Introduo

Neste trabalho ser abordado sobre o assunto de prisma e pirmides, mostrando a definio de ambas, os tipos, como so as formulas de medidas, de volumes, entre outras.

PrismaPrisma um slido geomtrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto inclinao das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblquos.Prisma retoAspectos comunsPrisma oblquo

Bases so regies poligonais congruentes

A altura a distncia entre as bases

Arestas laterais so paralelas com as mesmas medidas

Faces laterais so paralelogramos

ObjetoPrisma retoPrisma oblquo

Arestas lateraistm a mesma medidatm a mesma medida

Arestas lateraisso perpendiculares ao plano da baseso oblquas ao plano da base

Faces lateraisso retangularesno so retangulares

Quanto base, os prismas mais comuns esto mostrados na tabela:Prisma triangularPrisma quadrangularPrisma pentagonalPrisma hexagonal

Base:TringuloBase:QuadradoBase:PentgonoBase:Hexgono

Sees de um prismaSeo transversal: a regio poligonal obtida pela interseo do prisma com um plano paralelo s bases, sendo que esta regio poligonal congruente a cada uma das bases.Seo reta (seo normal): uma seo determinada por um plano perpendicular s arestas laterais.Princpio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual esto apoiados dois slidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os slidos com sees de reas iguais, ento os volumes dos slidos tambm sero iguais.

Prisma regular um prisma reto cujas bases so regies poligonais regulares.Exemplos: Um prisma triangular regular um prisma reto cuja base um tringulo equiltero. Um prisma quadrangular regular um prisma reto cuja base um quadrado.

Planificao do prismaUm prisma um slido formado por todos os pontos do espao localizados dentro dos planos que contm as faces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envoltria deste slido. Esta envoltria uma "superfcie" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificao se realiza como se cortssemos com uma tesoura esta envoltria exatamente sobre as arestas para obter uma regio plana formada por reas congruentes s faces laterais e s bases. A planificao til para facilitar os clculos das reas lateral e total.

Volume de um prismaO volume de um prisma dado por:V(prisma) = A(base).h

rea lateral do prisma reto com base poligonal regularA rea lateral de um prisma reto que tem por base uma regio poligonal regular de n lados dada pela soma das reas das faces laterais. Como neste caso todas as reas das faces laterais so iguais, basta tomar a rea lateral como:A(lateral) = n A(Face Lateral)

Uma forma alternativa para obter a rea lateral de um prisma reto tendo como base um polgono regular de n lados tomar P como o permetro desse polgono e h como a altura do prisma.A(lateral) = P.h

Tronco de prismaQuando seccionamos um prisma por um plano no paralelo aos planos das bases, a regio espacial localizada dentro do prisma, acima da base inferior e abaixo do plano seccionante denominado tronco de prisma. Para calcular o volume do tronco de prisma, multiplicamos a mdia aritmtica das arestas laterais do tronco de prisma pela rea da base.

PirmidesO conceito de pirmideConsideremos um polgono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirmide a reunio de todos os segmentos que tm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polgono. O ponto V recebe o nome de vrtice da pirmide.

Exemplo: As pirmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faras, bem como as pirmides no Mxico e nos Andes, que serviam a finalidades de adorao aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indgenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Elementos de uma pirmideEm uma pirmide, podemos identificar vrios elementos:

1. Base: A base da pirmide a regio plana poligonal sobre a qual se apoia a pirmide.2. Vrtice: O vrtice da pirmide o ponto isolado P mais distante da base da pirmide.3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto , quando a regio poligonal simtrica ou regular, o eixo da pirmide a reta que passa pelo vrtice e pelo centro da base.4. Altura: Distncia do vrtice da pirmide ao plano da base.5. Faces laterais: So regies planas triangulares que passam pelo vrtice da pirmide e por dois vrtices consecutivos da base.6. Arestas Laterais: So segmentos que tm um extremo no vrtice da pirmide e outro extremo num vrtice do polgono situado no plano da base.7. Aptema: a altura de cada face lateral.8. Superfcie Lateral: a superfcie polidrica formada por todas as faces laterais.9. Aresta da base: qualquer um dos lados do polgono da base.Classificao das pirmides pelo nmero de lados da basetriangularquadrangularpentagonalhexagonal

base:tringulobase:quadradobase:pentgonobase:hexgono

Pirmide Regular retaPirmide regular reta aquela que tem uma base poligonal regular e a projeo ortogonal do vrtice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.Rraio do circulo circunscrito

rraio do crculo inscrito

laresta da base

apaptema de uma face lateral

haltura da pirmide

alaresta lateral

As faces laterais so tringulos issceles congruentes

rea Lateral de uma pirmides vezes podemos construir frmulas para obter as reas das superfcies que envolvem um determinado slido. Tal processo conhecido como a planificao desse slido. Isto pode ser realizado se tomarmos o slido de forma que a sua superfcie externa seja feita de papelo ou algum outro material.No caso da pirmide, a idia tomar uma tesoura e cortar (o papelo d)a pirmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regies obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.

As regies planas obtidas so congruentes s faces laterais e tambm base da pirmide.Se considerarmos uma pirmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a rea de uma face lateral da pirmide, ento a soma das reas das faces laterais recebe o nome de rea lateral da pirmide e pode ser obtida por:A(lateral) = n A(face)Exemplo: Seja a pirmide quadrangular regular que est planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo aptema mede 4cm.Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirmide quadrangular temos n=4 tringulos issceles, a rea da face lateral igual rea de um dos tringulos, assim:A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12A(lateral) = 4.12 = 48 cm

Exemplo: A aresta da base de uma pirmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a rea lateral.Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do aptema da face lateral da pirmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.Como a base um hexgono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relao de Pitgoras, segue que (ap)=r+h, logo:(ap)= (4R[3])+10 = 48+100 = 148 = 437 = 2R[37]A rea da face e a rea lateral, so dadas por:A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

rea total de uma PirmideA rea total de uma pirmide a soma da rea da base com a rea lateral, isto :A(total) = A(lateral) + A(base)Exemplo: As faces laterais de uma pirmide quadrangular regular formam ngulos de 60 graus com a base e tm as arestas da base medindo 18 cm. Qual a rea total?J vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60)=(lado/2)/a, ento 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162A(lateral) = 4.162 = 648A(base) = 18 = 324Conclumos que:A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a rea total de suas barracas, as quais tm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de aptema. Calcular a rea da base, rea lateral e a rea total.

A(base) = 2.2 = 4 mA(lateral) = 4.2.1 = 8 mLogo, a rea total da barraca A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m

Volume de uma PirmideO volume de uma pirmide pode ser obtido como um tero do produto da rea da base pela altura da pirmide, isto :Volume = (1/3) A(base) hExemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contm. Para isso ela usou uma rgua e tirou duas informaes: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.Como V(pirmide)=A(base).h/3, devemos calcular a rea da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a=4cm.4cm=16cm.

A altura h da pirmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um tringulo retngulo cuja hipotenusa dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2R[2] que a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h=L-Q, se onde segue que h=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume ser dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seo Transversal de uma pirmideSeo transversal de uma pirmide a interseo da pirmide com um plano paralelo base da mesma. A seo transversal tem a mesma forma que a base, isto , as suas arestas correspondentes so proporcionais. A razo entre uma aresta da seo transversal e uma aresta correspondente da base dita razo de semelhana.

Observaes sobre sees transversais:1. Em uma pirmide qualquer, a seo transversal e a base so regies poligonais semelhantes. A razo entre a rea da seo transversal e a rea da base igual ao quadrado da razo de semelhana.2. Ao seccionar uma pirmide por um plano paralelo base, obtemos outra pirmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos pirmide original.3. Se duas pirmides tm a mesma altura e as reas das bases so iguais, ento as sees transversais localizadas mesma distncia do vrtice tm reas iguais.V(seo)Volume da seo at o vrtice(volume da pirmide menor)

V(piram)Volume da pirmide (maior)

A(seo)rea da seo transversal(base da pirmide menor)

A(base)rea da base da pirmide (maior)

hDistncia do vrtice seo(altura da pirmide menor)

HAltura da pirmide (maior)

Assim:V(seo)

V(base)= A(seo)

A(piram)h

H

A(seo)

A(base)= h

H

Ento:V(seo)

V(base)= h

H

Exemplo: Uma pirmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm. Qual o volume do tronco desta pirmide, obtido pelo corte desta pirmide por um plano paralelo base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirmide 3cm?ComoV(pirMenor)/V(pirmide) = h/HV(pirMenor)/108 = 6/9V(pirMenor) = 32entoV(tronco)=V(pirmide)-V(pirMenor)= 108cm-2cm = 76 cm

Concluso

Depois de toda a pesquisa realizada pode-se concluir que o estudo tanto dos primas quanto das pirmides so importantes para calcular reas desses objetos, que esto presentes no nosso dia a dia.

Referncias Bibliogrficas

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/prisma/prisma.htmhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm