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PRISMAS E PIRÂMIDES

1. DEFINIÇÕES (PRISMAS)

Chama-se prisma todo poliedro convexo composto por duas faces (bases) que são polígonos congruentes contidos em planos paralelos e as demais faces (faces laterais) que são paralelogramos determinados por pares de lados correspondentes nas duas faces.

As arestas das bases são duas a duas congruentes e as arestas laterais são todas congruentes entre si.

A altura do prisma é a distância entre os planos das duas bases.

Seção de um prisma é a interseção do prisma com um plano que intercepte todas as arestas laterais.

A seção reta ou seção normal é a seção cujo plano é perpendicular às arestas laterais.

Prisma reto: possui arestas laterais perpendiculares aos planos das bases e as faces laterais são retângulos.

Prisma oblíquo: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Prisma regular: prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

Natureza de um prisma: o prisma será triangular, qua-drangular, pentagonal, etc, conforme a base seja um triân-gulo, quadrilátero, pentágono, etc.

Paralelepípedo: prisma cujas bases são paralelogramos.

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Paralelepípedo reto: prisma reto cujas bases são paralelogramos.

Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro: prisma reto cujas bases são retângulos.

Hexaedro regular ou cubo: paralelepípedo retângulo cujas arestas são todas congruentes.

2. PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO

Seja um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, temos:

D'

A'

A B

B'

a

b

c

d

f1

D

C'

C

Base

Seção diagonalD

bc

a

f1

f1A B

C

D'

D B

B'

d

diagonal: d a b c= + +2 2 2

área total: S ab ac bcT = ⋅ + +2 ( )

volume: V a b c= ⋅ ⋅

No caso particular do cubo de aresta a, a diagonal é d a= 3 , a área total é S aT = 6 2 e o volume é V a= 3 .

3. ÁREA LATERAL, ÁREA TOTAL E VOLUME DO PRISMA

Área lateral ( SL ): área de todas as faces laterais.

Área total ( ST ): área lateral mais a área das bases.

Seja um prisma onde:

a → aresta lateral

2p → perímetro da seção reta

h → altura

SB → área da base

S p aL = ⋅2

S p a ST B= ⋅ + ⋅2 2

V S hB= ⋅

No prisma reto, a aresta lateral é igual a altura (a =h) e a seção reta é a própria base.

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S p hL = ⋅2

S p h ST B= ⋅ + ⋅2 2

V S hB= ⋅

Seja um polígono contido em um plano e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono.

Vértice: ponto V

Base: polígono A A An1 2

Altura: h (distância do vértice V ao plano da base)

Arestas da base: lados do polígono A A An1 2

Arestas laterais: VA1 , VA2 , ..., VAn

Faces laterais: triângulos formados pelo vértice e as arestas da base

Área lateral ( A

): área das faces laterais da pirâmide

Área total ( At ): área lateral mais a área da base

A A At b= +

Natureza de uma pirâmide: está associada ao número de lados do polígono da base.

triangular(tetraedro)

quadrangular

base:triângulo base:quadrilátero

pentagonal hexagonal

base:pentágono base:hexágono

4. PIRÂMIDE REGULAR

Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base.

As arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

a rb = → ápotema da base (raio do círculo inscrito à base)

R → raio da circunferência circunscrita a base (OD na figura)

ap → apótema da pirâmide (altura relativa à base de uma face lateral)

al → aresta lateral

a a Rl p2 2 2= +

a a hp b2 2 2= +

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5. VOLUME

V A hb= ⋅ ⋅13

6. SEÇÃO TRANSVERSAL

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma.

seção transversal

outra pirâmide

tronco de pirâmide

Uma seção transversal divide a pirâmide em duas partes: a que contém o vértice é uma pirâmide semelhante à original e a outra parte é chamada tronco de pirâmide de bases paralelas.

Se a pirâmide possui altura h e a seção está a uma distân-cia d do vértice, a semelhança das duas pirâmides implica as seguintes relações:

ArestaAresta maior

=dh

pirâmidepirâmide

ArestaAresta maior

=dhpirâmide

pirâmide

ÁreaÁrea

da face lateral da pirâmide menor da face lateral da pirâmide maior

=

dh

2

Área da base da pirâmide menorÁrea da base da pirâmide maioor

=

dh

2

=

dh

3

pirâmidepirâmide

A obtenção das características da pirâmide menor possibilita encontrar as características do tronco de pirâmide.

7. VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE

Sejam:

B → área da base maior

b → área da base menor

h → altura do tronco

Vh

B B b b= ⋅ + ⋅ +( )3

8. TETRAEDRO REGULAR

Pirâmide triangular com todas as 6 arestas congruentes.

Sendo a a aresta do tetraedro regular, sua altura é igual a

a 63

e seu volume é igual a a3 212

.

EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO

01. Um paralelepípedo retângulo de volume V tem dimensões inversamente proporcionais a A, B e C. A área total do paralelepípedo é:

a) 2VABC

A B C+ +

b) V A B C

ABC( )+ +

c) 2 23 V A B C( )+ +

d) V AB AC BC( )+ +3

e) 22

3( )A B CV

ABC+ +

02. A altura de um paralelepípedo retângulo mede 60 cm e sua base é um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60º com o plano da base. O volume do paralelepípedo retângulo é em cm3

a) 12000b) 18000c) 24000e) 36000

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03. Um prisma hexagonal regular ABCDEF A B C D E F− ′ ′ ′ ′ ′ ′ tem todas as arestas de mesmo comprimento ( AA′ é uma aresta

lateral). O cosseno do ângulo CA D′ˆ é:

a) 23

b) 34

c) 35

d) 58

e) 59

04. Considere um prisma hexagonal regular tal que a razão

entre a aresta da base a e a aresta lateral ℓ é 3

3. Sabendo-se

que a aresta da base for aumentada de 2 cm, o volume V do prisma ficará aumentado de 108 cm3 considerando que aresta lateral permanece a mesma, podemos afirmar que o volume do prisma é:a) 10 cm3

b) 12 cm3

c) 3/2 cm3

d) 36 cm3

e) 27/2 cm3

05. Um depósito de óleo diesel existente em uma das Organi-zações Militares da MB tem a forma de um prisma hexagonal regular com altura de 2 metros. Sabendo-se que o compri-

mento da diagonal maior do depósito vale 2 30

9 do compri-

mento da diagonal menor da base, pode-se dizer que o valor

da função f, definida por f x x( ) =−

213 no número V represen-

tante do volume do depósito vale:

a) 23

9

6

b) 23

9

c) 22439

6

d) 22435

6

e) 22433

6

06. A área total da pirâmide regular de apótema A2, onde A1 e 2p são, respectivamente, apótema e perímetro de sua base, é

a) p(A1 + A2)

b) p2

(A1 + A2)

c) 2p(A1 + A2)

d) p(A1 + A2

2)

07. A área total de uma pirâmide triangular regular é 36 3 2cm e o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm. A altura da pirâmide é, em cm:a) 3 12b) 2 15c) 4 3d) 4e) 2 3

08. Em uma pirâmide regular, de base hexagonal, o apótema da base mede 1 cm. Se a altura da pirâmide mede o dobro da medida da diagonal de um cubo de 8 cm3 de volume, então a razão entre a área lateral da pirâmide e a área total do cubo vale:

a) 3 316

b) 7 312

c) 5 3

6

d) 13 3

12

e) 2 3

09. Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC. O segmento AV, de comprimento unitário, é perpendicular à base. Os ângulos das faces laterais, no vértice V, são todos de 45 graus. Deste modo, o volume da pirâmide será igual a:

a) 16

2 2 2−

b) 16

2 2−

c) 13

2 2−

d) 16

2 2 1−

10. Um tronco de pirâmide regular tem como bases triângulos equiláteros, cujos lados medem, respectivamente, 2 cm e 4 cm. Se a aresta lateral do tronco mede 3 cm, então o valor de sua altura h, em cm, é tal que:

a) 7 8< <h

b) 6 7< <h

c) 2 3 3 3< <h

d) 1 2< <h

e) 2 2 3 2< <h

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EXERCÍCIOS DE COMBATE

Acesse o código para assistir ao vídeo.01Em cm3, qual o volume de um paralelepípedo retângulo de área total 180 cm3, de diagonal da base 10 cm e com a soma das arestas que concorrem no mesmo vértice igual a 17 cm?a) 99b) 120

c) 135d) 144

Acesse o código para assistir ao vídeo.02O produto da maior diagonal pela menor diagonal de um pris-

ma hexagonal regular de área lateral igual a 144 2cm e volu-

me igual a 144 3 3cm é:

a) 10 7

b) 20 7

c) 10 21

d) 20 21

Acesse o código para assistir ao vídeo.03A área da base de uma pirâmide quadrangular regular é 36 2m . Se a altura da pirâmide mede 4 m, sua área total, em m2, é igual a:a) 48b) 54

c) 96d) 120

Acesse o código para assistir ao vídeo.04Uma pirâmide quadrangular regular tem as oito arestas iguais

a 2 m. O volume dessa pirâmide vale:

a) 1 3m

b) 2 3m

c) 23

3m

d) 43

3m

Acesse o código para assistir ao vídeo.05O apótema de uma pirâmide regular, com base hexagonal, é

9 3 cm. Se a sua área lateral é o triplo da área de sua base, então, o seu volume, em cm3, é

a) 3 323

4

b) 81 35

4

c) 81 3

d) 324 2

Acesse o código para assistir ao vídeo.06(ESPCEX) Um prisma reto com 5 cm de altura e base retangular com dimensões de 4 cm e 6 cm contém água até uma altura de 3 cm. Um cubo maciço de aresta igual a 2 cm é colocado dentro deste prisma, ficando totalmente submerso. A partir de então, a altura do nível da água, em cm, passa a ser de:a) 13/4 b) 10/3 c) 15/4 d) 13/3 e) 14/4

Acesse o código para assistir ao vídeo.07(ESPCEX) Em um cubo de aresta medindo 4 cm, forma-se um triângulo VEF, conforme figura abaixo, em que V é o centro do quadrado ABCD. A área, em cm², do triângulo VEF é igual a

a) 4√5b) 4√6c) 5√5d) 5√6e) 6√6

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Acesse o código para assistir ao vídeo.08(ESPCEX) Para obter o sólido geométrico representado abaixo, partiu-se de um cubo de aresta L e retirou-se de cada um dos vértices desse cubo uma pirâmide de base triangular com as arestas laterais medindo L/4, conforme a figura. Denominando-se V o volume do cubo a partir do qual foi obtido o sólido, pode-se concluir que o volume desse sólido é

a) 23

V24

b) 47

V48

c) 71V

72

d) 95V

96

e) 143V

144

Acesse o código para assistir ao vídeo.09(ESPCEX) A figura espacial representada abaixo, construída com hastes de plástico, é formada por dois cubos em que, cada vértice do cubo maior é unido a um vértice correspondente do cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma medida. Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm, a medida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos é

a) 6√2b) 3√2c) 2√3d) 4√3e) 6√3

Acesse o código para assistir ao vídeo.10(ESPCEX) Considere um prisma regular reto de base hexagonal

tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é 33

.

Aumentando-se a aresta da base em 2 cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108cm³. O volume do prisma original éa) 18 cm³b) 36 cm³c) 18√3cm³d) 36√3cm³e) 40 cm³

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