Predavanja Iz Elementarne Geometrije 1

  • View
    302

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Predavanja Iz Elementarne Geometrije 1

LEKCIJEIZELEMENTARNEGEOMETRIJEBANJALUKA,2010.iiiSadrzaj:v1 Prvalekcija 11.1 OEuklidovimElementima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Osnovnipojmoviugeometriji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Aksiomeincidencijeinjihoveposljedice. . . . . . . . . . . . . 41.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Drugalekcija 72.1 Aksiomerasporedaiposljedice. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Duz-Poligon-Poluprava-Poluravan-Poluprostor . . . . . . . . . 82.3 Aksiomepodudarnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Izometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Trecalekcija 153.1 Podudarnosttrouglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2Cetiriznacajnetackeutrouglu . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Cetvrtalekcija 194.1 Vektoriuravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 OTalesovojteoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Slicnitrouglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Petalekcija 235.1 Okruguikruznici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Kruznicaimnogouglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Potencijatackeobziromnakruznicu . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25iiiSadrzaj:6Sestalekcija 276.1 Nekekarakteristicneteoreme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Sedmalekcija-ponavljanje. 318 Osmalekcija 338.1 Poligoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33ivvviLEKCIJA1Prvalekcija1.1 OEuklidovimElementima.Geometrijaje(zajednosaaritmetikom)prvaoblastmatematikekojaje(izcistoprakticnihrazloga)zanimalaljude. Najranijaznanjaizgeometrijesukolekcijazapazanjaoduzinama, uglovima, povrsinama, itd. . . . Nekaodtihznanjasubilavrlokomplikovana: verzijePitagorineteoreme,zapreminazarubljenepiramide,nekevrstetrigonometrijskihtablica. . . .Takode, znanjaizgeometrijesuljudimapomagaladarazumijusvijet okosebeAristotelibrod-zemljajeokruglaEratosteni stap-obimzemljeSmatra se da je Tales iz Mileta prvi koji je osjetio potrebu da dokazujegeometrijskatvrdenja.visinapiramideugaonadprecnikomjepravAkoparalelnepravesijekuugaopOqutackamaA, BodnosnoCi DtadajeABCD=OAOC=OBOD.NjegovucenikjePitagora, zakojegsesmatradanijesmislioteoremukojanosinjegovoime,alidajujeprvidokazao. Dalje,Pitagorajeotkrionesamjerljiveduziiiracionalnebrojeve.11.1. OEuklidovimElementima.TEOREMA 1.1.Povrsina kvadrata nad hipotenuzom je ravna zbiru povrsinakvadratanadkatetama.DOKAZ. NekidokaziPitagorineteoremeDokazpomocupovrsinaDokazpomocuslicnostiDokazEuklidaDokazrasjecanjemVrijediiobrnutaPitagorinateorema.TEOREMA1.2. Stranice trougla ABCsua, b i c. Akovrijedi c2=a2+b2,tadaje ABCpravougli.Uizgradnji nekenaucneteorijenijemogucesvetvrdnjedokazati i svepojmove denisati. Precutno prihvatamo neke tvrdnje za istinite i nazivamoihaksiome; takodezanekepojmovesmatramodajepotpunoociglednostaznace. Takvipojmovisenazivajuosnovnipojmovi.Sveostalepojmove cijisadrzajdenisemonazivamoizvedenim. Takode,sva tvrdenja koja nisu aksiome potrebno je dokazati pomocu pravila izvodenjai ranije dokazanihtvrdenja i aksioma. Te dokazane tvrdnje se nazivajuteoreme. Ovakavnacinzasnivanjanekeoblasti nazivasededuktivni ili ak-siomatski. Bilo je vise pokusaja da se znanja iz geometrije uoblice kao deduk-tivna teorija. No,rasprava sa naslovom Elementi,Euklida iz Aleksandrije jenajuspjesniji,najuticajniji,najznacajnijiinajcitanijiudzbenikikadnapisan(ubilokojoj nauci!). Jedinaknjigauistoriji saviseizdanjajeBiblija. Idanas, skoro2500godinaodnastanka, Elementi sudioliteraturekursaizgeometrije.U trinaest knjiga Elemenata,Euklid je postupno izlozio sva geometrijskaznanjaiztogvremena. Prvihsest knjigasebavi planimetrijom, narednecetiri sebavegeometrijskomteorijombrojeva, aposlednjetri seodnosenastereometriju.PrvaknjigaElemenatapocinjesa23denicijekojimaseuvodeosnovnipojmovi. Unekoj deduktivnoj teoriji, svi pojmovi senemogudenisati.Ovorazumjeti jeteskojednakokaoi shvatiti cinjenicudasenemogusvatvrdenjaunekoj deduktivnoj teoriji dokazati. Euklidjetoprimjetio, i os-novnatvrdenjageometrijeizlazeupetpostulataidevetaksioma.21.2. Osnovnipojmoviugeometriji.Kakvajerazlikaizmedupostulataiaksioma?Postulati sutvrdenjakojaseuglavnomodnosenageometriju, dokvecinaaksiomavrijedi(iprimjenjujese)iudrugimoblastimamatematike.Primjeri:Postulat: Odtackedotackesemozepovucipravalinija.Aksioma: Ako se jednakim (velicinama) doda jednako, onda ce i rezultatbitijednak.Danas-skoronikakva. Takodamidanasgovorimosamooaksiomama.(peti postulat)Svakiputkadapravapripresjekusadvijedrugepraveobrazujeuglovesaistestrane,cijijezbirmanjioddvapravaugla,tepravesesijekusaonestranesakojejetajzbiruglovamanjioddvaprava.Previsekomplikovan. Dali jemozdatoposljedicaostalihpostulataiaksioma?1.2 Osnovnipojmoviugeometriji.Vec uHilbertovim Osnovama geometrije,pojmovi tacka,prava iravan se nedenisu. Osnovnipojmoviugeometrijikojisenedenisusu:neprazanskupS(kojinazivamoprostor,anjegovielementisutacke);klasa TpodskupovaodS(cijeelementenazivamoprave);klasa 1podskupovaodS(cijeelementenazivamoravni).Porednjih,nedenisuseidvijeosnovnerelacije:(1) relacijaizmedurelacijaporetkatacakanapravoj;A B CcitamotackaBjeizmedutacakaAiC(2) relacijapodudarnosti(A, B) =(C, D)citamopartacaka(A, B)jepodudaranparu(C, D).Odnosi izmeduosnovnihpojmovai ovihrelacijaseopisujuaksiomama. Teaksiome danas dijelimo u pet grupa: aksiome incidencije, aksiome rasporeda,aksiomepodudarnosti,aksiomeneprekidnostiiaksiomaparalelnosti.Geometrijazasnovananaprvecetiri grupeaksiomasenazivaapsolutnageometrija. U zavisnosti da liza aksiomu paralelnostiodaberemo PlejferovuiliaksiomuLobcevskog,dobijamoeuklidskuilihiperbolickugeometriju.31.3. Aksiomeincidencijeinjihoveposljedice.1.3 Aksiomeincidencijeinjihoveposljedice.Zanekolikotacakakazemodasukolinearane akosve pripadajujednojpravoj; inacesunekolinearne. Dalje, nekolikotacakajekoplanarnoakosve pripadaju jednoj ravni; inace su nekoplanarne. Takode, nekoliko pravihjekoplanarnoakosvepripadajujednojravni; inacesunekoplanarne. Dvijenekoplanarne prave nazivamo mimoilaznim. Nekoliko pravih ili ravni nazi-vamokonkurentnimakojenjihovpresjekjednatacka.Likiligurajeneprazanpodskupskupatacaka.AksiomeincidencijeI1 SvakapravasadrzinajmanjedvijerazlicitetackeI2 PostojibarjednapravakojasadrzidvijeproizvoljnetackeI3 PostojinajvisejednapravakojasadrzidvijeproizvoljnetackeI4 SvakaravansadrzinajmanjetrinekolinearnetackeI5 PostojinajmanjejednaravankojasadrzitrinekolinearnetackeI6 PostojinajvisejednaravankojasadrzitrinekolinearnetackeI7 Akodvijetackenekepravepripadajunekojravni,tadasvetacketepravepripadajutojravni.I8 Akodvijerazliciteravniimajujednuzajednickutacku,tadaoneimajujosjednuzajednickutacku.I9 Postoje cetirinekoplanarnetacke.Iz aksioma incidencije ne mozemo zakljuciti da postoji vise od cetiri tacke,sestpravihi cetiriravni! Nekeocigledneposlediceaksiomaincidencije:Postoji jedinstvena prava koja sadrzi dvije razlicite tacke; pravu odredenusatackamaAiBoznacavacemosap(AB),ilimanjeformalno,ABPostoji jedinstvena ravan koja sadrzi tri nekolinearne tacke; ravanodredenusatackamaA,BiCoznacavacemosa(ABC),ilisaABCPostoji jedinstvena ravan koja sadrzi pravu i tacku koja joj ne pripada;ravan odredenu sa pravom a i tackom A oznacavacemo sa (aA), ili saaA41.4. ZadaciPostoji jedinstvena ravan koja sadrzi dvije razlicite prave koje se sijeku;ravanodredenusapravimaiboznacavacemosa(ab),ilisaabPostojedvijemimoilaznepravePresjekdvijerazlicitepravejenajvisejednatackaPresjekravniipravekojanepripadatojravnijenajvisejednatacka.TEOREMA1.3. Akodvijerazliciteravni imajujednuzajednickutacku,ondaseonesijekupopravoj.Silvesterovproblem:Uravnijezadanontacakakojenisusvenaistojpravoj. Dokazidapostojipravakojasadrzitacnodvijeodzadanihtacaka!1.4 ZadaciZANIMLJIVIZADACI1. Oko ekvatora je namotan konopac. Nakon toga, konopac je prosiren zajedan metar i ponovo omotan oko ekvatora, tako da se centar tog novogkruga podudara sa sredistem zemlje. Da li izmedu konca i zemlje mozedaseprovucemis?2. Dalipostojin-tougaosa cetiriostraugla?3. Da li postoji konveksan poliedar u kojem sve strane imaju razlicit brojivica?4. Nadizbiruglovanaslici(3 1pravougaonik)5. DalijemogucekockupodijelitinamanjekockicetakodasvetemalebudurazlicitihivicaPITAGORINATEOREMA1. Utrouglu ABCtackaEjenavisiniAD. DokazidajetadaAC2CE2= AB2BE2.DokazidatvrdenjevrijediiakojetackaEizaD.StasedesiakojetackaEispredtackeA?51.4. Zadaci2. IzmedustranicaAB=7i AC=50utrouglu ABCjeugaood135. OdredistranicuBC.Nadi opstu formulu za BC kada su duzine stranica AB i AC proizvoljne.Nadiopstuformulukadajetajugao120i150.3. UcetverougluABCDjeAB=9, BC=12, CD=13, DA=14, idijagonala AC= 15. Normale iz Bi Dna ACsijeku ACu Pi Q,timredom. NadiPQ.AKSIOMEINCIDENCIJE1. Dokazidapostojebardvijemimoilazneprave!2. Nekaje Tnekafamilijapravih. Akosesvakedvijepraveiz Tsijeku,dokazidasusvepraveiz Tkonkurentneilikoplanarne!3. TackaCpripadapravojAB. Dokazi dasuravni odredenesaABDiACDiste.4. Datesudvijemimoilaznepravepi qi tackaA. Dali uvijekpostojiprava koja sadrzi A i koja sijece prave p i q?Da li mogu postojati dvijetakveprave?6LEKCIJA2Drugalekcija2.1 Aksiomerasporedaiposljedice.Gaus- 1832. g. prvi primjetiodarasporedtacakanapravoj trebaopisatiaksiomama. PrvijeopisaoMorisPas1882. g.Aksiomerasporedaopisujuosnovnasvojstvarelacije A B Cbitiizmedu.AksiomerasporedaR1 AkojeA B CtadasuA, BiCtrirazlicitekolinearnetackeR2 AkojeA B CtadajeiC B AR3 AkojeA B CtadanijeiA C BR4 AkosuAiBdvijerazlicitetacketadapostojitackaCtakvadajeA B CR5 AkosuA, BiCtrikolinearnetacketadajeiliA B CiliB C AiliC A BR6 Pasovaaksioma: AkosuA, BiCtrinekolinearnetackeippravauravniABCkojanesadrziA,sijeceBCutackiDtakodajeB D C,tadapravapsijeceCAutackiQtakodajeC QAilipsijeceABu

Search related