PREPARATION HEG - ECCG Monthey · 2018. 8. 5. · KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG Page 3 sur 92 3.3 DÉCOMPOSITION D'UN TRINÔME DU SECOND DEGRÉ 3.4 MÉTHODE DES GROUPEMENTS ET ARTIFICES

KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG

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PREPARATION HEG En plus des informations utiles pour la suite du cursus au niveau mathématique en HEG, ce document est un résumé, non exhaustif, des chapitres des cours I, II et III ème année MPC/ESC de math. La finalité de ce document est d’assister l’étudiant dans son travail de révision et de préparation à des cours d’un niveau supérieur. Il ne se substitue pas aux notes de cours, recap. et autres documents reçus pendant les cours réguliers. Ce document sera ponctuellement adapté en fonction des exigences de la branche dans le module math/stat/informatique de l’HEG de Sierre. Prof. concernés par la matière (math) : - ESC Monthey 1ère année : M. Alain Dorsaz - ESC Monthey 2ème année : M. Pierre-Benoît Veuthey - ESC Monthey 3ème année : M. Elvezio Borrini - HEG Sierre : M. François Chaghaghi PLAN (changements possibles)

Ce document concerne les élèves de la section MPC/ESC Monthey

1.TABLE DES MATIERES DU PROGRAMME DE 1ère ANNEE (NON EXHAUSTIF) p. 2 1.1. RESUME DES PRINCIPAUX CHAPITRES DU PROGRAMME DE 1ère ANNEE (NON EXHAUSTIF) p. 5 2. PLAN DES CHAPITRES TRAITES EN 2ème ANNEE p. 8 2.1 RESUME DES PRINCIPAUX CHAPITRES DU PROGRAMME DE 2ème ANNEE (NON EXHAUSTIF) p. 9 3. PLAN DES COURS DE 3ème ANNEE p. 14 3.1 THEORIE DES COURS DE 3EME ANNEE p. 15 4. CHAPITRES COMPLEMENTAIRES DE 3Ème ANNEE MPC/ESC p. 48 4.1 CHAPITRE A : PROGRESSIONS-SUITES P. 49 EXERCICES P. 52 CORRIGES P. 54 4.2 CHAPITRE B : VECTEURS-PRODUIT SCALAIRE-NORME P. 68

EXERCICES P. 74 CORRIGES P. 75 4.3 CHAPITRE C : PROGRAMMATION LINEAIRE P. 82

EXERCICES P. 85 CORRIGES P. 86 5. NIVEAU REQUIS POUR DEBUTER LA PREMIERE ANNEE HEG + OUVRAGE (FORTEMENT) CONSEILLE p. 90 6. PROGRAMME DE MATH I ET II HEG p. 91


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1. TABLE DES MATIERES DU PROGRAMME DE 1ère ANNEE (NON EXHAUSTIF)

1 Consolidation

A. CALCUL AVEC DES FRACTIONS NUMÉRIQUES

1.1.1 Simplification 1.1.2 Amplification 1.1.3 Addition (réduction au même dénominateur) 1.1.4 Multiplication 1.1.5 Division (multiplication par la fraction inverse)

B. HIÉRARCHIE DES OPÉRATIONS

C. ENSEMBLES NUMÉRIQUES

1.3.1 Nombres entiers naturels 1.3.2 Nombres entiers relatifs 1.3.3 Nombres rationnels 1.3.4 Nombres réels

D. PUISSANCES

E. CALCUL LITTÉRAL

2 Les polynômes

2.1 ADDITION

2.2 SOUSTRACTION

2.3 MULTIPLICATION

2.3.1 Monôme par monôme 2.3.2 Monôme par polynôme 2.3.3 Polynôme par polynôme 2.3.4 Puissance d’un monôme

2.4 PRODUITS REMARQUABLES

2.4.1 Carré d’un binôme 2.4.2 Produit de la somme de deux nombres par leur différence

2.4.3 Cube d’un binôme 2.4.4 Autres identités remarquables

2.5 DIVISION

2.5.1 Monôme par monôme 2.5.2 Polynôme par monôme

2.5.3 Polynôme par polynôme

3 Factorisation

3.1 MISE EN ÉVIDENCE DES FACTEURS COMMUNS

3.2 IDENTITÉS REMARQUABLES

3.2.1 Différence des carrés de deux termes 3.2.2 Différence de puissances semblables 3.2.3 Somme des puissances semblables de degré impair 3.2.4 Trinôme carré parfait 3.2.5 Quadrinôme cube parfait


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3.3 DÉCOMPOSITION D'UN TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

3.4 MÉTHODE DES GROUPEMENTS ET ARTIFICES DE CALCUL

3.4.1 Ajouter et retrancher un même terme, puis grouper 3.4.2 Dédoubler un terme, puis grouper 3.4.3 Effectuer, puis grouper

3.5 MÉTHODE DU DIVISEUR BINÔME

3.5.1 Calcul de la valeur numérique d’un polynôme 3.5.2 Décomposition d’un polynôme par le binôme (x – a)

3.6 PGDC ET PPMC

4 Fractions rationnelles

4.1 GÉNÉRALITÉS

4.2 SIMPLIFICATION

4.3 RÉDUCTION AU MÊME DÉNOMINATEUR

4.4 ADDITION ET SOUSTRACTION DE FRACTIONS RATIONNELLES

4.5 MULTIPLICATION DE FRACTIONS RATIONNELLES

4.6 DIVISION DE FRACTIONS RATIONNELLES

5 Equations

5.1 DÉFINITIONS

5.2 Principes d'équivalence 5.2.1 Premier principe d’équivalence 5.2.2 Second principe d’équivalence 5.3 Equations singulières

5.3.1 Equation impossible 5.3.2 Equation indéterminée

5.4 Equations de la forme 0...)()()( =⋅⋅⋅ xCxBxA (équations produit)

5.5 Equations fractionnaires

6 Systèmes d'équations du premier degré

6.1 EQUATIONS À PLUSIEURS INCONNUES

6.2 SYSTÈMES D'ÉQUATIONS

6.3 SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS À DEUX INCONNUES

6.4 MÉTHODES DE RÉSOLUTION

6.4.1 Méthode de substitution 6.4.2 Méthode d’addition 6.4.3 Méthode de Cramer


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6.4.3.1 Introduction aux déterminants 6.4.3.2 Résolution d’un système 2× 2 par Cramer

6.5 SYSTÈMES DE TROIS ÉQUATIONS À TROIS INCONNUES

6.5.1 Cas particulier 6.5.2 Règle de résolution

6.6 SYSTÈMES DE QUATRE ÉQUATIONS À QUATRE INCONNUES

7 Inégalités et inéquations

7.1 Inégalités 7.2 Inéquations (+ intervalles) 7.3 Règles pour résoudre des inéquations (addition/soustraction/multiplication/division) 7.4 Inéquations simultanées 7.5 Inéquations du second degré

7.5.1 Signe du binôme bax + 7.5.2 Signe des polynômes et fractions rationnelles 7.5.3 Résolution des inéquations de type 7.5.2 par la factorisation

8 Problèmes

8.1 Problèmes du premier degré à une inconnue

8.1.1 Moyenne scolaire 8.1.2 Problèmes dur les âges 8.1.3 Problèmes sur les nombres 8.1.4 Problèmes sur le thème distance et vitesse

8.2 Problèmes du premier degré à plusieurs inconnues

8.2.1 Facture 8.2.2 Gestion de production 8.2.3 Problèmes sur les nombres

8.3 Problèmes de degré supérieur à 1 9 Représentation graphique de fonctions diverses 9.1 Notion de fonction 9.2 Représentation graphique d’une fonction 9.3 Fonction affine 9.4 Fonction linéaire 9.5 Exemples et exercices 9.6 Représentation graphique des solutions d’une inéquation 9.7 Systèmes d’inéquations et solutions graphiques + Autres chapitres en fonction du temps 1 Puissances Puissances entières et négatives Puissances fractionnaires


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2 Racines carrées 3 Systèmes d’équations à deux inconnues, discussion de systèmes paramétriques 4 La droite dans le plan (équation de la droite/longueur d’un segment/point milieu/droites parallèles et

perpendiculaires) 5 Seuils de rentabilité et autres applications

1.1 RESUME DES PRINCIPAUX CHAPITRES DU PROGRAMME DE 1ère ANNEE (NON EXHAUSTIF) Il s’agit d’un résumé des principaux points traités à ce jour en 1ère et 2ème année. Il s’agit d’une liste non

exhaustive ( !). Les examens et autres contrôles pourront porter sur des chapitres ou points non explicités sur

cette feuille.

1) EFFECTUER ET REDUIRE

->mise sous même dénominateur ex) 2a2x

aax

a

−−

−

ex) 3x

2

x3

42x9

12−

++

−−

ex) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

ax

xa

:2a

2x2x

2a

->utilisation des identités remarquables ex) 2)n2b3m3a2( − ex)

3)b1ma1mab( +++−

->traitement des puissances paires et impaires

et mise en évidence ex) n2ym3a9m5a − ex) 5y5x − ex) 6y6x +

-> changement de signes ex) x1

31x

2−

−−

…

2) FACTORISATION

-> par les identités remarquables ex) 92a − ex) 83a − ex) 6b6a −

->par regroupement ex) 12xx3x −−+

->par la méthode mn et m+n ex) 92x64x +− ex) 9x62x +−

->par la division (si >trinôme) méthode P( ?)=0 ex) 3-2x : 3x142x173x6 −+−

ex) 2x42x23x4 +−−

…

3) RESOUDRE LES EQUATIONS

-> simples ex) 4x)2x(3x2x3 +=++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

-> fractionnaires ( !! DD=R-{} !!) ex) 2x4

282x22x8x3

2x2x2

−

−=++−

−−

(mise sous même dénominateur avec ou sans changement de signe)


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� simultanées (simples) via la méthode de substitution (éventuellement Cramer)

ex) 4y10x731y15x8

=−=+ x)

1z4y2x311z23x3zyx2

=+−=−+=+−

ex) x23

3yx2

27x

y422

3x

+=−−+

=−+

-> en utilisant – si nécessaire la division avec P( ?)=0 et/ou mn et m+n

ex) 2x32x33x2 −−+

…

4) RESOUDRE LES PROBLEMES

ex) Ages, distances, ….

5) INEQUATIONS SIMPLES

ex) 4(3x-5)>2x+10

Attention !!!! => changement de « signe » ex) -9x<48 x>-16/3

6) SYSTEME D’INEQUATIONS

ex)

62X

X37

3X43

2X783

X535X2

25

X43

42X3

58X4

−−<−−−

−≥⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

−≥+

7) INEQUATIONS PRODUITS SIMPLES

EX : 0)18X5)(7X4)(3X2( <−−−+− -> forme correcte pour étude

6x2x15 ≥− -> !!! remettre sous la bonne forme puis…> mn et m+n

030x372x133x12 ≥+−− -> !!! il faut diviser …trouver P(a)=0 etc…

08x102x3

482x3 ≤−−

− -> !!! NE JAMAIS SUPPRIMER LE DENOMINATEUR

!!! FAIRE ATTENTION à « l’impossibilité » au dénominat.

Méthode de résolution :

Etape 1 : remettre sous la bonne forme càd sous forme de produits de facteurs !!!

Etape 2 : étudier les signes

Etape 3 : tableau ∞+−∞ 5 2-

…

…

Etape 4 : déterminer la réponse X ] [[[ ...U...Σ


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8) SYSTEMES D’INEQUATIONS PRODUITS

Ex : ( )( )( )

( )( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤−−<−+

≥−−−−−

15x318x3

16x216x26x2040x1035x20x614x5


Etape 1 : remettre sous la bonne forme càd sous forme de produits de facteurs !!!

Etape 2 : étudier les signes

Etape 3 : les tableaux ∞+−∞ 5 2- trois tableaux ici

…

…

Etape 4 : établir une « ligne de résolution » UNIQUE et définir les « champs » communs

Etape 5 : déterminer la réponse X ] [[[ ...U...Σ


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2. PLAN DES CHAPITRES TRAITES EN 2ème ANNEE Chapitre 1 : analyse de l'équation du premier degré avec paramètre

( ) ( ) ( )16212 −++=− xmxxm

Chapitre 2 : analyse du système de deux équations du premier degré avec paramètre

⎩⎨⎧

+=−++=−−−

6)2(

1)2()1(

mmyxm

mymxm

Chapitre 3 : racines carrées

271838250 −+−

Chapitre 4 : inéquations et systèmes d'inéquations

( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤−+

≤−

373753

452

xxxx

x

Chapitre 5 : équations du second degré et analyse

a) résoudre ( ) ( ) ( ) 01123 2 =−+−+− mxmxm

b) nombre et signes des racines ( ) ( ) 01156 22 =−+−+ mxmx

c) déterminer les valeurs du paramètre m pour que l'équation suivante admette 2 racines distinctes

négatives ( ) ( ) 0331 2 =−++++ mxmxm

Chapitre 6 : équations réductibles au second degré

01252 24 =−+ xx

030251902530 234 =+−−− xxxx La somme des carrés de trois nombres pairs consécutifs dépasse de 406 la somme des carrés des deux nombres impairs intermédiaires. Quels sont ces cinq nombres ?

Chapitre 7 : système d’équations simultanées (degré > 1)

⎩⎨⎧

==+

45364

18023

xy

yx

Chapitre 8 : la fonction du second degré : donner les caractéristiques de la fonction

2524 2 −− xx

10283 2 +−− xx

Chapitre 9 : les équations irrationnelles 136223 +=−++ xxx


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2.1 RESUME DES PRINCIPAUX CHAPITRES DU PROGRAMME DE 2ème ANNEE (NON EXHAUSTIF) 1) EQUATIONS PARAMETRIQUES 1ER DEGRE �� AX+B=0

� ex) 02mx)42m( =++−

1) examiner si l’equation est au départ sous la forme ax+b=0

2) respecter le mode de résolutin :

Etape 1 : mise en forme de l’équation (si pas sous la forme ax+b=0)

Etape 2 : déterminer a=

b=

Etape 3 : 1er cas : a 0≠ donc …

X= ab−

… S={ }

2ème cas : a= 0 donc …

� substituer la valeur de m dans la donnée et répondre

3) SYSTEME D’EQUATIONS PARAMETRIQUES ->

ax+by=c

a’x+b’y=c’

ex) )3m(2y)9m(x32my)m23(x)1m(

−=−++=−+−


Etape 1 : vérifier si les deux équations sont sous la forme ci-dessus !!!!

Etape 2 : déterminer

D= a b = a.b’ – a’b

a’ b’ c b = c.b’ – c’b Nx= c’ b’ a c = a.c’ – a’c Ny= a’ c’ Etape 3: 1er cas: D 0≠ donc…. ET ….. X= Nx = D Y= Ny = D 2ème cas: D=0 donc…. OU ….. => remplacer « m » dans la donnée ( !!! il y a deux équations) 3) RACINES CARREES

1) simples (additions, soustractions, multiplications)

2) avec dénominateur irrationnel simple

3) avec au moins un terme irrationnel au dénominateur (utilisation de l’ident. remarq. A2 –B2

4) doubles racines (avec terme divisible par 4 ou non) etc…

« c’est beau »

« assez ! »


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4) EQUATIONS PARAMETRIQUES 2ème DEGRE �� ax2+bx+c =0

Rappel : a2

ac42bbx

−±−=

Il faudra faire attention à ce qui sera demandé. Lorsqu’il sera demandé

A) RESOUDRE

Il s’agit de la résolution « simple » d’une équation paramétrique du 2ème degré. Schéma de résolution Pour résoudre une équation du type ax2+bx+c =0

Ex) 1mx4mx2xmx 22 −−=+−− Il faudra toujours respecter une méthodologie précise soit : Etape 1) remettre l’équation sous la forme canonique ax2+bx+c =0 Etape 2) déterminer a= b= c=

Etape 3) Calculer le delta soit : ac42b − Etape 4) 1er cas : 0a ≠

* ac42b − >0 donc…

a2

ac42bbx

−±−=

* ac42b − =0 donc… x= -b/2a

* ac42b − <0 donc… 2ème cas : 0a = B) ETUDIER LE NOMBRE ET LE SIGNE …..

Schéma de résolution Lorsqu’il s’agira de déterminer le nombre et le signe d’ une équation du type ax2+bx+c =0

Ex) 1mx4mx2xmx 22 −−=+−− Il faudra toujours respecter une méthodologie précise soit : Etape 1) remettre l’équation sous la forme canonique ax2+bx+c =0 Etape 2) déterminer a= b= c=

Etape 3) Calculer le delta soit : ac4b2 − => faire le tableau Etape 4) Calculer P = c/a (calcul du produit) => faire le tableau Etape 5) Calculer S = -b/a (calcul de la somme) => faire le tableau Etape 6) Faire la grille complète m ∆ P S résultat


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Rappel : C) DETERMINER « m » afin que l’équation admette ….

Schéma de résolution Etape 1) remettre l’équation sous la forme canonique ax2+bx+c =0 Etape 2) déterminer a= b= c=

Etape 3) Calculer le delta soit : ac42b − => faire le tableau Etape 4) Calculer P = c/a (calcul du produit) => faire le tableau Etape 5) Calculer S = -b/a (calcul de la somme) => faire le tableau Etape 6) Faire une « ligne » de résolution pour chaque question

5) EQUATIONS REDUCTIBLES AU 2Eme DEGRE

5.1 EQUATIONS RECIPROQUES DU 4Eme degré (5 termes)

Ex :Forme : ax4+bx3+cx2+bx+a=0 3 étapes principales : 1) réduire par x2

2) utiliser une inconnue auxiliaire x1

xy += mais !!!! car 2x

12x22y +=−

3) utiliser a2

ac42bbx

−±−= pour la résolution

5.2 EQUATIONS RECIPROQUES DU 4Eme degré (4 termes)

Ex :Forme : ax4+bx3-bx-a=0 3 étapes principales : 1) Regrouper 2) Simplifier 3) Déterminer les valeurs de x

5.3 EQUATIONS RECIPROQUES DU 3Eme degré

Ex :Forme : ax3+bx2-bx-a=0 3 étapes principales : 1) Regrouper 2) Simplifier 3) Déterminer les valeurs de x

1. Le signe de delta (b2-4ac) donne le nombre de racines

racinede pas- 0 si

double)(racineracine 1 - 0 siracines 2 - 0 si

><∆>=∆>>∆

2. Le signe du Produit (P) donne le signe des racines si P>0 -> 2 racines de même signe si P=0 -> au moins une racine = 0 si P<0 -> 2 racines de signes différents

3. Les signes du Produit (P) et de la Somme (S) déterminent

le signe des racines si P>0 et S >0 -> 2 racines positives si P<0 et S <0 -> 1 racine + et une racine – si P=0 et S >0 -> 1 racine nulle et 1 racine + si P>0 et S <0 -> 2 racines négatives


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5.4 EQUATIONS BICARREES

Ex :Forme : ax4+bx2+c=0 3 étapes principales :

1) utiliser une inconnue auxiliaire 2xy =

2) appliquer a2

ac42bbx

−±−= pour la résolution

Ne pas oublier de substituer y

6) SYSTEME D’EQUATIONS D’UN DEGRE > 1

Ex : 12yx

742y2x=+

=+

Résolution :

Etape 1 : Substitution I (une inconnue dans une équation des deux équations)

Etape 2 : Utiliser la formule a2

ac42bbx

−±−=

Etape 3 : Substitution II (reconstitution)

7 ) ETUDE DE FONCTIONS ET OPTIMISATIONS

a) Détermination de la forme ( IU ou ) de la parabole La forme de la parabole dépendra du signe du coefficient a

- si le coefficient est positif (+), la forme sera un U

- si le coefficient est négatif (-), la forme sera un I b) Détermination du nombre de « croisements » sur l’axe des abscisses Le nombre de « croisements » dépend du nombre de racines x. Ce nombre va donc dépendre du delta. - si delta est positif (D>0), quelque soit la forme en IU ou , la parabole croisera en deux points l’axe des abscisses - si delta est nul (D=0), quelque soit la forme en IU ou , la parabole ne croisera pas mais touchera en 1 seul point l’axe des abscisses (cf. annexe 2) - si delta est négatif (D<0), quelque soit la forme en IU ou , la parabole ne croisera ni ne touchera l’axe des abscisses Lorsque la parabole croisera ou touchera l’axe des abscisses, il va de soit que le(s) couple(s) de points sera(seront) -> (x ;0) et/ou (-x ;0) c) Détermination de l’extremum (maximum ou minimum) Le point le plus haut (maximum) ou le plus bas (minimum) de la parabole est déterminé à l’aide de la dérivée de la fonction La technique pour obtenir la fonction dérivée de f(x) dite f’(x) consiste à « descendre » de 1 les puissances de la fonction f(x).


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8) EQUATIONS IRRATIONNELLES

Une équation (ou inéquation) est irrationnelle si l’inconnue figure sous une racine. L’ensemble des solutions de l’équations f(x)=g(x) est contenu dans l’ensemble des solutions de l’équation

)x(g)x(f 22 =

Forme d’une équation irrationnelle p.ex : x225x3 2 =+ Marche à suivre pour la résolution des équations irrationnelles :

A) Déterminer l’ensemble de définition de l’équation (ED) B) Elever au carré les deux membres de l’équation (après avoir effectué, si nécessaire, certaines

transformations) C) Si l’équation ainsi obtenue n’est pas rationnelle, procéder à une nouvelle élévation au carré (après avoir

opéré les transformations nécessaires) D) Résoudre l’équation rationnelle obtenue E) Vérifier si les solutions trouvées satisfont à l’équation proposée et, le cas échéant, exclure les solutions

étrangères de l’ensemble de définition !!! AUX SIGNES DES RACINES CARREES + OU - !!!

-> si une seule possibilité vérifie l’égalité, alors le tout est considéré comme VRAI


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3. PLAN DES COURS DE 3ème ANNEE Ch. 1 Logarithmes (décimaux) Définition Propriétés (4 principales) Equations logarithmiques Ch. 2 Exponentielles (équations) Définition Théorème Ch. 3 Analyses combinatoires (notions) Définition Permutations/arrangements Permutations/arrangements simples sans remise sans répétition Permutations/arrangements simples sans remise avec répétition Arrangements sans remise Combinaisons sans répétition Ch. 4 Limites Limites en l’infini Limite infinie Limite finie Pas de limite Limite en un point Notion de voisinage Limites des fonctions de référence Propriétés et formes des limites Limite d’une somme ou d’une différence Limite d’un produit Limite d’un quotient (x/x) (x/0) Limite d’une racine Forme indéterminée (mais pas à l’infini) (0/0) Forme indéterminée (à l’infini) Cas des polynômes Cas complexes Ch. 5 Notions de statistiques Définition Vocabulaire de base Classification des variables Classes / milieux/ fréquences et fréquences relatives Histogramme et Polygone des fréquences Mode / Mediane / Moyenne Variance / Ecart-type Brève interprétation de l’écart-type (intervalles) Ch. 6 Dérivées II Démonstration graphique de la notion de pente et croissance/ décroissance

� calcul de la pente Théorème 1 : dérivée d’une fonction constante est nulle Théorème 2 : la dérivation (effet sur la puissance) Théorème 3 : dérivation de x

Démonstration de la dérivée en un point (rappel de l’extremum) Démonstration de la notion de dérivée en un point et de limite en un point Tableau des dérivées Tableau des fonctions dérivées

Ch. 7 Intérêts composés Différence entre intérêts simples et composés Formules des intérêts composés Différentes capitalisations


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Ch. 8 Calculs de Rentes / Crédits / Leasing (Rente temporaire (limitée) immédiate à termes constants et entiers) Définitions (praenumérando, postnumérando, temporaires, perpetuelles, immédiates, différées, valeur initiale, valeur finale, termes entiers, termes fractionnés) Rente temporaire limitée immédiate à termes constants et entiers

3.1 THEORIE DES COURS DE 3EME ANNEE CHAPITRE 1 : LOGARITHMES 1.1 LES LOGARITHMES DECIMAUX 1.1.1 Définition On appelle logarithme décimal d’un nombre l’exposant x de la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir N Remarque :

Le logarithme « décimal » concerne la base 10, donc dans l’expression )a(log a (la base) est toujours égal à

10. Nous écrirons donc toujours log sans la référence à la base 10 Ex : x=log N �� 10x=N x est le log de N et N est l’antilog de x ------� ex : log 1000 = 3 car 103=1000 : 0.01=10 ? …. 10-2 car log 0.01=-2 : 0.00001=10 ? …. 10-5 car log 0.00001=-5 : 1000=10 ? …. 103 car log 1000=3 : 100000=10 ? …. 105 car log 100000=5 : 3 antilog = ? …. 1000 ce qui est égal à 103 :-2 antilog = ? …. 0.01 ce qui est égal à 10-2 TROUVER LE LOG D’UN NOMBRE REVIENT A CHERCHER A QUELLE PUISSANCE DOIT-ON ELEVER 10 POUR TROUVER CE NOMBRE Ex) 25 =>log 25 = 1.39794 car 10 1.39794 =25 TROUVER L’ANTILOG D’UN NOMBRE REVIENT à CHERCHER QUELLE EST LE RESULTAT DE 10 A LA PUISSANCE DE CE NOMBRE Ex) 3 =>antilog 3 = 1000 car 10 3 = 1000 Remarques :

1) Seuls les nombres N positifs ont un log, en effet 10x est positif quelque soit x 2) Si N > 1 on a log N > 0 ex : log 1.2 = 0.07918 Si N < 1 on la log N < 0 ex : log 0.4 = -0.39794 3) log 10 =1 en effet 101=10 4) log 1 =0 en effet 100=1

1.1.2 Propriétés des logarithmes Les logarithmes sont définis à l’aide des puissances. On doit s’attendre à ce qu’ils possèdent des propriétés analogues

1) le log d’un produit est égal à la somme des log des facteurs de ce produit - log (a.b.c)=log a + log b + log c

2) le log d’un quotient égale le log du dividende – log du diviseur

- B log- A logBA

log =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

3) le log d’une puissance égale le log de ce nombre multiplié par l’exposant de la puissance

- a) log( b)(a log b =

4) le log d’une racine d’un nombre égale le log de ce nombre divisé par l’indice de la racine


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- b

a log)alog( b =

1.1.3 Equations logarithmiques Une équation logarithmique est une équation dans laquelle la variable apparaît comme argument dans un logarithme. La résolution des équations logarithmiques est basée sur le théorème suivant :

log (x)=log(y) si x=y Remarque 1: Les logarithmes ne sont définis que pour des nombres strictement positifs. Le théorème n’est donc un principe d’équivalence que si les arguments sont strictement positifs ! Il faut par conséquent vérifier si les expressions logarithmiques sont définies pour les solutions de l’équation associée. Exemple : Log(x2-4x+3)=log(5-3x) (x2-4x+3)=(5-3x) x2-x-2=0 (x-2)(x+1)=0 donc x1= 2 x2=-1 Vérification => dans la donnée avec x=2 j’obtiens log(-1)=… impossible ! avec x= -1 j’obtiens log 8=log 8 S={-1} Remarque 2: Il faudra faire la différence lorsque l’on aura à compléter une équation qui a déjà des log et lorsque l’on aura a introduire les logarithmes dans une équation qui n’en n’a pas du tout Exemple : a) log x + log y = 1 : ici l’équation a déjà des log, il faut compléter par ….=log 10 en faisant l’antilog de 1 qui est 10

b) 1710 x = : ici l’équation n’a pas du tout de log, il faut introduire les log …xlog 10=log 17 Remarque 3: Il faudra faire TRES ATTENTION lorsque il y aura des racines dans les équations log. Il faudra les transformer avant d’y appliquer la règle des log. sinon les calculs seront très…très long. CHAPITRE 2 : EXPONENTIELLES …suite des logarithmes 2.1 LES EQUATIONS EXPONENTIELLES REMARQUE IMPORTANTE Ce chapitre est un complément de celui des logarithmes, un certain nombre d’exercices se résolvent aussi à l’aide des logarithmes 2.1.1 Définition Une équation exponentielle est une équation dans laquelle la variable apparaît en exposant 2.1.2 Théorème

Soit un nombre réel positif : yx yaxa =⇔= mais il faut que la « base » càd « a » soit

identique des deux côtés de l’égalité !


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CHAPITRE 3 : ANAYLSES COMBINATOIRES (notions) Définition Une expérience aléatoire est une expérience qui possède les deux propriétés :

a) on ne peut pas prédire avec certitude le résultat de l’expérience b) on peut énumérer, avant l’expérience, tous les résultats possibles

3.1 : Permutations 3.1.1 Permutations (OU arrangements ) simples SANS REMISES et sans répétitions « d’objets semblables » L’ordre est important, on ne remet pas en jeu après tirage ABC≠ BAC et il n’y a pas deux lettres A On appelle permutations simples, de n éléments de m (avec m=n), les diverses suites que l’on peut former en prenant chaque fois tous les éléments

Forme : nmP ou n! (n! se dit n factorielle). L'arrangement prend le nom de permutation.

Calcul : n != n.(n-1)…3.2.1 Exemple : 5 !=5.4.3.2.1 = 120 => faut utiliser la machine touche « n! » Exemple 1 : Soit 5 équipes de foot (A,B,C,D,E). Combien de classements différents peut-on obtenir ? (cf schéma 1 ci-dessous) Réponse : 5! =120 Observez : Qu’avec la lettre A (Equipe) une en première position, je peux obtenir 24 possibilités. Comme il y a 5 lettres (équipes), j’obtiens ainsi 24*5=120 possibilités

Exemple 2: Combien de mots peut-on former avec ne nom de la ville de SION ? Réponse : 4 !=24 => il n’y a pas deux lettres identiques Exemple 3 : de combien de façons 6 personnes peuvent-elles se placer sur un banc ? Ce nombre est celui des permutations : 6! = 720.


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3.1.2 Permutations (OU arrangements ) simples SANS REMISES mais AVEC répétitions « d’objets semblables » L’ordre est important mais on ne remet pas en jeu après tirage AABC=BAAC mais il y a deux (ou plusieurs) lettres semblables Les permutations simples sans remises et sans répétitions concernent les permutations possibles d’éléments TOUS DIFFERENTS –p.ex dans le nom SION, il n’y a pas deux lettres identiques- p.ex les 5 équipes ci-dessus sont toutes différentes. Par contre, lorsque l’on recherche l’on recherche combien de mots différents peut-on faire avec : ACCES-> la permutation entre les deux C ne forme pas deux mots différents Ainsi, si r objets dans un ensemble de n objets sont semblables et si les objets restants sont différents les uns des autres et différents des r objets, alors le nombre de permutations simples de n objets est

Forme : !

!

r

n et il y aura autant de fois de r que de groupe d’objets différents

Exemples : Combien de mots différents peut-on former avec le mot

a) ACCES !2

!5 -> 60

2

120 =

a) ACCESS !2!2

!6 -> 180

4

720 =

b) MISSISSIPPI !2!4!4

!11 -> 34650=

3.1.3 Arrangements SANS REMISES

Forme : )!(

!

nm

mAn

m −= l’ordre (l’arrangement) est important

On appelle arrangements simples de m éléments pris n à n les divers groupes que l’on peut former en prenant chaque fois n de ces éléments LES ELEMENTS SONT TOUS DISTINCTS Exemple : Dans une classe de 10 élèves de combien de façons peut-on choisir 3 élèves pour jouer respectivement les rôles d’Harpagon, Cléante et Valère dans L’Avare de Molière ? L’ordre est important ici car les 3 élèves qui sont choisis auront un unique rôle (une fois choisi, les 3 ont un rôle fixe)

720!7

!10

)!310(

!10 3

10 ==−

=A

Exemple : Supposons 17 chevaux au départ d'une course. La notion de tiercé dans l'ordre correspond à celle d'arrangement de ces 17 chevaux pris par 3. 2 tiercés joués diffèrent soit parce qu'ils ne contiennent pas les mêmes chevaux, soit parce qu'ils contiennent les mêmes chevaux, mais pas dans le même ordre [(chevaux A, B, C) et (chevaux C, A, B)]. Nombre de tiercés possibles dans l'ordre pour 17 chevaux :

4080!14

!17

)!317(

!17 3

17 ==−

=A Il y a 4080 tiercés dans l’ordre possible …


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3.1.4 Combinaisons simples SANS REPETITION

Forme : )!(!

!

nmn

mCn

m −= l’ordre N’EST PAS important

On appelle combinaisons simples de m éléments pris n à n les divers groupements que l’on peut former en prenant chaque fois n de ces éléments lorsque leur ordre n’a pas d’importance. LES ELEMENTS SONT TOUS DISTINCTS Exemple : Dans une classe de 10 élèves de combien de façons peut-on choisir 3 élèves pour s’occuper de la bibliothèque ?

120!7!3

!10

)!310(!3

!10 3

17 ==−

=C

Exemple : Soit 17 chevaux au départ d'une course. La notion de tiercé dans le désordre correspond à celle de la combinaison de 17 chevaux pris 3 à 3. 2 tiercés dans le désordre ne diffèrent que s'ils ne contiennent pas les mêmes chevaux : {A, B,C} et {B, A, C} représentent le même tiercé dans le désordre ou la même combinaison de 17 chevaux 3 par 3. Nombre de tiercés possibles dans le désordre pour 17 chevaux :

680!14!3

!17

)!317(!3

!17 3

17 ==−

=C

CHAPITRE 4 : LIMITES

CHAPITRE 4 : LIMITES 1. LIMITES EN L’INFINI

a) Limite infinie Par exemple, considérons la fonction f dont la courbe représentative est :

Lorsque x s'en va vers +∞, f(x) devient de plus en plus grand. il n'a aucun maximum. On dit alors que f(x) tend vers +∞. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞ est égale à +∞.

Ce que l'on résume par :

Définition : Dire que la limite de f en +∞ est +∞ signifie que f(x) devient de plus en plus grand dès que xest suffisamment grand.

b) Limite finie Considérons maintenant la fonction f dont la courbe représentative est :


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Lorsque x s'en va vers +∞, f(x) se rapproche de plus en plus de 2. On dit alors que f(x) tend vers 2. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞ est égale à 2.

Ce que l'on résume par :

Définition : Dire que la limite de f en +∞ est 1 signifie que f(x) reste dans un intervalle ] 1 − r ; 1 + r [ où rest un réel positif, dès que x est suffisamment grand

Note : Lorsque x tend vers +∞, la courbe de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite Dd'équation y = 2. On dit alors que D est une "asymptote" à la courbe de f au voisinage de +∞.

c) Sans limite !

Toutes les fonctions n'admettent pas nécessairement une limite lorsque x tend vers +∞. C'est par exemple le cas avec les fonctions sinus et cosinus :

Lorsque x s'en va vers +∞, sinus et cosinus hésitent quant à l'attitude à adopter. Oscillant à jamais, ils n'ont aucune limite finie ou infinie...

2. LIMITES EN UN POINT Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] 3 ; +∞[ dont la courbe représentative est :

Lorsque x se rapproche de 3, f(x) devient de plus en plus grand sans qu'aucun plafond ne l'arrête. On dit alors que f(x) tend vers +∞∞∞∞. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers 3 est égale à +∞∞∞∞. Ce que l'on résume par :

Définition : Dire que la limite de f en α est +∞ signifie que f(x) devient de plus en plus grand dès que x est suffisamment proche de a

Note : Lorsque x tend 3, la courbe de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d'équation x = 3. On dit alors que D est une asymptote horizontale à la courbe de f au voisinage de 3.

3


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Par la droite

Nous avons exclusivement évoqué des fonctions qui tendent vers +∞ à l'approche d'un point. Mais il existe aussi des fonctions qui ont pour limite -∞.

3. NOTION DE VOISINAGE (limite à gauche et limite à droite)

Dans ce qui suit, f désignera la fonction inverse. Ainsi pour tout x : f(x) = 1x

La fonction inverse f est définie sur l'intervalle ] -∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [. Autrement écrit, lorsqu'elle tend vers 0, elle peut le faire :

lorsque x se rapproche de 0 par la gauche ou par valeurs inférieures, f(x) tend vers -∞∞∞∞. On dit alors que la limite à gauche de f(x) en 0 est égale à -∞∞∞∞. Ce que l'on résume par :

lorsque x se rapproche de 0 par la droite ou par valeurs supérieures, f(x) tend vers +∞∞∞∞. On dit alors que la limite à droite de f(x) en 0 est égale à +∞∞∞∞. Ce que l'on résume par :

La fonction inverse n'admet pas de limite en 0 car elle a une limite à gauche de 0 qui vaut -∞∞∞∞ et une limite à droite de 0 qui vaut +∞∞∞∞.

4. LIMITES DES FONCTIONS DE REFERENCE

Fonction Ensemble de définition Limite en -∞ Limite en 0 Limite en +∞x ] –∞ ; +∞ [ – ∞ 0 +∞x2 ] –∞ ; +∞ [ + ∞ 0 +∞x3 ] –∞ ; +∞ [ – ∞ 0 +∞

x

1 ] –∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [ 0 0

x [ 0 ; +∞ [ 0 +∞sin(x) cos(x)

] –∞ ; +∞ [ N'existe pas 0 1

N'existe pas


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5. PROPRIETES ET FORMES DES LIMITES

Exemples :

1) xx

12>−

lim �2

112

=>− xx

lim

2) 5

132 +

−>− x

xxlim �

7

5

5

132

=+−

>− xx

xlim

3) 542

3−+

>−xx

xlim � = 1653432 =−+ *

Soit une fonction f dont la limite pour ax → est égale à 1b et une fonction g dont la limite pour ax →est égale à 2b . On démontre les théorèmes suivants :

5.1 Limite d’une somme ou d’une différence

( )( ) ( ) ( ) 21 bbxgxfxgfaxaxax

+=±=±→→→

limlimlim

Ainsi la limite d’une somme (différence) est égale à la somme(différence) des limites

5.2 Limite d’un produit

( )( ) ( ) ( ) 21 bbxgxfxgfaxaxax

*lim*lim*lim ==→→→

Ainsi la limite d’un produit est égale au produit des limites

5.3 Limite d’un quotient Pour autant que 02 ≠b

( )( )( ) 2

1

bb

xg

xfx

gf

ax

ax

ax==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

→

→→ lim

limlim

Exemple : la forme « commune » enx

x

1) 4

42

2

1 +−

>− x

xxlim =

5

3

41

41 −=+−

Ainsi si le dénominateur tend vers une limite non nulle, la limite du quotient est égale au quotient des limites

Par contre, si 02 =b alors une étude particulière est nécessaire dans chaque cas et faire attention…

Nous parlerons de la forme « commune » en0

x

Exemple 1 :

2

12 −>− xx

lim ∞==−>− 0

1

2

12 xx

lim


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� IL Y A UN « TROU » DANS LA FONCTION LORSQUE X=2, il faut donc examiner ce qui se passe avant et après X=2

=>− +2x (par la droite : prendre p.ex 2,1) =>++

donc +∞=−+>− 2

1

2 xxlim

=>− −2x (par la droite, prendre p.ex 1,9) =>−+

donc −∞=−−>− 2

1

2 xxlim

5.4 Limite d’une racine (cf. point 5.6 et 5.7 ci-dessous)

Si x=a appartient au domaine de définition de la racine, la limite de celle-ci s’obtient en prenant la racine de a

nn

axxx =

→lim

5.5 Forme indéterminée (pas à l’infini) de type 0

0

Si le numérateur et le dénominateur tendent tous deux simultanément vers 0, la limite doit être déterminée par un calcul particulier. Il va falloir transformer la donnée.Généralement, pour ramener l’indétermination dans le domaine rationnel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée de l’expression critique. Il faut essayer également de retrouver des identités remarquables.

Exemple :

12

12

3

1 +++

−>− xx

xxlim

0

0

12

12

3

1=

+++=

−>− xx

xxlim

=> FAUT TRANSFORMER

))(())((

lim11

11 2

1 +++−+=

−>− xxxxx

x

=> FAUT SIMPLIFIER

)()(

lim1

12

1 ++−=

−>− xxx

x

±∞==+

+−=−>− 0

1

1

12

1 )()(

limxxx

x

=> on « tombe » dans le cas classique avec b2=0 => faut regarder à droite et à gauche

±∞==+

+−=−>− 0

1

1

12

1 )()(

limxxx

x


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=−>− +1x (par la droite p.ex -0.9) =>++

donc

+∞=+

+−+−>− 1

12

1 xxx

xlim

=−>− −1x (par la gauche p.ex -1.1) => −+

donc

−∞=+

+−−−>− 1

12

1 xxx

xlim

5.6 Formes indéterminées (à l’infini) Si le numérateur et le dénominateur tendent tous deux simultanément vers l’infini, la limite doit être déterminée par un calcul particulier. Il va falloir transformer la donnée.Par principe, l’on met en évidence la plus haute puissance de x au numérateur et au dénominateur. Les exemples vont démontrer que l’on pourra ignorer tous les termes sauf celui de plus haut degré du numérateur et celui de plus haut degré du dénominateur. MAIS ( !!!) en cas de racines, il faudra commencer par éliminer la racine en multipliant par la forme conjuguée… IMPORTANT : à l’infini, quelque soit la forme, la méthode de résolution sera toujours la même…peut importe le type

Exemple :

25

32

xx

xx −

−∞>−

lim

� METTRE EN EVIDENCE LA PLUS HAUTE PUISSANCE DE X AU NUMERATEUR ET AU DENOMINATEUR ET SIMPLIFER

=)(

)(lim

15

32

2 −

−

∞>−

xx

xx

x

=> après simplification et à l’infini

022

15

32

=∞−

=−

=−

−

∞>− xx

x

xx )(

)(lim

Ne pas oublier de vérifier à + et à – l’infini…

022

lim =∞−

=−+∞>− xx

022

lim =∞+

=−−∞>− xx


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Exemple :

31 x

xx −∞>−lim

A) VERIFIER SI IMPOSSIBILITE …Ici la limite ne pourra être calculée que vers + l’infini, sinon impossibilité au numérateur (racine)

B) ELIMINER la racine (binôme conjugué)

=xx

xxx *)1(

*lim

3−+∞>−=

xx

xx *)1(lim

3−+∞>−=

xxx

xx 3lim

−+∞>−

C) METTRE EN EVIDENCE LA PLUS HAUTE PUISSANCE DE X AU NUMERATEUR ET AU DENOMINATEUR puis SIMPLIFER

=

)(

lim

33 x

x

xx

xx

−+∞>−

on regarde ….. et on simplifie par x

=

)(

1lim

32 x

x

xx

x

−+∞>−

� on refait un essai à la limite pour éliminer ce qui tend vers zéro

=

)(

1lim

32 x

x

xx

x

−+∞>−

=2

1lim

( )x x x−>∞ −=

1

( )∞ −∞=

1

−∞ =0

Réponse :

30

1lim

x

x

x−>+∞=

− ou aussi 0lim ( )

xf x

−>+∞=

RAPPELS :

1) le -∞ ne peut pas être pris en considération car hors du DD de la racine carrée

2) ∞−1

= ∞1

= 0

5.7 Cas des polynômes

Exemple :

)(lim 625 2 +−−∞>−

xxx

625 2 +−=−∞>−

xxx

lim (indéterminé)

=> METTRE EN EVIDENCE LE PLUS HAUT DEGRE DE X


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)(lim2

2 625

xxx

x+−=

−∞>−

=> après simplification et à l’infini 25x

x −∞>−= lim

� pas de problèmes de signes (carré)

+∞==−∞>−

25xx

lim

Exemple :

)(lim 32652 22 −+−+−∞>−

xxxxx La limite devra être calculée à +/- infini ici car pas d’impossibilités (carrés sous les racines) => FAUT TRANSFORMER EN MULTIPLIANT PAR LA FORME CONJUGEE (identité remarquable…)

)(

))((lim

32652

326523265222

2222

−+++−

−+++−−+−+−=∞>− xxxx

xxxxxxxxx

32652

3265222

22

−+++−

−+−+−=∞>− xxxx

xxxxx

)(lim

32652

9722

2

−+++−

+−=∞>− xxxx

xxxlim

=> QUI DEVIENT à L’INFINI

32652

9722

2

−+++−

+−=∞>− xxxx

xxxlim

=> METTRE EN EVIDENCE LA PLUS HAUTE PUISSANCE DE X AU NUMERATEUR ET AU DENOMINATEUR ET SIMPLIFER

)(

)(lim

222

22

321

652

971

xxxxx

xxx

x−+++−

+−=

∞>−

=> simplification

( )12

2

+=

∞>− x

xxlim

=> je ne peux pas simplifier car je risque de perdre un signe (le moins) qui est un des résultats possible de la racine. ON LAISSE LE NOMBRE SANS SON SIGNE. Certains considèrent uniquement le signe + . Nous convenons que dans un tel cas, nous allons prendre le résultat de la valeur absolue de X dans le sens du signe de l’infini

( ) +∞=++=

+=

+∞>− 12lim

2

x

xx

et ( ) +∞=++=

+=

−∞>− 12

2

x

xxlim

nous considérons ici que le résultat nous considérons ici que le résultat de |x| = +x de |x| = -x


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Exemple :

12lim

22 +−−∞>− xxx

xx

La limite devra être calculée à +/- infini ici car pas d’impossibilités (carrés sous les racines)

=> FAUT TRANSFORMER EN MULTIPLIANT PAR LA FORME CONJUGEE (identité remarquable…)

))((

)(lim

1212

122222

22

++−+−−

++−=∞>− xxxxxx

xxxxx

)(

)(lim

12

1222

22

+−−++−=

∞>− xxx

xxxxx 12

12 22

−−++−=

∞>− xxxxx

x

)(lim

=> METTRE EN EVIDENCE LA PLUS HAUTE PUISSANCE DE X AU NUMERATEUR ET AU DENOMINATEUR ET SIMPLIFER à L’INFINI

)(

)(lim

xx

xxxxx 1

2

12 22

−−

++−=∞>−

x

xxxx 1

2

12 22

−−

++−=∞>−

lim

x

xxxx 1

2

12 22

−−

++−=∞>−

lim

Réponses :

−∞=−

∞+=−

+∞++∞=−

++−=+∞>− 22

)()(

2

12lim

22 xxxx

−∞=−

∞+=−

+∞++∞=−

++−=−∞>− 22

)()(

2

12lim

22 xxxx

6. CAS COMPLEXES

12

12222

22

+−−

−+−∞>− xxx

xxxxlim

La limite devra être calculée à +/- infini ici car pas d’impossibilités (carrés sous les racines)

=> FAUT TRANSFORMER EN MULTIPLIANT PAR LA FORME CONJUGEE (identité remarquable…)

))()((

))()((lim

1221212

12122122

222222

222222

−++++−+−−

++−−++−+−=

∞>− xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

x


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)]([

)]([lim

12212

121222222

2222

−++−−−

++−+−−=∞>− xxxxxx

xxxxxxx

)]([

)]([lim

12212

121222

222

−++−−

++−+−=∞>− xxxx

xxxxxx

=> QUI DEVIENT à L’INFINI 2 2 2

2 2

2 1 2 1

2 1 2 2 1

[ ]( )lim

[ ]( )x

x x x x x

x x x x−>∞

− + − + +=− − + + −

=> METTRE EN EVIDENCE LA PLUS HAUTE PUISSANCE DE X AU NUMERATEUR ET AU DENOMINATEUR ET SIMPLIFER

)()(

)()(lim

22

22

2

1212

12

11

21

121

xxx

xx

xxx

xxx

x−++−−

++−+−=

∞>−

=> SIMPLIFICATION

))((

))((lim

2

2

1212

12

11

21

121

xxx

xxxxx

x−++−−

++−+−=

∞>−


))((

))((lim

122

111

+−+=

∞>−

xx ))((

)(lim

122

11

+−+=

∞>−

xx


2−=

∞>−

xxlim

le reste devient négligeable à l’infini

=> QUI DEVIENT

2−=

∞>−

xxlim = ±∞= soit

−∞=−+=

−=

+∞>− 2

xxlim et +∞=

−−=

−=

−∞>− 2

xxlim

nb) il n’y a pas d’impossibilités d’aller vers -∞ car au départ il y a des 2x sous les racines

Dépendra du signe de x


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CHAPITRE 5 : STATISTIQUES Définition La statistique est la science qui traite des principes et des méthodes servant à recueillir, à classer, à organiser, à synthétiser et à présenter des données numériques, puis, avec le concours du calcul des probabilités, à analyser, à interpréter, à tirer des conclusions et à prendre des décisions à partir de ces données numériques. Vocabulaire statistique de base Une population est un ensemble sur lequel porte une étude statistique. Une population peut être

formée de personnes, d’animaux, d’objets, de faits, etc… Les individus les éléments d’une population sont les individus. Variables statistiques sont un attribut, une caractéristique que possède ses individus. On note une

variable statistique par X, Y, …(majuscule) Les modalités sont les différentes valeurs que peut prendre une variable statistique. On note les

modalités d’une variable par la même lettre (minuscule) avec un indice xi, yi (i= 1,2,3…autant de modalités que nécessaire)

Ex) Population : ensemble des étudiants de l’ESCM Monthey Individu : tout étudiant inscrit à l’ESCM Monthey Variables statistiques : X sexe Y âge au 1er septembre U taille en cm V poids en kg Modalités statistique de X : donc x1 et x2 sont p.ex {Masculin ; Féminin} de Y : {15 ;16 ;17 ;18 ;19 ;20} de U : [140 ;210] de V : [ 40 ;120] Classification des variables statistiques On classifie les variables statistiques (VS) d’après le TYPE DE MODALITES.

a) si les modalités d’une VS sont des nombres --------� la VS est dite QUANTITATIVE b) si les modalités d’une VS ne sont pas des nombres-� la VS est dite QUALITATIVE

ETUDE DE VARIABLES STATISTIQUES QUANTITATIVES 5.1) CLASSES / MILIEUX/ FREQUENCES ET FREQUENCES RELATIVES Une variable statistique est : CONTINUE Si l’ensemble des modalités est un intervalle de nombres réels. P.Ex, la

température du corps humain est une VS continue puisque, à priori, la température peut prendre n’importe qu’elle valeur entre [30 ;44]

DISCRETE Si l’ensemble des modalités est un ensemble fini ou dénombrable. Ex, le nombre de buts marqués par une équipe de foot à chacun des matchs de la saison est une VS discrète puisque ces valeurs sont des nombres entiers

En pratique, cette différence n’est pas évidente. Dans presque tous les cas, il faudra, quelque soit le type de variable, SYNTHETISER l’information fournie par les données brutes et les REGROUPER PAR CLASSES. Pour imager cette méthode de regroupement en classes représentons un ensemble de données par des points au-dessus d’un axe.


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Le choix des bornes des classes doit si possible satisfaire les critères suivants :

Remarque : Il peut être difficile ou même impossible de respecter tous ces critères à la fois. Selon les situations il faudra faire un choix. Le bon sens et l’expérience seront les meilleurs guides. Lorsque le regroupement en classes est complété, commence l’analyse avec la détermination du/des : - MILIEUX - FREQUENCES - FREQUENCES RELATIVES


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EXEMPLE COMPLET 1 Le club d’athlétisme FIT a noté la taille n en centimètres de tous ses membres. Voici les données brutes que l’on a rangées dans un ordre ascendant :

142.4 162.1 172.1 178.3 181.2 188.5148.7 163.4 172.3 178.5 181.4 189.1151.5 165.1 172.7 179 182.1 190.3153.6 165.2 173.4 179.2 183.5 191.4156.1 166.3 175.2 179.6 184.2 192.5158.2 167.1 175.3 179.8 186.1 193.3159.8 170.3 176.1 180.2 187.2 196.2160.5 171.1 177.2 180.4 188.3 197.1161.3 171.2 177.4 180.9 188.4 205.2

Population : l’ensemble des membres du club d’athlétisme FIT Variable statistique : taille des membres de ce club (mesurée en centimètres) Type : variable statistique continue Taille la plus petite de la population : 142.4 Taille la plus grande de la population : 205.2

Choix ob : 140

Choix kb : 210

Nombre de classes : 7 p.ex ( 210-140=70 donc 7 classes de 10) Largeur de chaque classe : 10

Classes MILIEUX EFFECTIFS FREQUENCES ou fréquences RELATIVES

[140;150[ 145 2 0.0370[150;160[ 155 5 0.0926[160;170[ 165 8 0.1481[170;180[ 175 18 0.3333[180;190[ 185 14 0.2593[190;200[ 195 6 0.1111[200;210[ 205 1 0.0185

Totaux 54 1.0000

mi ni fixi

Pour représenter graphiquement une distribution de fréquences lorsque les données ont été regroupées en classes, on utilise deux types de graphiques :

Milieux : Représente le milieu de la classe. Sert à la construction des graphes (cf. ci-après)

Fréquences : (absolues) Pour chaque modalité ou pour chaque classe, on calcule le nombre d’individus appartenant à cette modalité ou à cette classe. La somme des fréquences absolues est toujours égale au nombre d’individus

Nnk

1ii =∑

=


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- l’histogramme

est un diagramme en colonnes où les rectangles sont juxtaposés. En effet le4s modalités sont ici remplacées par des classes et ces classes sont formées d’intervalles successifs de sorte qu’il n’y a plus lieu de séparer ces rectangles. Chaque rectangle représente l’ensemble des données comprises dans la classe définie par l’intervalle à la base. Comme ces rectangles ont tous des bases égales et que les hauteurs dépendent de la fréquence, on en conclut que l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à la fréquence de la classe correspondante.

Taille des membres du club d’athlétisme FIT

- le polygone des fréquences

est une ligne brisée obtenue en joignant les points milieux consécutifs des sommets des rectangles de l’histogramme. On débute et on termine le polygone des fréquences sur l’axe horizontal en imaginant une classe de fréquence nulle avant la première classe et une autre après la dernière classe et en considérant le point milieu de ces rectangles de hauteurs nulles.

Taille des membres du club d’athlétisme FIT

5.2) MODE / MEDIANE / MOYENNE Pour décrire un ensemble de données, on cherche à dégager des caractéristiques d’une distribution des fréquences. On définit des mesures indiquant où se situent le centre et par extension toute autre position. Ce sont les mesures de tendance centrale, les mesures de position, les mesures de dispersion et la mesure de dissymétrie. Au sujet de la tendance centrale, nous pouvons définir trois mesures : le mode, la médiane et la moyenne Nb) nous ne considérerons pas ici l’ajustement de classes qui pourrait être nécessaire


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5.2.1 : MODE )M( O

Définition : Il s’agit de la modalité ou de la classe modale qui a le plus grand effectif ou la plus grande fréquence. Par extension, la classe modale est la classe ayant la plus grande fréquence

Exemple : cf. ci-après Caractéristiques : - Il peut y avoir plus d’un mode dans une distribution -> distrib. bimodale ou plurimodale - ne tient pas compte de toutes les données et n’est pas influencé par les données extrêmes de la distribution - dans le cas de données groupées, il peut être grandement influencé par le choix des classes - n’est pas une mesure très stable, sa valeur varie beaucoup d’un échantillon à l’autre

choisi dans une même population

5.2.2 : MEDIANE )Md(

Définition :

La médiane est la valeur )x( i où l’on a 50 % des observations au dessous de cette valeur et 50% en dessous

de cette valeur. C’est la première modalité dont la fréquence relative cumulée atteint ou dépasse donc 0.5. La classe médiane est la première classe où la fréquence relative cumulée atteint ou dépasse 0.5


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Exemple : cf. ci-après Caractéristiques : - elle provient d’une conception simple de la notion de centre - elle ne tient pas compte de toutes les données, mais uniquement de la position des données ; elle n’est donc pas influencée par les données extrêmes de la distribution - dans le cas de données groupées, elle est peu influencée par le choix des classes - elle remplace la moyenne lorsqu’il y a des classes ouvertes - elle est surtout utilisée lorsque la distribution de fréquences est fortement dissymétrique 5.2.3 : MOYENNE ( X ) Il existe plusieurs types de moyennes : moyenne arithmétique simple, pondérée, avec effectifs, géométrique, harmonique. Nous allons retenir ici la MOYENNE ARTHMETIQUE AVEC EFFECTIFS. Si les données sont CONDENSEES en classe, la moyenne de la distribution des fréquences de la variable statistique X est définie par :


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Si les données sont GROUPEES en classe, on calcule à l’aide du milieu de la classe comme si toutes les données étaient situées au centre de la classe qui les contient. La moyenne de la distribution des fréquences de la variable statistique est alors définie par :

� nous utiliserons principalement des données GROUPEES dans ce chapitre Caractéristiques : - elle est sans doute la mesure de tendance centrale la plus familière - elle tient compte de toutes les données ; elle est donc influencée par les données extrêmes de la

distribution - dans le cas de données groupées, elle est peu influencée par le choix des classes - ne peut pas être calculée s’il y a des classes ouvertes - sa valeur est stable, c’est-à-dire varie peu, d’un échantillon à l’autre, du fait qu’elle tient compte de

toutes les données Exemple : cf. ci-après AFIN DE FAIRE UN EXEMPLE DES TROIS MESURES CENTRALES, IL NOUS FAUT AVOIR AU DEPART UN TABLEAU COMPLET (avec plus d’éléments que le 1er ci-devant)

X=


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EXEMPLE : Voici le même tableau que celui initial avec l’ajout d’une nouvelle colonne :

Classes MILIEUX EFFECTIFS FREQUENCES FREQ. RELAT. ou fréquences RELATIVES CUMULEES

[140;150[ 145 2 0.0370 0.0370[150;160[ 155 5 0.0926 0.1296[160;170[ 165 8 0.1481 0.2778[170;180[ 175 18 0.3333 0.6111[180;190[ 185 14 0.2593 0.8704[190;200[ 195 6 0.1111 0.9815[200;210[ 205 1 0.0185 1.0000

Totaux 54 1.0000

mi ni Fixi fi

Mode et classe modale

a) classe modale = [170 ;180[ puisque cette classe à le plus grand effectif b) mode

10*)1418()818(

)818(170MO −+−

−+=

14.177M O =

Médiane et classe médiane

c) classe médiane = [170 ;180[ puisque c’est la première classe où la fréquence relative cumulée dépasse 0.5

d) médiane

10*3333.0

2778.05.0170Md

−+=

66.176Md = Moyenne

e) 54

1*2056*19514*18518*1758*1655*1552*145X

++++++=

175,X =

Remarque pour éviter ces calculs, il suffit d’ajouter une colonne au tableau iimn


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5.3) VARIANCE / ECART-TYPE Le point précédent a été consacré à l’étude d’une importante caractéristique d’une distribution de fréquence, la tendance centrale. Cette tendance centrale, que l’on mesure par le mode, la médiane ou la moyenne, indique autour de quelle valeur se situent les données étudiées. Cette mesure ne donne pas une description suffisamment précise de la distribution de fréquences. Par exemple : Si la moitié d’une classe obtient la note 10 à un test et l’autre moitié de la classe la note 2 ou si toute la classe obtient la note 6, la moyenne de la classe est la MEME et pourtant les DISTRIBUTIONS des notes sont très différentes. Pour exprimer cette différence, il faut définir des grandeurs pour mesurer la DISPERSION, l’étalement des données autour de la mesure de tendance centrale : les mesures de dispersion. Ces mesures permettent de juger de la représentativité des mesures de tendance centrale. Calculs : 1/ La variance est la moyenne des écarts (par rapport à la moyenne) au carrés

2)(1

)( xxnn

xV ii

i −= ∑ ET AVEC LE TABLEAU

2k

1iii

k

1ii

2i mfmf)x(V ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

==

2/ L’écart-type est la racine carrée de la variance ou encore, la moyenne quadratique des écarts (à la moyenne)

22/12/1

2 )()()(1

xVxVxxnn i

ii ==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= ∑σ

REMARQUE IMPORTANTE : Si les données sont groupées en classe, on calcule comme si toutes les données étaient situées au centre de la classe qui les contient. Exemple : Moyenne des salaires dans une entreprise est de 3000 euros, et l’écart type est de 500 euros, alors on dira qu’en moyenne les salariés gagnent entre 2500 et 3500 euros (ou encore 5003000 ± euros). Propriétés de l’écart type : MEILLEURE MESURE QUE LA VARIANCE • L’écart type s’exprime avec la même unité que la moyenne (ce n’est pas le cas de la variance V(x)

exprimées en unités ‘au carré’). • L'écart-type est aussi utile quand on compare la dispersion de deux ensembles de données séparés qui ont

approximativement la même moyenne. Un petit écart type renseigne sur une dispersion étroite autour de la moyenne.

• L'écart-type n'est jamais négatif. • L'écart-type est zéro si toutes les valeurs d'un ensemble de données sont les mêmes (parce que chaque

valeur est égale à la moyenne). Exemple : cf.ci-dessous AFIN DE FAIRE UN EXEMPLE COMPLET, IL NOUS FAUT AVOIR AU DEPART UN TABLEAU COMPLET


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EXEMPLE COMPLET avec données groupées en classes

Classes MILIEUX EFFECTIFS FREQUENCES FREQ. RELAT. ou fréquences RELATIVES CUMULEES

[140;150[ 145 2 0.037 0.037 5.370 778.704[150;160[ 155 5 0.093 0.130 14.352 2224.537[160;170[ 165 8 0.148 0.278 24.444 4033.333[170;180[ 175 18 0.333 0.611 58.333 10208.333[180;190[ 185 14 0.259 0.870 47.963 8873.148[190;200[ 195 6 0.111 0.981 21.667 4225.000[200;210[ 205 1 0.019 1.000 3.796 778.241

Totaux 54 1.0000 175.926 31121.296

mi ni Fixi fi

fimi fimi2

1) Classe modale et mode :

a)classe modale = [170 ;180[ puisque cette classe à le plus grand effectif

b)mode 10*)1418()818(

)818(170MO −+−

−+= => 14.177M O =

2) Médiane et classe médiane

c) classe médiane = [170 ;180[ puisque c’est la première classe où la fréquence relative cumulée dépasse 0.5

d) médiane 10*3333.0

2778.05.0170Md

−+= => 66.176Md =

3) Moyenne

e) 54

1*2056*19514*18518*1758*1655*1552*145X

++++++=

175,X = 4) Variance

2k

1iii

k

1ii

2i mfmf)x(V ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

===

2)926.175(296.31121 − = 171,338

5) Ecart-type

338.171= =13,08


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Formules à disposition : effectifs groupés en classes seulement Classes xi Effectifs ni Milieu mi Fréquences relatives fi Fréquences relatives cumulées Fi Calculs 1 fimi Calculs 2 fimi

2 Mode

oo m21

1mo L*bM

∆+∆∆

+=

Mediane

mdmd

1mdmd L*

f

F5.0bMd −−

+=

Moyenne

N

mnx ii

)(Σ= avec N : effectif total

Variance

2k

1iii

k

1ii

2i mfmf)x(V ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

==

Ecart-type

)x(V=σ

borne inférieure de la classe modale

Différence entre l’effectif de la classe modale et l’effectif de la classe précédente

Largeur de la classe modale

Différence entre l’effectif de la classe modale et l’effectif de la classe qui suit

borne inférieure de la classe médiane

Fréquence relative cumulée de la classe qui précède la classe médiane Largeur de la classe médiane

Fréquence relative de la classe médiane


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CHAPITRE 6 : DERIVEES II 1. Démonstration de la notion de pente et croissance / décroissance Lorsque le point B(4 ;0) de la sécante AB se rapproche du point A sur la tangente, la pente varie jusqu’au point où la sécante va se « fondre » dans la tangente. C’est cette pente que mesure la dérivée.


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Ainsi :

La dérivée est donc x

y

∆∆

=0

0 )()(

xx

xfxf

−−

= pente de la sécante = pente de la tangente

Le nombre dérivé de f en 0x est égal à x

y

xxou

x ∆∆

>−

>−∆

0

0lim

Théorème 1 : la dérivée d’une fonction constante est nulle Ex : f(x)=C p.ex f(x)= 4 signifie que qq soit la val de x -> le y sera toujours 4

La dérivée est donc x

y

∆∆

=0

0 )()(

xx

xfxf

−−

=x

CC

∆−

=x∆

0= 0

Théorème 2 : explication de la dérivation (effet sur la puissance)

Nous savons que : )()( 0xfxf − = y∆ et que 0xx − = x∆

or )()( 0 xxfxf ∆+= comme x

y

∆∆

=0

0 )()(

xx

xfxf

−−

alors x

xfxxf

∆−∆+ )()( 00

Si l’on veut démontrer que la dérivée de 2x =2x on pose le calcul suivant :

2)( xxf = (p.ex si x=2 alors f(x)=4 donc f(2)=4

d’après x

xfxxf

∆−∆+ )()( 00 alors =>

x

xxx

∆−∆+ 2

02

0 )()(=

x

xxxxx

∆−∆+∆+ 2

02

02

0)(])(2)[(

après simplification il reste x

xxx

∆∆+∆+ 2

0 )(2 puis

x

xxx

∆∆++∆ ]2[ 0 puis xx ∆++ 02

comme le nombre dérivé de f en 0x est égal à x

yx ∆

∆>−∆ 0

lim alors de xx ∆++ 02 ci-dessus

il restera 02x+ et nous pouvons confirmer que la dérivée de est bien 2x

Théorème 3 : Du théorème 2 nous pouvons aisément déduire que la dérivée de x ou 1x est 1 (ou 1 fois

le coefficient de x – ex : dérivée de 8x=8). En effet si xxf =)( alors d’après

x

xfxxf

∆−∆+ )()( 00 nous obtenons

x

xxx

∆−∆+ 1

01

0 )()(=

x

xxx

∆−∆+ 00 =

x

x

∆∆

= 1

)(xf y∆ y∆ )( 0xf

0x x∆ x


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2. Démonstration de la notion de dérivée en un point La dérivée d’une fonction f(x) en un point A -> soit f’(A) donne la pente de la tangente en ce point

Soit f(x)= 2082 +− xx donc

f’(x)= 82 −x

La dérivée de f(x) au point A= 5 (x=5) donne f’(5)=2


f’(x)= 82 −x

La dérivée de f(x) au point A= 6.5 (x=6.5) donne f’(6.5)=5


f’(x)= 82 −x

La dérivée de f(x) au point A= 4 (x=4) donne f’(4)=0

TRES IMPORTANT : Lorsque la dérivée (càd la pente de la tangente) = 0 (càd une pente nulle) nous atteignons un l’EXTREMUM…cf 2ème

année…


f’(x)= 82 −x

La dérivée de f(x) au point A= 1 (x=1) donne f’(1)= -6


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3. Démonstration de la notion de dérivée en un point et de limite en en point Si nous reprenons l’exemple ci-dessus, soit la fonction : f(x)= 2082 +− xx Lorsque nous calculons la dérivée f’(x) de cette fonction en x=6.5 cela revient à calculer la limite de la dérivée en ce point soit 82lim

5.6−

>−x

x

Ex 4. Tableau des dérivées Fonction Dérivée Commentaires 1 f(x) f’(x) 2 C 0 3 x 1 4 2x 2x

5 nx 1. −nxn 6

x

1 2

1

x−

x

1 = 1−x = 21 −− x donc 2

1

x−

7 x

x2

1 x = 2

1

x =1

2

1

2

1 −x = 2

1

2

1 −x =

2

1

1*

2

1

x

=x2

1

8 sin x cos x 9 cos x -sin x 10 tan x

xou

x

2

2

cos

1

tan1+

11 ln x

x

1

12 xalg

)ln.(

1

ax

13 xe xe 14 xa aa x ln.

Tableau des fonctions dérivées Fonction Dérivée Commentaires15 U+V U’+V’ 16 U.V U’V+U.V’ 17 U.V.W U’.V.W+U.V’.W+U.V.W’ 18

V

U 2

'.'.

V

VUVU −

5. Dérivées de fonctions composées : !!! il faut aussi dériver la « fonction intérieure »

DERIVEE Calculer la dérivée f’(6.5) de f(x)= 2082 +− xxf’(x)= 2x-8 f’(6.5)= 2(6.5)-8= 5

LIMITES 82lim

5.6−

>−x

x

=> 2*(6.5)-8 = 5


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CHAPITRE 7 : INTERETS COMPOSES On ajoute périodiquement sur un compte épargne les intérêts échus au capital. On obtient ainsi un nouveau capital pour le calcul des intérêts lors de la prochaine période. On parle donc de capitalisation des intérêts. On dit aussi que les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque période (une période n’est pas nécessairement toujours une année). Les intérêts s’ajoutent donc à chaque début de nouvelle période au capital de la période passée. Cette méthode de calcul est dite des intérêts composés. Il s’agit de la méthode de calcul la plus utilisée et utilisée dans les remboursements de prêts, les placements, les assurances. 7.1 Différence entre intérêts simples et intérêts composés Ex. Une somme de CHF 100'000.- est placée dans un compte épargne au taux annuel de 2%. Les intérêts

sont capitalisés à la fin de chaque année. Calculons le capital disponible à la fin des 5 prochaines années dans les deux cas (intérêts simples et composés) 7.2 La formule des intérêts composés

n

0n )i1(CC +=

nC : Capital final. Il s’agit du montant qui aura été capitalisé à un certain taux

pendant une certaine durée

0C : Capital initial. Il s’agit du montant investi en début de période. Le capital

initial est déduit de la formule principale ci-dessus, soit

nn

0)i1(

CC

+=

)i1( et i + : i => taux d’intérêt exprimé en t/100 ex) 5 % -> i=0.05

1+i => facteur de capitalisation. Important : on exprime ce facteur par la lettre « r » soit r=1+i Le facteur de capitalisation r est déduit de la formule générale, soit

n

0

n

CC

r =

n : durée du placement. Il peut correspondre à l’année, au semestre, au trimestre, au mois, au jour. Il se déduit de la formule générale, soit

)i1 log(

C

C log

n 0

n

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

Exemples : a) Un capital de CHF 6'000.- est placé à intérêts composés au taux annuel de 3%. Quelle sera la valeur de

ce capital dans 3 ans ? b) Quelle somme doit-on placer dans un compte au taux annuel de 3 %, capitalisation des intérêts trimestrielle, si on veut disposer d’une somme de CHF 10'000.- dans 7 ans ? => le calcul de la valeur actuelle d’un capital à partir d’une valeur future est une

actualisation. Dans ce cas, le facteur (1+i) ou r est le facteur d’actualisation.

c) A quel taux faut-il placer CHF 3'000.-, intérêts capitalisés semestriellement , si la valeur acquise en 4 ans est de CHF 4'266.30 ? d) Combien de temps faut-il placer un capital de CHF 10'000.- au taux de 5%, intérêts capitalisés annuellement, pour obtenir CHF 22'920.20 ?


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CHAPITRE 8 : RENTES +(CREDITS et LEASING) (ATTENTION AUX SIGNES ….A COMPLETER MANUELLEMENT) 8.1 Définitions L’effet de l’intérêt composé sur un capital unique a été examiné dans le chapitre précédent. Nous allons étudier dans ce chapitre le cas d’une succession de capitaux (rentes) Par définition, une rente est une suite de montants qui se succèdent à des intervalles de temps. Ces montants sont appelés les termes de la rente. Entre chaque terme de la rente il y a un intervalle de temps. On distingue principalement deux types de rentes :

a) rente praenumérando Les termes sont échus au début de l’intervalle de temps. Le paiement du terme a lieu au début de la période. On s’en sert p.ex. pour constituer un capital, cumuler des fonds pour la retraite ou payer une assurance-vie

b) rente postnumérando Les termes sont échus à la fin de l’intervalle de temps. Le paiement du terme a lieu à la fin de la période. On s’en sert p.ex. pour rembourser une dette

La rente est dite aussi: a) temporaire si le nombre des termes est limité b) perpétuelle si le nombre des termes est illimité

La rente est dite également : a) immédiate lorsque la durée de la rente se confond avec sa durée de payement b) différée lorsque l’on envisage une durée de rente dans laquelle la durée de payement est précédée

d’une autre durée, sans payements de termes. Nous faisons aussi la distinction entre a) valeur initiale : si l’époque à laquelle on calcule la valeur actuelle de la rente est située au début de

la durée b) valeur finale : si l’époque à laquelle on calcule la valeur actuelle de la rente est située à la fin de la

durée

Distinction entre les termes : a) termes entiers : quand l’intervalle de temps qui sépare les échéances de deux termes consécutifs

est égal à la période du taux d’intérêt utilisé pour calculer la valeur actuelle de la rente, les termes sont dits entiers

b) termes fractionnés : quand l’intervalle de temps est une fraction de période, les termes sont dits fractionnés

8.2 Rente temporaire (limitée) immédiate à termes constants et entiers

Lorsque la rente comprend n termes entiers, tous égaux à 1, les valeurs actuelles sont désignées par les notations suivantes : Rente payable : Valeur initiale Valeur finale POSTNUMERANDO an sn PRAENUMERANDO än sn !!!! à compléter

L’angle précise que le nombre qu’il encadre est une durée de payement. Ainsi, par exemple, pour une rente de 8 termes entiers égaux chacun à CHF 1000.-, le premier étant payable une période après l’époque de calcul, la valeur actuelle est désignée par 1000 a8 8.2.1 Valeur actuelles de la rente payable postnumérando a) Valeur initiale

On obtient la valeur initiale de la rente en escomptant les termes à intérêt composé i


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iv1an

n−= où v=

i 11+

où =r1

b) Valeur finale

On obtient la valeur initiale de la rente en capitalisant les termes à intérêt composé i

i1 rS

n

n−= où r=1+i

8.2.2 Valeur actuelles de la rente payable praenumérando c) Valeur initiale

dv1 än

n−= où d=

i1i+

où =ri

d) Valeur finale

d1 r s

n

n−= où d=

i1i+

où =ri

8.3. Relations entre valeurs actuelles Le schéma suivant montre que la même rente peut être considérée comme payable postnumérando ou praenumérando selon le moment auquel on fixe l’époque de calcul Valeur initiale d’une rente payable POSTNUMERANDO

� valeur de tous les termes 1 an avant le 1er versement 1 1 1 1

iv1an

n−= où v =

i 11+

où =r 1

Epoque de calcul


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Valeur finale d’une rente payable POSTNUMERANDO

� valeur de tous les termes au moment du dernier versement 1 1 1 1

i1 rS

n

n−= où r=1+i

Valeur initiale d’une rente payable PRAENUMERANDO � valeur de tous les termes au moment du 1er versement 1 1 1 1

dv1 än

n−= où d=

i1i+

où =ri

Valeur finale d’une rente payable PRAENUMERANDO � valeur de tous les termes 1 an après le dernier versement 1 1 1 1

d1 r s

n

n−= où d=

i1i+

où =ri

8.4. Utilisation des tables Les valeurs numériques des fonctions ci-dessus sont indispensables pour les calculs de mathématiques financières. Les valeurs données par les tables (cf.annexes) correspondent à nä et ns

ainsi, les valeurs na et ns s’obtiennent au moyen des relations suivantes : 1aa 1nn −= + et

1ss 1nn += −

Epoque de calcul

Epoque de calcul

Epoque de calcul


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4. Chapitres complémentaires 3ème année MPC/ESC CHAPITRE A : PROGRESSIONS-SUITES Avec exercices corrigés CHAPITRE B : VECTEURS (intro)+produit scalaire et norme Avec exercices corrigés CHAPITRE C : PROGRAMMATION LINEAIRE (NOTIONS) Avec exercices corrigés Nb) il va de soi que des exercices supplémentaires peuvent se trouver très facilement sur le net


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4.1 CHAPITRE A : PROGRESSIONS-SUITES PROGRESSIONS ARITHMETIQUES 1.1 Définition Une progression arithmétique est une suite de nombres tels que chacun d’eux est égal au précédent plus un nombre constant, différent de zéro, appelé raison de la progression. ex : 90,92,94,96,98,100,…, : raison = 2 On note le premier terme d’une progression arithmétique (PA) -> a1 et la raison r On indique le rang d’un terme dans une PA par un indice et on désigne le nème terme par -> an . Une progression arithmétique s’écrit alors : a1, a2=a1+r, a3=a2+r, a4=a3+r,….., an=an-1+r ou encore a1, a2=a1+r, a3=a1+2r, a4=a1+3r,….., an=a1+(n-1)r an=a1+(n-1)r 1.2 Somme des termes d’une PA : On désire calculer la somme des termes d’une progression arithmétique sans avoir à écrire tous les termes pour les additionner. On peut trouver une formule générale permettant de faire cette opération très simplement. Notons S la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique:

Ecrivons cette somme deux fois en renversant l’ordre des termes et additionnons membre à membre ces deux égalités:

)aa(2n

S n1n += ou ]r)1n(a2[2n

S 1n −+=


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1.3 Autres propriétés d’une PA :

Remarque :

Les formules an=a1+(n-1)r et )aa(2n

S n1n += renferment 5 quantités, soit

an , a1 , n, r, Sn . On pourra calculer deux de ces cinq quantités, quand les trois autres seront donnés. 1.3 Moyenne arithmétique dans une PA : La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est définie par (a+b)/2. C’est la

moyenne de a et b. Soit � b,2

ba,a

+ . Les trois nombres forment une PA (limitée)

avec une raison r= ½ (b-a) Ce concept peut être généralisé de la manière suivante : Si c1,c2,..ck sont des nombres réels tels que : a, c1,c2 ,…, ck,b alors c1,c2 ,…, ck, sont les k moyens arithmétiques entre les nombres a et b Lorsque l’on introduit k moyens arithmétiques entre des nombres, la question est de déterminer la raison de la « nouvelle » PA Deux méthodes :

1) La raison de la PA cherchée s’obtient en divisant l’excès du second membre sur le premier par le nombre des moyens (m) à insérer augmenté d’une unité

2) Utiliser la formule de « base » an=a1+(n-1)r en redéfinissant les

données de la PA


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PROGRESSIONS GEOMETRIQUES 1.1 Définition Une progression géométrique (PG) est une suite de nombres tels que chacun d’eux est égal au précédent multiplié par un nombre constant, différent de +-1, appelé raison de la progression. Nous ne considérons que des progressions géométriques dont tous les termes sont positifs. Une PG est croissante quand sa raison est supérieure à l’unité ; elle est décroissante quand sa raison est inférieure à l’unité ex : 1,2,4,8,16, …. 1,0.5,0.25,0.125,… On note le premier terme d’une progression géométrique (PG) -> a1 et la raison r On indique le rang d’un terme dans une PG par un indice et on désigne le nème terme par -> an . Une PG s’écrit alors : a1, a2=a1r, a3=a2r, a4=a3r,….., an=an-1r ou encore a1, a2=a1r, a3=a1r

2, a4=a1r3,….., an=a1r

n-1 an=a1r

n-1 1.2 Somme des termes d’une PG : On désire calculer la somme des termes d’une PG sans avoir à écrire tous les termes pour les additionner. On peut trouver une formule générale permettant de faire cette opération très simplement. Notons S la somme des n premiers termes d’une PG :

Multiplions les deux membres de cette égalité par r :

On soustrait membre à membre ces deux égalités

r

raS

n

n −−

=1

11

Si

intérêt.d' peu présente casCe grande. infiniment aussidevienttermesdessommela et grand infinimentdevientgénéraltermele:1r >

:formulela pardonnéeestElleinfinie. PG la de sommela S notéelimite, unevers tend termes des sommela et 0 verstend généraltermele:1r

∞

<

r1

aS 1

−=∞


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1.3 Autres propriétés d’une PG :

Exercices 1. Les 3 premiers termes d’une PA sont 8,19,30. Calculer le 29ème terme. 2. Les 3 premiers termes d’une PA sont 20,16.5,13. Calculer le 15ème terme. 3.

Trouvez le 15ème terme de la PG 128,64,32,16,8,….

4. Sachant que le 4ème terme d’une PA est 5 et que le 9ème est 20, calculer le 17ème 5. Trouvez le 20ème terme d’une PA sachant que le 1er est 3 et le 7ème est 12 6. Trouvez le 11ème terme de la PG et la somme des 11 premiers termes de la PG suivante :

3

16 ;

3

8− ;

3

4 ;

3

2− ….

7. Calculez la somme de tous les entiers pairs de 2 à 100 8. Dans une PA de 12 termes, la somme des termes est 336. La différence des extrêmes est 44. Quelle est

la progression ? 9. On sait que le 3ème terme et le 8ème terme d’une PA donnent pour somme 20, sachant aussi que le 5ème

terme et le 10ème terme donnent 28 pour somme, quels sont ces 4 termes ? 10. Une PG comporte 8 termes dont le 1er est 78'125 et le dernier 128. Trouver la raison et la somme 11. Quel prix va offrir aujourd’hui un garagiste à son client pour une voiture vendue il y a 7 ans CHF

52'000.- sachant que la valeur du véhicule se déprécie de 15% par an ?

12. On sait que le 5ème terme et le 7ème terme d’une PA donnent pour somme -46, sachant aussi que le 17ème terme et le 19ème terme donnent -166 pour somme, quels sont ces 4 termes ?

13. La somme de 3 nombres en PA est 54, leur produit est 4374. Quels sont ces trois nombres ? 14. La raison d’une PA de 4 termes est 4, le produit des 4 termes est 6144, Quelle est la progression ? 15. Un employé à reçu en 1995, CHF 35'000.- de salaire de base. De 1996 à 2001, il a reçu en moyenne 3

% d’augmentation par année. Dès 2002, l’augmentation annuelle est de 1,5 %.

a) quel salaire aura-t-il en 2004 ? b) au total, combien aura-t-il reçu en salaires de 1995 à 2005 ?

16. Une balle a une élasticité telle que , lorsqu’elle tombe sur le sol d’une certaine hauteur, elle rebondit au

3/5 de cette hauteur. On lache cette balle d’une hauteur de 20 mètres. Quelle distance totale parcourra la balle avant de s’arrêter ?

17. En 1990, une usine a fabriqué 1000 moteurs. De 1991 à 1998, cette même usine a pu augmenter sa production de 50 moteurs par année. De 1999 à 2001, suite à une crise dans le secteur automobile, la production a diminué et n’a augmenté pendant cette période que de 25 moteurs par année.

a) combien de moteurs a fabriqué cette usine en 1997 ? b) quelle a été la production totale de moteurs entre 1990 et 1998 ? c) quelle a été la production totale de moteurs entre 1990

et 2001 ? Pour cette même usine, les coûts de production étaient de CHF 900'000.- en 1990. Ces coûts ont augmenté de 2 % par année jusqu’en 2001. d) quel était le coût de production en 2000 de cette usine ?

18. En 1998, une société a eu CHF 735'000 de charges d’exploitation. Sachant que ces charges augmentent de 7 % par année, fera-t-elle un bénéfice en 2004 si son chiffre d’affaires estimé à cette date (2004) sera de CHF 1'403'036 ? Si oui, combien ?


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19. En 1998 il y a eu 45 naissances dans un hôpital. Sachant que les naissances augmentent de 4 % par

année, combien y aura-t-il de naissances dans cet hôpital a) en 2003 ? b) 10 ans après ?

20. Sylvain joue chaque semaine à la loterie. Il a commencé par miser 4.- puis 2.- de plus chaque semaine. a) combien a-t-il misé la 25ème semaine ?

b) depuis le début et jusqu’à la 25ème semaine (comprise), Sylvain a gagné CHF 570.-. A-t-il gagné ou perdu de l’argent ? Combien ?


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Corrigés Exercice 1 : Les 3 premiers termes d’une PA sont 8,19,30. Calculer le 29ème terme.

rnaan )( 11 −+= et 1−−= nn aar

=1a 8

=2a 19

=3a 30

CALCUL DE LA RAISON r donc r= −2a =1a

19-8= 11 = r ou (30-19) aussi CALCUL DU 29Eme terme

alors ))(( 11129829 −+=a DONC 31629 =a

Exercice 2 : Les 3 premiers termes d’une PA sont 20,16.5,13. Calculer le 15ème terme.

rnaan )( 11 −+= et 1−−= nn aar

=1a 20

=2a 16.5

=3a 13

CALCUL DE LA RAISON r : donc r= −2a =1a

16.5 - 20= -3.5 = r ou (13-16.5) aussi CALCUL DU 15èME TERME :

alors ).)(( 531152015 −−+=a 2915 −=a

Exercice 3 : Trouvez le 15ème terme de la PG 128,64,32,16,8,…. Formule :

11

−= nn raa

=

1a 128 =

2a 64 =3a 32 …

2

1

128

64==r

=15a ?


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115

15 2

1128

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=a

14

2

1128 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

16384

112815 *=a

==16384

12815a

128

1

Exercice 4 : Sachant que le 4ème terme d’une PA est 5 et que le 9ème est 20, calculer le 17ème

=4a 5

=9a 20

=17a ?

rnaan )( 11 −+=

raa

raa

)(

)(

19

14

19

14

−+=

−+=

ra

ra

820

35

1

1

+=

+=

J’ai maintenant le choix, soit éliminer 1a soit éliminer r

=> p.ex j’élimine 1a

ra

ra

820

35

1

1

+=

+= )(*1−

ra

ra

820

35

1

1

+=

−−=−

r515 = r=3 donc dans p.ex

ra 351

+=

)(335 1 +=a

14 a=−

J’utilise la formule rnaan )( 11 −+= et donc

))(( 3117417 −+−=a

4417

=a

Exercice 5 : Trouvez le 20ème terme d’une PA sachant que le 1er est 3 et le 7ème est 12


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=1a 3

=7a 12

=20a ?

rnaan )( 11

−+=

ra )( 1737 −+= donc

r)( 17312 −+= et

2

3

6

9==r

))((2

3120320 −+=a

5.3120 =a

Exercice 6 :

Trouvez le 11ème terme de la PG et la somme des 11 premiers termes de la PG suivante : 3

16 ;

3

8− ;

3

4 ;

3

2− ….

=11a ? =11S ?

=1a 3

16 =2a

3

8− =3a

3

4 …

r=

3

163

8−

=16

3

3

8*− =

2

1

1

1*− =

2

1−

Formules :

11

−= nn raa

r

raS

n

n −−

=1

11

r1a

S 1

−=∞

1ère question : =11a ?

111

11 2

1

3

16 −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=a =10

2

1

3

16⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− =192

1

2ème question : somme r est ??? r <1 et PG illimitée :nous utilisons la 2ème formule de la somme

r1a

S 1

−=∞


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⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=

2

11

3

16

11S

2

33

16

= …… = 9

32

Exercice 7 : Calculer la somme de tous les entiers pairs de 2 à 100

=1a ?

= 2 =na 100

r =2

rnaan )( 11 −+= ])([ rnan

Sn 122 1

−+= )aa(2n

S n1n +=

Déterminons n :

rnaan )( 11 −+=

212100 )( −+= n

n=50 La somme

)( nn aan

S +=12

)( 10022

5050

+=S

…

255050 =S

Exercice 8 : Dans une PA de 12 termes, la somme des termes est 336. La différence des extrêmes est 44. Quelle est la progression ? n = 12

=12S 336

=− 112 aa 44

PA= ?

On sait ici que 441 +=aan

On sait que )( nn aan

S += 12

nb) j’utilise cette formule car je n’ai pas la raison r

Donc )( 442

12336

11++= aa


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)( 4422

12336 1 += a �� mise sous même dénominateur

)( 44212672 1 += a

…

61 =a

Donc si 44112 += aa et que 61 =a alors 50

12=a

Pour trouver la progression , il me faut trouver la raison (r)

rnaan )( 11 −+=

r)( 112650 −+=

4=r

PA={6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50}

Exercice 9 : On sait que le 3ème terme et le 8ème terme d’une PA donnent pour somme 20, sachant aussi que le 5ème terme et le 10ème terme donnent 28 pour somme, quels sont ces 4 termes ?

:termeème3 raa )( 1313 −+= s’écrit donc ra 21+ ainsi la donnée devient ->

ratermeème 23

1+:

20 ratermeème 78 1+:

ratermeème 45

1+:

28 ratermeème 910

1+:

ratermeème 23 1 +:

20 20921

=+ ra

ratermeème 78 1 +:

ratermeème 45 1 +:

28 281321

=+ ra

ratermeème 910 1 +:

2092 1 =+ ra (*-1) 2092 1 −=−− ra

28132 1 =+ ra 28132 1 =+ ra

84 =r

2=r dans 2092 1 =+ ra si r= 2


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20182 1 =+a

11=a

Ainsi les 4 termes sont :

2213

)(+=a =5

2415

)(+=a =9

2718

)(+=a =15

29110

)(+=a =19

Exercice 10 :

Une PG comporte 8 termes dont le 1er est 78'125 et le dernier 128. Trouver la raison et la somme 8S

N=8

=1a 78125

=8a 128

r= ? =8S ?

Formules :

11

−= nn raa

1

1

a

ar nn =−

r

raS

n

n −−

=1

11

r1a

S 1

−=∞

1ère question : r=?

11

−= nn raa

188 78125 −= ra *

1878125128 −= r* donc 7

78125

128r=

rou =7

7

78125

128

78125

128

r= 5

2

2ème question : somme r est <1 et PG limitée :nous utilisons la 1ère formule de la somme

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

5

21

5

21

78125

8

nS


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=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−

5

21

390625

2561

78125 = … =

…=130123 Exercice 11 : Quel prix va offrir aujourd’hui un garagiste à son client pour une voiture vendue il y a 7 ans CHF 52'000.- sachant que la valeur du véhicule se déprécie de 15% par an ?

1ère année 2ème année 3ème année 52000.00 44200.00 37570.00-7800.00 -6630.00 -5635.5044200.00 37570.00 31934.50

Etc…

=7

a ?

=1a 44200 =2a 37570 …

r=44200

37570=0.85

Formules :

11

−= nn raa

1

1

a

ar nn =−

r

raS

n

n −−

=1

11

r1a

S 1

−=∞

67 85044200 ).(=a

= 16'670.- Exercice 12 : On sait que le 5ème terme et le 7ème terme d’une PA donnent pour somme -46, sachant aussi que le 17ème terme et le 19ème terme donnent -166 pour somme, quels sont ces 4 termes ?

:termeème5 raa )( 1515

−+= s’écrit donc ra 41 + ainsi la donnée devient ->

ratermeème 45 1 +:

-46 ratermeème 67 1 +:


-166


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ratermeème 45 1 +:

-46 461021

−=+ ra

ratermeème 67 1 +:


-166 1663421

−=+ ra


46102 1 −=+ ra (*-1) 46102 1 =−− ra

166342 1 −=+ ra 166342 1 −=+ ra

12024 −=r

5−=r dans 46102 1 −=+ ra si r= -5

46502 1 −=−a

21 =a

Ainsi les 4 termes sont :

))(( 5425

−+=a =-18

))(( 5627

−+=a =-28

))(( 516217

−+=a =-78

))(( 518219

−+=a =-88

Exercice 13 : La somme de 3 nombres en PA est 54, leur produit est 4374. Quels sont ces trois nombres ? Rappel théorique : Chaque terme d’une PA est égal à la moyenne arithmétique des deux termes qui l’encadrent (cf. 1.3 théorie) Mathématiquement l’énoncé devient : X-r (r= raison) x X+r La somme de ces trois nombres est donc : X-r (r= raison) x X+r 3x=54 x=18 Le produit de ces trois nombres est donc :

))(( rxrxx +− et

comme x=18 et le produit = 4374


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4374181818 =+− ))(( rr

2431818 =+− ))(( rr

243324 2 =− r …

812 =r donc r=+9 et r=-9 PA = {9;18 ;27} ET {27 ;18 ;9}

Exercice 14 : La raison d’une PA de 4 termes est 4, le produit des 4 termes est 6144, Quelle est la progression ? La raison (r) entre x-r et x+r est bien de 4 MAIS si je calcule à partir de x ma raison n’est plus de 4 mais de 2 (car x = 3 ici) Si on généralise à 4 termes : rx 3− rx −

x r= 2 rx + rx 3+ rx 3− 2r rx −

x 2r et comme r= 2 alors entre chaque terme j’ai bien 4 rx + 2r rx 3+ Le produit de ces 4 termes s’écrit: (x-3r)(x-r)(x+r)(x+3r) ainsi comme r=2 alors

61446226 =++−− ))()()(( xxxx

on effectue pour trouver ce x :

6144436 22 =−− ))(( xx

….

0600040 24 =−− xx … on arrive à une bicarrée (!) ….


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a) 1002 =x et x=+10 x= -10

b) 602 −=x impossible Exercice 15 : Un employé à reçu en 1995, CHF 35'000.- de salaire de base. De 1996 à 2001, il a reçu en moyenne 3 % d’augmentation par année. Dès 2002, l’augmentation annuelle est de 1,5 %.

c) quel salaire aura-t-il en 2004 ? d) au total, combien aura-t-il reçu en salaires de 1995 à 2005 ? 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Question a)

=1a 35000

r=1.03

=10a ?

Formules :

11

−= nn raa

- salaire en 2001

( ) 177 03.135000a −= = 41'791.83

- salaire en 2002 41791.83*1.5%=626.87+41791.83=42418.70

- salaire en 2004

( ) 133 015.170.42418a −= =43’700.80

Question b)

r

raS

n

n −−

=1

11

- total de 1995 à 2001

03.11

)03.1(135000S

7

7 −−= = 268'186.17

- total de 2002 à 2005

I. SI X= -10

2310 .−− = -16 210 −− = -12

10− 210+− = -8

2310 .+− = -6

II. SI X= +10

2310 .− = 4 210 − = 8

10 210 + = 12

2310 .+ = 16


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015.11

)015.1(170.42418S

4

4 −−= = 173'530.80

TOTAL : 268'186.17+173'530.80 = 441'716.97 ou env. 441'717.-

Exercice 16 : Une balle a une élasticité telle que , lorsqu’elle tombe sur le sol d’une certaine hauteur, elle rebondit au 3/5 de cette hauteur. On lache cette balle d’une hauteur de 20 mètres. Quelle distance totale parcourra la balle avant de s’arrêter ? 20 12 20 12 12 7.2 7.2 4.32 etc… Nous avons donc deux séries distinctes : montantes et descendantes Total distance parcourue = total distances montantes + total distances descendantes Remarque : En théorie il s’agit de deux séries illimitées… car ½ de la ½ etc… (philosophie) Série descendante : 20, 12, 7.2, 4.32 …

r= 605

3

20

12.==

Somme : r<1 et PG illimitée

r1a

S 1

−=∞

5

31

20

−=∞S

=50 mètres

Série montante : 12, 7.2, 4.32 …

r= 605

3

12

27.

.==

Somme : r<1 et PG illimitée

r1a

S 1

−=∞

5

31

12

−=∞S

=30 mètres


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Total : 50+30= 80 mètres Exercice 17 : En 1990, une usine a fabriqué 1000 moteurs. De 1991 à 1998, cette même

usine a pu augmenter sa production de 50 moteurs par année. De 1999 à

2001, suite à une crise dans le secteur automobile, la production a diminué et n’a augmenté pendant cette

période que de 25 moteurs par année.

a) combien de moteurs a fabriqué cette usine en 1997 ?

b) quelle a été la production totale de moteurs entre 1990 et 1998 ?

c) quelle a été la production totale de moteurs entre 1990 et 2001 ?

Pour cette même usine, les coûts de production étaient de CHF 900'000.- en 1990. Ces

coûts ont augmenté de 2 % par année jusqu’en 2001.

d) quel était le coût de production en 2000 de cette usine ?

combien de moteurs a fabriqué cette usine en 1997 ?

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

=1a 1000

n= 8 r= 50 (jusqu’en 1998)

rnaan )( 11 −+=

501810008

)( −+=a

13508

=a

quelle a été la production totale de moteurs entre 1990 et 1998 ?

=1a 1000

n= 9 r= 50

])([ rnan

Sn 122 1

−+=

])(*[ 5019100022

99

−+=S

108009 =S

quelle a été la production totale de moteurs entre 1990 et 2001 Je suis obligé de procéder par étapes Production totale de 1990 à 1998 La production totale a été de 10800 moteurs (cf. point ci-dessus) 1999 Je dois connaître la production de cette année pour aller plus loin


Page 66 sur 92

1998 : 501910009

)( −+=a = 1400 moteurs

1999 : 1400+25= 1425 moteurs

� il faut procéder ainsi car en 1999, la raison passe de 50 à 25

a) Production totale de 1999 à 2001

=1a 1425

n= 3 r= 25

])([ rnan

Sn 122 1

−+=

])(*[ 2513140022

33 −+=S

42753

=S

Production totale de 1990 à 2001 : 10800+4275=15150 moteurs Question d) Coût de production 2000

=1a 900000 =2a 918000 =3a 936360 etc…

r=900000

918000=1.02

n= 11

=11a ?

1

1−= n

n raa

1011 021900000 ).(=a

= 1’097’095.- Exercice 18 : En 1998, une société a eu CHF 735'000 de charges d’exploitation. Sachant que ces charges augmentent de 7 %

par année, fera-t-elle un bénéfice en 2004 si son chiffre d’affaires estimé à cette date (2004) sera de CHF

1'403'036 ? Si oui, combien ?

98 99 00 01 02 03 04 1 2 3 4 5 6 7

=1a 735000 =2a 786450 etc

r= 071735000

786450.=

?=7a


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11

−= nn raa

( )67

071735000 .=a

= 1'103’036 Donc CA-Charges : 1'403’036-1'103’036= 300'000.- de bénéfice Exercice 19 : En 1998 il y a eu 45 naissances dans un hôpital. Sachant que les naissances augmentent de 4 % par année, combien y aura-t-il de naissances dans cet hôpital en 2010 ? 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

=1a 45 =2a 46.8 etc

r= 04145

846.

.=

?=

13a

1

1−= n

n raa

( )1213

04145 .=a

= 72 naissances en 2010 Exercice 20 : Sylvain joue chaque semaine à la loterie. Il a commencé par miser 4.- puis 2.- de plus chaque semaine.

b) combien a-t-il misé la 25ème semaine ? c) depuis le début et jusqu’à la 25ème semaine (comprise), Sylvain a gagné

CHF 570.-. A-t-il gagné ou perdu de l’argent ? Combien ? La 25ème semaine :

=1a 4

r=2 =25a ?

rnaan )( 11

−+=

2125425

)( −+=a

5225

=a francs

Question b) gain ou perte :

=1a 4 r=2 =25a 52

)aa(2n

S n1n += ou ])([ rna

nSn 12

2 1 −+=

)( 5242

2525 +=S DONC 70025 =S francs ET 700-570=130.- de perte


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4.2 CHAPITRE B : VECTEURS-PRODUIT SCALAIRE-NORME

3.1 Définition

Un vecteur est une quantité physique et est défini par : - sa direction (représentée par la droite qui le supporte). - son sens (un vecteur est une grandeur orientée-> représenté par la flèche). - sa grandeur (distance entre ses deux extrémités, autrement dit sa longueur) -> norme

Comment se note un vecteur ? - deux lettres surmontées d'une flèche si le vecteur est représenté par une flèche d'origine A et d'extrémité B

A B ab - une lettre surmontée d'une flèche (repère hortonormée)

ur

3.2 Propriétés

a) 2 vecteurs sont égaux s'ils ont le même sens, la même direction et la même longueur dire que 2 vecteurs sont égaux revient à dire que les segments formés par ces 2 vecteurs sont parallèles

CDAB= �� BDAC =

b) Deux vecteurs opposés sont deux vecteurs : de même longueur ,de même direction mais de sens opposés.

3.3 Addition de deux vecteurs 3.3.1 La relation vectorielle de Chasles un vecteur est égal à la somme de 2 vecteurs ayant un point commun : l'extrêmité pour le 1er et l'origine pour le deuxième

Interprétation :

A B

C D

A

B

A

AB B

ACBCAB =+

BC C


Page 69 sur 92

Je pars de A pour arriver en B - Puis, je pars de B pour arriver en C = Résultat : cela équivaut à partir de A pour

arriver en C - DONC : + = (le point B commun, extrêmité de vecteur puis origine s'annule) : C'est ça, la relation de Chasles !! => faire la projection sur un axe pour voir graphiquement le résultat

Exemple : calculer : + +

Conformément à la propriété associative de l'addition, ja vais regrouper mes vecteurs de façon à pouvoir appliquer la relation de Chasles :

J'écris : + +

+ = , d'après la relation de Chasles

Mon expression devient : +

+ = , d'après la relation de Chasles

Par conséquent, + + = Mon addition de vecteurs est terminée

3.3.2 Règle du parallèlograme consiste à déplacer parallèlement à lui-même un vecteur (ici W) de façon à avoir une origine commune avec l’autre vecteur resté fixe. La résultante est alors la diagonale du parallèlogramme formé par les deux vecteurs avec, comme origine commune, l’origine des deux vecteurs

D

ADACAB =+

B C

A


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3.4 soustraction d’un vecteur (soustraction vectorielle)

soustraire le vecteur u au vecteur w c'est additionner à w l'opposé de u.

w

)( uw −+

u− u

3.5 multiplication d’un vecteur par un nombre réel (un scalaire)

Soit le vecteur ab . On peut le multiplier par un scalaire λ , ça n’affectera que sa norme (longueur) et éventuellement son sens mais jamais sa direction. Ainsi :

a) abab .. λλ =

b) si 1>λ , le résultat donnera un vecteur dont la norme sera plus grande

si 1<λ , le résultat donnera un vecteur dont la norme sera plus petite

si 0<λ , le résultat donnera un vecteur dont le sens sera opposé

3.6 notion de repère

Un repère est définit par une origine et deux (plan) ou trois axes suivant le nombre de dimension à considérer. Si nous désirons représenter l’espace (3 dimensions) le repère aura 3 axes. Le repère le plus connu est le repère orthonormé.

C'est une partie du plan délimitée par 2 droites perpendiculaires orthogonales e t normées : munies d'une norme (graduation)

(Y)

jo i

(X)


Page 71 sur 92

L'intersection des 2 droites perpendiculaires est appelée origine du repère : point O

Les vecteurs et représentent la norme : soit ici 2 carreaux soit 1 cm : c'est l'échelle de graduation des axes à partir du point d'origine O

Tracer un repère orthonormé tel que = = 1 cm revient à tracer deux droites perpendiculaires, ayant pour intersection le point O, qui devient l'origine du repère : la droite verticale sera toujours en y et représente l'axe des ordonnées ; la droite horizontale sera toujours en x et représente l'axe des abcisses: les 2 axes seront gradués selon l'échelle de la

norme représentée par les vecteurs et . Ici la norme est de 1 cm :

Le point i du vecteur sera toujours placé sur l'axe des abcisses .Le point j du vecteur

sera toujours placé sur l'axe des ordonnées.

Un vecteur n’est autre qu’une droite, avec un sens, qui relie deux points dans un repère

3.7 coordonnées et composantes

Il s’agira de ne pas confondre ces deux notions - nous parlons de coordonnées lorsque nous parlons d’un point dans un repère - nous parlons de composantes lorsque nous parlons de vecteurs

Nous allons démontrer ces deux défintions à l’aide de deux exemples

(Y) P

j O i

(X)

(Y) A

B j

O i(X)

Vecteurs dont l’origine est l’origine du repère- les coordonnées du point O sont O(0 ;0) - les coordonnées du point P sont P(3 ;4) - les composantes du vecteur OP se trouvent à l’aide de la formule suivante :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

op

op

yy

xxOP => ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=04

03OP = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4

3OP

on va bien de O vers P, donc on soustrait les coordonnées de P à celle de O ; si on était allé de

po

Vecteurs dont l’origine n’est pas l’origine du repère- les coordonnées du point A sont A(2 ;5) - les coordonnées du point B sont B(4 ;2) - les composantes du vecteur ab se trouvent à l’aide de la formule suivante :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=AB

AB

yy

xxAB => ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=52

24AB = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

3

2AB

Si nous avions le sens opposé :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=BA

BA

yy

xxBA => ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=25

42BA = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

3

2BA

nb) la formule reste la même mais s’adapte au sens


Page 72 sur 92

Constatation :

Pour vérifier les coordonnées de mon vecteur, je regarde le "chemin" que je dois parcourir sur mon dessin pour me rendre du point A au point B

3.8 la norme ou longueur d’un vecteur

La norme d’un vecteur notée p.ex. ab m’indique la longueur de mon vecteur.

3.8.1 Propriétés :

1) la norme (longueur ou distance) ne peut pas être négative. Donc sera toujours ab >0

2) la norme (longueur ou distance) n’est pas sensible au sens du vecteur : baab =

3.8.1 Calculs

Si nous avons les coordonnées de a et b 22 )()( ABAB yyxxab −+−=

Si nous avons les composantes du vecteur 22 )()( yx uuu += ou idem avec ab

Exemples :

1) Soit les coordonnées A(2 ;5) et B(4 ;2), calculez la norme du vecteur AB

22 )()( ABAB yyxxab −+−= donc

22 )52()24( −+−=ab =

22 )3()2( −+ = 94 + = 13 = 3.60 (cm p.ex)

2) Soit le vecteur ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

3

2ab , calculez la norme de ce vecteur

22 )()( yx uuu += , nous avons déjà les composantes du vecteur donc

22 )3()2( −+=ab = 94 + = 13 = 3.60 (cm p.ex)

3.9 le produit scalaire de deux vecteurs

Soit ur

et vr

deux vecteurs d’un repère orthonormé. On appelle produit scalaire de ur

et vr

le réel, noté

vurr. :


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a) correspondant à la somme des produits de leurs composantes.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

b

aur

et ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

d

cvr

alors vurr. = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

db

ca

*

* = ac+bd

a,b,c,d sont les composantes des vecteurs

exemple : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3

2ur

et ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1vr

alors vurr. = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

db

ca

*

* = 2+6 = 8

b) correspondant au produit de la longueur orientée de la projection orthogonale du premier sur le deuxième par la norme du deuxième (définition géométrique)

vurr. = θcos×× vu

rr si u

r ≠ 0ret v

r ≠ 0r,où

θ désigne une mesure

de l’angle ( )vurr

,

car ur . v

r = 0 si u

r = 0

r ou v

r= 0

r par extension

ab * ac = θcos×× acab

Un scalaire est une quantité physique qui n'est spécifié que par sa grandeur. On peut l'exprimer avec un nombre, suivi ou non d'une unité (1 kg, 30 sec, 3 °C, ...).

3.9.1 Propriété fondamentale: On suppose A≠ B. H est le projeté orthogonal de C sur (AB). Alors:

AB . AC = AHAB × .

autre démonstration

Si ur

= AB et vr

= AC avec A≠ B et A≠ C, alors u

r. vr

= AB . AC = AB × AC × cos B A C.

.

Le produit scalaire est donc positif pour � aigu, négatif pour � obtu.

A H B

C

A B

C

θ


Page 74 sur 92

3.9.2 Propriétés du produit scalaire Propriétés opératoires: Soit u

r, vr, wr

trois vecteurs du plan et a un réel:

ur. vr

= vr.ur

ur.( vr

+ wr) = u

r. vr

+ ur.wr

(ur

+ vr).wr

= ur.wr+ v

r.wr

(aur). vr

= a(ur. vr) = u

r.(a v

r)

Condition d’orthogonalité : u

r et v

r sont orthogonaux ssi u

r. vr

= 0.

(AB) et (CD) sont perpendiculaires ssi AB .CD = 0. Liens avec la norme (pour mémoire)

=²ur

ur.ur

= ur

² et AB² = AB ²

2 ur. vr

= ²²² vuvurrrr −−+ donc u

r. vr

= [ ]²²²2

1vuvurrrr −−+

Exercices : 10

Soit le vecteur AB = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−3

3, calculez la norme de ce vecteur

11 Soit le vecteur u = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

4


12 Soit les points A(3 ;5) B(6 ;7) , calculez la norme du vecteur AB et du vecteur BA 13

Soit les points A(2 ;5) B(-1 ;6) , calculez la norme du vecteur AB et du vecteur BA

14 Soit les points A(3 ;5) B(6 ;7) C(2 ;-1),

a) calculez le produit scalaire AB . AC b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs

15 Soit les points A(5 ;3) B(5 ;7) C(7 ;3),


16 Soit les vecteurs u = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

5

11 et v = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−1

8

a) calculez le produit scalaire u . v b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs

17 Soit les vecteurs u = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1

4 et v = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

8

13


18 Sachant que le produit scalaire de AB . AC = 35, que l’angle entre les deux vecteurs est

=θ 43.31532 degrés ,que le vecteur AB = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

1

5, que la composante x de AC = -8 et que l’autre

(y) est positive :

Calculez a) la norme du vecteur AC puis b) le vecteur complet AC 19 Sachant que le produit scalaire de AB . AC = 60, que l’angle entre les deux vecteurs est


Page 75 sur 92

=θ 3.814075 degrés ,que le vecteur AC = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−8

7, que la composante x de AB = -4 et que l’autre

(y) est positive :

Calculez a) la norme du vecteur AB puis b) le vecteur complet AB 20 Sachant que le produit scalaire de AB . AC = 12, que l’angle entre les deux vecteurs est

=θ 65.22486 degrés ,que le vecteur AC = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−2

4, que la composante y de AB = -4 et que l’autre

(x) est négative :

Calculez a) la norme du vecteur AB puis b) le vecteur complet AB Corrigés Exercice 10 :

Soit le vecteur AB = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−3


AB =22 33 +− = 4.24

Exercice 11 :

Soit le vecteur u = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

4


u =22 41 −+− = 4.12

Exercice 12 :

Soit les points A(3 ;5) B(6 ;7) , calculez la norme du vecteur AB et du vecteur BA Nous adoptons la formule (bien qu’il soit possible de passer par le calcul du vecteur avant)

22 )57()36( −+−=ab = 3.60

22 )75()63( −+−=ba = 3.60

Exercice 13 :

Soit les points A(2 ;5) B(-1 ;6) , calculez la norme du vecteur AB et du vecteur BA Nous adoptons la formule (bien qu’il soit possible de passer par le calcul du vecteur avant)

22 )56()21( −+−−=ab = 3.16

22 )65())1(2( −+−−=ba = 3.16


Page 76 sur 92

Exercice 14 : Soit les points A(3 ;5) B(6 ;7) C(2 ;-1),


a) calculez le produit scalaire AB . AC

vurr. = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

db

ca

*

* = ac+bd DONC

AB = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

57

36= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

3 ET AC = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

51

32= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

6

1 alors AB . AC = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

6*2

1*3= -3+-12 = -15

=> nous savons déjà que l’angle est obtu car le produit scalaire est négatif b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs


AB =22 23 + = 3.60…

AC =22 61 −+− = 6.08…

08.6*60.3

15cos

−=θ = - 0.68394

=θ 133.15 degrés Exercice 15 : Soit les points A(5 ;3) B(5 ;7) C(7 ;3),


a) calculez le produit scalaire AB . AC

vurr. = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

db

ca

*

* = ac+bd DONC

AB = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

37

55= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4

0 ET AC = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

33

57= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

2 alors AB . AC = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0*4

2*0= 0+0 = 0

=> nous savons déjà que l’angle est à 90 degré car le produit scalaire est 0 b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs


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AB =22 40 + = 4

AC =22 04 + = 4

4*4

0cos =θ = 0

=θ 90 degrés -> les deux vecteurs sont orthogonaux Exercice 16 :

Soit les vecteurs u = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

5

11 et v = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−1

8


a) calculez le produit scalaire u . v

vurr. = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

db

ca

*

* = ac+bd DONC

u . v = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−1*5

8*11= 88+-5 = 83

=> nous savons déjà que l’angle est aigu le produit scalaire est positif b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs


u = 22 811 + = 12.08…

v = 22 18 −+ = 8.06…

06.8*08.12

83cos =θ = 0.85201

=θ 31.56 degrés Exercice 17 :

Soit les vecteurs u = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1

4 et v = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

8

13



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a) calculez le produit scalaire u . v

vurr. = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

db

ca

*

* = ac+bd DONC

u . v = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−8*1

13*4= -52+8 = -44

=> nous savons déjà que l’angle est obtu, le produit scalaire est négatif b) calculez l’angle en degrés entre ces deux vecteurs


u = 22 14 +− = 4.12…

v = 22 813 + = 15.26…

26.15*12.4

44cos

−=θ = - 0.69912

=θ 134.35 degrés Exercice 18 :

Sachant que le produit scalaire de AB . AC = 35, que l’angle entre les deux vecteurs est =θ 43.31532 degrés

,que le vecteur AB = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

1

5, que la composante x de AC = -8 et que l’autre (y) est positive :

Calculez a) la norme du vecteur AC puis

b) le vecteur complet AC Partons de la formule générale et regardons ce que nous pouvons compléter


35 = AB * AC * 0.727589354 mais je peux connaître

AB car nous connaisons le vecteur AB

AB = 22 15 −+− = 5.09901951… donc

35 = 5.09901951 * AC * 0.727589354 je peux ainsi connaître

AC

35 = 3.709992314* AC


Page 79 sur 92

709992314.3

35 = AC

9.43398… = AC

b) Calcul du vecteur AC Il faut partir de la formule de la norme (composantes car je n’ai pas les points), soit :

AC = 22 yx + et x et y sont les composantes du vecteur AC

Nous connaissons….à part la norme … la composante x qui est -8 et savons que l’autre sera positive donc

9.43398…= 228 y+−

9.43398…= 264 y+

( )2..43398.9 =2

264 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + y

9999.88 = 264 y+

24.9999= 2y � 25= 2y

donc y= +5

AC = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−5

8

Exercice 19 :


,que le vecteur AC = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−8

7, que la composante x de AB = -4 et que l’autre (y) est positive :

Calculez a) la norme du vecteur AB puis b) le vecteur complet AB Partons de la formule générale et regardons ce que nous pouvons compléter


60 = AB * AC * 0.99779… mais je peux connaître

AC car nous connaisons le vecteur AC

AC = 22 87 +− = 10.630145… donc

60 = AB * 10.630145*0.99779… je peux ainsi connaître AB

60 = 10.6066523…* AB

..6066523.10

60 = AB

5.656827… = AB


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b) Calcul du vecteur AB Il faut partir de la formule de la norme (composantes car je n’ai pas les points), soit :

AB = 22 yx + et x et y sont les composantes du vecteur AB

Nous connaissons….à part la norme … la composante x qui est -4 et savons que l’autre sera positive donc

5.656827 …= 224 y+−

5.656827 …= 216 y+

( )2..656827.5 =2

216 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + y

31.999= 216 y+

15.999= 2y � 16= 2y

donc y= 4

AC = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−4

4

Exercice 20 :


,que le vecteur AC = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−2

4, que la composante y de AB = -4 et que l’autre (x) est négative :

Calculez a) la norme du vecteur AB puis b) le vecteur complet AB Partons de la formule générale et regardons ce que nous pouvons compléter


12 = AB * AC * 0.41906… mais je peux connaître

AC car nous connaisons le vecteur AC

AC = 22 24 +− = 4.472135..… donc

12 = AB * 4.472135…* 0.41906… je peux ainsi connaître AB

12 = 1.874092…* AB

..874028.1

12 = AB

6.4030977… = AB


Page 81 sur 92

b) Calcul du vecteur AB Il faut partir de la formule de la norme (composantes car je n’ai pas les points), soit :

AB = 22 yx + et x et y sont les composantes du vecteur AB

Nous connaissons….à part la norme … la composante y qui est -4 et savons que l’autre sera négative donc

6.4030977 …= 22 4−+x DONC 6.4030977 …= 162 +x DONC

( )2..4030977.6 =2

2 16 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +y PUIS 40.999= 162 +x 24.999= 2x � 25= 2x

donc x= -5

AC = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

4

5


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4.3 CHAPITRE C : PROGRAMMATION LINEAIRE (INTRODUTION SANS SIMPLEXE NI VAR. D’ECARTS) Le but de la programmation linéaire est de maximiser, optimiser un objectif économique sous contrainte technique de gestion. Les contraintes doivent être linéaires. Cette méthode a été mise au point au cours de la deuxième guerre mondiale.

Un camelot(Cf. B.Solnik) vend des chaussettes sur les marchés. En fait, il ne vend que des chaussettes de 2

types en lots:

- des mi-bas en fil de coton

- des chaussettes en laine.

L’expérience de celui-ci a montré que la clientèle portait son choix indifféremment sur:

- un lot à 6 CHF comprenant 2 paires de chaussettes en coton et 4 paires en laine

- un lot à 8 CHF comprenant 2 paires de chatissettes en coton et 8 paires en laine.

Notre camelot dispose au total de 24 paires de chaussettes on fil de coton et 84 paires de chaussettes en laine

et il se demande alors quels lots il doit présenter à sa clientèle

pour réaliser une recette maximale. .

Essayons de formuler de façon synthétique le problème :

a) Le camelot cherche à maximiser le produit de ses ventes.

Appelons:

1x le nombre de lots à 6 CHF qu'il aura vendu,

2x le nombre de lots à 8 CHF qu'il aura vendu.

Quand il aura tout vendu, il trouvera dans sa caisse une somme S :

21 86 xxS +=

Son but sera donc de vendre 1x et 2x lots tels que S soit maximum, soit )x8x6max(S max 21+=

b) Seulement il ne dispose que de 84 paires de chaussettes en laine, il ne peut donc

en vendre plus.

S’il vend 1x lots à 6 CHF cela entraîne qu'il vend 4 fois 1x paires de chaussettes en

laine ; s'il vend 2x lots à 8 CHF cela entraîne la vente de 8 2x paires de chaussettes

en laine. Il faut donc que le nombre total des chaussettes de ce type qu’il aura

ainsi vendu soit inférieur ou égal 84

Ceci nous donne sous forme algébrique :

84x8x4 21 ≤+

Il en va de même pour les chaussettes en coton, on trouve alors :

24x2x2 21 ≤+ Le bon sens nous dicte aussi que :

0x;0x 21 ≥≥


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La formulation du problème devient ainsi : Trouver le maximum de :

21 x8x6S += avec

84x8x4 21 ≤+

24x2x2 21 ≤+

0x;0x 21 ≥≥

A) RESOLUTION GRAPHIQUE

Nous avons deux inconnues 1x et 2x , plaçons-nous donc dans un repère orthonormé à deux dimensions,

d’axes 1Ox et 2Ox

Les contraintes 0x;0x 21 ≥≥ nous limitent au 1er quadrant :

Les deux droites sont placées sur le repère

- pour 84x8x4 21 ≤+ avec 1x = 0 alors 2x =10.5

avec 2x = 0 alors 1x =21

- pour 24x2x2 21 ≤+ avec 1x = 0 alors 2x =12

avec 2x = 0 alors 1x =12

Les zone hachurées représentent les contraintes ; les zones possibles sont donc à l’intérieur


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En résumé, le graphique devient :

Le point B, soit l’intersection entre les deux droites des contraintes, représente la meilleure solution possible, ici

nous avons B(3 ;9) soit, 1x =3 et 2x =9.

A ces points, le bénéfice de notre camelot sera maximal

)9(8)3(6S +=

90S= Le camelot devra donc vendre 3 lots du premier type et 9 lots du second type pour que son bénéfice soit maximal B) RESOLUTION ALGEBRIQUE Il s’agit de résoudre un système simple d’inéquation

2422

8484

21

21

=+=+

xx

xx

4844

8484

21

21

−=−−=+

xx

xx

364 2 =+ x donc 92 =x puis logiquement 31 =x

donc )9(8)3(6S += et 90S=

Remarque importante : Il faut faire attention avec cette méthode algébrique surtout si les contraintes sont de « signes » contraires….


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Exercices : 1. Un boulanger dispose de :

- 30 pâtisseries A - 24 pâtisseries B - 18 pâtisseries C

Il veut faire des lots et peut offrir à sa clientèle : a) des lots à 20 CHF comprenant : * 5 pâtisseries A * 3 pâtisseries B * 1 pâtisseries C b) des lots à 15 CHF comprenant : * 3 pâtisseries A * 3 pâtisseries B * 3 pâtisseries C Combien de lots de chaque genre doit-il vendre pour rendre sa recette optimale ? 2. Soit deux aliments, le pain et le fromage contenant chacun deux éléments mesurés en calories et grammes de protéines. Pour une livre de pain et une livre de fromage, les contenus nutritifs sont : Pain : 1100 calories et 25 grammes de protéines Fromage : 2300 calories et 85 grammes de protéines Sachant que le régime alimentaire minimum qui doit être atteint par un adulte est de 3000 calories et 100 grammes de protéines par jour ; combien de fromage et de pain faut-il acheter pour atteindre le minimum alimentaire et minimiser les dépenses sachant qu’une livre de pain coûte CHF 2.50 et une livre de fromage CHF 10 ? 3.

Maximiser 21 x5x6S += sachant que

9xx2 21 ≤+

6xx3 21 ≥+

14x2x2 21 ≤+


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CORRIGES : EXERCICE 1 : Un boulanger dispose de :

- 30 pâtisseries A - 24 pâtisseries B - 18 pâtisseries C

Il veut faire des lots et peut offrir à sa clientèle : a) des lots à 20 CHF comprenant : * 5 pâtisseries A * 3 pâtisseries B * 1 pâtisseries C b) des lots à 15 CHF comprenant : * 3 pâtisseries A * 3 pâtisseries B * 3 pâtisseries C Combien de lots de chaque genre doit-il vendre pour rendre sa recette optimale ? Il faut poser le problème :

1x le nbr. de lots à 20 CHF

2x le nbr. de lots à 15 CHF Contraintes :

0x;0x 21 ≥≥

30x3x5 21 ≤+

24x3x3 21 ≤+

18x3x1 21 ≤+

max 21 x15x20S += GRAPHIQUEMENT : � FAUT CHERCHER POUR CHAQUE CONTRAINTES LES POINTS (X1 ;0) ET (0 ; X2) � Eliminer (hachurer) les contraintes �

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

A

C

B


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ALGEBRIQUEMENT : � choisir deux inéquations et supprimer une variable � une fois la variable X déterminée, substituer dans l’autre inéquation

30x3x5 21 ≤+

24x3x3 21 ≤+

18x3x1 21 ≤+ => multiplier la 3ème par -1 : TRAITER COMME UNE EQUATION

2433 21 =+ xx

183 21 −=−− xx

62 1 =x

donc

31 =x et 52 =x alors

)5(15)3(20S +=

S= 135 Le boulanger devra vendre 3 lots x1 et 5 lots x2 pour avoir un gain maximal de 135 CHF EXERCICE 2: Soit deux aliments, le pain (x1) et le fromage (x2) contenant chacun deux éléments mesurés en calories et grammes de protéines. Pour une livre de pain et une livre de fromage, les contenus nutritifs sont : Pain : 1100 calories et 25 grammes de protéines Fromage : 2300 calories et 85 grammes de protéines Sachant que le régime alimentaire minimum qui doit être atteint par un adulte est de 3000 calories et 100 grammes de protéines par jour ; combien de fromage et de pain faut-il acheter pour atteindre le minimum alimentaire et minimiser les dépenses sachant qu’une livre de pain coûte CHF 2.50 et une livre de fromage CHF 10 ? Il faut poser le problème :

1x le nbr. livres de pain à 2.5 CHF

2x le nbr. livres de fromages à 10 CHF Contraintes :

0x;0x 21 ≥≥

3000x2300x1100 21 ≥+

100x85x25 21 ≥+

min 21 x10x5.2S += GRAPHIQUEMENT : � FAUT CHERCHER POUR CHAQUE CONTRAINTES LES POINTS (X1 ;0) ET (0 ; X2) � Eliminer (hachurer) les contraintes �


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0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

A

C

B

ALGEBRIQUEMENT : � choisir deux inéquations et supprimer une variable � une fois la variable X déterminée, substituer dans l’autre inéquation

3000x2300x1100 21 ≥+

100x85x25 21 ≥+ => multiplier la 2ème par -44 : TRAITER COMME UNE EQUATION

300023001100 21 =+ xx

440037401100 21 −=−− xx

14001440 2 −=− x

donc

97.02 =x et 70.01 =x alors

)97.0(10)7.0(5.2S +=

S= 11.45 Il faut acheter 0.7 livres de pain et 0.97 livres de fromages ce qui aura un coût optimal de CHF 11.45


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EXERCICE 3:

Maximiser 21 x5x6S += sachant que

9xx2 21 ≤+

6xx3 21 ≥+

14x2x2 21 ≤+ GRAPHIQUEMENT : � FAUT CHERCHER POUR CHAQUE CONTRAINTES LES POINTS (X1 ;0) ET (0 ; X2) � Eliminer (hachurer) les contraintes

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

A

C

B

ALGEBRIQUEMENT : � choisir deux inéquations qui se croisent et supprimer une variable � une fois la variable X déterminée, substituer dans l’autre inéquation ICI :

9xx2 21 ≤+

14x2x2 21 ≤+ � TRAITER COMME UNE EQUATION Réponse : x1= 2 x2=5 et S= 37


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5. NIVEAU REQUIS POUR DEBUTER LA PREMIERE ANNEE HEG + OUVRAGE (FORTEMENT) CONSEILLE


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6. PROGRAMME DE MATH I ET II HEG


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Documents

PREPARATION HEG - ECCG Monthey · 2018. 8. 5. · KIT MATH ESC-MPC MONTHEY HEG Page 3 sur 92 3.3 DÉCOMPOSITION D'UN TRINÔME DU SECOND DEGRÉ 3.4 MÉTHODE DES GROUPEMENTS ET ARTIFICES