NUMERNUMERIČIČKA KA ANALIZAANALIZA

dr Rade Lazović Nebojša Nikolić

Literatura:

Đurica S. Jovanov

Numerička analizaTEORIJA•ALGORITMI•PRIMERI

Rade P. Lazović

Numerička analizaPREGLED TEORIJE, PRIMERI, ZADACI

Web adresa

mata.fon.bg.ac.yumata.fon.bg.ac.yu

Link: Numerička analiza

PRIBLIPRIBLIŽNI BROJEVI I ŽNI BROJEVI I GREŠKEGREŠKE

APSOLUTNA I RELATIVNA GREŠKA PRIBLIŽNOG BROJA

Definicija 2. Greška približnog brojaGreška približnog broja , kojim se zamenjuje tačan broj

je razlika

x x

xxex

Apsolutna greškaApsolutna greška je, xx

x

a granica apsolutne greškegranica apsolutne greške je broj za koji jexA

. xAxx

Definicija 1. PribliPribližan brojžan broj realnog broja je broj koji se “neznatno”

razlikuje od i koristi se u izračunavanjima umesto .

x

x x

x

Primer 1. Odrediti granicu apsolutne greške broja kao aproksimacije

broja

142.3

. ...1415926553.3

313.1415926553 . . . 3.142 0.000407344... 0.0005 10

2 xA

Napomena:Napomena:

Granica apsolutne greške približnog broja se najčešće piše u obliku

ili

j102

1

).(,101 jj

Definicija 3: Relativna greška približnog broja Relativna greška približnog broja je količnikx

.x

r xx

Granica relativne greškeGranica relativne greške je broj za koji važi xR .

xxRr

Granica procentualne greškeGranica procentualne greške: Granica promilne greške:Granica promilne greške:.100 xR .1000 x

R

Primer 2: Neka je približna vrednost za a

približna vrednost za Koja od ove dve aproksimacije je bolja?

00005.0x ,00004.0x 100500y

.100000y

Rešenje:

500

00001.0

yy

xx

y

x

.048.0100500

500

2.000005.0

00001.0

yr

xr

y

y

xx

).,( },9,...,1,0{ ,0 je gde

...),10...1010(

1

1121

kn

x

i

knk

nn

Definicija 4: Cifra približnog broja je značajna cifra značajna cifra ako je različita od nule. Nula je značajna cifra ako se nalazi između cifara različitih od nule ili je desno u odnosu na sve značajne cifre.

i x

Primer 3:

1.253 0.3678 0.0004567 0.004030500

Primer 4:

65432 100107105100103030570.0

Zapis približnog broja:

Neka je:

).10...10...1010( 11121

mnm

knk

nnx

Definicija 5: Značajna cifra približnog broja je sigurna cifrasigurna cifra ako je k x

1).(0,10 1 kn

xA

k :2

1 je sigurna u užemužem smislu.

k :1 je sigurna u širemširem smislu.

Primer 5: .4257.6,4281.6 xx

2102

1005.00024.0 xx

Cifre 6,4 i 2 su sigurne u užem ( i širem ) smislu.

Napomena:

Veza između broja sigurnih cifara i granice relativne greške data je Teoremom 1.3.1 na strani 16.

ZAOKRUGLJIVANJE BROJEVAZAOKRUGLJIVANJE BROJEVA

Definicija 6: Postupak zamene broja brojem sa menjim brojem značajnih cifara naziva se zaokrugljivanjezaokrugljivanje broja .

Neka je dat tačan broj:

...).10...1010( 1121 mn

mnnx x x

x

Pravila za zaokrugljivanje:Pravila za zaokrugljivanje:

1. Ako je

,102

1...1010 11

21

mnmnm

mnm

tada je

.)10...1010( 1121

mnm

nnx

Ako se broj zamenjuje brojem koji ima cifara, to se čini na sledeći način:

x mx

2. Ako je

,102

1...1010 11

21

mnmnm

mnm

tada je

.)10)1(...10( 11

mnm

nx

3. Ako je11

21 102

1...1010

mnmnm

mnm

i ako je parna cifra primenjuje se prvo, a ako je neparna cifra drugo pravilo (pravilo papravilo parrne cifrene cifre).

m m

Teorema: Greška zaokrugljivanja broja nije veća od .102

1 1 mn

Dokaz:

1. Nije došlo do povećanja. Tada je ),10...10( 11

mnm

nx pa je

.102

110510104

101

1109104...)10101(109104

...109109104...1010

1

11211

21121

mnmnmnmn

mnmnmnmn

mnmnmnmnm

mnmxx

2. Došlo je do povećanja. Tada je ),10)1(...10( 11

mnm

nx pa je

.102

110510461010

...)10(1010...)1010(10

...)10....10(1010....10

1

121

121

1

11

111

mnmnmnmn

mmmnmn

mmn

mmn

mnm

nmnmnm

nxx

3. 110

2

1 mnxx (trivijalno). ■

Greške približne vrednosti Greške približne vrednosti funkcijefunkcije

1

1

( ,..., )

( ,..., ),

n

n

y f x x

y f x x

1, ( ,..., ) : ,1 .i k

i i n k kx xx x A G x x x x A k n

1 1 1 1 11

1 1 1

( ,..., ) ( ,..., ) ,...,

supk k

n

n n n n n k kk k

n n n

k k x xx Gk k kk k k

fy y f x x f x x x x x x x x x x

x

f f fM x x M A A

x x x

Neka je

Tada je:

U praksi se obično koristi linearna aproksimacija greške:

11

,..., .k

n

ny xk k

fA x x A

x

Greška zbira:

yxzAAA

y

f

x

f

yxyxfz

:1

),(

Greška razlike:

yxzAAA

y

f

x

f

yxyxfz

:1,1

),(

Greška proizvoda:( , )

, :

z x y

z f x y xy

f fy x

x y

A y A x A

yx

yxzz

RRyx

AxAy

z

AR

2

2

( , )

1, :

x y

z

xz f x y

y

f f x

x y y y

y A x AA

y

Greška količnika

yx

yx

zRR

yx

y

AxAy

R

2

Obratan problem ocene greškeObratan problem ocene greške

kx

n

k ky

n

Ax

fA

xxfy

1

1 ),...,(

),...,1(, nkAkx

Odrediti granice apsolutnih grešaka tako da granica apsolutne greške približne vrednosti funkcije bude manja od unapred zadate vrednosti :

k

x

n

k k

Ax

f

1

Principi jednakih uticaja:

1

, 2,..., :k kx x

k

f fA A k n

x x

),...,1(, nk

xf

n

A

k

xk

Princip jednakih apsolutnih grešaka:

),...,1(,

:),...,2(,

1

1

nk

xf

A

nkAA

n

i i

x

xx

k

k

Principi jednakih relativnih grešaka:

).,...,1(,

,

),...,2(,

1

1

111

1

nk

xf

x

xA

xf

x

R

xx

fRRx

x

fA

x

fA

nkRR

n

i ii

k

x

n

i ii

x

i

n

i ixxi

n

i ix

n

i iy

xx

k

k

kii

k