Predavanje prvo: Brojevi.prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/pred1-novo.pdfPredavanje prvo: Brojevi. Franka Miriam Bruckler Kompleksni brojeviZbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojevaApsolutna

Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula

Predavanje prvo: Brojevi.

Franka Miriam Bruckler


Brojevi i jedinice

Iznosi mjerljivih, skalarnih, fizikalnih velicina su parovi — umnosci— broja i mjerne jedinice.Ponekad se pojavljuju i

”cisti” brojevi, poput logaritama

kvocijenata nekih velicina (primjerice ln c1mol/L ), no ako se

dogovorimo da je njima jedinica jednaka 1 (sto god to znacilo),onda i njih mozemo shvatiti kao umnozak broja i jedinice.

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


Brojevi i jedinice

Iznosi mjerljivih, skalarnih, fizikalnih velicina su parovi — umnosci— broja i mjerne jedinice.Ponekad se pojavljuju i

”cisti” brojevi, poput logaritama

kvocijenata nekih velicina (primjerice ln c1mol/L ), no ako se

dogovorimo da je njima jedinica jednaka 1 (sto god to znacilo),onda i njih mozemo shvatiti kao umnozak broja i jedinice.

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


Odaberite tocan odgovor:

1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)

(x2 + y 2)/(xy).

6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.



1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)

(x2 + y 2)/(xy).

6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.



1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)

(x2 + y 2)/(xy).

6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.



1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)

(x2 + y 2)/(xy).

6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.



1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)

(x2 + y 2)/(xy).

6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.



1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)

(x2 + y 2)/(xy).

6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.



1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)

(x2 + y 2)/(xy).

6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.



1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)

(x2 + y 2)/(xy).

6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.


Decimalni zapis

Brojevi se zapisuju brojkama, a u nas je uobicajeno koristiti brojkedecimalnog pozicijskog sustava. Kad govorimo o

”broju” 725

mislimo na 7 · 100 + 2 · 10 + 5 odnosno

725 = 7 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100.

Kad pisemo 2,14 mislimo na

2,14 = 2 + 1 · 1

10+ 4 · 1

100= 2 · 100 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2.


Neki realni brojevi, poput 116 , imaju konacan decimalni zapis

(0,0625) te je on potpuno egzaktan.

Drugi brojevi, poput 13 ili√

2,nemaju konacan decimalan zapis te svaki njihov zapis s konacnomnogo znamenki nuzno sadrzi i gresku: 1

3 6= 0,3333,√

2 6= 1,41.Greska u takvom zapisu je reda velicine 10−m−1 (odgovarajucemjerne jedinice) gdje je m broj znamenki iza decimalnog zareza uodabranoj aproksimaciji. Tako je greska zapisa 1

3 mm kao 0,3333

mm reda velicine 10−5 mm, a greska zapisa√

2 m s−1 kao 1,41 ms−1 je reda velicine 10−3 m s−1.Ovdje svakako treba istaknuti da bi pod decimalnim zapisom brojatrebalo podrazumijevati zapis sa svim znamenkama; tako shvacendecimalni zapis uvijek je egzaktno jednak zapisanom broju. Cim nakraju skinemo jednu ili vise znamenaka, dobili smo aproksimacijupromatranog broja.



(0,0625) te je on potpuno egzaktan. Drugi brojevi, poput 13 ili√


3 6= 0,3333,√


3 mm kao 0,3333


2 m s−1 kao 1,41 ms−1 je reda velicine 10−3 m s−1.

Ovdje svakako treba istaknuti da bi pod decimalnim zapisom brojatrebalo podrazumijevati zapis sa svim znamenkama; tako shvacendecimalni zapis uvijek je egzaktno jednak zapisanom broju. Cim nakraju skinemo jednu ili vise znamenaka, dobili smo aproksimacijupromatranog broja.



(0,0625) te je on potpuno egzaktan. Drugi brojevi, poput 13 ili√


3 6= 0,3333,√


3 mm kao 0,3333


2 m s−1 kao 1,41 ms−1 je reda velicine 10−3 m s−1.Ovdje svakako treba istaknuti da bi pod decimalnim zapisom brojatrebalo podrazumijevati zapis sa svim znamenkama; tako shvacendecimalni zapis uvijek je egzaktno jednak zapisanom broju. Cim nakraju skinemo jednu ili vise znamenaka, dobili smo aproksimacijupromatranog broja.


Zadatak: Je li broj 2,52525252 . . . racionalan ili nije? Ako jest,kojem je razlomku jednak?

x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250

99

Zadatak: Nadite razlomak sto manjeg nazivnika koji je izmedu√56 i√

58.√56 i√

58 su izmedu 7 i 8;

√56 <

m

n<√

58

56 <m2

n2< 58

56n2 < m2 < 58n2

n = 1 — ne ide; n = 2: 224 < m2 < 232 — m = 15: 15/2.



x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250

99


58.√56 i√

58 su izmedu 7 i 8;

√56 <

m

n<√

58

56 <m2

n2< 58

56n2 < m2 < 58n2

n = 1 — ne ide; n = 2: 224 < m2 < 232 — m = 15: 15/2.



x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250

99


58.

√56 i√

58 su izmedu 7 i 8;

√56 <

m

n<√

58

56 <m2

n2< 58

56n2 < m2 < 58n2

n = 1 — ne ide; n = 2: 224 < m2 < 232 — m = 15: 15/2.



x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250

99


58.√56 i√

58 su izmedu 7 i 8;

√56 <

m

n<√

58

56 <m2

n2< 58

56n2 < m2 < 58n2

n = 1 — ne ide; n = 2: 224 < m2 < 232 — m = 15: 15/2.



x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250

99


58.√56 i√

58 su izmedu 7 i 8;

√56 <

m

n<√

58

56 <m2

n2< 58

56n2 < m2 < 58n2

n = 1 — ne ide; n = 2: 224 < m2 < 232 — m = 15: 15/2.


Zaokruzivanje

Zaokruzivanje brojeva se moze provoditi na vise nacina. Standardninacin je sljedeci: ako zelimo odbaciti nekoliko zadnjih znamenki ione pocinju s 5,6,7,8 ili 9, zaokruzujemo na gore (zadnja znamenkaispred njih se pri odbacivanju poveca za 1: 3,7898 na tri decimalezaokruzeno je 3,790), a ako pocinju s drugim znamenkama nadolje.Ako pak odbacujemo niz znamenaka 500 . . . 0, ponekad se koristisljedece pravilo: parna znamenka ispred se ne mijenja, neparna idenagore (7,85 na 7,8, a 7,15 na 7,2).


Znanstvena notacija

Kako bi se izbjegle nedoumice, uobicajeno je koristiti znanstvenunotaciju: to je zapis realnog broja x u obliku

x = m · 10n

gdje je broj m ∈ [1, 10〉 tzv. mantisa (zapisana sa svim znacajnimznamenkama), a n ∈ Z je eksponent. Broj znacajnih znamenkibroja x jednak je broju znacajnih znamenki mantise. Zahtjev damantisa bude broj izmedu 1 i 10 cini takav zapis jedinstvenim.Naboj elektrona zaokruzen na sest znacajnih znamenki iznosi0,000000000000000000160217 C, sto je

e = 1,60217 · 10−19 C.


Nadite cijeli broj koji zadovoljava kubnu jednadzbu

x3 + 3x2 = 12x + 18

x = 3.

Supstitucijom t = x − A/3, gdje je A koeficijent uz kvadratni clanu kubnoj jednadzbi1 moze se iz svake kubne jednadzbe maknutikvadratni clan. Koju jednadzbu takvom supstitucijom dobijemo izgornje?

t3 = 15t + 4

Takvu”reduciranu” kubnu jednadzbu t3 = pt + q po

Cardano-Tartaglia-inom postupku rjesavamo tako dapretpostavimo da je njeno rjesenje oblika t = u + v . Uvrstite to uprethodnu jednadzbu — sto dobijete?

3u2v + 3uv 2 + u3 + v 3 = 15u + 15v + 4

Pretpostavite sada da je u3v 3 = (p/3)3 i u3 + v 3 = q:

u3v 3 = 125, u3 + v 3 = 4

1Normiranoj, tj. svedenoj na oblik x3 + Ax2 + Bx + C = 0.



x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.


t3 = 15t + 4



3u2v + 3uv 2 + u3 + v 3 = 15u + 15v + 4


u3v 3 = 125, u3 + v 3 = 4




x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.


t3 = 15t + 4



3u2v + 3uv 2 + u3 + v 3 = 15u + 15v + 4


u3v 3 = 125, u3 + v 3 = 4




x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.


t3 = 15t + 4



3u2v + 3uv 2 + u3 + v 3 = 15u + 15v + 4


u3v 3 = 125, u3 + v 3 = 4




x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.


t3 = 15t + 4



3u2v + 3uv 2 + u3 + v 3 = 15u + 15v + 4


u3v 3 = 125, u3 + v 3 = 4



Bez koristenja formule za kvadratnu jednadzbu i imaginarnihbrojeva nadite x :

u3+125

u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±

√−121

t =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121− 1?!

Pokazite da je x = 3!

2±√−121 = 2± 11

√−1 = 8− 6± (12

√−1−

√−1) =

= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (

√−1

2)± 3 · 22 ·

√−1 + 23 = (2±

√−1)3

t = 2 +√−1 + 2−

√−1 = 4, x = t − 1 = 3.



u3+125

u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±

√−121

t =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121− 1?!


2±√−121 = 2± 11

√−1 = 8− 6± (12

√−1−

√−1) =

= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (

√−1

2)± 3 · 22 ·

√−1 + 23 = (2±

√−1)3

t = 2 +√−1 + 2−

√−1 = 4, x = t − 1 = 3.



u3+125

u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±

√−121

t =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121− 1?!


2±√−121 = 2± 11

√−1 = 8− 6± (12

√−1−

√−1) =

= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (

√−1

2)± 3 · 22 ·

√−1 + 23 = (2±

√−1)3

t = 2 +√−1 + 2−

√−1 = 4, x = t − 1 = 3.



u3+125

u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±

√−121

t =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121− 1?!


2±√−121 = 2± 11

√−1 = 8− 6± (12

√−1−

√−1) =

= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (

√−1

2)± 3 · 22 ·

√−1 + 23 = (2±

√−1)3

t = 2 +√−1 + 2−

√−1 = 4, x = t − 1 = 3.


Imaginarna jedinica2 i se definira kao jedno od dva rjesenjakvadratne jednadzbe

x2 + 1 = 0.

Koje je drugo rjesenje?

i2 = (−i)2 = −1

Kompleksni brojevi se definiraju kao brojevi koji se mogu zapisati uobliku

z = x + yi

s x , y ∈ R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni diokompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnogbroja su realni brojevi). Kako vidimo da je R podskup od C?Brojeve kojima je realni dio nula zovemo cisto imaginarnima.

2Oznaku i za imaginarnu uveo je L. Euler.



x2 + 1 = 0.


i2 = (−i)2 = −1


z = x + yi

s x , y ∈ R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni diokompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnogbroja su realni brojevi). Kako vidimo da je R podskup od C?

Brojeve kojima je realni dio nula zovemo cisto imaginarnima.




x2 + 1 = 0.


i2 = (−i)2 = −1


z = x + yi

s x , y ∈ R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni diokompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnogbroja su realni brojevi). Kako vidimo da je R podskup od C?Brojeve kojima je realni dio nula zovemo cisto imaginarnima.



Zadatak

Odredite sva rjesenja kvadratne jednadzbe x2 − 4x + 5 = 0.

z = x + iy ↔ z = (x , y) ∈ R2


Zadatak

Odredite sva rjesenja kvadratne jednadzbe x2 − 4x + 5 = 0.

z = x + iy ↔ z = (x , y) ∈ R2


Skicirajte 3 + i i 2i − 1 te njihov zbroj u kompleksnoj ravnini tezakljucite kako se racunski i geometrijski zbrajaju kompleksnibrojevi!

(3 + i) + (2i − 1) = 2 + 3i .

(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .



(3 + i) + (2i − 1) =

2 + 3i .

(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .



(3 + i) + (2i − 1) = 2 + 3i .

(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .



(3 + i) + (2i − 1) = 2 + 3i .

(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .


Suprotni broj od x + yi je −x − yi . Nacrtajte nekoliko kompleksnihbrojeva u kompleksnoj ravnini i njihove suprotne brojeve tezakljucite koji je efekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = −z?


Suprotni broj od x + yi je −x − yi . Nacrtajte nekoliko kompleksnihbrojeva u kompleksnoj ravnini i njihove suprotne brojeve tezakljucite koji je efekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = −z?


Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima.

Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima. Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = z + z0,

za fiksan z0?


Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima. Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima.

Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = z + z0,

za fiksan z0?


Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima. Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima. Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = z + z0,

za fiksan z0?


Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima. Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima. Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = z + z0,

za fiksan z0?


Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy definira se kao|z | =

√x2 + y 2 (biramo pozitivni kvadratni korijen).

Sto ta vrijednost geometrijski predstavlja?

Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1? Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5? Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!





Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1?

Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5? Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!





Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1? Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5?

Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!





Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1? Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5? Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!


Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?

Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe? Koliko iznosi z?Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !


Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe?

Koliko iznosi z?Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !


Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe? Koliko iznosi z?

Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !


Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe? Koliko iznosi z?Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !


(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + yx ′)i .

Koliko iznosi z · z?

Bez formule za dijeljenje kompleksnih brojeva

odredite1

i.

1

z=

z

|z |2,

z

z ′= z · 1

z ′=

z · z ′|z ′|2



Koliko iznosi z · z? Bez formule za dijeljenje kompleksnih brojeva

odredite1

i.

1

z=

z

|z |2,

z

z ′= z · 1

z ′=

z · z ′|z ′|2



Koliko iznosi z · z? Bez formule za dijeljenje kompleksnih brojeva

odredite1

i.

1

z=

z

|z |2,

z

z ′= z · 1

z ′=

z · z ′|z ′|2


Nacrtajte nekoliko kompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini injihove umnoske s i te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s

f (z) = iz?


Nacrtajte nekoliko kompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini injihove umnoske s i te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s

f (z) = iz?


Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z?

Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz

z = |z |(cos θ + i sin θ).

Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.


Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5?

Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?

Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e?

Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi?

Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?

Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko?

Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z?

A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z?

A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?

Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Izracunajte (cos θ + i sin θ) · (cosφ+ i sinφ).

Zakljucite kako semnoze dva kompleksna broja dana u trigonometrijskom obliku!Koja je veza argumenta umnoska s argumentima faktora? Aapsolutne vrijednosti umnoska s apsolutnim vrijednostima faktora?Za z = |z |(cos θ + i sin θ) i w = |w |(cosφ+ i sinφ) vrijedi

zw = |z ||w |(cos(θ+φ)+i sin(θ+φ)),z

w=|z ||w |

(cos(θ−φ)+i sin(θ−φ)).

Sto radi funkcija f : C→ C, f (z) = z · z0 gdje je z0 fiksankompleksan broj apsolutne vrijednosti 1 i argumenta φ?


Izracunajte (cos θ + i sin θ) · (cosφ+ i sinφ). Zakljucite kako semnoze dva kompleksna broja dana u trigonometrijskom obliku!Koja je veza argumenta umnoska s argumentima faktora? Aapsolutne vrijednosti umnoska s apsolutnim vrijednostima faktora?

Za z = |z |(cos θ + i sin θ) i w = |w |(cosφ+ i sinφ) vrijedi


w=|z ||w |




Izracunajte (cos θ + i sin θ) · (cosφ+ i sinφ). Zakljucite kako semnoze dva kompleksna broja dana u trigonometrijskom obliku!Koja je veza argumenta umnoska s argumentima faktora? Aapsolutne vrijednosti umnoska s apsolutnim vrijednostima faktora?Za z = |z |(cos θ + i sin θ) i w = |w |(cosφ+ i sinφ) vrijedi


w=|z ||w |




Koliko iznosi in za prirodan broj n?

Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula

zn = |z |n(cos(nθ) + i sin(nθ)).

Vrijedi li ta formula i za negativne cijele brojeve n?


Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i?

Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula




Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski!

Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula




Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula




Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula




Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja?

Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8

(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).

Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π

4 . Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?


Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i?

Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8

(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).




Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?

Ako je w kubni korijen od z = 8(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).




Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8

(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).





(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).

Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?

Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π




(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).

Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna?

Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π




(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).


4 .

Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?



(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).


4 . Je li to jedini takav kut?Zasto?

Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?



(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).




ϕk = π12 + 2

3 kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti?

Koliko ih ima razlicitih? zima tri kompleksna treca korijena:

w0 = 2(

cos( π

12

)+ i sin

( π12

)),

w1 = 2

(cos

(9π

12π

)+ i sin

(9π

12

)),

w2 = 2

(cos

(17π

12π

)+ i sin

(17π

12

)).

Kolika je razlika argumenata w1 i w0? w2 i w1? w0 i w2? Kako sudakle u kompleksnoj ravnini rasporedeni w0, w1 i w2?


ϕk = π12 + 2

3 kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti? Koliko ih ima razlicitih?

zima tri kompleksna treca korijena:

w0 = 2(

cos( π

12

)+ i sin

( π12

)),

w1 = 2

(cos

(9π

12π

)+ i sin

(9π

12

)),

w2 = 2

(cos

(17π

12π

)+ i sin

(17π

12

)).



ϕk = π12 + 2

3 kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti? Koliko ih ima razlicitih? zima tri kompleksna treca korijena:

w0 = 2(

cos( π

12

)+ i sin

( π12

)),

w1 = 2

(cos

(9π

12π

)+ i sin

(9π

12

)),

w2 = 2

(cos

(17π

12π

)+ i sin

(17π

12

)).

Kolika je razlika argumenata w1 i w0? w2 i w1? w0 i w2?

Kako sudakle u kompleksnoj ravnini rasporedeni w0, w1 i w2?


ϕk = π12 + 2

3 kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti? Koliko ih ima razlicitih? zima tri kompleksna treca korijena:

w0 = 2(

cos( π

12

)+ i sin

( π12

)),

w1 = 2

(cos

(9π

12π

)+ i sin

(9π

12

)),

w2 = 2

(cos

(17π

12π

)+ i sin

(17π

12

)).



Svaki kompleksan broj z ima n kompleksnih n-tih korijenaodredenih formulom

n√|z |(

cosθ + 2kπ

n+ i sin

θ + 2kπ

n

),

za k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Geometrijski, ti se korijeni nalaze uvrhovima pravilnog n-terokuta na kruznici radijusa n

√|z | (tu

gledamo korijen u smislu njegovog znacenja u realnim brojevima)kojoj je srediste u ishodistu, s tim da prvi od njih ima argument θ

n ,a svaki sljedeci za 2π/n veci (sve dok se ne prijede jedan punikrug).Odredite sve kubne korijene od i !


Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikazakompleksnih brojeva:

e iθ = cos θ + i sin θ.

Stoga jez = |z |e iθ

tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ?

e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),

z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.





tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2?

Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),

z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.





tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i?

Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),

z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.





tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z?

Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),

z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.





tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),

z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.





tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),

z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.


Zbrojimo li i oduzmemo e iϕ i e−iϕ dobijemo

Re(e iϕ) = cosϕ =e iϕ + e−iϕ

2,

Im(e iϕ) = sinϕ =e iϕ − e−iϕ

2i.

Na sto vas podsjecaju te formule?

Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π




2,


2i.

Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i?

Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π




2,


2i.

Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i?

Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π




2,


2i.

Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija?

Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π




2,


2i.

Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π

Documents

Predavanje prvo: Brojevi.prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/pred1-novo.pdfPredavanje prvo: Brojevi. Franka Miriam Bruckler Kompleksni brojeviZbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojevaApsolutna