Mtodos Numricos por InterpolacinInterpolacin de Polinomios de LagrangeCoeficientes de un Polinomio de Interpolacin

Interpolacin de un Polinomio de Lagrange

Este mtodo es una reformulacin del polinomio de Newton que evita el clculo por diferencias divididas y nos permite determinar valores intermedios entre puntos

Se define de la siguiente forma:

AdemsLas funciones en trminos de x pueden ser de primero o segundo orden, de la siguiente manera:

Obtencin del polinomio de Lagrange de primer orden.

A partir del polinomio de Newton:

Se reformula como:

Obtencin del polinomio de LagrangeLa ecuacin anterior se sustituye en la formula de interpolacin lineal:

Se agrupan trminos semejantes:

Si utilizamos f1(x)La versin lineal de primer orden es semejante a una interpolacin lineal, por esto se observa un error relativo porcentual muy alto.

Ejemplo #1. Con un polinomio de interpolacin de Lagrange de primer grado, evale ln 2

Ejemplo # 1

Grfica #1

Si utilizamos f2(X)Si la versin es de segundo orden, la aproximacin tiene una forma cuadrtica, lo cul logra un error relativo mucho mas pequeo y cercano al valor verdadero.

Ejemplo #2. Con un polinomio de interpolacin de Lagrange de segundo grado, evalu In 2

Ejemplo # 2

Grfica #2

Grfica #3

Se muestra un caso de segundo grado.

La suma de los trminos es el nico polinomio de segundo grado.

Grfica #4

Interpolacin de Lagrange empleando la computadora

ProblemaEstimar la velocidad del paracaidista en T=10s

Graficas del problema anterior

Coeficientes de un polinomio de Interpolacin

La importancia de esta interpolacin lineal consiste en la posibilidad de obtener la representacin explicita de polinomios interpoladores sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones que imponen las condiciones de interpolacin.

Frmula General

Este mtodo nos proporciona un polinomio conveniente de la siguiente forma:

Ejemplo#3Calcule los coeficientes de la parbola de la forma:

Solucin

ObservacinDebe observarse que el mtodo anterior no es el mtodo de interpolacin ms eficiente para determinar los coeficientes de un polinomio.

Los coeficientes suelen ser inexactos, en particular para n grandes.

En resumenPara determinar un punto intermedio, emplee la interpolacin de Newton o de Lagrange.

Para determinar una ecuacin de la forma general, limtese a polinomios de grado menor y verifique los resultados.