Presentación2 P R O B

Probabilidad

Definición: Dado un experimento E y el espacio de

muestreo respectivo, a cada evento A le asociamos un número real P(A), el cual es la probabilidad de A y satisface las siguientes propiedades:

Probabilidad

Definición: Dado un experimento E y el espacio de

muestreo respectivo, a cada evento A le asociamos un número real P(A), el cual es la probabilidad de A y satisface las siguientes propiedades:

P()=1P()=1

==

EJEMPLO:EJEMPLO:

UN DADO SE LANZA UNA VEZUN DADO SE LANZA UNA VEZ

CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA UN 1,2,3,4,5 Ó UN 6

(()=)=PP66

66= 1= 1

==

EJEMPLO:EJEMPLO:

UN DADO SE LANZA UNA VEZUN DADO SE LANZA UNA VEZ

CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA UN NÚMERO MAYOR QUE SEIS

(()=)=PP00

66= 0= 0

AA BB

CUANDO LOS DOS Evento A Y B SON Mutuamente Excluyente

• P(AP(AB) = 0B) = 0

• P(P(AAUB) = P(A) + P(B)UB) = P(A) + P(B)

• P(AP(AB) = 0B) = 0

• P(P(AAUB) = P(A) + P(B)UB) = P(A) + P(B)

1.Si A1 , A2 , ... , Ak , son mutuamente excluyentes

dos a dos, entonces:

P( A1 UA2U... UAk ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )P( A1 UA2U... UAk ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )

La Compañía Coca Cola tiene una máquina automática que llena botellas con 16 onzas de la bebida que produce. La mayoría de las botellas se llenan en forma adecuada; sin embargo, algunas se llenan más de los necesario y a otras le falta líquido. Una muestra aleatoria de 1,000 botellas observadas dio como resultado

La Compañía Coca Cola tiene una máquina automática que llena botellas con 16 onzas de la bebida que produce. La mayoría de las botellas se llenan en forma adecuada; sin embargo, algunas se llenan más de los necesario y a otras le falta líquido. Una muestra aleatoria de 1,000 botellas observadas dio como resultado

A <16 20 0.02

B 16 940 0.94

C >16 40 0.04

EVENTO ONZAS Núm botella ProbabilidadEVENTO ONZAS Núm botella Probabilidad

1,0001,000 1.001.00

Cuál es la probabilidad de que una botella determinada esté más o menos llenaCuál es la probabilidad de que una botella determinada esté más o menos llena

AA BB CC0.020.020.940.94 0.040.04

•PP((AAUC) = P(A) + P(C)- P(AUC) = P(A) + P(C)- P(AC)C)•PP((AAUC) = P(A) + P(C)- P(AUC) = P(A) + P(C)- P(AC)C)

•PP((AAUC) = 0.02 + 0.04 - 0 = 0.06UC) = 0.02 + 0.04 - 0 = 0.06•PP((AAUC) = 0.02 + 0.04 - 0 = 0.06UC) = 0.02 + 0.04 - 0 = 0.06

La probabilidad de que una botella determinada esté más o menos llena es de La probabilidad de que una botella determinada esté más o menos llena es de 0.06.0.06.

AA BBAABB

CUANDO LOS DOS Evento A Y B NO SON

Mutuamente Excluyente

Los registros de la unión crediticia Fairchild indican que de un total de 1,000 clientes, 800 tienen cuenta de cheques, 600 cuentas de ahorros y 500 tienen ambas. Cuál es la probabilidad de que un cliente selecionado al azar tenga cualquiera de las dos cuentas , ya sea de cheque o de ahorros?

Los registros de la unión crediticia Fairchild indican que de un total de 1,000 clientes, 800 tienen cuenta de cheques, 600 cuentas de ahorros y 500 tienen ambas. Cuál es la probabilidad de que un cliente selecionado al azar tenga cualquiera de las dos cuentas , ya sea de cheque o de ahorros?

Sea A={ cuenta de cheques}Sea A={ cuenta de cheques}

Sea B={cuenta de ahorros}Sea B={cuenta de ahorros}

•PP((AAUB) = P(A) + P(B)- P(AUB) = P(A) + P(B)- P(AB)B)•PP((AAUB) = P(A) + P(B)- P(AUB) = P(A) + P(B)- P(AB)B)

•PP((AAUB) = 0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9UB) = 0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9•PP((AAUB) = 0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9UB) = 0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9

0.50.50.80.8 0.60.6

AABB

La probabilidad que un cliente tenga cuenta de ahorro o La probabilidad que un cliente tenga cuenta de ahorro o cheques es de 0.9cheques es de 0.9La probabilidad que un cliente tenga cuenta de ahorro o La probabilidad que un cliente tenga cuenta de ahorro o cheques es de 0.9cheques es de 0.9

AA

A’A’

P(A) + P(A’) = 1P(A) + P(A’) = 1

P(A) = 1 - P(A’)P(A) = 1 - P(A’)

P(A) + P(A’) = 1P(A) + P(A’) = 1

P(A) = 1 - P(A’)P(A) = 1 - P(A’)

La probabilidad de que un artículo sea La probabilidad de que un artículo sea defectuoso de 0.10. Cuál es la defectuoso de 0.10. Cuál es la probabilidad que no sea defectuosoprobabilidad que no sea defectuoso

La probabilidad de que un artículo sea La probabilidad de que un artículo sea defectuoso de 0.10. Cuál es la defectuoso de 0.10. Cuál es la probabilidad que no sea defectuosoprobabilidad que no sea defectuoso

P(A) = 1 - P(A’)P(A) = 1 - P(A’)

=1 - 0.10=1 - 0.10

=0.90=0.90

P(A) = 1 - P(A’)P(A) = 1 - P(A’)

=1 - 0.10=1 - 0.10

=0.90=0.90

0.900.90

0.100.10

0.100.10

0.200.20

0.300.30

0.050.05

0.050.050.100.10

0.050.05

0.150.15

PP == PP1-1-

=1-0.15=1-0.15

=0.85=0.85

=1-0.15=1-0.15

=0.85=0.85

11

Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional

A

B

Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que han ocurrido el evento B

Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B

Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B

Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que han ocurrido el evento B

Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B

Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B

Probabilidad Condicional

Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A/B) :

P(A/B) = P(AB) P(B)

Propiedades:1. P(A/B) 02. P( /B) = 13. P(Ai/B) = P(Ai/B) con Ai Aj = , i, j : i j

Casos Probabilidad Condicional

AB

Si A B = A P(A | B) = = P(A)P(A B )

P(B)

P(A)

P(B)

AB Si A B = B P(A | B) = = = 1

P(A B )

P(B)

P(B)

P(B)

AB

Si A B = P(A | B) = = = 0P(A B )

P(B)

P()

P(B)

AB

Si A B P(A | B) = =P(A B )

P(B)

Eventos independientes Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Eventos independientes Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

A es independiente de B si y sólo si:

Esto implica que:

Independientes es diferente a mutuamente exclusivos

La probabilidad de B dado que A ha ocurrido La probabilidad de B dado que A ha ocurrido

La probabilidad de A dado que B ha ocurridoLa probabilidad de A dado que B ha ocurrido

Una compañía está considerado introducir dos nuevos productos en un mercado local.

El gerente cree que la posibilidad de éxito es de alrededor del 50% para el primero y de

75% para el segundo ¿Cuál es la probabilidad de que ambos productos tengan éxito.

Ambas probabilidades son subjetivas porque estan basada en la opinión del gerente

(experto).

Una compañía está considerado introducir dos nuevos productos en un mercado local.

El gerente cree que la posibilidad de éxito es de alrededor del 50% para el primero y de

75% para el segundo ¿Cuál es la probabilidad de que ambos productos tengan éxito.

Ambas probabilidades son subjetivas porque estan basada en la opinión del gerente

(experto).

P(AP(AB) = P(A) x P(B)B) = P(A) x P(B) =0.5 x 0.75=0.5 x 0.75 =0.375=0.375

AA BB

UU

Eventos dependientes

Dos eventos, A y B, son dependientes si la ocurrencia de uno AFECTA la ocurrencia de otro

Eventos dependientes

Dos eventos, A y B, son dependientes si la ocurrencia de uno AFECTA la ocurrencia de otro

P(AP(AB) = P(A) P(A/B)B) = P(A) P(A/B)P(AP(AB) = P(A) P(A/B)B) = P(A) P(A/B)

SUCESOS DEPENDIENTESSUCESOS DEPENDIENTES

EL SUCESO “PERSONA QUE FUMA” CAMBIA LA

PROBABILIDAD DE TENER “CANCER DE PULMÓN”

YA QUE SE HA ESTABLECIDO UNA RELACIÓN

MÉDICA ENTRE ESTOS DOS SUCESOS

EL SUCESO “PERSONA QUE FUMA” CAMBIA LA

PROBABILIDAD DE TENER “CANCER DE PULMÓN”

YA QUE SE HA ESTABLECIDO UNA RELACIÓN

MÉDICA ENTRE ESTOS DOS SUCESOS

Los datos históricos muestran que el 10% de las

lavadoras de una lavandería automática necesitan

motor nuevo durante los primeros dos años de

operación. De aquellas que necesitan motores nuevos,

el 25% también necesita una correa de transmisión

nueva durante el mismo periodo.

Los datos históricos muestran que el 10% de las

lavadoras de una lavandería automática necesitan

motor nuevo durante los primeros dos años de

operación. De aquellas que necesitan motores nuevos,

el 25% también necesita una correa de transmisión

nueva durante el mismo periodo.

¿Cúal es la probabilidad de que una lavadora necesite

tanto un nuevo motor como una correa de transmisión

nueva durante los primeros dos años?

¿Cúal es la probabilidad de que una lavadora necesite

tanto un nuevo motor como una correa de transmisión

nueva durante los primeros dos años?

Probabilidad dependiente

Se sabe que el 10% de las lavadoras necesita de un motor nuevo después de 2 años de operación

Se ha encontrado que el 25% de las lavadoras que necesitan motor nuevo también necesitan de una correa nueva

100% lavadorasPor lo tanto el 90% no requieren de motor nuevo durante los dos años de operación

Evento A = { necesite motor nuevo}

B = { necesite correa de trasmisión}

Cuál es la probabilidad que Cuál es la probabilidad que una lavadora necesite un motor una lavadora necesite un motor nuevo y correa de transmisión?nuevo y correa de transmisión?

Cuál es la probabilidad que Cuál es la probabilidad que una lavadora necesite un motor una lavadora necesite un motor nuevo y correa de transmisión?nuevo y correa de transmisión?

P(AP(AB) = P(A) P(A/B) =0.10 x 0.25 =0.025B) = P(A) P(A/B) =0.10 x 0.25 =0.025P(AP(AB) = P(A) P(A/B) =0.10 x 0.25 =0.025B) = P(A) P(A/B) =0.10 x 0.25 =0.025

TABLA 2 X 2TABLA 2 X 2

Ejemplo:Ejemplo:

BB BB11 TOTAL

AA A B AB A

AA11 A’B A’B’ A’

TOTAL B B’ N

Ejemplo:Ejemplo:

BB BB11 TOTAL

AA P( A B ) P(AB 1) P( A )

AA11 P( A’B) P(A’B’) P(A’)

TOTAL P( B ) P(B’)

1

RAZONES POR LA QUE INGRESAN LOS RAZONES POR LA QUE INGRESAN LOS AUTOMOVILES A UN TALLER SEGÚN AUTOMOVILES A UN TALLER SEGÚN HORARIOHORARIO

RAZONES POR LA QUE INGRESAN LOS RAZONES POR LA QUE INGRESAN LOS AUTOMOVILES A UN TALLER SEGÚN AUTOMOVILES A UN TALLER SEGÚN HORARIOHORARIO

B1= {ELECTRICOS}B1= {ELECTRICOS}

B2={MECANICOS}B2={MECANICOS}

B3={CHAPA}B3={CHAPA}

B1= {ELECTRICOS}B1= {ELECTRICOS}

B2={MECANICOS}B2={MECANICOS}

B3={CHAPA}B3={CHAPA}

EVENTOSEVENTOS

A={MAÑANA}A={MAÑANA}

A’={TARDE}A’={TARDE}


A’={TARDE}A’={TARDE}

Acceso directo a practica.lnk

ENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN AUTO ACUDA POR LA ENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN AUTO ACUDA POR LA MAÑANA DADO QUE TENGA PROBLEMAS ELECTRICOSMAÑANA DADO QUE TENGA PROBLEMAS ELECTRICOSENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN AUTO ACUDA POR LA ENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN AUTO ACUDA POR LA MAÑANA DADO QUE TENGA PROBLEMAS ELECTRICOSMAÑANA DADO QUE TENGA PROBLEMAS ELECTRICOS

P(A/B1) = P(AB1)

P(B1)


B1={ELECTRICOS}B1={ELECTRICOS}

P(acuda por la mañana/tiene problemas eléctricos)P(acuda por la mañana/tiene problemas eléctricos)= 3/20= 3/20

ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL MAÑANA 3 8 3 14

TARDE 2 3 1 6TOTAL 5 11 4 20

5/205/20

ELÉCTRICOS (B1) MECÁNICOS (B2) CHAPA (B3) TOTAL MAÑANA (A) 3 8 3 14

TARDE (A') 2 3 1 6TOTAL 5 11 4 20

ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL MAÑANA 0.15 0.4 0.15 0.7

TARDE 0.1 0.15 0.05 0.3TOTAL 0.25 0.55 0.2 1

PROBABILIDADPROBABILIDAD

15.0203

)( 1 BAP 1.0202

)'( 1 BAP 25.0205

)( 1 BP


TARDE 2 3 1 6TOTAL 5 11 4 20


TARDE 0.1 0.15 0.05 0.3TOTAL 0.25 0.55 0.2 1


4.0208

)( 2 BAP 15.0203

)( 21 BAP 55.0

2011

)2( BP


TARDE 2 3 1 6TOTAL 5 11 4 20


TARDE 0.1 0.15 0.05 0.3TOTAL 0.25 0.55 0.2 1


15.0203 05.0

201 2.0

204

ELÉCTRICOS (B1) MECÁNICOS B2 CHAPA (B3) TOTAL MAÑANA 3 8 3 14

TARDE 2 3 1 6TOTAL 5 11 4 20


TARDE 0.1 0.15 0.05 0.3TOTAL 0.25 0.55 0.2 1


7.02014 3.0

206 1

2020

PROBABILIDAD MARGINALPROBABILIDAD MARGINAL

P(A)= P(AP(A)= P(ABB11) + P(A) + P(ABB22) +....+P(A) +....+P(ABBnn))

Dado un conjunto de eventos, B1, B2, ...... Bn son eventos mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo, y un evento A, la probabilidad del evento A se puede expresar:

Dado un conjunto de eventos, B1, B2, ...... Bn son eventos mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo, y un evento A, la probabilidad del evento A se puede expresar:

B1B1 B2B2 B3B3AAB1B1 AAB2B2

AAB3B3

AA

P(A) = P(BP(A) = P(B11) · P(A/B) · P(A/B

11) + P(B) + P(B22) · P(A/B) · P(A/B

22) + P(B) + P(B33) · P(A/B) · P(A/B

3)3)

Ejemplo 3.2Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de

tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25 ; p2 = 0,50; p3 = 0,25.

Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes:

Ejemplo 3.2Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de

tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25 ; p2 = 0,50; p3 = 0,25.

Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes:

B1={ FABRICANTE 1}B1={ FABRICANTE 1}B3={ FABRICANTE3}B3={ FABRICANTE3}B2={ FABRICANTE 2}B2={ FABRICANTE 2}

A ={ PROCESADOR FUNCIONE)A ={ PROCESADOR FUNCIONE)

B1B1 B2B2 B3B3AAB1B1 AAB2B2AAB3B3

AA0.10.1 0.20.2 0.40.4

¿Cuál es la probabilidad que el ¿Cuál es la probabilidad que el procesador funcione?procesador funcione?

Solución

= 0,25 *0.1+ 0,5*0.2 + 0,25*0,4 = 0,225. = 0,25 *0.1+ 0,5*0.2 + 0,25*0,4 = 0,225.

P(A)= P(AP(A)= P(ABB11) + P(A) + P(ABB22) +P(A) +P(ABB33))P(A)= P(AP(A)= P(ABB11) + P(A) + P(ABB22) +P(A) +P(ABB33))

P(A) = P(BP(A) = P(B11) · P(A/B) · P(A/B

11) + P(B) + P(B22) · P(A/B) · P(A/B

22) + P(B) + P(B33) · P(A/B) · P(A/B

3)3) P(A) = P(BP(A) = P(B11) · P(A/B) · P(A/B

11) + P(B) + P(B22) · P(A/B) · P(A/B

22) + P(B) + P(B33) · P(A/B) · P(A/B

3)3)

REGLA DE BAYESREGLA DE BAYESREGLA DE BAYESREGLA DE BAYES

Dado un conjunto de eventos, B1, B2, ...... Bn son eventos Dado un conjunto de eventos, B1, B2, ...... Bn son eventos mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo, mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo, SI EL SI EL EVENTO A OCURRE, EVENTO A OCURRE, la probabilidad del evento, la probabilidad del evento, BiBi se se puede expresar:puede expresar:

Dado un conjunto de eventos, B1, B2, ...... Bn son eventos Dado un conjunto de eventos, B1, B2, ...... Bn son eventos mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo, mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo, SI EL SI EL EVENTO A OCURRE, EVENTO A OCURRE, la probabilidad del evento, la probabilidad del evento, BiBi se se puede expresar:puede expresar:

B1B1 B2B2 B3B3AAB1B1 AAB2B2

AAB3B3

AA

P (Bi | A ) =

P (Bi) P (A | Bi )

P (Bi) P (A | Bi )

Un ejecutivo de publicidad estudia los hábitos de televidentes casados (mujeres y hombres) durante las horas pico (clasificados como las de mayor audiencia). Con base a registros históricos, el ejecutivo determinó que los maridos ven televisión 60% del tiempo. También determino que cuando el marido ve televisión, 40% de las esposa también lo ve. Cuando el marido no mira la televisión, 30% del tiempo la esposa si la ve. Encuentre la probabilidad de que:

(a) Si la esposa ve televisión, el marido también lo vea(b) La esposa vea televisión en horas pico o de mayor audiencia







Marido ve TvMarido ve Tv Marido no ve TvMarido no ve Tv

Esposa ve Esposa ve televisión en televisión en horas de mayor horas de mayor audienciaaudiencia

HHWW

ww

HH11WW

Sea H= Esposo ve TelevisiónSea H= Esposo ve Televisión

0.4* 0.6 + 0.3*0.4 0.4* 0.6 + 0.3*0.4

(0.4)*(0.6) (0.4)*(0.6)

0.240.24

0.360.36= 0.667= 0.667

P (H | w ) =

P (H) P (W | H )

P (Hi) P (W | Hi )

==

==

==

P (H) P (W | H ) P (H1) P (W | H1 )

Sea W= Esposa ve TelevisiónSea W= Esposa ve Televisión

P (H) P (W | H )

++

Sea H= Esposo ve TelevisiónSea H= Esposo ve Televisión Sea W= Esposa ve TelevisiónSea W= Esposa ve Televisión

P (w ) = P (W | H ) P (H) P (W | H1 ) P (H1)++

= 0.40 * 60 + 0.3 * 0.40= 0.40 * 60 + 0.3 * 0.40

= 0.24 + 0.12= 0.24 + 0.12

= 0.36= 0.36

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Presentación2 P R O B