Institut Alexandre Satorras

Departament de Matemàtiques

Primer de Batxillerat

(científic-tecnològic)

MATEMÀTIQUES

curs 2014/15

1

ÍNDEX

1.- Trigonometria pàg 3

2.- Geometria pàg 14

3.- Circumferència i còniques pàg 21

4.- Conjunts numèrics pàg 25

5.- Successions i progressions pàg 32

6.- Funcions algebraiques i polinomis pàg 36

7.- Funcions transcendents pàg 43

8.- Continuïtat pàg 52

9.- Derivades pàg 58

2

CONNEXIONS AMB ALTRES MATÈRIES

FÍSICA I

Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de física i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura.

Vectors i trigonometria: cinemàtica, dinàmica, camp gravitatori, camp elèctric, electromagnetisme.

Fenòmens periòdics: moviment circular.

Còniques: camp gravitatori, camp elèctric.

Les funcions polinòmiques, de proporcionalitat inversa, exponencials i trigonomètriques: en tot el currículum de física

Taxes de variació i derivades: pràcticament en totes les parts però especialment en la cinemàtica i el moviment ondulatori.

Estadística: tractament de dades experimentals.

QUÍMICA I

Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de química i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura.

Resolució d’equacions: problemes d’equilibri químic

Estudi de funcions a partir de taules i gràfics

Funcions polinòmiques i de proporcionalitat inversa: llei dels gasos de Gay-Lussac, llei de Boyle-Mariotte

Logaritmes: equilibri químic, ph

Taxes de variació i derivades: cinètica química, gasos ideals.

Estadística: Tractament de dades experimentals.

Ús de la calculadora i de fulls de càlcul en bona part del currículum

BIOLOGIA I i II

Aproximacions, errors i notació científica: en tot el currículum de biologia i particularment quan es fan pràctiques quantitatives o es tracta el tema de la sensibilitat dels instruments de mesura.

Funció exponencial: creixements de població

Taxes de variació: taxa de creixement d’una població

Combinatòria: Bioquímica i reproducció cel·lular

Probabilitat: genètica

Estadística: Evolució

DIBUIX TÈCNIC I

Geometria plana: Construccions geomètriques i resolució gràfica de problemes.

CIÈNCIES DE LA TERRA I DEL MEDI AMBIENT I

Trigonometria: càlcul d’àrees

Funcions trigonomètriques: fenòmens periòdics

FÍSICA II

Còniques: interferències, camp gravitatori i elèctric.

Derivades: moviment ondulatori

Funcions trigonomètriques: moviment harmònic simple, pèndul simple, moviment

ondulatori.

Funció exponencial: física nuclear

ELECTROTÈCNIA

Derivades, funcions trigonomètriques i complexos: Corrent altern

3

TRIGONOMETRIA

1. Els angles i la seva mesura

Un angle és una de les meitats en què queda dividit el pla per dues semirectes (anomenades costats ) amb el mateix origen (anomenat vèrtex ). Per indicar quina meitat és es fa un petit senyal en forma d'arc de circumferència.

Un angle té per nom una lletra (majúscula o grega) que s'escriu en el vèrtex o a l'interior.

Quan un objecte gira al voltant d'un punt descriu un angle que s’anomena angle de gir . Els angles de gir són angles orientats : angles positius si el gir és contrari al de les busques del rellotge, i angles negatius si giren en el mateix sentit.

angle de gir positiu angle de gir negatiu

Si el gir dóna més d'una volta completa al centre, l'angle que queda finalment entre els costats és la determinació principal de l'angle de gir.

Sistemes de mesura d’angles Hi ha dos sistemes de mesura d'angles:

(1) El sistema dels graus. Té tres unitats: grau, minut i segon. En aquest sistema un angle recte val 90 graus.

No és un sistema decimal i per tant no es poden escriure dècimes de grau ni de minut.

(2) El sistema dels radians : si es traça una circumferència que té centre al vèrtex d'un angle, entre els costats quedarà un arc. Si l’arc mesura igual que el radi tenim 1 radià. La mesura d’un angle qualsevol en radians és el resultat de dividir la longitud de l'arc entre la longitud del radi.

angle = rm

radians

m

r

4

En aquest sistema un angle complet (una volta sencera) val π2 radians, un angle pla en val π , i

un angle recte en val 2π

radians.

Per canviar de graus a radians i recíprocament s'utilitza la proporció

π

= 180radians

usgra

Representació dels angles a la circumferència unita t

La circumferència unitat és una circumferència amb centre l'origen de coordenades que se suposa de radi 1. Un angle es representa a la circumferència unitat posant el vèrtex a l'origen i el primer costat a la meitat positiva de l'eix horitzontal. Llavors l'altre costat talla la circumferència en un punt.

Els eixos divideixen la circumferència en quatre quadrants . Segons en quin estigui el punt representatiu, l'angle és diu que "l’angle és del primer quadrant", "l’angle és del segon quadrant", etc.

La divisió dels quadrants en dues o en tres parts produeix els angles més importants (que també apareixen en figures regulars com el triangle equilàter, el quadrat o l’hexagon, bé com a angles propis o bé quan es tracen les bisectrius) que estan indicats a les figures següents amb la seva mesura en graus i en radians:

Si el punt representatiu d'un angle es reflecteix successivament en cada eix s'obtenen tres angles més, un a cada quadrant, que són els angles relacionats amb el primer. Com veurem més endavant aquestes relacions seran importants per deduir les raons trigonomètiques d’un angle a partir d’un altre.

5

2. Les raons trigonomètriques

Si per un punt d'un costat d'un angle agut es traça una perpendicular a l'altre costat es forma un triangle rectangle. A partir de les mesures x, y i z es defineixen les raons trigonomètriques de l'angle, amb les quals relacionem els costats d’un triangle rectangle amb els seus angles.

La divisió y:z s’anomena el sinus de l'angle: z

y= sin α

La divisió x:z s’anomena el cosinus de l'angle: zx

= cos α

La divisió y:x s’anomena la tangent de l'angle: xy

= tan α

El sinus, el cosinus i la tangent són tres nombres, generalment decimals, que són independents del punt que s’hagi agafat per definir-los (es comprova tenint en compte el Teorema de Tales).

Si l'angle està representat a la circumferència unitat les tres raons trigonomètriques corresponen a les longituds de tres segments:

Si l'angle no és agut les raons trigonomètriques es defineixen tal com s'indica a la figura següent, considerant el punt situat sobre uns eixos de coordenades:

segon quadrant tercer quadrant quart quadrant

Les longituds de x i de y es compten com a positives o com a negatives d'acord amb la seva posició respecte dels eixos, i la longitud z es compta sempre positiva.

6

Resulta doncs que els signes de les raons trigonomètriques varien segons els quadrants de la forma que s'indica a continuació:

sinus cosinus tangent

Relacions fonamentals Entre les tres raons trigonomètriques hi ha dues relacions molt importants:

sin2α+cos2α = 1

ααα cos sin

= tan

Una conseqüència de la primera relació és que ni el sinus ni el cosinus poden ser més grans que 1 ni més petits que -1.

3. Càlcul de raons trigonomètriques

Càlcul directe:

Consisteix en passar de l'angle a les raons. Es fa amb les tecles sin , cos i tan de la calculadora. Cal tenir en compte que l'angle es pot entrar en graus (mode DEG) o en radians (mode RAD).

Convé saber les raons d'alguns angles que tenen una forma especialment senzilla:

Angle graus

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°

Angle radians

0 π6

π4

π3

2π

π 3π2

sinus 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0 -1

cosinus 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0

tangent 0 √3/3 1 √3 cap 0 cap

Càlcul invers:

Consisteix a passar d'una de les raons a l'angle. Es fa amb les tecles sin-1, cos-1 i tan-1 de la calculadora.

Ara bé, hi ha molts angles que tenen una mateixa raó. La calculadora només en dóna un, que s’anomena l'arcsinus , arccosinus o arctangent segons els casos; els altres s'han de calcular seguint l'esquema anterior i sumant i restant múltiples de 360°.

Per donar la resposta correcta és necessari saber en quin quadrant ha d'estar.

7

Raons trigonomètriques d’un angle relacionant-lo am b un del primer quadrant: Si coneixem les raons trigonomètriques d’un angle α es poden deduir les dels angles relacionats amb ell de la forma següent: sin (180-α )= sin α cos (180-α )= - cos α tan (180-α )= -tan α

sin (180+α )= - sin α cos (180+α )= - cos α tan (180+α )= tan α

sin (360-α )= - sin α cos (360-α )= cos α tan (360-α )= -tan α

Aquestes relacions quedarien així esquematitzades, respecte a un angle del primer quadrant::

segon tercer quart

sinus iguals sinus oposats sinus oposats cosinus oposats cosinus oposats cosinus iguals tangents oposades tangents iguals tangents oposades

Important: Per tant a cada volta hi ha dos angles que tenen un valor igual per a una raó determinada, excepte en el cas de sin o cos igual a 1 o -1.

Com trobar les raons trigonomètriques a partir d’un a de donada:

Es pot fer:

- utilitzant les relacions que hi ha al final de la secció 2; llavors no és necessari calcular el valor de l'angle i els resultats poden ser més exactes, això sí depenent d’arrels quadrades.

- calculant l'angle que correspon a la raó donada, amb les precaucions expressades abans.

4. Resolució de triangles

Un triangle té sis elements que es poden mesurar: els tres costats a, b i c i els tres angles A, B i C. Normalment la lletra d'un angle és la majúscula de la lletra del costat oposat.

Resolució de triangles rectangles

Si el triangle és rectangle i A és l'angle recte, el costat a s’anomena hipotenusa i els costats b i c s’anomenen catets . Entre aquests elements hi ha les següents relacions:

(1) entre els angles: A+B+C = 180°

(2) entre els costats: a2 = b2+c2 (teorema de Pitàgores)

(3) entre els angles i els costats:

sin B = ba

= catet oposat a Bhipotenusa

= catet adjacent a Chipotenusa

= cos C

cos B = ca

= catet adjacent a Bhipotenusa

= catet oposat a Chipotenusa

= sin C

tan B = bc

= catet oposat a Bcatet adjacent a B

= catet adjacent a Ccatet oposat a C

= 1tan C

8

Entre els 5 elements B, C, a, b i c es poden calcular tres d'ells si es saben els altres dos (excepte si aquests dos són B i C). Aquest càlcul és la resolució del triangle rectangle .

Relació entre les raons d’un angle i les del seu co mplementari

A partir de les relacions anteriors i tenint en compte que B+C=90 o sigui que C=90-B, en general podem escriure les relacions entre les raons trigonomètriques d’un angle i el del seu complementari:

sin (90-α )= cos α

cos (90-α )= sin α

tan (90- α )= αtan

1

Resolució de triangles no rectangles

La resolució d’un triangle no rectangle pot fer-se tenint com a dades

• els tres costats • un costat i els angles adjacents • dos costats i l'angle que formen • dos costats i un angle que no formen. En aquest cas el problema pot tenir dues solucions.

El càlcul dels altres elements es fa a partir de les relacions:

1) A+B+C = 180°

2) fórmules del cosinus: a² = b² + c² - 2bc.cos A b² = a² + c² - 2ac.cos B c² = a² + b² - 2ab.cos C

3) fórmula dels sinus C sin

cB sin

b Asin

a ==

És interessant pensar en la resolució geomètrica amb regle i compàs dels diferents casos, a partir de les dades que tenim, i es pot analitzar quines dades dónen solució, quines no i quines en donen dues.

5. Fórmules amb raons trigonomètriques

No és cert que sin(a+b) = sin a + sin b, ni que sin 2a = 2sin a, ni altres relacions simples d'aquest caire. Les autèntiques relacions entre les raons trigonomètriques i les operacions de suma i producte vénen donada per les quinze fórmules següents:

A) Fòrmules de la suma d'angles

1. sin(a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b 2. cos(a+b) = cos a.cos b - sin a.sin b

3. tan (a+b)= btanatan1

btanatan⋅−

+

A partir de la primera de les fórmules es poden anar deduint les altres, per això us donem la demostració de la primera que és la més important. Aquestes fórmules més endavant s’utilitzaran per resoldre equacions trigonomètriques.

9

Demostració de la fórmula trigonomètrica 1

En el triangle BOE es té sin(a+b) = BEOB

.

Però BE = BD + DE, i per tant BEOB

= BDOB

DEOB

+ .

La primera fracció no es canvia si es multipliquen el numerador i el denominador pel mateix factor, en aquest cas

per BC: BDOB

BDBC

BCOB

= ⋅ .

L’angle DBC és igual a l’angle “a” perquè tenen els costats perpendiculars.

En el triangle BDC es té cos a = BDBC

.

En el triangle OBC es té sin b = BCOB

. Resulta doncs que BDOB

= cos a · sin b

Anem a la segona fracció. Aquesta tampoc no es canvia si es multipliquen el numerador i el denominador pel

mateix factor, en aquest cas per OC: DEOB

DEOC

OCOB

= ⋅ .

El segment DE és igual al segment CF, i per això DEOC

CFOC

= . Però si es mira el triangle OCF, aquesta divisió

resulta ser sin a = CFOC

. En el triangle OBC es té OCOB

= cos b. Resulta doncs que DEOB

= sin a · cos b

Per tant tenim, sin(a+b) = sin a · cos b + cos a · sin b

B) Fòrmules de la diferència d'angles

4. sin(a-b) = sin a.cos b - cos a.sin b 5. cos(a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b

6. tan(a-b) = btanatan1

btanatan⋅+

−

C) Fórmules de l'angle doble

7. sin 2a = 2sin a.cos a 8. cos 2a = cos²a - sin²a

9. tan 2a = atan-1

a tan22

D) Fórmules de l'angle meitat

10. 2

a cos12a

sin−= 11.

2a cos+ 1

2a

cos =

E) Fórmules de la suma i diferència de raons

12. sin a+ sin b = 2sin 2

ba +cos

2ba −

13. sin a- sin b = 2cos 2

ba +sin

2ba −

14. cos a+cos b = 2cos 2

ba +cos

2ba −

15. cos a- cos b = - 2sin 2

ba +.sin

2ba −

10

TRIGONOMETRIA EXERCICIS

1. Dibuixa angles de 42°, 155°, -80°, 348°, -155° i 222°.

2. D'un formatge circular de radi 17 cm talles un sector, la circumferència del qual mesura 11 cm. Quin és l'angle d'aquest sector?.

3. Calcula la mesura en radians d'un angle que comprèn un arc de 12,4 cm de longitud en un cercle de radi 15 cm.

4. Calcula la longitud de l'arc que comprèn un angle de 1,5 radians en un cercle de radi 8,3 cm.

5. Una bicicleta que té les rodes de 35 cm de radi recorre 4 metres. Quin angle han girat les seves rodes?.

6. Calcula l'angle que formen les busques d'un rellotge a les:

a) 7 hores i 30 minuts b) 10 hores i 10 minuts

7. Expressa en graus, minuts i segons els angles que mesuren, en radians:

3 2,42 2/5 4,3 4π/9 12π/5 7π/4

8. Expressa en radians els angles que mesuren, en graus i minuts:

74° 132° 240° 25° 30' 10° 15'

9. Troba la determinació principal dels angles que mesuren:

800° 467° 4065° 42π rad 25π/6 rad 53 rad

10. Dibuixa i calcula la mesura de tots els angles compresos entre 0 i 360 graus relacionats amb els angles de:

a) 35 graus b) 112 graus c) 247 graus d) 341 graus

11. Calcula les raons trigonomètriques de dos angles, i després el valor dels dos angles, si el seu primer costat és l'eix positiu de les X i el segon passa per:

a) el punt (5,8) b) el punt (3,-1)

12. Dibuixa tres angles que tinguin, respectivament:

a) cosinus igual a 2/3 b) tangent igual a 3/5 c) sinus igual a -1/6

i calcula les altres raons trigonomètriques d'aquests angles, i després el valor dels angles.

13. Calcula les raons trigonomètriques dels angles d'un triangle rectangle en què:

a) la hipotenusa és 7 i un catet 3 b) els catets són 2 i 5 c) un catet és el doble de l'altre

14. Escriu el sinus, el cosinus i la tangent de tots els angles superiors al primer quadrant que divideixen el cercle en 8 i en 12 parts iguals.

15. Si un angle és del segon quadrant i té sinus 3/8, calcula'n el cosinus i la tangent.

11

16. Si un angle és del tercer quadrant i té cosinus -1/5, calcula'n el sinus i la tangent.

17. Si un angle és del primer quadrant i té tangent 4, calcula'n el sinus i el cosinus.

18. Escriu tots els angles α compresos entre 0° i 360° tals que:

a) sin α = 1/2 b) tan α = -1 c) cos α = sin 40° d) sin α = 0'8

19. Si l'angle α és al primer quadrant i sin α = 1/3 calcula les raons trigonomètriques d'α,

-α, 180° - α i 180° + α.

20. Si l'angle ß és al tercer quadrant i tan ß = 2 calcula les raons trigonomètriques de ß, ß - 180°, 360° - ß.

21. Amb regle, compàs i transportador, dibuixa els triangles rectangles que tenen:

a) catets de 3 cm i 6 cm b) un catet de 3 cm i la hipotenusa de 8 cm c) un catet de 4 cm i l'angle entre aquest catet i la hipotenusa de 35° d) un catet de 10 cm i l'angle oposat a ell de 72° e) la hipotenusa de 8 cm i un angle de 24°.

22. Calcula l'altura a què arriba una escala de 5 metres recolzada en una paret, si forma amb el paviment un angle de 70°.

23. Calcula l'angle d'elevació del Sol respecte a l’horitzó quan una persona de 1,72 metres projecta una ombra de 1,2 metres.

24. Una rampa de 10 metres de llarg està, en el seu punt més alt, a 2,3 metres del sòl. Calcula quin és el seu angle d'inclinació.

25. Un balcó està a 2,8 metres sobre el sòl i sobresurt 49 cm de la paret. Plou i la pluja cau inclinada cap a la paret, amb un angle de desviació respecte la vertical de 8°. Es mullarà la paret o no?.

En cas afirmatiu, fins quina alçada?.

En cas negatiu, fins quina distància de la paret quedarà el terra sec?.

26. Resol i dibuixa els triangles rectangles en què se sap que:

a) un catet és 3 cm i la hipotenusa és 8 cm b) un catet és 5 cm i l'angle oposat és 42° c) la hipotenusa és 6 cm i un angle és 62° d) els catets són 2 cm i 3 cm e) l'àrea és 20 cm² i un angle és 40° f) un angle és 25° i l'altura sobre la hipotenusa és 4 cm.

27. Un compàs té longitud 13'5 cm i està obert de forma que la distància entre les puntes és 5'8 cm. Calcula el seu angle d'obertura.

28. Des d'un lloc del terra es veu el punt més alt d'una casa amb un angle de 33°. Si avancem 38 metres l'angle passa a ser de 58°. Calcula l'altura de la casa.

12

29. L'Estàtua de la Llibertat que hi ha a Nova York té 45 metres d'alt i és dalt d'un pedestal que en té 47. Una persona se la mira des de 300 metres de la base del pedestal. Quin és el seu angle de visió de l'estàtua?.

30. Calcula l'amplada d'un riu de ribes paral·leles si des de dos punts de la mateixa riba distants 50 metres observes un mateix punt de l'altra amb angles de 30° i de 60°.

31. Calcula els angles i els costats d'un rombe que té les diagonals de 16 i 10 centímetres.

32. Resol i dibuixa els triangles no rectangles en què es coneix:

a) b = 12 , c = 7 , A = 76° b) A = 40° , B = 63° , c = 12 c) a = 10 , b = 8 , c = 7

d) a = 12 , b = 15 , A = 48° e) a = 3 , b = 4 , A = 80° f) A = 71° , B = 47° , a = 30

33. Un triangle té costats 2, 3 i 4. Calcula la longitud de les tres altures.

34. Un pal de 54 cm s'inclina 50° en la direcció del Sol, quan l'altura d'aquest és 31° . Calcula la longitud de l'ombra del pal.

35. Des d'un punt surten a l'hora dos cotxes per dues carreteres rectes que formen un angle de 43°. Un va a 82 km/h i l'altre a 63 km/h. Calcula:

a) quina separació hi haurà entre ells al cap d'una hora?

b) quant trigaran en estar separats per 100 km.?

36. Resol el triangle de la figura de sota a l’esquerra sabent que l'angle B és 145° , b = 32 i h = 7.

A B

D

h b

B C A E C

37. En la figura de dalt a la dreta la distància EC = 15, i els angles AED = 66° , AEB = 72° , ACB = 68°. Calcula la distància BD.

38. En la figura següent la distància CD = 100, i els angles ACD = 103° , BCD = 68°, CDB = 88° , CDA = 41° . Calcula la distància AB.

B

A

C D

39. Les tangents a una circumferència de radi 4 traçades per un punt exterior formen un angle de 40°. Calcula la distància del punt al centre de la circumferència.

13

40. Dues rodes de radis 1 metre i 25 centímetres estan unides per una corretja de transmissió. Si els centres de les rodes estan separats per 2 metres, calcula la longitud de la corretja.

41.- Dedueix la fórmula per calcular l’àrea lateral d’un con a partir de la generatriu i del radi de la base. INDICACIÓ: Pensa en quina figura queda si ho desplegues.

42. Troba les raons trigonomètriques de l’angle de 75o sabent que 75=45+30

43. Sabent que sin x=32

i que l’angle x és del primer quadrant, troba tan 2x

44. Si α és un angle del segon quadrant amb sin α = 4/5 i ß un angle del quart quadrant amb cos ß = 12/13, calcula (sense decimals ni calculadora) el sinus i el cosinus dels angles α+ß, α-ß, α/2, ß/2, 2α i 2ß. Determina en quin quadrant estan aquests angles.

45. Troba una expressió per sin 3x depenent de sin x.

Indicació: posa 3x=x+2x

46. Demostra que pels tres angles d’un triangle qualsevol es verifica que

tan A+tan B+tan C= tan A· tan B· tan C

Indicació: posa A+B=180-C i desenvolupa tan (A+B)= tan (180-C)

47. Calcula les raons trigonomètriques dels angles α i ß sabent que:

a) α és agut i cos 2α = 1/3

b) ß és del tercer quadrant i sinβ2

34

=

48. Redueix a expressions el més senzilles possible:

sin

sin sin

2 4

2 211

1α

αα αα α α α−

−−

+−cos

coscos

sin

1

1+ sin

4

AMPLIACIÓ.

49.- Tenint en compte que un con desplegat és un sector circular, dedueix la fórmula que s’utiltza per calcular l’àrea lateral d’un con.

14

GEOMETRIA

1. Punts i vectors Cada punt ve identificat per dos nombres que són les seves coordenades . Hi ha diversos sistemes de coordenades, però el més important és el de les coordenades cartesianes rectangulars:

La referència la formen dues rectes perpendiculars (eixos) que es tallen en un punt O (origen). Les coordenades de P són les distàncies de P als eixos, i es diuen abscissa i ordenada . S'escriu P = (p1,p2) o bé P = (x,y).

P

y

O x

Dos punts A i B determinen un segment AB.

Un vector és un segment orientat del pla. Els seus extrems s’anomenen origen i final. Si A és

l'origen i B el final, el vector s'escriu →

AB i es dibuixa com una fletxa que uneix A i B. Indica el camí que s'ha de fer sobre el pla per anar d'A fins a B.

Si les coordenades cartesianes d'A i B són (a1,a2) i (b1,b2), s’anomenen components d'→

AB a

les diferències de coordenades: →

AB = B - A = (b1-a1,b2-a2)

Les components són les projeccions d'→

AB sobre els eixos.

B

b2

A b2-a2

a2 b1-a1

a1 b1

S’anomena mòdul (o longitud) d'→

AB a la distància entre A i B. S’anomena direcció d'→

AB a la direcció de la recta determinada per A i B.

Els vectors →

AB i →

BA són vectors oposats: tenen els mateixos mòdul i direcció, però diferent sentit .

Tots els vectors que tenen les mateixes components tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix sentit. El conjunt de les dues components s'anomena un vector lliure : ),( 21 vvv =r

El vector lliure de components (0,0) s’anomena vector nul i s'escriu 0.

El mòdul d'un vector lliure vr

s'escriu vr

i es calcula per 2

22

1 vvv +=r

L'argument d'un vector lliure v és l'angle α que es calcula per 1

2

vv

tan =α

15

2. Operacions amb vectors a) Suma Si u = (u1, u2) i v = (v1, v2) la suma és u+v = (u1+v1, u2+v2). Gràficament, es prenen representants d'u i v amb el mateix origen; la diagonal del paral·lelogram que determinen i que té el mateix origen representa u+v.

b) Diferència

Si v = (v1, v2) el seu vector lliure oposat és -v = (-v1, -v2). La diferència de dos vectors és u-v =

(u1-v1, u2-v2).

Gràficament, u-v es fa sumant a un representant d'u l'oposat a un representant de v, o bé representant-los en el mateix origen i unint els finals de tots dos.

u+v v u-v

v u

u

Per tant si u i v determinen un paral·lelogram, les diagonals d'aquest representen u+v i u-v.

c) Producte per un escalar

Si k és un escalar (un valor numèric) i v un vector, es defineix kv = (kv1, kv2).

El vector kv té la direcció de v, mòdul k· vr

, i sentit igual o contrari al de v segons si k>0 o k<0.

Els vectors u i v són dependents si u = kv per a un escalar k. En tal cas els vectors tenen la

mateixa direcció i les seves components són proporcionals: 2

2

1

1

vu

vu = .

Si u i v no són dependents són independents .

Dos vectors independents es diu que formen una base dels vectors del pla: Aleshores qualsevol altre vector w pot escriure's com a combinació d'u i v:

w = au+bv amb a i b escalars

u w

v

Sempre que u i v siguin independents (tinguin diferent direcció) podrem trobar un múltiple de u i un múlitple de v que sumats ens donin w. Per fer-ho gràficament has de construir un paral·lelogram, traçant paral·leles a u i v que passin per l’extrem de w, i allargant els vectors u i v fins que tallin a les paral·leles que has dibuixat.

16

d) Producte escalar de vectors

S’anomena producte escalar dels vectors u i v a l'escalar u·v = u1·v1+u2·v2.

Els vectors u i v són ortogonals si formen un angle recte o sigui si u·v = 0.

Per exemple, )v,v( 12− és ortogonal a )v,v( 21 . Hi ha infinits vectors ortogonals a un donat, i tots ells són dependents.

El mòdul d'un vector pot expressar-se per mitjà del producte escalar: v= vv ⋅

Un vector de mòdul 1 és un vector unitari . Per a tot v, el vector vv

és unitari i rep el nom de

normalitzat de v.

L'angle entre dos vectors lliures u i v és l'angle α format per dos representants amb el mateix

origen. Es calcula per vuvu

= cos⋅⋅α

D'aquí s'obté una definició alternativa de producte escalar que no fa servir les components:

u·v = u·v·cos α

Si u i v són els vectors lliures representats en els costats d'un paral·lelogram, aquest paral·lelogram és un rectangle si u·v = 0, un rombe si u =v i un quadrat si u·v = 0 i u =v.

L’àrea del paral·lelogram que formen dos vectors v=(v1, v2) i u=(u1, u2) es igual a v1 ⋅ u2 − v2 ⋅ u1 que es el valor absolut del que s’anomena el determinant dels dos vectors.

3. Geometria de rectes Si A és un punt i v un vector lliure, s’anomena recta determinada per A i v al conjunt de punts P tals que AP és dependent de v. El vector v és el vector director de la recta.

Si A = (a1,a2), v = (v1, v2) i P = (x,y) es té 2

2

1

1

v

ax

v

ax −=

−, que és l'equació contínua de la

recta.

La recta que passa pels punts A i B té vector director v = AB→

i equació contínua

22

2

11

1

abax

abax

−−=

−−

Multiplicant en creu a l’equació continua i igualant a zero tenim l’equació cartesiana :

ax + by + c = 0

El vector n = (a,b) format pels coeficients de l'equació cartesiana és ortogonal al vector director, i rep el nom de vector normal a la recta.

Si després aïllem la variable y tenim l’equació explícita: y = mx + n

El coeficient m de l'equació explícita s’anomena pendent de la recta i és la tangent de l'argument

del vector director (m=tan α = )1

2

v

v n P

A

v

17

El punt mitjà entre dos punts A i B s'obté fent 2

BA +

La intersecció de dues rectes és el punt que té per coordenades les solucions del sistema format per les equacions de les dues rectes.

Dues rectes que no tenen intersecció són paral·leles . En tal cas les dues rectes tenen:

- vectors directors dependents - vectors normals dependents - el mateix pendent

Donada una recta r, per un punt exterior P hi passa una sola recta paral·lela i escriurem la seva equació en forma continua posant el mateix vector director de la recta r i posant com a coordenades del punt les del punt P.

P x

r

L'angle entre dues rectes és el format pels seus vectors directors o pels seus vectors normals.

A partir dels pendents de les dues rectes m i m’, es pot calcular l’angle que formen així:

'mm1

'mmtantan1

tantantan

⋅+−=

β⋅α+β−α=ω

Si l’angle que formen dues rectes és un angle recte les rectes són perpendiculars . En tal cas les dues rectes tenen: - vectors directors ortogonals

- vectors normals ortogonals - pendents recíprocs i oposats (si un és m, l’altre és -1/m)

Donada una recta r, per un punt exterior P hi passa una única recta perpendicular i escriurem la seva equació en forma continua posant-li com a vector director un vector ortogonal al de r i posant coma coordenades del punt les del punt P

Px

r

La distància entre dos punts és el mòdul del vector que determinen:

222

211 )pq()pq(PQ)Q,P(d −+−==

→

La distància entre un punt i una recta es calcula a partir de les coordenades del punt

P = (p1,p2) i l’equació de la recta r: ax+by+c = 0 fent:

22

21

ba

cbpap)r,P(d

+

++=

18

GEOMETRIA EXERCICIS

1. Representa els punts donats en coordenades cartesianes per A = (-3,4); B = (0,5); C = (1,1) i D = (-6,0). Dibuixa tots els vectors que determinen, i calcula'n les components.

2. Desplaça els punts (5,6), (-1,2) i (0,-7) segons el vector lliure u =(3,-5).

3. Dibuixa un triangle de vèrtexs (2,5), (3,-1) i (0,6). Trasllada'l de forma que el primer vèrtex vagi a parar a (-7,3). On aniran els altres dos vèrtexs?.

4. Si A = (3,-2), B = (0,-1) i C = (-5,4) troba un quart punt que formi amb ells un paral·lelogram. Quantes solucions hi ha?.

5. Si A=(2,0), B=(6,1) i C=(3,-4) troba els punts D, E i F que compleixen:

a) →

DB = →

AD2 b) )1,5(ACBE =+→→

c) 0FAAB3CF4 =+−→→→

6. Essent u =(-3,4) , v =(2,1) i w = (4,-6), calcula les combinacions:

a) u-v-w b) (u+v)-(u-v) c) u-2v-2(v-(v-2u))

d) 2u-v+12

w e) 12

23

u v w+ − f) u+v-(u-(v-w))

7. Calcula dos vectors u i v tals que u-2v = (3,5) i 2u-3v = (-1,7)

8. Decideix quins dels següents parells de vectors són dependents:

a) (1,-2) i (2,-4) b) −

32

1, i 2,-12

c) 35

47

37

, ,

i

920

d) )3,2( i )5,3( e) )1,22+(3 i )223,1( − f) )5,25( i )5920,25( −+−−

9. Calcula x per a que els següents parells de vectors siguin dependents:

a) (x,x+8) i (x-2,6) b) ( 4x,5) i (3x+1,2) c) (x-2, 4) i (2, 3x-1)

10. Expressa com a combinació, si és possible:

a) (4,-7), de (3,1) i (-1,2) b) (1,8), de (1,2) i (1,1) c) (1,0), de (1,1) i (1,2)

11. Si u =(1,-2), v = (3,4) i w = (-2,5), calcula:

u·v, (u+v)·w, (u-v)·(u+v), (u+2v)·v-2w·(3v-4u)

12. Calcula el mòdul i l'argument dels vectors u = (5,12) i v = )1,3( −

13. Calcula l'angle que formen els vectors (6,-3), i 0,21

i el que formen els

vectors )2(1, i )1,2(

14. Calcula quatre vectors de mòdul 5 que siguin:

a) d'argument 180º b) de la forma (x+1,1) c) de la forma (x2,-3) d) ortogonal a (6,1)

15. Calcula x per a que el vector (2,x) sigui:

a) de mòdul 3 b) d'argument 30° c) ortogonal a (-4,9)

16. Calcula tres vectors ortogonals a (-2,8) que siguin:

19

a) de la forma (3,x) b) de la forma (x,x²) c) unitari

17. Calcula un vector que formi angles iguals amb els vectors (4,3) i (12,-5)

18. Dibuixa un paral·lelogram que tingui representats als costats els vectors (2,2) i (1,5), i d'aquest paral·lelogram calcula la longitud dels costats, la longitud de les diagonals, l'angle que formen els costats i l'angle que formen les diagonals.

19. Busca dos vectors u i v tals que: (a) u i (3,1) es representin en els costats d'un quadrat. (b) v i (-3,5) es representin en els costats d'un rectangle d'àrea 30.

20. De cadascuna de les rectes donades per les equacions següents escriu: tres punts, un vector director, un vector normal i el pendent.

0=3y+7x ,5

y10x

7,=2y 0,=1+2y+x- ,2

5x3y

−=−=

21. Essent A i B punts, v un vector director, n un vector normal, i m el pendent, escriu les equacions de les rectes determinades per:

a) A=(9,-7) v =(1,-2) b) A=(11,-5) B=(13,0) c) B=(-8,3), n=(0,-1)

d) A=(4,4) m= 3/5

22. Troba el valor que han de tenir a, b, c, d, e, f, g i h per a que:

1) les rectes ax+2y-4=0, x-3y+4=0 i 2x-y=1 passin per un mateix punt

2) els punts (3,b), (b,1) i (b+2,5) estiguin alineats

3) les rectes cx+2y+4=0 i -7x+dy-2=0 es tallin en el punt (4,5)

4) la recta que passa per (1,e) i (e,2) tingui pendent -3

5) les rectes fx+(f-1)y+3=0 i y=2x siguin paral·leles

6) les rectes x+2y-1=0 i gx-y+99999=0 formin un angle de 60º

7) les rectes hx+(h-1)y+3=0 i y=3x+h² siguin perpendiculars.

23. Escriu l'equació de les rectes determinades per:

a) és paral·lela a 6x-3y-1=0 i passa per (-3,1)

b) és paral·lela a y=3x-1 i passa per la intersecció de 5x-3y+11=0 i l'eix d'abscisses

c) és paral·lela a la recta que passa per (7,7) i (-4,0), i passa per (2,-1)

d) és perpendicular a 2x-y+3=0 i passa per (8,9)

e) és perpendicular al vector (-5,1) i passa per (0,2)

f) és perpendicular a la recta que passa per (2,3) i (5,2), i passa per l'origen.

24. Si els vèrtexs d'un triangle són els punts A=(4,1), B=(0,3) i C=(-6,2), calcula: a) les equacions dels tres costats b) els punts mitjans dels tres costats (M de AB, N de BC, P de AC) c) les equacions de les rectes que uneixen els punts mitjans dels costats d) les equacions de les rectes que uneixen cada vèrtex i el punt mitjà del costat oposat (medianes )

20

e) el punt G d'intersecció de dues de les rectes de la part (d) (baricentre ). Comprova que la

tercera també passa pel punt i que les coordenades del baricentre verifiquen 3

CBA ++

f) les components dels vectors AG i GN, i les dels vectors BG i GP g) els tres angles

h) les equacions de les mediatrius dels tres costats

i) el punt F en què es tallen les mediatrius (circumcentre ) j) les distàncies de F a A, a B i a C

k) les equacions de les tres altures

l) el punt O d'intersecció de les altures (ortocentre ) m) l'àrea del triangle a partir de la fórmula tradicional. Després comprova que coincideix amb la que vam donar per calcular l’àrea del paarl·lelogram que formen dos vectors divindint-la per dos.

Exercicis complementaris

25. Calcula la distància del punt P=(10,5) a la recta -x+3y+7=0, i el punt simètric de P respecte d'aquesta recta. 26. Un triangle té dos dels seus vèrtexs a A=(2,-3) i B=(-5,1), el seu baricentre està a l'eix d'abscisses i el vèrtex C és a l'eix d'ordenades. Determina el punt C. 27. Un triangle té un vèrtex a A=(3,4), el costat AB és paral·lel a la recta 2x+5y+7=0, el costat AC és perpendicular a la recta 5x+7y-2=0, i el costat BC talla els eixos de coordenades a distàncies 4 i -2 de l'origen. Determina els vèrtexs B i C. 28. Un triangle té dos vèrtexs a A=(1,-3) i B=(2,1), el vèrtex C és a la recta x-y=4, i l'àrea del triangle és 6. Determina el vèrtex C. 29. Un rombe ABCD té el vèrtex A a l'origen, la diagonal BD és sobre la recta x+y=4, i el costat AB és paral·lel a la recta 2x-6y+1=0. Calcula els vèrtexs B, C i D. 30. Un triangle té vèrtexs A=(1,1) i B=(6,0), i ortocentre H =(3,2). Determina el vèrtex C. 31. Dos costats d'un paral·lelogram tenen equacions y=2x, 2y=x, i el seu centre és el punt (2,3). Determina els quatre vèrtexs. 32. La projecció del vector u sobre el vector v, és un vector w que és dependent de v i tal que u-w és ortogonal amb v. Fes un esquema gràfic per fer-te’n una idea.

Calcula la projecció w del vector u = (2, 1) sobre el vector v = (5, 4). Calcula u·v i v·w. Calcula l’angle α entre u i v i comprova que w = u· cos α.

Comprova que el producte escalar de v·u és igual a wv ⋅ , o sigui que el producte escalar és

igual al producte del mòdul d’un dels vectors pel mòdul de la projecció de l’altre sobre ell.

21

CIRCUMFERÈNCIES I ALTRES CÒNIQUES

Un lloc geomètric és un conjunt de punts que verifica una certa propietat. Ja n’heu vist uns quants fins ara: la circumferència, la mediatriu d’un segment i la bisectriu d’un segment.

Una superfície cònica és una figura de l’espai que s’obté fent girar una recta (que s’anomena generatriu) al voltant d’una altra (que és l’eix de gir) que la talla en un punt.

Hi ha unes quantes corbes del pla que són llocs geomètrics i que s’obtenen tallant una superfície cònica amb un pla. S’anomenen còniques. D’elles parlarem en aquest capítol.

1.- Geometria de la circumferència La cònica més senzilla és la circumferència ja que s’obté tallant una superfície cònica amb un pla perpendicular a l’eix de gir.

Una circumferència és també un lloc geomètric ja que està formada per un conjunt de punts (x,y) tals que la seva distància a un punt (a,b) anomenat centre és una quantitat fixa r anomenada radi .

Els punts d’una circumferència verifiquen una equació de segon grau:

(x-a)2+(y-b) 2 = r2

Aquesta equació, desenvolupada, té l’aspecte x2+y2+Ax+By+C = 0. Recíprocament, tota equació d’aquest tipus correspon a una circumferència sempre que A2+B2-4C sigui positiu.

La relació entre les dues equacions és A = -2a, B = -2b, C = a2+b2-r2.

Si la circumferència està centrada a l’origen la seva equació és x2+y 2 = r2

El segment que uneix dos punts d’una circumferència és una corda. La mediatriu d’una corda passa pel centre.

Per això tres punts determinen una circumferència, que té el centre en la intersecció de les mediatrius entre cada parell de punts.

La intersecció d’una recta i una circumferència és un sistema d'equacions de segon grau. Si té dues solucions, la recta és secant a la circumferència i en determina una corda ; si té una solució, la recta és tangent a la circumferència i tenen un punt de contacte.

La tangent a una circumferència en un punt és perpendicular al radi en el punt de contacte.

I també tenim que el radi és igual a la distància del centre a la rec ta tangent.

Per un punt exterior sempre es poden traçar dues tangents.

La intersecció de dues circumferències és també un sistema d'equacions de segon grau, que pot reduir-se al format per l’equació d’una d’elles i la diferència de les dues equacions. Aquesta diferència correspon a la recta que passa pels punts d’intersecció, quan n’hi ha, i s'anomena eix radical de les dues circumferències.

2.- L’el·lipse L’el·lipse és una cònica que s’obté tallant una superfície cònica amb un pla que talla l’eix de gir de forma obliqua i que no més paral·lel a la generatriu.

És el lloc geomètric format pels punts tals que la suma de les distàncies a dos altres punts anomenats focus és constant.

L’equació reduïda de l’el·lipse centrada a l’origen és 1b

y

a

x2

2

2

2

=+

En aquesta equació a i b són els semieixos de l’el·lipse. Els focus sempre estan situats sobre el semieix gran.

22

Si c és la semidistància focal es verifica a2=b2+c2

I l’excentricitat de l’el·lipse és e=a

c. Està sempre entre 0 i 1.Si és 0 és una

circumferència.

Si l’el·lipse està centrada en un punt (m,n) diferent de l’origen la seva equació és

1b

)ny(

a

)mx(2

2

2

2

=−+−

3.- La hipèrbola La hipèrbola és una cònica que s’obté tallant una superfície cònica amb un pla paral·lel a l’eix de gir.

És el lloc geomètric format pels punts tals que la diferència de les distàncies a dos altres punts anomenats focus és constant.

L’equació reduïda de la hipèrbola centrada a l’origen és 1b

y

a

x2

2

2

2

=−

En aquesta equació a és el semieix de la hipèrbola (i està sobre l’eix x) i b és el semieix imaginari (i està sobre l’eix y).

Si c és la semidistància focal es verifica c2=a2+b2

L’excentricitat de la hipèrbola és e=a

c. L’excentricitat és sempre més gran que 1.

Una hipèrbola té dues asímptotes que tenen pendents a

b i

a

b−

La hipèrbola que té asímptotes de pendents 1 i -1 es diu equilàtera

Si la hipèrbola està centrada en un punt (m,n) diferent de l’origen la seva equació és:

1b

)ny(

a

)mx(2

2

2

2

=−−−

4.- La paràbola La paràbola és una cònica que s’obté tallant una superfície cònica amb un pla paral·lel a la generatriu.

És el lloc geomètric format pels punts tals que la distància a un punt anomenat focus i a una recta anomenada directriu són iguals.

L’equació reduïda de la paràbola amb el vèrtex a l’origen i que tingui l’eix de simetria sobre l’eix de les x és y2=2px

El valor de p és la distància del focus a la directriu.

Si la paràbola té el vèrtex en un punt (m,n) diferent de l’origen, l’eix de simetria és paral·lel a l’eix de les x i la distància del focus a la directriu és p, la seva equació serà:

(y-n)2=2p(x-m)

Si la paràbola té l’eix de simetria a l’eix de les y l’equació serà x2=2py

Si la paràbola té el vèrtex en un punt (m,n) diferent de l’origen, l’eix de simetria és paral·lel a l’eix de les y i la distància del focus a la directriu és p, la seva equació serà:

(x-m)2=2p(y-n)

23

EXERCICIS CIRCUMFERÈNCIA I CÒNIQUES 1. Escriu les equacions de les circumferències que tenen:

a) centre (1, -1) i radi 3 b) centre (0, 2) i radi 5 2. Calcula el centre i el radi de les circumferències a) x2+y2-6x+4y+5 = 0 b) x2+y2+2x+2y+3 = 0 3. Escriu l’equació de les circumferències determinades per les condicions següents: (a) (2,-1) i (-4,7) són punts oposats d’un diàmetre (b) té el mateix centre que x2+y2-8x+2y+14 = 0, i radi doble que aquesta (c) passa per (0,2), (-1,1) i (4,3) (d) passa per (4,0) i (0,6) i té el centre sobre la recta y = x-1

4. Escriu l’equació de la circumferència de radi 17 que passi pel punt (0,1) i tingui el seu centre sobre la recta x-2y = 5. 5. Troba els punts de la circumferència x2+y2-2y = 0 que estan a distància màxima i a distància mínima del punt (1, 3). 6. Calcula la longitud de la corda comuna a les circumferències x2+y2+4x-2y+3 = 0 i x2+y2+2x = 1. 7. a) Calcula la recta tangent a la circumferència (x-1)2+(y+3)2=2 en el punt (2,-2). b) Calcula les rectes tangents a la circumferència x2+y2+4x+6y = 12 en els punts de la circumferència en què x = 2. 8. Calcula m per a que x2+y2+6x-y+m = 0 sigui tangent a y = x+2. 9. Escriu l’equació de la circumferència de centre (2,4) tangent a la recta 3x+4y = 2. 10. Escriu les tangents a x2+y2=1 que siguin: a) paral·leles a la recta x=2y b) perpendiculars a la recta y = 3x c) passin pel punt (2,1) 11. Escriu les equacions de les circumferències determinades per: a) passa per (2,6) i és tangent a y = -2x en (0,0) b) té el centre a la recta x+4y = 6 i és tangent als eixos

12. Troba el vèrtex, el focus i la directriu de la paràbola y=4

x 2

13. Troba els vèrtexs, els focus i l’excentricitat de les el·lipses següents

116y

36x 22

=+

164

y

25

x 22

=+

14. En una el·lipse l’eix major mesura 34 cm i el menor 16 cm. Calcula la distància focal i l’excentricitat.

24

15. Troba els focus, els vèrtexs, l’excentricitat i les asímptotes de la hipèrbola 136

y

100

x 22

=−

16. De la paràbola y=x2-4x+3, calcula el vèrtex, l’eix de simetria, el focus i la directriu.

17. Identifica les còniques següents, calcula’n els elements característiques i dibuixa-les

4x2+9y2=36 16x2-9y2=144 9x2+9y2=25

x2=6y x2-4y2=16 y2=14x

18. Sabent que l’òrbita el·líptica que descriu la Terra al voltant del Sol (que està en un dels focus de l’el·lipse) té una excentricitat e= 0’016 i que l’eix major és molt aproximadament 300 milions de km.

a) Troba els semieixos i la distància focal

b) Calcula les distàncies màxima i mínima de la Terra amb respecte al Sol

c) Escriu l’equació de l’òrbita de la Terra

25

CONJUNTS NUMÈRICS

1. Els nombres reals Els nombres naturals són 0, 1, 2, ... S'utilitzen per a comptar. Sense sortir d'ells es poden fer sumes i multiplicacions.

El conjunt dels nombres naturals es designa per N. Podríem dir que els nombres naturals compten.

Els nombres enters són els resultat d'afegir als naturals els nombres -1, -2, ... que s'anomenen els nombres negatius , quan hem de situar a l’altre costat a partir d’una referència que és el zero. Sense sortir d'ells es poden fer sumes, restes i multiplicacions.

El conjunt dels nombres enters es designa per Z. Podríem dir que els enters situen i ordenen a un costat o un altre d’una referència...

Els nombres racionals són el resultat d'afegir als enters els nombres de la forma a/b, on a i b són enters i b ≠ 0, que s'anomenen els nombres fraccionaris . Sense sortir d'ells es poden fer sumes, restes, multiplicacions i divisions (sempre que el divisor no sigui 0!).

El conjunt dels nombres racionals es designa per Q. Podríem dir que els nombres racionals reparteixen i comparen...

Els nombres racionals coincideixen amb els nombres decimals finits o periòdics. Per tant a partir d’una fracció es pot trobar el nombre decimal finit o periòdic i a partir d’un nombre decimal finit o periòdic es pot trobar la fracció que el genera. Aquesta fracció es pot representar en una recta

utiltzant el Teorema de Tales, però a la recta encara queden més punts, per exemple 2 , que no són racionals.

És molt interessant la demostració de que 2 no és un nombre racional.

Els nombres reals són el resultat d'afegir als racionals els nombres decimals no periòdics (com ara π o els radicals), que s'anomenen els nombres irracionals, i amb ells la recta queda completada. Sense sortir d'ells es poden fer sumes, restes, multiplicacions, divisions i arrels (excepte les d'índex parell i radicand negatiu).

El conjunt dels nombres reals es designa per R, i la seva representació se sol dir la recta real . Són els que s'utilitzen per descriure variables contínues. Podríem dir que els nombres reals mesuren i calculen...

Es té doncs N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, on el signe ⊂⊂⊂⊂ significa "inclòs a".

El valor absolut d’un nombre real és la distància que hi ha des del punt que el representa fins a l’origen. Serà el mateix nombre si és positiu, i serà el nombre canviat de signe si és negatiu.

Es designa per x.

Per exemple tindrem .55,44 =−= El valor absolut del 0 és 0.

La part entera d’un nombre real és defineix com el nombre real enter immediatament inferior o igual a ell.

Es designa per [x]. Per exemple tindrem [ ] [ ] 613'5,472'4 −=−= .

Per als nombres enters la part entera coincideix amb el mateix nombre, per exemple [ ] [ ] 11,77 −=−=

26

2. Representació dels nombres reals. Intervals

Els nombres de les quatre classes anteriors poden representar-se en un eix graduat , és a dir en una línia recta en què hi ha marcats el 0 i el 1. La representació de R és completa: els nombres reals coincideixen exactament amb els punts de l'eix graduat. Per això els nombres reals s'utilitzen per a mesurar.

Si α i β són dos nombres, es designa per [α, β] i s’anomena interval tancat d'extrems α i β al conjunt de nombres x tals que α β≤ ≤x , i es designa per (α, β) i s’anomena interval obert d'extrems α i β al conjunt de nombres x tals que α <x<β . Un interval es representa en un segment de l'eix graduat, i la longitud d'aquest segment és l'amplada de l'interval.

Si α és un nombre, es designa per (α, + ∞) i s’anomena semirecta dreta d'origen α, al conjunt de nombres x tals que α<x, i es designa per (- ∞ , α) i s’anomena semirecta esquerra d'origen α, al conjunt de nombres x tals que x<α.

Un interval conté un nombre finit de valors de N o de Z, i un nombre infinit de valors de Q i de R.

3. Aproximacions i errors

Els nombres irracionals que no siguin radicals es coneixen només en forma d’intervals limitats per dos decimals finits que són les seves aproximacions per defecte i per excés . La millor d'elles és l'arrodoniment del nombre.

Per exemple: el nombre π està dins els intervals ( )15,3,14,3 o ( )1416,3,1415,3 . En el primer cas l’arrodoniment és 3,14 (l’aproximació per defecte) i en el segon és 3,1416 (l’aproximació per excés).

Sovint a la pràctica un nombre es dóna de forma aproximada i aleshores es comet uns errors que es mesuren així:

Error absolut= Valor real - Valor aproximat

Com que hi ha vegades que el valor real és desconegut el que fem és acotar l’error i diem l’error absolut és menor que...

Error relatiu= Error absolut : Valor real, que sovint se sol passar a percentatge multiplicant-ho per 100

Per exemple:

Si agafem 3,14 com a valor de π , estem cometent un error absolut menor que 0,002

i un error relatiu de 0,002:3,14=0,000636 o sigui menor que 0,0007= 0,07%

4.- La notació científica Ja havíem vist en cursos anteriors que els nombres molt grans o molt petits se solen expressar en notació científica utiltzant les potències de 10, positives o negatives segons el cas.

Un nombre s’expressa en notació científica amb un producte d’un nombre d’una sola xifra entera positiva diferent de zero (o sigui major que 1 i menor que 10) multiplicat per una potència de 10.

Aleshores per escruire el nombre amb totes les xifres hem de desplaçar la coma cap a l’esquerra o cap a la dreta tants llocs com indiqui l’exponent de la potència de 10.

Per exemple: 2,378 · 107= 23.780.000

5,8416 · 10−6= 0,0000058416

27

5.- Arrels i logaritmes

Si tenim un igualtat del tipus a n = b

- la base a s’aïlla fent una arrel-enèsima a= n b

- l’exponent n s’aïlla fent un logaritme n= loga b

Propietats de les arrels:

( ) mnm nn ppnnnp pnm

n mn1

n aaaaaaaaaa =====

Aquestes propietats poden servir per escriure de forma diferent un radical i aleshores poder simplificar determinades expressions.

Per multiplicar radicals del mateix índex fem: a b a bn n n⋅ = ⋅

Per multiplicar radicals amb el mateix radicand fem: a a an m m nm n⋅ = +⋅

Per multiplicar radicals amb diferents índex i diferent radicand s’han de reduir al mateix índex.

Per exemple, 3 5 3 5 3 5 3 5 675312

13

36

26 3 26 6⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Només es poden sumar i restar els radicals semblants , que són els que tenen el mateix radicand i el mateix índex.

Per exemple, 5 11 2 11 3 11− =

Per estar segurs de si dos radicals són semblants sovint cal extreure’n els factors. Per exemple, 18 i 50 són semblants ja que 18 3 2 5 2= = i 50 . Per això es pot fer 18 8 2 + 50 =

Racionalitzar una fracció vol dir expressar-la sense arrels en el denominador.

Per racionalitzar una expressió com n b

a es multiplica a dalt i a baix per n 1nb −

Per racionalitzar una expressió del tipus cb

a

+, es multiplica a dalt i a baix pel conjugat de

l’expressió del denominador que seria cb −

De les propietats dels logaritmes parlarem més endavant, de moment per poder calcular, utilitzant la calculadora, heu de saber que:

loga b = logb

loga

on els logaritmes indicats sense base són logaritmes decimals de base 10 i els calculem amb la tecla “log” de la calculadora.

6.- Els nombres complexos Amb els nombres reals encara tenim un problema ja que no es poden resoldre totes les equacions. Tal com vam veure el curs passat, hi ha equacions que no tenien solució quan apareix una arrel d’un nombre negatiu en el procés de la seva resolució.

Per exemple 013x4x02xx04x 222 =+−=+−=+

Per solucionar això, i seguint amb les ampliacions que havíem vist, es defineix un conjunt nou, que és ampliació de R i que es designa per C i que s’anomena conjunt dels nombres

28

complexos, i que està format pels nombres de la forma a+bi , on els coeficients a i b són nombres reals i la lletra i representa la unitat imaginària i verifica les igualtats següents:

i2 = −1 −1 = i

En el conjunt C, totes les equacions tenen solució, ja que per exemple per resoldre les equacions anteriors farem:

i613636

i7177i2144

⋅±=−⋅=−

⋅±=−⋅=−⋅±=−⋅=−

Per tant podríem dir que els nombres complexos resolen...

Les operacions amb nombres complexos es realitzen així:

Suma: (a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i

Resta: (a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i

Multiplicació: (a+bi)·(c+di)= (ac-db)+(ad+bc)i

Divisió: idc

adbc

dc

dbac

)dic)·(dic(

)dic)·(bia(

dic

bia2222

⋅+−+

++=

−+−+=

++

Els nombres complexos es poden representar gràficament mitjançant un vector que comença a l’origen i acaba al punt (a,b).

Es pot expressar també en forma en forma polar ( )αr , amb el mòdul (r) que és la longitud del

vector i l’argument (α ) que és l’angle que forma el vector amb la part positiva de l’eix de les x.

Per passar de la forma binòmica a la polar farem:

r= 22 ba + tgα =a

b

Per passar de la forma polar a la binòmica farem:

a= r·cos α b= r·sin α

Les operacions de multiplicar, dividir i les potències en forma polar es realitzen així:

( )αr ·( )βs = β+α)s·r( β−αβ

α

=sr

s

r αα = n

nn )r()r(

7.- Inequacions Una inequació és una desigualtat entre expressions algebràiques. La seva solució és el conjunt de valors que compleixen la desigualtat i se sol expressar amb forma d’intervals.

Per resoldre una inequació reduïda del tipus f(x) ≥ 0 es fan els passos següents:

a) es resol l'equació f(x) = 0 b) es busquen els valors que no pertanyen al domini de f(x) c) sobre un eix graduat que representa el conjunt dels nombres reals, es disposen en ordre de menor a major tots els valors obtinguts en els passos anteriors i es comprova el signe de f(x) en un valor situat entre cada dos d'ells d) si entre un valor α i un valor β és f(x) ≥0, l'interval [α, β] forma part del domini

Ens hem de fixar bé si a la desigualtat hi ha l’igual inclòs o no i aleshores a l’interval solució hi figuraran o no els seus extrems.

EXERCICIS CONJUNTS NUMÈRICS

29

1. Escriu utilitzant intervals i semirectes:

“ els nombres reals entre -1 i 2, inclosos aquests ”

“ els nombres reals que no passin de 4 ”

“els nombres reals més grans que 7”

“ els x tals que -6 < x ≤ 6 “

“ els negatius superiors a -3 ”

“ la part comú a [3,7] i (2,5) “

“ la part comú a (3,7) i [2,5] “

2. Sobre una recta marca l’origen i la unitat. Després representa-hi utilitzant regla i compàs i

pensant en el Teorema de Tales les fraccions 74

i 1113

3.- Sobre la recta real representa-hi els nombres 5 i 13 utilitzant regla i compàs i pensant en el Teorema de Pitàgores (heu de posar el nombre de dintre l’arrel com a suma de dos quadrats!).

Després representa-hi 7 , tenint en compte que aquest nombre no es pot posar com a suma de quadrats de dos nombres enters.

4. Calcula l’àrea d’un cercle de radi 7 m, arrodonint el resultat als m2 i als cm2 i acotant l’error que comets en cada cas..

5. Calcula el volum de la piràmide de Kheops sabent que té una altura de 137 m i que el costat de la base, que és quadrangular, mesura 230 m. Arrodoneix als m3 i als dam3 i acota l’error que comets en cada cas.

6. El llac Baikal a la Sibèria té una capacitat de 3.500 km3 d’aigua dolça. Tenint en compte que es considera que la despesa diària d’una persona en aigua és de 150 l, calcula, utilitzant la notació científica, per quant de temps hi hauria per abastir a tota la humanitat calculant que al món hi ha una població al voltant dels 7 mil milions d’habitants.

7. Tenint en compte que la velocitat de la llum és de 300.000 km/s i que l’estrella més propera, a part del Sol, és Pròxima Centauri que està a 4’22 anys llum. Calcula, utilitzant la notació científica la distància en km de la Terra fins aquesta estrella.

8. Tenint en compte que el radi aproximat de la terra és de 6.370 km. I que el diàmetre d’un àtom d’hidrogen (radi de Bohr) es considera que és de 1’06·10-10 m, calcula quants àtoms d’hidrogen “cabrien” dintre la terra.

9. Escriu en forma de radicals o de logaritmes els nombres x que compleixen les igualtats:

x3 = 15 x4 = 31 x2 = 0’7 x6 = 0,5

Després calcula, arrodonint amb dos decimals el valor dels resultats.

10. Escriu aquestes potències en forma de radicals (si és necessari, combinats amb fraccions) sense fer cap operació:

1512 25

34 2

13

− 7

53 10

35

− 3

29

11. Escriu aquests radicals en forma de potències amb la base entera més petita possible:

30

53 43 165 100007 1

53

1

274

12. Simplifica aquests radicals, expressant-los amb l’índex més petit possible:

44 166 89 5510

746 36 3 64 63

13. Fes les següents multiplicacions de radicals:

3 12⋅ 2 43 3⋅ 10 1000⋅ 2 5 3 5⋅ 3 2 4 8⋅

14. Treu tots els factors possibles d’aquests radicals:

20 200 1083 12504

15. Introdueix els factors exteriors per formar un sol radical:

2 6 6 2 10 53 3 104

16. Fes les següents multiplicacions de radicals i simplifica els resultats si és possible:

3 34⋅ 8 25 ⋅

17. Fes aquestes divisions de radicals:

3 6

9 6

3 8

9 32

4 6

6 12

18. Fes les sumes i restes que siguin possibles, deixant el resultat com a radical

2 200+ 90 40− 2 3 2 27 12+ + 20 5 3 45− +

19. Redueix aquests radicals a la forma més breu possible:

3 5 2 83 5 3 5

20. Fes les operacions que siguin possibles i simplifica els resultats:

3 2 5 2⋅ 3 2

5 2 3 2 5 2+ 5 5 7 2 35⋅ +

( )1 3 3+ ⋅ ( ) ( )7 6 7 6+ ⋅ − 52

5

2

−

34

43

+

21. Racionalitza aquestes fraccions i simplifica tot el possible els resultats:

4

2

3

2 3

1

43

2

5 1+

2

2 1−

3 2 2

3 2 1

−+

22. Fes els càlculs següents amb nombres complexos:

(7-2i)·(-2+3i)=

(4-3i)2=

6·2i-9·(2i)2=

2i2+3i3+4i4+5i5=

i43i25

+−

23. Troba el valor que ha de tenir la m per tal que i32

mi5−+

sigui un nombre real

31

24. Passa els dos nombres següents a la forma polar: -2+2i i3 +

Passa els dos nombres següents a la forma binòmica: 3120 4180

25. Donats els nombres complexos z= i3 − i w=-1+i, calcula en forma polar

2

zw

26. Troba les arrels cúbiques del nombre complex donat en forma polar per 872

Indicació: per trobar les arrels cúbiques has de trobar nombres que elevats al cub donin el que et donen

27. Calcula tot passant prèviament a forma polar 5 i−

28. Resol les equacions següents: x2-6x+25=0 2x2-8x+26=0

29. Resol les inequacions següents, expressant les solucions en forma d’intervals:

13x

2x

05x2

3x

08x2

1x3x4

01x3x2

016x

123x1x5

8x6x23

7x54x3

2

2

2

≤+−

≥−

+≥+

−⟩

≥+−

≤−

⟩+−++≥−+≤+

)·(

)()(

30. Quin valor pot tenir un nombre real positiu tal que si fem el seu quíntuple dóna un valor més petit que si li sumem 7 unitats?

31. Quines dimensions pot tenir un rectangle sabent que la base mesura tres metres més que l’altura i que l’àrea és inferior a 10 m2?

32

SUCCESSIONS I PROGRESSIONS

1.Successions Una successió és una llista, possiblement infinita, de nombres reals, cada un dels quals ocupa un lloc en la successió a partir del lloc 1. Els nombres que apareixen en una successió s'anomenen els seus termes .

En general el terme que ocupa la posició n s'escriu an i la successió com un tot s'escriu { an }.

Hi ha dos procediments principals de definir una successió:

a) donar una fórmula que per a cada n produeixi an. Aquesta fórmula és el terme general de la successió. Es pot conèixer el terme que ocupa un lloc determinat substituint a la fórmula la n pel valor del lloc.

b) donar una regla de construcció que relacioni un terme amb els anteriors i permeti obtenir-lo a partir d'ells. Aquesta regla que expressa an a partir d'an-1, an-2, etc. és una relació de recurrència .

Coneixent una relació de recurrència i el terme o els termes inicials es poden obtenir d'un en un tots els termes, però no es pot saber directament un terme sense haver obtingut els anteriors, a no ser que també es pugui saber el terme general, com sol passar en alguns casos.

Les successions més corrents a les ciències naturals o socials són les formades pels valors d'una magnitud que varia amb el temps, i que es prenen al cap de 1, 2, 3, ... intervals de temps iguals.

En el cas de les successions definides per una relacions de recurrència és especialment coneguda la successió de Fibonacci en la qual an=an-1+an-2, que vol dir que cada terme s’obté sumant els dos anteriors. Si comencem per 1,1, la successió seguiria 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ....

Si els termes d’una successió es van aproximant tant com es vulgui a un nombre donat l , es diu que la successió tendeix a l , o que l és el límit de la successió . S’escriu { an } → l

Si els termes es van fent cada vegada més grans i superant qualsevol nombre per gran que sigui es diu que la successió tendeix a ∞+ , o que el límit és ∞+ i s’escriu { an } → ∞+ .

Si els termes es van fent cada vegada més petits i menors que qualsevol nombre negatiu es diu que la successió tendeix a ∞− , o que el límit és ∞− , i s’escriu { an } → ∞− .

També ha successions que no tenen límit, per exemple { an }=(-1)n+1·n, en la qual els termes van oscil·lant: 1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, ......

La successió de terme general n

n1

1

+ té per límit un nombre molt important dintre les

matemàtiques que es representa amb la lletra “e”, i té un valor aproximat de 2’71828182846...

2. Progressions Una successió es diu que és una progressió aritmètica si ve definida per una relació de recurrència de la forma an = an-1 +d, on d és constant (positiva o negativa) i s’anomena la diferència de la progressió.

El terme general d'una progressió aritmètica és an = a1+(n-1)d, sent a1 el primer terme, i d la diferència.

La suma dels termes d'una progressió aritmètica compresos entre els llocs 1 i n rep el nom de suma parcial de lloc n i es designa per Sn. Es calcula fent

2

n)aa(S n1

n+=

El fet de trobar un nombre determinat de termes situats entre dos de donats d’una progressió aritmètica s’anomena interpolació lineal.

33

Per interpolar n termes entre a i b (a < b), de manera que formin progressió aritmètica, hem de

calcular la diferència, que serà d=1nab

+−

i després anar afegint aquesta quantitat al més petit dels

dos nombres donats.

Una successió és una progressió geomètrica si ve definida per una relació de recurrència de la forma an = an-1 r, on r és constant i s'anomena la raó de la progressió.

El terme general d'una progressió geomètrica és 1n1n raa −⋅= , on a1 és el primer terme i r la raó.

La suma dels termes d'una progressió geomètrica compresos entre els llocs 1 i n rep el nom de suma parcial de lloc n i es designa per Sn. Es calcula fent

r1

raaS n1

n −⋅−=

Quan la raó és un nombre menor de la unitat, la progressió geomètrica és decreixent i aleshores es pot trobar el valor al qual s’acosta tant com es vulgui la suma de tots els seus termes, que

seria: r1

aS 1

−=

Les progressions geomètriques més importants són les formades pels valors d'una magnitud que varia amb ritme constant durant successius períodes de temps. Si el valor inicial és a1 i en cada període augmenta p%, el valor al cap de n períodes és el que correspon a una progressió geomètrica de raó 1+p/100:

1n

1n 100p

1aa−

+=

3. Matemàtica financera Els diners es compren i es venen. El preu del diner no coincideix amb el seu valor, sinó que resulta d’afegir al valor una quantitat variable que s’anomena interès .

L’interès s’estableix i es paga amb relació a un període de temps que acostuma a ser l’any. L’interès anual per unitat s’anomena taxa d’interès (i).

Si al final d’aquest període els interessos se separen del capital i aquest continua produint es parla d’interès simple.

Les quantitats de diners a interès simple formen una progressió aritmètica que té per diferència la taxa d’interès i.

Cn = C0 + C0·i·n

on C0 és el capital inicial, Cn el capital després de n períodes, i n el nombre de períodes.

Quan els interessos no se separen del capital i també es deixen a produir durant un altre període es parla d’interès compost .

Les quantitats de diners a interès compost formen una progressió geomètrica que té per raó 1+i, on i és la taxa d’interès.

Cn = C0 · (1 + i)n

34

SUCCESSIONS I MATEMÀTICA FINANCERA: EXERCICIS

1. Comprova que nn

+−

12 3

és el terme general de la successió -2,3, 4/3,1,...

2. Escriu els termes de lloc 1, 2, 3, 4, 5, 10, 50 i 100 de les successions

an = n²+n+1 bn = 1

3 12n − cn=

13

−+

nn

dn = (-2)nn

en = 1 1

2+ −( )n

fn = mcd(n,6) gn = [ n ] hn =n

n

2

10+

3. Escriu el terme general de les successions que comencen pels termes següents i després escriu quin serà el límit de cada una d’elles:

a) 10, 1000, 100000, 10000000,... b) 2, 20, 200, 2000, 20000,...

c) 0,1 , 0,01 , 0,001 , 0,0001 ,... d) 0,5 , 0,05 , 0,005 , 0,0005 ,...

e) 1,2 , 1,02 , 1,002 , 1,0002 ,... f) 1, 4, 9, 16, 25, 36,....

g) 2, 5, 10, 17, 26, 37,... h) -1, 4,- 9, 16, -25, 36,....

i) 4, 9, 16, 25, 36, 49,... j) 3, 5, 9, 17, 33,...

k) 1, 3, 5, 7, 9, 11,... l) ,...6,5,2,3,2,1

m) ,...165

,94

,43

,2 p) ,...111

,91

,71

,51

,31

q) ....1112

,1,76

,53

r) ...89

,77

,65

,53

,41 −−−−−

4. Escriu els 10 primers termes de les successions definides per les següents relacions de recurrència:

an = 3an-1, a1 = -2 bn = bn-1 - bn-2, b1 = 1, b2 = 3

ccn

n=

+=

−

11

01

, c1 1e ,e

2e 1

1nn ==

−

d d dn n n= + = =− −2 0 11 2, , d d1 2 2f ,1f ,f

f1f 21

2n

1nn ==

+=

−

−

5. Escriu el terme general de:

a) una progressió aritmètica amb a1 = 5, d = 2/3

b) una progressió geomètrica amb b1 = -1/2, r = 4

c) una progressió aritmètica amb c1= -11, d= -5

d) una progressió geomètrica amb d1 = 1000, r = 1/5

6. Calcula x per a que x-2, x+1, 3x-3 siguin:

a) termes consecutius d'una progressió aritmètica

b) termes consecutius d'una progressió geomètrica

35

7. Calcula el terme vuitè en una progressió aritmètica de diferència 0,5 on el segon terme és -3.

8. a) Interpola tres termes entre els nombres 5 i 29.

Calcula el terme general de la progressió aritmètica si el 5 és el tercer terme.

b) Interpola 7 termes entre 3 i 17.

Calcula quin seria el terme vintè de la progressió si el 3 és el primer terme.

9. Una pilota cau de 60 metres i al botar perd cada cop 1/3 de l'altura. Calcula quant pujarà després de tocar a terra per setena vegada.

10. En una progressió geomètrica el tercer terme és 0,02 i el vuitè és 0,21. Calcula la seva raó.

11. En una progressió geomètrica el primer terme és 2, la raó és 1,04 i hi ha un terme igual a 4,74. Calcula quin lloc ocupa aquest terme.

12. El consum de cervesa a Espanya fa 30 anys era 4 litres per habitant i any, i ara és de 59. Si ha crescut en progressió geomètrica, calcula el percentatge d’increment anyal.

Calcula quants anys han de passar a aquest ritme fins arribar al consum d’Alemanya: 122 litres per persona i any.

13. A una ciutat es creen dos clubs de futbol. El club A comença amb 10.000 socis i preveu augmentar 500 socis cada any. El club B comença amb 5.000 socis i preveu augmentar cada any el 10%. Calcula quants anys han de passar perquè el club B tingui més socis que el club A.

14. Un treballador guanya cada mes 1.000 euros i es gasta cada mes el 90% dels diners que té. Segueix el seu estat de comptes durant 6 mesos.

15. Una lletra del Tresor es compra per certa quantitat, i quan es ven, al cap d’un any, es cobra sempre 6.000 euros. Si l’interès d’una Lletra és el 4,5%, quant cal pagar al comprar-la?

16. Un banc anuncia que a qui posi 15.000 euros li donarà un 5,4% d’interès, però que els primers 1.000 euros no produeixen res. Quin interès real paga?.

17. Una caixa d'estalvis ofereix el 9% d'interès per una imposició de 18.000 euros i paga els interessos en una altra llibreta. Quants diners hi haurà en aquesta després de 4 anys?

18. En què es converteixen 1.500 euros al 8% d’interès durant 5 anys?

19. Quants anys calen perquè un capital posat a interès del 6,5% es dupliqui?

20. Una llibreta va començar amb 125 euros i al cap de 10 anys en tenia 165. A quin interès estava?

36

FUNCIONS ALGEBRAIQUES I POLINOMIS

1.-Funcions algebraiques Una funció és una relació establerta entre dos conjunts, que permet transformar cada element del primer en un element únic i ben determinat del segon. S'utilitza per a expressar matemàticament la dependència entre dues variables .

Les funcions constitueixen models de moltes situacions de tipus científic. Algunes d'elles són especialment importants i les pots trobar a la pàgina 48.

Els conjunts entre els quals s'estableix una funció són en general subconjunts del conjunt R dels nombres reals, dintre dels quals poden prendre els seus valors les variables: un element genèric del primer conjunt es designa per x i s’anomena variable independent ; un element genèric del segon es designa per y i s’anomena variable dependent .

Si f designa una funció s'escriu y = f(x), i es diu que y és la imatge de x per la funció f, i que x és una antiimatge (o un original) de y per la funció f. Cada x pot tenir una sola imatge, però un y pot tenir moltes antiimatges.

El càlcul d'una imatge es fa per substitució, i el càlcul d'una antiimatge és la resolució d'una equació.

Les funcions es presenten en tres formes:

a) com a taules de valors

b) com a fórmules : expressions que combinen la variable x, constants numèriques i certes funcions especials mitjançant diverses operacions

c) com a gràfics : el gràfic de f el formen els punts de coordenades (x,y) on y = f(x).

El gràfic d'una funció pot tenir moltes formes, però mai conté dos punts amb la mateixa abscissa (a la mateixa vertical). Recíprocament, tot conjunt de punts del pla que compleixi això és el gràfic d'una funció.

Les funcions construïdes a partir de la variable x mitjançant les operacions de suma, diferència, producte, quocient, potenciació i radicació són les funcions algebraiques , que es divideixen en polinòmiques, racionals i irracionals.

2.- Polinomis. Funcions polinòmiques

L'expressió o12

21n

1nn

n axaxa...xaxa)x(P +++++= −− s'anomena polinomi . El nombre n és el

grau del polinomi, i o121nn a,a,a,...,a,a − en són els coeficients . El coeficient 0a és el terme independent .

Una funció polinòmica és la relació entre dues variables x i y en que la variable y s’expressa mitjançant un polinomi en la variable x i per tant té una fórmula del tipus

o12

21n

1nn

n axaxa...xaxay +++++= −−

Les operacions amb polinomis (suma, resta i multiplicació) es poden fer sense massa dificultat, seguint les regles del càlcul algebraic.

De tota manera el càlcul de les potències es pot fer gairebé interminable en molts casos.

Per estalviar temps és interessant conèixer l’anomenada fórmula del binomi de Newton per calcular potències d’un binomi. Per exemple tindríem:

(x+y)2 = (x+y)·(x+y)= x2 + xy+ xy + y2 =x2 + 2xy + y2 i amb les potències d’exponent més gran:

(x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

37

(x+y)5= x5 + 5x4y+ 10 x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

Els coeficients que surten als desenvolupaments d’aquestes potències apareixen a les files de l’anomenat triangle de Pascal, on cada nombre surt de sumar els dos termes que té al damunt:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

............................................................

Aquests coeficients són els anomenats nombres combinatoris i es calculen )!nm!·(n

!mn

m

−=

La divisió entre dos polinomis és també força només és senzilla quan el divisor és x-α, cas en què s’empra el mètode de Ruffini .

Per exemple, per dividir x3- 3x-2 entre x-4 es fa: 1 0 -3 -2

4 4 16 52

1 4 13 50

i el quocient de la divisió és x2+4x+13, i el residu és 50.

Vol dir que x3- 3x-2= (x2+4x+13)·(x-4)+50

És molt important el Teorema del Residu que diu que el residu de la divisió de P(x) entre x- α és igual al valor numèric del polinomi per x= α , o sigui P( α ).

En el cas anterior si P(x)= x3- 3x-2, observem que P(4)= 43-3·4-2= 64-12-2= 50

En el cas que P( α )=0 el residu serà 0 i (x- α ) serà un divisor de P(x), i α una arrel del polinomi.

En el cas anterior per dividir x3- 3x-2 entre x+1 es fa: 1 0 -3 -2

-1 -1 1 2

1 -1 -2 0

Per tant (x+1) és divisor de x3- 3x-2, i el nombre -1 és una arrel del polinomi.

Observa que en ser (x+1) el nombre que hem posat a l’esquerra de la divisió és -1.

Una igualtat de la forma P(x) = 0, o sigui 0axaxa...xaxa o12

21n

1nn

n =+++++ −− , s'anomena

equació polinòmica de grau n. Les seves solucions són les arrels del polinomi P(x).

Quan coneixem les arrels d’un polinomi podem fer la seva descomposició en factors . Si les arrels són α1, α2, ..., αn, aleshores el polinomi anterior es pot expressar

P(x)= an·(x-α1)· (x-α2)···· (x-αn), on el coeficient an és el del terme de grau màxim.

Si hi ha alguna arrel repetida els factors es poden agrupar escrivint una potència tal com es feia amb la descomposició de nombres enters.

El càlcul exacte de les arrels d'un polinomi només pot fer-se en alguns casos:

38

- Quan n=2 (equació de segon grau):

a2

ac4bbx és ,0cbxax si

22 −±−==++

- Quan n=4 i els coeficients de x i de x3 són 0 (equació biquadrada):

a2

ac4bbx és ,0cbxax si

224 −±−±==++

Per a un polinomi de grau 3 com x3+bx2+cx+d amb tres arrels α, β i γ es té x3+bx2+cx+d = (x-α)(x-β)(x-γ) i d’aquí d = α·β·γ. Per això si un polinomi de tercer grau té alguna arrel entera, aquesta ha de dividir el terme independent.

En aquests casos per obtenir les arrels d'un polinomi cal fer:

1) obtenir els divisors del terme independent

2) comprovar si algun és una arrel

3) si algun α és una arrel, dividir P(x) entre x-α emprant la regla de Ruffini

4) si Q(x) és el quocient, tornar al pas (1) amb Q(x) i seguir així fins que el polinomi sigui de grau 2; llavors es pot resoldre com una equació de segon grau, o continuar igual.

Els polinomis de grau parell poden no tenir cap arrel, però els de grau senar sempre tenen alguna arrel real. El nombre total d'arrels reals d'un polinomi és com a màxim igual al seu grau.

3. Funcions racionals

Una funció racional és una relació entre les variables x i y que té per fórmula )x(Q)x(P

y = , on P(x) i

Q(x) són polinomis, o que és una funció polinòmica sumada o multiplicada amb una expressió d'aquest tipus.

L'expressió )(

)(

xQxP

s'anomena una fracció algebraica . Les fraccions algebraiques se sumen,

resten, multipliquen i divideixen seguint les mateixes regles que les fraccions aritmètiques.

Els valors d'una funció racional només poden calcular-se quan Q(x) ≠ 0, és a dir quan x no és una arrel de Q(x). Aquests valors de x pels quals pot calcular-se y formen el domini de la funció. Per calcular-los cal resoldre l'equació Q(x) = 0, i eliminar del domini les solucions de l’equació.

O sigui el domini d’una funció racional serà R-{ }0)x(Qquetalsxdevalors =

La funció racional més senzilla és la funció y = x1

. Si translladem el seu centre a un punt (a,b) la

funció serà de la forma ax

1by

−=− o el que és el mateix

ax1babx

bax

1y

−+−=+

−= .

Més en general tindríem la fórmula general de les funcions homogràfiques que són del tipus

qpxnmx

y++=

39

4. Funcions irracionals

Una funció irracional és una relació entre les variables x i y que té per fórmula n )x(fy = , on f(x)

és una funció racional, o que és una funció racional sumada o multiplicada amb una expressió d'aquest tipus. El nombre n és l'índex de la funció irracional.

L'expressió n xf )( és un radical algebraic .

Les regles principals de càlcul amb radicals algebraics són:

a) multiplicació: nnn xBxAxBxA )()()()( ⋅=⋅

b) divisió: nn

n

xBxA

xB

xA

)(

)(

)(

)(=

c) potències: ( ) ( )n mmn xAxA )()( =

d) arrels: mnm n xAxA )()( =

e) no hi ha regles per a la suma i la resta: nn xBxA )()( + no té cap relació amb n xBxA )()( +

El càlcul amb radicals algebraics té dos aspectes principals:

a) La simplificació per extracció de factors: 1xx1xxxx 223 −=−=− )( .

Pot exigir la factorització del polinomi.

b) El càlcul amb binomis radicals:

3xx23x23xx2x3xx3x 222222

2 +−+=+−++=

−+

Els valors d'una funció irracional d'índex parell només poden calcular-se quan f(x)>0 o f(x)=0. Aquests valors de x pels quals pot calcular-se y formen el domini de la funció.

Per calcular-los cal resoldre la inequació f(x) ≥ 0.

Aleshores el domini d’una funció irracional d’índex parell és { }0)x(fdesolucions ≥ i se sol expressar en forma d’interval, o com a unió de dos intervals.

El domini d’una funció irracional d’índex senar coincideix amb el domini del seu radicand.

5. Gràfiques de les funcions algebraiques

Les gràfiques de les funcions polinòmiques de primer grau y = ax+b són rectes de pendent a. Quan a>0 són creixents i quan a<0 són decreixents. Ja ho heu vist des de 3r curs.

Les gràfiques de les funcions polinòmiques de segon grau y = ax2+bx+c són paràboles . Quan a>0 són còncaves i quan a<0 són convexes. També ho heu vist en cursos anteriors.

A continuació hi ha exemples de gràfiques de funcions polinòmiques de tercer, quart i cinquè grau.

40

y = x3 y = x3-x f.polinòmica de grau 4

f.polinòmica de grau 5 hipèrbola y = 1/x

Les gràfiques de les funcions polinòmiques són sempre continues i tenen per domini R.

Les gràfiques de les funcions racionals són molt variades. La més senzilla és la funció y = x1

. La

gràfica d’aquesta funció s’anomena hipèrbola . Les funcions homogràfiques tindran una gràfica semblant però amb el centre traslladat a un altre punt.

Les funcions irracionals més senzilles són y = x i y = 3 x . A continuació hi ha les seves gràfiques.

arrel quadrada arrel cúbica

Hi ha altres funcions algebraiques, anomenades aritmètiques entre les quals destaquen les funcions valor absolut i de la funció part entera. Les seves gràfiques són aquestes:

y = x y = [x]

41

EXERCICIS FUNCIONS ALGEBRAIQUES I POLINOMIS

1. Calcula les imatges de x = 0, x = 3, x = -1, x = 34

, x = − 12

, x = 0,55, x = 2 5 per cada una de

les funcions següents, escrivint arrodonit a les centèsimes els que siguin irracionals:

y = x2-x+4 y = 11−x

y = 2 1 2x x+ − y = x - [ x ]

2. Calcula les antiimatges de -1, 0, 2/3 i 3 per a cada una de les tres funcions:

y = 2x-1 y = x²-x y = xx

+−

23

3. Fes una taula de valors per a x variant de -3 a 3 de 0,5 en 0,5, i la gràfica de les funcions:

y = 2x

- 1 y = -3x+2 y = 1-x² y = x+|x| y = [2x] y = x-[x] y = |x2-4|

y = x + x1

y = 22 1x

1

)( −

4. Divideix, utilitzant el mètode de Ruffini:

a) 2x3 - 3x2 + 5x + 1 entre x - 2

b) x5 + 3x4 + 6x3 - 12x2 + 24x - 36 entre x+4

c) x4 + 1 entre x+2

d) x6 - 1 entre x - 1

e) 4x4 - 2x3 - 2x2 + 7x - 6 entre x - 12

5. Calcula el coeficient del terme de grau 10 del desenvolupament de ( )82 4x3 +

6. Resol les equacions polinòmiques

x2-8x+15 = 0 x2-25 = 0 x2-6x+9 = 0

3x2+6x+3 = 0 9x2-16 = 0 x2-2x+10 = 0

x3-7x-6 = 0 x3+x = 0 x3-x2-14x+24 = 0

x3+x2+5x+5 = 0 x4-6x2+5 = 0 x4+8x2-9 = 0

7. Fes aquestes operacions amb fraccions algebraiques:

1xx

1xx

−+

+

))(())(( 3x1x2

2x1x3

−+−

−+

4x3

x

1x22 −

+−

4x

9x3x

2x2

22

−−⋅

+− )(

1x1x

xx

1x2

3

+−

+−:

−⋅+ x

1x

1x1

42

8. Calcula el domini de les funcions racionals següents:

yxx

= −+

2 13 4

yx

x x= −

− +4 1

4 32 y = x 2 +1

x 3 − 7x + 6 y = 3x 2 + 7

x 4 − 5x 2 + 4

y = x + 71− 4x

y = 3x +1x 2 − x − 6

y = 7x 2 − 5x 3 + x 2 + x +1

y = x + 3x 4 + 1

9. Resol les equacions racionals:

21

3xx

+ = 1

21

516x x+

−+

= 22x

53

1x2 =+

−−

10. Simplifica aquests radicals traient-ne factors:

5x 3 11x 4 54 yx32 24 xx +

))(( 4x2x 2 −− 35 x4x8 − 3x5xx 23 +−+

11. Calcula el màxim possible:

x12x3 ⋅ ( )5x2 x12x3 + ( ) x23x2 −

x23x2 ⋅− 3x85x23 ⋅ 1x21x2 +⋅− ( )21x −

( ) ( )2x2x +⋅− 2

2 xx4x3

−−

12. Resol les equacions irracionals:

3x23x2 −=+ x x− + =1 3 2 3 3− + + =x x 8X9XX

X2

−=+−

13. Calcula el domini de les següents funcions algebraiques:

4x

1x2y

2 +−=

1x2

1x

3x4

1x4y

−++

+−= y x= +3 1 y x= −25 2

y x= −4 823 yxx

= +−

12

yx

x= + +11 1xx1y −+−=

y =x

x− 3

y =xx− 3

y = x

x

− 3 y =

xx − 3

y = x 2 − x − 6 y = x

x − 3 y =

x

x − 3

43

FUNCIONS TRANSCENDENTS

Les funcions transcendents són aquelles que no es poden expressar només per mitjà de les operacions de suma, resta, multiplicació, divisió, potències, arrels ni les seves inverses. Estan presents, però, a les calculadores.

1. Les funcions trigonomètriques Les funcions trigonomètriques són: la funció sinus , de fórmula y = sin x

la funció cosinus , de fórmula y = cos x

la funció tangent , de fórmula y = tan x

Les funcions y = sin x, y = cos x són periòdiques de període 2π; la funció y = tan x és periòdica de període π. Això significa que els seus valors, i per tant la forma de la seva gràfica, es repeteixen quan x s'incrementa en una quantitat igual al període.

El sinus i el cosinus poden calcular-se per a tots els x; la tangent només per als x que no siguin múltiples imparells de π/2.

Els valors del sinus i del cosinus estan compresos entre -1 i 1, però els de la tangent poden ser qualsevol nombre.

funció y = sin x

funció y = cos x

funció y = tan x

44

Les funcions trigonomètriques inverses són: la funció arcsinus , de fórmula y =arcsin x

la funció arccosinus , de fórmula y = arccos x

la funció arctangent , de fórmula y = arctan x

Si y = arcsin x ⇒ x = sin y.

Els valors d'arcsin x només poden calcular-se si x està entre -1 i 1, i resulten estar entre -π/2 i π/2 .

Si y = arccos x ⇒ x = cos y

Els valors d'arccos x només poden calcular-se si x està entre -1 i 1, i resulten estar entre 0 i π .

Si y = arctan x ⇒ x = tan y

Els valors d'arctan x poden calcular-se per a tots els x, i resulten estar entre -π/2 i π/2.

y = arcsin x y = arccos x y = arctan x

2. Equacions trigonomètriques Les equacions trigonomètriques són aquelles que contenen la incògnita com a variable d’una o

vàries funcions trigonomètriques ( per exemple: sin x, tan 3x, cos 2x

,...). Per resoldre-les cal:

a) Emprar les relacions i identitats conegudes entre raons trigonomètriques, per tal d'aconseguir que la incògnita surti sempre a la mateixa funció. Per exemple: sin x

b) Prendre aquesta com a nova incògnita: z = sin x. Així quedarà una equació algebraica en z.

c) Es resol aquesta i s'obté z = m

d) Llavors vol dir que sin x = m i per tant una solució és x=arcsin m

3. Les funcions exponencials S’anomena exponencial a una potència ab, on a i b són nombres reals i a és positiu. El nombre a rep el nom de base i el nombre b el nom d’exponent .

Segons el sistema numèric de l'exponent, una exponencial pot interpretar-se de diferents formes, algunes de les quals són conegudes de l'estudi de les potències:

- si b és natural, ab és un producte: ab = a·a·...·a (b factors)

- si b és enter negatiu (-n, amb n natural), ab és un quocient: a-n = na

1

- si b és fraccionari, ab és una arrel: q pq

p

aa =

El càlcul efectiu del valor aproximat d'una exponencial es fa amb les tecles y1

y xix de les calculadores.

45

La base més freqüent a les exponencials que s'utilitzen a la ciència i a les matemàtiques és la base e = 2,7182818286... que hem citat al capítol de successions, i que també és el valor, per a infinits sumands, de la suma:

e =!n

1Σ = ....23456

12345

1234

123

121

11 +⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

+++

Les exponencials de base e poden calcular-se amb una tecla especial de les calculadores, retolada amb ex.

Les regles de càlcul amb exponencials són les mateixes que amb potències:

ccc ba)ba( ⋅=⋅

cbcb aaa +=⋅

c

cc

b

aba =

cb

c

b

aa

a −=

( ) cbcb aa ⋅=

La funció exponencial de base a positiva, és la relació entre dues variables x i y que té per fórmula

y ax=

Hi ha diverses funcions exponencials, segons el valor de la base, la principal de les quals és la que té per base el nombre e. La gràfica de les funcions exponencials és d'un dels dos tipus següents:

base a>1 base a<1

Totes les gràfiques de funcions exponencials passen pel punt (0,1).

Totes dues tenen el que s’anomena una asímptota a l’eix de les x.

La importància de les funcions exponencials està en què descriuen tots els fenòmens en què una magnitud varia amb el temps amb un ritme de variació relativa constant, que vol dir que en cada interval de temps igual el percentatge (o el tant per u) d’augment o de disminució serà el mateix.

Per exemple hi ha tipus de bactèries que es reprodueixen per “mitosi” dividint-se en dos en intervals determinats (per posar-ho fàcil cada hora). Aleshores el nombre de bactèries que tindrem passades 1,2,3,4,5 hores serà de 2,4,8,16,32,... i la funció seria y=2x.

4. Les funcions logarítmiques El logaritme del nombre b respecte del nombre a és l'exponent x a què cal elevar a per obtenir b:

46

baxblog xa =⇔=

En l'expressió bloga el nombre a és la base del logaritme i el nombre b n'és l'argument .

Es verifica ba i ,balog balogba ==

Hi ha diversos sistemes de logaritmes, segons la seva base. Els principals són:

a) els logaritmes decimals o de base 10. S'escriuen sense indicació de base, posant només log .

És a dir: b10xb log x =⇔=

Es calculen amb la tecla log de les calculadores.

b) els logaritmes neperians o de base e. S'escriuen posant ln. És a dir, xey= xln y =⇔

Es calculen amb la tecla ln de les calculadores.

Per calcular un logaritme en una altra base a cal fer servir la regla de canvi de base:

a ln xln

a log

xlogxloga ==

En particular, log x i ln x són múltiple l'un de l'altre; aproximadament log x = 0,4343 ln x

En totes les bases es té:

- el logaritme de 1 és 0

- el zero i els nombres negatius no tenen logaritme

Els logaritmes són generalment nombres irracionals. La seva part entera s’anomena característica , i la seva part decimal s’anomena mantissa . En el cas dels logaritmes decimals, la característica de log x és una unitat inferior al nombre de xifres enteres de x.

Els logaritmes es relacionen amb les operacions de la forma següent:

ylogxlog)yx(log aaa +=⋅

ylogxlogyx

log aaa −=

xlogyxlog ay

a ⋅= y

xlogxlog ay

a =

No hi ha cap relació entre )yx(loga + i els logaritmes dels sumands.

La funció logarítmica de base a és la relació entre dues variables x i y que té per fórmula

xlogy a=

Hi ha diverses funcions logarítmiques, segons el valor de la base, la principal de les quals és la que té per base el nombre e. La gràfica de les funcions logarítmiques és d'un dels dos tipus que teniu dibuixats a la pàgina següent.

47

base a>1 base a<1

Totes les gràfiques de funcions logarítmiques passen pel punt (1,0).

Totes tenen una asímptota vertical a l’eix de les y.

5. Equacions exponencials i logarítmiques Les equacions exponencials són aquelles que tenen la incògnita com a exponent de una o vàries exponencials. Els passos per resoldre-les són:

a) es transformen totes les exponencials que hi figuren de forma que tinguin la mateixa base i el mateix exponent

b) si l'exponencial única que queda és xa , es pren com a nova incògnita t = xa

c) es resol l'equació algebraica resultant amb la incògnita t.

d) per a cada solució t, el valor de x és x = tloga

Les equacions logarítmiques són aquelles que tenen la incògnita com a variable d'un o més logaritmes. Els passos per resoldre-les són:

a) utilitzant les propietats dels logaritmes, es redueix l'equació a la forma )x(Qlog)x(Plog aa =

b) es resol l'equació algebraica P(x) = Q(x).

6. Composició de funcions La composició de dues funcions és la seva aplicació successiva: f o g(x) = f(g(x)).

La composició no és commutativa: f o g ≠ g o f.

Si tenim f(x) =x3 i g(x) = x+2 les dues possibilitats de composició ens donen:

fog (x)= (x+2)3 gof (x)= x3+2

S’ha d’observar que la funció que està escrita en el darrer lloc és la primera que es realitza.

Es pot ampliar a més de dues funcions. És molt important la col·locació dels parèntesis i dels exponents que afecten al que tenen immediatament a sota.

En el cas d’una funció l’exponent es posa entre el símbol i la variable i (sin x)2 ho escriurem sin2x

Per exemple si tenim f(x)=x2, g(x)=x+3, h(x)= sin x tindrem sis composicions possibles:

hogof(x)=h(g(f(x)))= sin (x2+3) hofog (x)= sin (x+3)2

gofoh (x)= sin2x + 3 gohof (x)= sin x2 + 3

fogoh (x)= (sin x + 3)2 fohog (x)= sin2(x+3)

48

MODELS FUNCIONALS

A. Polinòmics

1. Lineal y = a + bx

2. Quadràtic y = a + bx + cx2

B. Racionals

3. Recíproc y = bax

1+

4. Recíproc quadràtic y = 2cxbxa

1

++

5. Racional y = 2dxcx1

bxa

++

+

6. Hiperbòlic y = a + xb

7. Saturació y = xb

ax+

8. Capacitat tèrmica y = a + bx + 2x

c

9. Cauchy y = ( ) cbxa

12 ++

10. Invers y = a + 2x

cxb +

C. Irracionals

11. Gunary y = xcbxa

x

++

D. Exponencials

12. Exponencial y = aebx

13. Exponencial modificat y = a xb

e

14. Associació exponencial y = a ( )cxeb −−

15. Gompertz y = cxbeae

−−

16. Logístic y = cxbe1

a−+

17. Gauss y = 2c2

2)bx(

ae

−−

18. Weibull y = a - bdcxe−

19. Richards y =

( )d1cxbe1

a

−+

20. Chapman-Richards y = ( )cbxe1a −−

21. Radical y = a x1

b

E. Logarítmics

22. Logarítmic y = a + b ln x

23. Logarítmic recíproc y = xlnba

1⋅+

F. Potencials

24. Potencial y = axb

25. Potencial desplaçat y = a(x-b)c

26. Bleasdale y = c)bxa(

1

+

27. Harris y = cbxa

1

+

28. MMF y = d

d

xb

cxab

+

+

29. Beta y = a· xb · (1-x)c

30. Langmuir y = 1cbxa

1−+

G. Exponencial-potencials

31. Geomètric y = axbx

32. Geomètric modificat y = a xb

x

33. Pressió de vapor y = cxb

xea ⋅⋅

34. Hoerl y = a·bx·xc

35. Hoerl modificat y = a x1

b xc

36. Freundlich y = acbxx

−

H. Trigonomètrics

37. Sinusoidal y = a + b cos(cx+d)

38. Lorentz y = a+b d))cx(cos( −

49

FUNCIONS TRANSCENDENTS EXERCICIS

1. Resol les equacions trigonomètriques escrivint només les solucions entre 0º i 360º:

a) 1 + cos 2x = cos x b) 3cos2x + sin x = 11/4

c) sin x + cos x = xcos

1 d) cos x - sin x = 0,2

e) sin x + cos x = 1 f) tan2x + 2cos x = 2

g) sin(2x+60º) + sin(x+30º) = 0 h) tan x + xtan

3 = 4

2. Escriu com a potències d'a:

( ) 233

1

3 22-4 3 2

4

3

2

21

aa

aa

aa

1a aa

a

a

a

a

−−−

−

⋅

⋅⋅

3. Escriu com a producte de potències d'a i de b:

( ) ( ) ( ) ( ) 13 221-213432-3

12

3bab baba ba

a

b −−−−−−

−

⋅⋅

4. Aïlla x en les igualtats següents:

3x = 81 52x = 53 2x+1 = 1/16 21-x² = 1/8 3x = 24 53x = 15 2x+2 = 12

5. Calcula els logaritmes:

552422162532

1006592

5log 32log 8log )8(log 6log 5log 2log

log1000 0,01 log 1000000log 216log )25(log 3log 32log

−

−

6. Calcula els logaritmes en base a de totes les expressions de l'exercici 2.

7. Calcula x sabent que:

log5 x = 2 log4 x = 1/2 log7 x = 0 log9 x = 1 log4 x = -2 log x = -3

log8 x = 1/3 log3 x3 = 1/2 log2 1/x = -6

8. Calcula a sabent que:

loga16 = 2 loga1000 = 3 loga9 = 1/2 loga3 = 1/3 loga8 = 3/4 loga2197 = 3

loga0,001 = -3 loga3/4 = 1 loga 3 = 1/2 loga1/3=1/2

9. Calcula: 93log3 73log3 105log5 42log2 24log2 22log4 52log4

50

10. Suposant log 2 = 0,3 calcula, sense calculadora, els logaritmes decimals de:

16 5 0,4 320 0,1 0,25 400 0,002 125 250 18

2

2 53 008,0

11. Si en una base desconeguda és log a = 1,2 i log b = 0,5 calcula els logaritmes en aquesta base de:

aba ab a ba ba b

a

ab 7353

2

12. Calcula el nombre de xifres de 300300 i de 999

13. Calcula el domini de les funcions transcendents:

y = sin x − 1 y = tan 3x yx= −−

11 ln x

1-x xln1

y−=

ye x=

−1

3 2 yxsin x

=−1

y = arcsin x2 y = arctan 1x

y = ln(x-2) y = ln(x²-4) y = +1 ln x y = ex + 1

14. Resol les equacions exponencials:

a) 2x1x2 28 +− = b) x27343 =

c) 6255

1x2

= d) 6005

1x2

=

e) 125

156 2x2

=+

f) 2224 2x1xx +=+ +−

g) x3xx2 242 =+ h) 83

5535 1xx21x2 +=⋅+ −−

i) 5263

33

332x21x2

xx2=

+

−−−

j) 5

4)44(544543

x3xx2x3xx2 −−−=⋅+⋅

15. Resol les equacions logarítmiques:

a) 2)1x2(log5 =+ b) 1xlog 22 −=

c) 1)3x(log2

xlog4

4 −+= d) log(x+15) + log(x-4) = 1 + log 2

e) log(x+2) + log(x-3) = 1 + log 5 f) 3log x = log x + log(2x+3)

g) )1x(log)1x2(log)3x(log 777 −=+−+

51

h) xlog38

log)1x(log)1x(log 3333 +=−++

i) )56x(logxlog7x

log2 333 ++−=+

16. Una ciutat té una població de 100.000 habitants. Expressa amb una fórmula la població que tindrà passats x anys, si la població augmenta a un ritme del 5% cada any.

17. Tenim un paper quadrat de 50 cm de costat. Cada minut l’anem trencant per la meitat. Expressa amb una fórmula l’àrea del paper en m2 passats x minuts.

18. La magnitud de les estrelles és el logaritme de base 0,4 de la seva lluminositat. El Sol té magnitud -26,4 i la lluna plena -12. Quina proporció hi ha entre les seves lluminositats?.

19. L'Estrella Polar té magnitud 2,12. Si una altra estrella és 20 vegades més lluminosa que ella, quina magnitud tindrà?.

20. El decibel és una mesura de la potència sonora que és 10 vegades el logaritme de la intensitat del so. Si un altaveu emet música a 60 decibels i un altre fa 3 vegades més soroll, quina serà la potència en decibels del segon?.

21. La potència sonora d'un televisor alt és de 70 decibels, i la d'un concert de rock és 110 decibels. Quants televisors junts equivalen, a la oïda, a un concert de rock?.

22. Si f(x)= cos x, g(x)=x3, h(x)= x+1, i(x)=2x, escriu les fórmules de les funcions

f o g, g o h, i o h, h o f, i o g, g o f o h, i o g o h, i o i, h o g o f, h o g o f o i

23. Si g(x) = x , h(x) = ln x, i(x) = x

1, escriu les fórmules de les funcions compostes h o g, g o h,

i o h, h o i, i o g, g o i o h, i o g o h, i o i, h o g o h, h o g o h o i

24. Descompon en les seves components més simples les funcions indicant la composició que has de fer per obtenir les que se’t donen:

y = (x2-3)

2 y = (ln x-3)2 y = 3xln 2 − y = ln

1

x2 − 3

y= 1xsin 2 + y=2)1x(

1sin

+ y= 1xsin +

52

CONTINUÏTAT I ASIMPTOTES

1. Funcions definides a trossos Normalment una funció ve donada per una sola fórmula que s’aplica en tot el seu domini, però hi ha vegades en que pot venir donada per diverses fórmules que s’apliquen segons el valor de la variable x que estiguem considerant i a quin interval pertanyi.

Es diuen funcions definides a trossos , i se solen escriure així:

y

∈∈∈

=

...

trosr3xsi)x(f

trosn2x si (x)f

trosr1 xsi )x(f

3

2

1

Aleshores per trobar la imatge d’un determinat valor de x s’ha de veure en quin tros està situat i segons això aplicar la fórmula que li correspongui.

Els “trossos de la definició” poden venir donats tant en la forma habitual d’un interval, o sigui )a,(−∞ , )b,a( o (b, ∞ ), o també en forma de desigualtats, que serien ax⟨ , en el primer cas,

bxa ⟨⟨ , en el segon cas, i x b⟩ , en el tercer).

Els intervals també poden ser tancats i venir indicats amb claudator, i aleshores els símbols de les desigualtats seran ≥≤ o .

Qualsevol valor de x com a màxim ha d’estar en un interval de la definició. Si un valor de x no és a cap interval, aleshores no serà del domini de la funció.

Si hem de representar una funció definida a trossos ho hem de fer dibuixant a cada tros la fórmula indicada. El problema pot sorgir en els punts en que canvia la definició. En aquells punts hem de calcular el valor de les fórmules de cada costat, i sobre el gràfic hem d’indicar d’alguna forma si el punt representat és vàlid o no.

Punt vàlid s’indica amb [ o amb • Punt no vàlid s’indica amb ( o amb o

Quan en un punt ens trobem que per un costat i per l’altre la funció dóna valors iguals la funció és continua i si dóna valors diferents la funció és discontinua en aquell punt.

Les dues situacions quedarien reflectides gràficament d’aquesta forma:

53

2. Valors asimptòtics Una variable, ja sigui x o y, s'aproxima a + ∞ quan es va fent progressivament més gran i superior a qualsevol nombre positiu imaginable; i s'aproxima a - ∞ quan es va fent progressivament més petita i inferior a qualsevol nombre negatiu imaginable.

S'escriu +∞→x , +∞→y , −∞→x o −∞→y .

La variable x s'aproxima al valor a si la separació entre x i a, que es calcula per |x-a|, es va fent progressivament més petita i menor que qualsevol nombre positiu imaginable.

S'escriu x→a.

Si a més x<a direm que s'aproxima per l'esquerra i s'escriu x→a-. Si, en canvi, és x>a direm que s'aproxima per la dreta i s'escriu x→a+.

El mateix es pot dir amb la variable y.

L'estudi asimptòtic d'una funció és la resposta a les preguntes següents:

1) Si +∞→x , què es pot dir de y?

Quan la resposta és y→b, la funció té una asímptota horitzontal a la dreta que és la línia y = b.

2) Si −∞→x , què es pot dir de y?

Quan la resposta és y→b, la funció té una asímptota horitzontal a l'esquerra que és la línia y = b.

3) Hi ha algun valor de x per al qual si x→a , és +∞→y o −∞→y ?

Si existeix, aleshores la funció té una asímptota vertical que és la línia x = a.

Una funció només pot tenir dues asímptotes horitzontals, una a la dreta i una a l'esquerra. En canvi, pot tenir moltes asímptotes verticals, fins i tot infinites (per exemple és el cas de y=tan x, que ja hem vist).

Les funcions que tenen asímptotes verticals són discontínues.

54

3.- Asímpotes de les funcions elementals Entre les funcions que hem vist tenen asímptotes només:

A) Les funcions racionals )x(Q)x(P

- per als valors a tals que Q(a) = 0 i P(a) ≠ 0, hi ha una asímptota vertical x = a.

Quan Q(a)=0 i també P(a)=0 s’ha d’estudiar detingudament que passa amb el quocient descomponent els polinomis i simplificant el factor que fa que doni zero.

-si grau P ⟨grau Q, l’asímptota horitzontal és y=0 (o sigui l’eix de les x)

- si grau P = grau Q hi ha una asímptota horitzontal als dos costats; la seva equació és

y = quocient dels coeficients dels termes de grau m àxim

-si grau P= (grau Q)+1, hi ha una asímptota obliqua .

Una funció té una asímptota obliqua si existeix una recta y = mx + n que tendeix a confondre's amb y = f(x) quan +∞→x o quan −∞→x . Entre les funcions elementals només tenen asímptota

obliqua les funcions racionals )x(Q)x(P

en què el grau de P(x) és una unitat superior al grau de Q(x).

En tal cas l'asímptota és el quocient de la divisió de P(x) en tre Q(x).

B) La funció exponencial ex té una asímptota horitzontal y = 0 a l’esquerra .

Així mateix qualsevol funció exponencial de base més gran que 1.

Una funció exponencial de base més petita que 1 la té a y=0 però per la dreta.

Si a la funció se li suma o se li resta un nombre n l’asímptota serà y=n o y=-n.

Per exemple y=ex+2 tindrà una asímptota horitzontal per l’esquerra a y=2.

C) La funció logaritme ln x té una asímptota vertical x = 0

Així mateix qualsevol funció logarítmica de la base que sigui.

Si a la funció s’introdueix un canvi restant o sumant un nombre n a la variable x, l’asímptota es desplaça cap a la dreta o cap a l’esquerra.

Per exemple la funció y=ln (x-3) tindrà una asímptota vertical a y=3.

55

CONTINUÏTAT I ASÍMPTOTES EXERCICIS

1. Fes la gràfica de les següents funcions a trossos:

≥<<

−≤

=2 xsi 1-2x

2x1- si x

1 xsi x

)x(f 2

≥ 3 xsi 0

3<x<2 si 4-

2<x<0 si 1

0< xsi 3

=g(x) i(x) =

≥ 1 xsix -2

1< xsi 1

j(x) =

≥ 1 xsix +2

1< xsi 1 k(x) =

2> xsi 1+x

0< xsi x l(x) =

+−

2> xsi 6-3x

2< xsi 2x

2. Escriu el domini i el recorregut de totes les funcions que surten a l'exercici anterior. Digues quins són els seus punts de discontinuïtat.

3. Calcula els valors d'a, b i c que fan que aquestes dues funcions a trossos siguin contínues en tots els punts:

f(x) =

>+≤+-1 xsi 5ax

-1 xsi ax2 g(x) =

>+

<≤+<

2 xsi bx1

2x0 sic bx

0 xsi ex

4. Escriu els valors asimptòtics de les funcions que tenen els gràfics següents:

56

15. Escriu les asímptotes de la funció següent:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

16. Identifica els punts de discontinuïtat i les asímptotes de les funcions que tenen els gràfics següents:

57

17. Calcula totes les asímptotes de les funcions següents:

y = 1

5 62x x− + y = x+2+

1x

y = 2 1

3x

x+

− y =

1x

1x2

3

−−

y= 3x

1x2 2

+−

y=1x3x2

2x32 +−

+ y=

xx

1x2

4

−+

58

DERIVADES

1. La derivada d'una funció en un punt Si y = f(x) és una funció, la seva variació entre x1 i x2 és f(x2)-f(x1) i la seva variació mitjana entre x1 i x2 és

12

12

xx

)x(f)x(f

−−

La recta que uneix els punts de la gràfica de f corresponents a x1 i x2 és la recta secant a la gràfica en aquests dos punts. La variació mitjana és el pendent de la recta secant.

La variació instantània de f(x) quan x = a és el valor al qual s'acosten les variacions mitjanes entre a i x quan x s'aproxima a a. Es designa per f'(a) i rep el nom de derivada de f(x) en a. És una quantitat numèrica.

La derivada es pot calcular, teóricament, fent ax

)a(f)x(f−−

i ara substituïnt x per a. Cal, però,

simplificar aquest quocient fent ús de recursos de tipus algebraic per tal que la substitució no

produeixi 00

ni altres resultats anòmals. Si el càlcul es pot fer, la funció és derivable per a x=a.

És el que matemàticament s’escriu com un límit: f’(a)= limx→a

f (x) − f (a)x − a

Una funció definida a trossos és derivable quan és contínua i a més a més per a cada punt de transició x = a, les derivades en x = a dels dos trossos que s'enganxen en ell són iguals.

59

funció contínua en x=2, no derivable en x=2

Per tant el concepte que una funció sigui continua però no derivable en un punt tradueix el fet que las gràfica té un canvi sobtat de direcció en aquell punt.

Si una funció és derivable en un punt llavors és contínua en aquest punt. El recíproc no és vàlid: hi ha funcions, com x3 o x , que són contínues però no són derivables en algun punt.

Quan x s'aproxima a a, la recta determinada per x i per a s'aproxima a una recta que només té contacte amb la gràfica en a i que s'anomena recta tangent a la gràfica en a.

La derivada de f en a és el pendent de la recta tangent a la gràfica de f en a: tan α = f'(a)

L’equació de la recta tangent es pot calcular a partir de la forma explìcita d’una recta y=mx+n, tenint en compte que m=f’(a) i que la recta tangent ha de passar pel punt (a, f(a)).

L'equació de la recta tangent a y=f(x) en el punt a és y = f(a)+f'(a)(x-a).

2. Càlcul de la funció derivada

Es pot definir una nova funció f' fent correspondre a cada a el valor de la derivada f'(a). Aquesta funció és la funció derivada de f i es designa per f' o per y'.

La funció derivada f' també pot tenir funció derivada, que es diu la derivada segona de f i es designa per f". Anàlogament es defineixen la derivada tercera, la derivada quarta, etc.

Geomètricament la derivada és una mesura de la variació, i d'ella s'extreuen informacions sobre el creixement de la funció. Quant a la derivada segona, és una mesura de la curvatura de la gràfica, i d'ella s'extreuen informacions sobre la concavitat de la funció. Les derivades superiors a la segona no tenen interpretació geomètrica.

El càlcul de la funció f' derivada de la funció f segueix un conjunt de regles que es divideixen en:

a) Regles d'operació 1. Suma : (f+g)' = f' + g'

2. Producte : (f · g)' = f' · g + g' · f ; en particular si c és constant (cf)' = cf'

3. Quocient : 2

'

g

'gfg'fgf ⋅−⋅=

; en particular si c és constant

c'f

cf

'

=

4. Composició : 'g)g 'f()'gf( ⋅= oo

b) Derivades de funcions fonamentals

1. Funció constant : (c)' = 0

2. Funcions potencials : (xp)' = p. xp-1 ; en particular ( )'xx

= 1

2

Per la composició: (fp)' = p·fp-1·f'

En el proper curs veurem les funcions derivades de les funcions transcendents.

60

CÀLCUL DIFERENCIAL EXERCICIS

1. Calcula la variació mitjana de la funció y = 3x²-2x+5 entre: a) x = -1 i x = 1 b) x = 1 i x = 2 c) x = 1 i x = 1,1 d) x = 1 i x = 1,0001

2. Calcula la variació mitjana de la funció y = sin x entre:

a) x = 0 i x = 1 b) x = 0 i x = 0,1 c) x = 0 i x = 0,01 d) x = 0 i x = 0,00001

3. Calcula la variació mitjana de la funció y = x3 entre: a) x = 0 i x = 0,1 b) x = 0 i x = 0,01 c) x = 0 i x = 0,001 d) x = 0 i x = 0,0001

4. Fent servir la definició de derivada, calcula les derivades següents:

a) de y= 3x2+9x quan x=-1 (resp.: 3)

a) de y = x3+x2-2 quan x=2 (resp.: 16)

b) de y = 7x2 2 + quan x=3 (resp.: 6/5)

c) de y = 2x3

1+

quan x=1 (resp.: -3/25)

CALCULA LA FUNCIÓ DERIVADA DE CADASCUNA DE LES FUNCIONS DE LA COLUMNA DE L'ESQUERRA. LES RESPOSTES SÓN A LA COLUMNA DE LA DRETA.

5. y = 7x6+5x4-3x2+11x-12 y' = 42x5+20x3-6x+11

6. y = 3x-2+5x-3+2x-1 y' = -6x-3-15x-4-2x-2

7. y = 2x-3-4x-4-x-2 y' = -6x-4+16x-5+2x-3

8. y = x2(x+6) y' = 3x(x+4)

9. y = x3(x2+1)(x3+6) y' = 8x7+6x5+30x4+18x2

61

10. y =

+53 x

1

x

13 y' =

64 x

15

x

9 −−

11. y =

+−3

2

x

15x y' = -5x-6-10x-3

12. y = 63 x

2

x

1 − y' = 74 x

12

x

3 +−

13. y = 2x

64 +

y' = 24

3

)2x(

x24

+−

14. y = 7

2x3 + y' =

7x3 2

15. y = 2x1

2

+ y' =

22 )1x(

x4

+−

16. y = 2x21

1

− y' =

22 )x21(

x4

−

17. y = 1x21x2

+−

y' = 2)1x2(

4

+

18. y = 23

2

x3x

2x

−+

y' = 223

24

)x3x(

x12x6x

−+−−

19. y = 2x

x2

− y' =

2

2

)2x(

x4x

−−

20. y = 5x2/3+3x-x5/7 y' = 103

x-1/3+3-57

x-2/7

21. y = 4x-1/2-3x-2/3+7 y' = - 2x-3/2+2x-5/3

22. y = ( )502 x6x + y' = (100x+300) ( )492 x6x +

23. y = 1x4x3 2 +− y' = 1x4x3

2x32 +−

−

24. y = 2xx 2 +⋅ y' = 2x

2x22

2

+

+

25. y = 3 2)x1( + y' = 3 x13

2

+

26. y = 4 3 9x + y' = 4 33

2

)9x(4

x3

+

27. y =

32

2x42x

++

y' = 4

222

)2x4(

)8x4x4()2x(3

+−++

28. y = (2x+1)(3x+5)5 y' = (36x+25)(3x+5)4

62

29. y = 4

2

x8

x

− y' = 4·

+

−2

32

x

8x2

x8

x

30. y = ( )57x3 − y' = ( )

27x315

3−

31. y = 3)x6(

2x

−+

y' = 4)x6(

12x2

−

+

32.- Donada la funció y=x2-4x+5 calcula:

a) Quan val la funció en el punt x=-3 b) En quin punt o punts la funció val 17 c) Quina és la variació absoluta a l’interval 0,5[ ]

d) Quina és la variació mitjana a l’interval 2,4[ ] e) Quin és el pendent de la funció en el punt x=5 f) En quin punt el pendent de la funció val 7

33. Dibuixa i escriu la fórmula d’una funció definida a trossos que sigui continua i derivable en el punt x=-2, que no sigui continua en el punt x=0 i que sigui continua però no sigui derivable en elpunt x=3.

34. Escriu l'equació de les rectes tangents:

a) a y = xx

2 11

+−

quan x = 2 (x+y=7) b) a y = sin x quan x = 0 (y=x)

35. Calcula el pendent de y = x2-7x+10 en els punts en què la gràfica talla l'eix de les X. (resp.: 3 i -3)

36. Calcula el pendent de x2-8y = 0 en els punts d'intersecció amb la recta x-2y = 0. (0 i 1)

37. Calcula els punts en què:

a) el pendent de y = x2-6x+5 val 4 (x=5)

b) el pendent de 5x2-xy+4 = 0 val 1 (x=1 i x=-1)

c) la tangent a y = x3

3 + 3x2+5x+2 és paral·lela a la recta 3x+y=1 (x=-4 i x=-2)

d) la tangent a la funció anterior és perpendicular a x-4y=1 (x=-3)

e) la tangent a la funció anterior forma amb l'eix de les X un angle de tangent 5. (x=0 i x=-6)