funciones

Por: Melissa Rascovsky, Melissa Sasson y Sergio Garrido

Para: Patricia Cáceres

Colegio Colombo Hebreo

Àrea De Matemàticas

Dècimo grado

Bogota d.c

FUNCIONES

¿Qué es una función?

Gráficas de funciones

Funciones crecientes,

decrecientes y tasa de cambio

promedio

Transformaciones de funciones

Elementos de una función

¿Qué es una función?

Definición de función Como reemplazar Dominio Representación de una función

Una función es una regla que asigna a cada elemento x en un

conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), en un conjunto B.

• El símbolo f(x) se llama el valor de f en x. • El conjunto A se llama dominio de la función.• El rango de f es el conjunto de los valores reales

que toma la variable y o f(x). • La variable independiente (x) es la que no varia

dependiendo de la otra.• La variable dependiente (y) es la que varia

dependiendo del desplazamiento de x.

se debe reemplazar el numero en la variable

independiente (x), para hallar Y.

Es el conjunto de elementos que tienen

imagen.

1. Verbal2. Algebraica3. Visual4. Numérica

Elementos de una función

Conjunto de salida

Conjunto de llegadadominio

rango

Función Inyectiva

Función Sobreyectiva

Función Biyectiva

Gráficas de funciones

GraficaciónGraficación de

funciones definidas por partes

Ecuaciones de funciones

f(x)= mx + b (se llama función lineal)

f(x)= b (se llama función constante)

Se define mediante formulas distintas en su dominio, depende de la variable independiente

x.

Funciones linealesf(x) = mx + b

Funciones exponencialesf(x) = x^n

Funciones de raizf(x) = x

Funciones recíprocasf(x) = 1/x^n

Función valor absolutof(x) = IxI

Funciones crecientes y decrecientes, tasa de

promedio

Funciones crecientes

Tasa de cambio promedio

Se dice que es creciente cuando

la grafica sube, asciende desde (-

00, 00) en Y.

Es la pendiente de la recta secante entre x=a y x=b en la grafica de f, es decir, la recta que pasa por (a, f(a)) y (a, f(b)).

Tasa de cambio promedio = cambio en

y / cambio en x

Funciones decrecientes

Se dice que es decreciente

Cuando la grafica baja, desciende de (00, -00)

Es decir con respecto a Y.

Transformaciones de funciones

Desplazamiento vertical

Desplazamiento horizontal

Desplazamiento(acortar, alargar) vertical

Desplazamiento( alargar o acortar)

horizontal

Sumar una constante a la función vertical:

se desplaza hacia arriba si la constante

es positiva y hacia abajo si es negativa.

y= f(x + c) desplaza la grafica c unidades a la izquierda y si se resta desplaza hacia la derecha.y= f (x - c)

Para alargar verticalmente una grafica se multiplica por un numero c mayor

que 1.Para acortar la grafica se multiplica por un numero

a menor que uno pero positivo, entre 1 y 0.

Para alargar una grafica se divide

por un numero 1/a, a es mayor que 1.

Para acortar la grafica se divide por

un numero 1/a, cuando a es menor

1, pero positivo.

Es el conjunto de números que son llamados conjunto A y son las pre imágenes, cada elemento debe estar relacionado una ves con unelemento del conjunto de llegada B y posee una imagen. Por lo general reales.

Conjunto de salida

Conjunto de llegada

Es el conjunto de números del conjunto B, llamados imágenes, y están relacionados con los elementos del conjunto A. Generalmente son reales.

rango

Es el conjunto de imágenes, el conjunto de números que se relacionan una ves con los elementos del conjunto A.

dominio

Es el conjunto de pre imágenes, el conjunto de números que del conjunto A están relacionados una ves con un solo elemento del conjunto B. Generalmente reales.

Función inyectiva

si todos los elementos del dominio están relacionados una sola vez con un elemento del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen.

cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto de los números reales es una función Inyectiva

ABCD

12345

Función sobreyectiva

si a cada elemento del dominio le corresponde un elemento del rango.

F(x)=B

Ejemplo: la función f(x) = 6x del conjunto de los números naturales al de los números pares es Sobreyectiva.

12345

DFGHi

Función biyectiva

Todos los elementos del conjunto A tienen una imagen distinta en el conjunto B (Inyectiva), cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B (Sobreyectiva). Es Inyectiva y Sobreyectiva a la ves.

Ejemplo: La función f(x) = 3x del conjunto de números reales es Inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto es Biyectiva.

12345

-1-2-3-4-5

Funciones

Polinómicas

Constante Grado par

Otras

Grado impar Lineal

Afín Lineal Identidad

Cuadrática Lineal Cúbica

Trigonométrica

Exponencial

A trozos

Racional

Logarítmica

Valor absoluto

Polinómicas Son aquellas funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos.

donde es un polinomio en , , es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales.

Dominio= Conjunto de Salida= IRConjunto de llegada= IR

Ejemplo:

Funciones de grado par

Son funciones que como máximo grado de un término es un número par. Está dada por la ecuación:

Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada=IR Rango =(depende de la función, de sus máximos y mínimos.)

Punto de corte con y= igualando x a 0Puntos de corte con x= igualando y a 0Vértice= +-b/2aConjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada =IR Rango= máximos y mínimos.F(x) ≥0 en x IR positivos. F(x) ≤0 en x IR negativos

Por lo general es la función cuadrática.

Funciones de grado impar

Son funciones en las cuales el máximo grado de un término es un número impar . Está dada por la ecuación:

Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =IR

en la función constante el rango es la variable f(x)=a

Función cúbica

Punto de corte con y= igualando x a 0Punto de corte con x= igualando y a 0Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada =IRRango= IR

F(x) ≥0 en x IR positivos F(x) ≤ 0 en x IR negativos

Se divide en función cúbica y lineal.

Lineal

Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la forma:

F(x)= mx + b

donde m y b son constantes. La función lineal , pasa por el punto (0,0) como origen a diferencia de la función lineal afín.

Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente

•m es denominada la pendiente de la recta. •b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).

Ejemplo:

Y = 5x

Pendiente:

Afín Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por: Y= mx + n

donde x e y son variables, m una constante que se denomina pendiente y n otra constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en .

La pendiente m de una recta mide la inclinación de la siguiente manera: •Si M>0 la función es creciente. •Si M=0 la función es decreciente. •Si M<0 la función es constante (recta horizontal).

La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera:

para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas x e y respectivamente.

Ejemplo:

Y=4x+2

Identidad

Una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.

La función identidad puede describirse de la forma siguiente:

f(x)=x / f(x)=y

Ejemplo:

F(x)=x

x 1 2 3 4

y 1 2 3 4

Constante Se llama función Polinómicas de grado cero o función matemática constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma:

F(x)= a

donde a es la constante.

Ejemplo:

Y= 5

Función cuadráticaUna función cuadrática, es una función polinómica de grado par, que tiene como máximo grado el numero 2. se define por la siguiente ecuación:

Conjunto de salida: IR= dominio

Conjunto de llegada= IR

Rango= (máximos y mínimos de la función)

Punto de corte con y= c

Pun to de corte con x=

Para hallar el mínimo y máximo relativos, se usa la ecuación: x= -b 2a

Función:

Función cúbicaEs una función polinómica de grado impar, cuyo grado mayor en el termino de la ecuación es de 3.

Se da por la siguiente ecuación:

Conjunto de salida= IR=dominio

Conjunto de llegada= IR= rango

Punto de corte con y= d

Punto de corte con x= factorizacion( teorema del factor)

Función=

Referencias de consulta

• http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_tercer_grado

• http://es.wikipedia.org/wiki/Función_cuadrática • http://es.wikipedia.org/wiki/Función_matemática • http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/

funciones.htm • http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/

estructural/libro/estructural/node29.html