n

Cantidad de triángulos equiláteros de menor área en cada figura 1 4 16 64 256 …

x4 x4 x4 x4

14n

Numero de la Figura 1 2 3 4 5 … n

Área del triángulo equilátero más pequeño de cada figura. 1 1/4 1/16 1/64 1/256 …1

1

4n

Niveles de Razonamiento

Los niveles de razonamiento 1,2,3,4,5 fueron tomados de: Carlson, M., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S. & Hsu, E. (2003). Razonamiento covariacional aplicado a la modelación de eventos dinámicos: un marco conceptual y un estudio. Revista EMA 8 (2), 121-156. El nivel de razonamiento 0, fue tomado de: Gómez, J., Orozco, J., Realpe, G., Benavides, G., Navarro, N., & Guacaneme, E. (2012). El pensamiento variacional: un asunto de juego y actividad matemática en la escuela. Revista ASOCOLME, pp. 914-921. ISBN: 978-958-8815-11-4. http://funes.uniandes.edu.co/2635/1/ElpensamientoG%C3%B3mezAsocolme2012.pdf

Articulación de materiales en Reto SABER

Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas

Primero a TerceroCuarto y Quinto

Matriz de referencia

Matriz de referencia

Matriz de referencia

Matriz de referencia

Matriz de referencia

Derechos Básicos de Aprendizaje (V2)

Derechos Básicos de Aprendizaje (V2)

Derechos Básicos de Aprendizaje (V2)

Derechos Básicos de Aprendizaje (V2)

Derechos Básicos de Aprendizaje (V2)

Momento 2. Actividades de los textos de matemáticas y propuesta para multigrado

Indicaciones para las actividades

30 minutos 5 personas

ROLES:

1. Líder2. Supervisor

de tiempos3. Secretario4. Relator5. Facilitador

Desarrollar las actividades del

anexo

Construir una cartelera parasocializar la actividadhaciendo énfasis en lossiguiente:

¿Qué cambia y no cambia? ¿Qué hace que cambie? ¿Cómo cambia? ¿Cuánto cambia? Busca otra forma distinta

de representar la situación.

Momento 3. Socialización

Indicaciones para la Socialización

20 minutos Socializar las actividades haciendo énfasis enlos siguiente:

¿Qué cambia? ¿Qué hace que cambie? ¿Cómo cambia? ¿Cuánto cambia? Busca otra forma distinta de representar la

situación.

Actividad 1: Regularidades no numéricas

MEN. (2017). Cuadernillo del estudiante Grado 2, Situación 4, Centro 1 – Banderín de fiesta. Textos del Programa Todos a Aprender construidos en el marco del convenio PREST Póle regional pour l´einsegnement de la science et de la technologie, Ministerio de Educación Nacional y Universidad de los Andes, p 16.

o ¿Qué cambia y no cambia?o ¿Qué hace que cambie?o ¿Cómo cambia?o ¿Cuánto cambia?o Busca otra forma distinta de representar la

situación.

Actividad 2: Regularidades numéricas

MEN. (2017). Cuadernillo del estudiante Grado 2, Situación 4, Centro 1 – Banderín de fiesta. Textos del Programa Todos a Aprender construidos en el marco del convenio PREST Póle regional pour l´einsegnement de la science et de la technologie, Ministerio de Educación Nacional y Universidad de los Andes, p 16.

o ¿Qué cambia y no cambia?o ¿Qué hace que cambie?o ¿Cómo cambia?o ¿Cuánto cambia?o Busca otra forma distinta de representar la

situación.

Actividad 3: Números triangulares

MEN. (2017). Cuadernillo del estudiante Grado 4, Situación 5, Centro 3 – ¡Completa las secuencias!. Textos del Programa Todos a Aprender construidos en el marco del convenio PREST Póle regional pour l´einsegnement de la science et de la technologie, Ministerio de Educación Nacional y Universidad de los Andes, p 91.

o ¿Qué cambia y no cambia?o ¿Qué hace que cambie?o ¿Cómo cambia?o ¿Cuánto cambia?o Busca otra forma distinta de representar la

situación.

Actividad 4: Números cuadrados

MEN. (2017). Cuadernillo del estudiante Grado 4, Situación 5, Centro 3 – ¡Completa las secuencias!. Textos del Programa Todos a Aprender construidos en el marco del convenio PREST Póle regional pour l´einsegnement de la science et de la technologie, Ministerio de Educación Nacional y Universidad de los Andes, p 91.

o ¿Qué cambia y no cambia?o ¿Qué hace que cambie?o ¿Cómo cambia?o ¿Cuánto cambia?o Busca otra forma distinta de representar la

situación.

Actividad 5 : Actividad multigrado

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135

Mi huerta escolaro ¿Qué cambia y no cambia?o ¿Qué hace que cambie?o ¿Cómo cambia?o ¿Cuánto cambia?o Busca otra forma distinta de representar la

situación.

Actividad 5 – Actividad multigrado

Mi huerta escolar

Mazoras Precios

2 3000

4 6.000

6 9.000

…

n

es el número de mazorcas

n x 1.500

Es el precio que paga por n mazorcas

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Precios de la mazorcas

Representación tabularRepresentación gráfica

Momento 4. CONCEPTUALIZACIÓN

El pensamiento variacional

Tomada de: MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional, pp 66.

“El pensamiento variacional tiene que ver con elreconocimiento, la percepción, la identificación y lacaracterización de la variación y el cambio en diferentescontextos, así como con su descripción, modelación yrepresentación en distintos sistemas o registrossimbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos oalgebraicos.” (MEN, 2006)

Algunas ideas - ¿qué es y no es pensamiento variacional?

¿Qué es?:

(i) Es uno de los pensamientos matemáticos que se articula con los demás tipos de pensamiento; (ii) Convive en estrecha relación con el aprendizaje de temas matemáticos relacionados con el

estudio de fenómenos de variación y el cambio. (iii) “Es un asunto trasversal del currículo.” y debe ser objeto de trabajo en cada uno de los grados

incluyendo los niveles iniciales. (iv) Se requiere para el estudios de fenómenos los naturales, dado que hay cambios todo el tiempo.

¿Qué NO es?:

1. No es solo fórmulas.2. No es saber una definición de función.3. No es el estudio de formas de representar.4. No es un contenido, ni un procedimiento matemático que se ubique en un grado escolar.

Vasco, C. E. (2003). El pensamiento variacional y la modelación matemática. In Anais eletrônicos do CIAEM–Conferência Interamericana de Educação Matemática, Blumenau (Vol. 9).http://pibid.mat.ufrgs.br/2009-2010/arquivos_publicacoes1/indicacoes_01/pensamento_variacional_VASCO.pdf

Relacionado con otros pensamientos

Tomada de: MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.

• Pensamiento numérico: variación de números, patrones numéricos que se repiten.

• Pensamiento geométrico-espacial : los movimientos, las transformaciones y los cambios de formas.

• Pensamiento métrico: diferenciación de magnitudes, cantidades de magnitudes, medición inicial numérica de cantidades, ordenación y medición de cantidades

• Pensamiento Aleatorio: lectura, análisis e interpretación de gráficos y tablas.

Cambio y variación

“La expresión cambio se entiende como una modificación deestado, en tanto que el vocablo variación la entendemos comocuantificación de dicho cambio” (Cantoral, 2013)

Tomada de: Cantoral, R (2013). Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional. Secretaría de Educación Publica. Mexico, Distrito Federal. http://www.sems.gob.mx/work/models/sems/Resource/6586/1/images/desarrollo_del_pensamiento_y_leng_v_smc_baja.pdf

Se puede decir que el cambio es una característica que: no permanece, se modifica y se altera; mientras que variación hace referencia a la cuantificación de dicho cambio.

“El estudio del cambio se entiende como el análisis de fenómenosde variación.”

Secuencia

“Una secuencia es un número de cosas o acontecimientos que sepresentan unos detrás de otros en un orden fijado o de acuerdo conun patrón definido, por lo general, moviéndose por etapas hacia unresultado particular” (Collins, 1987, Citado en Castro, s.f)

Tomada de: Castro. E (s.f) Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones Puntuales. Estudio con escolares de primer ciclo de secundaria. Departamento deDidáctica de la Matemáticas. Universidad de Granada. http://skat.ihmc.us/rid=1K3B5DCWN-14LH2RP-123/tesis%20encarna%20castro.pdf

Recordemos la secuencia del Willy el mago

Browne, A (2014). Willy el mago. Fondo de Cultura Económica de España. ISBN 9789681650223.

Regularidad

Las regularidades (son entendidas comounidades de repetición) que se encuentran ensecuencias que presentan objetos, sucesos,formas o sonidos, uno detrás del otro en unorden fijado o de acuerdo a un patrón.” (MEN,2006)

Tomada de: MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional, pp 66 y 67.

La repetición de un fenómeno es una primeraaproximación a este concepto de regularidad. Larepetición puede estar asociada a elementos como eltiempo.

La regularidad puede asociarse con otros conceptoscomo ritmo, compás, regulación, entre otras.

Imagen tomada de: https://publicacionescirculodaikon.wordpress.com/2012/07/

Patrón

“Toda situación repetida con regularidad da lugar a un patrón. (Steen,1988; Stacy, 1989, Citado en Castro, s.f).

Los patrones suelen formarse a partir de un núcleo generador; en algunos casos el núcleo se repite, en otros casos el núcleo crece de forma regular” o decrece. (Castro, s.f)*

*Tomada de: Castro. E (s.f) Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones Puntuales. Estudio con escolares deprimer ciclo de secundaria. Departamento de Didáctica de la Matemáticas. Universidad de Granada, p 26.http://skat.ihmc.us/rid=1K3B5DCWN-14LH2RP-123/tesis%20encarna%20castro.pdf**Tomada de: MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas. Bogotá:Ministerio de Educación Nacional.

“La unidad que se repite con regularidadda lugar a un patrón.” (MEN, 2006)**

Imagen tomada de: http://www.portalastronomico.com/el-espacio-tiempo-tambien-esta-sujeto-a-la-proporcion-aurea/

Patrones aditivos

Tomado de: MEN (2012) Programa de Trasformación de la Calidad Educativa, Matemáticas Proyecto SÉ, Grado 3. Ediciones SM, S.A. Colombia. https://es.scribd.com/doc/100446499/03-PS-MATEMATICAS-LIBRO-ESTUDIANTE

Isabel entrena 5 días; cada día entrena 3 minutos menos que el día anterior y el primer día entrenó 63 minutos.

Eje: ascendente

Eje: descendente

Eje: Anexo 2.1: Regularidadesnuméricas

Patrones multiplicativos

Tomado de: MEN (2012) Programa de Trasformación de la Calidad Educativa, Matemáticas Proyecto SÉ, Grado 3. Ediciones SM, S.A. Colombia. https://es.scribd.com/doc/100446499/03-PS-MATEMATICAS-LIBRO-ESTUDIANTE

Reflexión sobre la gráfica

Luis, Nohora, Yamil, Juan, Julián y Sandra trabajan juntos en el mismo colegio.

Cada uno sale de su casa a las 6 am a su trabajo.

Realice algunas conjeturas con relación al siguiente gráfico:

Algunas dificultades detectadas

Wainer (1992) y Hitt (1988) Reportan que existen dificultades en los estudiantes para: articular diferentes representaciones, comunicar una gráfica, extraer información de una gráfica.

[porque…]

Dolores C. y Salgado G. (2009) su dificultad se debe a que la mayor parte de los métodos que utiliza la educación media, enfoca su atención en la ubicación de los punto la gráfica y omite o dejan en un segundo plano el comportamiento de la misma.

Algunas sugerencias

Janvier (1988 citado en Font, 2002) menciona que los estudiantes deben utilizar diferentes representaciones para comprender la variación como:

Tabular, gráfica, analítica y de expresión verbal.

“p = 1500 x C ”

A medida que aumenta la

cantidad de mazorcas el

precio aumenta

“Precio de la mazorca = 1500 x cantidad de mazorca”

Mazoras Precios

2 3000

4 6.000

6 9.000

…

n n x 1.500

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 5 10 15

Precios de la mazorcas

Representación tabular Representación gráfica

Expresión verbal

Representaciónanalítica

Expresión del cambio

*Bruno y Martinón (1997), señalan que en la elaboración de situaciones de variación,uno de los aspectos centrales es el de establecer expresiones semánticas equivalentesde cambio con expresiones semánticas de variación.

*Tomado de: Garcia G., Serrano C, Salamanca J. (2000). “estudio del pensamiento variacional en la educación básica primaria”.Publicado en las Memorias del XVII coloquio distrital de matemáticas y estadística. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional. **Tomado de: MEN (2012) Programa de Trasformación de la Calidad Educativa, Matemáticas Proyecto SÉ, Grado 3. Ediciones SM, S.A. Colombia.

Personaje Descripción Tipo de expresión del cambio

Niño Creció mucho(Cambio)

Cualitativa. Se describe las cualidades sin hacer uso de cantidades o medidas

Niña Aumentó un centímetro cada semana(Variación)

Cuantitativa. Se usan cantidades o medidas en la descripción

Momento 5: Cierre

Apreciamos su colaboración para diligenciar la siguiente encuesta alterminar la formación de la STS Variación y Cambio, con el propósito deseguir mejorando nuestros espacios de formación.

Ingresar al siguiente link por favor:

https://goo.gl/forms/tDWIUYcYAqpFpNze2

• Vergel, R. (2014). Formas de pensamiento algebraico temprano en alumnos de cuarto y quinto grados de educación básica primaria (9-10 años). Doctorado tesis, Universidad Distrital Francisco José de Caldas. http://funes.uniandes.edu.co/4054/1/Vergel2014Formas.pdf

• Cantoral, R. y Reséndiz, E. (2003). El papel de la variación en las explicaciones de los profesores: un estudio en situación escolar. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 6(2), 133-154.

• Cantoral, R (2013). Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional. Secretaría de Educación Publica. Mexico, Distrito Federal. http://www.sems.gob.mx/work/models/sems/Resource/6586/1/images/desarrollo_del_pensamiento_y_leng_v_smc_baja.pdf

• Carlson, M., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S. & Hsu, E. (2003). Razonamiento covariacional aplicado a la modelación de eventos dinámicos: un marco conceptual y un estudio. Revista EMA 8 (2), 121-156.

• Castro. E (s.f) Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones Puntuales. Estudio con escolares de primer ciclo de secundaria. Departamento de Didáctica de la Matemáticas. Universidad de Granada. http://skat.ihmc.us/rid=1K3B5DCWN-14LH2RP-123/tesis%20encarna%20castro.pdf

• Dolores, C. & Salgado G. (2009). Elementos para la Graficación Covariacional. Revista Número, Didáctica de la matemáticas. Volumen 72, Diciembre de 2009. (pp. 63 - 74).

• Font V. (2002). Funciones y derivadas. Memorias XXI Coloquio distrital de matemáticas y estadística. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.

• García, G., Serrano, C., & Salamanca, J. (2000). Estudio del pensamiento variacional en la educación básica primaria. En Rojas, Pedro Javier (Ed.), Memorias del 2° Encuentro Colombiano de Matemática Educativa (pp. 36-38). http://funes.uniandes.edu.co/2377/1/Garc%C3%ADa2000Estudio.pdf

• Gómez, J. & Torres, D., (2011). Introducción a la noción de variación en estudiantes del grado sexto. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.

• Gómez, J., Orozco, J., Realpe, G., Benavides, G., Navarro, N., & Guacaneme, E. (2012). El pensamiento variacional: un asunto de juego y actividad matemática en la escuela. Revista ASOCOLME, pp. 914-921. ISBN: 978-958-8815-11-4. http://funes.uniandes.edu.co/2635/1/ElpensamientoG%C3%B3mezAsocolme2012.pdf

Bibliografía

• Gómez, J., Orozco, J., Realpe, G., Benavides, G., Navarro, N., & Guacaneme, E. (2012). ¿Pensamiento variacional en los libros de texto?: una pregunta que nos permite aprender como docentes. Revista ASOCOLME, pp. 472-478. ISBN: 978-958-8815-11-4. http://noti-asocolme.blogspot.com/2013/09/memorias-ecme-13.html

• MEN. (1998). Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.

• MEN. (2004). Pensamiento variacional y tecnologías computacionales. Bogotá: Ministerio de Educaión Nacional, (MEN).

• MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.

• MEN. (2016). Derechos Básicos de Aprendizaje. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.

• MEN. (2015). Matriz de referencia de matemáticas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.

• http://aprende.colombiaaprende.edu.co/ckfinder/userfiles/files/articles-352712_matriz_m.pdf

• MEN. (2015). Orientaciones pedagógicas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.

• http://www.colombiaaprende.edu.co/html/micrositios/1752/articles-352711_orientaciones.pdf

• MEN. (2016). Guía de enseñanza para los docentes de primaria. Textos del Programa Todos a Aprender construidos en el marco del convenio PREST Póle regional pour l´einsegnement de la science et de la technologie, Ministerio de Educación Nacional y Universidad de los Andes.

• MEN. (2016). Cuadernillo del estudiante. Textos del Programa Todos a Aprender construidos en el marco del convenio PREST Póle regional pour l´einsegnement de la science et de la technologie, Ministerio de Educación Nacional y Universidad de los Andes.

• Vasco, C. E. (2003). El pensamiento variacional y la modelación matemática. In Anais eletrônicos do CIAEM–ConferênciaInteramericana de Educação Matemática, Blumenau (Vol. 9).

Bibliografía

G R A C I A S