Pres, Maq Sinc

2007 Apuntes EL 42C, Prof. Luis Vargas

EL42C

CONVERSIÓN ELECTROMECÁNICA

DE LA ENERGÍA

MÁQUINAS SÍNCRONAS


7.1 INTRODUCCIÓN

7.1 INTRODUCCIÓN

• Alimentación: Estator con C.A., rotor con CC.

• Uso en altas potencias, generadores, en bajas o altas revoluciones.

Por ejemplo, los molinos SAG tienen una potencia 10.000 [HP] a bajas

revoluciones.

• La velocidad del eje depende de la frecuencia de alimentación y el

número de polos.

• Controlando la alimentación del rotor, la máquina puede operar ab-

sorbiendo o inyectando reactivos a la red (reactor o condensador

síncrono, respectivamente). Esto se podría usar para mejorar el factor

de potencia del sistema eléctrico.


7.2 FUNCIONAMIENTO DEL GENERADOR SÍNCRONO


� GENERADOR DESACOPLADO DE LA RED

N

S

θ = ωt

ω

e(t) ωt

e(t)

π 2π

Emax

-Emax

En un generador monofásico, de rotor de imán permanente que gira a

velocidad ω, la tensión generada en el estator, debida al flujo enlazado, es:

( ) ( ) ( )maxe t k·B· ·sen t E sen tω ω ω= =



con k constante de diseño.

Así, reemplazando el imán permanente por un enrollado de excitación,

se puede controlar el voltaje inducido.

Ubicando tres enrollados en el estator espaciados a 120º geométricos,

resulta un generador trifásico con frecuencia eléctrica igual a la veloci-

dad del eje.

La frecuencia f, según la velocidad de giro n y el número de polos p,

es:

120

n·pf Hz=



� GENERADOR CONECTADO A LA RED

La frecuencia y la velocidad de giro del eje la impone la red, además,

dicha velocidad depende del número de polos:

120 fn RPM

p=

La potencia mecánica aplicada al eje no variará la velocidad del rotor,

sino que se transformará en potencia eléctrica hacia la red, cuyo factor

de potencia dependerá de la corriente de excitación.


7.3 FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR SÍNCRONO


Al alimentar el estator con C.A. se produce un campo magnético rota-

torio en él, la fuerza magnetomotriz sería:

( )3

2e mF F cos tω θ= ⋅ −

donde Fm es la fuerza máxima (N·Imax), ω la velocidad síncrona y θ el

punto donde se está calculando Fe.

Así, el máximo de la f.m.m. se desplaza en el entrehierro a una veloci-

dad síncrona (ωs) de cuando la máquina posee un par de polos. θ ω=&

En general:

2

sp

ωω =



La f.m.m. del rotor (Fr) es constante y fija a él, lo que provoca que este

campo magnético tienda a alinearse con el C.M.R. del estator, haciendo

que el eje gire a velocidad síncrona.

El torque instantáneo de la máquina:

( ) ( )T e rt K F F senΤ δ= ⋅ ⋅ ⋅

donde KT es una constante de diseño y δ el ángulo entre las f.m.m.

De la expresión de torque se concluye que:

• El torque medio existe, pues δ = cte.

• Se tiene un torque máximo para δ = 90º.

• Se requiere un mecanismo de arranque hasta la velocidad síncrona.


T

ωωωω

Tmax

-Tmax

ωs


La característica torque-velocidad del motor es:


7.5 CARACTERÍSTICAS CONSTRUCTIVAS


� CARACTERÍSTICAS DE ESTATOR

De características muy similares al estator de la máquina de inducción.

� CARACTERÍSTICAS DE ROTOR

Tres tipos:

1. De imanes permanentes:

• Evita el uso de anillos rozantes para alimentar al rotor.

• No se aplica a altas potencias.

• No se puede controlar el flujo magnético del rotor.


Los rotores con enrollados de excitación son:

3. Rotor de polos salientes:

De geometría asimétrica.

Inductancias complejas de modelar.

2. Rotor cilíndrico:

De geometría simétrica.

Inductancias mutuas del rotor y estator son constantes.




� GENERADORES SÍNCRONOS

Sus características constructivas dependen de la aplicación:

• Centrales hidroeléctricas:

� Máquinas de eje vertical.

� Rotor de polos salientes corto y de gran diámetro.

� Gran número de polos (300-350 [RPM]).

• Centrales térmicas o de ciclo combinado:

� máquina de eje vertical.

� rotor cilíndrico largo y de poco diámetro.

� Usualmente de 2 polos. Velocidades de 1500-3000 [RPM]



�MOTORES SÍNCRONOS

Requiere de mecanismos adicionales para la partida:

• Máquina propulsora externa.

• Barras amortiguadoras: Barras

amortiguadoras

Principio del motor de inducción

para la partida.

Se colocan barras en las caras

polares (similitud con jaula de

ardilla).


7.5 CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MÁQUINA SÍNCRONA

El modelo considera la resistencia y las reactancias del eje directo y en

cuadratura del estator. Para un rotor cilíndrico se define una única

reactancia: Xs = Xd = Xq.

E

Xs

V

Re

I

( )err

er e r

E L ·I · ·sen t

N ·NL

R

ω ω=

=

Se cumple:

donde Ler es la inductancia mutua rotor-estator, Ne y Nr los números de

vueltas de los enrollados, R la reluctancia del circuito magnético e Ir la

corriente rotórica.


CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MÁQUINA SÍNCRONA

La máquina operando como generador cumple:

e sE R ·I j·X ·I V= + +& & & &

El diagrama fasorial correspondiente:

d

j Xq·Iq

E

V

I j Xd·Id

j Xs·I

Re·I

δ q

Id

Iq

donde δ es el ángulo de torque, es decir, el ángulo entre las f.m.m. del

estator y rotor.


La máquina operando como motor cumple:

e sV R ·I j·X ·I E= + +& & & &

j Xq·Iq E

V

I

j Xd·Id

j Xs·I

Re·I

δ q

d

Iq

Id

El diagrama fasorial:



La potencia eléctrica generada por fase es:

( ) ( )s

E·VP V·I·cos sen

Xϕ δ= =

Para los reactivos se tiene:

( ) ( )2

s s

E·V VQ V·I·sen cos

X Xϕ δ= = −

Operando como motor, en torque aportado por cada fase es:

( ) ( )s

V·I E·VT ·cos sen

Xϕ δ

ω ω= =



Para una máquina con rotor de polos salientes, la potencia activa y

reactiva es:

( ) ( )

( )( ) ( )

2

2 2

2

22

d q

d d q

d d q

X XE·VP sen ·V sen

X X ·X

cos senE·VQ cos V

X X X

δ δ

δ δδ

−= +

= − +



7.6 OPERACIÓN EN LOS CUATRO CUADRANTES

La operación de una máquina síncrona se indica en un diagrama P-Q:

( P 1 ,Q 1 ) P

Motor

Inyecta Q Q

( P 4 ,Q 4 )

( P 3 ,Q 3 ) ( P 2 ,Q 2 )

( 0 ,Q 6 ) ( 0 ,Q 5 )

( P 5 , 0 )

Generador

Absorbe Q

( P 6 , 0 )

I

III II

IV


OPERACIÓN EN LOS CUATRO CUADRANTES

El diagrama anterior muestra los siguientes modos de operación de la

máquina síncrona:


Q

δ=90º (límite teórico)

Tensión Generada

Mínima

P

δ<90º

(límite práctico)

Corriente de

Armadura

Máxima Potencia

Activa

Máxima

Tensión Generada

Máxima

Diagrama de la máquina síncrona operando como generador:


: zona factible de operación



Los límites del diagrama son:

• Máximo ángulo (δ) entre las f.m.m.: teóricamente es 90º, pero por

estabilidad se opera a ángulos menores.

• Potencia activa máxima operando en condiciones nominales según el

fabricante.

• Tensión generada mínima dada por la excitación mínima requerida

por el rotor para que la máquina genere y la tensión generada máxima

limitada por la corriente rotórica.

• Máxima corriente de estator dada por las condiciones nominales.


7.6 EJES DIRECTO Y EN CUADRATURA

Son dos ejes ficticios que giran con el rotor a la velocidad de sincronis-

mo. Permiten simplificar el estudio de la máquina síncrona tanto de

rotor cilíndrico como de polos salientes.

N

S

d (Eje directo)

q (Eje en cuadratura)

Id e Iq son las corrientes por ambos enrollados, desfasadas en 90º eléc-

tricos y cuya suma equivale a la corriente real por fase.


7.7 FLUJOS ENLAZADOS EN LAS BOBINAS DEL ROTOR Y ESTATOR

Se consideran las simplificaciones:

• Los enrollados del estator tienen un distribución sinusoidal.

• Las ranuras del estator causan una variación en la inductancia con

respecto a la posición del rotor.

• La histéresis magnética es despreciable.

• Los efectos de la saturación magnética son despreciables.



Estator Rotor

φa

φc

a

bc

θ efd

Eje de la fase ad

q

Circuitos amortiguadores

Ia

Ib

Ikq

Ikd

Ifd

Enrollado de

campo

θ es el ángulo entre el eje d y el centro del enrollado de la fase a, en la

dirección de rotación. Crece continuamente según θ = ω·t.

φb

φc



Se definen las variables:



Las ecuaciones del estator serían:

Voltaje en cada fase:

a b ca a a b a b c a ce R i , e R i , e R i

t t t

φ φ φ∂ ∂ ∂= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅

∂ ∂ ∂

Los flujos enlazados por cada bobina del estator:

a aa a ab b ac c afd fd akd kd akq kq

b ba a bb b bc c bfd fd bkd kd bkq kq

c ca a cb b cc c cfd fd ckd kd ckq kq

L ·i L ·i L ·i L ·i L ·i L ·i



φ

φ

φ

= − − − + + +

= − − − + + +

= − − − + + +



Ecuaciones del rotor son:

0 0fd kqkd

fd fd fd kd kd kq kqe R i , R i , R it t t

φ φφ∂ ∂∂= + ⋅ = + ⋅ = + ⋅

∂ ∂ ∂

Los flujos enlazados por las bobinas del rotor:

2 2

3 3

2 2

3 3

2 2

3 3

fd fd fd fkd kd afd a b c

kd fkd fd kd kd akd a b c

kq kq kq akq a b c

L i L i L i cos i cos i cos

L i L i L i cos i cos i cos

L i L i sen i sen i sen

π πφ θ θ θ

π πφ θ θ θ

π πφ θ θ θ

= ⋅ + ⋅ − + − + +

= ⋅ + ⋅ − + − + +

= ⋅ + + − + +



� INDUCTANCIAS PROPIAS DEL ESTATOR

La inductancia propia de un enrollado a es la razón entre el flujo y la

corriente por esa fase, cuando la corriente en los otros circuitos es nula.

Tendrá un valor máximo en θ = 0º, 180º y mínimo para θ = 90º, 270º...

La f.m.m. de la fase a tiene un valor máximo de Na·ia en el eje de la

fase. Al descomponerla en los ejes directo y en cuadratura, se tiene:

( )

( ) ( )90

ead max a a

eaq max a a a a

F N i cos

F N i cos º N i sen

θ

θ θ

= ⋅

= ⋅ + = − ⋅



Gráficamente:

Distribución del flujo magnético en el entrehierro (fase a), cuando sólo

circula corriente por esa fase: d q



Las trayectorias del flujo magnético en en entrehierro se pueden definir

como:( )

( )

ehad a a d

ehaq a a q

N i cos P

N i sen P

φ θ

φ θ

= ⋅

= − ⋅

donde Pd y Pq son las permeabilidades de ambos ejes.

El flujo total enlazado es:

( ) ( )2 2 22 2

d q d qeh eh ehaa ad aq a a d q a a

P P P Pcos sen N i P cos P sen N i cosφ φ θ φ θ θ θ θ

+ − = − = ⋅ + = ⋅ +

La inductancia propia es:

eh fugaa aa a

aa

a

N ( )L

i

φ φ⋅ +=

Flujo de fuga no

enlazado en el

entrehierro



Con ello:0 1

20

21

2

2

2

aa

fugad q a a

a

a

d q

a

L L L cos( )

P P NL N

i

P PL N

θ

φ

= +

+ ⋅= +

− =

Las inductancias propias para las fases b y c que están desplazadas en

120º y 240º, respectivamente:

0 1

0 1

22

3

22

3

bb

cc

L L L cos

L L L cos

πθ

πθ

= + −

= + +



La variación de la inductancia propia de los enrollados del estator

según el ángulo θ:



� INDUCTANCIAS MUTUAS DEL ESTATOR

Lab se obtiene a través del flujo en el entrehierro que es enlazado por la

fase b cuando sólo la fase a es excitada. Proyectando las variables al

eje de la fase b:2 2

3 3

22

4 2 3

eh eh ehba ad aq

d q d q

a a

cos sen

P P P PN i cos

π πφ φ θ φ θ

πθ

= − − −

+ − = ⋅ − + −

La inductancia mutua resulta:

0 1 0 1

22 2

3 3

eh fugaa ab ab

ab ba m m

a

N ( )L L L L cos L L cos

i

φ φ π πθ θ

⋅ + = = = − + − = − − +



Análogamente:

( )0 1

0 1

2

23

bc cb m

ca ac m

L L L L cos

L L L L cos

θ π

πθ

= = − − −

= = − − −

La variación de la inductancia mutua entre las fases a y b es:



� INDUCTANCIAS MUTUAS ENTRE ROTOR Y ESTATOR

Se considera que:

• Las variaciones en el entrehierro debido a las ranuras del estator son despreciables.

• El circuito del estator tiene una permeabilidad constante.

• La variación de la inductancia se debe al movimiento relativo de los enrollados.

Para la fase a:

2

afd afd max

akd akd max

akq akqmax akqmax

L L cos

L L cos

L L cos L sen

θ

θ

πθ θ

=

=

= + = −



Para la fase b, θ se reemplaza por 2 3θ π− y para la c por 2 3θ π+

Finalmente los flujos enlazados por las bobinas de estator, para cada

fase, son:

( )

( ) ( ) ( )

0 1 0 1 0 12 2 23 3

a a b m c m

fd afd max kd akd max kq akqmax

i L L cos i L L cos i L L cos

i L cos i L cos i L sen

π πφ θ θ θ

θ θ θ

= − + + + + + + − +

+ ⋅ + ⋅ − ⋅

( )

0 1 0 1

0 1

22 2

3 3

22

3

2 2

3 3

b a m b

c m fd afd max

kd akd max kq akqmax

i L L cos i L L cos

i L L cos i L cos

i L cos i L sen

π πφ θ θ

πθ π θ

π πθ θ

= + + − + − +

+ + − + ⋅ − +

+ ⋅ − − ⋅ −



( )0 1 0 1

0 1

2 23

2 22

3 3

2 2

3 3

c a m b m

c fd afd max

kd akd max kq akqmax

i L L cos i L L cos

i L L cos i L cos

i L cos i L sen

πφ θ θ π

π πθ θ

π πθ θ

= + − + + − −

− + + + ⋅ + +

+ ⋅ + − ⋅ +


7.8 TRANSFORMACIÓN DQ0


Debido a que las inductancias calculadas dependen de θ y del tiempo,

se propone la siguiente transformación de variables (DQ0) para las

corrientes del estator proyectadas en los ejes d-q:

2 2

3 3

2 2

3 3

d d a b c

q q a b c

i k i cos i cos i cos

i k i sen i sen i sen

π πθ θ θ

π πθ θ θ

= + − + +

= − + − + +

donde las constantes kd y kq se toman como 2/3.

Tomando ( )a mi I ·sen tω= y consecuentemente para las otras fases, se

obtiene:



( )

( )

2 2

3 3

2 2

3 3

3

2

d d m

d d m

i k I sen t cos sen t cos

sen t cos

i k I cos t

π πω θ ω θ

π πω θ

ω θ

= ⋅ ⋅ + − ⋅ − +

+ + +

= −

Análogamente:

( )3

2q q mi k I cos tω θ= − −

Considerando una secuencia de variable cero i0:

( )0

1

3a b ci i i i= + +



Matricialmente, la transformación de variables (a, b, c) a (d, q, 0),

queda:

( ) ( )( ) ( )

0

2 23 3

2 2 23 33

1 1 1

2 2 2

d a

q b

c

cos cos cosi i

i sen sen sen i

ii

π πθ θ θ

π πθ θ θ

− + = − − − − +

( ) ( )( ) ( ) 0

1

2 2 13 3

2 2 13 3

a d

b q

c

cos seni i

i cos sen i

i icos sen

θ θ

π πθ θ

π πθ θ

−

= − − − + − +

La inversa:



Los flujos en el estator resultan:

( )

0 0 1

0 0 1

0 0 0 0

3

2

3

2

2

d m d afd fd akd kd

q m d akd kd

m

L L L i L i L i

L L L i L i

L L i

φ

φ

φ

= − + + + ⋅ + ⋅

= − + − + ⋅

= − − ⋅

definiendo:

0 0 1

0 0 1

0 0 0

3

2

3

2

2

d m

q m

m

L L L L

L L L L

L L L

= + +

= + −

= −



Obteniéndose para el flujo:

0 0 0

d d d afd fd akd kd

q q q akq kq

L i L i L i

L i L i

L i

φ

φ

φ

= − + +

= − +

= −

Para el flujo enlazado por el rotor:

3

2

3

2

3

2

fd fd fd fkd kd afd d

kd fkd fd kd kd akd d

kq kq kq akq q

L i L i L i

L i L i L i

L i L i

φ

φ

φ

= + −

= + −

= −


� VOLTAJES EN EL ESTATOR SEGÚN EJES d-q


00 0

dd q a d

q

q d a q

a

e R it t

e R it t

e R it

φ θφ

φ θφ

φ

∂ ∂= − −

∂ ∂

∂ ∂= − −

∂ ∂

∂= −

∂

� POTENCIA Y TORQUE SEGÚN EJES d-q

La potencia instantánea trifásica: t a a b b c cP e i e i e i= + +

entonces:

( )0 0

3

2t d d q qP e i e i e i= + +



En condiciones de equilibrio e0 = i0 = 0, la potencia sería:

( )3

2t d d q qP e i e i= +

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