Préparation estivale - rduroux.ovhrduroux.ovh/seances_vacances.pdf · ECE2 Préparationestivale2018 Mathématiques Préparation estivale Séance 1 Exercice 1 1. Qu’est-cequ’unesuitemonotone?

ECE2 Préparation estivale 2018Mathématiques

Préparation estivale

Séance 1

Exercice 1

1. Qu’est-ce qu’une suite monotone ?

2. Traduire en mathématiques avec les quantificateurs :La suite (un)n∈N est décroissante à partir d’un certain rang.

3. Soit (un)n∈N la suite définie par : u0 = 1

∀n ∈ N, un+1 =un

1 + u2n

a) Montrer que : ∀n ∈ N, un > 0.

b) Montrer que la suite (un)n∈N est monotone.

c) Étudier la convergence de la suite (un)n∈N.

Exercice 2

1. On considère une matrice A ∈Mn(R). Traduire en termes mathématiques :

a) A est une matrice triangulaire supérieure.

b) A admet un seul terme non nul sur la diagonale.

2. Pour les exemples suivants, dire si les produits matriciels AB et BA sont bien définis ou non.S’ils sont définis, les calculer ; s’ils ne sont pas définis, expliquer pourquoi.

a) A =

1−1015

, B =(1 −1 −1 3 0

);

b) A =(0 2 1

), B =

2 13 2−1 0

;

3. Résoudre le système linéaire suivant après l’avoir écrit sous forme matricielle :x − 3y + z = 1

2x + y − z = −1x + 11y − 5z = 5

1


Exercice 3

1. Énoncer la formules des probabilités totales.

2. Une boîte A contient deux jetons portant le numéro 0 et une boîte B contient deux jetons portantle numéro 1.

On tire au hasard un jeton dans chaque boîte et on échange ces jetons.On recommence cette opération n fois, n ∈ N∗.On s’intéresse à la somme des jetons contenus dans l’urne A à l’instant n.Pour cela, on introduit les événements suivants.

• Pn : « la somme des jetons contenus dans l’urne A à l’instant n vaut 0 ».

• Qn : « la somme des jetons contenus dans l’urne A à l’instant n vaut 1 ».

• Rn : « la somme des jetons contenus dans l’urne A à l’instant n vaut 2 ».

On pose également pn = P(Pn) ; qn = P(Qn) et rn = P(Rn).

a) Calculer p0, q0, r0, p1, q1, r1.

b) Trouver une relation entre rn, pn et qn.

c) Exprimer pn+1 (resp. qn+1, resp. rn+1) en fonction de pn, qn, rn.

2


Séance 2

Exercice 4Pour les fonctions suivantes, on étudiera la dérivabilité sur son ensemble de définition puis on calculerala fonction dérivée associée.

1. f : x 7→ 3 + x2

2 + x.

2. f : x 7→ ln(x2 + 2x+ 3).

3. f : x 7→ ex +√x+ ln(x).

4. f : x 7→ exp

(1 + x

1− x

).

Exercice 5

1. Soit n ∈ N∗. On considère une matrice A ∈Mn(R).Quelle propriété démontre que B est l’inverse de A ?

2. On considère la matrice J =

0 1 −1−1 2 −11 −1 2

.a) Trouver une relation entre J2, J et I.

b) Montrer que J est inversible et donner son inverse en fonction de J et I.

3. À l’aide de l’algorithme du pivot de Gauss, montrer que la matrice A suivante est inversible etdéterminer son inverse.

A =

1 −1 22 2 1−3 0 3

Exercice 6Une puce se déplace sur les trois sommets d’un triangle ABC du plan.À l’instant 0, elle est en A. À chaque instant n ∈ N∗ suivant, elle saute du sommet où elle se trouvede la manière suivante :

× si elle est en A, elle va en B ;

× si elle est en B, elle a autant de chance d’aller en A qu’en C ;

× si elle est en C, elle y reste (saute sur place).

On introduit les événements An, Bn et Cn suivants.

• An : « la puce est en A à l’instant n ».

• Bn : « la puce est en B à l’instant n ».

• Cn : « la puce est en C à l’instant n ».

On admet que la puce ne peut arriver au point C qu’à des instants pairs.

1. Énoncer la formule des probabilités composées.

2. Soit n ∈ N∗.a) Exprimer, à l’aide des événements fournis, l’événement :

F : « la puce arrive en C la première fois à l’instant 4 ».

b) Exprimer, à l’aide des événements fournis, l’événement :Gn : « la puce arrive en C la première fois à l’instant 2n ».

c) Calculer la probabilité que la puce arrive en C, pour la première fois, à l’instant 2n.

3


Séance 3

Exercice 7On considère l’application ϕ définie sur R∗+ par :

∀x ∈ R∗+, ϕ (x) = ln (x)− ln (x+ 1) +1

x

1. Dresser le tableau de variation de ϕ et y faire apparaître les limites de ϕ en 0+ et +∞.

2. On rappelle que ln (2) ' 0, 7 et ln (3) ' 1, 1.

a) Montrer que l’équation ϕ (x) = 1 possède une unique solution, dans R∗+, notée α.

b) Montrer que :1

3< α <

1

2.

Exercice 8On considère un espace vectoriel E et une application linéaire u : E 7→ E.On rappelle que pour tout m ∈ N∗ : um = u · · · u︸︷︷︸

u apparaît m fois

et u0 = id.

Pour tout k ∈ N∗, on définit l’ensemble Ek = x ∈ E | uk(x) = 0.1. Soit n ∈ N∗. Dans cette question seulement, on considère que E =Mn,1(R). Soit A ∈Mn(R).

On définit alors l’application u par :

∀M ∈ E, u(M) = AM

a) Soit M ∈ E. Que vaut u u(M) ?

b) Pour tout m ∈ N, expliciter um.

c) On considère maintenant que m = 3 et A =

0 1 00 0 10 0 0

. Déterminer pour tout k ∈ N∗, Ek.

d) Montrer que pour tout k ∈ N∗, Ek ⊂ Ek+1.

2. Dans le cas général, montrer que pour tout k ∈ N∗, Ek ⊂ Ek+1.

Exercice 9On considère la suite (un)n∈N définie par :

u0 = 1

∀n ∈ N, un+1 =un

1 + u2n

1. Écrire en Scilab la fonction calculSuite qui prend en paramètre un entier n et renvoie le nème

terme de la suite (un)n∈N.

2. Quel appel permet de calculer u8 ?

4


Séance 4

Exercice 10On considère la fonction :

f : R → R

x 7→

0 si x 6 −1

x si −1 < x < 1

ln(x)

xsinon

Justifier l’existence et calculer l’intégrale suivante :∫ 4

−4f(u) du.

Exercice 11Soit n ∈ N∗. Déterminer le terme dominant, le degré et le terme constant des polynômes suivants :

1. P (X) =n∑

i=12iXi, Q(X) = 2nXn +

n−1∑i=0

1

2iXi.

2. S = P +Q, R = P −Q.

On pourra commencer par n ∈ 1, 2, 3.

Exercice 12Une entreprise de construction produit des objets sur deux chaînes de montage A et B qui fonctionnentindépendamment l’une de l’autre.Pour une chaîne donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes.On suppose que A produit 60% des objets et B produit 40% des objets. De plus :

× la probabilité qu’un objet construit par la chaine A soit défectueux est 0, 1.

× la probabilité pour qu’un objet construit par la chaine B soit défectueux est 0, 2.

On considère l’événement E : « l’objet provient de la chaîne A ».

1. On choisit au hasard un objet à la sortie de l’entreprise. On constate que cet objet est défectueux.Quelle est la probabilité que cet objet provienne de la chaîne A ?

2. On suppose maintenant que le nombre d’objets produits en une heure par A est une variable aléatoireY qui suit une loi de Poisson de paramètre λ = 20.On considère alors la variable aléatoire X représentant le nombre d’objets défectueux produits parla chaîne A en une heure.

a) Rappeler la loi de Y ainsi que la valeur de l’espérance et de la variance de Y .

b) Soient k et n deux entiers naturels, déterminer la probabilité conditionnelle P[Y=n]([X = k]).(on distinguera les cas k 6 n et k > n)

c) En déduire, en utilisant le système complet d’événements ([Y = i])i∈N, que X suit une loi dePoisson de paramètre 2 .

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Séance 5

Exercice 13On considère, pour tout entier naturel n, l’application ϕn définie sur R par :

∀x ∈ R, ϕn (x) = (1− x)n e−2x

ainsi que l’intégrale :

In =

∫ 1

0ϕn (x) dx

1. Calculer I0, I1.

2. Déterminer le signe de In pour tout entier naturel n.

3. a) Pour n ∈ N, écrire In+1 − In sous forme d’une intégrale.

b) En déduire la monotonie de la suite (In)n∈N.

c) En déduire enfin que la suite (In) est convergente. On note ` sa limite.

4. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que :

∀n ∈ N, 2In+1 = 1− (n+ 1) In

5. En déduire la valeur de `.

Exercice 14On considère les polynômes P (X) = X2 − 3X + 2 et Q(X) = 2X3 +X.

1. Calculer PQ puis donner son degré.

2. Calculer P (Q(X)) et Q(P (X)) puis donner les degrés respectifs des polynômes obtenus.

3. Même question avec Q = 1.

Exercice 15On considère une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres (n, 14).Déterminer la valeur, si elles existent, des quantités suivantes.

1. E(X) et V(X).

2. E(X − 3) et V(X − 3).

3. E(2X) et V(2X).

4. E(X2) et V(X2).

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Séance 6

Exercice 16Les fonctions suivantes sont-elles continues en a ?Si oui, sont-elles dérivables en a ? Dans ce cas, leurs dérivées sont-elles continues en a ?

1. f1 : x 7→ x|x| et a = 0.

2. f2 : x 7→ e−x2 et a = 0.

3. f3 : x 7→

x− 1 si x 6 1ln(x) si 1 < x 6 e

x2 − 2x+ 2e si x > eet a = 1.

4. Même question avec a = e.


u0 = 1

∀n ∈ N, un+1 =un

1 + u2n

1. Écrire en Scilab la fonction calculPremiersTermes qui prend en paramètre un entier n et renvoiele tableau tab contenant les n premiers termes de la suite (un)n∈N.

2. On considère alors le programme Scilab suivant :

1 n = 1002 absc = 1:n3 t = calculPremiersTermes(n)4 plot(absc, t)

Que réalise ce programme ?

Exercice 18Soit f la fonction définie sur R par :

∀x ∈ R, f(x) =1

2exp(−|x|)

1. Montrer que f est une densité de probabilité.

2. Soit X une variable aléatoire réelle de densité f .

a) Déterminer la fonction de répartition F de X.

b) Montrer que X admet une espérance puis la calculer.

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Séance 7

Exercice 19Caluler la limite de f(x) lorsque x tend vers a dans les cas suivants.

1. a = 1, puis a = +∞, puis a = −∞, f(x) =x2 + 3x+ 1

x− 1.

2. a = −1 puis a = +∞, f(x) =

√x− 1

x+ 1.

3. a = −∞, f(x) =√x2 + 3x− 1 + x+ 1.

4. a = +∞, f(x) = ln(1 + ex)− x.

Exercice 20Soit n ∈ N∗.1. Exprimer en fonction de n :

a) Sn =n∑

i=0

2

3i.

b) Tn =2n∑

j=n+1j.

c) Un =n∑

k=1

((−2)k + 4k2).

2. Écrire un programme Scilab qui permet de calculer5∑

i=0

2

3i.

Adapter ce programme afin d’écrire une fonction calculSomme qui prend en paramètre un entier n

et qui renvoie une variable S contenantn∑

k=0

2

3i.

Exercice 21Donner la fonction de répartition et l’espérance des variables aléatoires réelles suivantes.

1. X suit la loi exponentielle de paramètre 1.

2. T suit la loi normale centrée réduite.

3. Y suit une loi géométrique de paramètre1

2.

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Séance 8

Exercice 22Résoudre dans R les équations / inéquations suivantes :

1. | − x+ 1| < 1

2.

2. |x− 2|+ |x+ 4| 6 6.

3. bx+ 2c = 5.

4. bx+ 2c 6 5.

Exercice 23

1. On considère les matrices suivantes.

A =

1 1 11 1 11 1 1

; B =

0 1 00 0 10 0 0

; C =

1 0 −10 0 0−1 0 1

a) Déterminer A2. Démontrer alors que : ∀k ∈ N∗, Ak = 3k−1A.

b) Déterminer B2 et B3. En déduire Bk pour tout k ∈ N.c) Déterminer C2. Conjecturer une formule pour Ck et la démontrer.

2. Soit (a, b) ∈ R2. On considère la matrice :

B =

a b 00 a b0 0 a

a) Écrire la matrice B en fonction des matrices I =

1 0 00 1 00 0 1

et J =

0 1 00 0 10 0 0

.b) À l’aide de la formule du binôme de Newton, déterminer Bk pour tout k ∈ N.

Exercice 24Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Soit X une v.a.r. sur un espace probabilisé fini (Ω,P(Ω),P). Donner, en fonction de X :

× la loi de Y (on commencera par donner son support),

× l’espérance de Y ,

× la variance de Y ,

lorsque Y = u(X) dans les cas où :

a) ∀x ∈ R, u(x) = 2x+ 1 ;

b) ∀x ∈ R, u(x) = (x+ 1)2.

2. Un joueur lance deux fois un dé équilibré. SoitX la variable aléatoire égale à la différence du premierlancer et du deuxième. Déterminer les lois de X, |X| et X2.

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Séance 9

Exercice 25Soit n ∈ N∗. Calculer les sommes suivantes.

1. Sn =∑

16i,j6nmin(i, j).

2. Tn =∑

16i,j6n(i+ j)2.

3. Un =∑

16i6j6n(i+ j)2.

Exercice 26

On considère la matrice A =

1 0 20 −2 10 0 3

.1. Montrer que le système AX = X admet une solution non nulle X ∈M3,1(R) puis le résoudre.

2. Même question avec les systèmes AX = −2X et AX = 3X.

3. On considère la matrice P =

1 0 10 1 1

50 0 1

.a) Démontrer que P est inversible et déterminer P−1.

b) Démontrer que la matrice définie par D = P−1AP est diagonale.Déduire de cette écriture une écriture de la matrice A en fonction des matrices P et D.

c) Montrer que pour tout n ∈ N, An = PDnP−1.

4. La formule de la question 3.c) est-elle vérifiée pour n = −1 ?


u0 = 1

∀n ∈ N, un+1 =un

1 + u2n

1. Justifier (on pourra se référer à l’Exercice 1) qu’il existe un rang n0 tel que : ∀n > n0, |un| 6 10−4.

2. Écrire en Scilab un programme qui permet de déterminer le premier entier n tel que |un| 6 10−4.

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Séance 10

Exercice 28

1. Pour tout entier n non nul, on pose : Sn =1

n

n∑k=1

n

n+ k.

Transformer Sn pour l’exprimer comme une somme de Riemann puis conclure sur la convergencede (Sn)n∈N.

2. En procédant de même, étudier le comportement en +∞ de la suite de terme général :

Tn =1

n

n∑k=1

(ln(k + n)− ln(n))

Exercice 29Soit E =M3,1(R) et A ∈M3(R). On considère l’ensemble : E3(A) = X ∈ E | AX = 3X.1. Montrer que E3(A) est un sous-espace vectoriel de E.

2. Déterminer E3(A) si la matrice A− 3I est inversible.

3. On considère maintenant : A =

1 1 11 1 11 1 1

. Déterminer E3(A) dans ce cas.

Exercice 30On considère de nouveau : Sn =

n∑k=1

n

n+ kpour n ∈ N∗.

On admet que (cf TP sur les sommes de Riemann) que :

∀n ∈ N∗,∣∣∣∣ ∫ 1

0

1

1 + xdx− Sn

∣∣∣∣ 61

2n

1. Déterminer un entier n0 tel que :∣∣∣∣ ∫ 1

0

1

1 + xdx− Sn0

∣∣∣∣ 6 10−4.

2. Déduire de cette inégalité un programme Scilab permettant de déterminer une valeur approchée

de∫ 1

0

1

1 + xdx à 10−4 près.

3. Exécuter votre programme sur votre ordinateur. Quelle valeur obtient-on ? Commenter.

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Séance 11

Exercice 31

Soit a ∈ R∗+. On définit pour tout entier naturel n, l’intégrale In =

∫ +∞

0xn e−ax dx.

1. Démontrer que I0 est une intégrale convergente et déterminer sa valeur.

2. Démontrer que I1 est une intégrale convergente et déterminer sa valeur.On pourra penser à une intégration par parties.

3. Pour tout n ∈ N, justifier l’existence de l’intégrale In.Question a priori réservée aux cubes.

4. Montrer que : ∀n ∈ N, aIn = nIn−1.

5. Démontrer par récurrence que : ∀n ∈ N, In =n!

an.

Exercice 32On appelle (un)n>0 la suite définie par :

u0 = 1

∀n ∈ N, un+1 =√

2 un + 1

1. Démontrer par récurrence que : ∀n ∈ N, un > n.

2. En déduire la limite de (un) quand n tend vers +∞.

3. Déterminer la formule explicite de un.

Exercice 33Soit (Ω,A ,P) un espace probabilisé.

1. On considère une v.a.r. X définie sur cet espace probabilisé.

a) Rappeler la définition de variable aléatoire.

b) La v.a.r. X admet-elle une fonction de répartition FX ? Comment est définie cette fonction ?

c) Lister les propriétés vérifiées par FX .

d) Quelle propriété FX doit-elle vérifier pour que X soit une v.a.r. à densité ?

2. On considère maintenant une v.a.r. X telle que X → E (λ) où λ > 0.On considère la v.a.r. Y =

√X ?

a) La v.a.r. Y est-elle bien définie ?

b) Déterminer sa fonction de répartition FY .

c) La v.a.r. Y admet-elle une densité ? Si oui, la déterminer.

12


Séance 12

Exercice 34On note U une variable suivant la loi uniforme sur [0, 1[.

1. Déterminer la loi de la variable Z = − ln(1− U).Pour cela, on déterminera la fonction de répartition de Z.

2. Quelle loi classique reconnaît-on ?

3. On rappelle que la fonction rand permet de simuler une v.a.r. suivant la loi uniforme sur [0, 1[.Compléter le programme suivant afin qu’il simule une variable aléatoire suivant la loi exponentiellede paramètre 1.

1 u = rand()2 z = ...

Exercice 35On considère une suite (un)n∈N telle que u0 > 0, u1 > 0, et vérifiant la relation de récurrence :

∀n ∈ N, un+2 = u3n × u2n+1

1. Montrer par une récurrence double que un > 0 pour tout entier naturel n.

2. On note tn = ln(un).

a) Montrer que la suite (tn) vérifie ∀n ∈ N, tn+2 = 3tn + 2tn+1.

b) De quel type de suite s’agit-il ?

3. Déterminer, en fonction de u0 et u1, le terme général de la suite (tn).

4. En déduire que :

∀n ∈ N, un = exp

(3n

4ln(u0u1) +

(−1)n

4ln

(u30u1

))

Exercice 36On considère la suite (un) définie dans l’Exercice 35.

1. Écrire en Scilab la fonction calculPremiersTermes qui prend en paramètre un entier n et renvoiele tableau tab contenant les n premiers termes de la suite (un)n∈N.

2. Écrire un programme permettant de tracer les 100 premiers termes de la suite (un).

13


Séance 13

Exercice 37On considère la suite (Tn) de terme général :

Tn =n∑

k=1

k

n√n2 + k2

1. Démontrer que la suite (Tn)n∈N∗ est convergente et calculer la valeur de sa limite.

2. Écrire en Scilab une fonction sommeR qui :

× prend en paramètre une variable n,

× stocke dans une variable de sortie T la valeur du terme de rang n de la suite (Tn).

Exercice 38

On note I =

∫ 1

0

1

ex + 1dx.

1. À l’aide du changement de variable u = ex démontrer que : I =

∫ e

1

1

u+ 1

1

udu.

2. Déterminer deux réels a et b tels que :

1

u (u+ 1)=a

u+

b

u+ 1

pour tout u 6∈ −1, 0.3. En déduire la valeur de I.

Exercice 39On considère un espace probabilisé (Ω,A ,P).

• On dit que deux v.a.r. X et Y sont indépendantes si, pour tout couple d’intervalles réels (I, J) :

P([X ∈ I] ∩ [Y ∈ J ]) = P([X ∈ I])× P([Y ∈ J ])

• Par exemple, si t ∈ R et que X et Y sont indépendantes, on a :

P([X 6 t] ∩ [Y 6 J ]) = P([X 6 t])× P([Y 6 t])

Ce résultat est obtenu en appliquant la définition à I = ]−∞, t] = J

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, 1].On définit les variable aléatoires U = min(X,Y ) et V = max(X,Y ).

1. Démontrer que :

[U > t] = [X > t] ∩ [Y > t] et [V 6 t] = [X 6 t] ∩ [Y 6 t]

2. Déterminer la fonction de répartition G, puis une densité g de la v.a.r. U .

3. Déterminer la fonction de répartition H, puis une densité h de le v.a.r. V .

4. Calculer l’espérance de U .

5. Exprimer U + V en fonction de X et Y .En déduire l’espérance de V .

14


Séance 14

Exercice 40Soit f la fonction définie sur R par f(x) =

ex

e2x + 1.

1. a) Démontrer que f est paire sur R.

b) Justifier que f est C1 sur R et étudier ses variations.

c) Montrer que l’équation f(x) = x admet une unique solution ` ∈ R+.

d) Justifier que : 0 6 ` 61

2.

Données numériques : e1/2 ' 1, 65 et e ' 2, 72 au centième près.

e) Montrer que : ∀x > 0, |f ′(x)| 6 f(x).

En déduire que : ∀x > 0, |f ′(x)| 61

2.

f) Vérifier que f([0, 12]) ⊂

[0, 12].

2. On définit la suite (un)n∈N par :

u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un)

a) Montrer que, pour tout n ∈ N, un ∈[0, 12].

b) Montrer que, pour tout n ∈ N :

|un+1 − `| 61

2|un − `| puis que |un − `| 6

1

2n+1

c) En déduire que la suite (un) converge vers `.

3. Informatique

a) Écrire une fonction Scilab f qui prend en entrée un réel x et qui calcule f(x).

b) En utilisant la fonction f précédente, écrire une fonction SuiteU qui prend en entrée un entierpositif n et qui calcule un.

c) En utilisant la fonction SuiteU précédente, comment peut-on obtenir à l’aide de Scilab unevaleur approchée de ` à 10−4 près ?

15


Séance 15

Exercice 41

1. On considère dans la suite une fonction f continue et décroissante sur R.

a) Montrer que : ∀k > 1, f(k + 1) 6∫ k+1

kf(t) dt 6 f(k).

Faire apparaître sur une même représentation graphique ces trois quantités sous forme d’aires.(cela ne constitue pas une démonstration)

b) Montrer que, pour tout n > 1, on a :

n+1∑k=2

f(k) 6∫ n+1

1f(t) dt 6

n∑k=1

f(k)

Faire apparaître sur une nouvelle représentation graphique ces trois quantités sous forme d’aires.(cela ne constitue pas une démonstration)

c) Démontrer enfin que, pour tout n > 2, on a :∫ n+1

2f(t) dt 6

n∑k=2

f(k) 6∫ n

1f(t) dt

2. On considère maintenant la fonction f : t 7→ 1

t.

a) Démontrer que pour tout n > 1, on a :

ln(n+ 1)− ln(2) 6n∑

k=2

1

k6 ln(n)

b) En déduire un encadrement den∑

k=1

1

k.

c) En déduire que :n∑

k=1

1

k∼

n→+∞ln(n).

d) Quelle est la nature de la série∑n>1

1

n?

3. On considère maintenant la fonction g : t 7→ 1

t ln(t)sur [2,+∞[.

a) Soit n > 1. Calculer∫ n+1

2

1

x ln(x)dx.

b) À l’aide de ce qui précède, comparer∫ n+1

2

1

x ln(x)dx et

n∑k=2

1

k ln(k).

c) En déduire la nature de la série∑n>2

1

n ln(n).

d) Écrire en Scilab une fonction sommeSI qui :

× prend en paramètre une variable n,

× stocke dans une variable de sortie S la valeur den∑

k=2

1

k ln(k).

16


Séance 16

Exercice 42Pour tout entier n positif, on définit sur [0,+∞[ la fonction fn par :

∀x ∈ [0,+∞[, fn(x) = ex + nx2 − 3

1. a) Montrer que fn est continue et dérivable sur son ensemble de définition.Dresser son tableau de variations.

b) Donner l’équation de la tangente de fn en 1.

c) Tracer dans un même repère les courbes de f0, f1 et f2.

d) Montrer que l’équation fn(x) = 0 a exactement une solution positive, notée un.

e) Préciser la valeur de u0. Dans la suite on supposera que n > 1.

f) Vérifier que : ∀n ∈ N∗, un ∈ ]0, 1[.

2. Écrire une fonction Scilab qui prend un entier n et qui calcule une valeur approchée de un à 0, 001près par la méthode de dichotomie.

3. a) Montrer que : ∀x ∈ ]0, 1[, fn+1(x) > fn(x).

b) En déduire le signe de fn(un+1), puis le sens de variation de la suite (un).

c) Montrer que (un) est convergente. On note ` sa limite.

d) On suppose dans cette question que ` > 0.Calculer la limite de eun + nu2n − 3 et en déduire une contradiction.

e) Donner enfin la valeur de `.

f) Montrer que√n

2un tend vers 1 quand n tend vers +∞.

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Préparation estivale - rduroux.ovhrduroux.ovh/seances_vacances.pdf · ECE2 Préparationestivale2018 Mathématiques Préparation estivale Séance 1 Exercice 1 1. Qu’est-cequ’unesuitemonotone?